2. Cuadrado de la suma de dos términos

3. Cuadrado de la diferencia de dos términos

4. Producto de la suma por la diferencia de dos términos

5. Producto de dos binomios con un termino común

6. Producto de dos binomios con términos no común

7. Cubo de la suma de dos términos

8. Cubo de la diferencia de dos términos

Índice

1.Concepto de producto notable

Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede obtenerse aplicando reglas especificas

1. Productos notables

Nombre del producto notable y su expresión algebraica

Cuadrado de la suma de dos cantidades

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Cubo de la suma de dos cantidades

Cubo de la diferencia de dos cantidades

• Producto de dos binomios con un termino común Donde:

• Producto de dos binomios con términos no común Donde:

2. El cuadrado de la suma de dos términos

Definición: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al

cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos,

más el cuadrado del segundo.

Comprobación algebraica del cuadrado de la suma de dos cantidades

Multipliquemos los dos binomios verticalmente

Se ha demostrado que

 

Representemos geométricamente el cuadrado de la suma de dos cantidades

Observa que en la figura uno tenemos un cuadrado de color azul de área dos rectángulos de color amarillo de área y un cuadrado de color rojo de área

Figura. 1.

𝑎𝑏𝑎2 𝑎𝑏 𝑏2

Armemos un mosaico con las fichas de la figura 1. Uno de los

mosaicos que se forma es el de la figura 2, calculemos el área de

este mosaico, para esto sumemos todas las áreas de cada ficha

que se usó y obtenemos:

Al observar la figura 2 que se forma nos damos cuenta que es un

cuadrado de dimensiones , entonces el área debe ser por lo tanto

𝑎2𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑏2

a

𝑎+𝑏(𝑎+𝑏 )2=𝑎2+𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑏2

(𝑎+𝑏 )2=𝑎2+𝟐𝑎𝑏+𝑏2figura 2

El mosaico que ves a continuación representa el cuadrado de la suma de dos cantidades

𝑎2𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑏2(𝑎+𝑏 )2¿ +¿ +¿ +¿

Ejemplos

1- Desarrollar: 2- Completar:

Datos: ; Datos: ;

Pasos preliminares:

•

Solución:

Pasos preliminares:

•

Solución:

Ejemplos

3-Completar

4- Completar:

Datos: a • Datos: ;

Pasos preliminares:•

Solución:

Pasos preliminares:

2ab=2

• Solución:

3. El cuadrado de la diferencia de dos términos

Definición: El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual

al cuadrado del primer término, menos el doble producto de

ambos, más el cuadrado del segundo.

Comprobación algebraica

Multipliquemos los dos binomios verticalmente

Se ha demostrado que

Representación geométrica del cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Armemos un mosaico sobre el cuadrado de lado con las fichas

restantes de la figura 1 como se muestra en la figura 3.

Si observamos la figura 3 resultante, se puede constatar que el

área de cuadrado de lado es igual a la diferencia del área

original y las áreas adyacentes.

El mosaico que ves en azul representa el cuadrado de la diferencia de dos cantidades

(𝑎−𝑏)2𝑏 (𝑎−𝑏)𝑏2𝑏 (𝑎−𝑏)

Figura. 3.

𝑎

𝑎𝑎2 𝑏 (𝑎−𝑏) 𝑏 (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)2 ¿ 𝑏2− +¿ +¿

𝑎−𝒃

𝑎−𝒃

Ejemplo:

Desarrollar:

Datos:

Pasos preliminare:

Solución:

4. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Definición: El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

Representación geométrica

Al cuadrado de lado , le añadimos un rectángulo de lados de la figura 1

luego tapamos parte del cuadrado de lado con el rectángulo restante de lado

de la figura 1 y por ultimo tapamos parte del rectángulo que añadimos

anteriormente con el cuadrado de lado , como se muestra en la figura 4.

Si observamos la figura resultante, figura 5, se puede constatar

que el área del rectángulo de dimensiones y es equivalente a::

 

                 

 

 

𝑎𝑏𝑏2

  

𝑎+𝑏

𝑎−𝑏 𝑎𝑎

𝑎𝑏−𝑏2𝑎  𝟐−ab

figura 5

figura 4

+¿=(𝑎+𝑏 ) (𝑎−𝑏)𝑎𝑏

𝑎𝑏

𝑏2− +¿𝑎2

Calcular:

Ejemplo:

Datos:

  

Pasos preliminares:

Solución:

Taller Nº1Piensa y practica

1. Cada una de las siguientes igualdades se obtiene al desarrollar

un producto notable. Anota en los espacios respectivos la

expresión que falta para que la igualdad se verifique.

•

•

•

•

•

2. Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• 3

•

3. Completa las siguientes igualdades. Para ello aplica los productos notables.

•    

•  • _____ •  •  •

Prueba Nº1 

1. Diga el nombre y su expresión matemática de los tres productos notables estudiados en clase.

NOMBRE DEL PRODUCTO NOTABLE EXPRESIÓN MATEMÁTICA

2. Cada una de las siguientes igualdades se obtiene al desarrollar un producto notable. Anota en los espacios respectivos la expresión que falta para que la igualdad se verifique

•

•  

3. Completa las siguientes igualdades. Para ello aplica los productos notables

•

•

• __________

4. Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes.

•

•

•

Donde:

Ejemplo:

Multiplicar

Datos:

5. Producto de dos binomios con un termino común

Donde:

Solución

 

6. Producto de dos binomios con términos no común Donde:

Ejemplo:

Multiplicar

9 𝑥

−10 𝑥

−2 𝑥

−156 𝑥2

Taller Nº2Piensa y practica

Escribir por simple inspección, el resultado de:

•  

•  

•  

•  

7. Cubo de la suma de dos cantidades

Definición:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer

termino más el cubo del cuadrado del primer término por el

segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del

segundo, más el cubo del segundo termino.

Comprobación algebraica

 

Representación geométrica del cubo de la suma de dos cantidades

Se tiene que el volumen de un cubo de arista

es ò

Considera un cubo cuya arista mide unidades,

como se muestra en la figura. 6.

El volumen es:

𝑏

𝑎

Figura. 6

𝑎  2𝑏

𝑎2𝑏

𝑎2𝑏3𝑎2𝑏

𝑎𝑏2𝑎𝑏2 𝑎𝑏23𝑎𝑏2

𝑎3 𝑏3

Descomposición del cubo de la suma de dos términos en ocho prismas

Observa que el volumen del cubo de la figura seis se descompuso en ocho prismas.

Entonces, el volumen del cubo es la suma de los volúmenes de los ocho prismas que lo

componen; es decir:

V

De la expresión se puede establecer la igualdadque corresponde al desarrollo del cubo de la 

suma de dos cantidades

  

Definición:

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del

primer termino menos el cubo del cuadrado del primer término por

el segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del

segundo, menos el cubo del segundo termino.

8. Cubo de la diferencia de dos cantidades

 

Comprobación algebraica

Representación geométrica del cubo de la diferencia de dos cantidades

a

a

bb a - b

a - bb

ba - b

a

Considere un cubo de arista , al cual se le desea extraer un cubo de arista . Observa la figura. 7.

figura. 7.

El volumen del cubo de arista es: .

Descomposición del cubo de la diferencia de dos términos en cuatro prismas

𝑏 (𝑎−𝑏)2 𝑎𝑏 (𝑎−𝑏) 𝑎2𝑏(𝑎−𝑏)3

𝑎3¿ − +¿ +¿

Ejemplos:

1. Desarrollar

Datos:

Pasos preliminares:

Solución:

1. Desarrollar

Datos:

Pasos preliminares:

Solución:

 27

Taller Nº3Piensa y practica

Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes

Examen mensual

1. Diga el nombre y su expresión matemática de los productos notables estudiados en clase.

PRODUCTOS NOTABLES

Nombre Expresión matemática

2. Cada una de las siguientes igualdades se obtiene al desarrollar un producto notable. Anota en los espacios respectivos la expresión que falta para que la igualdad se verifique.

• .

• .

3. Completa las siguientes igualdades. Para ello aplica los productos notables.

(𝑥3−𝑥 )2=𝑥6−¿

•_________ ___________

•

4. Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes