Xx8.00 Doble Integración

7/24/2019 Xx8.00 Doble Integracin

1/36

DEFORMACIN DE VIGAS MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN

Me es necesario integrar esta ecuacin para obtener una relacin algebraica

entre la flecha y la coordenada x a lo largo de la viga. En los problemas

siguientes se har esto.

2.Determinar la fleca en ca!a "#nt$ !e la %i&a en %$la!i'$( )$meti!a a la

car&a ai)la!a *( re"re)enta!a en la fira a!+#nta.

Se adopta el sistema de coordenadas x-y que puede verse, en el que el ee

x coincide con la posicin original, no flexada, de la viga. !a viga deformada

tiene el aspecto indicado por la l"nea gruesa. #rimero tenemos que hallar

las reacciones que eerce el muro sobre la barra, lo que se consigue

fcilmente, como se vio en el problema $ del %ap"tulo &, obteni'ndose por

la esttica que se trata de una fuer(a vertical # y un momento #! como se

ha representado en la figura.

El momento flector en una seccin cualquiera a la distancia x del muro

viene dado por la suma de los momentos de esas dos reacciones respecto

a un ee por esa seccin. Evidentemente, la fuer(a vertical # dirigida hacia

arriba produce un momento flector positivo #x, y el par #! si actuara solo

producir"a la curvatura de la barra indicada, lo que, de acuerdo con el

criterio de signos del %ap"tulo &, constituye un momento negativo. #or tanto,

el momento flector M en la seccin x es)

PxPLM +=

!a ecuacin diferencial de la viga flexada es)

MdxydEL =22

*onde E indica el mdulo de elasticidad del material e + representa el

momento de inercia de la seccin respecto al ee neutro. Sustituyendo,

PxPLdx

ydEI +=

2

2

Esta ecuacin se integra fcilmente una ve(, obteni'ndose)

$


2/36

1

2

2C

PxPLx

d

dEI

x

y ++=

ue representa la ecuacin de la pendiente, en la que % $ es una constante

de integracin, que puede calcularse utili(ando la condicin de ser nula la

pendiente dy/dx de la viga en el muro, pues est perfectamente empotrada

en 'l. #or tanto, dy/dx x0101. !a ecuacin 2 es cierta para todos los

valores de x ey, y si se sustituye en ella la condicin para x 0 1, se tiene 1 0

1 3 1 3 %$ o %$0 1

4hora, la integracin de la ecuacin 2 da

2

32

62

CPxx

PLELy ++=

*onde %2 es una segunda constante de integracin. 5uevamente se podr

determinar por la condicin en el muro de empotramiento. 4ll", para x 0 1 la

flecha y es cero, pues la barra est empotrada r"gidamente, y sustituyendo

y x010 1 en la ecuacin 6 vemos que 1 0 1 3 %2o %201.

4s" pues, las ecuaciones 2 y 6, con %$ 0 %20 1, dan la pendiente dy/dx y

la flecha y en un punto cualquiera x de la viga. !a flecha es mxima en el

extremo derecho x 0 !, bao la carga # y, por la ecuacin 6, se halla que

es)

3max

3

)( PLyEL =

En la que el signo negativo indica que este punto est, en la curva

deformada, por debao del ee x. Si solo se desea conocer la magnitud de la

flecha mxima en x 0 !, se suele representar por y tenemos)

EI

PL

3

3

max=

,. La %i&a en %$la!i'$ !el *r$-lema 2 tiene , m !e l$n&it#! e)t/ car&a!a

c$n #na f#er'a * !e 0.211 &. Se trata !e #n "erfil 3 221( c$n #n

2

6

7


3/36

m$ment$ !e inercia re)"ect$ al e+e ne#tr$( !e 4.151 cm 6. Determinar la

fleca m/7ima !e la %i&a( t$mar E 8 2(0 9 01:&;cm2

!a flecha mxima se produce en el extremo libre de la viga bao la carga

aislada y en el #roblema 2 se hall que es)

Esta flecha es hacia abao, como se indica en la figura del #roblema 2. #ara

deducir esta frmula se supuso que el material de la viga sigue la ley de

8oo9e: pero con los clculos anteriores solo, no hay seguridad de que no

est' sometido a tensiones fuera del l"mite de proporcionalidd. Si fuera as", la

ecuacin fundamental de la flexin de la viga E+d 2y/dx2 0 M ya no ser"a

valida y los valores num'ricos anteriores no tendr"an significado. #or

consiguiente, en todos los problemas que tratan de als flechas de vigas hay

que recalcar que es necesario determinar que la mxima tensin por flexin

est por debao del l"mite de proporcionalidad del material, lo que es fcil de

hacer utili(ando la frmula de la flexin deducida en el #roblema $ del

%apitulo ;. *e acuerdo con esa frmula)

IM / =

*onde expresa la tensin por flexin, M el momento flector, la

distancia desde el ee neutro a las fibras extremas de la viga e + el momento

de inercia de la seccin respecto al ee neutro. En este problema, el

momento flector mximo tiene lugar en el muro de suecin y est dado por

M max 0 $.211611 0 6&1.11


4/36

6. Determinar la "en!iente !el e7trem$ !erec$ !e la %i&a en %$la!i'$

car&a!a c$m$ )e %i$ en el *r$-lema 2. 3allar( "ara la %i&a !e)crita en

el *r$-lema ,( el %al$r !e e)ta "en!iente.

En el #roblema 2 se vio que la ecuacin de la pendiente era)

2

2PxPLx

dx

dyEI +=

En el extremo libre, x 0 !, y tenemos2

22 PLPL

dx

dyEI

Lx

+=

=

#or tanto, la pendiente en el extremo libre es

EI

PL

dx

dy

Lx 2

2

=

=

#ara la viga descrita en el #roblema 6, esto vale

5. Determinar la fleca en el "#nt$ me!i$( < 8 0(5 m( !e la %i&a !e)crita enel *r$-lema ,.

En el problema 2 se hall que la ecuacin deformada era Ely 0

En el punto medio, x 0 $,>1 m y los dems parmetros tienen el mismo valor

que en el #roblema 6.

Sustituyendo.

El signo negativo indica que este punto est en la viga flexada por debao del

ee x.

:.= Determinar la fleca en ca!a "#nt$ !e la %i&a en %$la!i'$ )$meti!a a la

car&a #nif$rmemente re"arti!a !e " & "$r metr$ lineal( !e lla fira.

Se toma el sistema de coordenadas x-y representando, en el que el ee x

coincide con la posicin original, sin deformar, de la viga. !a viga deformada

tiene el aspecto representado por la l"nea gruesa. !a ecuacin del momento

radianesdx

dy

Lx

00320,0)050.8)(10*1,2(2

)300(200.16

2

==

=


5/36

flector puede hallarse de un modo anlogo al utili(arlo en el problema 2, pero

en lugar de ello adoptaremos una ligera simplificacin. *eterminemos el

momento flector en una seccin a la distancia x del muro, considerando las

fuer(as a la derecha de dicha seccin en lugar de las i(quierda.

!a fuer(a de p 9g/m act?a en la longitud !-x a la derecha de la seccin,

siendo la fuer(a resultante de p!-x


6/36

En el extranero empotrado, @0 1, de la viga la flecha es cero, y como la

ecuacin AA6A es vlida para todos los valores de x e y, se puede sustituir en

ella este para de valores. 8aciendo esto tenemos.

2

424/ CpLo += de donde %6 0 p!

7

#or tanto, la forma definitiva de la curva de las flechas de la viga es.

6246

)(24

434 pLx

pLxL

pEIy +=

!a flecha es mxima en el extremo derecho de la viga x0!, y en este punto,

por la ecuacin 6B, tenemos

8246

443 pLpLx

pLEIy =+=

*onde e signo menos indica que en ese punto la curva deformada est debao

del ee, x Si solo se desea saber la magnitud de la flecha mxima, se suele

representar por , y la expresin anterior vale.

7EI

pL

8

4

max

>.=La %i&a en %$la!i'$ !el *r$-lema : e) !e )ecci?n rectanlar !e 01 7

05 cm. La -arra mi!e 2m !e L$n&it#! )$"$rta #na car&a

#nif$rmemente re"arti!a !e 0.111 @&;m. El material e) acer$ "ara el

c#al E82(0 7 01: @&;cm2. Determina la fleca m/7ima.

!a flecha mxime se produce en el extremo libre, y en el #roblema & se vio que

esEI

pL

8

4

max

4qu", + para la seccin rectangular es hh6/$20$1$>6/$202.;$2cm7 . 4! utili(ar

esta ecuacin es muy importante el emplear unidades, homog'nes. #ara ello,

conviene expresar p en 9g/cm. ! en cm, E en 9g/cm 2 e $ en cm2 xxxxx .

8aciendo esto, obtenemos.

338.0)812.2(101,2(8

)200)(100/000.1()6

4

max ==x

cm


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Cambi'n aqu" debemos hallar la tensin mxima en la barra. El momento flector

mximo se produce en el muro de suecin y es

000,2)1)(2(000,1max == cm. Sustituyendo.

2

max /534812.2

)5,7)(100000.2(cmkg

x

I

MiG ===

%omo este valor est muy por debao del limite de proporcionalidad del

material, que es al menos de 2.$11


8/36

!a ecuacin diferencial de la viga flexada es E+d2y/dx2 0 M. Sustituyendo.

$2

2

22

2 pxx

pL

dx

ydEI ==

+ntegrando,

2 1

3

)3

(2

)2

2(

2C

xpxpL

dx

dyEI +==

8ay que observar que dy/dx representada la pendiente de la viga. %omo la viga

flexada es sim'trica respecto al centro de la lu(, esto es, respecto a x 0 !/2, es

evidente que all" deber ser nula la pendiente. Esto es la tangente a la viga

deformada es hori(ontal en el centro de la misma, condicin que nos permitedeterminar %$) sustituyendo en 2, tenemos dy/dxx 0 !/20 1.

1

32

)8

(6

)4

(4

0 CLpLpL

+== o24

3

1

pLC =

#or tanto, la pendiente en un punto cualquiera est dada por

2B 24)4(6)3(4

342 pLxpxpL

EI =

+ntegrando nuevamente hallamos.

6 2

343

24)

4(

6)

3(

4CX

pLxpxpLEI +=

En esta segunda constante de integracin %2se determina fcilmente por ser

nula la flecha y en el apoyo i(quierdo. Sustituyendo y(01 0 1 en 6, hallamos 1

0 1 -1 -1 3 %2 0 1.

!a forma final de la ecuacin de la elstica es, pues.

6B xpL

xp

xpL

EIy242412

343 =

!a flecha mxima de la viga se produce en el centro, a causa de la simetr"a.

Sustituyendo x 0 !/2 en la ecuacin 6B, obtenemos.

)384

5max)(

4pL

yEI =


9/36

4s", pues, sin tener en cuenta el signo algebraico, la flecha mxima de una

viga simplemente apoyada, cargada uniformemente, es.

7EI

pL4.

384

5max

=.= na %i&a )im"lemente a"$a!a !e , m !e l$n&it#!( !e )ecci?n

rectanlar !e 01 7 21 cm( )$"$rta #na car&a #nif$rme !e ,11 @&.

Metr$ lineal. La -i&a e) !e "in$ -lanc$( c$n #n limite !e

"r$"$rci$nali!a! !e 621 @&;cm2 E81( 7 015 @&;cm2. Determinar la

fleca m/7ima.

!a flecha mxima se produce en el centro de la viga y es #roblema ;

cmx

527,0)666,6)(109,0(

)300)(100/300(.

384

5max

3

4

==

En el problema 7; del %ap"tulo ; se estudi la tensin mxima en esta viga y

se hall que era de >1,& 9g/cm2. %omo este valor es inferior al l"mite de

proporcionalidad del material, es vlido el empleo de la frmula anterior.

01. O-tener #na ec#aci?n "ara la el/)tica !e la %i&a )im"lemente a"$a!a

)$meti!a a la car&a a)ila!a P a"lica!a en )# centr$( c$m$ )e %e en la

fira.

Se introduce el sistema de coordenadas x-y representado. !a viga

deformada tiene el aspecto que indica la l"nea gruesa. #or simetr"a, cada

reaccin vale, indudablemente, #/2.

En el problema 7 de %ap"tulo estudi la ecuacin de momento flector en

cada punto de una viga cargada como 'sta. *e acuerdo con lo visto all", el

momento flector en la mitad i(quierda de la viga es)

xP

M2

= para2

0 Lx


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!a primera integracin de esta ecuacin produce.

2 1

2

2

2

)2(2 C

xP

dx

yd

EI +=!a pendiente de la viga est representada por dy/dx. %omo est cargada en su

punto medio, las flechas son sim'tricas respecto al centro, esto es, que la

tangente a la elstica es hori(ontal en ese punto. Sustituyendo esta condicin

dy/dxx0!/2 0 1 en la ecuacin 2, obtenemos.

1

2

)2

(4

0 CLp

+= y16

2

1

pLC =

F la pendiente dy/dx)en un punto cualquiera de la viga est dada por

2B164

22 PL

xP

dx

dyEI =

+ntegrando nuevamente, tenemos

6 223

16)

3(

4xC

PLxPEIy =

!a segunda constante de integracin %2 se determina por ser la flecha xx y de

la viga nula en el apoyo i(quierdo y x01. Sustituyendo en 6, obtenemos 1 0 1

-1 3%2 y %2 0 1.

#or tanto, la curva de deformaciones de la mitad i(quierda de la viga est dada

por

6B xPL

xP

EIy1612

23 =

4l llegar aqu", conviene prestar atencin al hecho de no ser admisible uso de la

condicin de flecha y nula en el apoyo derecho, esto es y x01 0 1. pues la

ecuacin del momento flector, M0#/2x, solo es vlida para valores de xmenores que !/2, es decir, a la i(quierda de la carga aplicada #. 4 la derecha

de #, la ecuacin de momentos contiene un t'rmino ms, y si quer"amos aplicar

la condicin y0!0 1, o tendr"amos que utili(ar la ecuacin correspondiente a

la mitad derecho a la viga. En realidad, no es necesario examinar las flechas en

los puntos a la derecha de la carga, pues se sabe que la elstica es sim'trica

respecto a x 0 !/2. En resumen para determinar las constantes de integracin


11/36

solo utili(arse las condiciones de flecha o pendiente que pertenecen al intervalo

de viga para el que se escribi la ley de momentos flectores.

Evidentemente, la flecha mxima se produce en el centro de la viga, en virtud

de la simetr"a. En este punto, su valor es

48)(

3

max

PLyEI =

G, sin tener en cuenta el signo algebraico, la flecha mxima de una viga

simplemente apoyada, sometida a una carga # aplicada en el centro, es

7EI

PL

48

3

max=

00. La %i&a )im"lemente a"$a!a !e *r$-lema 01 tiene 6 m !e l$n&it#!

)ecci?n circ#lar !e 01 cm. !e !i/metr$. Si la m/7ima fleca a!mi)i-le

e) !e 1(5 cm( !eterminar el %al$r m/7im$ !e la car&a *. El material e)

acer$( "ara el c#al E 8 2(0 7 01:@&;cm2.

En la ecuacin 7 del #roblema $1 se hall que la flecha mxima es

EI

PL

48

3

max=

#ara una viga de seccin circular v'ase #roblema $$, %ap"tulo ,

44449164/1064/ cmDI === . 4dems ! 0 7 m 0 711 cm. Sustituyendo,

)491)(101,2(48

)400(5,0

6

3

x

P= y #0 6; 9g.

%on esta carga aplicada en el centro de la viga, la reaccin en cada extremo es

de $A6 9g. y el momento flector en el centro de $A6, >2 0 6; 9g.m. Este es

el momento flector mximo en la viga y la tensin mxima se produce en las

fibras extremas en esta seccin central. Su valor est dado porI

Mvo = , por lo

que 394491

)5)(100(387max

==G 9g/cm

2. Este valor est por debao del l"mite de

proporcionalidad del material, por lo cual era admisible el empleo de la

ecuacin que da la flecha.


12/36

02. C$n)i!erar n#e%amente la %i&a )im"lemente a"$a!a !el *r$-lema

00. Determinar la "en!iente en el a"$$ i'#ier!$.

Se&n la ec#aci?n 2 !el *r$-lema 01( la "en!iente dy/dx en #na

)ecci?n a la !i)tancia 7 !el a"$$ i'#ier!$ e)t/ !a!a "$r.

+164

22 PL

xP

dx

dyEI =

En el apoyo i(quierdo x 0 1 y, como antes, tenemos E02,$ x $1& 9g/cm2, + 0 7A1

cm7 . # 0 6; 9g, y ! 0 711 cm. Sustituyendo,

2 00376.0)(16

)400(387))(490)(101,2(

0

2

0

0 ==== xx dx

dyy

dx

dyx radianes

!a pendiente dy/dx representa, en realidad la tangente del ngulo deinclinacin de la elstica. #ara deformaciones muy pequeHas, como las que

consideramos en este capitulo, el valor del ngulo expresado en radianes es

sensiblemente igual a su tangente por lo que la pendiente dy/dx x01se expresa

por 1,116& radianes. !a observacin de las unidades en la ecuacin 2 revela

dy/dx carece de dimensin, y el radian es en realidad una unidad adimensional

de medida angular.

0,.Determinar la ec#aci?n !e la el/)ica !e #na %i&a )im"lemente

a"$a!a )$meti!a a #n "ar M0en el e7trem$ !erec$( c$m$ )e %e

en la fira.

#rimeramente necesitamos determinar las reacciones que act?an en la

viga. %omo solo puede mantenerse en equilibrio el par aplicado M $, por

la accin de otro par, es evidente que las reacciones en los extremos

debern ser fuer(as de igual magnitud I, pero de sentido opuesto, como

se indica abao. #ara hallar su magnitud, podemos escribir la ecuacin

de la esttica.

=+= 010 RLMM y LMR /1=!a l"nea gruesa indica la forma de la viga flexada. El momento flector en

un punto a la distancia x de la reaccin i(quierda es)

xL

MRM X

1==


13/36

Esta ecuacin es vlida para todos los valores de x, la ecuacin

diferencial de la viga deformada es)

xL

M

dx

yd

EI

1

2

2

=

+ntegrando una ve, obtenemos)

1

2

2C

x

Ldx

dyEI +

=

5o disponemos de ning?n dato sobre la pendiente de la viga, por lo que

no es posible en este momento determinar % $. 8ay que observar que no

existe simetr"a de cargas, por lo que no tenemos ra(n alguna para

esperar que la pendiente sea nula en el punto medio de la viga.

+ntegramos nuevamente, y obtenemos.

21

3

1

32CxC

x

L

MELy ++

=

En este momento ya podemos determinar las constantes de

integracin %$y %2, pues es evidente que la flecha es nula en el apoyoi(quierdo, esto es, que y x010 1. Sustituyendo estos valores de x e y en

la ecuacin 6 obtenemos 1 0 1 3 1 3 %2y %20 1

4dems, la flecha y es cero en el apoyo derecho, esto es, y x0!0

1. Sustituyendo estos valores de x e y en 6 hallamos que)

LCLL

M1

31

60 += y

6

11

LMC =

#or consiguiente, la elstica de la viga es)

xLM

L

xMELv

66

1

3

1 =

!a flecha mxima se produce en el punto en que la pendiente es nula, o

sea, en el que la tangente a la elstica es hori(ontal. #ara hallar la

$

2

6

6


14/36

coordenada x de este punto basta hacer igual a cero el primer miembro

de 2. Se obtiene)

620

1

2

1 LM

L

xM

= y 3L

x

=

#or tanto, la flecha mxima de la viga tiene lugar a la distancia 3/L en

la ecuacin 6, obteni'ndose)

27

3

3.

633.

6)(

2

11

3

1max

LMLlML

L

MyELy ==

06.na %i&a )im"lemente a"$a!a e)t/ )$meti!a a #n "ar M0( c$m$ )e

%i$ en el *r$-lema 0,. Tiene 0(41 m !e l$n&it#! )ecci?n c#a!ra!a!e 5 cm !e la!$. Si la fleca m/7ima a!mi)i-le e) !e 1(51 cm la

ten)i?n !e 0.611 &;cm2( allar el m/7im$ %al$r "$)i-le !e M0. T$ma

E 8 2(0 9 01: &;cm2.

#robablemente, lo ms sencillo es determinar dos valores de M $) uno

basado en la suposicin de que se cumple la condicin de flecha igual a

1,>1 cm y otro en la hiptesis de ser la tensin mxima en la barra de

$.711 1 cm.

*e acuerdo con la ecuacin 7 del #roblema $6, tenemos

36

2

1

)5)(5(12

1)10*1,2(27

3)180(50,0

M= y cmKgM = 300.261

4hora supondremos que en las fibras extremas de la viga, en el punto

de momento flector mximo, existe la tensin admisible de $.711


15/36

05.Determinar la el/)tica !e la %i&a )im"lemente a"$a!a( )$meti!a a

la car&a * ai)la!a #e )e m#e)tra en la fira.

Se adopta el sistema coordenado x-y que puede verse. !a l"nea gruesa

representa la forma de la viga deformada. #or la esttica, se halla

fcilmente que las reacciones tienen los valores)

I$0 #b/! y I20 #a/!

Este problema presenta una caracter"stica que le distingue de los

resueltos hasta ahora en este cap"tulo que consiste en la necesidad de

considerar dos ecuaciones distintas para el momento flector en la viga,

una de ellas vlida a la i(quierda de la carga #, y la otra a la derecha de

esta fuer(a. !a integracin de cada ecuacin da origen a dos constantes

de integracin, por lo que existen cuatro de estas constantes a

determinar, en lugar de dos como encontrbamos en los problemas que

hemos visto ahora.

En la parte de viga a la i(quierda de la fuer(a # tenemos el momento

factor M0 pb/lx para 1KaKa.

!a ecuacin diferencial de la clsica es, pues,

$ El xL

pb

dx

yd=

2

2para 1KxKa

!a primera integracin produce

2 El 1)2

2( Cx

L

pb

dx

dy+=

5o tenemos datos definidos sobre la pendiente dy/dx en ning?n

punto de esta (ona como la carga no esta aplicada en el centro de

la viga, no hay ninguna ra(n para suponer que la pendiente es

nula @0!2 sin embargo, tenemos establecer que la pendiente de

la viga bao el punto de aplicacin de la fuer(a # esta dada por

6 El 12

2)( C

L

pba

dx

dy+=

!a siguiente integracin de la ecuacin 2 da

7 Ely0 22)3

3(

2CxC

x

L

Pb++


16/36

En el apoyo i(quierdo, y01 sustituyendo estos valores en la

ecuacin 7 hallamos inmediatamente que %201.hay que

observar que no puede utili(arse la condicin y01 para x0! en 7,

pues la ecuacin $ no esta vlida en esta regin. #odemos

expresar la flecha en elpunto de aplicacin de la fuer(a # por

> El yxm 0 aCL

Pba2

6

3+

En la (ona de la derecha la fuer(a #, la ecuacin del

momento flector es M 0#b!x-#x-a para aKxK!.

tendremos, pues,

& El )(2

2 axPxLPb

dxyd = para aK x K!

!a primera integracin de esta ecuacin da

El 3

2

2)()

2

2( C

axPx

L

Pb

dx

dy+

=

4unque no podamos decir nada concreto sobre la pendientes en

esta parte la viga podemos expresar su valor en el punto de

aplicacin de la fuer(a # por

; El 32

2 2C

L

Pba

dx

dy

xm

+=

Lao la carga aislada #, la flecha dada por la ecuacin 6debe ser

igual a la obtenida de la ; , por lo que los dos segundos

miembros de esta ecuaciones han de ser iguales, y tendremos.

3

2

2C

L

Pb+ y 1C 0 3C

4hora puede integrarse la ecuacin , obteni'ndose

A Ely 0 3

33

6

)()

3(

2C

axPx

L

Pb+ @ 3 4C

#odemos representar la fecha bao la carga aislada por

$1 El ( ) aCL

Pbay xma 3

3

6+= 3 4C

!a flecha x0 a dada por > debe ser igual a la obtenida de $1,

por lo que los dos segundos miembros de esas ecuaciones han


17/36

de ser iguales y tendremos 43

3

2

3

66CaC

L

PbaaC

L

Pba++=+ como 1C

0 2C tenemos que 4C 01

4hora podemos sustituir la condicin y01 cuando @0! en la

ecuacin A, con lo que se obtiene.

10 LCPbPbL

3

32

66+ y )(

6

22

3 LbL

PbC =

*e este modo se han determinado las cuatro constantes de integracin.

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 7 y A se halla

7 Ely 0 [ ]xbLxL

Pb)(

6

223 para 1KxKa

y

A Ely 0

xbLax

b

Lx

L

Pb)()(

6

2233para aK x K !

#ara describir las flechas en la viga deformada son necesarias las dos

ecuaciones cada una de es validad solamente en la (ona indicada y no es

posible sustituir ambas por una ecuacin ?nica que contenga la variable x

elevada a distintas potencias que se cumpla en toda la longitud de la viga.

8ay que observa que las flechas indicadas por las ecuaciones 7 y A son

validas para cualquier punto de aplicacin de la carga #, es decir,

independiente de si # esta a la derecha o la i(quierda del centro de la viga.

0:. C$n)i!erar la %i&a )im"lemente a"$a!a !el "r$-lema 05 )i e) !e)ecci?n rectanlar !e 57 01cm *8 2111@&( c$n a8 0(21m -81(:1

m( !eterminar la fleca m/7ima )e trata !e acer$( "ar ael c#al E8

20701H @&;cm2

%omo aNb, es evidente que la flecha mxima se producir a la i(quierda de la

carga # tiene lugar en el punto en que la pendiente de la viga es nula.


18/36

+gualando a cero la pendiente, hallamos x0 .3/)( 22 bL . Esta es la posicin

en que la flecha es mxima. Su valor se obtiene sustituyendo este de x en la

ecuacin 7. #or tanto, la flecha mxima es

Elymax 0

2/32 )(27

3bL

L

Pb

#ara la seccin rectangular tenmos !0 >$16/$20 7$ cm7 adems, #02.111

9g. b0 &1cm, !0 $;1cm y E0 2,$x $1&9g/cm2,sustituyendo,

Fm0 cmx

239,0)60180()180)(27)(417(1021

30)60(000,2 4/3226

=

El signo negativo indica que en este punto el viga deformada esta por debao

del ee x

4plicado la frmula a0 5a/$ se halla que la tensin mxima, que se

produce bao la carga #, es de A&19g/m2, que es inferior al limite de

proporcionalidad del acero, por la que es vlido el uso de las ecuaciones.

0>. Determinar la ec#aci?n !e la el/)tica !e la %i&a en %$la!i'$ car&a!a

c$n #na car&a #nif$rmemente !e * @& "$r #ni!a! !e l$n&it#! )$-re

la "arte !e %i&a #e )e in!ica en la fira.#rimero tenemos que determinar las reacciones que eerce el muro de

comportamiento sobre la viga. #or la esttica se halla con facilidad que

son una fuer(a vertical de magnitud pa 9g, y un par de valor pa 2/2. para

describir el momento flector a lo largo de la viga son necesarias, tambi'n

dos ecuaciones.

#ara un punto situado baa la carga uniforme, a la distancia x del muro, el

momento flecto esta dado por

M0 pax=22

22pxpa

#ara obtener esta ecuacin, se sustituye la parte de cara uniforme de la

i(quierda de la seccin x por su resultante de px 9g, dirigida hacia abao

a la distancia x/2 del muro, de acuerdo con el criterio de signo adoptando

en el captulo &, el par pa2produce flexin negativa la ecuacin diferencial

de la parte cargada de viga se convierte en.


19/36

0 El2

2

dx

yd8 pax -

2

2pa=

2

2px para 1K x Ka

+ntegrando la primera ve( obtenemos.

2 Eldx

dy8 pa

2

2x =

2

2pax -

2

p

3

3x3 c$

%omo la barra est empotrada en el extremo derecho x-o. Sabemos que la

pendiente dy/dx debe ser nula all". Sustituyendo esos valores en la ecuacin

2, hallamos %$01. +ntegrando nuevamente se halla.

, Ely 0 2pa

33x

- 22pa

22x

- 6p

44x

3 %2

!a flecha y la viga es nula en el muro, donde x01. Sustituyendo en 6,

obtenemos %2 - 1, por lo que la ecuacin de la viga flexada en la (ona cargada

es)

6 Ely 06

pax2 -

4

2pax2 -

24

px7

Seg?n la ecuacin 7 la flecha y en x 0 a est dada por

5 El y x0a 0 = pa7/;

4dems, por la ecuacin 2, la pendiente dy/dx en x 0 a vale

: El dy/dx x0a 0 - pa6/&

En una seccin cualquiera de la parte de viga no cargada, es decir, aKxKl,

momento flector es nulo como se ve fcilmente considerando los momentos de

las fuer(as situadas a su derecha, respecto a un ee por esta seccin,

perpendicular al plano del papel. %omo no hay ninguna carga a la derecha, el

momento es nulo en todos los puntos de esta (ona. 4s", pues, en ella tenemos)

El2

2

dx

yd8 1 para aK x K !

+ntegrando una ve( tenemos)

> Eldx

dy8 %6


20/36

!a constante %6puede calcularse teniendo en cuenta que la pendiente dy/dx

en x 0 a es la misma para las (onas cargada y sin carga de la viga por lo que el

valor de la pendiente en este punto, dado por la ecuacin para la (ona cargada

ha de ser igual al obtenido por la ecuacin de la sin carga. En la ecuacin &

se hall la pendiente en la (ona cargada en x 0 a. Seg?n la , la pendiente

en la (ona no cargada es una constante %6. +gualando los segundos miembros

de esas dos expresiones, tenemos %6 0 - pa6/&. #or lo tanto, en la parte no

cargada, la pendiente es)

> Eldx

yd28 =

6

3pa

+ntegrando, obtenemos)

4 Ely 06

3pa3 %7

#uede calcularse la constante %7teniendo en cuenta que en el punto x 0 c la

flecha, dada por la ecuacin >, debe ser igual a lo obtenido por ; para la

(ona no cargada. +gualando los segundos miembros de ambas ecuaciones en

el punto com?n x 0 a, tenemos %70 pa7/27.

#or tanto, para describir la clsica en las (onas cargadas y sin cargas de la

viga son necesarias dos ecuaciones, que son)

6 Ely 06

pax6-

4

2pax2-

24

px7para 1 K x K a

4 Ely 06

2pa para a K x K !

Gbservando la ecuacin B se ve que la pendiente de la viga es constante en

la regin no cargada, por lo que en ella la viga flexada es recta.

04.= Determinar la ec#aci?n !e la cl/)tica !e la %i&a en %$la!i'$ car&a!a

c$n #na car&a #nif$rmemente re"re)enta!a !e " @&. *$r #ni!a! !e

l$n&it#! #na f#er'a ai)la!a " a"lica!a c$m$ )e m#e)tra en la fira

!a viga deformada tiene el aspecto que indica la l"nea gruesa. Se adopta el

sistema de coordenadas x-y representado. Jn procedimiento lgico de resolver

este problema consiste en determinar las reacciones en el muro, escribir a


21/36

continuacin la diferencial de la elstica, integrar dos veces y determinar las

constantes de integracin por las condiciones de pendiente y flechas nulas en

el muro.

Este procedimiento se ha aplicado ya en el problema 2, cuando solo act?a en la

viga la carga aislada, y en el & si solo act?a la uniformemente repartida. En la

ecuacin 6 del problema 2, se hall que la flecha y debida solamente a la carga

aislada es)

0 Ely 0 - #!2

2x3

6

3px

En 6B del problema & se vio que, debido solo a la carga uniforme, y vale

2 Ely 0 -24

p!- @7-

6

3plx 3

24

4pL

%uando estas dos cargas act?an simultneamente puede hallarse el ciecto

resultante solo con sumar los efectos de cada un cuando lo hacen por separado.

Es lo que se llama M'todo de superposicin de efectos, que es muy ?til para

determinar las flechas en las vigas sometidas a diversas cargas, como en este

caso. En esencia, en utili(ar los resultados de problemas de flecha sencillos para

hallar la solucin de otros ms complicados. 5o es pues, un m'todo

independiente de deformacin de deformaciones.

#or este m'todo puede obtenerse la flecha en un punto cualquiera de una viga

sometida a una combinacin de cargas, mediante la suma de las flechas en ese

punto por cada una de las cargas al actuar por separado. #or tanto, la ecuacin

final de la elstica resultante de una combinacin de cargas se obtiene sumando

las elsticas de cada carga.

#ara esta viga, la elstica final se obtiene simplemente sumando las ecuaciones

$ y 2. !a flecha resultante y debida a las dos cargas est dada por)

, Ely 0 - #!2

2x3

6

3px=

24

p! = x7 -

6

3pLx 3

24

4pL

!a pendiente dy/dx en un punto cualquiera de la viga se halla diferenciando

ambos miembros de la ecuacin 6 con respecto a x.


22/36

El m'todo de la superposicin de efectos es vlido en todos los casos en que

hay una relacin lineal entre toda carga separada y la flecha que produce.

0.=La %i&a en %$la!i'$ !el "r$-lema 04 e) #n "erfil !e ala anca 3 221 !e

,m. ( !e l$n&it#!. La car&a ai)la!a en el e7trem$ li-re e) !e 2(11 @&.(

la %i&a )$"$rta a!em/) #na ca"a #nif$rme !e :11 @&.m( incl#i!$ )#

"e)$ "r$"i$.

Determinar la fleca en #n "#nt$ a 2(51 m.( !el m#r$ !e

em"$tramient$( la ten)i?n m/7ima en la %i&a. T$mar E 8 2(0 7 01: @&.

cm2.

#or la tabla del cap"tulo ; hallamos que el momento de inercia respecto al ee

neutro de este perfil es ;,1>1 cm7.

%on el sistema de coordenadas del problema $; queremos calcular la flecha

en 7 0 2,>1 m. 0 2>1 cm. Cenemos, adems ! 0 611 cm. #0 2,11 9g, p 0 &11 9g

cm. Sustituyendo estos valores en la ecuacin 6 del problema $;, tenemos)

2.$ x $17;,1>1 OyP x0 2,> m.0 -2,111 611

2

)250( 2

3 2,111

6

)250( 4

=

24

6 611-

2>17=6

)250()300(6 3

324

)300(6 4

.

ue resulta da OyP x 0 2,> m.0 - $,1; cm. El signo negativo indica que la viga

deformada est por debao del ee 7( que corresponde con la forma original

antes de la flexin.

El momento flector mximo se determina con facilidad considerando los

problemas $ y 2 del cap"tulo &.*e acuerdo con el $ debido a la carga aislada de 2,111 9g., el momento mximo

en esta viga es 2,1116 0 &,111 9g.m.

Seg?n el problema 2, el producto por la carga uniforme solo tiene lugar en el

muro y su valor es de &116 $,>1 0 2,11 9g-m. #ara determinar las tensiones,

tambi'n se puede utili(ar el m'todo de superposicin, y de acuerdo con 'l, el

momento flector resultante vale &,111 3 2,11 0 ;,11 9g-m. !a tensin mxima


23/36

por flexin se produce en las fibras extremas de la seccin contigua al muro, en

al que es mximo el momento, y est dada por o 0 Mv/+. Sustituyendo.

max 0050,8

)11)(100(700,88 $,$A1 9g/cm2

%omo la tensin mxima es inferior al l"mite de proporcionalidad del acero, es

vlido el empleo de la ecuacin de la elstica.

21.=Determinar la el/)tica !e la %i&a )im"lemente a"$a!a )$meti!a al "ar

M( !e la fira a.

En el problema A del cap"tulo & se han estudiado las reacciones y la ecuacin

del momento flector para este tipo de carga. Seg?n se desarroll all", lasreacciones deben constituir un par, como se ve en la fig. b. #or la esttica,

tenemos)

Q M40 M$= I! 0 1 y I 0 M$/!

%on l"nea gruesa se muestra la forma de la viga flexada.

El ee 7 coincide con la posicin original, sin flexar, de la barra. El momento

flector en la regin a la i(quierda de M, es, evidentemente.

0 M 0 - Ix para 1K x K a

Mientras que a la derecha de M, el momento est dado por

2 M 0 -Ix para a K x K !

El par M, produce un momento flector positivo, pues si actuaran 'l solo en la

regin L%, producir"a una flexin como la indicada en el croquis adunto que, de

acuerdo con el criterio de signos del cap"tulo &, constituye una flexin positiva,

por cuyo motivo aparece M$con signo ms en la ecuacin 2.

!a ecuacin diferencial de la parte de la viga flexada a la i(quierda de M, es)

, El2

2

dx

yd8 = Ix para a K xK a

+ntegrando una ve( tenemos)

6 Eldx

dy8 = I

2

2x3 %6

%omo no tenemos datos definidos sobre la pendiente en esa (ona no podemos

calcular %6, inmediatamente, pero si podemos decir que su valor en el punto de

aplicacin del par M$ es)


24/36

5 El dx

dyx 0 a 0 - I

2

2a3 %$

!a integracin de la ecuacin 7 da)

: E+y 0 -2

R 3

3x 3 %$x 3 %2

Es evidente que la flecha es nula en el apoyo i(quierdo, donde x 01.

Sustituyendo este valor y x01 0 1 en la ecuacin &, obtenemos 1 0 1 3 1 3 %2,

y %20 1.

! a ecuacin diferencial de la parte de viga flexada a la derecha de M$es)

> E+2

2

dx

yd8-Ix 3 M$ para a K x K !

+ntegrando la primera ve(, tenemos)

4 E+dx

dy0 -I

2

2x3 M$x 3 %6

Campoco esta ve( tenemos datos concretos de la pendiente en esta parte, pero

podemos decir que en el punto de aplicacin de M$ tiene el valor)

E+ dx

dyx 0 a 0 -I

2

2a

3 M$a 3 %6

#ero la pendiente de la viga en el punto de aplicacin de M$tiene un valor ?nico,

representado por los segundos miembros de las ecuaciones > y A.

+gualndolos, para indicar que esas dos expresiones de la pendiente en el punto

com?n son equivalentes, tenemos.

01 -I2

2a

3 %$ 0 -I2

2a

3 M$a 3%6 y %$ 0 M$a 3 %6

!a segunda integracin de la ecuacin ; produce)

00 E+y 0 - 2R

33x

3 M$ 2

2x

3 %6x 3 %7

02 1 0 -6

3RL3 M$

2

2L3 %6! 3 %7

#ara determinar todas las constantes de integracin se necesita otra ecuacin

ms. Es la que establece que la flecha de la viga en el punto de aplicacin de M $

es la misma, tanto si se calcula por la ecuacin de la parte i(quierda de la viga

como por la derecha. 8ay que recalcar que no existe motivo para suponer que


25/36

la flecha es nula en el punto de aplicacin del par. Sustituyendo x 0 a en & y

$$, e igualando los segundos miembros, obtenemos)

0, -6

3Ra3 %$a 0 -

6

3Ra3 M$

2

2a

3 %6a 3 %7 y %$a 0 M$2

2a

3

%6a 3 %7

Iesolviendo el sistema formado por las ecuaciones $1, $2 y $6, tenemos)

%$ 0 -3

1LM 3 M$a -L

aM

2

2

1 ( %6 0 -3

1LM =L

aM

2

2

1 ( %7 0

2

2

1aM

Sustituyendo esos valores en las ecuaciones & y $$, obtenemos las dos

necesarias para describir la clsica de la viga flexada)

06 E+y 0 -L

xM

6

3

1 =3

1lLxM 3L

xaM

2

2

1 para 1 K x

K a

05

22226

2

1

2

11

2

1

3

1 aM

L

xaMLxMxM

L

xMEly ++= para aKxK!

En resumen, para definir el momento flector a lo largo de toda la viga eran

necesarias dos ecuaciones, por lo que hay que integrar dos ecuaciones

diferenciales de segundo orden y en la solucin de cada una de ellas aparecen

dos constantes de integracin, en total cuatro, y habr que aplicar cuatro

condiciones de l"mites para determinarlas. Estas condiciones son)

a y 0 1 cuando x 0 1.

- y 0 1 cuando x 0 !

c %uando x0a, las flechas por & y $$ son iguales

! %uando x0a, las pendientes dadas por las ecuaciones 7 y ; son iguales

20.En la %i&a )im"lemente a"$a!a !el "r$-lema 21( t$mar M08251&=m( a

8 ,m -8 2m. la -arra e) !e acer$( c$n E 8 2(0 9 01:&;cm2 tiene

)ecci?n rectanlar !e 69 cm. Determinar


26/36

a !a flecha en el punto de aplicacin de M$

- !a flecha en x0$,> m

c !a flecha en x07m

a #ara calcular la flecha en el punto de aplicacin del par de 2>1 9g-m,

podemos utili(ar las ecuaciones $7 o $> del problema 21, con x 0 6 m.

%omo la $7 es ms sencilla, ser la que escoamos. Sustituyendo los

valores x 0 6 m 0 611 cm, !0 > m, M$0 2>1 9g-cm e + 0 7 A6/$2 0 276cm7

en la ecuacin $7, tenemos)

2, $ x $1&276 OyP y 0 6m. 0)500(6

)300(000.25 3

-3

)300)(500(000.253 2>.1116112 -

)500(2

)300(000.25 3

F despeando, OyP x 0 6m 0 1,$A7 cm.

b #ara calcular la flecha en x 0 $,>m se puede utili(ar la ecuacin $7 del

problema 21. Sustituyendo en ella x 0 $,>m 0 $>1 cm, a 0611 cm, ! 0 >11

cm, M$ 0 2>.111 9g-cm e + 0 276 cm7, tenemos)

2,$ x $1&276 OyPx0$,> 0)500(6

)150(000.25 3

-3

)150)(500(000.253 2>.111611 $>1 -

)500(2

)150)(300(000.25

F despeando, OyP x 0 $,> m 0 1,2&6 cm.

c #ara calcular la flecha en x 0 7 m, podemos usar la ecuacin $> del

problema 21. Sustituyendo en ella x 0 7m 0 711 cm, a 0 611 cm, ! 0 >11

cm, M$0 2>.111 9g-cm e + 0 276 cm7, se halla.


27/36

2,$ x $1&276 OyPx07 m 0)500(6

)400(000.25 3

-2

)400(000.25 23

3

)400)(500(000.25-

)500(2

)400()300(000.25 2

3

2

)300(000.25 2

F despeando, OyP x 07m 0 1,17A cm.

En el problema A del cap"tulo & se determin ya el diagrama del momento

flector de esta viga. Se vio que el mximo momento es de $>1 9g, en la seccininmediata a la i(quierda del par aplicado. !a tensin mxima en la viga se

produce en las fibras externas de esta seccin y est dada por)

01

M

omax. 0( ) ( )243

5,41001508 2 9g/cm2

%omo este valor e s inferior al l"mite de proporcionalidad del acero, era

admisible el uso de las ecuaciones de la flecha.

22.= Determinar la ec#aci?n !e la el/)tica "ara la %i&a c$n e7trem$)

%$la!$)( car&a!a c$n !$) f#er'a) iale)( re"re)enta!a en la fira.

Se adopta el sistema de coordenadas x-y representado, con el ee x que

coincide con la posicin primitiva de la barra, sin flexar. El hecho de flexar

el extremo i(quierdo de la barra desde el sistema de coordenadas no

presenta nuevas dificultades. #or la simetr"a resulta evidente que cada

apoyo eerce sobre la viga una fuer(a #.

El momento flector en la parte volada de la i(quierda est dado por)

M 0 -#x para 1 K x K a

F la ecuacin diferencial de la viga deformada es, en esta (ona.


28/36

0 E+2

2

dx

yd8 =#x para 1 K x K a

!a primera integracin de esta ecuacin produce)

2 E+dx

dy0 -#

2

2x3 %$

En esta regin no conocemos nada de la pendiente dy/dx. En particular, debe

observarse que no existe ustificacin para suponer que sea nula en el punto de

apoyo, x 0 a. #odemos expresar la pendiente en 'l por la notacin)

, E+dx

dyx 0 a 0 -#

2

2a3 %$

!a siguiente integracin da)

6 E+y 0 -2

P

3

3x3 %$x 3 %$

%omo la viga est articulada en el apoyo, sabemos que la flecha en 'l es 1, es

decir, que y x 0 a 0 1. Sustituyendo y 0 1 cuando x 0 a en al ecuacin 7,

hallamos)

5 1 0 -6

3pa3 %$a 3 %2

El momento flector en la parte central de la viga, entre apoyos, es M 0 -#a, y la

ecuacin diferencial de la viga flexada en esta parte central.

: E+2

2

dx

yd8 -#a para a K x K !-a

+ntegrando, obtenemos)

> E+dx

dy0 -#ax 3 %6

#or la simetr"a de cargas resulta evidente que la pendiente dy/dx ha de ser nula

en e punto de la barra. #or tanto, dy/dx x 0 !/20 1, y sustituyendo estos valores

de x y dy/dx en , halla)

4 1 0-#a2

L3 %6 y %60

2

PaL

4dems, por la ecuacin podemos decir que la pendiente de la viga en el

apoyo i(quierdo, x 0 a, se obtiene sustituyendo x 0 a en dicha ecuacin lo que

da)


29/36

E+

dx

dyx 0 a 0 -#a

2 32

PaL

#ero la pendiente dy/dx obtenida por esta ecuacin debe ser iguala la dada por

la 6, pues la barra flexada ha de tener en ese punto la misma pendiente,

independientemente de la ecuacin que se considere. +gualando los segundos

miembros de 6 y A, tenemos)

01 -2

2pa

3 %$0 -#a23

2

paL

F

00 %6 02

2pa

32

paL

Sustituyendo este valor de %$en la ecuacin > hallamos)

02 18 =6

3pa-

2

3pa3

2

2Lpa3 %2 y %60

3

2 3pa=

2

2Lpa

!a integracin de la ecuacin produce)

0, E+y 0 -#a2

2x3

2

paLx 3 %7

Cambi'n ahora podemos decir que la flecha es nula en el apoyo i(quierdo,

donde x 0 a. 4unque esta misma condicin se utili( ya para obtener la

ecuacin >, no hay ninguna ra(n para no poderla usar de nuevo. En

realidad, su empleo es esencial para hallar la constante %7 de la ecuacin $6.

Sustituyendo y x 0 a 0 1 en $6, obtenemos)

06 1 0 -2

3pa3

2

2Lpa3 %7 y %70

2

3pa=

2

2Lpa

#or tanto, para definir el momento flector en las (onas i(quierda y central de la

viga, se necesitaron dos ecuaciones. %ada una de ellas se us en unin de la

ecuacin diferencial de segundo orden que describe la viga felxada, por lo que

la resolver cada una de estas dos ecuaciones aparecieron dos constantes de

integracin. 8ubo que utili(ar, para determinar esas cuatro constantes a

pendientes y flechas.

Esas condiciones fueron)

a %uando x 0 a, y 0 1 para la parte volada de la viga.

b %uando x 0 a, y 0 1 para la parte central de la viga.

c %uando x 0 !/2, dy/dx 0 1 para la parte central de la viga.


30/36

d %uando x 0 a, la pendiente dy/dx es la misma para la clsica a uno y

otro lado del apoyo.

Rinalmente, pueden escribirse las ecuaciones de la elstica en las formas)

05 E+y 0 -6

Px6 -

2

2xpa3

2

PaLx3

3

2 3pa-

2

2LPa

para

1 K x K a

F

0: E+y 0 -2

2Pax

32

PaLx3

2

3pa-

2

2LPapara a K x K ! =

a

#or simetr"a, no es necesario escribir la ecuacin dela elstica en la parte

volada de la derecha.

2,.= En la %i&a c$n e7trem$) %$la!$) !el "r$-lema 22( ca!a f#er'a * e) !e

2111 @&J la !i)tancia !e a e) !e 1(1 m( la l$n&it#! L !e 6(41 m. La

-arra e) !e acer$( !e )ecci?n circ#lar !e 01 cm( !e !i/metr$.

Determinar la fleca -a+$ ca!a car&a * la !el centr$ !e la %i&a.

T$mar E 8 2(0 7 01:@&;cm2.

El momento de inercia est dado por + 064

R$17 0 7A$cm7 seg?n el

problema $$ del cap"tulo . 4dems tenemos que a 0 1,A1 m 0 A1 cm, !0

7,;1 cm. !a flecha en cualquier punto de la parte volada de la i(quierda

est dada por la ecuacin $> del problema 22. Lao la carga aislada #, es

x 0 1, y sustituyendo en $>, obtenemos)

2,$ x $1&7A OyPx01 0

3

)90)(2000(2 3

-

2

)480()90(2000 2

y OyP x 0 1 0

-2,;6 cm.

!a flecha en cualquier punto de la parte central de la viga, entre los apoyos,

est dada ppoe la ecuacin $& del problema 22. En el centro tenemos x 0

2,71 cm y, como antes, a 0 A1 cm., ! 07;1 cm. y # 0 2.111 9g. Sustituyendo en

la ecuacin $&, hallamos)


31/36

[ ]2

)480()90(2000

2

)90(2000

2

)240)(480)(90(2000

2

)240)(90(2000)491(10*1,2

232

4,2

6 ++==xy

F despeando OyP x02,7 0$,A& cm

!a tensin mxima se produce en las fibras extremas de la barra en todos los

puntos entre los apoyos, pues el momento flector tiene el valor constante de

21111,A1 0$;11


32/36

1

3

32C

xP

dx

dyEI +

=

21

4

46CxC

xP

dx

dyEIy ++

=

!a ecuacin del momento flector en la (ona entre apoyos es

)(2

1

2

axRpx

M += , por lo que la ecuacin diferencial de la viga flexada es,

en esta (ona,

)(22

22

2

2

axb

plpx

dx

ydELy += para a K x K !

*os integraciones de esta ecuacin producen)

3

223

2

)(

232C

ax

b

pLxp

dx

dyEI +

+

=

43

324

3

)(

446CxC

ax

b

pLxpEIy ++

+

=

%omo hemos partido de las ecuaciones diferenciales de segundo orden $ y

7 y de cada una de ellas aparecen dos constantes de integracin, hemos

encontrado cuatro constantes, %$, %2, %6 y %7, que hemos de calcular en

funcin de las condiciones de flechas y pendientes que conocemos. Estas son)

a %uando x0a, y01 en la parte volada

b %uando x0a, y01 en la parte entre apoyos

c %uando x0!, y01 en la parte entre apoyos

d %uando x0a, la pendiente dada por la ecuacin 2 ha de ser igual

a la obtenida de >, por lo que sustituyendo la condicin a en la

ecuacin 6, obtenemos)

21

424/0 CaCpa ++=

Sustituyendo la condicin b en la ecuacin &, hallamos)

2

,

6

5

:

>

4


33/36

43

4 24/0 CaCpa ++=

Sustituyendo la condicin c en la ecuacin &, hallamos)

43

22412/24/0 CLCbpLpL +++=

Rinalmente, igualando las pendientes en la reaccin i(quierda, sustituyendo

x0a en los segundos miembros de las ecuaciones 2 y >, obtenemos)

3

3

1

36/6/ CpaCpa +=+

Gbs'rvese que no hay ra(n para suponer que la pendiente es nula en el apoyo

i(quierdo, x0a

4hora podemos resolver ya el sistema formado por estas cuatro ?ltimas

ecuaciones , ;, A y $1 y hallar las incgnitas %$, %2, %6y %7. Se halla que

1224

)( 244

31

bpL

b

aLpCC

==

1224

)(

24

2444

42

abpL

b

aaLppaCC +

==

Sustituyendo estos valores de las constantes en 6 y &, se hallan las dos

ecuaciones que describen la elstica de la viga. Estas ecuaciones pueden

escribirse en la forma final.

1224

)(

241224

)(

24

24442444 abpL

b

aaLppabxpL

b

xaLppxELy +

+

+= para 1 K x

K a

1224

)(

241224

)(

12

)(

24

2444244324abpL

b

aaLppabxpL

b

xaLp

b

axpLpxELy +

+

+

+= para

aKxK!

01

00

,K

:K


34/36

25. *ara la %i&a c$n #n e7trem$ %$la!$ !el "r$-lema 26( c$n)i!erar #e la

car&a #nif$rme e) !e 0:1 &;m( a 8 0 m - 8 6 m. La -arra e) !e

)ecci?n rectanlar( !e 902 cm. Determinar la fleca m/7ima. T$mar E

8 2(0 9 01:&;cm2.

En el problema 27 se muestra una representacin aproximada de la viga

flexada. El punto en el que se produce la flecha mxima no es evidente, pues

puede estar en el extremo i(quierdo de la viga, en que x 0 1, o en alg?n

punto intermedio entre los apoyos. Si tiene lugar entre los apoyos no ser

normal que sea en el punto medio, pues no existe simetr"a en el sistema,

pero podremos determinar la situacin hallando el punto en que es cero la

pendiente de la viga. En cualquier punto de esta regin entre apoyos la

pendiente est dada por la ecuacin > del #roblema 27, y haciendo igual a

cero el valor de dy/dx dado por esta ecuacin y tomando el valor de % 6dado

por la ecuacin $$ hallamos)

1224

)(

4

)(

60

244223bpL

b

aLp

b

axpLpx

+

+=

Sustituyendo p 0 $&1 cm 0 6,1> m, que es el punto en

que la pendiente es nula, la flecha en x 0 61> cm puede hallarse sustituyendo

este valor en la ecuacin & del #roblema 27, obteni'ndose la relacin)

[ ])400(24

)305()100()500(6,1

)400(12

)100305()500(6,1

24

)305(6,1)12)(9(

12

1)10*1,2(

44324

305

36 +

+==xy

[ ]12

)400)(100()500(6,1

)400(24

)100()100()500(6,1

24

)100(6,1

12

)305)(400()500(6,1 24442

+

+


35/36

F despeando, OyP x061>0 -1,$ cm

El m'todo de clculo consiste en igualar a cero la primera derivada dy/dx para

determinar la posicin del punto en que el valor de a funcin es mximo no sirve

para determinar una flecha mxima que pueda existir en un punto como x 0 1,

por lo que habr que hallar el valor de la flecha en 'l. Sustituyendo x 01 en la

ecuacin 6 del problema 27 hallamos)

[ ] [ ]

12

)400)(100()500(6,1

)400(24

)100()100()500(6,1

24

)100(6,1)12)(9(

12

1)10*1,2(

2444

0

36 +

==xy

F despeando, OyP x010 31,$$ cm

#or tanto, la forma de la elstica supuesta en la figura del problema 27 es

incorrecta en la (ona volada, para esta viga particular. En la realidad, en esta

(ona la viga flexia hacia rriba: para otros valores de a y b ser"a posible que lo

hiciera en la forma representada.

!a flecha mxima de la viga es, pues de 1,$ cm hacia abao en el punto 6,1> m

del extremo i(quierdo.

En el problema $6 del %ap"tulo & se estudi el diagrama de momentos flectoresde esta viga y se vio que el mximo es de 2;1


36/36

2>. C$n)i!erar la %i&a en %$la!i'$ car&a!a #nif$rmemente !el "r$-lema :.

La car&a t$tal e) !e 2.111 &. L 8 , m( el m$ment$ !e inercia !e la

)ecci?n %ale >(411 cm6. 3allar la fleca m/7ima !e la %i&a S$l. =1(60 cm(

=1.1104 ra!.

24. Se #tili'a #n "erfil 3 041 c$m$ %i&a )im"lemente a"$a!a. Tiene 6 m !e

l$n&it#! )$"$rta #na car&a #nif$rmemente re"arti!a !e :.11 &.

Determinar la fleca m/7ima. T$ma E 8 2(0901:&;cm2. 3allar tam-in

la ten)i?n m/7ima en la %i&a. S$l. =1(:2 cm( >16 &;cm2

2. C$n)i!erar la %i&a )im"lemente a"$a!a )$meti!a a #na car&a en el

centr$ *( e)t#!ia!a en el *r$-lema 01. La l$n&it#! !e la %i&a e) !e :m(

la f#er'a * !e 02.11 & I 8 ,,.>51 cm 6 E 8 2(0901: &;cm2. Determinarla fleca m/7ima. S$l. =1(>:2 cm

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