Integración Doble

8/17/2019 Integración Doble

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CALCULO VECTORIAL


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Una integral definida bidimensionalmente es conocida simplementecomo la integral doble de una función f de dos variables.

Pasos analógicos que conducen a la integral doble: z= f (x,y)

1. Sea f una función definida en una región cerrada y acotada R.

2. Por medio de una retícula de líneas verticales y horizontalesparalelas a los ejes coordenados, se hace una partición P de Rcompuesta de n subregiones rectangulares de áreas ∆ quese encuentran completamente en R.

3.Sea la norma de la partición o la longitud de la diagonal maslarga de .

4. Elíjase un punto ∗ , ∗ en cada subregión .5. Genérese la suma

−

∗ , ∗ ∆ .


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Sea f una función de dos variables definida en una región cerrada R. entonces, laintegral doble de f sobre R viene dada por:

, lim →=

∗ , ∗ ∆ .

Integrabilidad: Si existe el limite en la ec. anterior, se dice que f es integrablesobre R, y que R es la región de integración. Cuando f es continua en R, entonces f es

necesariamente integrable sobre R.

Área: Cuando , 1 en R, entonceslim →=

∗ , ∗ ∆

Simplemente proporciona el área A de la región;

,


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Volumen: Si , ≥ 0 en R, entonces, como se muestra en la fig.3.69, el producto ∗ , ∗ ∆ se interpreta como el volumen de unprisma rectangular de altura

∗

, ∗ y base de área

∆. La suma

de volúmenes es una aproximación al volumen V del solido porencima de la región R y por debajo de la superficie z( ,). Ellimite de esta suma cuando → 0, si existe, da el volumen exactode este solido; esto es, si f no es negativo en R, entonces:

,


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Sean f y g funciones de dos variables que son integrables sobreuna región R. Entonces:

1. ,

, , donde es cualquier constante

2.

, ± ,

, ±

,

3. ,

, ±

, ,

Donde

son subregiones de R

que no se traslapan, y R ∪ .


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Regiones tipo I y II: La región mostrada en la fig. 3.71 a),: ≤ ≤ , ≤ ≤ ,

donde las funciones de frontera son continuas, se denomina unaregión tipo I. En la fig. 3.71 b) la región

: ≤ ≤ , ℎ ≤ ≤ ℎ ,

Donde ℎ ℎ son continuas, se denomina una región tipo II.


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Como la integral parcial:

()

() ,

es una función de x únicamente, se puede integrar a su vez la función

resultante respecto a x. Si f es continua en una región tipo I, la integral iteradade f sobre la región se define como:

()

() ,

()

() , ,

La idea básica es llevar a cabo integraciones sucesivas. La integral parcialproporciona una función de x, que se integra en forma usual desde x = ahasta x = b. El resultado final de ambas integraciones es un número real. Sedefine la integral iterada de una función continua f sobre una región tipo IIcomo:

()

() ,

()

() , ,


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Las integrales iteradas proporcionan los medios para calcular unaintegral doble:

,

sobre una región tipo I o tipo II, o bien una región que se exprese comola unión de un número finito de estas regiones.

Sea f una función continua en una región R.

a) Si R es tipo I, entonces

,

()() ,

b) Si R es tipo II, entonces

,

()

()

,


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Sea R una región tipo I y z = f(x, y) una función continua y no negativa en R.El área A del plano vertical, como se muestra en la figura 3.72, es el áreabajo la traza de la superficie z = f(x, y), en el plano x = constante y, porende, viene dada por la integral parcial:

() ()

() ,

Sumando todas estas áreas desde x = a hasta x = b, se tiene el volumen Vdel sólido por encima de R y por debajo de la superficie:

()

() ,

o por la integral doble

,


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Ejemplo 1

Determine el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide

elíptico

1 0 +

+ 3 y abajo por el rectángulo

: 0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2.

10+ + 3

10+ + 3

10+ + ==

[ 10 2 + 2 + 2 0]

20+2 + 8 20 + 23 + 8

(20 1 + 23 1 + 8 1 ) 0 2823


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Ejemplo 2

Calcule para ,

, 100 6 : 0 ≤ ≤ 2,1 ≤ ≤ 1. ,

−

100+6

− 100+2 ==

−[ 100 2 + 2(2) 0]

−

200 16 200 8 −

(200 1 8(1) (200 1 8 1 192 200 8192+208 400


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Al invertir el orden de integración obtenemos la mismarespuesta:

,

− 100+6

100+ 6

2

=−

=

[ 100 3 100 3 ]

[100+100]

200400

[ 100 1 + 3 1 1 (100 1 + 3 1 1 ]


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Ejemplo 3.

Evalúe la integral iterada

2

(2)(

2 )

(4) − 0

2

16

(16

2 ) 8 8(2)8(1)

32 8 24


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Cálculo Varias Variables, Decimosegunda edición, George B.Thomas, Jr. (pag., 840).

Calculo Vectorial, Análisis de Fourier y Análisis Complejo, Tercera

Edición, Dennis G. Zill, Michael R. Cullen (pag., 209-212).


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Ejemplo 1,2,3. Pag 840, Cálculo Varias Variables.

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