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7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER 1
SERIES DEFOURIER
Cours
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
2/28
SERIES DE FOURIER2
I. INTRODUCTION
1. Dfinition d'une srie
2. Dfinition de la dcomposition en srie de Fourier
3. Rappels et conditions de Dirichlet
4. Expression de la dcomposition en srie de Fourier5. Convergence (Thorme de Dirichlet)
6. Utilisation de la dcomposition en srie de Fourier
II. EXPRESSIONS MATHEMATIQUES
1. Calcul de a0
2. Forme algbrique de la dcomposition en srie de Fourier
3. Forme polaire de la dcomposition en srie de Fourier
4. Forme complexe de la dcomposition en srie de Fourier
5. ExemplesIII. PROPRIETES ET OPERATIONS
1. Somme de fonctions
2. Parit des fonctions
3. Thorme du glissement
4. Drivation et intgration d'une srie de Fourier
5. Relations de Parseval
6. Spectre d'une fonction priodique diffrentes reprsentations
7. Taux de distorsion harmoniqueIV. Application au gnie lectrique
1. Signaux lectriques non sinusodaux
2. Les puissances
3. Les mesures
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SERIES DE FOURIER 3
I. INTRODUCTION
1. Dfinition dune srie
En mathmatiques, la srie constitue une gnralisation de la notion de somme,
pour une succession infinie de termes. L'tude des sries consiste effectuer lasomme d'un nombre fini n de termes successifs, puis observer le comportementlorsque n devient indfiniment grand, par un calcul de limite. Un certain nombre demthodes permettent de dterminer la nature (convergence ou non) des sries sansraliser explicitement ces deux calculs.
Exemple : LL +++++=
i210
0nn aaaaa : srie de terme gnral an.
Une srie trigonomtrique est une srie dont le terme gnral est une fonctiontrigonomtrique dont la frquence varie selon lindice n.
Exemple : ( ) ( ) ( ) ( ) LL +++++=
ticosat2cosatcosaatncosa i210
0nn
2. Dfinition de la dcomposition en srie de Fourier
Dans la plupart des domaines de la physique, en lectricit, optique, acoustique,thermique, mcanique, ... on a souvent affaire des fonctions priodiques, mais deforme quelconque.
Nous allons montrer que sous certaines conditions, on peut considrer ces signaux
comme la superposition de fonctions priodiques simples que sont les fonctionssinus et cosinus. Le signal apparait alors comme la somme d'une srietrigonomtrique appele srie de Fourier.
3. Rappels et Conditions de Dirichlet
Pour tre dveloppable en srie de Fourier, une fonction f(t) doit :
- tre priodique, de priode T, de pulsationT
2= , telle que f(t+T) = f(t) pour tout t,
- tre dfinie dans un intervalle
2
T,
2
T,
- vrifier les conditions dites de Dirichlet qui sont les suivantes :
Ne possder que des discontinuits de premire espce (sauts finis) c'est
dire des points tels que )(f)(f + (valeur droite diffrente de la valeur
gauche), en nombre fini dans l'intervalle de la priode T.
N'avoir qu'un nombre fini de maxima et de minima dans T.
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER4
Partout o f(t) est continue, sa drive f(t) doit tre borne, autrement dit ilne faut pas que f(t) prsente de points tangente verticale sauf auxdiscontinuits.
Exemples : Les fonctions suivantes sont trs couramment rencontres dans le
domaine du gnie lectrique et sont toutes dcomposables en srie deFourier
Fonction "carr" (appele aussi "rectangle "ou "mandre")
0T/2-T/2 T t
f(t)
0T/2-T/2 T t
f(t)
0T/2-T/2 T
t
f(t)
Fonction "dent de scie"
0T-T 2T t
f(t)
0T-T 2T t
f(t)
Fonction "triangle"
0T/2-T/2 T t
f(t)
0T-T T/2 t
f(t)
-T/2
T/2 t
f(t)
-T/2 0
Fonction "trapze"
0 T/2-T/2 T t
f(t)
0 T--T T t
f(t)
-T-
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SERIES DE FOURIER 5
Fonction "sinusodal redress" Fonction "exponentielle"
0 2TT t
f(t)
0 T 2T t
f(t)
Contre-exemples :
Une fonction telle quet
1)t(f = pour
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER6
5. Convergence (Thorme de Dirichlet)
Soit une fonction f(t) vrifiant les conditions de Dirichlet, et prsentant une
discontinuit en t = .
Le dbut du dveloppement de f(t) en srie de Fourier, limit au terme d'ordre n,
s'crit sous la forme:
( )=
+=n
0kkkn )tksin(b)tkcos(a)(S
Le thorme de Dirichlet indique que lorsque n tend vers l'infini, la srie converge
vers la moyenne des limites droite et gauche de f(t) lorsque t tend vers .
[ ])(f)(f2
1)(Slim nn + +=
6. Utilisation de la dcomposition en srie de Fourier
On a pu voir que les signaux priodiques que lon rencontre en lectrotechnique nesont pas franchement sinusodaux : signaux issus dun hacheur, dun redresseur,dun onduleur.
Faire une dcomposition en srie de Fourier va nous permettre de savoir decombien le signal que lon tudie est loign du signal sinusodal : ce sera entreautre ralis laide du calcul du taux de distorsion harmonique (THD).
Par ailleurs, grce la dcomposition en srie de Fourier une analyse spectrale dusignal pourra tre effectue. Elle permettra de savoir si le dispositif tudi rpondaux normes de pollution harmonique, CEM, filtrage, etc
On retrouve alors dans de nombreux domaines de la physique la notion de spectrefrquentiel : lectricit, lectronique, mdecine, radar-sonar, hifi, gologie,traitement du signal
II. EXPRESSIONS MATHEMATIQUES
Soit une fonction f(t) de la variable t, intgrable sur l'intervalle
2
T,
2
T.
1. Calcul de a0
Par dfinition on a : dt)t(fT
1a
2T
02T=
C'est la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle d'une priode
2
T,
2
T.
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SERIES DE FOURIER 7
2. Forme algbrique de la dcomposition en srie de Fourier
La forme la plus couramment utilise de la dcomposition en srie de Fourier dunefonction f(t) est la forme algbrique. Elle scrit comme suit :
( )
= ++= 1n nn0 )tnsin(b)tncos(aa)t(f
Les coefficients de la srie de Fourier s'valuent selon les expressions suivantes :
dt)tnsin()t(fT
2b
dt)tncos()t(fT
2a
2T
n
2T
n
2T
2T
=
=
Remarques : Il est important de remarquer que l'expression du coefficient a0n'est pas la mme que celle que l'on obtiendrait en faisant n= 0dans l'expression de an.
Pour n = 1, la fonction (a1cos(t) + b1sin(t)) sappelle lefondamentalde la fonction.
Les fonctions (ancos(nt) + bnsin(nt)) sappelle les harmoniquesde la fonction.
Les intgrales sont prendre sur une priode de la fonction f(t).
On peut donc gnraliser les expressions suivantes :
dt)tnsin()t(fT
2dt)tnsin()t(f
T
2dt)tnsin()t(f
T
2b
dt)tncos()t(fT
2dt)tncos()t(f
T
2dt)tncos()t(f
T
2a
dt)t(fT
1dt)t(f
T
1dt)t(f
T
1a
2Tt
t
T
0
2T
n
2Tt
t
T
0
2T
n
2Tt
t
T
0
2T
0
0
0
0
0
0
0
2T2T
2T2T
2T2T
===
===
===
+
+
+
Dans la pratique, on choisira t0 de manire simplifier le calcul de l'intgrale.
3. Forme polaire de la dcomposition en srie de Fourier
Soit le dveloppement en srie de Fourier de f(t): ( )
=
+=0n
nn )tnsin(b)tncos(a)t(f
On peut dcider d'crire la dcomposition en srie de Fourier comme une sommeinfinie de fonction cosinus uniquement ou sinus.
A ce moment l, on doit faire intervenir des dphasages dans les fonctionstrigonomtriques.
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SERIES DE FOURIER8
Dans un premier temps, choisissons dexprimer la dcomposition en srie deFourier de f(t) avec uniquement des fonctions cosinus.
On posealors :
=
=
nnn
nnn
sinb
cosa
Ainsi :
=
+=
=
+=
=
+=
n
nn
2n
2n
n
n
nn
2n
2n
n
n
nn
2n
2n
2n
a
b
ba
bbsin
ba
aacos
ba
tg
nest la phase de l'harmonique n
Alors : [ ]
=
=
+=++=1n
nn01n
nnn0 )tncos(a)tnsin(sin)tncos(cosa)t(f
On crira donc:
===
= 0a)tncos()t(f
0
00
0nnn avec
Si lon dcide maintenant dexprimer la dcomposition en srie de Fourier de f(t)avec uniquement des fonctions sinus.
On pose
alors :
=
=
nnn
nnn
cosb
sina
Ainsi :
=
+==
+=
=
+=
n
nn
2n
2n
n
n
n
n
2n
2n
n
n
nn
2n
2n
2n
b
a
ba
aa
sin
ba
bbcos
ba
tg
nest la phase de l'harmonique n
Alors : [ ]
=
=
++=++=1n
nn01n
nnn0 )tnsin(a)tnsin(cos)tncos(sina)t(f
On crira donc:
=
++=
1n
nn0 )tnsin(a)t(f
Remarque : Cette forme d'criture de la srie de Fourier, qui fait apparatrel'amplitude et la phase de l'harmonique de rang n est trs utilise enphysique.
4. Forme complexe de la dcomposition en srie de Fourier
Introduisons les formules dEuler dans la dcomposition en srie de Fourier de f(t)
mise sous forme algbrique.
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SERIES DE FOURIER 9
2)tncos(
tjntjn +=
ee et
j2)tnsin(
tjntjn =
ee
=
+
++=
1n
tjntjn
n
tjntjn
n0j2
b2
aa)t(feeee
Soit
=
++
+=
1n
tjnnntjnnn0
2
jba
2
jbaa)t(f ee
Posons2
jbac nnn
= et
2
jba'c nnn
+= et calculons leurs expressions.
Les deux coefficients an et bn tant rels, les coefficients cn et cn sont alors
complexes conjugus l'un de l'autre: nn c'c =
Calculons cn:
[ ]dt)tnsin(j)tncos()t(fT
1
dt)tnsin()t(fTjdt)tncos()t(f
T1c
2T
2T2T
n
2T
2T2T
=
=
Soit : dt)t(fT
1c tjn
2T
n2T
= e et dt)t(fT1
'c tjn2T
n2T
= e On passe de cn cnen changeant j en -j, ce qui revient, d'aprs lexpression de cn
changer n en -n.
nnn cc'c ==
Le dveloppement de f(t) est alors : ( )
=
++=1n
tjnn
tjnn0 cca)t(f ee
et s'exprime ainsi sous la forme :
=
=n
tjnnc)t(f e
avec
dt)t(f
T
1c tjn
2T
n2T
= e
Pour la valeur particulire n = 0, on obtientdt)t(fT
1
ac
2T
00 2T
==
.
5. Exemples
Dans ce paragraphe, deux exemples vont tre traits en dtail. Leur dcompositionen srie de Fourier sera dabord calcule sous forme algbrique puis les formespolaires et complexes seront donnes.
Ces deux exemples vont par la suite tre utiliss pour mettre en vidence certaines
proprits sur les fonctions et la consquence sur leur dcomposition en srie deFourier.
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SERIES DE FOURIER10
a) Exemple 1 : fonction crneau f(t)
Soit la fonction crneau f(t) prsente sur la figure suivante.
0T t
f(t)
2
T
4
T
2
T 4
T
2
V0
V0
Calcul de a0: [ ] 2V
4T2
TVt
TVdtV
T1dt)t(f
T1a 004/T 4/T00
4T
4/T
2T
2/T0 ==
===
2Va 00=
Calcul de an: dt)tncos()t(fT
2a
2T
2/Tn =
dt)tncos(VT
2a 0
4T
4/Tn =
( )
=
=
=
=
2
nsin
n
V2
4
Tnsin
Tn
V4
n
4
Tnsin
n
4
Tnsin
T
V2
n
tnsin
T
V2
a
0
0
0
4/T
4/T
0
n
Si n est un nombre pair, n = 2p : ( ) 0psin2
nsin ==
Si n est un nombre impair, n = 2p + 1 :p)1(
2)1p2(sin
2
nsin =
+=
+
=
=
=
+
p0
1p2
p2
n)1(
)1p2(
V2a
0a
a
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SERIES DE FOURIER 11
Calcul de bn: dt)tnsin()t(fT
2b
2T
2/Tn =
( )
0
n
4
Tncos
n
4
Tncos
T
V2
ntncos
TV2
dt)tnsin(VT
2b
0
4/T
4/T
0
0
4T
4/Tn
=
+
=
=
=
Finalement la dcomposition en srie de Fourier du crneau scrit sous forme
algbrique comme suit :
( )t)1p2(cos)1p2(
V2)1(
2
V)t(f
0p
0p0 ++
+=
=
Vu que les coefficients bn sont nuls, la forme polaire est gale la forme
algbrique : pour tout n, n= anet n= 0.
Pour la forme complexe cela donne : dtVT
1dt)t(f
T
1c tjn
4T
4
tjn2T
nT2T
== ee 0
[ ]
=
=
4
Tjn
4
Tjn4T
4tjn
nTjn
V
Tjn
Vc T eee
00
=
=
2
nsin
n
V
j2.
n
Vc
2
jn
2
jn
n00 ee
===
=+
=+=
==
+
+
a2
Vc0n
2
a
)1p2(
V)1(c1p2n
0cp2n
00
1p2p1p2
p2
0
0
Le dernier rsultat peut aussi s'obtenir par le calcul direct:2
VdtV
T
1ac
4T
400
T
00 ===
On obtient alors le rsultat suivant : t)1p2(j
p
0p0
e)1p2(
V
)1(2
V
)t(f +
= ++=
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SERIES DE FOURIER12
Remarque : En regroupant la valeur positive et la valeur ngative correspondant une mme frquence, on retrouve le rsultat tabli prcdemment :
[ ] [ ]
+
+
+=
++
+
+=
...5
t5cos
3
t3cos
tcos
V2
2
V
...3
VV
2
V)t(f tj3tj3tjtj
00
000 eeee
b) Exemple 2 : fonction crneau g(t)
Considrons maintenant la fonction g(t) reprsente sur la figure suivante :
0 T t
g(t)
2
T
2
T
2
V0
2
V0
Calcul de a0: 0dt
2
Vdt
2
V
T
1dt)t(g
T
1a
2T
0
00
2/T
02T
2/T0 =
+
==
a0= 0
Calcul de an: dt)tncos()t(gT
2a
2T
2/Tn =
( ) ( )
0
n
2
Tnsin
n
2
Tnsin
T
V2
n
tnsin
n
tnsin
T
V2
dt)tncos(2
Vdt)tncos(
2
V
T
2a
0
2/T
0
0
2/T
0
2T
0
00
2/T
0n
=
+
=
+
=
+
=
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SERIES DE FOURIER 13
Calcul de bn: dt)tnsin()t(gT
2b
2T
2/Tn =
( ) ( )
( ))ncos(1Tn
V2
n
12
Tncos
n
2
Tncos1
T
V
n
tncos
n
tncos
T
V
dt)tnsin(2
Vdt)tnsin(
2
V
T
2b
0
0
2/T
0
0
2/T
0
2T
0
00
2/T
0n
=
=
+
=
+
=
Si n est un nombre pair, n = 2p : ( ) ( ) 1p2cosncos ==
Si n est un nombre impair, n = 2p + 1 : ( ) ( )( ) 11p2cosncos =+=
+=
=
=+
)1p2(
V2b
0b
b0
1p2
p2
n
Finalement, on obtient :
( )t)1p2(sin)1p2(
V2)t(g
0p0 ++=
=
Vu que les coefficients ansont nuls, la forme polaire avec uniquement des fonctionscosinus est facile tablir :
Pour tout n, n= bnet n= /2, ainsi on a
++
+=
= 2t)1p2(cos
)1p2(
V2)t(g
0p
0
Pour la forme complexe cela donne :
[ ] [ ]
+
=
+
=
==
2
Tjn
Tjn2
Tjn
0
T
2Ttjn2T
0tjn
tjnT
2T
tjn2T
0
tjn2T
n
Tjn
V
Tjn
V
Tjn
V
dtVT
1dtV
T
1dt)t(g
T
1c
2T
eee-e
ee
eee
0
00
00
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SERIES DE FOURIER14
( )j2
.n
Vc
jn
n
=
e-120
==
=+
=+=
==
++
0c0n
2jb
)1p2(jVc1p2n
0cp2n
0
1p21p2
p2
0
On obtient alors le rsultat suivant : t)1p2(j
p
0 e)1p2(
jV)t(g +
=
+
=
Remarque : En regroupant la valeur positive et la valeur ngative correspondant une mme frquence, on retrouve le rsultat tabli prcdemment :
[ ] [ ]
+
+
+
+=
+
+
=
...5
t5sin
3
t3sintsin
V2
2
V
...3
jVjV)t(g tj3tj3tjtj
00
00 eeee
III. PROPRIETES ET OPERATIONS1. Somme de fonctions
La dcomposition en srie de Fourier repose sur le calcul dintgrales finies.
Aussi les proprits concernant laddition sur les intgrales finies sappliquent.
Ainsi la dcomposition en srie de Fourier de la somme de signaux est gale lasomme des dcompositions en srie de Fourier des signaux. Lharmonique de rangn est gale la somme des harmoniques de mme rang.
Soient deux fonctions f(t) et g(t) dcomposables en srie de Fourier comme suit :
( )
( )
++=
++=
=
=
1nnn0
1nnn0
)tnsin(bg)tncos(agag)t(g
)tnsin(bf)tncos(afaf)t(f
Alors : ( )
( ) ( )( )
=
=
+++++=
++=+=
1n
nnnn00
1nnn0
)tnsin(bhbf)tncos(agafagaf
)tnsin(bh)tncos(ahah)t(g)t(f)t(h
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SERIES DE FOURIER 15
2. Parit des fonctions
Le calcul des coefficients de la dcomposition en srie de Fourier dune fonction f(t)se simplifie lorsque la fonction dcomposer est paire ou impaire.
a) Cas des fonctions paires
Soit la fonction paire f(t). Alors f(t) = f(-t).
La fonction f(t)cos(nt) est aussi une fonction paire sur l'intervalle [-T/2,T/2] alors
que la fonction f(t)sin(nt) est une fonction impaire. Il en rsulte que :
==
==
==
0dt)tnsin()t(fT
2b
dt)tncos()t(fT
4dt)tncos()t(f
T
2a
dt)t(fT
2dt)t(f
T
1a
2T
n
2T
0
2T
n
2T
0
2T
0
2T
2T
2T
La dcomposition en srie de Fourier d'une fonction paire ne contient que destermes en cosinus avec ventuellement un terme en a0. On ne calcule donc ces
coefficients que sur une demie priode.
Remarque : la fonction f(t) de lexemple 1 prcdent est une fonction paire.
b) Cas des fonctions impaires
Soit la fonction impaire f(t). Alors : f(t) = -f(-t)
La fonction f(t)cos(nt) est aussi une fonction impaire sur l'intervalle [-T/2,T/2] alors
que la fonction f(t)sin(nt) est une fonction paire. Il en rsulte que :
==
==
==
dt)tnsin()t(fT
4dt)tnsin()t(f
T
2b
0dt)tncos()t(fT2a
0dt)t(fT
1a
2T
0
2T
n
2T
n
2T
0
2T
2T
2T
La dcomposition en srie de Fourier d'une fonction impaire ne contient que destermes en sinus. De plus, elle ne possde pas de terme a0.
Remarque : la fonction g(t) de lexemple 2 prcdent est une fonction impaire.
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16/28
SERIES DE FOURIER16
En rsum :
=
=
=
=
=
=
dt)tnsin()t(fT
4b
0a
0a
)t(f
0b
dt)tncos()t(f
T
4a
dt)t(fT
2a
)t(f
2T
0n
n
0
n
2T
0n
2T
00
impaire
paire
Remarques : Si f(t) est une fonction paire les coefficients cnsont rels.
Si f(t) est une fonction impaire les coefficients cnsont imaginairespurs.
Si f(t) est une fonction quelconque les coefficients cn sontcomplexes.
3. Thorme du glissement
a) Rendre un signal pair ou impair
Nous venons de voir que la calcul de la dcomposition en srie de Fourier dunefonction paire ou impaire tait beaucoup plus simple que pour une fonctionquelconque.
Aussi, on essaiera de transformer le signal que lon doit tudier en une combinaisonsimple de signaux pairs ou impairs.
On nhsitera pas par exemple effectuer des translations temporelles poursatisfaire cet objectif.
Ainsi le calcul des coefficients de la dcomposition en srie de Fourier est plussimple. Il suffit ensuite de faire la translation temporelle sur tous les termes cosinusou sinus pour obtenir la dcomposition en srie de Fourier du signal initial.
En effet, quand il sagit de ltude de signaux en rgime permanent, il suffit de semettre sur une priode, et le rsultat sur le poids des diffrents harmoniques est lemme.
Si lon reprend les deux fonctions f(t) et g(t) du paragraphe II-5.
Hormis la valeur moyenne, on a la relation suivante : g(t) = f(t-T/4) V0/2.
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER 17
( ) ( )
( )
)t(g
)1(t)1p2(sin)1p2(
V2)1(
2)1p2(sint)1p2(sin
2)1p2(cost)1p2(cos
)1p2(
V2)1(
4
Tt)1p2(cos
)1p2(
V2)1(
2
V
4
Ttf
p
0p
0p
0p
0p
0p
0p0
=
++
=
+++
++
+=
+
+=
=
=
=
Donc la dcomposition en srie de Fourier dun signal est obtenue laide dunetranslation temporelle de la dcomposition en srie de Fourier de lautre signal.
Cette proprit sera souvent utilise.
Nous en verrons une illustration quand il sagira de faire une analyse frquentielle.
b) Autres proprits
En appliquant ce glissement sur certaines fonctions particulires, on admet alors lesdeux rsultats suivants :
Si f(t+T/2) = f(t), sa dcomposition en srie de Fourier ne contient que desharmoniques de rang pair. Notons que cette fonction est priodique, de priodeT/2 et que la dcomposition en srie de Fourier peut tre faite en tenant comptede cette valeur.
Si f(t+T/2) = -f(t), sa dcomposition en srie de Fourier ne contient que desharmoniques de rang impair. Cette configuration est trs commune pour lesapplications de llectronique de puissance en gnrale. Donc ce sera trs utiledans le domaine du gnie lectrique.
4. Drivation et intgration dune srie de Fourier
Soit une fonction f(t) de la variable t dveloppe en srie de Fourier :
( )
=
++=1n nn0
)tnsin(b)tncos(aa)t(f
a) Drivation
Il est toujours possible de prendre la drive des termes en sinus et cosinus dumembre de droite. Cependant, le dveloppement obtenu ne reprsentera ledveloppement en srie de Fourier de la drive f(t)
de f(t) que si la fonction
n'admet aucune discontinuit.
C'est dans ce cas seulement que l'on pourra crire :
( )
=
=
+=
++==
1nnn
1nnn0
' )tncos(bn)tnsin(an)tnsin(b)tncos(aadt
d
dt
)t(df)t(f
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER18
b) Intgration
Il est toujours possible de prendre la primitive des termes en sinus et cosinus dumembre de droite. Cependant, le dveloppement obtenu ne reprsentera ledveloppement en srie de Fourier de la primitive F(t)
de f(t) que si la valeur
moyenne de la fonction est nulle (a0= 0).
C'est dans ce cas seulement que l'on pourra crire :
=
=
=
+==
1n
nn
1nnn )tncos(
n
b)tnsin(
n
adt)tnsin(b)tncos(adt)t(f)t(F
Remarque : si a00, l'intgration conduit une fonction qui n'est pas une fonction
priodique.
=
+==1n
nn0 )tncos(
n
b)tnsin(
n
atadt)t(f)t(F
c) Exemple d'intgration et de drivation
Reprenons la fonction crneau f(t) valeur moyenne non nulle que nous avonstudie prcdemment dans lexemple 1 et dont le dveloppement en srie deFourier est :
( ) ( ) ( )
+
+
+++
+
+= ...
1p2
t)1p2(cos)1(...
5
t5cos
3
t3costcos
V2
2
V)t(f
p00
D'aprs ce que nous venons de dire l'intgrale de ce dveloppement ne sera pas
une srie de Fourier en raison de la prsence du terme non born issu delintgration de la valeur moyenne non nulle.
Cependant, si nous considrons la fonction2
V)t(f)t(h 0=
dont le dveloppement
en srie de Fourier est :
( ) ( ) ( )
+
+
+++
+
= ...
1p2
t)1p2(cos)1(...
5
t5cos
3
t3costcos
V2)t(h p0
Elle admet une primitive (en choisissant la constante d'intgration nulle) dont ledveloppement en srie de Fourier est l'intgrale du dveloppement de h(t).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= +
+
=
+
+
+++
+
=
+
+
+++
+
=
0p2
p0
2
p
22
0
2
p
22
0
)1p2(
t)1p2(sin)1(
V2
...)1p2(
t)1p2(sin)1(...
5
t5sin
3
t3sintsin
V2
...)1p2(
t)1p2(sin)1(...
5
t5sin
3
t3sintsinV2)t(H
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SERIES DE FOURIER 19
H(t) est une fonction triangle, dont l'expression analytique, dans l'intervalle
4
T,
4
T
est donne par : )0)0(H(t2
VCtet
2
Vdt
2
V)t(H 000 ==+== puisque .
La drive de h(t) est nulle partout, sauf pour les valeurs 2
Tk
4
Tt +=
o elle n'est
pas dfinie. La drivation du dveloppement de h(t) ne conduit pas une srieconvergente.
En ce qui concerne la drivation dune fonction : il suffit de rajouter la drive de ladcomposition en srie de Fourier la valeur moyenne de la fonction si elle est nonnulle.
5. Relation de Parseval
Soit une fonction f(t) de la variable t dveloppe en srie de Fourier :
( )
=
++=1n
nn0 )tnsin(b)tncos(aa)t(f
Multiplions chaque membre de la relation prcdente par la fonction f(t) et intgronssur une priode.
=
++=
2T
1nnn0
2T2
2T
2T2T2T dt)tnsin(b)tncos(a)t(fdt)t(fadt)t(f
dt)tnsin()t(fbdt)tncos()t(fadt)t(fadt)t(f2T
1nn
2T
1nn
2T
02
2T
2T2T2T2T++=
=
=
On reconnat les expressions des coefficients a0, an et bn du dveloppement en
srie de Fourier de f(t), un coefficient prs.
D'o : ( )
=
++=
1n
2n
2nT0
22T
ba
2
Tadt)t(f
2
2T
( )
=
=
+=
++=1n
2
n0
1n
2
n
2
n02
2T
2
1a
ba2
1adt)t(f
T
1
2
2
2T
o on a introduit la forme polaire,
=
+=1n
nn0 )tncos(a)t(f
avec 2n2n
2n ba +=
L'intgrale du membre de gauche reprsente la valeur moyenne du carr de lafonction f(t). Par dfinition c'est le carr de la valeur efficacede f(t)
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SERIES DE FOURIER20
Evaluons le carr de la valeur efficace de l'harmonique de rang n:
[ ]
[ ]
2T2
n2T2
n
2T2n
n22
n
2T
2T2T
2T2T
n2
)n
tn(2sin
TtT2
dt)n
tn(2cos12
1
Tdt)tn(cos
T
1
+
=
+
=
[ ]
[ ])n
sin()n
sin(Tn42
)n
n2sin()n
n2sin(Tn42
dt)tn(cosT
1
2n
2n
2n
2n
n22
n
2T
2T
+
=
+
=
2
dt)tn(cos
T
1 2
nn
22n
2T
2T
=
Thorme: Le carr de la valeur efficace d'une fonction est gal la sommedes carrs des valeurs efficaces de chacun de ses harmoniques,augmente du carr de sa valeur moyenne.
( ) ( ) ( )
=
+1n
2effn
2moy
2eff VV=V
6. Spectre dune fonction priodique diffrentes reprsentations
Afin de disposer d'une reprsentation de la valeur des diffrents coefficients dudveloppement en srie de Fourier d'une fonction, on peut imaginer de reprsenter
les coefficients anet bnen fonction de la frquence, f, ou de la pulsation = 2f (ou
plus exactement en fonction des harmoniques successives fn= nf ou n= n).
Il est ainsi possible de se rendre compte, par simple inspection de la figure, del'ordre de grandeur relatif des diffrentes harmoniques. Une telle reprsentationporte le nom de spectre de frquences. Un exemple est donn sur la figuresuivante.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Coefficients bn
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Coefficients bn
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Coefficients an
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Coefficients an
harmonique harmonique
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SERIES DE FOURIER 21
Cependant, un simple changement d'origine de la fonction f(t) bouleversecompltement l'allure du spectre de frquence : par une simple translation d'unedemi-priode, on peut passer d'une fonction paire (tous les bnnuls) une fonction
impaire (tous les annuls), en explorant toutes les situations intermdiaires. Or une
translation de ce type ne change pas la nature physique du signal, dans la mesureo l'on s'intresse des rgimes permanents.
Pour viter cet inconvnient, on peut imaginer d'utiliser la forme polaire du
dveloppement en srie de Fourier et de reprsenter les coefficients net n : un
changement de l'origine des temps ne modifie alors que la phase de l'harmonique.
Au lieu de reprsenter n, on peut aussi reprsenter n2
= an2
+ bn2 qui d'aprs le
thorme de Parseval est proportionnel l'nergie associe chacune desharmoniques. Un tel spectre est appel spectre de puissance.
Une analyse spectrale consiste donc tracer le spectre dune fonction pourdterminer le poids des diffrents harmoniques du signal.
7. Taux de distorsion harmonique
Un autre indicateur existe pour pouvoir qualifier le signal que lon tudie par rapportau signal sinusodal reprsent par le fondamental. Il sagit du taux de distorsionharmonique ou THD qui permet de calculer le poids des harmoniques de rangsuprieur ou gal 2 par rapport au fondamental du signal.
Ceci permet entre autre de qualifier la linarit de la caractristique statique d'unsystme (un quadriple par exemple). Si cette caractristique est linaire, lesystme rpond une sinusode par une sinusode, sinon il introduit une distorsion
et le signal de sortie n'est plus sinusodal, mais a acquis des harmoniques.
Pour un signal v(t) mis sous forme polaire, sur lequel on fait apparatre la valeur
efficace des harmoniques,
=
+=1n
nneff0 )tncos(2VV)t(v , le taux de distorsion
harmonique est dfini ainsi :
( )
eff1
2
VTHD
==
n
2effnV
Par dfinition, le THD est toujours infrieur ou gal 1.
Sa valeur sera dautant plus proche de 1 que le signal sera proche dune sinusode.
Remarque : Dans cette dfinition, on ne tient pas compte de la valeur moyenne dusignal.
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER22
IV. APPLICATION AU GENIE ELECTRIQUE
Dans cette partie, nous allons regarder plus prcisment la dcomposition en sriede Fourier applique au gnie lectrique.
Pour cela, de nombreuses rfrences seront faites au cours dlectrotechnique
premire anne, plus particulirement les chapitres 1 et 2.
On prfrera dans cette partie exprimer les diffrentes dcompositions en srie deFourier sous forme polaire comme une suite de sinus dphass.
1. Signaux lectriques non sinusodaux
La valeur efficace Veff dun signal priodique quelconque est dfinie comme suit :
+
=
Tt
t
2v
eff
o
o
(t)dtT
1V
a) Rappels sur les signaux sinusodaux
Soit un signal (courant ou tension) qui scrit de la forme : v(t) = Vmsin(t+)
Dans le cas des signaux sinusodaux, la valeur efficace sexprime alors :
( )
( )( )
T2
222
m
o
o
m
o
o
m
o
o
Tt
t
Tt
t
Tt
t
2
2V
2V
22V
2veff
T
1
dttcos-1T
1
dttsinT
1
(t)dtT1V
=
+=
+=
=
+
+
+
2V m
V
eff=
b) Caractristique dun signal priodique non sinusodal
Un signal physique priodique remplit naturellement les conditions de Dirichlet, dece fait il est dcomposable en srie de Fourier.
Le rsultat prcdent nest plus applicable.
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SERIES DE FOURIER 23
Soit s(t) un signal priodique. On peut crire :
=
+=1n
nn0 )tnsin(2SS)t(s
o S0est la valeur moyenne et Snest la valeur efficace de lharmonique n.
Daprs le thorme de Parseval, on a : ( ) ( )
=
+
1n
2n
20eff SS=S
Le signal s(t) se caractrise par son spectre de manire qualitative (en amplitude eten phase) mais pour une caractrisation quantitative, on prfre la notion de THDindividuel ou global.
Le THD individuel est relatif lharmonique k :1
kk
S
STHD =
Pour le THD global, on crit :
( )
1
2n
2n
S
S
THD
==
Si la valeur moyenne du signal est nulle et en utilisant le thorme de Parseval, on
montre que : ( ) ( ) ( )
=
+
2n
2n
21
2eff SS=S .
Ce qui ramne lexpression du THD ( ) 1S
SS
SSTHD
2
1
eff
1
2
1
2
eff
==
c) Exemple
Soit le signal crneau f(t) de lexemple 1 ( III.5.).
On a montr que : ( )t)1p2(cos)1p2(
V2)1(
2
V)t(f
0p
0p0 ++
+=
=
On montre rapidement que la valeur efficace du signal est :2
VV 0eff =
On remarque que la valeur efficace du fondamental, correspondant la pulsation ,
est donne par la valeur de p = 0, vaut :
= 0eff1V2
V
Le taux de distorsion harmonique global est alors :
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SERIES DE FOURIER24
%4818V
2
V
THD2
eff1
22
02
=
=
1effeff VV
Remarque : le THD ne dpend pas de lamplitude du signal mais uniquement de
la forme de ce signal.
2. Les puissances
a) Rappels des puissances en monophas sinusodal
Soit un rcepteur Z aliment sous la tension v(t) et consommant un courant i(t).
Dune manire gnrale on crit :( )
( )
+=
+=
tsin)t(i
tsin
2I
2Vv(t)
La puissance instantane est : p(t) = v(t) i(t)
Cette puissance nayant pas de signification exploitable en rgime permanent, on aalors dfini la puissance moyenne ou puissance active:
=T
0
dt)t(pT
1P
Ce qui aprs dveloppement donne : ++=T
0
dt)tsin()tsin(VI2T
1P
En utilisant les relations trigonomtriques, on a alors :
( ) ( ) ++=T
0
T
0
dtt2cosVIT
1dt-cosVI
T
1P
or la valeur du second terme est nulle, ce qui donne : ( )= -cosVIP o
( )V,I-rr
=
Remarque : Si = 0, v(t) est alors lorigine des phases, on obtient la relation bien
connue : cosVIP= avec (-)angle de i vers v.
Cette grandeur moyenne nest pas suffisante pour caractriser entirement le signalp(t). On dfinit alors la puissance apparenteou de dimensionnement , du fait
quelle fixe les limites courant / tension : S = V I
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER 25
La troisime puissance est le reliquat entre les puissances apparente et active,cest la puissance ractivedfinie comme suit : S=P+Q.
Ce qui donne : Q = VI sin||
Le facteur de puissanceest au sens strict du terme le rapport entre les puissances
active et apparente :S
Pf=
Ce qui donne dans le cas des signaux sinusodaux : f = cos ()
b) Rgimes non sinusodaux
Soient deux signaux courant i(t) et tension v(t) priodiques non sinusodaux. On critalors leur dcomposition en srie de Fourier respective :
=
++=1n
nn0 )tnsin(2VV)t(v
=
++=1n
nn0 )tnsin(2II)t(i
On dsire calculer la puissance active:
{
++++++=
=
=
=
T
0
J
ji1j,i
jiji
J
1nnnnn
J
00
T
0
dt)tjsin()tisin(IV2)tnsin()tnsin(IV2IVT
1
dt)t(i)t(vT1P
3
2
1444444 3444444 21
4444444 34444444 21
Le terme J3a une valeur moyenne nulle du fait de lindice diffrent des deux sinus.
Le second terme, J2, correspond au produit de sinus de mme frquence, il seratrait comme dans le cas du calcul des signaux monophas.
Le rsultat est :
=
=1n
nnnn2 )cos(IVJ
Au final :
=
+=1n
nnnn00 )cos(IVIVP
Remarque : Dans cette expression les harmoniques sont galement porteursdnergie, ce qui renforce lide dun spectre de puissance commeprsent dans le paragraphe III-5.
7/24/2019 Serie Fourier Harmonique
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SERIES DE FOURIER26
La puissance apparente quant elle ne change pas dans sa dfinition mais lescalculs peuvent faire intervenir les harmoniques via le thorme de Parseval.
Il en est de mme pour le facteur de puissance.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
+
+
+
==
+
+=
=
=
=
=
=
cos
)cos(IVIV
S
Pf
11
1nnnnn00
11
n
2n
20
n
2n
20
n
2
n
2
0n
2
n
2
0effeff
IIVV
IIVV=IVS
En ce qui concerne la puissance ractive, il existe deux dfinitions :
La premire, la plus naturelle, reste celle du reliquat : 22 PSQ = . Dans labsolu,
cette expression peut devenir complique, si on fait intervenir les diffrentesharmoniques.
La seconde dfinition est assez restrictive et ne concerne que les fondamentaux.
On crit alors : ( )1111 sinIVQ =
On remarque alors quavec cette seconde dfinition on a : 222 QPS +
Pour rtablir lgalit, on invente une quatrime puissance que lon appellepuissance fluctuante et que lon note D. On satisfait alors lgalit suivante :
2222 DQPS ++=
c) Cas particuliers
Si un des deux signaux est purement sinusodal, par exemple la tension prisecomme origine des phases, les expressions prcdemment tablies se simplifient.
Si ( )tsin2Vv(t) 1= , alors :
La puissance active se rduit au produit des fondamentaux pondr par ledphasage entre eux :
( )111 cosIVP=
Le facteur de puissance, lui, tient compte de tous les harmoniques :
( ) ( )
=+
==
11
111
V
)cos(IV
S
Pf
n
2
n
2
0 II
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SERIES DE FOURIER 27
On voit bien que dans ce cas, les harmoniques ne transportent aucune nergie maisrajoutent des pertes sur le cheminement.
Ce raisonnement peut sappliquer aux grandeurs continues avec P = V0I0.
d) Exemple
Soit un pont de diodes monophas dbitant sur une charge R, L suffisamment filtrepour que le courant I0soit considr comme constant. On ne suppose aucune pertedans le convertisseur statique. Et on cherche exprimer la puissance active P.
Pont de diodes
=
ia(t)
va(t)
I0L
Rv0(t)
Ct source (alternatif) :
t
vaia
Vm
I0
-I0
Ct charge (continu) :
tT
v0
I0
( ) ( )tsintsin == 2VV(t)v ma
( )t)1p2(sin)1p2(
I4)t(i
0p
0a +
+=
=
( )tpcos)1p2)(1p2(
V4V2)t(v
1p
mm0
+
=
=
i0(t) = I0
La tension dalimentation va(t) estparfaitement sinusodale donc seul lesfondamentaux interviennent dans lecalcul de P.
=
=
=
=
0
1
01
I2P
0
2
I4I m
m1
V
2
VV
Comme le courant est continu, seules lesvaleurs moyennes interviennent dans lecalcul de P.
=
= 0
0
m0 I2
P
I
V2V mV
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Sur les figures prcdentes, on retrouve le schma du pont avec la dfinition desdiffrentes grandeurs ainsi que le trac des grandeurs lectriques ct continu(charge) et ct alternatif (source). On obtient bien les mmes valeurs.
3. Les mesures
Un appareil de mesure est toujours caractris par sa bande passante.
Il faudra donc toujours vrifier ladquation entre les caractristiques de lappareil demesure utilis et la gamme de frquence du signal que lon souhaite mesur pourpouvoir estimer la quantit du signal qui sera tronque.
En salle de TP dlectrotechnique on utilise principalement le Fluke.
Mais est-on sr de ce quil mesure ?
Puissance Ractive ?Puissance Ractive ?
Facteur de puissance ?Facteur de puissance ?