MTA Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO),2019

Date: August 11, 2019 Time: 10 AM to 1 PM

Number of Questions 30: Max Marks: 102

INSTRUCTIONS

1. Use of mobile phones, smartphones, ipads, calculators, programmable wrist watches is

STRICTLY PROHIBITED. Only ordinary pens and pencils are allowed inside the examination

hall.

2. The correction is done by machines through scanning. On the OMR Sheet, darken bubbles

completely with a black pencil or a black or blue ball pen. Darken the bubbles completely, only

after you are sure of your answer; else, erasing may lead to the OMR sheet getting damaged

and the machine may not be able to read the answer.

3. The name, email address, and date of birth entered on the OMR sheet will be your login

credentials for accessing your PRMO score.

4. Incompletely, incorrectly or carelessly filled information may disqualify your candidature.

5. Each question has a one or two digit number as answer. The first diagram below shows

improper and proper way of darkening the bubbles with detailed instructions. The second

diagram shows how to mark a 2-digit number and a 1-digit number.

6. The answer you write on OMR sheet is irrelevant. The darkened bubble will be cosidered as

your final answer.

7. Questions 1 to 6 carry 2 marks each; questions 7 to 21 carry 3 marks each; questions 22 to

30 carry 5 marks each.

8. All questions are compulsory.

9. There are no negative marks.

10. Do all rough work in the space provided below for it. You also have blank pages at the end

of the question paper to continue with rough work.

11. After the exam, you may take away the Candidate’s copy of the OMR sheet.

12. Preserve your copy of OMR sheet till the end of current olympiad season. You will need it

later for verification purposes.

13. You may take away the question paper after the examination.

( Eh�dF EdfAEnd�f p� E-tkA k� a\Etm p� ¤ pr h{\)

1. From a square with sides of length 5, triangular pieces from the four corners are removed

to form a regular octagon. Find the area removed to the nearest integer?

2. Let f(x) = x2 + ax + b. If for all nonzero real x

f

(x +

1

x

)= f(x) + f

(1

x

)and the roots of f(x) = 0 are integers, what is the value of a2 + b2 ?

3. Let x1 be a positive real number and for every integer n ≥ 1 let xn+1 = 1 + x1x2 . . . xn−1xn. Ifx5 = 43, what is the sum of digits of the largest prime factor of x6?

4. An ant leaves the anthill for its morning exercise. It walks 4 feet east and then makes a

160◦ turn to the right and walks 4 more feet. It then makes another 160◦ turn to the right and

walks 4 more feet. If the ant continues this pattern until it reaches the anthill again, what is

the distance in feet it would have walked?

5. Five persons wearing badges with numbers 1, 2, 3, 4, 5 are seated on 5 chairs around a cir-

cular table. In how many ways can they be seated so that no two persons whose badges have

consecutive numbers are seated next to each other? (Two arrangements obtained by rotation

around the table are considered different.)

6. Let abc be a three digit number with nonzero digits such that a2 + b2 = c2. What is the

largest possible prime factor of abc?

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1. एक वग िजसक भजुाओं क ल बाई 5 ह,ै उसके चार कोन से िऽभजुाकार टुकड़े काट कर एक नय मतअ भजु बनाया जाता ह।ै कतना ेऽफल हटाया गया ह,ै उसका मान सबसे कर बी पणूाक तक ात करो।

2. मान लो क f(x) = x2 + ax+ b ह।ै य द सभी अशू य वाःत वक सं या x के लए

f

(x+

1

x

)= f(x) + f

(1

x

)और f(x) = 0 के सभी हल पणूाक ह, तो a2 + b2 का मान ा ह?ै

3. मान लो क x1 एक धना मक वाःत वक सं या है और सभी n ≥ 1 पूणूाक के लए xn+1 =1 + x1x2 . . . xn−1xn ह।ै अगर x5 = 43 तो x6 के सबसे बड़े अभा य गणुनखडं के अकं (digits) कायोग ात करो।

4. एक चींट अपनी बांबी से सबुह के यायाम के लए नकलती ह।ै वह 4 फुट परूब क ओर चलती ह,ैफर 160◦ दाएँ ओर मड़ु कर 4 फुट और चलती ह।ै फर वह एक बार और 160◦ दाएँ ओर मड़ु कर 4फुट चलती ह।ै अगर चींट इसी बम म चलती रहती तो वा पस अपनी बांबी तक पहुचंने म उसने कुलकतनी दरू (फुट म) चल होती?

5. पाचँ ब े, िजनपर 1, 2, 3, 4, 5 लखा ह,ै पहने हुए पाचँ लोग एक गोल मजे के चार तरफ पाचँ कुिसयपर ब ै ठे ह। वह ऐसी कतनी तरह से बठै सकते ह, िजससे क कोई भी दो लोग िजनके ब े पर लखीसं याएँ बमागत ह , वह अगल-बगल ना बठेै ह ? (एक बठैने का तर का जो कसी दसूरे तर के को घमुादेने से मलता हो, उसे दसूरे तर के से भ माना जाएगा।)

6. मान लो क abc तीन अकं क ऐसी सं या ह,ै िजसके अकं अशू य ह व a2 + b2 = c2 ह।ै abc कासबसे बड़ा अभा य गणुनखडं ा सभंव ह?ै

रफ़ काय के लए जगह

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7. On a clock, there are two instants between 12 noon and 1 PM, when the hour hand and

the minute hand are at right angles. The difference in minutes between these two instants is

written as a + bc , where a, b, c are positive integers, with b < c and b/c in the reduced form. What

is the value of a + b + c ?

8. How many positive integers n are there such that 3 ≤ n ≤ 100 and x2n + x + 1 is divisible byx2 + x + 1 ?

9. Let the rational number p/q be closest to but not equal to 22/7 among all rational numbers

with denominator < 100. What is the value of p− 3q ?10. Let ABC be a triangle and let Ω be its circumcircle. The internal bisectors of angles A,

B and C intersect Ω at A1, B1, and C1, respectively, and the internal bisectors of angles A1, B1and C1 of the triangle A1B1C1 intersect Ω at A2, B2 and C2, respectively. If the smallest angle of

triangle ABC is 40◦, what is the magnitude of the smallest angle of triangle A2B2C2 in degrees?

11. How many distinct triangles ABC are there, up to similarity, such that the magnitudes of

angles A, B and C in degrees are positive integers and satisfy

cosA cosB + sinA sinB sin kC = 1

for some positive integer k, where kC does not exceed 360◦?

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7. एक घड़ी म दोपहर 12 बजे और दोपहर 1 बजे के बीच म दो बार ऐसा होता है जब घटें क सूईं औरमनट क सूईं एक दसूरे के ल ब होती ह।ै इन दो समय के बीच म मनट म अतंर a + bc क तरहलख, जहाँ a, b, c धना मक पणूाक ह, b < c, व b/c भ का यनूतम प (reduced form या simplestform) ह।ै a+ b+ c का मान ा ह?ै

8. ऐसे कतने धना मक पणूाक n ह िजनके लए 3 ≤ n ≤ 100 व सं या x2n + x+ 1 सं या x2 + x+ 1से भा य ह?ै

9. मान लो क p/q ऐसा भ है जो ऐसे भ िजनका हर (denominator) < 100 हो और जो 22/7 सेअलग ह , उनम 22/7 के सबसे कर ब पड़ता ह।ै तो p− 3q का मान ा होगा?

10. मान लो क ABC एक िऽभजु है और Ω उसका ब हवृ ह।ै कोण A,B व C के अ तःसम भाजक Ω सेबमशः A1, B1 व C1 म मलते ह और िऽभजु A1B1C1 के कोण A1, B1 व C1 के अ तःसम भाजकΩ से बमशः A2, B2, C2 म मलते ह। अगर िऽभजु ABC का सबसे छोटा कोण 40◦ है तो िऽभजुA2B2C2 के सबसे छोटे कोण का मान डमी (degree) म ा होगा?

11. ऐसे कतने अलग-अलग (मतलब असम प) िऽभजु ABC ह िजनम कोण A,B व C का डमी म मानधना मक पणूाक ह,ै और जो

cosA cosB + sinA sinB sin kC = 1समीकरण को कसी धना मक पणूाक k के लए सतंु करते ह, जहाँ kC का मान 360◦ से यादा नह ं ह?ै

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12. A natural number k > 1 is called good if there exist natural numbers

a1 < a2 < · · · < ak

such that1√a1

+1√a2

+ . . . +1√ak

= 1.

Let f(n) be the sum of the first n good numbers, n ≥ 1. Find the sum of all values of n for whichf(n + 5)/f(n) is an integer.

13. Each of the numbers x1, x2, . . . , x101 is ±1. What is the smallest positive value of∑1≤i

12. कसी ूाकृितक सं या k > 1 को हम अ छा कहगे अगर ऐसी ूाकृितक सं याएँa1 < a2 < · · · < ak

मौजदू ह िजससे क1

√a1

+1

√a2

+ · · ·+ 1√ak

= 1

हो। मान लो क n ≥ 1 के लए f(n) पहल n अ छ सं याओं का योग ह।ै ऐसी सभी सं याओं n कायोग ात करो िजनके लए f(n+ 5)/f(n) एक पणूाक ह।ै

13. x1, x2, . . . , x101 म हर एक सं या ±1 ह।ै∑

1≤i

17. Find the number of ordered triples (a, b, c) of positive integers such that 30a+50b+70c ≤ 343.18. How many ordered pairs (a, b) of positive integers with a < b and 100 ≤ a, b ≤ 1000 satisfygcd(a, b) : lcm(a, b) = 1 : 495?

19. Let AB be a diameter of a circle and let C be a point on the segment AB such that

AC : CB = 6 : 7. Let D be a point on the circle such that DC is perpendicular to AB. Let DE

be the diameter through D. If [XY Z] denotes the area of the triangle XY Z, find [ABD]/[CDE]

to the nearest integer.

20. Consider the set E of all natural numbers n such that when divided by 11,12, 13, respec-

tively, the remainders, in that order, are distinct prime numbers in an arithmetic progression.

If N is the largest number in E, find the sum of digits of N .

21. Consider the set E = {5, 6, 7, 8, 9}. For any partition {A,B} of E, with both A and B non-empty, consider the number obtained by adding the product of elements of A to the product of

elements of B. Let N be the largest prime number among these numbers. Find the sum of the

digits of N .

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17. धना मक पणूाक के ऐसे कतने बमवार समु य (a, b, c) ह िजनके लए 30a+ 50b+ 70c ≤ 343 ह?ै18. धना मक पणूाक के ऐसे कतने बमवार जोड़े (a, b) ह जहाँ a < b व 100 ≤ a, b ≤ 1000 और िजनके

लए gcd(a, b) : lcm(a, b) = 1 : 495? (यहाँ gcd = म॰स॰ = मह म समापवतक, lcm = ल॰स॰ =लघु म समापव य।)

19. मान लो क AB एक वृ का यास है और मान लो क C रेखाखडं AB पर ऐसा बदं ु है िजससे कAC : CB = 6 : 7 ह।ै मान लो क D वृ पर एक ऐसा बदं ु है क DC खडं AB पर लंब ह।ै मानलो क DE बदं ु D से गजुरता हुआ वृ का यास ह।ै अगर [XY Z] से हमारा मतलब िऽभजु XY Zका ेऽफल है तो [ABD]/[CDE] का मान सबसे कर बी पणूाक तक ात करो।

20. मान लो क E ऐसी ूाकृितक सं याओं n का समु य है िज ह 11, 12, 13 से भाग देने पर मलने वालेशेष ऐसी अलग-अलग अभा य सं याएँ ह जो इसी बम म समा तर ौणेी म ह। अगर N समु य E कसबसे ब सं या है तो N के अकं का योग ात करो।

21. समु य E = {5, 6, 7, 8, 9} को लो। E के कसी भी वभाजन {A,B} के लए, जहाँ A और B दोनअ र ह, A के सदःय के गणुनफल का B के सदःय के गणुनफल से योग लेने पर मलने वाल सं याको लो। N इन सभी सं याओं म सबसे ब ा अभा य ह।ै N के अकं (digits) का योग ात करो।

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22. What is the greatest integer not exceeding the sum∑1599

n=11√n?

23. Let ABCD be a convex cyclic quadrilateral. Suppose P is a point in the plane of the

quadrilateral such that the sum of its distances from the vertices of ABCD is the least. If

{PA,PB,PC, PD} = {3, 4, 6, 8},

what is the maximum possible area of ABCD?

24. A 1×n rectangle (n ≥ 1) is divided into n unit (1×1) squares. Each square of this rectangleis coloured red, blue or green. Let f(n) be the number of colourings of the rectangle in which

there are an even number of red squares. What is the largest prime factor of f(9)/f(3)? (The

number of red squares can be zero.)

25. A village has a circular wall around it, and the wall has four gates pointing north, south,

east and west. A tree stands outside the village, 16 m north of the north gate, and it can be just

seen appearing on the horizon from a point 48 m east of the south gate. What is the diameter,

in meters, of the wall that surrounds the village?

26. Positive integers x, y, z satisfy xy + z = 160. Compute the smallest possible value of x + yz.

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22. ऐसा सबसे बड़ा पणू ाक ात करो जो क योग ∑1599n=1 1√n से बड़ा ना हो।23. मान लो क ABCD एक उ ल (convex) चब य (cyclic) चतभुजु ह।ै मान लो क P चतभुजु के तल

म ऐसा बदं ु है िजसक चतभुजु ABCD के शीष से दू रय का योग यनूतम ह।ै अगर{PA,PB, PC, PD} = {3, 4, 6, 8}

तो ABCD का अ धकतम सभंव ेऽफल कतना ह?ै24. एक 1× n आयत (n ≥ 1) को n इकाई (1× 1) वग म बाटँ देते ह। इस आयत के हर वग को लाल,

नीला या हरा रंग देते ह। मान लो क f(n) वह सं या है िजतने तर क से ऐसे रंग सकते ह क लालरंग के आयत क सं या सम हो। f(9)/f(3) का सबसे बड़ ा अभा य गणुनखडं ा ह?ै (लाल वग कसं या शू य हो सकती ह।ै)

25. एक गा ँव के चार तरफ एक गोल द वार है िजसम परूब, पि म, उ र व दि ण क तरफ चार ार ह।गावँ के बाहर लगा एक पड़े उ र ार के 16 मी॰ उ र म है और वह दि ण ार के 48 मी॰ परूब िःथतब दु से बस ि ितज पर उभरता हुआ थोड़ा सा दखाई देता ह।ै गावँ को घरेती हुई द वार का मीटर मयास ा ह?ै

26. धना मक पणूाक x, y, z समीकरण xy + z = 160 को सतंु करते ह। x + yz का यनूतम सभंव मानात करो।

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27. We will say that a rearrangement of the letters of a word has no fixed letters if, when

the rearrangement is placed directly below the word, no column has the same letter repeated.

For instance, H BRAT A is a rearrangement with no fixed letters of BH ARAT . How many

distinguishable rearrangements with no fixed letters does BH ARAT have? (The two As are

considered identical.)

28. Let ABC be a triangle with sides 51, 52, 53. Let Ω denote the incircle of 4ABC. Drawtangents to Ω which are parallel to the sides of ABC. Let r1, r2, r3 be the inradii of the three

corner triangles so formed. Find the largest integer that does not exceed r1 + r2 + r3.

29. In a triangle ABC, the median AD (with D on BC) and the angle bisector BE (with E on

AC) are perpendicular to each other. If AD = 7 and BE = 9, find the integer nearest to the area

of triangle ABC.

30. Let E denote the set of all natural numbers n such that 3 < n < 100 and the set

{1, 2, 3, . . . , n} can be partitioned in to 3 subsets with equal sums. Find the number of elementsof E.

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27. हम कहगे क कसी श द के अ र के बमचय म कोई िःथर अ र नह ं है अगर, जब हम बमचय कोश द के ठ क नीचे लख, तो कसी भी ःतभं म एक ह अ र ऊपर नीचे दोन जगह नह ं होगा। जसैे कश द B H A R A T के बमचय H B R A T A म कोई िःथर अ र नह ं ह।ै B H A R AT के अलग-अलग ऐसे कतने बमचय ह िजनम कोई िःथर अ र नह ं ह?ै (यहाँ मानगे क दोन A मकोई भेद नह ं ह।ै)

28. मान लो क ABC एक िऽभजु है िजसक भजुाओं का मान 51, 52, 53 ह।ै मान लो क Ω िऽभजु△ABC का अतंःवृ ह।ै Ω के वह ःपशक बनाओ जो क ABC क भजुाओं के समानांतर ह। मानलो क कोन पर बने तीन िऽभजु का अतंः यास r1, r2, r3 ह।ै ऐसा अ धकतम पणूाक कौनसा होगा जोr1 + r2 + r3 के मान से यादा न हो?

29. एक िऽभजु ABC म मि यका AD (जहाँ D भजुा BC पर ह)ै और कोण-सम भाजक BE (जहाँ Eभजुा AC पर ह)ै ल ब ह। अगर AD = 7 व BE = 9 तो ABC के ेऽफल के सबसे कर बी पणूाकका मान ात करो।

30. मान लो क E ऐसी ूाकृितक सं य n का समु य है िजनके लए 3 < n < 100 और िजनके लएसमु य {1, 2, 3, . . . , n} को ऐसे तीन उपसमु य म वभािजत कया जा सकता है िजनका योग बराबरह।ै E के सदःय क सं या ात करो।

रफ़ काय के लए जगह

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MTA-IAPT पवू- ेऽीय गिणत ओलि पयाड (PRMO), 2019दनांक: अगःत 11, 2019 समय: 10:00 ूातः से 01:00 दोपहरकुल ू : 30 अ धकतम अकं: 102

दशा नदश1. मोबाइल फ़ोन, ःमाटफ़ोन, टै ेट-क यटूर, कैलकुलेटर, ूोमामबेल घड़ी आ द का ूयोग पणूतः विजत ह।ै

केवल साधारण पने व पिसल ह पर ा कि म ले जा सकते ह।2. उ र क जाचँ मशीन से होगी। OMR शीट पर बलुबलु को काल पिसल या फर नीले या काले पने

से परू तरह भर। उ र सु नि त करने के बाद ह बलुबलु को भर; वरना मटाने पर OMR शीट ख़राबहो सकती है िजससे क मशीन उ र नह ं पढ़ पाएगी।

3. OMR शीट पर आपके ारा दए जाने वाले नाम, ईमले-आईडी व ज मितिथ के ज़ रए लॉ गन करके आपPRMO का प रणाम देख सकग।े

4. अपणू/ग़लत या यान से नह ं भर गई जानकार क वजह से आप इस पर ा म अमा य घो षत हो सकतेह।

5. हर ू का उ र 1 या 2 अकं क सं या ह।ै पहले प ृ के पहले चऽ म बलुबलेु भरने के सह व ग़लततर क़े, नदश के साथ दशाए गए ह। दसूरे चऽ म दशाया गया है क 1-अकं व 2-अकं क सं या कोकैसे चि हत करग।े

6. OMR शीट पर लखा गया उ र कसी काम का नह ं ह।ै भरे हुए बलुबलेु ह आपका उ र माने जाएगँ।े7. ू 1 से ू 6 तक हर सह उ र पर 2 अकं (marks) मलग,े ू 7 से ू 21 तक हर सह उ र

पर 3 अकं (marks) मलगे व ू 22 से ू 30 तक हर सह उ र पर 5 अकं मलग।े8. सभी ू अ नवाय ह।9. कोई ऋणा मक अकं (negative marks) नह ं ह।

10. सभी रफ़ काय ू के नीचे द गई ख़ाल जगह म कर। आपके पास ू -पऽ के अतं म भी रफ़ कायके लए ख़ाल जगह ह।ै

11. पर ा के बाद पर ािथय के लए चि हत OMR शीट क ूित आप ले जा सकते ह।12. अपनी OMR शीट क ूित इस बार के ओलि पयाड ख़ म होने तक स भाल कर रख। इसक बाद म

ज़ रत पड़ेगी।13. पर ा के उपरांत आप अपना ू पऽ अपने साथ ले जा सकते ह।