Matemáticas Financieras - Banpyme - Chile - Prof. Juan Gabriel.pdf

Matemticas Financieras

1

BANPYME

PROGRAMA CONFIGURADOR FINANCIERO

MODULO

MATEMTICAS FINANCIERAS

Prof. Juan Gabriel Fuenzalida L. CPA USACH - MBA ESADE


2

BANPYME

PROGRAMA CONFIGURADOR FINANCIERO

MODULO MATEMTICAS FINANCIERAS

ndice Pginas Introduccin ................................................................................................. 3 Concepto de Inters Simple ............................................................................. 5 Ecuaciones de Valor ........................................................................................ 9 Descuento Simple ...........................................................................................11 Descuento Bancario ........................................................................................12 Descuento Racional ....................................................................................... 13 Inters Compuesto ......................................................................................... 15 Valor Presente ................................................................................................17 Ecuaciones de Valor ........................................................................................ 18 Tasa de Inters Efectiva, Nominal y Equivalente .................................................. 23 Rentas o Anualidades Ordinarias ....................................................................... 34 Casos Complementarios ................................................................................... 42 Inversiones Financieras .................................................................................... 74


3

BANPYME

MMOODDUULLOO:: MMaatteemmttiiccaass FFiinnaanncciieerraass

Prof. Juan Gabriel Fuenzalida L. CPA USACH - MBA ESADE

Introduccin En la economa moderna, el dinero constituye el medio a travs del cual se materializan las transacciones comerciales y de crdito. Como bienes del tipo transable, el dinero y el crdito tienen asociados curvas de oferta y demanda, y por ende, un precio, que comnmente se denomina TASA DE INTERES.

El mercado conformado por estos bienes, conforman uno de los pilares sobre los cuales se sustenta la ECONOMA DE LIBRE MERCADO.

Con relacin a ese mercado llamado financiero o de capitales, se han creado y desarrollado instrumentos matemticos que permiten el clculo de costos, evaluacin de inversiones y financiamiento, determinacin de beneficios reales y nominales, etc.

El conjunto de estos instrumentos y conceptos conforman la disciplina conocida como "Matemticas Financiera" o "Calculo Financiero" que no es otra cosa que una instancia de economa y matemticas "aplicadas".

Finalmente, una reflexin, en orden a sealar la importancia que profesionales de diversas reas de la empresa desarrollen habilidades en esta materia ya que en definitiva todo aquello relativo a una organizacin y sus negocios se traduce en flujos cuya razonabilidad y conveniencia debe ser medido a travs del clculo financiero.

Mercado financiero y de capitales

DECISIONES DE: DECISIONES DE: Consumo Inversin

Ahorro Financiamiento Inversin Estructura de Capital

Poltica de Dividendo

MERCADO DE

CAPITALES

GOBIERNO (Gobierno y BC)

Personas Firmas

Obtencin Aplicacin

Subsidios

Prestar Financiar

Subsidios

Impuestos Impuestos


4

BANPYME

Administ. de Cap. de T

Lo sealado nos recuerda que existen impuestos y subsidios que dan origen a "Mercados Imperfectos". En la medida que estas imperfecciones se internalizan adecuadamente en el proceso de toma de decisiones surgen los "Mercados Eficientes". Al respecto los mercados eficientes se dan mediante la existencia de mercados de capitales "profundos" e informados, condicin bsica para definir precios justos sobre la base de equilibrios surgidos de la oferta y demanda de instrumentos de inversin. Sobre el particular el precio que nos interesa es el del dinero cuya expresin mxima es la TASA DE INTERS, concepto que se asocia a rendimiento y costo de manera simultanea, ya que siempre que se obtengan o apliquen recursos, habr un requeriente y un oferente de stos. Inters. 1.- Inters: Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en prstamo o la

cantidad producida por una inversin financiera (costo o gasto en el primer caso e ingreso en el segundo).

Ejemplo 1) Usted deposita $ 150 y al cabo de cierto tiempo recibe $ 157,5. El inters ganado es de $ 7,5.

Sea "C" una cantidad de dinero en una fecha dada y cuyo valor aumenta a "M" en una fecha posterior. Se define Inters "I" como:

En nuestro ejemplo 1, I = 157,5 - 150 = 7,5 2.- Tasa de Inters (i): Es la "razn" o cuociente del inters devengado al capital, en

la unidad de tiempo (en tanto por uno).

Ejemplo 2) Calcule la tasa de inters en tanto por uno del Ej. 1). En el ejemplo 1) i = I/M = 7,5/150 = 0,05

i se puede expresar en tanto por uno o en porcentaje. En este ltimo caso la expresin en tanto por uno se multiplica por 100% con lo cual se llega a la expresin habitual de tasa.

i% = i x 100% = 0,05 x 100% = 5%

Convencin: La tasa de inters i se entender siempre anual a menos que expresamente se establezca en una unidad de tiempo diferente.

I = M - C

i = I/C


5

BANPYME

Inters Simple 1.- Inters Simple: Ocurre cuando slo el capital inicial genera intereses por todo el

tiempo que dura la transaccin. Al inters vencido al final del plazo se le llama INTERS SIMPLE.

Ejemplo 3) Suponga que el depsito del Ej. 1) se mantuvo durante 3 aos. Determine el inters simple ganado.

Ao

Expresin

Capital Tasa "n" "I"

1 C x i x 1

= 150 0.05 1 = 7,5

2 C x i x 1

= 150 0.05 1 = 7,5

3 C x i x 1

= 150 0.05 1 = 7,5

INTERES SIMPLE 22,5 Generalizando el ejemplo 3) se tiene: I = Ci + Ci + Ci +.................... = nCi

Ejemplo 4) Calcule el inters simple del ejemplo 3 aplicando frmula (2).

R: I = 150 x 0,05 x 3 = 22,5

Ejemplo 5) Se depositan $ 150 al 5% por 3 meses. Determine el inters ganado. R: a) I = 150 x (0,05/12) x 3 = 1,875 b) I = 150 x 0,05 x (3/12) = 1,875

Observacin: En la respuesta a) la tasa i se "mensualiz" para poder ser asociada a los "meses" implcitos en la operacin. En la respuesta b) el perodo se "anualiz" para poder ser asociado a la tasa anual implcita en la operacin. Generalizacin: "i" y "n" deben estar siempre expresados en la misma unidad de tiempo.

2.- Monto: O Valor Futuro es el capital inicial ms los intereses simples ganados

durante cierto tiempo. De frmula (1): M = C + I

I = C x i x n


6

BANPYME

Reemplazando I : M = C + Cin

Esta es la frmula bsica del inters simple.

Como se puede apreciar la expresin anterior representa una ecuacin lineal fruto de una progresin aritmtica cuya diferencia constante es Ci, es decir, el inters del perodo.

0 1 2 3 4.................n

Ejemplo 6) Ud. deposita $ 150 al 5% durante 3 aos. Determine la suma a retirar. R: M = 150 (1 + (0,05x3)) = 172,5 o alternativamente M = C + I = 150 + 22,5 = 172,5 De la frmula I = C x i x n, se pueden deducir las siguientes:

En el ejemplo 6) i = 22,5 /(150x3) = 0,05

En el ejemplo 6) n = 22,5 /(150x0,05) = 3 aos En el ejemplo 6) C = 22,5 /(0,05x3) = 150

En forma anloga de la frmula M = C (1 + in) se deducen las que se indican:

Factorizando: M = C (1 + in)

C

C + Ci1

C + Ci2

M = C(1+in)

M

i = I / (Cn)

n = I / (Ci)

C = I / (in)


7

BANPYME

3.- Valor actual. O Valor Presente es el valor de una cantidad de dinero en una fecha

anterior, este es, el valor futuro o monto menos los intereses (que aquel incluye desde la fecha de clculo del valor actual hasta la fecha del monto).

Ejemplo 7) Determinar el valor presente al 5% de inters simple de $ 172,5 que se recibirn al cabo de 3 aos.

4.- Supuestos fundamentales de las matemticas financieras.

En el ejemplo 7), los $ 150 al da de hoy son equivalentes a los $ 172,5 al cabo de 3 aos al 5%. Es decir, da lo mismo recibir $ 150 hoy que $ 172,5 en 3 aos ms. Obviamente que esto es vlido en condiciones de certeza absoluta y omitiendo el fenmeno inflacionario. Con este ejemplo podemos enunciar el supuesto bsico de las Matemticas Financieras, cual es "EL DINERO ES SIEMPRE PRODUCTIVO, ES DECIR, SIEMPRE GENERA INTERESES".

Este supuesto queda ms claro si planteamos el siguiente problema. Que prefiere usted.: $ 100 hoy o $ 100 en un mes ms, suponiendo certeza absoluta?

R: Naturalmente que es mejor recibir los $ 100 hoy porque al cabo de un mes se transformar en una suma mayor, lo que depender de la tasa de inters.

De la idea anterior se desprende otra, que algunos identifican como un segundo supuesto. Este se puede enunciar de la siguiente forma:

"EL DINERO TIENE DISTINTO VALOR EN EL TIEMPO, INDEPENDIENTE DE SI EXISTE O NO INFLACIN".

En el problema enunciado, los $ 100 de hoy VALEN MAS que $ 100 en un mes ms.

En general dos o ms valores en distinto momento del tiempo no son directamente comparables. Para que lo sean, deben estar expresados en el mismo momento en el eje de tiempo.

i = ((M/C) - 1)/n

n = ((M/C) - 1)/i

C = M/(1+in)

C = M/(1+in) C = 172,5/(1+(0,05x3)) C = 150


8

BANPYME

Ejemplo 8) Que prefiere Ud.: $ 183 hoy da o $ 194 en dos meses ms, si la tasa de inters simple es 3% mensual?

R: La comparacin puede efectuarse con ambos valores expresados a hoy da (implica "actualizar" los 194), o con ambos expresados a 2 meses ms (implica capitalizar los 183).

a) Actualizando 0 1 2 meses 183 3% 3% 194

C = 194 / (1 + (0,03x2)) C = 183,02

Es mejor recibir $ 194 en dos meses ms, porque equivalen a $ 183,02 a hoy da.

b) Capitalizacin 0 1 2 meses 183 3% 3% 194

M = 183(1 + (0,03x2)) M = 193,98

La conclusin es la misma cualquiera sea el camino escogido.

Es evidente que la comparacin podra efectuarse en cualquier otro punto (f.f. o fecha focal) del eje del tiempo. Lo importante es llevar "ambos" valores a ese punto, ya sea actualizando o capitalizando, segn corresponda.De lo explicado en esta seccin, se desprende que valores en distinto momento del tiempo no son susceptibles de ser sumados ni restados.

Ejemplo 9) A cuanto equivalen hoy da 3 pagos mensuales sucesivos de $ 200 a contar del prximo mes?. La tasa de inters mensual es de 10%.

R: 0 1 2 3 meses 200 200 200 200/(1+(0,1x1)) 200/(1+(0,1x2)) 200/(1+(0,1x3))

502,33


9

BANPYME

5.- Ecuaciones de Valor.

Un conjunto de pagos puede cambiarse por otro equivalente. A esta situacin podemos denominarla renegociacin, repactacin o reprogramacin. Para producir la equivalencia, deudor y acreedor deben estar de acuerdo en una tasa de inters y en una fecha focal para efectuar los clculos. Fecha focal (f.f.) es el punto del eje de tiempo al cual se llevarn todos los valores para producir la equivalencia de ambos conjuntos.

Ejemplo 10) Ud. debi pagar $ 200 hace 4 meses y $ 300 hace un mes. Hoy decide renegociar la deuda y acuerda efectuar un pago de inmediato ascendente a $ 100 y el resto en 3 meses ms. Determine el valor de ste ltimo si la tasa de inters acordada para la operacin es de 5% y la f.f. es hoy.

R: La situacin se puede representar en el eje de tiempo que sigue: Hoy

0 1 2 3 4 5 6 7 meses 200 300

100 X

Los pagos no efectuados deben llevarse (capitalizarse) a hoy y sumarse. La expresin aritmtica que representa la deuda impaga al da de hoy es la siguiente;

200 (1+(0,05x4)) + 300 (1+(0,05x1))

Los pagos propuestos deben tambin llevarse a la fecha de hoy y sumarse. La expresin aritmtica es;

100 + X/ (1+(0,05x3))

Como ambos conjuntos de pagos deben ser equivalentes, se plantea la igualdad o ecuacin de valor que sigue;

200 (1+(0,05x4)) + 300 (1+(0,05x1)) = 100 + X/ (1+(0,05x3)) 240 + 315 = 100 + X/1,15 455 = X/1,15 X = 523,25


10

BANPYME

Un lego en estas materias habra determinado la deuda impaga en 200+300=500 y el pago a efectuar en tres meses ms en 400, es decir 500-100. Este es, no habra considerado los supuestos fundamentales del clculo financiero.

Ejemplo 11) Un cliente le adeuda por una renegociacin $ 900.000 que solicit a un ao y medio a la tasa del 5% y que vence en 6 meses ms. Adems adeuda una factura por $ 350.000 pagadera en 60 das ms.

El cliente le propone pagar $ 1.000.000.- de inmediato y liquidar el resto mediante un pago nico al trmino de 12 meses.

Suponiendo un inters del 4% determine el monto del pago nico a la fecha de vencimiento de ste (f.f.), es decir con fecha focal en 12 meses ms.

R: C = 900.000.- n = 1,5 aos i = 0,05 M= 900.000 (1 + (0,05x1,5)) M= 967.500

f.f. Hoy 350.000 967.500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1Mill. X 967.500 (1+ (0,04x0,5)) + 350.000 (1+ (0,04x0,8333)) =1.000.000 (1+(0,04x1)) + X 1.348.517 = 1.040.000 + X X = 308.517

Con relacin a este ejemplo es conveniente efectuar algunas observaciones: a) La tasa de inters considerada en un prstamo especfico como el del

ejemplo (5%), no tiene nada que ver con la tasa de inters pactada para la reprogramacin (4%). La primera es relevante slo para determinar el valor a pagar a la fecha de vencimiento del crdito y la segunda es la tasa que se utiliza para llevar los valores de distintas fechas a la f.f.. Lo sealado se da en virtud de la dinmica que presentan las tasas en tiempo.

b) Si se cambia la f.f., por ejemplo a "hoy" es de esperar un ligero cambio en el

resultado. En nuestro caso el valor del pago nico dentro de 12 meses se ajusta a X = 308.059.


11

BANPYME

El efecto diferencial anterior se debe a que la mecnica de clculo de intereses simples slo se hace sobre el capital inicial. Como se puede apreciar, la situacin descrita en el caso tienen implcito la existencia de "ms de un capital inicial" por lo que su efecto en el devengamiento de intereses sufra una alteracin de tipo marginal.

6.- Consideraciones relativas al inters simple.

A estas alturas vale la pena reflexionar acerca de porque hemos revisado la mecnica del inters simple, si en realidad lo que generalmente se aplica para todas las operaciones de crdito es el inters compuesto.

Sobre el particular es pertinente considerar lo siguiente:

a) Existen operaciones de inversin como los pactos, depsitos a plazo, PDBC y algunos IRF (Bonos-2) en que la valoracin del instrumento y/o el devengamiento de intereses se hace sobre la base de inters simple.

b) Toda vez que haya una sentencia mediante la cual una de las partes debe

responder por una deuda (liquidacin), los intereses calculados entre la fecha del dictamen y el pago efectivo se hace sobre la base de inters simple.

c) Toda vez que una empresa enva al Banco, documentos para su "descuento"

(Pagares, Letras) en estos casos se aplica una modalidad denominada "descuento simple".

Descuento Simple. 1.- Definiciones

PAGARE: Es una promesa de pago de una determinada suma de dinero en el futuro (fecha conocida). Son instrumentos u obligaciones financieras de corto plazo.

DESCONTAR: un pagar, es la accin de recibir o pagar cierta cantidad de dinero a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el pagar.

Un pagar puede ser descontado una o ms veces antes de la fecha de vencimiento. Cuando la operacin se efecta entre bancos se denomina REDESCUENTO.

VALOR NOMINAL DE UN PAGARE: es el que est inscrito en la obligacin. Para el comercio es el capital. Para los efectos de este apunte consideraremos que le valor inscrito, es la suma a pagar en una fecha futura determinada, incluido los intereses (por ejemplo una letra).

DESCUENTO: es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe al momento de descontar el pagar.


12

BANPYME

VALOR EFECTIVO, PRESENTE O LIQUIDO de un pagar, es el valor nominal menos el descuento.

2.- Descuento bancario, descuento a una tasa de descuento o descuento

comercial. Se caracteriza porque se aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal (o

futuro del pagar). Es el que se usa en la prctica. Aritmticamente, el descuento bancario se expresa de la siguiente forma:

donde: Db = Descuento bancario.

M = Valor nominal o futuro del pagar. n = Tiempo que falta para el vencimiento del pagar. d = Tasa de descuento aplicada a "M". Ejemplo 12) Una letra por $ 100.000 se descuenta dos meses antes del vencimiento a una tasa de descuento de 5% mensual. Determine el descuento. R: Db = M x d x n = 100.000 x 0,05 x 2 = 10.000 = Db

El valor lquido, presente o efectivo del pagar con descuento bancario (Cb) ser:

R: Cb = M - Db = 100.000 - 10.000 = 90.000 = Cb Si en esta expresin reemplazamos la consignada para los efectos de determinar el

monto del descuento, se tiene;

R: Cb = M (1 - dn) = 100.000 ( 1 - (0,05 x 2)) = 90.000 = Cb Ejemplo 13) Un pagar por $ 5.500.000 se descuenta 45 das antes del

vencimiento. Determine (a) el monto del descuento y (b) el valor efectivo o lquido si la tasa de descuento es 9%.

R: M = 5.500.000 n = 45 das d = 9% anual

Db = M x d x n

Cb = M - Db

Cb = M - (M x d x n) Cb = M (1 - dn)


13

BANPYME

(a) Db = 5.500.000 x 0,09 x (45/360) = 61.875 (b) Cb = 5.500.000 - 61.875 = 5.438.125 Opcin directa Cb = 5.500.000 (1 - (0,09x(45/360))) = 5.438.125 3.- Descuento racional o matemtico o descuento a una tasa de inters. Si existe una promesa de pago futuro (pagar), es porque ha habido un prstamo

(capital) en una fecha anterior por el cual se ha cobrado una cierta tasa de inters "i". La aplicacin de esta tasa al capital inicial, por el perodo estipulado en el pagar, da el valor a pagar en el futuro que hemos denominado valor nominal.

Aritmticamente:

Dr = Descuento Racional. M = Valor nominal o futuro del pagar. Cr = Valor lquido con descuento racional. Suponiendo una tasa de inters "i", entonces, el valor actual o lquido con

descuento racional es:

Este tipo de descuento se emplea en la valorizacin de ciertos instrumentos de

inversin de corto plazo (Money Market) cuyo carcter se asemeja al cupn cero, es decir instrumentos con un slo vencimiento, como los DPF, los Pactos y otros de similar caracterstica.

Ejemplo 14) Un DPF por UF 398,60 se descuenta a una tasa de inters de 0,3%

mensual 2,5 meses antes de su vencimiento. Determine el Valor Actual y b) el monto del Descuento.

R: M = UF 398,60 i = 0,3% (0,003) n = 2,5 meses a) Cr = 398,60 / (1 + (0,003x2,5)) = 395,63275 = Cr b) Dr = 398,60- 395,63275 = 2,96725 = Dr Ejemplo 15) Cuatro meses antes de su vencimiento, se enva a descuento una letra

por UF 850 al 3,53%. El banco cobra UF 0,8 por gastos y 0,16% por impuesto. Determine el valor efectivo recibido.

Dr = M - Cr

Cr = M / (1 + in)


14

BANPYME

R: M = UF 850 n = 120/360 d = 3,53% (0,0353) Cb = M (1 - dn) Cb = 850 (1 - (0,0353 x (120/360))) Cb = 839,99833 Cb = Cb- (UF 0,8) - (850 x 0,0016) = 839,99833 - 0,8 - 1,36 Cb = 837,83833 Ejemplo 16) Un corredor de bolsa toma un depsito a plazo por $ 250.000.000 con

vencimiento en 30 das, a una tasa de inters de 0,24% mensual. Habiendo transcurrido 5 das de hecha la inversin el intermediario le ofrece el instrumento en $ 250.110.000.-. En la fecha de la propuesta usted tiene la posibilidad de tomar un depsito a una tasa de 0,3% mensual por el mismo plazo. Usted tomara la primera o la segunda propuesta?

R: Monto de la Inversin Inicial = $ 250.000.000.-

Tasa Mensual de colocacin = 0,24% mensual.- Plazo = 30 das.- M = C (1 + in) = 250.000.000 (1 + 0,0024 x 1) = 250.600.000 = M

0 5 30

M = 250.600.000 C = 250.600.000 / (1+((0,003/30)x25)) C = 249.975.062 En este caso usted debera ofrecer como mximo $ 249.975.062.-

Ejemplo 17) (PACTO) El 3 de Octubre una empresa posea excedentes por $ 162.183.523.- los que desea invertir durante 7 das para luego ocuparlo en cumplir sus compromisos con proveedores. Contact a la mesa de dinero de un banco comercial para efectuar una operacin de pacto de compra con compromiso de retro-venta con instrumentos libres de riesgo. Se acord con el banco un inters de 1,63% (Base 30 das) para un plazo de 7 das. El banco tena 20 PRBC de UF 500 c/u y estaban valorados al 6% restando 84 das para su vencimiento. Se pide calcular la rentabilidad de esta inversin.

R: a) Expresar monto disponible en UFs.

Inversin en UFs = $ 162.183.523 / $ 16.433,15 Inversin en UFs = UF 9.869,29


15

BANPYME

b) Valorizar el corte de cada PRBC. Valor Nominal de cada PRBC UF 500

Valor del Corte = UF 500 / 1 +(0,06 * 84/360) Valor del Corte = 493,0966

c) Determinar el N de cortes para satisfacer la Inversin. N de Cortes = UF 9.869,29 / 493,0966 N de Cortes = 20,015 "Se rebaja a 20 app."

d) Clculo de la Inversin efectiva en pesos de la empresa en el Pacto. N de Cortes * Valor del Corte * UF al 20 de Septiembre de 2002 20 x 493,0966 x $ 16.433,15 = $ 162.062.608.- Monto de la Inversin = $ 162.062.608.-

e) Clculo del Monto a percibir en de los prximos 7 das.

Valor a Percibir = 162.062.608 x (1 + (0,0163 * 7/30)) Valor a Percibir = 162.678.986.-

f) Utilidad Nominal= 616.378.- Inters Compuesto. 1.- Definicin.

En la capitalizacin a inters compuesto los intereses de los intervalos de tiempo son distintos pues se obtienen siempre en funcin de los intereses del perodo anterior (intereses sobre intereses). Lo intereses del primer perodo se suman al capital para determinar los intereses del segundo perodo y as sucesivamente. Ejemplo 18) Una deuda de UF 500 a 5 aos plazo es convenida al 10% con "capitalizacin" anual de intereses. Determine el monto a pagar. R:

Perodo

Capital al Inicio

Inters del Perodo

Capital mas Inters

1 500,00 50,00 550,00 2 550,00 55,00 605,00 3 605,00 60,50 665,50 4 665,50 66,55 732,05 5 732,05 73,21 805,26

2.- Monto o Valor Futuro a Inters Compuesto.

La frmula bsica del inters compuesto se obtendr en forma deductiva generalizando el ejemplo anterior:


16

BANPYME

Perodo

Capital Inicial

Inters del Perodo

Capital + Intereses

1 C Ci C + Ci = C(1+i) 2 C(1+i) C(1+i) i C(1+i)+C(1+i) i=C(1+i)2

3 C(1+i)2 C(1+i)2 i C(1+i)2+C(1+i)2 i=C(1+i)3

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ... n C(1+i)n-1 C(1+i)n-1 i C(1+i)n-1 + C(1+i)n-1 i =

C(1+i)n

Luego el monto o capital final al trmino del perodo "n" ser:

Esta frmula bsica del inters compuesto y con ella se encuentra el valor futuro o monto de un capital "C" colocado a la tasa de inters "i" por perodo durante "n" perodos.

Aplicando esta frmula al ejemplo 18, se tiene: M = 500 (1 + 0,1)5 = 805,26

Como se observa, la sucesin de "M" a travs del tiempo conforma una progresin geomtrica (P.G.) cuyo primer trmino es el capital inicial "C", la razn constante (1+i) y el trmino general "M".

La expresin M = C (1+i)n es una funcin exponencial creciente cuya base es mayor que 1. Es una funcin discreta porque la variable independiente "n", toma slo valores enteros. La representacin grfica es la siguiente: M

C 0 1 2 3 4 5 .............. Tiempo

M = C(1 + i)n

M = C(1 + i)n


17

BANPYME

3.- Inters, tiempo y tasa. De las frmulas anteriores se derivan las siguientes:

Ejemplo 19) Se depositan $ 4.000.000 a una tasa de inters del 0,3% mensual durante 10 meses. Determinar; a) El monto o valor futuro, b) el tiempo en que se obtiene un monto de $ 4.298.158, c) la tasa que genera $ 4.298.158 en 20 meses. R: a) M = 4.000.000 (1 + 0,003)10 = 4.121.633 b) n = log 4.298.158 - log. 4.000.000 = 6,63328 - 6,60206 = 24 ms.

log. 1,003 0,0013 c) i = (4.298.158/4.000.000)1/20 - 1 = 0,0036 = 0,36 % 4.- Valor Actual o Presente.

Es el valor de una cantidad de dinero en una fecha anterior, este es, el valor futuro o monto menos los intereses compuestos (que incluye desde la fecha de clculo del valor actual hasta la fecha del monto). La frmula del valor actual se deriva despejando "C", de la frmula bsica del inters compuesto.

Ejemplo 20) Por un crdito contrado tiempo atrs al 1,5% mensual, se debe pagar $ 1.601.051.- en 5 meses ms. Si se quiere liquidar la deuda hoy da Cuanto se debera cancelar?. R: M = 1.601.051.- n = 5 meses i = 1,5% mensual (0,015) C = 1.601.051 = 1.486.192

(1 + 0,015)5

I = M - C = C(1 + i)n - C = C ((1+i)n - 1) I = C ((1+i)n - 1)

M = C(1 + i)n

M/C = (1 + i)n , aplicando logaritmo log. M/C = log. (1 + i)n

log. M - log. C = n log. (1 + i) n = log. M - log. C log. (1 + i)

M = C(1 + i)n

M/C = (1 + i)n (M/C)1/n = (1+ i) i = (M/C)1/n - 1

C = M (1 + i)n


18

BANPYME

Comentario del ejemplo: a) Los $ 1.486.192 son "equivalentes" a $ 1.601.051.- en 5 meses ms a la tasa del 1,5% mensual. Es decir al acreedor le dara lo mismo recibir los $ 1.486.192 hoy, si su tasa de inters relevante es de 1,5% mensual, pues podra colocarlos a esa tasa durante 5 meses y obtendra al final de stos, los $1.601.051.-

b) De lo descrito en a), es evidente que el inters incluido en el prstamo para los ltimos 5 meses de vigencia es de $ 114.859.- Ejemplo 21) Si usted tiene la posibilidad de invertir al 0,3% mensual compuesto durante un ao. Cual de las dos siguientes alternativas prefiere: a) recibir $1.000.000.- de inmediato o b) recibir $ 1.037.000.- en un ao ms, suponiendo certeza absoluta. R: Los $ 1.000.000 recibidos hoy e invertidos al 0,3% mensual durante un ao se transforman en un monto de $ 1.036.600 (M=M$1.000(1+0,003)12). Por lo tanto es preferible esperar un ao y recibir $ 1.037.000.-

5.- Ecuaciones de Valor.

Este tema fue abordado para el inters simple. La nica diferencia que tiene lo sealado en aquella oportunidad en relacin al inters compuesto, es que en este caso al cambiar la fecha focal el resultado no sufre ninguna variacin. Ejemplo 22) Un cliente mantiene las siguientes deudas impagas:

$ 50.000 hace tres meses $ 70.000 hace 2 meses $ 60.000 hace 1 mes

Los mencionados montos se repactan con dos pagars de monto similar (firmados ante notario), el primero en dos meses mas y el segundo en 4 meses ms. La tasa de inters es del 3,00% mensual. Determine el monto de dichas cuotas tomando como fecha focal a) hoy y b) en 4 meses ms a contar de hoy. R: a) Fecha Focal HOY.

M$50 M$70

M$60 Hoy

0 1 2 3 4 5 6 7 X

X El total de las deudas originales llevadas (capitalizadas) a la f.f. son: M$50(1+0,03)3 + M$70(1+0,03)2 + M$ 60(1+0,03)1


19

BANPYME

La suma de los pagos a realizar, llevados (actualizados) a la f.f. son: (X/(1+0,03)2) + (X/(1+0,03)4) Como ambos conjuntos de pagos deben ser equivalentes producimos la igualdad o ecuacin siguiente: M$50(1,03)3 + M$70(1,03)2 + M$ 60(1,03)1 = X(1+0,03)-2 + X(1+0,03)-4

M$ 190,70 = X0,94260 + X0,88849

M$ 190,70 = 1,83109X

X = 104.145,62

R: b) Fecha Focal 4 meses ms a contar de HOY.

M$50 M$70

M$60

0 1 2 3 4 5 6 7 Hoy X X

La ecuacin de valor es la siguiente:

M$50(1,03)7 + M$70(1,03)6 + M$ 60(1,03)5 = X(1+0,03)2 + X M$214,63380 = 2,06090X X = 104.145,62

6.- Relacin entre Inters Simple y Compuesto. 6.1.- Relacin entre Tasa Sea is = tasa de inters simple. ic = tasa de inters compuesta.

M = C(1+ isn) M = C(1+ ic)

n , Igualando los montos, se tiene: C(1+ isn) = C(1+ ic)

n

(1+ isn) = (1+ ic)n

isn = (1+ ic)n - 1

is = (1+ ic)

n - 1 ic = (1+ isn) 1/n - 1

n Ejemplo 23) En virtud de una sentencia judicial, un cliente se compromete a pagar su deuda mediante la firma de un pagar, el que devengar un 3% de inters


20

BANPYME

simple mensual. Se pide; a) Determine la tasa de inters compuesta implcita en la operacin. b) Verifique la solucin. ic = (1+ 0,03 x 3)

1/3 - 1 = 2,91425% Ms = 100 (1 + 0,03 x 3) = 109 Mc = 100 (1+0,0291425)

3 = 109 En este caso uno reconoce estas tasa como "equivalente" ya que en virtud de las restricciones del caso generan el mismo efecto respecto de "M". 6.2.- Relacin entre Montos. MS = C(1+in) y Mc = C(1+i)

n Existen tres escenarios posibles; n>1, n=1 y n1 el monto a inters compuesto es mayor que monto a inters

simple. Cuando n=1 el monto a inters compuesto es igual a l monto de inters simple. Si n


21

BANPYME

b) M = 100(1+0,1)1 = 110 Ejemplo 26) Idem al ejemplo 24 pero la colocacin dura 4 meses. a) M = 100(1+0,1x(4/12)) = 103,3 b) M = 100(1+0,1)(4/12) = 103,23 Ejemplo 27) Un cliente se compromete mediante un documento a fecha a pagar $600.000 en 8 meses y 15 das. Considerando una tasa del 2% mensual determine el monto a pagar; a) Considerando primero inters compuesto para todo el perodo y b) considerando la fraccin de mes a inters simple. R: C = 600.000 i = 2% mensual n = 8,5 meses a) M = 600.000 (1+0,02)8,5 = 709.991.- b) M= 600.000 (1+0,02 (15/30) = 606.000 M = 606.000 (1+0,02)8 = 710.026 Esta ltima metodologa se aplica para los efectos de calcular valores con perodos irregulares de pago.

Ejemplo 28) El directorio de la empresa seal que el porcentaje de participacin de la empresa se duplicar en los prximo 5 aos. A que tasa de crecimiento promedio anual se calcul este objetivo?

R: C = Porcentaje de participacin actual. 2C= Porcentaje de participacin en 5 aos. n = 5 aos.

M = C(1+i)n 2C = C(1+i)5 2 = (1+i)5 21/5 = 1 + i 1,1487 - 1 = i 0,1487 = i 14,87% = i%

Ejemplo 29) Un deudor acuerda con usted reliquidar, a contar de hoy, el pago de las facturas que se sealan a continuacin, con dos cheques a fecha de similar monto; el primero a 60 das y el segundo a 120 das respectivamente. Nro. de Factura

Vencida Hace...... Monto

400 8 meses 44.000 630 6 meses 36.000 700 4 meses 41.000


22

BANPYME

Determine el valor de los cheques si la tasa de inters convenida es 4% "bimensual".

R: 44 (1,04)4 + 36 (1,04)3 + 41 (1,04)2 = X(1,04)-1 + X(1,04)-2

136,31 = 1,88608X X = 72.271

Ejemplo 30) Uno de sus clientes afronta serios problemas financieros y desea liquidar una deuda pendiente desde hace 30 das atrs por un valor de US$500.000. Existen dos opciones que esta evaluando: a) Aceptar una letra a 90 das a contar de hoy por US$ 200.000.-, Aceptar una 2 letra a 120 das a contar de hoy por US$ 200.000.-, y

Aceptar una 3 letra a 150 das a contar de hoy por el saldo.

Su empresa considera para este tipo de negociacin una tasa de inters compuesta mensual del 6%.

b) Solicitar un crdito bancario para cancelar la deuda ms los intereses

acumulados, por el cual firmar un pagar con vencimiento en 120 das por un valor de US$ 644.218.-.

El gerente de finanzas de la empresa deudora opt por la primera opcin argumentando que segn clculos financieros era la mejor. Se pide: i.- Cual es el valor de la letra a 150 das de la primera alternativa? ii.- Cual es el valor del prstamo que se habra solicitado al banco? iii.- Si a contar de hoy se hubiera querido reemplazar las tres letras de la

alternativa a) por una sola a 120 das, Cual hubiera sido el valor de sta? iv.- Que opinin tiene respecto de la decisin tomada por el Ejecutivo de

Finanzas? R: a) X

200 Hoy 200 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 500 500(1+0,06) = 200(1+0,06)-3 + 200(1+0,06)-4 + X(1+0,06)-5 530 = 167,92386 + 158,41873 + 0,74726X

X = 272.538,89


23

BANPYME

b) Monto Adeudado = 500.000 (1+0,06) = 530.000.-

c) 272.538,89

200.000 Hoy 200.000 0 1 2 3 4 5 X X = 200.000(1,06) + 200.000 + 272.538,89(1,06)-1 X = 669.112,16 d) La decisin no fue la adecuada, ya que:

Incurri en un mayor costo financiero dado que negoci con nosotros al 6%, siendo que el banco le otorgaba un crdito al 5%, a saber; i = (M/C)1/n - 1 i = (644.218/530.000)1/4 - 1 i = 0,05, o 5%

Lo anterior se confirma al comparar el monto a pagar al banco

(US$ 644.218) v/s el monto del pagar de reemplazo (US$669.112,16). Por lo sealado el deudor pag US$24.894,16 en exceso.

Tasa de Inters Efectiva, Nominal y Equivalente. 1.- Tasa Efectiva Es la tasa que acta sobre el capital generando intereses. Si se dice, por ejemplo, a

un capital se le aplica el 3% mensual, esta tasa es efectiva. Hasta el momento siempre se ha trabajado con tasa efectiva.

2.- Tasa Nominal En contraposicin a efectiva, es una tasa de referencia o "base" y no es la que real

y directamente se aplica al capital. Por ejemplo, si una operacin se conviene al 12% capitalizable semestralmente, el 12% es una tasa nominal porque al haber capitalizaciones dentro del ao, la tasa efectivamente ganada en el ao es superior (ya que dentro del ao se ganarn intereses sobre intereses).

Entre la tasa nominal y efectiva existen relaciones que deduciremos ms adelante.

Sin embargo, es necesario plantear aqu una primera relacin convencional que enunciaremos como REGLA N 1.


24

BANPYME

"La tasa efectiva para un subperodo del ao se encuentra dividiendo la tasa nominal (anual) por el nmero de capitalizaciones dentro del ao."

i de un subperodo = j/m , tal que j = Tasa nominal. m = N de capitalizaciones Usando los datos sugeridos en el encabezado j = 12% y m= 2 isem = 0,12/2 = 0,06 o 6,0%

Ilustracin del concepto sealado mediante un ejemplo. Ejemplo 31) Se depositan $ 1.000.000 al 12% con capitalizacin semestral.

Determinar a) El monto acumulado al cabo de un ao, b) El inters ganado y c) La tasa de inters efectiva.

R: C = 1.000.000 j = 0,12 m= 2

isem = 0,12/2 = 0,06 semestral. a) Monto Acumulado al cabo de 2 semestres; M = C(1+i)n M = 1.000.000(1+0,06)2 = 1.123.600 b) Inters Ganado al cabo de 2 semestres; I = M-C I = 1.123.600 - 1.000.000 I = 123.600 c) Tasa Efectiva "ganada". i = I/C i = 123.600/1.000.000 i = 0,12360 o 12,36%

Como se observa, la tasa efectiva ganada (12,36%) es superior a la tasa nominal (12,00%).

Ejemplo 32) Supongamos que usted dispone de un capital de $ 1.000.000 y le ofrecieran las siguientes alternativas de inversin: a) 12% con capitalizacin semestral o, b) 12,36 anual (o capitalizacin anual). Cual elegira y porque?

R: Sin duda que dara lo mismo, ya que generan el mismo monto final

de rescate. En suma, ambas tasas son equivalentes.


25

BANPYME

3.- Tasa Equivalentes.

Son aquellas que en condiciones diferentes producen un mismo efecto o resultado (inters efectivo o monto acumulado). En los ejemplos 31 y 32 la tasa nominal del 12% capitalizable semestralmente es "equivalente" a la tasa efectiva anual del 12,36%. El monto o valor futuro se puede encontrar en funcin de la tasa nominal a travs de la siguiente frmula, la cual no requiere mayor explicacin.

Donde: m = N de capitalizaciones en el ao. n = N de aos. mxn = N de perodos de capitalizacin.

Ejemplo 33) Un capital de $ 10.000.000.- se coloc hace tres aos en un DPF con vencimiento mensual y renovacin automtica. La tasa de rentabilidad promedio durante los ltimos 3 aos a sido de un 4,8%. Determine el valor acumulado del monto depositado. R: M = 10.000.000(1+(0,048/12))(12x3) = 11.545.524 = M

4.- Tasa efectiva y nominal equivalente.

De acuerdo a las definiciones y a las ilustraciones anteriores, es evidente que el monto se puede determinar indistintamente, en funcin de la tasa nominal "j" o de la tasa efectiva "i". Esto ser el nexo que nos permitir encontrar la relacin matemtica entre ambas tasas. Los monto respectivos en funcin de la tasa efectiva y de la tasa nominal, son;

Como ya vimos, cuando las tasas son equivalentes producen un mismo monto. Por lo tanto, podemos igualar ambos montos de la siguiente forma:

Simplificando por "C" y extrayendo raz ensima, se tiene:

M = C(1 + (J/m))mxn

M = C(1+i)n

M = C(1+(j/m))mxn

C(1+i)n =

C(1+(j/m))mxn


26

BANPYME

La ltima frmula sirve para encontrar la tasa de inters efectiva "i" equivalente a

una tasa nominal "j" con "m" capitalizaciones. Ejemplo 34) Cual es la tasa de inters efectiva equivalente al 12% con

capitalizacin semestral? R: isem = (1+(0,12/2))

2 - 1 = 0,1236 = 12,36% = isem A esta altura debera estar claro que cuando se habla de una tasas con

capitalizacin, se trata de una "tasa nominal". De la frmula desarrollada se puede deducir aquella que sirva para determinar la

tasa nominal "j" con "m" capitalizaciones equivalente a una tasa efectiva "i".

Ejemplo 35) Encontrar la tasa nominal con capitalizacin semestral equivalente a la tasa efectiva del 12,36%.

R: J2 = 2((1+0,1236)

1/2 - 1) = 0,12 = 12% = J2 5.- Tasa nominal anual y tasa efectiva para un subperodo del ao. La relacin entre la tasa de inters nominal y la tasas de inters efectiva para un

subperodo del ao descrita al comienzo de esta seccin ser ilustrada con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 36) Dada la tasa nominal j = 0,12, determinar la tasa a) efectiva mensual, b) efectiva trimestral, y c) efectiva semestral.

(1+i)n = (1+(j/m))mxn

(1+i) = (1+(j/m))m

i = (1+(j/m))m - 1

i = (1+(j/m))m - 1 1+i = (1+(j/m))m / m

(1+i)1/m = (1+(j/m)) (1+i)1/m - 1 =j/m

m((1+i)1/m - 1) =j

jm = m((1+i)1/m - 1)


27

BANPYME

R: a) i = 0,12/12 = 0,01 = 1% mensual. b) i = 0,12/4 = 0,03 = 3% mensual. c) i = 0,12/2 = 0,06 = 6% mensual. Ejemplo 37) a) Si la tasa efectiva mensual es de 2%, encontrar la tasa nominal, b)

Si la tasa efectiva semestral es 5%, encuentre la tasa nominal. R: a) j12 = 0,02 x 12 = 24% b) J2 = 0,05 x 2 = 10% 6.- Tasa efectiva anual y tasa efectiva para un subperodo del ao. Efectuando un simple cambio aritmtico de la frmula genrica jm=m((1+i)

1/m- 1) se tiene:

Como j/m = tasa de inters efectiva de un subperodo del ao, de la expresin anterior se deduce la siguiente REGLA N 2: Para obtener la tasa efectiva de un subperodo del ao a partir de la tasa efectiva anual sume 1 a sta, extraiga la raz ensima y al resultado rstele 1. Ejemplo 37) Si la tasa efectiva es 12,36% encontrar: a) la tasa efectiva semestral, b) la tasa efectiva trimestral y c) la tasa efectiva mensual. R: a) isem = (1+0,1236)

1/2 - 1 = 0,06 = 6% b) itrim = (1+0,1236)

1/4 - 1 = 0,0296 = 2,96% c) imen = (1+0,1236)

1/12 - 1 = 0,00976 = 0,976% Efectuando el proceso aritmtico inverso se tiene la REGLA N 3. Para obtener la tasa efectiva anual a partir de la tasa efectiva de un subperodo, sume 1 a sta, eleve el resultado a "m" y rstele 1. Ejemplo 38) a) Si la tasa efectiva semestral es 6% determine la tasas efectiva anual, b) Si la tasa efectiva trimestral es 2,96%, determine la tasa efectiva anual y c) Si la tasa efectiva mensual es 0,976%, determine la tasa efectiva anual. R: a) i =(1+0,06)2 - 1 = 0,1236 = 12,36% b) i =(1+0,0296)4 - 1 = 0,1236 = 12,36% c) i =(1+0,00976)12 - 1 = 0,1236 = 12,36%

jm/m=((1+i)1/m- 1)


28

BANPYME

7.- Ejemplos adicionales. Ejemplo 39) Con la idea de hacer trading de tasa, un corredor de bolsa le ofrece un Bono que vence en 60 das ms, a una tasa efectiva anual del 4%, cuya valor de vencimiento asciende a 101.000.000.-. La idea es comprar este instrumento y liquidarlo a los 30 das antes de su vencimiento con el objeto de hacer una utilidad extraordinaria dado que segn usted la tasa en ese plazo se "ajustar" a niveles del 3%. Determinar a) La tasa efectiva mensual, b) Si se materializara la baja de tasas, cual sera la tasa de rentabilidad efectiva anual?

R: a) imen = 12 04,01+ -1 = (1+0,04)1/12 - 1 = 0,00327 = 0,32737% b) C= M/(1+i)n = 101.000.000 / (1+0,0032737)2 =

100.341.938.- (Equivale al valor de colocacin)

imen = 12 03,01+ -1 = (1+0,03)1/12 - 1 = 0,00247 = 0,24663% 0 1 2 101.000.000 en 30 das Venc. C = 101.000.000/(1+0,0024663)1 = 100.751.520.- I= M-C = 100.751.520 - 100.341.938.- = 409.582.- imen = 409.582/100.341.938.- = 0,00408 = 0,40819% i =(1+0,0040819)12 - 1 = 0,05010 = 5,01% = i

Frente a la perspectiva de que las tasa de mercado bajen respecto de aquellas a las que se encuentra "colocado" un inversionista, la liquidacin de uno o mas instrumentos, una vez que bajen las tasas genera beneficios extraordinarios.

8.- Tasa efectiva y tasa nominal para perodos base distinto del ao. Hasta el momento el perodo base ha sido por convencin siempre un ao. Por esta

razn, toda tasa sin especificacin del perodo, se ha debido entender como anual. Todos los conceptos explicados, tanto frmulas como reglas se pueden aplicar a

cualquier perodo base. Sobre el particular es necesario desarrollar un esfuerzo de adaptabilidad racional.

Para reforzar lo sealado revisaremos el ejemplo siguiente: Ejemplo 40) Dada la tasa del 18% SEMESTRAL capitalizable trimestralmente.

Encontrar; a) La tasa efectiva trimestral, b) La tasa efectiva mensual., c) La tasa efectiva semestral, y d) La tasa anual efectiva.


29

BANPYME

R: a) j = 0,18 (Aplicando reglas previas) m= 2 itrim = 0,18/2 = 0,09 = 9%

b) imensual = 3 09,01+ - 1 = (1+0,09)1/3 - 1 = 0,02914 = 2,91425%

c) La tasa efectiva semestral se puede determinar a partir de la mensual o trimestral antes calculadas.

isemestral = (1+0,0291425)

6 - 1 = 0,18810 = 18,81% isemestral = (1+0,09)

2 - 1 = 0,18810 = 18,81% d) La tasa efectiva anual puede obtenerse indistintamente a

partir de la efectiva mensual, trimestral o semestral antes calculadas.

ianual = (1+0,02914)12 - 1 = 0,4116 = 41,16%

ianual = (1+0,09)4 - 1 = 0,4116 = 41,16%

ianual = (1+0,1881)2 - 1 = 0,4116 = 41,16%

9.- Estructura de tasa de inters Con el propsito de objetivizar el tema de la composicin de la tasa de inters, en

esta instancia del curso asumiremos la posicin de una empresa que ofrece crdito por el cual aplica intereses sobre la base de ventas y/o renegociaciones.

Hasta ahora hemos asumido la tasa de inters como un valor absoluto, sin hacer

mayor cuestin a la forma en que se encuentra estructurada. Sobre el particular es necesario entender que la tasa de inters es un dato compuesto que se determina a partir de los siguientes elementos, a saber;

i) Tasa de Inters = Tasa Base + Spread

a) Tasa Base; Es el costo de fondos o costo de oportunidad mas costos directos de una instancia crediticia.

b) El spread depender de las condiciones y categoras especficas de oferentes y requirentes de fondos, as como del escenario que rodea una operacin de crdito.

ii) Principios Generales; a) A mayor incertidumbre econmica mayor spread. b) A mayor riesgo y costo de una operacin, mayor spread. c) Si la operacin involucra venta de producto; A mayor margen de

comercializacin menor spread.


30

BANPYME

d) No tiene sentido los spread altos ante riesgos muy altos.

Rentabilidad del Crdito (%) Tasa Base Tasa de Inters Cobrada (%) iii) Determinacin de Tasa Base.

Tasa Base = Costo de Fondos + Costos Directos del Crdito

Costo de Fondo;

i) Costo Promedio o Costo Marginal de Endeudamiento, o ii) Costo de Oportunidad o Alternativo de Reinversin de Flujos.

Sobre este tema, es necesario distinguir aquellas personas (naturales y/o jurdicas) con necesidades de financiamiento, respecto de aquellas que no tienen necesidad de ste.

En primer caso la empresa debe "financiar" su inversin en Cuentas por Cobrar por lo que necesita recurrir al crdito comercial (costo implcito) y/o a crdito bancario en cuyo caso se debe verificar el costo de dichos fondos (costo explcito). En los dos casos resulta "pertinente" considerar que, ya sea implcita o explcitamente el financiamiento considera un costo de financiamiento a tasas de mercado. Ante la situacin en que una empresa no requiere financiamiento, el dato relevante es su costo de oportunidad. Sobre este punto existen posiciones diversas que es del caso discutir. Algunas instituciones asumen como costo de oportunidad el mejor

rendimiento asociado a la "colocacin" de fondos "estacionales" de caja. En la medida que estos fondos asuman el carcter de "permanentes" se esta frente a una decisin de poltica que es necesario revisar ya que la inversin de fondos de una empresa en activos financieros de rendimiento cercano al libre de riesgo, equivale a invertir en un proyecto con VAN negativo o TIR inferior a la tasa de rendimiento mnimo requerido.

Otras proponen que el costo de oportunidad esta dado por el rendimiento mnimo requerido por los inversionistas (Rt = Utilidad Neta/Patrimonio),


31

BANPYME

lo que eventualmente podra "toparse" con criterios mximos convencionales.

Sobre esta materia se sugiere tomar en cuenta lo siguiente, a saber; Las empresas deben mantener un mnimo de fondos disponibles en caja,

banco y valores negociables de fcil liquidacin. Este mnimo esta dado por las necesidades de transaccin que tenga la empresa.

Dado el escenario descrito, resulta evidente que en la medida que se pretenda ofrecer crdito, habr que financiar esta asignacin de fondos mediante la obtencin de recursos va crdito comercial y/o crdito bancario.

Por lo sealado corresponde considerar el costo del financiamiento (implcito o explcito), fijado por el mercado.

Lo descrito nos permite reconocer que el costo de fondos es un dato de mercado asociado al precio del dinero. Sobre el particular resulta interesante revisar el nivel promedio mnimo de la tasa de colocacin nominal a 30 das, al 27 de Noviembre del 2002 (Fuente Diario Financiero), la que ascendi a 0,8%.

Tasa "Nominal" Mensual = 0,80%(Costo de Fondos)

Respecto de esta tasa es necesario considerar que se trata de una tasa "compuesta" en trminos de "inters real" mas "inflacin" proyectada. Sobre el particular la frmula que determina la tasa "nominal" de inters es:

Ejemplo 41) Suponiendo una tasa de inflacin proyectada es de 0,25% mensual. Determinar la tasa de inters real: (1+0,008) = (1+ireal) x (1+0,0025) (1,0080) = (1+ireal) (1,0025) (1+ireal) =1,00549 ireal) =0,00549 = 0,55%

Costos Directos del Crdito;

Costo de Recaudacin, PAC (Opcional). Para graficar esta materia empleamos el caso de una empresa que comercializa productos intangibles (precio medio $ 545.702, plazo promedio del crdito 10

(1+inominal) = (1+ireal) x (1+Tasainflacin)


32

BANPYME

meses, cuota promedio $ 57.000). Dado un costo de Recaudacin (PAC) de UF 0,02, es decir app.$ 320. entonces es necesario un ajuste que permita cubrir dicho costo, a saber;

Valor Actual del Gasto PAC

A = 320 ( 1-(1+0,008)-10) 0,008 A = 3.064.- (Valor Actual del Gasto PAC) Valor Actual Ajustado; $ 545.702 + 3.064 = 548.766.-

Determinacin de la tasa con el ajuste del Gasto PAC. R = 548.766/ (1-(1+0,008)-10)

0,008 R = 57.320.-

A continuacin se determina la tasa "ajustada" que genera cuotas de $ 57.320 respecto de una venta al crdito de "$545.702"

R = 545.702/ (1-(1+i)-10) = 57.320 i i = 0,90398 %

En virtud de lo anterior la TASA BASE asciende a:

(0,80%)+(0,10398%)=0,90398 % Nom. Mensual = Tasa Base

La tasa antes sealada me permite cubrir el costo de fondo as como los gastos de recaudacin por PAC.

Nota: Esta materia ser reforzada al tratar la materia relativa a renta.

iv) Determinacin del Spread.

C.Fijos de Oper., Admin. y Control MAS Adicional por Riesgo y Utilidad Spread

Costos Fijos de la Operacin, administracin y control; Sistemas, Remuneraciones,,Gastos Generales, Folletera, Correspondencia, Gastos Bancarios, etc.. Ejemplo de una empresa de servicios;

Costo de Cob. y Rec. por Cuota UF 0,1122 (app. $ 1.791) Determinacin de Costos Fijos de la Operacin, Administracin y Control Valor Actual del Costo de Cobranza


33

BANPYME

A = 1.791 ( 1-(1+0,008)-10) 0,008 A = 17.147.- (Valor Actual del Gasto de Recaudacin)

Valor Actual Ajustado; $ 548.766 + 17.147 = 565.913.-

Determinacin de la tasa con el ajuste del Gasto de Recaudacin R = 565.913/ (1-(1+0,008)-10)

0,008

R = 59.111.- A continuacin se determina la tasa "ajustada" que genera cuotas de $ 59.111 respecto de una venta al crdito de "$545.702"

R = 545.702/ (1-(1+i)-10) = 59.111.- i

i = 1,48%

En virtud de lo anterior la TASA BASE mas los Gastos de Recaudacin asciende a:

(0,80%)+(0,10398%)+(0,57602%)=1,48%Nom. Mensual

Adicional por Riesgo y Utilidad; Dependen bsicamente del cliente, del momento econmico, de la empresa y de las restricciones legales. En esta materia y tratndose de una empresa de servicios (no bancaria), la idea sera considerar la tasa de rentabilidad sobre patrimonio. Si consideramos que la rentabilidad de esta empresa asciende a un 12% efectivo anual, se tiene que la tasa efectiva mensual ascendera un 0,95%.

Tasa de Inters = 1,48% + 0,95% = 2,43%

Nota: Tasa mxima convencional vigente al 27 de Noviembre: Operaciones no reajustables moneda nacional a menos de 90 das:

Crditos < o iguales a UF 5.000; 1,325% mensual. Crditos > a UF 5.000; 0,56% mensual.

Operac. no reajustables moneda nacional mayor o igual a 90 das: Crditos < o iguales a UF 200; 3,145% mensual. 200 < Crditos < o igual a UF 5000; 2,1667% mensual.

Crditos > a UF 5000; 0,8975% mensual. Operaciones reajustables moneda nacional:

Crditos < a un ao; UF + 0,29417% mensual. Crditos > a un ao o ms; UF + 0,62917% mensual.

Operaciones moneda extranjera: Tipo de Cambio + 0,4075% mensual.

v.- Tasa mxima convencional.


34

BANPYME

Por disposicin del artculo 6 de la ley 18010 la Superintendencia de Bancos e Instituciones Financieras publica mensualmente, en el Diario Oficial, las tasas de inters corriente y las tasa de inters mximo convencional que rigen a partir de su fecha de publicacin. Importante es destacar que las instituciones financieras y otras consignadas en las ltimas modificaciones legales no pueden pactar una tasa de inters superior a la mxima convencional vigente para el perodo. El inters mximo convencional equivale al inters corriente (tasa promedio del sistema bancario) aumentado en un 50%.

VII.- Rentas o Anualidades Ordinarias. 1.- Definicin y clasificacin.

Renta o anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Los intervalos de tiempo entre cada renta o anualidad se llaman intervalos de pagos y pueden ser mensuales, trimestrales, anuales, etc. Son anualidades los arriendos, sueldos, dividendos sobre acciones, pagos a plazo, pagos semestrales de inters sobre bonos, primas anuales en plizas de seguros de vida etc.

Las rentas se pueden clasificar segn lo sealado en el siguiente cuadro:

Rentas eventuales son aquellas en las que el primer o ltimo pago, este es, la fecha inicial y/o fecha final depende de algn acontecimiento previsible, pero cuya fecha de realizacin exacta no puede fijarse. Ejemplo; Un contrato hecho con una Compaa de Seguros de Vida, en la que sta se obliga a pagar una cierta cantidad de dinero a una persona mientras est viva en el caso que fallezca el asegurado.

Eventuales Vencidas A Plazo Anticipadas Rentas No Diferidas Vencidas

Perpetua Anticipadas Ciertas Vencidas A Plazo Anticipadas Diferidas Vencidas Perpetua Anticipadas


35

BANPYME

Rentas ciertas a diferencia de las eventuales son aquellas cuyas fechas de inicio y trmino se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Ejemplo; El pago de un prstamo. Rentas no diferidas son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en el primer intervalo de pago. Ejemplo; El pago de un prstamo sin perodo de gracia. Rentas diferidas son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en una fecha posterior. Ejemplo; El pago de un prstamo con perodo de gracia. Rentas a plazo son aquellas en las que la duracin del pago es limitada. Es decir, la fecha de trmino es conocida. Ejemplo: Pago de un prstamo. Rentas perpetuas a diferencia de las a plazo, son aquellas en las que la duracin del pago es ilimitada. Ejemplo; Premio Nobel, Nacional de Literatura y los dividendos peridicos sobre las acciones. Rentas vencidas son aquellas en las que los pagos ocurren al final de cada perodo o intervalo de Pago. Ejemplo; Las remuneraciones. Rentas anticipadas son aquellas en las que los pagos ocurren al principio de cada intervalo de pago. Ejemplo; Los arriendos de bienes races. Las rentas ciertas, no diferidas, a plazo y vencidas se llaman ORDINARIAS y son las que constituyen el objeto de esta etapa del curso.

2.- Monto o valor futuro de una renta ordinaria. El monto o valor futuro lo ilustramos con un sencillo ejemplo.

Ejemplo 42) Se depositan $ 1.000.000 al final de cada mes a una tasa de inters del 2% mensual. Qu cantidad se tendr acumulada a los 4 meses? R: El monto o valor futuro de la renta es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el trmino del plazo de la renta.

0 2% 1 2% 2 2% 3 2% 4 1.000 1.000 1.000 1.000 + 1.000(1+0,02)1 + 1.000(1+0,02)2 + 1.000(1+0,02)3

M = 1.000+1.000(1+0,02)1+1.000(1+0,02)2+1.000(1+0,02)3


36

BANPYME

Factorizando se tiene: M = 1.000(1+(1,02)1+(1,02)2+(1,02)3) M = 1.000.000(4.12161) M = 4.121.608

Para la deduccin de la frmula general se observa en el ejemplo anterior que el ltimo pago no alcanza a ganar intereses y el primer pago gana intereses por (n-1) perodos. Sean; M = Monto o valor futuro. R = Renta o pago peridico i = Tasa de inters por perodo. n = Nmero de perodos. El primer pago acumula intereses durante (n-1) perodos, el segundo durante (n-2) perodos y, as sucesivamente hasta el ltimo pago que no gana intereses, ya que coincide con la fecha de trmino. El monto total "M" de las anualidades, ser igual a la suma de los montos producidos por las distintas rentas "R", es decir;

Factorizando por R;

Los trminos entre parntesis constituyen una progresin geomtrica cuya que al ser deducida es: (1+i)n-1 (Factor de Capitalizacin)

i Por lo anterior la frmula general es: La solucin del ejemplo 42, aplicando la frmula es: M = 1.000.000 (1+0,02)4 -1 = 1.000.000 (4.121608) = 4.121.608 0,02

De la frmula general se puede despejar "n" en funcin de M, R e i, y "R" en funcin de M, n e i.

M = R+R(1+i)1+R(1+i)2................R(1+i)n-2+R(1+i)n-1

M = R(1+(1+i)1+(1+i)2................(1+i)n-2+(1+i)n-1)

M = R (1+i)n-1

i

n=log((M/R) i + 1) log(1+i)


37

BANPYME

La variable i no se puede despejar, pero su valor se puede obtener mediante el uso de una calculadora financiera.

Ejemplo 43) En cuanto tiempo, depsitos de US$ 50.000 anuales se transforman en US$ 305.255 al 10% anual? R: R = 50.000 M = 305.255 i = 0,10

Aplicando la frmula se tiene: n=log((305.255/50.000)x0,10 + 1) =5 aos.

log(1+0,10) Ejemplo 44) Cunto se debe depositar trimestralmente al 5% trimestral para acumular $ 6.305.000 al cabo de 9 meses?

R: R = ? M = 6.305.000 i = 0,05 n = 3 trimestres R = 6.305.000 / ((1+0,05)3 -1) = 2.000.000 0,05

Ejemplo 45) A que tasa de inters mensual se efectuaron 5 depsitos mensuales de US$ 10.000 que al trmino del plazo acumula US$ 51.010,05.-

R: i = ? n = 5 R = 10.000 M = 51.010,05

En este caso la alternativa pasa por el empleo de calculadora financiera la que debe arrojar un resultado de 1% mensual.

3.- Valor actual o presente de una renta ordinaria. En forma anloga a la seccin anterior, comenzaremos planteando un ejemplo.

Ejemplo 46) Si usted va a recibir $ 5.000.000 al final de cada mes durante 3 meses. Cunto estara dispuesto a aceptar hoy a cambio de esos pagos si la tasa de inters a la que usted puede invertir es del 3% mensual?

R = M/((1+i)n-1) i


38

BANPYME

R: El valor presente de una renta es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo.

0 3% 1 3% 2 3% 3 5.000 5.000 5.000

5.000/(1+0,03)1 + 5.000/(1+0,02)2 + 5.000/(1+0,02)3

A = 5.000/(1+0,03)1+ 5.000/(1+0,02)2+5.000/(1+0,02)3= 14.143.057

= A

Supongamos una Renta de "n" pagos (n perodos); El valor actual del primer pago es A1 = R/(1+i)

1 El valor actual del segundo pago es A2 = R/(1+i)

2 El valor actual del primer pago es An = R/(1+i)

n

El valor actual de la renta A, es A = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 +...............+ R/(1+i)n

Factorizando: A = R ( 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 +...............+ 1/(1+i)n)

Los trminos entre parntesis constituyen una progresin geomtrica de "n" trminos, cuyo primer trmino es 1/(1+i) y cuya razn o cuociente constante es 1/(1+i). La suma de esta progresin deduciendo las frmulas correspondientes es:

La solucin del ejemplo 46, aplicando la frmula anterior es:

A = 5.000.000 1-(1+0,03)-3 = 14.143.057.- 0,03

Otra definicin del valor presente dice que es aquella cantidad de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad, dar una suma equivalente al monto de la anualidad. En el ejemplo 46 si tomamos el valor presente de $ 14.143.057 y lo llevamos al final del tercer mes (fecha focal) al 3% mensual, tendremos un monto igual a:

M = A (1+i)n = 14.143.057(1+0,03)3 = 15.454.500.-

1-(1+i)-n i

(Factor de Actualizacin)

A = R 1-(1+i)-n

i

luego


39

BANPYME

Por otra parte, el monto final de la renta de $ 5.000.000 mensual al 3% mensual al final del tercer mes, aplicando la frmula pertinente es:

M = 5.000.000 (1+0,03)3 -1 = 5.000.000 (3,0909) = 15.454.500 0,03

Respondiendo la pregunta planteada en el ejemplo 46, podemos sealar que se es indiferente entre percibir $ 14.143.057 hoy, o percibir tres rentas de $ 5.000.000 durante tres meses si la tasa de inters es 3% mensual. En ambos casos, el monto acumulado al final del tercer mes ser de $ 15.454.500.- De la frmula de valor actual de una anualidad se puede despejar "n" y "R". La variable "i" no se puede despejar y su valor se encuentra mediante el uso de la calculadora financiera.

Esta frmula slo es vlida cuando (A/R)i < 1, ya que de lo contrario se tendra el logaritmo de un nmero negativo, el cual no existe: Si (A/R)i > 1, el valor de "n" se encuentra con calculadora.

Ejemplo 47) La herencia de una persona asciende a US$ 390.000.- Una Compaa recibe instrucciones de pagar a los herederos US$ 25.000 por ao. Si el capital se invierte al 5% Durante cuantos aos los herederos recibirn los pagos?

R: A = 390.000 R = 25.000 i = 0,05 n = ?

n =- log(1-(390.000/25.000)0,05) = 31,03 aos. log(1+0,05)

Ejemplo 48) Se depositaron US$ 550.000 al 4% trimestral para percibir una determinada renta trimestral durante 6 aos. A cuanto ascienden dichas rentas? R: A = US$ 550.000 i = 0,04 n = 6x4=24 trimestres. R = ?

R = 550.000/(1-(1+0,04)-24)= 36.072,76

n=- log(1-(A/R)i) log(1+i)

R = A/(1-(1+i)-n) i


40

BANPYME

0,04

Ejemplo 49) Un deudor le adeuda $ 1.800.000 que el propone pagar en 6 cuotas mensuales iguales de $ 319.722.- Que inters consider para calcular la cuota?

R: A = 1.800.000 n = 6 R = 319.722 i = ?

Con calculadora se determina que la tasa empleada fue de 1,85% mensual. 4.- Amortizacin

Es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses por medio de pagos, generalmente iguales, efectuados en intervalos de tiempo iguales.

An cuando existen variados sistemas de amortizacin veremos aquel sistema creado en EUROPA que es el mas generalizado y de mayor aplicacin en el campo financiero. En este sistema, los pagos son iguales y cada uno de ellos sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.

Ejemplo 50) Se solicita un prstamo de $ 100.000 pagadero en 5 cuotas mensuales iguales y sucesivas. El inters cobrado es del 2% mensual. Los pagos son a mes vencido. Determinar el importe de cada cuota y b) confeccionar la "tabla de amortizacin". R: a) A = 100.000 n = 5 meses i = 0,02 R = ? R = 100.000/ (1-(1+0,02)-5) 0,02

R = 21.215,84

b) Cada pago o renta de $ 21.215,84 se aplica en primer lugar para pagar el inters vencido en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda (amortizarla). La parte de la deuda no cancelada en una fecha dada se denomina saldo insoluto o capital insoluto en la fecha.

Tabla de Amortizacin


41

BANPYME

Fecha Pago o Interes Sobre Amortizacin Saldo o CapitalCuota Saldo Insoluto Insoluto

al inicio 0.00 0.00 0.00 100,000.00Final mes 1 21,215.84 2,000.00 19,215.84 80,784.16Final mes 2 21,215.84 1,615.68 19,600.16 61,184.00Final mes 3 21,215.84 1,223.68 19,992.16 41,191.84Final mes 4 21,215.84 823.84 20,392.00 20,799.84Final mes 5 21,215.84 416.00 20,799.84 0.00TOTALES 106,079.20 6,079.20 100,000.00

Obsrvese que la suma de los pagos mensuales es igual a la suma de los intereses sobre saldos, ms la suma de las amortizaciones.

Ejemplo 51) En ejemplo 50 encontrar el capital insoluto justamente despus del tercer pago y el inters incluido en la cuarta cuota. Compare los resultados con los valores de la tabla anterior. R: El capital insoluto A justamente despus del tercer pago, es el valor presente de los 5-3=2 pagos que an faltan por hacer. Luego: A= 21.215,84 (1-(1+0,02)-2 ) = 41.191,84 (ver cuadro previo) 0,02 Finalmente el inters incluido en la cuarta cuota es la tasa de inters multiplicada por el saldo a comienzos del 4 mes, vale decir 41.191,84x0,02=823,84. (ver cuadro previo)

5.- Fondo de Amortizacin.

Un fondo de amortizacin es dinero que va acumulndose mediante pagos o depsitos peridicos que ganan cierto inters, de manera tal que en un nmero determinado de perodos se obtiene un monto prefijado. En el fondo de amortizacin, cada suma que se reserva o deposita peridicamente es una renta que gana intereses que se capitalizan en cada perodo de capitalizacin. Ejemplo 52) Una empresa debe rescatar bonos dentro de 6 aos por una suma de $ 500.000.000.El directorio acuerda efectuar reservas anuales iguales con el objeto de disponer de los fondos necesarios en la fecha de rescate. El dinero puede invertirse al 10%. a) Encontrar la suma a depositar o reservar cada ao y b) Confeccionar un cuadro que muestre el crecimiento del fondo. R: a) M = 500.000.000 i = 0,10 n = 6 R = ? R = 500.000.000 / ((1+0,10)6 -1) = 64.803.690.- 0,10


42

BANPYME

b) Tabla del Fondo de Amortizacin

Fecha Pago o Inters sobre Total Agregado Total enCuota el Fondo al Fondo el Fondo

Final ao 1 64,803,690 0 64,803,690 64,803,690Final ao 2 64,803,690 6,480,369 71,284,059 136,087,749Final ao 3 64,803,690 13,608,775 78,412,465 214,500,214Final ao 4 64,803,690 21,450,021 86,253,711 300,753,925Final ao 5 64,803,690 30,075,393 94,879,083 395,633,008Final ao 6 64,803,690 39,563,301 104,366,992 500,000,000Totales 388,822,140 111,177,859 500,000,000

Ejemplo 53) En el ejemplo 52 encontrar el total en el fondo justamente despus del 5 depsito y determine cuanto del incremento al fondo en el sexto ao corresponde a intereses. Compare los resultados con los valores de la tabla del ejercicio anterior.

R: El importe en el fondo justamente despus del 5 depsito es; M = 64.803.690 ((1+0,10)5 -1) = 395.633.008 0,10

El inters ganado por el fondo en el sexto ao es el inters producido en un ao por el monto en el fondo justamente despus del 5 depsito, en consecuencia es igual a 395.633.008x0,10=39.563.301.- Casos Complementarios Ejemplo 54) Una partida de producto se vende al crdito bajo las siguientes condiciones; $ 3.500.000 al contado y 3 letras a 30, 60 y 90 das, las que sern firmadas ante notario. Respecto de las letras, el costo ITE y los gastos notarial de $ 1.000 por cada documento visado ser asumido por el deudor, a travs de cada una de las parcialidades. Si la tasa de inters cargada es la mxima convencional (al mes de noviembre del 2002), se pide determinar el valor de cada cuota si el total de la factura de venta asciende a $15.400.000.-. R: Monto de la Venta; $ 15.400.000.-

Pago de Contado; $ 3.500.000.- "M" ; 11.900.000.-

Tasa de Inters Mensual; 1,325% mensual, (Max. Convencional) Plazo; 30, 60 y 90 das. Tasa de Impuesto de Timbre; 0,134 % por mes o fraccin de mes. Gastos Notariales; $ 1.000 por cada documento visado.

R = 11.900.000/ (1-(1+0,01325)-3) 0,01325 R = 4.072.244.-


43

BANPYME

Monto de cada letra asciende a:

Mes Monto ITE (Men.) ITE (Aplic.) Gasto Not. Monto Letra

1 4,072,244 5,457 5,457 1,000 4,078,701

2 4,072,244 5,457 10,914 1,000 4,084,1583 4,072,244 5,457 16,370 1,000 4,089,614

TOTAL 12,216,732 16,370 32,741 3,000 12,252,473

Como se aprecia en el cuadro adjunto, las letras son de distinto monto debido al impuesto de timbre. Con el objeto de incorporar el ITE y el gasto notarial de manera "homognea", en cada cuota, se sugiere incorporar estos gastos a la base de clculo, mediante la incorporacin de un nico pagar en garanta "sin fecha de vencimiento", a saber;

"X" = Crdito Primario = $ 11.900.000.- Gasto Notarial $ 1.000 Tasa Impuesto de Timbre 0,67%

(11.900.000 + 1000)+ ("X" x 0,006) = "X" 11.901.000+ ("X"0,0067) = "X"

11.901.000 = "X"-("X"0,0067) 11.901.000 = 0,9933"X" "X" = 11.981.275

Por lo anterior el crdito se estructura en los siguientes trminos: Monto del Crdito Primario $ 11.900.000 Gasto Notarial $ 1.000 Impuesto de Timbre $ 80.275 Monto del Crdito $ 11.981.275

R = 11.981.275/ (1-(1+0,01325)-3) 0,01325 R = 4.100.057.-

NOTA: Lo sugerido en orden a emplear un documento en garanta sin fecha de vencimiento (plazo mximo de un ao a contar de la fecha de emisin), resulta vlido en la medida que una organizacin asigne lneas de crdito a sus clientes con el objeto de respaldar los trminos del convenio asociado. Asimismo permite "ejecutar" la cobranza frente a cualquier incumplimiento que presente el deudor. De manera alternativa esta la figura del pagar "en blanco" con carta instruccin de llenado (ambos documentos firmados ante notario, con o sin aval), lo que representa una alternativa menos honerosa para el deudor, en cuyo caso el monto de las cuotas ascendera a $ 4.072.244.- mas un reembolso de gastos notariales de $ 2.000 por una sola vez.


44

BANPYME

Ejemplo 55) Sobre la base de lo planteado en el ejemplo 54, el deudor ofrece, inmediatamente despus del 1er pago, liquidar el saldo de la deuda con un pago nico e inmediato. A cuanto asciende el pago si la tasa mxima convencional vigente es de un 1,5% mensual?. (Para la respuesta emplee la modalidad de crdito con los gastos notariales e ITE incluido).

Antes de desarrollar el ejemplo es necesario resolver el tema de la tasa a la cual la empresa aceptara el "prepago" del saldo. Con el objeto de definir esta tasa, se sugiere ver esta situacin como una alternativa de inversin temporal en que la tasa estar dada por el costo de oportunidad o la mejor alternativa de inversin al momento de la renegociacin. Al Martes 3 de Diciembre la tasa de captacin promedio a 30 das era de 0,17%.

R: Considerando la tasa mxima convencional.

0 1,5% 30 ds. + 1,5% 60 ds. + 4.100.057.- 4.100.057.- A = 4.100.057 ((1-(1+0,015)-2)/0,015) = 8.019.234.-

Considerando la tasa de costo de oportunidad.

0 0,17% 30 ds. + 0,17% 60 ds. + 4.100.057.- 4.100.057.- A = 4.100.057 ((1-(1+0,0017)-2)/0,0017) = 8.179.251.- Como se aprecia, emplear la tasa adecuada de renegociacin puede significar diferencias sustanciales en el resultado. Finalmente y debido a que un cliente pudiera objetar los "parmetros" de la renegociacin, es necesario definir previamente los trminos de una renegociacin y/o prepago, ya que nada se ha sealado respecto del factor riesgo asociado a mantener cuentas por cobrar v/s disponer de los fondos.

Nota Relativa al Prepago de Crditos: Un deudor tiene derecho a efectuar un prepago, an contra la voluntad del acreedor si el crdito no supera las UF 5.000. No obstante se requerir siempre del consentimiento del acreedor si el pago anticipado es inferior al 25% del saldo de la deuda. (Crditos en general, incluidos los de consumo).

Si fue otorgado antes del 4 de Noviembre de 1997.


45

BANPYME

En este caso, el prepago total o parcial significa pagar todos los intereses pactados, a menos que el acreedor decida no cobrar parte de ellos.

Si fue otorgado despus del 4 de Noviembre de 1997. Se paga el capital que se anticipa y los intereses calculados hasta la fecha en que se hace el prepago, ms una comisin de prepago que tiene derecho a cobrar el acreedor (artculo 10 de la Ley 18010 actualmente vigente). Respecto de la comisin de prepago hay que distinguir entre: Operaciones no reajustables (en pesos). Esta comisin, a falta de

acuerdo, no puede exceder el equivalente a un mes de intereses calculados sobre lo que se prepaga. No puede estipularse una comisin que exceda el equivalente a dos meses de intereses.

Operaciones reajustables (en UF). La comisin, a falta de acuerdo, no puede exceder el equivalente a un mes y medio de intereses calculados sobre lo que se prepaga y no puede exceder el equivalente a tres meses de intereses calculados sobre dicho prepago.

En nuestro ejemplo, supondremos que se cobra una comisin de prepago equivalente a un mes de intereses calculado sobre el saldo insoluto (este cobro no amerita acuerdo previo).

Fecha Pago o Intereses Sobre Amortizacin Saldo o Capital

Cuota Saldo Insoluto Insoluto

al inicio 0 0 0 11,981,275

Final mes 1 4,100,057 158,752 3,941,305 8,039,970

Final mes 2 4,100,057 106,530 3,993,527 4,046,442

Final mes 3 4,100,058 53,615 4,046,443 0

TOTALES 12,300,172 318,897 11,981,275

Por lo tanto el pago del saldo insoluto mas los intereses de un mes asciende a $ 8.039.970 + 106.530 = 8.146.500.-

6.- Amortizaciones Alternativas.

Amortizacin de cuotas de capital iguales e inters sobre saldo insoluto (cuotas decrecientes). Empleando los trminos del ejemplo 55, se tiene la siguiente tabla de desarrollo;


46

BANPYME

Fecha Pago o Cuota Inters Sobre Amortizacin Saldo o CapitalSaldo Insoluto Insoluto

al inicio 0 0 0 11.981.275Final mes 1 4.152.510 158.752 3.993.758 7.987.517Final mes 2 4.099.593 105.835 3.993.758 3.993.758Final mes 3 4.046.676 52.917 3.993.758 0TOTAL 12.298.779 317.504 11.981.275 Amortizacin del capital al final del perodo y cobro de intereses sobre saldo

insoluto. Empleando los trminos del ejemplo 55, se tiene la siguiente tabla de desarrollo;

Fecha Pago o Cuota Inters Sobre Amortizacin Saldo o Capital

Saldo Insoluto Insolutoal inicio 0 0 0 11.981.275Final mes 1 158.752 158.752 0 11.981.275Final mes 2 158.752 158.752 0 11.981.275Final mes 3 12.140.027 158.752 11.981.275 0TOTALES 12.457.531 476.256 11.981.275 Ejemplo 56) Una empresa debe acumular $ 105.000.000 para el reemplazo de una maquinaria a efectuarse dentro de 6 meses ms. a) Determinar la cantidad que se debe depositar mensualmente a una tasa efectiva del 12,36% para disponer de los fondos necesarios, b) Cuanto es el inters agregado al fondo en el cuarto mes?.

R: La tasa de inters dada en este problema es anual (porque no se especifica el perodo de inters).

imensual = 12 1236,01+ -1 = 0,00976 = 0,97588%

R = 105.000.000 / ((1+0,0097588)6 -1) = 17.077.890.-

0,0097588

Fecha Pago o Intereses Sobre Total Agregado Total enCuota el Fondo al Fondo el Fondo

Final mes 1 17,077,890 0 17,077,890 17,077,890Final mes 2 17,077,890 166,660 17,244,550 34,322,440Final mes 3 17,077,890 334,946 17,412,836 51,735,276Final mes 4 17,077,890 504,874 17,582,764 69,318,040Final mes 5 17,077,890 676,461 17,754,351 87,072,391Final mes 6 17,077,890 849,722 17,927,609 105,000,000

0 102,467,340 2,532,663 105,000,000

Ejemplo 57) Con fecha 11 de Junio del ao 1999, el Banco Santander confiri un crdito hipotecario (MMHH) al 7,8% efectivo anual por la suma de UF 2.889 a 20 aos pagadero en cuotas mensuales de UF 23,3351. En la actualidad existe la posibilidad de que renegocia su crdito con otra institucin, al 5,6% efectivo anual, sobre la base del tiempo que resta para terminar de pagar con la actual institucin acreedora.


47

BANPYME

Con el objeto de efectuar un "anlisis preliminar" acerca de la conveniencia de esta alternativa se debe tomar en consideracin lo siguiente:

a) ITE = 0,6% (Slo para efectos de clculo, ITE; 0,804%) b) Dado el rgimen tributario que le afecta, usted puede rebajar de sus

impuestos, el equivalente a un dividendo mensual. c) Al renegociar pierde el beneficio tributario sealado en la letra b). d) Los gastos operacionales del nuevo crdito ascienden a $ 820.000.- e) El prepago del crdito actual equivale a tres meses de inters.

Se pide evaluar y resolver acerca de la alternativa de renegociacin, habiendo pagado la cuota del 11 de Noviembre (fecha focal).

R: Saldo insoluto despus del pago efectuado el 11 de Noviembre. Al respecto la cuota pagada a esa fecha corresponde a la nmero 40, por lo que queda 200 cuotas por pagar.

2002 11 11 1999 06 11 0003 05 00

Del clculo descrito se desprende que el crdito tiene 3 aos y 5 meses de vigencia, es decir 41 meses, sin embargo se rebaja el primero ya que los crditos son a mes vencido.

Cuadro de Anlisis

Tasa efectiva mensual = 12 078,01+ - 1 = 0,00628 = 0,62786% Saldo insoluto despus del pago N 40.

A = 23,3351 (1-(1+0,0062786)-200 /0,0062786) = 2.653,6915 Costo de prepago

Saldo insoluto x inters x 3 = 2.653,6915 x 0,0062786 x 3 = 49,9844 Gastos Operacionales equivalentes a $ 820.000 (TC 16.616,47) es

decir 49,34863

Monto del nuevo crdito. Saldo Insoluto 2.653,69150 Inters por Prepago 49,98440 Gastos Operacionales 49,34863 Subtotal 2.753,02453 ITE 0,6% (*) 16,61785 Total 2.769,64238 (ver clculo adjunto) 2.753,02453 + (0,006"X") = "X"

2.753,02453 = 0,994"X" "X" = 2.769,64238

Clculo de la nueva cuota


48

BANPYME

Tasa aplicable al nuevo crdito (5,6% efectivo anual)

Tasa efectiva mensual = 12 056,01+ - 1 = 0,00455 = 0,45510% Monto Cuota = 2.769,64238/(1-(1+0,0045510)-200 ) = 21,12305

0,0045510

Si en este momento se compara el dividendo actual (23,3351) con el nuevo dividendo (21,12305) la respuesta se debera estructurar en los siguientes trminos:

Dividendo Actual 23,33510

menos Dividendo Reneg. 21,12305 Menor Dividendo 2,21205

V.A. del menor Div. = 2,21205 (1-(1+0,0045510)-200) = 290,04268

0,0045510

Slo faltara evaluar el beneficio tributario que se pierde y que equivale aproximadamente a un dividendo anual (app. en mayo de cada ao), a saber;

A = 23,3351 (1-(1+0,056)-16 /0,056) = 242,43772

Beneficio Neto de la Renegociacin:

Valor Actual del Ahorro = 290,04268 V.A. del Beneficio Tributario = 242,43772 Beneficio Neto = 47,60496

Ejemplo 58) Existen dos alternativas que llamaremos A y B para adquirir una mquina y cuyas caractersticas se sealan:

Descripcin A B

Inversin Inicial 25,000 18,000Vida til 5 aos 4 aosValor Recupero 2,000 1,000Flujo 1 10,000 6,000Flujo 2 10,000 10,000Flujo 3 10,000 15,000Flujo 4 10,000 10,000Flujo 5 10,000 0

Determine el Valor Presente Neto de cada alternativa si la tasa de descuento (inters) es del 9%, y proponga la mejor alternativa de inversin.


49

BANPYME

R: Frmula General del VAN (Valor Actual Neto).

Proyecto "A":

0 1 2 3 4 5

-25.000 10.000 10.000 10.000 10.000 12.000

VAN =10.000/(1,09)1+10.000/(1,09)2+10.000/(1,09)3+10.000/(1,09)4 +12.000/(1,09)5 - 25.000 VAN = 9.174,31 + 8.416,80 + 7.721,83 + 7.084,25 + 7.799,18 - 25.000 VAN = 15.196,38 Proyecto "B":

0 1 2 3 4

-18.000 6.000 10.000 15.000 11.000

VAN = 6.000/(1,09)1 + 10.000/(1,09)2 + 15.000/(1,09)3 + 11.000/(1,09)4

- 18.000 VAN = 5.504,58716 + 8.416,79993 + 11.582,75220 + 7.792,67732 -

18.000 VAN = 15.296,81662

La mejor alternativa es el proyecto "B".

VIII.- Rentas No Ordinarias. 1.- Rentas Anticipadas

Renta anticipada o inmediata es una sucesin de pagos que se efecta o vencen al principio de cada perodo de pago. La diferencia con la renta ordinaria se puede observar en los ejes de tiempo siguientes:

* R R R R R (Vencida) R R R R R * (Anticipada)

Ntese que la renta ordinaria no tiene pago al principio del plazo y s lo tiene al final del plazo de renta. Por el contrario, la renta anticipada tiene pago al principio y no tiene pago al final del plazo de renta. Si se tiene absoluta claridad en las materias hasta aqu tratadas no son necesarias nuevas frmulas para manejar rentas anticipadas. Slo es necesario razonar

VAN = Fj / (1+Ko)n - Inv. Inicial


50

BANPYME

cuidadosamente. Un caso tpico de renta anticipada es el de arriendo de un bien raz.

Ejemplo 59) Por el arriendo de una bodega se piden $ 1.400.000 al principio de cada mes. a) Cuanto debera pagar hoy por un ao si la tasa de inters es del 2% mensual, sin considerar el mes de garanta?, b)Idem a) pero con el mes de garanta equivalente a un mes de arriendo? R:

a) MM$1,4 MM$1,4 MM$1,4.......... MM$1,4

MM$1,4 0 1 2 ............... 10 11 12 A = 1.400.000 + 1.400.000 (1-(1+0,02)-11 /0,02) = 15.101.587 A = 1.400.000 + 13.701.587 = 15.101.587 b) a) + 1.400.000 = 16.501.587 15.101.587+1.400.000 = 16.501.587

Ejemplo 60) A contar de hoy se invierten UF 600 mensuales en un fondo que paga el 3% mensual. a) Cuanto habr en el fondo inmediatamente de efectuado el 10 depsito?, b) Cuanto habr en el fondo justamente antes del 10 depsito? R: a) Sea "M" la cantidad acumulada en el fondo, para su clculo corresponde "visualizar" lo siguiente, a saber;

i)

600 600 600........ 600 600

0 1 2............. 8 9 "M" ii)

600 600 600........ 600 600

0 1 2............. 8 9 10 "M" Modalidad de clculo i): "M" = 600(1,03)9+600 ((1+0,03)9 -1) =782,86391+6.095,46368 0,03 "M" = 6.878,32759 Modalidad de clculo ii): "M" = 600 ((1+0,03)10 -1) 0,03


51

BANPYME

"M" = 6.878,32759 b) "M" - 600 = 6.878,32759-600 = 6.278,32759

Modalidad alternativa de clculo:

"M"= (600 ((1+0,03)9 -1)) x (1,03)= 6.095,46368 x 1,03 = 6.278,32759 0,03

Fecha Pago o Intereses Sobre Total Agregado Total enCuota el Fondo al Fondo el Fondo

Al inicio 600.00 0.00 600.00 600.00Final mes 1 600.00 18.00 618.00 1,218.00Final mes 2 600.00 36.54 636.54 1,854.54Final mes 3 600.00 55.64 655.64 2,510.18Final mes 4 600.00 75.31 675.31 3,185.48Final mes 5 600.00 95.56 695.56 3,881.05Final mes 6 600.00 116.43 716.43 4,597.48Final mes 7 600.00 137.92 737.92 5,335.40Final mes 8 600.00 160.06 760.06 6,095.46Final mes 9 600.00 182.86 782.86 6,878.33

6,000.00 878.33 6,878.33 2.- Rentas diferidas.

Son aquellas cuyo primer pago se hace algn tiempo despus del trmino del primer perodo de inters.

Ejemplo 61) Una via empezar a rendir sus primeros ingresos desde el trmino del 5 ao. Los ingresos anuales sern de UF 1.000 y continuarn por 20 aos ms. Cuanto estara dispuesto usted a pagar por la compra de la via si desea un retorno del 10%? R: 1000 1000 ..............................1000

0 1 2 3 4 5..................................................25 "A" "A"

Los ingresos estn diferidos por 4 perodos y despus continan por 21 perodos ms. El valor de la renta un perodo antes del primer pago, esto es, al final del 4 ao es: "A" = 1000 (1-(1+0,1)-21) = 8.648,69429 0,10


52

BANPYME

R: 1000 1000 ..............................1000

0 1 2 3 4 5..................................................25 "A" "A"= 8.648,69429

"A" = "A"/(1,1)4 = 8.648,69429/1,46410 = 5.907,17457 3.- Rentas perpetuas.

Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene trmino. Puesto que los pagos de un renta nunca cesarn, no es posible calcular su monto, sin embargo, tiene un valor presente definido.

Suponiendo que una empresa nunca quebrar, los dividendos sobre sus acciones pueden considerarse una perpetuidad.

Sea la renta perpetua de $ R pagaderos al final de cada perodo a la tasa "i":

R R R R ........................................................n 0 1 2 3 4 ........................................................n

Se deduce que el valor actual de la renta perpetua es aquella cantidad "A" que, en un perodo, produce como intereses la suma "R", sea:

de donde se despeja la frmula de valor actual o presente,

El valor presente de una renta perpetua anticipada es aquella cantidad A a la cual se le agrega la cantidad R, evento que ocurre en el momento "0", con lo cual se llega a la siguiente expresin.

Ejemplo 62) Un inversionista esta evaluando adquirir una accin preferente que promete pagar un dividendo preferencial de $ 320 en forma indefinida. Cuanto estara dispuesto a pagar por ella si el rendimiento mnimo requerido por usted es de un 12% anual?

R: "R" = 320 "i" = 0,12 "A" = 320/0,12 = 2.667.-

R = A i

A = R/i

A = R + (R/i)


53

BANPYME

Ejemplo 63) Un inversionista esta evaluando adquirir una accin comn que promete pagar al ao siguiente dividendo de $ 32. Cuanto estara dispuesto a pagar por ella si el rendimiento mnimo requerido por usted es de un 12% anual y la tasa de crecimiento promedio anual de los dividendos es de 4%? NOTA IMPORTANTE: Se trata de una empresa que durante el tiempo a demostrado una relativa estabilidad en trminos de valorizacin de acciones, dividendo y resultados. R: "R" = 32

"i" = 0,12 "g" = 0,04 "A" = 32/0,12 = 266,7.- Aplicando el modelo Gordon de avala de acciones se tiene;

P0 = D1/(K0-g) = 32/(0,12-0,04) = 400

Ejemplo 64) Si los inversionistas de los ejemplos 62 y 63 reciben el primer dividendo en el momento de la compra de la accin Cuanto pagar por ella?

R: i) "A" = 320 + (320/0,12) = 2.987.-

ii) D0 =D1/(1+g)= 32/(1+0,04)=30,77 P0 =D0 + D1/(K0-g) P0 =30,77 + 32/(0,12-0,04) P0 =430,77

Ejemplo 65) Se obtiene un prstamo de US$ 100.000 a 7 aos plazo. Se concede un perodo de gracia de 3 aos (para capital e intereses). El primer pago se efectuar a mediados del 4to. ao y a partir de ah se harn semestralmente. La tasa de inters de la operacin es del 12,36% efectivo.

a) Determinar el valor de la cuota.

b) Confeccionar la tabla de amortizacin (desarrollo) para 8 primeros perodos. R: Deuda = 100.000.- Plazo = 7 aos (14 semestres).

inters = 12,36% efectivo = 2 1236,01+ -1=0,06=6,00%. Pagos = Semestrales.

Durante los primeros 3 aos la deuda total acumula intereses. Vale decir, al final del 3er. ao el monto de la deuda asciende a 100.000(1,06)6=141.851,91. Este valor pasa a ser el valor del prstamo, para efectos de calcular el valor de la cuota como si se tratara de una renta ordinaria. En consecuencia:

R = 141.851,91/ (1-(1+0,06)-8) = 22.843,26

0,06


54

BANPYME

Fecha Cuota Inters sobre Amortizacin SaldoSaldo Insoluto

al inicio 0.00 0.00 0.00 100,000.00final 1er. Sem. 0.00 6,000.00 0.00 106,000.00final 2do. Sem. 0.00 6,360.00 0.00 112,360.00final 3er. Sem. 0.00 6,741.60 0.00 119,101.60final 4to. Sem. 0.00 7,146.10 0.00 126,247.70final 5to. Sem. 0.00 7,574.86 0.00 133,822.56final 6to. Sem. 0.00 8,029.35 0.00 141,851.91final 7mo. Sem. 22,843.26 8,511.11 14,332.15 127,519.77final 8vo. Sem. 22,843.26 7,651.19 15,192.07 112,327.69final 9no. Sem. 22,843.26 6,739.66 16,103.60 96,224.09final 10mo. Sem. 22,843.26 5,773.45 17,069.81 79,154.28final 11vo. Sem. 22,843.26 4,749.26 18,094.00 61,060.28final 12vo. Sem. 22,843.26 3,663.62 19,179.64 41,880.63final 13vo. Sem. 22,843.26

Documents

Matemáticas Financieras - Banpyme - Chile - Prof. Juan Gabriel.pdf