Manual de Matemáticas Financieras Fondo Blanco

8/9/2019 Manual de Matemáticas Financieras Fondo Blanco

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Manual de Matemáticas

Financieras y aplicaciones


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1.- CONCEPTOS BASICOS DE MATEMÁTICASFINANCIERAS

1.1. Objetivo: Conocer comprender y aplicar conceptos básicos

utilizados en matemáticas financieras.

1.2. Contenido:• Aspectos matemáticos de concepto de tasa e interés

- Definición de porcentaje.- El cálculo de porcentaje usando calculadora y aplicaciones.

- Regla de tres simple• Definición de interés.• El valor del dinero en el tiempo y la pérdida del poder adquisitivotravés del tiempo.

• Tipos de tasas de interés y su clasificación financiera (real y nominal)

• Terminología utilizada y su significado.

1.3. Metodología: Definición y ejercicios de aplicación para cada unode los contenidos desarrollados.


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1.2. Aspectos matemáticos de concepto de tasa e interés

• Porcentaje:

• El porcentaje es una forma de medir partes de una cosa: – 100% del algo representa el mismo algo

– El 200% del algo es el doble del algo

– El 50% del algo es la mitad del algo

– Por ejemplo, si tenemos un terreno de 1000 m2 de superficie ynos interesa, saber que porcentaje representarían 400 m2. Eneste caso de un todo de 1000 m2 , los 400 m2, son parte deeste todo, en que porcentaje?

– Aplicando una regla de 3 simple:

– 1000 m2 es el todo o 100%

– 400 m2 que porcentaje representa?

– 1000 --------- 100%

– 400 ---------- X %, es decir: X% = 100%*400 = 1000*X

– Despejando X = (100%*400)/1000 = 40%


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– Si nos situamos en el contexto financiero, pensemos quedisponemos de un capital para invertir hoy de $ 200.000 y queesta inversión nos rentará por un mes ( 30 días), supongamos

que obtenemos al final del mes $ 15.000 de ganancia por estainversión, significa en términos prácticos que si queremosdeterminar que porcentaje representan los $ 15.000 de loinvertido realizaremos un simple cálculo para determinar elporcentaje que representa.

– Es decir si $ 200.000 representan el 100% (Todo), queporcentaje de este todo corresponde a $ 15.000. Lo calculamos:

$ 200.000 ------ 100%

$ 15.000 ------- X%

– Lo calculamos $200.000*X% = 100%*$15.000

– Despejando : X% = (100%*$15.000)/$200.000 = 7,5% – Visto de otra manera este 7,5% significa que nuestra inversión

nos ha rentado un 7,5% mensual, o que la tasa de interésaplicada a esta inversión es de 7,5%.


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– Si planteamos lo anterior de otra manera, por ejemplo sitenemos un capital para invertir de $ 200.000 y queremosobtener una rentabilidad mensual del 7,5%, cuanto deberíamos

recibir a fin de mes como Interés ganado producto de laInversión.

$ 200.000 --------- 100% (todo)

X ------------------- 7,5% (tasa de interés)

$ 200.000*7,5% = 100%*X

X = ($ 200.000*7,5%)/100% = $ 15.000 (Interés Ganado)

– Para expresar un porcentaje como número se tiene:

– 25% corresponde a 0,25 ; es decir 25%/100% = 0,25

– Si deseo calcular el 25% de 300.000 se puede calcular:0,25*$ 300.000 = $ 75.000


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1.2. Definición de interés.

• Interés: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o prestado

a un tiempo determinado. – Por ejemplo si Invierto $ 50.000 por un mes y producto de esainversión voy a recibir $ 5.000, estos $ 5.000 representan elinterés.

• La tasa de interés es el porcentaje del valor a recibir por unainversión o a pagar por un crédito respecto de un capital invertido o

adeudado respectivamente, la tasa de interés es expresada enporcentajes y representa el costo de oportunidad de la utilización deuna suma de dinero. En este sentido, la tasa de interés es el preciodel dinero, el cual se debe pagar o cobrar por tomarlo prestado ocederlo en préstamo.

– Del caso anterior la tasa de interés correspondería al porcentajeque representan estos $ 5.000 de los $ 50.000, es decir:$ 5.000 ------ X%$ 50.000---- 100%

Es decir X% = (100%*5.000)/$ 50.000 = 10%, la tasa de interésganada es de 10%


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1.2. El valor del dinero en el tiempo

• El valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades

iguales de dinero no tienen el mismo valor, si se encuentran enpuntos diferentes en el tiempo…”

• Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflación yse nos plantea la posibilidad de elegir $ 100 hoy o $ 100 en un añomás ¿Qué preferimos?

• La respuesta $ 100 hoy, ya que existe un interés que puede serganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en un banco y alcabo de un año recibir los 100 más un interés.

• Supongamos la tasa es del 10% por año. Dos alternativas: – Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 año tengo los

mismos 100. – Depositar los 100 al cabo de un año tengo 110.

• De lo anterior es obvio que no estoy indiferente entre recibir hoy $100 o $ 100 en un año más.


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1.2. Tipos de tasas de interés • Existen distintos tipos de tasas en el mercado• Todas denotan el precio del dinero• Algunas son de corto y otras de largo plazo• Las tasas de interés se expresan en términos reales y nominales• El plazo y la tasa están ampliamente coligados• Existen tasas fijas y variables

• Permiten valorar activos financieros que se transan en los mercados• Existen tasas nominales y reales.• Tasa nominal es aquella que se calcula sobre un monto en $. En el

mercado generalmente la base de cálculo es de 30 días.• Tasa real es aquella que se calcula sobre un monto en UF o

indexado por IPC. La base de esta tasa es 360 días.• Las bases denominan el plazo a la cual está referida la tasa. Por

ejemplo 2,5 % base 30 días significa que por cada 30 días el dueñodel capital recibirá 2,5% de interés.

• En el caso de la tasa real, supongamos 10% anual base 360 días,significa que por cada 360 días recibirá una tasa de 10%.


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Tipos de Interés Promedio TIP :

Corresponde a la tasa promedio de captaciones y colocaciones queentregan los Bancos y Financieras al Banco central de Chile, quien laspondera de acuerdo a los montos operados.

Diariamente se calcula la TIP para: captaciones de 30 a 89 días y de90 a 365 días, reajustables según la UF colocaciones de 30 a 89 días,no reajustables e Interbancarias.

Su mayor importancia es la de servir de base en las operaciones de

crédito con tasas variables, caso en el que el Banco cobra un interéstotal que corresponde a (TIP + Spread).

.

1.2. Tipos de tasas de interés


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Tasa Activa Bancaria (TAB):

Surge de un acuerdo de la Asociación de Bancos e InstitucionesFinancieras, con el fin de informar diariamente acerca de una tasa deinterés de referencia para las operaciones a 90, 180 y 360 días a tasavariable.

Se calcula como promedio ponderado (en función de depósitos ycaptaciones netos de encaje) de las tasas marginales informadasdiariamente por los miembros de la Asociación. Sobre la base de estatasa, los Bancos agregan los márgenes que estiman adecuados paracubrir los costos de administración de los créditos, sus riesgos y la

ganancia que pretenden obtener.

1.2 Tipos de tasas de interés


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Tasa de Descuento :• Es la tasa que se utiliza para valorizar los documentos que se

intermedian en el mercado secundario de corto plazo de la bolsa decomercio y las operaciones de fuera de rueda.

• Se expresan en tasas reales y nominales

• Permite calcular el factor de descuento y por ende los valores demercado de los papeles que se transen.

• Se utiliza para las transacciones de P.D.B.C, P.R.B.C y Depósitos aPlazo



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Tasa Interna de Retorno :

• Es una tasa real.

• Se usa para las transacciones de Bonos.

• Se publica diariamente un promedio de las transacciones realizadasen la bolsa.

• Se pueden encontrar tasas para distintos plazos.

• Estas tasas las usan también los grandes inversionistasinstitucionales para valorizar sus carteras de inversión.



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1.2 Terminología utilizada y su significado

Conceptos Básicos:

• Capital Inicial: Capital al inicio de la operación. (C)

• Capital final: Capital al final de la operación. (VF)

• Período: duración o plazo de la operación (n)

• Interés: retribución por el capital prestado o invertido ( C*i)

• Tasa de interés: el interés que corresponde cobrar o pagarexpresado como porcentaje (i)

• Periodo de interés: Lapso que transcurre entre las fechas de pago einterés

• Interés anticipado: el interés se paga al inicio de cada periodo

• Interés vencido: el interés se paga al final de cada periodo deinterés


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2.- INTERES SIMPLE

2.1. Objetivo: Comprender y aplicar los supuestos de interéssimple. Utilizar los conceptos de interés simple en la resolución deproblemas que involucren determinación de tasas, valores actualesy futuros y descuentos de documentos bancarios y mercantiles,montos de intereses, valores actuales y futuros.

2.2. Contenido:

• Definición de tasa interés simple o Lineal.• Concepto de anticipado y vencido• Determinación de interés.• Definición períodos (30 días, un mes)• Supuesto de Equivalencia Financiera• Concepto de Capitalización y actualización, valor futuro simple y

valor actual simple, formula de cálculo para un solo flujo.


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2.- INTERES SIMPLE

2.2. Contenido:

• Perfil de un crédito y de una inversión.• Valor Futuro y Valor actual, concepto de aditividad (múltiples Flujos)

, formula de cálculo. Comparación de alternativas.

• Tasas equivalentes

• Descuento Comercial y Bancario.

2.3. Metodología: Definición y ejercicios de aplicación para cadauno de los contenidos desarrollados.


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2.2.Definición de tasa interés simple o Lineal.

• Interés simple: Es el interés que se paga (o gana) sólo sobre lacantidad original que se invierte. De otra forma es aquel que noconsidera reinversión de los intereses ganados en períodosintermedios.

• Por ejemplo vamos a suponer que tenemos un capital inicial de $100 a principio de año y que se va a invertir por 3 años, donde seganan intereses en forma anual, que se pagan al término de cadaaño, la tasa de interés anual es de 10%.

• El primer año voy a obtener un interés de $100*10% = $10, retiroesa cantidad y la guardo en una caja fuerte.

• Para el segundo año mi capital inicial es de $ 100, voy a obtener uninterés de $100*10% = $10, retiro esa cantidad y la guardo en unacaja fuerte.

• Para el tercer año mi capital inicial es de $ 100, voy a obtener uninterés de $100*10% = $10, retiro esa cantidad y la guardo en unacaja fuerte.

• En el tercer año junto mi capital inicial y le sumo los $ 30 obtenidos,en resumen tengo $ 100 +$ 30 = $ 130, es decir $ 100+ 3*$ 10.

• De lo anterior el Valor en año 3 = $100*( 1+ $ 100*0,1) = $ 130


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• De lo anterior obtenemos: I = C*i*n (1)

en dónde,

I = Interés

C = Cantidad original que se solicitó.

i = tasa de interés por periodo de tiempo

n = número de periodos de tiempo

VF = Valor al final de n períodos.

• El monto “final” de los períodos correspondería al capital inicial máslos intereses.

VF=C+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital

Inicial más los intereses generados, esto es: VF=C+(C*i*n) (3)

Factorizando la expresión anterior: VF=C(1+i*n) (4)

((VF/C)-1)/i =n ((VF/C)-1)/n = i


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• Determinación de interés:

Hoy invertiré $ 500.000 a una tasa del 2% mensual por un periodo de 5

Meses, determine el interés ganado en 5 meses, por todo el período.

C = $ 500.000 (capital inicial)

n = 5 (Nº de meses)

i= 2% (tasa de interés por mes)

Interés por mes = C*i = $ 500.000*0,02 = $ 10.000

Interés por 5 meses = C*i*n = $ 500.000*0,02*5 = $ 50.000

Valor a recibir en el 5º mes = $ 500.000 + $ 50.000 = $ 550.000



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• Definición períodos:El interés lineal se calcula como una proporción, para esto definiremos

períodos equivalentes de un mes = 30 días y 1 año = 360 días, esdecir si queremos calcular una tasa lineal por un periodo debemosReflejarla como una proporción, por ejemplo si la tasa a 30 días es de3%, significa que la tasa a un año es de:3% ----------> 30 díasX%----------> 360 días => X% = 360*3 =36% anual

30Para esta misma tasa si queremos obtener la tasa a 45 días, se tiene:3% ----------> 30 días

X%----------> 45 días => X% = 45*3 =4,5% a 45 días30



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2.2.Concepto de anticipado y vencido

Cuando nos referimos al concepto de vencido quiere decir que el pago

de interés y/o capital se realiza al vencimiento del periodo.

Si tenemos hoy $ 100.000 el que se cancelará en 4 pagos vencidos

mensuales de $ 25.000 , si suponemos una tasa de interés mensual de

2%, se tiene:

Periodo Pago de capital interés1º mes $ 25.000 $ 100.000*0,02 = $ 2.000

2º mes $ 25.000 $ 75.000*0,02 = $ 1.500

3º mes $ 25.000 $ 50.000*0,02 = $ 1.000

4º mes $ 25.000 $ 25.000*0,02 = $ 500


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2.2.Concepto de anticipado y vencido

Cuando nos referimos al concepto de anticipado quiere decir que el

Primer pago de interés y/o capital se realiza al inicio del periodo y los

otros con un mes de desfase.

Si tenemos hoy $ 100.000 el que se cancelará en 4 pagos anticipados

mensuales de $ 25.000 , si suponemos una tasa de interés mensual de

2%, se tiene:

Periodo Pago de capital Interés

Inicio (t=0) $ 25.000 $ 0

1º mes $ 25.000 $ 100.000*0,02 = $ 2.000

2º mes $ 25.000 $ 75.000*0,02 = $ 1.5003º mes $ 25.000 $ 50.000*0,02 = $ 1.000


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2.2. Supuesto de Equivalencia Financiera

• El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan adesarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significaque sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiemposon iguales en valor económico.

• Por ejemplo, tomando nuestro ejercicio, si la tasa de interés es de10% anual, $100 (tiempo presente).

• Serían equivalentes a $130 dentro de tres años a partir de hoy

• Entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 130 en3 años más dada una tasa de interés del 10%.

• Este incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es elmismo valor económico o equivalente.


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2.2. Concepto de Capitalización y actualización

• El planteamiento de los problemas económicos-financieros sedesarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización yactualización.

• El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha

futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán loscapitales en fechas colocados en fechas anteriores.

• El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en lafecha actual o presente de capitales.


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2.2. Perfil de un crédito y de una inversión

1. Perfil de un crédito

Crédito: Significa obtener un flujo de dinero hoy, que será pagadoen cuotas o pagos en el futuro.

Características:

– Tasa de interés (i)

– Plazo (n)

– Cuotas, pagos del crédito. (Pj) – Tenemos un flujo positivo inicial (Recibo del Crédito) y flujos

negativos en el tiempo (pagos)

tiempo

(+)

(-) (-)P1 P2


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2.2. Perfil de un crédito y de una inversión

(+)

FC2

(-)

2. Perfil de una InversiónInversión: Desembolsar hoy una suma de dinero, esperando

retornos futuros.

Características:

Tasa de descuento, tasa de interés ( i )Duración del proyecto (n)

Flujos (FC), flujos recibidos en el tiempo.

(+)

FC1

TiempoInversión


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2.2. Valor Futuro y Valor actual

• Valor Futuro Simple:

El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fechafutura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales

colocados en fechas anteriores.

I=C*i*n (1)

• El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los

Intereses VF=C+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital

inicial más los intereses generados, esto es:

VF=C+C*i*n (3)

Factorizando la expresión anterior: se obtiene la fórmula de montosimple

VF=C+I = C+C*i*n=C*(1+i*n)


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• Valor Presente o Actual Simple:

El valor actual o presente de un flujo VF que vence en fecha futura, esaquel capital C que, a una tasa dada y en el período comprendido

hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a :

VF=C+ I = C + C*i*n (1)

El pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses

generados, esto es:

VF=C+C*i*n (2)

Factorizando la expresión anterior: VF=C(1+i*n) (3)

De la fórmula de monto simple despejamos C para obtener el valor

Actual o presente simple

VF=C(1+i*n) C= VF/ (1+i*n)


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Relación entre valor actual y valor futuro. Recordemos el concepto de

equivalencia matemática ya mencionado. Para determinar un valor

futuro, pensemos en que invertimos hoy $ 100.000 y deseamos sabercuanto recibiremos en 4 meses más, si la tasa de interés mensual es

de 1%.

Hoy disponemos de $ 100.000 (t=0)

Periodo Capital (C ) Interés del mes (I) Total

1º mes $ 100.000 $ 100.000*0,01 =$ 1.000 =$ 101.000

2º mes $ 100.000 $ 100.000*0,01 =$ 1.000+$1.000= $ 102.000

3º mes $ 100.000 $ 100.000*0,01 =$ 1.000+$2.000= $ 103.000

4º mes $ 100.000 $ 100.000*0,01 =$ 1.000+$3.000= $ 104.000

Al final tenemos $ 100.000 + $ 100.000*0,1*4 = $ 100.000(1+0,1*4),este valor correspondería a nuestro valor futuro (VF), nuestra fórmula

para calcularlo sería: VF = C*(1+n*i), donde VF = Valor Futuro,

C= Capital inicial, n= Nº de períodos, i = tasa de interés


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Nuestra fórmula para calcular el valor futuro sería: VF = C*(1+n*i)Donde:

VF = Valor Futuro,C= Capital inicialn= Nº de períodos,i = tasa de interés

Para nuestro cálculo anterior correspondería:VF = XC = $ 100.000n = 4i = 1%

Aplicando la fórmula se tiene que:VF = $ 100.000*( 1+ 4*0,01) = $ 104.000, podemos decir que estoyIndiferente o me da lo mismo recibir $ 100.000 hoy o $ 104.000 en 4meses más.



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Para el cálculo del valor actual o valor presente, debemos pensaren forma inversa, tomando el mismo ejemplo podemos decir que

recibiremos en 4 meses más $ 104.000 considerando una tasa deinterés mensual del 1%, determinaremos a cuanto equivale nuestrovalor actual.Para esto tomemos la fórmula VF = C*( 1+ n*i), si consideramosNuestro C= VA = Valor actual, podemos reemplazar en nuestra fórmula

Anterior y obtener VF = VA*(1+n*i) =>

VF/(1+n*i) = VA

En el caso de nuestro ejercicio:VF =$ 104.000, n=4, i= 1%,se tiene: $104.000/(1+4*0,01) = $ 100.000 = VA (Valor actual o ValorPresente)



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2.2. Aditividad de valores actuales

• Para explicar el concepto de aditividad aplicado al concepto devalor actual asumiremos un número n de periodos, con una tasa deinterés por periodo i y pagos o recibos de cada período quedenominaremos VFj, es decir:

• VF1= pago o recibo en periodo1



• VFn= pago o recibo en periodo n

Llevaremos cada uno de los valores a valor actual y luego lossumaremos para determinar el valor actual total.

VA = VF1 + VF2 + VF3 +....................VFn

1+ 1*i 1+2*i 1+3*i 1+n*i


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Donde:

VF1 =Valor actual del pago o recibo del período11+ 1*i

VF2 =Valor actual del pago o recibo del período2

1+ 2*i


1+ 3*i

VFn =Valor actual del pago o recibo del período n

1+ n*i

Los valores actuales son sumativos, pues estamos sumando cada unode los valores llevados a t = 0



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• Veamos un ejemplo:

Hemos contraído una deuda que se pagará en 3 meses, cuyos pagosson los siguientes:Mes1: $ 1.200.000Mes2: $ 1.000.000Mes3: $ 500.000

Si la tasa de interés a la cual descontamos nuestra deuda es de 2%mensual, determinaremos el valor actual de la deuda:

VA = 1.200.000 + 1.000.000 + 500.000 =(1 +1*0,02) (1 +2*0,02) (1 +3*0,02)

1.176.471 + 961.539 + 471.698 = 2.609.708

Este valor corresponde al valor actual de la deuda.


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2.2. Tasas equivalentes

• Si tenemos $ 1 hoy y lo queremos invertir por n periodos a una tasade interés total de los n periodos de i

n , el valor a obtener al final de

los n periodos correspondería a :

$1 + $1*in

Si cada período tiene una tasa de interés de ip , significa que

tomando los mismos datos y llevando esa tasa a n periodos se tieneque el valor al final correspondería a:

$1 + $1*n* ip

Ambos valores son iguales, por lo tanto:

$1 + $1*in = $1 + $1*n* ip

Nos queda : in = n*ip => ip = in/ n


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Realicemos un ejemplo:

Si la tasa anual es de 15%, a cuanto corresponderá la tasaMensual. Un año tiene 12 meses, por lo tanto corresponde a 12periodos mensuales, es decir la tasa mensual ( ip ) se calculará de

la siguiente forma:

ip = 15% = 1,25% mensual

12

Lo anterior como número corresponde a 0,15/12 = 0,0125


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2.2. Descuento Comercial y Bancario

• Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por

adelantado. “Descuento” significa “interés simple”, pagado deantemano.

• Si C es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalode tiempo fracción de un año para cubrirla y i, la tasa de interés, eldescuento (D) es: D = C*n*i

• Por lo tanto el valor actual de una deuda es:

VA= C – C*n*i = C(1- n*i)

Donde: D = descuento bancario

C=valor nominal del descuento

i=tasa nominal del descuento

n=tiempo

VA= valor actual

2 2 Ejemplo de descuento comercial


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2.2. Ejemplo de descuento comercial

• Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual y si elseñor Julio López desea descontar el documento (Pagaré) hoy por

un valor nominal de $ 1.500.000, devengaran los siguientesintereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta elvalor actual del documento.

D=C*n*i

D = $1.500.000*(3/12)*(0,2) = $ 75.000D = $ 75.000 es el descuento que se aplica.

Valor nominal = $ 1.500.000

Menos el descuento = $ 75.000Valor anticipado = $ 1.425.000

Entonces el Sr. López recibe $ 1.425.000 que es el valor comercialdel documento hasta la fecha que anticipó el pago.


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3.- INTERES COMPUESTO

3.1. Objetivo: Comprender y aplicar los supuestos de interés

compuesto. Utilizar los conceptos de interés compuesto en laresolución de problemas que involucren determinación de tasasreales, nominales y equivalentes, valores actuales y futuros, cuotasde créditos y ahorros, descuentos de documentos bancarios ymercantiles, construcción de tablas de desarrollo y uso de Excel ycalculadoras financieras.

3.2. Contenido:• Definición de tasa de interés compuesto (Capitalización de interés)• Determinación de interés.• Comparación interés simple versus interés compuesto.• Concepto de Capitalización y actualización, valor futuro compuesto

y valor actual compuesto, formula de cálculo para un solo flujo. Aplicación en calculadora financiera y Excel.

• Valor Futuro y Valor actual, concepto de aditividad (múltiples Flujos), fórmula de cálculo. Comparación de alternativas. Aplicación encalculadora financiera y Excel.


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3.2. INTERES COMPUESTO

• Tasas equivalentes

• Igualdad de Fischer y efecto de la Inflación• Tasa de interés real y nominal, sistema bancario en Chile.• Descuento de un documento comercial y bancario (Pagaré y

Depósito a plazo)• Concepto de anualidad y aplicación en calculadora financiera y

Excel.

- Definición y cálculo de anualidad vencida y anticipada, cálculode una Cuota

- Construcción de tabla de desarrollo de un crédito y unainversión, interés,cuota, amortización y saldo insoluto.

• Concepto de perpetuidad, definición y cálculo.



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3.2. Tasa de interés compuesto y determinación de interés.

• Interés Compuesto: Significa que el interés ganado sobre el capital

invertido se añade al principal. Se gana interés sobre el interés. Deotra forma se asume reinversión de los intereses en periodosintermedios.

• Por ejemplo vamos a suponer que tenemos un capital inicial de $

100 a principio de año y que se va a invertir por 3 años, donde seganan intereses en forma anual, que se pagan al término de cadaaño, la tasa de interés anual es de 10%.

• El primer año voy a obtener un interés de $100*10% = $10, sumo a

mi capital inicial los $ 10 para formar un nuevo capital de $ 110.

• Para el segundo año mi capital inicial es de $ 110, voy a obtener uninterés de $110*10% = $11, sumo a mi capital inicial los $ 11 paraformar un nuevo capital de $ 121.


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• Para el tercer año mi capital inicial es de $ 121, voy a obtener uninterés de $121*10% = $12,1 sumo a mi capital inicial los $ 12,1para obtener un monto final de $ 133,1.

• De lo anterior el Valor en año 3 será:

Año1

• $100+ $100*0,1 = $ 100*(1+0,1)

Año2• $100*(1+0,1) + ($ 100*(1+0,1) )*0,1=$ 100*(1+0,1)(1+0,1)=

=$ 100*(1+0,1)2

Año3

• $ 100*(1+0,1)2 + $ 100*(1+0,1)2 *0,1 =$ 100*(1+0,1)2*(1+0,1)

=$ 100*(1+0,1)3 = 133,1


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De lo anterior obtenemos:• I = Interés• C = Cantidad original que se solicitó.• i = tasa de interés por cada periodo de tiempo

• n = número de periodos de tiempo• VF = Valor al final de n períodos.

• El monto “final” de los períodos correspondería a: VF= C*(1+i)n

Interés = I = VF-C

(VF/C)1/n – 1 = i

Log(VF/C) = nLog(1+i)

C = VF/((1+i)n)

En el caso de nuestro ejercicio anterior se tieneF = 100.000*(1+0,1)3 = 133,1


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3.2. Comparación interés simple versus interés compuesto

Interés Compuesto versus Simple

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Años

D

ó l a r e s

Interés Simple Interés Compuesto @10%

Al comparar interés simple con interés compuesto, en el caso deinterés simple el valor que se obtiene en varios periodos es menor queen el caso compuesto debido a la capitalización de intereses.


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3.2. Concepto de Capitalización y actualización, valorfuturo compuesto y valor actual compuesto

• El planteamiento de los problemas económicos-financieros sedesarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización yactualización.

• El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha

futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán loscapitales en fechas colocados en fechas anteriores.

• El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en lafecha actual o presente de capitales.


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3.2. Valor Futuro y Valor actual, concepto de aditividad

• Valor Futuro (VF) : es la cantidad de dinero que alcanzará unainversión o deuda en alguna fecha futura al generar intereses aalguna tasa compuesta.

• El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fechafutura o monto que se obtendrá o en que se convertirán loscapitales colocados en fechas anteriores.

• El monto “final” ( VF) del período correspondería a:

VF= C*(1+i)n

Donde:C = Cantidad original que se solicitó o se invirtiói = tasa de interés por cada periodo de tiempon = número de periodos de tiempoVF = Valor al final de n períodos es decir valor futuro.


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• Valor Presente o Actual :

El valor actual o presente de un flujo VF que vence en fecha futura, es

aquel capital C que, a una tasa dada y en el período comprendido (n)

hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a :

VF= C*(1+i)n

De la fórmula de monto simple despejamos C para obtener el valor

Actual o presente simple , si C = VA, tenemos:

VF= VA*(1+i)n

Despejando:

VF=VA*(1+i)n VA= VF/(1+i)n

3 2 Valor Futuro y Valor actual


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Relación entre valor actual y valor futuro. Recordemos el concepto de

equivalencia matemática ya mencionado. Para determinar un valor

futuro, pensemos en que invertimos hoy $ 100.000 y deseamos sabercuanto recibiremos en 4 meses más, si la tasa de interés mensual es

de 1% compuesta.

Hoy disponemos de $ 100.000 (t=0)

Periodo Capital (C ) Interés del mes (I) Total

1º mes $ 100.000 $ 100.000*0,01 =$ 1.000 =$ 101.000

2º mes $ 101.000 $ 101.000*0,01 =$ 1.010 = $ 102.010

3º mes $ 102.010 $ 102.010*0,01 =$ 1.020,1 = $ 103.030,1

4º mes $ 103.030,1 $ 103.030,1*0,01 =$ 1.030,3 = $ 104.060,4

Al final tenemos $ 100.000*(1+ 0,01)4 = $ 104.060,4este valor correspondería a nuestro valor futuro (VF), nuestra fórmula

para calcularlo sería: VF = C*(1+i)4, donde VF = Valor Futuro,

C= Capital inicial, n= Nº de períodos, i = tasa de interés



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Nuestra fórmula para calcular el valor futuro sería: VF = C*(1+i)n Donde:VF = Valor Futuro,C= Capital inicialn= Nº de períodos,i = tasa de interés

Para nuestro cálculo anterior correspondería:

VF = XC = $ 100.000n = 4i = 1%

Aplicando la fórmula se tiene que:VF = $ 100.000*(1+ 0,01)4 = $ 104.060,4 podemos decir que estoyindiferente o me da lo mismo recibir $ 100.000 hoy o $ 104.060,4 en 4meses más considerando capitalización compuesta.




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Para el cálculo del valor actual o valor presente, debemos pensaren forma inversa, tomando el mismo ejemplo podemos decir que

recibiremos en 4 meses más $ 104.060,4 considerando una tasa deinterés mensual del 1%, determinaremos a cuanto equivale nuestrovalor actual.Para esto tomemos la fórmula VF = C*(1+i)n , si consideramosnuestro C= VA = Valor actual, podemos reemplazar en nuestra fórmula

anterior y obtener VF = VA*(1+i)n =>

VF/(1+i)n = VA

En el caso de nuestro ejercicio:

VF= $ 104.060,4 n=4, i= 1%,se tiene: $ 104.060,4/(1+ 0,01)4 = $ 100.000 = VA (Valor actual o ValorPresente)



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• Para explicar el concepto de aditividad aplicado al concepto devalor actual asumiremos un número n de periodos, con una tasa deinterés por periodo i y pagos o recibos de cada período quedenominaremos VFj, es decir:




• VFn= pago o recibo en periodo n

Llevaremos cada uno de los valores a valor actual y luego los

sumaremos para determinar el valor actual total.

VA = VF1 + VF2 + VF3 +....................VFn

(1 +i)1 (1 +i)2 (1 +i)3 (1 +i)n


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Donde:

VF1 =Valor actual del pago o recibo del período1(1 +i)1


(1 +i)2


(1 +i)3

VFn =Valor actual del pago o recibo del período n

(1 +i)n

Los valores actuales son sumativos, pues estamos sumando cada unode los valores llevados a t = 0



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• Veamos un ejemplo:

Hemos contraído una deuda que se pagará en 3 meses, cuyos pagos

son los siguientes:

Mes1: $ 1.200.000

Mes2: $ 1.000.000

Mes3: $ 500.000

Si la tasa de interés a la cual descontamos nuestra deuda es de 2%

Mensual, determinaremos el valor actual de la deuda:

VA = 1.200.000 + 1.000.000 + 500.000 =

(1 +0,02)1 (1 +0,02)2 (1 +0,02)3

1.176.471 + 961.169 + 471.161 = 2.608.801

Este valor corresponde al valor actual de la deuda.

3 2 T i l t


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• Si tenemos $ 1 hoy y lo queremos invertir por n periodos a una tasade interés total de los n periodos de in , el valor a obtener al final de

los n periodos correspondería a :

$1 + $1*in = $1(1+ in )

Si cada período tiene una tasa de interés de ip , significa quetomando los mismos datos y llevando esa tasa a n periodos se tiene

que el valor al final correspondería a:$1*(1+ip )

n

Ambos valores son iguales, por lo tanto:$1 + $1*in = $1*(1+ip )

n

$1(1+ *in ) = $1*(1+ip )n despejamos y nos queda:

(1+ *in ) = (1+ip )n , es decir (1+ in )

1/n = (1+ip )

Se tiene: ( (1+ in )1/n – 1 )= ip

3 2 T i l t


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Realicemos un ejemplo:

Si la tasa anual es de 15%, a cuanto corresponderá la tasaMensual. Un año tiene 12 meses, por lo tanto corresponde a 12periodos mensuales, es decir la tasa mensual ( ip ) se calculará dela siguiente forma:

( (1+ 0,15 )1/12 – 1 )= ip

( (1+ 0,15 )0,08333 – 1 )= ip

1,01171492 – 1 = 0,01171492

La tasa mensual ip = 0,01171492*100 = 1,17%

3 2 Igualdad de Fischer y efecto de la Inflación


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3.2. Igualdad de Fischer y efecto de la Inflación

• Igualdad de Fischer y efecto de la Inflación

– La inflación es el aumento sostenido y generalizado del nivel de

precios. – Que las papas suban un 10% significa necesariamente que

hubo inflación?

– La respuesta es no ya que la inflación se mide a través deíndices IPC en chile que mide la evolución de los precios de unacanasta promedio de bienes y servicios.

– Por lo tanto la variación del IPC no significa que todos los bienesy servicios de esta canasta varíe en el mismo porcentaje.

– Por otro lado el IPC no es el precio de la canasta.



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• Inflación y poder adquisitivo del dinero – Si existe inflación los pesos de hoy no comprarán las mismas

cosas que en un año más.

– $ 1000/ Po = Cantidad física = Xo

– $ 1000/P1 = Cantidad física = X1

» Xo > X1

– Esos $ 1000 nominalmente son iguales, en términos reales no loson. No tienen el mismo poder adquisitivo



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• Tasa de interés real

– Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento del

poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder adquisitivo deldinero, existe un incremento en el monto a pagar ( o cobrar).

– El ejemplo clásico es el de las tasas en UF + X% o tasasreflejadas como IPC + X%.

– Esto significa que al cabo de una año el dinero debiera tener elmismo poder adquisitivo que el dinero que invertí.



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• Tasa de interés nominal

– Una tasa de interés nominal es aquella que denota un

crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda porinflación. Así la tasa de interés nominal no necesariamentesignifica un incremento en el poder adquisitivo

– El ejemplo típico son los depósitos en pesos a 30 días de losbancos o los créditos en pesos.

– Si hacemos un depósito por $ 1000 al 15% de interés anual enun año debiera recibir $ 1.150 ¿Significa esto que seré $150más rico al cabo de un año?



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• Tasa de interés real v/s nominal

– En equilibrio el banco debiera ser indiferente entre prestar a

tasas reales o nominales, siempre y cuando las tasas nominalesincluyan las expectativas de inflación.

– Así surge la “Igualdad de Fisher”:

– (1 + in) = (1 + ir) * (1 +

) – donde: in = tasa de interés nominal

r = tasa de interés real

= inflación esperada

3.2. Tasa de interés real y nominal, sistema bancario enChile


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Chile.• Realicemos un ejemplo:

(1 + in) = (1 + ir) * (1 + )

donde: in = tasa de interés nominalr = tasa de interés real


• Si la tasa de inflación anual es de 3,5% y la tasa real anual es de5%, Determinemos la tasa nominal:

• 1+in = (1+0,05)*(1+0,035) =1,08675• in = 1,08675-1 = 0,08675 -> 8,51% anual

• En general el cálculo nominal se considera a plazos de 30 días, si

transformamos linealmente las tasas a mensuales:• Inflación = 3,5/12 = 0,291% ; Tasa real = 5/12 = 0,416%

• En estos casos podemos hacer una aproximación y calcularla de lasiguiente forma:

• in = ir + = 0,416+0,291 = 0,707%

3.2. Descuento de un documento comercial y bancario


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(Pagaré y Depósito a plazo)

• El descuento de un documento bajo los parámetros del interéscompuesto corresponde al descuento de un documento que venceen una fecha futura, sea este un depósito a plazo, pagaré o facturaa cambio de recibir efectivo hoy, en este caso se aplicará una tasade interés de descuento al número de periodos en que se pagará eldocumento.

• Por ejemplo si queremos descontar una factura que vence en 90días por un monto de $ 3.000.000. La tasa de descuento aplicadaes de 2% mensual.

• VA = 3.000.000/(1,02)3= 2.826.967

• En este caso el descuento realizado asciende a$ 3.000.000-$2.826.967 = $173.033 y el valor líquido a pagoasciende a $ 2.826.967.

3.2. Concepto de anualidad y aplicación en calculadora


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p y pfinanciera y Excel.

• Anualidades

Definición:Una anualidad es una sucesión de pagos,depósitos o retirosiguales que se realizan a idénticos intervalos.

Renta de una Anualidad (R): Es el pago, depósito o retiro, que se hace

periódicamente.

Intervalo de Pago: Es el período que hay entre dos pagos sucesivos.

Plazo de la Anualidad: Es el tiempo que transcurre entre las fechas de

inicio y de término de la operación.



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p y pfinanciera y Excel.

• Clasificación de las anualidades

Anualidad Anticipada: En este caso, los pagos o rentas se efectúan al

inicio de cada período.

Anualidad Vencida: En este caso los pagos se realizan al final de cada

período.



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financiera y Excel.

• Anualidad compuesta vencida:

El concepto de anualidad es una extensión del concepto de valor Actual de una corriente de flujos en el tiempo, donde todos los pagos orecibos son iguales a una renta o anualidad (A).Se tiene en este caso: A= VF1 =VF2 = VF3 =………….= VFn

Por lo tantoVA = A + A + A +.................... A

(1 +i)1 (1 +i)2 (1 +i)3 (1 +i)n

La forma de representar lo anterior simplificadamente es a través de laFórmula:VA = A *( 1 - 1 )

i (1 +i)n



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financiera y Excel.

• Realicemos un ejemplo de anualidad vencida:Si deseo pedir un crédito por $ 200.000 a 4 meses a una tasa del 2%mensual, y necesito saber la cuota a pagar, de la fórmula anteriorpodemos obtener:

VA = $ 200.000

A = X = Cuotan = 4i = 2% mensual

Se tiene:

200.000 = A *( 1 - 1 ) =>0,02 (1 +0,02)4

200.000*0,02/( 1- (1/(1 +0,02)4)) = A = 52.524,75

Este valor corresponde a la anualidad o cuota a pagar por el crédito.



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financiera y Excel.

• Para el caso de la calculadora financiera es fácil pues deboconsiderar que:

VA = PV = $ 200.000

A = PMT = X

n = n = 4

I/YR = i = 2%

3.2. Concepto de anualidad y aplicación en calculadorafi i E l


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financiera y Excel.

• Anualidad compuesta anticipada:En este caso todos los pagos o recibos son iguales a una renta o

anualidad (A), donde la primera anualidad se recibe o se paga en t=0Se tiene en este caso: A= VF0 =VF1 = VF2 = VF3 =………….= VFn

Por lo tantoVA = A + A + A + A +.................... A

(1 +i)1 (1 +i)2 (1 +i)3 (1 +i)n

La forma de representar lo anterior simplificadamente es a través de laFórmula:

VA = A + A *( 1 - 1 )

i (1 +i)nVA = A*(1 + 1 *( 1 - 1 ) )

i (1 +i)n



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financiera y Excel.

• Realicemos un ejemplo de anualidad anticipada:

Si deseo pedir un crédito por $ 200.000 a 4 meses a una tasa del 2%mensual, y necesito saber la cuota a pagar, de la fórmula anterior

podemos obtener:

VA = $ 200.000

A = X = Cuotan = 4

i = 2% mensual

Se tiene:

200.= A*(1 + 1 * ( 1 - 1 ) )=>0,02 (1 +0,02)3

200.000/( (1+(1/0,02)*(1- (1/(1 +0,02)3))) = A = 51.494,85

Este valor corresponde a la anualidad o cuota a pagar por el crédito en

forma anticipada.

3.2. Tabla de Desarrollo


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• La tabla de pagos , de desarrollo o de amortización es la forma

estructurada de pago que existe para establecer por escrito cómose devolverá el dinero al inversionista.

• El dinero se devolverá mediante un número “x” de cupones, y de

acuerdo a un calendario con fecha de pago incluida.

• Existen varias formas de amortizar los créditos:

– Americano: Amortización al final, intereses cada período – Francés : Cuotas iguales – Otros : Todo al final, Amortizaciones iguales, intereses

diferentes, etc.

3.2. Tabla de Desarrollo (interés vencido)


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( ) • Sea un crédito por $ 100.000 a 5 meses a una tasa del 2%

mensual:

En este caso particular determinaremos primero el valor de la cuota:

VA = $ 100.000 ;A = X = Cuota ;n = 5 ;i = 2% mensualSe tiene:

100.000 = A *( 1 - 1 ) =>0,02 (1 +0,02)5

100.000*0,02/( 1- (1/(1 +0,02)5)) = A = 21.216

Nº Saldo Insoluto Amortiz Capital Interés Cuota0 100.000

1 80.784 19.216 2.000 21.216

2 61.184 19.600 1.616 21.216

3 41.192 19.992 1.224 21.216

4 20.800 20.392 824 21.2165 0 20.800 416 21.216

3.2. Tabla de Desarrollo (interés vencido)


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( ) Para hacer los cálculos de la tabla se tiene:

Mes1:

Interés = Saldo insoluto(t=0)*i =100.000*0,02 = 2.000 Amortización a capital = Cuota – Interés = 21.216 – 2.000 = 19.216

Saldo insoluto (t=1) = Saldo insoluto (t=0) – Amortización a capital=

Saldo insoluto (t=1) = 100.000- 19.216 = 80.784

Mes2:

Interés = Saldo insoluto(t=1)*i =80.784*0,02 = 1.616

Amortización a capital = Cuota – Interés = 21.216 – 1.616 = 19.600

Saldo insoluto (t=2) = Saldo insoluto (t=1) – Amortización a capital=

Saldo insoluto (t=2) = 80.784 - 19.600 = 61.184

Esto se desarrolla en forma idéntica hasta llegar al mes 5.

3.2. Concepto de perpetuidad, definición y cálculo.


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Estas son una variación de las anualidades ciertas, en las que laduración del pago es, en teoría, ilimitada.

VA perpetuidad = A/i

.

i+1

A

i+1

A

i+1

A=VP

321dPerpetuida

3.2. Concepto de perpetuidad, definición y cálculo.


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• Cuando pensamos en una perpetuidad, estamos considerando unarenta percibida en forma indefinida.

• Por ejemplo si consideramos un valor de arrendamiento de $250.000 mensual para un local comercial, si la tasa de interésmensual de 0,5% mensual, podríamos calcular el valor del inmuebleen:

• VA = 250.000/0,005 = $ 50.000.000

• También si consideramos por ejemplo un dividendo constante eindefinido recibido por una acción se aplica este concepto. Sea la

acción A cuyo dividendo anual perpetuo es de $ 5 y con una tasa dedescuento( i) del 7%.

• Para determinar el precio de la acción: P = Dividendo/i

P = 5/0,07 = $ 71,43 sería el precio de la acción.

4 APLICACIONES DE INTERES COMPUESTO


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4.- APLICACIONES DE INTERES COMPUESTO

4.1. Objetivo: Comprender y valorizar instrumentos de renta fija einversión, determinación de pensiones. Comprender y aplicarcriterios de evaluación utilizando fundamentos de interéscompuesto.

4.2. Contenido:• Instrumentos de renta fija, definición y ejemplo.

– Determinación del valor de mercado y par de un Bono, tasa demercado y tasa de emisión. – Letra hipotecaria y mutuo hipotecario

• Determinación de rentas a percibir por fondos ahorrados (pensión,renta vitalicia)

• Determinación del precio de una acción como una corriente de

flujos de dividendos.( tasa de crecimiento)• Valor Actual Neto y Tasa interna de retorno, definiciones y

aplicaciones, comparación de alternativas


4.2. Instrumentos de renta fija, definición y ejemplo.


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• Los instrumento de renta fija son aquellos que obligan al emisor a

pagar cantidades específicas, en plazos determinados. Dentro de

estos instrumentos tenemos; bonos públicos y privados, letrashipotecarias y cualquier instrumento que cumpla la definición.

• Bonos:

– Son títulos de deuda. – Es una de las formas que tienen las empresas para reunirrecursos para sus operaciones. Solamente las sociedadesanónimas abiertas pueden emitir bonos.

– Siguiendo la lógica expuesta anteriormente, el precio de un

bono debería ser igual al valor presente de los flujos queentrega.

4 2 Bonos Valoración de Bonos


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4.2. Bonos, Valoración de Bonos

• Los bonos, salvo aquellos que son de “descuento”, entregan dostipos de flujos:

– Principal: corresponde al valor inicial del bono y representa ladeuda que la empresa contrae con el público .

– Intereses: es el costo que se debe pagar por usar los recursosfinancieros ajenos, y corresponde a una tasa anual.

• Los flujos se reciben a través del pago de cupones. Normalmenteeste pago se hace trimestralmente o semestralmente.

• Es muy importante considerar que en un bono se tiene:

• Valor de emisión del bono

• Tasa de emisión• Plazo

• Formato de pago del Bono que incluye flujos del bono.

• Al momento de valorizar un bono es conveniente tomar en cuenta latasa de mercado la cual en general es distinta a la tasa de emisióndel bono.

4.2. Flujos de un bono: ejemplo


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• Supongamos un bono que paga un 6% de interés semestral (tasade emisión) y tiene un principal (valor de emisión)de $100. El bono

tiene un plazo de dos años y el principal se amortiza (paga) al final.• Los intereses se pagan en cupones semestrales, todos iguales

hasta el vencimiento

• ¿Cómo serían los flujos de caja a obtener?

FLUJOS DE CAJA

6 6 6 106

t=0 t=1/2 t=1 t=1 1/2 t=2

4.2. Precio de un bono


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• El precio de un bono será igual al valor presente de los flujos queentrega, descontados a la tasa de interés apropiada(tasa de

mercado).

• Si el bono paga cupones de interés por n períodos y el principal sepaga al final, el valor sería:

n

t nt

t

r

Principal

r

Cupon B

1

011

4 2 Flujos de un bono: ejemplo


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• Volviendo al ejemplo anterior el precio del bono hoy debería ser elvalor actual de los cupones más el principal, es decir:

• Naturalmente, la tasa de descuento r debe estar expresada enforma semestral.

• Nótese que la tasa r (de mercado) no tiene que coincidirnecesariamente con la tasa de los cupones (de emisión).

443210 1100

1

6

1

6

1

6

1

6

r r r r r B



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• Suponiendo una tasa de descuento de mercado es de 5% semestralel problema queda

• Esto da como resultado 103,55. Luego el bono por 100 de valorcarátula, se puede vender en 103,55. En esta situación se hablaque el precio del bono está sobre el valor par.

• Valor Par= es el valor presente de los flujos que le restan por pagaral bono descontados a la tasa de emisión del bono.

Al momento de la emisión, el valor par coincide con el valor de

carátula, sin embargo en momento distinto a la emisión hay quecalcularlo.

• En el caso de nuestro ejemplo estamos suponiendo los cálculos almomento de la emisión del bono (t= 0)

443210 05,1100

05,1

6

05,1

6

05,1

6

05,1

6 B

4.2. Valor par de un bono


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4.2. Valor par de un bono

• Pueden darse tres situaciones básicas:

– A la par: el precio del bono coincide con el monto del principalque aún se adeuda.

– Sobre la par: el precio del bono es mayor que el monto que seadeuda.

– Bajo la par: el precio es menor que el valor que se adeuda hastaese momento.

• Estas distintas situaciones se darán de acuerdo a si la tasa de

descuento coincide, es menor o es mayor que la ofrecida por elbono.



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• Suponiendo una tasa de descuento de 6% semestral el problemaqueda

• En este caso se transa a la par, 100%.

• Suponiendo una tasa de descuento de 8% semestral el problemaqueda:

• En este caso se transa bajo la par 93,4%

100

06,1

100

06,1

6

06,1

6

06,1

6

06,1

6443210

B

4.93

08,1100

08,16

08,16

08,16

08,16

443210 B

4.2. Tipos de bonos


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• Podemos distinguir 3 formatos de bonos:

P= Principal, valor de emisión del bono

r = tasa de interés por períodon = Nº de períodos

B0 = Valor actual del Bono

I = P*r = cupón de interés por período

1. Se pagan cupones de intereses (I) cada período y principal (P) alfinal :

B0 = Valor Actual Bono = I/(1+r)1+ I/(1+r)2+ I/(1+r)3+ ……(P+I)/(1+r)n

2. Se pagan cupones de cuotas iguales (A):

B0 = (A/r)*(1- 1/(1+r)n)

3. Se pagan intereses(Ip) y principal al final (P):

B0 = Valor Actual Bono = (P+Ip)/(1+r)n

4.2. Ejercicios: Bonos


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• Se tiene un bono cuyo valor carátula o de emisión es de UF 20.000,

Este bono paga cupones de intereses en forma anual y principal al

vencimiento, fue emitido a 10 años y la tasa anual asciende a 8%.Los pagos del bono serán de interés = I = 20.000*0,08 = 1.600cada año y principal al final del período.

Si consideramos la situación al momento de la emisión del bono yqueremos determinar el valor de mercado para distintas tasas de

mercado:

• Tasa del 10%:

• El valor actual del Bono sería:

B0 = 1600/(1+0,1)1 + 1600/(1+0,1)2 + ……..+ 1600/(1+0,1)10 +

20.000/(1+0,1)10

• También se puede expresar

B0 = (1600/0,1)*(1- (1/(1+0,1)10) + 20.000/(1+0,1)10 = 17.542,

En este caso el % del valor par es : (17.542/20.000)*100 = 87,71%

4.2. Tir de un bono


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• TIR o tasa interna de retorno de un bono corresponde a la tasa demercado de este, en nuestros ejercicios anteriores hemos conocido

la tasa de mercado pero en el cálculo y valorización real de bonos,se tiene el precio de mercado y sobre los flujos del bono se calculala TIR.

• Se tiene para el caso planteado:

0 = I/(1+tir)1+ I/(1+tir)2+ I/(1+tir)3+ ……(P+I)/(1+tir)n - B0Este cálculo debe hacerse con una calculadora financiera:Del ejemplo anterior, si el bono se vende en 19.000 = B0 calcular laTIR.

B0 = -19.000 = PV

n = 10 = ni= X%= I/YR= TIR

I = 1.600 = PMT

FV = 20.000

De aquí se tiene i = TIR = 8,77% , sería la tasa de mercado.

4.2. Determinación de rentas a percibir por fondosahorrados (pensión renta vitalicia)


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ahorrados (pensión, renta vitalicia)• Una corriente de ahorros permanente en el tiempo que se va

capitalizando permitirá que cuando nos jubilemos recibamos una

corriente de rentas en el tiempo de acuerdo a nuestra expectativade vida, veamos un ejemplo.

• Ahorro constante en monto a una tasa constante en el tiempo.

• Supongamos que ahorramos durante 35 años en forma mensual lacantidad de $ 50.000 a una tasa anual del 6%, linealizada mensual

al 0,5% y que recibiremos una pensión mensual por 20 años.• El ahorro nos generará un valor futuro de:

VF = ( A *( 1 - 1 ))*(1 +i)n i (1 +i)n

• Es decir VF = (50.000/0,005)*(1-(1/(1,005)420 )*(1,005)420=

= 71.235.515Este valor corresponde a un valor actual que permitirá una pensiónpor 20 años.

VA = 71.235.515 = (A/0,005)*(1-(1/(1,005)240 ) => A = 510.353, estacorrespondería a la pensión mensual a recibir.

4.2. Valoración de Acciones


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• Queremos encontrar el valor de una acción de una empresacualquiera. Por supuesto nos referimos a una sociedad anónima,

que emite acciones como forma de reunir capital.• En general el valor de un activo se puede determinar como el VAN

de los flujos de caja que entrega.

• Si los inversionistas están informados y el mercado de capitalesfunciona bien, el valor que encontremos debe ser igual a su precio.

Flujos de una acción:

• En principio el poseedor de una acción puede obtener dos tipos deflujos:

– Dividendos: Son los repartos que se hacen a cuenta de lasutilidades del ejercicio de la empresa.

– Ganancias de capital: La venta de la acción puede generar unaganancia respecto al precio de compra. Por tanto, la diferenciaentre ambos precios corresponde a una ganancia de capital.

4.2. Precio de la acción


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• Supongamos un modelo de dos períodos de tiempo.

• El precio de la acción debe ser igual al valor presente de sus flujos,

luego

• En que P 0 es el precio hoy, P 1 el precio mañana, Div 1 el dividendo

mañana y r la tasa de descuento.• Ahora podemos extender el análisis un período más.

• El precio del período uno debe ser igual a

• En que P 1 es el precio en t=1, P 2 el precio en t=2, Div2 el dividendoen 2 y r la tasa de descuento.

r P

r

Div P

11

110

r P

r

Div

P 1122

1

4.2. Precio de la acción


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• Reemplazando el resultado anterior, en la primera ecuación quedaque el precio hoy (t=0) depende de los dividendos en 1 y 2, como

también del precio en 2.

• Repitiendo este procedimiento muchas veces, nos damos cuentaque llegaremos a que el precio de la acción hoy es:

• Resumiendo:

22

2

210

111 r

P

r

Div

r

Div P

...

1111

4

4

3

3

2

210

r

Div

r

Div

r

Div

r

Div P

1

0

1t t

t

r

Div P

Caso 1: Sin crecimiento


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• Suponiendo que la empresa entrega los mismos dividendos todoslos períodos, es decir, el dividendo está constante, el precio de la

acción se puede escribir como

• Caso 1: Ejemplo• La empresa ACME, obtuvo 10 millones como utilidades durante el

año pasado. Este monto fue repartido completamente endividendos. Se espera que la empresa mantenga esta política y quesus utilidades no sufran variación. La empresa tiene quinientas mil

acciones emitidas y pagadas. La tasa exigida a las acciones de estaempresa es 16% anual.

r

Div P 0

Solución Ejercicio:


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j

• Utilidad/ Nº de acciones = Utilidad por acción = dividendo a repartir

• Dividendo = 10.000.000/500.000 = 20

• Precio acción = P0 = 20/0,16 = 125

r

Div P 0

Caso 2: Con crecimiento constante


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• Suponiendo que la empresa entrega un dividendo que crece a unatasa constante todos los períodos, esta tasa la llamaremos g, elprecio de la acción se puede escribir como

Caso 2: Ejemplo• Volvamos a la empresa ACME, suponga la misma información

anterior:

– Obtuvo 10 millones como utilidades durante el año pasado. Estemonto fue repartido completamente en dividendos. Se espera

que la empresa mantenga esta política y que sus utilidades nosufran variación. La empresa tiene quinientas mil accionesemitidas y pagadas. La tasa exigida a las acciones de estaempresa es 16% anual. Las utilidades crecen al 2% anual

g r

Div P

0

Solución Ejercicio:


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j

• Utilidad/ Nº de acciones = Utilidad por acción = dividendo a repartir

• Dividendo = 10.000.000/500.000 = 20

r = 16%g = 2%

• Precio acción = P0 = 20/(0,16 – 0,02) = 142,86

g r

Div P

0

4.2. Valor Actual Neto y Tasa interna de retorno,


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definiciones y aplicaciones, comparación de alternativas

• Valor actual neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN): La ideabásica del concepto de valor presente neto es poder medir el valorque tienen hoy ciertos flujos de caja que serán recibidos en el futuro(VF1,VF2,VF3,…..VFn) y compararlos con una inversión inicialrealizada (I).En este caso:

VAN = VF1 + VF2 + VF3 +....................VFn - Inversión(1 +i)1 (1 +i)2 (1 +i)3 (1 +i)n

Lo anterior se utiliza como criterio de decisión para evaluar proyectos,se asume i como la tasa de descuento de los proyectos.

• Criterio de decisión en base al Valor Presente Neto o Valor ActualNeto: VPN = VAN


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Neto: VPN VAN

La regla del valor presente establece que una inversión se deberíaadoptar solamente si el valor presente del flujo de caja que genera

en el futuro excede su costo, esto es, si tiene un valor presente netopositivo (VPN).

El VPN es el beneficio neto que resulta para la empresa de adoptarla inversión.

– Un VPN Positivo significa que el proyecto rinde una tasa deretorno que excede el costo de capital i. En este caso, el VPN esel valor total del retorno extraordinario (el retorno sobre el costode capital) ganado por la inversión.

– Si VPN = 0 de un proyecto, está ganando el costo de capital yes, por lo tanto, sólo apenas aceptable.

– Si el VPN es Negativo, se gana menos que el costo de capitalpor el proyecto; esto es, el proyecto aún no está ganando la tasade retorno requerida, y debería por lo tanto ser rechazado.

Ejercicio:


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• Se requiere evaluar un proyecto a 5 años cuya inversión Inicial esde UF 1.000, este proyecto generará los siguientes Flujos de caja

netos en los próximos 5 años.FCN1 = 300 UF

FCN2 = 350 UF

FCN3 = 400 UF

FCN4 = 500 UF

FCN5 = 600 UF

Si la tasa de descuento asciende a 10% anual, evalúe si convieneeste proyecto:

VAN = - 1.000 + 300/(1,1)1 + 350/(1,1)2 + 400/(1,1)3 + 500/(1,1)4 +

600/(1,1)5

VAN = 576,6 > 0, por lo tanto se acepta el proyecto.

4.2. La Tasa Interna de Retorno (TIR)


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• Definición:

La Tasa Interna de Retorno o TIR de un proyecto, corresponde a latasa de descuento o de actualización que hace igual a cero el ValorPresente Neto o Valor Actual Neto de una serie de flujos de cajafuturos (VFj).

0 = VF1 + VF2 + VF3 +....................VFn - Inversión

(1 +tir)1 (1 +tir)2 (1 +tir)3 (1 +tir)n

Ejercicio:


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• Se tiene un proyecto a 5 años cuya inversión Inicial es de UF 1.000,este proyecto generará los siguientes Flujos de caja netos en lospróximos 5 años.II = 1.000 UF = CF0FCN1 = 300 UF = CF1 FCN2 = 350 UF = CF2 FCN3 = 400 UF = CF3

FCN4 = 500 UF = CF4 FCN5 = 600 UF = CF5Determinar la TIR:VAN = - 1.000 + 300/(1,1)1 + 350/(1,1)2 + 400/(1,1)3 + 500/(1,1)4 +600/(1,1)5 = 0

De lo anterior se llevan flujos a la calculadora financiera, dondeIRR/YR = TIREn este caso la TIR es 27,98 %


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EJERCICIOS RESUELTOS

Porcentaje y tasa de interés


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1. Una inversión realizada en un depósito a plazo por un monto de

$ 500.000, generó en el período de un mes $ 4.000, determine el

porcentaje que representa esta ganancia sobre el capitalinvertido.

$ 500.000 100%

$ 4.000 X%

X% = (100*4000)/500.000 = 0,8%

2. Si sobre una inversión de $ 35.000.000 deseo rentar una tasa del

15%, entonces el monto que debería recibir es de:

$ 35.000.000*(15/100) = $ 5.250.000

Interés simple vencido, Valor Futuro

3 Usted solicita prestado $2 000 000 y debe devolverlo en 3 años


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3. Usted solicita prestado $2.000.000 y debe devolverlo en 3 añosmás con un 4% de interés semestral simple ¿Cuánto debecancelar al final del 3 año?

VF = Xn = 3*2 = 6i = 4% => 0,04C = $ 2.000.000VF =2.000.000*(1+ 6*0,04) = 2.480.000

4. Se tiene para invertir $ 400.000, determine el valor futurodespués de 5 meses a una tasa de interés mensual de 0,75 %VF = Xn = 5

i = 0,75% => 0,0075C = $ 400.000VF =400.000*(1+ 5*0,0075) = 415.000

Interés simple vencido

5 Determine el número de meses que debe invertirse un capital de


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5. Determine el número de meses que debe invertirse un capital de$ 1.350.000 para obtener un valor final de 1.431.000 si la tasa esun 1,5 mensual%.

VF = 1.431.000n = X

i = 1,5% => 0,015

C = $ 1.350.000

1.431.000 = 1.350.000*(1 + n*0,015)(1.431.000/1.350.000) = 1 + n*0,015

1,06 = 1 + n*0,015

1,06 – 1 = n*0,015

0,06 = n*0,015

(0,06/0,015) = 4 meses = n

Interés simple vencido, Valor actual

6 Me van a pagar una deuda por $ 500 000 en 90 días más si la


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6. Me van a pagar una deuda por $ 500.000 en 90 días más, si latasa de costo de oportunidad (tasa de interés) es 1% mensual.Determine el valor presente de esta deuda.

VF = $ 500.000 ; n = 3 meses ; i = 1% => 0,01; VA = XVA = 500.000 = $ 485.437

(1+ 3*0,01)

7. Si la tasa anual es de UF +6% cuanto es la tasa a 30 días, 45

días y a 17 días.360 días6%

30 días X% => X% = 6%*30 = 0,5% a 30 días

360

360 días6%

45 días X% => X% = 6%*45 = 0,75% a 45 días360

360 días6%

17 días X% => X% = 6%*17 = 0,0283% a 17 días

360

Interés simple vencido, Valor Actual

8 Usted necesita pagar en 3 años más una deuda de UF 1 500 si


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8. Usted necesita pagar en 3 años más una deuda de UF 1.500. sisu alternativa de inversión es del 12% trimestral. ¿ Cuantas UFdebiera invertir hoy para acumular en dicho plazo el valor que

tiene que cancelar ?VF = UF 1.500 ; n = 4*3 = 12 trimestres;

i = 12% trimestral => 0,12;

VA = X

VA = 1.500 = UF 1.041,7

(1+ 12*0,12)

Aditividad de valores actuales

9 Usted posee 2 alternativas para la compra de una casa:


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9. Usted posee 2 alternativas para la compra de una casa:

a) precio contado de UF 2.300

b) le ofrecen las siguientes condiciones:

• UF 1.000 al contado

• UF 500 a 30 días

• UF 600 a 60 días

• UF 800 a 90 días

Si la tasa de descuento es de 10% por mes, ¿qué alternativaeligiría?

Debe determinarse el valor actual de los pagos para compararlocon el precio contado de (a)

VA = 1.000 + 500 + 600 + 800 =

(1+1*0,1) (1+2*0,1) (1+3*0,1)

VA = 1.000 + 454,6 + 500 + 615,4 = 2.570 UF

Luego me conviene la alternativa contado pues 2.570 > 2.300

Tasas equivalentes interés simple


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10. La tasa semestral asciende a 7%, determinar las tasas

equivalentes mensual, trimestral y anual.

ip = in/ nimensual = isemestral/6 = 7/6 = 1,17% mensual

itrimestral = isemestral/2 = 7/2 = 3,5% trimestral

ianual = 4*itrimestral = 4*3,5 =14% anual

Descuento Comercial y Bancario


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11. Se desea descontar un documento por un valor de $ 3.000.000que vence en 5 meses más, si la tasa de descuento es del 15%

anual, determine el descuento y el valor que se cancelará hoy.D=C*n*i

D = $3.000.000*(5/12)*(0,15) = $ 187.500

D = $ 187.500 es el descuento que se aplica.

Valor nominal = $ 3.000.000

Menos el descuento = $ 187.500

Valor anticipado = $ 2.812.500

Entonces se recibe $ 2.812.500 que es el valor comercial deldocumento hasta la fecha que anticipó el pago.

Interés compuesto: Valor actual, Valor Futuro

12 Determine el valor futuro de un capital de $ 300 000 que se


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12. Determine el valor futuro de un capital de $ 300.000 que seinvierte por 7 meses a una tasa de 1% mensual.

VF = X

n = 7 mesesi = 1% mensual => 0,01

C = $ 300.000

VF =300.000*(1+ 0,01)7 = $ 321.641

13. Si se va a recibir $ 5.000.000 en 3 años más determine el valorpresente o valor actual suponiendo que la tasa de descuento esel 7% anual.

VF = $ 5.000.000

n = 3 añosi = 7% anual => 0,01

VA = X

VA = 5.000.000 = $ 4.081.489

(1+ 0,07)3


14 Una persona depositó $100 000 en un banco a al tasa del 2%


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14. Una persona depositó $100.000 en un banco, a al tasa del 2%mensual. Decide mantener el depósito durante 3 meses,capitalizable mensualmente. ¿Que monto retirará a fines de dicho

plazo?VF = X

n = 3 meses

i = 2% mensual => 0,02

C = $ 100.000

VF =100.000*(1+ 0,02)3 = $ 106.121


15 A qué tasa de interés fue colocado un capital de $800 000 que al


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15. A qué tasa de interés fue colocado un capital de $800.000 que alcabo de 14 meses se convirtió en un monto de $1.050.000capitalizable anualmente?

VF = 1.050.000n = 14 meses

i = X%

C = $ 800.000

1.050.000 =800.000*(1+ i )14

1.050.000 = (1+ i )14

800.000

(1.050.000/800.000)1/14 = 1 + i

(1.050.000/800.000)1/14 – 1 = 0,0196 = i

0,0196*100 = 1,96% = tasa de interés mensual


16. Una persona deposita $7.500 en una cuenta de ahorro que paga


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p p $ q p gel 9% semestral capitalizable semestralmente. En que tiempotendrá $10.500?

VF = $ 10.500n = Xi = 9% semestralC = $ 7.500

10.500 =7.500*(1+ 0,09 )n

10.500 =(1+ 0,09 )n

7.500

Log (10.500/7.500) = Log (*(1+ 0,09 )n )

Log (1,4 ) = n*Log (1,09)n = Log (1,4 ) = 3,9 semestresLog (1,09)

Interés Compuesto: Aditividad de valores actuales

17 Se van a recibir los siguientes flujos:


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17. Se van a recibir los siguientes flujos:

Año1 : UF 3.000

Año2 : UF 2.000

Año3 : UF 500

Determine el valor presente si la tasa de descuento es UF + 6 % anual.

VA = X

VF1 = 3.000 UF

VF2 = 2.000 UFVF3 = 500 UF

i = 6% anual 0,06

VA = 3.000 + 2.000 + 500 =1,06 (1,06)2 (1,06)3

VA = 2.830 + 1.780 + 420 = 5.030 UF

Interés Compuesto: Tasas equivalentes

18 Si la tasa anual es de 8% a cuanto corresponderá la tasa


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18. Si la tasa anual es de 8%, a cuanto corresponderá la tasa

trimestral compuesta. Un año tiene 4 trimestres , por lo tanto

corresponde a 4 periodos trimestrales, es decir la tasa trimestral

( ip ) se calculará de la siguiente forma:

( (1+ 0,08 )1/4 – 1 )= ip

( (1+ 0,08 )0,25 – 1 )= ip

1,01942655 – 1 = 0,01942655

La tasa trimestral ip = 0,01942655*100 = 1,94%

Interés Compuesto: Tasa real y nominal

19. Determine la tasa nominal anual si la tasa de inflación anual es


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19. Determine la tasa nominal anual si la tasa de inflación anual esde 3% y la tasa real anual es de 4%.

Según Fisher:

(1 + in) = (1 + ir) * (1 + ) – donde: in = tasa de interés nominal

r = tasa de interés real


1+in = (1+0,04)*(1+0,03) = 1,0712

in = 1,0712-1 =0,0712 -> 7,12 % anual

Interés Compuesto: Descuento de un documento

20. Tenemos 3 facturas que vencen en 30, 60 y 90 días por los


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20. Tenemos 3 facturas que vencen en 30, 60 y 90 días por los

montos $ 1.500.000, $ 2.500.000 y $ 5.000.000 respectivamente,las que llevaremos a un factoring para que las descuente, la tasa

de descuento será de 2% mensual, no se considerarán otroscostos. Se pide determinar el valor que me anticiparía el factoringpor estas facturas.

VA = 1.500.000/(1,02)1 + 2.500.000/(1,02)2 + 5.000.000/(1,02)3

VA = $ 8.585.122, este sería el valor líquido que me cancelarían pormis facturas

Interés Compuesto: Anualidad Vencida

21. Determinar la cuota de un crédito solicitado por $ 8.000.000 a 36


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21. Determinar la cuota de un crédito solicitado por $ 8.000.000 a 36meses, suponiendo una tasa mensual de 1,5%.

Aplicando la fórmula:

VA = A *( 1 - 1 )i (1 +i)n

Se tiene:

VA = $ 8.000.000

n = 36 mesesi = 1,5%

A = X

A = (0,015*8.000.000)/(1- (1/(1,015)36 )) = $ 289.219

Con la calculadora

PV = $ 8.000.000

n = 36 meses

i = 1,5%

PMT = X

Interés Compuesto: Anualidad vencida

22. Usted desea comprar un departamento que tiene un valor de


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p p q3.000 U.F. y puede financiarlos con un crédito hipotecario a 20años plazo, en un banco que le exige un 25 % al contado y el

resto pagadero en cuotas anuales iguales y constantes. La tasade interés que se aplica al crédito es de 10 % anual.

Crédito corresponde al 75% de las UF 3.000, es decir :

3.000*0,75 = 2.250

Se tiene:

VA =2.250

n = 20 años

i = 10% anual

A = X

A = (0,1*2250)/(1- (1/(1,1)20 )) = 264,28 UF

Interés Compuesto: Anualidad vencida

23. Usted compró un departamento por un valor de 3.000 U.F. y


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p p p yfinanció el 75% (2.250 UF) con un crédito hipotecario a 20 añosplazo en un banco pagadero en cuotas anuales iguales y

constantes. La tasa de interés que se aplico al crédito fue de 10% anual. Usted ha cancelado ya 10 años y le ofrecen hoy unatasa de 6% anual a 10 años, determine el valor de la deuda hoycalcule el nuevo dividendo a 10 años.

Del ejercicio anterior (Nº 22), el dividendo es de 264,28 UF.

Para calcular el saldo de deuda se debe considerar el saldo deaños pendientes y calcular el valor actual,se tiene:

VA =X

n = 10 años

i = 10% anual

A = 264,28 UF

VA = (264,28/0,1)*(1-(1/(1,1)10 ) ) = 1.623,9 UF

A este valor actual de 1.623,9 UF, le voy a calcular la cuota (A) a10 años para determinar el nuevo valor a pagar con la nueva tasa


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10 años para determinar el nuevo valor a pagar con la nueva tasade 6%.

VA = 1.623,9

n = 10 años

i = 6% anual

A = X

A = (0,06*1.623,9)/(1- (1/(1,06)10 )) = 220,64UF

Interés Compuesto: Anualidad anticipada24. Compro en A. Paris a un LCD cuyo valor es de $ 350.000 al


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contado, la tienda me ofrece pagarlo en 5 cuotas igualesmensuales, cancelando al contado la primera de las cuotas, si

la tasa es del 2% mensual, cual es el valor de la cuota a pagar.

VA = $ 350.000 A = X = Cuotan = 5i = 2% mensualSe tiene:

350.000= A*(1 + 1 * ( 1 - 1 ) )=>0,02 (1 +0,02)4

350.000/( (1+(1/0,02)*(1- (1/(1 +0,02)4))) = A = $ 72.799,5

Este valor corresponde a la anualidad o cuota a pagar por elcrédito si se cancela la primera cuota al contado, es decir enforma anticipada.

Interés Compuesto:Tabla de desarrollo. (vencido)

25. Confeccione la tabla de desarrollo de un crédito a 5 meses por un


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monto solicitado de $ 10.000.000 si la tasa mensual es de 1%.

En este caso particular determinaremos primero el valor de la cuota:

VA = $ 10.000.000 ;A = X = Cuota ;n = 5 ;i = 1% mensual

Se tiene:10.000.000 = A *( 1 - 1 ) =>

0,01 (1 +0,01)5

10.000.000*0,01/( 1- (1/(1 +0,01)5)) = A =2.060.398

Nº Saldo Insoluto Amortiz Capital Interés Cuota

0 10.000.000

1 8.039.602 1.960.398 100.000 2.060.398

2 6.059.600 1.980.002 80.396 2.060.398

3 4.059.798 1.999.802 60.596 2.060.398

4 2.039.998 2.019.800 40.598 2.060.398

5 0 2.039.998 20.400 2.060.398

Interés Compuesto: Perpetuidad

26. Determine el valor actual de una renta a recibir anualmente en


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forma perpetua o indefinida de $ 2.760.000, suponiendo una tasaanual del 6%.

VA = 2.760.000/0,06 = 46.000.000

Aplicaciones de interés compuesto: Bonos

S


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27. Se emite un bono cuyo valor carátula o nominal es de 2.000 UF a20 años, este bono paga cupones de intereses semestrales y el

principal al final a una tasa de emisión de 5% semestral. Determineel valor del Bono si la tasa de Mercado es de 4% y 6% semestral.

Los intereses a pagar serían: 2.000*0,05 = 100 UF

Si la tasa de mercado es 4%:B0 = (100/0,04)*(1- (1/(1+0,04)

40) + 2.000/(1+0,04)40 = 2.395,85

En este caso el % del valor par es :(2.395,85/2.000)*100 = 119,8%

Si la tasa de mercado es 6%:B

0

= (100/0,06)*(1- (1/(1+0,06)40) + 2.000/(1+0,06)40 = 1.699,1En este caso el % del valor par es :(1.699,1/2.000)*100 = 84,9%

Aplicaciones de interés compuesto: Bonos


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28. Se emite un bono cuyo valor carátula o nominal es de 2.000 UF a20 años, este bono paga cupones de cuotas iguales semestrales a

una tasa de emisión de 5% semestral. Determine el valor del Bonosi la tasa de Mercado es de 4% y 6% semestral.

La cuota sería:

2.000*0,05/( 1- (1/(1 +0,05)40)) = A = 116,56 UF

Si la tasa de mercado es 4%:B0 = (116,56/0,04)*(1- (1/(1+0,04)

40) = 2.307,05En este caso el % del valor par es :(2.307,05/2.000)*100 = 115,35%

Si la tasa de mercado es 6%:B0 = (116,56/0,06)*(1- (1/(1+0,06)

40) = 1.753,8En este caso el % del valor par es :(1.753,8/2.000)*100 = 87,69%


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Precio de una acción


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30. Determinar el precio de una acción si suponemos que reparte undividendo perpetuo de $ 10, considerar:

a) Tasa de descuento de 6% sin crecimientob) Tasa de descuento de 6% con crecimiento del 2%

a) P = 10/0,06 = 166,67

b) P = 10/(0,06-0,02) = 250

Aplicaciones de interés compuesto: Valor actual neto


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31. Se desea evaluar un proyecto a 4 años cuya inversión Inicial esde UF 2.000, este proyecto generará los siguientes Flujos de caja

netos en los próximos 4 años.FCN1 = 500 UF = CF1

FCN2 = 850 UF = CF2

FCN3 = 900 UF = CF3

FCN4 = 700 UF = CF4

Si la tasa de descuento anual asciende a 7% anual, evalúe siconviene este proyecto:

VAN = - 2.000 + 500/(1,07)1 + 850/(1,07)2 + 900/(1,07)3 + 700/(1,07)4

VAN = 478,4 >0, por lo tanto se acepta el proyecto.

Aplicaciones de interés compuesto: TIR


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32. Determinar la TIR para el ejercicio anterior (Nº 31)Inversión = -2.000 = CF0

FCN1 = 500 UF = CF1FCN2 = 850 UF = CF2FCN3 = 900 UF = CF3FCN4 =

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Manual de Matemáticas Financieras Fondo Blanco