Lógica Formal e Booleana - professores.chapeco.ifsc.edu.brprofessores.chapeco.ifsc.edu.br/lara/files/2012/11/Apostila-Lógica... · 3 Lógica Formal e Booleana 1 Lógica Formal 1Falácias:

1

Lógica Formal e Booleana

Instituto Federal de Santa Catarina – Campus Chapecó

Ensino Médio Integrado em Informática

Unidade Curricular: Lógica Formal e Booleana

Lógica Formal e Booleana“Lógic is just the beginning of wisdom, not the end.”

Dr. Spock

Professora:

Lara P. Z. B. Oberderfer

[email protected]

2011.

mailto:[email protected]

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Sumário

1 Lógica Formal................................................3

1.1 Para que serve a Lógica?.......................3

1.2 Conceitos de Lógica...............................4

1.2.1 Argumento.......................................4

1.2.2 Contradição.....................................4

1.2.3 Falácia............................................5

2 Breve histórico da Lógica...............................5

2.1 Forma clássica antiga ou lógica grega

antiga.............................................................5

2.2 Forma escolástica ou medieval..............6

2.3 Forma matemática..................................6

3 Linguagens Formais: Cálculo Proposicional...7

3.1 Charada: uma introdução ao uso de

símbolos........................................................7

3.2 Argumentos ou Proposições...................9

3.3 Princípios Fundamentais da Lógica......11

3.3.1 Aplicação: Discussão da Família

Logus......................................................11

3.4 Operações lógicas sobre as proposições

....................................................................14

3.4.1 Conjunção.....................................14

3.4.2 Disjunção......................................16

3.4.3 Disjunção Exclusiva......................17

3.4.4 Negação........................................18

3.4.5 Proposição condicional.................18

3.4.6 Proposição bicondicional...............19

3.5 Tabelas-verdade...................................21

3.6 Fórmulas Proposicionais.......................22

3.7 Construção da tabela-verdade para as

Fórmulas Proposicionais.............................24

3.8 Tautologia.............................................32

3.9 Contradição..........................................32

3.10 Contingência.......................................32

3.11 Implicação ou Equivalência Lógica.....34

3.12 Argumentos Lógicos...........................36

3.12.1 Validade de Argumentos.............37

3.12.2 Validade de um argumento através

da Tabela-verdade..................................38

3.12.3 Avaliação de um Argumento:

Dedução e Indução.................................38

3.12.4 Validade dos argumentos mediante

Regras de Inferência...............................39

4 Elementos Básicos de Organização.............44

4.1 Transistores..........................................44

4.2 Interruptores.........................................45

4.3 Portas Lógicas .....................................46

4.4 Álgebra booleana e Circuitos Lógicos...50

4.5 Teoremas e Postulados Booleanos.......51

4.5.1 Gerando Tabelas Verdade através

de Expressões Booleanas .....................53

4.5.2 Gerando Expressões Booleanas

através de Tabelas Verdade...................54

4.5.3 Gerando Expressões Booleanas

através de Circuito Lógico.......................54

5 Bibliografia...................................................64

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1 Lógica Formal

1Falácias: são formas de argumentos/proposições que parecem válidas, mas se examinadas mas

detidamente não são.

1.1 Para que serve a Lógica?

Todo conhecimento logicamente perfeito tem sempre alguma utilidade possível.

Mesmo que ela nos escape no momento, pode ser que a posteridade a descubra. (Kant, A

Lógica)

O objeto de estudo da lógica é o argumento, também chamado de proposição e

também entender se o argumento é válido ou não. A lógica serve, em última instância,

para nos dizer quando e estamos ou não diante de argumentos e quando estes são

válidos.

O homem, no entanto, é um animal essencialmente prático e tem sempre a

necessidade de perguntar sobre a utilidade daquilo que estuda. Muitas vezes, entretanto,

por nos impacientarmos ao não conseguimos determinar a utilidade imediata de algumas

coisas, desistimos delas e perdemos grandes oportunidades em nossas vidas. Muitas

pessoas abandonam os estudos, achando que eles não lhe são úteis. O tempo passa, e

esse indivíduo um dia se depara com uma situação em que percebe a falta que o

conhecimento lhe faz. Ele pode voltar a estudar, é claro, mas recuperar o tempo perdido é

impossível.

Ela, a lógica, lhe dará clareza de pensamento, a habilidade de ver seu caminho através de um quebra-cabeça,

o hábito de arranjar suas ideias numa forma acessível e ordenada, e, mais valioso que tudo, o poder de detectar as falácias1 e despertar os argumentos ilógicos e inconsistentes

que você encontrará tão facilmente nos livros, jornais, na linguagem quotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilmente enganam aqueles que nunca tiveram

o trabalho de instruir-se nesta fascinante arte.Lewis Carroll

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A lógica é uma ciência que pode ser aplicada em várias outras ciências e em

vários ramos do conhecimento humano. Ela é de fundamental importância nas ciências da

computação. Quando o profissional de informação elabora um programa, ele geralmente

faz o “fluxograma”, ou seja, o “desenho” deste programa, que nada mais é do que a

determinação dos passos lógicos necessários para a sua elaboração, a partir destes

passos iniciais, os programas são desenvolvidos.

É a ciência dos princípios da validade formal da inferência (raciocínio realizado

através de uma linguagem). Estudo dos métodos e princípios empregados para distinguir

corretas (boas) e incorretas (más) argumentações.

1.2 Conceitos de Lógica

1.2.1 Argumento

Um argumento é constituído de Afirmações chamadas "Premissas". Todo

argumento deve ter uma conclusão, que deve ser sustentada pelas premissas.

As premissas podem ser falsas ou verdadeiras.

Exemplo:

Premissa 1: "Todo ser vivo é mortal" <Verdadeira>

Premissa 2: "Pedro é um ser vivo" <Verdadeira>

Conclusão: "Pedro é mortal". <Verdadeira>

1.2.2 Contradição

Um dos princípios básicos da lógica é a "Lei da não contradição". Ou seja, uma

coisa não pode "ser" e "não ser" ao mesmo tempo. Por exemplo, não podemos afirmar

que "Deus é justo" e ao mesmo tempo "Deus é injusto".

Contradição é quando se tem duas premissas que anulam a si mesmas, fazendo

com que qualquer conclusão a que se chegue, baseada nestas premissas, seja

totalmente falsa.

Mundo Real Linguagem Metalinguagem

Descreve o mundo real Fala da linguagem que uso para descrever o mundo real

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Exemplo:

Premissa 1: João não tem carro.

Premissa 2: O carro de João é azul.

Conclusão: Ora, como é que o carro de João é azul se ele não tem carro?

1.2.3 Falácia

Falácia é um raciocínio errado com aparência de verdadeiro.

O termo deriva do verbo latino "fallere" que significa enganar.

Paralogismos: Falácias cometidas involuntariamente

Sofismas: São produzidas de forma a confundir alguém numa discussão.

Na falácia, embora as premissas possam ser verdadeiras, não existe uma

inferência lógica entre elas para sustentar a conclusão apresentada.

Exemplo:

Premissa 1: Todos os americanos falam Inglês <Verdadeira>

Premissa 2: José fala inglês <Verdadeira>

Conclusão: José é americano <Falsa>

Ou seja, o fato de José falar Inglês não permite concluir que "José é Americano"

porque "Nem todos que falam Inglês são americanos".

2 Breve histórico da Lógica

Para entender melhor a linha de pensamento que estudaremos, veremos um

breve histórico onde, pode-se dividir a lógica em três períodos ou fases principais, que

caracterizam suas formas.

2.1 Forma clássica antiga ou lógica grega antiga

Período compreendido entre os séculos IV aC até o

século I dC. Destaca-se neste período o que se pode chamar de

três grandes escolas: a dialética sofística, a lógica aristotélica e a

lógica megárico-estóica. A lógica sofística “destrutiva” é

transformada em dialética construtiva por Platão, que tem o

mérito te abrir o caminho para a sistematização aristotélica, que

se opõe à escola megárico-estóica (esboço de uma lógica

sentencial) e a relega a segundo plano até data bem recente.Figura 1: Aristóteles, Museu

do Louvre

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Nesta forma, as proposições lógicas constam de palavras da linguagem corrente

e sua base é o pensamento como se encontra expresso na linguagem natural, que

fornece as leis e as regras formais.

Os principais nome ligados à lógica megárico-estóica são: Crisipo, Diodor Cronos;

à aristotélica, Aristóteles e Teofrasto; e à dialética sofística, Zenão de Eléia, Sócrates e

Protágoras.

2.2 Forma escolástica ou medieval

Período criativo compreendido entre os séculos XI

e XV dC. Após a escola megárico-estóica, até o século XI

praticamente, nada se fez em termo de novidade na lógica,

pois simplesmente se repediam os ensinamentos de

Aristóteles, com melhoria de algumas técnicas para o

ensino. Foram os próprios medievais que estabeleceram

uma periodização para a forma escolástica, que tem seu

início com a Ars vetus, representada por Abelardo (1079-

1142). A preocupação central é o trabalho com as

Categorias e a Interpretação de Aristóteles. Ao mesmo

tempo trabalha-se, como problema novo, com as propriedades dos termos. Em um

segundo momento, a forma escolástica é caracteriza pela Ars Nova que tem como

principais representantes Alberto Magno (1193-1280) e Tomás de Aquino (1227-1274).

Trabalha-se, neste sentido, com a totalidade do Organon de Aristóteles. A lógica tem uma

tarefa mais elevada a realizar, ou seja, fortalecer o ensino da ortodoxia católica. O terceiro

momento se dá com a lógica modernorum, representada por Guilherme de Occam (1295-

1350) e que se caracteriza pela elaboração de uma lógica formal e semiótica.

2.3 Forma matemática

Período que se inicia no século XVII. A época do

Renascimento é marcada pelo interesse em descobrir novos

métodos que auxiliem a pesquisa científica e considera que

a lógica é estéril e acabada por Aristóteles desde sempre. A

matemática assume o posto de orientadora da pesquisa,

dando fundamento para os novos métodos. A exceção é

representada por Port Royal, que concebe a lógica como

Figura 2: Guilherme de Occam

Figura 3: George Boole, matemático e filósofo britânico, criador da Álgebra Booleana

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arte de pensar melhor e não como teoria, é uma disciplina prática.

É neste cenário que surge Leibniz (1646-1716), como pioneiro da que se pode

chamar de lógica matemática contemporânea. Movido pelo ideal de uma língua

característica universal e considerando que a silogística é capaz de assegurar a

infalibilidade do raciocínio, reduzindo-o à forma, bem como o cálculo algébrico, que é

outra forma de raciocínio, Leibniz se propõe elaborar um sistema que domine essas

formas e seja aplicável a todos os domínios do pensamento. Este ideal de Leibniz

determina o marco divisor do que se classifica como lógica clássica aristotélica e lógica

simbólica moderna.

A primeira forma matemática da lógica é desenvolvida por Boole (1815-1864), que

compara as leis do pensamento (lógica) às leis da álgebra. O passo seguinte no

desenvolvimento da forma matemática é dado por Frege (1848-1925), que pretende

mostrar que a aritmética poderia ser construída exclusivamente das leis da lógica. Os

estudos de Frege influenciaram os trabalhos de Bertrand Russel (1872-1970) e

Whitehead (1861-1947), que, em Principia Mathematica, sistematizam a lógica simbólica,

servindo-se, para tanto, da simbologia de Peano (1858-1932), que conclui uma evolução

anterior e é, ao mesmo tempo, ponto de partida para a constituição do que se chama

metalógica.

3 Linguagens Formais: Cálculo Proposicional

3.1 Charada: uma introdução ao uso de símbolos

Um homem estava olhando uma foto, e

alguém lhe perguntou:

“De quem é esta foto?”

Ao que ele respondeu:

“Não tenho irmãs nem irmãos, mas o pai

deste homem é filho de meu pai”.

De quem era a foto que o homem estava olhando?

1. Primeiramente devemos compreender o que está em questão: nesta charada

queremos saber de quem é a foto que o homem olhava.

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2. Devemos também verificar quais são os envolvidos na questão:

Primeiro envolvido: A pessoa que pergunta “De quem é esta foto?”, que

chamaremos de A.

Segundo envolvido: O homem que estava olhando a foto, que chamaremos de B.

Terceiro envolvido: O homem fotografado, que chamaremos de “X”, pois é a

incógnita de nosso problema, ou seja, a pessoa que queremos saber quem é.

3. Para a resolução deste problema o sujeito A tem alguma importância? Não. Então

vamos eliminá-lo.

4. Analisemos o segundo envolvido, ou seja, o sujeito B.

Que informações temos de B?

Informação 1: B não tem irmãos nem irmãs.

Informação 2: O pai do homem da foto é filho do pai do homem que olhava a foto.

Substituindo os termos da informação 2 por símbolos temos:

O pai de X é filho do pai de B.

Mas quem é filho do pai de B? Filho do pai de alguém será sempre este alguém e

seus irmãos.

Filho do pai de B é B e seus irmãos.

Sabendo pela Informação 1, que B não tem irmãos nem irmãs, então o filho do pai

de B é o próprio B.

Dica: se você não entendeu, pergunte-se sobre quem é filho de seu pai.

Substituindo temos:

O pai de X é B.

B é pai de X.

Se B é pai de X, então X é filho de B. O problema está resolvido. Nossa incógnita,

o X, é filho de B.

Deste modo: O homem da foto (X) é filho do homem que olhava a foto (B).

Portanto, o homem olhava a foto de seu filho.

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3.2 Argumentos ou Proposições

A lógica simbólica, também chamada de lógica formal, é a parte da lógica que se

dedica ao estudo das formas dos argumentos. Ela é construída a partir de linguagens

formais, que são constituídas apenas por símbolos, o que lhe permite abstrair o conteúdo

das proposições e atingir um grau de precisão que a linguagem quotidiana não possui.

É necessário, primeiramente estudar os símbolos que fazem parte dessa

linguagem formal e quais são as regras para a formação de suas proposições

(enunciados), após isso, é necessário analisar o significado lógico dos símbolos que são

usados, isto é, a sua contribuição para a verdade ou falsidade das proposições ou

argumentos em que eles ocorrem. Em função destes princípios, pode-se constatar que tal

lógica é essencialmente binária, o que quer dizer que uma proposição terá apenas um

dos dois valores possíveis: será verdadeira ou falsa.

O raciocínio lógico opera com proposições. Uma proposição é o encadeamento

de termos ou palavras através de uma cópula verbal ou não, que expressam o conteúdo

de um juízo, como verdadeiro ou falso.

Exemplo: Florianópolis é a capital de Santa Catarina.

Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1) se a proposição é

verdadeira; é a falsidade (0) se a proposição é falsa. Pode-se dizer então que o valor

lógico da proposição acima é verdade (1).

Neste sentido, vejamos a tabela abaixo:

Proposição/Enunciado Tem sentido completo?

Posso dizer se é V ou F?

É proposição?

Valor lógico

A árvore tem galhos. Sim Sim Sim 1Está chovendo. Sim Sim Sim 1Eu cai. Sim Sim Sim 1Cachorro. Não Não Não 0

Repare que se torna muito mais fácil resolver um problema se:

■ utilizarmos símbolos ao invés de expressões;■ analisamos cuidadosamente todos os elementos do problema.

Este é o procedimento padrão em Lógica.

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Eu vi um cachorro na esquina. Sim Sim Sim 1Traga-me um bife. Sim Não Não 0Que horas são? Sim Não Não 0

Concluindo, pode-se dizer que proposição simples é a que não contém nenhuma

outra proposição como parte integrante de si mesma, ou seja, é toda aquela proposição

que não é composta. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas de nosso

alfabeto, da seguinte forma:

Proposição RepresentaçãoA árvore tem galhos. pEstá chovendo. qEu cai. rEu vi um cachorro na esquina. s

As proposições são compostas quando duas ou mais proposições simples se

combinam através de palavras especiais como “e”, “ou”, “se...então” e “somente se...

então”. Indicaremos tais proposições por letras maiúscula de nosso alfabeto, exemplos:

1. A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina.

2. A árvore tem galhos ou eu vi um cachorro na esquina.

3. Se a árvore tem galhos então eu vi um cachorro na esquina.

4. Se, e somente se a árvore tem galhos então eu vi um cachorro na esquina.

Exercício Proposto1. Complete o quadro conforme o modelo anterior e diga se os segmentos linguísticos

são proposições ou não:

Proposição/Enunciado Tem sentido completo?

Posso dizer se é V ou F? É proposição?

Ontem choveu.Os brutos também amam.Você gosta de laranja?Blz.Que dia bonito!

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3.3 Princípios Fundamentais da Lógica

Estes princípios foram propostos por Aristóteles e são considerados por alguns

filósofos como sendo “leis do raciocínio”, à medida em que é impossível raciocinar

desobedecendo a eles.

Princípio da Não-contradição: “É impossível que o mesmo atributo pertença e

não pertença, ao mesmo tempo e sob a mesma relação, ao mesmo sujeito” (Aristóteles,

Metafísica, Livro G 20), ou seja, “Não podemos afirmar e negar um enunciado ao mesmo

tempo e sob o mesmo aspecto”.

~(p.~p)

Princípio do Terceiro Excluído: “Não é possível que haja uma posição

intermediária entre dois enunciados contraditórios: é necessário ou afirmar ou negar um

único predicado, qualquer que ele seja, de um único sujeito”, ou seja, “Dado um

enunciado ou ele é verdadeiro ou ele é falso. Não existe terceira hipótese”.

(p v ~p)

Princípio de Identidade:”Dado um enunciado, ele é sempre igual a ele mesmo”.

p = p

3.3.1 Aplicação: Discussão da Família Logus

Era uma vez três irmãos, Aristóteles, Dialéticos e Sofísticos, filhos de Dona Sophia e

Seu Logus. A família vivia muito feliz, como geralmente viviam todas as famílias de classe média

do mundo (naquele tempo não existia ainda crise econômica), sendo a paz familiar apenas

abalada pelas constantes disputas entre Aristóteles, Dialéticos e Sofísticos, que tinham sérias e

profundas divergências intelectuais e existenciais.

Dialéticos era um sonhador e vivia “no mundo da lua”, como costumava dizer Dona

Sophia. Rebelde com causa, vivia questionando Seu Logus e desrespeitando as regras

familiares. Seu Logus costumava-se queixar-se, dizendo: “Desrespeitando-me deste jeito, este

menino não vai aprender nada e nunca vai ser alguém na vida”.

Sofísticos era o “espertinho” da família. Pedante como só ele, achava que sabia tudo e

que era mais inteligente que todos. Tinha uma boa lábia, mas conhecimento mesmo tinha pouco.

Dona Sophia e Seu Logus, quando faziam prole, constumavam dizer: “Esse menino, se facilitar, é

capaz de convencer os outros de que uma vaca tem cinco patas... Isto não é nada bom”.

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Aristóteles era o orgulho da família. Rapaz educado, inteligente e vivo, impacientava-se

com o comportamento de seus irmãos, que viviam a provocá-lo intelectualmente. Suportava tudo

sem nada a dizer, até que um dia resolveu dar um fim a esta situação e chamou seus irmãos

para o que ele denominou de “uma discussão em família”.

– Dialéticos – disse Aristóteles – você sabe o que é o princípio da não contradição?

– Claro! O princípio de não contradição diz que “É impossível que o mesmo atributo

pertença e não pertença ao mesmo tempo e sob a mesma relação ao mesmo sujeito.

– Exatamente. Poderíamos também dizer mais informalmente que o princípio de não

contradição enuncia que “nada pode ser e não ser ao mesmo tempo e sob o mesmo

aspecto”. Pois eu lhe pergunto, Dialéticos, se você acha que é possível desrespeitar este

princípio.

– Pois eu lhe digo que é possível. E lhe digo, também, que o princípio de não contradição

deve ser dialeticamente superado.

– Ah não, Dialéticos! Seu caso é pior do que eu pensava. Você está querendo me dizer que

as coisas podem, ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto, ser e não ser?

– Sim. Veja bem, Aristóteles, as coisas estão sempre em movimento, o que mostra que

aquilo que é hoje pode não ser mais amanhã. Nós nunca nos banhamos duas vezes no

mesmo rio. As águas que nos banham hoje não serão mais as mesmas que nos

banharão amanhã, porque amanhã as águas de hoje já terão passado.

– É realmente profundo, Dialéticos, mas acho que você está compreendendo mal o

princípio da não contradição. O que o princípio diz é que as coisas não podem ser e não

ser ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto. Isto significa que não podemos, em um

mesmo instante, estar e não estarmos nos banhando em um rio. Afirmar isto seria

contraditório. Nada impede, entretanto, que hoje estejamos nos banhando em

determinado rio, com águas que amanhã não serão mais as mesmas. Em tempos

diferentes, podemos ter diferentes estados de coisas no mundo.

– Explique isto melhor, Aristóteles! Quer dizer que você, como eu, acha que as contradições

podem existir e que o mundo é movido a contradições?

– Pelo amor de Deus, Dialéticos, pare de querer forjar consensos e não coloque palavras

na minha boca! Contradições jamais, eu digo, jamais podem existir. Jamais alguma coisa

poderáser e não ser ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto. Por exemplo, mano, um

mesmo indivíduo jamais poderá dizer: “Eu vi e não vi o Gato Frajola sentado na cadeira

às 19:00 horas”. Se alguém dissesse isto, estaria dizerndo que viu e não viu determinado

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acontecimento em um mesmo instante, o que é evidentemente impossível. Nada impede,

entretanto, que alguém diga: “Eu vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas” e “

Eu vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas e 2 minutos”. Obviamente o que

aconteceu neste caso é que, ao passar o tempo, o Gato Frajola saiu da cadeira e foi para

outro lugar, quem sabe, foi caçar ratos. Nada impede, também que João diga: “Eu não vi

o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas”, e Pedro diga: “Eu vi o Gato Frajola

sentado na cadeira às 19:00 horas”. Neste caso, Pedro e João estavam sob diferentes

relações quanto ao objeto (no caso, o gato) em questão. Pedro, provavelmente, estava

próximo à cadeira e por isso viu o gato, e João, provavelmente, estava na rua, longe da

cadeira e, por isso, não vio o gato.

Neste exato instante, o irmão Sofísticos se intromete na discussão. Ele pede a Aristóteles

uma demonstração do princípio de não contradição e diz que sem esta demonstração ele

não pode dar-se por convencido da existência deste princípio.

– Ora Sofísticos! É impossível demonstrar o princípio de não contradição. Exatamente por

ser um princípio, ele é a vase de onde todas as outras demonstrações procedem. Não

podemos demonstrar aquilo que é o princípio de tudo. Se tentarmos tudo demonstrar,

regredimos ao infinito e não demonstraremos nada.

– Pois se não podemos demonstrar o princípio de não contradição, não me dou por

convencido e simplesmente não o aceito.

– Não posso lhe dar uma demonstração, Sofísticos, mas lhe darei uma prova que tem a

mesma força de uma demonstração. Chamarei esta prova de “refutação” ou

“demonstração indireta”. Peço-lhe, então, Sofísticos, que você simplesmente me diga

qualquer coisa.

– Digo-lhe que eu gosto de bananas.

– Quando diz isto, Sofísticos, você já está respeitando o princípio de não contradição.

– Como assim?

– Se você desrespeita o princípio de não contradição, não pode enunciar nada, nem

enunciar que você deseja uma demonstração deste princípio. Quando diz: “Eu quero uma

demonstração do princípio”. Você está me informando que quer esta demonstração e,

para informar isto, você precisa respeitar o princípio. Se para enunciar qualquer coisa

você não pode desrespeitá-lo, então o princípio tem validade universal. Se

desrespeitarmos o princípio, nada no mundo pode ser informado, nada pode ser

comunicado, nada pode ser dito. Vejam, então, meus irmãos, a força deste princípio! Ele

não pode ser diretamente demonstrado, porque ele é a contradição de toda e qualquer

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demonstração. Podemos, entretanto, refutar, como eu fiz agora, todo aquele que diz ser

possível desrespeitar o princípio, mostrando que desrespeitá-lo é condenar-se ao silêncio

eterno, a nunca usar a razão, é condenar-se a passar a vida sem nada afirmar e sem

nunca julgar.

Dona Sophia e Seu Logus que a tudo assistiam deram um sorriso largo, satisfeitos com

aquele que seria seu mais ilustre filho.

3.4 Operações lógicas sobre as proposições

Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições,

chamadas operações lógicas. Estas obedecem a regras de um cálculo, denominado

Cálculo Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Serão apresentadas,

a seguir, as operações lógicas fundamentais do cálculo proposicional.

3.4.1 Conjunção

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p

e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas

verdadeiras a falsidade (F) nos demais casos.

Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação:

“p . q” ou “p ^ q” ou “p & q”

Exemplo: A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina.

P = p . q, onde

p = A árvore tem galhos.

q = eu vi um cachorro na esquina.

Temos neste caso, dois enunciados simples, portanto podem tomar quatro

combinações de valores de verdade:

p q p . q1 V V ?2 V F ?3 F V ?4 F F ?

Então queremos saber como fica o valor de verdade da conjunção p . q para os

quatro casos possíveis:

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1. O que acontece com o valor de verdade da conjunção p . q (“A árvore tem galhos

e eu vi um cachorro na esquina.”) quando p é V (No caso, é verdade que a árvore

tem galhos) e q é V (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na

esquina)?

Resposta: p . q será verdadeiro, porque se é V a primeira proposição simples

conjuntiva “A árvore tem galhos” e é V a segunda proposição simples conjuntiva

“eu vi um cachorro na esquina”, então é V a conjunção “A árvore tem galhos e eu

vi um cachorro na esquina.”.

Portanto, devemos preencher com “V” a primeira linha da tabela acima.


e eu vi um cachorro na esquina.”) quando p é V (No caso, é verdade que a árvore

tem galhos) e q é F (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na

esquina)?

Resposta: p . q será falso, porque se é V a primeira proposição simples conjuntiva

“A árvore tem galhos” e é F a segunda proposição simples conjuntiva “eu vi um

cachorro na esquina”, então é F a conjunção “A árvore tem galhos e eu vi um

cachorro na esquina.”.

Portanto, devemos preencher com “F” a segunda linha da tabela acima.


e eu vi um cachorro na esquina.”) quando p é F (No caso, é verdade que a árvore

tem galhos) e q é V (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na

esquina)?

Resposta: p . q será falso, porque se é F a primeira proposição simples conjuntiva

“A árvore tem galhos” e é V a segunda proposição simples conjuntiva “eu vi um



Portanto, devemos preencher com “F” a terceira linha da tabela acima.


e eu vi um cachorro na esquina.”) quando p é F (No caso, é verdade que a árvore

tem galhos) e q é F (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na

esquina)?

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Resposta: p . q será falso, porque se é F a primeira proposição simples conjuntiva

“A árvore tem galhos” e é F a segunda proposição simples conjuntiva “eu vi um



Portanto, devemos preencher com “F” a quarta linha da tabela acima.

O valor lógico da conjunção das duas proposições é, portanto, definido pela

seguinte tabela verdade:

p q p . q Valor Lógico1 V V V 12 V F F 03 F V F 04 F F F 0

3.4.2 Disjunção

A disjunção de duas preposições é representada pela proposição cujo valor lógico

é a Verdade, quando uma das proposições componentes é verdadeira, e a Falsidade,

quando ambas as componentes são falsas.

Assim, diremos que a disjunção “A árvore tem galhos, ou eu vi um cachorro na

esquina.” é composta pela primeira preposição disjuntiva ou primeira alternativa, no caso,

“A árvore tem galhos” e pela segunda preposição disjuntiva ou segunda alternativa, no

caso, “eu vi um cachorro na esquina”.

Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação:

“p v q” ou “p + q”

Exemplo: A árvore tem galhos, ou eu vi um cachorro na esquina.

P = p v q, onde


q = eu vi um cachorro na esquina.

Temos neste caso, duas proposições simples, portanto temos quatro combinações

de valores de verdade:

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p q p v q Valor Lógico1 V V V 12 V F V 13 F V V 14 F F F 0

3.4.3 Disjunção Exclusiva

Na linguagem comum a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, consideremos as

duas seguintes proposições compostas:

P : Carlos é médico ou professor

Q: Mário é alagoano ou gaúcho

Na proposição P indica-se que pelo menos uma das proposições “Carlos é

médico”, “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ainda, ser ambas verdadeiras:

“Carlos é médico e professor”. Mas, na proposição Q, é óbvio que uma e somente uma

das proposições “Mário é alagoano”, “Mário é gaúcho” é verdadeira, pois, não é possível

ocorrer “Mário é alagoano e gaúcho”.

Na proposição P diz-se que “ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição Q, diz-

se que “ou” é exclusivo.

Em Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo “+” para “ou” inclusivo e

os símbolos “±, ⊕” para “ou” exclusivo. Assim sendo, a proposição P é a disjunção

inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples “Carlos é médico”,“Carlos é

professor”, isto é:

P: Carlos é médico + Carlos é professor

A proposição Q é a disjunção exclusiva das proposições simples “Mário é

alagoano”, “Mário é gaúcho”, isto é:

Q: Mário é alagoano ⊕ Mário é gaúcho

De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a

proposição representada simbolicamente por “p ⊕ q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q,

mas não ambos”, cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é

verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e falsidade(F) quando p e q

são ambas verdadeiras ou ambas falsas. A função lógica da disjunção exclusiva é Y =

(A . ~B) + (~A . B)

O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela

seguinte tabela verdade:

18


p q p ⊕ q Valor Lógico1 V V F 02 V F V 13 F V V 14 F F F 0

3.4.4 Negação

A negação de uma proposição qualquer é representada pela proposição cujo valor

lógico seja contrário a ela mesma. Assim, seja “p” a proposição: “A calçada está molhada”.

Sua negação será a proposição representada por “não p”: “A calçada não está molhada”.

Simbolicamente, a negação de uma proposição p indica-se com a notação:

“~p” ou “ ┐ p”

Lê-se não p.

Exemplo: A árvore tem galhos.

P = ~p, onde


~p = A árvore não tem galhos.

Temos neste caso, uma proposição simples, portanto temos duas combinações de

valores de verdade:

p ~p Valor Lógico1 V F 02 F V 1

3.4.5 Proposição condicional

Proposição condicional ou implicação material é a proposição cujo valor lógico é a

Falsidade, quando a primeira proposição componente, ou antecede, é verdadeira, e a

segunda, ou consequente, é falsa e a Verdade nos demais casos. A proposição,

condicional é obtida a partir do uso do conectivo “se... então...”.

Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação:

“p → q”

19


Pode ser lida das seguintes formas:

I. p implica q

II. se p então q

III. p é condição suficiente para q

IV. q é condição necessária para p

Na condicional “p→q” , diz-se que p é o antecedente e o q o conseqüente. O

símbolo “→” é chamado de implicação. Considere o seguinte exemplo:

João trabalha em uma estação meteorológica e faz a seguinte afirmação no dia

03 de março:

Se a umidade subir acima de 90 %, então choverá em menos de 24 horas

p: A umidade sobe acima de 90 % q: Choverá em menos de 24 horas.

Até o dia 05, embora a umidade estivesse a 95 % durante as últimas 48 horas,

não choveu. Isso significa que a afirmação feita anteriormente era falsa. Isso significa que

sempre que o antecedente for verdadeiro, o conseqüente deve ser verdadeiro para que o

resultado de toda a proposição seja verdadeira. O condicional não afirma a veracidade do

antecedente e do conseqüente, mas a relação existente entre eles.

Ex2.: Se João é Engenheiro, então sabe matemática.

A tabela verdade da condicional de duas proposições é, portanto:

p q p → q Valor Lógico1 V V V 12 V F F 03 F V V 14 F F V 1

3.4.6 Proposição bicondicional

Chama-se bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”

cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são ambas, verdadeiras ou falsas.

Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a

notação “p ↔ q” e pode ser lida das seguintes formas:

i. p é condição necessária e suficiente para q

ii. q é condição necessária e suficiente para p

iii. p se e somente se q (é mais utilizado) podendo ter a abreviação “p sse q”.

A tabela verdade da bicondicional de duas proposições é, portanto:

20


p q p ↔ q Valor Lógico1 V V V 12 V F F 03 F V F 04 F F V 1

Quando se tem uma bicondicional p ↔ q, na verdade implicamos p → q e q → p ao

mesmo tempo, ou seja, só é verdade quando as duas condicionais são verdadeiras.

Ex: João é careca, se João não tem cabelo. Isso na verdade implica:

i) Se João é careca, então João não tem cabelo e

ii) Se João não tem cabelo, então João é careca.

Obrigatoriamente, as duas proposições simples que compõem cada uma das

proposições condicionais i e ii devem ser: ambas verdadeiras ou falsas, para a

bicondicional ser verdadeira.

Nota: Os conectivos das diversas operações permitem a leitura em variantes de estilo na

linguagem corrente:~p

p ^ q

p ↔ q

não p.não é verdade que …é falso que...não é o caso que...não se dá que...p e qp, mas q,p, embora q,tanto p como q,não só p, mas também q,p, apesar de q.p se e somente se q (abrev.: “sse”),p se e só q,p se q e q se p,p exatamente quanto q,se p, q e reciprocamente,p é condição necessária e suficiente de q,p é equivante a q.

p → q

p v q

se p, então q,quando p, q,no caso de p, q,q, contanto que p,p é condição necessária para q,q é condição necessária para p,q, se p,q, quando p,q, no caso de p,p somente quando q,p só se q,p só no caso de q,p implica q.p ou qp ou q ou ambos,pe/ou q (nos documentos legais).

Exercício Proposto1. Interprete como “p” para “está chovendo” e “q” para “está nevando”. Expresse a forma

de cada sentença na notação do Cálculo Proposicional:

a) Está chovendo.

21


b) Não está chovendo.c) Está chovendo ou nevando.d) Está chovendo e nevando.e) Está chovendo, mas não está nevando.f) Não é o caso que está chovendo e nevando.g) Se não está chovendo, então está nevando.h) Não é o caso que esta chovendo então está nevando.i) Não é o caso que se está nevando então está chovendo.j) Está chovendo se e somente se não está nevando.k) Não é o caso que está chovendo ou nevando.l) Se está nevando e chovendo, então está nevando.m) Se não está chovendo, então não é o caso que está nevando e chovendo.n) Ou está chovendo e nevando, ou está nevando e chovendo.o) Ou está chovendo e nevando, ou está nevando mas não está chovendo

3.5 Tabelas-verdade

Nas composições, o valor lógico de qualquer proposição composta depende

unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles

univocamente determinado. Na situação atual, os números que aparecem na primeira

coluna têm apenas a finalidade de indicar o número de linhas para cada exemplo

apresentado.

Para as proposições compostas, veremos que o número das componentes simples

determina o número de linhas das tabelas-verdade. Exemplos:

a) P(p,q)

p q1 0 02 0 13 1 04 1 1

b) P(p,q,r)

22


p q r1 0 0 02 0 0 13 0 1 04 0 1 15 1 0 06 1 0 17 1 1 08 1 1 1

O numero de linhas de uma tabela verdade é dado por 2n onde n é o número de

proposições componentes.

Exemplos:

a) Dada p com n = 1, a tabela verdade terá 21 = 2 linhas.

b) Dada P(p,q,r) com n = 3, a tabela verdade terá 23 = 8 linhas.

c) Dada P(p,q,r,s,t) com n = 5, a tabela verdade terá 25 = 32 linhas.

3.6 Fórmulas Proposicionais

São as proposições formadas a partir de outras, com o uso de um ou mais

conectivos.

Para trabalharmos com as fórmulas proposicionais, precisamos observar algumas

questões:

• O conectivo ~ modifica apenas o termo mais próximo.

Ex.: ~P v Q, o conectivo ~ modifica apenas o P.

Ex.: ~(PvQ) o conectivo ~ modifica o P e o Q, devido aos parênteses.

• Os conectivos → e ↔ abrangem toda a parte da proposição que não contenha o

mesmo sinal.

Ex.: (X v Y) Ex.: (P v Q) é o mesmo que X v Y → P v Q

• Os parênteses são empregados para evitar ambigüidade na leitura e no

entendimento.

Ex.: A ^ (B → C), os parênteses indicam que a proposição é diferente de A ^ B →

C que, por sua vez, é a mesma que (A ^ B) → C

23


Exercício Proposto 1. Seja p a proposição: “as meninas jogam” e q a proposição “O gato mia”. Traduza

para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~p

b) ~q

c) p ^ q

d) p ^ ~q

e) p v q

f) ~p v q

g) p → q

h) ~q → p

i) p ↔ q

j) ~p ↔ ~q

k) (p v q) → q

l) (~q ^ p) ↔ q

m)(~p ^ ~q) ↔ (p ^ q)

n) ~~p

o) q → ~~p

3.7 Construção da tabela-verdade para as Fórmulas Proposicionais

Para construir a tabela precisamos seguir alguns passos:

a) Desmembrar a fórmula em outras proposições até chegar às mais simples, que

não podem mais ser decompostas, e arrumá-las em uma tabela. Assim, podemos calcular

os valores lógicos dessas proposições a partir das tabelas-verdade dos conectivos.

Ex.: P ^ Q ↔ R

Proposição P Q RV. Lógico

b) Atribuir os valores 1 ou 0 a cada uma das proposições simples que compõe a

fórmula. Como estas proposições são em número de três, a tabela terá 8 linhas (23 = 8).

• o total de linhas é dado por 2n, onde n é o número de proposições simples.

24


•

Proposição Nº. P Q RV. Lógico 1 1 1 1

2 1 1 03 1 0 14 1 0 05 0 1 16 0 0 17 0 1 08 0 0 0

c) Calcular o valor lógico das proposições desmembradas até chegar à fórmula

final, cujo valor procuramos.

Proposição Nº. P Q R P ^ QV. Lógico 1 1 1 1 1

2 1 1 0 13 1 0 1 04 1 0 0 05 0 1 1 06 0 0 1 07 0 1 0 08 0 0 0 0

Proposição Nº. P Q R P ^ Q P ^ Q ↔ RV. Lógico 1 1 1 1 1 1

2 1 1 0 1 03 1 0 1 0 04 1 0 0 0 15 0 1 1 0 06 0 0 1 0 07 0 1 0 0 18 0 0 0 0 1

A ordem de precedência para calcular o valor lógico de uma tabela verdade é

parênteses, negação, conjunção, disjunção e implicação. Que pode ser esquematizada

pelo seguinte diagrama:

Ordem de Precedência

^ v → ↔~( )

25


Exercício Proposto1. A negação de uma proposição é verdadeira quando a proposição é falsa. E é falsa

quando a proposição é verdadeira. Sabendo que:

P = O turismo é uma atividade econômica.

Q = O Brasil é banhado pelo Oceano Pacífico.

Transforme as proposições em linguagem simbólica e mostre seu valor lógico:

a) O turismo é uma atividade econômica.

b) O turismo não é uma atividade econômica.

c) O Brasil é banhado pelo Oceano Pacífico.

d) O Brasil não é banhado pelo Oceano Pacífico.

Mostre o valor lógico das seguintes proposições:

Linguagem simbólica

Q~Q

~(~Q)~(~(~(~Q)))

2. A conjunção de duas proposições só é verdadeira quando as duas proposições

formadoras também são verdadeiras. Observe a situação e siga o exemplo abaixo.

Situação: “Uma grande seguradora do país oferece descontos especiais para os

seguros de automóveis realizados em nome de pessoas do sexo feminino com

mais de 40 anos de idade. Outro dia, um corretor dessa seguradora deu entrada

em quatro propostas: Marisa de 53 anos, Laura de 27 anos, Eduardo de 49 anos e

Osvaldo de 38 anos.”.

Ex.: Proposições / Premissas L. Simbólica V. LógicoMarisa é mulher. P. 1

Marisa tem mais de 40 anos. Q. 1

.∙.Marisa é mulher e tem mais de 40 anos. .∙.P ^ Q. 1

Proposições / Premissas L. Simbólica V. LógicoLaura é mulher.

Laura tem mais de 40 anos.

.∙. Laura é mulher e tem mais de 40 anos.

26


Proposições / Premissas L. Simbólica V. LógicoEduardo é mulher.

Eduardo tem mais de 40 anos.

.∙. Eduardo é mulher e tem mais de 40 anos.

Proposições / Premissas L. Simbólica V. LógicoOsvaldo é mulher.

Osvaldo tem mais de 40 anos.

.∙. Osvaldo é mulher e tem mais de 40 anos.

3. Dados:

X = O dia está ensolarado.

Y = O dia está de noite.

Z = O dia está chuvoso.

Preencha a seguinte tabela:

Linguagem simbólica Valor LógicoXYZ

~Y~Z

X ^ ZX ^ ~Z

~Z ^ ~Y~Y ^ X

4. A disjunção de duas proposições é verdadeira quando pelo menos uma das

proposições formadoras é verdadeira. Dados:

P = 15 ≥ 2

Q = -8 ≤ -2.4

R = -10 > -8.

Preencha a seguinte tabela:

27


Linguagem simbólica Valor LógicoPQR~P~R

~P v ~RQ v ~R~R v ~P

Q v P

5. Na condicional P → Q temos que:

• P é chamado de antecedente.

• Q é chamado de conseqüente.

• P é condição suficiente para Q.

• Q é condição suficiente para P.

A partir da seguinte informação mostre suas proposições e seu valor lógico:

“Denise, uma das vendedoras da InfoCom Informática, informou ao cliente Marcos

que se ele trouxer o Modem defeituoso, ela lhe dará um novo modem em perfeito estado.

P = Marcos traz o modem defeituoso.

Q = Denise dá um modem perfeito a Marcos.

a) ~P → Q:

b) ~ ~P → ~ ~Q:

c) ~(P → Q):

d) ~P → ~Q:

6. A bicondicional P ↔ Q é o mesmo que “P → Q” e “Q → P”. Daí temos:

• P é condição necessária e suficiente para Q.

• Q é condição necessária e suficiente para P.

Situação: “Pacheco chamou um pintor para fazer uns serviços em sua casa.

Indagado a respeito da data em que começaria o trabalho, o pintor respondeu:

- Só começarei o serviço em sua casa se e semente se o senhor comprar o

material necessário. ”

Desta situação extraia as proposições:

P = O pintor começará o serviço.

28


Q = Pacheco comprará o material necessário.

E transforme em linguagem corrente as seguintes linguagens simbólicas:

a) P ↔ ~Q:

b) ~(P ↔ Q):

c) ~Q ↔ ~ ~P:

d) Q ↔ P:

7. Construa as tabelas-verdade para as seguintes fórmulas:

a) ~ (P v Q) ↔ ~P v ~Q

b) P ^ (Q v R)

c) (P ^ Q) v (P ^ R)

d) (P ^ Q) ↔ ~( ~P v ~Q)

e) (P v Q) ↔ ~( ~P ^ ~Q)

f) P ↔ ((P ^ Q) v (P ^ ~Q))

29


3.8 Tautologia

Chama-se tautologia toda fórmula cuja última coluna de sua tabela-verdade é

sempre verdadeira.

P ~P (P v ~P) P ~P (P & ~P) ~(P & ~P)V F V V F F VF V V F V F V

3.9 Contradição

Chama-se contradição toda fórmula cuja última coluna de sua tabela-verdade é

sempre falsa.

P ~P (P & ~P)V F FF V F

3.10 Contingência

Chama-se contingência toda formula cuja última coluna de sua tabela-verdade

figuram V e F. Não são tautologias nem contradições.

P Q (P v Q)V V VV F VF V VF F F

Exercício Proposto1. Construa as respectivas tabelas verdades e informe se a fórmula é tautologia,

contradição ou contingência.

a) p ↔ p + p

b) (a → b) → ((b → c) → (a → c))

c) (a → b ) . (b → a)

d) a → a ⊕ b

e) a. (a + b)

f) ~(~p . q ) ↔ ~p + ~q

30


3.11 Implicação ou Equivalência Lógica

Chama-se implicação lógica ou equivalência lógica toda formula cuja as fórmulas

possuem as mesmas tabelas verdade.

P Q (P → Q) P Q ~P v QV V V V V VV F F V F FF V V F V VF F V F F V

⇔Abaixo apresenta-se algumas equivalências notáveis, e como as mesmas serão

identificadas para então serem usadas para simplificar ou melhorar a descrição das

nossas informações:

São equivalência, ou consequências

tautológicas mútuas

São equivalência, ou consequências

tautológicas mútuas

1. Propriedades Comutativa (A∨B) ≡ (B∨A) (A∧B) ≡ (B∧A)

2. Propriedades Associativas (A∨B)∨C ≡ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ≡ A∧(B∧C)

3. Propriedades Distributivas A∨(B∧C) ≡ (A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C) ≡ (A∧B)∨(A∧C)

4. Propriedades de Identidade A∨0 ≡ A A∧1≡A

5. Propriedades Complementativas A∨(¬A) ≡1 A∧(¬A) ≡ 0

6. Leis de De Morgan ¬(A∨B) ≡ ¬A∧¬B ¬(A∧B) ≡¬A∨¬B

7. Propriedades Idempotentes A∨A ≡ A A∧A ≡ A

8. Dupla Negação ¬(¬A) ≡ A

9. Reescrevendo a Implicação Contraposição ou Transposição (A→B) ≡ ( ¬B→¬A)

10. Bi-condicional ou definição da equivalência (A↔B) ≡ (A→B)∧(B→A)

11. Prova Condicional ou exportação, importação (A→(B→C)) ≡ (A∧B)→C

12. Definição da implicação (A→B) ≡ ¬A∨B

Observação: 1 representa uma fórmula que é tautologia e 0 representa uma fórmula que

é uma contradição.

31


Exercício Proposto 1. Verificar se as fórmulas abaixo são implicações/equivalências lógicas:

a) p ⇒ p + q

b) ~(p . ~p) ⇔ (p+~p)

c) p . q ⇒ p

d) (p + q) . ~p ⇒ q

e) p.(~p+q) ⇔ (p.q)

f) (p ↔ q) . p ⇒ q

g) (p → (q→ r)) ⇒ q → (p → r)

3.12 Argumentos Lógicos

Chama-se argumento toda afirmação em que dada uma sequência finita de

proposições P1, P2, ... Pn tem-se como consequência a proposição final Q.

A proposições P1, P2, ... Pn chamam-se premissas do argumento, e a

proposição final Q chama-se conclusão do argumento.

Um argumento de premissas P1, P2, ... Pn e a conclusão Q, indica-se por P1,

P2, ... Pn Q e lê-se:

(i) P1, P2, ... Pn acarretam Q

(ii) Q se deduz de P1, P2, ... Pn

(iii) Q se infere de P1, P2, ... Pn

Exemplo:

Estamos no mês de agosto ou no mês de setembro. (P v Q)Não estamos no mês de setembro ~QEstamos no mês de agosto. P

(P v Q)~Q P

O símbolo├ é chamado de traço de asserção.

Assim, um argumento é escrito da seguinte forma: p, p→q, q→r ├ r onde:

p, p→q, q→r ├ r

Na Lógica Matemática entre as notaçõesutilizadas podemos representar as

premissas uma em cada linha ou separadas por vírgulas e utilizar o símbolo ├

para indicar a conclusão.

Um argumento escrito horizontalmente com as premissas separadas por vírgula:

P v Q, ~Q ├ P

32


Premissas Conclusão

Outro exemplo:

Se José pegou as jóias ou a Sra. Krasov mentiu, então ocorreu um crime; se

ocorreu um crime então o Sr. Krasov estava na cidade. Mas o Sr. Krasov não estava na

cidade; portanto, ou José não pegou as jóias ou a Sra. Krasov não mentiu.

Fazendo:

p - José pegou as jóias

q - a Sra. Krasov mentiu

r - ocorreu um crime

s - o Sr. Krasov estava na cidade

3.12.1 Validade de Argumentos

Um argumento é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2,..., Pn são verdadeiras.

Em outros termos, uma instância é válida se não houver situação onde a

conclusão é falsa e todas as premissas são verdadeiras.

P → Q, P ├ Q

P Q P → Q P QV V V V VV F F V FF V V F VF F V F F

Um argumento válido é dito correto ou legítimo. Um argumento não-válido é

chamado de sofisma.

temos:

p v q → rr → s~s├ ~ p v ~ q

O argumento é válido, pois não existe caso onde as premissas são verdadeiras (todas)

e a conclusão é falsa.

33


3.12.2 Validade de um argumento através da Tabela-verdade

As tabelas-verdades podem ser usadas para demonstrar, verificar ou testar a

validade de qualquer argumento. Para isso, o procedimento prático consiste em construir

uma tabela-verdade com uma coluna para cada premissa e a conclusão, e nela identificar

as linhas em que os valores lógicos das premissas P1, P2, ...Pn são todos V. Nessas

linhas, o valor lógico da conclusão Q deve ser também V para que o argumento dado seja

válido.

A seguinte tabela-verdade confirma que o argumento representado como: P v Q,

~Q ├ P é válido.

P Q P v Q ~Q PV V V F VV F V V VF V V F FF F F V F

Veja que a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

3.12.3 Avaliação de um Argumento: Dedução e Indução

A Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo

pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução, que dão origem

a dois tipos de argumentos: dedutivos e indutivos.

Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova

conclusiva da veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é válido quando suas

premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é,

quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa; caso

contrário, o argumento dedutivo é dito inválido.

Os argumentos indutivos, por outro lado, não pretendem que suas premissas

forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam

indicações dessa veracidade.

Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos indutivos;

eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade

com que suas conclusões sejam estabelecidas.

Costuma-se dizer que os argumentos indutivos partem do particular para o

34


geral, isto é, a partir de observações particulares, procura estabelecer regras gerais, que,

no caso das ciências naturais, devem ser provadas por outros meios; os argumentos dedutivos, por seu lado, partem de regras gerais para estabelecer a veracidade de acontecimentos particulares.

O desenvolvimento da ciência tem dependido, em grande parte, da habilidade em

combinar os dois tipos de raciocínio.

Argumento dedutivogeral

Todos os homens são mortais. (premissa)Sócrates é homem. (premissa)Portanto Sócrates é mortal. (conclusão)

específico

Argumento indutivo

Eu sonho com monstros.Meu irmão sonha com monstros.Todas as pessoas sonham com monstros.

3.12.4 Validade dos argumentos mediante Regras de Inferência

Regras de inferência: Os argumentos básicos são usados para fazer

“inferências”, isto é, executar os “passos” de uma dedução ou demonstração, e por isso

chamam-se também, Regras de Inferência.

(podemos escrevê-las colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em

seguida, a conclusão sob o mesmo traço).

Argumentos válidos fundamentais: São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente) os seguintes:

1. Regra Modus Ponens (MP) : de um condicional e seu antecedente, podemos

inferir seu consequente. P → Q ├ Q //p é dito antecedente e q é dito consequente

Também conhecida como Regra da Eliminação da condicional ou Regra da separação permite deduzir q (conclusão) a partir de p → q e p (premissas)

Exemplos:

C, S → A, C → S├ A

(1) p → q P (1) p ^ q → r P (1) C P(2) p P (2) p ^ q P (2) S → A P(3) q (3) r (3) C → S P

(4) S 1,3 MP(5) A 2,4 MP

(6)

35


Assim:

Alistamos as 3 suposições nas primeiras linhas, enumeramos cada linha e

colocamos o “P” para indicar que são premissas. Então, deduzimos a conclusão A em

duas etapas de raciocínio. As duas etapas têm a mesma forma, cada uma delas é uma

instância da regra MP.

2. Modus Tollens (MT) : A partir das premissas p → q (condicional) e ~q (negação do

consequente) deduzimos como conclusão ~p (negação antecedente).

P → Q, ~Q |- ~P

Exemplo: P → Q v R, ~(Q v R) |- ~P

(1) P → Q v R P(2) ~(Q v R) P

(3) ~P 1,2 MT

3. Eliminação da Negação (E~): de uma fórmula da forma ~~P, podemos inferir P.

~~p |- p

Exemplo: ~P → ~~Q, ~~p |- Q

(1) ~P → ~~Q P(2) ~~~P P

(3) ~P 2 E~(4) ~~Q 1,3 MP(5) Q 4 E~

4. Conjunção (Conj) : de quaisquer P, Q podemos concluir P ^ Q.

P, Q |- (P ^ Q)

Também conhecida como Regra da Introdução da conjunção permite deduzir de

duas proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção p ^ q ou q ^ p

(conclusão).

Exemplo: (P ^ Q) → S, ~~P, Q |- S

Esses passos são também chamados derivação ou prova. Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras.

Essa forma é válida porque ela pode ser derivável pelas regras de inferência.

36


(1) (P ^ Q) → S P(2) ~~P P(3) Q P

(4) P 2 E~(5) (P ^Q) 3,4 Conj(6) S 1,5 MP

5. Regra da Simplificação (Simp) : de uma conjunção podemos inferir qualquer um

de seus conjuntos.

P ^ Q |- P

P ^ Q |- Q

Também conhecida como Eliminação da conjunção, que diz da conjunção p ^ q

de duas proposições se pode deduzir cada uma das proposições, p ou q.

Exemplo: P → (Q ^ R), P |- (P ^ Q)

(1) P → (Q ^ R) P(2) P P

(3) (Q ^ R) 1,2 MP(4) Q 3 Simp(5) (P ^ Q) 2,4 Conj

6. Regra da Adição (Adição) : em um fórmula P, podemos inferir (deduzir) a

disjunção de P com qualquer outra fórmula.

P |- P v Q

Também conhecida como Introdução da disjunção. Dado p podemos deduzir p v

q, p v r, s v p, t v p.

Exemplos: P |- (P v Q) ^ (P v R) P, ~~(P → Q) |- (Q v ~Q)

(1) P P (1) P P(2) (P v Q) 1 Adição (2) ~~(P → Q) P

(3) (P v R) 1 Adição (3) (P → Q) 2 E~(4) (P v Q) ^ (P v R) 2,3 Conj (4) Q 1,3 MP

(5) (Q v ~Q) 4 Adição

7. Regra do Dilema Construtivo (DC) : de uma fórmula da forma P v Q, P → R e Q

→ R, podemos inferir R.

37


P v Q, P → R, Q → R |- R

Também conhecida como Eliminação da disjunção, onde as premissas são duas

condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos

consequentes destas condicionais.

Exemplo:

(1) (A → B) ^ (C → D) P(2) A v C P

(3) B v D DC

8. Introdução do bicondicional (I↔) : de quaisquer fórmula (P → Q) e (Q → P),

podemos inferir (P ↔ Q).

Exemplo: (P → Q), (P → Q) → (Q → P) |- (P ↔ Q)

(1) (P → Q) P(2) (P → Q) → (Q → P) P

(3) Q → P 1,2 MP(4) P ↔ Q 1,3 I↔

9. Eliminação do bicondicional (E↔) : de qualquer fórmula (P ↔ Q) podemos inferir

(P → Q) e (Q → P).

Exemplo: F ↔ (S v D), S |- F

(1) F ↔ (S v D) P(2) S P

(3) (S v D) → F E↔1(4) (S v D) 2 Adição(5) F 3,4 MPTabela – Resumo: Regras de Inferência

De Pode-se deduzir Nome (Abreviação) da Regra

P, P → Q Q Modus Ponens (mp)

P → Q, ~Q ~P Modus Tollens (mt)

P, Q P ∧ Q Conjunção (conj)

P ∧ Q P, Q Simplificação (simp)

P P ∨ Q Adição (ad)

P → Q, Q → R P → R Silogismo Hipotético (sh)

38


P ∨ Q, ~P Q Silogismo Disjuntivo (sd)

(P ∧ Q) → R P → (Q → R) Exportação (exp)

P, ~P Q Inconsistência (inc)

Exercício Resolvido:

Compro umas calças ou compro uma camisola.

Se comprar uns tênis, compro um cinto e, se comprar uma camisola,

compro um casaco.

Não compro umas calças e não compro um cinto.

Logo, não compro uns tênis e compro um casaco.

• Traduzindo para símbolos temos:

39


P: compro umas calças

Q: compro uma camisola

R: compro uns tênis

S: compro um cinto

T: compro um casaco

• Traduzindo para expressões teremos:

1. P v Q P

2. (R → S) ^ (Q → T) P

3. ~P ^ ~S P

4. ~R ^ T Conclusão (é o que queremos deduzir)

• Então:

1. P v Q P

2. (R → S) ^ (Q → T) P

3. ~P ^ ~S P

4. ~P 3 Simp. (Eliminação da conjunção na linha 3)

5. Q 1,4 SD (Silogismo disjuntivo da linha 1 e3 4)

6. Q → T 2 Simp. (Eliminação da conjunção na linha 2)*

7. T 6,5 MP

8. R → S 2 Simp. (Eliminação da conjunção na linha 2)**

9. ~S 3 Simp. (Eliminação da conjunção na linha 3)

10.~R 8,9 MT

11. ~R ^ T 10,7 Conjunção

* Tanto podemos eliminar a conjunção para obter R → S como para Q → T, no entanto, o

que nos interessa é obter Q → T.

** Como já eliminamos Q → T, no entanto, o que nos interessa é obter R → S.

Exercícios Propostos:

1. Mediante o uso das regras de inferência, demonstrar a validade dos seguintes

argumentos:

a) (p ^ s) v p, q → ~p, t → ~p, q v t |- s ^r

b) p → q, r → s, p v s |- q v r

c) p → q, r → s, p v r |- q v s

d) r → ~p, (r ^ s) v t, t → q v u, ~q ^ ~u |- ~p

e) p → q, ~q, ~p → r |- ~~r

2. Derive o que se pede das seguintes premissas:

40


a) Derive U

1. P → (Q ^ R) P

2. (Q ^ R) → S P

3. S → (T v (~T → U)) P

4. P P

5. ~T P

b) Derive (R ^ S)

1. ~~P P

2. Q → (R ^ S) P

3. T ↔ ~~Q P

4. T v ~P P

c) Derive (P v Q) ^ (P v R)

1. (P v Q) → R P

2. R ^ P P

3. Derive o que se pede das seguintes premissas:

a) P → Q, Q → R, P |- R

b) P v Q, P → Q, ~Q |- Q

c) P ^ S, P → Q, P |- R

d) P → (Q v R), (~P v ~R) → S, ~(Q v R) |- S

4. Complete as deduções abaixo:

1. 1. M → N P 2. 1. M → N P

2. ~N ^ M P 2. O v M P

3. ~N _____ 3. ~O ^ P P

4. ~M _____ 4. ~O _____

5. ~M ^ ~N _____ 5. M _____

6. N _____

3. 1. M v N P 4. 1. M → N P

2. O → ~M P 2. ~O → P P

3. O ^ P P 3. N → O P

4. O _____ 4. M → O ____

5. ~M _____ 5. ~O ____

6. N _____ 6. ~M ____

7. N v Q _____ 7. P ____

41


8. ~M ^P ____

5. Prove, usando as regras de inferência:

a) M ^ N |- N v O

b) M → N, O v ~N, ~O |- ~M

c) M v N, ~M ^ P, N → O |- O

d) (M → N) ^ (O → P), ~N ^ M |- P

e) M → N, O v ~N, ~O ^ P |- ~M ^ P

f) M → N, ~O, N → O, ~~M |- P

g) (M → N) ^ (O → P), M, ~(N v P) |- ~O ^ M

h) M → (N → O), M ^ N, M → (O → P) |- P

i) (M → N) ^ (N → O), N → ~P, ~~P ^M |- ~M ^ ~N

j) M > (N ^ O), N → ~P, M ^ P, (~P → Q) ^ (R → O) |- Q v O

42


4 Elementos Básicos de Organização

Este capítulo aborda os principais elementos utilizados para descrever o computador através de equações booleanas ou seu

equivalente em portas lógicas.

Durante séculos os matemáticos sentiram que havia uma conexão entre a Matemática e a Lógica, mas ninguém antes de George Boole pôde achar este elo ausente. Em 1854 ele inventou a lógica simbólica, conhecida por álgebra booleana. Cada variável na álgebra booleana tinha qualquer um de dois valores: verdadeiro ou falso. Após algumas décadas os engenheiros entenderam que a álgebra booleana poderia ser aplicada à Eletrônica dos Computadores.

4.1 Transistores

Para entender de que forma os circuitos de um computador são projetados, ou seja, de que maneira é possível construir uma ULA (Unidade Lógica Aritmética) ou um circuito decodificador, é necessário não apenas compreender a lógica utilizada no projeto destes componentes, mas também sua relação com os componentes físicos.

Imagine um interruptor de luz. Trata-se de uma “caixinha” com uma pequena alavanca e dois fios. Vire a alavanca para um dos lados e a energia não poderá fluir pelos fios. Vire a alavanca para o outro lado e agora a corrente elétrica poderá passar. Um transistor é um circuito semelhante. Substitua a alavanca por um fio extra que pode ser usado para controlar o interruptor. Quando colocamos tensão neste “fio controlador”, o efeito é o mesmo que obtemos ao desligar o interruptor. Quando interrompemos a tensão no “controlador”, o efeito é o mesmo que obtemos ao ligar o interruptor. A figura 1 apresenta o esquema de um transistor:

Um transistor pode ser entendido, então, como um “circuito inversor”. Dado que existe uma certa tensão em um dos fios, podemos “ligar ou desligar” essa tensão aplicando ou não tensão

Figura 4: Esquema de um transistor

43


em um segundo fio controlador. Desta forma, se houver tensão no controlador não haverá no outro e vice-versa.

Independente dos detalhes do funcionamento de um transistor, o que importa neste contexto é saber que conectando da maneira apropriada dois ou mais destes circuitos é possível compor os circuitos lógicos que são à base de qualquer computador.

4.2 Interruptores

Chamamos de interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir um dos dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Quando fechado, o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquanto aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto.

Neste caso, somente conheceremos o estado do interruptor se tivermos a indicação de que a = 1 ou a = 0. Conhecendo-se o estado de um interruptor a, poderíamos denotar também por a qualquer outro interruptor que apresente o mesmo estado de a, isto é, aberto quando a está aberto e fechado quando a está fechado.

Um interruptor aberto quando a está fechado e fechado quando a está aberto chama-se complemento (inverso ou negação) de a, e denota-se por a' ou a.

Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo. Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado, isto é, apresentar o estado 1.

Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em paralelo por a + b. Então:

Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa ligação em série só passará corrente se ambos os interruptores estiverem fechados, isto é, se a = b = 1. Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em série por a . b ou simplesmente ab, Então:

Assim, considerando os estados possíveis de serem assumidos pelos interruptores nas ligações em série e em paralelo, podemos notar que:

Figura 5: Representação de Interruptor Fechado e Aberto

Figura 6: Ligação de Interruptores

Figura 7: Interruptores em Série

44


0 + 0 = 0 0 . 0 = 00 + 1 = 1 0 . 1 = 01 + 0 = 1 1 . 0 = 11 + 1 = 1 1 . 1 = 1a + b = b + a a . b = b . aa + a’ = 1 a . a’ = 0a + 0 = a a . 0 = 0a + 1 = 1 a . 1 = a

Todas estas equações podem ser verificadas desenhando-se o circuito apropriado, As ligações de:

são a . (b + c) e (a . b) + (a . c), respectivamente. Os circuitos estão ambos abertos se a = O ou b = c = 0, e estão ambos fechados se a = 1 ou b=c=1; logo, suas ligações são iguais. Então:

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

4.3 Portas Lógicas

Porta NOT ( )

Definição: É uma porta com apenas um sinal de entrada e um sinal de saída, onde o estado da saída é sempre o oposto da entrada.

Representação Algébrica: S = A

Simbologia: Tabela Verdade:

A A

1 00 1

Tabela 1: Tabela Verdade da Porta NOTFigura 9: Porta NOT

Figura 8: Equações em circuito

45


Porta OU (OR) ( + )

Definição: A porta OR tem dois ou mais sinais de entrada (padrão 02 ou 03) mas somente um sinal de saída. Se qualquer sinal de entrada for alto (nível 1 - fechado), o sinal de saída será alto.

Representação Algébrica: S = A + B + C

Simbologia: Tabela Verdade:A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Tabela 2: Tabela Verdade da Porta OU

Porta E (AND) ( . )Definição: A porta AND tem dois ou mais sinais de entrada (padrão 02 ou 03) mas somente um

sinal de

saída. Se

qualquer

sinal de

entrada for

baixo (nível 0 - aberto), o sinal de saída será baixo.

Representação Algébrica: S = A . B


Figura 10: Nível da Porta OU

Figura 11: Porta OU

Figura 12: Nível da Porta E

46


A B S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabela 3: Tabela Verdade da Porta E

Porta NÃO OU (NOR) ( + )Definição: As portas NOR apresentam as mesmas características das portas OR, com relação à

entrada e saída. Sua diferença esta no fato de ter associado a sua saída uma porta NOT, o que

inverte o resultado de S, ou seja, só teremos nível lógico 1 na saída quando todas as entradas

forem de nível 0.

Representação Algébrica: S = A + B


A B S S

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Tabela 4: Tabela Verdade da Porta NOR

Porta NÃO E (NAND) ( . )Definição: De maneira análoga às portas NOR, as portas NAND nada mais são que portas AND

onde foram acrescentadas portas NOT em sua saída. Portanto, só obteremos nível 0 quando

todos as suas entradas forem de nível 1.

Representação Algébrica: S = A . B


Figura 13: Porta E

Figura 14: Porta NOR

As portas NAND e NOR são de grande interesse

na área de sistemas digitas pois, dependendo

da tecnologia empregada para a fabricação de

circuitos integrados, elas podem ser

implementadas de forma mais simples e

econômica que as portas AND e OR.

47


A B S S

0 0 0 1

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

Tabela 5: Tabela Verdade da Porta NÃO E

Exemplo de uso em circuito de portas NAND:

A B A B S S

0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1

Tabela 6: Tabela Verdade do exemplo

Porta OU EXCLUSIVO (EXOU / EXOR) ( ⊕ )Definição: Uma porta EXOR reconhece apenas quando houver um número diferente de

entradas em nível alto.

Representação Algébrica: Y = A ⊕ B


A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Tabela 7: Tabela Verdade da Porta EXOR

Porta NÃO OU EXCLUSIVO (EXNOR) ( ⊕ )Definição: basta adicionarmos ao final de uma porta EXOR uma porta inversora, o que provocará a inversão dos resultados na saída.

Representação Algébrica: Y = A ⊕ B


Figura 15: Portas NÃO E

Figura 17: Porta EXOR

Figura 16: Exemplo de circuito de portas NAND

48


A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabela 8: Tabela Verdade da Porta EXNOR

4.4 Álgebra booleana e Circuitos Lógicos

Em 1938 o matemático americano Claude Shannon percebeu que a álgebra booleana poderia ser representada através de circuitos eletrônicos e que desta forma seria possível construir “equipamentos lógicos”.

Inicialmente ele substituiu os valores verdade {V,F} pelos valores {0,1} associando-os a diferentes níveis de voltagem em um circuito (por exemplo: -5 volts corresponde ao valor 0 e 5 volts corresponde ao valor 1).

Associando estes valores a um circuito inversor (transistor), obtemos um circuito que implementar a tabela verdade da função “NOT”.

Combinando-se circuitos inversores é possível implementar as tabelas verdades das funções “AND” e “OR” que são as funções básicas da álgebra booleana. Estes circuitos podem ser representados sob a forma de símbolos ou portas lógicas.

As portas básicas podem ser combinadas para formar circuitos mais complexos. As ilustrações abaixo apresentam a tabela verdade e o circuito, respectivamente, correspondente à função lógica “maioria”. O comportamento desta função é o seguinte: se a maioria das entradas for “1”, então o resultado é “1” e vice-versa.

Maioria = A’BC+AB’C+ABC’+ABC

A B C M0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Tabela 9: Tabela Verdade da função lógica “maioria”

Figura 18: Porta EXOR

Figura 19: Circuito correspondente à função lógica “maioria”

49


Considerando que:a) Uma função booleana pode ser

completamente especificada por uma tabela verdade;

b) Para qualquer tabela verdade pode-se encontrar uma expressão booleana equivalente escrita em termos dos operadores AND, OR e NOT;

c) Podemos usar as portas lógicas básicas para implementar circuitos.Pode-se concluir que qualquer função booleana pode ser implementada usando um circuito

composto por portas lógicas.

4.5 Teoremas e Postulados Booleanos

Para facilitar o tratamento das funções lógicas, utiliza-se a representação da função lógica através de Equações Booleanas, conforme ilustração a seguir:

Função Lógica Símbolo da Porta Equação Booleana

AND S = A . B

OR S = A + B

XOR S = A ⊕ B

NOT S = A

NAND S = A . B

NOR S = A + B

EXNOR S = A ⊕ B

Tabela 10: Equações Booleanas correspondentes às Funções Lógicas

Uma função boleana pode ser representada por uma expressão ou por uma tabela verdade.

Um circuito implementa uma função boleana.

50


A álgebra booleana possui as mesmas propriedades da álgebra linear, se considerarmos:

● a operação lógica básica A AND B como a multiplicação A . B ou (AB)● a operação A OR B como a soma A + B

Propriedade Comutativa:A B = B AA + B = B + A

Propriedade Associativa:A (B C) = (A B) CA + (B + C) = (A + B) + C

Propriedade Distributiva:A (B + C) = A B + A CA + (B C) = (A + B)(A + C)

Elemento Neutro:0 + A = A1 . A = A

Propriedade Complementar:

A . A = 0A + A = 1

Propriedade De Morgan:(A + B) = (A . B)(A . B) = (A + B)

Tabela 11: Propriedades utilizadas para simplificar Expressões Booleanas

A partir destes postulados e teoremas, podemos simplificar expressões booleanas como nos exemplos a seguir:

Exemplo: Simplificar as expressões abaixo utilizando a Álgebra Booleana.a) S = A.B.C + A.C + A.B⇒ Propriedade Distributiva

S = A.(B.C + C + B) ⇒ Propriedade De Morgan S = A.(B.C + B.C) ⇒ Propriedade Neutro S = A.1 ⇒ Α.1 = ΑS = A

b) F = A.B + A.B + A.B ⇒ Propriedade Associativa F = B.(A + A) + A.B ⇒ Elemento Neutro F = B.1 + A.B ⇒ B.1 = BF = B + A.B ⇒ Propriedade DistributivaF = (B + A).(B + B) ⇒ Elemento NeutroF = B + A ⇒ Propriedade De MorganF = B.A

4.5.1 Gerando Tabelas Verdade através de Expressões Booleanas

Para obter a Tabela Verdade através de uma Expressões Booleanas deve-se seguir alguns procedimentos:

1. Desenhar o quadro de possibilidades.2. Montar as colunas para as entradas possíveis.

51


3. Preencher as colunas com seus resultados.4. Para gerar a saída, deve-se realizar todas as operações necessárias.

Exemplo: Dada a expressão: S = A + B + A.B.C

A B C Realizando as saídas S0 0 0 S = 0 + 0 + 0.0.0 = 1+0+0.1.1= 1 10 0 1 S = 0 + 0 + 0.0.1 = 1+0+0.1.0= 1 10 1 0 S = 0 + 1 + 0.1.0 = 1+1+0.0.0= 1 10 1 1 S = 0 + 1 + 0.1.1 = 1+1+0.0.0= 1 11 0 0 S = 1 + 0 + 1.0.0 = 0+0+1.1.1= 1 11 0 1 S = 1 + 0 + 1.0.1 = 0+0+1.0.1= 0 01 1 0 S = 1 + 1 + 1.1.0 = 0+1+1.0.1= 1 11 1 1 S = 1 + 1 + 1.1.1 = 0+1+1.0.0= 1 1

Tabela 12: Tabela Verdade obtida da expressão Booleana

4.5.2 Gerando Expressões Booleanas através de Tabelas Verdade

Para obter uma Expressão Booleana através de uma Tabela Verdade deve-se seguir alguns procedimentos:

1. Analisa-se todas as situações quem que a expressão é verdadeira (S = 1) e monta-se a expressão adequada.

2. Para se obter a expressão basta somar as expressões encontradas.

Exemplo:A B C S Análise dos casos em que S =

10 0 0 1 Se X = 1 >> A . B . C0 0 1 00 1 0 1 Se X = 1 >> A . B . C0 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 1 Se X = 1 >> A . B . C1 1 1 1 Se X = 1 >> A . B . C

Tabela 13: Tabela Verdade obtida da expressão Booleana

Expressão Booleana encontrada:

S = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

52


4.5.3 Gerando Expressões Booleanas através de Circuito Lógico

Para obter uma Expressão Booleana através de um Circuito Lógico deve-se:

1. Extrair deste todas as expressões básicas até chegar ao S final.Exemplo:

Expressão Booleana encontrada: S = A . B + C

Exemplo: Determinar a expressão Booleana que representa a tabela verdade abaixo. Simplifique e

otimize a expressão utilizando a simplificação de expressões. Desenhe a interligação de portas básicas que implementa a tabela verdade.

A B C Y Análise dos casos em que Y = 10 0 0 00 0 1 1 A=0, B=0, C=1 >> A=1, B=1, C=1 >> A .

B . C0 1 0 00 1 1 1 A=0, B=1, C=1 >> A=1, B=1, C=1 >> A .

B . C1 0 0 01 0 1 01 1 0 1 A=1, B=1, C=0 >> A=1, B=1, C=1 >> A .

B . C1 1 1 0


Solução: Y = A B C + A B C + A B C >> Propriedade Associativa Y = A B C + B (A C+ A C)

Mas a função lógica XOR com duas variáveis A e C tem a seguinte Tabela Verdade / Expressão Booleana:

53


A C Y = A ⊕ C = AC + AC0 0 00 1 11 0 11 1 0


Logo, Y = A B C + B (A ⊕ C)

Utilizando o Teorema De Morgan obtemos a seguinte Expressão Booleana simplificada:Y = (A + B)C + B(A ⊕ C)

Que resulta no seguinte circuito lógico:

Exercício Proposto1. Usando apenas portas AND, OR e NOT, construa circuitos que implementem as seguintes tabelas verdade:

a)A B S1 0 01 1 10 0 10 1 1

c)A B S0 0 00 1 11 0 11 1 0

Figura 20: Circuito Lógico

54


b)A B C S1 1 1 11 0 0 01 0 1 11 0 0 00 1 1 00 1 0 10 0 1 00 0 0 1

d)A B C S0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

2. Construa as tabelas verdade e os circuitos correspondentes as seguintes expressões booleanas:

a) A(A+B)+ABb) (A+A)Bc) ABC+ABC+ABC+ABCd) AB+ABC+ABC+ABCe) (AB+A)(A+B) f) (ABC)+(ABC)+(ABC)g) AB+AB

3. Simplifique as expressões abaixo utilizando a Álgebra Booleana.a) H = A.B.C + B.Cb) Y = (A + B + C) + (B + C)c) S = (A + B + C) . (A + B)d) T = A.B + A.B.C + A.B.Ce) F = X.Y.Z + X.Z + X.Y.Z + X.Zf) G = A.(B + B.C) + A.B + B.C.(A + C)

4. Defina a tabela verdade dos seguintes circuitos: a)

55


b)

c)

d)

5. Determine as condições de entrada necessárias para que a saída da figura abaixo seja 1.

6. Simplifique as expressões abaixo utilizando os postulados da Álgebra Booleana.a) S = AB+BCb) S = (A+B+C)+(B+C)c) S = (A+B+C)(A+B)

56


d) S = ABC+ABCe) S = (AB+BC)f) S = AC+ACg) S = 1.(AB)

7. Implemente os circuitos das funções abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 entradas.

a) F = X.(Y + Z) + W.Z + Yb) F = A ⊕ B + (C + D).Ac) S = A + C.D.(A ⊕ B)d) G = X.Z.Y.W + (Z ⊕ W).X

57


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