Introducci on a la Matem atica Discretapersonal.us.es/lcamacho/TConjuntos_imprimible.pdf · Introducci on a la Matem atica Discreta Temario Tema 1. Teor a de Conjuntos. Tema 2. L

Introduccion a la Matematica DiscretaTeorıa de Conjuntos

Luisa Marıa Camacho

Camacho Introd. a la Matematica Discreta 1 / 20

Introduccion a la Matematica DiscretaTemario

Tema 1. Teorıa de Conjuntos.

Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole.

Tema 3. Tecnicas de contar.

Tema 4. Recursion.

Tema 5. Aritmetica entera.

Tema 6. Aritmetica modular.


Teorıa de Conjuntos

Nocion intuitiva de conjunto.

Definiciones.

Operaciones. Propiedades.

Producto cartesiano.

Aplicaciones entre conjuntos.


Teorıa de Conjuntos. Nocion intuitiva de conjunto.

¿Que es un conjunto? Una coleccion bien definida de objetos.

Bien definida cualquier objeto que consideremos, podemos determinar siesta en el conjunto observado.

es un conjunto: tienen una mismapropiedad “prenda que llevas puesta”

A los objetos del conjunto se les llama elementos.


Teorıa de conjuntos. Definiciones

Un conjunto lo podemos definir por:

Extension, encerrando todos sus elementos entre llaves.Comprension, caracterizando los elementos que forman dicho conjunto.

Ejemplo

A = {2, 4, 6, 8}A = {numeros pares y positivos menores que 9}



Ejemplos

∅, el conjunto vacıo, que carece de elementos.

N, el conjunto de los numeros naturales.

Z, el conjunto de los numeros enteros.

Q, el conjunto de los numeros racionales.

R, el conjunto de los numeros reales.

C, el conjunto de los numeros complejos.

Si a es un elemento del conjunto A a ∈ A (relacion de pertenencia ).

Si a no es un elemento de A a /∈ A.



El cardinal del conjunto A (|A|) −→ numero de elementos del conjunto. |∅| = 0.

A y B son iguales (A = B) −→ tienen exactamente los mismos elementos.

Ejemplos

A = {2, 4, 6, 8}, B = {2, 8, 4, 6} y C = {2, 2, 4, 4, 6, 8}. A = B = C.



A es subconjunto de B si y solo si cada elemento de A esta en B (A ⊆ B,)relacion de inclusion.

A ⊆ B y B ⊆ A si y solo si A = B.

Ejemplos

¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}?

Sean A todos los multiplos de 4 y B todos los multiplos de 2. ¿Es A unsubconjunto de B? ¿Es B un subconjunto de A?



A es un subconjunto propio de B si y solo si cada elemento de A esta en B, yexiste por lo menos un elemento de B que no esta en A. (A ⊂ B).

Ejemplos

{1, 2, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es subconjunto propio.

{1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4}, 4 /∈ {1, 2, 3}.



El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes deA, y se denota P(A). B ⊆ A es equivalente a decir B ∈ P(A).

Ejemplo

Si A = {a, b}, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.Si a ∈ A entonces {a} ∈ P(A).


Teorıa de conjuntos. Operaciones

UnionA∪B, al conjunto de todos los elementosque estan en A o en B.

Diagrama de Venn

Interseccion.A∩B, al conjunto de todos los elementosque estan en A y en B.

Diagrama de Venn


Teorıa de conjuntos. Propiedades de la union y de la interseccion

Propiedad asociativa:

{(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Propiedad conmutativa:

{A ∪B = B ∪AA ∩B = B ∩A

Propiedad idempotente:

{A ∪A = AA ∩A = A

Elemento ınfimo y elemento universal:

{A ∪ ∅ = A A ∪X = XA ∩ ∅ = ∅ A ∩X = A

Ley de simplificacion:

{(A ∪B) ∩A = A(A ∩B) ∪A = A

Propiedad distributiva:

{A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)


Teorıa de Conjuntos. Tablas de pertenencia

Tablas de pertenencia

Sean A y B conjuntos de X. Sea x ∈ X. Si x es un elemento de un conjunto dadoescribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0. Probar queA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C). (Propiedad distributiva).

A B C B ∩ C A ∪ (B ∩ C) A ∪ B A ∪ C (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1


Teorıa de conjuntos. Notas

Conjuntos disjuntos. A ∩B = ∅

Extension de la union a una coleccion finita de elementos.n⋃

i=1

Ai = A1 ∪ · · · ∪An.

Extension de la interseccion a una coleccion finita de elementos.n⋂

i=1

Ai = A1 ∩ · · · ∩An.


Teorıa de conjuntos. Notas.

A−B es el conjunto de los elementos que estan en A y no en B.

A ⊂ X, complementario de A con respecto a X, A, al conjunto X −A.

El complementario verifica las siguientes propiedades:

∅ = X y X = ∅.

A = A.

A ∪B = A ∩B.

A ∩B = A ∪B.

Si A ⊂ B, entonces B ⊂ A.

A ∪A = X y A ∩A = ∅.


Teorıa de Conjuntos. Producto Cartesiano. Aplicaciones

Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde aesta en A y b esta en B, se denomina producto cartesiano de A por B, A×B. Setiene que |A×B| = |A| · |B|.

Una correspondencia entre los conjuntos A y B es cualquier subconjunto delproducto cartesiano A×B. Si un par (a, b) pertenece a un tal subconjunto diremosque al elemento origen a le corresponde el elemento destino b.

Una aplicacion entre los conjuntos A y B es una correspondencia tal que a cadaelemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo un elemento del conjuntode llegada, a tal elemento lo llamaremos imagen.


Inyectiva

cada elemento del conjunto de llegada esimagen, a lo mas, de un elemento delconjunto de partida.

Ejemplo

Sobreyectiva

cada elemento del conjunto de llegada esimagen, al menos, de un elemento delconjunto de partida.

Ejemplo

Biyectiva

si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo

Teorıa de Conjuntos. Propiedades.

Sea f : A −→ B una aplicacion y A y B conjuntos:

f es inyectiva si y solo si “f(x) = f(y) =⇒ x = y”.

Si f inyectiva =⇒ |A| ≤ |B|.

Si f sobreyectiva =⇒ |A| ≥ |B|.

Si f biyectiva =⇒ |A| = |B|.


Teorıa de Conjuntos. Ejercicios.

Ejercicio.

Dados dos conjuntos A,B, se define su diferencia simetrica A∆B como

A∆B = {x ∈ A ∪B tales quex /∈ A ∩B}.

1 ¿Es cierto que A∆B ⊆ A?

2 Demostrar que A∆B = (A ∩ B) ∪ (A ∩B).

3 Demostrar que A∆B = (A ∪B) ∩ (A ∪ B).


Teorıa de Conjuntos. Bibliografıa.

1 F. Garcıa Merayo, Matematica Discreta.Editorial Thomson, 2a Edicion, 2005.

2 R. P. Grimaldi, Matematicas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.

3 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.


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