Matemática – volume 1 (versão beta)ma225/texto3.pdf · Bianchini e Paccola Matemática – volume 1 (versão beta) Descri¸cão sucinta do Volume 1 Estevolumeédistribu´ıdoemduasversões,alfaebeta.Aprimeira,incluiconjun-

Bianchini e Paccola

Matematica – volume 1

(versao beta)

Descricao sucinta do Volume 1

Este volume e distribuıdo em duas versoes, alfa e beta. A primeira, inclui conjun-tos, conjuntos numericos, funcoes, funcao do 1o¯ grau, funcao do 2o¯ grau, funcaomodular, funcao exponencial, logaritmos, calculo e aplicacoes dos logaritmos de-cimais, nocoes sobre matematica financeira, progressoes aritmeticas e progressoesgeometricas. Na versao beta, as progressoes aritmeticas e geometricas sao substi-tuıdas por trigonometria no triangulo retangulo, trigonometria — arcos e angulos,funcoes trigonometricas, formulas de transformacao e equacoes e inequacoes tri-gonometricas. O volume analisado e o da versao beta, que possui 395 paginas,divididas em 15 capıtulos.

A programacao grafica do livro e boa, com otimas ilustracoes a cores. Naoforam encontrados enganos tipograficos.

Analise detalhada do Volume 1

O Capıtulo I trata de conjuntos, apresentando a linguagem e o simbolismo dateoria dos conjuntos. A busca de contextualizacao para os conceitos ou linguagemapresentados conduz a um certo exagero. Por exemplo, para ilustrar a nocao deconjunto, se fornece um conjunto de logotipos de emissoras de televisao, certa-mente com o intuito de apresentar um exemplo atraente graficamente. Outrosexemplos, no entanto, cumpririam melhor o papel de motivar a nocao de con-junto. Ainda na pagina 1, se explica que, para indicar que um elemento x naopertence a um conjunto A, “cortamos” o sımbolo de pertinencia com um traco. Aseguir sao mostradas quatro placas com avisos de proibicao, e afirma-se que “Essetipo de indicacao e utilizado em muitas outras situacoes. Voce pode verificar issono conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibicao”. Emboraa analogia seja adequada, ha um exagero, que pode desviar a atencao do alunopara um aspecto secundario (a analogia e ainda mais expandida na pagina 7,onde outras 15 placas de proibicao sao exibidas).

Nas paginas 5–6, sob o tıtulo “Alguns sımbolos da linguagem dos conjuntos”,

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o livro apresenta algumas nocoes de logica. O tratamento nao e adequado, porvarias razoes. Em primeiro lugar, a maior parte das notacoes aqui apresentadasnao sao utlizadas no que se segue. E, por exemplo, um exagero introduzir-seum sımbolo para representar “existe um unico”. A relacao existente entre alinguagem das proposicoes e a de conjuntos, que seria a maior motivacao paraesta secao, nao e explorada. Em segundo lugar, as notacoes empregadas saoruins. Por exemplo, o livro da, como exemplo do emprego do quantificador uni-versal, a seguinte sentenca: ∀x ∈ U ⇒ 0x = 0. Ha, aqui, uma mistura douso do quantificador e do sımbolo de implicacao. Seriam preferıveis as formas∀x, x ∈ U ⇒ 0x = 0 ou ∀x ∈ U , 0x = 0.

Na pagina 15, o autor perde a oportunidade de fazer uma demonstracao sim-ples, que serviria para mostrar aos alunos que a Matematica nao e um amontoadode fatos desconexos e que ela possui um modo proprio de argumentacao, a de-monstracao matematica. O resultado que da o numero de elementos de umauniao de dois conjuntos, quando se conhece o numero de elementos de cada umdos conjuntos e enunciado sem demonstracao, a qual e bem simples, pois e su-ficiente observar que cada elemento da interseccao dos dois conjuntos e contadoduas vezes.

O capıtulo termina, como os demais, com um util resumo das nocoes principaisnele tratadas. Como um ponto positivo da apresentacao de conjuntos, deve-sefrisar que nao se notam exageros de formalismo ou abstracao. Os exemplos eexercıcios apresentados, no entanto, poderiam ser mais interessantes.

O Capıtulo 2 trata dos conjuntos numericos. O capıtulo principia com umabreve introducao historica, apresenta os numeros naturais, incluindo o numero 0(zero) entre eles, os numeros inteiros e os racionais.

Na apresentacao dos numeros racionais, comeca-se a observar o habito, ge-neralizado nos livros para este nıvel da escolaridade, de convencer o leitor daveracidade de uma afirmacao pela simples apresentacao de exemplos, quandouma demonstracao seria inteiramente acessıvel ao leitor, e o familiarizaria comuma ferramenta matematica essencial, a de demonstracao matematica. Assim,por exemplo, o texto diz, na pagina 25, que “todo numero decimal exato e ra-cional” e apresenta dois exemplos para convencer o leitor que esta afirmacao everdadeira. Certamente os exemplos devem ser dados e preceder qualquer de-monstracao, mas nao seria difıcil, apos apresenta-los, demonstrar este fato, tantomais que a demonstracao seria uma simples generalizacao do que foi feito no casodos exemplos.

A secao 5 deste capıtulo, dedicada ao conjunto dos numeros irracionais deixaa desejar, como na maioria dos livros didaticos do ensino medio. O texto mostracorretamente, utilizando

√2, que existem numeros irracionais. No entanto, nao

84 EXAME DE TEXTOS

mostra que os numeros irracionais sao exatamente aqueles cujos desenvolvimentosdecimais sao infinitos e nao-periodicos. Este fato e simplesmente citado. Observe-se que a demonstracao de que todo numero racional tem desenvolvimento decimalfinito ou infinito periodico e facil de fazer, pois usa unicamente o fato de que osrestos da divisao do numerador pelo denominador se repetirao inevitavelmente,o que e uma aplicacao trivial do princıpio da casa dos pombos.

No exemplo a) da pagina 28 nota-se uma impropriedade. Nada garante queo numero 0, 373 373 337 . . . tem desenvolvimento decimal infinito nao-periodico.Alem disso, nao e feito nenhum comentario sobre o fato fundamental de que onumero π e irracional. O simples enunciado de que π = 3,14149 . . . nao garanteisso. A importancia de π certamente justifica comentar que ele nao e um numeroracional. 337?? 3,141 5 9 . . . ??

A apresentacao da nocao de modulo e apropriada, relacionando-o com adistancia do numero a origem.

Um ponto positivo do livro e a introducao bem cedo do conceito de funcao,no Capıtulo 3, pagina 42. O capıtulo comeca adequadamente, apresentando anocao de correspondencia entre duas variaveis. No entanto, ja na 2a¯ secao, estetratamento e interrompido por uma exposicao sobre pares ordenados, graficocartesiano do par ordenado, produto cartesiano e nocao de relacao. Embora adiscussao destes conceitos seja boa, sem exageros e formalismo, inclusive com bonsexemplos de graficos de produtos cartesianos nas paginas 46 e 47, a apresentacaode funcoes por este caminho constitui um tratamento artificial do conceito defuncao. A situacao se agrava com o tıtulo da secao que introduz as funcoes comotipo especial de relacoes: “Nocao matematica de funcao”, o que passa a ideiaerronea de que a nocao de funcao como correspondencia seja menos matematica.Melhor seria apresentar de vez o conceito de funcao como feito na pagina 50,como uma correspondencia entre dois conjuntos.

O livro enfatiza corretamente a importancia dos graficos no estudo das funcoes,estudando-os a partir da pagina 55. Ensina como reconhecer quando um graficorepresenta uma funcao e como identificar o domınio e a imagem de uma funcaopor seu grafico. Os exemplos e exercıcios sao apropriados para deixar o aluno avontade com estes conceitos.

O capıtulo se encerra com uma discussao sobre os zeros de uma funcao, funcaocrescente e decrescente, valor maximo e valor mınimo de uma funcao, funcaopar e funcao ımpar, funcao bijetora, funcoes inversas, grafico da funcao inversa efuncao composta. A apresentacao do conceito de funcao inversa e muito bem feita,explicando com bastante clareza como obter a expressao que a define. Observe-seque o conceito de funcao inversa e apresentado antes de se definir a composicaode funcoes. Talvez por este motivo, o livro apresente uma omissao, que e a de


nao comentar, sequer sob forma de exemplo ou exercıcio, que da composicao deuma funcao com sua inversa resulta a funcao identidade.

O Capıtulo 4 intitula-se “Funcao do 1o¯ grau”. Principia explicando o que euma funcao constante e mostrando seu grafico. O exemplo que motiva a definicaoe muito bem escolhido: trata-se de uma situacao geometrica na qual a funcaoconstante surge de maneira natural para representar como varia a area de umacerta figura. Exemplos analogos sao utilizados para motivar as funcoes afins, logoa seguir, e as funcoes quadraticas, no capıtulo seguinte.

A funcao f(x) = ax+ b e apresentada, sendo denominada funcao afim ou do1o¯ grau. Dois dos tres exemplos apresentados nesta secao sao simplesmente docalculo do valor da funcao dada por f(x + 2) = x + 3 no ponto (x − 5). Esteexercıcio poderia ter sido bem explorado, mostrando ao aluno, por experimen-tacao, que o que a funcao realmente faz e adicionar 1 ao valor da variavel, dondese deduz facilmente que f(x − 5) = x − 4. Em vez disso, o livro, seguindo umvies muito presente no ensino do segundo grau, faz substituicoes de variaveispuramente mecanicas para chegar ao mesmo resultado.

Na pagina 82, e afirmado, sem nenhuma justificacao, que o grafico de umafuncao do 1o¯ grau e uma reta. Seria facil, usando proporcionalidade, demonstrarque isso acontece e que tambem toda reta nao perpendicular ao eixo dos x repre-senta o grafico de uma funcao do 1o¯ grau ou de uma funcao constante. O livrotambem nao faz nenhum comentario sobre a interpretacao geometrica dos coefi-cientes da equacao da reta. Deste modo, o aluno fica privado dos conhecimentosmais importantes para ser capaz de utilizar funcoes afins para modelar situacoesreais, limitando-o a situacoes onde tal modelo ja seja apresentado pronto. E ocaso, por exemplo, do exemplo 4, da pagina 86, no qual se diz que um automovelpercorre uma trajetoria retilınea, com velocidade constante, segundo um graficoque e uma linha reta. Tudo que se pede e determinar “o tempo em que o au-tomovel percorre 30 km”, sem se fazer qualquer comentario sobre o porque davelocidade do automovel ser constante. Mais grave: o problema e resolvido erra-damente, confundindo-se o instante em que o automovel esta na posicao 30 kmcom o tempo necessario para percorrer 30 km.

Encontram-se neste capıtulo alguns exercıcios interessantes, como os de nu-mero 33 e 35 da pagina 96. No entanto, aproveitamos aqui a oportunidade parachamar a atencao para uma caracterıstica deste livro, comum a quase todos oscompendios destinados ao ensino medio: a maior parte dos exercıcios propostossao simples repeticao dos exercıcios apresentados como exemplo, com modifi-cacoes mınimas. Assim, neste livro, o exercıcio 17 da pagina 85 e uma sim-ples repeticao, substituindo o automovel pela bicicleta e modificando os valoresnumericos, do exemplo 4 da pagina 84.

86 EXAME DE TEXTOS

O capıtulo termina com o estudo do sinal da funcao do primeiro grau, comaplicacoes a resolucao de inequacoes do 1o¯ grau ou inequacoes obtidas atraves doproduto ou quociente de tais inequacoes.

A funcao quadratica e estudada no Capıtulo 5, a partir da pagina 100. Ana-logamente ao que foi feito para a funcao afim, ela e introduzida por meio deuma situacao geometrica interessante (pagina 100). Afirma-se, sem nenhum co-mentario ou discussao, que seu grafico e uma parabola. Nao e difıcil provar, apartir da definicao geometrica da parabola, que sua representacao analıtica e umafuncao quadratica e que, reciprocamente, toda funcao quadratica tem por graficouma parabola. No mınimo, algum comentario sobre a caracterizacao geometricada parabola deveria ser feito. O livro calcula corretamente os valores da abscissae da ordenada do vertice de uma parabola. A ilustracao da pagina 103 nao e dasmais apropriadas, pois nada garante que a curva descrita pelos avioes e um arcode parabola.

Ao estudar o grafico da funcao quadratica, o livro simplesmente apresenta doisexemplos, um de uma parabola com a concavidade voltada para cima e outro coma concavidade voltada para baixo, dos quais deduz, sem nenhuma explicacao, que“Examinando os graficos das funcoes do exemplo anterior, podemos observar queaquela que apresenta o coeficiente a do termo em x2 positivo tem a concavidadeda parabola voltada para cima e aquela que apresenta o coeficiente a negativotem a concavidade da parabola voltada para baixo. Esta caracterıstica constituiuma regra geral para toda funcao do 2o¯ grau”.

Ora, embora no ensino medio nem tudo possa ser demonstrado rigorosamente,deve-se procurar, quando as demonstracoes dos resultados sao faceis, faze-las, pa-ra habituar o aluno com o tipo especıfico de raciocınio matematico — a deducao.Isso deve ser feito principalmente quando a demonstracao emprega conceitos etecnicas ja vistos, o que permite exercita-los.

O estudo do eixo de simetria segue modelo identico. E feito um exemplo e apartir dele induz-se o caso geral. Cabem aqui os comentarios feitos no paragrafoanterior. Uma vez conhecido o eixo de simetria da parabola, o livro deduz cor-retamente as coordenadas do vertice e o valor maximo de mınimo da funcao(pagina 105).

Sao apresentados bons exemplos e exercıcios, nas paginas 106–108, envolvendoo calculo de maximos e pontos de interseccao de graficos de parabolas.

No capıtulo anterior, o livro introduziu a definicao de zero da funcao do1o¯ grau. Neste capıtulo, a nomenclatura e alterada, e fala-se das raızes da funcaodo 2o¯ grau (pagina 109), apos o que se estuda a variacao do sinal da funcao do2o¯ grau, o que sera empregado no estudo das inequacoes do 2o¯ grau. A formula deresolucao da equacao do 2o¯ grau e considerada conhecida, nao se fazendo qualquercomentario relativo a sua deducao.


O Capıtulo 6, que principia na pagina 123, e dedicado a funcao modular,topico que exerce fascınio estranho sobre autores de livros para o 2o¯ grau.

O encaminhamento dado ao exemplo 1, pagina 123, e artificial, pois parte-sede duas funcoes f1(x) e f2(x) e em seguida afirma-se “Podemos indicar as funcoesf1(x) e f2(x) por uma unica funcao f(x) . . . ”. Mais natural seria discutir comoa funcao f(x) pode ser estudada reduzindo-a ao estudo de duas outras funcoes,f1(x) e f2(x).

A partir da pagina 132 estudam-se as equacoes modulares e logo em seguidaas inequacoes modulares. Nos exercıcios-teste (paginas 141–144) trabalha-se comvarios graficos interessantes, inclusive de regioes do plano (exercıcio 57).

O Capıtulo 7, sobre a funcao exponencial, principia com uma revisao apropria-da das definicoes e propriedades das potencias de expoente racional. Em seguida,apresentam-se exemplos de fenomenos que variam exponencialmente com o tempopara motivar a definicao da funcao exponencial de base a. Para tracar seu grafico,calculam-se os valores da funcao para alguns valores da variavel x. Semelhante-mente a quase todos os livros-texto, nao sao feitos comentarios sobre a maneiracomo se sabe que o grafico tem realmente esta forma. Em verdade, usando-sesomente os pontos da tabela, e impossıvel concluir que a forma do grafico e aapresentada. Seria mais honesto dizer ao leitor que mais tarde ele vera que ografico de qualquer funcao exponencial tem um dos dois aspectos mostrados nolivro, dependendo de a, a base, ser maior ou menor do que 1. As tabelas servemsomente para localizar pontos pelos quais passa o grafico cujo aspecto geral econhecido. Neste capıtulo nao sao utilizados calculadoras ou computadores paratrabalhar com funcoes tipo exponencial. Bases racionais ou irracionais sao utli-zadas somente para se verificar se a funcao e ou nao crescente. Admite-se, semo menor comentario, que expressoes do tipo ax fazem sentido para um numeroreal x qualquer.

As equacoes e inequacoes exponenciais sao estudadas a partir da pagina 149,com muitos exemplos e exercıcios. O livro enfatiza, corretamente, que os metodosdesenvolvidos so funcionam no caso em que e possıvel, sem outras tecnicas, trans-formar equacao dada em uma equacao exponencial em que ambos os membrostem a mesma base. O livro tambem esclarece que a injetividade e a monotoni-cidade das funcoes exponenciais sao exatamente o que permite resolver equacoesou inequacoes exponenciais escritas nessa forma. Os exemplos apresentados dis-pensam o uso de calculadoras ou computadores.

Os logaritmos sao estudados mais detalhadamente do que a funcao exponen-cial. Como acontece na maior parte dos livros para o ensino medio, estuda-seprimeiramente o logaritmo e somente posteriormente a funcao logaritmo. Ora,um fato basico e que a funcao logaritmo e a inversa da funcao exponencial. O

88 EXAME DE TEXTOS

estudo dos logaritmos antes da funcao logaritmo obscurece este fato e em nadacontribui para esclarecer o conceito de logaritmo. Ao contrario, a apresentacao delogaritmos seguidos da funcao logaritmo pode obscurece-lo. A unica justificativapara tal fato e parece ser a tradicao, proveniente da epoca em que a habilidadecom calculos numericos com logaritmos (hoje desnecessaria, devido as calculado-res e aos computadores) era importante para algumas profissoes, para as quais o2o¯ grau era um curso propedeutico — como engenharia, por exemplo. A apre-sentacao dos dois topicos, logaritmos e funcao logaritmo, parece corresponder apratica de “acender uma vela a Deus e outra ao diabo”: por um lado apresenta-se o desenvolvimento tradicional, que enfatizava os logaritmos como recurso decalculo, e por outro lado apresenta-se a funcao logaritmo, um ponto de vista maismoderno e condizente com a visao atual do assunto, que enfatiza as propriedadesdas funcoes exponencial e logaritmo, e relega a segundo plano os aspectos com-putacionais. A vantagem de uma apresentacao que enfatize a relacao entre asduas funcoes, uma como a inversa da outra, e que as propriedades dos logaritmossao deduzidas imediatamente das propriedades de sua funcao inversa — a funcaoexponencial.

No estudo dos logaritmos, admite-se, mais uma vez sem o menor comentario,que expressoes como 2x fazem sentido para um numero real x qualquer.

O autor demonstra, na pagina 168, algumas propriedades fundamentais doslogaritmos. A propriedade do logaritmo de um produto e demonstrada separa-damente na pagina 171 e a do logaritmo de um quociente na pagina 173.

A funcao logaritmo e estudada a partir da pagina 183. Cabem aqui as mesmasobservacoes que fizemos sobre a determinacao do grafico da funcao exponencial.Ou seja, do simples exame de uma tabela com quatro ou cinco valores de x e oscorrespondentes valores da funcao, e impossıvel, em realidade, mostrar que seugrafico tem o aspecto ilustrado.

O Capıtulo 9 trata de “Calculo e aplicacoes dos logaritmos decimais”. Com-parado com a maior parte dos textos para o ensino medio, este livro e inovador,pois reconhece a existencia e a necessidade do uso das calculadoras para se tra-balhar com logaritmos. Ele mostra, inclusive, como calcular o logaritmo de umnumero (e tambem o problema inverso, dado um logaritmo achar o numero deque provem) usando uma calculadora.

Em seguida, o livro mostra como trabalhar com tabuas de logaritmos. Ainterpolacao de logaritmos (paginas 214 e 215).

Embora de um modo geral o Capıtulo 9 contribua positivamente para que oaluno adquira alguma apreciacao sobre a importancia das funcoes exponenciaise logarıtmicas, deve-se fazer uma observacao. Na pagina 197, afirma-se que umafuncao tem crescimento exponencial quando e da forma f(t) = f0 · ekt. Embora


isto esteja correto, esta afirmativa pode levar o aluno a pensar que funcoes daforma g(t) = g0 · akt, onde a > 1, nao tem crescimento exponencial. Seriaextremamente interessante mostrar ao aluno que as formas sao equivalentes eque a adocao da base e se deve a uma maior facilidade para expressar a rapidezcom que a funcao varia.

O Capıtulo 10 e inovador: trata da matematica financeira, assunto extrema-mente util mas esquecido ou tratado sumariamente pela maior parte dos livrospara o ensino medio. O capıtulo trata de porcentagem, juros simples e juros com-postos, apresentando exercıcios bem contextualizados, que se referem a situacoesrealistas.

Em verdade, o estudo da matematica financeira deveria ser posterior ao estu-do das progressoes, a partir das quais a deducao das varias formulas empregadasem matematica financeira fica facil. A opcao de colocar o estudo das progressoesem outro volume prejudica bastante o desenvolvimento do capıtulo. Com as pro-gressoes, o capıtulo poderia ser aprofundado sem nenhuma dificuldade e serviriade otima aplicacao para o que o aluno estudou em progressoes.

O estudo da trigonometria fecha este volume da colecao. Ele se estende dapagina 239 a pagina 395.

O autor apresenta, inicialmente, no Capıtulo 11, a trigonometria no trianguloretangulo. Uma falha da apresentacao e nao explicitar que o que torna possıveldefinir as razoes trigonometricas e a semelhanca dos triangulos retangulos comum angulo agudo igual. Apenas ao fazer a deducao das razoes trigonometricasde angulos de 30◦ e 60◦, com o auxılio de um triangulo equilatero, se chama aatencao para o fato de que estas nao dependem do lado do triangulo. Esta falhae largamente compensada pela escolha de exemplos e exercıcios contextualizados,que fazem uso de situacoes motivadoras, ilustradas por figuras de otima qualidade.Embora as situacoes nao correspondam, em geral, exatamente as que ocorremna pratica (em topografia, por exemplo), elas atendem ao proposito de mostrarao aluno que os conceitos estudados encontram aplicacoes em situacoes da vidapratica. Outra virtude dos exercıcios e nao se limitarem aos famosos angulos de30◦, 45◦ e 60◦. Outros angulos ocorrem e sao devidamente atacados com auxıliode calculadora ou uma tabua.

Uma apresentacao preliminar da “lei dos senos” e da “lei dos cossenos”, li-mitadas a triangulos acutangulos, tambem faz parte deste capıtulo (mais tardeelas sao generalizadas para triangulos quaisquer). Na demonstracao da lei dossenos, nao se determina qual a constante de proporcionalidade (2R, onde R oraio do cırculo circunscrito ao triangulo). Uma outra omissao e a de nao apre-sentar o aluno ao problema geral de resolver um triangulo, conhecido tres de seuselementos.

90 EXAME DE TEXTOS

No Capıtulo 12, sobre arcos e angulos, a definicao de radiano e apresentada(pagina 273) atraves de uma situacao concreta bastante motivadora, em que umpneu de bicicleta gira sobre uma faixa colorida no solo. Ha, no entanto, um senaofundamental: nao se menciona que a medida de um angulo em radianos indepen-de do arco da circunferencia considerada, ou seja, que dois cırculos quaisquercom mesmo centro sao semelhantes. O autor introduz a nomenclatura “ciclotrigonometrico”. Observe que tal nocao, que sera empregada constantemente,independe da introducao do “ciclo trigonometrico”, que pode se caracterizar sim-plesmente como uma palavra a mais para ser memorizada pelos alunos. Um pontopositivo a ser destacado na introducao do cırculo trigonometrico e a analogia quee feita entre o cırculo orientado e o eixo orientado.

O Capıtulo 13 e dedicado as funcoes trigonometricas. Sao apresentadas asfuncoes seno, cosseno e tangente, com seus graficos. Mais uma vez, o livro recorrea uma analogia bastante feliz para introduzir estes conceitos (a de uma rodagigante em movimento). Os graficos sao tracados marcando-se alguns pontosque lhes pertencem e observando o seu comportamento quanto a crescimento edecrescimento. Vale aqui a mesma observacao feita anteriormente para os graficosdas funcoes exponencial e logaritmo: A simples determinacao de alguns pontosdos graficos nao garante que eles terao as formas mostradas. Na secao, “Osgraficos das funcoes seno e coseno” se menciona que uma vez conhecido o graficode uma das funcoes o outro e obtido facilmente, por translacao. O livro estudafuncoes do tipo a+b sen(cx+k) e a+b cos(cx+k). De maneira geral, nao se mostracomo os graficos destas funcoes nao sao relacionados com o grafico da funcao senoe cosseno, respectivamente (isso e feito somente para as funcoes sen(cx) e cos(cx)).A relacao entre os senos e cossenos de x e de (π/2−x) e obtida a partir do estudoda relacao entre os graficos de seno e cosseno, em vez de utilizar as formulas desen(a−b) e de cos(a−b), que serao estudadas posteriormente. O capıtulo terminacom a apresentacao das funcoes secante, cossecante e cotangente.

O topico seguinte e a relacao entre as funcoes trigonometricas (pagina 319),que nao sao estabelecidas com a generalidade devida (a deducao foca apenas osarcos do 1o¯ quadrante, sendo “generalizada” para os demais). A seguir, se estudaa reducao de um arco ao primeiro quadrante (pagina 324), estudando separada-mente os casos em que o arco esta no segundo, terceiro e quarto quadrantes. Umaapresentacao mais integrada seria, provavelmente, mais proveitosa para o aluno.

A seguir, o livro dedica uma secao (pagina 332), ao calculo dos valores dasfuncoes trigonometricas, priorizando-se o uso de uma tabela de linhas trigo-nometricas (menciona-se, tambem, de passagem, o uso da calculadora, ja abor-dado no Capıtulo 11).

Estranhamente, encontra-se, nesta secao, um complemento sobre a lei dos se-


nos e cossenos, estendo-as a triangulos quaisquer. Ora, estes dois resultados saofundamentais para a chamada “resolucao de triangulos”, e deveriam ser enfati-zados, e nao relegados a este complemento. Este capıtulo termina com o estudodas funcoes trigonometricas inversas, arcsen, arccos e arctg, inclusive com seusgraficos.

O ultimo capıtulo do livro, o Capıtulo 14, e dedicado as “Formulas de trans-formacao”. Embora o autor tenha apresentado bem cedo a lei dos senos e a leidos cossenos, deixa para este capıtulo a apresentacao do seno, do cosseno e datangente dos arcos soma e diferenca. Em verdade, a formula para a soma dedois arcos nao e demonstrada. Faz-se um exemplo e afirma-se “Esta ultima sen-tenca pode ser generalizada para dois arcos cujas medidas sejam a e b quaisquer”(pagina 351). A formula para o seno da diferenca de dois arcos e para os cos-senos da soma e da diferenca de dois arcos sao uma simples consequencia desteprimeiro resultado. Como casos particulares, sao apresentadas as formulas parao arco duplo e o arco metade. O capıtulo se encerra com a apresentacao dasfuncoes trigonometricas de um arco em funcao da tangente do arco metade e dasformulas para transformacao de somas em produtos.

O ultimo capıtulo trata das equacoes e inequacoes trigonometricas. Um gran-de merito do capıtulo e motiva-las atraves de situacoes geometricas, que dao aoaluno uma boa nocao do motivo pelo qual se tem interesse em resolve-las. Otratamento dado as equacoes e adequado e sem exageros, limitando-se aos casosque de fato sao importantes para o aluno.

Resumo dos comentarios relativos ao Volume 1

O livro sob analise possui muitas das caracterısticas desejaveis a um livro voltadoao ensino medio. Sua linguagem e adequada ao desenvolvimento cognitivo dosalunos. Quase todos os conceitos sao introduzidos atraves de exemplos motiva-dores, que fornecem, ao aluno, indicacoes relativas a relevancia do que se estaensinando. Entre os exercıcios resolvidos e propostos ha bons exemplos de apli-cacoes. O livro nao ignora completamente a tecnologia atual, fazendo mencaoao uso de calculadoras, quando adequado (embora o uso do computador nao se-ja mencionado). Encontram-se, tambem, quando necessarios, textos explicativosrelativamente longos, o que prepara o aluno para ler textos mais avancados nofuturo. Ao final de cada capıtulo, encontra-se uma secao intitulada “relembrandoconceitos”, em que sao sucintamente apresentados os resultados mais importantesdo capıtulo, o que auxilia a organizar o pensamento do aluno.

Ha tambem falhas, ja explicitadas na analise acima. Uma parte delas e fru-to da preocupacao em cobrir todos os aspectos do programa consagrado pelosexames vestibulares, que leva a apresentar certos fatos sem justificativa, o que

92 EXAME DE TEXTOS

compromete, perante o aluno, a imagem da Matematica como ciencia que em-prega o metodo logico dedutivo.

No balanco geral, o livro cumpre satisfatoriamente seu papel de levar ao alunoque inicia o ensino medio uma visao adequada da Matematica. Se, em futurasedicoes, alguns dos senoes ja mencionados forem sanados, sua contribuicao poderaser ainda mais apreciavel.

Bianchini e Paccola


(versao beta)


Este volume da colecao cobre progressoes aritmeticas e geometricas, matrizes,determinantes, equacoes lineares, binomio de Newton, analise combinatoria, pro-babilidades, geometria no espaco, prismas, piramides, cilindros, cones e esferas.A exemplo do que ocorre nos demais volumes, o livro e bem ilustrado e tem boacomposicao tipografica. A boa qualidade das ilustracoes e especialmente bem-vinda nos capıtulos dedicados a geometria espacial, facilitando o entendimento eatraindo o aluno para o assunto.


O Capıtulo 1 estuda as progressoes aritmeticas. Inicia-se definindo, de formaerronea, sequencias numericas como sendo “conjuntos numericos em que os ele-mentos se sucedem em uma determinada ordem”. Aqui, se confunde uma su-cessao, que e uma funcao de N em R, com seu conjunto de valores. Na verdade, aonao definir uma sequencia como um caso particular de uma funcao, o livro ja de-monstra sua intencao de nao correlacionar progressoes aritmeticas e geometricascom funcoes afins e exponenciais, respectivamente, o que resulta em prejuızo parao aluno, que deixa de fazer as conexoes adequadas entre os assuntos.

Na pagina 4 encontra-se uma definicao adequada de progressao aritmetica,como uma sucessao em que a diferenca entre dois termos sucessivos quaisquer econstante. Na pagina 7, encontra-se uma demonstracao correta para o termo geralde uma progressao aritmetica. A introducao de demonstracoes e essencial paraque o aluno se familiarize com a maneira especıfica da argumentacao matematica— a demonstracao. Nesta secao, encontram-se exercıcios interessantes, como ode numero 31, na pagina 9 que examina subdivisoes sucessivas de um trianguloequilatero. O exemplo 6, da pagina 10, que pede para achar o numero de multiplosde 8 entre 100 e 800, tambem e interessante.

A interpolacao aritmetica e apresentada na secao 4, pagina 11. A apresentacaoe correta, mas poderia, facilmente, ser melhor motivada (e natural, por exemplo,

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94 EXAME DE TEXTOS

desejar saber em que posicoes devem ser colocados 10 postos de gasolina entreos quilometros 12 e 111, de modo que as distancias entre postos consecutivossejam iguais). Alias, em todo o capıtulo referente a progressoes aritmeticas apreocupacao em apresentar motivacoes para os topicos ensinados e bem menordo que no restante do livro.

A soma dos termos de uma progressao aritmetica e apresentada a seguir,motivada atraves da bem conhecida historia de sua descoberta por Gauss. Ocapıtulo se encerra com uma colecao de exercıcios propostos. Entre os exercıcioscomplementares ha exercıcios interessantes, como o de numero 70 da pagina 18,que usa progressoes aritmeticas para modelar um processo de crescimento.

O Capıtulo 2, sobre progressoes geometricas, ao contrario do anterior, prin-cipia com uma boa motivacao. Uma progressao geometrica e definida como umasucessao na qual o quociente de dois termos sucessivos quaisquer e constante.Analogamente ao que foi feito para as progressoes aritmeticas, encontra-se notexto uma demonstracao para a expressao do termo geral de uma progressaogeometrica (pagina 27). A interpolacao geometrica e apresentada na pagina 29,novamente sem qualquer tipo de motivacao.

A secao 3, a seguir, trata da soma das progressoes geometricas finitas, enquan-to a secao 4 e dedicada a soma de infinitos termos de uma progressao geometrica.O tratamento deste tema, que e o primeiro contato dos alunos com a nocao delimite, e conciso, mas adequado (embora talvez fosse preferıvel um maior graude motivacao para o conceito). O exemplo 5, da pagina 34, e bastante util, poismostra como se pode transformar uma dızima em fracao ordinaria utilizando asoma de infinitos termos de uma progressao geometrica, sem a necessidade de de-corar formulas. O exemplo 6 (pagina 35), que explica uma situacao geometrica,e bom. No entanto, o exercıcio 37, na mesma pagina, proposto aos alunos, e umasimples repeticao do exemplo 6, o que lhe retira o carater de problema, de desafioque exija reflexao por parte do aluno.

As matrizes sao estudadas no Capıtulo 3, introduzidas com uma boa dose demotivacao, atraves de varios exemplos que apresentam matrizes como modelosmatematicos para tabelas de dupla entrada. A seguir sao introduzidas diver-sas definicoes rotineiras: linhas, colunas, matrizes quadradas, matrizes diagonais,matriz identidade, matriz transposta e igualdade de matrizes. A definicao dematriz diagonal, na pagina 47, e desnecessariamente complicada (e foge a defi-nicao usual) pela exigencia de que pelo menos um dos coeficientes da diagonalseja nao-nulo.

Depois, sao abordados soma e subtracao de matrizes e multiplicacao de matrizpor escalar. A apresentacao e correta, mas poderia ser melhor motivada porexemplos. Ja a muliplicacao de matrizes, topico difıcil para os alunos, esta muito


bem motivada, atraves de um exemplo cuidadosamente trabalhado, levando oaluno a perceber que a definicao, aparentemente complicada, para o produto deduas matrizes e natural. Os exemplos e exercıcios, no entanto, sao mais rotineirose menos interessantes. O capıtulo termina com a definicao de matriz inversa deuma matriz quadrada.

O Capıtulo 4 e dedicado aos determinantes e se inicia com uma tentativainadequada de motivar o assunto atraves de quadrados magicos. Como nao haqualquer relacao entre os assuntos, esta abordagem pode apenas levar o alunoa ficar confuso. Este texto introdutorio fica melhor em seu final, que associa,corretamente, os determinantes a processos de resolucao de sistemas lineares. Olivro apresenta inicialmente a definicao dos determinantes de ordens 1, 2 e 3. Emseguida, e dada a regra de Sarrus para o calculo dos determinantes de ordem 3.Na pagina 74 define-se matriz cofator e na pagina 76 e mostrado como calcularum determinante de ordem n. A definicao apresentada e o teorema de Laplace.Isso causa dificuldades nao discutidas, como por exemplo mostrar que o valor dodeterminante independe da linha ou coluna pela qual sera desenvolvido.

A secao 3 e dedicada as propriedades dos determinantes. Nada e demonstrado.Sao somente apresentados alguns exemplos, para determinantes de ordem 2 ou 3, ee dito que a propriedade e valida em geral, Mesmo no caso em que a propriedadedecorre imediatamente da “definicao” de determinante apresentada, como porexemplo a propriedade de que se um determinante tem uma fila (linha ou coluna)nula, entao ele e nulo, nada e demonstrado, somente exemplificado.

Na pagina 85, a relacao entre determinantes e matrizes invertıveis esta malapresentada. Ter determinante nao-nulo e condicao necessaria e suficiente paraque uma matriz seja invertıvel. O que o livro mostra e que se uma matriz einvertıvel entao seu determinante e nao-nulo e nao, como e afirmado, que se odeterminante e nao-nulo entao a matriz e invertıvel.

O livro apresenta, na pagina 86, a maneira de calcular a inversa de uma matrizutilizando a matriz cofator e o determinante da matriz, como geralmente feito noslivros do ensino medio. Esta definicao, que nao sera explorada posteriormente, eimportante do ponto de vista teorico, mas deficiente, e mesmo inutil, do pontode vista pratico, para o calculo efetivo do calculo da inversa de uma matriz (ometodo da reducao a matriz identidade atraves de operacoes elementares e muitosuperior).

O Capıtulo 5 e dedicado as equacoes lineares. O capıtulo se inicia com umaboa introducao motivadora, mostrando que sistemas de equacoes lineares ocorremna resolucao de problemas. A seguir, o livro apresenta, com muita propriedade,os conceitos de solucao de um sistema e de sistemas equivalentes. Estes conceitosiniciais fornecem uma base solida para o aluno entender a classificacao de sistemaslineares e seus metodos de discussao e resolucao.

96 EXAME DE TEXTOS

Depois das definicoes iniciais, e apresentada a Regra de Cramer, que e devi-damente demonstrada para sistemas com 2 equacoes e 2 incognitas. A seguir, seinforma ao aluno que a regra de Cramer se aplica, em geral, para sistemas com nequacoes e n incognitas. A seguir, na secao 6 (pagina 103) apresenta-se a classi-ficacao tradicional de sistemas (impossıveis, possıveis e determinados, e possıveise indeterminados). O livro mostra, corretamente, por meio de um exemplo, quemesmo se os determinantes de todas as incognitas forem nulos, justamente com odeterminante do sistema, nao se pode garantir que o sistema tem solucao. Faltaaqui, no entanto, uma mencao de que a classificacao aqui apresentada se aplicatambem a sistemas com diferentes numeros de equacoes e incognitas e que, nestecaso, nao se pode empregar determinantes.

A secao 7 estuda a resolucao de sistemas lineares por escalonamento. Aapresentacao e detalhada, com varios exemplos resolvidos que incluem sistemasde todos os tipos. Em especial, o livro mostra que e possıvel resolver sistemasindeterminados (ou seja, e possıvel descrever todas as suas solucoes). Falta, nestasecao, apenas informar ao aluno que o metodo de escalonamento e superior aode Cramer, mesmo para sistemas com mesmo numero de equacoes e incognitas.Uma outra omissao e nao apresentar nenhuma interpretacao geometrica para ossistemas (nem mesmo para os com duas incognitas).

No Capıtulo 6 e dedicado ao binomio de Newton. A opcao por apresentareste assunto antes dos metodos de contagem acarreta diversos problemas. Emprimeiro lugar, a apresentacao da definicao de fatorial de um numero e puramentefactual, nao sendo apresentada qualquer motivacao. Alem disso, nao explicaporque se convenciona que 0! = 1! = 1. Estes fatos sao simplesmente incorporadosna definicao do fatorial, sem nenhum comentario.

A seguir, se apresentam os numeros binomiais, introduzidos de modo igual-mente arido, ja que nao e possıvel interpreta-los como resultantes de contagens.As diversas propriedades dos numeros binomiais sao estabelecidas de modo pu-ramente algebrico, justamente quando a interpretacao em termos de contagem eo que as torna mais interessantes. A secao 4 do capıtulo estuda o triangulo dePascal. Este estudo se presta admiravelmente a apresentacao de demonstracoesutilizando inducao matematica ou argumentos de contagem, mas esta oportunida-de e perdida. As propriedades sao generalizadas a partir de exemplos numericosespecıficos. Finalmente e apresentada a formula do Binomio de Newton. Comometodos de contagem ainda nao foram introduzidos, o livro se limita a obser-var que os coeficientes dos termos sao (por acaso?) os elementos do Triangulode Pascal. Assim, algo que poderia se revestir de significado, traduzindo umaaplicacao de metodos de contagem, se torna mais um fato da matematica que eapresentado sem a devida justificativa.


A analise combinatoria e estudada no Capıtulo 7. Como em outros capıtulos,existe uma boa introducao para o assunto. O princıpio fundamental da contageme discutido com um bom exemplo, nas paginas 139 e 140. No entanto, naose chama a atencao para o fato de que para aplicar o princıpio, o numero deresultados de cada um dos eventos deve ser independente dos resultados doseventos precedentes. De todo o modo, ha um bom numero de exemplos, queilustram adequadamente a aplicacao do princıpio.

A discussao de agrupamentos e bem feita na secao 3, paginas 145–147. Aseguir, sao deduzidas as formulas para arranjos, permutacoes e combinacoes.Malgrado as qualidades deste capıtulo, inclusive boa quantidade de exercıcios eexemplos interessantes, a secao 5, intitulada “Problemas que envolvem arranjose combinacoes” pode induzir no aluno o habito de querer classificar qualquerproblema de analise combinatoria como um problema de arranjos, combinacoes oupermutacoes, em vez de raciocinar e utilizar o princıpio fundamental da contagem,sem a preocupacao de memorizar formulas ou tipos de problemas.

No Capıtulo 8 estudam-se as probabilidades, iniciando-se, como em muitosoutros capıtulos, atraves de um exemplo motivador. A seguir, sao introduzidas asdefinicoes de espaco amostral, evento e de probabilidade de um evento. Ocorreaqui, uma impropriedade comum a varios livros para o Ensino Medio, ao seintroduzir a nocao de “espaco amostral equiprovavel”. Ora, equiprobabilidade eum atributo do modelo de probabilidade e nao do espaco amostral. Por outrolado, o exemplo 2, da pagina 166, e um problema de contagem que nada tem aver com espacos amostrais.

Apesar destes senoes, o capıtulo sobre probabilidades tem varias virtudes.A colecao de exemplos e exercıcios e bastante boa, apresentando probabilidadescomo uma ferramenta que pode ser aplicada a diversas situacoes reais (especial-mente ligadas a jogos, como o da Sena, abordada no exercıcio 13, da pagina 170).A secao 5, dedicada a probabilidade condicional, e bastante boa, explicando comcuidado um conceito delicado. Finalmente, a secao 7 estuda o topico interessantedas probabilidades geometricas, isto e, obtidas atraves do quociente de dois com-primentos ou duas areas. Este assunto, raramente abordado no Ensino Medio,e uma introducao apropriada a nocao de probabilidade contınua e proporcionaexemplos bastante motivadores.

A partir do Capıtulo 9, o livro dedica-se a geometria. Neste capıtulo, estuda-se a geometria espacial “de posicao”. A maior parte dos livros de Ensino Medio,neste ponto, faz referencia a construcao logico-dedutiva da Geometria. Na maiorparte dos casos, no entanto, este tratamento tem muitos defeitos, alem de seralgo contraditorio com o tratamento dado aos demais assuntos, levando os alunosa ideia equivocada que a Geometria e a unica parte da Matematica que tem

98 EXAME DE TEXTOS

tal estrutura. Este livro opta por uma outra abordagem, que introduz nocoesrelativas a pontos, retas e planos atraves de modelos concretos para os mesmos.Assim, ao inves de apresentar provas para as propriedades apresentadas, convidaos alunos a verifica-las atraves dos modelos. Embora se perca a oportunidadede se evidenciar, para o aluno, o exemplo mais classico da estrutura logica daMatematica, a apresentacao e, provavelmente, bastante atrativa para o aluno.

Ha, porem, alguns equıvocos na ordem em que os conceitos sao apresenta-dos. Por exemplo, a definicao de reta perpendicular a um plano e devidamenteapresentada, na pagina 197, como a de uma reta que e perpendicular a todas asretas do plano que passam pelo seu ponto de intersecao com o plano. Mas napagina anterior ja tinha sido introduzida a nocao de distancia de um ponto a umplano como a distancia entre o ponto e sua projecao ortogonal sobre o plano; noentanto, nao se explica o que e tal projecao ortogonal. A inversao da ordem deapresentacao resolveria o problema.

De todo o modo, o capıtulo apresenta exercıcios interessantes, como o denumero 11 da pagina 198, sobre uma mesa que se deve apoiar sobre um plano.Este capıtulo termina com a apresentacao, sem demonstracao, da relacao de Eulerpara poliedros e termina mostrando os cinco poliedros regulares. Nao se mencionaque o fato de existirem somente cinco desses poliedros e decorrencia da relacaode Euler.

O Capıtulo 10 estuda os prismas. Depois de apresentar a definicao, de modocorreto, sao dados varios exemplos de prismas (principamente paralelepıpedos)que ocorrem na vida cotidiana. A seguir, mostra-se como calcular a diagonalde um paralelepıpedo retangulo e as areas lateral e total de prismas. O calculode volumes comeca pelo paralelepıpedo retangulo. Argumenta-se que, em umparalelepıpedo de dimensoes a, b e c cabem abc cubos unitarios e, portanto,este e seu volume. Nao se faz nenhum comentario a respeito do caso em quea, b e c nao sao inteiros e, muito menos, ao caso em que sao irracionais. A seguir,encontramos o enunciado do princıpio de Cavalieri, apresentado para o caso de quesecoes cortadas por um mesmo plano paralelo as bases tem areas iguais e utilizadopara obter o volume de um prisma arbitrario. A motivacao apresentada para oprincıpio de Cavalieri e bastante apropriada, mostrando que o volume de umapilha de lajotas nao se altera quando as lajotas sao deslocadas horizontalmente.De um modo geral, o capıtulo apresenta bons exemplos e exercıcios.

As piramides sao estudadas no Capıtulo 11. O capıtulo tem as mesmas ca-racterısticas do anterior. Inicialmente, sao exploradas as relacoes metricas empiramides regulares, com atencao especial ao tetraedro regular. Depois, mostra-se como calcular areas laterais e totais. O volume da piramide e deduzido combase no princıpio de Cavalieri e no fato de que um prisma triangular pode ser


decomposto em tres piramides equivalentes. Para aplicar o princıpio de Cavalierise demonstra que a razao entre as areas de secoes transversais e igual a razaoentre o quadrado de suas distancias aos vertices. A demonstracao e correta, masnao enfatiza o fato fundamental de que um plano paralelo a base determina umapiramide semelhante a original. Outro fato fundamental — o de que areas e volu-mes de figuras semelhantes sao proporcionais, respectivamente, ao quadrado e aocubo da razao de semelhanca — e tambem ignorado. Mais uma vez, os exemplose exercıcios sao interessantes.

Os capıtulos seguintes, 12 e 13, sao dedicados aos cilindros e cones, respec-tivamente. Tem caracterısticas analogas aos dos anteriores, com uma exposicaocuidadosa e um bom numero de exercıcios interessantes.

O Capıtulo 14, o ultimo do livro, e sobre a esfera. A apresentacao segue omesmo padrao dos capıtulos anteriores, com uma exposicao cuidadosa, boas ilus-tracoes e bons exemplos e exercıcios. Destaca-se, neste capıtulo, a secao 3, quecalcula corretamente o volume da esfera, utilizando o princıpio de Cavalieri. En-contramos nele tambem uma demonstracao informal da expressao para a area deuma superfıcie esferica, utilizando uma passagem ao limite, baseada na diferencaentre os volumes de duas esferas de raios proximos.


Este volume, de modo geral, contem um tratamento adequado para os assuntosnele cobertos. O livro nao e uniforme. Alguns capıtulos sao melhores que ou-tros, ha falhas conceituais, ja apontadas acima, e algumas escolhas (como a deapresentar o Binomio de Newton antes de contagem) sao equivocadas.

No entanto, ele oferece ao aluno uma boa oportunidade de aprendizagem. Namaior parte do livro, a matematica e algo que faz sentido e que pode ser usadapara resolver problemas reais.

Bianchini e Paccola


(versao beta)


Este volume cobre geometria analıtica, incluindo o estudo das conicas; polinomios;numeros complexos; equacoes polinomiais ou algebricas; limites de funcoes; deri-vadas e nocoes de estatıstica. Possui 354 paginas e um bom numero de ilustracoesde boa qualidade, principalmente no capıtulo referente a estatıstica. A compo-sicao tipografica e bem cuidada e nao se observam erros de impressao.


O primeiro capıtulo apresenta nocoes de geometria analıtica, e principia com aintroducao dos sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais. O tratamentoe sucinto. Embora levando em conta que este topico esta sendo apresentado aalunos da 3a¯ serie, ja maduros, seria recomendavel mais detalhes e exemplos nestetopico extremamente importante, base para tudo o que se segue.

A formula da distancia entre dois pontos e deduzida corretamente na pagina 3,motivada por um problema pratico. Este, alias, e um ponto extremamente posi-tivo deste livro. Diferentemente do que fazem a maior parte de seus congeneres,neste livro a geometria analıtica e apresentada como uma tecnica para resolverproblemas de geometria e nao como uma disciplina isolada, com fim em si mes-ma. Por exemplo, na situacao utilizada para introduzir a formula da distanciao sistema de coordenadas nao e apresentado ja pronto, fazendo parte do procesode resolucao adotar um sistema adequado de coordenadas.

A expressao para a razao de secao de um segmento por um ponto tambem edemonstrada, usando o teorema de Tales (pagina 7), sendo aplicada para acharas coordenadas do ponto medio de um segmento e para achar as coordenadasdo baricentro de um triangulo (pagina 12). Este e um dos poucos livros para oensino medio que se preocupa em dar ao aluno uma boa nocao do significado dobaricentro, ao inves de simplesmente fornecer uma formula a mais.

O capıtulo se encerra com a formula para a area de um triangulo, inteligen-temente demonstrada (pagina 16).

100


O Capıtulo 2 e dedicado ao estudo da linha reta. Novamente, o aluno e tratadocomo adulto e o capıtulo se inicia com um exemplo de situacao geometrica parao qual a determinacao da equacao da reta se revelara util. Ainda melhor: o pro-blema e inicialmente resolvido atraves de geometria euclidiana sintetica (usandosemelhanca de triangulos) e, depois, usando geometria analıtica. Isto evita a ideianociva de que geometria sintetica e geometria analıtica sao partes completamenteseparadas dentro da matematica.

A equacao geral da linha reta e deduzida utilizando a expressao para a areade um triangulo, chegando-se a expressao tradicional para a equacao da linhareta sob a forma de determinante. Embora esta formulacao tenha a desvantagemde fornecer uma expressao que o aluno tende a usar sem muita reflexao, deve-sesalientar que o livro mostra corretamente que a equacao de uma linha reta tema representacao dada e, reciprocamente, que as expressoes dadas representamlinhas retas.

Ao contrario de muitos outros textos, o livro nao fragmenta demasiadamenteo estudo da linha reta. Apresenta somente a “equacao reduzida da reta” e a“forma parametrica da equacao da reta”.

Na apresentacao da equacao reduzida, sao devidamente apresentadas as in-terpretacoes para os coeficientes. Embora o coeficiente angular seja inicialmenteapresentado como a “tangente do angulo que a reta forma com o eixo-x ” (quecoloca uma enfase desnecessaria em um fato nao tao importante), o livro mostraque ele tambem corresponde a razao entre diferencas de ordenadas e abscissas.E pena que nao se faca a conexao com os graficos de funcoes afins e aproveite-separa interpretar o coeficiente angular como taxa de variacao (o que nao foi feitono Volume 1).

A equacao parametrica da reta e devidamente contextualizada, atraves de umexemplo envolvendo a trajetoria de um movel.

Os feixes de retas concorrentes em um ponto sao corretamente estudados naspaginas 42 e 43.

Em seguida, o livro estuda retas concorrentes, relacionando-as com sistemaslineares. Seria interessante que o livro mostrasse que o estudo da posicao rela-tiva das retas fornece uma ferramenta geometrica para a discussao de sistemaslineares.

Na secao 7 deste capıtulo, sao estudados o paralelismo, o perpendicularismoe o angulo entre duas retas concorrentes.

A distancia de um ponto a uma reta e motivada por um exemplo, que edetalhadamente resolvido. Em seguida, o livro apresenta a formula geral. Emboraela seja apresentada sem demonstracao, pelo menos e verificada para o exemploantes resolvido.

102 EXAME DE TEXTOS

As inequacoes lineares sao interpretadas graficamente na secao 10. A expo-sicao e clara e sao apresentados varios exemplos. Faltam, no entanto, exemplosem que desigualdades lineares sejam utilizadas para expressar restricoes em si-tuacoes de modelagem (como em programacao linear).

O Capıtulo 3 estuda a circunferencia. Apos mostrar como escrever a equacaode uma circunferencia, dados seu centro e seu raio, o livro mostra como reconhecerse uma equacao dada representa uma circunferencia e, em caso afirmativo, comodeterminar seu centro e raio. Corretamente, a enfase esta em usar completamentode quadrados, que tem a vantagem de nao exigir a memorizacao de formulas e, aomesmo tempo, utilizar os recurso algebricos desenvolvidos nas series anteriores.

A seguir, sao estudadas as posicoes relativas de duas circunferencias e de umareta e uma circunferencia. O capıtulo tem muitos exemplos resolvidos e os exem-plos vem acompanhados de ilustracoes que mostram as situacoes geometricasestudadas. Nos exercıcios propostos, paginas 103, 104 e 105, ha problemas en-volvendo regioes do plano definidas por inequacoes do segundo grau.

O Capıtulo 4 e dedicado a elipse, hiperbole e parabola. Sao dadas as defi-nicoes destas conicas, motivadas a partir de situacoes geometricas, que, emboraum pouco artificiais, podem despertar a atencao dos alunos. A partir delas saodeduzidas suas equacoes cartesianas. Ao final da apresentacao de cada conica, eilustrado o processo pratico de construcao, com barbante, pregos, etc.

Cada uma das conicas e tambem identificada como um particular tipo desecao em um cone. Ha, entanto, uma falha seria. Hiperboles sao caracterizadascomo produzidas por secoes paralelas ao eixo do cone. De fato, planos paralelosao eixo do cone determinam uma secao hiperbolica. No entanto, nao e necessarioque isto ocorra. Toda a vez que o plano corta as duas folhas de um cone eledetermina uma hiperbole.

O ultimo topico abordado no capıtulo e o estudo da equacao y = ax2+bx+c,para o qual o livro introduz a ideia importante de translacoes de eixos, nas paginas134 e 135, dando exemplos. Deve-se observar, porem, que o livro nao faz a conexaoexplıcita com a funcao quadratica, estudada no Volume 1. Perde, assim, umaboa oportunidade para mostrar aos alunos que as diversas partes da matematicanao sao, de forma nenhuma estanque. Certamente, seria bem-vindo pelo menosum comentario do genero: “. . . demonstramos, assim, que tınhamos razao, novolume 1, quando dissemos que o grafico de uma funcao quadratica e uma curvadenominada parabola”.

Nos comentarios finais do capıtulo, sao citadas aplicacoes dos tres tipos deconicas. Os comentarios, no entanto, sao sucintos demais para realmente daruma ideia do uso das conicas (e de suas propriedades) nas aplicacoes.

O Capıtulo 5 estuda os polinomios, principiando com um problema motiva-


dor. Como acontece com praticamente todos os livros do segundo grau, o livronao estabelece corretamente a relacao entre polinomios identicamente nulos e opolinomio zero, ou seja, aquele cujos coeficientes sao todos nulos (paragrafo 4,paginas 157 e 158): o livro tacitamente admite que nao seja necessario justifi-car porque essas nocoes sao equivalentes. Na verdade, esta e uma propriedadefundamental dos polinomios e merece, pelo menos, ser discutida.

O paragrafo 5 estuda as operacoes com polinomios. A adicao, subtracaoe multiplicacao de polinomios, ja estudadas no primeiro grau, sao rapidamenterevistas. A divisao de polinomios e abundantemente exemplificada. O paragrafo 6estuda o resto da divisao de um polinomio por um polinomio do primeiro grau erelaciona isso com a divisibilidade do polinomio pelo binomio ax+ b. O capıtulose encerra com o dispositivo pratico de Briot-Rufini para calcular o quociente e oresto da divisao de dois polinomios. Nao e feita mencao ao fato, bastante util, queo dispositivo de Briot-Rufini se constitui em um metodo eficiente para calcular ovalor numerico de um polinomio (preferıvel ao computo de cada potencia de x).

Os numeros complexos sao estudados no Capıtulo 6. Eles sao motivados pormeio de um problema do segundo grau, resolvido por Cardano. O livro nao ci-ta que foi a resolucao das equacoes do 3o¯ grau que obrigou os matematicos aencararem de frente os numeros complexos. Os numeros complexos sao introdu-zidos sem rigor excessivo, por meio da introducao da unidade imaginaria i e dasexpressoes da forma a+ bi.

O capıtulo apresenta as nocoes usuais, como igualdade de numeros comple-xos, operacoes com numeros complexos, conjugado de um numero complexo. Oparagrafo 5 introduz a representacao dos numeros complexos, apos o que se es-tudam o modulo e argumento de um complexo.

A forma trigonometrica dos numeros complexos e apresentada na secao 7 eimediatamente aplicada a multiplicacao, potenciacao e radiciacao de complexos.

Este capıtulo apresenta muitos exemplos e exercıcios. No entanto, nem todosos aspectos sao tao bem explorados quanto possıvel. Por exemplo, a interpretacaogeometrica do modulo de um complexo e explorada apenas de maneira obvia. Naoha nenhum exercıcio que ilustre, por exemplo, que os complexos que sao solucoesda equacao |z−a| = r estao em um cırculo de centro a e raio r do plano complexo.

O Capıtulo 7 estuda as equacoes algebricas. Principia com uma introducaohistorica sobre a resolucao das equacoes do 3o¯ grau pelos algebristas italianos. Aseguir, define corretamente uma equacao algebrica, ressaltando que os coeficientesdo polinomio sao numeros complexos. Nota-se, aqui, uma certa falha na logicado livro: os polinomios estudados no Capıtulo 5 tinham coeficientes reais; agora,subitamente aparecem polinomios complexos, sem nenhum comentario a respeitodas definicoes e propriedades la estabelecidas continuarem validas. E por esta

104 EXAME DE TEXTOS

razao que a maior parte dos autores prefere estudar numeros complexos antes depolinomios.

O paragrafo 3 do Capıtulo 7 estuda a decomposicao de um polinomio em umproduto de fatores do 1o¯ grau. A partir do Teorema Fundamental da Algebra,o livro mostra corretamente que uma equacao algebrica de grau n tem n raızescomplexas. A nocao de multiplicidade das raızes e estudada na secao 4. Enuncia-se, corretamente, que as raızes complexas de um polinomio com coeficientes reaisse apresentam em pares conjugados. O paragrafo 6 mostra como determinar,quando elas existem, as raızes racionais de polinomios, enquanto que o paragrafo 7apresenta as relacoes entre os coeficientes e as raızes de um polinomio.

O Capıtulo 8 estuda os limites das funcoes. O exemplo utilizado para motivara definicao do conceito de limite e apropriado, pois o limite no ponto desejadonao se acha simplesmente pelo calculo do valor da funcao naquele ponto. Ou seja,a funcao cujo limite se procura nao e contınua no ponto.

O conceito de limite e cuidadosamente explicado, com varias ilustracoes, aposo que e apresentada sua definicao formal, corretamente.

As propriedades usuais dos limites sao simplesmente citadas, sem demons-tracao, como anunciado no texto (paginas 222 e 223), o que e bastante razoavelneste nıvel.

Ha um paragrafo dedicado ao calculo dos limites laterais das funcoes (pagi-na 226). A indeterminacao 0/0 e discutida em exemplos, nas paginas 227 e 228.

A continuidade das funcoes e estudada a partir da pagina 229. E apresen-tada uma definicao correta na pagina 229, seguida de varios exemplos com in-terpretacoes graficas. O livro afirma, sem demonstracao, que as funcoes usuais(incluindo as funcoes racionais, nos pontos em que o denominador e nao-nulo)sao contınuas.

Na secao 9 sao estudados dois limites importantes: o limite, quando x tendepara 0, de senx/x e o limite, quando x tende para o infinito, de (1 + 1/x)x. Oprimeiro e demonstrado geometricamente. O segundo e simplesmente motivado,apresentando-se o valor de (1 + 1/x)x para valores crescentes de x.

As derivadas sao estudadas no Capıtulo 9. Como muitos outros capıtulos, esteprincipia com um exemplo motivador. A apresentacao do conceito de derivadae feita utilizando a nocao de velocidade media, em intervalos de tempo cadavez menores, apos o que e dada sua definicao matematica como o limite de umquociente de acrescimos. Apos isso, introduz-se a funcao derivada e interpreta-segeometricamente a derivada de uma funcao.

As regras de derivacao sao apresentadas nos paragrafos 3 e 4. Observe-seque a regra da cadeia, para a derivada de uma funcao composta e deduzidaerroneamente (paginas 270 e 271), pois nao ha garantias de que ∆u e semprediferente de zero.


A expressao para a derivada de uma funcao inversa (pagina 281) e demons-trada diretamente, quando e simplesmente uma consequencia da regra da cadeia.A demonstracao apresentada, baseada no computo do limite de ∆x/∆y quando∆x tende a 0, e incorreta, pois nao se pode afirmar que ∆y e sempre nao-nulo.

As derivadas sao aplicadas a problemas de maximos e mınimos no paragrafo 5.A regra para determinar maximos e mınimos locais de funcoes derivaveis e moti-vada por meio de graficos. O mesmo e feito sobre a determinacao dos pontos deinflexao. O paragrafo 6 aplica as derivadas a problemas de maximos e mınimos,com varios e bons exemplos de geometria e de fısica.

O balanco geral dos capıtulos de introducao ao Calculo e bastante positivo.Embora a exposicao contenha falhas, conforme apontado acima, a escolha dostopicos de calculo a tratar e, especialmente, dos exemplos e exercıcios, foi feitacom bom-senso e fornece uma boa introducao ao assunto.

O ultimo capıtulo do livro o decimo, e uma introducao sucinta a estatısticadescritiva. Contem muitos exemplos resolvidos e exercıcios propostos. O capıtulodiscute histogramas, polıgonos de frequencia, graficos em setores. Este capıtuloe especialmente bem ilustrado e recorre, com sucesso, a graficos no estilo dosusados em jornais e revistas para ilustrar suas materias. Ha uma secao dedicadaas medidas de tendencia central (media, media ponderada, mediana) e outrasobre as medidas de dispersao (variancia e desvio-padrao). Nao ha, no entanto,maiores explicacoes, ou exercıcios resolvidos ou propostos, sobre a importanciade tais medidas para compreender a variabilidade dos dados. Seria interessante,por exemplo, se apresentar ao aluno duas colecoes de dados com a mesma mediae variancias diferentes e indagar o que isto significa. Poder-se-ia, ainda, pedirpara o aluno dizer onde esperaria encontrar maior variancia: entre as alturas doscolegas de turma ou entre as alturas de todos os alunos da escola. Deste modo, asmedidas estatısticas deixam de ser simplesmente resultados numericos e passama adquirir significado.


A exemplo dos volumes anteriores, o Volume 3 desta colecao possui mais qua-lidades do que defeitos. Neste livro, a matematica nao e vista como algo com-pletamente desvinculado do cotidiano. Os autores se esforcam para apresentaraplicacoes da maior parte dos topicos estudados e as utilizam para motivar oestudo.

Apesar de algumas falhas conceituais (quem sabe remediadas em futurasedicoes), ja mencionadas acima, a visao da matematica oferecida nesta colecaosera mais util ao aluno em sua vida futura do que aquela presente na maior partedos livros para o Ensino Medio.

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Matemática – volume 1 (versão beta)ma225/texto3.pdf · Bianchini e Paccola Matemática – volume 1 (versão beta) Descri¸cão sucinta do Volume 1 Estevolumeédistribu´ıdoemduasversões,alfaebeta.Aprimeira,incluiconjun-