Analise Matem atica I - arquivoescolar.orgarquivoescolar.org/bitstream/arquivo-e/202/1/ApontamentosAMI.2011... · Escola Superior Nautica Infante D. Henrique Analise Matem atica I

Escola Superior Nautica Infante D. Henrique

Analise Matematica IApontamentos de apoio a disciplina

Luıs Cruz-Filipe & Patrıcia Engracia

Setembro de 2010

Conteudo

1 Sucessoes e series reais 11.1 Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Conceitos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Progressoes aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Progressoes geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4 Operacoes aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Limites de sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Infinitamente grandes e infinitesimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Limites e convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.1 Convergencia e soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Series de termos nao negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.4 Series de sinal variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.5 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Funcoes reais de variavel real 432.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Representacao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Introducao ao estudo de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.1 Domınio e contradomınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.2 Monotonia, extremos e assımptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.3 Analise de graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4 Funcao exponencial e funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.1 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.2 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.1 Operacoes aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.2 Composicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.5.3 Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.6 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.1 Nocoes basicas de topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.2 Limite duma funcao num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.6.3 Continuidade e calculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.6.4 Funcoes definidas por ramos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.6.5 Determinacao de assımptotas de graficos de funcoes . . . . . . . . . . . 114

i

2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3 Calculo Diferencial 1233.1 Nocao de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2 Calculo de derivadas de funcoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.1 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.2 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.2.3 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.2.4 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.2.5 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.2.6 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.3 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.3.1 Definicao e primeiros exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.3.2 Formula de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.3.3 Determinacao de coeficientes de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.4 Estudo de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.4.1 Extremos e monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.4.2 Pontos de inflexao e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.4.3 Construcao do grafico de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.5 Propriedades das funcoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4 Primitivacao 1954.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.2 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.3 Determinacao das constantes de primitivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.4 Primitivacao de funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.4.1 Divisao de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.4.2 Factorizacao de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.4.3 Decomposicao de fraccoes proprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.5 Primitivacao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.6 Primitivacao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.6.1 Produtos por polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.6.2 Logaritmos e funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . 2264.6.3 Produtos de exponenciais por funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . 2284.6.4 Miscelanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5 Calculo Integral 2375.1 Areas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.2 Definicao analıtica do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.3 Integral indefinido e o Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . 2485.4 Calculo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5.5.1 Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.5.2 Comprimentos de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605.5.3 Volumes de solidos de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.6 Integrais improprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

ii

5.6.1 Integrais improprios de 1a especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.6.2 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2745.6.3 Relacao com as series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2775.6.4 Integrais improprios de 2a especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2805.6.5 Integrais improprios mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2855.6.6 Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

iii

iv

Introducao

Estes apontamentos foram escritos para servir de apoio a disciplina de Analise Matematica Idos cursos de licenciatura da Escola Superior Nautica Infante D. Henrique.

Para alem da preocupacao de abordar todos os aspectos no programa da disciplina, foramincluıdos diversos paragrafos destinados a desenvolver a intuicao a volta das varias questoesque vao sendo discutidas. Os exemplos incluıdos focam situacoes de aplicacao pratica emdiversas areas de interesse para os alunos, incluindo algums assuntos que serao desenvolvidosposteriormente noutras disciplinas.

Teve-se ainda especial cuidado nas seccoes introdutorias por forma a garantir que o conteudodos apontamentos e acessıvel mesmo aos alunos com menor preparacao a Matematica. Assim,reveem-se diversos conceitos que fazem parte dos programas do Ensino Secundario e que saorelevantes para esta disciplina.

Paco d’Arcos, Setembro de 2010

Luıs Cruz-Filipe e Patrıcia Engracia

v

Capıtulo 1

Sucessoes e series reais

O primeiro capıtulo destes apontamentos e dedicado as sucessoes e series de numeros reais. Ainclusao deste topico num texto de Analise Matematica deve-se nao so ao facto de sucessoes eseries serem ferramentas de trabalho extremamente uteis no estudo de funcoes, mas tambem aoseu interesse intrınseco em diversas outras areas de aplicacao, nomeadamente na Estatıstica e naarea de metodos computacionais — nomeadamente a nıvel da Analise Numerica e da SimulacaoComputacional. Finalmente, o estudo de sucessoes e series permite introduzir num contextomais simples varios conceitos fundamentais da Analise Matematica, que serao posteriormentegeneralizados ao contexto das funcoes reais de variavel real.

1.1 Sucessoes

1.1.1 Conceitos gerais

Uma sucessao de numeros reais e simplesmente uma sequencia infinita de numeros. Tipica-mente, usamos letras minusculas para designar sucessoes (u, v, w, e assim sucessivamente) ereferimo-nos ao n-esimo termo da sucessao u como un. Por exemplo, u2 designa o segundotermo da sucessao u, enquanto w4 se refere ao quarto termo da sucessao w.

Exemplo. As seguintes sequencias sao exemplos de sucessoes reais.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .

0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, . . .

1,−2, 1,−4, 1,−6, 1,−8, . . .

Todas estas sucessoes tem uma regularidade bastante clara. A primeira e a sucessao dosnumeros naturais; a segunda e a sucessao dos quadrados perfeitos; a terceira alterna os valores 0e 1; a quarta e a sucessao das aproximacoes decimais de π; e a quinta alterna o valor 1 com osnumeros pares negativos.

Contudo, nao e necessario que uma sucessao tenha qualquer regularidade. As seguintessucessoes tambem sao perfeitamente legıtimas.

2,−5, 0.2, 19.2, 24.1,−2,−0.001, 23.15, . . .

0.12, 0.25, 0.01, 0.04, 0.26, 0.69, 0.09, 0.99, 0.01, . . .

2

5,1

2, 2,− 1

24, 0.27, 3000, π, . . .

127, 222, 254, 324, 431, 220, 291, 215, 433, . . .

1

2 CAPITULO 1. SUCESSOES E SERIES REAIS

Este tipo de sucessoes corresponde muitas vezes a dados experimentais; por exemplo, aultima sucessao acima apresentada poderia corresponder ao numero de automoveis que passamuma cabine de portagem durante perıodos consecutivos de 120 minutos.

Na maioria das situacoes que vamos considerar, estaremos interessados em sucessoes queexibem um comportamento regular, a semelhanca do primeiro grupo do exemplo anterior.Nestes casos, ha interesse em escrever a sucessao nao como a sequencia dos seus elementos,mas como uma regra que nos permite obter qualquer termo de forma sistematica.

Por exemplo, seja u a sucessao dos numeros naturais.

u = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .

Usando a notacao que referimos acima, podemos dizer que u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3, e assim pordiante. Assim, o elemento que ocupa a posicao n naquela sequencia e precisamente n — o quepodemos escrever como a regra un = n. Esta expressao diz-se o termo geral desta sucessao.

A maneira de usar esta informacao e ver o sımbolo n como um espaco para inserir o valorem que estamos interessados. Assim, se quisermos saber o termo 100 da sucessao, substituımosn por 100 na relacao un = n, obtendo u100 = 100.

Exemplo.

1. Seja u a sucessao cujos termos sao

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .

O termo de ordem n de u e o n-esimo quadrado perfeito, ou seja, e precisamente n2.Entao, podemos definir esta sucessao pela expressao un = n2.

2. Seja v a sucessao cujos termos sao

0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .

Esta sucessao alterna entre os valores 0 e 1, consoante o ındice do termo e par ou ımpar;ou seja, se n e ımpar, entao vn = 0; se n e par, entao vn = 1. Podemos representar estacondicao por meio da seguinte expressao.

vn =

{0 n par

1 n ımpar

Para avaliar vn, temos de comecar por decidir em qual dos casos estamos, para depoisobter o valor correspondente.

3. Seja w a sucessao cujos termos sao

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, . . .

Esta sucessao contem aproximacoes de π com precisoes cada vez maiores. Nao e simplesescrever uma formula que gere o termo wn, mas podemos explicita-lo por palavras: wn euma aproximacao de π com precisamente n algarismos significativos (ou seja, com (n−1)casas decimais).

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 3

4. Seja u a sucessao cujos termos sao

1,−2, 1,−4, 1,−6, 1,−8, . . .

Temos novamente uma alternancia entre os termos de ordem ımpar e os termos de ordempar. Os primeiros sao sempre iguais a 1; ja os termos de ordem par tem os simetricosdos numeros pares. O segundo termo da sucessao vale −2, o quarto vale −4, e assimsucessivamente. Podemos entao definir esta sucessao da seguinte forma.

un =

{1 n ımpar

−n n par

Exercıcio 1. Determine o termo geral de cada uma das seguintes sucessoes.

(a) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .

(b) 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, . . .

(c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

(d) 1,−4, 9,−16, 25,−36, 49, . . .

(e) 1, 1 + 12, 1 + 1

2+ 1

3, 1 + 1

2+ 1

3+ 1

4, . . .

(f) 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . .

(g) −1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .

(h) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, . . .

(i) 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, . . .

(j) 3, 32, 34, 38, 316, 332, 364, . . .

Exercıcio 2. Considere as sucessoes com o seguinte termo geral.

un = 1 + n2 vn = 2− n

n+ 1wn = 3n − n2 − n

2

Determine os termos representados por cada uma das seguintes expressoes.

(a) u3 (b) v2 (c) u10 (d) w3 (e) v5 (f) w1 (g) u2 (h) w4

Exercıcio 3. Dada a sucessao an = 2n−1n+3

, verifique que:

(a) 2918

e um termo da sucessao;

(b) 85

nao e termo da sucessao;

(c) todos os termos da sucessao estao entre 14

e 2.

Consoante as aplicacoes, a numeracao dos termos duma sucessao pode comecar em 0 ouem 1; na realidade, ha mesmo situacoes em que e mais comodo comecar noutros valores,como −1 ou 2. Veremos mais adiante que estas diferencas nao sao relevantes. Ao longo destaseccao, comecaremos em geral por 1 para obter uma correspondencia mais directa entre o ındice

Apontamentos de Analise Matematica I


dum termo e a sua posicao na sequencia; posteriormente, passaremos a trabalhar contando apartir de 0.

Se retirarmos um numero (finito ou infinito) de termos a uma sucessao, mantendo a ordem,por forma a que o numero de termos restante seja infinito, obtemos uma sua subsucessao.Neste texto nao vamos insistir muito neste conceito, mas precisaremos dele mais adiante paraalgumas aplicacoes concretas.

Uma sucessao diz-se monotona crescente se os seus termos vao tomando valores cada vezmaiores. Podemos definir esta propriedade de forma equivalente dizendo que uma sucessao u emonotona crescente se a diferenca un+1−un for positiva, para qualquer valor de n. Da mesmaforma, uma sucessao u diz-se monotona decrescente se un+1−un < 0 para qualquer valor de n.

Vimos ja bastantes exemplos de sucessoes crescentes. As sucessoes de termo geral n, n2,1 + n2, − 1

nou a sucessao das aproximacoes de π sao todas sucessoes monotonas crescentes.

Dispondo do termo geral, e normalmente simples verificar este facto de forma perfeitamenterigorosa.

Exemplo.

1. Para a sucessao un = n, temos que un+1 − un = (n+ 1)− n = 1 > 0.

2. Para a sucessao vn = n2, temos que

vn+1 − vn = (n+ 1)2 − n2 = n2 + 2n+ 1− n2 = 2n+ 1 > 0 .

3. Para a sucessao wn = 1 + n2, temos

wn+1 − wn =(1 + (n+ 1)2

)−(1 + n2

)= 1 +��n

2 + 2n+ A1−(A1 +��n

2)

= 2n+ 1 .

4. Para a sucessao yn = − 1n, temos

yn+1 − yn = − 1

n+ 1−(− 1

n

)= − n

n(n+ 1)+

n+ 1

n(n+ 1)=

1

n(n+ 1)> 0 .

Observe-se a forma de calcular un+1: na expressao de un substituımos o sımbolo n pelaexpressao (n + 1). Recorde-se que un se le “o termo de ordem n de u”; o sımbolo n e apenasum marcador para um numero natural, que neste caso vamos preencher com o valor (n+ 1).

A questao que se pode colocar nesta altura e a seguinte: qual e o interesse de verificar formal-mente que uma sucessao e monotona? A resposta e geral para todas as areas da Matematica:a vantagem de fazer uma deducao formal, ou demonstracao, e garantir com certeza total queum facto se verifica. Muitas das aplicacoes da Matematica, mesmo de conceitos simples comosucessoes, sao em areas em que nao pode haver qualquer risco de erro: controle de rotas (pilo-tos automaticos), nomeadamente de voos; sistemas medicos (estilo pacemakers implantados);construcao de pontes; e muitos outros. Quando se pretende garantir que um desses sistemasesta correcto, nao basta olhar para ele e ter uma intuicao; e necessario verificar rigorosamenteque assim se passa.

Da mesma forma, e preciso ter cuidado com o comportamento de sucessoes, que pode naoser intuitivo. Consideremos a sucessao u de termo geral un = 10n−

(1110

)n. Os primeiros termos

desta sucessao sao aproximadamente os seguintes.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10un 8.9 18.79 28.669 38.536 48.389 58.228 68.051 77.856 87.642 97.406


1.1. SUCESSOES 5

Olhando para esta tabela, poderıamos ser tentados a concluir que a sucessao era monotonacrescente. Porem, se tentarmos verificar este facto rigorosamente, descobrimos que a realidadee outra.

un+1 − un = 10(n+ 1)−(

11

10

)n+1

−(

10n−(

11

10

)n)=��10n+ 10− 11

10

(11

10

)n−��10n+

(11

10

)n= 10− 1

10

(11

10

)nPode verificar-se que este valor e positivo apenas se n < 48. De facto, tabelando uns valoresde un mais a frente, obtemos

n 46 47 48 49 50 51 52un 379.82 381.803 382.982 383.281 382.609 380.870 377.957

mostrando que a sucessao afinal nao e crescente. Pior: se calcularmos valores de un para n umpouco mais elevado verificamos que os valores nem sequer sao sempre positivos. Tem-se

u68 ≈ 27.317 u69 ≈ −27.951

e daı em diante a sucessao e na realidade decrescente.Outro facto que a primeira vista nao e de todo obvio e que uma sucessao pode ser monotona

crescente (ou decrescente) sem tomar valores arbitrariamente grandes (ou pequenos). A su-cessao das aproximacoes de π e um bom exemplo: cada termo e maior que o anterior, masnenhum deles excede π.

Exercıcio 4. Verifique que as seguintes sucessoes sao monotonas crescentes.

(a) un = 3n (b) wn = n2 + 2n (c) vn = 2n2 − n (d) un = nn+1

Exercıcio 5. Verifique que as seguintes sucessoes sao monotonas decrescentes.

(a) un = 1− n (b) un = −n3 + 2 (c) wn = n+2n2+2

(d) vn = 1 +(

110

)n

Exercıcio 6. Para cada uma das seguintes sucessoes, determine se se trata duma sucessaomonotona crescente, monotona decrescente ou se nao e uma sucessao monotona.

(a) un = 3n− 5 (b) un = 2− 2n (c) un = n2 − 4n (d) un = 1− 2n

Vamos agora explorar um pouco a ideia de enquadrar valores duma sucessao entre entredeterminados limites.

Definicao. Um numero real m diz-se um minorante da sucessao u se se tiver m ≤ un paraqualquer n; um numero M diz-se um majorante de u se se tiver un ≤M para qualquer n.

Uma sucessao diz-se minorada (ou majorada) se tiver algum minorante (ou majorante) ediz-se limitada se for simultaneamente majorada e minorada.



Exemplo.

1. A sucessao dos numeros naturais, de termo geral un = n, e uma sucessao que e minorada:todos os seus valores sao positivos, logo 0 e um minorante de u. Este nao e o unicominorante de u: qualquer numero negativo x satisfaz x ≤ un; por exemplo, −2 ≤ un e−5 ≤ un para qualquer n.

Em contrapartida, a sucessao u nao e majorada: dado qualquer numero real M , podemossempre encontrar um numero natural maior do queM , logoM nao pode ser um majorantede u. Entao a sucessao u e uma sucessao minorada que nao e majorada.

2. A sucessao v de termos −1, 1,−1, 1,−1, 1, . . . tem termo geral vn = (−1)n. Uma vez queesta sucessao so toma os valores −1 e 1, temos que −1, −4 e −16 (entre muitos outros)sao minorantes de v, enquanto que 1, 2 e 25 (e outros) sao majorantes de v. A sucessao ve uma sucessao majorada e minorada, logo e uma sucessao limitada.

3. A sucessao w das aproximacoes decimais de π e outra sucessao que e limitada. Por umlado, vimos ja que a sucessao e crescente, pelo que todos os seus valores sao maiores doque 3. O numero 3 e entao um minorante de w. Por outro lado, como wn < π paraqualquer n, temos que π e um majorante de w.

4. A sucessao u de termo geral un = (−1)n × n e uma sucessao cujos primeiros termos sao−1, 2,−3, 4,−5, 6,−7, . . .. Esta sucessao nao e majorada nem minorada. De facto, os ter-mos pares da sucessao u atingem valores maiores que qualquer numero real, donde u naopode ter majorantes; e os seus termos ımpares atingem valores negativos arbitrariamentegrandes, pelo que a sucessao tambem nao pode ter minorantes.

5. A sucessao u de que falamos atras, definida por un = 10n −(1110

)n, e uma sucessao que

e majorada mas nao minorada. De facto, vimos que u e crescente ate ao termo u49,sendo decrescente a partir daı; uma vez que u49 < 384, esse valor e um majorante dasucessao. Para valores maiores de n, o termo un vai diminuindo de valor cada vez maisrapidamente, pelo que a sucessao nao tem minorantes.

Existem algumas relacoes entre monotonia e majoracao ou minoracao. Se uma sucessaofor monotona crescente, por exemplo, significa que os seus termos estao ordenados por ordemcrescente, pelo que o primeiro e o menor de todos. Entao essa sucessao e minorada (pelo seuprimeiro termo). Um raciocınio analogo para o caso em que a sucessao e decrescente permiteestabelecer o seguinte resultado.

Proposicao. Seja u uma sucessao.

- Se u e monotona crescente, entao u e minorada.

- Se u e monotona decrescente, entao u e majorada.

Note-se contudo que estas condicoes sao em geral demasiado fortes. A ultima sucessaoconsiderada no exemplo anterior mostra isto: tratava-se duma sucessao que era decrescentea partir do 49o termo, mas nao deixava por isso de ser majorada. Assim, podemos reforcaraquele resultado.


- Se existe um valor N tal que un+1 > un para n > N , entao u e minorada.

- Se existe um valor N tal que un+1 < un para n > N , entao u e majorada.


1.1. SUCESSOES 7

1.1.2 Progressoes aritmeticas

Ha dois tipos de sucessoes que sao particularmente recorrentes em problemas praticos: asprogressoes aritmeticas e as progressoes geometricas. Uma vez que esta apresentacao temcaracter introdutorio, nao pretendendo ser de forma alguma um estudo exaustivo de sucessoes,vamos aproveitar estas duas famılias de sucessoes para ilustrar os conceitos que ja desen-volvemos acima. Cada um destes tipos de sucessao vai ser definido com base num problemacaracterıstico que ilustra o tipo de situacoes em que estas sucessoes surgem na pratica.

Problema. Uma fabrica produz por dia duzentas unidades de um dado produto, que sao postasa venda com uma margem de lucro (para a fabrica) de e10 por unidade. Se o investimentoinicial na maquinaria necessaria para o fabrico desse produto tiver sido de e400.000, ao fimde quanto tempo e que a fabrica comeca a dar lucro?

Resolucao. Tal como esta formulado, este problema pode ser resolvido directamente. Porem,modela-lo recorrendo a sucessoes permite desenvolver um formalismo que tornara possıvelresponder facilmente a muitas outras questoes no mesmo contexto.

Comecemos por definir a sucessao u do numero total de unidades produzidas pela fabrica.Ao fim de n dias de producao, este valor e de un = 200n.

Podemos tambem considerar a sucessao r do lucro obtido com a venda das unidades pro-duzidas, excluindo o investimento inicial. Uma vez que cada unidade contribui com um lucrode e10, temos que rn = 10un = 2000n.

Finalmente, o lucro total l corresponde ao lucro das vendas descontando o investimentoinicial; ou seja, ln = rn − 400000 = 2000n− 400000.

A fabrica comeca a dar lucro quando ln > 0, o que corresponde a

2000n− 400000 > 0⇐⇒ 2000n > 400000⇐⇒ n > 200 ,

ou seja, ao fim de 200 dias.

As sucessoes u, r e l deste problema sao exemplos de progressoes aritmeticas.

Definicao. Uma progressao aritmetica e uma sucessao u tal que un+1 − un e constante.

E facil ver que o termo geral duma progressao aritmetica u e sempre da forma u0 + kn,onde k e a diferenca (constante) entre um termo e o seguinte. De facto, para obter un a partirde u1 temos de somar (n−1) vezes o valor de k; se escrevermos u1 = u0 +k, obtemos a formulaapresentada atras.

Ha outras formas de apresentar uma progressao aritmetica, nomeadamente recorrendo adiferenca entre termos consecutivos. A formula acima apresentada e especialmente util paraobter o termo geral. Por exemplo, se u for uma progressao aritmetica com termo u1 = 2 ediferenca un+1−un = 3, entao sabemos que u1 = u0 +3, donde u0 = −1, e o termo geral de u eun = 3n−1. Muitas vezes, a diferenca e apresentada sob a forma de recorrencia: un+1 = un+3,neste caso.

Exercıcio 7. Determine o termo geral de cada uma das seguintes progressoes aritmeticas.

(a)

{u1 = 2

un+1 = un − 2(b)

{v2 = 1

vn+1 = vn + 5(c)

{w0 = 1

wn+1 = wn − 1(d)

{y1 = 5

yn+1 − yn = 7



Todas as progressoes aritmeticas sao monotonas, sendo crescentes se k > 0 e decrescentesse k < 0. Consoante a sua monotonia, sao minoradas e nao majoradas se k > 0, e majoradasmas nao minoradas se k < 0.

Uma das caracterısticas particulares das progressoes aritmeticas e o facto de ser extrema-mente simples de somar termos consecutivos. Consideremos ainda o exemplo da sucessaoun = 3n − 1 e suponhamos que querıamos calcular u3 + u4 + u5 + · · · + u18. Observe-se oseguinte diagrama.

u3

(3×3−1)+(3×18−1)=3×21−2

u4

(3×4−1)+(3×17−1)=3×21−2

u5

(3×5−1)+(3×16−1)=3×21−2

u6

(3×6−1)+(3×15−1)=3×21−2

· · · u15 u16 u17 u18

Temos 8 somas, todas elas com o mesmo valor. O valor 8 corresponde a metade do numero determos a somar (18−3+1

2). Entao,

u3 + u4 + u5 + · · ·+ u18 =18− 3 + 1

2(u3 + u18) .

Os ındices 3 e 18 nao desempenham aqui qualquer papel especial: sao o primeiro e ultimotermos a somar. Assim, se pretendermos somar todos os termos de u de ordens entre a e b,podemos faze-lo aplicando a formula

ua + ua+1 + ua+2 + · · ·+ ub =b∑i=a

ui =b− a+ 1

2(ua + ub) .

O sımbolo∑b

i=a ui, lido somatorio de ui com i desde a ate b, e uma abreviatura para asoma a esquerda: representa a soma de todos os termos da forma ui, com i substituıdo portodos os valores entre a e b. A notacao de somatorio e uma abreviatura conveniente que ede todo o interesse conhecer e saber utilizar; a variavel usada como ındice dos somatorios etipicamente i, j ou k, mas e possıvel usar qualquer outra letra.

Exercıcio 8. Calcule o valor das seguintes somas.

(a)10∑i=1

ui com un = n (b)11∑i=5

vi com vn = 3− 2n (c)32∑k=8

wk com wn = 7n− 5

(d)100∑i=9

i (e)5∑i=2

5 + 2i (f)15∑j=7

2 + 5j (g)57∑k=3

3− 2k (h)25∑i=4

−k − 3


1.1. SUCESSOES 9

Exercıcio 9. Um clube foi fundado com 25 socios, tendo-se juntado posteriormente dez novossocios a cada ano. Sendo a quotizacao anual de e5 por socio, qual e o valor total da receitade quotas do clube ao fim de 15 anos?

1.1.3 Progressoes geometricas

Outro tipo de sucessao que surge com extrema frequencia e a progressao geometrica. Vejamosum exemplo.

Problema. Um deposito a prazo rende uma taxa de juro lıquida de 3% ao ano. Para umdeposito inicial de e1000, qual o valor disponıvel ao fim de cinco anos?

Resolucao. Se a taxa de juro lıquida e de 3% ao ano, entao o valor vn do deposito no final doano n e obtido a partir do valor vn−1 no final do ano (n− 1) somando-lhe 3% do seu valor; ouseja,

vn = vn−1 +3

100vn−1 =

(1 +

3

100

)vn−1 .

O deposito inicial corresponde a um valor que podemos chamar v0. Temos entao que

v1 =

(1 +

3

100

)v0

v2 =

(1 +

3

100

)v1 =

(1 +

3

100

)2

v0

v3 =

(1 +

3

100

)v2 =

(1 +

3

100

)3

v0

v4 =

(1 +

3

100

)v3 =

(1 +

3

100

)4

v0

...

vn =

(1 +

3

100

)nv0

e, em particular, v5 =(1 + 3

100

)5 × 1000 = e1.159,27.

Este tipo de sucessao, em que cada termo e obtido do anterior multiplicando por umaconstante, diz-se uma progressao geometrica. As progressoes geometricas tem muita aplicacaona area financeira, uma vez que surgem naturalmente em problemas envolvendo calculo de juroscompostos, como o exemplo acima, na area da Biologia, devido a sua ligacao com modelos decrescimento de populacoes, e em algoritmia.

Definicao. Uma progressao geometrica e uma sucessao u tal que a razao un+1

une constante.

E facil ver que o termo geral duma progressao geometrica u e sempre da forma u0rn, onde r

e a razao (constante) entre cada termo e o anterior. Trata-se do raciocınio seguido no exemploacima: para obter un a partir de u0 temos de multiplicar n vezes por r.



A outra forma comum de apresentar uma progressao geometrica, que e muitas vezes a formanatural de modelar problemas, e outra vez por recorrencia: dando o valor de u0 e a relacaoun+1 = run.

Exercıcio 10. Determine o termo geral de cada uma das seguintes progressoes geometricas.

(a)

{u1 = 2

un+1 = 2un(b)

{v2 = 1

vn+1 = vn5

(c)

{w0 = 1

wn+1 = −wn(d)

{y1 = 5yn+1

yn= −1

7

O comportamento das progressoes geometricas e bastante mais variado do que o dasprogressoes aritmeticas, conforme os exemplos acima ilustram, e dependem do sinal e valorabsoluto da razao r e do sinal do valor inicial u0.

Para perceber os diferentes comportamentos possıveis, e mais facil comecar por considerarapenas o caso de progressoes geometricas com todos os termos positivos, ou seja, u0 > 0e r > 0. Neste caso, e simples perceber o que se passa: se r > 1, entao cada termo e maior queo anterior e a sucessao e monotona crescente, minorada por u0 mas nao majorada; se r < 1,a sucessao e monotona decrescente, majorada por u0 e minorada por 0 (uma vez que todos osseus termos sao positivos). Ou seja, se r < 1, a sucessao e limitada.

Se u0 < 0 e r > 0, todos os termos da sucessao sao negativos e os seus comportamentospossıveis sao simetricos dos anteriores: para r > 1 a sucessao e majorada (por u0) mas naominorada; para r < 1 a sucessao e minorada por u0 e majorada por 0, uma vez que agora todosos seus termos sao negativos.

Quando a razao toma valores negativos, os termos da sucessao u vao alternando de sinal,independentemente do sinal de u0. Se −1 < r < 0, os valores vao-se aproximando de 0, peloque a sucessao e limitada (u0 e u1 sao um majorante e um minorante dos termos da sucessao,de acordo com os seus sinais). Se r < −1, a sucessao toma valores cada vez maiores de sinalalternado, pelo que nao e majorada nem minorada.

Excluımos da analise acima tres casos. Se r = 1, a sucessao e constante. Se r = −1, asucessao alterna entre os valores u0 e u1 = −u0. Finalmente, se r = 0 a sucessao tem todosos termos iguais a zero excluindo eventualmente o primeiro. Em todos os casos trata-se dumasucessao limitada.

A Tabela 1.1 resume estes comportamentos.

r < −1 −1 < r < 0 0 < r < 1 r > 1

u0 > 0nao monotonanao limitada

nao monotonalimitada

decrescentelimitada

crescenteminorada

u0 < 0nao monotonanao limitada

nao monotonalimitada

crescentelimitada

decrescentemajorada

Tabela 1.1: Possıveis comportamentos duma progressao geometrica, excluindo os casos limite(r = −1, 0, 1).

Exercıcio 11. Verifique que o comportamento das sucessoes do exercıcio anterior esta deacordo com a Tabela 1.1.


1.1. SUCESSOES 11

Tal como sucedia com as progressoes aritmeticas, podemos determinar uma formula parasomar termos consecutivos duma progressao geometrica. Aqui o raciocınio e um pouco dife-rente; suponhamos que queremos somar os termos da progressao geometrica u, de razao r,entre ua e ub. Temos que

b∑i=a

ui = ua + ua+1 + ua+2 + ua+3 + · · ·+ ub

= u0ra + u0r

a+1 + ua+2r + u0r

a+3 + · · ·+ u0rb

= u0ra(1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rb−a

)donde so temos que determinar o valor da soma entre parentesis na ultima expressao. Observe--se contudo que multiplicando esse valor por (1− r) obtemos

(1− r)(1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rb−a

)=(

1 + �r +@@r2 +��@@r

3 + · · ·+��rb−a)−(�r +@@r

2 +��@@r3 + · · ·+��rb−a + rb−a+1

)= 1− rb−a+1

donde (1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rb−a

)=

1− rb−a+1

1− r.

Entao a formula de calculo para a soma de termos consecutivos uma progressao geometrica e

b∑i=a

ui = ua + ua+1 + ua+2 + ua+3 + · · ·+ ub = u0ra1− rb−a+1

1− r.

Note-se que u0ra = ua e o primeiro termo a somar e (b− a+ 1) e o numero de termos a somar;

assim, esta formula surge muitas vezes como

ua1− rn

1− r

onde n e o numero de termos (consecutivos) a somar.

Exercıcio 12. Calcule cada uma das seguintes somas directamente e recorrendo a formulaacima apresentada. Verifique os resultados.

(a)8∑i=5

2i (b)4∑i=1

3×(

1

2

)i(c)

3∑k=1

3k

5(d)

7∑i=3

−1

3× (−2)i

Exercıcio 13. Conta-se que o inventor do xadrez pediu como recompensa ao seu soberanouma quantidade de trigo calculada da seguinte forma: um grao pela primeira casa, dois graospela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, sendo o numerode graos por cada casa o dobro do anterior.

(a) Escreva o termo geral da sucessao gn que indica o numero de graos a pagar pela casa n dotabuleiro.



(b) Escreva o termo geral da sucessao sn que indica o numero de graos toal a pagar pelasprimeiras n casas do tabuleiro.

(c) Sabendo que 210 ≈ 1000, qual a ordem de grandeza da recompensa pedida pelo inventordo xadrez? Recorde que um tabuleiro de xadrez tem 64 casas.

Para terminar esta seccao, vamos ver um exemplo da vida real que aplica estes conceitosduma forma que demonstra claramente a utilidade de trabalhar com progressoes geometricas.

Problema. Um casal pretende contrair um emprestimo de e150.000 a 30 anos para compraruma casa. Sendo a taxa de juro anual oferecida pelo banco de 1.8%, qual o valor da prestacaomensal a pagar?

Resolucao. Vamos comecar por fixar alguma notacao. Designaremos por P o valor (desco-nhecido) da prestacao mensal a pagar ao banco, por Jn o valor do juro a pagar no mes n epor Dn a dıvida restante no final do mes n.

Os dados do problema podem ser expressos em termos destas variaveis da seguinte forma.

- A dıvida inicial, que sabemos ser de e150.000, corresponde ao valor de D0. EntaoD0 = 150.000.

- O emprestimo estara pago ao fim de 30 anos, ou seja, 360 meses. Entao D360 = 0.

- O juro a pagar ao final de cada mes e calculado dividindo a taxa de juro anual por 12(obtendo-se uma taxa de juro mensal) e multiplicando pela dıvida no final do mes anterior.Entao Jn+1 = t

12Dn, sendo t = 0.018 a taxa de juro anual.

- A dıvida no final do mes n + 1 obtem-se a partir da dıvida no final do mes anteriorsomando o juro e subtraindo a prestacao; ou seja, Dn+1 = Dn + Jn+1 − P .

Podemos simplificar um pouco a expressao de Dn+1.

Dn+1 = Dn + Jn+1 − P = Dn +t

12Dn − P =

12 + t

12Dn − P .

A definicao de Dn tal como se apresenta nao corresponde a nenhum tipo de sucessao con-hecido. Porem, vamos usar esta informacao para raciocinar em sentido inverso. Reescrevendoa ultima equacao, obtemos

Dn+1 =12 + t

12Dn − P ⇐⇒ Dn =

12

12 + t(Dn+1 + P ) .

Uma vez que D360 = 0, podemos usar esta relacao para calcular os valores anteriores de D.Para simplificar, usaremos T = 12

12+t.

D360 = 0

D359 = T (D360 + P ) = T (0 + P ) = TP

D358 = T (D359 + P ) = T (TP + P ) = T 2P + TP

D357 = T (D358 + P ) = T(T 2P + TP + P

)= T 3P + T 2P + TP

D356 = T (D357 + P ) = T(T 3P + T 2P + TP + P

)= T 4P + T 3P + T 2P + TP

...

D360−n = T nP + T n−1P + · · ·+ T 2P + TP


1.1. SUCESSOES 13

Entao podemos escrever D360−n como a soma de n termos duma progressao geometrica derazao T , a partir do termo inicial TP .

D360−n = TP1− T n

1− T

Uma vez que D0 = 150.000, podemos obter daqui o valor de P .

150.000 = D0 = D360−360 = TP1− T 360

1− T⇐⇒ P =

150.000

T

1− T1− T 360

Sabendo T = 1212+t≈ 0.998, obtemos P = e539.82.

A prestacao mensal a pagar sera portanto e539.82.

1.1.4 Operacoes aritmeticas

As operacoes aritmeticas sobre numeros reais podem ser transferidas para operacoes sobresucessoes, definindo-as ponto a ponto. Por exemplo: dadas duas sucessoes u e v, podemossoma-las, obtendo uma nova sucessao u+ v tal que (u+ v)n = un + vn.

Podemos proceder de forma semelhante para as restantes operacoes aritmeticas, tendoapenas de ter algum cuidado com os quocientes e potencias.

- Soma de sucessoes: (u+ v)n = un + vn

- Diferenca de sucessoes: (u− v)n = un − vn

- Produto de sucessoes: (uv)n = unvn

- Quociente de sucessoes: (u/v)n = unvn

se vn 6= 0 para todo o n.

- Exponenciacao de sucessoes: (uv)n = (un)vn se un > 0 para todo o n.

Para muitos dos resultados que vamos ver nas seccoes seguintes, e util identificar estasoperacoes. Por exemplo: a sucessao un = 3n + 2n pode ser vista como a soma da progressaoaritmetica vn = 3n com a progressao geometrica wn = 2n. Mais adiante a utilidade deste tipode raciocınio tornar-se-a clara.

Exercıcio 14. Sejam un = 3n+ 2, vn = 2n e wn = 5n2. Indique o termo geral das seguintessucessoes.

(a) u+ v

(b) u− w

(c) uv

(d) uw

(e) uv − w

(f) u+ 2w

(g) u/w

(h) v/2u

(i) 3u+ v/w

(j) uw − uv

(k) uvw

(l) uw/v

Exercıcio 15. Escreva cada uma das seguintes sucessoes a custa de operacoes aritmeticas apartir de sucessoes mais simples.

(a) 2n2 + n− 1 (b) 5n(2n− 3) (c) n+2n2+2n

(d) (3n+ 1)2n−2



1.2 Limites de sucessoes

1.2.1 Infinitamente grandes e infinitesimos

Em muitas situacoes, o objectivo de trabalhar com sucessoes nao passa tanto por calcularos seus valores, mas sim em estudar o seu comportamento a medida que o argumento n au-menta — aquilo a que normalmente se chama o seu comportamento assimptotico. Exemplosde propriedades que caem nesta categoria sao, por exemplo, a existencia de minorantes oumajorantes: uma sucessao ser minorada e uma propriedade global, de todos os seus termos,e que nao depende dos valores iniciais da sucessao (vimos que se ela for crescente a partir dealguma ordem entao e minorada, por exemplo, independentemente dos valores que tomar ateessa ordem).

Nesta seccao vamos discutir alguns tipos particulares de sucessoes que serao uteis para oestudo mais geral que vamos fazer a seguir: os infinitamente grandes e os infinitesimos.

Definicao. Uma sucessao u diz-se um infinitamente grande positivo se para cada natural Nexiste uma ordem a partir da qual un > N .

Uma sucessao u diz-se um infinitamente grande negativo se para cada natural N existe umaordem a partir da qual un < −N .

Uma sucessao u diz-se um infinitamente grande em modulo se para cada natural N existeuma ordem a partir da qual |un| > N .

Por outras palavras, um infinitamente grande positivo e uma sucessao que cresce ilimitada-mente e um infinitamente grande negativo e uma sucessao que decresce ilimitadamente. Uminfinitamente grande em modulo e uma sucessao que, esquecendo o sinal dos seus termos, eum infinitamente grande positivo.

Exemplo.

1. A sucessao un = n e um infinitamente grande positivo, ja que se tem un > N sempre quen > N .

2. A sucessao vn = n − 2 tambem e um infinitamente grande positivo: para que vn > Ntem de se ter n− 2 > N , ou seja, n > N + 2.

3. A sucessao wn = n2 + 2n e outro infinitamente grande positivo. Uma vez que n2 > n,temos que para n > N se tem wn = n2 + 2n > n+ 2n > n > N .

4. A sucessao un = −3n e um infinitamente grande negativo. Uma vez que 3n > n, temosque, tomando n > N , se tem un = −3n < −n < −N .

5. A sucessao vn = −n2

+ 3 e outro infinitamente grande negativo: para ter vn < −N , bastaescolher n tal que −n

2+ 3 < −N , o que equivale a −n

2< −N − 3 ou n > 2N + 6.

6. A sucessao wn = −2n e ainda um infinitamente grande negativo, ja que 2n > n paran > 2; tem-se portanto wn = −2n < −n < −N sempre que n > N .

7. A sucessao un = (−2)n e um infinitamente grande em modulo, ja que |un| = 2n e uminfinitamente grande.

E costume — e sera esta a notacao que usaremos sempre a partir da proxima seccao —usar as seguintes notacoes para infinitamente grandes.


1.2. LIMITES DE SUCESSOES 15

- Se u e um infinitamente grande positivo, escrevemos limu = +∞.

- Se u e um infinitamente grande negativo, escrevemos limu = −∞.

Ha varias formas de definir o sımbolo lim (“limite”). No contexto das sucessoes, e particular-mente simples ver o limite como uma abreviatura para os conceitos de infinitamente grande einfinitesimo (que discutiremos abaixo), com a vantagem de ser um conceito muito mais concretoque outras definicoes mais gerais. Observe-se que esta notacao nao se aplica a infinitamentegrandes em modulo.

E simples ver que as seguintes relacoes se verificam sempre.


- Se u e um infinitamente grande positivo, entao −u e um infinitamente grande negativo.

- Se u e um infinitamente grande negativo, entao −u e um infinitamente grande positivo.

- Se u e um infinitamente grande em modulo, entao |u| e um infinitamente grande positivo.

- Se u e um infinitamente grande positivo ou negativo, entao u e um infinitamente grandeem modulo.

Recorrendo a notacao de limite, a primeira relacao afirma que se limu = +∞, entaolim(−u) = −∞; podemos escrever isto de forma simbolica como lim(−u) = − limu se definir-mos −(+∞) = −∞. A segunda regra gera uma regra semelhante, mas assumindo agora que−(−∞) = +∞.

E importante perceber que estas regras operatorias sao convencoes, uteis porque simplificamgrandemente o trabalho com limites; porem, e preciso ter sempre presente que os sımbolos +∞e −∞ nao denotam numeros reais.

E facil ver que as progressoes aritmeticas sao sempre infinitamente grandes, sendo positivosse a diferenca k for positiva e negativos caso contrario. Ja no caso das progressoes geometricastemos tres possibilidades: se r > 1 e u0 > 0, entao a sucessao u e um infinitamente grandepositivo; se r > 1 e u0 < 0, entao u e um infinitamente grande negativo; e se r < −1 entao ue um infinitamente grande em modulo.

Quando |r| < 1, a sucessao u nao e um infinitamente grande — antes pelo contrario, osseus termos aproximam-se cada vez mais de 0. Estas sucessoes dizem-se infinitesimos.

Definicao. Uma sucessao u diz-se um infinitesimo positivo se para cada natural N existe umaordem a partir da qual 0 < un <

1N

.Uma sucessao u diz-se um infinitesimo negativo se para cada natural N existe uma ordem

a partir da qual − 1N< un < 0.

Uma sucessao u diz-se um infinitesimo se para cada natural N existe uma ordem a partirda qual |un| < 1

N.

Para denotar que uma sucessao u e um infinitesimo, escreve-se limu = 0. Em contextos emque e importante distinguir infinitesimos positivos e negativos, usamos as notacoes limu = 0+

e limu = 0−, respectivamente. E importante observar que a primeira notacao e de naturezadiferente das duas ultimas, ja que 0+ e 0− nao denotam numeros reais. A notacao limu = 0tem um significado mais preciso que discutiremos adiante.

Tal como atras, estes conceitos relacionam-se entre si.




- Se u e um infinitesimo positivo, entao −u e um infinitesimo negativo.

- Se u e um infinitesimo negativo, entao −u e um infinitesimo positivo.

- Se u e um infinitesimo, entao |u| e um infinitesimo positivo.

- Se u e um infinitesimo positivo ou negativo, entao u e um infinitesimo.

Em termos de limites, temos novamente a relacao lim(−u) = − limu, se definirmos asregras operatorias −0+ = 0− e −0− = 0+.

Tambem podemos estabelecer relacoes directas entre infinitesimos e infinitamente grandes.

Proposicao. Seja u uma sucessao tal que un 6= 0 para todos os valores de n.

- Se u e um infinitamente grande positivo, entao 1u

e um infinitesimo positivo.

- Se u e um infinitamente grande negativo, entao 1u

e um infinitesimo negativo.

- Se u e um infinitamente grande em modulo, entao 1u

e um infinitesimo.

- Se u e um infinitesimo positivo, entao 1u

e um infinitamente grande positivo.

- Se u e um infinitesimo negativo, entao 1u

e um infinitamente grande negativo.

- Se u e um infinitesimo, entao 1u

e um infinitamente grande em modulo.

Todas estas proposicoes devem ser vistas simplesmente como um resumo de propriedadescuja validade deve ser clara. Perante uma sucessao concreta, deve-se analisar a mesma paradeterminar se se trata dum infinitesimo ou dum infinitamente grande e nao procurar encontrarum resultado que se aplique. A notacao com limites e neste caso sugestiva: lim

(1u

)= 1

limu,

desde que aceitemos as relacoes seguintes.

1

0+= +∞ 1

0−= −∞ 1

+∞= 0+ 1

−∞= 0−

Mais interessante — e uma ferramenta mais poderosa — e a relacao dos infinitamentegrandes e infinitesimos com as operacoes aritmeticas.

Comecemos pela soma. Se as sucessoes u e v forem ambas infinitamente grandes positivos,entao a sua soma (a partir de certa ordem) sera maior que qualquer delas, donde u + v eum infinitamente grande positivo. De forma semelhante, se u e v forem infinitamente grandesnegativos, entao a sua soma tambem o e. Se u e v forem infinitesimos positivos, a sua somatambem e um infinitesimo positivo, enquanto se forem ambos infinitesimos negativos a suasoma tambem o sera. Se u for um infinitamente grande (positivo ou negativo) e v for uminfinitesimo, a sua soma e ainda um infinitamente grande do mesmo tipo que u.

Exemplo.

1. A sucessao un = n2 + n e um infinitamente grande positivo, pois e a soma de doisinfinitamente grandes positivos.

2. Ja a sucessao vn = −n2 − n e um infinitamente grande negativo, pois e a soma de doisinfinitamente grandes negativos.



3. A sucessao wn = −3n + 1n

e um infinitamente grande negativo, ja que 3n e um infinita-mente grande negativo e a soma com 1

nnao altera este facto.

4. A sucessao yn = 1n

+ 1n2 e uma soma de infinitesimos positivos, logo tambem e um

infinitesimo positivo.

Quando u e v sao infinitesimos de sinais contrarios, a sua soma ainda e um infinitesimo,mas nao podemos afirmar nada sobre o seu sinal a nao ser analisando-a directamente.

Exemplo.

1. A sucessao un = 1n− 1

n2 e a soma do infinitesimo positivo 1n

com o infinitesimo negativo− 1n2 ; uma vez que 1

n> 1

n2 para qualquer n, temos que un > 0 e portanto u e uminfinitesimo positivo.

2. A sucessao vn = 1n2 − 1

ntambem e a soma do infinitesimo positivo 1

n2 com o infinitesimonegativo − 1

n; uma vez que vn = −un, conclui-se que v e um infinitesimo negativo.

3. Sejam w e y as sucessoes definidas da seguinte forma.

wn =

{1n

n par1n2 n ımpar

yn =

{− 1n

n ımpar

− 1n2 n par

Entao w e um infinitesimo positivo, y e um infinitesimo negativo, e w+y e uma sucessaocujos termos pares sao positivos e cujos termos ımpares sao negativos, logo e um in-finitesimo que nao e positivo nem negativo.

Exercıcio 16. Classifique cada uma das seguintes sucessoes relativamente ao seu comporta-mento assimptotico.

(a) un = n2 + 3n+ 1 (b) vn = 6n2 − 2n3 (c) wn = 2

n− 3

n3 (d) zn = −5n3 + 23

O primeiro caso que nao se pode resolver de forma sistematica surge quando u e v saoinfinitamente grandes de sinais contrarios. Nesta situacao, designada por indeterminacao detipo ∞−∞, e necessario analisar a sucessao em causa e determinar directamente de que tipode sucessao se trata. Temos todas as possibilidades. Para simplificar, vamos trabalhar comdiferencas de infinitamente grandes (que e equivalente, ja que u− v = u+ (−v)).

Exemplo.

1. Tome-se a sucessao un = n. Uma vez que un−un e a sucessao constante de valor 0 (que etrivialmente um infinitesimo), temos um exemplo de dois infinitamente grandes positivoscuja diferenca e um infinitesimo.

2. Para as sucessoes un = n e vn = 2n, temos que vn−un e um infinitamente grande positivo(o seu termo geral e n) e un − vn e um infinitamente grande negativo (o seu termo gerale −n).

3. Tomando un = n e vn = n+ 2, a diferenca vn− un e a sucessao constante de valor 2, quenao e um infinitesimo nem um infinitamente grande.



Estes casos sao simples; contudo, em geral, o levantamento de indeterminacoes do tipo∞−∞ pode requerer alguma criatividade. Tambem e util ter a nocao das diferentes ordensde grandeza de infinitamente grandes.

O produto (e quociente) trazem problemas semelhantes. Se u e v sao infinitamente grandes,entao o seu produto uv e um infinitamente grande que e positivo se u e v forem do mesmo sinale negativo se u e v forem de sinais contrarios; de forma semelhante, se u e v forem infinitesimos,entao uv e um infinitesimo com o sinal determinado de forma analoga pelos sinais de u e v.

Este resultado e util para levantar algumas das indeterminacoes de tipo ∞ − ∞. Porexemplo, reescrevendo n2 − n como n(n − 1), temos que o termo geral desta sucessao e umproduto de dois infinitamente grandes positivos, pelo que a sucessao e um infinitamente grandepositivo.

Exercıcio 17. Para cada par de sucessoes u e v, classifique a sua soma u+v e a sua diferencau− v quanto ao seu comportamento assimptotico.

(a) un = 2nvn = 3n

(b) un = n2

vn = 2n(c) un = −3n

vn = −4n(d) un = n3

vn = 2n2

(e) un = 2nvn = 2n

O problema surge quando multiplicamos um infinitamente grande por um infinitesimo ou,equivalentemente, quando tomamos o quociente de dois infinitamente grandes ou de dois in-finitesimos: a sucessao resultante pode novamente ter qualquer comportamento. Esta indeter-minacao e designada por indeterminacao de tipo 0 ×∞, 0

0ou ∞

∞ , consoante a expressao quelhe da origem; vamos considerar apenas o terceiro caso, ja que e o unico que encontraremosneste capıtulo.

Exemplo.

1. Seja un = 3n+13n−2 . A sucessao u e o quociente de dois infinitamente grandes positivos,

constituindo portanto uma indeterminacao de tipo ∞∞ . Para levantar esta indeterminacao,vamos reescrever o seu termo geral:

un =3n+ 1

3n− 2=

3n− 2 + 3

3n− 2= 1 +

3

3n− 2

e a soma da sucessao constante de termo geral 1 com o infinitesimo 33n−2 .

2. Seja un = n2+13n−4 . Temos novamente uma indeterminacao de tipo ∞

∞ . A forma geralde levantar estas indeterminacoes, para quocientes de polinomios, e reduzir a fraccaodividindo o numerador e denominador pela potencia de maior expoente.

un =n2 + 1

3n− 4=

n2

3n− 4+

1

3n− 4=

13n− 4

n2

+1

3n− 4

A primeira fraccao e o inverso dum infinitesimo positivo, logo trata-se dum infinitamentegrande positivo; a segunda e um infinitesimo. A sua soma e novamente um infinitamentegrande positivo, logo

limu = +∞ .



Na proxima seccao veremos como podemos fazer estes calculos de forma sistematica e maisexpedita.

Exercıcio 18. Para cada par de sucessoes u e v, classifique o seu quociente u/v quanto aoseu comportamento assimptotico.

(a) un = 2nvn = 3n

(b) un = 2n+ 1vn = n2

(c) un = −3n+1vn = −4n

(d) un = n3 − 1vn = 2n2

(e) un = 2nvn = 2n+ 1

1.2.2 Limites e convergencia

Nos exemplos da seccao anterior, encontramos sucessoes que nao eram infinitesimos, mas po-diam ser escritas como a soma duma constante com um infinitesimo. Para caracterizar estassucessoes, vamos introduzir um conceito fundamental: o conceito de limite.

Definicao. Seja u uma sucessao. Diz-se que u tende para a, denotado un → a, ou que o limitede u e a, denotado limu = a ou limnun = a, se a sucessao u− a for um infinitesimo.

Se existir um numero real a tal que limu = a, a sucessao u diz-se convergente.

A nocao de limite foi uma invencao do seculo XIX que revolucionou completamente aMatematica. Em particular, foi este conceito que permitiu o desenvolvimento da AnaliseMatematica como uma disciplina formal e que fez avancar substancialmente o Calculo Dife-rencial, o Calculo Integral e todas as areas dependentes destas. E por isso essencial — e e oprincipal objectivo de todo este capıtulo — ganhar intuicao sobre limites e como se calculam.

Comecemos por observar que esta notacao e coerente com a notacao que atras usamos paradenotar que uma sucessao era um infinitesimo. De facto, se u e um infinitesimo, entao u − 0tambem o e, donde un → 0. Reciprocamente, se un → 0, entao u− 0 e um infinitesimo, dondeu tambem o sera. Assim, ao escrevermos limu = 0, nao e importante distinguir se estamosa referir-nos ao limite de u segundo esta definicao ou a propriedade de u ser um infinitesimo,conforme definido atras.

As notacoes limu = ±∞ e limu = 0±, contudo, sao de natureza diferente: o limite dumasucessao e, por definicao, um numero real, enquanto os sımbolos±∞ e 0± nao denotam numerosreais. E importante manter esta distincao presente, ja que tem algumas consequencias praticasque veremos adiante.

Exemplo. Consideremos a sucessao un = 5 + 2n. Uma vez que un − 5 = 2

ne um infinitesimo,

a sucessao u tem limite 5. Podemos entao escrever lim 5 + 2n

= 5.

Antes de apresentar mais exemplos, vamos ver um conjunto de propriedades que simplificam(em muito) o calculo de limites.

Em primeiro lugar, observemos que se limu = a e limu = b, entao as sucessoes u−a e u−bsao ambas infinitesimos; sabemos daqui que a sua diferenca tambem e entao um infinitesimo.Mas (u− a)− (u− b) = b− a e uma sucessao constante; ora a unica sucessao constante que eum infinitesimo e a sucessao de termo geral 0, logo a = b. Obtemos assim o seguinte resultado.

Proposicao. Se un e uma sucessao convergente, entao o seu limite e unico.



Podemos generalizar este resultado observando que um infinitamente grande nunca e umasucessao convergente: se u e um infinitamente grande, entao u−a tambem e um infinitamentegrande para qualquer valor de a, logo limu 6= a. Assim, podemos usar o resultado acimatambem quando limu = ±∞.

Tambem deve ser claro que se retirarmos termos a uma sucessao o seu limite nao se altera.

Proposicao. Se lim(u) = a e v e uma subsucessao de u, entao lim(v) = a.

A relacao entre os limites e as operacoes algebricas e muito simples.

Proposicao. Sejam u e v sucessoes convergentes com limu = a e lim v = b. Tem-se asseguintes relacoes.

- limu± v = a± b

- limuv = ab

- lim uv

= ab

- limuv = ab, desde que a > 0.

- Se un ≤ vn para todo n, entao a ≤ b.

- lim |u| = |a|

Conforme vimos anteriormente, estes resultados generalizam-se ainda aos casos em quelimu = ±∞ excepto quando a expressao resultante designa uma indeterminacao. E por issohabitual manipular algebricamente os valores +∞ e−∞ como se de numeros reais se tratassem,sujeitos as seguintes regras operatorias, onde a designa um real arbitrario.

(+∞) + a = a+ (+∞) = +∞ (+∞)× a =+∞a

= +∞ (a > 0)

(−∞) + a = a+ (−∞) = −∞ (+∞)× a =+∞a

= −∞ (a < 0)

(+∞)− a = a− (−∞) = +∞ (−∞)× a =−∞a

= −∞ (a > 0)

(−∞)− a = a− (+∞) = −∞ (−∞)× a =−∞a

= +∞ (a < 0)

Estes sımbolos relacionam-se ainda com os sımbolos 0+ e 0− da seguinte forma.

a+ 0+ = 0+ + a = a a× 0+ = 0+ × a = 0+ (a > 0)

a+ 0− = 0− + a = a a× 0+ = 0+ × a = 0− (a < 0)

a− 0+ = a− 0− = a a× 0− = 0− × a = 0− (a > 0)

0+ − a = 0− − a = −a a× 0− = 0− × a = 0+ (a < 0)

Observe-se que excluımos os casos que geram indeterminacoes. Estas tem de ser levantadasda forma adequada.

Exemplo.

1. Seja un = 3 + 2n2 . Entao

limu = lim

(3 +

2

n2

)= lim 3 + lim

2

n2= 3 + 0+ = 3 .



2. Tome-se vn = 3n2+2n+6n2+2

.

lim v = lim3n2 + 2n+ 6

n2 + 2= lim

3 + 2n

+ 6n2

1 + 2n2

=lim 3 + 2

n+ 6

n2

lim 1 + 2n2

=3

1= 3

3. Para wn = 2n2 + 3n, temos que

limw = lim

(2n2 +

3

n

)= lim 2n2 + lim

3

n= +∞+ 0+ = +∞ .

Exercıcio 19. Calcule os seguintes limites.

(a) lim (3n2 − 3n+ 1)

(b) lim (2n+ 1)(1− 1

n2

)(c) lim

(√3n+ 2− 2

)(d) lim

(n− 3

√n2)

(e) lim(

3+ 2n

2+ 1n

)(f) lim

(2n+2n2+1

)(g) lim

(3n4−n2+7n−11−n−n2−n3−n4

)(h) lim

(√n+ 1−

√n)

(i) lim(

n√n2+1

)(j) lim

(2√

n−√n+1

)(k) lim

(3n+2n2+1

) (n2

n−√n

)(l) lim

(n2 − 2n2

3n+1

)

A potenciacao traz alguns problemas novos. Vimos ja que lim (uv) = limulim v quandoambos os limites sao finitos e limu > 0; quando permitimos que u seja um infinitesimo positivoou que u ou v sejam infinitamente grandes, temos ainda um conjunto de regras operatorias,mas temos tres novos sımbolos de indeterminacao: 00, ∞0 e 1∞.

(+∞)+∞ = +∞ (+∞)−∞ = 0+ (+∞)a = +∞ (a > 0)

a+∞ = +∞ (a > 1) a−∞ = 0+ (a > 1) (+∞)a = 0+ (a < 0)

a+∞ = 0+ (0 ≤ a < 1) a−∞ = +∞ (0 ≤ a < 1) (−∞)a = 0 (a < 0)

Observe-se que se tem (0+)+∞

= 0 e (0+)−∞

= 0, como consequencia das relacoes

(0+)+∞

=1

(+∞)+∞=

1

+∞= 0+

e (0+)−∞

=1

(+∞)−∞= (+∞)+∞ = +∞ .

Exemplo.

1. Para calcular lim(2n+13n+2

)n−1, aplicamos directamente as propriedades dos limites.

lim

(2n+ 1

3n+ 2

)n−1=

(lim

2n+ 1

3n+ 2

)limn−1

=

(2

3

)+∞

= 0



2. Analogamente, para lim(2 + 1

n

)2− 1n , podemos calcular

lim

(2 +

1

n

)2− 1n

=

(lim

(2 +

1

n

))lim(2− 1n)

= 22 = 4 .

3. Para a sucessao un =(

2n2−3n+5

) 3n2n−1

, temos que

lim

(2n2 − 3

n+ 5

) 3n2n−1

=

(lim

2n2 − 3

n+ 5

)lim 3n2n−1

= (+∞)32 = +∞ .

Exercıcio 20. Calcule os limites das seguintes sucessoes.

(a) un = 2n+1 (b) vn = n1−2n (c) wn = (2n+ 1)2n−1 (d) zn = 3n+5n2−1

3n2+2n−5

2n2−2n+1

Para percebermos a razao de ser dos tres sımbolos de indeterminacao 00, ∞0 e 1∞, temosde analisar as tendencias de crescimento simbolizadas por cada um deles.

Numa indeterminacao 00, temos um infinitesimo elevado a outro infinitesimo; ora, tendendoa base para 0, o valor da potencia tende para 0, mas tendendo o exponente para 0, o valor dapotencia deveria tender para 1. De facto, podemos encontrar facilmente exemplos de cada umdestes casos — e de outros.

Numa indeterminacao∞0, o problema e semelhante: sendo a base um infinitamente grandepositivo, a potencia deveria ser igualmente um infinitamente grande positivo; porem, umapotencia de expoente 0 deveria tender para 1. Temos novamente duas tendencias opostas, e efacil encontrar exemplos de sucessoes com todos os limites intermedios.

Finalmente, a indeterminacao 1∞ deve-se ao facto de uma potencia de base 1 ser sempreigual a 1, enquanto que uma potencia de base menor tende para 0 e uma de base maior tendepara +∞. Mais uma vez, uma indeterminacao deste tipo pode tender para qualquer limitepositivo.

A forma de levantar estas indeterminacoes e sempre a mesma e assenta em dois princıpios:a definicao do numero e como limite da sucessao en =

(1 + 1

n

)n, cuja convergencia nao vamos

demonstrar aqui; e a regra operatoria ab = eb log(a). Esta regra, bem como as propriedadesdos logaritmos, serao discutidas em detalhe na Seccao 2.5.3, em particular nas paginas 92 eseguintes. As indeterminacoes do tipo 1∞ conseguem reescrever-se muitas vezes a custa dasucessao base en =

(1 + 1

n

)nusando subsucessoes.

Esta transformacao gera normalmente indeterminacoes no expoente do tipo 0×∞, que seresolvem tendo em conta que o logaritmo cresce mais devagar do que qualquer polinomio; ouseja, a sucessao logn

ne um infinitesimo positivo.

Exemplo.

1. O calculo do limite da sucessao un = n√n gera uma indeterminacao de tipo ∞0, ja que

n√n = n

1n . Aplicando logaritmos, otemos

limn1n = lim e

lognn = elim

lognn = e0 = 1

tendo em conta que lim lognn

= 0.



2. Para calcular lim(1 + 2

n

)n, que e uma indeterminacao de tipo 1∞, vamos reescrever o

termo geral da sucessao da seguinte forma.

lim

(1 +

2

n

)n= lim

((1 +

2

n

)2n) 1

2

=

(lim

(1 +

2

n

)2n) 1

2

= e12 =√e

3. Ja o calculo de lim(1n

) 1n pode ser feito da seguinte forma.

lim

(1

n

) 1n

= lim e1nlog 1

n = lim e−lognn = elim(− logn

n ) = e0 = 1

Exercıcio 21. Calcule os limites das seguintes sucessoes.

(a) vn =(1 + 1

n2

)2n3

(b) wn = n

√n2+n−1n−3

(c) un = (n+1)n

nn+1

1.2.3 Teoremas de convergencia

Um dos grandes interesses do conceito de limite e permitir-nos calcular aproximacoes denumeros reais. Se soubermos, por exemplo, que uma determinada sucessao u tende paraum numero real a e quisermos determinar um valor aproximado de a, sabemos da definicaode limite que podemos obter uma aproximacao tao boa quanto queiramos: a diferenca un − aaproxima-se tanto de 0 quanto queiramos, pelo que basta escolher n suficientemente elevadopara un ser uma boa aproximacao de a. Esta ideia vai ser recorrente durante todos estesapontamentos, sendo posteriormente desenvolvida noutras disciplinas.

Por este motivo, outra questao que muitas vezes se coloca e a de determinar se uma sucessaoe convergente, independentemente de saber qual e o seu limite. Ha varias razoes para quererresponder a esta pergunta; a mais natural e querer usar a sucessao para calcular um valoraproximado de alguma constante. Muitas vezes e facil definir sucessoes que, se convergirem,tem um limite que satisfaz determinada propriedade. Mostrando a convergencia da sucessao,pode-se depois obter uma aproximacao tao boa quanto se queira do limite.

Os criterios de convergencia que vamos ver sao todos bastante simples. O primeiro econsequencia duma das propriedades que ja vimos atras.

Teorema (Teorema da sucessao encaixada). Sejam u, v e w sucessoes satisfazendo as relacoesun ≤ vn ≤ wn para todo o valor de n. Se limu = limw = a, entao v tambem e convergente elim v = a.

Demonstracao. Se limu = a e limw = a, entao as sucessoes u − a e w − a sao ambasinfinitesimos.

Fixando um valor de N , existe uma ordem a partir da qual |un − a| < 1N

e |wn − a| <1N

; uma vez que un ≤ vn ≤ wn, a partir dessa ordem tambem se tera necessariamente adesigualdade |vn − a| < 1

N. �



Exercıcio 22. Utilizando este teorema, calcule o limite das seguintes sucessoes.

(a) un = 3+sin(n)2n

(b) wn =(n−202n+1

)n(c) xn = 1

n√n+2

Outro resultado importante relaciona a monotonia com convergencia.

Teorema. Toda a sucessao monotona e limitada e convergente.

Demonstracao. Suponhamos que u e uma sucessao monotona crescente e seja M o menordos majorantes do conjunto dos seus termos. Entao para qualquer valor de N existe um termode u tal que un > M − 1

N— caso contrario M − 1

nseria um majorante dos termos de u, o

que e absurdo. Uma vez que u e crescente, todos os termos a partir dessa ordem satisfazemun > M − 1

N, que equivale a |un −M | < 1

n. Entao limu = M , donde em particular u e

convergente.

Se u for monotona decrescente, o raciocınio e semelhante usando o maior dos minorantesdo conjunto dos seus termos. �

Claramente o recıproco nao e valido: ha sucessoes convergentes que nao sao monotonas,como por exemplo a sucessao un = (−1)n

n. Porem, e facil ver que toda a sucessao convergente

e limitada.

Um resultado que por vezes e util e que deixaremos sem demonstracao e o seguinte.

Teorema (Bolzano–Weierstrass). Toda a sucessao limitada tem subsucessoes convergentes.

Outra caracterizacao por vezes util e recorrendo a uma outra propriedade.

Definicao. Uma sucessao u diz-se uma sucessao de Cauchy se para todo o natural N existiruma ordem a partir da qual a distancia entre quaisquer dois termos de u e inferior a 1

N, ou

seja, |um − un| < 1N

.

Historicamente, esta definicao surgiu independentemente da definicao de convergencia; elae bastante importante quando se trabalha com sucessoes de outros objectos que nao numerosreais, onde a nocao de limite pode nao ser a adequada. No caso das sucessoes reais, contudo,tem-se o seguinte resultado.

Proposicao. As sucessoes convergentes sao precisamente as sucessoes de Cauchy.

Assim, o conceito de sucessao de Cauchy pode ser usado como criterio de convergenciaduma sucessao.

Nao vamos insistir nesta fase em provas de convergencia que nao sejam atraves do calculode limites; porem, nos capıtulos seguintes teremos oportunidade de aplicar estes resultadospara mostrar convergencia de sucessoes que serao importantes nesses contextos. Assim, eimportante conhecer e compreender estes criterios.


1.3. SERIES 25

1.3 Series

A proposito de progressoes aritmeticas e progressoes geometricas, falamos atras do problema dedeterminar a soma dum numero de termos consecutivos duma sucessao. Nesta seccao, vamosdiscutir um problema semelhante: como somar todos os termos duma sucessao. Embora possaparecer contra-intuitivo a princıpio, ha muitas situacoes em que faz sentido associar um valorfinito a soma dum numero infinito de parcelas; e as aplicacoes deste conceito sao inumeras,nao apenas em Analise Matematica, mas tambem noutras areas como a Fısica e a Economia.

1.3.1 Convergencia e soma

Definicao. Seja a uma sucessao. Chama-se sucessao das somas parciais de a a sucessao S(a)tal que

S(a)n = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an =n∑i=0

ai .

Chama-se serie a expressao formal que denota a soma de todos os termos de a,

∞∑n=0

an

e se limS(a)n existir e for finito, dizemos que a serie e somavel ou convergente e que o seuvalor e esse limite. Caso contrario, a serie diz-se divergente.

Tal como a definimos, o valor duma serie (tambem chamado a soma da serie) e simplesmenteum limite duma sucessao — a sucessao das somas parciais doutra sucessao. E precisamenteesta definicao que justifica a definicao intuitiva de serie como a soma de todos os termos dasucessao: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, entao fazsentido dizer que esse limite e a soma de todos esses valores. Mais uma vez, estamos a dizer quepodemos aproximar essa soma tanto quanto queiramos somando um numero suficientementegrande de termos.

Determinar o valor exacto da soma duma serie e em geral um problema complexo. Ao longodeste texto teremos oportunidade de ver varios metodos para o fazer; como consequencia, en-contraremos formas extremamente eficientes de determinar valores aproximados de constantescomo π, e ou

√2 com uma precisao muito maior do que a fornecida por uma maquina de

calcular. Neste capıtulo, focar-nos-emos nalguns tipos particulares de series cujas somas secalculam com bastante simplicidade.

Uma vez que uma serie e definida como a soma de todos os termos duma sucessao a,e habitual chamar ao valor de an o termo geral da serie, por analogia com as sucessoes. Epreciso algum cuidado para garantir que e claro se se esta a falar da sucessao an ou da serie an,ja que sao conceitos bastante diferentes; mas em geral o contexto torna claro qual destes e ocaso.

Exercıcio 23. Para cada uma das seguintes sucessoes, escreva a expressao da serie que lhecorresponde.

(a) 5n− n2 (b)√n

2n−1 (c) 1n

(d)(1 + 1

n

)n(e) 0



Exercıcio 24. Para cada uma das seguintes series, escreva o termo geral da sucessao que lheesta subjacente.

(a)∞∑n=0

1

n2(b)

∞∑n=0

log

(1 +

1

n

)(c)

∞∑n=0

2

3n+ 2(d)

∞∑n=0

n3

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.

1. Consideremos a serie de termo geral 0. Uma vez que a sucessao das suas somas parciaise constante, ja que 0 + 0 + 0 + · · ·+ 0 = 0, temos que

∞∑n=0

0 = lim 0 = 0 ,

donde a serie e convergente e a sua soma e 0.

2. Tomemos agora uma serie de termo geral constante, com valor k 6= 0. A sucesao das suassomas parciais e agora

Sn = k + k + k + · · ·+ k︸︷︷︸n+1

= (n+ 1)k

e, uma vez que k 6= 0, temos que

∞∑n=0

0 = limn

(n+ 1)k = +∞ ,

donde esta serie e divergente.

3. Se escolhermos a progressao geometrica de termo inicial a0 = 1 e razao 12, a sua serie vale

∞∑n=0

(1

2

)n= lim

n∑i=0

(1

2

)i= lim

1−(12

)n1− 1

2

= 2 .

Uma serie cujo termo geral e uma progressao aritmetica diz-se uma serie aritmetica. Estasseries sao muito pouco interessantes, ja que sao sempre divergentes; de facto, se a for umaprogressao aritmetica de razao k, temos que

|S(a)n| = |a0 + (a0 + k) + (a0 + 2k) + (a0 + 3k) + . . .+ (a0 + nk)| > (n+ 1) |a0 + k|

e portanto |S(a)n| → +∞, donde a serie correspondente e um infinitamente grande. O unicocaso de convergencia e o caso extremamente desinteressante em que a0 = k = 0; nesse caso, otermo geral vale 0 e a soma da serie tambem.

Ja as series cujo termo geral e uma progressao geometrica sao de grande importancia, querteorica, quer pratica. Estas series, ditas series geometricas, tem uma soma muito facil decalcular: se a for uma progressao geometrica de razao r, temos que

∞∑n=0

an =∞∑n=0

a0rn = lim

n∑i=0

a0ri = lim a0

1− rn

1− r.


1.3. SERIES 27

Se |r| < 1, o termo rn e um infinitesimo, pelo que aquele limite e finito de valor a01−r ; se |r| > 1,

entao rn e um infinitamente grande, pelo que a serie e divergente. No caso em que r = 1, aserie e constante e portanto diverge desde que a0 6= 0; no caso em que r = −1, o termo geralda serie alterna entre a0 e −a0, pelo que a sucessao das somas parciais e a sucessao

a0, 0, a0, 0, a0, 0, a0, 0, . . .

que e divergente desde que a0 6= 0.Resumindo, uma serie geometrica e convergente apenas quando |r| < 1.

Exercıcio 25. Indique quais destas series sao convergentes, calculando a sua soma.

(a)∞∑n=0

2n (b)∞∑n=0

3

2n(c)

∞∑n=0

n

1000(d)

∞∑n=0

1000

(10

11

)n

Uma das aplicacoes das series geometricas e a transformacao de numeros racionais emfraccoes. Todos os numeros que podem ser escritos sob a forma de uma dızima infinita periodica(os algarismos a seguir a vırgula repetem-se) podem ser escritos na forma p

q, onde p e q sao

dois numeros inteiros.Pensemos por exemplo no numero 0.33333 . . ., em que o algarismo 3 se repete infinitas

vezes. Podemos escrever este numero como

0.33333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + · · ·= 3× 10−1 + 3× 10−2 + 3× 10−3 + 3× 10−4 + 3× 10−5 + · · ·

=∞∑n=1

3× 10−n =∞∑n=1

3×(

1

10

)n=

3

10

1

1− 110

=30

90=

1

3.

Se se repetir mais do que um algarismo, o processo e semelhante. Tomemos por exemplo onumero 0.024242424 . . .; temos que

0.024242424 . . . = 0.024 + 0.00024 + 0.0000024 + 0.000000024 + · · ·= 24× 10−3 + 24× 10−5 + 24× 10−7 + 24× 10−9 + · · ·= 2.4× 10−2 + 2.4× 10−4 + 2.4× 10−6 + 2.4× 10−8 + · · ·

=∞∑n=1

2.4× 10−2n =∞∑n=1

2.4×(

1

10

)2n

=24

1000

1

1− 1100

=2400

99000=

8

330.

Exercıcio 26. Escreva os seguintes numeros sob a forma de fraccao.

(a) 0.55555 . . . (b) 1.234234234234 . . . (c) −0.0025025025025 . . .



Se uma serie e convergente, entao a medida que somamos mais parcelas aproximamo-nostanto quanto desejarmos da sua soma. Isto significa que as quantidades que vamos somandose vao tornando cada vez mais pequenas em valor absoluto, ou seja, que o termo geral da seriee necessariamente um infinitesimo.

Outra forma de ver isto e observar que o termo geral da serie e a diferenca entre Sn e Sn−1,donde se limS for finito se tem lim (Sn − Sn−1) = limSn − limSn−1 = 0. Obtemos assim umresultado extremamente util para determinar divergencia de series.

Proposicao. Se∑∞

n=0 an e uma serie convergente, entao a e um infinitesimo.

Vejamos como aplicar este criterio para mostrar que uma serie e divergente.

Exemplo.

1. O termo geral da serie∑∞

n=0

(1 + 1

n

)ne a sucessao en =

(1 + 1

n

)n, cujo limite e e 6= 0;

entao esta serie e divergente.


n=0(−1)n e a sucessao alternada de termos

1,−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . .

que nao tem limite; logo esta serie e divergente.


n=02n+14n−5 e uma sucessao convergente com limite 1

2; entao esta

serie e divergente.

Exercıcio 27. Recorrendo a este criterio, mostre que as seguintes series sao divergentes.

(a)∞∑n=0

n− 1

n+ 1(b)

∞∑n=0

(2 +

2

n2

)(c)

∞∑n=0

n

log n(d)

∞∑n=0

n3

E importante salientar desde ja que o recıproco desta proposicao nao e valido: se o termogeral da serie tender para 0, a serie pode ser divergente. Um caso extremamente importante eo da serie

∞∑n=1

1

n,

dita serie harmonica.

A primeira vista, esta serie parece ter potencial para convergir. Os seus primeiros termossao

1, 1.5, 1.8333, 2.0833, 2.2833, 2.45, 2.593, 2.718, 2.829, 2.929, . . .

e esta sucessao cresce cada vez mais lentamente. Porem, na realidade esta serie nao converge.Para ver isto, vamos agrupar os seus termos da seguinte forma.

1 +1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)+

(1

9+

1

10+

1

11+

1

12+

1

13+

1

14+

1

15+

1

16

)+ · · ·


1.3. SERIES 29

Esquecendo a primeira parcela, temos uma parcela com valor 12; duas parcelas, cada uma

superior a 14; quatro parcelas, cada uma superior a 1

8; oito parcelas, cada uma superior a 1

16; e

assim sucessivamente. Somando estes blocos, concluımos que

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+ · · ·+ 1

8

)+

(1

9+ · · ·+ 1

16

)+

(1

17+ · · ·+ 1

32

)+ · · ·

≥ 1 +1

2+

(1

4+

1

4

)︸︷︷︸

2× 14

+

(1

8+ · · ·+ 1

8

)︸︷︷︸

4× 18

+

(1

16+ · · ·+ 1

16

)︸︷︷︸

8× 116

+

(1

32+ · · ·+ 1

32

)︸︷︷︸

16× 132

+ · · ·

= 1 +1

2+

1

2+

1

2+

1

2+

1

2+ · · ·

que e uma serie divergente.A serie harmonica e um caso particular duma serie de Dirichlet.

Definicao. A serie∞∑n=1

1

nα, em que α e um real fixo, diz-se a serie de Dirichelet de parametro α.

Vimos que a serie harmonica e divergente. Se α ≤ 0, o termo geral da sucessao a somar naoe um infinitesimo, pelo que a serie diverge. Se 0 < α < 1, entao cada termo da serie e maiordo que o termo correspondente da serie harmonica, pelo que a sucessao das somas parciaiscorrespondente e minorada por um infinitamente grande positivo e e portanto tambem uminfinitamente grande positivo.

Se α > 1, em contrapartida, pode-se mostrar que a serie de Dirichlet correspondente esempre convergente. Esta prova pode ser feita directamente; contudo, na Seccao 5.6.3 veremosum criterio extremamente simples que nos permitira demonstrar isto sem dificuldade.

Proposicao. A serie de Dirichelet de parametro α converge se α > 1 e diverge se α ≤ 1.

Exercıcio 28. Indique quais das seguintes series sao convergentes.

(a)∞∑n=1

1

n2(b)

∞∑n=1

1√n

(c)∞∑n=1

3

(2n)3(d)

∞∑n=1

1

n−π(e)

∞∑n=1

(1

n+ 2

)

Outro exemplo de series cuja soma e simples de calcular (ou cuja divergencia e simples demostrar) sao as chamadas series de Mengoli. Estas series tem um termo geral que pode serescrito como uma diferenca de termos doutra sucessao; ao calcularmos somas parciais, estasdiferencas cancelam-se e a determinacao da soma da serie reduz-se ao calculo dum limite.

Um exemplo simples e a serie∞∑n=1

1

n(n+ 1).

O seu termo geral pode ser escrito como

1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1,



que e a diferenca de termos consecutivos da sucessao un = 1n. Se calcularmos as somas parciais

desta serie, obtemos

S1 = 1− 1

2

S2 =

(1−

��1

2

)+

(��1

2− 1

3

)= 1− 1

3

S2 =

(1−

��1

2

)+

(��1

2− CCC

1

3

)+

(CCC

1

3− 1

4

)= 1− 1

4

Sn =

(1−

��1

2

)+

(��1

2− CCC

1

3

)+

(CCC

1

3−��CCC

1

4

)+ · · ·+

(��1

n− 1

n+ 1

)= 1− 1

n+ 1

donde limSn = lim(1− 1

n+1

)= 1.

Em geral, uma serie de Mengoli tem um termo geral que e da forma an = un − un+k.Efectuando calculos semelhantes aos anteriores, e simples verificar que esta serie e convergenteprecisamente quando u e convergente e que, nesse caso, a sua soma vale

∞∑n=1

an = u1 + u2 + · · ·+ uk − k limu .

Exemplo.

1. Tomando∑∞

n=1

(1n2 − 1

n2+2n+1

), temos que o termo geral desta serie pode ser escrito como

1

n2− 1

n2 + 2n+ 1=

1

n2− 1

(n+ 1)2= un − un+1

com un = 1n2 . Entao

S1 = 1− 1

4

S2 =

(1

1−��1

4

)−(��1

4− 1

9

)= 1− 1

9

S3 =

(1

1−��1

4

)−(��1

4− CCC

1

9

)−(CCC

1

9− 1

16

)=

1

1− 1

16

Sn = 1− 1

(n+ 1)2

cujo limite e 1. Logo a serie e convergente e a sua soma e 1.

2. Consideremos a serie∑∞

n=11√

n+√n+1

. Multiplicando o numerador e o denominador da

fraccao no termo geral da serie por√n−√n+ 1, obtemos

an =1

√n+√n+ 1

=

√n−√n+ 1

n− (n+ 1)= −√n−

(−√n+ 1

)= un − un+1

com un = −√n. Uma vez que u e um infinitamente grande negativo, concluımos que a

serie e divergente.


1.3. SERIES 31

Se calcularmos explicitamente a sucessao das suas somas parciais, obtemos

S1 =√

2−√

1

S2 =(��√

2−√

1)

+(√

3−��√

2)

=√

3−√

1

S2 =(��√

2−√

1)

+(ZZ√

3−��√

2)

+(√

4−ZZ√

3)

=√

4−√

1

Sn =√n+ 1− 1

e o limite desta sucessao e de facto +∞.

3. A serie∑∞

n=0 log n+1n+3

e um exemplo em que an = un − un+2. De facto, temos que

logn+ 1

n+ 3= log(n+ 1)− log(n+ 3) = un − un+2

com un = log(n+ 1). Entao esta serie e divergente, pois u→ +∞. Poderıamos verificareste facto directamente, calculando as suas somas parciais.

S1 = log 1− log 3

S2 = (log 1− log 3) + (log 2− log 4)

= (log 1 + log 2)− (log 3 + log 4)

S3 = (log 1−��log 3) + (log 2− log 4) + (��log 3− log 5)

= (log 1 + log 2)− (log 4 + log 5)

S4 = (log 1−��log 3) + (HHHlog 2− log 4) + (��log 3− log 5) + (HHHlog 4− log 6)

= (log 1 + log 2)− (log 5 + log 6)

Sn = (log 1 + log 2)− (log(n+ 1) + log(n+ 2))

e limSn = −∞.

Exercıcio 29. Indique quais das seguintes series sao convergentes, calculando nesse caso asua soma.

(a)∞∑n=1

(1

n!− 1

(n− 1)!

)(b)

∞∑n=2

log2n+ 3

2n− 1(c)

∞∑n=1

(3√n+ 2− 3

√n)

1.3.2 Criterios de convergencia

Tal como sucedia com as sucessoes, em muitos casos interessa decidir se uma serie convergeou nao independentemente de conseguirmos calcular exactamente a sua soma. Novamente,a razao mais comum para este problema ser interessante e querermos determinar um valoraproximado da soma — uma operacao que so faz sentido se a serie for convergente.

Vimos ja um resultado que permite responder a esta questao duma forma negativa.

Proposicao. Se a sucessao a nao for um infinitesimo, entao∑∞

n=0 an diverge.

Os dois primeiros resultados sao muito simples.



Proposicao.

1. Sejam a e b duas sucessoes tais que an = bn excepto para um numero finito de termos.Entao as series

∑∞n=1 an e

∑∞n=1 bn sao da mesma natureza.

2. Se k 6= 0, entao as series∑∞

n=1 an e∑∞

n=1 kan sao da mesma natureza.

A justificacao destas propriedades e muito simples. Se an = bn a partir de certa ordem,entao a partir dessa ordem as sucessoes das somas parciais S(a) e S(b) diferem por umaconstante k, donde limS(a) = limS(b) + k e se um destes limites existir e for finito, o outrotambem o sera.

Por outro lado, temos que S(ka) = kS(a) atendendo a propriedade distributiva da multi-plicacao sobre a soma, pelo que limS(ka) = k limS(a) e novamente se um dos limites limS(a)e limS(ka) existir e for finito, o outro tambem o sera.

Exemplo. Da convergencia de∞∑n=1

1

2n, podemos concluir que as series seguintes sao todas

convergentes.∞∑n=0

1

2n

∞∑n=3

1

2n+2

∞∑n=1

3

2n

∞∑n=1

−4

2n

Da mesma forma, da divergencia da serie harmonica podemos concluir que as seguintesseries sao divergentes.

∞∑n=1

1

n+ 3

∞∑n=100

1

n

∞∑n=1

2

n

∞∑n=1

−1

n

Quando o termo geral da sucessao e uma soma, os criterios seguintes sao uteis.

Proposicao. Sejam a e b duas sucessoes.

3. Se as series∑∞

n=1 an e∑∞

n=1 bn sao ambas convergentes com soma A e B, respectivamente,entao a serie

∑∞n=1 (an + bn) tambem e convergente com soma A+B.

4. Se∑∞

n=1 an converge e∑∞

n=1 bn diverge, entao∑∞

n=1 (an + bn) diverge.

Mais uma vez, estes resultados podem ser facilmente verificados recorrendo as somas par-ciais S(a) e S(b) e as propriedades dos limites. No caso em que as series

∑∞n=1 an e

∑∞n=1 bn

divergem ambas, nao podemos concluir nada sobre a sua soma: basta observar que

∞∑n=1

(1

n+

1

n

)e uma serie divergente e

∞∑n=1

(1

n− 1

n

)e convergente, e em ambas o termo geral e a soma do termo geral de duas series divergentes.


1.3. SERIES 33

Exemplo. Consideremos as series

∞∑n=1

1

n(n+ 1)

∞∑n=1

1

2n

∞∑n=1

1

n

∞∑n=1

(1 +

1

n

)Vimos ja que a primeira destas series e uma serie de Mengoli convergente com soma 1; asegunda e uma serie geometrica convergente com soma 2; a terceira e a serie harmonica, que edivergente; e o termo geral da ultima tende para 1, logo esta e divergente. Entao, a proposicaoanterior permite concluir que

-∞∑n=1

(1

n(n+ 1)+

1

2n

)e convergente com soma 3;

-∞∑n=1

(1

n(n+ 1)+

1

n

)e divergente;

-∞∑n=1

(1

2n+

1

n

)e divergente;

-∞∑n=1

(1

n(n+ 1)+ 1 +

1

n

)e divergente.

enquanto que a natureza da serie∑∞

n=1

(1n

+ 1 + 1n

)teria de ser determinada doutra forma

(neste caso, podemos concluir que e divergente porque o termo geral tende mais uma vezpara 1).

Exercıcio 30. Indique quais das seguintes series sao convergentes, calculando nesse caso asua soma.

(a)∞∑n=1

(√n+

2n

3n

)(b)

∞∑n=1

(1

3n+2− log

1 + 1n

1 + 1n+1

)(c)

∞∑n=1

(1

n−(

1

2

)n)

1.3.3 Series de termos nao negativos

As series de termos nao negativos tem uma importancia especial, ja que ha um conjunto decriterios que permitem demonstrar a sua convergencia ou divergencia. Muitas vezes, a formamais simples de mostrar que uma serie (qualquer) converge e precisamente relaciona-la comuma serie de termos nao negativos e aplicar um destes criterios.

A primeira observacao e bastante simples: a sucessao das somas parciais duma serie determos nao negativos e crescente, logo converge se e so se for uma sucessao majorada.

Proposicao. Uma serie converge se e so se a sucessao das suas somas parciais e majorada.

A ideia por detras de todos os criterios de comparacao e usar esta proposicao e encontrarcondicoes que garantam que a sucessao das somas parciais duma serie e majorada.



Proposicao (Criterio geral de comparacao). Sejam a e b duas sucessoes tais que 0 < an ≤ bnpara todo o n. Entao:

- se∑∞

n=1 bn converge, entao∑∞

n=1 an converge;

- se∑∞

n=1 an diverge, entao∑∞

n=1 bn diverge.

A validade desta proposicao e bastante simples de entender: se 0 < an ≤ bn, entao asucessao das somas parciais de a esta enquadrada entre 0 e a sucessao das somas parciais de b.Se a serie

∑∞n=1 bn converge, a sucessao das somas parciais de a e majorada (pela soma dessa

serie) e portanto∑∞

n=1 an converge; se a serie∑∞

n=1 an diverge, entao a sucessao das somasparciais de b e minorada por um infinitamente grande positivo, sendo portanto tambem ela uminfinitamente grande positivo.

Uma consequencia imediata deste criterio e a seguinte.

Proposicao. Se a e b forem sucessoes tais que an, bn ≥ 0 e lim anbn

existe e nao e 0, entao asseries

∑∞n=1 an e

∑∞n=1 bn tem a mesma natureza.

Demonstracao. Sendo L = lim anbn

, temos que a partir de certa ordem se verifica a relacao

0 < L2bn < an < 2Lbn; uma vez que as series

∞∑n=1

bn ,∞∑n=1

L

2bn e

∞∑n=1

2Lbn

tem todas a mesma natureza, o criterio anterior permite concluir que a serie∑∞

n=1 an tambeme da mesma natureza daquelas. �

Observe-se que estes criterios nao nos dizem nada sobre o valor da soma das series envolvi-das. Em geral, conforme ja referimos, o interesse de os aplicar e precisamente saber que fazsentido usar metodos numericos para obter valores aproximados das suas somas.

Regra geral, a convergencia ou divergencia de qualquer serie cujo termo geral e uma fraccaopode ser decidida pelo criterio geral de comparacao.

Exemplo.

1. A serie∑∞

n=11

n2+1e convergente, ja que 0 < 1

n2+1< 1

n2 e a serie de Dirichlet de parame-tro 2 e convergente.

2. Para estudar a serie∑∞

n=11

n2− 32

temos de usar o corolario do criterio de comparacao, ja

que o termo geral da serie e maior que 1n2 . Note-se que a primeira parcela desta serie

e negativa, mas como sabemos que a convergencia nao depende do valor nos primeirostermos podemos ignorar este facto.

Comparando com a serie de Dirichlet de parametro 2, obtemos

lim

1n2− 3

2

1n2

= limn2

n2 − 32

= 1 ,

donde estas series tem a mesma natureza. Logo∑∞

n=11

n2− 32

e uma serie convergente.


1.3. SERIES 35

3. Ja com a serie∑∞

n=02n+33n−2 nao temos hipotese senao usar o corolario, observando que o

seu termo geral e semelhante ao duma progressao geometrica de razao 23. De facto, temos

que

lim2n+33n−2(23

)n = lim2n × 3n + 3× 3n

3n × 2n − 2× 2n= lim

1 + 32n

1− 13n

= 1

e portanto ambas as series sao convergentes.

4. A serie∑∞

n=1n+1n2+2

e uma serie divergente, ja que

limn+1n2+21n

= limn2 + n

n2 + 2= 1

e a serie harmonica e divergente.

Exercıcio 31. Determine a convergencia ou divergencia das seguintes series, atraves dacomparacao com a serie adequada.

(a)∞∑n=1

2

4n2 + 7(b)

∞∑n=1

2n+ 3

5n2 − 3(c)

∞∑n=1

2n2 + 1

2n − 1(d)

∞∑n=1

3n2 − 3n+ 5√n+ 3n

√n

A comparacao com as series geometricas gera outra classe de criterios de convergencia. Aideia (que pode ser desenvolvida formalmente) e a seguinte: numa progressao geometrica u derazao r, temos que

limun+1

un= lim r = r e lim n

√un = lim n

√u0rn = r ;

entao, uma sucessao que exiba um daqueles dois comportamentos comporta-se de forma se-melhante a uma serie geometrica de progressao r. Este raciocınio so nao funciona no casor = 1: estas series estao na fronteira entre convergencia e divergencia, tendo de ser analisadasdirectamente.

Proposicao (Criterio de D’Alembert ou da razao). Seja a uma sucessao de termos positivostal que lim an+1

an= r. Entao a serie

∑∞n=1 an e convergente se r < 1 e divergente se r > 1.

Proposicao (Criterio de Cauchy ou da raiz). Seja a uma sucessao de termos nao negativostal que lim n

√an = r. Entao a serie

∑∞n=1 an e convergente se r < 1 e divergente se r > 1.

Estes criterios sao mais complexos de usar do que os anteriores, pelo que convem saberreconhecer as situacoes em que de facto sao uteis. O criterio da razao usa-se tipicamentequando o termo geral da serie e uma potencia cujo expoente e um multiplo de n, ou quando eum produto, ou quando e um factorial; o criterio da raiz usa-se quando o termo geral da seriee uma potencia cujo expoente depende de n.

Exemplo.

1. Consideremos a serie∑∞

n=11n!

. Aplicando o criterio da razao, concluımos que

lim

1(n+1)!

1n!

= limn!

(n+ 1)!= lim

1

n+ 1= 0

donde esta serie e convergente.




n=1

(1n

)n, podemos aplicar o criterio da razao ou o criterio da raiz.

No primeiro caso, obtemos

lim

(1

n+1

)n+1(1n

)n = limnn+1

n(n+ 1)n+1= lim

1

n

(1− 1

n+ 1

)n+1

= 0× 1

e= 0

e portanto a serie e convergente. Ja o criterio da raiz conduz a

lim n

√(1

n

)n= lim

1

n= 0

donde tambem se conclui a convergencia da serie.

3. Se estudarmos a serie∑∞

n=1

(n2+33n2+1

)2n+3

aplicando o criterio da raiz, obtemos

limn

√(n2 + 3

3n2 + 1

)2n+3

= lim

(n2 + 3

3n2 + 1

) 2n+3n

= lim

(n2 + 3

3n2 + 1

)2+ 3n

=

(lim

n2 + 3

3n2 + 1

)2(lim

n2 + 3

3n2 + 1

)lim 3n

=

(1

3

)2(1

3

)0

=1

9

e portanto esta serie e convergente.

Exercıcio 32. Recorra aos criterios de comparacao para series de termos nao negativos paradeterminar se as seguintes series sao convergentes.

(a)∞∑n=1

2n + 3n

2n+1 + 3n+1

(b)∞∑n=1

√n

2n+ 1

(c)∞∑n=1

n!

nn

(d)∞∑n=0

5√n(n+ 10)

(e)∞∑n=4

3n

n

(f)∞∑n=1

(n!)2

(2n)!

Finalmente, observe-se que estes criterios podem ser aplicados facilmente para determinara convergencia ou divergencia de series de termos negativos: basta estudar para a serie dossimetricos, que e uma serie de termos nao negativos.

1.3.4 Series de sinal variavel

Quando o termo geral duma serie nao tem sempre o mesmo sinal, o problema de determinar asua convergencia e bastante mais complexo. Ha um caso particular — e bastante frequente napratica — para o qual ha um criterio muito simples; mas em geral a unica forma de procedere transformar a serie numa serie de termos positivos.

Definicao. Seja a uma sucessao de termos nao negativos. A serie∑∞

n=1(−1)nan diz-se umaserie alternada.


1.3. SERIES 37

Proposicao (Criterio de Leibnitz). Seja a uma sucessao decrescente de termos nao negativos.Entao a serie alternada

∑∞n=1(−1)nan converge se e so se a for um infinitesimo.

Este resultado e simples de perceber: se a e uma sucessao decrescente, entao a sucessao dassomas parciais de (−1)nan vai tomando valores cada vez mais proximos, alternadamente acimae abaixo dum valor medio. Se a for um infinitesimo, a diferenca entre termos consecutivosdesta sucessao tende para 0, donde ela e convergente.

Um exemplo de serie alternada e a serie∑∞

n=1(−1)nn

, dita serie harmonica alternada. Estaserie e convergente; veremos na Seccao 3.3 que a sua soma e precisamente log 2.

Exercıcio 33. Aplique o criterio de Leibnitz para mostrar que as seguintes series convergem.

(a)∞∑n=1

(−1)nn+ 1

n2 + 1(b)

∞∑n=1

(−1)ne−n (c)∞∑n=1

(−1)n log

(1 +

1

n

)

Para todos os outros casos, existe o seguinte criterio.

Proposicao. Se∑∞

n=1 |an| converge, entao∑∞

n=1 an converge.

Em geral, contudo, este criterio e demasiado fraco: ha muitas series que convergem sem quea sua serie dos modulos convirja, conforme sucede com a serie harmonica alternada. As seriesque convergem em modulo dizem-se series absolutamente convergentes ; aquelas que convergemmas nao em modulo dizem-se simplesmente convergentes. Assim, a serie harmonica alternadae simplesmente convergente, enquanto que a serie

∑n=0

(−1)nn2 e absolutamente convergente.

Exercıcio 34. Diga se as seguintes series sao divergentes, simplesmente convergentes ouabsolutamente convergentes.

(a)∞∑n=1

(−1)n2n+ 1

3n− 2(b)

∞∑n=1

(−1)nn

n3 + 1(c)

∞∑n=1

sin(n)

n3

A convergencia absoluta tem consequencias importantes que nao exploraremos aqui. Umexemplo e a possibilidade de reorganizar os termos da serie sem alterar a sua soma. Nocaso duma serie simplesmente convergente, ha um teorema de Riemann que mostra que paraqualquer real A os seus termos podem ser somados por uma ordem tal que a soma da seriee A.

1.3.5 Series de potencias

Para terminar este capıtulo, vamos discutir um tipo de series que e especialmente usado naAnalise Matematica: as series de potencias. Estas series tem este nome porque o seu termogeral e uma potencia de expoente n cuja base depende dum parametro x.

Definicao. Seja a uma sucessao. A serie∞∑n=0

an (x− x0)n diz-se uma serie de potencias cen-

trada em x0.



Por exemplo, as seguintes series sao series de potencias.

∞∑n=0

xn an = 1 x0 = 0

∞∑n=0

(−1)n(x+ 1)n an = (−1)n x0 = −1

∞∑n=0

(3n− 2)(x− 5)n an = 3n− 2 x0 = 5

∞∑n=0

(x− 2)n

n!an =

1

n!x0 = 2

∞∑n=0

xn

1 + 2nan =

1

1 + 2nx0 = 0

O criterio natural para estudar a convergencia destas series e o criterio da raiz. Porem,uma vez que elas dependem do valor de x, estamos interessados em saber para que valores de xe que estas series sao (absolutamente) convergentes.

Uma vez que

lim n

√|an (x− x0)n| = lim n

√|an| |x− x0| ,

temos que uma serie de potencias converge absolutamente quando lim n√|an| |x− x0| < 1, ou

seja, quando

|x− x0| <1

n√|an|

,

e diverge quando |x− x0| e maior do que aquele valor.Ao valor de r = 1

n√|an|

chama-se raio de convergencia da serie de potencias de termo geral

an (x− x0)n. Esta serie e portanto absolutamente convergente se x0 − r < x < x0 + r edivergente se x < x0 − r ou x > x0 + r. Nos pontos x0 ± r a convergencia da serie tem de serestudada directamente.

Aplicando o criterio da razao em vez do criterio da raiz, encontramos outra expressao parao raio de convergencia da serie:

r = lim

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ .Consoante a expressao de an, pode ser mais vantajoso trabalhar com uma ou outra destasexpressoes.

O conjunto de valores de x para os quais uma serie de potencias converge diz-se o intervalode convergencia da serie. A notacao de intervalos sera introduzida formalmente na Seccao 2.3.1.

Exemplo.

1. Para a serie∑∞

n=0 xn, temos que

lim n√|an| = lim

n√

1 = 1

donde esta serie e absolutamente convergente para −1 < x < 1 — o que poderia ter sidoconcluıdo directamente, ja que se trata duma serie geometrica de razao x. Para x = 1 a


1.3. SERIES 39

serie e divergente, ja que se trata da serie harmonica; para x = −1 a serie e convergente,ja que se trata da serie harmonica alternada.

Assim, o intervalo de convergencia desta serie e o intervalo [−1, 1[.

2. Para a serie∑∞

n=0(−1)n(x+ 1)n, temos novamente

lim n√|an| = lim

n√

1 = 1

donde esta serie e absolutamente convergente para −2 < x < 0. Para x = −2, o termogeral da serie e (−1)n(−2 + 1)n = (−1)n(−1)n = 1, donde temos novamente a serieharmonica, que e divergente. Para x = 0, obtemos (−1)n(0 + 1)n = (−1)n, pelo queneste caso obtemos a serie harmonica alternada, que converge. Entao o intervalo deconvergencia desta serie e ]−2, 0].

3. Ja para a serie∑∞

n=0(3n − 2)(x − 5)n e mais simples usar a expressao para o raio deconvergencia derivada do criterio da razao. Temos que

lim

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ = lim3n− 2

3(n+ 1)− 2= 1

e a serie e absolutamente convergente para 4 < x < 6.

Se x = 4, o termo geral da serie e (−1)n(3n − 2), que nao e um infinitesimo; se x = 6,o termo geral e (3n − 2), que tambem nao e um infinitesimo. Entao esta serie convergeapenas no intervalo ]4, 6[.


n=0(x−2)nn!

vamos seguir a mesma estrategia. Calculando

lim

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ = lim1n!1

(n+1)!

= lim(n+ 1)!

n!= lim(n+ 1) = +∞

concluımos que esta serie de potencias e absolutamente convergente para todos os valoresde x.

5. Finalmente, tomando∑∞

n=0xn

1+2nconcluımos que

lim n√|an| = lim n

√1

1 + 2n=

1

lim n√

1 + 2n=

1

2,

pelo que esta serie e convergente se −2 < x < 2. Para x = 2, o termo geral da serie e2n

1+2n, que nao e um infinitesimo, pelo que a serie diverge; para x = −2, obtemos (−2)n

1+2n,

que novamente nao e um infinitesimo.

Entao o intervalo de convergencia desta serie e ]−2, 2[.

Exercıcio 35. Determine o intervalo de convergencia das seguintes series de potencias.

(a)∞∑n=2

log(n)

2n(x+ 2)n (b)

∞∑n=0

xn

(2n)!(c)

∞∑n=0

nn

n!xn (d)

∞∑n=0

(−1)n+12nxn

3nn



Exercıcio 36. Determine o intervalo de convergencia das seguintes series de potencias eestude-as nos extremos desse intervalo.

(a)∞∑n=1

xn

n(b)

∞∑n=0

(x− 1)n

n!(c)

∞∑n=0

(x+ 5)n (d)∞∑n=0

5n+1

n+ 1xn

1.4 Exercıcios

37. Escreva o termo geral das seguintes sucessoes.

(a) 2, 43, 65, 87, 10

9, . . . (b) 1

3, 29, 327, 481, 5243, . . . (c) 1

2, 310, 730, 15, 950, . . .

38. Estude a convergencia das seguintes sucessoes.

(a) an = (−1)n × 3 (b) bn = cos(nπ) (c) cn = 3n+ (−1)n × 3n

39. Estude as seguintes sucessoes quanto a monotonia.

(a) un = (−1)n

(b) vn = 3n

(c) zn = 3n− n2 + 25

(d) wn =

{1+n2n

n par3n+1n

n ımpar

(e) an = 1− n+12n

(f) bn = n+1n2+3

(g) cn = |n2 − 5|(h) dn = 3n−2

4n+5

40. Verifique se as seguintes sucessoes sao majoradas e/ou minoradas.

(a) un = 2 (1 + (−1)n)

(b) vn = 8n+1n

(c) zn = 3n− 2

(d) wn = n+1n+2− 3

(e) yn =

{2n− 1 n < 45n+7n+1

n ≥ 4

(f) xn = n√

5n

(g) an = 4n2+3nn2+n

(h) bn = (−1)n (n2 − 3)

41. Calcule, se existir, o limite das seguintes sucessoes.

(a) an = (−1)n

(b) bn =(

99203

)n(c) cn =

(212191

)n(d) un = |x− 5|

(e) vn = (−1)n 3nn+1

(f) bn = 1+n3

n2+2n−1

(g) xn = 2n3+3n−12+n−5n3

(h) un = 2n+(−1)n3n+5

(i) cn = 23n−132−2n

(j) bn = 3n+ 3n3−21−n2

(k) dn = (−1)nn2+1n3+2

(l) an =(3n+12n−1

)2−n

(m) bn = 3n

n2

(n) cn = log(n+1)log(n)

(o) un = n1

log(n+1)

(p) un = 22nn+2

n√

21−3n

(q) wn =

{2n+ 3 n ≤ 73n+1n

n > 7

(r) yn =√

2n2 + 3−√

2n2

(s) dn = (−1)n(3n+ 5)

(t) pn = log (en + 1)− n

(u) bn = (2n+1)(n+3)(5n+1)3

(3n+5)5


1.4. EXERCICIOS 41

42. Estude as seguintes sucessoes quanto a convergencia.

(a) un =(1− a

n2

)n2+1

(b) zn = n

√5n+1n

(c) wn =(1 + 2

en

)en+1

(d) xn = (2n + 3n + 5n + 7n)1n

(e) un =(1− vn

2

) 1vn

com vn = 1n!

43. Estude a natureza de cada uma das seguintes series e, em caso de convergencia, indiquea sua soma.

(a)∞∑n=1

3n

5n

(b)∞∑n=1

(1

3

)2n

(c)∞∑n=0

(−2)n

(d)∞∑n=0

2n+1

3n−1

(e)∞∑n=3

5

10n

(f)∞∑n=0

(−1)n5n

3n

(g)∞∑n=2

2−(3n+1)

(h)∞∑n=0

(−1)n

25n

(i)∞∑n=4

(1

3

)n(j)

∞∑n=0

xn

(k)∞∑n=1

n2

n2 + 3

(l)∞∑n=1

(5n+ 1

5n

)n(m)

∞∑n=1

(3

2n+

1

n

)

(n)∞∑n=1

n logn+ 1

n

(o)∞∑n=1

logn

n+ 1

(p)∞∑n=1

1

n2 + 4n+ 3

(q)∞∑n=1

(−1)n3n

2n+2

(r)∞∑n=0

(−3)

(2

3

)2n

(s)∞∑n=1

(1

n− 1

n+ 2

)

(t)∞∑n=1

(1− n2

n2 + 2

)

(u)∞∑n=1

(√n−√n+ 2

)(v)

∞∑n=0

(1

en+

(1

4

)n)(w)

∞∑n=1

(1

n!− 1

(n+ 1)!

)

(x)∞∑n=1

(1

n2 + 1− 1

n2 + 2x+ 2

)(y)

∞∑n=1

(1

(2n+ 1)(2n+ 5)+

1

3n− 1

n2 − 1

)44. Estude a natureza das seguintes series numericas, usando os criterios validos para series

de termos nao negativos.

(a)∞∑n=0

2 + (−1)n

2n

(b)∞∑n=2

1

log(n)

(c)∞∑n=0

1

3n+ 2

(d)∞∑n=1

n+ 1

2n

(e)∞∑n=0

√n

n2 + 1

(f)∞∑n=3

3n

(n+ 1)n

(g)∞∑n=2

(log(n))−n

(h)∞∑n=1

1

n+√n

(i)∞∑n=1

cos2(n)

n3

(j)∞∑n=1

2n

n2 + 5

(k)∞∑n=0

1√n3 + 1

(l)∞∑n=3

1 +√n

n2 − n

(m)∞∑n=1

(n

n+ 1

)2

(n)∞∑n=1

n2e−n2

(o)∞∑n=1

1 + sin(n)

n2

(p)∞∑n=0

1

(3 + (−1)n)n

(q)∞∑n=1

nn

(2n)!

(r)∞∑n=1

(n

n+ 1

)n2

(s)∞∑n=0

1

2 + 5n

(t)∞∑n=0

n!

2n



(u)∞∑n=1

(n

3n− 1

)2n

(v)∞∑n=1

1

1000n3 − 12(w)

∞∑n=1

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

n33n

45. Diga se as seguintes series sao divergentes, simplesmente convergentes ou absolutamenteconvergentes.

(a)∞∑n=0

(−1)n1

n!(b)

∞∑n=1

(−1)nn

n2 + 1(c)

∞∑n=0

(−1)n

3n(d)

∞∑n=1

(−1)n3n

6n+1

46. Sabendo que∞∑n=1

an e uma serie absolutamente convergente, com an 6= 0, indique a

natureza das seguintes series.

(a)∞∑n=1

n

2n+ 1an (b)

∞∑n=1

an1 + an

(c)∞∑n=1

2n+ 3

n+ 1an

47. Determine o intervalo de convergencia das seguintes series de potencias e estude-as nosextremos desse intervalo.

(a)∞∑n=0

(x+ 1)n

1 + n2

(b)∞∑n=0

(1 + n)n(x− 1)n

(c)∞∑n=2

1

log(n)xn

(d)∞∑n=0

(2n)!

(n!)2xn

(e)∞∑n=1

n!

nn(x− 3)n

(f)∞∑n=0

(x4

)n(g)

∞∑n=0

(x− 3)n

1 + n2

(h)∞∑n=0

(−2)n

1 + 2nxn

(i)∞∑n=2

log(n)xn

(j)∞∑n=1

√n

n2 + 1

(x3

)2n(k)

∞∑n=0

2nxn

32n−1

(l)∞∑n=1

nxn

n!

48. Sabendo que∞∑n=1

anxn e

∞∑n=1

bnxn sao series de potencias com raios de convergencia respec-

tivamente ra = 1 e rb = 2, indique se a serie∞∑n=1

(an + bn)xn e convergente nos seguintes

pontos.

(a) x = −12

(b) x = 32

(c) x = 5 (d) x = 0 (e) x = 1


Capıtulo 2

Funcoes reais de variavel real

Neste capıtulo, vamos introduzir os objectos de estudo da Analise Matematica e comecar aestudar as suas propriedades.

2.1 Generalidades

A Analise Matematica estuda o comportamento das funcoes reais de variavel real. Antes decomecarmos a trabalhar com estes objectos, importa discutir um pouco o que e uma funcao,como se representa e como se trabalha com ela.

Em Matematica, uma funcao e simplesmente uma regra que permite transformar objectosnoutros. Este conceito e extremamente abrangente e geral, capturando um conjunto vastıssimode situacoes do dia-a-dia. De facto, em praticamente todos os contextos em que se usa o termofuncao e neste sentido, mesmo que a regra de transformacao em causa nao seja muito passıvelde tratamento matematico.

Aos valores que a funcao recebe chama-se objectos ou argumentos e ao resultado de aplicar afuncao a objectos chama-se imagem. O conjunto dos valores que a funcao aceita como objectoschama-se domınio da funcao e o conjunto de resultados possıveis chama-se contradomınio ouimagem da funcao.

Muitas das propriedades que observamos em objectos do dia-a-dia sao exemplos de funcoes.

Exemplo.

1. A cor dum predio e um exemplo duma funcao. Aqui, a regra de transformacao e directa(basta olhar para o predio para saber a sua cor); os objectos desta funcao sao prediose as imagens sao cores. O domınio da funcao e o conjunto de todos os predios; o seucontradomınio e o conjunto de todas as cores de que ha predios.

2. A marca dum automovel e outro exemplo duma funcao. Dado um automovel, podemosdeterminar a sua marca, por exemplo lendo-a no livrete. Obtemos assim uma regra detransformacao que associa a cada automovel a sua marca. Esta funcao tem como domınioo conjunto de todos os automoveis e como contradomınio o conjunto de todas as marcasde automoveis.

3. Uma receita de cozinha tambem e um exemplo duma funcao. De facto, uma receitaindica precisamente uma forma de transformar objectos (os ingredientes) num resultadofinal (um prato). E uma funcao muito particular, ja que apenas pode ser aplicada aum objecto; o seu domınio contem apenas um elemento — a combinacao de ingredientes

43

44 CAPITULO 2. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL

necessaria para preparar o prato — e o seu contradomınio tambem — contem apenas oprato que a receita prepara.

4. Quando nos dirigimos a um estabelecimento comercial, o valor que pagamos e calculadocom base nos produtos que pretendemos adquirir. Dito doutra forma, o total a pagare funcao das compras. A regra de transformacao em causa e a formula que diz comodeterminar o valor a pagar, dependendo dos produtos.

Esta funcao faz sentido para conjuntos de produtos do estabelecimento. Assim, o seudomınio contem todos os conjuntos possıvels de produtos do estabelecimento. O seucontradomınio e o conjunto de todas as quantias em dinheiro que podem ser pedidascomo pagamento.

5. O calculo do imposto sobre o rendimento a pagar no final de cada ano e feito com basenos rendimentos obtidos por cada contribuinte. Este calculo e feito atraves duma formulabastante complicada, mas depende apenas desses rendimentos; assim, e mais uma vezexemplo duma funcao. O domınio desta funcao e o conjunto de valores possıveis dorendimento de alguem (teoricamente, todos os numeros positivos); o contradomınio e oconjunto dos valores possıveis do imposto a pagar (que, mais uma vez, em teoria e oconjunto de todos os numeros positivos).

6. Uma sucessao e uma funcao que transforma cada numero natural n no termo de ordem nda sucessao. Esta funcao e de natureza mais matematica que as anteriores; dada umasucessao u, o seu domınio e o conjunto N dos numeros naturais e o seu contradomınio eo conjunto de todos os valores possıveis de un.

Em Analise Matematica, estamos interessados em particular em funcoes que transformamnumeros reais em numeros reais. Tipicamente, estas funcoes correspondem a regras de trans-formacao envolvendo operacoes matematicas, como seja: “somar 2”, “multiplicar por 5” ou“calcular o logaritmo”. Nestas funcoes, o seu domınio e o conjunto dos numeros para os quaisa operacao descrita faz sentido — nao podemos dividir por zero ou tirar a raiz quadrada dumnumero negativo, por exemplo — e o contradomınio e o conjunto dos seus resultados possıveis.Tipicamente, estas funcoes sao abstraccoes de funcoes associadas a problemas concretos quequeremos estudar; no contexto da Analise Matematica, ignoramos o problema e centramo-nosapenas na funcao.

Exemplo.

1. A funcao “somar um” e uma funcao que esta definida para todos os numeros reais e quetem como resultados possıveis todos os numeros reais: por um lado e possıvel somar uma qualquer numero real; por outro, os resultados que se podem obter tambem sao todosos numeros reais.

Imagine-se a seguinte situacao: uma pessoa esta num semaforo a contar os automoveisvermelhos que passam nesse semaforo. Esta funcao e a regra de transformacao que e apli-cada de cada vez que passa um automovel vermelho (soma-se um ao total de automoveisque ja tinham passado). Embora este exemplo possa parecer artificial, corresponde defacto a uma situacao que ocorre vezes sem conta em situacoes reais de sistemas contro-lados por computador.

2. A funcao “multiplicar por 3” e outra funcao que esta definida para todos os numeros reaise que tambem tem como resultados possıveis todos os numeros reais. O seu domınio econtradomınio sao ambos o conjunto R de todos os numeros reais.


2.2. REPRESENTACAO DE FUNCOES 45

Imagine-se a seguinte situacao: um produto e vendido numa mercearia a e3 por quilo.Esta funcao e a regra de transformacao que e aplicada para determinar o preco (em euros)a pagar por um produto (em quilos).

3. A funcao “multiplicar um numero por si proprio” esta definida para todos os numerosreais, mas devolve como resultado apenas numeros positivos ou zero. Assim, o seudomınio e o conjunto R dos numeros reais, mas o seu contradomınio e o conjunto dosreais maiores ou iguais a zero.

Esta funcao corresponde a regra que permite calcular a area dum quadrado conhecendoo comprimento do seu lado.

2.2 Representacao de funcoes

Uma vez que as funcoes de numeros reais podem ganhar uma complexidade muito elevada, econveniente ter uma notacao propria para as representar. Em primeiro lugar, e habitual darnomes as funcoes, geralmente as letras minusculas f , g ou h; para representar o valor que afuncao associa a um objecto, escrevemos o nome da funcao seguido do objecto entre parentesis.

Pensemos na funcao “somar 1” e chamemos-lhe f . Se escolhermos um numero qualquer, ocalculo do valor da funcao e feito escrevendo “+1” a frente desse numero:

f(1) = 1+1 f(3) = 3+1 f

(2

3

)=

2

3+1 ,

e assim por diante. Escolhendo um sımbolo arbitrario ? para representar um numero (qual-quer), e natural dizer que se tem

f(?) = ?+ 1 .

Tipicamente, utiliza-se para esta finalidade uma letra do final do alfabeto: x, y ou z. Assim,poderıamos definir esta funcao pela formula f(x) = x+ 1. E porem fundamental perceber quenesta formula a letra x e apenas um sımbolo para representar o numero que e fornecido comoargumento da funcao. A maneira mais correcta de ler a expressao f(x) = x + 1 sera ler “x”como “um numero”: “a funcao f aplicada a um numero devolve esse numero mais um”. Ecompletamente equivalente escrever

f(x) = x+ 1 f(y) = y + 1 f(z) = z + 1 f(•) = •+ 1 f(·) = ·+ 1 .

A ultima versao e alias usual nalguns contextos de aplicacao da Analise Matematica.A vantagem desta notacao e que calcular valores da funcao se resume a substituir o sımbolo

usado para o argumento pelo seu valor. Por exemplo: se f(x) = x+ 1, entao f(2) = 2 + 1 = 3(substituımos x por 2); f(9) = 9+1 = 10 (substituımos x por 9). Pode ate ser relevante calcularvalores de expressoes mais estranhas, como a ou x + y; o processo e o mesmo: substituir osımbolo (neste caso x) pelo valor em causa. Tem-se assim que f(a) = a+1 e f(x+y) = x+y+1.

Exemplo.

1. A funcao “multiplicar por 3” pode ser definida como g(·) = 3× ·, ou g(x) = 3x.

2. A funcao “multiplicar um numero por si proprio” pode ser definida como g(·) = · × ·, oug(x) = x× x, ou ainda g(y) = y2.



3. Consideremos a funcao h por h(x) = 5x2 − 2x. Esta funcao esta definida para qualquer

numero diferente de 0 (se substituirmos x por 0 obtemos a expressao 20, que nao faz

sentido); o seu domınio e entao o conjunto dos reais diferentes de 0.

Para calcular o valor de h num ponto, temos apenas de substituir x pelo valor correspon-dente. Para calcular h(1), substituımos x por 1 e obtemos h(1) = 5(1)2 − 2

1= 3; para

calcular h(−2) substituımos x por 2 e obtemos h(−2) = 5(−2)2 − 2−2 = 21.

Exercıcio 1. Seja f a funcao definida pela expressao f(y) = (y + 1)(y + 3). Quais dasseguintes afirmacoes estao correctas?

(a) f(2) = 15

(b) f(−1) = 0

(c) f(3) = 18

(d) f(0) = f(−4)

(e) f(z) = (z + 1)(z + 3)

(f) f(y) = y2 + 4y + 3

Outra forma de representar funcoes e tabelando os seus valores. Na vida do dia-a-dia, en-contramos muitos exemplos desta representacao de funcoes. Um exemplo e a tabela de precosdum cafe: esta especifica completamente a funcao que associa a cada produto o seu preco.Outro exemplo e um catalogo de automoveis, que indica para cada automovel as suas carac-terısticas — que nao sao mais do que valores de funcoes. Os registos meteorologicos existentessao outros exemplos de tabelas que representam funcoes, neste caso funcoes cuja expressaoe desconhecida e que portanto so podem ser determinadas experimentalmente: temperaturamaxima e mınima, precipitacao, etc.

A utilidade do uso de tabelas prende-se essencialmente com a facilidade em obter os valoresda funcao. Antes da invencao das maquinas de calcular, eram de uso corrente livros contendovalores tabelados de varias funcoes usadas constantemente na Engenharia cujo calculo naoera pratico (notavelmente os logaritmos, mas tambem diversas funcoes trigonometricas). Umatabela de logaritmos podia ocupar integralmente um livro de trezentas paginas.

Hoje em dia ja ninguem usa tabelas de logaritmos ou funcoes trigonometricas devido ageneralizacao da calculadora e do computador. Contudo, o funcionamento destes assenta nomesmo princıpio: a retencao em memoria de gigantescas tabelas contendo valores suficientesdaquelas funcoes para permitir obter directamente os seus valores em muitos pontos, e reduziros calculos necessarios para obter os valores noutros pontos.

Quando o domınio da funcao cresce, porem, comeca a ser incomportavel para um serhumano gerar (e arquivar!) tabelas contendo os seus valores. Para alem disso, muitas vezeso que se pretende e ter uma ideia qualitativa do comportamento da funcao: onde e que elaaumenta, onde e que diminui, como e que se comporta quando o seu argumento toma valoresmuito elevados. . . Um dos objectivos da Analise e responder de forma precisa a estas questoes;mas na pratica muitos problemas podem ser resolvidos aproximadamente de forma mais quesatisfatoria apenas recorrendo a outro tipo de representacao de funcoes: os graficos. Mesmopara um estudo teorico e mais formal, o grafico e um poderoso auxiliar da intuicao que devesempre ser aproveitado.

Para desenhar o grafico duma funcao, vamos fixar um sistema de coordenadas no planotracando duas rectas perpendiculares (eixos), uma horizontal e outra vertical. O eixo horizontalvai corresponder aos objectos da funcao, o eixo vertical as imagens. Os valores sao medidosa partir da interseccao dos eixos (a origem do referencial), sendo positivos para a direita oupara cima e negativos para a esquerda ou para baixo.



Por convencao, usamos a letra x para representar os argumentos da funcao e a letra y paraos resultados. O grafico da funcao e o conjunto de pontos (x, y) satisfazendo y = f(x); ou seja,escolhendo um valor para o argumento (medido no eixo horizontal), calculamos a sua imagem emedimos esse valor no eixo vertical. Finalmente, assinalamos o ponto correspondente (definidocomo a interseccao das rectas perpendiculares aos eixos que passam pelos valores medidos).

Vejamos alguns exemplos. Considerando a funcao definida por f(x) = x + 1, temos quef(0) = 1, f(1) = 2, f(−1) = 0 e f(2) = 3, entre outros. Tabelando estes valores (e maisalguns), obtemos a seguinte tabela.

x −3 −2 −1 0 1 2 3f(x) −2 −1 0 1 2 3 4

Vamos agora marcar estes pontos num referencial, conforme ilustrado na Figura 2.1 (a), euni-los por uma curva, como se ve na Figura 2.1 (b). A linha que une os pontos e o grafico dafuncao.

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

(a)

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

(b)

Figura 2.1: Grafico da funcao definida por f(x) = x+ 1.

Este metodo e o metodo usado pelas calculadoras graficas e pela maioria dos programas decomputador que tracam graficos. E um metodo simples e que funciona bem para funcoes poucocomplexas; porem, para expressoes mais complicadas pode gerar resultados errados. Veremosmais adiante exemplos desse tipo e estudaremos tecnicas mais poderosas para lidar com essassituacoes.

Vejamos mais alguns exemplos de graficos de funcoes.

Exemplo.

1. Seja g a funcao definida pela expressao g(x) = x2 − 2. Esta funcao esta definida paratodos os numeros reais. Vamos comecar por tabelar alguns dos seus valores.

x −3 −2 −1 0 1 2 3g(x) 7 2 −1 −2 −1 2 7

Esta tabela parece indicar que o valor da funcao num ponto x e igual ao seu valor noponto simetrico −x. Podemos verificar que tal se passa: se calcularmos o valor de g(−x)



(que se obtem, recorde-se, substituindo na definicao de g o sımbolo x pela expressao −x)obtemos

g(−x) = (−x)2 − 2 = x2 − 2 = g(x) .

Uma funcao com esta propriedade diz-se uma funcao par. Em termos geometricos, oque isto significa e que o grafico de g tem um eixo de simetria: os pontos do graficocorrespondentes a x e −x tem a mesma imagem, ou seja, sao dois pontos a mesmadistancia do eixo vertical (um para cada lado) e a mesma altura. Assim, o eixo verticale um eixo de simetria da funcao.

Para tracar o grafico, tambem e util saber em que ponto e que este intersecta o eixohorizontal, ou seja, em que pontos e que se tem g(x) = 0. Resolvendo a equacao corre-spondente, obtemos

g(x) = 0⇐⇒ x2 − 2 = 0⇐⇒ x2 = 2⇐⇒ x = ±√

2 ,

donde os pontos(√

2, 0)

e(−√

2, 0)

pertencem ao grafico de g. Recorde-se que√

2 ≈ 1.41,o que para esbocar um grafico e uma aproximacao suficiente.

Marcando os pontos num referencial e unindo-os por uma curva, obtemos o grafico se-guinte.

x

y

-3 -2 -1 1 32

-2

2

4

6

8

x

y

-3 -2 -1 1 32

-2

2

4

6

8g(x)=x²-2

2. Seja agora f a funcao definida pela expressao f(x) = x3 − 3x. Comecamos novamentepor tabelar alguns valores desta funcao.

x −3 −2 −1 0 1 2 3f(x) −18 −2 2 0 −2 2 18

De acordo com a tabela, esta funcao tem uma propriedade um pouco diferente da anterior:o seu valor num ponto x e simetrico do seu valor no ponto simetrico−x. Vamos novamenteverificar que tal se passa em geral:

f(−x) = (−x)3 − 3(−x) = −x3 + 3x = −(x3 − 3x

)= −f(x) .

Uma funcao com esta propriedade diz-se uma funcao ımpar. Em termos geometricos,isto significa que o grafico de f e simetrico, mas agora em relacao a origem: os pontosdo grafico correspondentes a x e −x estao a mesma distancia do eixo vertical (um paracada lado) e a mesma distancia do eixo vertical (um para cada lado).



O valor desta funcao em 0 e 0, mas o seu grafico tem mais interseccoes com o eixohorizontal. Resolvendo a equacao f(x) = 0, obtemos

f(x) = 0⇐⇒ x3 − 3x = 0⇐⇒ x(x2 − 3

)= 0

⇐⇒ x = 0 ou x2 = 3⇐⇒ x = 0 ou x = ±√

3 ,

donde os pontos(√

3, 0)

e(−√

3, 0)

tambem pertencem ao grafico de f . Recorde-se que√3 ≈ 1.7.

Marcando os pontos num referencial e unindo-os por uma curva, obtemos o grafico se-guinte.

x

y

-3 -2 -1 1 32

-8

-4

4

8

12

x

y

-3 -2 -1 1 32

-8

-4

4

8

12f(x)=x³-3x

3. Vamos agora ver uma funcao mais complexa: a funcao f que esta definida pela expressaof(x) = 2x+ 1

x. Esta funcao esta definida para x 6= 0, uma vez que nao podemos calcular

o valor 10. Podemos tambem observar que

f(−x) = 2(−x) +1

−x= −2x− 1

x= −f(x) ,

donde a funcao e ımpar. Assim, basta-nos esbocar o grafico para x positivo e completa-lode forma simetrica para x negativo.

Temos tambem que

f(x) = 0⇐⇒ 2x+1

x= 0 =⇒ 2x2 + 1 = 0

o que e impossıvel; entao o grafico desta funcao nao tem pontos sobre o eixo horizontal.

Vamos tabelar alguns valores de f para argumentos positivos. Observe-se que a medidaque o argumento se aproxima de 0, o valor da funcao cresce sem limite, pois a parcela 1

x

vai tomando valores cada vez maiores; convem por isso incluir na tabela alguns valoresproximos de 0, para podermos perceber melhor o comportamento da funcao.

x 14

13

12

1 2 3f(x) 9

2113

3 3 92

193

Vejamos entao o grafico de f , nao esquecendo que para x < 0 ele e simetrico em relacaoa origem.



x

y

-3 -2 -1 1 32

-4

-2

2

4

x

y

-3 -2 -1 1 32

-4

-2

2

4

f(x)=2x+1/x

O tracado deste grafico ja nao e tao simples como os anteriores. Por um lado, seriautil saber por exemplo as coordenadas do ponto em que f atinge o seu valor mınimo;por outro, a funcao parece aproximar-se duma recta vertical quando x se aproxima de 0e de uma recta oblıqua quando x aumenta ou diminui. Veremos mais adiante comoestudar formalmente estas propriedades e obter representacoes graficas mais precisasdesta funcao.

4. Para terminar, seja h a funcao definida pela expressao h(x) = x+2x−2 . Esta funcao esta

definida para x 6= 2, ja que para x = 2 temos novamente problemas em efectuar a divisaona expressao de h(x).

Avaliando h(−x), obtemos h(−x) = −x+2−x−2 , que nao corresponde nem a h(x) nem a h(−x);

assim, esta funcao nao e par nem ımpar. Na realidade, o seu grafico possui simetrias,mas nao sao facilmente determinaveis.

Tal como atras, vamos tabelar valores de h tendo o cuidado de escolher bastantes valoresproximos de 2: perto deste ponto os valores de h(x) crescem muito rapidamente, pelo queconvem conhecer mais pontos para ter uma melhor ideia do comportamento do grafico.

x −2 −1 0 1 3 4 5h(x) 0 −1

3−1 −3 5 3 7

3

x 32

53

74

94

73

52

h(x) −7 −11 −15 17 13 9

O grafico da funcao h tem entao o seguinte aspecto.

x

y

-2 -1 1 32

-8

-4

4

8

12

54

x

y

-2 -1 1 32

-8

-4

4

8

12

54

h(x)=(x+2)/(x-2)



Exercıcio 2. Seguindo o metodo usado nos exemplos acima, esboce os graficos das seguintesfuncoes.

(a) f(x) = 3x+ 2 (b) f(x) = (2x+ 1)(x− 1) (c) f(x) = 3x

Um dos objectivos desta disciplina e ser capaz de tracar com rigor graficos de funcoesrecorrendo as tecnicas da Analise Matematica. Para muitos casos simples, contudo, o tracadodo grafico pode ser feito simplesmente recorrendo a conhecimentos previos sobre o tipo defuncao com que estamos a lidar. Ao longo desta seccao, vamos discutir algumas famılias defuncoes comuns e como esbocar rapidamente o seu grafico.

Funcoes constantes. Suponhamos que f e uma funcao tal que f(x) toma sempre o mesmovalor. Chamando a a esse valor, temos que os pontos do grafico de f estao todos a mesmaaltura — a altura correspondendo ao ponto a sobre o eixo dos y. Entao o grafico de f e umarecta horizontal, que esta acima do eixo horizontal se a > 0, abaixo desse eixo se a < 0 ecoincidente com o eixo se a = 0 (Figura 2.2).

x

y

a f(x)=a > 0

(a)

x

y

a f(x)=a < 0

(b)

x

y

f(x)=0

(c)

Figura 2.2: Grafico da funcao f(x) = a com a > 0 (a), com a < 0 (b) e a = 0 (c).

Funcoes afim. Uma classe muito importante de funcoes e a daquelas em que o valor varia emproporcao directa com o argumento, eventualmente acrescida de uma parcela constante. Estetipo de funcoes ocorre muitas vezes na vida real. Por exemplo: os impostos sao tipicamentecalculados como uma percentagem fixa dum valor base (dando origem a uma relacao do estiloI = k × V , onde I e o valor do imposto a pagar, V o valor base e k a taxa de imposto),eventualmente reduzido duma parcela fixa (e agora a relacao e do estilo I = k×V −A, onde Ae a parcela a abater). Tambem referimos o exemplo dos precos dos produtos vendidos a granel,que sao obtidos multiplicando o argumento (peso do produto) pelo preco por unidade. NaFısica, muitas relacoes basicas sao desta forma, como por exemplo a primeira lei de Newtonpara o movimento: F = m × a, em que F corresponde a forca exercida sobre um corpo, m amassa desse corpo e a a aceleracao que lhe e incutida.



Genericamente, estamos a tratar de funcoes com uma expressao do tipo f(x) = Ax + B,onde os parametros A e B sao constantes. Estas funcoes sao conhecidas como funcoes afim oufuncoes lineares ; uma das grandes vantagens de trabalhar com funcoes lineares e a simplicidadedos calculos — que leva a que haja outros contextos em que e util aproximar funcoes por funcoesafim.

Em termos graficos, estas funcoes sao muito simples. Dados dois pontos x0 e x1, temos quea diferenca

f (x1)− f (x0) = (Ax1 +B)− (Ax0 +B) = A (x1 − x0)

e directamente proporcional a diferenca x1−x0; isto significa que quando andamos k unidadesno argumento da funcao, o valor desta varia sempre de Ak unidades. O grafico e entao umalinha recta.

Para tracar uma recta, basta encontrar dois pontos por onde ela passe. Fazendo x = 0,obtemos f(0) = B, donde (0, B) e um ponto da recta. Fazendo f(x) = 0, obtemos x = −B

A,

donde(−BA, 0)

e outro. Obtemos assim uma forma expedita de tracar graficos de funcoeslineares: basta marcar aqueles dois pontos sobre os eixos e tracar a recta. A unica excepcaoocorre se B = 0 (em que ambos os pontos sao a origem); mas aı qualquer outro valor de x nospermite obter um ponto — por exemplo, (1, A).

A Figura 2.3 ilustra alguns exemplos de graficos de funcoes tracados desta forma.

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=(4/3)x+2

(a)

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=-2x+1

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=x

(c)

Figura 2.3: Graficos de funcoes afim.

Exercıcio 3. Esboce os graficos das seguintes funcoes.

(a) f(x) = x− 2 (b) f(x) = 2x+ 1 (c) g(x) = −2x (d) g(x) = −x2

+ 2

Funcoes quadraticas. A outra classe importante de funcoes para conhecer nesta fase saoas quadraticas: funcoes cuja expressao e um polinomio de segundo grau. Os graficos destasfuncoes sao curvas, conhecidas como parabolas, que sao importantes em diversas aplicacoes(nomeadamente em telecomunicacoes) devido as suas propriedades geometricas.



As parabolas sao curvas que tem sempre um eixo de simetria, embora nao sejam neces-sariamente graficos de funcoes pares. Ja vimos atras um exemplo (a funcao definida porg(x) = x2 − 2); de um modo geral, as parabolas sao sempre curvas com a mesma forma doque aquela funcao. Os parametros que variam de funcao para funcao sao: a orientacao (se aabertura da parabola esta virada para cima ou para baixo); a posicao relativamente aos eixos(mais para a esquerda ou mais para a direita, mais para cima ou mais para baixo); e a aberturada parabola. A Figura 2.4 mostra varios exemplos de parabolas.

Figura 2.4: Exemplos de parabolas.

Para desenhar o grafico duma funcao quadratica f(x) = Ax2 + Bx + C, basta em geralanalisar tres parametros.

(a) Sinal: a orientacao da parabola apenas depende do sinal do coeficiente A do termo desegundo grau. De facto, de forma analoga ao que ja vimos no capıtulo anterior, quando ovalor de x aumenta o termo x2 domina; uma vez que este e sempre positivo, a funcao teravalores cada vez maiores quando x aumenta se A > 0 e valores cada vez menores se A < 0.Por simetria, o comportamento quando x diminui e similar.

(b) Zeros: a funcao intersecta o eixo quando f(x) = 0, o que neste caso corresponde a

x =−B ±

√B2 − 4AC

2A.

Estes dois pontos — se a expressao denotar um numero real — sao dois pontos do grafico.

(c) Vertice: por simetria, o ponto medio das raızes e precisamente o eixo de simetria daparabola. Ora neste ponto x tem o valor − B

2A. Assim, a recta vertical passando por esse

ponto e o eixo de simetria e o valor de f nesse ponto e o mınimo ou maximo absoluto dafuncao.

Nalguns casos, ou porque nao ha raızes ou porque o vertice da funcao esta sobre o eixohorizontal, e preciso determinar mais alguns pontos; nesse caso, como habitualmente, o maissimples e avaliar f em dois pontos proximos do eixo.




Exemplo.

1. Comecemos por estudar a funcao f(x) = x2 + 2x − 3. O coeficiente de x2 e 1, pelo queo grafico de f e uma parabola com concavidade virada para cima; as raızes de f sao

x = −1±√

1 + 3⇐⇒ x = 1 ou x = −3

e o eixo de simetria e x = − 22×1 = −1, sendo o mınimo da funcao atingido neste ponto:

f(−1) = −4. Com esta informacao, conseguimos desenhar o grafico de f facilmente.

x

y

-3 -1 1

-4

x

y

-3 -1 1

-4

f(x)=x²+2x-3

2. Consideremos agora a funcao f(x) = −2x2 + 2x+ 4. O coeficiente de x2 e −2, pelo queo grafico de f e agora uma parabola com concavidade virada para baixo. As raızes de fsao

x =−1±

√1 + 8

−2⇐⇒ x = −1 ou x = 2

e o eixo de simetria e x = − 22×(−2) = 1

2; o maximo de f e f

(12

)= 9

2. Com esta informacao,

conseguimos novamente desenhar o grafico de f sem dificuldades.

x

y

9/2

-1 21/2

x

y

9/2

-1 21/2

f(x)=-2x²+2x+4

3. Vamos agora desenhar o grafico a funcao f(x) = x2 − 2x+ 1. Trata-se novamente dumaparabola virada para cima; porem, o seu eixo de simetria e x = − −2

2×2 = 1, e se calcularmoso valor de f(1) obtemos f(1) = 0. Para conseguir desenhar a parabola precisamos demais informacao sobre a sua abertura; calculando os valores de f em 0 e em 2, obtemosf(0) = 1 = f(2); e com esta informacao ja conseguimos desenhar o grafico da funcao.



x

y

1

1 2

x

y

1

1 2

f(x)=x²-2x+1

4. Finalmente, vejamos o que se passa com a funcao f(x) = −x2 + 2x− 3. O coeficiente dex2 e −1, pelo que o grafico de f e uma parabola com concavidade virada para baixo; e oeixo de simetria de f e x = − 2

2×(−1) = 1; ora f(1) = −2, e sendo este o maximo absolutoda funcao concluımos que esta parabola nao intersecta o eixo horizontal. De facto, seaplicassemos a formula resolvente para obter as raızes de f , encontrarıamos

x =−1±

√1− 3

−1

que nao denota nenhum numero real. Tal como atras, para estimar a abertura da parabolavamos tomar dois pontos proximos do eixo de simetria. Calculando f(0) e f(2), obtemosf(0) = −3 = f(2); e podemos novamente desenhar o grafico de f sem mais.

x

y

1 2

-2

-3

x

y

1 2

-2

-3

f(x)=-x²+2x-3


(a) f(x) = −2x2 + 8

(b) g(x) = −x2 − x

(c) h(x) = 3x2 + 2x− 1

(d) h(x) = 3x2 − 2x

(e) f(x) = 2x2 − 1

(f) g(x) = x2 + 3

(g) g(x) = x2 − 2x− 1

(h) f(x) = −x2 − x− 1

(i) h(x) = x2 − 10x+ 25



Funcao modulo. Uma funcao um pouco diferente destas e a funcao modulo ou valor ab-soluto. O valor absoluto dum numero real corresponde a sua distancia a origem; dito doutraforma, o modulo dum numero obtem-se esquecendo o sinal desse numero.

Formalmente, podemos definir o modulo dum numero x da seguinte forma.

|x| =

{x se x ≥ 0

−x se x < 0

Vemos portanto que esta funcao se comporta como uma funcao afim em qualquer dos casos;o seu grafico e entao composto por duas semi-rectas: uma a esquerda da origem, outra a direita.

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=|x|

Exercıcio 5. Como sera o grafico da funcao f(x) = |2x|? E o de g(x) = |x − 1|?

Funcao potencia. O estudo de polinomios de grau superior a 2 ja requer o recurso as tecnicasque estudaremos adiante. Porem, o caso das funcoes xn e simples de compreender e util.

Quando temos uma funcao definida por f(x) = xn, com n um inteiro positivo superior a 2,o grafico assemelha-se a uma parabola, mas mais plana entre −1 e 1 e mais vertical fora desseintervalo. No caso de n ser par, temos uma funcao par; no caso de n ser ımpar, temos umafuncao ımpar — e portanto em vez de termos uma curva virada para cima ou virada parabaixo, temos os dois comportamentos de cada lado da origem (ver Figura 2.5).

Funcoes recıprocas. Outro tipo de curva que surge com muita frequencia em aplicacoes aFısica e a Engenharia e a hiperbole. Esta curva e mais uma vez um grafico duma funcao: afuncao f(x) = 1

x.

O comportamento desta funcao e relativamente simples de compreender. Em primeiro lugar,ela esta definida para x 6= 0. Tambem e simples ver que se trata duma funcao ımpar. Pensandoem valores posivitos do seu argumento, quando x = 1 a funcao tambem vale 1. Para valoresmenores do argumento, ela cresce muito rapidamente, aumentando ilimitadamente quando xse aproxima de 0. Quando o valor do argumento aumenta alem de 1, a funcao toma valorescada vez mais proximos de 0.

Tabelando alguns valores desta funcao, podemos verificar este comportamento e esbocar oseu grafico, que se encontra na Figura 2.6.

x 14

13

12

1 2 3 41/x 4 3 2 1 1

213

14



x

y

-2 -1 1 2

-30

-60

30

60

f(x)=x³

(a)

x

y

-2 -1 1 2

-30

-60

30

60f(x)=x⁴

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-30

-60

30

60f(x)=x⁵

(c)

x

y

-2 -1 1 2

-30

-60

30

60f(x)=x⁶

(d)

Figura 2.5: Graficos de (a) f(x) = x3, (b) f(x) = x4, (c) f(x) = x5 e (d) f(x) = x6. Observe-seque as curvas se assemelham a parabolas, sucessivamente mais fechadas.

Quando consideramos funcoes em que o expoente de x e mais elevado, como f(x) = 1x2

oug(x) = 1

x3, acontece um fenomeno semelhante ao caso anterior: a curva aproxima-se do eixo

horizontal e afasta-se do eixo vertical, sofrendo uma inflexao mais brusca perto do ponto (1, 1).Tal como atras, a funcao e par ou ımpar de acordo com o expoente de x. A Figura 2.7 mostramais alguns exemplos.

Funcoes definidas por ramos. Em muitas situacoes, as funcoes nao sao definidas por umaunica expressao em todo o seu domınio. Vimos ja um exemplo duma funcao deste estilo —a funcao modulo, cuja regra de calculo e diferente consoante o seu argumento e positivo ou

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

Figura 2.6: Grafico da funcao f(x) = 1x.



x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4f(x)=1/x²

(a)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

f(x)=1/x³

(b)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

f(x)=1/x⁴

(c)

Figura 2.7: Graficos de f(x) = 1x2

(a), f(x) = 1x3

(b) e f(x) = 1x3

(c).

negativo. Estas funcoes dizem-se funcoes definidas por ramos.Um exemplo bastante simples duma funcao definida por ramos e a funcao de calculo do IRS:

consoante o valor do rendimento dum contribuinte, e-lhe atribuıdo um escalao; a percentagemde imposto a pagar (ou seja, a regra que determina o valor da funcao) depende desse escalao.

Outro exemplo tambem bastante comum e o preco de servicos como fotocopias, cujo precounitario diminui com a quantidade. Mais uma vez, e preciso olhar primeiro para o valor doargumento para saber como calcular a funcao.

Tipicamente, as funcoes definidas por ramos apresentam-se com uma chaveta agrupando asdiferentes expressoes para cada ramo, juntamente com a indicacao dos valores do argumentopara que sao validas. Exemplos de funcoes deste tipo sao as funcoes f , g e h abaixo definidas.

f(x) =

{x+ 1 x > 0

2x− 1 x ≤ 0g(x) =

{x2 − 2 x ≤ 1

x− 2 x > 1h(x) =

3 x < −1

x2 − 1 −1 ≤ x ≤ 2

4− x x > 2

Para tracar o grafico de funcoes definidas por ramos, apenas e preciso desenhar o grafico dafuncao que define cada ramo no intervalo respectivo. Nos pontos limite, e tradicao assinalarcom uma bola (•) o ramo que contem o limite e com um cırculo aberto (◦) o ramo que naocontem o limite. A Figura 2.8 apresenta os graficos das tres funcoes acima definidas.

Nesta altura, a construcao destes graficos deve ser ja uma tarefa relativamente mecanica.

Exercıcio 6. Esboce os graficos das seguintes funcoes definidas por ramos.

(a) f(x) =

{x x ≤ 3

3 x > 3

(b) f(x) =

{x2 x < 2

x+ 3 x ≥ 2

(c) g(x) =

{x+ 2 x ≤ 11x

x > 1

(d) g(x) =

{|x| x < 1

x2 − 2x x ≥ 1

(e) h(x) =

x− 2 0 ≤ x ≤ 2

0 2 < x ≤ 4

x− 4 x > 4



x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

Figura 2.8: Exemplo de tres funcoes definidas por ramos.

Translacoes. Para terminar, vamos ver duas operacoes sobre funcoes que tem um significadografico muito simples.

Consideremos duas funcoes f e g tais que g(x) = f(x) + k, para todo o valor de x, sendo kum real fixo. Graficamente, significa isto que todos os pontos do grafico de g estao k unidadesacima (ou abaixo, se k for negativo) do ponto correspondente do grafico de f . Entao, o graficode g pode ser obtido deslocando verticalmente o grafico de f .

Por exemplo: para obter o grafico da funcao g(x) = x3 + 2, vamos partir do grafico def(x) = x3, que ja construımos atras, e desloca-lo duas unidades para cima (Figura 2.9 (a));para construir o grafico de g(x) = 1

x− 3, deslocamos o grafico de f(x) = 1

xtres unidades para

baixo (Figura 2.9 (b)); e para obter o grafico de g(x) = |x| − 1 vamos deslocar o grafico def(x) = |x| uma unidade para baixo (Figura 2.9 (c)).

x

y

-8

1 2

-4

4

8

-1-2

f(x)=x³

g(x)=x³+2

(a)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

f(x)=1/x

g(x)=1/x-3

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=|x|

g(x)=|x|-1

(c)

Figura 2.9: Graficos de funcoes obtidas por translacao na vertical.

A segunda transformacao e tambem uma translacao, mas na direccao horizontal, e ocorrequando duas funcoes f e g satisfazem a relacao g(x) = f(x + k). Neste caso, se (x, y) for umponto do grafico de f , entao o grafico de g tem um ponto (x− k, y): o valor de g em (x− k)



corresponde precisamente ao valor de f em (x − k) + k = x. Uma vez que isto se passa paratodos os pontos do grafico, conclui-se que o grafico de g corresponde ao grafico de f deslocadok unidades para a esquerda (ou para a direita, se k for negativo).

Vejamos alguns exemplos. Se tomarmos g(x) = (x + 2)3, temos que g(x) = f(x + 2) paraf(x) = x3; entao o grafico de g obtem-se por translacao do grafico de f duas unidades para aesquerda (Figura 2.10 (a)). Para g(x) = 1

x−3 , temos a relacao g(x) = f(x− 3) com f(x) = 1x,

pelo que vamos deslocar o grafico daquela funcao tres unidades para a direita (Figura 2.10 (b)).Finalmente, o grafico de g(x) = |x−1| obtem-se deslocando o grafico de f(x) = |x| uma unidadepara a direita (Figura 2.10 (c)).

x

y

-8

1 2

-4

4

8

-1-2

f(x)=x³

g(x)=(x+2)³

(a)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

f(x)=1/x

g(x)=1/(x-3)

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=|x|

g(x)=|x-1|

(c)

Figura 2.10: Graficos de funcoes obtidas por translacao na horizontal.

Estas operacoes podem ser uteis para construir graficos de funcoes mesmo em situacoesem que poderıamos utilizar outras tecnicas. Por exemplo, os graficos construıdos acima deg(x) = x2 − 2 e f(x) = x2 − 2x+ 1 poderiam ambos ter sido desenhados como translacoes dografico de h(x) = x2: de facto, tem-se g(x) = h(x)− 2 e f(x) = (x+ 1)2 = h(x+ 1). Deixa-seao cuidado do leitor verificar que os graficos anteriormente obtidos sao de facto os mesmos quese encontrariam por este processo.

Tambem ha funcoes que combinam as duas formas de translacao. Por exemplo, o graficode g(x) = 3 + 1

x+2pode-se obter a partir do grafico de f(x) = 1

xdeslocando este duas unidades

para a esquerda (obtendo-se h(x) = 1x+2

) e depois tres para cima. Com um pouco de pratica,o numero de funcoes cujos graficos se conseguem desenhar rapidamente aumenta bastante.


(a) f(x) = x4 − 2

(b) f(x) = |x− 1|+ 2

(c) g(x) = 1 + 1x

(d) g(x) = (x+ 1)3 − 2

(e) h(x) = 2 + 1x2

(f) h(x) = |x| − 2


2.3. INTRODUCAO AO ESTUDO DE FUNCOES 61

2.3 Introducao ao estudo de funcoes

Nesta seccao vamos introduzir os conceitos essenciais do estudo de funcoes. Mais adiantediscutiremos as ferramentas da Analise Matematica que nos permitem estudar estas e outraspropriedades de forma sistematica; porem, muitas delas possuem um significado fısico quee muito claramente interpretavel em termos de graficos. Assim, vamos ver como podemosdetermina-las, ainda que informalmente e por vezes sem o mais completo rigor, a partir daanalise de graficos de funcoes.

Onde for possıvel, apresentaremos desde ja os metodos mais formais para resolver os mesmosproblemas.

2.3.1 Domınio e contradomınio

Vamos agora debrucar-nos um pouco mais sobre a questao da determinacao de domınios econtradomınios de funcoes. Recordemos as definicoes destes conceitos.

Definicao. Seja f : R→ R uma funcao real de variavel real. O domınio de f e o conjunto Df

dos valores de x para os quais e possıvel calcular o valor de f(x).

O contradomınio de f , ou imagem de f , e o conjunto f(R) de todos os valores de f(x).Uma funcao diz-se sobrejectiva se o seu contradomınio for o conjunto R.

A notacao f : R→ R significa que f e uma funcao que recebe como argumento um numeroreal e devolve como resultado outro numero real. Em geral, a notacao f : A→ B indica que frecebe argumentos de A e devolve resultados em B; assim, por exemplo, uma sucessao u podeser vista como uma funcao u : N→ R.

As determinacoes do domınio e contradomınio duma funcao fazem-se de forma bastantediferente. O domınio e normalmente determinado por via analıtica; o contradomınio e deter-minado por via grafica.

Comecemos pelo contradomınio. O grafico de f e composto pelos pontos (x, f(x)), ou seja,por pontos cuja abcissa (primeira coordenada) e um elemento do domınio de f e cuja ordenada(segunda coordenada) e um elemento do contradomınio de f . Entao o contradomınio de f eprecisamente o conjunto dos valores de y para os quais ha um ponto no grafico de f . Poroutras palavras, se “espalmarmos” o grafico de f na vertical, o seu contradomınio e a parte doeixo dos yy que fica coberto pelo grafico “espalmado”.

A Figura 2.11 mostra os graficos de algumas funcoes que ja vimos anteriormente.

O grafico da funcao f(x) = 2x− 1 e uma recta oblıqua. Isto significa que para cada valorde y e possıvel determinar um ponto (x, y) no grafico de f . Entao o contradomınio de f e oconjunto R de todos os numeros reais; em particular, f e sobrejectiva.

O segundo grafico ja e um pouco diferente. Trata-se da funcao f(x) = −2x2 + 2x + 4,que corresponde a uma parabola virada para baixo. O grafico desta funcao passa por todos osvalores de y menores que 9

2(o maximo da funcao) mas nao atinge nenhum valor superior a este;

o contradomınio de f e entao o conjunto dos numeros reais menores ou iguais a 92, denotado

por]−∞, 9

2

], e f nao e sobrejectiva.

O terceiro grafico corresponde a funcao f(x) = 2x+ 1/x. Neste caso, vemos que os valoresda funcao comecam por crescer ate cerca de −3, mas depois a funcao atinge um maximo e oseu grafico torna-se uma curva descendente; quando o argumento e positivo, a funcao comecapor decrescer ate um pouco abaixo de 3, atingindo um mınimo e voltando a subir. Para osvalores de y proximos de 0, nao ha nenhum ponto no grafico de f .



x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=-2x+1

(a)

x

y

9/2

-1 21/2

f(x)=-2x²+2x+4

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

f(x)=2x+1/x

(c)

Figura 2.11: Determinacao do contradomınio duma funcao a partir do seu grafico.

Neste caso nao conseguimos escrever explicitamente o contradomınio de f , pois nao conhe-cemos exactamente os valores em que a funcao tem extremos; mais adiante veremos como ospodemos determinar exactamente. Podemos, contudo, afirmar que f nao e sobrejectiva.

Exercıcio 8. A partir dos graficos das seguintes funcoes, construıdos anteriormente, indiqueos seus contradomınios. Quais destas funcoes sao sobrejectivas?

(a) f(x) = (2x+ 1)(x− 1)(b) g(x) =

{x+ 2 x ≤ 11x

x > 1

(c) h(x) = |x| − 2

Antes de prosseguir, convem rever alguma notacao para conjuntos de numeros reais. Javimos anteriormente que o sımbolo R denota o conjunto dos numeros reais; por vezes tambemse usam os sımbolos R+ e R− para denotar os conjuntos dos reais positivos e negativos, res-pectivamente.

Uma notacao mais geral e a notacao de intervalo. Um intervalo corresponde a um conjuntode reais entre dois limites. Existem nove tipos de intervalos, correspondendo as diferentes

Intervalo Significado Descricao[a, b] a ≤ x ≤ b Valores entre a e b (inclusive)[a, b[ a ≤ x < b Valores entre a (inclusive) e b (exclusive)]a, b] a < x ≤ b Valores entre a (exclusive) e b (inclusive)]a, b[ a < x < b Valores entre a e b (exclusive)

[a,+∞[ a ≤ x Valores maiores ou iguais a a]a,+∞[ a < x < b Valores estritamente maiores que a]−∞, b] x ≤ b Valores menores ou iguais a b]−∞, b[ x < b Valores estritamente menores que b

]−∞,+∞[ R Todos os numeros reais

Tabela 2.1: Tipos de intervalos de numeros reais.



combinacoes possıveis: incluindo ou nao o extremo inferior ou superior, limitado ou ilimitadoinferior ou superiormente, resumidos na Tabela 2.1.

Tambem e habitual chamar aos intervalos que incluem o extremo fechados (a esquerda ou adireita) e aos que nao o incluem abertos (a esquerda ou a direita). Os intervalos [a, b], [a,+∞[e ]−∞, b] sao chamados simplesmente intervalos fechados, enquanto os intervalos ]a, b[, ]a,+∞[e ]−∞, b[ sao chamados intervalos abertos. Esta terminologia tem uma razao topologica queabordaremos mais adiante.

Para trabalhar com domınios e contradomınios de funcoes, e frequentemente preciso realizaroperacoes com intervalos. As operacoes mais habituais entre conjuntos sao:

- uniao: A ∪B contem todos os elementos de A e todos os elementos de B;

- interseccao: A∩B contem todos os elementos que estao simultaneamente em A e em B;

- diferenca: A \B contem os elementos que estao em A mas nao em B.

E habitual recorrer (mais uma vez) a uma representacao grafica para trabalhar com estasoperacoes. Aqui, os numeros reais sao representados por uma recta. Os intervalos assinalam-se sobre essa recta; a interseccao de intervalos corresponde a zona abrangida por ambos osintervalos em simultaneo, a uniao a zona abrangida por qualquer deles e a diferenca a zonaabrangida por um mas nao pelo outro. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.

1. Para calcular [−1, 2]∪ ]1, 3], comecamos por assinalar os dois intervalos sobre a recta real.Tal como atras, usamos uma bola (•) para indicar que o extremo pertence ao intervalo eum cırculo aberto (◦) para indicar que nao pertence.

A uniao dos dois intervalos corresponde a toda a regiao sombreada, ou seja, ao inter-valo [−1, 3].

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6

x

I=[-1,2]

J=]1,3]

I JU

2. Para calcular [−1, 2]∩ ]1, 3], assinalamos como atras os dois intervalos sobre a recta real.A uniao dos dois intervalos corresponde a regiao assinalada com o sombreado mais escuro,ou seja, ao intervalo ]1, 2].

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6

x

I=[-1,2]

J=]1,3]

I JU

3. Para calcular [−1, 2]\]1, 3], assinalamos novamente os dois intervalos sobre a recta real.A diferenca entre os dois intervalos corresponde a regiao no sombreado mais claro corre-spondente apenas ao intervalo [−1, 2], ou seja, ao intervalo [−1, 1].



0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6

x

I=[-1,2]

J=]1,3]

I\J

E importante saber realizar estas operacoes porque na determinacao de domınios de funcoessurgem quase sempre interseccoes e, por vezes, unioes e diferencas de intervalos. Neste ponto,os problemas que surgem sao relativamente simples; porem, a medida que formos introduzindofuncoes mais complexas no nosso repertorio, o problema do calculo de domınios pode comecartambem a ser mais complicado.

Exercıcio 9. Determine o conjunto designado pelas seguintes expressoes.

(a) [−2, 2] ∪ [−4, 3[

(b) ]−3, 2] ∩ ]1, 5]

(c) ]−1, 1[ \ [0, 1]

(d) ]−1, 1[ ∪ [0, 2[

(e) ]−3, 2] ∩ ]−1, 1[

(f) [0, 5] \ [2, 3]

Consideremos a funcao f definida por f(x) = 2x+1x−3 . Como ja sabemos, para que f esteja

definida e necessario que x 6= 3. Em termos de conjuntos, podemos escrever

Df = R \ {3} ou Df = ]−∞, 3[ ∪ ]3,+∞[ .

Suponhamos agora que tınhamos uma funcao g definida por g(x) = 2x2−4 . Novamente, o

domınio de g e o conjunto de pontos em que x2 − 4 6= 0. Temos

x2 − 4 6= 0⇐⇒ x2 6= 4⇐⇒ x 6= ±2 ,

donde

Dg = R \ {−2, 2} ou Dg = ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 2[ ∪ ]2,+∞[ .

Finalmente, uma palavra de cautela: o domınio duma funcao pode estar restringido poroutras condicoes que nao a sua expressao. Imaginemos que nos encontravamos perante aseguinte definicao da funcao h.

h(x) =

{x2 + 2 0 ≤ x < 1

2− 2x 1 ≤ x ≤ 3

A funcao h esta definida para valores no intervalo [0, 1[ pela expressao h(x) = x2 + 2 e paravalores no intervalo [1, 3] pela expressao h(x) = 2− 2x. Para valores fora daqueles intervalos,nao se pode calcular h(x) pela simples razao de que nao foi dada nenhuma expressao paraaquela funcao. Neste caso, tem-se

Dh = [0, 1[ ∪ [1, 3] = [0, 3] .



Exercıcio 10. Determine o domınio das seguintes funcoes.

(a) f(x) = 2x− 2

(b) f(x) = 2x3x+1

(c) g(x) = 3x2 + 2x2+1

(d) g(x) = 3|x+1|

(e) h(x) =

{1x

|x| < 1x2−3x

2x > 2

Graficamente, o domınio duma funcao corresponde ao conjunto dos pontos no eixo ho-rizontal que tem algum ponto do grafico da funcao acima ou abaixo deles. Em geral, estainformacao e determinada previamente, antes da construcao do grafico; porem, em situacoesem que a funcao e estudada a partir do seu grafico, esta forma de determinar o seu domınio ebastante util.

2.3.2 Monotonia, extremos e assımptotas

Desde sempre, uma das principais motivacoes para estudar problemas que geram funcoes foiresolver problemas de maximos e mınimos: descobrir o valor do argumento que torna o valorduma funcao tao elevado ou tao reduzido quanto possıvel. O estudo deste tipo de problemasfoi um dos factores que esteve na origem do desenvolvimento do Calculo Diferencial, que serao tema do Capıtulo 3.

Nesta seccao vamos introduzir a terminologia relevante e mostrar como estes conceitos temum significado grafico muito preciso, que nos permite resolver estes problemas para todas asfuncoes que ja encontramos ate agora.

Definicao. Uma funcao f : R → R diz-se monotona crescente num intervalo se o seu valoraumenta ao longo desse intervalo e monotona decrescente se o seu valor diminui ao longo desseintervalo.

Formalmente, f e monotona crescente em [a, b] se f(x) ≥ f(y) sempre que x e y forem doiselementos de [a, b] com x > y; f e monotona decrescente em [a, b] se f(x) ≤ f(y) sempre que xe y forem dois elementos de [a, b] com x > y.

Uma funcao afim f(x) = Ax+B e monotona crescente em R se A > 0 e monotona decres-cente no mesmo intervalo se A < 0. Ja a funcao f(x) = x2 e monotona decrescente em ]−∞, 0]e monotona crescente em [0,+∞[. O ponto 0, em que a funcao muda de comportamento, eum extremo local.

Definicao. Sejam f : R → R uma funcao e a um numero real. Se existem numeros reais b ec tais que f e monotona crescente em [b, a] e monotona decrescente em [a, c], entao o ponto adiz-se um maximo local de f ; se existem numeros reais b e c tais que f e monotona decrescenteem [b, a] e monotona crescente em [a, c], entao o ponto a diz-se um mınimo local de f .

Um ponto a que e maximo ou mınimo local de f diz-se um extremo relativo de f .

Outra definicao equivalente e a seguinte: a e um maximo (ou mınimo) local se existe umintervalo ]b, c[ contendo o ponto a tal que f(x) ≤ f(a) (ou f(x) ≥ f(a)) para x ∈ ]b, c[.

Definicao. O numero real a diz-se o maximo absoluto de f se f(x) ≤ f(a) para todo o valor xno domınio de f ; a diz-se o mınimo absoluto de f se f(x) ≥ f(a) para todo o valor x nodomınio de f .

Um maximo ou mınimo absoluto de f diz-se um extremo absoluto de f .



Na pratica, o termo maximo (ou mınimo) aplica-se quer ao ponto a, quer ao valor de f(a).E preciso ter atencao ao contexto para clarificar a qual destes valores (em geral diferentes) eque o termo se refere.

Graficamente, estas propriedades sao muito simples de observar. Uma funcao e monotonacrescente (decrescente) num intervalo se o seu grafico e uma curva ascendente (descendente)nesse intervalo; e atinge um maximo (mınimo) local num ponto que e o mais (menos) elevadodo grafico numa regiao a sua volta.

Vejamos como e que estes conceitos se aplicam as classes de funcoes que estudamos atras.

1. As funcoes constantes tem apenas um valor; assim, esse valor e simultaneamente maximoe mınimo absoluto da funcao, e todos os numeros reais sao extremos absolutos de qualquerfuncao constante.

2. Uma funcao afim f(x) = Ax + B e monotona em todo o seu domınio, uma vez que oseu grafico e uma recta sempre com o mesmo declive. Se A > 0, a funcao e crescente; seA < 0, a funcao e decrescente.

3. O comportamento das funcoes quadraticas ja e diferente. Sendo f(x) = Ax2 + Bx + C,vimos que o grafico de f tem um eixo de simetria em x = − B

2A. Se A > 0, entao este

grafico e uma parabola virada para cima; entao a funcao e decrescente em]−∞,− B

2A

]e crescente em

[− B

2A,+∞

[, sendo o ponto x = − B

2Asobre o eixo de simetria o mınimo

absoluto da funcao (ver Figura 2.12, (a)). Se A < 0, entao a parabola esta virada parabaixo, pelo que a funcao e crescente em

]−∞,− B

2A

]e decrescente em

[− B

2A,+∞

[, e o

ponto x = − B2A

e agora o maximo absoluto da funcao (Figura 2.12, (b)).

x

y

-3 -1 1

-4

f(x)=x²+2x-3

(a)

x

y

9/2

-1 21/2

f(x)=-2x²+2x+4

(b)

Figura 2.12: As duas orientacoes possıveis do grafico duma funcao quadratica. No caso A > 0,o ponto sobre o eixo de simetria e um mınimo; no caso A < 0, esse ponto e um maximo.

4. Em termos de monotonia, a funcao modulo tem um comportamento semelhante a umafuncao quadratica. Uma vez que |x| ≥ 0, o seu mınimo absoluto e atingido precisamentequando x = 0, sendo a funcao monotona decrescente a esquerda desse ponto e monotonacrescente a direita.

5. As funcoes com expressao xn caem novamente em duas categorias. Se n e ımpar, a funcaoe monotona crescente em todo o seu domınio, nao tendo portanto extremos relativos. Se



n e par, entao o grafico da funcao tem um eixo de simetria em x = 0 e, tal como nocaso das parabolas, o ponto sobre este eixo e o mınimo absoluto da funcao. Neste caso,a funcao e monotona decrescente em ]−∞, 0] e monotona crescente em [0,+∞[.

6. A situacao relativa as funcoes com expressao 1xn

e bastante diferente.

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4 f(x)=1/x

(a)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4f(x)=1/x²

(b)

Figura 2.13: Os dois comportamentos possıveis das funcoes 1xn

.

Comecemos por considerar a funcao f(x) = 1x

(Figura 2.13 (a)). Esta funcao e decrescentenos intervalos ]−∞, 0[ e ]0,+∞[; porem, seria errado afirmar que e decrescente em todoo seu domınio: considerando os pontos −1 e 1, temos que −1 < 1 mas f(−1) = −1, quee menor que f(1) = 1.

Alem disso, esta funcao nao tem extremos relativos. Consideremos o que se passa no ramoem que o argumento e positivo. A funcao e decrescente e positiva, mas assume valoresarbitrariamente grandes (basta escolhermos argumentos suficientemente proximos de 0)e valores arbitrariamente proximos de 0 (basta escolhermos argumentos suficientementegrandes), sem contudo chegar a atingir este valor. Da mesma forma, quando o argumentode f e negativo a funcao assume todos os valores negativos, mas nao tem extremos.

No caso da funcao definida por f(x) = 1x2

(Figura 2.13 (b)), a situacao e semelhante,embora ligeiramente diferente. Em termos de monotonia, estamos agora perante umafuncao monotona crescente em ]−∞, 0[ e monotona decrescente em ]0,+∞[; tal como aanterior, esta funcao nao tem extremos relativos.

Todas as funcoes com expressao 1xn

exibem um destes dois comportamentos, consoanten seja impar (caso de 1

x) ou par (caso de 1

x2).

7. Quando nos encontramos perante funcoes definidas por ramos, surge uma nova situacao:a funcao pode atingir um extremo relativo no limite do ramo, sendo preciso efectuar essaverificacao. Consideremos novamente os graficos das tres funcoes por ramos estudadasanteriormente.

A funcao representada na Figura 2.14 (a) e monotona crescente em R, nao tendo portantoqualquer extremo relativo. Ja a funcao da Figura 2.14 (b) e monotona decrescente parax ≤ 0 e monotona crescente para x ≥ 0, apresentando um mınimo absoluto em x = 0



x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

Figura 2.14: Funcoes definidas por ramos. Estas funcoes podem ter extremos relativos nospontos de mudanca de ramo.

com valor −2. Em ambos os casos, o comportamento da funcao e identico a esquerda e adireita do ponto de mudanca de ramo, pelo que estes pontos nao sao extremos relativos.

No caso da funcao da Figura 2.14 (c), a situacao e diferente. No intervalo ]−∞,−1[ afuncao e constante, sendo todos os seus pontos maximos e mınimos relativos; uma vezque a funcao nunca atinge valores superiores a 3, estes extremos sao mesmo extremosabsolutos.

No intervalo [−1, 0] a funcao e decrescente. Contudo, o ponto −1 nao e um extremorelativo, pois o valor que a funcao toma nesse ponto (0) e inferior ao valor que toma empontos menores (3). Ja o ponto 0 e um mınimo relativo, sendo a funcao depois crescenteem [0, 2].

Finalmente, o intervalo [2,+∞[ e novamente um intervalo de monotonia decrescente.Aqui ja temos um extremo relativo no ponto 2: nesse ponto a funcao atinge o valor 3,que e superior aos valores a esquerda e a direita. Neste caso, encontramos um extremorelativo num ponto de mudanca de ramo.

Os graficos das funcoes como f(x) = 1x

apresentam uma particularidade interessante: afuncao tem intervalos de monotonia que nao terminam com um extremo relativo. Visualmente,observa-se que nestes intervalos a funcao se aproxima duma recta — uma recta vertical, quandox se aproxima de 0, e uma recta horizontal, a medida que x aumenta ou diminui sem limite.

Quando o grafico duma funcao se aproxima duma recta, diz-se que essa recta e umaassımptota do grafico. Mais adiante veremos como determinar assımptotas de uma formasistematica, incluindo assımptotas oblıquas (que nao ocorrem nestes tipos de funcoes); nestemomento, e importante perceber o seu significado geometrico e ser capaz de as identificargraficamente.

2.3.3 Analise de graficos de funcoes

Vamos agora por em pratica tudo aquilo que vimos nas seccoes anteriores analisando algumasfuncoes apenas a partir dos seus graficos.

Consideremos os seguintes exemplos de graficos de funcoes.



x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

f(x)

(a)

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

g(x)

(b)

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

h(x)

(c)

A funcao f , cujo grafico esta representado em (a), esta definida para todos os numerosreais. Ate x = −2, a funcao e uma funcao afim decrescente; entre −2 e 3, a funcao decresce ateatingir o valor −3 (no ponto x = 1) e volta a subir, atingindo o valor 2. A partir do ponto 3,a funcao e constante.

Assim, temos que

Df = R e f(R) = [−3,+∞[ .

A funcao e monotona decrescente em ]−∞, 1] e monotona crescente em [1, 3], atingindo o seumınimo absoluto em x = 1.

A funcao g, cujo grafico esta representado em (b), tambem esta definida para todos osnumeros reais, sendo o seu domınio portanto R. A funcao e constante com valor 4 ate x = −4,decrescendo depois ate x = −2; aı o valor da funcao salta para −5, subindo depois cada vezmais lentamente ate se aproximar do valor 5.

Novamente Dg = R. Quanto ao contradomınio, observe-se que a funcao tem um mınimoabsoluto de valor −5; por outro lado, embora se aproxime do valor 5, nunca o atinge — a rectay = 5 e uma assımptota horizontal (a direita) do grafico de g. Entao g(R) = [−5, 5[. A funcaoe ainda monotona decrescente no intervalo [−4,−2[ e monotona crescente em [−2,+∞[, tendoum mınimo absoluto com valor −5 em x = −2 e um maximo relativo com valor 4 para todosos valores de x ate −4.

Finalmente, a funcao h, cujo grafico se apresenta em (c), e composta por tres ramos queno seu conjunto cobrem todos os numeros reais. No primeiro ramo, a funcao cresce muitolentamente desde 1 (valor que nunca chega a atingir) ate x = 0, onde toma o valor 2. Entre 0e 1 (sem incluir os extremos), e constante de valor 3; finalmente, a partir de x = 1, a funcao euma funcao afim decrescente.

Tem-se

Dh = R e h(R) = ]−∞,−1] ∪ ]1, 2] ∪ {3} .

De facto, os valores menores que −1 sao imagem do troco final da funcao; o segundo intervalocorresponde ao troco x ≤ 0, onde a funcao toma os valores todos entre 1 e 2 sem contudoatingir 1 (mas tomando o valor 2). O valor 3 e o valor de h no troco em que e constante.

Esta funcao e monotona crescente em ]−∞, 0] e monotona decrescente em [1,+∞[, tendomaximos relativos em todos os pontos do intervalo ]0, 1[. A recta y = 1 e uma assımptotahorizontal (a esquerda) do grafico de f .



Exercıcio 11. Estude as funcoes cujos graficos se apresentam na figura seguinte.

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

y=f(x)

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

g(x)

x

y

-3 -1 1

-4

2 3 4

-2

2

4

-2-4

h(x)

2.4 Funcao exponencial e funcoes trigonometricas

Embora a Analise Matematica se debruce sobre o estudo de todas as funcoes reais de variavelreal, ha um conjunto de funcoes que tendem a ocorrer com bastante mais frequencia do queoutras, quer por questoes ligadas as aplicacoes (sao funcoes que modelam comportamentos domundo real), quer por questoes de complexidade (sao funcoes simples para efectuar calculos, eportanto usadas para aproximacoes), quer por questoes mais teoricas mas com impacto pratico(surgem como resolucao de problemas concretos).

Nas seccoes anteriores falamos de funcoes afim, quadraticas e potencias; todas estas funcoessao casos particulares de polinomios ou funcoes polinomiais. Um polinomio e uma funcao cujaexpressao pode ser escrita apenas usando potencias e multiplicacao por constantes; com asferramentas de que dispomos neste momento nao nos e possıvel tratar polinomios em geral, peloque nos cingimos aos casos discutidos atras. Estas funcoes sao contudo de grande importancia,ja que sao as mais simples de toda a classe das funcoes reais em termos computacionais e,por esse motivo, sao extremamente utilizadas na pratica em contextos requerendo calculosaproximados. Os polinomios tem ainda a vantagem de serem funcoes definidas para qualquernumero real.

Outro tipo de funcao que encontramos foram as funcoes recıprocas, ou potencias de ex-poente negativo: funcoes com expressoes como 1

x, 1x2

e similares, que podem tambem serescritas na forma x−1, x−2, e assim por diante. Estas funcoes nao sao polinomios (em particu-lar, nao estao definidas para todos os numeros reais), mas sao um caso particular de funcoesracionais : funcoes que podem ser definidas como quociente (ou divisao) de dois polinomios.Outros exemplos de funcoes racionais que ja encontramos sao f(x) = x+2

x−2 , f(x) = 2x2−4 e

f(x) = 2x+1x−3 . Estas funcoes surgem com grande frequencia na modelacao de problemas con-

cretos, e tendo um comportamento substancialmente diferentes dos polinomios exigem umtratamento proprio.

Nesta seccao vamos discutir dois novos tipos de funcoes: as funcoes exponenciais e asfuncoes trigonometricas. Estas funcoes sao mais uma vez bastante diferentes de todas as que ja


2.4. FUNCAO EXPONENCIAL E FUNCOES TRIGONOMETRICAS 71

encontramos; e sao de particular interesse quer por motivos teoricos, quer por motivos praticos.As suas propriedades analıticas levam a que sejam solucoes de muitos problemas concretos,pelo que exponenciais, senos e cosenos sejam funcoes recorrentes em areas tao diversas como aFısica, a Estatıstica, a Economia e a Biologia. A funcao exponencial tem um papel importantenos modelos matematicos da Economia, enquanto as funcoes trigonometricas estao na base dasseries de Fourier, que sao uma ferramenta fundamental em Electrotecnia e Telecomunicacoes.

2.4.1 Funcao exponencial

Uma das operacoes aritmeticas definida sobre numeros reais e a potencia: ab. Ate agora,consideramos a funcao que se obtem a partir desta operacao mantendo o expoente constantee fazendo variar a base: x2, x3, x6 sao exemplos de funcoes deste tipo.

Outra forma de obter uma funcao definida com base na operacao de potenciacao e mantera base constante, mas permitir que o expoente varie. Obtem-se assim funcoes como 2x, 3x

ou 10x.

Estas funcoes exibem todas um comportamento muito semelhante, substancialmente dife-rente de todas as que encontramos ate agora. Por motivos que se tornarao claros mais adiantes,a funcao exponencial por excelencia e a que tem por base o numero e, conhecido como numerode Neper, que encontramos ja no contexto das sucessoes; de facto, esta e a exponencial “maissimples” (num sentido muito concreto que e universalmente aceite) a qual todas as outras sereduzem como teremos oportunidade de ver mais adiante.

A funcao exponencial e uma funcao que esta definida para todos os numeros reais: umavez que o numero e e positivo e podemos tomar potencias de qualquer expoente com base e.Das regras operatorias das potencias, sabemos em particular que e0 = 1, e1 = e, ex+y = exey ee−x = 1

ex. Decorre daqui que ex > 0 para todos os numeros reais x, tendo-se ex > 1 para x > 0

e ex < 1 para x < 0. Da relacao ex+y = exey decorre ainda que a funcao e monotona crescenteem todo o seu domınio: se y > 0 entao x+ y > x e ex+y = exey > ex porque ey > 1.

O grafico da funcao exponencial e entao uma curva com assımptota horizontal x = 0 aesquerda e que cresce muito rapidamente para valores positivos de x (mais rapidamente, narealidade, do que qualquer potencia xn. O seu contradomınio e portanto o intervalo ]0,+∞[dos reais positivos e a funcao nao tem extremos relativos. A Figura 2.15 mostra o grafico destafuncao.

x

y

4

1 2

2

6

8

-1-2-3 3

f(x)=ex

Figura 2.15: O grafico da funcao exponencial.



Todas as funcoes exponenciais da forma ax, com a > 1, tem graficos semelhantes. Ocrescimento e tanto maior quanto maior for a; para tracar o grafico, a melhor referencia esempre o valor da funcao no ponto 1 (que e precisamente a).

Quando a < 1, o comportamento da exponencial inverte-se: agora a recta x = 0 eassımptota horizontal a direita e a funcao e monotona decrescente. O grafico de referenciaagora e a funcao f(x) =

(1e

)x= e−x, que se obtem do anterior por uma reflexao em relacao ao

eixo das ordenadas.

x

y

4

1 2

2

6

8

-1-2-3 3

f(x)=e-x

Figura 2.16: O grafico da funcao exponencial negativa.

2.4.2 Funcoes trigonometricas

As funcoes trigonometricas podem ser definidas de varias formas, todas elas equivalentes.Historicamente, surgiram da observacao de propriedades geometricas de triangulos que saoinvariantes relativamente a mudancas de escala; e essa abordagem que seguiremos nesta apre-sentacao.

Um dos resultados sobre triangulos conhecido desde a Antiguidade e o seguinte: doistriangulos com todos os angulos iguais sao semelhantes, ou seja, podem ser transformadosum no outro apenas por via duma mudanca de escala (ampliacao ou reducao). Uma vez quea soma dos angulos internos dum triangulo e 180o, basta verificar que dois triangulos tem doisangulos iguais para concluir que o terceiro tambem sera necessariamente igual aqueles dois eque os triangulos serao portanto semelhantes; pensando em triangulos rectangulos, chegamosa seguinte conclusao: dois triangulos rectangulos com um angulo agudo igual sao semelhantes.

De facto, dois triangulos rectangulos tem automaticamente um angulo recto, pelo que se umdos outros dois angulos tambem for igual nos dois triangulos o terceiro se-lo-a automaticamente.Isto significa que, se as medidas dos lados de um deles forem a, b e c, entao as medidas doslados do outro serao k × a, k × b e k × c, respectivamente, para um numero real fixo k (verFigura 2.17).

Desta observacao podemos tirar duas conclusoes. Em primeiro lugar, conseguimos carac-terizar completamente a forma dum triangulo rectangulo a partir da medida dum dos seusangulos agudos. Em segundo lugar, sabendo esse angulo conhecemos os valores das proporcoesentre os lados do triangulo. De facto, se dois triangulos sao semelhantes, as razoes entre os seuslados sao constantes: escolhendo por exemplo os dois catetos nos triangulos da figura anterior,



θ

a

b

c

θ

k a1 k c1

k b1

θk c2

k b2

k a2

θk b3

k c3

k a3

θ k b4

k a4

k c4

k b5

k a5

k c5θ

Figura 2.17: Triangulos semelhantes. Todos estes triangulos tem um angulo recto e um anguloagudo com a mesma medida θ.

o quociente entre eles e ab

para o primeiro triangulo, k1ak1b

= ab

para o segundo, k2ak2b

= ab

para oterceiro, e assim sucessivamente.

Podemos entao definir funcoes que associam a cada angulo θ o valor do quociente entre de-terminados lados dum triangulo rectangulo com um angulo agudo de valor θ. Ha seis quocientesque podemos calcular, descritos na Tabela 2.2.

As notacoes usadas para estas funcoes nao sao, infelizmente, universais. Neste texto us-amos a notacao anglo-saxonica, que e a habitualmente usada em Engenharia, nos teclados dasmaquinas de calcular e em linguagens de Programacao. A notacao francesa, tambem usadafrequentemente em Portugal, usa sen θ, tg θ, cotg θ e cosec θ para sin(θ), tan(θ), cot(θ) e csc(θ),respectivamente.

E importante ainda salientar que, em Matematica, estas funcoes estao definidas assumindoque os angulos sao medidos em radianos. Ha duas razoes para isto. Em primeiro lugar, trabal-har com angulos em radianos simplifica muitos calculos: um radiano e definido como a medidado angulo tal que o comprimento do arco de circunferencia associado e igual ao raio da mesmacircunferencia (ver Figura 2.18), o que evita muitos factores multiplicativos em conversoes entreangulos e arcos. Em segundo lugar, tal como sucedia com a exponencial, o radiano e a medidanatural do ponto de vista da Analise Matematica, no sentido em que as funcoes trigonometricascom o argumento em radianos se comportam duma forma especialmente simples. Assim, daquiem diante usaremos sempre os radianos como unidades de medida sem mais comentarios.

Da definicao das funcoes trigonometricas ha um conjunto de relacoes que sao imediatas.

Funcao Razao entre. . .Seno sin(θ) = a

co cateto oposto ao angulo e a hipotenusa

Coseno cos(θ) = bc

o cateto adjacente ao angulo e a hipotenusaTangente tan(θ) = a

bo cateto oposto e o cateto adjacente ao angulo

Cotangente cot(θ) = ba

o cateto adjacente e o cateto oposto ao anguloSecante sec(θ) = c

ba hipotenusa e o cateto adjacente ao angulo

Cosecante csc(θ) = ca

a hipotenusa e o cateto oposto ao angulo

Tabela 2.2: Definicao das funcoes trigonometricas. As letras a, b e c referem-se ao trianguloda Figura 2.17.



1

r

r

Figura 2.18: Definicao de radiano. O angulo assinalado mede precisamente 1; os segmentos notraco mais grosso tem todos o mesmo comprimento. Uma vez que o perımetro da circunferenciae 2πr, conclui-se que uma volta completa corresponde a um angulo de 2π radianos.

Em particular, temos que

cot(θ) =1

tan(θ)sec(θ) =

1

cos(θ)csc(θ) =

1

sin(θ),

motivo pelo qual estas funcoes sao pouco usadas na pratica; a funcao cotangente surge porvezes nalguns contextos, mas as funcoes secante e cosecante praticamente desapareceram.

Tambem podemos definir a tangente a custa do seno e do coseno, como

tan(θ) =a

b=

acbc

=sin(θ)

cos(θ).

Nao obstante, a tangente e uma funcao extremamente util por si so; esta relacao e contudo utilna pratica para derivar propriedades da tangente a custa de propriedades de senos e cosenos.

Do Teorema de Pitagoras, sabemos que

a2 + b2 = c2 ⇐⇒ a2

c2+b2

c2= 1⇐⇒ sin2(θ) + cos2(θ) = 1 ,

relacao que e conhecida como Formula Fundamental da Trigonometria. A partir desta dedu-zem-se muitas outras; por exemplo, dividindo ambos os membros por cos2(θ) obtemos

tan2(θ) + 1 =1

cos2(θ).

Exercıcio 12. Use a formula fundamental da trigonometria e as relacoes entre as funcoestrigonometricas para derivar as seguintes relacoes.

(a) cot2(θ) + 1 = 1sin2(θ)

(b) sin(θ) =√

1− cos(θ)

(c) 1− cos(θ) = sin2(θ)1+cos(θ)

(d) cot2(θ)− cos2(θ) = cos4 θsin2(θ)

(e) 1sin(θ)

− sin(θ) = cos(θ)tan(θ)

(f) 1− sin(θ) = cos2(θ)1+sin(θ)



Da mesma forma, podemos determinar os valores de todas as funcoes associadas a umangulo apenas a partir duma delas. O mais simples e faze-lo a partir do seno ou coseno; darelacao sin2(θ) + cos2(θ) = 1 obtemos o valor da outra funcao, e a partir daı o de todas asrestantes. A partir da tangente, recorre-se a relacao tan2(θ) + 1 = 1

cos2(θ)para determinar o

coseno e prossegue-se da mesma forma.

Exercıcio 13.

(a) Sabendo que sin(θ) = 35, calcule os valores de cos(θ), tan(θ), cot(θ), sec(θ) e csc(θ).

(b) Sabendo que cos(θ) = 513

, calcule os valores de sin(θ), tan(θ), cot(θ), sec(θ) e csc(θ).

(c) Sabendo que tan(θ) = 815

, calcule os valores de sin(θ), cos(θ), cot(θ), sec(θ) e csc(θ).

Outras relacoes entre funcoes trigonometricas saem da sua definicao a custa de triangulos.No triangulo acima, um dos angulos agudos tem medida θ, donde o outro angulo agudo temmedida π

2− θ (a soma dos tres angulos e π e o angulo recto mede π

2). Entao o quociente a

c

designa nao apenas sin(θ), mas tambem cos(π2− θ): e a razao entre o cateto oposto a esse

angulo e a hipotenusa do triangulo.

Exercıcio 14. Verifique que as seguintes identidades sao validas.

(a) cos(θ) = sin(π2− θ)

(b) tan(θ) = cot(π2− θ)

(c) sec(θ) = csc(π2− θ)

Antes de prosseguirmos, vamos generalizar as funcoes trigonometricas a valores reais ar-bitrarios de θ e ver como podemos determinar de forma sistematica os seus valores. Para tal,consideremos nao um triangulo, mas um cırculo unitario centrado na origem dum referencial e arecta x = 1, tangente vertical a esse cırculo no ponto (1, 0), conforme ilustrado na Figura 2.19.

θ

1

sin(θ)

cos(θ)

tan(θ)

x

y

Figura 2.19: O cırculo trigonometrico. A circunferencia desenhada tem raio 1, a recta atracejado e a recta x = 1. A figura ilustra as diferentes funcoes trigonometricas de θ.

Suponhamos que temos uma semi-recta partindo da origem que faz um angulo θ com oeixo horizontal. Unindo perpendicularmente o ponto (x, y) de interseccao desta recta com o



cırculo ao eixo horizontal, obtemos um triangulo rectangulo com lados x, y e 1. Entao temosque sin(θ) = y

1= y e cos(θ) = x

1= x, ou seja, as coordenadas do ponto de interseccao sao

(cos(θ), sin(θ)).Se prolongarmos esta semi-recta ate intersectar a recta vertical, obtemos outro triangulo

rectangulo em que o cateto adjacente ao angulo mede 1. Calculando a tangente de θ atravesdeste triangulo, concluımos que o ponto de interseccao das duas rectas tem coordenadas(1, tan(θ)).

Podemos usar estes factos para definir seno, coseno e tangente de qualquer numero real θ,a partir da semi-recta que parte da origem a um angulo θ com o eixo horizontal. Note-se queum angulo de 2π corresponde a uma volta completa, pelo que conhecendo os valores destasfuncoes no intervalo [0, 2π] podemos determinar os seus valores em qualquer ponto. As funcoestrigonometricas sao tambem conhecidas como funcoes circulares devido a esta sua interpretacaogeometrica.

O cırculo trigonometrico tambem e util para determinar relacoes entre funcoes trigonome-tricas de argumentos diferentes. Vejamos alguns exemplos.

θ

sin(θ)

cos(θ)

tan(θ)

x

y

(a)

θ

sin(θ)

cos(θ)

x

y

_ +θπ2

sin(θ)

cos(θ)

(b)

θ

sin(θ)

cos(θ)

x

y

π-θ

sin(θ)

cos(θ)

(c)

Figura 2.20: Medicoes de angulos.

Exemplo.

1. Na Figura 2.20 (a) esta representada a semi-recta partindo da origem a um angulo de π4

com a horizontal. Uma vez que π4

= π2− π

4, o triangulo que resulta da interseccao com

o cırculo tem os dois angulos agudos iguais e, por conseguinte, os dois catetos iguais.Entao sin π

4= cos π

4, donde em particular tan π

4= 1. Da Formula Fundamental da

Trigonometria, obtemos

sin2(π

4

)+ cos2

(π4

)= 1 =⇒ 2 sin2

(π4

)= 1 =⇒ sin

(π4

)= ±√

2

2.

Uma vez que o valor do seno e do coseno de π4

sao ambos positivos, concluımos que

sin π4

= cos π4

=√22

.

2. A Figura 2.20 (b) ilustra a relacao entre o angulo θ e o angulo θ + π2. A segunda semi-

recta faz um angulo θ com a vertical, pelo que os dois triangulos assinalados na figura saoiguais; entao temos que sin

(θ + π

2

)= cos(θ) e cos

(θ + π

2

)= − sin(θ) — os comprimentos

vem da igualdade dos triangulos e os sinais da observacao da figura. Conclui-se tambemque tan

(θ + π

2

)= − cot(θ) e cot

(θ + π

2

)= − tan(θ).



3. Finalmente, a Figura 2.20 (c) mostra a relacao entre o angulo θ e o angulo π − θ. Nova-mente, temos dois triangulos iguais (assinalados na figura), de onde se obtem imediata-mente as relacoes sin(θ) = sin(π − θ) e cos(θ) = − cos(π − θ).

Este raciocınio deve ser exercitado, uma vez que precisaremos frequentemente de recorrer aeste tipo de transformacoes. Apresentamos ainda as formulas dos senos e cosenos para a somae duplicacao de angulos, deixando a sua justificacao a cargo do leitor.

sin(θ + γ) = sin(θ) cos γ + sin γ cos(θ) cos(θ + γ) = cos(θ) cos γ − sin(θ) sin γ

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ)

Uma vez que estas funcoes estao definidas para qualquer numero real, vamos passar a ve-lascomo funcoes reais de variavel real; assim, usaremos qualquer letra que seja conveniente paradesignar o argumento de funcoes trigonometricas.

Exercıcio 15. Sabendo que tan(π4

)= 1, indique o valor de:

(a) sin π4

(b) cos π4

(c) sin(−π

4

)(d) cos

(−π

4

) (e) sin 3π4

(f) cos 3π4

(g) tan(−π

4

)(h) tan 3π

4

Exercıcio 16. Sabendo que sin π6

= 12, indique o valor de:

(a) cos π6

(b) tan π6

(c) sin π3

(d) cos π3

(e) tan π3

(f) sin 2π3

(g) cos 2π3

(h) tan 2π3

(i) sin(−π

3

)(j) cos

(−π

3

)(k) tan

(−π

3

)(l) sin

(−π

6

)(m) cos

(−π

6

)(n) tan

(−π

6

)

Exercıcio 17. Simplifique as seguintes expressoes.

(a) 4 sin2(−α)sinα cos(−α)

(b) tan(−2α) + tan(π − 2α)

(c) sin(π + α) cos(π2− α

)(d) sin(−x) + 4 cos

(x− π

2

)+ 3 sin(4π + x)

(e) 1−cos(2β)sin(2β)

(f) sin(3t)sin t− cos(3t)

cos t

Vamos entao discutir brevemente o comportamento das funcoes trigonometricas e os seusgraficos.

Comecemos pelas funcoes seno e coseno. Uma vez que ambas correspondem a coordenadasde pontos sobre uma circunferencia unitaria, os seus valores estao compreendidos entre −1e 1 — algo que poderıamos ter observado da relacao sin2(x) + cos2(x) = 1. Uma vez quesin(2π + x) = sin(x) e cos(2π + x) = cos(x), os graficos de ambas mantem-se iguais quandosofrem uma translacao horizontal de 2π unidades. Por este motivo, estas funcoes dizem-seperiodicas de perıodo 2π.



Comecando no ponto 0, a funcao seno toma o valor 0. A medida que o valor de x aumenta,o valor de sin(x) vai aumentando, rapidamente de inıcio e mais lentamente a medida que x seaproxima de π

2(estamos a percorrer o cırculo no sentido contrario ao dos ponteiros do relogio).

Nesse ponto, a funcao atinge o valor 1, comecando a diminuir lentamente, de inıcio, e depoismais rapidamente, passando por 0 quando x = π e diminuindo cada vez mais lentamente ateatingir o valor −1, no ponto x = 3π

2. Finalmente, volta a crescer cada vez mais rapidamente

ate atingir novamente o valor 0 no ponto 2π. Esta oscilacao repete-se indefinidamente.Para tracar o grafico da funcao coseno, basta observar a partir do cırculo trigonometrico

que se tem cos(x) = sin(x+ π

2

). Assim, o grafico do coseno e identico ao do seno, sofrendo

apenas uma translacao de π2

unidades para a esquerda.A Figura 2.21 apresenta os graficos destas duas funcoes.

x

y

-3π

-1

π 3π2π

1

-π-2π

f(x)=sin(x)

(a)

x

y

-3π

-1

π 3π2π

1

-π-2π

f(x)=cos(x)

(b)

Figura 2.21: Graficos das funcoes seno e coseno. Note-se que os graficos se mantem inalteradosse os deslocarmos 2π unidades para a direita ou para a esquerda. O grafico do coseno obtem-sepor translacao do grafico do seno π

2unidades para a esquerda.

No que toca a funcao tangente, comecemos por observar que temos tan(x + π) = tan(x).Podemos concluir isto de duas maneiras: ou algebricamente, da relacao

sin(x+ π)

cos(x+ π)=− sin(x)

− cos(x)=

sin(x)

cos(x)= tan(x) ,

ou por analise do cırculo trigonometrico, ja que as semi-rectas correspondentes aos angulos θe (θ+ π) sao continuacao uma da outra e portanto intersectam a recta da tangente no mesmoponto.

Assim, esta funcao tambem e periodica de perıodo π. Contudo, a tangente nao esta definidaem nenhum valor da forma π

2+ kπ: nestes pontos, a semi-recta correspondente e vertical e

portanto paralela a recta da tangente. Algebricamente, trata-se de pontos em que a funcaocoseno toma o valor 0, nao estando portanto definida a operacao que permite calcular valoresda tangente.

Partindo novamente de 0, onde a tangente toma o valor 0, e aumentando o argumento, estafuncao e crescente: a medida que aumentamos o angulo da semi-recta com o eixo horizontal,a sua interseccao com a recta da tangente vai subindo cada vez mais rapidamente, atingindovalores tao elevados quanto se queira a medida que o angulo se aproxima de π

2. Esta funcao


2.5. OPERACOES COM FUNCOES 79

tem portanto uma assımptota vertical em x = π2. Se observarmos que tan(−x) = − tan(x),

concluımos que se trata duma funcao ımpar; dispomos entao de informacao suficiente paradesenhar o seu grafico, que se apresenta na Figura 2.22.

x

y

-2

π/2

2

-π/2

f(x)=tan(x)

-1

1

Figura 2.22: Grafico da funcao tangente.

Exercıcio 18. Esboce o grafico da funcao cotangente.

2.5 Operacoes com funcoes

Da mesma forma que podemos somar, multiplicar, ou realizar outras operacoes com numerosreais por forma a obter novos numeros reais, ha um conjunto de operacoes que podemosrealizar com funcoes que nos permitem obter novas funcoes. Estas operacoes incluem naoapenas operacoes que sao derivadas directamente das operacoes aritmeticas (sobre os numerosreais), mas tambem duas operacoes que so fazem sentido sobre funcoes: a composicao e ainversao.

2.5.1 Operacoes aritmeticas

Qualquer operacao que esteja definida sobre numeros reais pode ser definida sobre funcoessimplesmente por aplicacao ponto a ponto. Por exemplo: dados dois numeros reais a e b,podemos calcular a sua soma; generalizando, dadas duas funcoes f e g, podemos calcular asua soma (como funcoes) f + g. Esta funcao e uma funcao que, quando aplicada a um numeroreal, devolve a soma dos valores de f e g nesse ponto: (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Da mesma forma podemos definir todas as operacoes sobre funcoes.

- Soma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

- Diferenca: (f − g)(x) = f(x)− g(x)

- Produto: (fg)(x) = f(x)g(x)

- Quociente: (f/g)(x) = f(x)g(x)



Em termos de domınio, estas funcoes estao definidas sempre que as expressoes do ladodireito de cada igualdade estiverem definidas; com excepcao do quociente, isto sucede desdeque as expressoes f(x) e g(x) estejam definidas, ou seja,

Df+g = Df−g = Dfg = Df ∩Dg .

No caso do quociente, a situacao e um pouco diferente. Para podermos calcular (f/g)(x),nao basta podermos determinar os valores de f(x) e g(x): e necessario poder efectuar a suadivisao. Assim,

Df/g = Df ∩Dg \ {x | g(x) = 0} .

Na pratica, a determinacao destes domınios nao oferece mais dificuldade do que anterior-mente: ja atras encontramos varias funcoes que eram obtidas a partir de outras por meio deoperacoes algebricas, mas conhecendo a sua expressao determinamos o seu domınio directa-mente. Estas relacoes sao uteis, contudo, por duas razoes: em primeiro lugar, oferecem-nosuma forma sistematica de determinar o domınio duma funcao a partir das funcoes usadas paraa definir; em segundo lugar, mostram que o domınio de e.g. f + g esta relacionado com osdomınios de f e de g, independentemente das funcoes concretas f e g.

Em termos de graficos, nao ha, em geral, uma relacao obvia entre os graficos de f e g eo grafico de f + g, f − g, fg ou f/g. Ha no entanto uma excepcao importante: o caso emque uma das funcoes (digamos g) e constante, g(x) = k. Vimos ja que neste caso os graficosdas funcoes definidas por f(x) + k e f(x) − k correspondem a translacoes do grafico de f ; os

graficos de k× f(x) e f(x)k

correspondem a dilatacoes ou contraccoes do grafico de f . Uma vez

que f(x)k

= 1k× f(x), vamos considerar apenas o caso do produto.

Comecemos por considerar o caso em que k > 0. Para cada ponto (x, f(x)) do grafico de f ,temos um ponto correspondente (x, k × f(x)) no grafico de kf ; ora graficamente, podemosobter o grafico de kf simplesmente mudando a escala no eixo vertical, por forma a que o pontoy = 1 passe a ser y = k. Se quisermos recuperar a escala original, e so transformar depois ografico obtido (Figura 2.23).

No caso em que k < 0 ha uma pequena diferenca, que pode ser entendida facilmenteconsiderando primeiro k = −1. Neste caso, a funcao obtida tem expressao −f(x); ou seja,cada ponto do seu grafico tem ordenada simetrica do ponto correspondente do grafico de f .Entao o grafico desta funcao obtem-se fazendo uma simetria em relacao ao eixo horizontal(Figura 2.24).

No caso geral, para obter o grafico de kf com k < 0 so temos de combinar ambas asoperacoes: dilatacao/contraccao e simetria. A Figura 2.25 ilustra esta situacao.

Claro esta que em muitos destes exemplos poderıamos ter construıdo directamente o graficode kf a partir dos conhecimentos anteriores; porem, em muitos dos casos esta tecnica permiteobter este grafico com bastante menos trabalho.

Exercıcio 19. Desenhe o grafico das seguintes funcoes.

(a) f(x) = 2ex

(b) f(x) = − 4x2

(c) g(x) = tan(x)3

+ 1

(d) g(x) = 3|x− 1|(e) h(x) =

{3x− 1 x < 0

2 cos(x) x ≥ 0



x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3f(x)=|x|

(a)

x

y

-2 -1 1 2

-2

2

4

6f(x)=2|x|

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

f(x)=2|x|

(c)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

f(x)=1/x

(a)

x

y

2

-1

4-2-4

-2

1

2

f(x)=1/2x

(b)

x

y

2

-2

4-2-4

-4

2

4

f(x)=1/2x

(c)

x

y

-8

1 2

-4

4

8

-1-2

f(x)=x³

(a)

x

y

-12

1 2

-6

6

12

-1-2

f(x)= x³32

(b)

x

y

-8

1 2

-4

4

8

-1-2

f(x)= x³32

(c)

Figura 2.23: Multiplicacao duma funcao por uma constante k > 0. A partir do grafico de f (a),mudamos a escala do grafico (b) sem alterar a forma da curva; finalmente recuperamos a escalaoriginal (c).



x

y

4

1 2

2

-4

-2

-1-2-3 3

g(x)=-ex

Figura 2.24: Obtencao do grafico de −f a partir do grafico de f .

x

y

-1

π 2π

1

-π-2π

f(x)=sin(x)

(a)

x

y

π 2π-π-2π

32

32

f(x)= sin(x)32

(b)

x

y

π 2π-π-2π

f(x)=- sin(x)32

1

-1

(c)

x

y

-2 -1 1 2

-8

-4

4

8

12f(x)=x³-3x

(a)

x

y

-2 -1 1 2

-16

-8

8

16

24

f(x)=2(x³-3x)g(x)=-2(x³-3x)

(b)

x

y

-2 -1 1 2

-8

-4

4

8

12

g(x)=-2(x³-3x)

(c)

Figura 2.25: Multiplicacao duma funcao por uma constante k < 0. Agora, partindo do graficode f (a), mudamos a escala do grafico e aplicamos uma simetria relativamente ao eixo hori-zontal (b); finalmente recuperamos a escala original (c).



2.5.2 Composicao

Uma operacao extremamente importante e a composicao de funcoes. Dadas duas funcoes fe g, a sua composicao e a funcao que tem como regra de transformacao aplicar primeiro afuncao f e depois proceder segundo g a partir do resultado obtido.

Nas maquinas de calcular tradicionais, a composicao de funcoes faz parte da forma comose utilizam: para calcular valores de expressoes que nao correspondem a uma tecla, e precisorealizar dois ou mais passos. Por exemplo, para calcular sin

(√2), e preciso primeiro calcular√

2 e depois aplicar a funcao seno ao resultado. Mas esta operacao e valida para quaisquerfuncoes f e g, desde que g receba argumentos do mesmo tipo do resultado de f .

Definicao. A composicao da funcao f com a funcao g e a funcao g ◦f (lido g apos f), definidapor (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Graficamente, o processo de calculo pode ser representado da forma seguinte.

x

f

##

g◦f

55f(x)

g

%%g(f(x))

Recuperando um dos exemplos iniciais deste capıtulo, podemos encarar a operacao dedeterminar o preco duma quantidade de fruta vendida a granel como uma funcao composta.Num primeiro passo (funcao f) usamos uma balanca para determinar o peso da fruta; nosegundo passo (funcao g) aplicamos a regra que da o preco associado a um dado valor.

fruta

f

##

g◦f

77peso

g

##preco

As balancas de supermercado actuais acoplam um modulo de calculo a balanca, calculandodirectamente o preco a partir da fruta; assim, estas balancas calculam a composicao g ◦ f dasduas funcoes.

Vejamos agora um exemplo envolvendo numeros reais. Sejam f e g as funcoes definidaspor f(x) = 3x e g(x) = x2. Entao

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x) = (3x)2 = 9x2 ,

ou, esquematicamente,

x

f

!!

g◦f

553x

g

%%(3x)2 = 9x2

Repare-se que no calculo da composicao a unica coisa que precisamos de fazer foi avaliarfuncoes em pontos parametrizados (por x).

Podemos tambem calcular f ◦ g; nesse caso, obtemos

f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(x2)

= 3x2 ,



ou, esquematicamente,

x

g

""

f◦g

77x2

f

""3x2

o que mostra que a composicao de funcoes nao e, em geral, comutativa.Vejamos mais alguns exemplos.

Exemplo.

1. Tomando f(x) = 2x e g(x) = x+ 1, o calculo da sua composicao e o seguinte.

x

f

!!

g◦f

772x

g

##2x+ 1

Assim, (g ◦ f)(x) = 2x+ 1.

2. Se f(x) = (x+ 1)2 e g(x) = 3x+ 2, obtemos

x

f

$$

g◦f

44(x+ 1)2

g

''3(x+ 1)2 + 2

donde (g ◦ f)(x) = 3(x+ 1)2 + 2 = 3x2 + 6x+ 5.

3. Para f(x) = sin(x) e g(x) = 2x, obtemos

x

f

$$

g◦f

55sin(x)

g

%%2 sin(x)

e portanto (g ◦ f)(x) = 2 sin(x).

4. Invertendo os papeis de f e g no exemplo anterior, obtemos

x

g

!!

f◦g

662x

f

$$sin(2x)

e portanto (f ◦ g)(x) = sin(2x).

5. Com f(x) = x3 e g(x) = sin(x+ 1), temos

x

f

""

g◦f

55x3

g

%%sin (x3 + 1)

donde (g ◦ f)(x) = sin (x3 + 1).



6. Sejam agora f(x) = ex e g(x) = x2 + x. A composicao destas duas funcoes obtem-secomo atras.

x

f

!!

g◦f

55ex

g

%%

(ex)2 + ex

Logo, (g ◦ f)(x) = (ex)2 + ex = e2x + ex.

Novamente, em muitos dos casos acima obtemos uma funcao que podemos ver como umafuncao “simples”: 2x+ 1 e 3x2 + 6x+ 5 sao expressoes de polinomios, por exemplo, e 2 sin(x) eo produto do seno pela constante 2. Porem, em muitos outros casos nao ha forma de descrevera funcao senao como uma composicao; e o caso de sin(2x), sin (x3 + 1) ou e2x + ex (emboraesta ultima possa ser vista como uma soma em que a primeira parcela e a composicao de ex

com 2x).Nestas situacoes, e fundamental perceber que se trata duma funcao composta. Muitas das

tecnicas da Analise Matematica tratam a composicao de funcoes de forma especial, pelo quea unica forma de analisar funcoes com expressoes como sin (x3 + 1) ou e2x + ex e recorrendoa estas tecnicas. Em particular, neste momento nao temos forma de obter o grafico destasfuncoes a nao ser tabelando valores das funcoes — o que e extremamente impreciso —, dondeseremos forcados a recorrer as tecnicas mais gerais para poder estudar o comportamento destasfuncoes.

Assim, e desde ja fundamental conseguir olhar para uma expressao como sin(2x) e es-creve-la como uma composicao. A tecnica e simples: e preciso pensar nos passos intermediosnecessarios para calcular o seu valor (neste caso, seria necessario comecar por calcular 2x).Notacionalmente, ajuda denotar esse valor intermedio por y e escrever a segunda funcao comofuncao de y.

Exemplo.

1. Considere-se a funcao h definida por h(x) = ex2+1. Para calcular o valor de h(x), e

preciso comecar por calcular y = x2 + 1 para de seguida aplicar a funcao exponencial.

x

f

##

g◦f

66x2 + 1

g

$$

ex2+1

Entao h = g ◦ f , com f(x) = x2 + 1 e g(y) = ey.

2. Seja agora h definida por h(x) = sin(2x + 1). Para calcular o valor de h(x), e precisocomecar por calcular y = 2x+ 1.

x

f

##

g◦f

552x+ 1

g

&&sin(2x+ 1)

Entao h = g ◦ f , com f(x) = 2x+ 1 e g(y) = sin(y).



3. Para a funcao h definida por h(x) = (x2 + 4)4, o calculo requer que se determine primeiro

y = x2 + 4.

x

f

##

g◦f

44x2 + 4

g

&&

(x2 + 4)4

Entao h = g ◦ f , com f(x) = x2 + 4 e g(y) = y4.

4. Vejamos agora um exemplo um pouco mais complexo. Seja h a funcao definida porh(x) = sin

((ex + 1)2

). Para calcular o valor de h(x), e preciso efectuar tres passos e

nao dois: primeiro, calcular y = ex + 1; de seguida calcular o seu quadrado, obtendoz = (ex + 1)2 = y2; e finalmente calcular h(x) = sin(z). Temos portanto

x

f1

##

f3◦f2◦f1

22ex + 1

f2

&&

(ex + 1)2

f3

((

sin((ex + 1)2

)

donde h = f3 ◦ f2 ◦ f1, com f1(x) = ex + 1, f2(y) = y2 e f3(z) = sin(z).

Na pratica, e raro ter de recorrer a mais do que duas composicoes. Situacoes como a doultimo exemplo sao muito complexas e ocorrem pouco frequentemente em situacoes concretas.

Exercıcio 20. Escreva cada uma das seguintes funcoes como uma composicao.

(a) h(x) = cos(x+ 3)

(b) h(x) = e2x+1

(c) h(x) = sin (ex)

(d) h(x) = sin2(x)

(e) h(x) = e|x|

(f) h(x) = tan |x2 − 2|

Tal como sucedia para as operacoes aritmeticas, podemos encontrar uma formula geralpara o domınio da composicao de duas funcoes. Embora em muitos casos concretos nao sejanecessario recorrer a ela, ja que da propria expressao da funcao se deduzem as condicoes queos seus argumentos tem de satisfazer, ha situacoes em que pode ser interessante dispor destaformula.

Para poder calcular o valor de g◦f num ponto x, e necessario poder realizar duas operacoes:calcular o valor de y = f(x) (ou seja, x ∈ Df ) e calcular o valor de g(y) (ou seja, y ∈ Dg).Entao, temos que

Dg◦f = {x ∈ Df | f(x) ∈ Dg} .

Por exemplo, consideremos a funcao h(x) = 1x−3 , que pode ser vista como a composicao de

f(x) = x− 3 com g(y) = 1y. O domınio de f e Df = R; o domınio de g e Dg = R \ {0}. Entao,

o domınio de h = g ◦ f e

Dh = Dg◦f = {x ∈ Df | f(x) ∈ Dg} = {x ∈ R | x− 3 6= 0} = R \ {3} .



2.5.3 Funcao inversa

A ultima operacao sobre funcoes e a inversao. Esta operacao e fundamental, ja que nosvai permitir alargar substancialmente o nosso repertorio de funcoes ate a classe das funcoeshabitualmente usadas em Analise Matematica.

A inversao de funcoes tem origem no interesse que existe em conseguir resolver equacoes daforma y = f(x) de forma sistematica. Quando a solucao desta equacao existe e e unica, paracada valor de y, podemos considerar a seguinte regra de transformacao: dado y, determinar asolucao da equacao f(x) = y. Esta regra de transformacao define uma funcao f−1, chamadafuncao inversa de f , que por construcao tem a propriedade f (f−1(x)) = x, para qualquerx ∈ Df .

Definicao. Uma funcao real f : R→ R diz-se injectiva se a equacao f(x) = y tem no maximouma solucao para cada valor de y. De forma equivalente, f e injectiva se f(x) 6= f(y) sempreque x 6= y.

Uma funcao real f : R→ R diz-se invertıvel se existe uma funcao f−1 tal que f (f−1(x)) = xpara qualquer x ∈ Df .

Estes dois conceitos nao sao sempre equivalentes; porem, na Analise Matematica e comas convencoes que introduzimos anteriormente, uma funcao e injectiva precisamente quandoe invertıvel. De facto, se f e injectiva, entao podemos definir a funcao inversa de f comoexplicamos atras, pelo que f e invertıvel; reciprocamente, se f for invertıvel e encontrarmosdois valores x e y tais que f(x) = f(y), entao x = f (f−1(x)) = f (f−1(y)) = y, donde f einjectiva.

Proposicao. Uma funcao real f : R→ R e injectiva se e so se for invertıvel.

Embora a injectividade e a invertibilidade sejam conceitos essencialmente analıticos, o factoe que ambos tem um significado geometrico muito evidente. Relativamente a injectividade,estamos a afirmar que nao ha dois pontos do grafico de f com abcissas diferentes e ordenadasiguais; isto corresponde a dizer que a interseccao do grafico de f com qualquer recta horizontaltem no maximo um ponto.

Em termos de inversao, tambem e muito simples construir o grafico de f−1 a partir dografico de f . O grafico de f e constituıdo por todos os pontos da forma (x, f(x)) com x nodomınio de f . Ora o valor de f−1 no ponto f(x) e precisamente x (e o valor que e transformadopor f em f(x)), pelo que o ponto (f(x), x) e um ponto do grafico de f−1.

Graficamente, trocar as coordenadas dum ponto corresponde a fazer uma reflexao emrelacao a recta y = x (ver Figura 2.26 (a)). Assim, a partir do grafico de f podemos cons-truir o grafico de f−1 efectuando uma reflexao em relacao aquela recta, conforme ilustram asFiguras 2.26 (b) e (c).

Analiticamente, determinar a funcao inversa de f implica conseguir resolver (duma formasistematica) a equacao y = f(x) em ordem a x. Nalguns casos isto e possıvel; por exemplo, sef(x) = 3x + 2, entao temos de resolver y = 3x + 2, que tem como solucao (unica) x = y−2

3.

A funcao inversa de f e entao f−1(y) = y−23

, ou f−1(x) = x−23

. Podemos verificar este factograficamente (Figura 2.27 (a)).

Da mesma forma, se tomarmos g(x) = x3 + 2, entao resolvendo a equacao y = x3 + 2obtemos x = 3

√y − 2; entao g−1(x) = 3

√x− 2. Aqui encontramos uma funcao cujo grafico nao

conseguıamos construir ate agora, mas que com os conhecimentos desta seccao se torna simplesde desenhar (Figura 2.27 (b)).



x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

A

B

C

D

E

F

G

H

A'

B'

C'D'

E'

F'

G'

H'

y=x

(a)

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

f(x)

f⁻¹(x)

(b)

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

f(x)

f⁻¹(x)

(c)

Figura 2.26: Construcao do grafico da funcao inversa. Em (a), vemos como pontos individuaissao reflectidos em relacao a recta y = x quando se lhes trocam as coordenadas; em (b) e (c),a mesma construcao e aplicada ao grafico duma funcao.

Finalmente, para h(x) = 1(x−1)3 temos de resolver a equacao y = 1

(x−1)3 , que gera

y =1

(x− 1)3⇐⇒ 3

√y =

1

x− 1⇐⇒ 1

3√y

= x− 1⇐⇒ 13√y

+ 1 = x

e portanto h−1(x) = 13√x + 1. Atendendo a que o grafico de h e obtido do de 1

x3por translacao,

conseguimos construir facilmente o grafico de h−1, conforme ilustrado na Figura 2.27 (c).

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

f(x)

f⁻¹(x)

(a)

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

g(x)

g⁻¹(x)

(b)

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

h(x)

h⁻¹(x)

(c)

Figura 2.27: Graficos das funcoes f−1, g−1 e h−1. A sombreado mostram-se os graficos dasfuncoes f , g e h, que podem ser construıdos com as tecnicas das seccoes anteriores.

Exercıcio 21. A partir dos graficos das seguintes funcoes, construıdos em exercıcios anteri-ores, encontre o grafico das suas funcoes inversas. Quais sao as expressoes destas funcoes?

(a) f(x) = 3x

(b) g(x) = (x+ 1)3 − 2 (c) h(x) = 2x+ 1



Inverter uma funcao troca simplesmente os papeis de objecto e imagem da funcao. Assim,tem-se claramente as relacoes Df = f−1(R) e Df−1 = f(R). Atendendo ao significado grafico

da inversao, tambem e claro que (f−1)−1

= f , ou seja, a funcao inversa de f−1 e a propriafuncao f ; isto implica, em particular, que f−1(f(x)) = x, para qualquer valor x no domıniode f−1.

Exercıcio 22. Verifique que as relacoes Df = f−1(R) e Df−1 = f(R) se verificam em todosos exemplos e exercıcios anteriores.

A restricao de a funcao a inverter ser injectiva e por vezes demasiado forte. Na realidade,podemos inverter funcoes nao injectivas desde que as restrinjamos a um domınio em que osejam; por exemplo, podemos inverter a funcao f definida por f(x) = x2 desde que o facamosapenas no intervalo [0,+∞[, em que a equacao y = x2 tem uma unica solucao. Todos osresultados anteriores se continuam a aplicar nestes casos, em particular a construcao do graficoda funcao inversa.

Exemplo.

1. Consideremos a funcao f definida por f(x) = x2 − 2. Esta funcao nao e injectiva;porem, se exigirmos que x ≥ 0, obtemos uma funcao injectiva com inversa definidapor f−1(x) =

√x+ 2. Esta funcao tem domınio [−2,+∞[ (o contradomınio de f) e

contradomınio [0,+∞[ (o domınio de f). A construcao do grafico de f−1 esta ilustradana Figura 2.28 (a).

2. Consideremos a funcao g definida por g(x) = |x − 1| + 2. Esta funcao tambem nao einjectiva; porem, se exigirmos que x ≥ 1, obtemos uma funcao injectiva com expressaox + 1 (ja que neste intervalo temos |x − 1| = x − 1). A sua inversa e a funcao definidapor g−1(x) = x− 1 no domınio [2,+∞[ (o contradomınio de g), cujo grafico se apresentana Figura 2.28 (b).

3. Consideremos ainda a funcao h definida por h(x) = x2 − 2x− 3. O grafico desta funcaoe uma parabola com eixo de simetria x = −2

−2 = 1; entao, se a restringirmos ao intervalo]−∞, 1] obtemos uma funcao injectiva com inversa que podemos calcular.

y = x2 − 2x− 3 =⇒ x2 − 2x+ (−3− y) = 0 =⇒ x = 1±√

1− (−3− y)

Daqui concluımos que h−1(x) = 1 −√x+ 4, uma vez que o contradomınio de h−1 e o

domınio de h. O grafico de h−1 pode ser consultado na Figura 2.28 (c).

Recorrendo ao conceito de funcao inversa, podemos definir e estudar muitas outras funcoes.

Raızes e potencias de expoente fraccionario. As equacoes da forma xn = y tem umasolucao quando n e ımpar e duas solucoes quando n e par e y ≥ 0. E habitual chamar a unicasolucao, quando n e ımpar, e a solucao positiva, quando n e par e y ≥ 0, a raız de ındice n dey, denotada por n

√y. E usual escrever simplesmente

√y em vez de 2

√y; tambem se utiliza a

notacao y12 , por razoes que explicaremos ja de seguida.

Ja utilizamos raizes nalguns exercıcios e exemplos anteriores. Nesta seccao vamos fazer umestudo mais sistematico destas funcoes.

Vamos comecar com as raızes de ındice ımpar. Uma vez que xn e uma funcao sobrejectiva,a sua inversa n

√x esta definida para todos os numeros reais; o grafico de n

√x e obtido por



x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

f(x)

f⁻¹(x)

(a)

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

g(x)

g⁻¹(x)

(b)

x

y

-4

2 4

-2

2

4

-2-4

y=x

h(x)

h⁻¹(x)

(c)

Figura 2.28: Graficos das funcoes f−1, g−1 e h−1. A sombreado mostram-se os graficos dasfuncoes f , g e h, que podem novamente ser construıdos com as tecnicas das seccoes anteriores.

reflexao do grafico de xn em relacao a recta y = x, pelo que podemos desenhar estes graficosfacilmente, conforme ilustrado na Figura 2.29.

Da analise das figuras, torna-se claro que estas funcoes tambem sao sobrejectivas (xn estadefinido para todos os numeros reais) e que sao funcoes crescentes em todo o seu domınio.

No caso das raızes de ındice par, a situacao e semelhante, mas com uma pequena com-plexidade adicional introduzida pela questao do domınio da funcao. Vimos ja em exemplosanteriores que se quisermos inverter a funcao f(x) = x2 temos de restringir o domınio desta a[0,+∞[ ou a ]−∞, 0]; o mesmo se passa com qualquer outra potencia de expoente par. Assim,e convencao restringir sempre ao ramo positivo da potencia e definir n

√x, com n par, como

retornando um valor positivo de x. Para referir a raiz negativa da equacao y = xn, usamosnaturalmente a expressao − n

√y.

A Figura 2.30 mostra os graficos de n√x para alguns valores pares de n. Estas funcoes sao

a mesma funcoes crescentes do seu argumento, mas agora definidas apenas em [0,+∞[ e comcontradomınio [0,+∞[.

x

y

-3 -1 1

-2

2 3

-1

1

2

-2

f(x)= x3

x

y

-3 -1 1

-2

2 3

-1

1

2

-2

f(x)= x5

Figura 2.29: Graficos de raızes de ordem ımpar.



x

y

4 61 2 3

1

2

5

f(x)= x3

x

y

4 61 2 3

1

2

5

3f(x)= x4

Figura 2.30: Graficos de raızes de ordem par.

Quer no caso de n par, quer no caso de n ımpar, temos que n√xn = x e ( n

√x)

n= x sempre

que aquelas expressoes estejam definidas, uma vez que n√x e a funcao inversa de xn e atendendo

as propriedades f (f−1(x)) e f−1(f(x)) = x. Por esta razao, atendendo a que a exponenciacao

satisfaz a propriedade (xa)b = xab, e frequente escrever n√x = x

1n . De facto, tem-se(

x1n

)n= n√xn = x = x1 = x

1n×n e (xn)

1n =

(n√x)n

= x = x1 = xn×1n .

Generalizando esta notacao, podemos ainda definir xpq = q

√xp = ( q

√x)

p. Em Analise, e

muito habitual trabalhar com este tipo de expressoes escritas sob a forma de potencia umavez que, conforme teremos oportunidade de apreciar, muitas das regras que se aplicam aotratamento de potencias sao tambem validas para raızes.


(a) f(x) =√x− 2

(b) f(x) = 3√x− 1− 1

(c) g(x) = 2 + x13

(d) g(x) = 2√x− 2

(e) h(x) = − 3√x

(f) h(x) = 1−√x+ 3

Exercıcio 24. Use a relacao y = xn ⇐⇒ x = n√y para determinar os valores das seguintes

expressoes.

(a)√

1

(b)√

0

(c) −√

4

(d)√

14

(e) 3√

1

(f) − 3√−1

(g) 3√−8

(h) 3

√18

(i) 4√

0

(j) 5√−1

(k) n√

1

(l) n√

0

Exercıcio 25. Para cada uma das seguintes funcoes f , esboce o seu grafico e o da sua inversa.Encontre a expressao de f−1 resolvendo a equacao y = f(x) em ordem a y.

(a) f(x) = x2 − 4 (b) f(x) = −x2 + 1 (c) f(x) = (x+1)3−2 (d) f(x) =√x+ 1−2



Logaritmos. Vimos na Seccao 2.4.1 que a funcao exponencial e uma funcao definida em R,com contradomınio ]0,+∞[, e estritamente crescente em todo o seu domınio, logo injectiva.Ao unico numero natural x tal que ex = y, para y > 0, chamamos logaritmo natural de y,denotado log(y). Em geral, para um numero qualquer a > 0, ao unico numero x tal que ax = y,para y > 0, chamamos logaritmo de base a de y, denotado por loga(y).

Os logaritmos desempenharam um papel fundamental na Engenharia e na Matematica emgeral ate ao advento dos computadores, devido as suas propriedades operatorias. Embora sepossam utilizar logaritmos de qualquer base, ha tres bases privilegiadas: a base e, praticamentea unica usada em Matematica devido a simplicidade dos logaritmos naturais quando compara-dos com os outros; a base 10, tradicionalmente usada em Engenharia devido a simplificar oscalculos com notacao cientıfica, mas hoje em dia a cair em desuso; e a base 2, cada vez maisusada na Informatica devido a ser a base natural para trabalhar em algoritmia.

Tal como nas funcoes trigonometricas, ha duas notacoes contraditorias para os logaritmos.Em Matematica, usa-se a notacao acima definida: log(y) denota o logaritmo natural de y eloga(y) o logaritmo de base a, para qualquer outro valor de a > 0. Em Fısica e Engenharia, etradicao usar log(y) para o logaritmo de base 10 e o sımbolo ln(y) para o logaritmo natural,usando-se a notacao loga(y) para as restantes bases. Em Informatica, usa-se log(y) para ologaritmo de base 2, ln(y) para o logaritmo natural e loga(y) para os restantes casos (incluindoo caso a = 10).

E importante ter estas convencoes em atencao para nao se cometer erros ao mudar dumadisciplina para a outra. Nestes apontamentos, seguiremos sempre as convencoes usadas habi-tualmente em Matematica, por serem as que se encontram em praticamente todos os livros detexto. Da mesma forma, quando falarmos na funcao logaritmo estamos a referir-nos implici-tamente ao logaritmo natural, sendo em qualquer outro caso sempre explicitada a base.

Graficamente, a funcao logaritmo obtem-se a partir da exponencial por reflexao em relacaoa recta y = x, conforme apresentado na Figura 2.31.

x

y

2

1

f(x)=log(x)

8 1042 6

Figura 2.31: Grafico da funcao logaritmo.

Da observacao do grafico podemos concluir que o logaritmo tambem e uma funcao crescenteem todo o seu domınio, que esta definida para x > 0 e que o seu contradomınio e R. Tem-seainda log(1) = 0, log(e) = 1 e o eixo dos yy e uma assımptota do seu grafico.

As propriedades operatorias dos logaritmos serao fundamentais mais adiante, pelo que estae a altura adequada para as discutir. Todas elas sao consequencia das regras operatorias daspotencias e do facto de logaritmo e exponencial serem funcoes inversas.

Em primeiro lugar, os logaritmos permitem-nos resolver equacoes — tal como qualquerfuncao inversa. Por exemplo, se quisermos determinar o valor de x tal que ex−2 = 1, isolamosa exponencial por forma a aplicar logaritmos de ambos os lados.

ex − 2 = 1⇐⇒ ex = 3⇐⇒ x = log(3)



De forma semelhante, podemos resolver equacoes envolvendo logaritmos recorrendo a ex-ponenciais.

log(2x2 − 3

)= 5⇐⇒ 2x2 − 3 = e5 ⇐⇒ x = ±

√3 + e5

2

Exercıcio 26. Resolva as seguintes equacoes.

(a) e2x+1 = 2

(b) ex2−1 = 1

(c) e2x + 2ex − 1 = 0

(d) log(x) = 2

(e) log(3x) + 2 = −1

(f) log(2x+ 1) = e2

Das regras operatorias das potencias, temos as relacoes

ex+y = exey e exy = (ex)y .

Daqui, deduzem-se regras duais para os logaritmos.Comecemos pela primeira. De ex+y = exey, temos que x + y = log (exey). Fazendo ex = a

e ey = b, temos que x = log(a) e y = log(b), donde

log(a) + log(b) = log(a× b) .

Da segunda regra, partimos de exy = (ex)y para concluir que xy = log ((ex)y). Fazendoex = a, temos que x = log(a), e aquela igualdade reduz-se a

log (ay) = y log(a) .

Uma das consequencias desta relacao e poder mudar a base de logaritmos com uma divisao.Para quaisquer bases a e b, tem-se que

logb(x) = logb(aloga(x)

)= loga(x) logb(a)

donde

loga(x) =logb(x)

logb(a).

Em particular, tomando b = e, esta formula permite-nos calcular logaritmos de qualquernumero em qualquer base apenas recorrendo a logaritmos naturais.

Exercıcio 27. Simplifique as seguintes expressoes.

(a) log(2) + log(3)

(b) log(4)− log(2)

(c) log (23)− log (22)

(d) log2(5) log5(3)

(e) log(xy)− log(x)

(f) 3 log(x)− log (x2)

Sao estas propriedades que tornam os logaritmos tao uteis para o calculo: permitem trans-formar produtos em somas e potencias em produtos. Durante cerca de dois seculos, todos oscalculos complexos em Engenharia foram feitos recorrendo a logaritmos. Qualquer numero realpositivo pode ser escrito na forma a × 10b, onde o numero a, chamado a mantissa, esta no



intervalo [1, 10[ e b (o expoente) e um numero inteiro. Esta notacao e conhecida como notacaocientıfica.

O calculo de logaritmos de valores em notacao cientıfica e simples: de acordo com aspropriedades acima, tem-se que log

(a× 10b

)= log(a)+b log(10). Trabalhando com logaritmos

de base 10 esta expressao e ainda mais simples: log10

(a× 10b

)= log10(a) + b, com log10(a)

um valor no intervalo [0, 1[.

A partir daqui, multiplicar dois numeros resume-se a somar os seus logaritmos e voltar aconverter a notacao cientıfica (aplicando exponenciais); e o calculo de potencias transforma-sea calculo de produtos, que pode ser novamente transformado em somas. Com o auxılio detabelas de logaritmos, cujas dimensoes chegaram a ser significativas, e um pouco de pratica,era possıvel realizar a mao calculos duma complexidade muito elevada.

O advento das calculadoras e dos computadores tornou estas tecnicas relativamente ob-soletas. Contudo, o conhecimento das regras operatorias dos logaritmos continua a ser umaferramenta essencial em muitos domınios de aplicacao da Matematica.

Exercıcio 28. Recorra a tabela de logaritmos de base 10 incluıda abaixo para efectuar asseguintes operacoes. Confirme os seus resultados efectuando directamente os calculos.

(a) (3.027× 10−5)× (2.25× 102)

(b) (3.027× 103)× (1.194× 104)

(c) (2.25× 10−1)2 × (1.194× 102)

(d) (3.027× 10−2)× (2.25× 102)3

x 1.194 2.25 3.027 3.443 3.614 6.045 6.808log10(x) 0.077 0.352 0.481 0.537 0.558 0.781 0.833

Funcoes trigonometricas inversas. Para terminar esta seccao, vamos discutir as funcoesinversas das funcoes trigonometricas. Aqui e preciso fazer um compromisso relativamente aodomınio: todas estas funcoes sao periodicas, pelo que nao so nao sao injectivas, como paracada valor de y ha mesmo uma infinidade de valores de x satisfazendo f(x) = y (desde que yesteja no contradomınio de f).

Tendo em conta a origem das funcoes trigonometricas em propriedades geometricas dostriangulos rectangulos, e natural centrarmos a nossa atencao no que se passa no intervalo

[0, π

2

],

em que todas as funcoes estao definidas e sao injectivas. Para obtermos o seu contradomıniocompleto, basta estendermos este intervalo por forma a apanhar os seus valores negativos;assim, o domınio principal do seno, tangente e cosecante e o intervalo

[−π

2, π2

](aberto no caso

da tangente) e o domınio principal do coseno, cotangente e secante e o intervalo [0, π] (abertono caso da cotangente).

Nestes intervalos, ilustrados na Figura 2.32, estas funcoes sao injectivas. Assim, e nestesintervalos que as vamos inverter.

As funcoes trigonometicas inversas designam-se por “arco de . . . ”, devido a relacao entreangulos medidos em radianos e comprimentos de arcos de circunferencia. Assim, por exemplo,a funcao inversa do seno chama-se “arco de seno”, denotada por arcsin; a expressao arcsin(x)le-se habitualmente como “arco cujo seno e x”.

A Figura 2.33 mostra os graficos das funcoes trigonometricas inversas mais usadas: arco deseno e arco de tangente. O arco de coseno e arco de cotangente podem definir-se simplesmente



x

y

-1

π2

π

1

-π2

-π

f(x)=sin(x)

(a)

y

-1

1f(x)=cos(x)

x

π2

3π2

π-π2

(b)

x

y

-2

π/2

2

-π/2

f(x)=tan(x)

-1

1

(c)

x

y

-2

π/2

2 f(x)=cot(x)

-1

1

π

(d)

y

-4

5f(x)=sec(x)

x

π2

3π2

π-π2

3

2

1

4

-1

-2

-3

-5

(e)

y

-4

5f(x)=csc(x)

x

π2

π-π2

-π

3

2

1

4

-1

-2

-3

-5

(f)

Figura 2.32: Domınios principais das funcoes trigonometricas seno (a), coseno (b), tangente (c),cotangente (d), secante (e) e cosecante (f).

pelas relacoes arccos(x) = π2− arcsin(x) e arccot(x) = π

2− arctan(x), enquanto que os arcos

de secante e cosecante so raramente sao referidos.Destes graficos podemos observar que as funcoes arco de seno e arco de tangente sao ambas

crescentes em todo o seu domınio. A primeira esta definida em [−1, 1] e tem como con-tradomınio o intervalo

[−π

2, π2

]; a segunda esta definida em R e tem como contradomınio o

intervalo]−π

2, π2

[, tendo duas assımptotas horizontais de equacoes y = −π

2e y = π

2.

Exercıcio 29. Determine o valor das seguintes constantes.

(a) arcsin(0)

(b) arccos(0)

(c) arcsin(1)

(d) arccos(−1)

(e) arcsin(12

)(f) arccos

(−√32

)(g) arcsin

(√22

)(h) arctan(−1)

(i) arccot(0)

(j) arctan(√

3)

(k) arccot(1)

(l) arctan(−√

3)



x

y

-1 1

f(x)=arcsin(x)

-π2

π2

(a)

x

y

-3

π/2

2

-π/2

f(x)=arctan(x)

-1 1 3-2

(b)

Figura 2.33: Graficos das funcoes arco de seno (a) e arco de tangente (b).

Exercıcio 30. Esboce os graficos das funcoes arco de coseno, arco de cotangente e arco desecante.

Exercıcio 31. Use funcoes trigonometricas inversas para encontrar uma solucao de cadauma das seguintes equacoes.

(a) sin(x) = 13

(b) tan(x) = 23

(c) cos(x+ 1

2

)= −1

5

(d) tan(2x) = 3

(e) tan(x+ 1)− 2 = 0

(f) 3 sin(πx)− 2 = −√

2

Daqui em diante, vamos trabalhar com o conjunto de funcoes que inclui os polinomios,exponenciais e funcoes trigonometricas, bem como todas as funcoes construıdas a partir destapelas operacoes algebricas, de composicao e funcao inversa. Estas funcoes chamam-se funcoestranscendentes elementares.

2.6 Limites e continuidade

Para podermos desenvolver o nosso estudo de funcoes, precisamos de introduzir mais um con-ceito: o conceito de limite duma funcao num ponto. E esta nocao que vai estar depois na basede muitas das tecnicas que vamos desenvolver para estudar o comportamento de funcoes dumaforma sistematica.

2.6.1 Nocoes basicas de topologia

Antes de definirmos este conceito, precisamos dumas nocoes de topologia. A Topologia e umaarea da Matematica que estuda conceitos de relacao espacial entre pontos e conjuntos; para o


2.6. LIMITES E CONTINUIDADE 97

nosso estudo, precisamos apenas de algumas nocoes elementares sobre o conjunto dos numerosreais.

Definicao. Seja A um conjunto de numeros reais.

- Um ponto x diz-se interior a A se existe um intervalo aberto ]a, b[ tal que x ∈ ]a, b[ ⊆ A.

- Um ponto x diz-se exterior a A se existe um intervalo aberto ]a, b[ tal que x ∈ ]a, b[ e]a, b[ nao intersecta A.

- Um ponto x diz-se fronteiro a A se qualquer intervalo aberto ]a, b[ contendo x intersecta A.

- Um ponto x diz-se ponto de acumulacao deA se qualquer intervalo aberto ]a, b[ contendo xintersecta A em pontos diferentes de x.

O conjunto dos pontos interiores de A diz-se o interior de A; o conjunto dos pontos exteri-ores de A diz-se o exterior de A; o conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A,representada por ∂A; e o conjunto dos pontos de acumulacao de A diz-se o conjunto derivadode A, representado por A′. A uniao do interior de A com a sua fronteira chama-se fecho de A,denotado por A. Um conjunto A diz-se aberto se so contem pontos interiores e fechado se eigual ao seu fecho. Chama-se ainda complementar de A ao conjunto Ac que contem todos ospontos que nao pertencem a A; tem-se as relacoes A ∩ Ac = ∅ e A ∪ Ac = R.

Graficamente, os conceitos de interior, exterior e fronteira denotam exactamente o queaquelas palavas significam: os pontos interiores estao dentro do conjunto A, no sentido em quenao so pertencem a A como os pontos a sua volta tambem; os pontos exteriores a A estao forade A, mais uma vez no sentido em que os pontos a sua volta tambem nao pertencem a A; eos pontos fronteiros separam os pontos interiores de A dos pontos exteriores de A. Os pontosfronteiros dividem-se em duas categorias: os pontos isolados, que pertencem a A mas nao estaoproximos de mais nenhum ponto desse conjunto, e os pontos de acumulacao. Observe-se quetodos pontos interiores a A sao necessariamente pontos de acumulacao de A.

A Figura 2.34 apresenta alguns exemplos destes conceitos relativos ao conjunto A =[−4,−2] ∪ {0} ∪ ]1, 3]. Os pontos −5, −1, 9

2e 6 estao fora do conjunto, bem como a viz-

inhanca (assinalada) que os contem. Os pontos −72, −5

2e 2 estao dentro do conjunto, bem

como os intervalos marcados que os contem. Ja para os pontos −4, 0, 1 e 3, o intervalo assinal-ado intersecta A e o complementar de A, sendo claro que o mesmo se passa por muito pequenoque o intervalo se torne; estes pontos sao pontos de fronteira. No caso dos pontos −4, 1 e 3,cada intervalo contem uma infinidade de pontos em A e fora de A: estes pontos sao pontosde acumulacao do conjunto A; no caso do ponto 0, o unico ponto de A contido no intervalo

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6

x

Figura 2.34: Pontos interiores, exteriores, fronteiros e de acumulacao do conjunto A.



assinalado (e em qualquer outro mais pequeno) e o proprio ponto 0, pelo que este ponto e umponto isolado. Os pontos −7

2, −5

2e 2 tambem sao pontos de acumulacao do conjunto.

Uma vez que vamos estar essencialmente interessados em intervalos (ja que estaremos atrabalhar com domınios de funcoes), e util ter a ideia de como e que estes conceitos se traduzemem termos de intervalos. Para um intervalo I da forma [a, b], ]a, b], [a, b[ ou ]a, b[, com a < b,temos que:

- o interior de I e ]a, b[;

- o fecho e o derivado de I sao [a, b];

- a fronteira de I e {a, b}.

Estas propriedades justificam a terminologia de intervalo aberto e intervalo fechado: osintervalos abertos sao os que coincidem com o seu interior, ou seja, os da forma ]a, b[; e osintervalos fechados sao os que coincidem com o seu fecho, ou seja, os da forma [a, b].

Para intervalos ilimitados a caracterizacao e semelhante. Para I = ]−∞, b[ ou I = ]−∞, b],temos que:

- o interior de I e ]−∞, b[;

- o fecho e o derivado de I sao ]−∞, b];

- a fronteira de I e {b};

e analogamente para I = ]a,+∞[ ou I = [a,+∞[. Novamente, estas propriedades sao coerentescom a terminologia de intervalo aberto ou fechado que temos vindo a usar.

Vejamos alguns exemplos. Os pontos 0, 1 e 2 sao interiores ao intervalo [−2, 3], enquanto ospontos −3 e 4 sao pontos exteriores a este intervalo. A fronteira de [−2, 3] e o conjunto {−2, 3}.As mesmas relacoes continuam a verificar-se se considerarmos em vez deste o intervalo ]−2, 3[.

Ja para o intervalo [1,+∞[ so temos um ponto fronteiro, o ponto 1. Todos os pontos acimadeste valor sao pontos interiores (como por exemplo 2, π ou

√5), enquanto todos os valores

inferiores a 1 sao pontos exteriores a este intervalo (como por exemplo 0, 12

ou −4).

Exercıcio 32. Indique o interior, exterior, fronteira e derivado dos seguintes conjuntos.

(a) [1, 2] (b) ]−2, 1] (c) ]−∞,−2[ (d) ]3,+∞[ (e) [−1,+∞[ (f) R

Para um conjunto que seja uma uniao de intervalos, so ha que ter cuidado com os pontosfronteiros e de acumulacao. Por exemplo, se A = ]1, 3]∪ ]3, 4], entao o ponto 3, que e fronteiroa ambos os intervalos ]1, 3] e ]3, 4], e interior a A e nao fronteiro. Ja para A = ]1, 3[ ∪ ]3, 4], oponto 3 e mesmo um ponto fronteiro deste conjunto.

Exercıcio 33. Determine o interior, exterior, fronteira e derivado dos seguintes conjuntos.

(a) ]1, 5[ ∪ ]−1, 3]

(b) [0, 1[ ∪ ]1, 2]

(c) {0, 1} ∪ ]1, 2]

(d) ]2,+∞[ ∪ {0} ∪ ]−2,−1]

(e) R \ {−1, 1}

(f) ∅



O conceito de ponto de acumulacao e fundamental para a definicao de limite. Uma dascaracterizacoes alternativas (e uteis) de ponto de acumulacao e a seguinte.

Proposicao. Um ponto x e ponto de acumulacao dum conjunto A se e so se existe umasucessao de termos em A \ {x} cujo limite e x.

Por exemplo: o ponto 0 e ponto de acumulacao de ]0, 1] porque a sucessao un = 1n

e umasucessao de termos em ]0, 1] cujo limite e 0. Ja o ponto −1 nao e ponto de acumulacao desseconjunto porque nenhuma sucessao de termos positivos pode ter limite −1.

Exercıcio 34. Seja A = ]−3,−2]∪ ]1, 3[. Para cada um dos seguintes pontos de acumulacaode A, encontre uma sucessao de termos em A cujo limite seja esse ponto.

(a) −3 (b) −52

(c) −2 (d) 1 (e) 2 (f) 3

Exercıcio 35. Seja A = ]−2, 0] ∪ {2} ∪ ]3, 4[. Para quais dos seguintes pontos e que existeuma sucessao de termos em A cujo limite seja esse ponto?

(a) −3 (b) −2 (c) 0 (d) 1 (e) 2 (f) 3

2.6.2 Limite duma funcao num ponto

Os numeros reais sao por natureza uma abstraccao matematica. Na vida real, e impossıvelmedir exactamente uma distancia ou um intervalo de tempo; assim, muitas vezes e mais impor-tante saber como e que uma funcao se comporta proximo dum ponto a do que propriamentenesse ponto. Em particular, e extraordinariamente util saber como e que os valores da funcaovariam quando o argumento se aproxima nesse ponto.

A formalizacao desta ideia leva ao conceito de limite duma funcao num ponto. Ha variasdefinicoes possıveis de limite, que para o caso da Analise Matematica sao coincidentes. Apre-sentaremos aqui uma definicao baseada em sucessoes (limite a Heine), que tem a vantagem deser bastante concreta e facil de usar na pratica.

Definicao. Sejam f : R → R uma funcao e a um ponto de acumulacao do domınio de f . Onumero real b e o limite (a Heine) de f em a, denotado limx→a f(x) = b, se para qualquersucessao u tal que limun = a se tiver lim f (un) = b.

O requisito de a ser um ponto de acumulacao do domınio de f prende-se com a ideia de olimite reflectir o comportamento da funcao quando o argumento esta “proximo” de a; se a forum ponto exterior ao domınio de f , nao ha qualquer informacao sobre o comportamento de fem pontos proximos de a, porque f nao esta definida para esses valores. Se a for um pontoisolado, tambem nao faz sentido falar no limite de f em a.

Podemos desde ja estender esta definicao ao caso em que a = ±∞ ou b = ±∞ com osignificado obvio; a unica ressalva a fazer e definir quando e que ±∞ e ponto de acumulacaodo domınio de f . Dizemos que −∞ e um ponto de acumulacao de um conjunto se esse conjuntonao for minorado; e dizemos que +∞ e ponto de acumulacao do domınio de um conjunto se



esse conjunto nao for majorado. Em termos de limites de sucessoes, estamos a ser coerentescom o que dissemos atras: +∞ (ou −∞) e ponto de acumulacao dum conjunto se existir umasucessao de termos nesse conjunto que e um infinitamente grande positivo (ou negativo).


Exemplo.

1. Tomemos a funcao f definida por f(x) = x + 1 e calculemos o seu limite no ponto 2.Se u e uma sucessao com limite 2, entao

lim f (un) = lim (un + 1) = limun + 1 = 2 + 1 = 3 ,

donde limx→2 x+ 1 = 3.

2. Tomemos a funcao f definida por f(x) = x2 e calculemos o seu limite quando x→ +∞.Se u e um infinitamente grande positivo, entao f (un) = u2n tambem e um infinitamentegrande positivo; logo limx→+∞ x

2 = +∞.

3. Consideremos a funcao g definida por g(x) = (x−1)2x−1 e vamos calcular o seu limite no

ponto 1. Observe-se que neste ponto a funcao nao esta definida.

Se u e uma sucessao com limite 1 e cujos termos sao diferentes de 1, entao

lim g (un) = lim(un − 1)2

un − 1= lim (un − 1) = limun − 1 = 1− 1 = 0 ,

donde limx→1(x−1)2x−1 = 0.

4. Consideremos agora a funcao h definida por h(x) = |x|x

e vejamos o que se passa noponto 0. Sejam un = 1

ne vn = − 1

nduas sucessoes com limite 0. Temos que

limh (un) = lim|un|un

= limunun

= lim 1 = 1

limh (vn) = lim|vn|vn

= lim−vnvn

= lim−1 = −1

tendo em conta que vn e uma sucessao de termos negativos. Uma vez que ha duassucessoes u e v que tendem para 0 tais que h (un) e h (vn) tem limites diferentes, podemosconcluir que a funcao h nao tem limite no ponto 0.

5. Finalmente, seja h definida por h(x) = e1x2 e calculemos limx→0 h(x). Sendo u um

infinitesimo, temos que

limh (un) = lim e1

u2n = e1

0+ = e+∞ = +∞ ,

observando que u2n e um infinitesimo positivo.

Consideremos uma variante da funcao anterior: h(x) = e1x . Se calcularmos o limite de h

em 0, concluımos que este nao esta definido. De facto, se u for um infinitesimo positivo, temosque

limh (un) = lim e1un = e

10+ = e+∞ = +∞ ,



enquanto que se u for um infinitesimo negativo temos

limh (un) = lim e1un = e

10− = e−∞ = 0 .

Estas situacoes sao muito comuns, e dao origem ao conceito de limite lateral : o limite dafuncao f quando nos aproximamos de a vindos duma direccao.

Definicao. Sejam f : R → R uma funcao e a um ponto de acumulacao do domınio de f . Onumero real b e o limite a direita de f em a, denotado limx→a+ f(x) = b, se para qualquersucessao decrescente u tal que limun = a se tiver lim f (un) = b.

O numero real b e o limite a esquerda de f em a, denotado limx→a− f(x) = b, se paraqualquer sucessao crescente u tal que limun = a se tiver lim f (un) = b.

Exemplo. Consideremos novamente a funcao h definida por h(x) = |x|x

. Se u for um in-finitesimo positivo qualquer, entao |un| = un, donde

limh (un) = lim|un|un

= limunun

= lim 1 = 1

e portanto

limx→0+

|x|x

= 1 .

Se v for um infinitesimo negativo, entao |vn| = −vn, donde

limh (vn) = lim|vn|vn

= lim−vnvn

= lim−1 = −1 ,

e portanto

limx→0−

|x|x

= −1 .

Claro que se limx→a f(x) existir, entao esse limite coincide com os limites de f a direita ea esquerda desse ponto; o recıproco tambem e verdade.

Proposicao. O limite de f em a existe se e so se existirem e forem iguais os limites lateraisde f nesse ponto.

Exemplo.

1. Seja f definida por f(x) = 1x2−1 . Se u for uma sucessao que tende para 1, entao u2n− 1 e

um infinitesimo positivo; logo

lim f (un) = lim1

u2n − 1=

1

0+= +∞ .

Logo limx→11

x2−1 = +∞.

2. Seja agora g definida por f(x) = −3x3+8

e estudemos o limite desta funcao no ponto x = −2.Se u for uma sucessao que tende para −2 por valores superiores, entao u3n + 8 e uminfinitesimo positivo; logo

lim g (un) = lim−3

u3n + 8=−3

0+= −∞ .



Porem, se u for uma sucessao que tende para −2 por valores inferiores, entao u3n + 8 eum infinitesimo negativo; neste caso, tem-se

lim g (un) = lim−3

u3n + 8=−3

0−= +∞ .

Concluımos assim que limx→−2+−3x3+8

= −∞ e que limx→−2−−3x3+8

= +∞. Esta funcao

tem limites laterais diferentes no ponto −2, logo limx→−2−3x3+8

nao existe.

Exercıcio 36. Calcule o valor dos seguintes limites.

(a) limx→3

x+ 5

x− 3(b) lim

x→ 23

+log(3x− 2) (c) lim

x→1

x+ 1

x2 − 1(d) lim

x→±3

x2 − 2x+ 3

x2 − 9

2.6.3 Continuidade e calculo de limites

O primeiro exemplo da seccao anterior ilustra uma caracterıstica comum a muitas funcoes: olimite num ponto em que a funcao esta definida e igual ao seu valor nesse ponto. Nem todasas funcoes tem esta propriedade — veremos ja de seguida alguns exemplos — mas muitas dasque conhecemos satisfazem-na. Estas funcoes sao ditas contınuas.

Definicao. Uma funcao f : R→ R diz-se contınua no ponto a se limx→a f(x) = f(a).

Todas as funcoes transcendentes elementares sao contınuas no interior do seu domınio.Isto e consequencia das propriedades dos limites; por exemplo, para ver que a soma de duasfuncoes f e g contınuas num ponto a e contınua em a, escolhe-se uma sucessao arbitraria u talque limun = a e verifica-se que

lim(f + g) (un) = lim (f (un) + g (un)) = f(a) + g(a) = (f + g)(a) .

O tratamento das restantes operacoes algebricas e semelhante.Para a composicao, observe-se que se f e contınua em a, g e contınua em f(a) e u e uma

sucessao que tende para a, entao a sucessao de termo geral f (un) e uma sucessao que tendepara f(a), donde g (f (un)) tende para g(f(a)) = (g ◦ f)(a).

E possıvel demonstrar de forma semelhante que as funcoes trigonometricas sao contınuas eque a inversa duma funcao contınua e contınua.

Tal como para os limites, podemos considerar o conceito de continuidade lateral.

Definicao. Uma funcao f : R→ R diz-se contınua a direita do ponto a se limx→a+ f(x) = f(a)e contınua a esquerda do ponto a se limx→a− f(x) = f(a).

E facil ver que f e contınua em a precisamente quando e contınua a direita e a esquerdade a.

A continuidade simplifica muito o calculo de limites, ja que nos permite passar limitesatraves das operacoes algebricas. Por exemplo, o primeiro limite que calculamos acima poderiater sido deduzido como

limx→2

(x+ 1) = limx→2

x+ limx→2

1 = 2 + 1 = 3 ,



ou mais simplesmente invocando a continuidade dos polinomios: f(x) = x + 1 e uma funcaocontınua em 2, logo limx→2 f(x) = f(2) = 3.

Quando o ponto em que se calcula o limite nao e um ponto do domınio da funcao, continuam-se a aplicar todas as regras anteriores (ja que estas so dependem de propriedades de limites desucessoes). Em particular, temos o seguinte resultado.

Proposicao. Sejam f e g funcoes reais de variavel real e a um ponto de acumulacao de f e g.Entao verificam-se as seguintes relacoes sempre que a expressao da direita denotar um numeroreal.

limx→a

(f(x)± g(x)) = limx→a

f(x)± limx→a

g(x)

limx→a

(f(x)g(x)) = limx→a

f(x)× limx→a

g(x)

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x)± limx→a g(x)

A estas igualdades convem ainda acrescentar a relacao limx→a g(f(x)) = g (limx→a f(x)),valida sempre que g for uma funcao contınua no ponto designado por aquele limite.

Se permitirmos limites infinitos, estas regras continuam validas (mais uma vez, porque jao eram para sucessoes); temos apenas de ter cuidado com os sımbolos que denotam indeter-minacoes: ∞−∞, 0

0, ∞∞ , 0×∞, 00,∞0 e 1∞. Estas situacoes resolvem-se de forma semelhante

a usada para as levantar quando envolviam sucessoes; contudo, quando consideramos todas asfuncoes transcendentes elementares, surgem alguns casos novos que convem discutir.

Indeterminacoes de tipo ∞−∞. Estas indeterminacoes resolvem-se normalmente pondofactores em evidencia na expressao do limite a determinar.

Exemplo.

1. Para calcular limx→+∞(x2 − 2x+ 1

x

), pomos x em evidencia:

limx→+∞

(x2 − 2x+

1

x

)= lim

x→+∞x

(x− 2 +

1

x2

)= +∞× (+∞− 2 + 0) = +∞ .

2. Para calcular limx→2

(1

x−2 + 1(x−2)2

), pomos 1

x−2 em evidencia:

limx→2

(1

x− 2+

1

(x− 2)2

)= lim

x→2

1

x− 2

(1 +

1

x− 2

)= (±∞)(1 +±∞) = +∞ ,

onde ±∞ indica um limite de +∞ a direita e de −∞ a esquerda de 2.

3. Para calcular limx→0

(log(x) + 1

x

), observemos em primeiro lugar que este limite e um

limite a direita, ja que a funcao cujo limite estamos a calcular nao esta definida paravalores negativos de x. Aqui, vamos definir uma nova variavel t = 1

xe reescrever este

limite em funcao de t. Temos que

limx→0+

(log(x) +

1

x

)= lim

t→+∞

(log

1

t+ t

)= lim

t→+∞(t− log(t)) = +∞

tendo em conta que ja sabemos que o crescimento da funcao logaritmo e inferior ao dequalquer polinomio.



Este ultimo exemplo ilustra dois pontos importantes. Primeiro, e por vezes util mudara variavel do limite para reduzir a um limite ja conhecido. Segundo, conhecendo as ordensde crescimento das varias funcoes, pode-se muitas vezes justificar directamente qual o valor olimite sem necessitar de efectuar calculos sofisticados.


(a) limx→−∞

ex2−x (b) lim

x→+∞(ex − 2x log(x)) (c) lim

x→3

(3

x− 3+ e

1x−3

)

Indeterminacoes de tipo 00. Ha varias situacoes que podem dar origem a este tipo de

indeterminacao. Regra geral, a tecnica depende do tipo de expressao.Para quocientes de polinomios, aplica-se factorizacao, utilizando o resultado que diz que

um polinomio que se anula num ponto a e factorizavel por (x − a). Um algoritmo geral dedivisao de polinomios esta descrito na Seccao 4.4.1.

Exemplo.

1. O calculo de limx→1x2−1

x2+2x−3 gera uma indeterminacao de tipo 00, ja que ambos os polino-

mios naquele quociente se anulam em x = 1. Entao, podemos dividi-los ambos por essevalor, obtendo x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1) e x2 + 2x− 3 = (x− 1)(x+ 3). Temos que

limx→1

x2 − 1

x2 + 2x− 3= lim

x→1

(x+ 1)��(x− 1)

��(x− 1)(x+ 3)

= limx→1

x+ 1

x+ 3=

2

4=

1

2.

2. A mesma tecnica funciona com expressoes polinomiais envolvendo outras funcoes. Por

exemplo, para calcular limx→π2

cos(x)+3 cos2(x)−2 cos3(x)cos3(x)−3 cos(x) , que e novamente uma indetermina-

cao de tipo 00, podemos dividir ambos os termos da fraccao por cos(x).

limx→π

2

cos(x) + 3 cos2(x)− 2 cos3(x)

cos3(x)− 3 cos(x)= lim

x→π2

��cos(x) (1 + 3 cos(x)− 2 cos2(x))

��cos(x) (cos2(x)− 3)

= limx→π

2

1 + 3 cos(x)− 2 cos2(x)

cos2(x)− 3=

1

−3= −1

3

3. Um terceiro exemplo, agora envolvendo exponenciais, e

limx→log 2

2− ex

4− e2x= lim

x→log 2

��2− ex

��(2− ex) (2 + ex)

= limx→log 2

1

2 + ex=

1

2 + elog 2=

1

4.


(a) limx→3

x2 − 3x

5x− 15(b) lim

x→2

x4 − 16

(x− 2)2(c) lim

x→2

x2 − x− 2

x2 − 4x+ 4(d) lim

x→2e

x2−4

x2+x−6



Outro tipo de indeterminacoes envolve relacoes trigonometricas e resolve-se reduzindo a umlimite particular: o limite limθ→0

sin(θ)θ

. Para analisar o valor deste limite, vamos voltar a olharpara o cırculo trigonometrico.

θ

sin(θ)

cos(θ)

tan(θ)

x

y

Comecemos pelo limite a direita, ou seja, quando θ > 0. Tendo em conta que o arcoassinalado na figura tem comprimento precisamente θ, ja que se trata dum cırculo unitario e θe a medida do angulo correspondente, e imediata a relacao sin(θ) < θ. Por outro lado, a areado sector circular assinalado e θ

2(atendendo a que o raio do cırculo e 1) e a area do triangulo

maior e tan(θ)2

; entao tambem se tem θ < tan(θ).Obtemos entao a relacao

sin(θ) < θ < tan(θ) .

Dividindo todos os membros desta desiguldade por sin(θ), que e um valor positivo, obtemos

1 <θ

sin(θ)<

tan(θ)

sin(θ)=

1

cos(θ);

sendo un um infinitesimo positivo, concluımos que

1 <un

sin (un)<

1

cos (un).

Ora lim 1cos(un)

= 1cos(0)

= 1; pelo Teorema da sucessao enquadrada, ter-se-a necessariamente

lim unsin(un)

= 1, donde lim sin(un)un

= 1. Logo

limx→0+

sin(x)

x= 1 .

Por outro lado, uma vez que o seno e a tangente sao funcoes ımpares, para θ < 0 tem-se

tan(θ) < θ < sin(θ) ;

dividindo por sin(θ), que agora e um valor negativo, obtemos novamente

1 <θ

sin(θ)<

tan(θ)

sin(θ)=

1

cos(θ),

donde podemos repetir o raciocınio anterior para concluir que

limx→0−

sin(x)

x= 1 .



Uma vez que a funcao sin(x)x

tem limites laterais iguais no ponto 0, concluimos que esta funcaotem limite no ponto 0 e que este limite vale 1.

Observe-se que os resultados que vimos sobre limites de subsucessoes garantem que paraqualquer funcao f se tem limf(x)→0

sin(f(x))f(x)

= 1. Assim, temos por exemplo

limx→0

sin(3x)

3x= 1 lim

x→−2

sin(2x+ 4)

2x+ 4= 1 lim

x→1

sin(log(x))

log(x)= 1 etc.

Vejamos como podemos usar esta relacao para calcular muitos outros limites importantes.

Exemplo.

1. O calculo de limx→0tan(x)x

e agora imediato usando as propriedades dos limites:

limx→0

tan(x)

x= lim

x→0

sin(x)

x cos(x)= lim

x→0

(sin(x)

x

)︸︷︷︸

1

(1

cos(x)

)= 1 .

2. Para calcular limx→01−cos(x)

x2, vamos multiplicar ambos os membros da fraccao por 1 +

cos(x) por forma a conseguir reescreve-la em termos de senos.

limx→0

1− cos(x)

x2= lim

x→0

(1− cos(x)(1 + cos(x))

x2(1 + cos(x))= lim

x→0

(1− cos2(x)

x2

)(1

1 + cos(x)

)=

(limx→0

sin2(x)

x2

)(limx→0

1

1 + cos(x)

)︸︷︷︸

12

=1

2

(limx→0

sin(x)

x

)︸︷︷︸

1

2

=1

2

3. Tambem podemos levantar indeterminacoes semelhantes a esta noutros pontos que nao 0por mudanca de variavel. Por exemplo,

limx→π

sin(2x)

x− π= lim

t→0

sin(2t+ 2π)

t= lim

t→0

sin(2t)

t

= limt→0

2 sin(2t)

2t= 2 lim

t→0

(sin(2t)

2t

)︸︷︷︸

1

= 2

onde tomamos t = x− π para reduzir o problema a um calculo dum limite no ponto 0.


(a) limx→0

sin(2x)

3x(b) lim

x→2

x2 − 4x+ 4

sin2(x− 2)(c) lim

x→0log

(sin(2x)

x cos(x)

)

O outro tipo de indeterminacoes deste tipo envolve exponenciais e resolve-se reduzindo aexpressao ao limite limx→0

ex−1x

. Para determinar o valor deste limite, observe-se em primeirolugar que, dos resultados sobre limites de sucessoes, sabemos que

ex =

(lim

(1 +

1

n/x

)nx

)x

= lim(

1 +x

n

)n= lim

(1 +

(n1

)x

n+

(n2

)x2

n2+ · · ·+ xn

nn

)L. Cruz-Filipe e P. Engracia


usando a formula do binomio de Newton, onde

(nk

)= n!

k!(n−k)! denota o numero de combinacoes

de n elementos tomados k a k. Subtraindo 1 e dividindo por x, obtemos

ex − 1

x= lim

((n1

)1

n+

(n2

)x

n2+ · · ·+ xn−1

nn

).

Tendo em conta que

(nk

)e um polinomio de grau k, todas as fraccoes

(nk

)xk−1

nksao in-

finitesimos para k ≥ 2. Assim, quando x tende para 0 obtemos

limx→0

ex − 1

x= lim

x→0limn

((n1

)1

n+

(n2

)x

n2+ · · ·+ xn−1

nn

)= lim

nlimx→0

((n1

)1

n+

(n2

)x

n2+ · · ·+ xn−1

nn

)= lim

(n1

)= lim

n!

n!= 1 .

Os mesmos comentarios que fizemos atras aplicam-se: temos que

limx→0

e2x − 1

2x= 1 lim

x→1

ex−1 − 1

x− 1= 1 lim

x→π4

etan(x) − 1

tan(x)= 1 etc.

Vejamos alguns exemplos em que podemos usar este limite para levantar indeterminacoes.

Exemplo.

1. Para calcular limx→0ex

2−1x

, a forma mais simples e fazer aparecer o termo x2 no denomi-nador. Entao temos que

limx→0

ex2 − 1

x= lim

x→0xex

2 − 1

x2︸︷︷︸1

= 0 .

2. Para calcular limx→0e2x−1sin(−x) , vamos proceder da mesma forma e usar o limite notavel visto

anteriormente.

limx→0

e2x − 1

sin(−x)= lim

x→0

(e2x − 1

2x

)︸︷︷︸

1

2

−1

(−x

sin(−x)

)︸︷︷︸

1

= 1× (−2)× 1 = −2

3. Finalmente, nalguns casos temos de usar mudancas de variavel:

limx→1

2ex − 2e

x− 1= lim

x→1

2e (ex−1 − 1)

x− 1= 2e lim

t→0

(et − 1)

t︸︷︷︸1

= 2e , com t = x− 1.


(a) limx→1 esin(x−1)x−1 (b) limx→1

e3x−3−12x−2 (c) limx→0

esin(x)−exx2 (d) limx→0 e

tan(9x)sin(3x)



Indeterminacoes de tipo ∞∞ . Estas indeterminacoes resolvem-se recorrendo as tecnicas queja usavamos para as levantar quando trabalhavamos com sucessoes. Nalgumas circunstancias,pode ser util reduzi-las a indeterminacoes do tipo 0

0por meio da identidade

f(x)

g(x)=

1f(x)

1g(x)

.

Exemplo.

1. Para calcular limx→+∞x2+3x+22x2−x−1 , dividimos o numerador e denominador da fraccao por x2.

limx→+∞

x2 + 3x+ 2

2x2 − x− 1= lim

x→+∞

1 + 3x

+ 2x2

2− 1x− 1

x2

=1

2

2. Da mesma forma, o limite limx→+∞4e7x+2e2x−5exe3x+1+2e5x−1 pode ser calculado dividindo ambos os

membros por e5x.

limx→+∞

4e7x + 2e2x − 5ex

e3x+1 + 2e5x − 1= lim

x→+∞

4e2x + 2e−3x − 5e−4x

e−2x+1 + 2− e−5x=

+∞2

= +∞

3. Ja para calcular limx→−∞tan(π2−

1x)

x, vamos comecar por reescrever esta tangente como

uma cotangente (recorrendo a tan(π2− t)

= cot(t)).

limx→−∞

tan(π2− 1

x

)x

= limx→−∞

cot(1x

)x

= limx→−∞

1x

tan(1x

) = limt→0−

t

tan(t)= 1


(a) limx→+∞

log3x5 + 2x3 − x1 + x2 − 4x5

(b) limx→+∞

(e

1x +

x2 + 1

2x2 + 3

)(c) lim

x→+∞

4ex2

+ 2e2x − 5ex

e3x+1 + 2e5x − 1

Indeterminacoes de tipo 0 ×∞. Estas indeterminacoes resolvem-se quase sempre redu-zindo a um dos dois casos anteriores.

Exemplo.

1. Para levantar a indeterminacao em limx→+∞ x sin(1x

), vamos reescrever a multiplicacao

por x como divisao por 1x.

limx→+∞

x sin

(1

x

)= lim

x→+∞

sin(1x

)1x

= limt→0+

sin(t)

t= 1

2. A mesma tecnica permite calcular limx→−∞ x(

2e1x − 2

).

limx→−∞

x(

2e1x − 2

)= lim

x→−∞

2e1x − 21x

= limt→0−

2et − 2

t= 2



3. Para determinar limx→π2

(x− π

2

)3tan(x), basta expandir a definicao da tangente e aplicar

identidades trigonometricas.

limx→π

2

(x− π

2

)3tan(x) = lim

x→π2

(x− π

2

)3 sin(x)

cos(x)= lim

x→π2

(x− π

2

)3 sin(x)

sin(π2− x)

= limx→π

2

(x− π

2

)2sin(x)

x− π2

− sin(x− π

2

) = 0


(a) limx→+∞

√xe−x (b) lim

x→1(ex − 1) log(x− 1) (c) lim

x→1log(x) log(x− 1)

Indeterminacoes de tipo 00, ∞0 e 1∞. Estas indeterminacoes levantam-se sempre, talcomo no caso das sucessoes, recorrendo a formula

f(x)g(x) = eg(x) log(f(x)) ,

que gera uma indeterminacao de tipo 0 × ∞ no expoente. Essa indeterminacao pode serposteriormente levantada recorrendo as tecnicas descritas atras.

Exemplo.

1. Para calcular limx→0+ xx, que gera uma indeterminacao de tipo 00, aplicamos a trans-

formacao xx = ex log x, obtendo

limx→0+

xx = limx→0+

ex log(x) = elimt→+∞1tlog( 1

t ) = elimt→+∞− log(t)t = e0 = 1 .

2. Para calcular limx→+∞(3x+ 2)1x , podemos usar a mesma tecnica.

limx→+∞

(3x+ 2)1x = lim

x→+∞e

log(3x+2)x = e0 = 1 .

3. Para calcular limx→+∞(x+1x−1

)3x, que e uma indeterminacao do tipo 1∞, podemos recorrer

ao limite notavel limx→+∞(1 + 1

x

)x= e.

limx→+∞

(x+ 1

x− 1

)3x

= limx→+∞

(1 +

2

x− 1

) 6(x−1)2

+3

= limx→+∞

(1 +

2

x− 1

)3((

1 +2

x− 1

)x−12

)6

=

(lim

x→+∞

(1 +

2

x− 1

)3)

︸︷︷︸1

(lim

x→+∞

(1 +

1x−12

)x−12

)︸︷︷︸

e

6

= e6




(a) limx→1

(1− x)x2−1 (b) lim

x→0(1 + x)

3x (c) lim

x→+∞x

11+log x

2.6.4 Funcoes definidas por ramos e prolongamentos porcontinuidade

Ha um caso de funcoes cuja continuidade nao e imediata a partir da sua definicao: as funcoesdefinidas por ramos. De facto, quando definimos uma funcao com expressoes diferentes emdiferentes subintervalos, a continuidade das funcoes transcendentes elementares garante queela e contınua nos pontos interiores de cada um desses subintervalos e que e contınua a direitaou a esquerda dos extremos que estejam incluıdos no intervalo. Porem, nada garante que ospontos de mudanca de ramo nao sejam mesmo pontos de descontinuidade.

Vejamos uma funcao simples que ilustra estas duas situacoes: a funcao f definida por

f(x) =

x+ 1 x < −1

x2 − 2x −1 ≤ x < 2

x− 2 x ≥ 2

Da continuidade das funcoes transcendentes elementares (em particular, dos polinomios),sabemos que f e contınua em todos os pontos da recta real com excepcao de −1 e 2. Sabemosainda que e contınua a direita do ponto −1 (ja que a expressao que a define nesse ponto e iguala expressao que a define a direita desse ponto) e do ponto 2 (por uma razao analoga).

Para que f seja contınua nos pontos −1 e 2, basta entao que seja contınua a esquerda emcada um deles. Vejamos o que se passa.

limx→−1−

f(x) = limx→−1−

x+ 1 = −1 + 1 = 0 6= f(−1) = −1

limx→2−

f(x) = limx→2−

x2 − 2x = 4− 4 = 0 = f(2) = 0

Entao f e contınua em todos os pontos do seu domınio excepto no ponto −1.

Exercıcio 44. Indique quais os pontos em que as seguintes funcoes sao contınuas.

(a) g(x) =

{arctan

(1x

)x < 0

1 + e1−x x ≥ 0(b) h(x) =

{−e 1

x x < 0

log(

11+x2

)x ≥ 0

Mais do que determinar se uma funcao e contınua, interessa muitas vezes determinarparametros que a tornam contınua. E frequente, por exemplo, ter funcoes que sao linearesem cada intervalo, e que se pretende que sejam contınuas; entao, torna-se necessario deter-minar o termo independente da expressao que define a funcao em cada intervalo por forma aatingir este objectivo.



Exemplo. No sistema fiscal portugues, o Imposto sobre o Rendimento das Pessoas Singu-lares (IRS) e determinado em funcao do rendimento colectavel apurado em cada ano civil poraplicacao duma taxa, definida em funcao dum escalao determinado por esse mesmo rendimento.Porem, as transicoes entre escaloes sao contınuas, no sentido em que, num ponto de transicaoentre escaloes, o imposto calculado pela formula de ambos os escaloes tem o mesmo valor.Assim, ao valor do imposto a pagar e abatida uma parcela cujo valor e fixo em cada escalao.Ou seja, o imposto a pagar por um rendimento R no escalao i e dado por I(R) = Rti − Ai,onde Ai designa a parcela a abater nesse escalao.

Em 2010, os escaloes de rendimento e as taxas associadas sao as seguintes.

Escalao Rendimento Taxa1 ate e4793 10.5%2 e4793 a e7250 13%3 e7250 a e17.979 23.5%4 e17.979 a e41.349 34%5 e41.349 a e59.926 36.5%6 e59.926 a e64.623 40%7 acima de e64.623 42%

Vejamos como determinar as parcelas a abater em cada escalao. No primeiro escalao,esta parcela vale 0. Queremos que a funcao I seja contınua; entao, tem de ser contınua noponto 4793, pelo que temos que ter limR→4793− I(R) = limR→4793+ I(R). Ou seja,

limR→4793−

(Rt1 − A1) = limR→4793+

Rt2 − A2 ⇐⇒ 4793× 0.105 = 4793× 0.13− A2

⇐⇒ A2 = 119.825

donde a parcela a abater no segundo escalao e e119.825. (O valor previsto na lei e de e119.82.)Conhecendo A2, podemos determinar A3 da mesma forma. Para que a funcao R seja

contınua na transicao para o terceiro escalao, temos de ter

limR→7250−

(Rt2 − A2) = limR→7250+

Rt3 − A3 ⇐⇒ 7250× 0.13− 119.825 = 7250× 0.235− A3

⇐⇒ A3 = 881.075

que e a parcela a abater no terceiro escalao. (O valor previsto por lei e de e881.08.)Continuando este raciocınio, podemos calcular A4, A5, A6 e A7.

Exercıcio 45. Verifique que os valores das parcelas a abater a partir do quarto es-calao do IRS sao A4 = e2768.87, A5 = e3802.595, A6 = e5900.005 e A7 = e7192.465.

Exercıcio 46. Determine o valor de k que torna cada uma das seguintes funcoes contınuasem todo o seu domınio.

(a) f(x) =

{x2 − k x > 1

sin(x− 1) + 2 x ≤ 1(b) g(x) =

{e−x x ≥ 0

k − sin(x) x < 0



Outra situacao importante e a situacao em que pretendemos aumentar o domınio dumafuncao por forma a incluir a um ponto de acumulacao do domınio e de modo a que a funcaoresultante seja contınua. Podemos fazer isto se a funcao tiver limite (finito) nesse ponto.

Por exemplo: seja f a funcao definida por f(x) = x2−1x−1 , que esta definida em R \ {1}. Se

calcularmos o limite de f no ponto 1, obtemos

limx→1

f(x) = limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1(x+ 1) = 2 .

Isto significa que podemos estender continuamente a funcao f ao ponto 1 definindo-a da se-guinte forma.

f ∗(x) =

{x2−1x−1 x 6= 1

2 x = 1

Um exemplo um pouco mais interessante e o da funcao g definida por g(x) = sin(x)x

emR \ {0}. Ao contrario da funcao f anterior, a expressao de g nao pode ser simplificada; porem,sabemos que limx→0 g(x) = 1, pelo que podemos prolongar g a toda a recta real da seguinteforma.

g∗(x) =

{sin(x)x

x 6= 0

1 x = 0

Em contrapartida, a funcao h definida por h(x) = sin(1x

), tambem com domınio R \ {0},

nao pode ser prolongada a origem de forma contınua: o limite limx→0 h(x) nao existe. Paraverificar este facto, basta escolher dois infinitesimos un e vn tais que limh (un) 6= limh (vn).

Podemos conseguir isto escolhendo un por forma a que sin(

1un

)= 0 (para o que basta garantir

que 1un

e um multiplo de π, o que se obtem fazendo un = 1nπ

) e vn tal que sin(

1vn

)= 1 (o que se

obtem desde que 1vn

seja a soma de π2

com um multiplo de 2π, por exemplo com vn = 1π2+2nπ

).

Exercıcio 47. Verifique se as seguintes funcoes sao prolongaveis por continuidade.

(a) f(x) = x2−2x−3x2−9 (b) g(x) = arcsin(x−1)

x2−x (c) h(x) =(x+24−x

) xx−1

A continuidade tem implicacoes importantes no estudo de funcoes. Ha dois resultadosfundamentais para funcoes contınuas: o Teorema do valor intermedio (ou de Bolzano) e oTeorema de Weierstrass. Vamos dar alguma atencao ao primeiro, ja que e uma boa aplicacaoda materia coberta ate aqui e tem um interesse pratico importante.

Teorema (Teorema do valor intermedio). Seja f uma funcao contınua num intervalo [a, b] e yum valor entre f(a) e f(b). Entao existe um ponto x tal que a < x < b e f(x) = y.

Este teorema justifica a forma de tracar graficos que temos vindo a usar empiricamentedesde o inıcio: uma funcao contınua nao passa de um valor a outro sem passar por todos osvalores intermedios — o que implica que quaisquer dois pontos do seu grafico estao ligados,ou seja, o seu grafico e uma linha sem quebras. As unicas excepcoes que vimos ate agoraforam as funcoes definidas por ramos, que podiam ter saltos nos pontos de mudanca de ramos(que acabamos de ver que podem ser de facto descontinuidades) e as funcoes cujo domınio naoe contıguo, cujo grafico necessariamente tem uma quebra nos pontos que nao pertencem aodomınio da funcao.



Numericamente, este teorema (e em particular a sua prova) tem grande interesse porquepermite obter solucoes de equacoes com a precisao que se queira. Vamos ver a construcao numcaso particular: o caso em que y = 0 e f(a) < f(b). Todos os casos podem ser reduzidos aeste: para resolver f(x) = y resolvemos a equacao equivalente f(x) − y = 0; e se f(a) > f(b)aplicamos o metodo a funcao −f .

Demonstracao (Metodo da bisseccao). Vamos definir recursivamente duas sucessoes a e b daseguinte forma:

1. a0 = a e b0 = b;

2. tomando c = an+bn2

(o ponto medio do intervalo [an, bn]):

(a) se f(c) < 0, entao an+1 = c e bn+1 = bn;

(b) se f(c) > 0, entao an+1 = an e bn+1 = c.

Por construcao, a sucessao a e uma sucessao crescente e a sucessao b e uma sucessao cres-cente. Ambas as sucessoes sao limitadas (todos os seus temos estao no intervalo inicial [a0, b0]),logo sao convergentes. Uma vez que a cada passo reduzimos o intervalo [an, bn] a metade, temostambem que |an − bn| ≤ b0−a0

2n; entao lim an = lim bn.

Sendo x = lim an = lim bn, vamos ver que f(x) = 0. Uma vez que f e contınua, temos quef(x) = lim f (an) = lim f (bn). Mas f (an) < 0 para qualquer n, donde lim f (an) ≤ lim 0 = 0;analogamente, lim f (bn) ≥ lim 0 = 0. Entao f(x) = 0. �

Vejamos como podemos aplicar este metodo para encontrar solucoes de equacoes que naosao resoluveis analiticamente. Consideremos a equacao sin(x) = log(x). Tracando os graficosdestas duas funcoes, vemos que esta equacao tem uma solucao no intervalo [2, 3] (Figura 2.35).

x

y

1 2 3

-1

1

4 5

2

f(x)=sin(x)

g(x)=log(x)

Figura 2.35: Os graficos de f(x) = sin(x) e g(x) = log(x) intersectam-se num ponto comabcissa entre 2 e 3.

Para usar o metodo da bisseccao, tomamos h(x) = log(x) − sin(x) e vamos resolver aequacao h(x) = 0, observando que h(2) < 0 e h(3) > 0. Podemos construir uma tabela comoa seguinte.



n an bn c h(c) Caso0 2 3 2.5 0.317 (b)1 2 2.5 2.25 0.033 (b)2 2 2.25 2.125 −0.096 (a)3 2.125 2.25 2.188 −0.032 (a)4 2.188 2.25 2.219 −1.1× 10−4 (a)5 2.219 2.25 2.235 0.016 (b)6 2.219 2.235 2.227 0.008 (b)7 2.219 2.227 2.223 0.004 (b)8 2.219 2.223 2.221 0.002 (b)9 2.219 2.221 2.220 9× 10−3 (b)

Podemos portanto concluir que a solucao da equacao sin(x) = log(x) se encontra no inter-valo [2.219, 2.220]. Com os meios computacionais disponıveis actualmente, e muito facil aplicareste metodo para obter solucoes com precisoes de oito ou dez casas decimais quase instanta-neamente. Note-se que f(x) e zero com tres casas decimais para qualquer valor de x naqueleintervalo.

A Figura 2.36 mostra a sequencia de pontos determinados.

x

y

2.22 2.6 2.8 3

1

f(x)=sin(x)

g(x)=log(x)

2.4

a0 3a 4a5a b6

b2 b1 b0

Figura 2.36: Resolucao numerica da equacao sin(x) = log(x).

Exercıcio 48. Aplique o metodo da bisseccao para encontrar solucoes das seguintes equacoes.

(a) ex = 2− x (b) x2 − 2x = sin(x) (c) x3 − 2x = 3

O outro resultado tera um interesse teorico nos capıtulos seguintes.

Teorema (Weierstrass). Uma funcao contınua num intervalo fechado [a, b] tem mınimo emaximo nesse intervalo.

2.6.5 Determinacao de assımptotas de graficos de funcoes

A outra aplicacao do calculo de limites ao estudo de funcoes tem a ver com a determinacao deassımptotas. Vimos anteriormente que uma assımptota do grafico duma funcao e uma recta



da qual o grafico se aproxima cada vez mais; usando os conceitos que entretanto introduzimos,podemos dizer que o grafico da funcao tende para a recta.

Vamos comecar por analisar os dois casos que vimos atras (assımptotas horizontais e ver-ticais) para depois vermos uma situacao um pouco mais geral. Nao vamos incidir demasiadosobre as implicacoes da determinacao das assımptotas na construcao de graficos de funcoesporque essa questao sera abordada no final do Calculo Diferencial (Seccao 3.4), quando dis-pusermos de todas as tecnicas necessarias para efectuar um estudo completo duma funcao.

Assımptotas horizontais. O grafico duma funcao tem uma assımptota horizontal quando,a medida que o valor de x aumenta (ou diminui) indefinidamente, o grafico se aproxima dumarecta horizontal, de equacao y = a. Isto significa que os valores de f(x) se aproximam cadavez mais do valor a, ou que o limite de f quando x→ +∞ (ou x→ −∞) e precisamente a.

Os exemplos que vimos atras sao precisamente deste estilo: a funcao exponencial tem umaassımptota horizontal a esquerda de equacao y = 0; e sabemos ja que temos

limx→−∞

ex = 0 .

Esta funcao nao tem assımptota horizontal a direita, ja que limx→+∞

ex = +∞.

O outro exemplo de assımptota horizontal que vimos foi o grafico de arctan(x), que temassımptotas y = −π

2a esquerda e y = π

2a direita. Um pouco de reflexao mostra que de facto

se temlim

x→−∞arctan(x) = −π

2e lim

x→+∞arctan(x) =

π

2.

Mas ha muitas outras funcoes cujos graficos tem assımptotas horizontais. O exemplo tıpicoenvolve funcoes racionais, mas ha muitas outras.

Exemplo.

1. O grafico da funcao f definida por f(x) = 3x+1x−2 tem assımptota horizontal y = 3 a direita

e a esquerda, visto que

limx→±∞

3x+ 1

x− 2= lim

x→±∞

3 + 1x

1− 2x

= 3 .

2. O grafico da funcao g definida por g(x) = 4x2+2−3x2−3x+1

tem assımptota horizontal y = −43

a direita e a esquerda, pois

limx→±∞

4x2 + 2

−3x2 − 3x+ 1= lim

x→±∞

4 + 2x2

−3− 3x

+ 1x2

= −4

3.

3. O grafico da funcao h definida por h(x) = sin(x)x

tem assımptota horizontal y = 0 a direitae a esquerda, uma vez que

limx→±∞

sin(x)

x= 0 .

4. O grafico da funcao g definida por g(x) = x(

2e1x − 2

)tem uma assımptota horizontal

em y = 2, novamente a direita e a esquerda, uma vez que (conforme vimos atras)

limx→±∞

x(

2e1x − 2

)= 2 .



Exercıcio 49. Determine se as seguintes funcoes tem assımptotas horizontais e, no casoafirmativo, indique as suas expressoes.

(a) f(x) = 2x−3x2+1

(b) g(x) = x2−6x+8x2−5x+6

(c) k(x) = x2−4(x−2)(x+5)

(d) n(x) = x2+2xx+2

Assımptotas verticais. De forma semelhante, o grafico de f tem uma assımptota verticalde equacao x = a quando, numa vizinhanca do ponto a, se aproxima da recta vertical comessa equacao. Isto significa que ou a direita ou a esquerda (ou de ambos os lados) de a afuncao f toma valores cada vez maiores em modulo, ou seja, que pelo menos um dos limiteslaterais limx→a± f(x) e infinito. Se o limite for +∞, a funcao aproxima-se da metade superiorda assımptota; se o limite for −∞, a aproximacao e a metade inferior da assımptota.

Note-se que o grafico de f nunca pode ter uma assımptota vertical nos pontos em que f econtınua, uma vez que nesses pontos ela toma o valor dos seus limites laterais (que nao podemportanto ser infinitos). Assim, ao procurar assımptotas verticais vamos cingir-nos aos pontosde acumulacao que nao pertencem ao domınio da funcao.


Exemplo.

1. O grafico da funcao f com expressao f(x) = 1x

tem um assımptota vertical de equacaox = 0. De facto,

limx→0±

f(x) = limx→0±

1

x= ±∞ .

A aproximacao do grafico a assımptota e a metade inferior, a esquerda, e a metadesuperior, a direita.

2. Se pensarmos em g(x) = 3x+2x−1 , vemos que o grafico desta funcao so pode ter uma

assımptota vertical no ponto x = 1, que e o unico ponto que nao pertence ao seu domınio.Calculando os limites laterais nesse ponto, temos que

limx→1±

g(x) = limx→1±

3x+ 2

x− 1=

5

0±= ±∞ ,

donde esta funcao tem uma assımptota vertical nesse ponto. Novamente, a aproximacaodo grafico a assımptota e a metade inferior, a esquerda, e a metade superior, a direita.

3. Ja a funcao h definida por h(x) = −x2−3x+2log(x)

tem domınio ]0, 1[∪]1,+∞[, pelo que pode

ter assımptotas verticais nos pontos 0 (a direita) e 1.

No ponto 0, temos que

limx→0+

h(x) = limx→0+

−x2 − 3x+ 2

log(x)=

2

−∞= 0 ,

donde a funcao e prolongavel por continuidade aquele ponto e nao tem assımptota ver-tical.



Quanto ao ponto 1 temos

limx→1±

h(x) = limx→1±

−x2 − 3x+ 2

log(x)=−2

0±= ∓∞ ,

donde esta funcao tem uma assımptota vertical nesse ponto. Agora a aproximacao dografico a assımptota a esquerda de 1 e a metade superior, enquanto que a direita e ametade inferior.

Exercıcio 50. Determine se as seguintes funcoes tem assımptotas verticais e, no casoafirmativo, indique as suas expressoes.

(a) f(x) = 2x−3x2+1

(b) g(x) = x2−6x+8x2−5x+6

(c) k(x) = x2−4(x−2)(x+5)

(d) n(x) = x2+2xx+2

Assımptotas oblıquas. Ha um outro caso que ainda nao consideramos ate agora, que e ocaso em que o grafico da funcao se aproxima duma recta oblıqua (ver Figura 2.37).

x

y

-3 -2 -1 1 32

-4

-2

2

4f(x)=2x+1/x

y=2x

Figura 2.37: Um grafico duma funcao com assımptota oblıqua. A medida que o valor de xtende para ±∞, o grafico aproxima-se cada vez mais da recta y = 2x.

Para que o grafico de f tenha uma assımptota oblıqua de equacao y = mx + b quandox→ ±∞, e necessario novamente que

limx→±∞

f(x)− (mx+ b) = 0 .

Manipulando um pouco esta equacao, obtemos

limx→±∞

f(x)− (mx+ b) = 0⇐⇒ limx→±∞

(f(x)−mx) = b

limx→±∞

f(x)− (mx+ b) = 0⇐⇒ m =limx→±∞ f(x)− b

limx→±∞ x=⇒ m = lim

x→±∞

f(x)

x

donde podemos determinar os coeficientes m e b da assımptota oblıqua, caso esta exista.



Podemos verificar estes valores para a funcao do exemplo acima. Temos que

limx→±∞

2x+ 1x

x= lim

x→±∞2 +

1

x2= 2

e

limx→±∞

2x+1

x− 2x = lim

x→±∞

1

x= 0 ,

confirmando que a equacao da assımptota e de facto y = 2x.Observe-se que no caso particular m = 0 obtemos uma assımptota horizontal.

Exemplo.

1. Comecemos novamente por uma funcao racional: a funcao h tal que h(x) = 3x3−2x9−x2 . Para

determinar se esta funcao tem assımptotas oblıquas, vamos comecar por calcular

limx→±∞

h(x)

x= lim

x→±∞

3x3 − 2x

9x− x3= lim

x→±∞

3− 2x2

9x2− 1

= −3 .

Entao esta funcao pode ter uma assımptota de equacao y = −3x+ b a esquerda e outraa direita, nao necessariamente com o mesmo valor de b. Vamos determinar este valor.

limx→±∞

(h(x) + 3x) = limx→±∞

(3x3 − 2x

9− x2+ 3x

)= lim

x→±∞

��3x3 − 2x+ 27x−��3x3

9− x2= lim

x→±∞

25x

9x2− 1

= 0

Concluimos portanto que a recta y = −3x e assımptota a esquerda e a direita do graficode h.

2. Consideremos a funcao g definida por g(x) = x2+ex

3x+2. Quando x aumenta, temos

limx→+∞

g(x)

x= lim

x→+∞

x2 + ex

3x2 + 2x= +∞

uma vez que a exponencial cresce mais rapidamente do que qualquer polinomio. Entaoo grafico desta funcao nao tem assımptotas oblıquas a direita.

Ja quando x diminui, temos

limx→−∞

g(x)

x= lim

x→−∞

x2 + ex

3x2 + 2x= lim

x→−∞

1 + ex

x2

3 + 2x

=1

3

tendo em conta que a exponencial tende para 0 quando o seu argumento tende para −∞.Entao esta funcao pode ter uma assımptota oblıqua de equacao y = x

3+ b a esquerda.

Para determinar o valor de b, vamos calcular

limx→−∞

(g(x)− x

3

)= lim

x→−∞

(x2 + ex

3x+ 2−x2 + 2x

3

3x+ 2

)= lim

x→−∞

ex − 2x3

3x+ 2= lim

x→−∞

ex

x− 2

3

3 + 2x

= −2

9

donde a equacao da assımptota e y = x3− 2

9.


2.7. EXERCICIOS 119

3. Pode haver situacoes em que encontramos um valor finito para m sem que contudo hajauma assımptota oblıqua. O exemplo mais simples e o do grafico da funcao logaritmo;temos

limx→+∞

log(x)

x= 0 mas lim

x→+∞(log(x)− 0x) = lim

x→+∞log(x) = +∞ .

Estes exemplos sao todos bastante simples, ja que nao consideramos funcoes definidas porramos. Nos exercıcios surgem alguns exemplos desse estilo; nesses casos e necessario calcularseparadamente os limites quando x tende para +∞ ou para −∞ sempre que as expressoes quedefinem a funcao em cada um desses casos nao coincidirem.

Exercıcio 51. Determine se as seguintes funcoes tem assımptotas oblıquas e, no casoafirmativo, indique as suas expressoes.

(a) f(x) = 2x−3x2+1

(b) g(x) = x2−6x+8x2−5x+6

(c) k(x) = x2−4(x−2)(x+5)

(d) n(x) = x2+2xx+2

2.7 Exercıcios

52. Verifique cada uma das seguintes relacoes, indicando os valores de x para que faz sentido.

(a) tan(2x) = 2 tan(x)1−tan2(x)

(b) sin(2x) = 2 tan(x)1+tan2(x)

(c) cos(2x) = 2 cos2(x)− 1

(d) cos(2x) = 1− 2 sin2(x)

(e) sin(4x)+2 sin(2x)sin(2x)

= 4 cos2(x)

(f) sin(3x) = 3 sin(x) cos2(x)− sin3(x)

(g) cos(3x) = cos3(x)− 3 sin2(x) cos(x)

(h) tan(x) + cot(x) = 1sin(x) cos(x)

53. Para cada um dos seguintes conjuntos, indique o seu interior, exterior, fronteira e deriva-do. Quais deles sao abertos e quais sao fechados?

(a) {0}(b) [0, 1]

(c) ]0, 1]

(d) ]a, a+ 1[, a ∈ R(e) ]−∞, 2]

(f) ]−∞, 2[

(g)]−1

2, 3]∪]5,+∞[

(h) {2} ∪ [3, 4]

54. Para cada par de funcoes abaixo, indique g ◦ f e f ◦ g e calcule os respectivos domınios.

(a) f(x) = x2 + 1

g(x) = 2x+ 3

(b) f(x) = x2 + 2x

g(x) = 3x+ 2

(c) f(x) = 1x

g(x) = 2x

(d) f(x) = 1x

g(x) = x2 + x

(e) f(x) = log x

g(x) = 2x

(f) f(x) = log x

g(x) = x2 + x

(g) f(x) = sin(x)

g(x) = x2 + x

(h) f(x) = ex

g(x) = 2x

(i) f(x) =√x

g(x) = x2 + x

(j) f(x) = cos(x)

g(x) = ex

(k) f(x) = (x+ 1)3

g(x) = log x sin(x)

(l) f(x) = 2xex

g(x) = x2 + 1

(m) f(x) = 2xtan(x)

g(x) = ex

(n) f(x) = 1x2+1

g(x) = sin(x)

(o) f(x) =√x

g(x) = 2x



55. Indique o domınio das seguintes funcoes.

(a) f(x) = log(3−x)√x3+4x

+√x−1ex+2

+ sin (ex) (b) h(x) = arcsin(x+1x−1

)(c) g(x) = 3

√3− x+ 1

log(1−x2) +√x2 − 2x+ 3

56. Para cada uma das seguintes funcoes, indique o seu domınio e contradomınio e esboce oseu grafico.

(a) f(x) =

{x 0 ≤ x ≤ 3

3 x > 3

(b) g(x) =|x|x

(c) f(x) = x+ |x|

(d) j(x) =

x− 2 0 ≤ x ≤ 2

0 2 < x ≤ 4

x− 4 x > 4

(e) k(x) =

{x2 x < 2

x+ 3 x ≥ 2

(f) g(x) =

x2 + 1 x ≤ 1

−2x+ 4 1 < x < 3

5 x ≥ 3

(g) m(x) =√x2 − 1

(h) h(x) =

∣∣∣∣sin(x)

x

∣∣∣∣57. Indique, justificando, os pontos em que as seguintes funcoes sao contınuas.

(a) f(x) =

{x+ 3 x < −1

x2 x ≥ −1

(b) g(y) =

{3y−21−y y ≤ 0y−2y+1

y > 0

(c) m(y) =

x2−3x+3x−1 x < 1

−1 x = 1−2x2+1

x > 1

(d) j(x) =

sin(x) x ≤ 0

x log(2− x)− x 0 < x < 1

k x = 1x2−3x+3x−1 x > 1

(e) h(z) =

{z3 log z z > 0

arctan (z2) z ≤ 0

(f) p(z) = log |z|

(g) f(x) =

{ex − 1 x > 0

log(arctan

(x+ π

4

))x ≤ 0

(h) h(x) =

kex+2 x ≤ −2x3−4xx+2

−2 < x < 0

0 x = 0

x cos(x) + sin(x) x > 0

58. Para cada uma das seguintes funcoes, indique, se possıvel, um valor de k que as tornacontınuas em todo o seu domınio.

(a) g(x) =

{x2−1x3−1 x 6= 1

k x = 1

(b) f(x) =

ex x ≤ 0

x2 + 1 0 < x < −1

k x = 1

2x+ sin(x− 1) x > 1

(c) g(x) =

sin(x) x < 0

x2 + k 0 ≤ x < −1

x− 1 1 ≤ x < 2

−x+ 3 x ≥ 2

(d) h(x) =

2

x−3 x < −2

x2 + 1 −2 < x < 0

2 x = 0sin(x)x

x > 0


2.7. EXERCICIOS 121

59. Calcule os seguintes limites.

(a) limh→0

sin(x+ h)− sin(x)

h

(b) limx→5

√x2 − 6x+ 14

(c) limx→π

2

(sin(x) + x2 − 1

)(d) lim

t→+∞t2(

1− cos1

t

)(e) lim

x→+∞

1

x3 − 4

(f) limx→0

sin(x+ π)

(g) limh→0

1x+h− 1

x

h

(h) limx→1

(x− 1)x2−2x+1

(i) limx→2

e2x+1

(j) limx→+∞

−2x2 + 10

5x3 − 2x+ 4

(k) limx→0

tan(4x)

sin(2x)

(l) limx→0

x+ tan(x)

sin(x)

(m) limt→0

(e

1t2 − log(t+ 1)

)(n) lim

x→0

cos(x)− 1

x

(o) limx→2

√1 +√x

(p) limx→−∞

x2 − 3x

2x2 − 1

(q) limx→+∞

2x2 + 1

3x2 + 5x

(r) limx→0

sin

(ex − 1

x

)(s) lim

t→2

6t− 12

sin(5t− 10)

(t) limx→1

x+ 1

(x− 1)2

(u) limh→0

(x+ h)2 − x2)h

(v) limx→2

(1

x2− 3x

4− x3

)(w) lim

h→0

log(x+ h)− log x

h

(x) limx→π

2

ecos(x)

x−π2

(y) limh→0

√x+ h−

√x

h

60. Calcule os seguintes limites.

(a) limx→0

esin(x)x

(b) limx→e

log(3x2 − 2

)(c) lim

t→−∞

et + 5

t+ 2

(d) limx→0

2x sin(x)

1− cos(x)

(e) limx→0

x

sin(3x)

(f) limx→9

√1 +√x

3x

(g) limx→2

x2 − 3x+ 2

x− 2

(h) limx→+∞

x2 + 1√x

(i) limx→1

ex

1 + x

(j) limx→+∞

√x+ 1−

√x

(k) limx→0

sin

(3x2 + 2x

4x

)

(l) limx→+∞

5x3 − 2x+ 4

−2x2 + 10

(m) limx→0

cos(π

2+ x2

)(n) lim

x→1

(1

1− x− 3

1− x3

)(o) lim

x→0

(25x3 + 2

75x7 − 2+√x2 + 4

)(p) lim

x→π2

3 tan2(x) + 5 tan(x) + 1

2− 2 tan2(x)

61. Determine (se existirem) as assımptotas das seguintes funcoes.

(a) h(x) = 4x−x29−x2 (b) j(x) = 10

x−2 (c) m(z) = x2−x−22x2+x−3 (d) q(t) = cos(x)

x




Capıtulo 3

Calculo Diferencial

O Calculo Diferencial e uma das areas mais importantes da Analise Matematica, com aplicacoesem diversas disciplinas: Estatıstica, Fısica, Engenharia, Economia, Logıstica, InvestigacaoOperacional e Biologia, para dar apenas alguns exemplos. Este capıtulo pretende ser umaintroducao aos conceitos e tecnicas fundamentais deste topico.

O conceito central a todo este estudo e o conceito de derivada, pelo que dispenderemosalgum tempo a apresentar varias nocoes intuitivas do seu significado. Veremos que, embora asua definicao requeira alguma capacidade de abstraccao, existem muitas situacoes do dia-a-diaonde estamos a trabalhar com derivadas — nalguns casos ate de forma bem explıcita.

Por outro lado, o nosso objectivo fundamental vai continuar a ser o estudo de funcoes; assim,centrar-nos-emos na aplicacao do Calculo Diferencial a representacao grafica e determinacao depropriedades de funcoes, sem contudo descurar outros exemplos que serao relevantes noutroscontextos.

3.1 Nocao de derivada

A nocao de derivada esta ligada ao conceito de variacao duma funcao. Comecemos por veralguns exemplos de situacoes comuns em que usamos a variacao duma funcao para resolverproblemas concretos.

Problema. Um comboio Intercidades faz a viagem de Lisboa ao Porto (cerca de 300 km) em3 horas. Quanto tempo demorara a viagem de Lisboa a Coimbra (cerca de 200 km)?

Resolucao. A falta de mais informacoes, e natural assumir que a viagem decorre a uma veloci-dade aproximadamente constante. Uma vez que o percurso completo de 300 km e realizado em3 horas, a velocidade media e de 300

3= 100 km/h, ou seja, o comboio percorre 100 quilometros

em cada hora. Para percorrer 200 km necessitara portanto de duas horas.

Problema. Num determinado dia e numa determinada praia, a mare baixa teve lugar as 7h25e a mare alta as 19h05. Sabendo que nesse intervalo de tempo a extensao de praia se reduziude 24 m para 10 m, a que horas e que a praia tinha 20 m de extensao?

Resolucao. Tal como atras, na ausencia de outra informacao vamos assumir que a mareavancou a um ritmo constante. Uma vez que entre a mare baixa e a mare alta decorreram11h40m (ou seja, 700 minutos) e que durante esse tempo a agua avancou 14 m, a velocidademedia e de 1 metro a cada 50 minutos. Se inicialmente a praia tinha 24 m de extensao, esse valorestava reduzido a 20 m depois de a mare avancar 4 m, ou seja, ao fim de 4×50 = 200 minutos.Portanto, a extensao de praia era de 20 m as 10h45.

123

124 CAPITULO 3. CALCULO DIFERENCIAL

Nos exemplos acima, o nosso raciocınio foi semelhante: conhecendo dois valores da funcao,aproximamos o seu comportamento no intervalo entre eles por uma funcao linear (ou seja,assumindo que a sua variacao e constante). Graficamente, isto corresponde a tracar uma rectaentre os dois pontos em que os valores da funcao sao conhecidos; analiticamente, podemosescrever uma expressao explıcita para a funcao (ver Figura 3.1).

1

2

3

100 200 300

h

km

8h 16h 24h

h

m

10

20

30

Figura 3.1: Aproximacao linear dos graficos das funcoes envolvidas nos problemas: distanciapercorrida pelo comboio em funcao do tempo (a esquerda) e comprimento da orla de praia aolongo do dia (a direita).

Note-se que nada garante que esta aproximacao seja uma boa aproximacao. Ha infinitoscomportamentos distintos que uma funcao pode ter conhecidos apenas os seus valores em doispontos, conforme exemplificado na Figura 3.2. Mais, no segundo exemplo a funcao em causanao e de facto linear. Porem, a recta apresentada corresponde a melhor aproximacao possıvelcom os dados conhecidos. Mais adiante (Seccao 3.3) daremos um significado preciso a estaafirmacao.

1

2

3

100 200 300

h

km

Figura 3.2: Varios comportamentos possıveis duma funcao passando por dois pontos dados.

A recta que liga os dois pontos conhecidos tem um declive correspondento a variacao mediada funcao entre os dois pontos. O seu valor e designado por taxa de variacao media da funcaonaquele intervalo.

Definicao. A taxa de variacao media duma funcao f num intervalo [a, b] contido no seudomınio e o valor

f(b)− f(a)

b− a.


3.1. NOCAO DE DERIVADA 125

Este valor corresponde a variacao media num intervalo unitario. Nos problemas acima,temos que:

- a taxa de variacao media da posicao do comboio e 100 (quilometros por hora, uma vezque a funcao indica uma distancia em relacao a um intervalo de tempo);

- a linha de costa regride 1 metro a cada 50 minutos; tendo em conta que a unidade detempo e o minuto, a taxa de variacao da posicao da linha de costa e − 1

50(metros por

minuto).

Note-se que em ambos os exemplos o calculo da taxa de variacao media foi feito de formaintuitiva, mas o resultado obtido corresponde precisamente ao que seria obtido recorrendo adefinicao.

Exercıcio 1.

(a) Um empreiteiro precisa de fazer um orcamento para a colocacao dum soalho numa casade 150 m2. Sabendo que a mesma equipa demorou 6 dias a colocar um soalho semelhantenuma casa de 100 m2 e 10 dias para uma casa de 200 m2, quanto tempo e que o empreiteiropode esperar demorar com este trabalho?

(b) Uma pessoa esta a ler um livro a um ritmo aproximadamente constante, tendo ja lidoduzentas paginas ao longo dum perıodo de seis dias. Qual e a melhor estimativa do tempoque a pessoa demorara a terminar o livro, sabendo que este tem 350 paginas no total?

(c) Como medida de prevencao de incendios, recorreu-se a rebanhos de cabras para desbastar avegetacao rasteira. Em experiencias anteriores, verificou-se que um rebanho com 20 cabrasconseguiu limpar numa semana uma area de 2 ha, enquanto que outro maior, com 50 cabras,conseguiu cobrir um terreno de 6 ha no mesmo perıodo de tempo. Qual a dimensaoadequada dum rebanho para limpar uma area de 10 ha numa semana?

Exercıcio 2. Quais as funcoes envolvidas no exercıcio anterior? Qual a taxa de variacaomedia de cada uma delas no intervalo considerado? Represente graficamente as aproximacoesenvolvidas.

Exercıcio 3. Apresentam-se de seguida algumas funcoes das quais so conhecemos algunsvalores. Calcule a taxa de variacao media de cada uma delas nos intervalos indicados.

(a) f(0) = 0, f(1) = 35, intervalo: [0, 1]

(b) g(−1) = 5, g(2) = 17, intervalo: [−1, 2]

(c) h(0) = 2, h(5) = 18, h(20) = 32, intervalos [0, 5], [5, 20] e [0, 20]

Exercıcio 4. Represente graficamente cada uma das aproximacoes do exercıcio anterior.



Consideremos agora a situacao em que conhecemos os valores da funcao f em todo umintervalo contendo o ponto a. Pode nao ser intuitivo, mas em muitas situacoes praticas continuaa ser util aproximar os valores da funcao por uma funcao mais simples (tipicamente uma recta).A razao para este facto prende-se com a existencia de erros de calculo que, em muitas situacoes,sao maiores que o erro da aproximacao.

Para recorrer a mesma tecnica que usamos atras, precisamos de considerar a taxa devariacao de f num intervalo tendo a como um dos extremos. Contudo, podemos escolhero outro extremo arbitrariamente, uma vez que conhecemos todos os valores de f em pontosproximos de a. Intuitivamente, quanto mais proximo de a for o ponto escolhido, melhor seraa aproximacao para pontos proximos de a. Graficamente, estamos a aproximar a funcao porrectas que estao cada vez mais proximas do grafico da funcao (ver Figura 3.3).

x

y

x

y

x

y

x

y

Figura 3.3: Aproximacoes sucessivas duma funcao por rectas cada vez mais proximas do seugrafico na vizinhanca dum ponto. As figuras correspondem a aproximacoes progressivamentemelhores.

O que e que acontece se o segunto ponto se aproximar de a? Em termos graficos, os doispontos de interseccao da recta de aproximacao com o grafico da funcao aproximam-se cada vezmais, ate obtermos uma recta que e tangente ao grafico de f em a — toca-o exactamente numponto (o ponto (a, f(a)) sem o atravessar. O declive desta recta e o limite da taxa de variacaomedia num intervalo [a, b] quando b → a, a que se chama taxa de variacao instantanea de fem a ou derivada de f em a.

Definicao. Seja f uma funcao definida num intervalo contendo o ponto a. Se existir e forfinito o limite

limx→a

f(x)− f(a)

x− aentao a funcao diz-se diferenciavel no ponto a e ao valor f ′(a) daquele limite chama-se derivadade f em a.

Tambem se utiliza muitas vezes a formulacao (equivalente) que se obtem tomando h = x−a.

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h

A definicao apresentada acima requer que o ponto a seja interior ao domınio de f . Por vezese interessante calcular a derivada em pontos fronteiros a esse domınio, considerando apenas ocomportamento da funcao de um dos lados do ponto em questao.

Definicao. Seja f uma funcao definida num intervalo [a, a+ ε[. A derivada a direita de f noponto a, representada por f ′d(a) ou f ′+(a), e o valor do limite

limx→a+

f(x)− f(a)

x− ase este limite existir.



Seja f uma funcao definida num intervalo ]a− ε, a]. A derivada a esquerda de f no pontoa, representada por f ′e(a) ou f ′−(a), e o valor do limite

limx→a−

f(x)− f(a)

x− a

se este limite existir.

Observe-se que esta definicao e aplicavel no caso em que a e interior ao domınio de f , eem que portanto faz sentido falar de f ′(a). O resultado seguinte e consequencia imediata daspropriedades dos limites.

Proposicao. Seja a um ponto interior ao domınio duma funcao f . Entao f ′(a) esta definidase e so se se ambas as derivadas laterais de f em a estiverem definidas e se tiver f ′+(a) = f ′−(a).

O conceito de derivada e o conceito fundamental do Calculo Diferencial. Da definicao(analıtica) obtemos a sua interpretacao fısica: corresponde a variacao instantanea da funcao fnaquele ponto. Da representacao grafica obtemos a sua interpretacao geometrica: e o decliveda recta tangente ao grafico de f no mesmo ponto. Estas duas interpretacoes sao fundamentaise tornam muitos dos resultados mais relevantes do Calculo Diferencial bastante intuitivos.

Contrariamente ao que a primeira vista possa parecer, o conceito de derivada faz parte donosso quotidiano — e mais uma vez compreender estes exemplos e uma boa forma de ganharintuicao para o conceito geral. Vejamos algumas situacoes em que diariamente contactamoscom derivadas.

Exemplo. Vimos num dos exemplos anteriores que a distancia percorrida por unidade detempo (velocidade media) correspondia a taxa de variacao media da funcao distancia percor-rida. Considerando intervalos de tempo cada vez menores, obtemos um limite — a velocidadeinstantanea — que corresponde dalguma forma a variacao instantanea da distancia percorrida.

A velocidade instantanea e talvez o paradigma da derivada, por ser historicamente umadas primeiras situacoes em que foi identificado como tal. Tem ainda a vantagem de ser ex-tremamente intuitivo mas representativo do tipo de resultados que encontraremos no CalculoDiferencial: se dois carros andarem com velocidades instantaneas diferentes, aquele que tivervelocidade maior percorre maior distancia; e se a velocidade dum carro for 0 entao o carro estaparado (a distancia percorrida nao varia).

E ainda de salientar que a velocidade instantanea nao e uma grandeza abstracta — todosos automoveis vem equipados com um velocımetro, que, de certa forma, nao e mais que ummedidor de derivadas.

Na Fısica e comum chamar velocidade a grandezas que sao derivadas de outras, mesmo quenao correspondam propriamente a movimentos: velocidade de propagacao duma onda, veloci-dade de sedimentacao duma solucao, velocidade de desintegracao de elementos radioactivos. . .No entanto, nao e so na Fısica que as derivadas ocorrem.

Exemplo. Nos automoveis mais recentes, e comum encontrar um medidor de consumo. Esteindica o consumo actual de combustıvel do veıculo, medido no numero de litros que gastariaem cem quilometros percorridos em iguais circunstancias.

Mais uma vez, o valor apresentado corresponde a uma taxa de variacao instantanea, sendoo limite da variacao do consumo em intervalos de tempo cada vez mais pequenos.



Exemplo. Os resumos das bolsas financeiras indicam sempre as variacoes dos tıtulos e dosındices relativamente ao dia anterior. Porem, com a informatizacao destas instituicoes, epossıvel determinar essas variacoes a mesma escala de tempo das transaccoes (tipicamente, acada 5 segundos). Determinando a taxa de variacao nesses intervalos, obtem-se uma aproxi-macao da derivada do valor do tıtulo ou do ındice, que e usada para fazer analise e previsaodos movimentos bolsistas.

Antes de comecarmos a calcular derivadas, importa fazer duas observacoes. A primeira emuito simples: se f for diferenciavel num ponto a, entao o limite limx→a

f(x)−f(a)x−a existe e e

finito; uma vez que o denominador daquela fraccao e um infinitesimo, a unica forma de o limiteconvergir e o numerador tambem ser um infinitesimo, ou seja, de se ter limx→a f(x)−f(a) = 0,donde limx→a f(x) = f(a) e portanto f e contınua em a. Obtem-se entao o resultado seguinte,de grande importancia pratica.

Proposicao. Seja f uma funcao definida numa vizinhanca dum ponto a.

- Se f e diferenciavel em a, entao f e contınua em a.

- Se f nao e contınua em a, entao f nao e diferenciavel em a.

Contudo, sabendo que f e contınua em a, nada podemos concluir sobre a sua diferencia-bilidade nesse ponto, conforme o seguinte exemplo mostra.

Exemplo. Considere-se a funcao modulo, cujo grafico e o seguinte.

1

2

-1-2 1 2

x

y y=|x|

Esta funcao e contınua em 0, mas nao e diferenciavel naquele ponto: da analise da figurae imediato concluir que nao ha uma unica recta tangente ao grafico de f no ponto (0, 0).Analiticamente, poderıamos considerar as duas sucessoes

un =1

ne vn = − 1

n,

que sao infinitesimos, e observar que

|un| − |0|un − 0

= 1 e|vn| − |0|vn − 0

= −1

para qualquer valor de n para concluir que

lim|un| − |0|un − 0

= 1 e lim|vn| − |0|vn − 0

= −1

e portanto

limx→0

|x| − |0|x− 0

nao existe.



A outra observacao e consequencia desta. Para f ′(a) estar definido, a funcao f tem de sercontınua em a, donde o limite limx→a f(x) = f(a). Por outro lado, limx→a x = a. Entao olimite na definicao de derivada produz sempre uma indeterminacao do tipo 0

0— pelo que e

importante ter presentes as tecnicas de levantamento deste tipo de indeterminacao.Vejamos alguns exemplos concretos.

Exemplo.

1. Um veıculo move-se ao longo duma estrada, sendo a sua posicao (em quilometros) dadaem funcao do tempo (em horas) por f(t) = 60t+ 15t2, para t ∈ [0, 2].

Para calcular a velocidade do veıculo no instante t = 1, vamos recorrer a definicao dederivada.

limt→1

f(t)− f(1)

t− 1= lim

t→1

60t+ 15t2 − 75

t− 1= lim

t→1

15t(t+ 4)− 75

t− 1

= limt→1

15t(t− 1) + 75(t− 1)

t− 1= lim

t→115t+ 75 = 90

No segundo passo, recorremos a divisao de ambos os polinomios ocorrentes na fraccaopor t− 1. Concluımos assim que, ao fim de uma hora, o veıculo se move a 90 km/h.

2. Ao longo de dois dias, uma barragem enche-se de agua e depois descarrega, sendo aquantidade de agua (em metros cubicos) no reservatorio dada por

f(t) =

{200 + 100t 0 ≤ t ≤ 24

2600− 50t 24 ≤ t ≤ 48

em funcao do tempo (em horas).

Em qualquer instante t0 do primeiro dia, a barragem esta a receber um caudal dado por

limt→t0

f(t)− f(t0)

t− t0= lim

t→t0

(200 + 100t)− (200 + 100t0)

t− t0

= limt→t0

100 (t− t0)t− t0

= 100

metros cubicos por hora. Ao longo do segundo dia, o caudal a cada instante e

limt→t0

f(t)− f(t0)

t− t0= lim

t→t0

(2600− 50t)− (2600− 50t0)

t− t0

= limt→t0

−50 (t− t0)t− t0

= −50

correspondendo a um debito de 50 metros cubicos por hora.

3. Considere-se agora a funcao definida por f(x) = sin(x). A derivada de f no ponto 0 e 1,pois

limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0

sin(x)− sin(0)

x− 0= lim

x→0

sin(x)

x= 1

recorrendo aos resultados vistos na Seccao 2.6.3.



4. A temperatura em graus Celsius duma dada placa deixada ao ar para arrefecer e dadapela expressao T (t) = 20 + 100e−t, onde t e o tempo em minutos decorrido desde oinstante em que se iniciou o arrefecimento.

Em t = 1, a temperatura da placa e T (1) ≈ 56.8 oC. A variacao da temperatura nesseinstante e dada pela derivada T ′(1).

T ′(1) = limt→1

T (t)− T (1)

t− 1

= limt→1

(20 + 100e−t)− (20 + 100e−1)

t− 1

= limt→1

100e−t − e−1

t− 1= lim

t→1

(−100

e

e−(t−1) − 1

−(t− 1)

)= −100

e

Conclui-se que a variacao da temperatura no instante t = 1 e dada por −100e≈ 36.8 graus

por minuto.

Num ponto generico t0 (positivo), a variacao da temperatura pode ser calculada (emfuncao de t0) de forma semelhante.

T ′ (t0) = limt→t0

T (t)− T (t0)

t− t0

= limt→t0

(20 + 100e−t)− (20 + 100e−t0)

t− t0

= limt→t0

(−100e−t0

e−(t−t0) − 1

− (t− t0)

)= −100e−t0

Substituindo t0 por t na ultima expressao, obtemos a expressao funcao que representa ataxa instantanea da variacao da temperatura:

T ′(t) = −100e−t .

5. Considere-se a curva definida pela expressao y = x2. Para determinar a equacao darecta tangente a esta curva num ponto arbitrario (x0, y0), onde y0 = x20, comecamos porcalcular a derivada da expressao y = x2 num ponto generico x0.

y′ (x0) = limx→x0

x2 − x20x− x0

= limx→x0

(x− x0) (x+ x0)

x− x0= lim

x→x0(x+ x0)

= 2x0

Assim, a recta tangente ao grafico num ponto arbitrario (x0, y0) tem declive 2x0. Entao,a sua equacao e y − y0 = 2x0 (x− x0). Por exemplo, a tangente na origem tem equacaoy = 0; a tangente em (1, 1) tem equacao y − 1 = 2(x − 1), ou y = 2x − 1; e a tangenteem (−2, 4) e a recta de equacao y − 4 = −4(x+ 2), ou y = −4x− 4 (ver Figura 3.4).



1 2-1-2

3

6

9

x

y

y=x²

y=0y=2x-1

y=-4x-4

Figura 3.4: Rectas tangentes a curva y = x2.

Exercıcio 5. Calcule as derivadas das seguintes funcoes nos pontos indicados.

(a) f(x) = 2x+ 3 no ponto x = 1.

(b) g(t) = t2 − 2t nos pontos t = 0 e t = −2.

(c) u(y) = 1− ey nos pontos y = 1 e y = −1.

(d) u(y) = 1− ey num ponto generico y.

Os ultimos exemplos apresentados ilustram um fenomeno importante. Dada uma funcao f ,podemos definir uma nova funcao nos pontos em que f e diferenciavel.

Definicao. Seja f uma funcao real. A funcao f ′ definida nos pontos em que f e diferenciavelcujo valor f ′(x) e precisamente a derivada de f no ponto x chama-se funcao derivada de f .

Tambem e frequente usar a notacao dfdx

para a funcao derivada de f , por questoes historicasrelacionadas com algumas aplicacoes que serao discutidas mais adiante. Em particular, emsituacoes em que definimos uma funcao como y = f(x) sem explicitar o nome da funcao f (porexemplo, ao escrever y = x2 ou y = sin(3x)), e util poder escrever dy

dxpara designar a derivada

desta funcao.Assim, no exemplo anterior da placa cuja temperatura era dada por T (t) = 20 + 100e−t,

podemos dizer que a derivada da funcao temperatura e a funcao T ′(t) = −100e−t — que naoe senao outra forma de afirmar que a variacao instantanea da temperatura num instante tpositivo e dada por aquela expressao. No exemplo de determinacao das tangentes ao graficode y = x2, podemos escrever dy

dx= 2x para indicar que o declive daquela tangente num ponto

generico de abcissa x e 2x.

Exercıcio 6. Qual e a derivada da funcao u(y) = 1− ey?

Uma vez que a funcao f ′ e novamente uma funcao, podemos calcular a sua derivada.Esta funcao chama-se a segunda derivada de f e designa-se habitualmente por f ′′ ou f (2).Repetindo este raciocınio, obtemos o conceito de terceira derivada, quarta derivada, ou derivadade ordem n, denotadas por f ′′′ ou f (3), f (4) e f (n). As derivadas de ordem superior de f seraoimportantes nalgumas aplicacoes que veremos adiante.



Definicao. Uma funcao diz-se n vezes diferenciavel num intervalo ]a, b[ se a sua derivada deordem n existir e for uma funcao contınua. Uma funcao diz-se infinitamente diferenciavel numintervalo ]a, b[ se tiver derivadas contınuas de todas as ordens.

3.2 Calculo de derivadas de funcoes elementares

A definicao de derivada e util em termos conceptuais, uma vez que nos da uma interpretacaopara o seu significado. Porem, em termos praticos, nao e uma definicao algorıtmica, no sentidoem que nao e simples calcular derivadas a partir da definicao. Nesta seccao vamos ver como, apartir dum conjunto relativamente reduzido de resultados fundamentais, podemos determinarregras de calculo que nos permitirao calcular sem esforco derivadas de funcoes com expressoesextremamente complexas.

Conforme ja foi referido, em todos os exemplos desta seccao vamos encontrar indeter-minacoes do tipo 0

0; assim, aplicaremos sem o referir explicitamente as tecnicas usuais de

levantamento deste tipo de indeterminacao.

3.2.1 Funcoes polinomiais

Comecemos por considerar o caso muito simples duma funcao f constante. Observe-se que ografico de f e uma recta horizontal, pelo que a tangente a este grafico em qualquer ponto enovamente uma recta horizontal, portanto com declive 0. Em termos de variacao, a variacaode f em qualquer intervalo e 0, pelo que se espera que a sua taxa de variacao instantanea seja 0em qualquer ponto. De facto, designando por k o valor da funcao em qualquer ponto, tem-se

limx→x0

f(x)− f (x0)

x− x0= lim

x→x0

k − kx− x0

= limx→x0

0

x− x0= 0

Igualmente, se o grafico de f for uma recta (nao necessariamente horizontal), a tangente emqualquer ponto e a propria recta. Tal como atras, podemos verificar este facto analiticamente.Seja f(x) = mx+ b; tem-se entao

limx→x0

f(x)− f (x0)

x− x0= lim

x→x0

(mx+ b)− (mx0 + b)

x− x0= lim

x→x0

m (x− x0)x− x0

= m.

Exercıcio 7. Calcule a derivada de f(x) = x2 + 2 atraves da definicao.

Para os exemplos seguintes, vamos recorrer a observacao feita a seguir a definicao desteconceito e calcular f ′(x) = limh→0

f(x+h)−f(x)h

.Comecemos por calcular a derivada de x3. Para tal, comecamos por observar que

(x+ h)3 = x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 ,

relacao que pode ser obtida por calculo directo ou por aplicacao do binomio de Newton.

limh→0

(x+ h)3 − x3

h= lim

h→0

��x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 −��x3

h= lim

h→03x2 + 3xh+ h2 = 3x2

Entao (x3)′= 3x2.


3.2. CALCULO DE DERIVADAS DE FUNCOES ELEMENTARES 133

Consideremos agora uma funcao da forma xn, com n inteiro positivo. Para calcular a suaderivada podemos, tal como atras, recorrer a formula do binomio de Newton para desenvolvero polinomio (x + h)n. Em alternativa, podemos examinar directamente a expansao destepolinomio:

- escolhendo o termo x em todas as parcelas, obtem-se xn;

- escolhendo o termo h numa parcela e x em todas as restantes, obtem-se xn−1h; ha nformas de fazer esta escolha, pelo que no resultado final aparece um termo nxn−1h;

- todos os termos restantes sao obtidos escolhendo pelo menos duas vezes um termo em h,pelo que podemos escrever a sua soma como h2P (x, h), em que P (x, h) e um polinomioem x e h.

Temos entao:

limh→0

(x+ h)n − xn

h= lim

h→0

��xn + nxn−1h+ h2P (x, h)−��xn

h= lim

h→0nxn−1 + hP (x, h) = nxn−1

donde (xn)′ = nxn−1. Observe-se que o exemplo anterior e um caso particular deste.

Exercıcio 8. Indique a derivada das funcoes y = x4 e y = x7.

Exercıcio 9. Recorra a definicao de derivada para calcular a derivada de f(x) = x2 + 2x.

Apresentam-se de seguida mais alguns exemplos.

Exemplo.

1. Considere-se y = 1x. O calculo de dy

dxe simples:

dy

dx= lim

h→0

1x+h− 1

x

h= lim

h→0

x− (x+ h)

x(x+ h)h= lim

h→0

−��hx(x+ h)��h

= − 1

x2

Observe-se que, escrevendo 1x

= x−1, esta derivada continua a ser calculada pela regra

anteriormente deduzida para polinomios: (x−1)′

= −1x−2. Contudo, esta relacao so evalida nos pontos em que a funcao e contınua — em particular, 1

xnao e diferenciavel em

x = 0.

2. A partir do desenvolvimento de (x + h)n atras considerado, e facil calcular tambem aderivada de 1

xn. (

1

xn

)′= lim

h→0

1(x+h)n

− 1xn

h= lim

h→0

1xn+nxn−1h+h2P (x,h)

− 1xn

h

= limh→0

��xn−(��xn+nxn−1

Ah+hC2P (x,h)

)xn(xn+nxn−1h+h2P (x,h))

SSh

= limh→0

− (nxn−1 + hP (x, h))

xn (xn + nxn−1h+ h2P (x, h))

=−nxn−1

x2n= − n

xn+1

Mais uma vez, podemos escrever esta regra como x−n = −nx−n−1.



3. Vamos agora calcular a derivada de√x. Para levantar esta indeterminacao, vamos

multiplicar o numerador e o denominador da fraccao pelo conjugado do numerador,√x+ h+

√x.

(√x)′

= limh→0

√x+ h−

√x

h

= limh→0

(√x+ h−

√x) (√

x+ h+√x)

h(√

x+ h+√x)

= limh→0

�x+SSh−�xSSh(√

x+ h+√x)

= limh→0

1√x+ h+

√x

=1

2√x

Ainda aqui, temos√x = x

12 e aplica-se a regra da potencia:

(x

12

)′= 1

2x−

12 . Note-se

que, tal como nos exemplos anteriores, esta regra so e valida no interior do domınio dafuncao — ou seja, para x > 0.

Pode de facto mostrar-se (mas nao o faremos neste ponto) que a regra de derivacao dapotencia se aplica para uma potencia de qualquer expoente diferente de 0: (xα)′ = αxα−1

para qualquer numero real α. Assim, e de todo o interesse representar funcoes algebricas de xsempre sob a forma de potencia.

Vejamos alguns exemplos. (3√x)′

=(x

13

)′=

1

3x−

23 =

1

33√x2(√

x7)′

=(x

72

)′=

7

2x

52 =

7

2√x5(

14√x3

)′=(x−

34

)′= −3

4x−

74 = − 3

44√x7

O resultado tambem se aplica a numeros irracionais.

(xπ)′ = πxπ−1(x√2)′

=√

2x√2−1

Exercıcio 10. Calcule dydx

nas seguintes situacoes.

(a) y = 1x3

(b) y = 4√x (c) y = 1

3√x (d) y =√x−3 (e) y = x2

√2+1

Antes de prosseguirmos com a derivacao de outro tipo de funcoes, vamos estudar duaspropriedades muito simples e intuitivas da operacao de derivacao que nos permitirao calcularderivadas de qualquer polinomio.



Um polinomio arbitrario e construıdo a partir de potencias de x por somas e multiplicacoespor constantes. Por exemplo, 3x2 + 2x e a soma de 3x2 com 2x; o primeiro destes e o produtode x2 pela constante 3, o segundo e o produto do polinomio x pela constante 2.

Quando somamos duas funcoes, a derivada do resultado e a soma das derivadas de cadauma delas: em termos de taxa de variacao, estamos a dizer que a variacao da soma e a somadas variacoes de cada uma delas, o que intuitivamente faz sentido. De facto, se f e g foremduas funcoes reais diferenciaveis num ponto a, tem-se

(f + g)′(a) = limx→a

(f + g)(x)− (f + g)(a)

x− a

= limx→a

(f(x) + g(x))− (f(a) + g(a))

x− a

= limx→a

(f(x)− f(a)) + (g(x)− g(a))

x− a

= limx→a

f(x)− f(a)

x− a+ lim

x→a

g(x)− g(a)

x− a= f ′(a) + g′(a)

confirmando o que foi dito.

Da mesma forma, se multiplicarmos uma funcao por uma constante, a derivada do resultadoe o produto dessa constante pela derivada da funcao original. Mais uma vez, em termos detaxa de variacao, se multiplicarmos uma funcao por uma constante, a derivada do resultado eo produto dessa constante pela derivada da funcao original. Seja c um numero real qualquer.Entao

(cf)′(a) = limx→a

(cf)(x)− (cf)(a)

x− a

= limx→a

cf(x)− cf(a)

x− a

= c limx→a

f(x)− f(a)

x− a= cf ′(a)

confirmando o resultado esperado.

Observe-se que este resultado tambem e valido se considerarmos apenas derivadas laterais,uma vez que apenas depende de propriedades dos limites.

Proposicao.

- A soma f + g de duas funcoes reais f e g e uma funcao que e diferenciavel onde f e g oforem, satisfazendo a relacao (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x) para esses numeros reais x.

- A funcao cf , produto de uma funcao real f por um numero real c, e uma funcao que ediferenciavel onde f o for, satisfazendo a relacao (cf)′(x) = cf ′(x) para esses numerosreais x.

Recorrendo a terminologia da Algebra Linear, estes resultados expressam que a operacaode derivacao e um operador linear no espaco de todas as funcoes.



Aproveitando o exemplo anterior, a derivada de 3x2 + 2x e 6x+ 2, obtida como o produtode 3 pela derivada de x2 (ou seja, 3×2x) somado com a derivada de 2x (que vimos atras ser 2).Simbolicamente,(

3x2 + 2x)′

=(3x2)′

+ (2x)′ = 3(x2)′

+ (2x)′ = 3× 2x+ 2 = 6x+ 2 .

Com um pouco de pratica, os passos intermedios fazem-se mentalmente.

Exemplo. O mesmo raciocınio permite calcular as seguintes derivadas.(2x3 − 2x2

)′=(2x3)′

+(−2x2

)′= 2

(x3)′ − 2

(x2)′

= 2× 3x2 − 2× 2x = 6x2 − 4x

(x4 + 3x3 − 2x2

)′=(x4)′

+ 3(x3)′ − 2

(x2)′

= 4x3 + 9x2 − 4x

(3

3√x2 − 2

x3− 1

5x2)′

= 3(x

23

)′− 2

(x−3)′ − 1

5

(x2)′

= 3× 2

3x−

13 − 2×−3x−4 − 1

5× 2x

=23√x

+6

x4− 2x

5

Exercıcio 11. Calcule a derivada das seguintes funcoes de x.

(a) x3 + 2x2 − x+ 2

(b) 3x4 − 2x2 + 9

(c) 3 3√x− 2

x2

(d) x3+2x2−3x+1x

(e) 3+2xx2

(f)√x5− 5√

x

E importante salientar que as regras ate aqui deduzidas (bem como as que veremos maisadiante) tambem sao aplicaveis para o calculo de derivadas laterais desde que a expressaocorresponda a definicao da funcao do lado do ponto em que se quer calcular a derivada (adireita ou a esquerda). A tıtulo ilustrativo, vamos mostrar analiticamente que a funcao modulonao tem derivada no ponto 0 (exemplo da pagina 128).

A funcao modulo pode ser definida analiticamente como

|x| =

{x x ≥ 0

−x x ≤ 0,

onde a ambiguidade no ponto 0 nao e problema: a funcao e contınua nesse ponto, pelo queambas as expressoes conduzem ao mesmo valor (nomeadamente, 0).

Entao temos que ddx|x| = d

dxx = 1 para x > 0; uma vez que a relacao |x| = x e valida para

o ponto 0 e a sua direita, podemos ainda afirmar que a derivada de |x| a direita na origemtambem e 1.

Por outro lado, para x < 0 tem-se ddx|x| = d

dx(−x) = −1, e analogamente ao que argu-

mentamos no paragrafo anterior concluımos que tambem a derivada desta funcao a esquerdada origem e −1.



Tem-se entao que no ponto 0 a funcao modulo tem derivada 1 a direita e −1 a esquerda;uma vez que estes valores sao distintos, a funcao nao e diferenciavel na origem.

Exemplo.

1. Considere-se a funcao f definida por ramos da seguinte forma.

f(t) =

{t2 − 3t t ≥ 2

3t− 8 t < 2

Esta funcao e contınua no ponto t = 2, pois limt→2+ f(t) = −2 = limt→2− . A esquerdade 2, a sua derivada e dada por d

dt(3t− 8) = 3, sendo este valor ainda valido para f ′−(2),

enquanto que a direita de 2 a derivada de f e dada pela expressao

d

dt

(t2 − 3t

)= 2t− 3 ,

sendo esta expressao tambem valida para f ′+(2). Entao

f ′−(2) = 3 6= 1 = f ′+(2) ,

pelo que a funcao nao e diferenciavel no ponto 2.

2. Considere-se agora a funcao g definida como se segue.

g(x) =

2x2

+ 2 x ≥ 1

−2x2 + 6 −1 < x < 1

x3 + x x ≤ −1

A funcao g e contınua em R \ {−1}. Para x 6= ±1 isto decorre da definicao; para x = 1os limites laterais de g(x) sao ambos iguais a 4, enquanto que para x = −1 os limiteslaterais de g(x) sao diferentes: o limite a esquerda vale −2, enquanto que o limite adireita vale 4.

Relativamente a derivada de g, ela e dada pela expressao − 4x3

no intervalo ]1,+∞[, pelaexpressao −4x em ] − 1, 1[ e pela expressao 3x2 + 1 em ] − ∞,−1[. No ponto −1 afuncao nao e contınua, pelo que nao e diferenciavel; a derivada a esquerda pode aindaser calculada pela ultima expressao, obtendo-se f ′−(−1) = 4; ja a derivada a direita teriade ser calculada directamente pela definicao, obtendo-se f ′+(−1) = +∞.

Quanto ao ponto 1, podemos usar as expressoes acima deduzidas para g′ nos intervalosa que este ponto e fronteiro para obter g′−(1) = −4 = g′+(1). Conclui-se portanto que aexpressao geral de g′(x) e

g′(x) =

− 4x3

x ≥ 1

−4x −1 < x ≤ 1

3x2 + 1 x < −1

nao estando definida para x = −1.

E importante salientar que g′+(−1) nao pode ser obtido pela formula −4x da derivadaem ]− 1, 1[. Essa formula so e valida em pontos em que a funcao e contınua, o que naoe o caso a direita de −1.



Exercıcio 12. Estude as seguintes funcoes definidas por ramos quando a diferenciabilidade.

(a) f(x) =

{x2 + 3x+ 1 x ≤ 0

1−√x3 x > 0

(b) g(t) =

3t− 2 t < −1

t2 + 3√t −1 ≤ t ≤ 2

4 + 3√

2 t > 2

(c) h(x) =

x3 + 2x+ 1 x < −1

−2x2 + x+ 1 −1 ≤ x < 1x4

4− 8

3

√x3 + 29

12x ≥ 1

(d) u(y) =

{y2

+ 2y

y ≤ 132

√y y > 1

3.2.2 Funcoes trigonometricas

Passemos agora as funcoes trigonometricas. Aqui, a tecnica usada para levantar a indeter-minacao e aplicar identidades trigonometricas para expandir expressoes como sin(x + h) ereduzir o problema ao calculo de limites conhecidos.

Por exemplo, para calcular a derivada de sin(x) temos

(sin(x))′ = limh→0

sin(x+ h)− sin(x)

h

= limh→0

sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)− sin(x)

h

= limh→0

sin(x)(cos(h)− 1) + sin(h) cos(x)

h

= sin(x) limh→0

cos(h)− 1

h︸︷︷︸0

+ cos(x) limh→0

sin(h)

h︸︷︷︸1

= cos(x)

donde sin(x)′ = cos(x).

Exercıcio 13. Calcule a derivada de cos(x).

Embora possamos utilizar a mesma tecnica para calcular a derivada das restantes funcoestrigonometricas, os resultados mais gerais que vamos deduzir mais adiante tornarao esta tarefamuito mais simples.

Relacionando com os resultados anteriores sobre somas e produtos por constantes, podemoscalcular derivadas de funcoes mais complexas, como por exemplo 2 sin(x) + 3 cos(x)− x2.


(a) 2 sin(x) + 3 cos(x)− x2 (b) 3√x− sin(2) cos(x) (c) sin(x+ 2)

Sugestao: na ultima alınea, use a formula para expandir sin(x + 2) em termos de funcoestrigonometricas de x e de 2.



3.2.3 Regra da cadeia

As regras de que dispomos ate agora nao nos permitem calcular a derivada de sin(2x), porexemplo. De facto, esta funcao e um exemplo de uma funcao composta, pelo que a sua derivadase obtem por um processo distinto.

Recordemos a nocao de composicao. Para calcular valores de sin(2x) temos de proceder emdois passos: primeiro, dado x, calcular y = 2x (aplicando a funcao x 7→ 2x); segundo, a partirde y = 2x calcular sin(y) (aplicando a funcao y 7→ sin(y)).

Para compreender o que se passa em termos de derivada, comparemos os graficos das duasfuncoes f(x) = sin(x) e h(x) = sin(2x) (ver Figura 3.5).

x

y

-0.5

π

0.5

-π

f(x)=sin(x)

-3π/2 π/2-π/2 3π/2

x

y

-0.5

π

0.5

-π

h(x)=sin(2x)

-3π/2 π/2-π/2 3π/2

Figura 3.5: Regra da cadeia: comparacao dos graficos de f(x) = sin(x) e h(x) = sin(2x).

O grafico de h pode ser obtido do grafico de f “espalmando-o” na direccao do eixo dos xx.Como resultado, a funcao h varia duas vezes mais depressa do que a funcao f no pontocorrespondente: para calcular a taxa de variacao de h num ponto x, vamos olhar para o pontocorrespondente do grafico de f (o ponto de abcissa 2x), calcular a derivada correspondente(f ′(2x) = cos(2x)) e multiplicar pelo factor de “espalmamento” (2). Ou seja, a derivada de hnum ponto generico x devera ser h′(x) = 2 cos(2x).

Vendo h como a composicao das duas funcoes f(y) = sin(y) e g(x) = 2x, observe-se queeste resultado pode ser lido como o produto da derivada de f no ponto y = 2x pela derivada deg no ponto x. Esta expressao e generalizavel; num caso geral de composicao h(x) = f(g(x)),o grafico de h pode-se obter do grafico de f “espalmando-o” ou “dilatando-o” por um factorque e dado em cada ponto x pela derivada de g(x). Esse factor vai ser o factor de correccaoda derivada de f para a derivada de h.

Analiticamente, podemos confirmar este resultado recorrendo ao calculo directo da derivadade f(g(x)) num ponto arbitrario x0. Para levantar a indeterminacao, vamos multiplicar e dividira fraccao pelo incremento g(x)− g (x0) e assumir que ambas as funcoes sao diferenciaveis nospontos convenientes (g em x0 e f em g (x0)).

(f ◦ g)′ (x) = limx→x0

f(g(x))− f (g (x0))

x− x0

= limx→x0

f(g(x))− f (g (x0))

g(x)− g (x0)

g(x)− g (x0)

x− x0

= limg(x)→g(x0)

f(g(x))− f (g (x0))

g(x)− g (x0)︸︷︷︸f ′(g(x0))

limx→x0

g(x)− g (x0)

x− x0︸︷︷︸g′(x0)



A mudanca de variavel no primeiro limite e lıcita devido a continuidade de g em x0. Observe-seque, fazendo y = g(x) e z = f(y), esta regra pode ser escrita de forma sugestiva como

dz

dx=dz

dy

dy

dx.

Proposicao. Sejam f e g duas funcoes reais. A funcao f ◦ g e diferenciavel nos pontos x taisque:

- g e diferenciavel em x;

- f e diferenciavel em g(x).

Nesses pontos, a derivada de f ◦ g e dada pela regra da cadeia: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x).

O nome desta regra (regra da cadeia) vem da sua generalizacao a composicoes de maisdo que duas funcoes. Por exemplo: suponhamos que tınhamos uma funcao definida por umasequencia de operacoes

w(x) : x 7→ y(x) 7→ z(y) 7→ t(z) 7→ u(t) .

A derivada de w e calculada como uma cadeia de derivadas de cada uma das funcoes envolvidas:

w′(x) = u′(t)× t′(z)× z′(y)× y′(x)

obtida avaliando cada uma das derivadas no ponto correspondente. Expandindo a notacao,obter-se-ia a relacao (bastante menos legıvel)

w′(x) = u′(t(z(y(x))))× t′(z(y(x)))× z′(y(x))× y′(x)

ou, alternativamente,dw

dx=du

dt

dt

dz

dz

dy

dy

dx.

Exemplo.

1. Comecemos por calcular a derivada de f(x) = sin(2x) pela regra da cadeia. Fazendoz = f(x), temos que z = sin(y) com y = 2x, donde

dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dysin(y)

d

dx(2x) = cos(y)× 2 = 2 cos(2x)

como atras tınhamos referido.

2. A mesma regra permite-nos calcular directamente a derivada de sin(x + 2). Fazendoz = sin(x+ 2), temos agora z = sin(y) com y = x+ 2, pelo que

dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dysin(y)

d

dx(x+ 2) = cos(y)× 1 = cos(x+ 2) .

3. Tambem a derivada de cos(x) pode ser obtida pela regra da cadeia, atendendo a relacaocos(x) = sin

(π2− x). Temos agora z = sin(y) e y = π

2− x, donde

(cos(x))′ =dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dysin(y)

d

dx

(π2− x)

= cos(y)×−1 = − cos(π

2− x)

= − sin(x)

atendendo a igualdade sin(x) = cos(π2− x).



4. Para calcular a derivada de cos (3x2 + 2), vamos fazer z = cos(y) com y = 3x2 + 2. Daregra da cadeia obtemos agora

(cos(3x2 + 2

))′=dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dycos(y)

d

dx

(3x2 + 2

)= − sin(y)× 6x = −6x sin

(3x2 + 2

).

5. Podemos tambem calcular derivadas de potencias (ou polinomios) de senos e cosenosexactamente da mesma forma. Por exemplo: para calcular a derivada de 3 cos3(x),vemos esta funcao como a composicao de z = 3y3 com y = cos(x) e obtemos

(3 cos3(x)

)′=dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dy3y3

d

dxcos(x)

= 9y2 × (− sin(x)) = −9x sin(x) cos2(x) .

6. Finalmente, usemos este mesmo processo para calcular a derivada de sec(x). Atendendoa relacao sec(x) = 1

cos(x), podemos escrever z = 1

ye y = cos(x), obtendo

(sec(x))′ =dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dy

1

y

d

dxcos(x)

= − 1

y2× (− sin(x)) =

sin(x)

cos2(x)= tan(x) sec(x) .

Exercıcio 15. Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funcoes de x.

(a) cos (√x+ 3x2)

(b) 2 sin(3x+ 4)

(c) 3 sin2(x)

(d) 23 sin2(x)

(e) 2sin2(x)

(f) sin(x2−3xx4

) (g) 1x2+3x+2

(h) 1cos2(x)+3 cos(x)+2

Exercıcio 16. Calcule a derivada das seguintes funcoes de y.

(a) 3 sin2(2y + 1)− 2y (b) 2sin(3y)

−√

2y (c)√

sin(y) + cos(y) + 5

3.2.4 Funcao exponencial

Outra funcao elementar cuja derivada e simples de calcular pela definicao e a funcao exponen-cial.

(ex)′ = limh→0

ex+h − ex

h= lim

h→0

exeh − ex

h= ex lim

h→0

eh − 1

h︸︷︷︸1

= ex

Conclui-se portanto que a exponencial e a sua propria derivada. Dito de outra forma, e umafuncao que:



- e a sua propria derivada;

- e igual a sua propria taxa de variacao instantanea;

- tem como grafico uma curva cuja ordenada em cada ponto e o valor do declive da tangentenesse ponto.

Estas propriedades tornam a funcao exponencial, bem como a sua inversa, numa das funcoesmais importantes do Calculo Diferencial.

Como consequencia da regra da cadeia, podemos calcular a derivada duma exponencialcom outra base qualquer a positiva. Da igualdade ax = ex log(a), podemos tomar z = ey comy = x log(a) e obter

(ax)′ =dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dyey

d

dxx log(a) = ey × log(a) = ex log(a) log(a) = ax log(a) .

A partir da regra da cadeia e das outras propriedades ja discutidas podemos calcularderivadas de funcoes bastante mais complexas envolvendo exponenciais.

Exemplo.

1. Comecemos por calcular a derivada de e2x. Fazendo z = ey e y = 2x, temos

dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dyey

d

dx(2x) = 2e2x .

2. Para calcular a derivada de 23x2+2, vamos fazer z = 2y e y = 3x2 + 2. Da regra da cadeiaobtemos agora(

23x2+2)′

=dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dy2y

d

dx

(3x2 + 2

)= 6x log 2 23x2+2 .

3. Tal como no caso dos polinomios, muitas expressoes envolvendo exponenciais podem sersimplificadas por reescrita usando igualdades conhecidas.

Por exemplo, para calcular a derivada de e2x+e3x

esin(x)nos pontos interiores ao domınio desta

funcao convem comecar por separar a fraccao e juntar potencias com o mesmo expoentepara depois poder aplicar a regra da cadeia a cada uma das parcelas.(

e2x + e3x

esin(x)

)′=

(e2x

esin(x)

)′+

(e3x

esin(x)

)′=(e2x−sin(x) + e3x−sin(x)

)′= (2− cos(x))e2x−sin(x) + (3− cos(x))e3x−sin(x)


(a) 3 sin(ex) (b)√ex (c) e

√x (d) esin(x)+cos(x)



3.2.5 Operacoes com funcoes

Ate agora, nao falamos ainda de produtos de funcoes. A complexidade do Calculo Diferencial edos topicos que dele derivam (nomeadamente a primitivacao, que sera estudada no Capıtulo 4)deriva precisamente da regra de derivacao do produto, que nao e muito intuitiva.

A melhor forma de a introduzir e directamente a partir da definicao. Consideremos duasfuncoes f e g, ambas diferenciaveis num ponto a, e vamos calcular a derivada de f × g nesseponto. Para levantar a indeterminacao inicial, vamos somar e subtrair ao numerador a quan-tidade f(a)g(x).

(f × g)′(a) = limx→a

f(x)g(x)− f(a)g(a)

x− a

= limx→a

f(x)g(x)− f(a)g(x) + f(a)g(x)− f(a)g(a)

x− a

= limx→a

(f(x)− f(a))g(x) + f(a)(g(x)− g(a))

x− a

= limx→a

(f(x)− f(a))

x− ag(x) + lim

x→af(a)

(g(x)− g(a))

x− a

= limx→a

(f(x)− f(a))

x− a︸︷︷︸f ′(a)

g(x)︸︷︷︸g(a)

+f(a) limx→a

(g(x)− g(a))

x− a︸︷︷︸g′(a)

= f ′(a)g(a) + f(a)g′(a)

onde no penultimo passo se usou a continuidade de g no ponto a.Como consequencia, temos o resultado seguinte.

Proposicao. O produto f×g de duas funcoes reais f e g e uma funcao que e diferenciavel ondef e g o forem, satisfazendo a relacao (f × g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) para esses numerosreais x.

Em termos de variacao instantanea, podemos ver esta regra como uma generalizacao daregra do produto por uma constante: para calcular a variacao de f × g, calculamos a derivadade f supondo g constante, calculamos a derivada de g supondo f constante, e somamos ambosos valores.

Conforme dissemos, a regra do produto nao e muito intuitiva; porem, com um pouco depratica e bastante simples de aplicar.

Exemplo.

1. Para calcular a derivada de x2 sin(x), tomamos f(x) = x2 e g(x) = sin(x) e obtemos

(x sin(x))′ = 2x︸︷︷︸f ′(x)

sin(x)︸︷︷︸g(x)

+ x2︸︷︷︸f(x)

cos(x)︸︷︷︸g′(x)

.

2. Para calcular a derivada de (−3t3 + 2t) et, tomamos f(t) = −3t3 + 2t e g(t) = et eobtemos((

−3t3 + 2t)et)′

=(−9t2 + 2

)︸︷︷︸f ′(t)

et︸︷︷︸g(t)

+(−3t3 + 2t

)︸︷︷︸f(t)

et︸︷︷︸g′(t)

=(−3t3 − 9t2 + 2t+ 2

)et .



Exercıcio 18. Recorra a regra de derivacao do produto para calcular a derivada das seguintesfuncoes.

(a) f(x) = sin(2x)ex (b) g(t) = 3√t (1 + t2) (c) A(w) = ew sec(w)

(d) h(z) = (3x2 + 9x+ 1) (4x3 + 2x2 − 3x) (e) f(y) = sin(2y)(y2 + 3ey + 1

y

)

O exercıcio anterior apresenta alguns casos tıpicos de funcoes polinomiais que sao maissimples de derivar se se aplicar a regra do produto. Nem sempre e uma boa ideia expandirpolinomios para calcular a sua derivada.

Aplicando a regra da cadeia em conjunto com a regra do produto, podemos calcularderivadas de funcoes substancialmente mais complexas.

Exemplo.

1. Para calcular a derivada de e2x2−3 sin(3x), aplicamos a regra de derivacao do produto e

depois recorremos a regra da cadeia para derivar cada uma das parcelas.

(e2x2−3 sin(3x))′ =

(e2x

2−3)′

sin(3x) + e2x2−3(sin(3x))′

= 4xe2x2−3 sin(3x) + 3e2x

2−3 cos(3x)

= (4x sin(3x) + 3 cos(3x))e2x2−3

2. Em contrapartida, para calcular a derivada de e2x cos(x) recorremos primeiro a regra dacadeia e depois a regra do produto para calcular a derivada de 2x cos(x).(

e2x cos(x))′

= (2x cos(x))′ e2x cos(x) = (2 cos(x)− 2x sin(x))e2x cos(x)

Tal como na regra da cadeia, a regra do produto e generalizavel a produtos de mais doque duas funcoes. Para um produto de n funcoes, obtem-se n parcelas em que cada funcao ederivada numa delas. Por exemplo, para tres e quatro funcoes obtem-se as formulas

(f(x)g(x)h(x))′ = f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)

(f(x)g(x)h(x)j(x))′ = f ′(x)g(x)h(x)j(x) + f(x)g′(x)h(x)j(x)

+ f(x)g(x)h′(x)j(x) + f(x)g(x)h(x)j′(x)

e assim sucessivamente. Assim, a derivada de x sin(x)ex e sin(x)ex + x cos(x)ex + x sin(x)ex.

Exercıcio 19. Calcule as derivadas das seguintes funcoes de t.

(a) (t2 + 3t) cos(2t)

(b) (sin(t) + cos(t)) e3t2

(c) et2 sin(t)−1

(d) 2t sin (t2 + 1)

(e) (t2 + 2t) cos (tet)

(f) 3t2 cos(3t+ 1)e3t+1



A partir da regra da cadeia e da regra de derivacao do produto podemos deduzir asformulas para derivar qualquer funcao construıda a partir de polinomios, exponenciais, funcoestrigonometricas e suas inversas por operacoes algebricas e composicao. Ha contudo duas regrasextremamente uteis que, embora sejam deduzidas a partir destas, simplificam muito a tarefade calculo de derivadas.

A primeira regra e a regra de derivacao do quociente. Para derivar f(x)g(x)

, basta reescrever

o quociente como um produto e aplicar as regras do produto e da cadeia (vendo 1g(x)

como a

composicao de z = 1y

com y = g(x)).Comecemos por calcular esta ultima derivada. Temos(

1

g(x)

)′=dz

dx=dz

dy

dy

dx=

d

dy

1

y

d

dx(g(x)) = − 1

y2g′(x) = − g

′(x)

g2(x),

donde decorre que(f(x)

g(x)

)′=

(f(x)× 1

g(x)

)′= f ′(x)

1

g(x)+ f(x)

(1

g(x)

)′= f ′(x)

1

g(x)+ f(x)

(− g

′(x)

g2(x)

)=f ′(x)

g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x).

Proposicao. O quociente fg

de duas funcoes reais f e g e uma funcao que e diferenciavel empontos interiores ao seu domınio onde f e g forem ambas diferenciaveis, satisfazendo a relacao

(f

g)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)

para esses numeros reais x.

Note-se a semelhanca desta regra com a do produto: o numerador da derivada do quocientetem as mesmas parcelas que a derivada do produto, mas subtraıdas em vez de adicionadas.

Exemplo.

1. Usando a regra do quociente, podemos calcular a derivada das funcoes trigonometricastangente e cotangente. Atendendo as relacoes tan(x) = sin(x)

cos(x)e cot(x) = cos(x)

sin(x), tem-se

(tan(x))′ =

(sin(x)

cos(x)

)′=

cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)

(cot(x))′ =

(cos(x)

sin(x)

)′=− sin2(x)− cos2(x)

sin2(x)= −sin2(x) + cos2(x)

sin2(x)

relacoes que costumam ser apresentadas sob duas formas (obtidas respectivamente efec-tuando a divisao ou recorrendo a formula fundamental da trigonometria):

(tan(x))′ = 1 + tan2(x) (tan(x))′ =1

cos2(x)

(cot(x))′ = −1− cot2(x) (cot(x))′ = − 1

sin2(x)



2. Esta regra possibilita tambem o calculo de derivadas de funcoes racionais (definidas comoquocientes de polinomios). Por exemplo,(

2x

3x+ 2

)′=

2× (3x+ 2)− (2x)× 3

(3x+ 2)2=

4

(3x+ 2)2(x2 + 3x

2x− 1

)′=

(2x+ 3)(2x− 1)− 2 (x2 + 3x)

(2x− 1)2=

2x2 − 2x− 3

(2x− 1)2

3. Ha outras funcoes mais complexas que podem ser derivadas recorrendo a esta regra.

Tome-se por exemplo f(x) = x2+sin(x)2ex−3x .

f ′(x) =(2x+ cos(x)) (2ex − 3x)− (x2 + sin(x)) (2ex − 3)

(2ex − 3x)2

E importante salientar que as regras de derivacao do produto e do quociente nao devemser usadas como formula universal para o calculo de derivadas. Ha alguns aspectos a ter emconta.

1. O produto (ou quociente) duma funcao por uma constante deriva-se recorrendo a regrade derivacao do produto por uma constante. Por exemplo, (2 sin(x))′ = 2(sin(x))′ e(

sin(x)2

)′= (sin(x))′

2; aplicar a regra geral do produto ou do quociente a estas expressoes,

embora conduza eventualmente ao resultado certo, torna o calculo da derivada excessi-vamente complexo e facilmente sujeito a erros.

2. A regra do quociente pode ser evitada em muitos casos simples que ja discutimos ante-riormente. Em particular, se o denominador for um monomio (uma funcao da forma xn)ou uma exponencial, e quase sempre mais simples comecar por reescrever a funcao comoum produto. Por exemplo, para derivar sin(x)

expode-se escrever(

sin(x)

ex

)′=(sin(x)e−x

)′= cos(x)e−x − sin(x)e−x =

cos(x)− sin(x)

ex

obtendo-se ate uma expressao mais simples do que a obtida por calculo directo:(sin(x)

ex

)′=

cos(x)ex − sin(x)ex

(ex)2.

Exercıcio 20. Calcule as derivadas das seguintes funcoes de y.

(a) 4y2y+2

(b)√y+3y2

2y+1

(c) tan(y)+1y

(d) y3+2yy−1

(e) sin(y)y

(f) 2 sin(y)3+2 cos(y)

(g) y2+3y+1ey

(h) ey−e−yey+e−y

(i) ey+1ey−1

(j) sin(y+1y−1

)

A outra consequencia da regra de derivacao do produto e uma regra para a derivacao defuncoes inversas, que nos permitira deduzir expressoes para as derivadas do logaritmo, do arcode seno e do arco de tangente — funcoes que serao especialmente importantes mais adiante.



A regra de derivacao da funcao inversa deduz-se por um processo um pouco diferente do quetemos usado ate aqui, e que e um caso particular duma tecnica que sera importante maisadiante.

Vamos comecar por ilustrar a tecnica com um exemplo concreto — o calculo da derivada dologaritmo. Consideremos a funcao y = log(x), a que corresponde a relacao x = ey. Podemosentao aplicar a regra da cadeia ao calculo de dx

dx(ou, em alternativa, tomar z = x), obtendo

dx

dx=dx

dy

dy

dx=

d

dy(ey)

d

dxlog(x) = ey

d

dxlog(x) .

Uma vez que o nosso objectivo e calcular ddx

log(x), vamos escrever esta ultima expressao todaem termos de x usando a relacao x = ey. Obtemos entao

dx

dx= x

(d

dxlog(x)

);

porem, ja sabemos que dxdx

= 1, pelo que, resolvendo a equacao obtida em ordem a ddx

log(x),obtemos

d

dxlog(x) =

1

x.

No caso geral, o metodo a usar e o mesmo: das relacoes x = f(y) e y = f−1(x) podemosaplicar a regra da cadeia ao calculo de 1 = dx

dxpara encontrar uma equacao envolvendo x e

ddxf−1(x):

1 =dx

dx=dx

dy

dy

dx=

d

dyf(y)

d

dxf−1(x)

e resolvendo esta equacao em ordem a ddxf−1(x) encontramos a formula

d

dxf−1(x) =

1ddyf(y)

ou, de forma sugestiva,dx

dy=

1dydx

.

E importante observar que, nesta regra, e sempre necessario reescrever a expressao obtidaem funcao da variavel x — uma tarefa que so pode ser executada conhecendo a funcao f .

Por exemplo, a aplicacao da regra de derivacao da funcao inversa permite-nos concluir que,para y = arctan(x) (e portanto x = tan(y)), se tem

d

dxarctan(x) =

1

1 + tan2(y)=

1

1 + x2.

Exercıcio 21. Qual e a derivada de arcsin(x)? Tenha em conta que, se x = sin(y), entaocos(y) =

√1− x2.



Exercıcio 22. Use a regra de derivacao da funcao inversa para confirmar as expressoes (jaconhecidas) das derivadas de

√x (inversa de x = y2) e 3

√x (inversa de x = y3).

Exercıcio 23. Calcule a derivada de y = loga(x) (funcao inversa de x = ay).

As Tabelas 3.1 a 3.4 contem o resumo das regras de derivacao que aqui deduzimos. Estastabelas podem ser consultadas numa primeira fase de estudo, mas e de todo o interesse paraos capıtulos subsequentes que o calculo de derivadas seja automatizado rapidamente.

Funcao (de x) Derivada (em funcao de x)k, com k constante 0

x 1xα, com α ∈ R \ {0} αxα−1

Tabela 3.1: Derivadas das funcoes polinomiais.

Funcao (de x) Derivada (em funcao de x)sin(x) cos(x)cos(x) − sin(x)tan(x) 1 + tan2(x) ou 1

cos2(x)

cot(x) −1− cot2(x) ou − 1sin2(x)

sec(x) tan(x) sec(x)csc(x) − cot(x) csc(x)

arcsin(x) 1√1−x2

arccos(x) − 1√1−x2

arctan(x) 11+x2

Tabela 3.2: Derivadas das funcoes trigonometricas e inversas.

Funcao (de x) Derivada (em funcao de x)ex ex

ax, com a > 0 ax log(a)log(x) 1

x

loga(x) 1x log(a)

Tabela 3.3: Derivadas das funcoes exponenciais e logarıtmicas.

3.2.6 Derivadas de ordem superior

Conforme dissemos atras, dada uma funcao f podemos calcular nao apenas a sua primeiraderivada, mas derivadas de ordem superior (segunda, terceira, e assim por diante), caso asfuncoes que vamos gerando sejam elas proprias diferenciaveis.



Funcao Derivadaf + g f ′ + g′

c× f , com c constante c× f ′f ◦ g (f ′ ◦ g) g′

f × g f ′ × g + f × g′fg

f ′×g−f×g′g2

f−1 1f

no ponto correspondente

Tabela 3.4: Regras de derivacao.

Em geral, este calculo e trabalhoso; porem, para algumas classes de funcoes e possıvel (eate relativamente simples) encontrar uma expressao geral da sua derivada de qualquer ordem.

O caso mais simples e o da funcao exponencial. Uma vez que esta funcao e a sua propriaderivada, tambem vai ser a sua segunda derivada, a sua terceira derivada, e a sua derivada dequalquer ordem. Podemos escrever sinteticamente esta informacao na forma

(ex)(n) = ex

ou, sendo f(x) = ex,f (n)(x) = ex .

Claro esta que se tivermos um multiplo da funcao exponencial esta relacao continua averificar-se; assim as funcoes f , g e h seguintes sao todas as suas proprias derivadas de qualquerordem:

f(x) = 3ex g(x) = −5ex h(x) = 2ex .

Exercıcio 24. Qual sera a expressao geral das derivadas de f(x) = e3x+1 + 2ex−1?

Para exponenciais com expoentes mais complexos, ainda e por vezes possıvel encontrarestas formulas. Por exemplo, se f(x) = e2x, entao temos

f ′(x) = 2e2x f ′′(x) = 4e2x f ′′′(x) = 8e2x

e e facil perceber que cada nova derivacao vai multiplicar a funcao por 2 (a derivada doexpoente). Entao a expressao geral das derivadas de f e

f (n)(x) = 2ne2x .

Algumas funcoes trigonometricas tambem exibem este tipo de regularidade. Uma vezque senos e cosenos sao as derivadas uma da outra (a menos de sinal), encontramos umaperiodicidade na sua derivacao:

(sin(x))′ = cos(x) (sin(x))′′ = − sin(x) (sin(x))′′′ = − cos(x) (sin(x))(4) = sin(x)

e a partir daqui esta sequencia repete-se. As derivadas do coseno seguem um padrao seme-lhante.

Exercıcio 25. Qual sera a expressao geral das derivadas de g(x) = sin(2x)?



As outras funcoes simples sao os polinomios. Se derivarmos xn, obtemos nxn−1; continuandoa derivar esta expressao, vamos obtendo potencias de grau cada vez mais baixo e com umcoeficiente que e o produto de todos os expoentes por onde passamos; ou seja,

(xn)(k) = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)xn−k =n!

k!xn−k

para k ≤ n; a derivada de ordem (n+ 1) (e seguintes) e a funcao nula.

Exercıcio 26. Calcule a derivada de ordem n da funcao h(x) = 3x4 + 2x3 − 2x.

Se a funcao f for uma potencia de expoente negativo, o raciocınio e semelhante; mas agoraa funcao tem derivadas nao nulas de todas as ordens e o seu sinal vai alternando. Por exemplo,para f(x) = 1

x2= x−2, temos

f ′(x) = −2x−3 f ′′(x) = 6x−4 f ′′′(x) = −24x−5 . . . .

Exercıcio 27. Calcule as primeiras cinco derivadas de g(x) = 3x−4 + 2x−2. Conseguedeterminar uma expressao geral para a derivada de ordem n desta funcao?

3.3 Formula de Taylor

Vimos que o valor da derivada duma funcao f num ponto a corresponde ao declive da unicarecta tangente ao grafico de f nesse ponto. Nesta seccao vamos estudar uma generalizacaodesta construcao que permite obter aproximacoes mais precisas do valor da funcao f numavizinhanca de a.

3.3.1 Definicao e primeiros exemplos

Seja f uma funcao diferenciavel num ponto a e defina-se P1(x) = f(a)+f ′(a)(x−a) como sendoa funcao cujo grafico e precisamente a recta tangente ao grafico de f em a. Tendo em contaa definicao analıtica de derivada como o limite da taxa de variacao da funcao num intervalocontendo o ponto a, e facil perceber que P1 e a funcao polinomial de grau 1, coincidente com fno ponto a, que melhor a aproxima numa vizinhanca desse ponto. De facto, ambas coincidemnao apenas no valor que tomam no ponto a, mas tambem na taxa de variacao instantaneanesse ponto.

Uma vez que as derivadas de ordem superior a primeira dao informacao mais precisa sobrea variacao da funcao (a segunda derivada de f e a taxa de variacao da taxa de variacao de f , eassim sucessivamente), e razoavel pensar em aproximar f por um polinomio de ordem superiora primeira com o objectivo de melhorar o erro da aproximacao. Seja entao P2(x) um polinomiode grau 2 tal que

P2(a) = f(a) P ′2(a) = f ′(a) P ′′2 (a) = f ′′(a) .

Uma vez que P2 e um polinomio de grau 2, uma forma de o construir e partir de P1(x) (quesatisfaz as primeiras duas condicoes) e acrescentar-lhe um termo de segunda ordem. Tendo em


3.3. FORMULA DE TAYLOR 151

conta que (x−a)2 e uma funcao que vale 0 em a e cuja derivada tambem vale 0 em a, podemostentar escrever

P2(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + c2(x− a)2

onde c e um parametro que e necessario determinar. Observe-se que P ′′2 (x) = 2c2; para termos,

como desejamos, P ′′2 (a) = f ′′(a), somos conduzidos a relacao c2 = f ′′(a)2

.Prosseguindo nesta linha de raciocınio, o polinomio de grau 3 que melhor aproxima f sera

P3(x) tal que

P3(a) = f(a) P ′3(a) = f ′(a) P ′′3 (a) = f ′′(a) P ′′′3 (a) = f ′′′(a)

e, analogamente ao que atras fizemos, podemos tentar escrever P3(x) = P2(x) + c3(x − a)3.

Ora obtem-se P ′′′3 (x) = 6c3, donde forcosamente se devera ter c3 = f ′′′(a)6

.Generalizando este raciocınio, concluımos que o unico polinomio de grau n que satisfaz

simultaneamente as condicoes

Pn(a) = f(a) P ′n(a) = f ′(a) · · · P (n)n (a) = f (n)(a)

e o polinomio

Pn(x) = f(a) + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n .

E facil verificar que cada uma das parcelas se anula em a, bem como todas as suas derivadasexcepto uma (correspondente ao expoente de (x− a) nessa parcela). Tem-se entao

P ′n(a) = c1 P ′′n (a) = 2c2 P ′′′n (a) = 3× 2c3

e, de uma forma geral,

P (n)n (a) = n× (n− 1)× · · · × 2f (n)(a) = n!× f (n)(a) ,

donde se conclui que necessariamente

c1 = f ′(a) c2 =f ′′(a)

2!c3 =

f ′′′(a)

3!

e, em geral,

cn =f (n)(a)

n!

pelo que Pn(x) tem a expressao

Pn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n .

A funcao Pn chama-se polinomio de Taylor de grau n para f em torno do ponto a. No casoparticular a = 0, a expressao de Pn(x) simplifica-se para

Pn(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn

e Pn diz-se o polinomio de Mac-Laurin de grau n para f .



Para este raciocınio ser valido, e necessario que a funcao f seja pelo menos n vezes diferen-ciavel. No caso de f ser mesmo infinitamente diferenciavel, existem as suas derivadas de todasas ordens e e possıvel definir a serie de Taylor de f em torno de a como

Tf (x) =∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn .

No caso de se ter a = 0, esta serie tambem e conhecida como serie de Mac-Laurin de f . Note-seque esta serie tem um domınio (dado pelo seu raio de convergencia) que pode ser diferente doda funcao f . No caso particular em que f e Tf coincidem numa vizinhanca de a, a funcao fdiz-se analıtica no ponto a.

Observe-se ainda que, substituindo f por f ′ no lado direito da formula para o polinomiode Taylor de grau n, obtemos a expressao

f ′(a) + f ′′(a)(x− a) +f ′′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n+1)(a)

(n+ 1)!(x− a)n

que e exactamente a mesma expressao que se obteria derivando o polinomio Pn(x) para f . Istosignifica que o polinomio de Taylor de grau n associado a f ′ em torno do ponto a e a derivada dopolinomio de Taylor de grau n associado a f no mesmo ponto. Tal relacao permite-nos calcularmuito facilmente polinomios e series de Taylor de derivadas de funcoes cujo desenvolvimentoja e conhecido.

Exemplo.

1. Comecemos por considerar a funcao exponencial, f(x) = ex. Vimos ja anteriormente quef (n)(x) = ex para qualquer n. Entao, fixado um ponto a, os polinomios de Taylor emtorno de a para a funcao exponencial de graus 1, 3 e 5 sao, respectivamente,

P1(x) = ea + ea(x− a)

P3(x) = ea + ea(x− a) +ea

2!(x− a)2 +

ea

3!(x− a)3

P5(x) = ea + ea(x− a) +ea

2!(x− a)2 +

ea

3!(x− a)3 +

ea

4!(x− a)4 +

ea

5!(x− a)5

e a serie de Taylor nesse ponto tem o valor

Tf (x) =∞∑n=0

ea

n!(x− a)n .

Tendo em conta que e0 = 1, os polinomios de Taylor no ponto 0 (ou polinomios deMac-Laurin) dos mesmos graus tem as expressoes seguintes.

P1(x) = 1 + x

P3(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!

P5(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+x5

5!



e a serie de Mac-Laurin correspondente e

Tf (x) =∞∑n=0

xn

n!.

Uma vez que sabemos que esta serie converge precisamente para ex para qualquer valorx, concluımos que a funcao f e analıtica na origem. E facil mostrar que, na realidade,ela e analıtica em qualquer ponto do seu domınio.

Observe-se tambem que derivando termo a termo a serie de Mac-Laurin de f se obtemexactamente a mesma serie, comprovando o facto ja conhecido de que f ′(x) = f(x) paratodo o x.

2. Se tomarmos agora g(x) = e2x, temos entao

g′(x) = 2e2x g′′(x) = 4e2x g′′′(x) = 8e2x

e e facil de ver que, em geral, g(n)(x) = 2ne2x. Entao, os polinomios de Taylor de f numponto a generico de graus 2 e 4 sao, respectivamente,

P2(x) = e2a + 2e2a(x− a) +4e2a

2!(x− a)2

P4(x) = e2a + 2e2a(x− a) +4e2a

2!(x− a)2 +

8e2a

3!(x− a)3 +

16e2a

4!(x− a)4

e a serie de Taylor desta funcao e

Tg(x) =∞∑n=0

2ne2a

n!(x− a)n .

Esta funcao ainda e analıtica em qualquer ponto.

Tomando por exemplo a = 1, tem-se e2×1 = e2, pelo que os polinomios de Taylor dosmesmos graus em torno do ponto 1 tem as expressoes seguintes.

P2(x) = e2 + 2e2(x− 1) + 2e2(x− 1)2

P4(x) = e2 + 2e2(x− 1) + 2e2(x− 1)2 +4e2

3(x− 1)3 +

2e2

3(x− 1)4

e a serie de Taylor correspondente e

Tg(x) =∞∑n=0

2ne2

n!(x− 1)n .

Exercıcio 28. Usando a definicao, calcule os polinomios de Taylor das seguintes funcoesde x, com o grau e n relativamente ao ponto a indicados em cada alınea.

(a) e−x, n = 3, a = 1 (b) ex + 3x2, n = 4, a = −2 (c) ex + e−x, n = 3, a = 2



Exercıcio 29. Calcule as series de Taylor das seguintes funcoes de x nos pontos indicados.

(a) ex + e−x, a = −1 (b) 2x, a = 1 (c) ex

2, a = 1

Exercıcio 30. Usando a definicao, calcule os polinomios de Mac-Laurin das seguintes funcoesde y, com o grau n indicado em cada alınea.

(a) 2e3y, n = 5 (b) e3y2, n = 4 (c) 3x+1, n = 3

Muitos exemplos de funcoes trigonometricas tambem sao relativamente simples de tratarno caso geral.

Exemplo.

1. Pensemos agora numa funcao trigonometrica, por exemplo f(x) = sin(x). Vimos ante-riormente que as primeiras quatro derivadas de f sao

f ′(x) = cos(x) f ′′(x) = − sin(x) f ′′′(x) = − cos(x) f (4)(x) = sin(x)

e que esta sequencia se repete a cada quatro passos. Entao, o polinomio de Taylor desin(x) em torno dum ponto arbitrario a tem a seguinte expressao, tomando por exemploos graus 1, 3 e 6.

P1(x) = sin(a) + cos(a)(x− a)

P3(x) = sin(a) + cos(a)(x− a)− sin(a)

2!(x− a)2 − cos(a)

3!(x− a)3

P6(x) = sin(a) + cos(a)(x− a)− sin(a)

2!(x− a)2 − cos(a)

3!(x− a)3 +

sin(a)

4!(x− a)4+

+cos(a)

5!(x− a)5 − sin(a)

6!(x− a)6

Tendo em conta as relacoes sin(0) = 0, cos(0) = 1 obtemos formas particularmentesimples para os correspondentes polinomios de Mac-Laurin desta funcao.

P1(x) = x

P3(x) = x− x3

3!

P6(x) = x− x3

3!+x5

5!

Da mesma forma, a serie de Mac-Laurin para f tem a forma

Tf (x) =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!.

Esta funcao e analıtica na origem (e na realidade em todo o seu domınio).



Por outro lado, sin(π4

)= cos

(π4

)=√22

; entao, os polinomios de Taylor dos mesmos grausem torno de π

4sao os seguintes.

P1(x) =

√2

2+

√2

2

(x− π

4

)P3(x) =

√2

2+

√2

2

(x− π

4

)−√

2

2× 2!

(x− π

4

)2−√

2

2× 3!

(x− π

4

)3P6(x) =

√2

2+

√2

2

(x− π

4

)−√

2

2× 2!

(x− π

4

)2−√

2

2× 3!

(x− π

4

)3+

√2

2× 4!

(x− π

4

)4+

+

√2

2× 5!

(x− π

4

)5−√

2

2× 6!

(x− π

4

)6Outra possibilidade e tomar a = π

3; tem-se sin

(π3

)=√32

e cos(π4

)= 1

2; entao, os

polinomios de Taylor dos mesmos graus em torno de π3

sao os seguintes.

P1(x) =

√3

2+

1

2

(x− π

3

)P3(x) =

√3

2+

1

2

(x− π

3

)−√

3

2× 2!

(x− π

3

)2− 1

2× 3!

(x− π

3

)3P6(x) =

√3

2+

1

2

(x− π

3

)−√

3

2× 2!

(x− π

3

)2− 1

2× 3!

(x− π

3

)3+

√3

2× 4!

(x− π

3

)4+

+1

2× 5!

(x− π

3

)5−√

3

2× 6!

(x− π

3

)62. Procedendo analogamente para a funcao g(x) = cos(3x), obtemos para as primeiras

quatro derivadas de g as expressoes

g′(x) = −3 sin(3x)

g′′(x) = −32 cos(3x)

g′′′(x) = 33 sin(3x)

g(4)(x) = 34 cos(3x)

que nos permitem obter a expressao geral da derivada tendo em conta que o coeficientee multiplicado por 3 a cada passo e o resto da expressao se repete com perıodo 4.

Entao o polinomio de Taylor para cos(3x) em torno dum ponto a de grau 3 e

P3(x) = cos(3a)− 3 sin(3a)(x− a)− 9 cos(3a)

2!(x− a)2 +

27 sin(3a)

3!(x− a)3

e tomando por exemplo a = π2

obtem-se para o polinomio de Taylor nesse ponto aexpressao

P3(x) = 3(x− π

2

)+

27

3!

(x− π

2

)3.

Observe-se que o desenvolvimento de cos(x) pode ser obtido directamente por derivacaoa partir dos desenvolvimentos acima deduzidos para sin(x).



Exercıcio 31. Usando a definicao, calcule os polinomios de Taylor de grau 3 das seguintesfuncoes de x, relativamente ao ponto a indicado em cada alınea.

(a) tan(x), a = 0 (b) arcsin(x), a = 1 (c) sin(x) tan(x), a = π

Exercıcio 32. Calcule as series de Taylor das seguintes funcoes de y nos pontos indicados.

(a) cos(y), a = −1 (b) sin(3y + π), a = π (c) 2 sin(y) + cos(−y), a = π2

Exercıcio 33. Usando a definicao, calcule os polinomios de Mac-Laurin das seguintes funcoesde x, com o grau n indicado em cada alınea.

(a) sin (2x2 + 1), n = 3 (b) 2 cos(x)ex, n = 3 (c) tan(x)4x

, n = 2

Exercıcio 34. Calcule as series de Mac-Laurin das seguintes funcoes de z.

(a) cos(z) (b) sin(3z) (c) cos(−3z + π)

O caso dos logaritmos e um pouco mais complexo, mas de grande utilidade pratica. Assim,e para terminar esta seccao, calculemos o desenvolvimento de f(x) = log(x). Calculando asprimeiras derivadas desta funcao, obtemos sucessivamente:

f ′(x) = x−1 =1

xf ′′(x) = −x−2 = − 1

x2f ′′′(x) = 2x−3 =

2

x3

f (4)(x) = −3!x−4 = − 3!

x4f (5)(x) = 4!x−5 =

4!

x5

pelo que a expressao geral da derivada de ordem n de f e

f (n)(x) = (n− 1)!x−n =(n− 1)!

xn.

Entao os polinomios de Taylor de graus 2, 5 e 8 para f em torno dum ponto a generico temas expressoes seguintes.

P2(x) = log(a) +1

a(x− a)−

1a2

2!(x− a)2

= log(a) +x− aa− (x− a)2

2a2



P5(x) = log(a) +1

a(x− a)−

1a2

2!(x− a)2 +

2a3

3!(x− a)3 −

3!a4

4!(x− a)4 +

4!a5

5!(x− a)5

= log(a) +x− aa− (x− a)2

2a2+

(x− a)3

3a3− (x− a)4

4a4+

(x− a)5

5a5

P8(x) = log(a) +x− aa− (x− a)2

2a2+

(x− a)3

3a3− (x− a)4

4a4+

(x− a)5

5a5− (x− a)6

6a6+

+(x− a)7

7a7− (x− a)8

8a8

Tomando a = 1, temos log(1) = 0 e 1n = 1 para qualquer n, donde os polinomios acimatomam as expressoes seguintes, nesse caso particular.

P2(x) = (x− 1)− (x− 1)2

2

P5(x) = (x− 1)− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3− (x− 1)4

4+

(x− 1)5

5

P8(x) = (x− 1)− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3− (x− 1)4

4+

(x− 1)5

5− (x− 1)6

6+

+(x− 1)7

7− (x− 1)8

8A serie de Taylor neste ponto e

Tf (x) =∞∑n=1

(−1)n(x− 1)n

n,

que converge (muito lentamente) para x ∈]0, 2]. A funcao logaritmo e analıtica no ponto 1,embora a sua serie de Taylor em torno desse ponto nao coincida com log(x) em todo o domıniodesta funcao.

Estes exemplos ilustram a forma de proceder no caso geral.

Exemplo. Consideremos a funcao h(x) = 11−x = (1 − x)−1. As primeiras derivadas desta

funcao sao

h′(x) = −(−1)(1− x)−2 =1

(1− x)2

h′′(x) = −(−2)(1− x)−3 =2

(1− x)3

h′′′(x) = −(−3!)(1− x)−4 =3!

(1− x)4

h(4)(x) = −(−4!)(1− x)−5 =4!

(1− x)5

e assim sucessivamente. Conclui-se facilmente que a derivada de ordem n desta funcao e

h(n)(x) =n!

(1− x)n+1,

donde os seus polinomios de Taylor de ordem, por exemplo, 3 e 5 num ponto a arbitrario teraoa forma

P3(x) =1

1− a+

1

(1− a)2(x− a) +

2

2(1− a)3(x− a)2 +

3!

3!(1− a)4(x− a)3

=1

1− a+

x− a(1− a)2

+(x− a)2

(1− a)3+

(x− a)3

(1− a)4



P5(x) =1

1− a+

1

(1− a)2(x− a) +

2

2(1− a)3(x− a)2 +

3!

3!(1− a)4(x− a)3+

+4!

4!(1− a)5(x− a)4 +

5!

5!(1− a)6(x− a)5

=1

1− a+

x− a(1− a)2

+(x− a)2

(1− a)3+

(x− a)3

(1− a)4+

(x− a)4

(1− a)5+

(x− a)5

(1− a)6

Os polinomios de Mac-Laurin desta funcao, obtidos tomando a = 0, tem uma forma espe-cialmente simples:

P3(x) = 1 + x+ x2 + x3 P5(x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5

e a serie de Mac-Laurin desta funcao e

Th(x) =∞∑n=0

xn .

Substituindo nestas ultimas formulas x por −x, obtem-se polinomios Q3(x) e Q5(x) que sepode mostrar serem os polinomios de Mac-Laurin das mesmas ordens para f(x) = 1

1+x.

Q3(x) = 1− x+ x2 − x3 Q5(x) = 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5

Analogamente, substituindo nas mesmas expressoes x por −x2, obtem-se dois polinomios,de graus 6 e 10, que se verifica serem os polinomios de Mac-Laurin para 1

1+x2:

R6(x) = 1− x2 + x4 − x6

R10(x) = 1− x2 + x4 − x6 + x8 − x10

Tendo em conta que esta ultima funcao e a derivada de arctan(x), consideremos os polino-mios seguintes.

P7(x) = x− x3

3+x5

5− x7

7

P11(x) = x− x3

3+x5

5− x7

7+x9

9− x11

11

Por derivacao, estes polinomios geram precisamente os polinomios R6 e R10 anteriores; decorredeste facto que sao os polinomios de Mac-Laurin para arctan(x) de graus 7 e 11, respecti-vamente, uma vez que o desenvolvimento em polinomio de Taylor e unico. Um raciocıniosemelhante permitiria concluir que a serie de Mac-Laurin da funcao arctan(x) e

T (x) =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1.

3.3.2 Formula de erro

Ao aproximar valores de f(x) por valores do seu polinomio de Taylor de ordem n, Pn(x),estamos a cometer um erro, chamado erro de aproximacao. Designando o valor deste erro porrn(x) = f(x)−Pn(x), o resto de ordem n de f , fixando o ponto a, e importante conseguir estima--lo ou pelo menos majora-lo por forma a poder aplicar as aproximacoes obtidas. Observe-seque este resto nao e mais do que o resto da serie de Taylor de f nesse mesmo ponto.



A demonstracao rigorosa das varias formulas de erro existentes para a aproximacao porpolinomio de Taylor podera ser encontrada em qualquer livro de referencia. Uma das formulasmais uteis e a chamada formula do resto de Lagrange:

rn(x) =(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(z)

para algum ponto z entre x e a.(Observe-se que esta formula de erro difere do termo seguinte do polinomio de Taylor de f

apenas no ponto em que a derivada de ordem n+ 1 e avaliada.)Esta formula e de grande interesse pratico. Na generalidade dos casos, a derivada f (n+1) e

uma funcao contınua, pelo que o seu modulo tera maximo M no intervalo entre x e a. Entao,ter-se-a

|rn(x)| ≤ M |x− a|n+1

(n+ 1)!.

Assim, por exemplo, no caso das funcoes trigonometricas sin(x) e cos(x), cujas derivadastomam sempre valores entre −1 e 1, ter-se-a sempre

|rn(x)| ≤ |x− a|n+1

(n+ 1)!

que tende para 0 a medida que n → +∞ para qualquer valor de x; assim, os polinomios deTaylor permitem obter aproximacoes tao precisas quanto o desejado de sin(x) e cos(x).

Exercıcio 35. Para cada um dos polinomios de Taylor e Mac-Laurin obtidos nos exercıciosdesta seccao, indique uma estimativa do erro da aproximacao cometido ao substituı-los aosvalores da funcao que aproximam.

Uma das aplicacoes principais do desenvolvimento de funcoes em serie de Taylor e precisa-mente a obtencao de aproximacoes de valores de funcoes que nao sao facilmente calculaveis,como funcoes trigonometricas, exponenciais e logarıtmicas. Nos exemplos anteriores, cal-culamos polinomios de Taylor para ex, sin(x) e log(x), entre outros; escolhendo adequadamenteo ponto a, podemos obter expressoes que so envolvem numeros inteiros e operacoes aritmeticaselementares – somas, produtos e divisoes.

Avaliacao de potencias de e. Comecemos pela funcao exponencial f(x) = ex. Conformevisto atras, o seu polinomio de Mac-Laurin de grau n e

Pn(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ · · ·+ xn

n!

e a diferenca ex − Pn(x) tem o valor

rn(x) =xn+1

(n+ 1)!ez

para algum z entre 0 e x. Uma vez que a funcao exponencial e estritamente crescente, se x forpositivo o seu maximo naquele intervalo e ex, enquanto que se x for negativo o seu maximo ee0 = 1.



Observando que e = e1 = f(1) e substituindo este valor em Pn(x), conclui-se que

e ≈ 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+ · · ·+ 1

n!,

uma vez que 1k = 1 para qualquer k. Tendo em conta que e < 3, o modulo do erro destaaproximacao e majorado por

3

(n+ 1)!.

Esta observacao permite-nos calcular o valor de e com a precisao desejada duma formamuito simples. Suponhamos que queremos calcular e com cinco casas decimais; por outraspalavras, queremos ter |rn| ≤ 10−5. Pela majoracao anterior, tem-se

3

(n+ 1)!≤ 10−5 ≡ (n+ 1)! ≥ 3× 105 ,

para o que basta tomar n = 8 (uma vez que 9! = 362880).Entao tem-se

e ≈ 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+

1

6!+

1

7!+

1

8!

= 1 + 1 +1

2+

1

6+

1

24+

1

120+

1

720+

1

5040+

1

40320= 1 + 1 + 0.5 + 0.166666 . . .+ 0.0416666 . . .+ 0.0083333 . . .+ 0.001388888 . . .+

+ 0.0001984126 . . .+ 0.0000248015 . . .

= 2.718278 . . .

que arredondado a cinco casas decimais da 2.71828. E de salientar que as operacoes envolvidaspodem ser realizadas numa maquina de calcular de quatro operacoes.

Para calcular 1e

= e−1 podemos recorrer ao mesmo polinomio, observando agora que o erroe majorado por 1

(n+1)!por se ter um valor negativo no argumento da exponencial. Para obter

novamente cinco casas decimais de precisao e suficiente de tomar n satisfazendo

1

(n+ 1)!≤ 10−5 ≡ (n+ 1)! ≥ 1× 105 ,

donde se obtem novamente n ≥ 8.Obtemos agora:

1

e≈ 1− 1 +

1

2!− 1

3!+

1

4!− 1

5!+

1

6!− 1

7!+

1

8!

= 1− 1 +1

2− 1

6+

1

24− 1

120+

1

720− 1

5040+

1

40320= 1− 1 + 0.5− 0.166666 . . .+ 0.0416666 . . .− 0.0083333 . . .+ 0.001388888 . . .−− 0.0001984126 . . .+ 0.0000248015 . . .

= 0.36788 . . .

que corresponde de facto a uma aproximacao de 1e

com cinco casas decimais de precisao.Uma vez que na formula do erro intervem um termo em xn+1, e claro que o erro sera

tanto menor quando mais proximo x estiver de 0 (embora o erro tenda para 0 a medida que n

aumenta, para qualquer valor de x). Por exemplo, se quisermos calcular e0.1 = e110 , teremos

rn ≤2× 0.1n+1

(n+ 1)!=

2

10n+1(n+ 1)!,



usando a relacao e0.1 < 2. Assim, com o mesmo polinomio de grau 8 o erro sera inferior a 21099!

,donde tera pelo menos 14 casas decimais correctas.

e0.1 ≈ 1 + 0.1 +0.12

2!+

0.13

3!+

0.14

4!+

0.15

5!+

0.16

6!+

0.17

7!+

0.18

8!

= 1 +1

10+

1

200− 1

6000+

1

240000− 1

120× 105+

1

720× 106− 1

5040× 107+

1

40320× 108

= 1.10517091807564 . . .

Em contrapartida, os mesmos oito termos usados para calcular e2 darao uma aproximacaocom apenas duas casas decimais de precisao, ja que neste caso o erro e majorado por

rn ≤9× 2n+1

(n+ 1)!

tendo em conta que e2 < 10.

Exercıcio 36. Obtenha uma aproximacao das seguintes constantes com um erro inferiorao indicado. Para cada alınea, comece por escolher a funcao a desenvolver em polinomio deTaylor e o ponto em torno do qual efectuar o desenvolvimento; use a estimativa do erro paradeterminar o grau do polinomio.

(a) e0.2 com erro inferior a 10−5 (b)√e com erro inferior a 10−4

Valores de funcoes trigonometricas. O caso das funcoes trigonometricas e ainda maisinteressante. Comecemos por recordar a expressao dos polinomios de Mac-Laurin de sin(x) ecos(x).

sin(x) ≈ x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·

cos(x) ≈ 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·

O erro associado ao polinomio de grau n, como ja foi observado, e inferior a xn+1

(n+1)!, uma vez

que a derivada de qualquer ordem de qualquer destas funcoes tem sempre um valor em modulomenor que 1. Em particular, para |x| < 1, o erro e inferior a 1

(n+1)!, pelo que para aqueles

valores de x os polinomios de Mac-Laurin se aproximam rapidamente do valor das funcoescorrespondentes.

Usando relacoes trigonometricas elementares, estas observacoes permitem-nos calcular ovalor do seno e do coseno de qualquer angulo. A tecnica e sempre a mesma.

1. Transformar o argumento num valor positivo usando a paridade destas duas funcoes:sin(−x) = − sin(x) e cos(−x) = cos(x).

2. Reduzir o argumento a um valor entre 0 e 2π, usando a periocidade das funcoes seno ecoseno (sin(x+ 2π) = sin(x) e cos(x+ 2π) = cos(x)).

3. Reduzir o argumento a um valor entre 0 e π usando as relacoes sin(x + π) = − sin(x) ecos(x+ π) = − cos(x).



4. Reduzir o argumento ao primeiro quadrante, ou seja, a um valor entre 0 e π2, usando as

relacoes sin(x) = sin(π − x) e cos(x) = − cos(π − x).

5. Reduzir o argumento a um valor entre 0 e π4, usando as relacoes sin(x) = cos

(π2− x)

ecos(x) = sin

(π2− x).

6. Calcular o valor obtido recorrendo ao polinomio de Mac-Laurin correspondente.

Observe-se que π4< 1, pelo que no ultimo passo podemos usar a majoracao simplificada do

erro obtida acima; contudo, se x estiver muito proximo de 0, a formula geral permite-nos usarpolinomios de grau muito menor.

E tambem de salientar que em geral nem todos os passos acima indicados sao necessarios.Vejamos alguns exemplos.

Para calcular sin (2π + 0.1), comecamos por reduzir o argumento a um valor entre 0 e 2π,recorrendo a igualdade sin(2π + 0.1) = sin(0.1). O novo argumento e ja um valor entre 0 e π

4,

pelo que podemos usar directamente o polinomio de Mac-Laurin para sin(x) para aproximareste valor.

Tendo em conta que neste caso o erro e majorado por 0.1n+1

(n+1)!, podemos obter sete casas

decimais de precisao usando um polinomio de grau 5. Entao:

sin(0.1) ≈ 0.1− 0.13

3!+

0.15

5!=

1

10− 1

6000+

1

12000000= 0.099833416 . . .

e na realidade a aproximacao obtida tem nove casas correctas (recorde-se que a formula doerro da um limite superior para este).

Suponhamos agora que querıamos calcular sin(7π2− 0.03

), comecarıamos por reduzir o

argumento a um valor entre 0 e 2π, o que pode ser conseguido subtraindo 2π ao argumento,resultando 3π

2−0.03. Este valor e maior que π, pelo que aplicamos o segundo passo e concluımos

que sin(3π2− 0.03

)= − sin

(π2− 0.03

). Finalmente, para obter um argumento no intervalo

desejado, usamos a ultima relacao para transformar a expressao obtida em cos(0.03).Neste caso, observando que 0.03 < 0.1, o erro e majorado mais uma vez por 0.1n+1

(n+1)!, pelo que

o polinomio de Mac-Laurin de grau 5 dar-nos-a novamente pelo menos sete casas de precisao.Obtem-se entao

cos(0.03) ≈ 1− 0.032

2!+

0.034

4!= 1− 9

20000+

81

2400000000= 0.9995500375

que apenas difere do valor exacto de cos(0.03) a partir da 9a casa decimal.


(a) sin(0.2) com erro inferior a 10−5 (b) cos(π − 0.3) com erro inferior a 10−6



Aproximacoes de π. O ultimo exemplo desta seccao mostra como o polinomio de Taylorpara arctan(x) pode ser utilizado para obter uma aproximacao de π

4e, portanto, de π. Vimos

anteriormente que o polinomio de Mac-Laurin desta funcao, para um grau n arbitrario, tem aexpressao

Pn(x) = x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · ·+ (−1)

n−12xn

n.

No caso particular x = 1, observando que arctan(1) = π4, temos

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·+ (−1)

n−12

1

n.

Uma vez que nao obtivemos este desenvolvimento directamente a partir do calculo dasderivadas de arctan(x), e mais difıcil estimar o erro associado a esta aproximacao no casogeral. Porem, neste caso particular podemos observar que a soma dos primeiros n termos vaiconvergindo alternadamente para o valor de π

4, pelo que o valor absoluto do erro e majorado

pelo termo seguinte a somar:

|rn(x)| ≤ 1

n+ 2

para n ımpar.Este desenvolvimento nao e especialmente interessante como formula de calculo de π, uma

vez que o erro so muito lentamente converge para 0; porem, apresenta-se a tıtulo de exemplo decomo se podem calcular estas constantes usando o polinomio de Taylor e a funcao adequada.

Claramente, a mesma tecnica pode ser aplicada para quaisquer outras funcoes.


(a) 1.120 com erro inferior a 10−4 (b) log(0.9) com erro inferior a 10−5

3.3.3 Determinacao de coeficientes de polinomios

Um outro caso particular com interesse e aquele em que a funcao a aproximar e ela propriaum polinomio. Vejamos um exemplo antes de estudar o caso geral.

Considere-se p(x) = (x− 1)4. Calculando as derivadas de p obtem-se

p′(x) = 4(x− 1)3 p′′(x) = 12(x− 1)2 p′′′(x) = 24(x− 1)

p(4)(x) = 24 p(5)(x) = 0

e todas as derivadas de ordem superior a 5a sao igualmente nulas.Tomando por exemplo a = 0, tem-se

P0(x) = 1 P1(x) = 1− 4x P2(x) = 1− 4x+ 6x2

P3(x) = 1− 4x+ 6x2 − 4x3 P4(x) = 1− 4x+ 6x2 − 4x3 + x4 Pn(x) = P4(x) para n ≥ 4.



Este resultado e precisamente o que se obteria expandindo a expressao de p (fazendo ascontas ou aplicando por exemplo a formula do binomio de Newton). Tal facto pode parecerinesperado; porem, basta observar que, de acordo com a seccao anterior, o erro rn(x), paran ≥ 4, e necessariamente 0, pois a derivada de ordem n+ 1 de p e 0.

Por outro lado, se fizermos a = 1, todas as derivadas de p se anulam excepto p(4), obtendo-se

Pn(x) =

{0 para n ≤ 3

(x− 1)4 para n ≥ 4

o que de novo nao deve ser surpreendente, tendo em conta as observacoes atras.O exemplo anterior pode-nos levar a pensar que nao ha qualquer interesse em aplicar a

formula de Taylor a polinomios. Ha, porem, varias vantagens em faze-lo, como a seguir sediscute.

Pensemos no caso geral, em que p(x) e um polinomio de grau n. Tendo em conta quea derivada dum polinomio e um polinomio de grau uma unidade inferior, concluımos quep(k)(x) = 0 para qualquer k > n, pelo que, de acordo com a formula do erro, Pn(x) = p(x) (talcomo Pk(x) = p(x) para qualquer k > n).

Isto significa entao que se tem

p(x) = p(a) + p′(a)(x− a) +p′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ p(n)(a)

n!(x− a)n

para qualquer ponto a. Em particular, o polinomio de Mac-Laurin de ordem n associado a p e

p(x) = p(0) + p′(0)x+p′′(0)

2!x2 + · · ·+ p(n)(0)

n!xn .

Uma vez que os coeficientes das potencias de x sao unicos para cada polinomio, isto permite-nos concluir que, para cada k entre 0 e n, o coeficiente de xk e

p(k)(0)

k!.

Para ver o interesse desta formula, considere-se o polinomio

q(x) = (x− 1)6 + 3(x2 + 3x+ 2)2 − 7x .

Se quisermos calcular o coeficiente de x3 deste polinomio, comecamos por calcular a suaderivada de ordem 3.

q′(x) = 6(x− 1)5 + 6(2x+ 3)(x2 + 3x+ 2)− 7

q′′(x) = 30(x− 1)4 + 12(x2 + 3x+ 2) + 6(2x+ 3)2

q′′′(x) = 120(x− 1)3 + 12(2x+ 3) + 24(2x+ 3)

Fazendo x = 0 na ultima expressao, obtemos q′′′(0) = −120 + 36 + 72 = −12, donde ocoeficiente de x3 em q(x) e −12

3!= −2.

Se quisessemos expandir q, bastaria calcular as restantes derivadas:

q(4)(x) = 360(x− 1)2 + 24 + 48

q(5)(x) = 720(x− 1)

q(6)(x) = 720


3.4. ESTUDO DE FUNCOES 165

e, sabendo que q(x) coincide com o seu polinomio de Mac-Laurin, obter-se-ia

q(x) = (1 + 12− 0) + (−6 + 36− 7)x+30 + 24 + 54

2x2 +

−120 + 36 + 72

6x3+

+360 + 24 + 48

24x4 +

−720

120x5 +

720

720x6 ,

que, simplificando, se reduz a

q(x) = 13 + 23x+ 54x2 − 2x3 + 18x4 − 6x5 + x6 .

Este resultado poderia ter sido obtido directamente por expansao da expressao anterior paraq(x), exigindo porem calculos muito mais trabalhosos. Se nao estivermos interessados naexpansao completa, mas apenas nalguns coeficientes particulares, as vantagens deste metodosao ainda mais obvias.

Exercıcio 39. Para cada uma das alıneas seguintes, calcule o coeficiente de xn no polinomioindicado.

(a) p(x) = 3(x− 2)7, n = 2

(b) q(x) = (x+ 1)4, n = 3

(c) r(x) = (3x− 2)5, n = 3

(d) p(x) = (x− 1)6 + (2x− 3)2, n = 1

3.4 Estudo de funcoes

Vamos agora ver como o estudo das derivadas duma funcao nos permite obter informacaoextremamente util nao apenas para resolver problemas de determinacao de maximos e mınimos— conhecidos como problemas de optimizacao, extremamente importantes nas aplicacoes daAnalise Matematica — mas tambem para construir graficos de funcoes muito mais complexasdo que aquelas que temos vindo a considerar.

3.4.1 Extremos e monotonia

Da definicao de derivada duma funcao num ponto como limite da taxa de variacao, podemostirar conclusoes sobre o comportamento da funcao nesse ponto a partir do seu valor.

Suponhamos que f ′(a) = b > 0. Expandindo a definicao de derivada, isto significa que

limx→a

f(x)− f(a)

x− a> 0

donde, numa vizinhanca do ponto a, o sinal da diferenca (f(x) − f(a)) e igual ao sinal de(x − a). Isto significa que o valor da funcao a direita de a e superior ao valor de f(a) e queo seu valor a esquerda de a e inferior ao valor de f(a): a funcao e crescente no ponto a. Emtermos graficos, a definicao de derivada como declive da recta tangente ao grafico confirmaesta conclusao: se a funcao e localmente aproximada por uma recta de declive positivo, entaoe natural que ela seja crescente.



Um raciocınio analogo permite estabelecer que, se o valor de f ′(a) for negativo, entao afuncao e decrescente no ponto a. A analise do sinal de f ′ e entao uma ferramenta extremamenteutil no estudo do comportamento da funcao f .

Em particular, num ponto em que f atinja um extremo relativo (maximo ou mınimo local)a sua derivada f ′, se estiver definida, tem de se anular: nao pode ser negativa porque a funcaonao e decrescente, nem positiva porque a funcao nao e crescente.

Definicao. O ponto a diz-se um ponto crıtico duma funcao f se f ′(a) = 0.

Proposicao. Se a funcao f e diferenciavel em a e f(a) e um extremo local (maximo ou mınimo)de f , entao a e um ponto crıtico de f .

Este resultado tem profundas implicacoes praticas, ja que permite determinar com muitomais facilidade maximos e mınimos de funcoes diferenciaveis: em vez de termos de analisartodo o seu domınio, podemos concentrar-nos nos pontos em que a sua derivada se anula. Emmuitos casos, e simples determinar se estes sao maximos ou mınimos — ou se sao pontos emque a funcao e crescente ou decrescente mas a sua derivada anula-se. Note-se, contudo, que epreciso ter atencao aos pontos em que a funcao nao e diferenciavel: a funcao modulo tem ummınimo absoluto para x = 0, mas a sua derivada nunca se anula.

Problema. Um agricultor pretende cercar uma parcela rectangular de 50 m2 dum terreno quefaz fronteira com um ribeiro. Quais as dimensoes que o terreno deve ter por forma a minimizara quantidade de material necessaria para a cerca?

Resolucao. Um terreno rectangular de lados x e y tem uma area de xy m2. Uma vez que aarea total a cercar deve ser de 50 m2, queremos ter xy = 50, ou y = 50

x.

Ja a quantidade de cerca a utilizar depende da soma dos tres lados do terreno que naoconfinam com o rio. Supondo que y e o comprimento do lado paralelo ao rio, temos que aquantidade de cerca e de 2x+ y, conforme se ve na Figura 3.6.

ribeiro

x

xy

Figura 3.6: O terreno a cercar.

Entao a expressao que nos da a quantidade de material a usar a partir do lado x do terrenoe Q(x) = 2x + y = 2x + 50

xe queremos determinar o valor de x para o qual esta quantidade

e mınima. Vamos resolver isto derivando esta expressao e procurando os pontos em que essaderivada se anula.

Q′(x) = 0⇐⇒(

2x+50

x

)′= 0⇐⇒ 2− 50

x2= 0

⇐⇒ 2 =50

x2⇐⇒ 2x2 = 50⇐⇒ x2 = 25⇐⇒ x = ±5



Uma vez que estamos a tratar de terrenos, o valor de x tem de ser positivo, pelo que asolucao x = −5 nao faz sentido. Para x = 5, obtemos uma quantidade Q(5) = 20 m de cerca.Uma vez que este e o unico extremo relativo da funcao Q, podemos comprovar que se tratadum mınimo (e nao dum maximo) calculando outro valor qualquer de Q e verificando que esuperior a 20.

Problema. Um navio deve efectuar uma viagem de 1300 milhas. As despesas de viagem saocalculadas da seguinte forma:

- a despesa com a tripulacao e de e125 por hora;

- a despesa com o combustıvel e funcao da velocidade v no navio (em nos) e dada pord = v3

1000euros por hora.

Qual a velocidade a que o navio deve seguir por forma a que a despesa seja mınima?

Resolucao. Para poder resolver este problema, temos de exprimir a despesa total D da viagem(em euros) em funcao da sua velocidade v (em horas).

Sendo a velocidade expressa em nos, que equivalem a milhas por hora, a duracao total daviagem sera de 1300

vhoras. Assim, a parte correspondente as despesas com a tripulacao sera

de 125× 1300v

euros. Somando a despesa com o combustıvel, obtemos

D(v) =162.500

v+

v3

1000.

Uma vez que esta funcao so faz sentido para v > 0 e e diferenciavel em ]0,+∞[, os seusextremos ou sao pontos crıticos de D ou sao o ponto 0. Derivando D, obtemos

D′(v) = −162.500

v2+

3v2

1000

e os pontos crıticos de D ocorrem quando

D′(v) = 0⇐⇒ −162.500

v2+

3v2

1000= 0

⇐⇒ −162.500 +3v4

1000= 0

⇐⇒ 3v4 =162.500.000

3

⇐⇒ v =4

√162.500.000

3≈ 15.26 .

Uma vez que D(v)→ +∞ quando v → 0 e quando v → +∞, este ponto crıtico corresponde aum mınimo de D. Logo a velocidade optima do navio e de cerca de 15 nos.

Exercıcio 40. Pretende-se delimitar uma parcela rectangular de terreno que deve ter areaigual a 600 m2 colocando uma rede a toda a volta e ainda paralelamente ao lado menor, porforma a dividir o terreno ao meio.

Determine as medidas dos lados do rectangulo por forma a que a quantidade de rede autilizar seja mınima.



Exercıcio 41. Pretende-se construir um recipiente prismatico de seccao quadrada, comtampa, cuja capacidade seja de 2.5 m3. Sabendo que o material para fazer o fundo custa e2,o da tampa e3 e o da parte lateral e1, determine as dimensoes que o recipiente deve ter paraque a despesa seja mınima.

Exercıcio 42. Determine os pontos crıticos das seguintes funcoes. Quais deles sao extremosrelativos?

(a) f(x) = x5 − x (b) f(x) = e−x2

(c) g(x) = x2−1x+2

(d) f(x) =√

1− x2

Do ponto de vista da Analise Matematica, o nosso interesse e estudar funcoes independen-temente do problema que lhes deu origem. Assim, vamos concentrar-nos na determinacao demaximos e mınimos de funcoes, abstraindo do contexto em que elas surgem.

Exemplo. No estudo que fizemos das parabolas, vimos que tinham um extremo absoluto sobreo seu eixo de simetria. Sendo f um polinomio de segundo grau, f(x) = Ax2+Bx+C, podemosagora verificar esta afirmacao formalmente: a derivada de f tem a expressao

f ′(x) =(Ax2 +Bx+ C

)′= 2Ax+B ,

que se anula precisamente quando x = − B2A

.

Um caso mais interessante, que podemos agora estudar completamente, diz respeito aospolinomios de terceiro grau. Vimos que a funcao f(x) = x3 era estritamente crescente emtodo o seu domınio; porem, a forma geral do grafico de polinomios de terceiro grau (tambemchamadas funcoes cubicas) e a de um “S” deitado, com um maximo relativo e um mınimorelativo.

Consideremos por exemplo a funcao g definida por g(x) = x3 − 3x + 4. Se calcularmos asua derivada, obtemos

g′(x) = 3x2 − 3 .

Os zeros desta funcao ocorrem quando

g′(x) = 0⇐⇒ 3x2 − 3 = 0⇐⇒ x2 = 1⇐⇒ x = ±1 ,

donde os pontos crıticos de g sao x = ±1.Uma vez que g′ e uma funcao de segundo grau, sabemos ja que o seu grafico e uma parabola

com a concavidade virada para cima. Entao g′ e positiva (e g e crescente) nos intervalos]−∞,−1[ e ]1,+∞[; e g′ e negativa (e g e decrescente) no intervalo ]−1, 1[. Uma vez que ge crescente a esquerda de −1 e decrescente a direita, este ponto e um maximo relativo; ja aesquerda de 1 a funcao g e decrescente, crescendo a direita deste ponto, que e portanto ummınimo relativo.

E habitual sintetizar esta informacao numa tabela como a seguinte.

−∞ +∞−1 1

g′(x) + 0 − 0 +g(x) ↗ max ↘ min ↗



Podemos inserir de imediato esta informacao no grafico que estamos a construir, tendoapenas de calcular g(−1) = (−1)3 − 3× (−1) + 4 = 6 e g(1) = 13 − 3× 1 + 4 = 2. Obtemos oresultado ilustrado na Figura 3.7 (a).

Juntando a esta informacao os limites de g quando x → ±∞ e o valor g(0) = 4, podemosconstruir facilmente o seu grafico, que se apresenta na Figura 3.7 (b).

x

y

1 2

-2

2

4

-1-2

6

(a)

x

y

1 2

-2

2

4

-1-2

6

g(x)=x³-3x+4

(b)

Figura 3.7: Grafico de g(x) = x3 − 3x+ 4.

Exercıcio 43. Usando a tecnica descrita acima, construa os graficos das seguintes funcoescubicas.

(a) h(x) = −x3 + 12x− 6 (b) g(x) = −2x3 + 3x2 (c) f(x) = 2x3− 6x2 + 3x− 1

Qual e o problema que se coloca ao recorrer a este metodo para construir o grafico deg(x) = x3 + 3x+ 2?

3.4.2 Pontos de inflexao e concavidade

A analise que fizemos do significado grafico da primeira derivada pode ser estendida a segundaderivada. Se pensarmos numa funcao f que seja duas vezes diferenciavel, sabemos que f ′′ e aderivada de f ′. Entao, se f ′′ for positiva, f ′ e crescente; se f ′′ for negativa, f ′ e decrescente; ese f ′ tiver um extremo relativo, entao f ′′ anula-se.

O que e que significa dizer que a derivada de f e crescente num ponto a? Uma vez que f ′(a)e a taxa de crescimento instantaneo de f no ponto a, se f ′′(a) > 0 estamos a dizer que estataxa esta a aumentar no ponto a; ou seja, a funcao f esta a crescer mais rapidamente a direitade a do que a esquerda. Comparando com a tangente ao grafico no ponto a, que e uma rectade declive f ′(a), um pouco de reflexao mostra que o grafico de f esta acima dessa recta numavizinhanca de a. Da mesma forma, se f ′′(a) < 0, entao o grafico de f esta abaixo da recta quelhe e tangente nesse ponto.

Definicao. Diz-se que uma curva tem a concavidade virada para cima num ponto P quandoessa curva esta acima da recta que lhe e tangente em P numa vizinhanca desse ponto.



Diz-se que uma curva tem a concavidade virada para baixo num ponto P quando essa curvaesta abaixo da recta que lhe e tangente em P numa vizinhanca desse ponto.

Um ponto P diz-se um ponto de inflexao duma curva se a concavidade da curva nos pontosa direita de P tem um sentido diferente da concavidade dessa curva nos pontos a esquerdade P .

Num ponto de inflexao, a recta tangente a curva intersecta a curva — o que e um poucocontraditorio com o conceito intuitivo de tangente, mas e de facto o significado geometricocorrecto. Pode-se demonstrar formalmente que os pontos crıticos duma funcao que nao saoextremos relativos sao precisamente os ponto de inflexao do grafico dessa funcao: e o que sepassa, por exemplo, com f(x) = x3 no ponto 0.

A analise da segunda derivada pode facilitar muito a classificacao dos pontos crıticos. Numponto crıtico, a recta tangente ao grafico da funcao e horizontal; se a segunda derivada dafuncao for positiva, o grafico da funcao esta acima desta recta, logo o ponto crıtico e ummınimo (Figura 3.8 (a)); se a segunda derivada da funcao for negativa, entao o grafico dafuncao esta abaixo desta recta e o ponto crıtico e um maximo (Figura 3.8 (b)).

tangente

y=f(x) tangente

y=f(x)

Figura 3.8: Pontos crıticos duma funcao, sendo a segunda derivada positiva (a) ou negativa (b).

Para alem disso, a analise da segunda derivada tem interesse proprio para a construcao dografico duma funcao. Vamos tomar para exemplo a funcao g definida por g(x) = x3 + 3x+ 2,cujo grafico vimos no exercıcio acima nao ser facil de construir so por analise da primeiraderivada.

Os pontos crıticos de g sao dados por

g′(x) = 0⇐⇒ 3x2 + 3 = 0⇐⇒ x2 = −1 ,

condicao que e impossıvel. Esta funcao nao tem portanto extremos relativos — a sua derivadae sempre positiva, logo trata-se duma funcao crescente em R.

Em contrapartida, a segunda derivada de g e

g′′(x) = 6x ,

que se anula para x = 0. Para valores negativos de x, g′′(x) e negativa, enquanto que paravalores positivos de x, g′′(x) e positiva. Entao o grafico de g tem a concavidade virada parabaixo a esquerda da origem e virada para cima a direita da origem, sendo o ponto de abcissa 0um ponto de inflexao.

Tal como atras, e habitual representar esta informacao numa tabela — neste caso, umatabela muito simples. A sigla “p.i.” designa um ponto de inflexao.

−∞ +∞0

g′(x) + + +g′′(x) − 0 +g(x) ↗ ∩ p.i. ↗ ∪



Tendo em conta que limx→±∞ g(x) = ±∞, que g(0) = 2 e que g′(2) = 15, podemos esbocar(ainda que de forma pouco precisa) o grafico de g, conforme ilustrado na Figura 3.9.

x

y

-4

1 2

-2

2

4

-1-2

x

y

-4

1 2

-2

2

4

-1-2

g(x)=x³+3x+2

Figura 3.9: Grafico de g(x) = x3 + 3x+ 2.

Exercıcio 44. Calcule a segunda derivada das seguintes funcoes e indique quais os seuspontos de inflexao e o sentido da sua concavidade.

(a) f(x) = x5 − x (b) f(x) = e−x2

(c) g(x) = x2−1x+2

(d) f(x) =√

1− x2

3.4.3 Construcao do grafico de funcoes

Neste momento dispomos de todas as tecnicas necessarias para fazer o estudo completo defuncoes transcendentes elementares. Nesta seccao, vamos ilustrar detalhadamente o proce-dimento a seguir, utilizando toda a informacao que podemos obter recorrendo ao calculo delimites e derivadas.

Por norma, o estudo duma funcao inclui os seguintes passos.

1. Determinacao do domınio.

2. Estudo da continuidade.

3. Determinacao das assımptotas.

4. Calculo da primeira derivada e analise de extremos e intervalos de monotonia.

5. Calculo da segunda derivada e analise do sentido da concavidade e pontos de inflexao.

6. Determinacao do contra-domınio.

7. Esboco do grafico.

Para o esboco do grafico, e normalmente util determinar os pontos de interseccao com oseixos coordenados, ou seja, calcular o valor da funcao no ponto 0 e determinar as suas raızes.Consoante o tipo de funcao, alguns destes pontos podem nao ser necessarios se a informacaoque fornecem for redundante.



Estudo de f(x) = x4 − 6x2 + 4

Domınio e continuidade. Trata-se duma funcao polinomial, pelo que sabemos imediata-mente que o seu domınio e R e que f e contınua em todos os pontos da recta real.

Assımptotas. Uma vez que f e contınua em R, o seu grafico nao pode ter assımptotasverticais. Pode, contudo ter assımptotas oblıquas, pelo que vamos calcular os limites de f(x)

x

quando x→ ±∞.

limx→±∞

f(x)

x= lim

x→±∞

x4 − 6x2 + 4

x= lim

x→±∞x3 − 6x+

4

x= ±∞

Assim, o grafico de f nao tem assımptotas oblıquas.

Monotonia e extremos. A primeira derivada de f e f ′(x) = 4x3 − 12x.Para determinar os zeros desta expressao, vamos factoriza-la.

f ′(x) = 0⇐⇒ 4x3 − 12x = 0⇐⇒ x = 0 ou 4x2 − 12 = 0

⇐⇒ x = 0 ou x2 = 3⇐⇒ x = 0 ou x = −√

3 ou x =√

3

Entao f tem tres pontos crıticos. Para estudar o sinal de f ′, recordemos que, sendo umpolinomio de grau 3 com tres raızes, vai trocar de sinal a cada raiz. Como limx→−∞ f

′(x) = −∞,podemos construir a seguinte tabela.

−∞ +∞−√

3 0√

3f ′(x) − 0 + 0 − 0 +f(x) ↘ min ↗ max ↘ min ↗

Os extremos relativos de f sao entao

f(−√

3)

= −5 f(0) = 4(√

3)

= −5 .

x

y

-4

1 2

-2

2

4

-1-2 3-3

Figura 3.10: Marcacao dos extremos de f .



Concavidades e inflexoes. A segunda derivada de f e

f ′′(x) = 12x2 − 12 .

Para determinar os zeros desta expressao, novamente factorizar esta expressao.

f ′′(x) = 0⇐⇒ 12x2 − 12 = 0⇐⇒ x2 = 1⇐⇒ x = 1 ou x = −1

Uma vez que f ′′ e um polinomio de segundo grau com coeficiente positivo no termo em x2,sabemos que e uma funcao negativa entre as suas raizes e positiva fora do intervalo entre elas.Para juntar estes resultados com os anteriores, convem observar que 1 <

√3, pelo que cada

um destes valores esta entre dois zeros de f ′.

−∞ +∞−√

3 −1 0 1√

3f ′(x) − 0 + + + 0 − − − 0 +f ′′(x) + + + 0 − − − 0 + + +f(x) ↘ ∪ min ↗ ∪ p.i. ↗ ∩ max ↘ ∩ p.i. ↘ ∪ min ↗ ∪

Nos pontos de inflexao, a funcao f toma o valor f(−1) = f(1) = −1.

x

y

-4

1 2

-2

2

4

-1-2 3-3

Figura 3.11: Marcacao dos pontos de inflexao de f .

Contradomınio. Uma vez que f tende para +∞ quando x → ±∞, conforme vimos jaatras, e que tem dois mınimos relativos em que toma o valor −5, podemos concluir que ocontradomınio desta funcao e o intervalo [−5,+∞[.

Esboco do grafico. Ja vimos acima que f(0) = 4; podemos ainda determinar as solucoesde f(x) = 0 aplicando a formula resolvente para a equacao de segundo grau em ordem a x2:

x4 − 6x2 + 4 = 0⇐⇒ x2 = 3±√

9− 4⇐⇒ x = ±√

3±√

5 .

Para ter uma ideia da ordem de grandeza destes valores, basta ver que√

5 ≈ 2.2, e portanto

±√

3 +√

5 ≈ ±√

3 + 2.2 ≈ ±√

5.2 ≈ ±2.3

±√

3−√

5 ≈ ±√

3− 2.2 ≈ ±√

0.8 ≈ ±0.9 ;



com esta informacao e possıvel esbocar o grafico de f com um grau razoavel de precisao.E de todo o interesse a verificacao de que este grafico esta de acordo com toda a informacao

determinada analiticamente nos pontos anteriores.

x

y

-4

1 2

-2

2

4

-1-2 3-3

f(x)=x -6x²+4⁴

Figura 3.12: Esboco do grafico de f .

Estudo de g(x) = x+22x−3

Domınio e continuidade. A funcao g e um quociente de polinomios, pelo que esta definidae e contınua em todos os pontos em que o seu denominador nao se anula. Uma vez que2x− 3 = 0⇐⇒ x = 3

2, concluımos que Dg = R \

{32

}.

Assımptotas. A funcao g pode ter uma assımptota vertical no ponto que nao pertence aoseu domınio. Calculando limites laterais, obtemos

limx→ 3

2

+g(x) = lim

x→ 32

+

x+ 2

2x− 3=

7/2

0+= +∞

limx→ 3

2

−g(x) = lim

x→ 32

−

x+ 2

2x− 3=

7/2

0−= −∞

donde x = 32

e uma assımptota vertical do grafico de g. A aproximacao do grafico a assımptotapela esquerda e na parte inferior desta; a direita e na metade superior.

Da expressao de g sabemos que esta funcao tem limites finitos quando o seu argumentotende para ±∞, pelo que o grafico tera uma assımptota horizontal. Para comprovar este facto,vamos calcular esse limite.

limx→±∞

x+ 2

2x− 3= lim

x→±∞

1 + 2x

2− 3x

=1

2

Entao y = 12

e uma assımptota horizontal do grafico de g. A aproximacao do grafico aassımptota e por cima quando x→ +∞, ja que deste lado o numerador e sempre maior que 1e o denominador menor que 2; e por baixo quando x→ −∞, ja que deste lado o numerador esempre menor do que 1 e o denominador maior do que 2.



x

y

-2

-1

1

2

xx

-2 2 4-1 1 3 5

Figura 3.13: Assımptotas da funcao g.

Monotonia e extremos. A primeira derivada de g e

g′(x) =1× (2x− 3)− 2× (x+ 2)

(2x− 3)2= − 7

(2x− 3)2,

que e uma expressao sempre negativa (o denominador e um quadrado, logo e sempre positivo).Concluımos assim que g e decrescente em cada um dos intervalos que constituem o seu domınio.A tabela seguinte sintetiza esta informacao, sendo a sigla n.d. usada para indicar que a funcao(ou a sua derivada) nao esta definida naquele ponto.

−∞ +∞32

g′(x) − n.d. −g(x) ↘ n.d. ↘

A funcao g nao tem portanto extremos relativos.

Concavidades e inflexoes. A segunda derivada de g e

g′′(x) =(−7(2x− 3)−2

)′= 28(2x− 3)−3 =

28

(2x− 3)3,

que tem o sinal do seu denominador: negativo para x < 32

e positivo para x > 32. Podemos

entao completar a tabela anterior com esta informacao.

−∞ +∞32

g′(x) − n.d. −g′′(x) − n.d. +g(x) ↘ ∩ n.d. ↘ ∪

Contradomınio. No intervalo]−∞, 3

2

[, a funcao g decresce continuamente desde 1

2(valor

que nunca e atingido) ate −∞; no intervalo]32,+∞

[, decresce continuamente desde +∞

ate 12

(sem atingir este valor). Entao o contradomınio de g inclui todos os reais excepto 12:

g(R) = R \{

12

}.



Esboco do grafico. Para podermos esbocar o grafico de g com mais precisao, podemoscalcular o valor de g(0) = −2

3e o ponto em que g(x) = 0, obtido resolvendo a equacao

g(x) = 0⇐⇒ x+ 2

2x− 3= 0⇐⇒ x+ 2 = 0⇐⇒ x = −2 .

O grafico esta desenhado na figura seguinte.

x

y

-2

-2

2

-1

1

2

4-1 1 3 5

g(x)= x+22x-3

Figura 3.14: Esboco do grafico de g.

Estudo de h(x) = x2−x−1x+1

Domınio e continuidade. Novamente, trata-se duma funcao racional, pelo que esta definidae e contınua em todos os pontos em que o seu denominador nao se anula. Entao

Dh = {x | x+ 1 6= 0} = R \ {−1} .

Assımptotas. Tal como sucedia com a funcao anterior, a funcao h pode ter uma assımptotavertical no ponto que nao pertence ao seu domınio. Calculando limites laterais, obtemos

limx→−1+

h(x) = limx→−1+

x2 − x− 1

x+ 1=

1

0+= +∞

limx→−1−

h(x) = limx→−1−

x2 − x− 1

x+ 1=

1

0−= −∞

donde x = −1 e uma assımptota vertical do grafico de h. A aproximacao do grafico a assımptotapela esquerda e na parte inferior desta; a direita e na metade superior.

A expressao de h indica que esta funcao tem limites infinitos quando o seu argumento tendepara ±∞, pelo que o grafico nao devera ter uma assımptota horizontal. Assim, vamos procurardirectamente assımptotas oblıquas.

limx→±∞

h(x)

x= lim

x→±∞

x2 − x− 1

x2 + x= lim

x→±∞

1− 1x− 1

x2

1 + 1x

= 1



Se existir uma assımptota oblıqua, ela tera declive 1. Para calcular a sua ordenada naorigem, vamos calcular

limx→±∞

(h(x)− x) = limx→±∞

(x2 − x− 1

x+ 1− x2 + x

x+ 1

)= lim

x→±∞

−2x− 1

x+ 1= lim

x→±∞

−2− 1x

1 + 1x

= −2

Entao y = x−2 e uma assımptota oblıqua do grafico de h. Para determinar a aproximacaoa assımptota, observe-se que

−2x− 1

x+ 1=−2(x+ 1) + 1

x+ 1= −2 +

1

x+ 1

que e maior que −2 quando x→ +∞ e menor que −2 quando x→ −∞. Entao a aproximacaodo grafico a assımptota e por cima quando x→ +∞ e por baixo quando x→ −∞.

x

y

-1

-4

1

-2

2

-2-3

-8

-6

Figura 3.15: Assımptotas do grafico de h.

Monotonia e extremos. A primeira derivada de h e

h′(x) =(2x− 1)(x+ 1)− 1 (x2 − x− 1)

(x+ 1)2=x2 + 2x

(x+ 1)2.

Uma vez que o denominador desta fraccao e sempre positivo, para estudar os zeros e o sinalde h′ basta analisar o seu numerador. Temos novamente um polinomio de segundo grau comcoeficiente positivo de x2; factorizando-o obtemos

x2 + 2x = 0⇐⇒ x(x+ 2) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = −2

e h′ e positiva entre estes dois valores e negativa fora desse intervalo.

−∞ +∞−2 −1 0

f ′(x) + 0 − n.d. − 0 +f(x) ↗ max ↘ n.d. ↘ min ↗

Os extremos relativos de h sao entao

h(−2) = −5 h(0) = −1 .



x

y

-1

-4

1

-2

2

-2-3

-8

-6

Figura 3.16: Extremos da funcao h.

Concavidades e inflexoes. A segunda derivada de h e

h′′(x) =((x2 + 2x

)(x+ 1)−2

)′= (2x+ 2)(x+ 1)−2 − 2

(x2 + 2x

)(x+ 1)−3

= 2(x+ 1)2(x+ 1)−3 − 2(x2 + 2x

)(x+ 1)−3 =

2

(x+ 1)3,

que nunca se anula e tem o sinal de (x+1)3: positiva quando x > −1 e negativa quando x < −1.

−∞ +∞−2 −1 0

h′(x) + 0 − n.d. − 0 +h′′(x) − − − n.d. + + +h(x) ↗ ∩ max ↘ ∩ n.d. ↘ ∪ min ↗ ∪

Contradomınio. No troco ate −1, os valores da funcao crescem ate −5 e voltam a diminuirate −∞, pelo que abrangem o intervalo ]−∞,−5]. No troco a partir de −1, os valores da funcaodecrescem ate −1 e depois aumentam sem limite, pelo que abrangem o intervalo [−1,+∞[.Assim, h(R) = ]−∞,−5] ∪ [−1,+∞[.

Esboco do grafico. Com toda a informacao adquirida, ja podemos ter uma ideia do aspectodo grafico de h, que se apresenta na Figura 3.17.

Estudo duma funcao definida por ramos

Seja f a funcao definida da seguinte forma.

f(x) =

arctan(x) x < 0

x2 0 ≤ x < 2x2+1x

x ≥ 2



x

y

-1

-4

1

-2

2

-2-3

-8

-6h(x)=x²-x-1x+1

Figura 3.17: Grafico da funcao h.

Domınio e continuidade. Uma vez que os ramos que definem f cobrem toda a recta real,temos Df = R. Tambem sabemos que f e contınua nos intervalos ]−∞, 0[, ]0, 2[ e ]2,+∞[,ja que e definida pela expressao duma funcao transcendente elementar no interior de cada umdaqueles intervalos.

A forma mais simples de determinar a continuidade de f nos pontos 0 e 2 e calculandolimites laterais.

limx→0−

f(x) = limx→0−

arctan(x) = arctan(0) = 0

limx→0+

f(x) = limx→0+

x2 = 02 = 0

limx→2−

f(x) = limx→2−

x2 = 22 = 4

limx→2+

f(x) = limx→2+

x2 + 1

x=

22 + 1

2=

5

2

Entao f e contınua em 0 (os limites laterais coincidem neste ponto) mas nao em 2 (oslimites laterais nao coincidem neste ponto).

x

y

1 2

-1

1

2

-1-2 3 4

3

Figura 3.18: Pontos de mudanca de ramo da funcao f .



Assımptotas. A partida, a funcao f poderia ter assımptotas verticais nos pontos 0 e 2;porem, ja verificamos que os seus limites laterais sao finitos a direita e a esquerda de cada umdaqueles pontos, pelo que isto nao sucede.

Para determinarmos se o grafico de f tem assımptotas horizontais ou oblıquas, vamosrecorrer ao calculo de limites. Intuitivamente, este grafico deve ter uma assımptota horizontala esquerda (ja que arctan(x) tem uma assımptota horizontal) e uma assımptota oblıqua adireita (ja que o valor de f(x) se aproxima de x quando x→ +∞). Verifiquemos estes factos.

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

arctan(x) = −π2

limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞

x2 + 1

x2= lim

x→+∞

(1 +

1

x2

)= 1

limx→+∞

(f(x)− x) = limx→+∞

(x2 + 1

x− x2

x

)= lim

x→+∞

1

x= 0

Assim, a recta y = −π2

e assımptota horizontal do grafico de f quando x → −∞, comaproximacao por cima (ja que arctan(x) > −π

2para qualquer valor de x), enquanto a recta

y = x e assımptota oblıqua a direita, com aproximacao tambem por cima (ja que 1x

e positivoquando x→ +∞).

x

y

1 2

-1

1

2

-1-2 3 4

3

Figura 3.19: Assımptotas da funcao f .

Monotonia e extremos. A primeira derivada de f e a seguinte funcao.

f ′(x) =

1

1+x2x < 0

2x 0 < x < 2x2−1x2

x > 2

No ponto 2, a funcao nao e contınua, logo nao e diferenciavel. Ja no ponto 0, temos que

f ′−(0) = limx→0−

f ′(x) = limx→0−

1

1 + x2= 1

f ′+(0) = limx→0+

f ′(x) = limx→0−

2x = 0



donde a funcao tambem nao e diferenciavel neste ponto. Esta funcao nao tem pontos crıticos,ja que as expressoes da sua derivada sao sempre positivas dentro dos intervalos em que estaodefinidas; no ponto 0 ela e contınua, logo tambem nao tem extremos. Ja no ponto 2 o valorda funcao passa de valores que tendem para 4 (a esquerda) para 5

2(no ponto 2), continuando

depois a crescer (a direita); entao o ponto 2 e um maximo relativo de f .

−∞ +∞0 2

f ′(x) + n.d. + n.d. +f(x) ↗ ↗ max ↗

Concavidades e inflexoes. A segunda derivada de f e

f ′(x) =

2x

(1+x2)2x < 0

2 0 < x < 22x3

x > 2

nao estando definida nos pontos 0 e 2, onde f ′ ja nao estava definida. Esta funcao e agoranegativa para x < 0 (a sua expressao e uma fraccao com numerador negativo e denominadorpositivo) e positiva para x > 0. Assim, f tem concavidade virada para baixo quando x < 0 epara cima quando x > 0, donde o ponto 0 e um ponto de inflexao.

−∞ +∞0 2

f ′(x) + n.d. + n.d. +f ′′(x) − n.d. + n.d. +f(x) ↗ ∩ p.i. ↗ ∪ max ↗ ∪

Contradomınio. No intervalo ]−∞, 2[, a funcao cresce continuamente de −π2

ate 4, sematingir nenhum destes valores. Entre 2 e +∞, cresce de 5

2ate +∞. Entao f(R) =

]−π

2,+∞

[.

Esboco do grafico. Vamos juntar toda esta informacao esbocando o grafico de f .

x

y

1 2

-1

1

2

-1-2 3 4

3

y=f(x)

Figura 3.20: Grafico da funcao f .



Estudo de g(x) = ex−1

x+1

Domınio e continuidade. Esta funcao e um quociente duma exponencial por um polinomio,logo esta definida e e contınua em todos os pontos em que o polinomio nao se anule. Temosportanto que Dg = R \ {−1}.

Assımptotas. No ponto −1, o grafico de g pode ter assımptotas verticais. Calculando limiteslaterais, obtemos

limx→−1±

g(x) = limx→−1±

ex−1

x+ 1=e−2

0±= ±∞

donde a recta x = −1 e assımptota vertical do grafico de g O grafico aproxima-se da metadesuperior desta recta a direita de −1 e da metade inferior a esquerda daquele ponto.

Quando x→ −∞, o numerador desta funcao aproxima-se de 0, pelo que faz sentido procuraruma assımptota horizontal.

limx→−∞

g(x) = limx→−∞

ex−1

x+ 1=e−∞

−∞= 0

Entao a recta y = 0 e uma assımptota horizontal a esquerda do grafico de g.Quando x → +∞, o valor da funcao cresce ilimitadamente, pelo que faz mais sentido

procurar directamente uma assımptota oblıqua. Porem,

limx→+∞

g(x)

x= lim

x→+∞

ex−1

x2 + x= +∞

uma vez que a exponencial cresce mais rapidamente do que qualquer polinomio. Logo o graficode g tambem nao tem assımptota oblıqua quando x→ +∞.

x

y

2

1 2

1

-1-2 3-3

-1

Figura 3.21: Assımptotas da funcao g.

Monotonia e extremos. A derivada de g e

g′(x) =ex−1(x+ 1)− 1× ex−1

(x+ 1)2=

xex−1

(x+ 1)2.

Ora ex−1 nunca se anula, pelo que g′(x) = 0 apenas quando x = 0. Uma vez que ex−1

e (x + 1)2 sao sempre positivos, o sinal de g′(x) e o sinal de x — negativo quando x < 0,



positivo quando x > 0. O ponto 0 e portanto um mınimo relativo, onde a funcao toma o valorg(0) = e−1 = 1

e.

−∞ +∞−1 0

g′(x) − n.d. − 0 +g(x) ↘ n.d. ↘ min ↗

x

y

2

1 2

1

-1-2 3-3

-1

Figura 3.22: Mınimo da funcao g.

Concavidades e inflexoes. A segunda derivada de g e

g′′(x) =(ex−1 + xex−1) (x+ 1)2 − xex−1 × 2(x+ 1)

(x− 1)4

=(ex−1 + xex−1) (x+ 1)− 2xex−1

(x− 1)3=

(x2 + 1) ex−1

(x− 1)3

Ora o numerador de g′′(x) e sempre positivo, logo esta funcao nunca se anula e tem o sinalde (x+ 1). Em particular, o grafico de g nao tem pontos de inflexao.

−∞ +∞−1 0

g′(x) − n.d. − 0 +g′′(x) − n.d. + + +g(x) ↘ ∩ n.d. ↘ ∪ min ↗ ∪

Contradomınio. Entre −∞ e −1, o valor de g decresce continuamente de 0 a −∞; entre−1 e +∞, o valor de g decresce continuamente de −∞ ate 1

e, crescendo depois continuamente

ate +∞. Assim, o contradomınio de g e

g(R) = ]−∞, 0[ ∪[

1

e,+∞

[.

Esboco do grafico. A informacao de que dispomos ja nos permite esbocar o grafico de g.



x

y

2

1 2

1

-1-2 3-3

-1

g(x)= x+1ex-1

Figura 3.23: Grafico da funcao g.

Exercıcio 45. Estude as seguintes funcoes segundo a metodologia acima seguida.

(a) f(x) = xe1−1x (b) g(x) = arctan

(1−xx

)(c) h(x) = x4

2− 2x3 + 3x2 − 2

3.5 Propriedades das funcoes diferenciaveis

Vamos agora ver um conjunto de propriedades de que as funcoes diferenciaveis gozam. Estesresultados teoricos sao, na sua maioria, bastante intuitivos se raciocinarmos em termos graficos;alguns tem aplicacoes praticas que discutiremos, enquanto outros serao importantes nos capı-tulos seguintes.

O primeiro resultado e o Teorema de Rolle. Este teorema afirma que se uma funcao di-ferenciavel toma o mesmo valor nos extremos dum intervalo, entao a sua derivada anula-senalgum ponto desse intervalo. Graficamente, estamos a dizer que nalgum ponto o grafico de ftem uma tangente horizontal (Figura 3.24).

x

y=f(x)

a b

Figura 3.24: Teorema de Rolle: se f e diferenciavel em ]a, b[ e f(a) = f(b), entao nalgum pontodesse intervalo o grafico de f tem tangente horizontal.

Teorema (Teorema de Rolle). Seja f uma funcao contınua num intervalo em [a, b] e diferen-ciavel em ]a, b[ tal que f(a) = f(b). Entao existe um ponto c ∈ ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.


3.5. PROPRIEDADES DAS FUNCOES DIFERENCIAVEIS 185

Demonstracao. Ha dois casos possıveis. Se f e uma funcao constante em [a, b], entao f ′ = 0para todo x ∈ ]a, b[ e o resultado e trivial. No caso em que f nao e constante em [a, b], o Teoremade Weierstrass garante que f tem um maximo e um mınimo em [a, b]; como f(a) = f(b), entaoum destes tera de ocorrer num ponto c diferente de a e de b, e nesse ponto f ′(c) = 0. �

Uma consequencia imediata deste teorema, que e por vezes util na pratica, e a seguinte.

Corolario. Entre dois zeros consecutivos de uma funcao diferenciavel num intervalo, existepelo menos um zero da sua derivada.

Claro esta que nao precisavamos do Teorema de Rolle para verificar este resultado: seuma funcao contınua f se anula em a e em b e e diferente de 0 no intervalo ]a, b[, entaonecessariamente ela tem um maximo ou mınimo relativo nesse intervalo, que sabemos ja serum ponto crıtico de f .

Mais interessante na pratica e o resultado seguinte.

Corolario. Seja f uma funcao diferenciavel num intervalo. Se a e b sao dois zeros consecutivosde f ′, entao f nao podera ter mais de um zero entre a e b.

Este corolario e importante para a procura de solucoes de equacoes. Vimos atras que ometodo da bisseccao nos permite encontrar uma solucao duma equacao num intervalo; masse estivermos interessados em encontrar todas as solucoes duma equacao, entao este resultadopermite-nos dividir a recta real em intervalos que so contem uma solucao.

Uma das consequencias deste resultado e uma versao fraca do Teorema Fundamental daAlgebra: todo o polinomio de grau n tem no maximo n raizes reais.

Sabemos ja que este resultado e verdadeiro para polinomios de grau 2. Para polinomiosde grau 3, a sua derivada tem grau 2, portanto tem no maximo 2 zeros; entao a recta realfica dividida em tres intervalos onde o polinomio de grau 3 tem no maximo uma raiz, donde onumero total de raizes e no maximo 3. Repetindo este raciocınio, concluımos que um polinomiode grau 4 tem no maximo 4 raizes, um polinomio de grau 5 tem no maximo 5 raizes, e assimsucessivamente.

Exemplo.

1. A derivada do polinomio p(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 5 e p′(x) = 6x2 + 6x − 12, que temraizes

−3±√

9 + 72

6=−1± 3

2.

Entao o polinomio p pode ter uma raiz no intervalo ]−∞,−2[, outra no intervalo ]−2, 1[e uma terceira no intervalo ]1,+∞[.

Uma vez quelim

x→−∞p(x) = −∞

ep(−2) = −16 + 12 + 24 + 5 > 0 ,

ha uma raiz de p no intervalo ]−∞,−2[. Tem-se tambem p(1) = 2 + 3 − 12 + 5 <0, donde ha outra em ]−2, 1[; e como limx→+∞ p(x) = +∞ ha ainda uma terceira nointervalo ]1,+∞[.

2. Ja o polinomio q(x) = 3x3 + x − 9 tem como derivada q′(x) = 9x2 + 1, que e semprepositivo. Assim, a equacao q(x) = 0 tem no maximo uma solucao (e e facil verificar quetem exactamente uma).



Exercıcio 46. Para cada uma das funcoes abaixo, indique o seu numero maximo de raızes eos intervalos onde estas se encontram.

(a) f(x) = 3x3 − 2x+ 1 (b) g(x) = x3 − 2x+ 3 (c) h(x) = e−x2

+ 12

Outro resultado com consequencias importantes e o Teorema de Lagrange. Este resultadoe uma generalizacao do Teorema de Rolle: diz-nos que em qualquer intervalo em que umafuncao f e diferenciavel, existe um ponto onde o valor da derivada e precisamente igual a taxade variacao media de f nesse intervalo. Novamente, este resultado e muito intuitivo se racioci-narmos em termos graficos: se unirmos dois pontos do grafico duma funcao diferenciavel f poruma linha recta, essa linha e paralela a tangente ao grafico num ponto desse intervalo (verFigura 3.25).

x

y=f(x)

a b

Figura 3.25: Teorema de Lagrange: se f e diferenciavel em ]a, b[, entao a taxa de variacaomedia de f nesse intervalo e igual a sua derivada nalgum ponto.

Teorema (Teorema de Lagrange). Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] e diferenciavelem ]a, b[. Entao existe um ponto c ∈ ]a, b[ tal que

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c) .

Demonstracao. Seja m = f(b)−f(a)b−a a taxa de variacao media de f em [a, b] e considere-se a

funcao g definida por g(x) = f(x)−m(x− a). Temos que

g(a) = f(a)−m(a− a) = f(a)

g(b) = f(b)−m(b− a) = f(b)− f(b)− f(a)

b− a(b− a) = f(b)− f(b) + f(a) = f(a)

Pelo Teorema de Rolle existe um ponto c entre a e b tal que g′(c) = 0. Por outro lado,

g′(x) = f ′(x)−m = f ′(x)− f(b)−f(a)b−a ; entao

g′(c) = 0⇐⇒ f ′(c)− f(b)− f(a)

b− a= 0⇐⇒ f ′(c) =

f(b)− f(a)

b− a

o que implica o resultado enunciado. �



Este resultado implica, por exemplo, que um automovel que percorra um determinadopercurso a uma velocidade media de 100 km/h tenha circulado em algum instante precisamentea essa velocidade.

Outra consequencia e o seguinte resultado: as unicas funcoes com derivada nula sao asfuncoes constantes. Para ver que este resultado e consequencia do Teorema de Lagrange, bastaobservar que, se f e diferenciavel em [a, b] e f(a) 6= f(b), entao existe um ponto entre a e bcuja derivada e a taxa de variacao de f em [a, b] — que certamente nao e 0.

Corolario. Se f e uma funcao diferenciavel com derivada nula no intervalo I, entao f econstante em I.

Daqui decorre ainda o seguinte resultado, que sera fundamental no proximo capıtulo.

Corolario. Sejam f e g funcoes diferenciaveis num intervalo I tais que f ′(x) = g′(x) paratodo x ∈ I. Entao f − g e uma funcao constante.

Por ultimo, vamos ver uma ferramenta que usa derivadas para levantar indeterminacoes dotipo 0

0e ∞∞ . Esta e uma ferramenta poderosa usada muitas vezes em programas de computador

para calculo de limites.Consideremos o ja muito referido limite limx→0

sin(x)x

= 1 e reparemos no seguinte

limx→0

sin(x)

x= lim

x→0

sinx− sin(0)

x− 0.

Pelo Teorema de Lagrange, existe y estritamente entre x e 0 tal que

sin(y) =sin(x)− sin(0)

x− 0,

donde

limx→0

sin(x)− sin(0)

x− 0= lim

x→0(sin(y))′ = lim

x→0cos(y) .

Ora como y esta estritamente entre x e 0 e x tende para 0, temos que y tambem tende para 0,donde

limx→0

sin(x)

x= lim

y→0cos(y) = cos(0) = 1 .

Vamos aplicar este metodo a outro limite: limx→0cos(x)−1

x= 0. Seguimos o mesmo raciocıcio,

reparando que 1 = cos(0). Assim

limx→(0)

cos(x)− 1

x= lim

x→0

cos(x)− cos(0)

x− 0.

Mais uma vez, pelo Teorema de Lagrange, existe y estritamente entre x e 0 tal que

limx→0

cos(x)− cos(0)

x− 0= lim

x→0(cos(y))′ = lim

x→0− sin(y) = − lim

y→0sin(y) = − sin(0) = 0 ,

visto que x tender para 0 obriga necessariamente a que y tambem convirja para 0.Estes exemplos sao muito simples; vamos agora ver um exemplo de um limite em que nao

se aplica o Teorema de Lagrange directamente mas para o qual conseguimos usar a mesmatecnica. Consideremos o limite

limx→0

ex − 1

sin(x).



Como e0 = 1 e sin(0) = 0, vamos dividir e multiplicar por x o limite acima para que sepossa utilizar o Teorema de Lagrange.

limx→0

ex − 1

sin(x)= lim

x→0

ex − e0

sin(x)− sin(0)= lim

x→0

(ex − e1) (x− 0)

(x− 0)(sin(x)− sin(0))

=

(limx→0

ex − e0

x− 0

)(limx→0

x− 0

sin(x)− sin(0)

)Aplicando o Teorema de Lagrange a ambos os limites, obtemos

limx→0

ex − e0

x− 0= lim

x→0ey = lim

y→0ey = e0 = 1

limx→0

x− 0

sin(x)− sin(0)= lim

x→0

1sin(x)−sin(0)

x−0

=1

limx→0sin(x)−sin(0)

x−0

=1

limx→0 cos(y)=

1

limy→0 cos(y)=

1

cos(0)= 1

para y estritamente entre x e 0, portanto com y a tender para 0.

Vamos agora analisar o caso geral. Sejam f e g funcoes diferenciaveis num intervalo abertoque contem o ponto a e tal que g′(a) 6= 0. Vamos assumir tambem que f(a) = g(a) = 0, de

modo a que o limite limx→af(x)g(x)

seja uma indeterminacao do tipo 00. Assim

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f(x)− f(a)

g(x)− g(a).

De modo semelhante ao que fizemos no exemplo acima, multiplicamos e dividimos por x−ade maneira a poder usar o Teorema de Lagrange.

limx→a

f(x)− f(a)

g(x)− g(a)= lim

x→a

(f(x)− f(a))(x− a)

(x− a)(g(x)− g(a))=

(limx→a

f(x)− f(a)

x− a

)(limx→a

x− ag(x)− g(a)

)= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a1

limx→ag(x)−g(a)x−a

Pelo Teorema de Lagrange, existe y estritamente entre x e a tal que

limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

x→af ′(y) e lim

x→a

g(x)− g(a)

x− a= lim

x→ag′(y) .

Mais uma vez, como y esta encaixado entre a e x e x tende para a, necessariamente y → a.Assim

limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

y→af ′(y) = f ′(a) e lim

x→a

g(x)− g(a)

x− a= lim

y→ag′(y) = g′(a) .

Logo, temos que

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a1

limx→ag(x)−g(a)x−a

= limx→a

f ′(x)

g′(x).

Este raciocınio justifica o seguinte resultado.



Teorema (Regra de Cauchy). Sejam f e g funcoes diferenciaveis num intervalo aberto ]a, b[tais que g′(x) 6= 0 para todo x em ]a, b[ e que verificam

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0

oulimx→a

f(x) = limx→a

g(x) =∞ .

Nestas condicoes, se existir o limite limx→af ′(x)g′(x)

entao o limite limx→af(x)g(x)

tambem existe e temo mesmo valor.

Com esta regra, o levantamento de algumas indeterminacoes fica muito facilitado. Vejamosalguns exemplos.

Exemplo.

1. O limite limx→1x2−1

x2+x−2 gera uma indeterminacao do tipo 00, facilmente levantada pela

regra de Cauchy.

limx→1

(x2 − 1)′

(x2 + x− 2)′= lim

x→1

2x

2x+ 1=

2

3.

Logo limx→1x2−1

x2+x−2 = 23.

2. Vamos levantar a indeterminacao resultante do limite limx→2sin((2−x)2)

4−x2 pela regra deCauchy.

limx→2

(sin ((2− x)2))′

(4− x2)′= lim

x→2

cos ((2− x)2) 2(2− x)

−2x=

0

−4= 0, .

Daı conclui-se que limx→2sin((2−x)2)

4−x2 = 0.

3. O limite limx→π2

1−sin(x)cos(x)

gera mais uma vez uma indeterminacao de tipo 00

que tambemse levanta facilmente pela regra de Cauchy.

limx→π

2

(1− sin(x))′

(cos(x))′= lim

x→π2

− cos(x)

− sin(x)=

0

1,

e portanto limx→π2

1−sin(x)cos(x)

= 0.

4. Vamos ver agora que nem sempre e util usar a regra de Cauchy. Consideremos o limitelimx→+∞

x1000+x2

ex, que e uma indeterminacao de tipo ∞∞ .

Ao usar a regra de Cauchy continuamos com uma indeterminacao com um polinomio degrau 999 no numerador e a mesma exponencial no denominador. Assim, para levantara indeterminacao pela regra de Cauchy precisavamos de a aplicar 1000 vezes, o quepode nao ser muito comodo. Neste caso, seria mais simples invocar que a exponencialcrece mais rapidamente que qualquer polinomio, justificando desta forma que o limiteem questao e 0.

5. O limx→0x cos(x)+2x

x2gera uma indeterminacao de tipo 0

0. Apos usar a regra de Cauchy

obtemos

limx→0

(x cos(x) + 2x)′

(x2)′= lim

x→0

cos(x)− x sin(x) + 2

2x=

3

0.



Como

limx→0+


2x=

3

0+= +∞

limx→0−


2x=

3

0−= −∞

o limite limx→0(x cosx+2x)′

(x2)′nao existe, pelo que a regra de Cauchy nao permite retirar

nenhuma conclusao sobre limx→0x cosx+2x

x2.

Teremos de tentar calcular este limite de outro modo. Note-se que todos os termos dolimite tem x; vamos entao experimentar dividir o numerador e o denominador por x.

limx→0

x cos(x) + 2x

x2= lim

x→0

cos(x) + 2

x=

3

0

e, tal como acima, este limite nao existe porque os limites laterais correspondentes saodiferentes.

Exercıcio 47. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0ex−1x3

(b) limx→0−tan(x)x2

(c) limx→01−cos(x)

x2

(d) limx→03−3esin(x)(x+2) sin(x)

(e) limx→0x cos( 1

x)x−√x

(f) limx→1 x1

1−x

3.6 Exercıcios

48. Calcule as derivadas das seguintes funcoes de x.

(a) x2+4x−1x−3

(b) 1x+1

(c) cos (ex)

(d)√

1x

(e) e√x2+1

(f) cos (5x2 − 2x+ 4)

(g) 3

√x2−2x2+3

(h) tan(sin x)

(i) x4 − 3x2

(j) e1x

(k) tan(2x+ 1)

(l) log 3x2−2x+12x2+1

(m) (x2 + 3)4

(n) log (ex + 1)

(o) (log x)2

(p) x2 + 2 5√x− 3

(q) sin (ex − x2)

(r)√

sinx+ tanx

(s)√

3x2 + 2x− 1

(t) esinx

(u) 1x−3

(v) sin(3x+ 4)

49. Calcule as derivadas das seguintes funcoes de t.

(a) et2+1

(b) 3√t2 − 2

(c) 2sin t

(d) (t sin t)3

(e) 3√

sin(t)

(f) 1t2+1

(g) log (t2 + 3t− 2)

(h) t3 − 2t+ 1

(i) log (et + 2)


3.6. EXERCICIOS 191

(j) sin(3t2 − 2)

(k) 23t2+1

(l) cos et

(m) et2 sin t

(n) log (sin(2t) cos t)

(o)3√t2−2t2+3

(p) (t2 + 2t+ 1) (t4 + t+ 3)

(q) log (t2 + 3)

(r) tan (t3 + 2π)

(s) log√t2 + 1

(t) t sin t

(u) et

sin t

(v) 6t−12sin(5t−10)

(w) sin(

2t

+ t2

4

)(x) sin

(√t)

(y)cos(t2)

t

50. Calcule as derivadas das seguintes funcoes, indicando explicitamente o seu domınio.

(a) u(x) =

{3x2 + 2x− 4 x ≤ −2

−x3 + 2x x > −2

(b) g(x) =

{e−x

2x ≤ 0

x2 + 3x+ 1 x > 0

(c) f(x) =

{sin(x− 1) x ≤ 1

x2 − x t > 1

(d) f(y) =

sin(2y + π

2

)y < −π

tan (y2 + 1) −π ≤ y ≤ 0√y3 + tan(1) y > 0

(e) h(t) =

2tet t < −1

−2et −1 ≤ t < 1

et2

t ≥ 1

51. Determine as equacoes das rectas tangentes e normais as seguintes curvas nos pontosindicados.

(a) y = 5√x− 1− 2 no ponto de abcissa x0 = 2

(b) y =√

4− (x− 2)2 nos pontos (2, 0) e (0,−2)

52. Determine os pontos da curva

y = x3 − x2

2+

1

2

nos quais a tangente a curva e paralela a recta y = 10x− 5.

53. Sendo f a funcao definida por f(x) = (x+ 1) sin3(e2x − 1 + π

2

), determine a equacao da

tangente ao grafico de f no ponto de abcissa 0.

54. Usando a definicao, calcule os polinomios de Taylor das seguintes funcoes de y, com ograu n e relativamente ao ponto a indicados em cada alınea. Apresente uma estimativado erro cometido.

(a) (y − 2)20, n = 4, a = 1

(b) (y2 − 2y)3

(y + 2)2, n = 3, a = 0

(c) log(3y2 + 2y − 2), n = 2, a = 1

(d) 1y+2

, n = 5, a = −1

(e) e2y cos(3y), n = 2, a = π2

(f) 1(y+2)2

, n = 5, a = −1



55. Usando a definicao, calcule os polinomios de Mac-Laurin das seguintes funcoes de x, como grau n indicado em cada alınea. Apresente uma estimativa do erro cometido.

(a) log x+ 1, n = 4

(b) 11+x3

, n = 3

(c) sin(2x+ 1), n = 5

(d) log(ex + 1), n = 3

56. Obtenha uma aproximacao das seguintes constantes com um erro inferior ao indicado.Para cada alınea, comece por escolher a funcao a desenvolver em polinomio de Taylore o ponto em torno do qual efectuar o desenvolvimento; use a estimativa do erro paradeterminar o grau do polinomio.

(a) 0.9517 com erro inferior a 10−5

(b) log(1.25) com erro inferior a 10−3

(c) 3√e com erro inferior a 10−5

(d) 3e2 com erro inferior a 10−4

(e)√

2 com erro inferior a 10−4

(f) e−3 com erro inferior a 10−3

(g) 1 + 1.013 − 2.014 com erro inferior a 10−6

(h) sin(3π + 0.02) com erro inferior a 10−8

(i) sin(0.2) + cos(π4− 0.1

)com erro inferior a 10−3

(j)√

2 com erro inferior a 10−6 (usando a relacao sin(π4

)=√22

)

57. Calcule os extremos das seguintes funcoes.

(a) f(x) = x3

3− 2x2 + 3x+ 1

3

(b) g(x) = log(x)x

(c) h(x) = x+√

1− x(d) f(x) = arcsin (2 + x2)

58. Determine os valores de a e b para os quais a funcao g definida por g(t) = a log(t)+bt2+ttenha extremos relativos em x = 1 e x = 2. Qual a natureza desses extremos?

59. Diga se as funcoes seguintes tem extremos nos pontos indicados.

(a) f(x) = 2x6 − x3 + 3 em x = 0

(b) g(x) = 2 cos(x) + x2 em x = 0

(c) h(t) = 6 log(t)− 2t3 + 9t2 − 18t em t = 1

60. Faca o estudo completo das seguintes funcoes e esboce o seu grafico.

(a) f(x) = 1x−2

(b) g(x) = e−x2

(c) f(x) = x log(x)

(d) h(x) = 2x−1(x−1)2

(e) h(y) =√y2 + 2y + 1

(f) g(x) = 2xx2+1

(g) f(x) = x2

2−x

(h) t(w) = cos 1√(1−w2)

(i) f(x) = log(x)x

(j) g(x) = 8(x−2)x2

(k) f(x) = x2e−x

(l) h(x) = x2

1+x2

(m) h(x) = e1x

(n) k(z) =√z2−1z−1

(o) f(x) = 1x− 1

x2

(p) s(w) = cosw2−sinw

(q) h(x) = x√

1 + x2

(r) g(x) = x2√1−x2

(s) f(x) = |x|2x

(t) g(x) = 3x4+2

(u) j(y) = y3

(y−1)2

(v) r(z) = z + sin z


3.6. EXERCICIOS 193

61. Recorrendo a regra de Cauchy, calcule os seguintes limites.

(a) limx→0

ex − e−x

sin(x)

(b) limx→0

ex2 − 1

cos(x)− 1

(c) limx→0

log(1− cos(x))

log(x)

(d) limx→1

(x

x− 1− 1

log(x)

)(e) lim

x→+∞

x+ sin(x)

x

(f) limx→0+

x log(x)

(g) limx→0

(1

x

)tan(x)

(h) limx→0

xx

(i) limx→0

x3−log(x)

(j) limx→0

(x+ ex)1x

(k) limx→0+

xlog(x)

(l) limx→0

x3

4+log(x)




Capıtulo 4

Primitivacao

4.1 Introducao

Muitas situacoes concretas dao origem a problemas em que se pretende determinar uma funcaoconhecendo a sua derivada. Consideremos alguns exemplos.

Problema. Um veıculo desloca-se numa estrada em linha recta com velocidade constante v.Tomando para origem do referencial a sua posicao num instante inicial t = 0, qual e a expressaoda sua posicao em funcao do tempo?

Resolucao. Chamando y a posicao do veıculo, a funcao que descreve a sua posicao em funcaodo tempo e uma funcao y = f(t). Uma vez que a velocidade corresponde a derivada (instanta-nea) da posicao, dizer que a velocidade e constante e vale v corresponde a dizer que f ′(t) = v.Entao a funcao f e uma funcao cuja derivada e constante; uma funcao nestas condicoes e afuncao f(t) = v · t, que se pode verificar satisfazer ainda a condicao pedida f(0) = 0.

Problema. Considere-se agora um objecto de 1 kg de peso em queda livre. De acordo com asleis de Newton, este objecto esta sujeito a uma aceleracao constante de valor aproximadamente−10 ms−1, em que o sinal indica que esta aceleracao e no sentido descendente. Se o corpo partirduma altura 125 m, quanto tempo demora a atingir o solo?

Resolucao. Designando agora por y a distancia do corpo ao solo, tem-se que y = f(t) parauma dada funcao f . Tal como atras, a velocidade do corpo no instante t e dada pelo valor daderivada f ′(t); a aceleracao, sendo a variacao instantanea da velocidade, e dada por f ′′(t).

Nas condicoes do problema, f ′′(t) = −10. Entao, uma possibilidade para f ′(t) e ter-sef ′(t) = −10t: por um lado, a derivada desta funcao e precisamente −10; por outro, quantot = 0, tem-se f ′(t) = 0, o que corresponde ao facto de o corpo partir do repouso.

Ora das regras de derivacao ja conhecidas sabe-se que (t2)′= 2t. Esta igualdade mantem-se

se multiplicarmos ambos os membros pela mesma constante; escolhendo o valor −5 (por formaa obter −10t do lado direito) conclui-se que (−5t2)

′= −10t.

Porem, a funcao f(t) = −5t2 nao descreve correctamente a posicao da partıcula, poisf(0) = 0 e e dito que o corpo parte duma altura inicial de 125 m. Contudo, uma vez que aderivada de qualquer constante e 0, podemos somar o valor 125 a expressao de f sem alteraros valores das suas derivadas. Concluımos assim que a altura do corpo no instante t e dadapor f(t) = 125− 5t2.

195

196 CAPITULO 4. PRIMITIVACAO

O corpo atinge o solo quando f(t) = 0, ou seja, 125 − 5t2 = 0. Resolvendo esta equacao,obtemos sucessivamente

125− 5t2 = 0⇐⇒ 125 = 5t2

⇐⇒ 25 = t2

⇐⇒ t = ±5

Uma vez que estamos interessados num valor positivo, concluımos que o tempo que o corpodemora a atingir o solo e 5 segundos.

A resolucao de qualquer destes problemas recorre a determinacao da expressao duma funcaoa partir da expressao da sua derivada. Esta operacao, chamada primitivacao, e objecto deestudo deste capıtulo.

Definicao. Sejam F e f funcoes reais de variavel real. A funcao F diz-se uma primitiva de fem ]a, b[ se F ′ = f em ]a, b[.

Por outras palavras, a primitivacao e a operacao que permite resolver equacoes da formaf ′(x) = g(x). Observe-se que a derivada duma funcao so esta definida em pontos interiores aoseu domınio, pelo que o conceito de primitiva so faz sentido em intervalos abertos.

Conforme a definicao acima ilustra, a notacao tipicamente usada para denotar primitivasrecorre ao uso de letras maiusculas: F representa uma primitiva de f , G representa umaprimitiva de g, etc. A excepcao mais comum ocorre quando a funcao a primitivar e ela propriauma derivada: a primitiva de f ′ e (tipicamente) f .

Exemplo. Nos exemplos acima, vt e uma primitiva de v, −10t e uma primitiva de −10 e−5t2 e uma primitiva de −10t. Dizemos que estas primitivas sao primitivas em ordem a t parasalientar que a variavel da funcao e t.

Se derivarmos as funcoes (de x) x3 +2x, sin(x) e ex2

encontramos, respectivamente, 3x2+2,cos(x) e 2xex

2. Entao, x3 + 2x e uma primitiva de 3x2 + 2; sin(x) e uma primitiva de cos(x);

e ex2

e uma primitiva de 2xex2. Estas primitivas nao sao unicas: x3 + 2x − 3 tambem e uma

primitiva de 3x2 + 2; sin(x) + π e outra primitiva de cos(x); e ex2

+ 3 e ainda uma primitivade 2xex

2.

Contrariamente a derivacao, que e uma operacao algorıtmica (a derivada duma funcaoconsegue-se sempre calcular recorrendo a aplicacao dum conjunto fixo de regras), o problemade encontrar uma primitiva duma funcao dada requer algum engenho e pratica. Nao existeum metodo sistematico para encontrar a primitiva duma funcao dada; em muitos casos, nemsequer e possıvel escrever uma expressao simples para a primitiva duma funcao.

Definicao. Uma funcao diz-se elementarmente primitivavel se a sua primitiva e uma funcaotranscendente elementar.

A afirmacao acima traduz-se, portanto, em que ha funcoes elementares que nao sao ele-mentarmente primitivaveis. Alguns exemplos simples sao as funcoes ex

2, sin(x)

xe 1

log(x).

Por outro lado, como os exemplos acima ilustram, podem existir varias primitivas da mesmafuncao.

O calculo de primitivas faz-se recorrendo a tecnicas que permitem tratar classes de funcoes.Estas tecnicas derivam todas do estudo das regras de derivacao, pelo que e importante conhece--las bem. Saber que tecnica usar perante uma funcao concreta requer alguma intuicao, que seganha com um pouco de treino.


4.2. PRIMITIVAS IMEDIATAS 197

Antes de estudar essas tecnicas, ha um resultado importante que permite responder a umaquestao importante: a de como determinar todas as primitivas duma dada funcao. Mais adiante(Seccao 5.3) responder-se-a a pergunta de quais as funcoes que sao primitivaveis.

Suponhamos que F1 e F2 sao duas primitivas da mesma funcao f num intervalo ]a, b[.Entao, para qualquer x ∈]a, b[, temos que F ′1(x) = F ′2(x) = f(x); por outras palavras,

F ′1(x)− F ′2(x) = 0 ,

donde F ′1 − F ′2 vale 0 em todo o intervalo ]a, b[. Pelo Corolario 2 do Teorema de Lagrange(p. 187), a funcao F1−F2 e constante nesse intervalo, ou seja: F1(x)−F2(x) = C para todo ox ∈]a, b[, ou, equivalentemente, F1(x) = F2(x) + C para algum real C.

Em contrapartida, se F e uma primitiva de f , entao a funcao F ∗ definida pela expressaoF ∗(x) = F (x) + C tambem e uma primitiva de f para qualquer constante real C:

(F ∗(x))′ = (F (x) + C)′ = F ′(x) + 0 = f(x)

Estas duas observacoes constituem a prova do seguinte resultado.

Teorema. Seja F uma primitiva de f num intervalo ]a, b[. Entao F ∗ e uma primitiva de f nomesmo intervalo se e so se existe uma constante C tal que F ∗(x) = F (x) + C.

O conjunto de todas as primitivas de f designa-se habitualmente por F (x) + C, P (f),∫f ou

∫f(x) dx. A primeira notacao e justificada pelo resultado acima enunciado; a ultima

notacao e a usada mais frequentemente por motivos que discutiremos na Seccao 5.3.

Exemplo. De acordo com o exemplo anterior, podemos escrever as seguintes relacoes.

P(3x2 + 2

)= x3 + 2x+ C P

(2xex

2)

= ex2

+ C∫2xex

2

dx = ex2

+ C

∫cos(x) dx = sin(x) + C

E importante salientar que o resultado se aplica apenas a intervalos. Pensemos por exemplona funcao f(x) = 1

x, cujo domınio e a uniao de dois intervalos: Df = R\{0} = ]−∞, 0[∪]0,+∞[.

Uma sua primitiva e a funcao log |x|: se x > 0, log |x| = log(x) e a sua derivada e 1x; se x < 0,

entao log |x| = log(−x) e a sua derivada e −1−x = 1x.

Contudo, existem primitivas de 1x

que nao sao da forma log |x|+ C, por exemplo:

F (x) =

{log(−x) + 1 x < 0

log(x) x > 0

Uma vez que F nao esta definida no ponto 0, o resultado anterior nao e aplicavel paraintervalos contendo este ponto.

Mais adiante (Seccao 4.3) voltaremos a questao das constantes e veremos situacoes em queas queremos determinar.

4.2 Primitivas imediatas

Os exemplos mais simples de primitivas obtem-se lendo as regras de derivacao das funcoesmais comuns (polinomios, potencias, funcoes trigonometricas, exponenciais e logarıtmicas) dadireita para a esquerda.



Por exemplo, da relacao (x2)′= 2x conclui-se que uma primitiva de 2x e x2. Uma vez que

a multiplicacao por constantes pode ser feita antes ou depois da derivacao, para qualquer valorreal a tem-se igualmente que (ax2)

′= 2ax, e portanto 2ax e uma primitiva de ax2. Fazendo

a = 12, conclui-se que

∫x dx = x2

2+ C.

Outro exemplo: a partir de (cos(x))′ = − sin(x), conclui-se que cos(x) e uma primitivade − sin(x). Uma vez que a troca de sinal comuta com a derivacao, tem-se igualmente(− cos(x))′ = sin(x), donde

∫sin(x) dx = − cos(x) + C.

Este raciocınio pode ser aplicado a varias regras de derivacao para obter as primitivas dediversas funcoes elementares. A Tabela 4.1 apresenta uma lista de primitivas determinadasdesta maneira. A deducao destas primitivas e um bom exercıcio.

Regra de derivacao Regra de primitivacaof(x) f ′(x) g(x) G(x)C 0 0 C

xk, k 6= 0 kxk−1 xk, k 6= −1 xk+1

k+1

ex ex ex ex

ax ax log(a) ax ax

log(a)

log(x), x > 0log(−x), x < 0

}1x

1x

log |x|

sin(x) cos(x) cos(x) sin(x)cos(x) − sin(x) sin(x) − cos(x)

Tabela 4.1: Primitivas deduzidas a partir das regras de derivacao.

Exercıcio 1. Ha outras regras de derivacao que permitem calcular primitivas de funcoesaparentemente mais complexas. Determine as primitivas das funcoes seguintes.

(a) 1cos2(x)

(b) 11+x2

(c) 1√1−x2 (d) 1 + tan2(x)

Observe-se que a regra de primitivacao da potencia se aplica a quaisquer expoentes e naoapenas a expoentes inteiros. Assim, podem-se calcular primitivas de raızes quadradas, raızescubicas ou inversos de potencias pelo mesmo metodo.∫ √

x dx =

∫x

12 dx

∫3√x dx =

∫x

13 dx

∫1

x3dx =

∫x−3 dx

=x

32

32

+ C =x

43

43

+ C =x−2

−2+ C

=2√x3

3+ C =

33√x4

4+ C = − 1

2x2+ C

Exercıcio 2. Calcule as primitivas das seguintes funcoes.

(a)√x3 (b) 1

x2(c) x

35 (d) 1

3√x2



Para alem destas, ha duas outras regras de derivacao que podem ser lidas nos dois sentidos.De (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) e (c × f(x))′ = c × f ′(x) deduzem-se, respectivamente, asregras ∫

f + g =

∫f +

∫g

∫c× f = c

∫f

que exprimem a linearidade da primitivacao: para calcular a primitiva duma soma, basta somaras primitivas das funcoes consideradas; para calcular a primitiva do produto duma funcao poruma constante basta primitivar a funcao e multiplicar a primitiva pela mesma constante.

Com base na linearidade da primitivacao e nas regras apresentadas na Tabela 4.1, podemoscalcular primitivas duma classe muito maior de funcoes.∫

x2 + 3x− 2 dx =

∫x2 dx+

∫3x dx−

∫2 dx =

x3

3+

3x2

2− 2x+ C∫

sin(x)−√x dx =

∫sin(x) dx−

∫x

12 dx = − cos(x)− 2

√x3

3+ C

A complexidade do calculo de primitivas provem da regra de derivacao do produto: umavez que a derivada do produto de duas funcoes nao corresponde ao produto das derivadas decada uma delas, tambem a primitiva dum produto nao e em geral o produto de duas primitivas.

Exemplo. Considere-se a funcao definida por f(x) = x cos(x). Contrariamente ao que sepoderia pensar, a funcao g(x) = x2

2sin(x) nao e uma primitiva de f . De facto, o calculo da

derivada de g mostra que

g′(x) =

(x2

2sin(x)

)′=

(x2

2

)′sin(x) +

x2

2(sin(x))′ = x sin(x) +

x2

2cos(x)

que nao corresponde a expressao de f(x).Mais adiante (Seccao 4.6) explicar-se-a como se calculam estas primitivas.

Assim, para primitivar um produto de duas funcoes e necessario recorrer a outras tecnicas.Olhando de novo para as regras de derivacao, ha uma regra que tem um produto do ladodireito: a regra de derivacao da funcao composta, que diz que f(g(x))′ = f ′(g(x))× g′(x).

Esta regra pode ser lida como uma regra de primitivacao da seguinte forma: a primitivadum produto em que uma das parcelas e a derivada duma expressao que ocorre na outra parcelacalcula-se primitivando apenas a segunda parcela, mantendo a primeira como argumento.

Exemplo. Suponhamos que querıamos primitivar f(x) = 2x (x2 + 3)5. Embora seja possıvel

expandir a potencia e primitivar esta expressao como um polinomio, tal nao e pratico.Observe-se, contudo, que f e o produto de duas parcelas. Designando x2 + 3 por g(x), a

primeira parcela e precisamente g′(x), enquanto a segunda e g(x)5:

f(x) = 2x︸︷︷︸g′(x)

(x2 + 3

)5︸︷︷︸g(x)5

.

Entao a primitiva de f e calculada primitivando esta ultima potencia em ordem a g(x), ouseja: ∫

f(x) dx =g(x)6

6=

(x2 + 3)6

6+ C .



Outra forma de chegar ao mesmo resultado: fazendo y = x2 + 3, tem-se dydx

= 2x, dondedy = 2x dx. Entao∫

f(x) dx =

∫2x(x2 + 3

)5dx =

∫y5 dy =

y6

6+ C =

(x2 + 3)6

6+ C .

A identificacao deste tipo de primitivas, que tambem sao primitivas directas, e fundamental.O segundo metodo acima apresentado, recorrendo a uma mudanca de variavel, pode ser umbom auxiliar de inıcio — mas o objectivo final deve ser conseguir resolver estas situacoesdirectamente. Apresentam-se de seguida mais alguns exemplos, resolvidos de ambas as formas.

Exemplo.

1. Calcular as primitivas de cos(x) sin2(x).

Uma vez que cos(x) = (sin(x))′, fazendo y = sin(x) tem-se que dydx

= cos(x), dondedy = cos(x) dx. Entao∫

cos(x) sin2(x) dx =

∫y2 dy =

y3

3+ C =

sin3(x)

3+ C .

Em alternativa, podemos primitivar directamente sin2(x) em ordem a sin(x):∫cos(x) sin2(x) dx =

sin3(x)

3+ C .

2. Calcular as primitivas de (2x+ 2)ex2+2x+1.

O factor 2x+2 corresponde precisamente a derivada de x2+2x+1. Fazendo y = x2+2x+1,tem-se dy

dx= 2x+ 2, ou dy = (2x+ 2) dx e portanto∫

(2x+ 2)ex2+2x+1 dx =

∫ey dy = ey + C = ex

2+2x+1 + C .

Em alternativa, podemos primitivar directamente a funcao em ordem a x2 + 2x + 1,obtendo directamente ∫

(2x+ 2)ex2+2x+1 dx = ex

2+2x+1 + C .

3. Calcular as primitivas de 2x+1x2+x+4

.

Reescrevendo a funcao como (2x+1) (x2 + x+ 4)−1

, o factor 2x+1 corresponde a derivadade x2+x+4, pelo que a funcao se primitiva em ordem a esta expressao como uma potencia.Uma vez que o expoente e −1, a primitiva em causa e um logaritmo, e obtem-se∫

2x+ 1

x2 + x+ 4dx =

∫(2x+ 1)

(x2 + x+ 4

)−1dx = log

(x2 + x+ 4

)+ C ,

tendo em conta que o argumento do logaritmo nunca se anula.



4. Calcular as primitivas de 21+(2x+3)2

.

Novamente, o numerador da fraccao e a derivada duma expressao que ocorre no deno-minador, neste caso 2x + 3. Fazendo y = 2x + 3, tem-se que dy = 2 dx e a primitivacalcula-se directamente como∫

2

1 + (2x+ 3)2dx =

∫1

1 + y2dy = arctan(y) + C = arctan(2x+ 3) + C .

ou, calculando directamente a primitiva em ordem a 2x+ 3,∫2

1 + (2x+ 3)2dx = arctan(2x+ 3) + C .


(a) 3x2√x3

(b) 2xx2

(c) cos(x)esin(x)

(d) (4x+ 2) cos (2x2 + 2x)

(e) 2(2x)2+1

(f) 2x (x2 + 3)3

Os exemplos acima ilustram os casos mais simples. Em geral, porem, e frequente sernecessario recorrer a algumas manipulacoes algebricas para obter uma primitiva imediata. Ocaso mais simples e a multiplicacao por uma constante: uma vez que esta operacao comutacom o calculo da primitiva, e frequente recorrer a transformacoes baseadas na identidade∫f = 1

c

∫cf .

Por exemplo, o calculo da primitiva de sin(x) cos2(x) decorre da observacao de que aderivada de cos(x) e − sin(x), e este termo aparece a multiplicar a menos de um sinal. Acres-centando este sinal dentro e fora do sinal de primitiva, tem-se∫

sin(x) cos2(x) dx = −∫− sin(x) cos2(x) dx = −cos3(x)

3+ C .

Apresentam-se mais alguns exemplos de funcoes que se primitivam desta forma.

Exemplo.

1. Calcular as primitivas de 3x (x2 + 2)5.

Neste caso, basta multiplicar a funcao por 23

para obter como primeiro factor a derivadade x2 + 2. Tem-se entao∫

3x(x2 + 2

)5dx =

3

2

∫2

33x(x2 + 2

)5dx =

3

2

∫2x(x2 + 2

)5dx

=3

2

(x2 + 2)6

6+ C =

(x2 + 2)6

4+ C .

2. Calcular as primitivas de 32x+1

.

Estamos de novo no caso duma fraccao cujo numerador e semelhante a derivada dodenominador, a menos dum factor multiplicativo. Entao∫

3

2x+ 1dx =

3

2

∫2

2x+ 1dx

=3

2log(2x+ 1) + C



3. Calcular as primitivas de (2x− 5)e3x2−15x.

Neste exemplo, basta multiplicar a funcao por 3 para obter uma primitiva imediata.∫(2x− 5)e3x

2−15x dx =1

3

∫3(2x− 5)e3x

2−15x dx

=1

3

∫(6x− 15)e3x

2−15x dx

=e3x

2−15x

3+ C

Com alguma pratica, estas primitivas conseguem-se calcular sem passos intermedios; daıserem todas classificadas como primitivas imediatas.


(a) x+1x2+2x

(b) x (x2 − 1)34

(c) (x2 + 1)√x3 + 3x

(d) ex 3√

2ex + 3

(e) sin(x)e2 cos(x)+1

(f) x sin (x2 + 1)

A primitivacao de funcoes trigonometricas reduz-se em muitos casos ao calculo de primitivasimediatas, mas requer alguma manipulacao das expressoes envolvidas com base em identidadestrigonometricas.

Um exemplo bastante simples e o calculo de∫

tan(x) dx. Conforme vimos atras, nao hanenhuma funcao elementar que tenha esta derivada; porem, recorrendo a definicao da tangente,primitiva-se facilmente a funcao:∫

tan(x) dx =

∫sin(x)

cos(x)dx = − log | cos(x)|+ C ,

uma vez que sin(x) e o simetrico da derivada de cos(x).Apresentam-se de seguida mais alguns exemplos deste tipo de transformacao.

Exemplo.

1. Calcular as primitivas de sin2(x).

Aqui nao e possıvel ver esta funcao como uma potencia, uma vez que nao aparece ne-nhum factor contendo cos(x) (a derivada de sin(x)). Para resolver o problema, podemosreescrever a expressao com base em identidades trigonometricas (Seccao 2.4.2). Partindoda expressao para cos(2x), obtem-se

cos(2x) = cos2(x)− sin2(x) =(1− sin2(x)

)− sin2(x) = 1− 2 sin2(x) ,

donde se deduz que sin2(x) = 12(1− cos(2x)). Entao∫

sin2(x) dx =

∫1

2(1− cos(2x)) dx =

1

2

(∫dx−

∫cos(2x) dx

)=

1

2

(∫dx− 1

2

∫2 cos(2x) dx

)=

1

2

(x− 1

2sin(2x)

)+ C

=x

2− sin(2x)

4+ C .


4.3. DETERMINACAO DAS CONSTANTES DE PRIMITIVACAO 203

2. Calcular as primitivas de sin3(x).

A tecnica aqui e um pouco diferente. Usando a identidade fundamental da trigonometria,tem-se que sin3(x) = sin(x) sin2(x) = sin(x)(1− cos2(x)) = sin(x)− sin(x) cos2(x), donde∫

sin3(x) dx =

∫sin(x)− sin(x) cos2(x) dx

=

∫sin(x) dx+

∫− sin(x) cos2(x) dx

= − cos(x) +cos3(x)

3+ C .

3. Calcular as primitivas de tan2(x).

Uma vez que tan(x)′ = 1 + tan2(x), este problema resolve-se nao multiplicando por umaconstante, mas somando e subtraindo a unidade que falta.∫

tan2(x) dx =

∫1 + tan2(x)− 1 dx =

∫1 + tan2(x) dx−

∫1 dx = tan(x)− x+ C


(a) cot(x) (b) cos2(x) (c) sin5(x) (d) tan2(2x+ 1)

4.3 Determinacao das constantes de primitivacao

Nos problemas apresentados no inıcio do capıtulo, o objectivo nao era encontrar todas as primi-tivas duma dada funcao, mas sim encontrar uma primitiva em particular que satisfizesse maisalgumas condicoes. No primeiro exemplo, a primitiva representava a posicao e era necessarioque valesse 0 para t = 0; no segundo exemplo, no primeiro passo estavamos interessados numafuncao cuja derivada valesse 0 no instante t = 0, e tal que a propria funcao valesse 125 nessemesmo ponto.

Na pratica, os problemas concretos com que nos deparamos sao deste estilo — determinaruma funcao com uma dada derivada sujeita a um valor especıfico num ponto. Esta condicao(chamada frequentemente condicao de fronteira) tem como efeito impor um valor a constanteque distingue as diversas primitivas da funcao.

Consideremos um exemplo. Como determinar uma funcao f tal que f ′(x) = 3x2+2, sujeitaa condicao extra f(2) = −1?

Em primeiro lugar, determina-se a expressao geral das primitivas de f ′. Sendo f ′ umpolinomio, e imediato concluir que

f(x) =

∫3x2 + 2 dx = x3 + 2x+ C

para alguma constante C. Substituindo a expressao de f(2) na condicao dada f(2) = −1obtem-se a equacao

−1 = f(2) = 12 + C = −1



donde se conclui que C = −13. A funcao pretendida e, portanto,

f(x) = x3 + 2x− 13 .

Exercıcio 6. Encontre funcoes satisfazendo as condicoes dadas.

(a)

{f ′(x) = 1√

1−x2

f(0) = 1(b)

{f ′(x) =

√x+ 2

f(4) = 0(c)

{f ′(x) = sin(x)e2 cos(x)

f(π2

)= 3

Conforme foi discutido na p. 197, quando o domınio da funcao e uma uniao de intervalosdisjuntos, a constante de primitivacao pode nao ser a mesma nos varios intervalos. Em geral,e mais uma vez tendo em conta os problemas concretos que interessa resolver, nesses casos soestamos interessados num dos intervalos em que a funcao esta definida, pelo que essa informacaodeve ser fornecida juntamente com a condicao de fronteira.

Nalgumas situacoes, tambem se pode dar a condicao de fronteira assimptoticamente, naforma do limite da funcao a medida que o argumento tende para +∞ (ou −∞). Apresentam-sede seguida alguns exemplos destas situacoes.

Exemplo.

1. Encontrar uma funcao f definida em ]−∞, 1[ tal que:{f ′(x) = x2

x3−1f(0) = 3

A determinacao de f e feita exactamente como atras. Uma vez que x2 e um multiplo daderivada de x3 − 1, a primitivacao e imediata:

f(x) =

∫x2

x3 − 1dx =

1

3log∣∣x3 − 1

∣∣+ C .

Para determinar a constante, avaliamos a expressao anterior no ponto 0, obtendo

3 = f(0) =1

3log | − 1|+ C = C

donde C = 3. A funcao pretendida e portanto

f(x) =1

3log∣∣x3 − 1

∣∣+ 3 .

2. Determinar uma funcao f definida em R satisfazendo{f ′(x) = e−x

limx→+∞ f(x) = 2

Tal como atras, comeca-se por determinar a expressao geral das primitivas de f ′.

f(x) =

∫e−x dx = −e−x + C

A segunda condicao traduz-se num limite que sabemos calcular.

2 = limx→+∞

f(x) = limx→+∞

(−e−x + C

)= C

donde se conclui que C = 2, pelo que a funcao pretendida e f(x) = −e−x + 2.


4.3. DETERMINACAO DAS CONSTANTES DE PRIMITIVACAO 205

3. Determinar uma funcao definida numa vizinhanca de 0 tal que{f ′(x) = 2x+1

x2+x−2f(0) = 0

Tal como atras, procede-se em primeiro lugar ao calculo das primitivas de f ′.

f(x) =

∫2x+ 1

x2 + x− 2dx = log

∣∣x2 + x− 2∣∣+ C

Esta funcao nao esta definida para x = −2 e x = 1, onde o seu denominador se anula.Uma vez que estamos interessados no intervalo que contem o ponto 0, vamos considerara funcao definida apenas em ]−2, 1[. Da condicao de fronteira obtemos

0 = f(0) = log 2 + C ,

donde C = − log 2 e a expressao de f e portanto

f(x) = log∣∣x2 + x− 2

∣∣− log 2

com Df =]−2, 1[.

4. Consideremos agora o problema semelhante de determinar uma funcao definida no maiordomınio possıvel e tal que

f ′(x) = 2x+1x2+x−2

f(−3) = log 4

f(0) = 0

f(2) = 1

Tal como atras, a funcao f tera a expressao

f(x) = log∣∣x2 + x− 2

∣∣+ C ,

mas agora a constante C pode ser diferente em cada um dos tres intervalos ]−∞,−2[,]−2, 1[ e ]1,+∞[ em que f esta definida. As tres condicoes de fronteira dao os tres valorespara a constante.

Em ]−∞,−2[:

log 4 = f(−3) = log 4 + C ,

donde C = 0.

Em ]−2, 1[:

0 = f(0) = log 2 + C ,

donde C = − log 2.

Em ]1,+∞[:

1 = f(2) = log 4 + C ,

donde C = 1− log 4.

A funcao tem entao a expressao geral

f(x) =

log |x2 + x− 2| x < −2

log |x2 + x− 2| − log 2 −2 < x < 1

log |x2 + x− 2|+ 1− log 4 1 < x



Exercıcio 7. Determine funcoes satisfazendo as seguintes condicoes.

(a)

f ′(x) = x3 − x2 + 2

x

f(1) = 2

Df =]0,+∞[

(b)

{f ′(x) = 3 cos(2x− 1)

f(π) = −1(c)

{f ′(x) = arcsin(x)√

1−x2

f(0) = −1

4.4 Primitivacao de funcoes racionais

Uma funcao racional e uma funcao obtida como quociente de dois polinomios: R(X) = P (x)Q(x)

.Na Seccao 4.2 vimos alguns exemplos simples em que a primitivacao deste tipo de funcoes geranovamente funcoes racionais, logaritmos ou arcos de tangente.∫

1

(x+ 1)2dx = − 1

x+ 1+ C∫

2x+ 3

x2 + 3x− 2dx = log

∣∣x2 + 3x− 2∣∣+ C∫

3

1 + (3x)2dx = arctan(3x) + C

Nesta seccao discute-se o caso geral, apresentando um metodo de primitivar qualquer funcaoracional. Este metodo reduz a primitivacao de funcoes racionais ao calculo de primitivasimediatas dos tres tipos acima exemplificados.

Em primeiro lugar, vamos analisar os casos mais simples em que o denominador e umpolinomio de segundo grau e o numerador e um polinomio no maximo de primeiro grau. Ostres casos expostos correspondem as tres situacoes seguintes:

1. o numerador tem grau 1 (logaritmo);

2. o numerador e constante e o denominador e um quadrado perfeito (potencia);

3. o numerador e constante mas o denominador nao tem raızes (arco de tangente).

A situacao em que o numerador tem raızes e tratada mais adiante, quando discutirmos o casogeral deste tipo de funcoes.

No primeiro caso, pode ainda surgir um termo contendo uma potencia ou um arco detangente, conforme se mostra nos exemplos abaixo.

Exemplo.

1. Calcular as primitivas de 3x+2x2+1

.

Este exemplo e do primeiro tipo descrito acima. Nesta fraccao, a derivada do denomina-dor e 2x; multiplicando o numerador por 2

3obtem-se este termo, mas continua a existir

um termo constante.


4.4. PRIMITIVACAO DE FUNCOES RACIONAIS 207

O truque e separar a fraccao em duas, deixando na primeira o termo contendo a variavel xe na segunda o termo independente; por linearidade, a primitiva sera uma soma dumlogaritmo com um arco de tangente.∫

3x+ 2

x2 + 1dx =

∫3x

x2 + 1dx+

∫2

x2 + 1dx

=3

2

∫2x

x2 + 1dx+ 2

∫1

x2 + 1dx

=3

2log(x2 + 1) + 2 arctan(x) + C

2. Calcular as primitivas de 3x+2(x+1)2

.

Este exemplo tambem e do primeiro tipo, mas agora a derivada do denominador passoua ser 2(x + 1) = 2x + 2; a primeira parte e semelhante a anterior, mas e necessariotratar o numerador duma forma diferente. O primeiro passo e fazer surgir o termo 2x,multiplicando por 2

3. De seguida, soma-se e subtrai-se 2 ao numerador:

2x+4

3= 2x+

4

3+ 2− 2 = 2x+ 2− 2

3.

Finalmente separa-se a fraccao em duas e primitiva-se.∫3x+ 2

(x+ 1)2dx =

3

2

∫2x+ 2− 2

3

(x+ 1)2dx

=3

2

(∫2x+ 2

(x+ 1)2dx−

∫ 23

(x+ 1)2dx

)=

3

2

∫2x+ 2

(x+ 1)2dx−

∫1

(x+ 1)2dx

=3

2log(x2 + 1

)+

1

x+ 1+ C

3. Calcular as primitivas de 1x2+2

.

Estamos agora perante o terceiro tipo: o numerador e uma constante e o denominador umpolinomio de segundo grau que nao e um quadrado perfeito. A determinacao da primitivada funcao faz-se em tres passos: primeiro, divide-se o numerador pelo valor necessariopara fazer surgir o coeficiente 1. De seguida, escreve-se o termo em x2 como um quadradoperfeito. Finalmente, acerta-se o numerador da fraccao para ser o coeficiente de x nessequadrado. ∫

1

x2 + 2dx =

1

2

∫1

x2

2+ 1

dx =1

2

∫1(

x√2

)2+ 1

dx

=

√2

2

∫ 1√2(

x√2

)2+ 1

dx =

√2

2arctan

(x√2

)+ C

4. Calcular as primitivas de 1x2+2x+2

.

Este caso e semelhante ao anterior, mas agora ha um termo em x no numerador. Oprocedimento e semelhante, com um passo extra no inıcio: a partir dos dois primeiros



termos (x2 e 2x), escreve-se um quadrado perfeito juntando o valor adequado do termoindependente — neste caso 1, pois x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2.

Neste exemplo, esta transformacao gera uma primitiva imediata; em geral, prossegue-secomo no caso anterior.∫

1

x2 + 2x+ 2dx =

∫1

(x+ 1)2 + 1dx = arctan(x+ 1) + C

5. Calcular as primitivas de 3x+2x2+x+1

.

Este exemplo e outra vez do primeiro tipo, mas mais complexo. A funcao a primitivarsugere um logaritmo, devido ao polinomio de grau 1 no numerador; multiplicando por 2

3

obtem-se 2x+ 43, o que (separando o termo correspondente a derivada do denominador)

corresponde a 2x + 1 + 13. Este ultimo termo vai dar origem a um arco de tangente no

resultado final.∫3x+ 2

x2 + x+ 1dx =

3

2

∫2x+ 4

3

x2 + x+ 1dx

=3

2

(∫2x+ 1

x2 + x+ 1dx+

∫ 13

x2 + x+ 1dx

)=

3

2log(x2 + x+ 1

)+

1

2

∫1(

x+ 12

)2+ 3

4

dx

=3

2log(x2 + x+ 1

)+

1

2

4

3

∫1

43

(2x+12

)2+ 1

dx

=3

2log(x2 + x+ 1

)+

2

3

∫1(

2√32x+12

)2+ 1

dx

=3

2log(x2 + x+ 1

)+

2

3

√3

2

∫ 2√3(

2x+1√3

)2+ 1

dx

=3

2log(x2 + x+ 1

)+

√3

3arctan

(2x+ 1√

3

)


(a) 23+2x2

(b) 1x2+2x+3

(c) 1x2+4x+4

(d) xx2+4x+6

(e) x+32x2+4x+2

(f) 2x+22x2+4x+6

(g) x−1x2−1

(h) x+1x2−1

(i) 2x2−1

(j) 3x+12+x4

Vamos agora discutir a primitivacao de funcoes racionais no caso geral. A tecnica e semprea mesma: reescrever a funcao como soma de primitivas imediatas — que serao dos tres tiposacima ou entao simplesmente da forma 1

x−a , que da origem a um logaritmo. O algoritmo parareescrever e conhecido como metodo de decomposicao em elementos simples e tem tres passos.

1. Escrever a funcao como soma dum polinomio com uma fraccao propria, isto e, umafraccao cujo numerador tem grau estritamente menor que o denominador.



2. Factorizar o denominador Q(x); esta factorizacao produzira apenas polinomios de pri-meiro ou segundo grau sem raızes.

3. Reescrever a fraccao como soma de fraccoes cujos denominadores sao os factores de-terminados no passo anterior, eventualmente com expoentes menores ou iguais aos queocorrem na factorizacao.

4.4.1 Divisao de polinomios

O primeiro passo pode ser efectuado com recurso ao algoritmo de divisao de polinomios. Aquiopta-se por uma variante ligeiramente mais simples deste algoritmo que devolve o resultado naforma certa. A ideia e muito simples: se P (x)

Q(x)nao e uma fraccao propria, escolhem-se os termos

de maior grau apxp de P (x) e aqx

q de Q(x), e reescreve-se a expressao como apaqxp−q + P ∗(x)

Q(x),

onde P ∗(x) e escolhido por forma a nao alterar o valor da expressao.

Exemplo. Consideremos a fraccao

2x4 − 4x3 + x2

x2 − 1,

que nao e uma fraccao propria. Dividindo os termos de maior expoente obtemos 2x2, pelo quea expressao deve ser reescrita como 2x2 + P ∗(x)

x2−1 .Ora 2x2 (x2 − 1) = 2x4 − 2x2. A esta expressao e preciso somar −4x3 + 3x2 para obter o

numerador original. E precisamente este valor que tomamos para P ∗(x). Ou seja:

2x4 − 4x3 + x2

x2 − 1= 2x2 +

−4x3 + 3x2

x2 − 1.

Agora repetimos o processo, uma vez que a fraccao obtida nao e uma fraccao propria.Dividindo os termos de maior grau obtemos −4x, e −4x (x2 − 1) = −4x3 + 4x, a que e precisosomar 3x2 − 4x para obter o numerador original. Entao

2x2 +−4x3 + 3x2

x2 − 1= 2x2 − 4x+

3x2 − 4x

x2 − 1.

Repetindo novamente o processo, obtemos o termo 3, e a 3 (x2 − 1) = 3x2 − 3 e precisosomar −4x+ 3 para recuperar o numerador original. Obtemos o resultado final:

2x4 − 4x3 + x2

x2 − 1= 2x2 − 4x+ 3 +

−4x+ 3

x2 − 1.

Exercıcio 9. Reescreva as seguintes fraccoes como soma dum polinomio com uma fraccaopropria.

(a) 3x2+1x2+2

(b) x5+7x3−x2x3

(c) x6−1x−1

(d) x7−3x5+2xx−1

(e) x3−2x+33x2−x+2

(f) 2x4−2x2+x3x3−2x

(g) x4−1x2+1

(h) 2x4−3x4x2+3x−1



4.4.2 Factorizacao de polinomios

O segundo passo assenta num resultado ja conhecido: se um polinomio P satisfaz P (a) = 0,entao P (x) = (x − a)P ∗(x) para algum polinomio P ∗(x). A determinacao de P ∗(x) podeser feita ou recorrendo ao algoritmo anterior, pela regra de Ruffini ou pela aplicacao de casosnotaveis da multiplicacao de polinomios.

Exemplo.

1. Para factorizar x2 − 1 basta observar que se trata dum caso notavel da multiplicacao depolinomios: x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1).

2. Da mesma forma, x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2.

3. Para factorizar x2 − 4x + 3 pode-se usar a formula resolvente para determinar as suasduas raızes: 1 e 3; entao o resultado acima garante que x2 − 4x+ 3 = (x− 1)(x− 3).

4. O polinomio x2 − 4x+ 5 nao tem raızes reais, pelo que ja esta factorizado.

5. Para factorizar x4− 1, comeca-se por observar que e uma diferenca de quadrados, dondex4 − 1 = (x2 + 1) (x2 − 1). O primeiro factor nao tem raızes, o segundo ja factorizamosatras. Entao x4 − 1 = (x2 + 1) (x+ 1)(x− 1).

6. Para factorizar x3 + 5x2 + 4x comeca-se por por x em evidencia e depois procuram-se asraızes do polinomio de segundo grau resultante, para obter x3+5x2+4x = x(x+1)(x+4)

E importante salientar que em geral determinar as raızes de um polinomio nao e um pro-blema simples, havendo uma formula resolvente apenas para polinomios de grau ate 4.

Exercıcio 10. Factorize os seguintes polinomios.

(a) x2 + 2

(b) x5 + 7x3 − x2

(c) x3 − 1

(d) x3 − x2 − x

(e) x3 + 1

(f) 3x2 − x+ 2

(g) 3x3 − 2x

(h) 4x4 + 3x3 − x2

(i) (x3 − 4x) (x2 + 4x+ 4)

4.4.3 Decomposicao de fraccoes proprias

Passemos agora ao terceiro passo. O interesse de factorizar o denominador Q(x) e o facto de,numa fraccao propria, ser sempre possıvel escreve-la como soma de fraccoes com esses factorescomo denominadores. Mais precisamente, e possıvel demonstrar o resultado seguinte.

Teorema. Seja P (x)Q(x)

uma fraccao propria e Q(x) = (Q1(x))p1 × · · · × (Qn(x))pn a factorizacao

de Q(x). Entao P (x)Q(x)

pode ser escrito de forma unica como uma soma de fraccoes proprias cujos

denominadores sao os polinomios Qi(x) com expoentes menores ou iguais aos que ocorrem nafactorizacao de Q(x).



Embora o resultado geral seja difıcil de escrever, na pratica e simples obter a decomposicaousando o metodo dos coeficientes indeterminados. Essencialmente, este metodo permite obterum conjunto de equacoes que permitem determinar os numeradores das fraccoes constantes dadecomposicao.

Consideremos em primeiro lugar o problema de decompor a fraccao −4x+3x2−1 . O denominador

factoriza-se em (x+1)(x−1), pelo que as fraccoes obtidas na decomposicao terao denominadores(x + 1) e (x − 1). Uma vez que estas fraccoes sao proprias, os seus numeradores terao de serconstantes, o que significa que

−4x+ 3

x2 − 1=

A

x+ 1+

B

x− 1

para determinados A e B. Multiplicando esta equacao por (x+ 1)(x− 1), obtem-se a relacao

−4x+ 3 = A(x− 1) +B(x+ 1) = (A+B)x+ (−A+B) .

A partir daqui e preciso encontrar duas equacoes que permitam determinar os valores de Ae B. Ha muitas formas de o conseguir; uma hipotese e atribuir valores a x. A igualdade−4x+ 3 = A(x+ 1) +B(x− 1) sugere tomar x = −1 e x = 1, ja que estes valores anulam umaparcela do segundo membro; obtem-se as equacoes seguintes.

x = −1 : 7 = −2B =⇒ B = −7

2

x = 1 : −1 = 2A =⇒ A = −1

2

Entao−4x+ 3

x2 − 1=−1

2

x+ 1+−7

2

x− 1

donde ∫−4x+ 3

x2 − 1dx =

∫ −12

x+ 1+−7

2

x− 1dx

= −1

2

∫dx

x+ 1− 7

2

∫dx

x− 1

= −1

2log |x+ 1| − 7

2log |x− 1|+ C

Vejamos mais alguns exemplos semelhantes.

Exemplo.

1. Consideremos a fraccao x2+3x−1x3−4x . O denominador factoriza-se como

x3 − 4x = x(x2 − 4

)= x(x− 2)(x+ 2) ,

pelo quex2 + 3x− 1

x3 − 4x=A

x+

B

x− 2+

C

x+ 2,

ou, eliminando os denominadores nesta equacao,

x2 + 3x− 1 = A(x− 2)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x− 2) .



Avaliando esta expressao para x = 0, x = 2 e x = −2 obtemos as tres equacoes seguintes.

x = −2 : −3 = 8C =⇒ C = −3

8

x = 0 : −1 = −4A =⇒ A =1

4

x = 2 : 9 = 8B =⇒ B =9

8

Entaox2 + 3x− 1

x3 − 4x=

14

x+

98

x− 2+−3

8

x+ 2

donde ∫x2 + 3x− 1

x3 − 4xdx =

∫ 14

x+

98

x− 2+−3

8

x+ 2dx

=1

4

∫dx

x+

9

8

∫dx

x− 2− 3

8

∫dx

x+ 2

=1

4log |x|+ 9

8log |x− 2| − 3

8log |x+ 2|+ C

2. Consideremos agora a fraccao 2x3−1(x2−5x+6)(x2−1) . Aplicando a formula resolvente, encon-

tramos as raızes x = 2 e x = 3 para o primeiro polinomio do denominador, enquanto osegundo e um caso notavel. Entao

2x3 − 1

(x2 − 5x+ 6) (x2 − 1)=

2x3 − 1

(x− 2)(x− 3)(x− 1)(x+ 1)

=A

x− 2+

B

x− 3+

C

x− 1+

D

x+ 1,

ou, eliminando os denominadores nesta equacao,

2x3 − 1 = A(x− 3)(x− 1)(x+ 1) +B(x− 2)(x− 1)(x+ 1)+

+ C(x− 2)(x− 3)(x+ 1) +D(x− 2)(x− 3)(x− 1) .

Avaliando esta expressao para x = 3, x = 2, x = 1 e x = −1 obtemos as quatro equacoesseguintes.

x = −1 : −3 = −24D =⇒ D =1

8

x = 1 : 1 = 4C =⇒ C =1

4x = 2 : 15 = −3A =⇒ A = −5

x = 3 : 53 = 8B =⇒ B =53

8

Entao∫2x3 − 1

(x2 − 5x+ 6) (x2 − 1)dx = −5

∫dx

x− 2+

53

8

∫dx

x− 3+

1

4

∫dx

x− 1+

1

8

∫dx

x+ 1

= −5 log |x− 2|+ 53

8log |x− 3|+ 1

4log |x− 1|+ 1

8log |x+ 1|+ C



Exercıcio 11. Primitive as seguintes funcoes.

(a) 2xx3−x (b) x2+2x

x3+5x2+6x(c) 1

(x−1)(x−2)(x−3) (d) 3x+1(x2−9)(x2+2x)

Havendo polinomios de segundo grau irredutıveis (sem raızes) na decomposicao de Q(x),ha apenas um cuidado a ter: o numerador duma fraccao propria com esse denominador e emgeral um polinomio de primeiro grau, e nao uma constante. Assim, para primitivar 1

x3+x2+x

comeca-se por factorizar o denominador: x3 +x2 +x = x (x2 + x+ 1), e este ultimo polinomionao tem raızes. Entao

1

x3 + x2 + x=A

x+

Bx+ C

x2 + x+ 1

para determinados valores de A, B e C.Tal como atras, comecamos por eliminar denominadores, obtendo

1 = A(x2 + x+ 1

)+ (Bx+ C)x .

Novamente, atribuindo a x o valor 0 obtem-se A = 1. Para obter os valores de B e C enecessario encontrar mais duas equacoes. Uma hipotese e dar novos valores a x; porem, nao havalores que anulem mais termos. Embora seja perfeitamente viavel escolher outros valores (porexemplo, x = −1 e x = 1), ha outra forma de proceder. Desenvolvendo a expressao anterior eagrupando os termos em x e x2, obtem-se

1 = (A+B)x2 + (A+ C)x+ A .

Para que esta equacao seja verdadeira para todos os valores de x, e necessario que os coeficientesdas potencias de x coincidam; ou seja, o coeficiente do termo independente do lado esquerdo (1)tem de ser igual ao do lado direito (A), donde A = 1; o de x2 do lado esquerdo (0) tem deser igual ao do lado direito (A + B), donde B = −1; e analogamente para o coeficiente em x,donde tambem C = −1. Tem-se entao:∫

1

x3 + x2 + xdx =

∫1

x+−x− 1

x2 + x+ 1dx

=

∫1

xdx− 1

2

∫2x+ 1

x2 + x+ 1dx− 1

2

∫1

x2 + x+ 1dx

= log |x| − 1

2log∣∣x2 + x+ 1

∣∣− √3

3arctan

(2x+ 1√

3

)+ C

onde a primitiva da ultima parcela e semelhante a calculada no ultimo exemplo da p. 208.Vejamos outro exemplo semelhante.

Exemplo. Calcular as primitivas de 3x2+2x−5x4−1 .

Factorizando o denominador, obtemos

x4 − 1 =(x2 + 1

) (x2 − 1

)=(x2 + 1

)(x+ 1)(x− 1) .

Entao3x2 + 2x− 5

x4 − 1=Ax+B

x2 + 1+

C

x+ 1+

D

x− 1.



Eliminando denominadores obtemos a relacao

3x2 + 2x− 5 = (Ax+B)(x+ 1)(x− 1) + C(x2 + 1

)(x− 1) +D

(x2 + 1

)(x+ 1)

donde se obtem as seguintes relacoes.

x = −1 : −4 = −4C =⇒ C = 1

x = 1 : 0 = 4D =⇒ D = 0

x = 0 : −5 = −B − C +D =⇒ B = 4

(x3) : 0 = A+ C +D =⇒ A = −1

Tem-se entao∫3x2 + 2x− 5

x4 − 1dx =

∫−x+ 4

x2 + 1+

1

x+ 1dx

=

∫−x

x2 + 1dx+

∫4

x2 + 1dx+

∫1

x+ 1dx

= −1

2log∣∣x2 + 1

∣∣+ 4 arctan(x) + log |x+ 1|+ C .


(a) x2−1x3+4x

(b) 4x2−2x(x−1)(x2+2)

(c) 2x2−2x+2x3+x

O unico caso que falta considerar e o caso em que ha factores repetidos na factorizacao deQ(x). Neste caso, na decomposicao podem surgir parcelas com todos os expoentes menoresque o que ocorre na factorizacao de Q(x), mas sempre com numeradores do mesmo grau.

Consideremos o problema de primitivar x2+2x4+2x3+x2

. O denominador factoriza-se como

x4 + 2x3 + x2 = x2(x2 + 2x+ 1

)= x2(x+ 1)2 ,

em que os polinomios x e x+ 1 aparecem ambos com expoente 2. Entao, na decomposicao dafraccao, cada um destes polinomios podera ocorrer em denominador com expoente 1 ou 2, massempre com numerador constante (pois sao polinomios de grau 1). Ou seja:

x2 + 2

x4 + 2x3 + x2=A1

x+A2

x2+

B1

x+ 1+

B2

(x+ 1)2,

onde usamos A1 e A2 para salientar que ambas as fraccoes provem do mesmo termo da factor-izacao, e analogamente para B1 e B2.

O procedimento a partir daqui e semelhante: eliminamos denominadores, obtendo

x2 + 2 = A1x(x+ 1)2 + A2(x+ 1)2 +B1x2(x+ 1) +B2x

2

e atribuindo a x os valores 0 e −1 determinamos valores de duas incognitas. Para as restantes,podemos comparar os coeficientes de x e x3 nos polinomios da esquerda e da direita.

x = −1 : 3 = B2 =⇒ B2 = 3

x = 0 : 2 = A2 =⇒ A2 = 2

(x) : 0 = A1 + 2A2 =⇒ A1 = −4

(x3) : 0 = A1 +B1 =⇒ B1 = 4


4.5. PRIMITIVACAO POR SUBSTITUICAO 215

Agora e simples primitivar a funcao.∫x2 + 2

x4 + 2x3 + x2dx =

∫−4

x+

2

x2+

4

x+ 1+

3

(x+ 1)2dx

= −4 log |x| − 2

x+ 4 log |x+ 1| − 3

x+ 1+ C

= 4 log

∣∣∣∣x+ 1

x

∣∣∣∣− 2

x+

3

x+ 1+ C .

O caso em que aparecem polinomios de segundo grau com expoente superior a 1 na fac-torizacao de Q(x) e um pouco mais complicado (embora tambem seja primitivavel) e nao seraconsiderado nesta exposicao.


(a) x3+2x2+2xx2+2x+1

(b) −2x3+x2−4x+5(x2+1)(x2−2x+1)

(c) 3x+1(x2−4)(x2+2x)

4.5 Primitivacao por substituicao

Perante uma funcao que nao e claramente a derivada de outra, e necessario recorrer a tecnicasespecıficas de primitivacao. A primeira destas tecnicas e bastante simples e repete uma ideiaque ja encontramos a proposito do calculo de primitivas imediatas.

Recorde-se que, para primitivar por exemplo cos(x) sin3(x), comecamos por identificarcos(x) como sendo a derivada de sin(x) para concluir que estamos perante uma aplicacao da re-gra de derivacao da funcao composta. Explicitamente, tomando y = sin(x), temos dy

dx= cos(x),

donde dy = cos(x) dx — e uma vez que a expressao cos(x) dx ja ocorria em∫

cos(x) sin3(x) dxera facil prosseguir.

A ideia do metodo de primitivacao por substituicao e aplicar o mesmo raciocınio mesmoquando a derivada dy

dxnao ocorre na expressao a primitivar. De facto, temos sempre escrito o

diferencial de y em termos do diferencial de x, mas e possıvel (calculando a derivada dxdy

) obtera relacao inversa e escrever ∫

f(x) dx =

∫f(g(y))g′(y) dy

onde se tomou x = g(y).Na primitivacao por substituicao, e tradicao usar-se a letra t para a nova variavel, por

analogia com situacoes mais complexas que serao estudadas em disciplinas posteriores. Assim,a partir de agora seguiremos essa convencao, pelo que a relacao anterior devera ser escritacomo ∫

f(x) dx =

∫f(g(t))g′(t) dt .

Esta formula tem varias justificacoes relativamente intuitivas. Para alem da que ja ap-resentamos, baseada na regra de calculo, ha outra explicacao que decorre directamente dadefinicao de primitiva: se F e uma primitiva de f , entao a derivada de F (x) e f(x) (definicao



de primitiva) e a derivada de F (g(t)) e f(g(t))g′(t) (regra da cadeia). Assim, ao primiti-var a ultima expressao encontramos precisamente F (g(t)), pelo que desfazendo a substituicaopodemos recuperar a expressao da funcao pretendida F (x).

Ha ainda uma interpretacao geometrica desta formula que nao apresentaremos aqui.Vejamos alguns exemplos de aplicacao deste metodo. Comecemos por considerar o problema

de calcular as primitivas de 1ex−1 . Uma vez que esta funcao nao e uma primitiva imediata,

podemos pensar em tomar t = ex para simplificar a sua expressao. Entao, x = log(t) (ouseja, na terminologia usada acima, g(t) = log(t)), donde dx = dt

t. A primitiva calcula-se agora

facilmente pelas tecnicas ja conhecidas.∫1

ex − 1dx =

∫1

t− 1

1

tdt =

∫1

t− 1− 1

tdt

= log |t− 1| − log |t|+ C = log

∣∣∣∣t− 1

t

∣∣∣∣+ C

Esta expressao esta em funcao da variavel t e nao da variavel x. O passo final e desfazer asubstituicao, ou seja, substituir t pelo seu valor (ex), obtendo-se a primitiva

log

∣∣∣∣ex − 1

ex

∣∣∣∣+ C .

Da mesma forma, para primitivar x√x− 1 podemos comecar por definir

√x− 1 = t para

eliminar a raız quadrada da expressao a primitivar. Resolvendo esta ultima equacao em ordema x, obtem-se x− 1 = t2, donde x = t2 + 1 e portanto dx = 2t dt. Entao∫

x√x− 1 dx =

∫ (t2 + 1

)t 2t dt =

∫2t4 + 2t2 dt

=2t5

5+

2t3

3+ C =

2

5(x− 1)

52 +

2

3(x− 1)

32 + C .

Um raciocınio semelhante permite-nos calcular as primitivas de log(x)x(log(x)−1) . Tal como atras,

nao nos encontramos perante uma primitiva directa. A expressao da funcao sugere, contudo,que usemos a substituicao log(x) = t, que equivale a x = et. Entao dx = et dt, donde∫

log(x)

x(log(x)− 1)dx =

∫t

et(t− 1)et dt =

∫t

t− 1dt .

Observe-se que poderıamos ter chegado mais rapidamente a esta expressao escrevendo dt emfuncao de dx: de log(x) = t conclui-se que dt

dx= 1

x, ou dt = dx

x(a semelhanca do que fizemos

no calculo de primitivas imediatas). Uma vez que o termo dxx

ocorre na expressao a primitivar,poder-se-ia ter efectuado a substituicao dessa forma.

A partir da identidade tt−1 = 1 + 1

t−1 chegamos rapidamente a primitiva∫t

t− 1dt =

∫1 +

1

t− 1dt = t+ log |t− 1|+ C

e, desfazendo a substituicao, encontramos a resposta

log(x) + log | log(x)− 1|+ C .

O verdadeiro potencial do metodo de substituicao surge quando usado em conjugacao comoutros, em particular em combinacao com as tecnicas de primitivacao de funcoes racionais,que nos permitem primitivar facilmente qualquer funcao racional de ex, log(x) ou de sin(x) ecos(x).



Exemplo.

1. Determinar as primitivas de e2x

(e2x−1)(ex+1).

Uma vez que ocorrem diversas exponenciais nesta fraccao, e natural usar a substituicaoex = t. Tem-se e2x = t2, x = log(t) e dx = dt

t, donde∫

e2x

(e2x − 1) (ex + 1)dx =

∫t2

(t2 − 1) (t+ 1)

1

tdt

=

∫t

(t2 − 1) (t+ 1)dt .

O denominador desta fraccao factoriza-se em (t2 − 1) (t+ 1) = (t− 1)(t+ 1)2, donde

t

(t2 − 1) (t+ 1)=

A

t− 1+

B1

t+ 1+

B2

(t+ 1)2

ou

t = A(t+ 1)2 +B1(t+ 1)(t− 1) +B2(t− 1) .

Tomando t = 1, t = −1 e t = 0 obtem-se os valores de A, B1 e B2.

t = −1 : −1 = −2B2 =⇒ B2 =1

2

t = 1 : 1 = 4A =⇒ A =1

4

t = 0 : 0 = A−B1 −B2 =⇒ B1 = −1

4

Entao ∫e2x

(e2x − 1) (ex + 1)dx =

∫t

(t2 − 1) (t+ 1)dt

=

∫ 14

t− 1+−1

4

t+ 1+

12

(t+ 1)2dt

=1

4

∫1

t− 1dt− 1

4

∫1

t+ 1dt+

1

2

∫1

(t+ 1)2dt

=1

4log |t− 1| − 1

4log |t+ 1| − 1

2

1

t+ 1+ C

=1

4log |ex − 1| − 1

4log (ex + 1)− 1

2ex + 2+ C

=1

4log

∣∣∣∣ex − 1

ex + 1

∣∣∣∣− 1

2ex + 2+ C

2. Consideremos de seguida o problema de determinar as primitivas de sin(x)−cos(x)sin(x)+cos(x)

. Aqui

a substituicao t = sin(x) nao e muito simples de utilizar, uma vez que a expressaoa primitivar envolve senos e cosenos; a tecnica usada consiste em comecar por dividiro numerador e o denominador da fraccao por cos(x), por forma a obter constantes e



tangentes, e depois aplicar a substituicao t = tan(x), donde x = arctan(t) e portantodx = dt

1+t2.

∫sin(x)− cos(x)

sin(x) + cos(x)dx =

∫ sin(x)cos(x)

− cos(x)cos(x)

sin(x)cos(x)

+ cos(x)cos(x)

dx =

∫tan(x)− 1

tan(x) + 1dx

=

∫t− 1

t+ 1

1

1 + t2dt

Novamente, o denominador desta fraccao factoriza-se em (t+ 1) (1 + t2), donde

t− 1

(t+ 1) (1 + t2)=

A

t+ 1+Bt+ C

t2 + 1

out− 1 = A(t2 + 1) +Bt(t+ 1) + C(t+ 1) .

Tomando t = −1, t = 0 e t = 1 obtem-se os valores de A, B e C.

t = −1 : −2 = 2A =⇒ A = −1

t = 0 : −1 = A+ C =⇒ C = 0

t = 1 : 0 = 2A+ 2B + 2C =⇒ B = 1

Entao ∫sin(x)− cos(x)

sin(x) + cos(x)dx =

∫−1

t+ 1+

t

t2 + 1dt

= − log |t+ 1|+ 1

2log∣∣t2 + 1

∣∣+ C

= − log | tan(x) + 1|+ log | cos(x)|+ C

= log

∣∣∣∣ cos(x)

tan(x) + 1

∣∣∣∣+ C

usando a identidade trigonometrica tan2(x) + 1 = 1cos2(x)

e propriedades dos logaritmos.


(a) e2x

1+ex(b) e2x+2e3x

1−ex (c) sin(x)−cos(x)sin(x)−2 cos(x)

Outra situacao frequente e o caso de fraccoes em que ocorrem diferentes potencias naointeiras de x. Aqui, uma substituicao adequada permite transformar todas as potencias empotencias de expoente inteiro, reduzindo o problema a um problema de primitivacao de fraccoesracionais.

Por exemplo, considere-se o problema de primitivar√x

x(1+ 3√x). Aqui, ocorrem as potencias

x = x1,√x = x

12 e 3√x = x

13 . O menor denominador comum daqueles expoentes e 6, obtendo-se

x = x1 = x66 =

(6√x)6 √

x = x12 = x

36 =

(6√x)3 3

√x = x

13 = x

26 =

(6√x)2.



Tome-se entao 6√x = t, donde x = t6 e dx = 6t5 dt. Tem-se∫ √

x

x (1 + 3√x)

dx =

∫t3

t6 (1 + t2)6t5 dt = 6

∫t2

1 + t2dt

= 6

∫1− 1

1 + t2dt = 6t− 6 arctan(t) + C

= 6 6√x− 6 arctan

(6√x)

+ C

que, mais uma vez, nao seria simples de determinar por outro metodo.


(a)3√x+1

1−√x+1

(b)√x+2 3√x

x2−x√x+1

(c) 1x√+ 5√x

Para alem destas situacoes, ha outras em que substituicoes menos obvias podem conduzirrapidamente ao resultado. Um exemplo tıpico sao funcoes envolvendo a expressao

√1− x2

(ou semelhante), que se primitivam usando a substituicao x = sin(t). De facto, com esta

substituicao o termo√

1− x2 reduz-se a√

1− sin2(t) = cos(t), tomando t no intervalo[−π

2, π2

].

Por exemplo, para primitivar a propria expressao√

1− x2 podemos tomar x = sin(t), dondedx = cos(t) dt. Obtem-se ∫ √

1− x2 dx =

∫ √1− sin2(t) cos(t) dt

=

∫cos2(t) dt

=

∫1

2(cos(2t) + 1) dt

=sin(2t)

4+t

2+ C

Para desfazer a substituicao, ha que ter em conta que sin(t) = x, pelo que cos(t) =√

1− x2 et = arcsinx. Da relacao sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) obtem-se entao∫ √

1− x2 dx =sin(2t)

4+t

2+ C

=sin(t) cos(t)

2+t

2+ C

=x√

1− x22

+arcsin(x)

2+ C

primitiva esta que seria claramente difıcil de determinar directamente.Quando necessario, acrescentam-se os factores multiplicativos necessarios para conseguir

simplificar a raiz. Por exemplo, se a funcao a primitivar contiver√

4− x2 toma-se x = 2 sin(t)para ter

√4− x2 =

√4− 4 sin2(t) = 2

√1− sin2(t) = 2 cos(t) .

Outro tipo de substituicao pouco evidente pode ser usada para calcular as primitivasde 1

(x2+1)2(um exemplo do caso de primitivacao de funcoes racionais que nao discutimos



atras). De facto, tomando x = tan(t) a funcao primitiva-se quase imediatamente: uma vez quedx = (1 + tan2(t)) dt, temos∫

1

(x2 + 1)2dx =

∫1

(tan2(t) + 1)2

(tan2(t) + 1

)dt =

∫1

tan2(t) + 1dt

=

∫cos2(t) dt =

∫1

2+

cos(2t)

2dt =

t

2+

sin(2t)

4+ C

=arctan(x)

2+

sin(2 arctan(x))

4+ C

onde se usou a identidade trigonometrica tan2(t)+1 = 1cos2(t)

(note-se que sao as duas expressoes

mais frequentemente usadas para a derivada da tangente).Em geral, para primitivar funcoes da forma A

((x−p)2+q2)2 usa-se a substituicao x−p = q tan(t).

Esta substituicao tambem e util para calcular primitivas de funcoes onde ocorrem termoscom

√1 + x2 ou similares, devido mais uma vez a identidade 1 + tan2(x) = 1

cos2(x). Assim,

temos por exemplo∫ √1 + x2 dx =

∫ √1 + tan2(t)

(1 + tan2(t)

)dt =

∫1

cos3(t)dt

=

∫cos(t)

cos4(t)dt =

∫cos(t)(

1− sin2(t))2 dt =

∫1

(1− y2)2dy

onde x = tan(t) e y = sin(t).Uma vez que (1− y2)2 = ((1− y)(1 + y))2 = (1− y)2(1 + y)2 = (y − 1)2(y + 1)2, podemos

escrever a funcao integranda como

A1

y − 1+

A2

(y − 1)2+

B1

y + 1+

B2

(y + 1)2

donde se obtem, eliminando denominadores,

1 = A1(y − 1)(y + 1)2 + A2(y + 1)2 +B1(y + 1)(y − 1)2 +B2(y − 1)2 .

Tomando y = ±1, y = 0 e y = 2 obtem-se os valores destas constantes.

y = 1 : 1 = 4A2 =⇒ A2 =1

4

y = −1 : 1 = 4B2 =⇒ B2 =1

4

y = 0 : 1 = −A1 + A2 +B1 +B2 =⇒ B1 − A1 =1

2

y = 2 : 1 = 9A1 + 9A2 + 3B1 +B2 =⇒ 3A1 +B1 = −1

2

donde A1 = −14

e B1 = 14.

Entao∫ √1 + x2 dx =

∫1

(1− y2)2dy =

∫ −14

y − 1+

14

(y − 1)2+

14

y + 1+

14

(y + 1)2dy

=1

4

(− log |y − 1| − 1

y − 1+ log |y + 1| − 1

y + 1

)



Vamos tratar esta expressao em pedacos. As parcelas − log |y − 1|+ log |y + 1| podem ser

reescritas como log∣∣∣y+1y−1

∣∣∣ ou, trocando o sinal da expressao dentro do modulo, como

log

∣∣∣∣1 + y

1− y

∣∣∣∣ = log

∣∣∣∣(1 + y)2

1− y2

∣∣∣∣ ,multiplicando esta fraccao em cima e em baixo por 1+y e simplificando. Substituindo y = sin(t)obtemos, tendo em conta a relacao 1− y2 = cos2(t),

log

∣∣∣∣(1 + sin(t))2

cos2(t)

∣∣∣∣ .Uma vez que log (a2) = 2 log(a), podemos simplificar esta expressao obtendo

2 log

∣∣∣∣1 + sin(t)

cos(t)

∣∣∣∣ = 2 log

∣∣∣∣ 1

cos(t)+ tan(t)

∣∣∣∣ .Como x = tan(t), sabemos que 1

cos(t)=√

1 + tan2(t) =√

1 + x2, donde esta ultima expressaose reduz a

2 log∣∣∣x+

√1 + x2

∣∣∣ .As duas outras parcelas geram

− 1

y − 1− 1

y + 1= − 2y

y2 − 1=

2y

1− y2.

Substituindo y por sin(t) (e portanto 1− y2 = cos2(t)) obtemos

2 sin(t)

cos2(t)= 2 tan(t)

1

cos(t)= 2x

√1 + x2

apos desfazer a substituicao x = tan(t), com as mesmas observacoes de atras.Juntando estas duas expressoes obtemos∫ √

1 + x2 dx =1

4

(− log |y − 1| − 1

y − 1+ log |y + 1| − 1

y + 1

)=

1

4

(2 log

∣∣∣x+√

1 + x2∣∣∣+ 2x

√1 + x2

)=

1

2log∣∣∣x+

√1 + x2

∣∣∣+1

2x√

1 + x2 .


(a) x√

1− x2

(b)√9−x2x4

(c) 1√4−x23

(d) x2√1−x2

(e) 1(x2−2)2

(f) 16(4x2−1)2

(g) 1(x2−2x)2

(h) x4−2x2(x2−1)2

Existem outras substituicoes comuns para outras situacoes, que poderao ser encontradasem livros de referencia sobre primitivacao.



4.6 Primitivacao por partes

A ultima tecnica de primitivacao que vamos abordar destina-se a permitir o calculo de primi-tivas de produtos de funcoes e assenta na regra de derivacao do produto:

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) .

Passando um dos termos do lado direito da equacao para o lado esquerdo, obtemos a relacaoseguinte.

(f(x)g(x))′ − f(x)g′(x) = f ′(x)g(x)

Esta relacao implica que se pode obter uma primitiva da funcao do lado direito primitivandoa funcao do lado esquerdo. Ora esta e composta por duas parcelas; a primeira tem comoprimitiva precisamente f(x)g(x). Obtem-se entao a regra de primitivacao por partes :∫

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−∫f(x)g′(x) dx .

Observe-se que, por simetria, tambem se poderia escrever∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x) dx .

Ambas as formas sao equivalentes — o produto de funcoes e comutativo — mas na pratica emais simples chamar f a primeira funcao e g a segunda, independentemente de qual delas vaiser derivada.

A regra de primitivacao por partes requer algum cuidado na sua aplicacao, ja que podetornar o problema a resolver bastante mais complicado. Antes de mais, convem garantirque nao estamos perante uma primitiva imediata — ja que nesse caso o problema se resolvedirectamente. Em segundo lugar, a regra so e aplicavel em situacoes em que estamos peranteum produto de duas funcoes, uma das quais e uma primitiva imediata: a expressao a primitivartem de ser da forma f ′(x)g(x). Finalmente, a primitivacao por partes nunca rseolve problemasde primitivacao — simplesmente transforma-os noutros que, idealmente, sao mais simples deresolver.

Por norma, um bom indicador de que a primitivacao por partes pode ser um bom caminhoa seguir e a existencia dum factor que se simplifica por derivacao. Sao exemplos disto ospolinomios, os logaritmos e as funcoes trigonometricas inversas. De seguida veremos exemplosde todas estas situacoes.

Ha varias situacoes caracterısticas do uso de primitivacao por partes, que discutiremos nasequencia. Cada uma tem algumas particularidades, pelo que convem discuti-las com algumdetalhe.

4.6.1 Produtos por polinomios

O caso paradigmatico da primitivacao por partes diz respeito a situacao em que a funcao aprimitivar e o produto dum polinomio por uma primitiva imediata (tipicamente uma funcaoexponencial ou trigonometrica). Nestes casos, a funcao polinomial simplifica-se por derivacao,pelo que devera ser a escolhida para derivar.

Ilustremos esta situacao com o calculo das primitivas de xex. Vamos tomar f(x) = xe g′(x) = ex, donde se tem f ′(x) = 1 e g(x) = ex. A aplicacao da regra de primitivacao


4.6. PRIMITIVACAO POR PARTES 223

por partes, com anotacoes que devem ser auto-explicativas, permite calcular facilmente estaprimitiva da forma seguinte:∫

x︸︷︷︸f

ex︸︷︷︸g′

dx = x︸︷︷︸f

ex︸︷︷︸g

−∫

1︸︷︷︸f ′

ex︸︷︷︸g

dx = xex − ex + C = (x− 1)ex + C .

Vejamos alguns exemplos do mesmo estilo.

Exemplo.

1. Para calcular∫x cos(x) dx escolhe-se novamente f(x) = x, g′(x) = cos(x) e procede-se

como antes.∫x︸︷︷︸f

cos(x)︸︷︷︸g′

dx = x sin(x)−∫

1 sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C .

2. Para calcular∫x2e−x dx temos de aplicar primitivacao por partes duas vezes.∫

x2︸︷︷︸f

e−x︸︷︷︸g′

dx = x2(−e−x

)−∫

2x(−e−x

)dx

= −x2e−x +

∫2x︸︷︷︸f

e−x︸︷︷︸g′

dx

= −x2e−x + 2x(−e−x

)−∫

2(−e−x

)dx

= −x2e−x − 2xe−x − 2e−x + C = −(x2 + 2x+ 2

)e−x + C

3. Para calcular∫

(x2 + 3x) sin(4x) dx o raciocınio e novamente semelhante.∫ (x2 + 3x

)︸︷︷︸f

sin(4x)︸︷︷︸g′

dx =(x2 + 3x

)(−cos(4x)

4

)−∫

(2x+ 3)

(−cos(4x)

4

)dx

= −x2 + 3x

4cos(4x) +

∫2x+ 3

4︸︷︷︸f

cos(4x)︸︷︷︸g′

dx

= −x2 + 3x

4cos(4x) +

2x+ 3

4

sin(4x)

4−∫

1

2

sin(4x)

4dx

= −x2 + 3x

4cos(4x) +

2x+ 3

16sin(4x) +

cos(4x)

32+ C

= −8x2 + 24x+ 1

32cos(4x) +

2x+ 3

16sin(4x) + C

Quando o polinomio surge multiplicado por um logaritmo ou uma funcao trigonometricainversa, contudo, deve ser escolhido como funcao a primitivar e nao a derivar. A razao paraisto e simples: por um lado, nem os logaritmos nem as funcoes trigonometricas sao directa-mente primitivaveis; por outro, sao funcoes que derivadas dao funcoes racionais (ou que sao



transformaveis em funcoes racionais por substituicao), pelo que a primitivacao por partes gerasempre uma funcao que sabemos primitivar.

Vejamos como calcular uma primitiva e x log(x). Conforme dissemos, vamos escolherf ′(x) = x e g(x) = log(x), tendo portanto f(x) = x2

2e g′(x) = 1

x. Temos entao∫

x︸︷︷︸f ′

log(x)︸︷︷︸g

dx =x2

2︸︷︷︸f

log(x)︸︷︷︸g

−∫

x2

2︸︷︷︸f

1

x︸︷︷︸g′

dx =x2 log(x)

2−∫x

2dx =

x2 log(x)

2− x2

4+ C

ou, simplificando a ultima expressao,∫x log(x) dx =

x2(2 log(x)− 1)

4+ C .

Um exemplo um pouco mais complexo, porque requer o recurso as tecnicas estudadas atras,diz respeito a primitivacao de x arcsin(x). Novamente, vamos primitivar o polinomio e derivaro arco de seno.∫

x︸︷︷︸f ′

arcsin(x)︸︷︷︸g

dx =x2

2arcsin(x)−

∫x2

2

1√1− x2

dx =x2 arcsin(x)

2− 1

2

∫x2√

1− x2dx

Vamos calcular separadamente a primitiva que ocorre nesta ultima expressao. Uma vez quenela ocorre a expressao

√1− x2, vamos recorrer a substituicao x = sin(t), donde dx = cos(t) dt.∫

x2√1− x2

dx =

∫sin2(t)

cos(t)cos(t) dt =

∫sin2(t) dt

=

∫1− cos(2t)

2dt =

t

2− sin(2t)

4+ C

=t

2− sin(t) cos(t)

2+ C =

arcsin(x)

2− x√

1− x22

+ C

e portanto ∫x arcsin(x) dx =

x2 arcsin(x)

2− 1

2

(arcsin(x)

2− x√

1− x22

)+ C

=2x2 − 1

4arcsin(x) +

x√

1− x24

+ C .

E importante observar, contudo, que a mesma substituicao poderia ter sido aplicada logo afuncao original. De facto, a presenca de arcsin(x) sugere que se tome arcsin(x) = t (e portantox = sin(t)), obtendo-se ∫

x arcsin(x) dx =

∫sin(t)t cos(t) dt

que se primitiva novamente por partes tomando f(t) = t e g′(t)) = sin(t) cos(t) — correspon-dendo precisamente a escolha que fizemos na primeira resolucao do exercıcio.

Da mesma forma, a primitiva de x log(x) poderia ter sido calculada recorrendo a substi-tuicao log(x) = t, donde x = et, obtendo-se∫

x log(x) dx =

∫ettet dt ,



funcao que depois seria necessario primitivar por partes. Neste caso, a substituicao revelou-seum passo adicional que nao contribuiu para resolver o problema.

Em suma: o recurso a substituicao nao evita que se tenha de usar primitivacao por partes.Assim, perante um produto que sugere que se primitive por partes nao e vantajoso comecarpor usar substituicoes.

Observe-se que os argumentos do logaritmo ou da funcao trigonometrica podem ser maiscomplexos, sem contudo requerer maior numero de aplicacoes da primitivacao por partes.

Exemplo.

1. Para primitivar (x2 + 1) arctan(x), escolhe-se f ′(x) = x2 + 1 e g(x) = arctan(x).∫ (x2 + 1

)︸︷︷︸f ′

arctan(x)︸︷︷︸g

dx =

(x3

3+ x

)arctan(x)−

∫ (x3

3+ x

)1

x2 + 1dx

=

(x3

3+ x

)arctan(x)−

∫x3 + 3x

3 (x2 + 1)dx

=

(x3

3+ x

)arctan(x)−

∫x

3+

2x

x2 + 1dx

=

(x3

3+ x

)arctan(x)− x2

6− log

∣∣x2 + 1∣∣+ C

2. Calcular as primitivas de (x2 + 1) log |x2 − 1|.Primitivando por partes, obtemos∫ (

x2 + 1)︸︷︷︸

f ′

log∣∣x2 − 1

∣∣︸︷︷︸g

dx =

(x3

3+ x

)log∣∣x2 − 1

∣∣− ∫ (x33

+ x

)2x

x2 − 1dx

=

(x3

3+ x

)log∣∣x2 − 1

∣∣− ∫ 2x4 + 6x2

3 (x2 − 1)dx

=

(x3

3+ x

)log∣∣x2 − 1

∣∣− ∫ 2x2

3+

8

3+

8

3

1

x2 − 1dx

=

(x3

3+ x

)log∣∣x2 − 1

∣∣− 2x3

9− 8x

3− 8

3

∫1

x2 − 1dx

Para o calculo da ultima primitiva, basta observar (por exemplo decompondo em ele-mentos simples) que

1

x2 − 1=

1

2

(1

x− 1− 1

x+ 1

)donde ∫

1

x2 − 1dx =

1

2(log |x− 1| − log |x+ 1|) + C =

1

2log

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣+ C

e portanto∫ (x2 + 1

)log∣∣x2 − 1

∣∣ dx =

(x3

3+ x

)log∣∣x2 − 1

∣∣− 2x3

9− 8x

3− 4

3log

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣+ C .



Finalmente, ha algumas situacoes de produto dum polinomio por uma funcao em que seconsegue factorizar o polinomio para obter uma primitiva imediata em conjugacao com a outrafuncao. Esta situacao ocorre frequentemente em funcoes envolvendo radicais.

Por exemplo, para primitivar x5√1+x3

pode-se factorizar x5 em x3x2, obtendo-se assim umaprimitiva imediata.∫

x5√1 + x3

dx =

∫x3︸︷︷︸f

x2√1 + x3︸︷︷︸g′

dx =2

3x3√

1 + x3 −∫

3x22

3

√1 + x3 dx

=2

3x3√

1 + x3 − 4

9

(1 + x3

) 32 + C

Da mesma forma, para primitivar produtos de polinomios por exponenciais de potenciasde x (ou funcoes trigonometricas destes argumentos) e necessario comecar por factorizar opolinomio. E importante observar que, contrariamente aos casos simples de produtos depolinomios por exponenciais (ou funcoes trigonometricas) de multiplos de x, funcoes mais com-plexas deste tipo podem nao ser elementarmente primitivaveis. Outra forma de tratar estescasos e comecar por efectuar uma substituicao para transformar o argumento da exponencial(ou funcao trigonometrica) em t.


(a) (x+ 1)e2x−1

(b) 3x+4ex

(c) (x2 + 4x+ 5) cos(2x)

(d) x sin2(x) cos(x)

(e) x2

(x2+2)2

(f)(3x3+5x)e2x2

4.6.2 Logaritmos e funcoes trigonometricas inversas

A primitivacao por partes pode tambem ser usada em situacoes em que nao e obvio que se estejaperante um produto para permitir calcular primitivas de algumas funcoes que se simplificampor derivacao. Os exemplos paradigmaticos sao o calculo das primitivas de log(x), arcsin(x) earctan(x).

Consideremos primeiro o problema de calcular∫

log(x) dx. Vimos na seccao anterior que,em produtos de polinomios por logaritmos, se resolve o problema primitivando o polinomio ederivando o logaritmo. Ora, uma vez que log(x) = 1 × log(x), podemos aplicar esta tecnicatomando f ′(x) = 1 e g(x) = log(x):∫ ︸︷︷︸

f ′

log(x)︸︷︷︸g

dx = x︸︷︷︸f

log(x)︸︷︷︸g

−∫x

1

xdx = x log(x)−

∫1 dx = x log(x)− x+ C

que e de facto uma primitiva de log(x).

Exercıcio 18. Calcule as primitivas de arcsin(x) e arctan(x).

A mesma tecnica pode ser aplicada para calcular primitivas de logaritmos e arcos de tan-gente (e nalguns casos arcos de seno) de polinomios de grau mais elevado.



Exemplo.

1. Calcular as primitivas de log |x3 + 4x|.Vendo a expressao desta funcao como um produto por 1 e raciocinando como atras,obtem-se ∫ ︸︷︷︸

f ′

log∣∣x3 + 4x

∣∣︸︷︷︸g

dx = x log∣∣x3 + 4x

∣∣− ∫ x3x2 + 4

x3 + 4xdx

= x log∣∣x3 + 4x

∣∣− ∫ 3x2 + 4

x2 + 4dx

= x log∣∣x3 + 4x

∣∣− ∫ 3− 8

x2 + 4dx

= x log∣∣x3 + 4x

∣∣− ∫ 3− 2(x2

)2+ 1

dx

= x log∣∣x3 + 4x

∣∣− 3x+ 4 arctan(x

2

)+ C

2. Calcular as primitivas de arcsin(3x+ 2).

Tal como antes, vamos interpretar esta expressao como o produto de 1 pelo arco de seno.Primitivando por partes, obtemos∫ ︸︷︷︸

f ′

arcsin(3x+ 2)︸︷︷︸g

dx = x arcsin(3x+ 2)−∫x

3√1− (3x+ 2)2

dx

= x arcsin(3x+ 2)−∫

(3x)(1− (3x+ 2)2

)− 12 dx

= x arcsin(3x+ 2)−∫

1

6(18x+ 12)

(1− (3x+ 2)2

)− 12 − 2

(1− (3x+ 2)2

)− 12 dx

= x arcsin(3x+ 2) +1

62(1− (3x+ 2)2

) 12 +

2

3arcsin(3x+ 2) + C

=

(x+

2

3

)arcsin(3x+ 2) +

1

3

√1− (3x+ 2)2 + C

que e a primitiva pretendida.

3. Calcular as primitivas de arctan (x2).

Pelo mesmo processo, obtemos∫ ︸︷︷︸f ′

arctan(x2)︸︷︷︸

g

dx = x arctan(x2)−∫x

2x

(x2)2 + 1dx

= x arctan(x2)−∫

2x2

x4 + 1dx

O calculo desta ultima primitiva e um bom exercıcio de primitivacao de funcoes racionais.Comecemos por observar que

x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1− 2x2 =(x2 + 1

)2 − (√2x)2

=(x2 + 1−

√2x)(

x2 + 1 +√

2x)



sendo estes dois polinomios irredutıveis. Entao

2x2

x4 + 1=

Ax+B

x2 +√

2x+ 1+

Cx+D

x2 −√

2x+ 1

donde sai a relacao seguinte.

2x2 = Ax(x2 −

√2x+ 1

)+B

(x2 −

√2x+ 1

)+Cx

(x2 +

√2x+ 1

)+D

(x2 +

√2x+ 1

)Podemos comecar por tomar x = 0 e x = ±

√2. Para obter a quarta equacao, podemos

calcular o coeficiente em x3.

x = 0 : 0 = B +D

x =√

2 : 4 =√

2A+B + 5√

2C + 5D

x = −√

2 : 4 = −5√

2A+ 5B −√

2C +D

(x3) : 0 = A+ C

A primeira e a ultima equacoes permitem escrever C e D em termos de A e B; substitu-indo na duas outras equacoes e resolvendo, obtem-se B = D = 0 e A = −

√22

, C =√22

.

O calculo do resto da primitiva deixa-se como exercıcio, apresentando-se apenas o resul-tado final.∫

arctan(x2)dx = x arctan

(x2)

+

√2

4log

∣∣∣∣∣x2 +√

2x+ 1

x2 −√

2x+ 1

∣∣∣∣∣++

1

2√

2

(arctan(

√2x+ 1)− arctan(

√2x− 1)

)


(a) log (x2) (b) arctan(2x+ 1) (c) log∣∣ 1x

+ 1∣∣ (d) arctan (

√x)

4.6.3 Produtos de exponenciais por funcoes trigonometricas

Outra situacao importante, que surge com alguma frequencia em aplicacoes, e aquela em que sepretende primitivar o produto duma funcao exponencial por uma trigonometrica (tipicamenteseno ou coseno). Aqui a tecnica de primitivacao por partes nao simplifica o problema, ja queambas as funcoes mantem a sua complexidade com a derivacao ou primitivacao; porem, a trocade sinal na derivacao (ou primitivacao) das funcoes trigonometricas permite que se reduza ocalculo da primitiva a uma equacao linear.

Vejamos como se pode proceder desta forma para primitivar ex sin(x). Tipicamente, opta--se por primitivar a exponencial porque nao tem trocas de sinal; ou seja, toma-se f ′(x) = ex

e g(x) = sin(x). Tem-se entao∫ex︸︷︷︸f ′

sin(x)︸︷︷︸g

dx = ex︸︷︷︸f

sin(x)︸︷︷︸g

−∫

ex︸︷︷︸f

cos(x)︸︷︷︸g′

dx



A primitiva que falta calcular e novamente o produto duma funcao exponencial por umatrigonometrica; vamos aplicar novamente primitivacao por partes, mantendo a escolha feitaatras de primitivar a exponencial.∫

ex sin(x) dx = ex sin(x)−∫

ex︸︷︷︸f ′

cos(x)︸︷︷︸g

dx

= ex sin(x)−

ex︸︷︷︸f

cos(x)︸︷︷︸g

−∫

ex︸︷︷︸f

(− sin(x))︸︷︷︸g′

dx

= ex sin(x)− ex cos(x)−

∫ex sin(x) dx

Neste ponto parece que voltamos ao problema inicial. Porem, assumindo que a funcao ex sin(x)e primitivavel (veremos mais adiante que e de facto o caso), podemos ver a relacao∫

ex sin(x) dx = ex sin(x)− ex cos(x)−∫ex sin(x) dx

como uma equacao em que a incognita e∫ex sin(x) dx. Explicitamente, chamando F (x) a esta

funcao, a relacao acima pode ser escrita como

F (x) = ex sin(x)− ex cos(x)− F (x) ,

donde se obtem

2F (x) = ex sin(x)− ex cos(x)

e portanto

F (x) =ex

2(sin(x)− cos(x)) .

Esta e uma primitiva de ex sin(x); para obter a expressao geral das primitivas desta funcao,basta adicionar uma constante arbitraria, obtendo-se∫

ex sin(x) dx =ex

2(sin(x)− cos(x)) + C .

Esta tecnica permite primitivar muitas funcoes desta classe (produto duma exponencial porum seno ou coseno). Ha contudo duas observacoes importantes a fazer.

Em primeiro lugar, observe-se que se poderia ter chegado ao mesmo resultado invertendoa escolha da funcao a primitivar, ou seja, derivando a exponencial e primitivando a funcaotrigonometrica. Em geral, opta-se por primitivar a exponencial para minimizar as hipotesesde erros de sinais.

Em segundo lugar, e importante que a escolha de qual funcao derivar seja a mesma nasduas aplicacoes da primitivacao por partes. De facto, se tivessemos invertido a escolha nosegundo passo, irıamos essencialmente inverter todo o raciocınio inicial, chegando a relacao∫ex sin(x) dx =

∫ex sin(x) dx, da qual nao conseguirıamos obter qualquer conclusao.



Exemplo. Usemos a mesma tecnica para calcular as primitivas de e−2x+1 cos(3x+ π).∫e−2x+1︸︷︷︸

f ′

cos(3x+ π)︸︷︷︸g

dx =e−2x+1

−2︸︷︷︸f


−∫e−2x+1

−2︸︷︷︸f

(−3 sin(3x+ π))︸︷︷︸g′

dx

= −1

2e−2x+1 cos(3x+ π)− 3

2

∫e−2x+1︸︷︷︸

f ′

sin(3x+ π)︸︷︷︸g

dx

= −1

2e−2x+1 cos(3x+ π)− 3

2

e−2x+1

−2︸︷︷︸f


−∫e−2x+1

−2︸︷︷︸f

3 cos(3x+ π)︸︷︷︸g′

dx

= −1

2e−2x+1 cos(3x+ π) +

3

4e−2x+1 sin(3x+ π)− 9

4

∫e−2x+1 cos(3x+ π) dx

Note-se a importancia, neste exemplo, de passar as constantes para fora da primitiva paraobter a funcao inicial. Designando novamente por F (x) uma primitiva de e−2x+1 cos(3x + π),obtemos a equacao

F (x) = −1

2e−2x+1 cos(3x+ π) +

3

4e−2x+1 sin(3x+ π)− 9

4F (x)

donde13

4F (x) = −1

2e−2x+1 cos(3x+ π) +

3

4e−2x+1 sin(3x+ π)

e portanto

F (x) =4

13

(−1

2e−2x+1 cos(3x+ π) +

3

4e−2x+1 sin(3x+ π)

)= − 2

13e−2x+1 cos(3x+ π) +

3

13e−2x+1 sin(3x+ π)

donde ∫e−2x+1 cos(3x+ π) dx = − 2

13e−2x+1 cos(3x+ π) +

3

13e−2x+1 sin(3x+ π) + C .

O mesmo raciocınio permite tratar o caso do produto de senos e/ou cosenos com argumentosdiferentes.

Exemplo. Calcular as primitivas de sin(2x) sin(3x+ π).∫sin(2x)︸︷︷︸

f ′


dx =− cos(2x)

2︸︷︷︸f


−∫− cos(2x)

2︸︷︷︸f

3 cos(3x+ π)︸︷︷︸g′

dx

= −1

2cos(2x) sin(3x+ π) +

3

2

∫cos(2x)︸︷︷︸

f ′


dx

= −1


3

2

sin(2x)

2︸︷︷︸f


−∫

sin(2x)

2︸︷︷︸f

(−3 sin(3x+ π))︸︷︷︸g′

dx

= −1


3

4sin(2x) cos(3x+ π) +

9

4

∫sin(2x) sin(3x+ π) dx



Designando por F (x) uma primitiva de sin(2x) sin(3x+ π), obtemos a equacao

F (x) = −1


3

4sin(2x) cos(3x+ π) +

9

4F (x)

donde

−5

4F (x) = −1


3

4sin(2x) cos(3x+ π)

e portanto

F (x) =2

5cos(2x) sin(3x+ π)− 3

5sin(2x) cos(3x+ π)

donde ∫sin(2x) sin(3x+ π) dx =

2

5cos(2x) sin(3x+ π)− 3

5sin(2x) cos(3x+ π) + C .


(a) ex2 sin

(−x+ π

4

)(b) cos(3x)√

ex(c) sin(x) cos(x) cos(3x)

4.6.4 Miscelanea

Para alem destas situacoes tıpicas, ha casos isolados em que e necessario recorrer a primitivacaopor partes. Para decidir qual das funcoes primitivar e qual derivar, ha uma mnemonica simples:deve-se derivar a primeira funcao que ocorre na sigla LIATE.

LogaritmosInversas de trigonometricasAlgebricasTrigonometricasExponenciais

Claro que esta regra so pode ser utilizada no caso em que ambas as funcoes sao primitivaveis.Vejamos alguns exemplos de aplicacao de primitivacao por partes.

Exemplo.

1. Calcular as primitivas de log2(x).

Aqui a situacao e completamente simetrica, ja que a funcao e o produto de log(x) porsi propria. Tomando f(x) = log(x) = g′(x), temos f ′(x) = 1

xe g(x) = x(log(x) − 1)

(calculada na pagina 226).

∫log(x)︸︷︷︸

f

log(x)︸︷︷︸g′

dx = log(x)x(log(x)− 1)−∫

1

xx(log(x)− 1) dx

= x log2(x)− x log(x)−∫

log(x) dx+

∫dx

= x log2(x)− x log(x)− x(log(x)− 1) + x+ C

= x log2(x)− 2x log(x) + 2x+ C



2. Calcular as primitivas de√x sin

√x.

Neste caso convem comecar por aplicar a substituicao√x = t para simplificar a funcao

a primitivar (embora se possa aplicar directamente primitivacao por partes). Obtem-seentao x = t2, donde dx = 2t dt, e portanto∫ √

x sin√x dx =

∫2t2︸︷︷︸f

sin(t)︸︷︷︸g′

dt

= −2t2 cos(t)−∫−4t︸︷︷︸f

cos(t)︸︷︷︸g′

dt

= −2t2 cos(t)−(−4t sin(t)−

∫−4 sin(t) dt

)= −2t2 cos(t) + 4t sin(t)− 4 cos(t) + C

= −2x cos√x+ 4

√x sin

√x− 4 cos

√x+ C


(a) log |x|1+x2

(b) cos(2x) log | tan(x)| (c) x7

(1+x4)2(d) sin(x) log | cos(x)|

As aplicacoes praticas da primitivacao sao diversas. No proximo capıtulo discutem-se al-gumas das mais importantes.

4.7 Exercıcios

22. Mostre que a funcao F tal que F (x) = arctan (x2) e uma primitiva de f definida por

f(x) =2x

1 + x4.

Determine a primitiva de f que toma o valor 1 quando x = 0.

23. As funcoes definidas pelas expressoes seguintes sao todas primitivas imediatas. Calculeas suas primitivas.

(a) tan(x) log | cos(x)|(b) 2x+ 10

(c) sin(√x)√x

(d) − 2x2

(e) 1x3− 1

x2

(f) x−1x2−1

(g) e3x+1

(h) x (x2 − 1)34

(i) (log |x|+1)2

x

(j) etan(x)

cos2(x)

(k) ex

cos2(ex)

(l) e2x

x2

(m) sin(3x+ 1)

(n) 1

x√

1−(log |x|)2

(o) 3x cos (2x2)

(p) x2√2+x3

(q) 1x2+2x+3

(r) tan(x)cos2(x)

(s) 2x+1(x2+x)2

(t) 5x+ x2

(u) x2 + x√x− 2

3√x

(v) 1x2+4x+4

(w) (2x+ 1)ex2+x

(x) 2x+22x2+4x+6

(y)(sin3(x) + sin4(x)

)cos3(x)

(z) cos(x)

(1+sin(x))2


4.7. EXERCICIOS 233

24. Encontre funcoes satisfazendo as condicoes seguintes.

(a)

{f ′(x) = 3

√x− 1− 2

f(2) = 5

(b)

{f ′(x) = sin3(x)

f(2π) = 2

(c)

f′(x) = e−x

limx→+∞

f(x) = 2

(d)

{f ′(x) = 2x+4

x2+4x−3

f(0) = 0

(e)

{f ′(x) = 2√

4−3x2

f(−1) = 1

(f)

{f ′(x) = 1

x(log |x|)2

f(e) = 1

25. Calcule as primitivas das seguintes funcoes racionais.

(a) x2+1x2(x−1)

(b) 1x−2

(c) 2xx2−2

(d) 2x(x−2)2

(e) 2xx2+x+1

(f) x5

x2−1

(g) 5x2−2xx3−4x

(h) x+1x2+x+1

(i) −x3+x2−1x3+2x

(j) 3x−6x2−4x+3

(k) 3x2

(l) x4+2x3+4x2−2x(x−1)(x2+2)2


(a)

f ′(x) = 2

x+9

Df =]−9,+∞[

f(1) = 2

(b)

f ′(x) = 2

x2+x+ 14

Df =]−1

2,+∞

[f(2) = 0

(c)

f ′(x) = 2x

x2−1

Df =]1,+∞[

limx→+∞

f(x) = 3

(d)

f ′(x) = x2−3x+2

x3+2x

Df =]−1,+∞[

f(0) = 3

(e)

f ′(x) = x2

1+x6

Df = R

f(1) = 0

(f)

f ′(x) = x+5

x2−2x+2

dim f = R

limx→+∞

f(x) = 0

27. Use substituicoes adequadas para calcular primitivas das funcoes seguintes.

(a) e4x

e2x+1

(b) 1(2−x)

√1−x

(c) (log |x|)4+(log |x|)3x(log |x|+1)

(d) x2√

1− x2 + 3 arcsin(x)

(e) 13√x(1+ 3√

x4)

(f)√x−1x


(a)

f ′(x) = 1√

ex−1

Df =]0,+∞[

limx→+∞

f(x) = 1

(b)

f ′(x) = cos

√x

Df = [0,+∞[

f(0) = 3

(c)

f ′(x) = x3√

2−x2

D(f) =]−√

2,√

2[

f(0) = −1

29. Recorra a tecnica de primitivacao por partes para encontrar primitivas das seguintesfuncoes.

(a) (x3 + 2x+ 4) log |x|(b) x2 log (x2)

(c) 3x cos(x)

(d) xe2x+1

(e) (3x2 + 2) ex

(f) cos (log |x|)(g) cos3(x)

(h) x7

(1−x4)2

(i) x arctan(x)

(j) ex (ex + x)

(k) 1x3

cos(1x

)(l) 2x sin(x)




(a)

f ′(x) = x sin(2x)

Df = R

f(π2

)= 0

(b)

f ′(x) = x

cos2(x)

Df =]−π

2, π2

[f(1) = 0

(c)

f ′(x) = sin(x)√

ex

Df = R

f(log 2) = −1

(d)

f ′(x) = log (x2 + 1)

Df = R

f(1) =√

3

(e)

f ′(x) = (x2 + x) e5x

Df = R

f(15

)= e

(f)

f ′(x) = (x4 + 3x) log(x)

Df =]0,+∞[

f(1) = 2

31. Calcule as primitivas das seguintes funcoes recorrendo a(s) tecnica(s) mais convenientes.

(a) (log |2x+3|)2x

(b) log |x|ex

(c) 2x2+1

(d) 3 sin2(x)+2 sin(x) cos(x)+3 cos2(x)sin(x) cos(x)

(e) 5 sin(x) tan(x)−2 sin(x)+3 cos(x)sin(x)−cos(x)

(f) 3x

(g) 2x+1x2+x

(h) x sin(2x2)e−x2

(i) (log |x|)3

(j) x4 + 3x− 1

(k) 1x2+x

(l) 2x2−2x+2x3−x

(m) 2 (tan2(x) + 1) (tan(x) + 1)

(n) 3x+12+x4

(o) 1√1−3x2

(p) x (1 + x2) arctan(x)

(q)√x log |x|

(r) 1(x−2)2

(s) sin2(x)

sin2(x)+2 cos2(x)

(t) 3(x+1)2

(u) 12x

(v) (x2 + 1) cos(x)

(w) x2

(1+x2)2

(x)(sin3(x) + sin4(x)

)cos(x)

32. Encontre funcoes satisfazendo as condicoes seguintes, indicando o domınio em que estaodefinidas.

(a)

{f ′(x) = 2x+1

x2+4x+5

f(0) = −1

(b)

{f ′(x) = sinx

2+3 cosx

f(π) = 1

(c)

{f ′(x) = x+2√

3x2+12x−6

f(1) = 2

(d)

{f ′(x) = log(log(x))

x log(x)

f(e) = 3

(e)

{f ′(x) = x2

x3−1

f(−1) = 0

(f)

{f ′(x) = e2x√

ex+1

f(0) = −1e

(g)

{f ′(x) = arcsinx√

1−x2

f(0) = 1

(h)

{f ′(x) = x3ex

2

f(−1) = 0

(i)

{f ′(x) = ex cos (ex)

f(log(π)) = 2

(j)

{f ′(x) = x (x2 − 1)

2

f(1) = 3

(k)

{f ′(x) = sinx√

cosx

f(0) = 1

(l)

{f ′(x) = e

√x+3√x

f(4) = −2

(m)

{f ′(x) = e2x sin(3x)

f(0) = 2

(n)

{f ′(x) = 2x+1√

2−x2

f(1) = 1

(o)

{f ′(x) = 1

(x+1)√x

f(1) = −1


4.7. EXERCICIOS 235

33. Calcule as primitivas das seguintes funcoes recorrendo a(s) tecnica(s) mais convenientes.

(a) 2x+12x2+1

(b) 1√1+ex

(c) 32x2+4

(d)√1−x2x4

(e) xe−x2

(f) 2 log |x|x

(g) (3x3 − 5x) e2x2

(h) (x2 + 1)√x3 + 3x

(i)√x−1

3√x+1

(j) 4x2+3x+2x3+x2+2

(k) 2x2+4x+4

(l)√x−1

3√x−1

(m) sin(x)ecos(x)

(n) sin2(x) cos2(x)

(o) 3x√

1− x2 arcsinx

(p) 2√x

(q) x+1x(x−1)2

(r) 3(log(x))2+2 log(x)+3

x log(x)((log(x))2+1)x

(s) 2x2−1

(t) cos4(x)

34. Calcule uma primitiva de

x2 + 13√x3 + 3x

+sin(3x)

1 + cos(3x)+

ex√4− e2x

.

35.

(a) Primitive a funcao f definida por

f(x) =3x2 + 7

(x2 + 4) (x2 − 1).

(b) Calcule a primitiva F1 de f que satisfaz F1(0) = 1.

(c) Calcule a primitiva F2 de f que satisfaz limx→+∞ F2(0) = π2.

36. Determine a funcao f tal que f ′′(x) = x(1+x2)2

e o grafico de f passa pela origem, onde e

tangente ao eixo horizontal.




Capıtulo 5

Calculo Integral

Neste capıtulo, vamos estudar o problema da determinacao de areas de figuras planas, formu-lado em termos de areas sob graficos de funcoes. Um dos primeiros resultados que teremosoportunidade de demonstrar permite resolver este problema de forma sistematica recorrendo aocalculo de primitivas — ilustrando a importancia e utilidade do estudo que fizemos no capıtuloanterior.

O Calculo Integral tem, contudo, inumeras aplicacoes praticas que vao bastante alem docalculo de areas. Nos exemplos ao longo do texto, mostraremos como muitos problemas dodia-a-dia, de areas bastante distintas, podem ser formulados como problemas de calculo deareas e resolvidos atraves dum integral.

5.1 Areas de figuras planas

Um dos problemas mais antigos da Geometria e a determinacao de areas de figuras, motivadooriginalmente pela necessidade de dividir terrenos (por questoes de partilhas e herancas) cujaforma nao era uma figura regular, devido quer a fenomenos naturais (como o serem limitadospor rios, por exemplo), quer devido a partilhas anteriores. Assim, ja desde a Antiguidade quevarios estudiosos se debrucaram sobre o problema de determinar areas de figuras regulares ede construir figuras com determinadas areas; alguns desses problemas ficaram celebres (como oproblema da quadratura do cırculo ou o problema da duplicacao do cubo, ambos demonstradosirresoluveis no seculo XIX), outros tornaram-se parte da formacao basica do mundo ocidental(como o calculo da area dum quadrado, dum rectangulo ou dum cırculo).

Nesta seccao vamos discutir o problema do calculo de areas de figuras limitadas por graficosde funcoes, ou seja: figuras limitadas pelo eixo horizontal entre dois pontos a e b, pelas rectasverticais x = a e x = b, e pelo grafico de y = f(x) no intervalo [a, b], como exemplificado naFigura 5.1. Para ja, exigiremos ainda que a funcao f seja nao negativa nesse intervalo, ou seja,f(x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a, b].

A area duma figura destas chamamos integral definido da funcao f entre os pontos a e b,que denotaremos por ∫ b

a

f ou

∫ b

a

f(x) dx .

A segunda notacao e de longe a mais utilizada, nomeadamente quando estamos interessadosem efectuar calculos, sendo a primeira (mais sintetica) util em contextos mais teoricos. No

sımbolo∫ baf(x) dx a variavel x e, como habitualmente, um sımbolo auxiliar para representar

237

238 CAPITULO 5. CALCULO INTEGRAL

x

yy=f(x)

a b

Figura 5.1: Figura plana limitada pelo grafico duma funcao.

o parametro da funcao — poderıamos escrever com o mesmo sentido qualquer das variantes∫ b

a

f(t) dt ,

∫ b

a

f(y) dy ou mesmo

∫ b

a

f(∗) d ∗ .

Para ja, nao nos vamos preocupar com a questao de saber para que funcoes e que faz sentidofalar de integral definido. Quando dermos uma definicao formal deste conceito, ficaremos emcondicoes de responder a esta pergunta.

A Figura 5.2 mostra algumas figuras deste estilo. Na figura (a), a funcao f tem a expressao

x

y

-2 -1 1 2

1

-1

y=2-x²

(a)

x

y

-10

1 2-1-2

10 y=x³

(b)

x

y1

-π/2 π/2

y=cos(x)

(c)

Figura 5.2: Exemplos de integrais definidos.

f(x) = 2− x2, pelo que a area a sombreado pode ser denotada por qualquer das expressoes∫ 1

−1

(2− x2

)dx ,

∫ 1

−1

(2− y2

)dy ou

∫ 1

−1

(2− ∗2

)d∗ ,

enquanto a funcao f da figura (b) tem a expressao f(x) = x3, podendo a area a sombreado serdenotada por ∫ 2

0

x3 dx ,

∫ 2

0

t3 dt ou

∫ 2

0

•3 d • .


5.1. AREAS DE FIGURAS PLANAS 239

Na terceira figura, a expressao da funcao f e f(x) = cos(x) e area a sombreado pode serexpressa como ∫ π

2

−π2

cos(x) dx ,

∫ π2

−π2

cos(ω) dω ou

∫ π2

−π2

cos(z) dz .

Em geral, seguiremos a pratica corrente e utilizaremos predominantemente as variaveis x e tcomo variaveis mudas do integral definido; em casos particulares, contudo, poderemos recorrera outras notacoes que sejam mais adequadas no contexto.

Exercıcio 1. Escreva as areas das figuras abaixo como integrais definidos.

x

y y=-x²+x+2

1

2

-1

-2

-1 1 2

(a)

x

y2

1

π 2π

y=1-sin(x)

(b)

x

y1

-2 -1 1

y=e-x²

(c)

Se c for um ponto em [a, b], entao o integral entre a e b e igual a soma dos integrais de fem [a, c] e em [c, b] : ∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f .

De facto, nao estamos a afirmar senao que dividindo uma figura ao meio obtemos duas figurascuja area total e igual a area da figura original. Esta observacao, contudo, e util quandoa funcao f e definida por ramos: permite-nos escrever o integral de f como uma soma deintegrais, cada um definido pela sua expressao. Esta situacao esta ilustrada na Figura 5.3.

x

y

a c b

y=f(x)

Figura 5.3: Integral duma funcao com uma descontinuidade.



Exercıcio 2. Escreva as areas das figuras abaixo como integrais definidos, tendo o cuidadode separar a funcao que limita superiormente cada figura nos seus pontos de descontinuidade.

x

y

y=x² y=10-x

1 4 8

5

10

(a)

x

y

-2π 2π0

1-cos(x) 1-sin(x)

1

2

(b)

x

y

ex2/x

1

2

3

4

(c)

5.2 Definicao analıtica do integral definido

Ate agora, o integral definido e simplesmente uma notacao. O proximo passo e ver comopodemos defini-lo formalmente e atribuir-lhe um valor — embora, como veremos mais tarde,esta definicao nao nos forneca uma forma muito pratica de efectuar os calculos em situacoesconcretas.

Praticamente todas as tecnicas de calculo de ares se baseiam no conceito de limite, recor-rendo a aproximacoes sucessivas. Por exemplo, os primeiros valores para areas de cırculosforam obtidas considerando polıgonos regulares com cada vez mais lados (quadrado, pentagono,hexagono, etc.). A ideia e que, intuitivamente, quanto mais lados o polıgono tiver, mais proximaa figura geometrica esta do cırculo e mais proxima e a sua area da do cırculo.

Para o calculo integral, a tecnica que vamos utilizar e extremamente simples e recorreunicamente a divisao de figuras em rectangulos. A area dum rectangulo (Figura 5.4 (a))eextremamente simples de calcular: um rectangulo de base b e altura h tem uma area b × h— e alias esta uma das motivacoes para introduzir a operacao de multiplicacao entre numerosreais. Se tivermos uma figura que nao seja um rectangulo, mas se consiga decompor em variosrectangulos (Figura 5.4 (b)) tambem podemos calcular a sua area somando as areas dos variosrectangulos que a compoem.

O problema surge quando temos uma figura que nao se pode decompor em rectangulos.Aqui, esta tecnica nao nos permite calcular a sua area exacta; porem, se decompusermos afigura aproximadamente em rectangulos, podemos obter um valor aproximado, que sera tantomais exacto quanto menor for a diferenca entre a figura e a sua decomposicao. Intuitivamente,quanto mais pequenos forem os rectangulos, menor sera este erro (Figura 5.5).

Outra alternativa e cobrir a figura de rectangulos, obtendo uma aproximacao por excesso dasua area. Neste caso, quanto mais pequenos forem os rectangulos, melhor sera a aproximacao— mas agora o erro e por excesso (Figura 5.6).


5.2. DEFINICAO ANALITICA DO INTEGRAL DEFINIDO 241

b

hA=b.h

(a) 3

7

7

9

9

6

11

13

11

9

6

54

7

A=81 A=66

A=101

A=21

A=55

A=54 A=28

(b)

Figura 5.4: Area dum rectangulo (a) e duma figura que se decompoe em rectangulos (b).

(a) (b) (c) (d)

Figura 5.5: Decomposicao aproximada duma figura em rectangulos. Na figura (b), osrectangulos sao quadrados de lado 1 (e portanto de area 1) e a figura contem 28 quadrados, peloque o valor da sua area e aproximadamente 28. Nas figuras (c) e (d), os quadrados tem ladorespectivamente 1

3e 1

5, sendo as suas areas 1

9e 1

25; as aproximacoes contem, respectivamente,

343 e 1053 quadrados, sendo o valor aproximado da area 38.11 e 42.12.

(a) (b) (c)

Figura 5.6: Decomposicao por excesso duma figura em rectangulos. Na figura (a), osrectangulos sao novamente quadrados de lado 1 (e portanto de area 1) e a figura e cobertapor 62 quadrados, pelo que o valor da sua area e aproximadamente 62. Nas figuras (b) e (c), osquadrados tem lado respectivamente 1

3e 1

5, sendo as suas areas 1

9e 1

25; as aproximacoes contem,

respectivamente, 443 e 1216 quadrados, sendo o valor aproximado da area 49.22 e 48.64.



Observe-se que os valores das aproximacoes vao convergindo. A decomposicao em quadra-dos de lado 1

5permite-nos dizer que a area da figura esta entre 42.12 e 48.64; tomando quadrados

(ou rectangulos) mais pequenos, obterıamos aproximacoes mais e mais precisas.No caso duma figura limitada superiormente pelo grafico duma funcao, podemos fazer esta

divisao de forma sistematica. Comecamos por dividir o intervalo [a, b] em subintervalos; eaproximamos em cada um deles o grafico de f por uma recta. Para que os rectangulos obtidosestejam todos contidos na area a medir, a altura de cada um deles deve corresponder ao menorvalor de f nesse intervalo (Figura 5.7 (a) a (c)); para que contenham a area a medir, a suaaltura deve corresponder ao maior valor de f nesse intervalo (Figura 5.7 (d) a (f)).

x

y2

1

-1 1

(a)

x

y2

1

-1 1

(b)

x

y2

-1 1

(c)

x

y2

1

-1 1

(d)

x

y2

1

-1 1

(e)

x

y2

-1 1

(f)

Figura 5.7: Aproximacao da area sob o grafico de f por rectangulos, obtidos dividindo o inter-valo [a, b] em subintervalos e aproximando f por rectas. Neste caso, f(x) = 2−x2 e o intervaloe o intervalo [−1, 1]; na figura (a) os subintervalos tem comprimento 1

2, na figura (b) tem com-

primento 14, e na figura (c) tem comprimento 1

10. As areas aproximadas sao, respectivamente,

2.75, 3.0625 e 3.23. Nas figuras (d), (e) e (f), os subintervalos tem os mesmos comprimentos,mas as alturas dos rectangulos correspondem ao maximo de f em cada subintervalo, pelo queos valores aproximados da area sao, respectivamente, 3.75, 3.5625 e 3.43. O valor exacto daarea e 10

3≈ 3.33.



Definicao. Uma particao do intervalo [a, b] e uma sequencia P = x0, x1, . . . , xn de pontos talque a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. O diametro da particao P , δ (P ), e o maior dosvalores x1 − x0, x2 − x1, . . . , xn − xn−1.

Exemplo. Nos exemplos da Figura 5.7, as particoes utilizadas sao as seguintes.

Pa = −1,−0.5, 0, 0.5, 1

Pb = −1,−0.75,−0.5,−0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1

Pc = −1,−0.9,−0.8,−0.7, . . . , 0.7, 0.8, 0.9, 1

O diametro de Pa e δ (Pa) = 12, o de Pb e δ (Pb) = 1

4e o de Pc e δ (Pc) = 1

10.

Observe-se contudo que poderıamos ter escolhido particoes cujos pontos nao fossem igual-mente espacados. As seguintes sequencias tambem sao particoes do intervalo [−1, 1].

P1 = −1,−0.8,−0, 3, 0.6, 1

P2 = −1,−0.9,−0.6,−0, 2, 0.4, 1

P3 = −1, 0, 0.2, 0.5, 1

Exercıcio 3. Determine o diametro das particoes P1, P2 e P3 acima e utilize-as para calcularaproximadamente a area sombreada na Figura 5.7.

Dada uma particao, podemos calcular um valor aproximado por defeito da area sob o graficode f escolhendo em cada intervalo [xi−1, xi] o ponto x−i onde f toma o valor mınimo e podemoscalcular um valor aproximado por excesso da mesma area escolhendo o ponto x+i onde f tomao valor maximo.

Definicao. Sejam f : [a, b] → R uma funcao, P = x0, x1, . . . , xn uma particao de [a, b],x−1 , x

−2 , . . . , x

−n os pontos de cada intervalo [xi−1, xi] onde f atinge o valor mınimo nesse inter-

valo, e x+1 , x+2 , . . . , x

+n os pontos onde f atinge o valor maximo nos mesmos intervalos. A soma

inferior de f associada a particao P e a soma

Smin (f, P ) =n∑i=1

(xi − xi−1) f(x−i)

das areas dos rectangulos que tem por base os segmentos entre pontos consecutivos da particaoP e por altura os valores mınimos da funcao nesses intervalos. A soma superior de f associadaa particao P e a soma

Smax (f, P ) =n∑i=1

(xi − xi−1) f(x+i)

das areas dos rectangulos que tem por base os segmentos entre pontos consecutivos da particaoP e por altura os valores maximos da funcao nesses intervalos.

Por outras palavras, as somas inferiores sao as areas assinaladas com o sombreado maisescuro da Figura 5.7 (a) a (c) e as somas superiores sao as areas assinaladas com o sombreadomais escuro da mesma figura (d) a (f).

Se a funcao f for contınua, sabemos que podemos escolher um valor δ e encontrar ε tal que|f(x)−f(y)| < δ sempre que |x−y| < ε. Se P for uma particao com diametro δ (P ) < ε, entao



as somas Smin (f, P ) e Smax (f, P ) estao bastante proximas uma da outra: a variacao de alturade cada rectangulo e a diferenca entre o maximo e o mınimo de f nesse intervalo, que e nomaximo δ; entao a diferenca maxima entre as duas somas Smin (f, P ) e Smax (f, P ) e δ(b− a),correspondendo a soma das areas de todos os rectangulos de base xi − xi−1 e altura δ parai = 1, . . . , n. Concluimos assim que esta variacao tende para 0 quando δP → 0.

Por outro lado, um argumento geometrico mostra que, se P ′ tiver mais pontos do que P ,entao Smin (f, P ′) ≥ Smin (f, P ) e Smax (f, P ′) ≤ Smax (f, P ), visto que o maximo e o mınimo def em cada intervalo de P ′ estao limitados pelos mesmos valores no intervalo correspondentede P (Figura 5.8).

x

hmin

hmax

x i x i+1x'j x'j+1

Figura 5.8: O maximo e mınimo de f num intervalo da particao P ′ estao entre o maximo emınimo de f no intervalo correspondente da particao P . Os pontos x′j e x′j+1 sao pontos de P ′,

os pontos xi−1 e xi sao os pontos de P que definem um intervalo contendo[x′j−1, x

′j

].

Proposicao. Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua e nao negativa. Entao

limδ(P )→0

Smin (f, P ) = limδ(P )→0

Smax (f, P ) =

∫ b

a

f ,

ou seja, quando o diametro das particoes de [a, b] tende para zero, as somas correspondentesconvergem para o valor da area limitada pelo eixo horizontal, pelas rectas x = a e x = b e pelografico de f .

Temos assim uma primeira propriedade que nos permite calcular o valor do integral de f .Observe-se que, caso f seja limitada e contınua por trocos em [a, b], podemos decompor ointervalo [a, b] nos trocos onde f e contınua e calcular o seu integral como uma soma deintegrais em cada um desses trocos. O resultado anterior generaliza-se portanto para funcoeslimitadas e contınuas por trocos.

Embora haja funcoes f que para as quais aqueles limites nao convergem para o mesmo valor(e portanto para as quais o valor de

∫ baf nao esta definido), estas nao surgem em contextos

comuns nas aplicacoes em que estamos interessados. Todas as funcoes obtidas por modelacaode sistemas do mundo real (sistemas fısicos, biologicos, economicos e estatısticos) sao pelomenos contınuas por trocos.

Analiticamente, e pratica corrente usar a convergencia do limite acima como definicao deintegral e (procedendo de modo inverso) mostrar que corresponde a area sob o grafico de fem [a, b]. Nesta exposicao, preferiu-se usar o percurso inverso por forma a obter desde o inıcioum significado geometrico claro para o sımbolo de integral.



Na pratica esta forma de calcular integrais e extremamente util para obter valores numericosde areas: os metodos computacionais para o calculo de integrais resumem-se em geral a dividiro intervalo [a, b] num numero suficientemente grande de pontos (para muitas aplicacoes, mil esuficiente) e a calcular uma soma Smin (f, P ) ou Smax (f, P ) (ou entao escolhendo simplesmenteum ponto aleatorio x∗i em cada intervalo).

Contudo, para obter valores exactos de integrais definidos, aquela expressao e muito poucopratica. O proximo passo vai ser obter uma formula explıcita para o calculo de integraisrecorrendo ao calculo de primitivas. Para tal, vamos estudar algumas propriedades do integralque sao consequencia directa da definicao.

Em primeiro lugar, observemos que a proposicao anterior e aplicavel a qualquer funcaocontınua em [a, b], e nao apenas a funcoes que nao tomem valores negativos. Se pensarmos emtermos de particoes e somas, vemos que, se f(x) < 0 para qualquer x em [a, b], entao o integralde f nesse intervalo e negativo. Como e que podemos dar sentido a esta afirmacao?

De facto, o integral definido mede aquilo que e costume chamar uma area orientada. Pense-mos novamente na Figura 5.1, reproduzida na Figura 5.9 (a). Se percorrermos a fronteira dafigura de tal forma que o grafico de f e percorrido de a para b (ver Figura 5.9 (b)), verificamosque a area que queremos medir esta toda a direita da figura. Convenciona-se (por motivos rela-cionados com aplicacoes que veremos adiante) definir esta area como sendo uma area positiva,correspondendo a orientacao positiva da figura.

x

yy=f(x)

a b

(a)

x

yy=f(x)

a b

(b)

Figura 5.9: Uma area orientada positivamente.

Por outro lado, se o grafico de f estiver abaixo do eixo horizontal e percorrermos a fron-teira da figura limitada por este grafico, pelo eixo horizontal e pelas rectas x = a e x = b(Figura 5.10), verificamos que a area a medir fica sempre a nossa esquerda. Dizemos entaoque esta area e negativa e atribuimos-lhe um valor negativo, sendo o seu modulo o da area(habitual) da figura.

Como consequencia das propriedades elementares da soma, temos as seguintes propriedadesdo integral definido.

Proposicao (Linearidade do integral). Sejam f, g : [a, b]→ R duas funcoes contınuas e c umnumero real. Entao verificam-se as duas propriedades seguintes.∫ b

a

(f + g) =

∫ b

a

f +

∫ b

a

f

∫ b

a

(c× f) = c

∫ b

a

f



xy

y=f(x)

a b

Figura 5.10: Uma area orientada negativamente.

Demonstracao. A prova destas duas propriedades e muito simples. Pensando por exemploem∫ ba(f + g), este pode ser calculado atraves do limite seguinte.∫ b

a

(f + g) = limδ(P )→0

Smin ((f + g), P )

Expandindo a definicao de Smin ((f + g), P )Q e aplicando propriedades dos limites, temos que

limδ(P )→0

Smin ((f + g), P )Q = limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1) (f + g)(x−i)

= limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1)(f(x−i)

+ g(x−i))

= limδ(P )→0

(n∑i=1

(xi − xi−1) f(x−i)

+n∑i=1

(xi − xi−1) g(x−i))

= limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1) f(x−i)

+ limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1) g(x−i)

=

∫ b

a

f +

∫ b

a

g .

Analogamente, aplicando a definicao de∫ ba(c× f) e propriedades dos limites, temos que∫ b

a

(c× f) = limδ(P )→0

Smin ((c× f), P ) = limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1) (c× f)(x−i)

= limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1) cf(x−i)

= limδ(P )→0

cn∑i=1

(xi − xi−1) f(x−i)

= c limδ(P )→0

n∑i=1

(xi − xi−1) f(x−i)

= c

∫ b

a

f .

�



Em particular, tomando c = −1, obtemos a relacao∫ ba(−f) = −

∫ baf , que e coerente com

a observacao anterior relativa a areas orientadas.Outro caso particular importante e o caso de a funcao f ser constante, f(x) = c. Entao,

para qualquer particao P do intervalo [a, b], os rectangulos considerados quer em Smin (f, p)quer em Smax (f, P ) tem altura c; decorre daı automaticamente que∫ b

a

c dx = c(b− a) .

Consideremos agora a relacao entre os extremos de integracao. Ate agora assumimos sempreimplicitamente que se tem a < b; porem, nao ha necessidade de o fazer. Se pensarmos nosignificado geometrico de

∫ aaf , trata-se da area da figura por baixo do grafico de f entre a e a

— que e um segmento de recta vertical, tendo portanto area nula. Concluimos assim que∫ a

a

f = 0 .

Por outro lado, se invertermos os extremos de integracao (ou seja, se escrevermos∫ abf , com

a < b) estamos ainda a considerar a area sob o grafico de f , mas agora quando percorremoseste grafico partindo de b em direccao a a. Um pouco de reflexao mostra que isto correspondea inverter o sentido da trajectoria da fronteira, o que, conforme discutimos atras, inverte aorientacao da figura e troca portanto o sinal do valor da sua area (orientada). Temos assimque ∫ a

b

f = −∫ b

a

f .

Em qualquer destes casos, continua a verificar-se a seguinte relacao.

Proposicao. Seja f uma funcao contınua num intervalo contendo os tres pontos a, b e c.Entao ∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f .

Demonstracao. Ja verificamos esta relacao para o caso a < c < b. No caso a = c, obtemos∫ b

a

f =

∫ a

a

f +

∫ b

a

f ,

que e verdadeiro uma vez que∫ aaf = 0; o caso b = c e analogo. Finalmente, no caso a < b < c

sabemos que∫ c

a

f =

∫ b

a

f +

∫ c

b

f ⇐⇒∫ c

a

f −∫ c

b

f =

∫ b

a

f ⇐⇒∫ c

a

f +

∫ b

c

f =

∫ b

a

f

conforme querıamos demonstrar. O caso c < a < b e analogo.Se b < a o raciocınio e identico, trocando os papeis de a e b. �

Esta proposicao tem uma consequencia muito simples, mas util na pratica: da relacao∫ baf =

∫ caf +

∫ bcf , obtemos ∫ b

a

f −∫ c

a

f =

∫ b

c

f ,

identidade que utilizaremos varias vezes no seguimento.Outra propriedade cuja validade e muito simples de estabelecer geometricamente e o se-

guinte resultado.



Teorema (Teorema da Media). Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua e m,M dois numerosreais tais que m ≤ f(x) ≤M para qualquer x ∈ [a, b]. Entao

m(b− a) ≤∫ b

a

f ≤M(b− a).

Demonstracao. Os valores m(b−a) e M(b−a) correspondem a Smin (f, P ) e Smax (f, P ) paraa particao mais simples P que so contem os pontos a e b. Para qualquer outra particao P ′ tem-se (por P ′ ser mais fina do que P ) que Smin (f, P ′) ≥ Smin (f, P ) e Smax (f, P ′) ≤ Smax (f, P );sendo o valor do integral definido o limite daquelas sucessoes quando δ (P ′) → 0, este estaranecessariamente entre aqueles dois valores. �

Exercıcio 4. Mostre que 2 ≤∫ 2

0ex

2dx ≤ 2e4.

Teremos oportunidade de ver mais adiante como estas propriedades sao usadas na praticano calculo de integrais definidos. Para ja, o seu interesse e essencialmente teorico, no sentidoem que serao estas propriedades que nos permitirao finalmente encontrar uma regra de calculode integrais.

Para terminar esta seccao, vamos apenas fazer uma referencia a uma questao notacional.Na notacao para o integral definido, o sımbolo de integral (

∫) e a denotacao da variavel

de integracao (tipicamente dx) funcionam como uma especie de “parentesis”, no sentido emque marcam o inıcio e o fim da funcao a integrar. Porem, e frequente (ate por questoesligadas a algumas aplicacoes do integral, conforme discutiremos na Seccao 5.5) ver o integraldefinido como uma soma de infinitas parcelas (um pouco a semelhanca duma serie), em que se“somam” as areas de infinitos “rectangulos” com altura f(x) e base dx. Dentro desta tradicao,o sımbolo dx e visto como uma parcela dum produto, sendo frequente fazer as simplificacoeshabituais, nomeadamente quando a funcao a integrar e constante e igual a 1 ou uma fraccao.Por exemplo, ∫ b

a

1 dx abrevia-se para

∫ b

a

dx∫ b

a

1

x2dx abrevia-se para

∫ b

a

dx

x2∫ b

a

2x

x2 + 1dx abrevia-se para

∫ b

a

2x dx

x2 + 1

e assim por diante. Alias, ja utilizamos esta notacao no contexto da primitivacao, embora sema justificar formalmente.

5.3 Integral indefinido e o Teorema Fundamental

do Calculo

Nesta seccao vamos mostrar a relacao ıntima existente entre o calculo de integrais e o calculode primitivas. Para tal, vamos introduzir um conceito novo: o de integral indefinido.

Suponhamos que f e uma funcao integravel num intervalo I e seja a um ponto desseintervalo. Para cada valor x ∈ I, sabemos como dar sentido ao integral

∫ xaf — vimos na


5.3. INTEGRAL INDEFINIDO E O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 249

seccao anterior como interpretar os casos inicialmente nao previstos em que x = a ou x < a.Ora x e um numero real e

∫ xaf tambem; a regra de tranformacao que associa a cada real x

aquele integral definido e entao uma funcao (de x), designada por integral indefinido de f .

Definicao. Sejam I um intervalo, f : I → R uma funcao integravel em I e a ∈ I. O integralindefinido de f a partir de a e a funcao F : I → R definida por

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt .

Uma vez que o integral indefinido e funcao de x, e importante escolher uma variavel dife-rente para a integracao, para evitar ambiguidades. Observe-se ainda que escolhemos a mesmanotacao para o integral indefinido que usamos no capıtulo anterior para designar primitivas.Veremos de imediato que esta escolha e perfeitamente justificada.

Dados dois pontos x e y, temos

F (x)− F (y) =

∫ x

a

f dt−∫ y

a

f =

∫ x

y

f ,

pelo que F (x)− F (y)→ 0 quando x→ y. Temos assim o resultado seguinte.

Proposicao. O integral indefinido de qualquer funcao e uma funcao contınua.

Sendo F uma funcao contınua, faz sentido tentar calcular a sua derivada. Por definicao dederivada, temos que

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h= lim

h→0

∫ x+ha

f(t) dt−∫ xaf(t) dt

h= lim

h→0

∫ x+hx

f(t) dt

h.

Ora sendo mh o valor mınimo de f entre x e x + h e Mh o valor maximo de f no mesmointervalo, sabemos do Teorema da Media que mhh ≤

∫ x+hx

f(t) dt ≤ Mhh. Concluimos entaoque

mh ≤∫ x+hx

f(t) dt

h≤Mh ;

mas se h→ 0, os valores de mh e Mh tendem ambos para f(x) (desde que f seja contınua noponto x). Tem-se entao

limh→0

∫ x+hx

f(t) dt

h= f(x) .

Dito de outra forma, F ′(x) = f(x).

Teorema (Teorema Fundamental do Calculo I). Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua.Entao o integral indefinido de f e uma primitiva de f .

Este resultado tem duas consequencias imediatas.

Teorema (Teorema Fundamental do Calculo II). Seja f : [a, b]→ R uma funcao diferenciavel.Entao f e a derivada do integral indefinido de f .

Proposicao. Toda a funcao contınua e primitivavel.



Note-se que o Teorema Fundamental do Calculo nao refere explicitamente o ponto de origemdo integral indefinido; de facto, qualquer ponto do intervalo I serve. Se tomarmos dois integraisindefinidos F1 e F2 com origem em pontos diferentes, por exemplo a1 e a2, temos que

F1(x)− F2(x) =

∫ x

a1

f(t) dt−∫ x

a2

f(t) dt =

∫ a2

a1

f(t) dt

e constante. Obtemos mais uma confirmacao dum dos resultados do capıtulo anterior, quedizia que duas primitivas da mesma funcao diferem por uma constante.

Por outro lado, sendo F o integral indefinido de x a partir dum ponto a, temos que∫ y

x

f(t) dt =

∫ a

x

f(t) dt+

∫ y

a

f(t) dt =

∫ y

a

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt = F (y)− F (x) .

Uma vez que o ponto a e arbitrario, esta formula e valida para qualquer integral indefinidode f ; mais, e valida para qualquer primitiva de f , ja que todas elas diferem entre si por umaconstante. Se F ∗ for outra primitiva de f , temos que F ∗(x) = F (x) + C, donde

F ∗(y)− F ∗(x) = (F (y) + C)− (F (x) + C) = F (y)− F (x) .

Obtemos daqui uma formula de calculo para o integral definido.

Teorema (Regra de Barrow). Sejam f : [a, b] → R uma funcao contınua e F uma primitivade f nesse intervalo. Entao ∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) .

Nesta fase, podemos finalmente calcular valores de integrais definidos.

Exemplo. Vamos agora calcular as areas da Figura 5.2, que escrevemos anteriormente naforma de integral indefinido.

1. Vimos anteriormente que a area da Figura 5.2 (a) e dada pela expressao∫ 1

−1

(2− x2

)dx .

Ora a funcao f(x) = 2−x2 admite como primitiva a funcao F (x) = 2x− x3

3; entao temos

que ∫ 1

−1

(2− x2

)dx = F (1)− F (−1) =

(2− 1

3

)−(−2 +

1

3

)=

10

3.

2. Tambem vimos atras que a area a sombreado na Figura 5.2 (b) e dada pela expressao∫ 2

0

x3 dx .

Uma primitiva de f(x) = x3 e, por exemplo, F (x) = x4

4. Entao temos que∫ 2

0

x3 dx = F (2)− F (0) = 4− 0 = 4 .


5.3. INTEGRAL INDEFINIDO E O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 251

3. Finalmente, no caso da Figura 5.2 (c), a area a sombreado e dada pela expressao∫ π2

−π2

cos(x) dx .

Uma primitiva de f(x) = cos(x) e, por exemplo, F (x) = sin(x). Entao temos que∫ π2

−π2

cos(x) dx = F(π

2

)− F

(−π

2

)= 1− (−1) = 2 .

Exercıcio 5. Considere novamente o Exercıcio 1. Calcule as areas das figuras nas alıneas (a)e (b). Qual e o problema que surge com o calculo da area da alınea (c)?

Exercıcio 6. Calcule as areas das figuras do Exercıcio 2.

O Teorema Fundamental do Calculo tambem nos permite calcular derivadas de funcoesmais complexas definidas como integrais indefinidos. Imaginemos que querıamos derivar afuncao g definida da seguinte forma.

g(x) =

∫ x3−1

2x+1

arctan(t) dt

O Teorema Fundamental do Calculo so nos permite derivar funcoes da forma∫ xaf(t) dt;

precisamos entao de escrever g nesta forma. Sendo f(x) = 2x+ 1 e h(x) = x3 − 1, temos que

g(x) =

∫ h(x)

f(x)

arctan(t) dt

=

∫ a

f(x)

arctan(t) dt+

∫ h(x)

a

arctan(t) dt

=

∫ h(x)

a

arctan(t) dt−∫ f(x)

a

arctan(t) dt

para qualquer ponto a para o qual os integrais indefinidos considerados facam sentido. Ora

sendo g∗ =∫ xaf(t) dt o integral indefinido de arctan(t), temos que o integral

∫ h(x)a

arctan(t) dte a composicao de g∗ com h(x); entao

g(x) = g∗(h(x))− g∗(f(x)) ,

donde pela regra da cadeia obtemos

g′(x) = g′∗(h(x))h′(x)− g′∗(f(x))f ′(x) = arctan(x3 − 1

)× 3x2 − arctan (2x+ 1)× 2 .

Em geral, temos a seguinte relacao.(∫ h(x)

g(x)

f(t) dt

)′= f(h(x))h′(x)− f(g(x))g′(x) .



Exercıcio 7. Para cada uma das seguintes funcoes, calcule a sua derivada e use o resultadoobtido para determinar os seus maximos, mınimos e intervalos de monotonia.

(a) F (x) =∫ x0e−t

2(t+ 3) dt (b) G(x) =

∫ x0t2−5t+6t−4 dt (c) H(x) =

∫ 2x

1t log(t) dt

5.4 Calculo de integrais

A seccao anterior apresentou uma formula de calculo para integrais definidos com base na regrade Barrow, que relaciona o integral definido de f com valores das primitivas de f .

Nesta seccao vamos introduzir uma notacao usada muito frequente no calculo de integrais,que e util quando a funcao integranda nao e uma primitiva imediata. Vamos ainda reescreveras regras de primitivacao em termos de integrais definidos — uma tecnica que simplifica ocalculo de integrais concretos, por permitir poupar alguns calculos.

A regra de Barrow afirma que o integral definido de f entre a e b pode ser calculado comoF (b) − F (a), onde F e uma primitiva de f . E muito comum representar esta diferenca pelanotacao [F (x)]ba, que se le “F somada entre a e b”. Recorrendo a esta notacao, a regra deBarrow passa a ter a forma ∫ b

a

f(x) dx = [F (x)]ba .

Usando esta notacao, os exemplos do final da seccao anterior poderiam ter sido escritos daseguinte forma.∫ 1

−1

(2− x2

)dx =

[2x− x3

3

]1−1

=

(2− 1

3

)−(−2 +

1

3

)=

10

3∫ 2

0

x3 dx =

[x4

4

]20

= 4− 0 = 4∫ π2

−π2

cos(x) dx = [sin(x)]π2

−π2

= 1− (−1) = 2

A grande vantagem desta notacao e permitir-nos incluir o calculo da primitiva durante aresolucao do integral definido, evitando que se tenha de interromper um problema para resolveroutro no entretanto. Esta vantagem e ainda mais notoria quando a primitiva nao e imediata— nomeadamente nos casos da primitivacao por partes e por substituicao. No primeiro caso,permite-nos ir somando as primitivas que vao surgindo; no segundo caso, permite-nos pouparo trabalho de desfazer as substituicoes no final.

Consideremos em primeiro lugar o caso da primitivacao por partes. Vimos que esta regrapode ser escrita como ∫

f ′g = fg −∫fg′

ou, explicitando a variavel,∫f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x) dx .


5.4. CALCULO DE INTEGRAIS 253

Uma vez que a expressao da direita e uma primitiva de f ′(x)g(x), se quisermos calcular umintegral definido desta ultima expressao entre a e b temos de somar a funcao da direita entreesses dois pontos. Mas somar

∫f(x)g′(x) dx entre a e b e precisamente calcular o integral

definido desta funcao entre esses dois pontos. Obtemos entao a seguinte regra.

Proposicao (Integracao por partes). Sejam f e g duas funcoes tais que f ′g e fg′ sao funcoesintegraveis entre a e b. Entao∫ b

a

f ′(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f(x)g′(x) dx .

Suponhamos que querıamos calcular∫ 2

1log(x) dx. Uma vez que log(x) se primitiva por

partes, podemos utilizar a regra da integracao por partes para calcular o resultado.∫ 2

1

log(x) dx = [x log(x)]21 −∫ 2

1

x

xdx = (2 log 2− log 1)−

∫ 2

1

dx

= 2 log 2− [x]21 = 2 log 2− (2− 1) = 2 log 2− 1

Esta regra e particularmente util quando precisamos de primitivar varias vezes por partes.Por exemplo, vejamos como calcular

∫ 2

−1 (x2 − x) ex dx.∫ 2

−1

(x2 − x

)ex dx =

[(x2 − x

)ex]2−1 −

∫ 2

−1(2x− 1)ex dx

=(2e2 − 2e−1

)− [(2x− 1)ex]2−1 +

∫ 1

−12ex dx

=(2e2 − 2e−1

)−(3e2 + 3e−1

)+

∫ 1

−12ex dx

= −e2 − 5e−1 + 2 [ex]2−1= −e2 − 5e−1 + 2e2 − 2e−1 = e2 − 7e−1

Calculando a primitiva separadamente os calculos seriam bastante mais trabalhosos.

Exercıcio 8. Aplique a regra de integracao por partes para calcular os seguintes integrais.

(a)∫ 1

0x2ex dx (b)

∫ 2

0x√

1+4xdx (c)

∫ π0x3 sin(x) dx

A regra de primitivacao por substituicao gera uma regra de integracao um pouco diferente.Relembremos: para primitivar f(x) com x = g(t), primitivamos f(g(t))g′(t) em ordem a t edepois desfazemos a substituicao. Temos entao a formula∫

f(x) dx =

∫f(g(t))g′(t) dt .

Em termos de integrais, isto significa que a expressao do lado direito e uma primitiva de f(x)

— mas escrita em termos da variavel t. Entao, para calcular∫ baf(x) dx, podemos somar a

primitiva da direita em x entre a e b. Ora usando a relacao x = g(t) podemos somar essamesma primitiva em t desde que ajustemos os extremos do intervalo por forma a manter essarelacao. E ainda necessario que a funcao g seja monotona no novo intervalo de integracao.

Obtemos entao a seguinte regra.



Proposicao (Integracao por substituicao). Sejam f e g duas funcoes tais que f e integravelentre a e b e (f ◦ g)g′ e integravel entre α e β, com g(α) = a e g(β) = b; assuma-se ainda queg e monotona entre α e β. Entao∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(g(t))g′(t) dt .

Esta regra parece muito complicada, mas na realidade e bastante simples de aplicar. Vamosver como esta tecnica nos permite calcular de forma relativamente simples o integral∫ e

1

log(x)− (log(x)2) + 3 (log(x)3)

xdx .

Uma vez que 1x

e a derivada de log(x), fazendo t = log(x) obtemos dt = 1xdx, que nos permite

simplificar a funcao a primitivar.

O que e que acontece aos extremos de integracao? Se x = 1, entao t = log(x) = 0; se x = e,entao t = log(x) = 1. Vamos portanto integrar em t entre 0 e 1. Os restantes calculos saosimples.∫ e

1

log(x)− (log(x)2) + 3 (log(x)3)

xdx =

∫ 1

0

t− t2 + 3t3 dt

=

[t2

2− t3

3+

3t4

4

]10

=

(1

2− 1

3+

3

4

)=

11

12

Vejamos outro exemplo. Suponhamos que querıamos calcular∫ 1

−1

√1− x2 dx ,

integral que sabemos ser resoluvel com a substituicao x = sin(t). Entao temos que dx =cos(t)dt; para usar a regra de integracao por substituicao, precisamos de encontrar dois pontosα e β tais que sin(α) = −1, sin(β) = 1 e a funcao seno e monotona entre α e β. Umapossibilidade e tomar α = −π

2e β = π

2. Temos entao as seguintes igualdades.

∫ 1

−1

√1− x2 dx =

∫ π2

−π2

√1− sin2(t) cos(t) dt =

∫ π2

−π2

cos2(t) dt

=

∫ π2

−π2

cos(2t) + 1

2dt

=1

2

∫ π2

−π2

(cos(2t) + 1) dt =1

2

[sin(2t)

2+ t

]π2

−π2

=1

2

(π2−(−π

2

))=π

2

A grande vantagem e nao termos de desfazer a substituicao no final. Em geral, isto representauma grande simplificacao nos calculos a realizar.


5.5. APLICACOES 255

Exercıcio 9. A escolha de α = −π2

e β = π2

nao e a unica nas condicoes da regra de integracaopor substituicao. Verifique que o valor do integral e o mesmo se se usarem as seguintes escolhas.

(a) α = 3π2

, β = 5π2

(b) α = 3π2

, β = π2

O que e que acontece se tomarmos α = −π2

e β = 5π2

? Porque e que isto nao contradiz aregra de primitivacao por substituicao?

Exercıcio 10. Aplique a regra de integracao por substituicao para calcular os seguintesintegrais.

(a)∫ 1

−1dx

(1+x2)2(b)

∫ e1

1+log(x)x

dx (c)∫ log 5

0ex√ex−1

ex+3dx

Exercıcio 11. Verifique que∫ a

1a

1x

sin(x− 1

x

)dx = 0, com a 6= 0, usando a substituicao x = 1

t.

5.5 Aplicacoes

Agora que sabemos calcular integrais definidos recorrendo a regra de Barrow, vamos discutirproblemas praticos cuja formulacao conduz naturalmente a resolucao de um destes objectos.Naturalmente, alguns destes exemplos sao geometricos, dada a nossa motivacao inicial baseadano calculo de areas; porem, o integral definido permite resolver outro tipo de problemas que apartida pouco parecem ter a ver com este contexto.

5.5.1 Calculo de areas

Definimos o integral duma funcao f num intervalo [a, b] como sendo o valor da area sob ografico de f nesse intervalo. Isto significa que podemos usar integrais definidos para calcularareas de figuras desta forma — como alias fizemos ja nalguns exemplos e exercıcios de seccoesanteriores.

Porem, a mesma tecnica pode ser usada em casos mais gerais. Consideremos por exemploa area a sombreado na Figura 5.11 (a). A partida, a area desta figura nao corresponde a areasob o grafico de nenhuma funcao; porem, podemos ver o seu contorno superior como o graficoduma funcao f e o seu contorno inferior como o grafico duma funcao g (Figura 5.11 (b)) eescrever a sua area como a diferenca de duas areas (Figura 5.11 (c)).

Concluimos entao que a area pretendida e dada por∫ baf −

∫ bag, que, por linearidade, e

igual a ∫ b

a

f − g .

Vamos ver como podemos usar este metodo para calcular areas de algumas figuras. Paracomecar, vamos determinar a area dum cırculo de raio R. Uma vez que esta area nao varia portranslaccao, podemos escolher o sistema de eixos centrado no centro do cırculo (Figura 5.12).



x

y

(a)

x

y

y=f(x)

y=g(x)

a b

(b)

x

y

A

B

y=f(x)

y=g(x)

a b

(c)

Figura 5.11: A area representada na figura (a) pode ser vista como limitada pelos graficos deduas funcoes f e g (b). Assim, podemos representa-la como a diferenca de dois integrais (c):a area B e a diferenca entre o integral de f (que mede A+B) e o integral de g (que mede A).

A equacao analıtica da circunferencia e x2 + y2 = R2. Resolvendo esta equacao em ordema y, obtemos

x2 + y2 = R2 ⇐⇒ y2 = R2 − x2 ⇐⇒ y = ±√R2 − x2 .

As duas solucoes desta equacao correspondem as duas funcoes que limitam a circunferenciasuperior e inferiormente. Temos entao que a area do cırculo e dada por∫ R

−R

√R2 − x2 −

(−√R2 − x2

)dx =

∫ R

−R2√R2 − x2 dx .

Para resolver este integral, vamos aplicar a substituicao x = R sin(t). Ja sabemos quedx = R cos(t) dt, x = −R quando t = −π

2e x = R quando t = π

2. Por outro lado, temos que

√R2 − x2 =

√R2 −R2 sin2 t =

√R2 cos2 t = R cos(t)

x

y

R

R-R

-R

y= R²-x²

y=- R²-x²

Figura 5.12: Calculo da area dum cırculo.


5.5. APLICACOES 257

uma vez que R ≥ 0 e cos(t) e positivo no intervalo considerado. Obtemos∫ R

−R2√R2 − x2 dx = 2

∫ R

−R

√R2 − x2 dx = 2

∫ π2

−π2

R2 cos2(t) dt

= 2R2

∫ π2

−π2

cos2(t) dt = 2R2π

2= πR2

usando o valor do integral ja calculado anteriormente.

Exercıcio 12. Recorrendo a um integral indefinido, calcule:

(a) a area dum triangulo com vertices (0, 0), (0, a) e (b, a);

(b) a area duma elipse de equacao x2 + 2y2 = 3;

(c) a area da figura limitada superiormente pelo grafico de y = ex, inferiormente pelo graficode x2, e horizontalmente pelas rectas y = 1 e y = 3.

Um caso muito frequente e haver interesse em calcular a area duma figura limitada porvarias curvas. Nestas situacoes, e conveniente comecar por desenhar a figura e determinaros pontos relevantes para a expressao da sua area como integral: pontos onde a equacao dafronteira muda e extremos de integracao, entre outros. De seguida, escreve-se a area a calcularcomo um integral definido ou uma soma de integrais definidos e calcula-se pelos processosusuais.

Exemplo.

1. Vamos calcular a area limitada pela parabola y = x2 − 2x e pela recta y = x.

O primeiro passo e determinar os pontos de interseccao daquelas duas curvas, que serao osvertices da fronteira da regiao a integrar. Estes pontos determinam-se igualando ambasas funcoes e resolvendo a equacao resultante.

x2 − 2x = x⇐⇒ x2 − 3x = 0⇐⇒ x(x− 3) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 3

Concluimos portanto que as curvas se intersectam nos pontos (0, 0) e (3, 3). Em seguida,precisamos de esbocar a figura para perceber qual das curvas limita superiormente aregiao e qual a limita inferiormente. O desenho esta feito na Figura 5.13; uma vez queno intervalo [0, 3] a recta y = x esta acima da parabola y = x2 − 2x, vamos tomar aprimeira expressao como o grafico de y = f(x) e a segunda como o de y = g(x). A areada figura e entao dada pelo seguinte integral.∫ 3

0

x−(x2 − 2x

)dx =

∫ 3

0

−x2 + 3x dx

=

[−x

3

3+

3x2

2

]30

=

(−9 +

27

2

)=

9

2



x

y

-1

1

2

3

-1 1 2 3

y=x

y=x²-2x

Figura 5.13: Regiao limitada pela parabola y = x2 − 2x e pela recta y = x.

2. Consideremos agora a regiao limitada pelas tres rectas y = 32x + 1

2, y = 1

3x − 2

3e

y = −2x + 4. Para podermos escrever esta regiao como um integral, vamos calcular ospontos de interseccao destas rectas, resolvendo as tres equacoes seguintes.

3

2x+

1

2=

1

3x− 2

3⇐⇒ 9x+ 3 = 2x− 4⇐⇒ 7x = −7⇐⇒ x = −1

3

2x+

1

2= −2x+ 4⇐⇒ 3x+ 1 = −4x+ 8⇐⇒ 7x = 7⇐⇒ x = 1

1

3x− 2

3= −2x+ 4⇐⇒ x− 2 = −6x+ 12⇐⇒ 7x = 14⇐⇒ x = 2

Estas rectas intersectam-se portanto nos pontos (−1,−1), (1, 2) e (2, 0). Desenhando aregiao (Figura 5.14), verificamos que esta e limitada entre x = −1 e x = 1 pelas rectasy = 3

2x+ 1

2(acima) e y = 1

3x− 2

3(abaixo), enquanto que entre x = 1 e x = 2 e limitada

por y = −2x + 4 (acima) e y = 13x − 2

3(abaixo). A area desta regiao e portanto dada

pela soma de dois integrais definidos.

x

y

-2 -1 1 2 3

2

1

-1

-2

y=-2x+4

y=x/3-2/3

y=3x/2+1/2

Figura 5.14: Regiao limitada pelas tres rectas y = 32x+ 1

2, y = 1

3x− 2

3e y = −2x+ 4.


5.5. APLICACOES 259

A =

∫ 1

−1

((3

2x− 1

2

)−(

1

3x− 2

3

))dx+

∫ 2

1

((−2x+ 4)−

(1

3x− 2

3

))dx

=

∫ 1

−1

(7

6x+

1

6

)dx+

∫ 2

1

(−7

3x+

14

3

)dx

=

[7x2

12+x

6

]1−1

+

[−7x2

6+

14x

3

]21

=

((7

12+

1

6

)−(

7

12− 1

6

))+

((−14

3+

28

3

)−(−7

6+

14

3

))=

1

3+

7

6=

3

2

3. Para concluir, vamos calcular a area da regiao acima de uma, mas nao de ambas asparabolas y = x2 e y = (x+ 1)2 e abaixo da recta y = 4.

Uma vez que as duas parabolas tem concavidade virada para cima, vao-se intersectarnecessariamente. O ponto de interseccao satisfaz

x2 = (x+ 1)2 ⇐⇒ 2x+ 1 = 0⇐⇒ x = −1

2,

sendo portanto o ponto(−1

2, 14

).

Os pontos de interseccao com a recta horizontal sao as raızes das duas equacoes seguintes.

x2 = 4⇐⇒ x = ±2

(x+ 1)2 = 4⇐⇒ x2 + 2x− 3 = 0⇐⇒ x = −1± 2⇐⇒ x = −3 ou x = 1

Podemos entao esbocar a regiao a integrar como na Figura 5.15.

x

y

-3 -2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

y=x²y=(x+1)²

y=4

Figura 5.15: Regiao limitada pelas parabolas y = x2 e y = (x+ 1)2 e pela recta y = 4.

Observando a figura, vemos que temos quatro regioes distintas de integracao consoanteo valor de x:



- em [−3,−2], a regiao e limitada em baixo por y = (x+ 1)2 e em cima por y = 4;

- em[−2,−1

2

], a regiao e limitada em baixo por y = (x+ 1)2 e em cima por y = x2;

- em[−1

2, 1], a regiao e limitada em baixo por y = x2 e em cima por y = (x+ 1)2;

- em [1, 2], a regiao e limitada em baixo por y = x2 e em cima por y = 4.

Podemos entao expressar a area desta regiao como a soma de quatro integrais.

A =

∫ −2−3

(4− (x+ 1)2

)dx+

∫ − 12

−2

(x2 − (x+ 1)2

)dx

+

∫ 1

− 12

((x+ 1)2 − x2

)dx+

∫ 2

1

(4− x2

)dx

=

∫ −2−3

(−x2 − 2x+ 3

)dx+

∫ − 12

−2(−2x− 1) dx+

∫ 1

− 12

(2x+ 1) dx+

∫ 2

1

(4− x2

)dx

=

[−x

3

3− x2 + 3x

]−2−3

+[−x2 − x

]− 12

−2 +[x2 + x

]1− 1

2

+

[4x− x3

3

]21

=

((8

3− 4− 6

)− (9− 9− 9)

)+

((−1

4+

1

2

)− (−4 + 2)

)+

((1 + 1)−

(1

4− 1

2

))+

((8− 8

3

)−(

4− 1

3

))=

5

3+

9

4+

9

4+

5

3=

47

6

Exercıcio 13. Calcule a area das regioes do plano delimitadas pelas seguintes curvas.

(a)

y = x2

y = 5x

x = 1

x = 6

(b)

{y = x2

y = 8− x2(c)

{y2 = 6x

x2 = 6y(d)

y = sin(x)

y = x sin(x)

x = 0

x = π

Exercıcio 14. Calcule a area das regioes do plano definidas pelas seguintes condicoes.

(a)

y ≥ x2

8

y ≤ x

y ≤ 1x

(b)

y ≥ x2

y ≥ x

y ≤ 4

x ≥ 0

(c)

(x− 1)2 + y2 ≤ 1

x− y − 1 ≥ 0

x ≤ 12

(d)

{y ≤ 4x− x2

y ≥ x

5.5.2 Comprimentos de curvas

A definicao do integral como o limite de um somatorio leva a que este surja de forma umpouco inesperada como solucao de outro tipo de problemas. Uma das aplicacoes — tambemela geometrica — e a determinacao de comprimentos de curvas.


5.5. APLICACOES 261

O comprimento dum segmento de recta horizontal ou vertical mede-se directamente. Osegmento horizontal que une dois pontos (a, y) e (b, y) tem comprimento b − a, tal como osegmento vertical que une dois pontos (x, a) e (x, b). Para segmentos diagonais, o comprimentoe calculado com base no Teorema de Pitagoras: um segmento entre A = (xa, ya) e B = (xb, yb)e a hipotenusa dum triangulo rectangulo cujo terceiro vertice e (xb, ya), tendo portanto oscatetos comprimentos xb − xa e yb − ya. O segmento AB tem portanto comprimento

d ((xa, ya) , (xb, yb)) =

√(xb − xa)2 + (yb − ya)2

conforme ilustrado na Figura 5.16.

A

B

C

y -yab

x -xab

(x -x )²+(y -y )²b aab

Figura 5.16: Calculo do comprimento dum segmento de recta.

Como podemos determinar o comprimento duma curva em geral? Num curso mais avan-cado, podemos resolver o problema para o caso de qualquer curva; com o estudo de integraisdefinidos feito neste texto, vamos limitar-nos ao contexto em que a curva e, mais uma vez, ografico duma funcao contınua (ou a uniao de graficos de funcoes contınuas).

O raciocınio e semelhante ao que usamos para calcular o valor do integral definido. Es-colhendo uma curva generica (Figura 5.17 (a)), vamos dividi-la em varios trocos e aproximarcada troco pelo segmento de recta que une os seus extremos. Quanto mais pontos marcarmos,melhor (em princıpio) sera esta aproximacao (Figura 5.17 (b) e (c)).

(a) (b) (c)

Figura 5.17: Calculo aproximado do comprimento duma curva.



Qual e o comprimento de cada aproximacao? Uma vez que a curva e o grafico dumafuncao f , cada aproximacao e determinada pelos pontos xi, ou seja, novamente por umaparticao do intervalo [a, b]. Sendo P a particao constituıda pelos pontos a = x0, x1, . . . , xn = b,as coordenadas de cada ponto sobre a curva sao (xi, f (xi)) e cada segmento tem comprimento√

(xi − xi−1)2 + (f (xi)− f (xi−1))2 .

O comprimento da aproximacao associada a particao P e entao a soma de todos estes compri-mentos, para i = 1, . . . , n, e estamos interessados no limite deste valor (caso exista) quando odiametro de P se aproxima de 0.

Encontramos aqui varias semelhancas com a definicao de integral, ja que estamos novamentea considerar um limite duma soma quando δ (P )→ 0. Para conseguir escrever o comprimentoda curva como um integral, precisamos de fazer uma observacao. Pelo Teorema de Lagrange,em cada intervalo [xi−1, xi] existe um ponto x∗i tal que

f ′ (x∗i ) (xi − xi−1) = f (xi)− f (xi−1) .

Podemos entao reescrever a expressao do comprimento de cada segmento como√(xi − xi−1)2 + (f (xi)− f (xi−1))

2 =

√(xi − xi−1)2 + (f ′ (x∗i ) (xi − xi−1))2

=

√(xi − xi−1)2 + (f ′ (x∗i ))

2 (xi − xi−1)2

=√

(xi − xi−1)2[1 + (f ′ (x∗i ))

2]= (xi − xi−1)

√1 + (f ′ (x∗i ))

2 .

Porem, como xi − xi−1 → 0 e f e contınua, o limite desta expressao nao se altera sesubstituirmos x∗i por x−i ou x+i . No primeiro caso, estamos a aproximar o comprimento dacurva por

Smin

(√1 + (f ′)2, P

),

no segundo por

Smax

(√1 + (f ′)2, P

).

Conclui-se entao que o comprimento do grafico de f entre a e b e dado pela expressao∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx .

Como primeiro exemplo, vamos calcular o comprimento do grafico de f(x) =√x3 entre os

pontos (0, 0) e (4, 8), desenhado na Figura 5.18.Uma vez que f e uma potencia, temos que

f ′(x) =(x

32

)′=

3

2x

12 =

3

2

√x ,

donde

(f ′(x))2

=9x

4.


5.5. APLICACOES 263

x

y

1 2 3 4

2

4

6

8

f(x)= x³

Figura 5.18: Grafico de f(x) =√x3 entre os pontos x = 0 e x = 4.

Temos entao que∫ 4

0

√1 + (f ′(x))2 dx =

∫ 4

0

√1 +

9x

4dx =

∫ 4

0

(1 +

9x

4

) 12

dx

=

(1 + 9x4

) 32

94× 3

2

4

0

=10

32 − 1278

=80√

10− 8

27≈ 9.08 .

Exemplo. Vamos usar a mesma tecnica para determinar o perımetro duma circunferenciade raio R. Conforme discutimos anteriormente, podemos escolher um referencial com origemno centro da circunferencia; esta passa entao a ser a uniao dos graficos das duas funcoesy = ±

√R2 − x2 (ver Figura 5.19).

x

y

R

R-R

-R

y= R²-x²

y=- R²-x²

Figura 5.19: Calculo do perımetro duma circunferencia.

Sendo f(x) =√R2 − x2 a expressao da funcao que define a metade superior da circun-

ferencia e g(x) = −√R2 − x2 a que define a sua metade inferior, temos de calcular as expressoes√

1 + (f ′(x))2 e√

1 + (g′(x))2. Antes de mais, note-se que√1 + (g′(x))2 =

√1 + (−f ′(x))2 =

√1 + (f ′(x))2 ,



pelo que podemos reduzir o problema ao calculo dum integral. Temos ainda

f ′(x) =−2x

2√R2 − x2

= − x√R2 − x2

,

donde a expressao√

1 + (f ′(x))2 se simplifica a

√1 + (f ′(x))2 =

√1 +

x2

R2 − x2=

√R2

R2 − x2.

Uma vez que nesta expressao ocorre o termo√R2 − x2, vamos calcular este integral aplicando

primitivacao por substituicao, com x = R sin(t), donde decorre novamente que dx = R cos(t) dte os limites de integracao passam a ser t = −π

2e t = π

2.

P =

∫ R

−R

√1 + (f ′(x))2 dx+

∫ R

−R

√1 + (g′(x))2 dx

=

∫ R

−R

(√1 + (f ′(x))2 +

√1 + (g′(x))2

)dx = 2

∫ R

−R

√1 + (f ′(x))2 dx

= 2

∫ R

−R

√R2

R2 − x2= 2

∫ π2

−π2

√R2

R2 cos2(t)R cos(t) dt

= 2

∫ π2

−π2

R

R cos(t)R cos(t) dt = 2

∫ π2

−π2

R dt = 2πR

Ha substituicoes especıficas para primitivar funcoes da forma√

1 + (f ′(x))2, nomeadamente

a substituicao x = tan(t) discutida no capıtulo anterior. Contudo, e importante ter em contaque, mesmo recorrendo a essas substituicoes, ha muitos graficos de funcoes cujo comprimentonao conseguimos calcular usando esta tecnica porque a funcao integranda nao e elementarmenteprimitivavel. Recorrendo mais uma vez a metodos numericos de calculo de integrais, a formulado calculo do comprimento permite-nos obter aproximacoes tao boas quanto o desejado daquelevalor.

Exercıcio 15. Calcule o comprimento das seguintes curvas.

(a) Uma elipse de equacao x2 + 2y2 = 3.

(b) O grafico de y = x2 − log(x)8

com x ∈ [2, 3].

(c) O grafico de y = log(cos(x)) com π4≤ x ≤ π

3.

(d) O grafico de y = x2 entre x = −1 e x = 1.

5.5.3 Volumes de solidos de revolucao

Outra aplicacao semelhante a anterior diz respeito ao calculo de volumes de solidos de revolu-cao. Estes solidos sao obtidos por rotacao duma figura plana em torno dum eixo. Exemplos


5.5. APLICACOES 265

tıpicos sao uma esfera (rotacao dum cırculo em torno do seu diametro), um cone (rotacao deum triangulo rectangulo em torno dum dos catetos) ou um toro (rotacao dum cırculo em tornoduma recta que lhe e exterior).

O volume destes solidos pode ser escrito mais uma vez como um integral simples, umavez que pode ser visto como um limite dum somatorio. Seja f uma funcao definida numintervalo [a, b] e consideremos o solido obtido por rotacao do grafico de f em torno do eixohorizontal (Figura 5.20).

x

f(x)

x

Figura 5.20: Solido de revolucao obtido por rotacao do grafico duma funcao em torno do eixohorizontal.

Tal como aproximamos a area sob o grafico de f recorrendo a particoes do intervalo [a, b],podemos aproximar o volume deste solido duma forma semelhante. Fixada uma particao, cadaum dos rectangulos usados para aproximar a area de f gera por rotacao um cilindro com eixohorizontal de altura xi − xi−1 e raio f (x∗i ); entao o volume do solido e aproximado por

n∑i=1

(xi − xi−1)π (f (x∗i ))2

que, a medida que o diametro da particao tende para 0, converge para∫ b

a

π (f(x))2 dx .

Da mesma forma, se o solido for obtido por rotacao em torno do eixo horizontal da figuraentre os graficos de duas funcoes positivas f e g, com g(x) ≥ f(x) em [a, b], o seu volume seradado pela diferenca entre o solido de revolucao obtido a partir de f e o solido de revolucaoobtido a partir de g, que por linearidade do integral e igual a∫ b

a

π (g(x))2 − (f(x))2 dx .

Observe-se que nao podemos generalizar estes resultados a funcoes que tomem valoresnegativos, ja que nem e claro definir o solido de revolucao associado ao seu grafico.


Exemplo.

1. Vamos usar este resultado para calcular o volume duma esfera de raio R. Este solidopode ser obtido por rotacao dum semi-cırculo assente no eixo horizontal em torno desse



x

yf(x)= R²-x²

R-R

x

y

Figura 5.21: Obtencao duma esfera a partir da rotacao dum semi-cırculo em torno do eixohorizontal.

eixo; se centrarmos o semi-cırculo na origem do referencial, este correspondera novamentea area sob o grafico da funcao f definida por f(x) =

√R2 − x2 (ver Figura 5.21).

Entao o volume pretendido e dado por

V =

∫ R

−Rπ√R2 − x2

2dx = π

∫ R

−R

(R2 − x2

)dx

= π

∫ R

−RR2 dx− π

∫ R

−Rx2 dx = 2πR3 − π

[x3

3

]R−R

= 2πR3 − 2

3πR3 =

4

3πR3 .

2. Fazendo rodar a parabola de equacao y = x2 no intervalo [−1, 1] em torno do eixohorizontal, obtemos um solido de revolucao cujo volume podemos calcular.

V =

∫ 1

−1π(x2)2

dx = π

∫ 1

−1x4 dx = π

[x5

5

]1−1

=2

5π .

x

y

-1 1

-1

1f(x)=x²

x

y


5.5. APLICACOES 267

3. Consideremos agora a regiao do primeiro quadrante limitada pela curva y =√x e a recta

y = 1 e calculemos o volume do solido que se obtem por rotacao desta regiao em tornodo eixo horizontal.

Comecemos por desenhar a regiao para poder esbocar o solido.

x

y

1

-1

1y=1

f(x)= x

x

y

O volume do solido gerado e entao

V =

∫ 1

0

π(1−√x2) dx = π

∫ 1

0

dx− π∫ 1

0

x dx = π − π[x2

2

]10

=π

2.

Exercıcio 16. Calcule o volume dos solidos obtidos pela rotacao em torno do eixo dos xx daregiao limitada por esse eixo e pelo grafico de cada uma das seguintes funcoes.

(a) f(x) = x2 em [0, 2] (b) f(x) = 2 cos(x) em[0, π

2

]

Exercıcio 17. Calcule o volume dos seguintes solidos de revolucao.

(a) Um cone, obtido pela rotacao em torno do eixo dos xx dum triangulo rectangulo de altura he base r, com os catetos assentes nos eixos coordenados.

(b) Um cilindro, obtido pela rotacao em torno do eixo dos xx dum rectangulo de lados h e k,com um dos lados de comprimento h assente no eixo horizontal.

A outra possibilidade e gerar um solido de revolucao por rotacao do grafico da funcao fem [a, b] em torno do eixo vertical (ver Figura 5.22).

Agora, cada rectangulo associado a uma particao do intervalo [a, b] gera um cilindro dealtura f (x∗). O volume de cada cilindro e obtido como a diferenca entre os volumes umcilindro exterior de raio xi e um cilindro interior de raio xi−1, ou seja, π

(x2i − x2i−1

)f (x∗i ),

expressao que pode ser reescrita como π (xi − xi−1) (xi + xi−1) f (x∗i ); obtemos novamente umasoma como aproximacao do volume do solido.

n∑i=1

π (xi − xi−1) (xi + xi−1) f (x∗i )



x

f(x)

y

x

y

Figura 5.22: Solido de revolucao obtido por rotacao do grafico duma funcao em torno do eixovertical.

A medida que o diametro da particao tende para 0, esta soma tambem converge para umintegral, desta vez ∫ b

a

2πxf(x) dx = 2π

∫ b

a

xf(x) dx .

Mais uma vez, se a regiao for limitada superiormente pelo grafico de f e inferiormente pelografico de g, o seu volume e dado por

2π

∫ b

a

x(f(x)− g(x)) dx .

Podemos usar esta formula para calcular novamente o volume duma esfera de raio R, obtidaagora por rotacao dum semi-cırculo assente no eixo vertical e centrado na origem do referencial(Figura 5.23).

x

yf(x)= R²-x²

R

g(x)=- R²-x²

x

y

Figura 5.23: Obtencao duma esfera a partir da rotacao dum semi-cırculo em torno do eixovertical.


5.5. APLICACOES 269

Este semi-cırculo e limitado superiormente pelo grafico de f(x) =√R2 − x2 e inferiormente

pelo de g(x) = −√R2 − x2, mas agora estas funcoes estao definidas apenas entre 0 e R. O

volume pretendido e entao dado por

V = 2π

∫ R

0

x(√

R2 − x2 −√R2 − x2

)dx = 4π

∫ R

0

x(R2 − x2

) 12 dx

= 4π

[(R2 − x2)

32

−2× 32

]R0

= 4πR3

3=

4

3πR3 .

Exemplo.

1. Consideremos o solido obtido por rotacao em torno do eixo dos yy da regiao limitada pory = 3−x2 e y = 3x− 1, com x > 0. Estas curvas intersectam-se em x = 1, como se podeverificar.

Para calcular o volume deste solido, temos de comecar por desenhar a regiao que o gera.

x

y

-1 1

3

2

1

-1

y=3-x²

y=3x-1

4

x

y

O volume pretendido e entao

V = 2π

∫ 1

0

x(3− x2 − (3x− 1)

)dx = 2π

∫ 1

0

(−x3 − 3x2 + 4x

)dx

= 2π

[−x

4

4− x3 + 2x2

]10

= 2π

(−1

4− 1 + 2

)=

3π

2.

2. A rotacao dum cırculo em torno dum eixo exterior gera um toro. Se posicionarmos ocırculo por forma a que o seu diametro assente no eixo horizontal, obtemos um solidocomo o ilustrado na Figura 5.24.

Supondo que o raio deste cırculo e 1 e que o seu centro e o ponto (2, 0), as funcoesque o delimitam sao f(x) =

√1− (x− 2)2 (superiormente) e g(x) = −

√1− (x− 2)2

(inferiormente), donde obtemos o seguinte valor para o seu volume.



x

y

-3 -2 -1 1 2 3

x

y

Figura 5.24: Obtencao dum toro a partir da rotacao dum cırculo em torno dum eixo exterior.

V = 2π

∫ 3

1

x2√

1− (x− 2)2 dx = 4π

∫ 3

1

(x− 2 + 2)√

1− (x− 2)2 dx

= 4π

∫ 3

1

(x− 2)√

1− (x− 2)2 dx+ 4π

∫ 3

1

2√

1− (x− 2)2 dx

= 4π

[(1− (x− 2)2)

32

−2× 32

]31︸︷︷︸

0

+8π

∫ π2

−π2

cos2(t) dt︸︷︷︸x−2=sin(t)

= 8ππ

2= 4π2

Exercıcio 18. Calcule o volume dos solidos obtidos pela rotacao em torno do eixo dos yy daregiao limitada pelo grafico das seguintes funcoes.

(a)

{f(x) = 3− x2

g(x) = 3x− 1em [0, 1] (b)

{f(x) = (x− 2)2

g(x) = 0em [1, 3]

5.6 Integrais improprios

Ate agora, tratamos sempre de integrais de funcoes limitadas. De facto, para o integral definidode f entre a e b estar definido, requeremos inicialmente que f fosse contınua em [a, b] e pos-teriormente (no caso das funcoes contınuas por trocos) que o seu domınio fosse divisıvel emintervalos fechados onde f fosse contınua. Assim, nao temos maneira de dar sentido a ex-pressoes como por exemplo

∫ 2

−1dxx

, uma vez que neste no intervalo [−1, 2] a funcao f(x) = 1x

nao e contınua por trocos — ja que nao e limitada em nenhuma vizinhanca da origem.Nesta seccao, vamos discutir extensoes do conceito de integral que nos vao permitir calcular

areas de regioes ilimitadas do plano. Embora possa parecer contra-intuitivo a princıpio, narealidade este estudo apresenta bastantes semelhancas com o estudo de series: em ambos oscasos estamos a tratar de somar um numero infinito de quantidades pequenas, podendo obterum resultado finito. No final desta seccao veremos um resultado que relaciona directamenteeste tipo de integrais com a convergencia de series.


5.6. INTEGRAIS IMPROPRIOS 271

Os chamados integrais improprios classificam-se em tres categorias, consoante a restricaoque estamos a retirar. Nos integrais improprios de primeira especie, estamos a integrar umafuncao limitada num intervalo ilimitado; nos integrais improprios de segunda especie, o inter-valo de integracao e limitado, mas a funcao assume valores arbitrariamente grandes. Final-mente, nos integrais improprios de terceira especie ou integrais improprios mistos temos umacombinacao dos dois casos anteriores.

5.6.1 Integrais improprios de 1a especie

O primeiro tipo de integral improprio e talvez o mais importante para as aplicacoes praticasdesta materia: integrais cujo domınio de integracao e ilimitado. O tratamento deste tipo deintegrais e muito semelhante ao das series: vamos considerar integrais cujo extremo superiorde integracao e +∞, ou cujo extremo inferior e −∞. Uma das areas em que mais se usameste tipo de integrais e a Teoria das Probabilidades — e, por consequencia, todas as aplicacoesdesta a outras disciplinas, como a Fısica ou a Economia.

Definicao. Seja f : [a,+∞[→ R uma funcao. A expressao∫ +∞

a

f(x) dx

diz-se um integral improprio (definido) de primeira especie.

Tal como nos integrais anteriores, por vezes ditos proprios, interessa saber quando e quefaz sentido atribuir um valor ao integral de f entre a e b. Pensando mais uma vez em termosde aproximacoes, podemos pensar em aproximar o valor de

∫ baf(x) dx por integrais (proprios),

sendo a aproximacao tanto melhor quanto maior for o valor de b. Dizemos entao que o integralimproprio converge se essa aproximacao tender para um limite finito quando b→ +∞.∫ +∞

a

f(x) dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x) dx

Vamos ver alguns exemplos. Comecemos por pensar na funcao f(x) = 1x2

e tentemoscalcular o seu integral entre 1 e +∞. Temos que∫ b

1

1

x2dx =

[−1

x

]b1

= 1− 1

b,

que tende para 1 quando b→ +∞. Entao este integral converge e o seu valor e 1.Uma vez que a primitiva de qualquer funcao e uma funcao contınua (porque e um integral

improprio), e comum usar a notacao abreviada para limites e escrever directamente∫ +∞

1

1

x2dx =

[−1

x

]+∞1

= 1− 0 = 1 .

Note-se que o uso do sımbolo de infinito deixa bem claro desde o inıcio que estamos a trabalharcom limites.

O integral improprio de primeira especie tem um significado muito directo: correspondeao valor acumulado total duma funcao. Por outras palavras, se conhecermos a derivada f ′

duma funcao f e o valor f(a) de f num ponto a, entao f(a) +∫ +∞a

f(x) dx da-nos o limite def(x) quando x → +∞. Em problemas concretos, este valor corresponde ao comportamentoassimptotico (ou a longo prazo) dum sistema que seja modelado pela funcao f .



Exemplo.

1. O integral improprio∫ +∞0

e−x dx e convergente. Recorrendo a definicao, tem-se que∫ +∞

0

e−x dx =[−e−x

]+∞0

= 1 .


dxx

nao e convergente. De facto, tem-se que∫ +∞

1

dx

x= [log(x)]+∞1 = +∞ ,

que nao e um valor finito.

3. Podemos fazer o estudo dos integrais da forma∫ +∞a

xα, com a > 0, de forma sistematica.

Se α < 0, a primitiva de xα e 1α+1

xα+1 se α 6= −1, e log(x) caso contrario. Neste ultimocaso, vimos ja que o integral e divergente; para α 6= −1, temos∫ +∞

a

xα dx = limb→+∞

∫ b

a

xα dx = limb→+∞

[1

α + 1xα+1

]ba

= limb→+∞

(bα+1

α + 1− aα+1

α + 1

)=

{−aα+1

α+1se α < −1

+∞ se α > −1

Concluimos assim que estes integrais convergem precisamente se α < −1.

4. Finalmente, consideremos o integral improprio∫ +∞0

dx1+x2

. Uma vez que a funcao inte-granda e a derivada do arco de tangente, temos que∫ +∞

0

dx

1 + x2= [arctan(x)]+∞0 =

π

2

e concluimos portanto que este integral e convergente.

Exercıcio 19. Estude a natureza dos seguintes integrais e, no caso de convergencia, calculeo seu valor.

(a)∫ +∞0

cos(t) dt (b)∫ +∞0

e−ax dx, com a > 0 (c)∫ +∞

2π

1x2

sin(1x

)dx

Existem outros dois tipos de integrais improprios de primeira especie, que se reduzem aocaso apresentado. O primeiro diz respeito a intervalos de integracao ilimitados inferiormente,ou seja, da forma ]−∞, b]; neste caso, definimos de forma analoga∫ b

−∞f(x) dx = lim

a→−∞

∫ b

a

f(x) dx ,

sendo o integral convergente quando aquele limite for finito. Assim, temos por exemplo que∫ 0

−∞xe−x

2

dx =

[−1

2e−x

2

]0−∞

= −1

2



e portanto este integral e convergente, enquanto que∫ −2−∞

dx

x log |x|=

∫ −2−∞

1x

log |x|dx = [log | log |x||]−2−∞ = +∞

e portanto este integral e divergente.

O segundo tipo de integral diz respeito a integrais sobre toda a recta real, denotados por∫ +∞−∞ f(x) dx,

∫ +∞−∞ f ,

∫R f(x) dx ou

∫R f . Neste caso, usamos a aditividade do integral para

escrever ∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ c

−∞f(x) dx+

∫ +∞

c

f(x) dx

para um ponto arbitrario c (tipicamente usa-se 0, mas nao e obrigatorio) e o integral em Rconverge se ambos os integrais improprios do lado direito da equacao convergirem.

Por exemplo, suponhamos que querıamos calcular∫R x sin (x2) dx. Dividindo este integral

em dois, temos ∫Rx sin

(x2)dx =

∫ 0

−∞x sin

(x2)dx+

∫ +∞

0

x sin(x2)dx .

Uma vez que uma primitiva de x sin (x2) e −12

cos (x2), o primeiro integral reduz-se a

∫ 0

−∞x sin

(x2)dx = lim

a→−∞

∫ 0

a

x sin(x2)dx = lim

a→−∞

[−1

2cos(x2)dx

]0a

=1

2

(cos(a2)− 1)

e este limite nao existe. Logo este integral e divergente, e portanto∫R x sin (x2) dx tambem e

divergente.

Por outro lado, temos que∫R

dx

1 + x2=

∫ 0

−∞

dx

1 + x2+

∫ +∞

0

dx

1 + x2

= [arctan(x)]0−∞ + [arctan(x)]+∞0 =[0−

(−π

2

)]+[π

2− 0]

= π .

Observe-se que neste ultimo caso poderıamos ter escrito simplesmente∫R

dx

1 + x2= [arctan(x)]+∞−∞ =

[π2−(−π

2

)]= π .

Embora esta notacao seja aceitavel, so faz sentido usa-la em caso de convergencia do integral;assim, a menos que esta seja clara desde o inıcio, e recomendavel seguir sempre pela via anterior.


(a)∫ 0

−∞dx

(x−5)2 (b)∫ +∞−∞ e−ax dx, com a > 0 (c)

∫R x sin (x2) dx



5.6.2 Criterios de convergencia

Tal como vem sendo habito, na pratica ha muitos integrais improprios de primeira especie quenao se conseguem calcular exactamente, pelo que interessa recorrer a metodos numericos paraobter aproximacoes do seu valor. Contudo, ha uma questao a que e preciso responder antes deaplicar metodos numericos: sera que o integral e sequer convergente? Repare-se que, se naofor este o caso, qualquer aproximacao obtida sera desprovida de sentido.

Existem varios criterios de convergencia de integrais improprios. Todos eles tem umajustificacao geometrica bastante simples e todos eles tem semelhancas com alguns criterios deconvergencia de series.

A ideia de base em todos os criterios de comparacao e a seguinte: se uma figura geometricaesta incluıda dentro de outra, entao a area da primeira e menor do que a area da segunda.Um caso particular e o caso em que o grafico duma funcao f positiva esta acima do doutrafuncao g; entao o grafico de f limita uma area maior do que a de g, pelo que se o integralimproprio de f convergir entao o de g tambem converge (Figura 5.25) e, reciprocamente, se ointegral improprio de g divergir, entao o de f tambem diverge.

x

y

y=f(x)

y=g(x)

a

Figura 5.25: Criterio geral de comparacao para integrais improprios de 1a especie. Se a areasob o grafico de f (toda a area sombreada) for finita, entao a area sob o grafico de g (sombreadoclaro) tambem e; se a area sob o grafico de g for infinita, entao a area total tambem o sera.

Proposicao (Criterio geral de comparacao). Sejam f, g duas funcoes definidas em [a,+∞[tais que 0 ≤ g(x) ≤ f(x) para todo o x ∈ [a,+∞[.

1. Se o integral improprio∫ +∞a

f convergir, entao∫ +∞a

g converge e∫ +∞a

g ≤∫ +∞a

f .

2. Se o integral improprio∫ +∞a

g divergir, entao∫ +∞a

f diverge.

O criterio geral de comparacao permite determinar a convergencia/divergencia de muitosintegrais improprios envolvendo funcoes que nao sao elementarmente primitivaveis, recorrendonomeadamente a comparacao com funcoes da forma xα.

Exemplo.


dx| sin(x)| e divergente. De facto, para x ∈ [1,+∞[ tem-se a

relacao 0 ≤ | sin(x)| ≤ 1 ≤ x, donde 0 < 1x≤ 1| sin(x)| . Uma vez que

∫ +∞1

dxx

diverge,

conclui-se que o integral∫ +∞1

dx| sin(x)| e tambem ele divergente.



2. Ja o integral improprio∫ +∞5

| sin(x)|x2

dx converge. Uma vez que 0 ≤ | sin(x)| ≤ 1, tem-se

tambem 0 ≤ | sin(x)|x2≤ 1

x2; ora

∫ +∞5

dxx2

converge, logo∫ +∞5

| sin(x)|x2

dx tambem converge.


e−x2dx e convergente. Escrevendo∫ +∞

0

e−x2

dx =

∫ 1

0

e−x2

dx+

∫ +∞

1

e−x2

dx ,

temos que o primeiro integral e um integral definido (proprio), enquanto que em [1,+∞[se tem x ≤ x2 e portanto −x2 ≤ −x, donde e−x

2 ≤ e−x. Uma vez que∫ +∞1

e−x dx e

convergente, deduz-se que os integrais∫ +∞1

e−x2dx e

∫ +∞0

e−x2dx tambem o sao.

Para integrais do tipo∫ b−∞ f ou

∫R f , o criterio geral de comparacao mantem-se valido com

as adaptacoes previsıveis.

Exercıcio 21. Estude a natureza dos seguintes integrais.

(a)∫ +∞1

| cos(x)|x2

dx (b)∫ +∞1

dxx2(1+ex)

dx (c)∫ −3−∞

| sin(2x+1)|x3

dx

Uma generalizacao deste criterio consiste em calcular o limite

limx→+∞

f(x)

g(x).

Se este limite for 0, entao existe um ponto a a partir do qual f(x) < g(x) e podemos aplicaro criterio geral de comparacao; se o limite for +∞, entao existe um ponto a a partir do qualg(x) < f(x) e podemos novamente aplicar o criterio geral de comparacao. Mais interessantee o caso em que o limite e um valor finito k. Neste caso, existe um ponto a a partir do qualk2f(x) < g(x) < 2kf(x); mas os integrais de k

2f e 2kf tem a mesma natureza do integral de f

(sao ambos convergentes ou ambos divergentes), devido a linearidade do integral, pelo que ocriterio geral de comparacao se aplica mais uma vez para permitir concluir que o integral de gtambem e da mesma natureza que aqueles dois.

Proposicao (Criterio da razao). Sejam f, g duas funcoes definidas em [a,+∞[ com valores

positivos e suponha-se que existe limx→+∞f(x)g(x)

com valor k.

1. Se k = 0, entao:

(a) se o integral improprio∫ +∞a

g convergir, entao∫ +∞a

f converge;

(b) se o integral improprio∫ +∞a

f divergir, entao∫ +∞a

g diverge.

2. Se k = +∞, entao:

(a) se o integral improprio∫ +∞a

f convergir, entao∫ +∞a

g converge;

(b) se o integral improprio∫ +∞a

g divergir, entao∫ +∞a

f diverge.

3. Se 0 < k < +∞ entao os integrais∫ +∞a

f e∫ +∞a

g tem a mesma natureza.



Tal como atras, este criterio tambem e aplicavel aos integrais da forma∫ b−∞ f ou

∫R f , com

as adaptacoes obvias. Na pratica, este criterio e muito mais simples de usar do que o criteriogeral de comparacao.

Exemplo.

1. Vejamos que∫ +∞2

x2+2x−3x4−x3+1

dx converge aplicando este criterio. Intuitivamente, a funcao

integranda e da ordem de grandeza de 1x2

, portanto vamos comparar com esta.

limx→+∞

x2+2x−3x4−x3+1

1x2

= limx→+∞

x4 + 2x3 − 3x2

x4 − x3 + 1= 1

Entao os integrais∫ +∞2

x2+2x−3x4−x3+1

dx e∫ +∞2

1x2dx sao da mesma natureza. Uma vez que o

segundo e um integral convergente, concluimos que∫ +∞2

x2+2x−3x4−x3+1

dx converge.

2. Estudemos agora o integral∫ +∞−∞ x2e−x

2dx. Intuitivamente, o comportamento dominante

e o da exponencial; porem, se compararmos este integral com o de e−x2

vamos obter umlimite infinito, que nao nos permite concluir nada.

Mas x2 e dominado por qualquer exponencial, pelo que podemos majorar esse termo

por ex2

2 e comparar a funcao integranda com e−x2

2 . De facto, temos que

limx→+∞

x2e−x2

e−x2

2

= limx→+∞

x2e−x2

2 = 0 .

Uma vez que ja estabelecemos atras a convergencia de∫R e−x

2

2 dx, concluimos que∫ +∞−∞ x2e−x

2tambem e um integral convergente.

3. Vejamos o caso de∫ 2π

−∞ tan(1x

)dx. Uma vez que nao e nada claro que a funcao integranda

seja primitivavel, a melhor opcao e usar o criterio geral de comparacao.

Se comparamos esta funcao com 1x, obtemos

limx→−∞

tan(1x

)1x

= limy→0−

tan(y)

y= 1 ,

donde o integral considerado e da mesma natureza de∫ 2π

−∞dxx

, e portanto diverge.


(a)∫ +∞2

dxx−sin2(x) (b)

∫ +∞1

log(x)x2

dx (c)∫ +∞−∞

x2−x+2x4+10x2+9

dx

Ate agora, todos os criterios de convergencia que consideramos assumiam que a funcaointegranda era positiva. Obviamente que podemos obter criterios semelhantes para integraisde funcoes positivas, ja que por linearidade do integral temos

∫ ba(−f) = −

∫ baf ; porem, em

muitas situacoes estamos interessados em integrar funcoes que mudam infinitas vezes de sinal.Em particular, integrais improprios de primeira especie envolvendo senos e cosenos ocorremsistematicamente em Teoria de Sinais.



O tratamento destes integrais e em geral mais complexo, e nao e facil provar a sua con-vergencia. O unico criterio simples de utilizar, semelhante a um dos criterios de convergenciade series, e relativamente fraco.

Proposicao (Criterio do modulo). Seja f : [a → +∞[→ R uma funcao real. Se∫ +∞a|f |

converge, entao∫ +∞a

f tambem converge e tem-se a relacao∣∣∣∣∫ +∞

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞

a

|f(x)| dx .

Vejamos alguns exemplos de aplicacao deste criterio.

Exemplo.

1. Vimos num dos exemplos anteriores que o integral improprio∫ +∞5

| sin(x)|x2

dx converge.

Uma vez que x2 e sempre positivo, podemos concluir que∫ +∞5

sin(x)x2

dx tambem e con-

vergente, pois∣∣∣ sin(x)x2

∣∣∣ = | sin(x)|x2

.


dx| sin(x)| e divergente. Assim, nao podemos concluir nada acerca

da convergencia ou divergencia de∫ +∞1

dxsin(x)

: o criterio do modulo so pode ser aplicadopara concluir convergencia dum integral.


(a)∫ +∞1

cos(x)x2

dx (b)∫ +∞1

dx(1+x)

√x

(c)∫ +∞1

sin(x)e−ax, se a > 0

5.6.3 Relacao com as series

Os integrais improprios de primeira especie tem uma relacao muito proxima com as series,expressa atraves do seguinte resultado.

Teorema (Criterio do Integral). Sejam f : [1,+∞[→ R uma funcao positiva e decrescente e aa sucessao cujo termo geral e an = f(n) para todo o n ≥ 1. Entao a serie

∑∞n=1 an e da mesma

natureza do integral∫ +∞1

f(x) dx.

Este criterio tanto pode ser usado para provar convergencia de series a partir da con-vergencia de integrais como ao contrario. Podemos usa-lo, por exemplo, para mostrar o resul-tado que enunciamos sobre series de Dirichlet: a serie

∞∑n=1

1

nα

converge precisamente se α > 1. De facto, a funcao f(x) = 1xα

e uma funcao positiva edecrescente que satisfaz f(n) = 1

nα= an; uma vez que∫ ∞

1

dx

xα



converge precisamente quando α > 1 (como verificamos directamente por primitivacao, con-cluimos o resultado analogo para series.

A validade deste criterio e muito simples de verificar: nas condicoes do teorema, a serie

∞∑n=1

an

corresponde a uma area que envolve o grafico de f (Figura 5.26 (a)), enquanto que a serie

∞∑n=2

an

corresponde a uma area completamente sob o grafico de f (Figura 5.26 (b)). Entao

∞∑n=2

an ≤∫ +∞

1

f(x) dx ≤∞∑n=1

an

donde o integral e a serie sao necessariamente ambos convergentes ou ambos divergentes.

x

y

y=f(x)

1 32 4 65 7 98 10 1211

x

y

y=f(x)

1 32 4 65 7 98 10 1211

Figura 5.26: Relacao entre series e integrais improprios de 1a especie. Em (a), cada rectangulotem base 1 e altura an, com n ≥ 1; em b, cada rectangulo tem as mesmas dimensoes, masagora com n ≥ 2.

Exemplo.

1. No Capıtulo 1, estabelecemos a convergencia das series

∞∑n=1

1

n(n+ 1)

∞∑n=1

(n2 + 3

3n2 + 1

)2n+3 ∞∑n=1

2n + 3

3n − 2

e a divergencia das series

∞∑n=1

1√n+√n+ 1

∞∑n=1

n+ 1

n2 + 2

∞∑n=1

(1

2n+

1

n

).



Uma vez que em todas elas o termo geral e positivo e decrescente, o criterio do integraldiz-nos que os integrais∫ +∞

1

dx

x(x+ 1)

∫ +∞

1

(x2 + 3

3x2 + 1

)2x+3

dx

∫ +∞

1

2x + 3

3x − 2dx

sao convergentes e os integrais∫ +∞

1

dx√x+√x+ 1

∫ +∞

1

x+ 1

x2 + 2dx

∫ +∞

1

(1

2x+

1

x

)dx .

sao divergentes.

2. Vimos atras que os integrais∫ +∞

1

x2e−x2

dx

∫ +∞

2

x2 + 2x− 3

x4 − x3 + 1dx

∫ +∞

0

dx

1 + x2

sao convergentes e os integrais∫ +∞

2

dx

x log |x|

∫ +∞

1

tan

(1

x

)dx

∫ +∞

2

dx

log |x|

sao divergentes. Uma vez que em todos eles a funcao integranda e positiva e decrescente,o criterio do integral diz-nos que as series

∞∑n=1

n2e−n2

∞∑n=2

n2 + 2n− 3

n4 − n3 + 1

∞∑n=0

1

1 + n2

convergem e as series

∞∑n=2

1

n log |n|

∞∑n=1

tan

(1

n

) ∞∑n=2

1

log |n|

divergem.

Exercıcio 24. Recorrendo ao criterio do integral, estude a convergencia das seguintes series.

(a)+∞∑n=1

arctan(n)

1 + n2(b)

+∞∑n=1

sin(n)

n3(c)

+∞∑n=1

e−n

Exercıcio 25. Recorrendo ao criterio do integral, estude a convergencia dos seguintesintegrais.

(a)∫ +∞1

(1x− 1

x+2

)dx (b)

∫ +∞1

x+12x

dx (c)∫ +∞2

dxlog(x)



5.6.4 Integrais improprios de 2a especie

O segundo tipo de integrais improprios e um pouco diferente: trata-se de integrais num inter-valo [a, b], mas em que a funcao integranda nao e limitada.

Definicao. Seja f : ]a, b]→ R uma funcao tal que limx→a+ f(x) = ±∞. A expressao∫ b

a

f(x) dx

diz-se um integral improprio (definido) de segunda especie.

O tratamento deste tipo de integrais e muito semelhante ao dos integrais improprios de1a especie.

Novamente, o primeiro passo e perceber quando e que este integral improprio tem um valorfinito (converge). Mais uma vez, vamos raciocinar em termos de areas: a area sob o grafico de fpode ser aproximada por um integral definido (proprio) em que o extremo inferior de integracaoe substituıdo por um ponto proximo de a mas superior. Se o valor do integral convergir paraum limite quando esse ponto se aproxima de a, dizemos que o integral improprio converge e oseu valor e esse limite.∫ b

a

f(x) dx = limy→a+

∫ b

y

f(x) dx = limε→0+

∫ b

a+ε

f(x) dx

Consideremos a funcao definida por f(x) = 1√x

e calculemos o seu integral improprio entre 0e 1. Uma vez que a funcao e ilimitada numa vizinhanca de 0, vamos substituir este ponto porpontos arbitrariamente proximos. Sendo ε > 0, temos que∫ 1

ε

dx√x

=[2√x]1ε

= 2− 2√ε .

Quando ε→ 0, este valor tende para 2. Entao o integral de f entre 0 e 1 converge, e tem-se∫ 1

0

dx√x

= 2 .

Tambem aqui e comum abreviar a notacao omitindo o sinal de limite, pelo que a igualdadeacima se poderia escrever como∫ 1

0

dx√x

=[2√x]10

= 2√

1− 2√

0 = 2 .

E preciso ter cuidado com esta notacao, uma vez que nao deixamos de estar a trabalhar comlimites — embora este facto deixe de ser obvio, contrariamente ao que sucedia atras.

O integral improprio de 2a especie tem um significado geometrico muito concreto: a areasob o grafico de y = 1√

xentre x = 0 e x = 1 e ilimitada, mas e finita. Na pratica, surgem pro-

blemas concretos que conduzem ao calculo dum integral definido mas improprio, nao deixandoo problema por isso de ser resoluvel — desde que o integral convirja.



Exemplo.

1. O integral improprio∫ 2

0dxx2

nao e convergente. De facto, tem-se

limε→0+

∫ 2

ε

dx

x2= lim

ε→0+

[−1

x

]2ε

= limε→0+

1

ε− 1

2= +∞ .

2. Mais uma vez, podemos fazer o estudo de todos os integrais da forma∫ b0xα dx de forma

sistematica. Observe-se que se α ≥ 0 estamos perante um integral proprio, pelo que naoha qualquer problema em calcular o seu valor. Se α < 0, a primitiva de xα e 1

α+1xα+1

se α 6= −1, e log(x) caso contrario. Neste ultimo caso, temos que∫ b

0

dx

x= [log(x)]b0 = log(b)− log(0) = +∞ ,

logo o integral e divergente; para α 6= −1, temos∫ b

0

dx

x= lim

ε→0

∫ b

ε

dx

x= lim

ε→0

[1

α + 1xα+1

]bε

= limε→0

(bα+1

α + 1− εα+1

α + 1

)=

{bα+1

α+1se α > −1

+∞ se α < −1

Concluimos assim que estes integrais convergem precisamente se α > −1.

3. Vamos agora estudar o integral improprio∫ 0

−π2

tan(x) dx; note-se que tan(x) e ilimitada

quando x se aproxima de −π2.

Temos que ∫ 0

−π2

tan(x) dx = [log | cos(x)|]0−π2

= 0− (−∞) = +∞ ,

donde este integral improprio e divergente.

4. Finalmente, consideremos o integral improprio∫ 0

−1dx√1−x2 , cuja funcao integranda e ili-

mitada na vizinhanca de −1. Uma vez que a primitiva de 1√1−x2 e arcsin(x), podemos

concluir que ∫ 0

−1

dx√1− x2

= [arcsin(x)]0−1 = arcsin(0)− arcsin(−1) =π

2,

donde este integral improprio converge.


(a)∫ 2

0log(x)x

dx (b)∫ 0

−π2

tan(x) dx (c)∫ 1

0dx√x+4x3



Tambem nos integrais improprios de segunda especie ha dois outros casos a considerar,que se reduzem todos ao caso apresentado. Quando a funcao integranda e ilimitada numavizinhanca do extremo superior do intervalo de integracao, definimos de forma semelhante∫ b

a

f(x) dx = limy→b−

∫ y

a

f(x) dx = limε→0

∫ b−ε

a

f(x) dx .

Assim, temos por exemplo que∫ 1

0

dx

x2 − 1=

∫ 1

0

1

2

(1

x+ 1− 1

x− 1

)dx =

1

2[log |x+ 1| − log |x− 1|]10

=1

2(log(2)− log(0)− log(1) + log(1)) = +∞

e portanto este integral e divergente.O outro caso e mais perigoso e alerta para a conveniencia de esbocar graficamente a funcao

integranda no intervalo a integrar: diz respeito ao caso em que f e ilimitada numa vizinhancade c ∈]a, b[. Neste caso, usamos a aditividade do integral para escrever∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx

e o integral entre a e b converge se ambos os integrais improprios do lado direito da equacaoconvergirem. Note-se que, contrariamente aos integrais improprios de primeira especie, aquia escolha do ponto c nao e arbitraria: tem de ser necessariamente o ponto onde a funcao eilimitada.

Suponhamos que querıamos calcular∫ 2

0dxx2−1 . Uma vez que a funcao integranda e ilimitada

em torno do ponto 1, vamos escrever este integral como∫ 2

0

dx

x2 − 1=

∫ 1

0

dx

x2 − 1+

∫ 2

1

dx

x2 − 1.

Ora vimos atras que o primeiro destes integrais diverge, logo o integral∫ 2

0dxx2−1 e divergente.

Por outro lado, se pretendessemos calcular∫ 1

−1dx√|x|

, terıamos de decompor este integral

pelo ponto 0, obtendo ∫ 1

−1

dx√|x|

=

∫ 0

−1

dx√−x

+

∫ 1

0

dx√x

e o segundo destes integrais e convergente (vimos acima); quanto ao primeiro, corresponde aarea duma figura que e simetrica da primeira (a funcao

√|x| e par), pelo que tera o mesmo

valor. Temos entao que∫ 1

−1dx√x

e convergente e tem o valor 2 + 2 = 4.


(a)∫ 0

−1dx3√x2

(b)∫ 1

01−2x√x−x2 dx (c)

∫ π0

tan(x) dx

Novamente, em muitos casos os valores dos integrais improprios de segunda especie vao serdeterminados por aproximacao, pelo que importa conseguir determinar previamente se um dado



integral e ou nao convergente. Temos mais uma vez um conjunto de criterios de convergencia,bastante semelhantes aos criterios existentes para integrais improprios de primeira especie, comas mesmas justificacoes geometricas.

Proposicao (Criterio geral de comparacao). Sejam f, g duas funcoes definidas em ]a, b] eilimitadas numa vizinhanca de a tais que 0 ≤ g(x) ≤ f(x) para todo o x ∈]a, b].

1. Se o integral improprio∫ baf convergir, entao

∫ bag converge e

∫ bag ≤

∫ baf .

2. Se o integral improprio∫ bag divergir, entao

∫ baf diverge.

Tal como atras, o criterio geral de comparacao permite determinar a convergencia ou di-vergencia de muitos integrais improprios recorrendo a comparacao em particular com integraisda forma xα.

Exemplo.

1. O integral improprio∫ 1

0dx

sin(x)e divergente. De facto, para x ∈ [0, 1] tem-se 0 ≤ sin(x) < x

(consequencia do desenvolvimento de sin(x) em serie de Taylor), donde

0 <1

x<

1

sin(x).

Uma vez que∫ 1

0dxx

diverge, conclui-se que o integral∫ 1

0dx

sin(x)e tambem ele divergente.

2. Ja o integral improprio∫ 1

0dx√sin(x)

converge. Uma vez que

limx→0

sin(x)

x= 1 ,

existe um intervalo [0, a] onde x2< sin(x); nesse intervalo,

0 ≤ x

2< sin(x) =⇒ 0 ≤

√x

2<√

sin(x) =⇒ 0 <1√

sin(x)<

4√x,

e uma vez que∫ a0

4 dx√x

converge temos que∫ 1

0

dx√sin(x)

=

∫ a

0

dx√sin(x)

+

∫ 1

a

dx√sin(x)

tambem e convergente.


(a)∫ 1

01+2x1−x2 dx (b)

∫ 1

0log(x)√

xdx (c)

∫ 1

0dx

x+x(log(x))2

Podemos mais uma vez generalizar este criterio em termos do limite

limx→a

f(x)

g(x)

no ponto a onde f e g sao ilimitadas.



Proposicao (Criterio da razao). Sejam f, g duas funcoes definidas em ]a, b], com valores

positivos nesse intervalo e ilimitadas numa vizinhanca de a, e suponha-se que existe limx→a+f(x)g(x)

com valor k.

1. Se k = 0, entao:

(a) se o integral improprio∫ bag convergir, entao

∫ baf converge;

(b) se o integral improprio∫ baf divergir, entao

∫ bag diverge.

2. Se k = +∞, entao:

(a) se o integral improprio∫ baf convergir, entao

∫ bag converge;

(b) se o integral improprio∫ bag divergir, entao

∫ baf diverge.

3. Se 0 < k < +∞ entao os integrais∫ baf e

∫ bag tem a mesma natureza.

Exemplo.

1. Vejamos novamente que∫ 1

0dx√sin(x)

converge aplicando este criterio.

limx→0+

1√sin(x)

1√x

= limx→0+

√x√

sin(x)= lim

x→0+

√x

sin(x)=

√limx→0+

x

sin(x)= 1

Entao os integrais∫ 1

0dx√sin(x)

e∫ 1

0dx√x

sao da mesma natureza. Uma vez que o segundo e

um integral convergente, concluimos que∫ 1

0dx√sin(x)

converge.

2. Estudemos agora o integral∫ π

2

−π2

x dxsin2(x)

. A funcao integranda tem problemas numa vizi-

nhanca de 0, pelo que interessa separar este integral em∫ π2

−π2

x dx

sin2(x)=

∫ 0

−π2

x dx

sin2(x)+

∫ π2

0

x dx

sin2(x),

sendo o integral do lado esquerdo desta igualdade convergente apenas se os dois integraisimproprios do lado direito o forem tambem.

Convem comecar por perceber qual o comportamento esperado deste integral e com quefuncao convem comparar. Uma vez que limx→0

sin(x)x

= 1, sabemos que as funcoes x esin(x) tem um comportamento semelhante proximo da origem. Entao, e de esperar que

xsin2(x)

seja semelhante a xx2

= 1x; vamos entao tentar aplicar o criterio da razao com essa

funcao.

limx→0

1xx

sin2(x)

= limx→0

sin2(x)

x2=

(limx→0

sin(x)

x

)2

= 1

Concluimos portanto que os integrais de 1x

e xsin2(x)

se comportam da mesma forma

proximo da origem. Uma vez que∫ 0

−π2

dxx

diverge, concluimos que∫ 0

−π2

x dxsin2(x)

e diver-

gente, e portanto tambem o e∫ π

2

−π2

x dxsin2(x)

.



Observe-se que a funcao do ultimo exemplo e uma funcao primitivavel (por partes, primi-tivando 1

sin2(x)como cot(x)); contudo, a regra de Barrow nao pode ser aplicada para calcular

o seu valor, uma vez que a funcao integranda nao e contınua em todos os pontos do intervalo]−π

2, π2

[.


(a)∫ 1

−1sin(x)x2

dx (b)∫ 1

0dx

x√x2−1 (c)

∫ 1

0x2−3x+2(x−1)3 dx

Finalmente, temos tambem o criterio do modulo.

Proposicao (Criterio do modulo). Seja f : ]a, b] → R uma funcao real ilimitada numa vizi-

nhanca de a. Se o integral improprio∫ ba|f | converge, entao

∫ baf tambem converge e tem-se a

relacao ∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx .

Na pratica este criterio nao e tao importante como o criterio analogo para integrais impro-prios de primeira especie, uma vez que as funcoes mais comuns nao tem infinitas alternanciasde sinal em intervalos limitados. Porem, ha alguns casos assim; um exemplo de integral cuja

convergencia pode ser provada por este criterio e∫ 1

0

sin( 1x)√x

dx. Este integral e convergente,

uma vez que no intervalo [0, 1] ∣∣∣∣∣sin(1x

)√x

∣∣∣∣∣ =| sin

(1x

)|

√x

≤ 1√x

e∫ 1

0dx√x

converge.

Exercıcio 30. Estude a convergencia dos seguintes integrais improprios.

(a)

∫ 1

0

sin(x) + cos(x)√x

dx (b)

∫ 1

0

sin(x) dx

x32

(c)

∫ 1

0

ex2dx√x

5.6.5 Integrais improprios mistos

Nalguns casos, encontramos integrais que misturam uma componente impropria de 1a especiecom uma componente impropria de 2a especie. Por exemplo: para determinar a convergenciade ∫

R

dx

x2 − 1

temos de dividir este integral nos quatro pontos onde ha problemas: −∞, −1, 1 e +∞. Noprimeiro e ultimo, temos um integral improprio de primeira especie; nos dois intermedios temosum integral improprio de segunda especie.



Neste caso, poderıamos escrever por exemplo

∫R

dx

x2 − 1=

∫ −2−∞

dx

x2 − 1+

∫ −1−2

dx

x2 − 1+

∫ 0

−1

dx

x2 − 1+

+

∫ 1

0

dx

x2 − 1+

∫ 2

1

dx

x2 − 1+

∫ +∞

2

dx

x2 − 1.

O segundo destes integrais e divergente (de acordo com a aplicacao do criterio da razao, com-parando com o integral divergente de 1

x+1), logo

∫R

dxx2−1 tambem o sera.


(a)∫ 1

−1dx3√x2

(b)∫ +∞−∞

dxx

(c)∫ +∞2

x2

x3+1dx


(a)∫ +∞1

dx(1+x2)

√x−1 (b)

∫ +∞0

t+1√t3dt

5.6.6 Valor principal de Cauchy

No caso dos integrais divergentes do tipo∫ +∞−∞ f(x) dx, podemos considerar uma aproximacao

diferente: em vez de estudar independentemente os integrais∫ a−∞ f(x) dx e

∫ +∞a

f(x) dx,podemos calcular directamente o limite

lima→+∞

∫ a

−af(x) dx .

Quando este limite existir e for finito, diz-se que e o valor principal de Cauchy do integralimproprio; nesta situacao, diz-se que o integral e convergente em valor principal.

Obviamente que no caso dos integrais improprios convergentes o seu valor coincide com oseu valor principal de Cauchy. O interesse deste conceito e permitir atribuir um valor a integraisque sao divergentes — valor esse que em determinadas aplicacoes faz sentido considerar.

Vejamos alguns exemplos. Se calcularmos∫ 0

−∞ sin(x) dx, concluimos que este integral edivergente, ja que ∫ 0

−∞sin(x) dx = [− cos(x)]0−∞

nao tem limite. Porem, se calcularmos o seu valor principal de Cauchy obtemos

v.p.

∫ +∞

−∞sin(x) dx = lim

a→+∞

∫ a

−asin(x) dx = lim

a→+∞[− cos(x)]a−a︸︷︷︸

0

= 0


5.7. EXERCICIOS 287

Em geral, qualquer funcao f que seja ımpar tem valor principal de Cauchy 0, desde que osintegrais

∫ a−a f convirjam para qualquer valor de a. De facto, a primitiva de qualquer funcao

ımpar e sempre uma funcao par, pelo que somada entre −a e a dara 0. Assim, temos que

v.p.

∫Rx3 dx = 0 v.p.

∫R

dx3√x

= 0 v.p.

∫R

sin(x)

x2 + 1= 0

entre outros.Em geral, claro esta, a unica forma de calcular o valor principal de Cauchy dum integral

improprio e recorrendo a definicao.

Exercıcio 33. Calcule o valor principal de Cauchy dos seguintes integrais.

(a) v.p.∫R

dxx2+2x+2

(b) v.p.∫ +∞−∞

dxx2+1

(c) v.p.∫ +∞−∞

t2+1t2

dt

5.7 Exercıcios

34. Calcule o valor dos seguintes integrais.

(a)

∫ log 2

0

ex√

2− ex dx

(b)

∫ π2

0

sin(x) cos2(x) dx

(c)

∫ π2

0

e2x cos(x) dx

(d)

∫ 8

3

x√1 + x

dx

(e)

∫ 2

−3

∣∣x2 − 1∣∣ dx

(f)

∫ 1

0

x

(x2 + 1)2dx

(g)

∫ 12

0

x3

x2 − 3x+ 2dx

(h)

∫ 1

0

4x3

1 + x4dx

(i)

∫ 1

0

2x

(x2 + 1)3dx

(j)

∫ π2

0

cos(y)

6− 5 sin(y)dy

(k)

∫ 1

−1

y2

y + 2dy

(l)

∫ 1

0

xe−x dx

(m)

∫ π2

0

sin3(x) cos4(x) dx

(n)

∫ π4

0

cos2(x) dx

(o)

∫ 4

0

x

1 +√xdx

(p)

∫ 1

0

(ex − 1)4 ex dx

(q)

∫ 1

0

x2√

1− x2 dx

(r)

∫ e−1

0

log(x+ 1) dx

(s)

∫ 1

0

2x

1 + x4dx

(t)

∫ 2

1

x3 − 2x2 + 3√x

dx

(u)

∫ 2

1

2x+ 1

xdx

(v)

∫ π

0

(sin5(x) + cos3(x)

)dx (w)

∫ π3

π6

(tan(x) + cot3(x)

)dx

35. Calcule a area sob os graficos das seguintes funcoes.

(a) f(x) =1

x2 − 1com x ∈ [−2,−3]

(b) g(x) =1

x√

1 + log(x)com x ∈ [1, e3]

(c) h(x) =1 + 2 sinx cosx

sinx+ cosxcom x ∈

[0, π

2

](d) f(x) = x3 + 4x− 1 com x ∈ [0, 3]

(e) f(x) = x cos2(x) com x ∈[0, π

2

]Apontamentos de Analise Matematica I


(f) h(x) = | sin(4x)| com x ∈ [0, π]

(g) f(x) = x2ex3

com x ∈ [0, 1]

(h) f(x) = sin(2x) sin(x) com x ∈ [0, π]

(i) f(x) = tan(x) com x ∈[−π

4, π4

]36. Calcule

∫ 3

0f , onde f e a funcao definida da seguinte forma.

f(x) =

x2 0 ≤ x ≤ 1

3x+ 1 1 < x < 21x

2 ≤ x ≤ 3

37.

(a) Use a substituicao 1− x = t para calcular∫ 1

0x2(1− x)7 dx.

(b) Mostre que∫ 1

0xp(1− x)q dx =

∫ 1

0xq(1− x)p dx.

38. O valor medio duma funcao f num intervalo [a, b] em que f seja contınua e o valor

f =

∫ baf(x) dx

b− a.

Determine o valor medio de:

(a) f(x) = 2ex+1

em [0, 2]; (b) f(x) = sin2(x) em [0, π].

39. Mostre que as seguintes relacoes sao validas.

(a)

∫ 1

0

dx

1 + x2≥∫ 1

0

dx

1 + x(b)

∣∣∣∣∫ 1

0

cos(x)

x+ 1dx

∣∣∣∣ ≤ log 2

40. Resolva a equacao seguinte. ∫ x

0

arcsin(t)√1− t2

dt =π2

32

41. Sendo f uma funcao positiva com derivada contınua em [a, b] e tal que f(a) = 5 ef(b) = 1, calcule os seguintes integrais.

(a)

∫ b

a

f 2(x)f ′(x) dx (b)

∫ b

a

f ′(x)

f(x)dx

42. Seja f : [0, 1]→ R uma funcao contınua tal que

∫ 1

0

f = 1. Calcule

∫ e

1

f(log(x))

2xdx.

43. Calcule a area das regioes do plano delimitadas pelas seguintes curvas.

(a)

{y = x2 − 3

y = 2x

(b)

{y = 2x− x2

y = −x

(c)

{y = x3 − 2x2

y = x− 2

(d)

{y2 = x

y = |x− 2|

(e)

{y = x3 − xy = sin(πx)


5.7. EXERCICIOS 289

(f)

y = 2x2 + 3

y = −x2 + 1

x = 0

x = 1

(g)

y = x2

x = 1

x = 2

y = 0

(h)

y = x3

y = x+ 6

y = 0

44. Calcule a area das regioes do plano definidas pelas seguintes condicoes.

(a)

y ≤ x2

y ≥ x2

2

y ≤ 2x

(b)

{y ≥ −x2

y ≤ −3x2 + 4

45. Calcule a area das regioes do plano definidas pelas seguintes condicoes integrando emrelacao a variavel y.

(a)

x ≥ y2

y ≥ 1

y ≥ x− 2

(b)

x2 + y2 ≤ 2x

y ≤ x√3

y ≥ 0

(c)

{x2 + y2 ≤ 2

x ≥ y2

46. Calcule o volume dos solidos obtidos pela rotacao em torno do eixo dos xx da regiao doplano definida pelas seguintes condicoes.

(a)

{y ≤ 5x

y ≥ x2

(b)

y ≥√x

y ≤ 1

x ≥ 0

(c)

{y ≥ 3x

y2 ≤ 9x

(d)

y ≥ x2

8

y ≤ x

y ≤ 1x

(e)

x ≥ y2

y ≥ x− 2

y ≥ 0

(f)

x ≥ y2

y ≥ 1

y ≥ x− 2

47. Considere a regiao D definida pelas seguintes condicoes.y ≤ x2

2

y ≥ −xx ≤ 1

(a) Determine a area da regiao D.

(b) Determine o volume do solido gerado pela rotacao de D em torno do eixo vertical.

(c) Determine o perımetro de D.

48. Estude a natureza dos seguintes integrais e, no caso de convergencia, calcule o seu valor.

(a)

∫ +∞

2

dt

t

(b)

∫ +∞

−∞

dx3√x2

(c)

∫ 0

−∞

dx

(x− 5)23

(d)

∫ +∞

−∞

x3

x4 + 1dx

(e)

∫ +∞

1

dx√x− 1

(f)

∫ 4

3

dx3√x− 4



(g)

∫ +∞

−2

dx3√x− 3

(h)

∫ +∞

1

dx

x log(x)(i)

∫ 1

0

log(x)√x

49. Estude a natureza dos seguintes integrais.

(a)

∫ 2

1

dx√(x− 1)(3− x)

dx

(b)

∫ 2

0

dx3√

16− x4

(c)

∫ 1

0

sin(x)√1− x

dx

(d)

∫ 3

0

dt

t2 − 9

(e)

∫ 1

0

x3(1− x)p dx

(f)

∫ +∞

3

sin(2x+ 1)

x3dx

(g)

∫ 2

1

dx5√x− 1

(h)

∫ 1

0

log(x) dx

(i)

∫ +∞

0

√x2 + 1√x5 + 1

dx

50. Calcule a area das seguintes regioes do plano.

(a) A regiao entre os graficos de f(x) = 1x2

e g(x) = 1x2+2

com x ≥ 1.

(b) A regiao entre o grafico de f(x) = xe−x2

2 e a sua assımptota.

(c) A regiao entre o grafico de f(x) = x2

x2+1e a sua assımptota.


Bibliografia

[1] H. Anton, I. Bivens e S. Davis, Calculus. John Wiley & Sons, 8a edicao. ISBN 0-471-48273-0.

[2] M. Arnalda, Analise Matematica I. Escola Nautica Infante D. Henrique, 2004.

[3] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise Matematica. Fundacao Calouste Gulbenkian,6a edicao, 1995. ISBN 972-31-0179-3.

[4] B. Demidovitch, Problemas e Exercıcios de Analise Matematica. Escolar Editora, 1a edicao,2010. ISBN 9789725922835.

[5] R. Harshbarger e J. Reynolds. Matematica Aplicada: Administracao, Economia e CienciasSociais e Biologicas. Traducao de A. Griesi e O.K. Asakura. McGraw–Hill, Sao Paulo,7a edicao. ISBN 85-86804-84-3.

[6] M. Spivak, Calculus. Cambridge University Press, 3a edicao. ISBN 978-0-521-86744-3.

[7] J. Stewart, Calculo, vol. 1. Traducao de A.C. Moretti e A.C.G. Martins. Cengage Learning,Australia, 5a edicao. ISBN 85-221-0479-4.

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