Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Lei dos cossenos

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Setembro de 2018

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 A lei dos cossenos.

2 Resolucao de triangulos: os casos LAL e LLL.

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Resolucao de triangulos

Caso Medidas fornecidas Condicoes Aplicar

LAA A + B < 180◦Lei dossenos

ALA A + C < 180◦Lei dossenos

LLA a > bLei dossenos

LALLei dos

cossenos

LLLa < b + cb < a + cc < a + b

Lei doscossenos

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Um problema simples

Medida de uma praca

Uma pracinha triangular esta situada entre tres ruas, como mostraa figura. Determine o comprimento do lado desconhecido.

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Representacao matematica do problema (caso LAL)

Temos um triangulo escaleno.

Conhecemos dois lados e o angulo entre eles (caso LAL).

Queremos determinar o terceiro lado.

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

A lei dos cossenos

Teorema

Dado um triangulo ABCqualquer, temos

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C )

Essa lei e usada na resolucao de triangulos, nos casos LAL e LLL.

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Ideia da demonstracao da lei dos cossenos

Conhecemos b, c e Ae queremos determinar a.

xC = b cos(A)

yC = b sen(A)

Aplicando o teorema dePitagoras, obtemos

a2 = (xB − xC )2 + y2C = [c − b cos(A)]2 + [b sen(A)]2

a2 = c2 − 2cbcos(A) + b2cos2(A) + b2sen2(A)

a2 = c2 − 2cbcos(A) + b2[cos2(A) + sen2(A)] = c2 − 2cbcos(A) + b2

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Voltando ao problema da praca

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

b2 = 1002 + 802 − 2 · 100 · 80 · cos(55◦)

b2 ≈ 10000 + 6400− 16000 · 0, 57358 ≈ 7222, 7

b ≈√

7222, 7 ≈ 84, 99 m

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Caso LLL

Problema

Determine os angulos dotriangulo da figura.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

42 = 82 + 102 − 2 · 8 · 10 cos(A)

16 = 64 + 100− 160 cos(A)

160cos(A) = 148

cos(A) = 148/160 = 0, 925

A = arccos(0, 925) ≈ 22, 33◦

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

82 = 42 + 102 − 2 · 4 · 10 cos(B)

64 = 16 + 100− 80 cos(B)

80cos(B) = 52

cos(B) = 52/80 = 0, 65

B = arccos(0, 65) ≈ 49, 46◦

C = 180◦ − A− B ≈ 180◦ − 22, 33◦ − 49, 46◦ = 108, 21◦

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Exercıcio 1

Problema

Determine o lado desconhecido do triangulo abaixo

7,46 m

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Exercıcio 2

Problema

Determine os angulos do triangulo abaixo

34, 048◦, 44, 415◦, 101, 537◦

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Exercıcio 3

Problema

Um banhista se afoga em um ponto D, a 20 m de uma praia.Calcule as distancias d1 e d2 que os salva-vidas situados nospontos A e B precisam nadar para alcancar o banhista.

d1 = 10√

13 m, d2 = 20√

2 m.

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Exercıcio 4

Problema

Determine a area da regiao amarela da figura.

8, 333 m2

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Exercıcio 5

Problema

Um topografo determinou as distancias mostradas na figura, bemcomo os angulos especificados na tabela abaixo. Calcule asdistancias entre A e B, e entre B e D.

Visada Angulo

ACB π/6

BCD π/3

ABC π/6

AB = 5√

3 m, BD = 5√

7 m

Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios

Exercıcio 6

Problema

A figura abaixo mostra uma estrada que passa pelos pontos A, B Ce D. Calcule a distancia x entre A e C, bem como o angulo αmostrado na figura.

6,65 km, 37,88◦