UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Instituto de Matem … (1).pdfA Desigualdade de Brunn-Minkowski Disserta˘c~ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem atica e Estat stica

UNIVERSIDADE FEDERAL

FLUMINENSE

Instituto de Matematica e Estatıstica

A Desigualdade de Brunn-Minkowski

Franco Manuel Dıaz Vega

Dissertacao submetida ao Corpo Docente

do Instituto de Matematica da Universidade

Federal Fluminense, como parte dos requisi-

tos necessarios para a obtencao do grau de

Mestre.

Orientador: Aldo Amilcar Bazan Pacoricona

Niteroi, 1 de Setembro de 2017


Dissertacao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matematica e Estatıstica da

Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necessarios para a

obtencao do grau de Mestre.

Area de concentracao: Matematica

Aprovada por:

Prof. Dr. Aldo Amilcar Bazan Pacoricona

(Orientador)

Prof. Dr. Juan Bautista Lımaco Ferrel

(Co-orientador)

Prof. Dr. Wladimir Augusto das Neves

Prof. Dr. Abraham Enrique Munoz Flores

Niteroi, 1 de Setembro de 2017

Ficha Catalografica

Franco, D. V.


Aluno: Franco Manuel Dıaz Vega,

Niteroi, UFF/IME, 2017

i-iv, 93 paginas

Orientador: Aldo Amilcar Bazan Pacoricona

Dissertacao de Mestrado - UFF/IME/ Programa de Pos-graduacao em

Matematica,

Referencias Bibliograficas: f. 82-83.

1. Introducao.

2. Resultados Basicos.

3. Desigualdade classica de Brunn-Minkowski.

4. Desigualdade refinada de Brunn-Minkowski.

Dedicatoria

A minha familia

e aos matematicos Minkowski e Lebesgue.

i

Agradecimentos

Agradeco primeiramente a Deus pelo dom da vida e por ter me dado forcas para

concluir mais esta etapa de meus estudos.

A minha familia pelo apoio incondicional e por terem sido a forca que faz ir em frente.

Um agradecimento especial ao meu orientador, o professor Aldo Amilcar Bazan Pacori-

cona, pela sua eficiente orientacao, paciencia, boa vontade, sabedoria, pelo exemplo de

dedicacao a profissao e por ter aceitado me orientar.

A coordenacao de Pos-Graduacao pelo apoio nos momentos difıceis .

Aos amigos do mestrado e doutorado da UFF Orlando, Gianfranco, Nina entre outros

que de alguma forma me ajudaram a nunca desistir.

Aos funcionarios da UFF pela atencao e convivencia amiga durante a realizacao do curso.

Ao professor Orlando Moreno Vega por seus buenos consejos e motivacao .

A CAPES (Coordenacao de Aperfeicoamento de pessoal de Ensino Superior) pelo apoio

financeiro .

ii

Resumo

O objetivo principal desta dissertacao e estudar a desigualdade de Brunn-Minkowski

Refinada: se E,F ⊆ Rn sao dois corpos convexos,

|E + F |1n ≥

(|E|

1n + |F |

1n

)1 +

A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

onde as quantidades A(E,F ) e σ(E,F ) serao definidas posteriormente. Tambem, C0(n)

e uma constante que depende de n, e |.| e a medida de Lebesgue.

No capıtulo 1 estudaremos os conjuntos convexos, a suma de Minkowski, a medida de

Lebesgue e Hausdorff, os teoremas de Brenier, Rademacher e Alexandrov e algumas de-

sigualdades uteis, as quais vao ser importantes para mostrar as desigualdades de Brunn-

Minkowski classica e refinada.

No capıtulo 2 mostraremos a desigualdade classica de Brunn-Minkowski: se E,F ⊆ Rn

corpos convexos,

|E + F |1n ≥ |E|

1n + |F |

1n

Mostraremos esta desigualdade de tres formas diferentes: pelo metodo de inducao, atraves

da desigualdade de Prekopa-Leindler e usando algumas ideias do Transporte Otimo de

Massa. Alem disso, tambem estudaremos algumas formas equivalentes desta desigual-

dade. Note-se que a constante no lado direito da desigualdade e igual a 1.

No capıtulo 3 estudaremos a desigualdade de Brunn-Minkowski refinada, isto e, mostraremos

que e possıvel obter uma maior constante do lado direito da desigualdade. Mais precisa-

mente, obteremos a seguinte constante: 1 + A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

.

Palavras-chave:

Corpo convexo, Desigualdade de Brunn-Minkowski, medida de Lebesgue, medida de

Hausdorf, perımetro anisotropico, desigualdade de Prekopa-Leindler, Transporte de Massa.

iii

Abstract

The main objective of this work is to study the inequality of Brunn-Minkowski :

Let E,F ⊆ Rn convex body then

|E + F |1n ≥

(|E|

1n + |F |

1n

)1 +

A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

where A (E, F) is the relative asymmetry, σ(E,F ) relative size, C0(n) is a constant that

depends on n e |.| is The Lebesgue measure.

In Chapter 1 we will study the convex sets, the sum of Minkowski, the Lebesgue and

Hausdorf measure, the theorems of Brenier, Rademacher, and Alexandrov, and some

useful inequalities that are all important to show classic and refined Brunn-Minkowski

inequality.

In chapter 2 we will show the classical inequality of Brunn-Minkowski:

Let E,F ⊆ Rn convex bodies then

|E + F |1n ≥ |E|

1n + |F |

1n

We will show by the method of induction, inequality of Prekopa Leindler and mass trans-

port and also we will study the equivalences of the inequality. Note that the constant on

the right side of the inequality is equal to 1.

In Chapter 3 we will study the Brunn-Minkowski inequality refined ie we will show that

it is possible to obtain a greater constant of the right side of the inequality what is

1 + A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

.

Key words:

Convex body, Inequality of Brunn-Minkonski, Lebesgue measure, Hausdorf measure,

Anisotropic perimeter, Prekopa-Leindler inequality, Mass transport.

iv

Sumario

1 Preliminares 3

1.1 Nocoes de Analise Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 A aplicacao Projecao Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Suporte e Funcao suporte de um conjunto convexo . . . . . . . . 13

1.1.4 Uma funcao peso sobre direcoes definidas sobre Sn−1 . . . . . . . 16

1.1.5 A media de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 A Soma de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Alguns resultados da teoria da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 A Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2 A Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 O problema de Monge-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Os teoremas de Rademacher e Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Algumas desigualdades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 A Desigualdade de Brunn-Minkowski 33

2.1 Algumas demonstracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.1 Via Prekopa-Leindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.2 Via inducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3 Via Transporte de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 O problema da igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Algumas equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 A Desigualdade de Brunn-Minkowski Refinada 48

3.1 A desigualdade do traco de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Prova do teorema 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

v

3.2.1 Limites mais baixos do defice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.2 Desigualdade do Traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.3 A assimetria relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

vi

Introducao

A desigualdade Brunn-Minkowski e um dos resultados fundamentais na teoria de conjun-

tos convexos e nucleo fundamental da geometria convexa. Desta desigualdade pode-se

tirar muitos resultados de grande profundidade e importancia, e continua sendo um

motivo de estudo e investigacao. Tem sua origem no trabalho do Hermann Brunn em

1887, quem provou a desigualdade de uma forma inteligente, porem imprecisa, sendo que

tambem nao foram dadas condicoes necessarias para que a igualdade seja satisfeita. Foi

Minkowski quem deu uma demonstracao melhor e completa do resultado para qualquer

dimensao, mostrando tambem a igualdade.

Esta dissertacao esta dividida em tres capıtulos. No primeiro capıtulo, mostraremos

algumas propriedades dos conjuntos convexos, os teoremas de Brenier, Rademacher e

Alexandrov que tem relacao com transporte de masa e algumas desigualdades uteis para

a prova da desigualdade de Brunn-Minkowski. No segundo capıtulo, enunciamos e prova-

mos a desigualdade de Brunn-MInkowski: se E e F dois corpos convexos em Rn entao

|E + F |1n ≥ |E|

1n + |F |

1n .

Nesse capıtulo fornecemos tres formas diferentes de provar esta desigualdade: usando a

desigualdade de Prekopa-Leindler, atraves do princıpio de inducao matematica, e apli-

cando alguns conceitos do Transporte Otimo de Massa. Tambem, mostraremos algumas

equivalencias da desigualdade. E importante notar que a igualdade, no caso de desigual-

dade de Brunn-Minkowski, acontece quando E e F sao homoteticos, isto e, quando existe

λ > 0 e x0 ∈ Rn tal que

E = x0 + λF

No terceiro capıtulo, usando o artigo de A. Figalli, F. Maggi e A. Pratelli (A refined

Brunn-Minkowski inequality for convex sets), mostraremos que a constante 1 que aparece

1

ao lado direito da desigualdade de Brunn-Minkowski pode ser melhorada, obtendo a

seguinte desigualdade:

|E + F |1n ≥

(|E|

1n + |F |

1n

)1 +

A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

onde:

• A(E,F), a assimetria relativa de E e F:

A(E,F ) := infx0∈Rn

|E 4 (x0 + λF )|

|E|: λ =

(|E||F |

) 1n

• σ(E,F ), o tamanho relativo a E e F:

σ(E,F ) := max

|E||F |

,|F ||E|

• C0(n), uma constante que depende de n e |.| e a medida de Lebesgue.

Para obter a constante mencionada linhas acima, primeiramente mostraremos um lema,

chamado o Lema de Poincare tipo traco:

Lema 0.1. Seja E um corpo convexo tal que Br ⊆ E ⊆ BR para 0 < r < R entao

n√

2

Ln2

R

r

∫E

|∇f | ≥ infc∈R

∫∂E

|f − c| dHn−1

para todo f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn)

A seguir, estudaremos o resultado do limite mais baixo do defice

1

|E|

∫E

|∇T (x)− λGId| dx ≤ C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n

Finalmente, estudaremos a Desigualdade do Traco onde usando limites mais baixos do

defice e os resultados anteriores, chegando a seguinte desigualdade:

A(E,F ) ≤ C(n)

(√σ(E,F )

1n

√β(E,F )

)onde:

β(E,F ) =|E + F |

1n

|E|1n + |F |

1n

− 1

Como esta ultima desigualdade e equivalente a desigualdade de Brunn-Minkowski refi-

nada, teremos a prova procurada.

2

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo apresentamos alguns resultados necessarios, para que o leitor possa ter

uma melhor compreensao dos conteudos abordados nos capıtulos seguintes.

1.1 Nocoes de Analise Convexa

1.1.1 Conjuntos convexos

Nas secoes 1.1 e 1.2 estudaremos os resultados de analise convexo cuja referencia o pode

conseguir em [15] ou em outros livros de convexidade.

Definicao 1.1. Um conjunto A ⊆ Rn e convexo se, para todo x, y ∈ A, o segmento

[x, y] ⊆ A.

Sao exemplos de conjuntos convexos:

1. Hiperplanos: Hµ,α = x ∈ Rn : 〈x, µ〉 = α, onde µ ∈ Rn e α ∈ R.

2. Semiespacos: H−µ,α = x ∈ Rn : 〈x, µ〉 ≤ α, onde µ ∈ Rn e α ∈ R.

3. Um poliedro, que e a interseccao finita de semiespacos.

Definicao 1.2. Os pontos x1, ..., xk ∈ Rn sao afinmente independentes se, e somente

se, os vetores x2x1, ..., xkx1 sao linearmente independentes.

Por exemplo, sejam x0 = (0, 2, 0), x1 = (0, 3, 0), x2 = (0, 2, 1) vetores em R3. Note que

αx1x0 + βx2x0 = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = 0. Entao, tem-se α = β = 0. Isto mostra que os

vetores x0, x1, x2 sao afinmente independentes.

Definicao 1.3. Dizemos que x ∈ Rn e uma combinacao linear convexa de x1, ..., xK ∈Rn se existem λ1, ..., λK ∈ R nao negativas tais que

∑ki=1 λi = 1 e x =

∑ki=1 λixi.

3

Alguns exemplos sao os seguintes:

1. O ponto x ∈ Rn e combinacao linear convexa de x1, x2 ∈ Rn se, e somente se,

x ∈ [x1, x2] e o segmento entre x1 e x2.

2. Sejam x1, x2, x3 ∈ Rn afinmente independientes. O ponto x ∈ Rn e combinacao linear

convexa de x1, x2, x3 se, e somente se, x esta na regiao encerrada pelo triangulo de Rn de

vertices x1, x2, x3.

3. Sejam x1, x2, x3, x4 ∈ Rn afinmente independientes. O ponto x ∈ Rn e combinacao

linear convexa de x1, x2, x3, x4 se, e somente se, x esta no tetraedro solido fechado de Rn

de vertices x1, x2, x3, x4.

Definicao 1.4. Seja A ⊆ Rn nao vazio. A envoltoria convexa de A, conv(A), e o

conjunto dos pontos de Rn que podem escrever-se como combinacao linear convexa de um

numero finito de pontos de A.

Sao exemplos de envoltoria convexa de conjuntos:

1. Um polıtopo em Rn, que por definicao e a envolvente convexa de um numero finito

de pontos.

2. Se A = (x, arctan(x)) : x ∈ R, a envoltoria convexa de A e conv(A) = R× (−π2, π

2).

Definicao 1.5. Um conjunto A ⊆ Rn diz-se um corpo convexo se e convexo, compacto

e com interior nao vazio.

Sao exemplos: a bola fechada, polıgonos, poliedros, polıtopos, etc.

Lema 1.6. Seja A um conjunto convexo no Rn. Entao, a combinacao convexa dos

elementos x1, ..., xn de A, e um elemento de A.

Demonstracao: Seja x a combinacao convexa dos elementos x1, ..., xn de A, isto e,

x =n∑i=1

λixi, onde λi ≥ 0, en∑i=1

λi = 1.

Provamos o lema usando inducao sobre n. Se n = 2, da definicao de convexidade temos

que x ∈ A. Agora, vamos supor que a afirmacao e verdadeira para n − 1 elementos de

A. Se λn ∈ (0, 1), podemos reescrever x na forma seguinte

x = (1− λn)n−1∑i=1

λi1− λn

xi + λnxn.

Entao, da hipotese de inducao,∑n−1

i=1λi

1−λnxi ∈ A, e assim, x ∈ A.

4

A seguir, mostramos duas propriedades da envolvente convexa de A.

Proposicao 1.7. Se A ⊆ Rn e convexo entao A = conv(A)

Demonstracao: Da definicao da envoltoria convexa de um conjunto temosA ⊆ conv(A).

Agora so resta mostrar que conv(A) ⊆ A. Se x ∈ conv(A), existem x1, ..., xk ∈ A, onde

λ1, ..., λk ≥ 0, tais que

x =k∑i=1

λixi; ondek∑i=1

λi = 1.

Entao, do lema anterior, x ∈ A.

Proposicao 1.8. A envoltoria convexa de A e a intersecao de todo os conjuntos convexos

de Rn que contem A.

Demonstracao: Seja D(A) a intersecao de todos os conjuntos convexos Ci de Rn que

contem A, isto e:

D(A) =⋂i∈I

Ci, onde Ci ⊆ Rn, A ⊆ Ci.

Como A ⊆ conv(A) e conv(A) e convexo entao D(A) ⊆ conv(A). Por outro lado, se

C ⊆ Rn e um conjunto convexo arbitrario, e A ⊆ C, entao conv(A) ⊆ conv(C), e ja que

C e convexo, conv(A) ⊆ C. Finalmente, dado que C e qualquer convexo que contem A,

conv(A) ⊆ D(A).

A seguir, mostraremos alguns resultados topologicos de conjuntos convexos.

Proposicao 1.9. Se A ⊆ Rn e convexo, os conjuntos int(A) e A sao convexos.

Demonstracao: Sejan x, y ∈ int(A), entao [x, y) ⊆ int(A) (isto sera provado na

proposicao 1.12). Como y ∈ int(A), [x, y] ⊆ int(A), e portanto int(A) e convexo. Agora

mostraremos que A e convexo. Para isso, fazemos duas afirmacoes:

• A soma de Minkowski do conjunto A e de uma bola B(0, r), de centro 0 e raio r

pode-se escrever das formas seguintes:

A+B(0, r) = x = a+ b : a ∈ A, ‖b‖ < r ,

A+B(0, r) = x ∈ Rn : d(x,A) < r .

Para provar a primeira igualdade, escolhemos x = a+ b ∈ A+B(0, r), de onde

d(x,A) = infa′∈A

d(x, a′) ≤ d(x, a) = ‖(a+ b)− a‖ = ‖b‖ < r.

5

Para provar a segunda igualdade, da definicao de ınfimo, como d(x,A) < r, ex-

iste a ∈ A tal que d(x, a) < r. Como x = a + (x − a) ∈ A + B(0, r), ja que

x− a ∈ B(0, r) ≡ d(x, a) < r, temos o resultado.

• O fecho de A satisfaz as seguintes igualdades:

A = x ∈ Rn : d(x,A) = 0 ,

A =⋂r>0

x ∈ Rn : d(x,A) < r ,

A =⋂r>0

[A+B(0, r)].

Mostramos a primeira igualdade. Se d(x,A) = 0, pela definicao de ınfimo, para

cada k ∈ N existe ak ∈ A tal que 0 ≤ d(x, ak) < 1k, entao, quando k → ∞

temos d(x, ak) = 0, logo existe (ak)k≥1 ⊆ A tal que ak → 0, e assim x ∈ A.

Recıprocamente, seja x ∈ A. Se β = d(x,A), devemos mostrar que β = 0. Suponha

que β 6= 0. Temos dois casos. Se β > 0, existe n ∈ N tal que

0 <1

n< inf d(x, a); a ∈ A .

Como x ∈ A, para todo ε > 0, B(x, ε) ∩ A 6= φ. Escolhendo ε = 12n

temos p ∈ A e

d(x, p) < 12n

. Assim, se p ∈ A : d(x, p) < 12n< 1

n< inf d(x, a); a ∈ A, o que gera

uma contradicao. Agora, se β = d(x,A) < 0, existe a ∈ A tal que d(x, a) < 0, o

que tambem gera uma contradicao, e assim β = 0, isto e, d(x,A) = 0.

A seguir, mostremos a segunda igualdade. Seja y ∈⋂r>0 x ∈ Rn : d(x,A) < r.

Escolhendo r = 1/n, onde n ∈ N , 0 ≤ d(y, A) < 1n, quando n→∞ temos:

limn→∞

d(y, A) = 0 = d(y, A).

Reciprocamente, se y ∈ x ∈ Rn : d(x,A) = 0, para todo r > 0 temos d(y, A) < r,

de onde y ∈⋂r>0 x ∈ Rn/d(x,A) < r .

Usando as duas afirmacoes anteriores, A =⋂r>0 [A+B(0, r)], e ja que a intersecao

arbitraria de convexos e convexa, temos o resultado.

Definicao 1.10. Dado A ⊆ Rn, denotaremos por aff(A) ao menor subespaco afim de

Rn que contem a A, que chamaremos de envoltoria afim do conjunto A. A dimensao

de A sera

dim(A) = dim(aff(A)).

6

Sao exemplos de aff(A):

1. Se A e uma regiao triangular contida em R3, a sua envoltoria afim e um plano.

2. Se A e um segmento contido em R3, a sua envoltoria afim e uma reta.

Definicao 1.11. O interior relativo, relintC, de um conjunto C ⊆ Rn e o interior de

C para a topologia relativa da envoltoria afim de C. Em outras palavras: x ∈ relintC se,

e somente se,

x ∈ aff(C), ∃δ > 0 : (aff(C)) ∩B(x, δ) ⊆ C.

Alguns exemplos de interior relativo:

1. Se C = x, entao aff(C) = x, dimC = 0 e relintC = x.2. Se C = [x, x′] um segmento em R3, entao aff(C) e a linha afim generalizada por x e

x′, dim(C) = 1 e relintC = (x, x′).

3. Se C um quadrado em R3, entao aff(C) e um plano contido em R3, cuja dimensao

e 2, e seu interior relativo e um quadrado cujo bordo e aberto.

4. Se C = B(x0, δ) ⊆ Rn, entao aff(C) = Rn, dim(C) = n e relint(C) = int B(x0, δ).

Proposicao 1.12. Seja x′ ∈ relintC e x ∈ C entao o segmento [x′, x) ⊆ relintC.

Demonstracao: Seja x′′ = αx + (1 − α)x′ com 0 ≤ α < 1. Como x ∈ C, entao, para

todo ε > 0 tem-se x ∈ C +B(0, ε), pois C =⋂ε>0(C +B(0, ε)). Mais ainda

B(x′′, ε) = x′′ +B(0, ε) = αx+ (1− α)x′ +B(0, ε)

⊆ α(C +B(0, ε)) + (1− α)x′ +B(0, ε)

= αC + (1− α)x′ + (1 + α)B(0, ε)

= αC + (1− α)

[x′ +B(0,

(1 + α)ε

1− α)

].

Como x′ ∈ relintC, x′ ∈ aff(C), de onde existe δ > 0 tal que aff(C) ∩ B(x′, δ) ⊆ C.

Assumindo que aff(C) = Rn, temos x′ ∈ intC, e escolhendo ε > 0 tal que

x′ +B(0,(1 + α)ε

1− α) = B(x′,

(1 + α)ε

1− α) ⊆ C,

logo, B(x′′, ε) ⊆ αC + (1− α)C = C, ja que C e convexo, e portanto x′′ ∈ relintC.

Observacoes:

i. B(0, λρ) = λB(0, ρ). Mostremos este resultado por doble inclusao: se z ∈ B(0, λρ),

z ∈ B(0, λρ)⇒ ‖z‖ < λρ⇒ 1

λ‖z‖ < ρ⇒

∥∥∥∥1

λz

∥∥∥∥ < ρ⇒ 1

λz ∈ B(0, ρ)

7

e assim, z ∈ λB(0, ρ). Reciprocamente, se z ∈ λB(0, ρ),

z ∈ λB(0, ρ)⇒ z = λµ;µ ∈ B(0, ρ)⇒ ‖z‖ = ‖λµ‖ = λ ‖µ‖ < λρ

e assim, z ∈ B(0, λρ).

ii. B(z, λρ) = z + λB(0, ρ). Mostremos este resultado por doble inclusao. Se ω ∈B(z, λρ),

ω ∈ B(z, λρ)⇒ ‖ω − z‖ < λρ⇒ ω − z ∈ B(0, λρ)⇒ ω ∈ z +B(0, λρ),

e assim, ω ∈ z + λB(0, ρ). Reciprocamente, se ω ∈ z + λB(0, ρ),

ω ∈ z + λB(0, ρ)⇒ ω = z + λµ;µ ∈ B(0, ρ)⇒ ‖ω − z‖ = λ ‖µ‖ < λρ,

e assim, ω ∈ B(z, λρ).

Antes de mostrar a seguinte proposicao daremos alguns exemplos para que assim a prova

fique mais clara.

1. Seja A ⊆ R2 um triangulo. Nosso objetivo e mostrar que int(A) 6= φ. Sejam x1, x2, x3

os vertices do triangulo, isto e, vetores afinmente independentes. Como x1, x2, x3 ⊆ A,

S := conv x1, x2, x3 = A. Seja x ∈ S. Entao x =∑k

i=1 λixi com∑k

i=1 λi = 1 ; para

λi ≥ 0. Se λ1 = λ2 = λ3 = 13

onde x = (x1 + x2 + x3)/3, entao x ∈ intS = intA. O caso

de um triangulo em R3 o procedimento e similar somente que serao usados relint(A)

e aff(A) ja que a dimensao topologica do conjunto e diferente a dimensao do espaco

ambiente.

2. Seja A uma elipse contida num plano em R3. Nosso objetivo e mostrar que relint(A) 6=φ. Sabemos que dim(plano) = 2 = dim(A). Escolhemos x1, x2, x3, pontos afinmente in-

dependentes na fronteira da elipse. Entao temos um triangulo S de vertices x1, x2, x3

contido em A. Definimos o conjunto S := conv x1, x2, x3 ⊆ A. Se x ∈ S, x =∑k

i=1 λixi

com∑k

i=1 λi = 1; para λi ≥ 0. Escolhendo x0 = (x1 + x2 + x3)/3 vemos que x0 ∈ S, e

como λi > 0, x0 ∈ relint(S) ⊆ relint(A), ja que dim aff(S) = dim aff(A)

Observacao: Si S ⊆ A entao, nao necessariamente relint(S) ⊆ relint(A). Por exemplo,

se K um cubo em R3 e C um lado de K, entao relint(K) ∩ relint(C) = φ, ja que

dim aff(C) = 2 6= 3 = dim aff(K).

8

Proposicao 1.13. Seja A ⊆ Rn um convexo nao vazio entao int(A) 6= φ

Demonstracao: Seja dim(A) = n para qualquer A ⊆ Rn. Entao, existem x1, ..., xn+1pontos afinmente independentes em A. Definimos S := conv x1, ..., xn+1 ⊆ A. Se

escolhermos x0 = (x1 + ...+xn+1)/(n+1), x0 ∈ S, e como 1n+1

> 0, x0 ∈ int(S) ⊆ int(A),

portanto int(A) 6= φ.

Proposicao 1.14. Seja A ⊆ Rn um convexo. Entao

a. intA = intA

b. A = intA

c. ∂(A) = ∂(A) = ∂(int(A))

Demonstracao: A seguir, provamos as tres afirmacoes dadas no teorema.

a. Como A ⊆ A, int(A) ⊆ int(A). Reciprocamente, seja z ∈ intA. Escolhemos

x0 ∈ intA. Se z = x0, nada temos para provar. Agora, seja z 6= x0. Como

z ∈ intA, existe r > 0 tal que B(z, r) ⊆ A. Consideremos o ponto ω = z+ r2z−x0‖z−x0‖ ∈

B(z, r) ⊆ A. Como x0 ∈ intA e ω ∈ A, pelo lema anterior, [x0, ω) ⊆ intA. Seja

0 < λ = rr+2‖z−x0‖ < 1. Ja que r > 0 e r + 2 ‖z − x0‖ > r, 1

r+2‖z−x0‖ <1r

e assim

λ < 1. Logo:

λx0 + (1− λ)ω =r

r + 2 ‖z − x0‖x0 +

2 ‖z − x0‖r + 2 ‖z − x0‖

(z +

r

2

z − x0

‖z − x0‖

)=

r

r + 2 ‖z − x0‖x0 +

2 ‖z − x0‖r + 2 ‖z − x0‖

(2 ‖z − x0‖ z + r(z − x0)

2 ‖z − x0‖

)=rx0 + 2 ‖z − x0‖ z + rz − rx0

r + 2 ‖z − x0‖

=(2 ‖z − x0‖+ r)z

r + 2 ‖z − x0‖= z.

Assim, z = λx0 + (1 − λ)ω, e como 0 < λ < 1, z ∈ (x0, ω) ⊆ [x0, ω) ⊆ intA, e

portanto z ∈ intA.

b. Como int(A) ⊆ A, int(A) ⊆ A. Reciprocamente, seja x ∈ A. Como x ∈ A,

escolhemos y ∈ intA, de onde [y, x) ⊆ intA, logo [y, x] ⊆ intA, e portanto x ∈ intA.

c. ∂A = A−intA = A−intA = ∂A por i) e ∂(intA) = intA−int(intA) = A−intA =

∂A, pelo item anterior. Portanto, ∂A = ∂A = ∂(intA).

9

1.1.2 A aplicacao Projecao Metrica

Teorema 1.15. Seja A ⊆ Rn um convexo, fechado e nao vazio. Para cada x ∈ Rn,

existe um unico a ∈ A tal que d(x, a) ≤ d(x, y), para todo y ∈ A.

Demonstracao: Dado x ∈ Rn , tomemos r > 0 tal que K = B(x, r)∩A 6= φ. Note que

K e compacto. Tambem, a aplicacao dx : K → [0,+∞) definida por dx(y) = d(x, y) =

‖x− y‖ e continua em K, isto e

∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(y, p) < δ ⇒ d(dx(y), dx(p)) < ε.

Com efeito, se p ∈ K,

‖dx(y)− dx(p)‖ = ‖d(x, y)− d(x, p)‖

≤‖x− y − (x− p)‖

= ‖p− y‖ < δ,

e escolhendo δ = ε, dx e continua em K. Assim, como K e compacto, existe a ∈ K tal

que d(x, a) ≤ d(x, y) para todo y ∈ K, onde a e mınimo e tambem existe b ∈ K tal que

r ≥ d(x, b) ≥ d(x, y), para todo y ∈ K, onde b e maximo. Note que

y ∈ A/K ⇒ ‖x− y‖ > r, y ∈ A⇒ ‖x− y‖ > r ≥ d(x, b), y ∈ A.

Entao ‖x− y‖ > d(x, a), desde que y ∈ A/K. Agora, para a unicidade, usaremos a

convexidade de A. Vamos supor que existem a, b ∈ A, diferentes, tais que d(x, a) ≤ d(x, y)

e d(x, b) ≤ d(x, y), para todo y ∈ A. Escolhemos c = 12(a + b), que esta no conjunto A,

pois A e convexo. Afirmamos que a− b e x− c sao ortogonais. De fato,

〈a− b, x− c〉 =

⟨a− b, x− a+ b

2

⟩=

1

2〈a− b, 2x− a− b〉 .

Como a− b = (x− b)− (x−a) e 2x−a− b = (x−a)+(x− b), colocando estas expressoes

no lado direito da igualdade acima temos

〈a− b, x− c〉 =1

2(‖x− b‖2 − ‖x− a‖2) =

1

2(d(x,A)2 − d(x,A)2) = 0.

Logo: ‖x− c‖2 < ‖x− c‖2 + ‖c− b‖2 = ‖x− b‖2, que foi obtido pelo teorema de

Pitagoras. Portanto: d(x, c) < d(x, b) contradizendo o fato de que b esta a mınima

distancia de x.

10

Teorema 1.16. Seja A ⊆ Rn convexo, fechado e nao vazio. Entao

d(PA(x), PA(y)) ≤ d(x, y),

para quaisquer x, y ∈ Rn.

Demonstracao: Note que x ∈ A se, e somente se, PA(x) = x. De fato, como PA(x) = x,

entao d(x,A) = d(x, x) = 0, de onde x ∈ A = A. Por outro lado, como ‖x− PA(x)‖ ≤‖x− y‖, para todo y ∈ A, escolhendo y = x temos 0 ≤ ‖x− PA(x)‖ ≤ 0 portanto

x = PA(x).

Agora, dados x, y ∈ Rn, se x ∈ A, PA(x) = x, de onde d(x, PA(y)) ≤ d(x, y). Analogo

para y ∈ A. Se PA(x) = PA(y) entao temos 0 ≤ d(x, y), desigualdade que e sempre

verdadeira. Sendo assim, vamos supor que x, y /∈ A e PA(x) 6= PA(y). Neste caso,

sejam Hx e Hy os hiperplanos ortogonais ao segmento [PA(x), PA(y)], que pasan por

PA(x) e PA(y) respectivamente, e seja B ⊆ Rn a regiao aberta delimitada por Hx e Hy.

Afirmamos que x, y /∈ B. De fato, se x ∈ B, existe z ∈ (PA(x), PA(y)) ⊆ A tal que

d(x, z) < d(x, PA(x)), mas isto contradiz a definicao de PA(x) , onde xPA(x) e xPA(y)

sao os angulos agudos do triangulo PA(x)xPA(y). Portanto x /∈ B e analogamente tem-se

y /∈ B. Finalmente, como x, y /∈ B,

d(x, y) ≥ d(Hx, Hy) = d(PA(x), PA(y))

.

Definicao 1.17. Seja A ⊆ Rn um conjunto convexo nao vazio. Definimos

uA : Rn − A −→ Sn−1; uA(x) =x− PA(x)

‖x− PA(x)‖

Assim uA(x) e um vetor normal unitario associado a x no ponto PA(x) ∈ ∂(A) e tambem

definimos a semireta normal a ∂(A) em PA(x) exterior a A:

RA(x) = PA(x) + λuA(x) : λ ≥ 0

e com estas definicoes mostraremos nosso seguente teorema.

Teorema 1.18. Seja A ⊆ Rn um convexo, fechado nao vazio e x ∈ Rn − A. Entao

PA(y) = PA(x) ; ∀y ∈ RA(x)

Demonstracao: Tomemos y ∈ RA(x) e agora estudaremos dois casos:

11

Caso I: y ∈ [PA(x), x]

De fato: d(x, PA(y)) ≤ d(x, y) + d(y, PA(y)) ≤ d(x, y) + d(y, PA(x)) = d(x, PA(x), entao

d(x, PA(y)) ≤ d(x, PA(x) e aplico definicao a PA(x) , temos PA(x) = PA(y)

Caso II: y /∈ [PA(x), x] entao x ∈ [PA(x), y]

Considero o segmento [PA(x), PA(y)] que esta contido em A por ser A convexo, queremos

mostrar que se reduce a um ponto. Pego q ∈ [PA(x), PA(y)] tal que qx//PA(y)y. Por pro-

porcionalidade d(x,PA(x))d(x,q)

= d(y,PA(x))d(y,PA(y))

entao d(x, q) = d(x, PA(x)) d(y,PA(y))d(y,PA(x))

≤ d(x, PA(x))

e se tem d(x, q) ≤ d(x, PA(x)) entao d(x, q) = d(x, PA(x)) ; por definicao de PA(x) e

q ∈ A por ser convexo. Logo d(x, PA(x)) = d(x, PA(x)) d(y,PA(y))d(y,PA(x))

entao d(y, PA(y)) =

d(y, PA(x)). Portanto PA(x) = PA(y) ; por definicao de PA(y)

Teorema 1.19. Seja A ⊆ Rn fechado com a propriedade que, para cada ponto de Rn

tem-se um unico ponto mais proximo em A. Entao A e convexo.

Demonstracao: Suponha que A nao e convexo. Sejam os pontos x, y ∈ Rn com [x, y]∩A = x, y. E possıvel escolher ρ > 0 tal que B = B(x+y

2, ρ), satisfazendo B ∩ A = φ,

ja que A e fechado. Se = denota a famılia de bolas fechadas B′ tais que B ⊆ B′ e

int(B′) ∩A = φ, da compacidade de B, temos que existe uma subcobertura finita de B,

de elementos de =. Chamamos de C a bola de maior raio desta subcobertura finita.

Afirmamos que C ∩ A 6= φ. Para mostrar isto, suponhamos que C ∩ A = φ. Como C

e compacto e A e fechado, existe m ∈ C e n ∈ A tal que d(A,C) = ‖m− n‖ ≥ 0. Se

d(C,A) = 0 entao ‖m− n‖ = 0 portanto m = n ∈ C ∩A, o que e uma contradicao, pois

estes conjuntos sao disjuntos. Como d(C,A) > 0, podemos aumentar um pouco mais o

raio da bola C, isto e uma contradicao com a maximalidade de C. Mais precisamente:

definindo R′ = R + d(C,A) ; onde C ′ = B(x+y2, R′), vamos mostrar que C ⊆ C ′. Seja

z ∈ C, entao∥∥z − x+y

2

∥∥ ≤ R < R′, e portanto z ∈ B(x+y2, R′) ⊆ C ′. Agora, se o

centro de C, que chamaremos de w, e diferente ao centro de B, escolhendo z ∈ C temos

‖z − w‖ ≤ R < R′, e portanto z ∈ B(w,R′) ⊆ C ′. Assim, temos que existe p ∈ C ∩A, e

da hipotese do teorema, este e o unico ponto na intersecao de C e A.

Se ∂B e ∂C tem um ponto em comum, seja esse unico ponto q; de outra maneira seja q

o centro da bola B. Para ε > 0 suficientemente pequeno, a bola C + ε(p− q) ⊇ B, e esta

bola nao intersecta o conjunto A. Portanto a famılia = contem um elemento com maior

12

raio que a bola C, uma contradicao.

1.1.3 Suporte e Funcao suporte de um conjunto convexo

Dado H ⊆ Rn um hiperplano, denotamos por H+, H− os dois semiespacos fechados cuja

fronteira e H.

Definicao 1.20. Dado A ⊆ Rn e x0 ∈ A, um hiperplano H ⊆ Rn diz-se hiperplano de

suporte de A em x0, se ele satisfaz:

a. x0 ∈ A ∩H.

b. A ⊆ H+ ou A ⊆ H− (se A ⊆ H+, dizemos que H+ e o semiespaco de suporte de A

em x0 ; de forma similar se A ⊆ H−).

Suponha que H e o hiperplano de suporte de A em x0 ∈ ∂A com A ⊆ H−. Entao

H = Hu,α = x ∈ Rn : 〈x, u〉 = α ; H− = H−u,α = x ∈ Rn : 〈x, u〉 ≤ α

para certo u ∈ Rn/ 0 e α ∈ R.

Teorema 1.21. Seja A ⊆ Rn fechado, convexo e nao vazio. Consideremos PA : Rn →A, a aplicacao projecao metrica, e uma aplicacao uA : Rn/A −→ Sn−1. Entao, dado

x ∈ Rn/A, o hiperplano H = PA(x) + 〈uA(x)〉⊥ e um hiperplano de suporte de A em

PA(x), e uA(x) e o vetor normal exterior a A em PA(x).

Demonstracao: Vamos verificar as duas condicoes para que H = PA(x) + 〈uA(x)〉⊥

seja um hiperplano de suporte de A en PA(x).

1. Como PA(x) e a projecao do ponto x no conjunto A, PA(x) ∈ A. Por outro lado,

PA(x) = PA(x) + 0, entao PA ∈ H = PA(x) + 〈uA(x)〉⊥, pois 0 ∈ 〈uA(x)〉⊥ e

uA(x) ∈ 〈uA(x)〉. Portanto, PA(x) ∈ A ∩H.

2. Agora mostramos que A ⊆ H− = y ∈ Rn/ 〈y − PA(x), uA(x)〉 ≤ 0 onde H =

PA(x) + 〈uA(x)〉⊥ = y ∈ Rn/ 〈y − PA(x), uA(x)〉 = 0. A ultima igualdade e ver-

dadeira, pois y − PA(x) ∈ 〈uA(x)〉⊥ e equivalente a y ∈ PA(x) + 〈uA(x)〉⊥. A

seguir, suponha que existe z ∈ A tal que 〈z − PA(x), uA(x)〉 > 0. Definimos o

ponto: zt = PA(x) + t(z − PA(x)) = (1 − t)PA(x) + tz, onde t ∈ [0, 1]. Note que

13

zt esta em A, pois A e convexo. Agora, seja a funcao f : [0, 1] −→ R definida por

f(t) = ‖zt − x‖2. Note que, da definicao de zt temos

f(t) = ‖PA(x) + t(z − PA(x))− x‖2

= ‖PA(x)− x‖2 + 2t 〈PA(x)− x, z − PA(x)〉+ t2 ‖z − PA(x)‖2

Derivando f obtemos

f ′(t) = 2t ‖z − PA(x)‖2 + 2 〈PA(x)− x, z − PA(x)〉 .

A seguir, escolhemos t = 0 em f ′:

f ′(0) = 2 〈PA(x)− x, z − PA(x)〉 = −2 〈x− PA(x), z − PA(x)〉

= −2 ‖x− PA(x)‖⟨

x− PA(x)

‖x− PA(x)‖, z − PA(x)

⟩= −2 ‖x− PA(x)‖ 〈uA(x), z − PA(x)〉 ,

de onde f′(0) < 0. Entao, existe ε > 0 tal que f(t) < f(0), isto e, f(t) =

‖zt − x‖2 < ‖PA(x)− x‖2 = f(0), de onde ‖zt − x‖ < ‖PA(x)− x‖ ; zt ∈ A, o que

contradiz a definicao de PA(x).

Teorema 1.22. Seja A ⊆ Rn fechado e convexo, dado z ∈ ∂A, entao existe um hiper-

plano de suporte de A em z.

Demonstracao: A prova sera feita em duas etapas:

1. Suponha que A e limitado, entao existe R > 0 tal que A ⊆ B(0, R). Por um

lema provado anteriormente, PA(S) = ∂A ; onde S = Sn−1(0, R). Portanto, dado

z ∈ ∂A, existe x ∈ S tal que PA(x) = z. Como S ⊆ Rn/A, entao, pelo lema, temos

que H = PA(x) + 〈uA(x)〉⊥ e o hiperplano suporte de A em PA(x) = z.

2. Se A nao e limitado, escolhemos z ∈ ∂A, e consideramos o conjunto Az = A ∩B(z, 1), que e fechado, convexo e limitado. De forma similar ao item anterior, H

e um hiperplano suporte de Az em z. So resta provar que H e tambem hiperplano

suporte de A em z. Suponha que H nao e um hiperplano suporte de A em z. Seja

H− o semiespaco fechado limitado por H que contem a Az. Se existisse y ∈ A/H−

entao (z, y] ⊆ Rn/H−. Como z, y ∈ A entao [z, y] ⊆ A e φ 6= (z, y]∩[z, y]∩B(z, 1) ⊆(z, y] ∩ (A ∩ B(z, 1)). Logo (z, y] ∩ (A ∩ B(z, 1)) 6= φ. Isto contradiz as inclusoes

(z, y] ⊆ Rn/H− e Az ⊆ H−.

14

Teorema 1.23. Se A e limitado, dado u ∈ Rn/ 0, existe um hiperplano de suporte de

A com vetor normal exterior u.

Demonstracao: Seja u ∈ Rn/ 0. Consideremos a funcao altura fu : A −→ R tal

que fu(x) = 〈x, u〉. Ja que a funcao fu e continua e A e compacto, fu tem um maximo

absoluto x0 ∈ A. Isto implica que A ⊆ x ∈ Rn/ x, u ≤ fu(x0) = H−u,fu(x0), onde

Hu,fu(x0) e um hiperplano suporte de A em x0 com vetor normal exterior u.

Teorema 1.24. Seja A ⊆ Rn fechado com int(A) 6= φ, tal que para cada x0 ∈ ∂A, existe

um hiperplano de suporte de A em x0. Entao A e convexo.

Demonstracao: Suponha que A nao e convexo, isto e, que existem x, y ∈ A e z ∈[x, y]/A. Se escolhermos a ∈ int(A), como os extremos do segmento [a, z] verificam que

a ∈ int(A) e z /∈ A, existe b ∈ (a, z)∩∂A. Das hipoteses, existe um hiperplano H suporte

de A em b. Seja o semiespaco determinado por H que contem a A. Como a ∈ int(A)

temos que a /∈ H , logo a ∈ H−/H. Como b ∈ H , deduzimos que a reta que passa por

a e b corta transversalmente H , portanto z /∈ H−. De fato: suponha que z ∈ H− entao

〈z, u〉 ≤ α, onde H = w ∈ Rn/ 〈w, u〉 = α. Por hipotese, b ∈ H entao, em particular

escolhemos w = b. Logo:⟨z, z−b‖z−b‖

⟩≤⟨b, z−b‖z−b‖

⟩entao 〈z, z − b〉 − 〈b, z − b〉 ≤ 0.

Portanto ‖z − b‖2 ≤ 0 isto e z = b, o que e uma contradicao. Agora, se x, y ∈ A ⊆ H−,

como H− e convexo, entao [x, y] ⊆ H−. Logo z ∈ [x, y] ⊆ H−, de onde z ∈ H−, o que e

uma contradicao.

Teorema 1.25. Cada conjunto A, convexo, fechado e nao vazio em Rn e a intersecao

de todo os semiespacos de suporte que contem a A.

Demonstracao: Seja = o conjunto de todos os semiespacos de suporte de A. Entao

A ⊆⋂S∈= S. Por outro lado, se existisse x ∈

(⋂S∈= S

)/A, o hiperplano PA(x)+〈uA(x)〉⊥

seria um hiperplano suporte de A que nao contem x. Logo, o semiespaco de suporte de

A em PA(x) nao contem x, o que e uma contradicao.

Agora estudemos a funcao suporte de um conjunto A. Seja A ⊆ Rn um conjunto

fechado e convexo. Considere a funcao

hA : Rn −→ R ∪ +∞

u 7→ hA(u) = supa∈A〈a, u〉

15

Note que hA(0) = 0. Denotaremos por Dom(hA) = u ∈ Rn : hA(u) <∞. A restricao

hA : Dom(hA) −→ R se chama a funcao suporte de A. A interpretacao geometrica de

hA(u) para u ∈ Sn−1 ∩Dom(hA) e que hA(u) representa a altura maxima que A alcanca

respeito ao hiperplano ortogonal a u. Agora seja u ∈ Dom(hA)/ 0. Consideremos o

hiperplano afim

H(A, u) = x ∈ Rn : 〈x, u〉 = hA(u) .

O semiespaco fechado limitado por H(A,u) que contem a A e

H−(A, u) = x ∈ Rn : 〈x, u〉 ≤ hA(u) .

Teorema 1.26. Seja A,A′ ⊆ Rn convexos fechados. Entao,

a. Existe x ∈ Rn tal que hA(u) = 〈x, u〉 ∀u ∈ Rn se, e somente se, A = x.b. hA+x(u) = hA(u) + 〈x, u〉 ,∀x ∈ Rn, u ∈ Dom(hA).

c. hA(λu) = λhA(u),∀λ ≥ 0, u ∈ Dom(hA).

d. hA(u+ v) ≤ hA(u) + hA(v);∀u, v ∈ Dom(hA).

e. hA ≤ hA′ se, e somente se, A ⊆ A′.

Demonstracao: Provaremos e., pois ele sera usado no capıtulo 2. Seja Hu,α um hiper-

plano de suporte de A′, com o semiespaco de suporte H−u,α. Entao

supa∈A〈a, u〉 = hA(u) ≤ hA′(u) = sup

a′∈A′〈a′, u〉 = α,

logo A ⊆ H−u,α. Como este semiespaco de suporte foi arbitrario, deduzimos que A esta

contido na intersecao de todo os semiespacos de suporte de A′, e pelo teorema anterior,

A esta contido em A′.

1.1.4 Uma funcao peso sobre direcoes definidas sobre Sn−1

Referencia [7]. Dado um corpo E que contem a origem em seu interior, hemos introduzido

uma funcao de peso nas direcoes definidas para v ∈ Sn−1 como:

‖v‖E := sup x.v : x ∈ E

1) ¿O que acontece se o origem nao pertenece no interior de E?

Seja E = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 + 1 onde se tem que 0 /∈ E. Lembre que

λE =

(p1, p2) ∈ R2 : (p1, p2) = λ(x, y); (x, y) ∈ A⇒ p1 = λx e p2 = λy,

16

Como (x, y) ∈ E entao y ≥ x2 + 1 e agora:

(p1, p2) ∈ λE ⇒ p2

λ≥(p1

λ

)2

+ 1

⇒ p2 ≥p2

1

λ+ λ

portanto:

λE =

(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2

λ+ λ

; λ > 0.

Observamos que (0, 0) /∈ λE. Ja que se

λ→ +∞ ⇒ y → +∞ e λ→ 0+ ⇒ y → +∞

2) Mostremos que ‖‖E e uma seminorma

1) ‖v‖E ≥ 0 ja que 0 ∈ E

2) ‖v‖E = 0 se e somente se v = 0 mas isso e falso porque v ∈ Sn−1

3) Provar que ‖λv‖E = λ ‖v‖E, para isso estudaremos dois casos:

3.1) Para λ > 0:

‖λv‖E = sup x.λv : x ∈ E = λsup x.v : x ∈ E = λ ‖v‖E

3.2) Para λ < 0:

‖λv‖E = sup x.λv : x ∈ E = λinf x.v : x ∈ E

= −λsup x.v : x ∈ E

= |λ| ‖v‖E

4) ‖v1 + v2‖E = sup x.(v1 + v2) : x ∈ E = sup x.v1 + x.v2 : x ∈ E

≤ sup x.v1 : x ∈ E+ sup x.v2 : x ∈ E

= ‖v1‖E + ‖v2‖E

Portanto: ‖‖E e uma seminorma.

No capıtulo 3 mostraremos um lema. Seja E um corpo convexo tal que Br ⊆ E ⊆ BR

para 0 < r < R. Entao

n√

2

Ln2

R

r

∫E


∫∂E

|f − c| dHn−1

17

para todo f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn). Mostraremos um resultado muito importante para

poder usar na prova de nosso lema

r ≤ ‖v‖E ≤ R; ∀ v ∈ Sn−1

De fato: primeiro mostraremos a desigualdade do lado ezquerdo

x.v ≤ ‖x‖ ‖v‖ = ‖x‖ ≤ R ⇒ ‖v‖E = sup x.v : x ∈ E ≤ R

Agora mostremos a outra desigualdade. Como E contem o origem se tem Br(0) ⊆ E e

dado um x0 ∈ Sr se tem ‖x0‖ = r e como x0.v = ‖x0‖ ‖v‖ cosθ = rcosθ e vai acontecer

em algum instante que x0//v e se tem x0.v = r entao

‖v‖E = sup x.v : x ∈ E ≥ sup x.v : x ∈ Br ≥ r.

1.1.5 A media de uma funcao

Referencia [7]. No capıtulo 3 mostraremos o seguinte resultado∫E

|∇f | ≥ τ(E)

∫∂E

|f −m| dHn−1,

onde m e a media de f em E e

|Ft ∩ E| ≤|E|2,∀t ≥ m e |Ft ∩ E| >

|E|2,∀t < m

Ft = x ∈ Rn : f(x) > t ; t ∈ R

Veamos algumos exemplos:

1) Seja f(x) = 3 e E = (−1, 1) temos:

a. Para t = 1.5

|F1.5 ∩ (−1, 1)| = |R ∩ (−1, 1)| = |(−1, 1)| = 2 > 1 =|(−1, 1)|

2

b. Para t = 2

|F2 ∩ (−1, 1)| = |R ∩ (−1, 1)| = |(−1, 1)| = 2 > 1 =|(−1, 1)|

2

c. Para t = −1

|F−1 ∩ (−1, 1)| = |R ∩ (−1, 1)| = |(−1, 1)| = 2 > 1 =|(−1, 1)|

2

18

observamos que para t < 3 estamos em |Ft ∩ E| > |E|2

, para todo t < m

d. Para t = 3 se tem |F3 ∩ (−1, 1)| = |φ ∩ (−1, 1)| = |φ| = 0 < 1 = |(−1,1)|2

e isso con-

tinuara valendo ∀t ≥ 3, ja que estamos no caso |Ft ∩ E| ≤ |E|2,∀t ≥ m. portanto temos

m = 3

2) Seja f(x) = sen(x) e E = (−1, 1) temos que:

a. Para t = 0

|F0 ∩ (−1, 1)| =∣∣∣(0, π

2] ∩ (−1, 1)

∣∣∣ = |(0, 1)| = 1 =|(−1, 1)|

2

b. Para t = 12∣∣∣F 1

2∩ (−1, 1)

∣∣∣ =∣∣∣(π

6,π

2] ∩ (−1, 1)

∣∣∣ =∣∣∣(π

6, 1)∣∣∣ = 1− π

6< 1 =

|(−1, 1)|2

c. Para t = 1

|F1 ∩ (−1, 1)| = |φ ∩ (−1, 1)| = |φ| = 0 < 1 =|(−1, 1)|

2

observamos que para t ≥ 0 estamos no caso |Ft ∩ E| ≤ |E|2

, para todo t ≥ m

d. Para t = −12∣∣∣F−1

2∩ (−1, 1)

∣∣∣ =

∣∣∣∣(−π6 ,π

2] ∩ (−1, 1)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(−π6 , 1)

∣∣∣∣ = 1 +π

6> 1 =

|(−1, 1)|2

e. Para t = −1

|F−1 ∩ (−1, 1)| =∣∣∣∣(−π2 ,

π

2) ∩ (−1, 1)

∣∣∣∣ = |(−1, 1)| = 2 > 1 =|(−1, 1)|

2

observamos que para t < 0 estamos no caso |Ft ∩ E| > |E|2,∀t ≥ m. Portanto temos que

m = 0.

Por outro lado seja g = max f −m, 0 e seja Gt = x ∈ Rn : g(x) > t. A continuacao

daremos exemplos para a funcao g

3) Seja f(x) = sen(x) e m = 0 entao g(x) = max sen(x), 0 = sen(x)+|sen(x)|2

g(x) =

sen(x) ; x ∈ (2kπ, (2k + 1)π); k ∈ Z0 ; x ∈ [(2k + 1)π, (2k + 2)π] ; k ∈ Z

19

Observamos que g(x) ≥ 0.

4) Seja f(x) = sen(x) e m = 0 entao g(x) = max −sen(x), 0 = −sen(x)+|sen(x)|2

g(x) =

−sen(x) para x ∈ 〈(2k + 1)π, (2k + 2)π〉 , k ∈ Z0 para x ∈ [2kπ, (2k + 1)π] , k ∈ Z

Observamos que g(x) ≥ 0.

1.2 A Soma de Minkowski

Definicao 1.27. Dados dois conjuntos A,B ⊆ Rn, definimos a soma de Minkowski

de A e B como o conjunto de todas las somas de elementos de A e B, isto e:

A+B = a+ b : a ∈ A, b ∈ B

Das propriedades da soma usual no Rn, e imediato que a soma de Minkowski e associativa,

comutativa e tem elemento neutro (o conjunto unitario 0), assumindo que φ+A = A+φ =

φ para todo A ⊆ Rn. Note que A + B =⋃a∈A(a + B) =

⋃b∈B(A + b). A partir desta

observacao, temos as seguintes propriedades:

• Se A ou B e aberto, A + B e aberto.

• Se A e B sao conexos, A + B e conexo.

• Se A e B sao compactos, A + B e compacto.

• Se A e B sao convexos, A + B e convexo.

Outra operacao de conjuntos que podemos considerar e o produto por escalares. Este

pode-se entender como uma homotetia, isto e, dados A ⊆ Rn e λ ∈ R, definimos

λA = λa : a ∈ A .

Em particular, o conjunto −A = (−1)A e o simetrico de A, em relacao a origem. Alguns

exemplos da soma de Minkowski e o produto por escalares, sao os seguintes:

1. Dados x ∈ Rn e A ⊆ Rn, o conjunto x+A = x+A = x+ a : a ∈ A e o transladado

de A com respeito ao vetor x.

20

2. Qualquer bola aberta Br(x) pode-se escrever em termos da bola unidade como

Br(x) = x + rB1(0) e o resultado e similar para bolas fechadas. Mais geralmente, se

x, y ∈ Rn;λ, µ ∈ R e r, s ≥ 0, entao

λBr(x) + µBs(y) = Bλr+µs(λx+ µs)

λBr(x) + µBs(y) = Bλr+µs(λx+ µs)

O resultado para combinacoes lineares de mais de duas bolas e imediato.

3. Dado um conjunto A y r ≥ 0, a suma A + Br(0) (resp. A + Br(0)) tem uma

interpretacao especial ja que consiste em colocar a bola Br(0) (resp. Br(0)) centrada em

cada ponto de A:

A+Br(0) =⋃a∈A

Br(a) = x ∈ Rn : dist(x,A) < r

A+Br(0) =⋃a∈A

Br(a) = x ∈ Rn : dist(x,A) ≤ r ; desde que A seja fechado.

Teorema 1.28. Sejam A,B ⊆ Rn nao vazios. Entao

conv(A) + conv(B) = conv(A+B).

Demonstracao: Primeiro, vamos provar que conv(A+B) ⊆ conv(A) + conv(B). Seja

x ∈ conv(A+B). Entao, existem a1, ..., ak ∈ A; b1, ..., bk ∈ B;λ1, ..., λk ≥ 0 tais que

k∑i=1

λi = 1; x =k∑i=1

λi(ai + bi)

e assim x =∑k

i=1 λiai +∑k

i=1 λibi ∈ conv(A) + conv(B). Reciprocamente, seja z ∈conv(A) + conv(B). Vamos mostrar que z ∈ conv(A + B). Seja z = x + y ∈ conv(A) +

conv(B). Entao, existem a1, ..., ak ∈ A; b1, ..., bm ∈ B e λ1, ..., λk, µ1, ...µm ≥ 0 tais que

z = x+ y =k∑i=1

aiλi +k∑i=1

biµi =m∑j=1

µj

k∑i=1

aiλi +k∑i=1

λi

m∑i=1

biµi

=∑

1≤i≤k, 1<j<m

λiµj(ai + bi),

e assim z ∈ A+B.

21

Teorema 1.29. Se A e B sao conjuntos convexos, A+B e convexo.

Demonstracao: Seja x, y ∈ A+B e λ ∈ [0, 1]. Entao x = ax+bx ; onde ax ∈ A, bx ∈ B.

Tambem, y = ay + by ; onde ay ∈ A, by ∈ B. Portanto:

λx+ (1− λ)y = λ(ax + bx) + (1− λ)(ay + by = [λax + (1− λ)ay] + [λbx + (1− λ)by],

e assim, o segmento [x, y] esta contido em A+B.

Teorema 1.30. Se A e convexo e λ ∈ R, λA e convexo

Demonstracao: Sejam x, y ∈ λA entao x = λa1 e y = λa2 onde a1, a2 ∈ A. Portanto:

(1− t)x+ ty = (1− t)λa1 + tλa2 = λ((1− t)a1 + ta2)A,

e assim, o segmento [x, y] esta contido em λA.

1.3 Alguns resultados da teoria da medida

1.3.1 A Medida de Lebesgue

A medida de Lebesgue e a forma estandar de definir um comprimento, area ou volume

aos subconjuntos de um espaco euclıdeo. Usa-se na analise, especialmente para definir a

integral de Lebesgue. Os conjuntos aos que e possıvel associar um tamanho denominamos

Lebesgue-mensuraveis, ou simplesmente mensuraveis (e muito importante saber qual e a

medida que esta se usando).

Definicao 1.31. Seja BR a σ−algebra de Borel na reta R. A medida de Lebesgue uni-

dimensional de um conjunto A ⊂ BR e definida por

L1(A) = inf

∞∑i=1

diam(Ki) : A ⊂∞⋃i=1

Ki, Ki ⊂ R

,

onde diam(Ki) representa o diametro do conjunto Ki. A medida de Lebesgue Ln sobre o

Rnm e o completamento de L1×...×L1 sobre a σ-algebra Borel do Rn. Nesta dissertacao,

denotaremos por |A| a medida de Lebesgue de um conjunto A ∈ BRn.

Alguns exemplos de medidas de Lebesgue de conjuntos sao os seguintes:

1. Se A e um intervalo fechado [a, b], su medida de Lebesgue e o comprimento b-a. O

intervalo abierto (a,b) tem a mesma medida, pois a diferenca entre os dois conjuntos tem

22

medida nula.

2. Se A e o produto cartesiano de dois intervalos [a, b] e [c, d], isto e, um retangulo, a

medida de Lebesgue de A e (b-a)·(d-c).

3. O conjunto de Cantor e um conjunto nao enumeravel com medida de Lebesgue nula.

A medida de Lebesgue no Rn tem as seguentes propiedades:

a. Se A e o produto cartesiano de intervalos Ik, (1 ≤ k ≤ n), isto e, se A = I1×I2×...×In,

entao A e Lebesgue-mensuravel e |A| = |I1| .|I2|.......|In|, onde |I| denota o comprimento

do intervalo I.

b. Se A e uma uniao disjunta de uma quantidade finita ou enumeravel de conjuntos

Lebesgue-mensuraveis, A e Lebesgue-mensuravel.

c. Si A e Lebesgue-mensuravel, tambem seu complementar e Lebesgue mensuravel.

d. |A| ≥ 0 para todo conjunto Lebesgue-mensuravel A.

e. Se A e B sao Lebesgue-mensuraveis, e A ⊆ B, entao |A| ≤ |B|.f. A uniao e intersecao enumeravel de conjuntos Lebesgue-mensuraveis sao Lebesgue-

mensuraveis.

g. Se A e um subconjunto aberto o fechado de Rn, e Lebesgue-mensuravel.

h. Se A e Lebesgue-mensuravel e x e um elemento de Rn, a translacao definida por

A + x = a+ x : a ∈ A e tambem Lebesgue-mensuravel e, mais ainda, tem a mesma

medida que A.

Teorema 1.32. (Alesker-Dar-Milman) Sejam X,Y dois conjuntos abertos convexos lim-

itados de Rn com volume 1. Entao, existe ψ : X −→ Y , de classe C1, que preserva a

medida de Lebesgue, e tal que para todo λ > 0

X + λY = x+ λψ(x);x ∈ X .

Demonstracao:

1.3.2 A Medida de Hausdorff

A medida de Hausdorff generaliza a ideia de comprimento, area e volume. A medida

de dimensao zero conta o numero de pontos num conjunto si o conjunto e finito, o e

infinito si o conjunto o e. A medida unidimensional calcula o comprimento de uma curva

suave em Rn. A medida bidimensional de um conjunto em R2 proporcional a seu area

23

e analogamente a medida tridimensional de um conjunto em R3 e proporcional a seu

volume.

Definicao 1.33. Seja A um subconjunto do Rn. Se δ > 0, definimos

Hk,δ(A) = inf

∞∑i=1

(diamDi)k : A ⊂

∞⋃i=1

Di, diamDi ≤ δ

,

com a convencao que inf φ =∞. Note que, quando δ vai diminuindo, os valores de Hk,δ

vao aumentando. Finalmente, definimos

Hk = limδ→0

Hk,δ.

E possıvel mostrar que Hk e uma medida exterior sobre o Rn. Restrinngindo esta medida

exterior aos conjuntos de Borel do Rn, temos que Hk e uma medida sobre o Rn. A esta

medida chamaremos de medida de Hausdorff k-dimensional de A.

Um exemplo do uso da medida de Hausdorff e o seguinte: consideremos D = S1 e

f(x) = 11+‖x‖2 . Entao∫

S1

1

1 + ‖x‖2dH1 =

∫S1

1

2dH1 =

1

22π = π

Teorema 1.34. (Formula da Co-area) Seja u : Rn −→ R uma funcao Lipschitz e

assumimos que, para quase todo r ∈ R, o conjunto de nıvel x ∈ Rn : u(x) = r e suave.

Se f : Rn −→ R e contınua e integravel,∫Rnf(x) |∇u(x)| dx =

∫ +∞

−∞

(∫u=r

f(x)dHn−1(x)

)dr

Demonstracao: Ver [?] ou [?].

Corolario 1.35. Seja f : Rn −→ R contınua e integravel. Entao, para cada ponto

x0 ∈ Rn ∫Rnf(x)dx =

∫ +∞

0

(∫∂Br(x0)

f(x)dHn−1(x)

)dr

Demonstracao: Ver [?] ou [?].

24

A seguir, alguns exemplos.

1. Sejam ωn e σn o volume da bola unitaria B1 de Rn e a medida de Sn−1, respectiva-

mente. Sabemos que

|Br(x)| = rnωn, Hn−1(∂Br(x)) = rn−1σn

Vamos mostrar que, se n ≥ 2, σn = nωn. Aplicando o corolario 1.32, onde f = 1, temos

ωn =

∫B1

dx =

∫ 1

0

(∫∂Br

dHn−1

)dr =

∫ 1

0

Hn−1(∂Br)dr = σn

∫ 1

0

rn−1dr =σnn

2. Seja n ≥ 1. Vamos mostrar que ωn = πn2

n2

Γ(n2

). Sabemos que Γ(1) = 1 e Γ(1

2) =√π.

Entao

ω1 =π

12

12Γ(1

2)

= 2, ω2 =π

1Γ(1)= π.

Vamos mostrar o caso geral por inducao. Suponha que a afirmacao e valida para n-2 com

n ≥ 3. Escolhemos x ∈ B1 e escrevemos x = (x′, x′′), onde x′ = (x1, x2) e x′′ = (x3, ..., xn)

tal que

x′ ∈ D1 =

(x1, x2) ∈ R2 : x21 + x2

2 < 1

ex′′ ∈ (B1)x′ = x′′ ∈ Rn−2 : (x′, x′′) ∈ B1

= (x3, ..., xn) ∈ Rn−2 : x23 + ...+ x2

n < 1− x21 − x2

2 .Aplicando o teorema de Fubini e usando a hipoteses de inducao, temos:

ωn =

∫B1

dx =

∫D1

dx′∫

(B1)x′

dx′′

=

∫D1

ωn−2(1− x21 − x2

2)n−22 dx1dx2

= ωn−2

∫ 2π

0

dθ

∫ 1

0

(1− r2)n−22 rdr =

2π

nωn−2

=2π

n

πn−22

n−22

Γ(n−22

)=

2π

n

πn−22

Γ(n2)

=πn2

n2Γ(n

2).

Teorema 1.36. (Teorema de Morse-Sard). Seja Ω ⊆ Rn um conjunto aberto e seja

f : Ω −→ Rn uma funcao de classe Cn−m+1 com n ≥ m, de C1. Se m > n, o conjunto

de pontos crıticos de f tem medida de lebesgue zero.

Demonstracao: ver [5]

25

1.4 O problema de Monge-Kantorovich

Problema 1.37. (O problema de transporte otimo de Monge). Seja P (Rn) o espaco

das medidas de probabilidade sobre o Rn. O problema de Monge e achar uma aplicacao

T : (Rn, µ)→ (Rn, ν) tal que minimize a integral∫Rnc(x, T (x))dµ(x)

onde µ ∈ P (Rn) e ν(B) = µ(T−1(B)). A ultima igualdade pode-se escrever como ν = Tµ.

Problema 1.38. (Formulacao equivalente de Kantorovich). Na formulacao dada por

Kantorovich, o objetivo e achar uma medida de Borel de probabilidade γ ∈ P (Rn × Rn)

tal que

γ(A× Y ) = µ(A), γ(X ×B) = ν(B);

onde A e B sao conjuntos de Borel no Rn; (Rn, µ) e (Rn, ν) sao espacos onde µ, ν ∈P (Rn), e que minimize a integral∫

Rn×Rnc(x, y)dγ(x, y).

Teorema 1.39. (Teorema de Brenier). Sejam µ e ν duas medidas de probabilidade no

Rn, tal que µ e nula para conjuntos de dimensao de Hausdorff no maximo n-1. Entao,

existe exatamente uma aplicacao mensuravel T tal que ν = Tµ e T = ∇ψ, para alguma

funcao convexa ψ, no sentido que para quaisquer tais duas aplicacoes, elas coincidem µ−quase sempre.

Demonstracao: ver [2, 3]

1.5 Os teoremas de Rademacher e Alexandrov

Teorema 1.40. (Teorema de Rademacher). Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto e f :

U −→ Rm uma funcao localmente lipchitziana. Entao, f e diferenciavel em quase todo

ponto de U.


Corolario 1.41. Seja f uma funcao convexa definida num aberto convexo no Rn. Entao,

f e diferenciavel em quase todo ponto do aberto convexo dado.

26


Teorema 1.42. (Teorema de Alexandrov). Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto e f : U −→Rm uma funcao convexa. Entao, f e duas vezes diferenciavel em quase todo ponto de U.


E possıvel mostrar que a matriz ”Hessiana” da funcao f e simetrica e nao negativa.

1.6 Algumas desigualdades importantes

Afirmacao: λ1 ≤ λG ≤ λn onde λG e a media geometrica.

De fato: λn1 ≤ λ1...λn ≤ λnn entao λ1 ≤ n√λ1...λn ≤ λn

Agora como λ1 ≤ λG ≤ λn entao λk − λn ≤ λk − λG ≤ λk − λ1

caso 1: λk > λG entao λk − λG ≤ λk − λ1 ≤ λn − λ1

caso 2: λk < λG entao |λk − λG| ≤ |λk − λn| = λn − λk ≤ λn − λ1

Teorema 1.43. (Desigualdade da media aritmetica-geometrica com pesos). Sejam x1, ..., xn

e t1, ..., tn numeros positivos e∑n

i=1 ti = 1. Entao

xt11 ...xtnn ≤ x1t1 + ...+ xntn.

Demonstracao: Como xtii = etiLnxi e a funcao f(x) = ex e convexa, temos:

xt11 ...xtnn = et1Lnx1 ...etnLnxn = et1Lnx1+...+tnLnxn

= f(t1Lnx1 + ...+ tnLnxn) ≤ t1f(Lnx1) + ...+ tnf(Lnxn)

= t1eLnx1 + ...+ tne

Lnxn = t1x1 + ...+ tnxn

Teorema 1.44. (Desigualdade de Young). Sejam p, q > 1 tal que 1p

+ 1q

= 1, e a, b ≥ 0.

Entao

ab ≤ ap

p+bq

q.

27

Demonstracao: Se a = 0 ou b = 0, o lado esquerdo da desigualdade e 0, e o lado direito

e nao negativo, entao a desigualdade e satisfeita. Sejam a > 0 e b > 0. Sabemos que

f(x) = ex e uma funcao convexa, isto e, eαx+βy ≤ αex + βey, onde α + β = 1. Fazendo

as mudancas de variavel α = 1p, β = 1

q, x = pLna e y = qLnb temos:

eLna+Lnb ≤ 1

pepLna +

1

qeqLnb ⇒ eLn(ab) ≤ 1

peLna

p

+1

qeLnb

q

portanto

ab ≤ 1

pap +

1

qbq.

Teorema 1.45. (Desigualdade de Holder). Sejam f, g funcoes mensuraveis e p, q > 1

tal que 1p

+ 1q

= 1. Entao

∫Rnfgdµ ≤

(∫Rnfpdµ

) 1p(∫

Rngqdµ

) 1q

Demonstracao: Ver [4].

Teorema 1.46. (Desigualdade de Prekopa Leindler). Sejam 0 < λ < 1 f, g, φ : Rn −→[0,+∞), funcoes mensuraveis nao negativas tais que para todo r, s ∈ Rn

φ(λr + (1− λ)s) ≥ f(r)λg(s)1−λ.

Entao ∫Rnφ(x)dx ≥

(∫Rnf(x)dx

)λ(∫Rng(x)dx

)1−λ

.

Demonstracao: Ver [8]

Teorema 1.47. Sejam λA e λG a media aritmetica e a media geometrica de 0 < λ1 ≤... ≤ λn, respectivamente. Entao

7n2(λA − λG) ≥ 1

λn

n∑k=1

(λk − λG)2

Demonstracao: A prova sera dividida em varias etapas que pode encontrar na re-

ferencia [6]

28

1. Afirmamos que, dados s, t ∈ (0,∞),

Lns ≤ Lnt+s− tt− (s− t)2

2max s, t2 .

Assumindo, sem perda de generalidade, que s < t, podemos escrever a desigualdade

acima da forma seguinte:

Ln(st− 1 + 1

)≤(st− 1)− 1

2

(st− 1)2

,

e fazendo x = s/t− 1 temos

1

2x2 − x+ Ln(x+ 1) ≤ 0, x ∈ (−1, 0).

Entao, o nosso objetivo sera mostrar a ultima desigualdade. Para isso, definimos

uma funcao ψ : (−1, 0) → R por ψ(x) = 12x2 − x + Ln(x + 1). Derivando esta

funcao, obtemos que 0 e um ponto crıtico dela, e que a funcao e concava. Assim,

ψ satisfaz a desigualdade procurada, o que implica que a desigualdade

Lns ≤ Lnt+s− tt− (s− t)2

2max s, t2 ,

e valida para todo s, t ∈ (0,∞).

2. Como λG e a media geometrica dos valores λk, temos

Ln(λG) = Ln (∏n

k=1 λk)1n = 1

nLn (

∏nk=1 λk)

= 1nLn(λ1...λn) = 1

n(Lnλ1 + ...+ Lnλn) = 1

n

∑nk=1 Lnλk

Agora, escolhendo s = λk e t = λA na desigualdade acima, obtemos

Ln(λG) =1

n

n∑k=1

Lnλk ≤1

n

n∑k=1

Ln(λA) +

λk − λAλA

− (λk − λA)2

2λ2n

Note que

λA =λ1 + ...+ λn

n≤ nλn

n= λn.

Assim,

Ln(λG) ≤ 1

n

n∑k=1

Ln(λA) +1

n

n∑k=1

λk − λAλA

− 1

n

n∑k=1

(λk − λA)2

2λ2n

,

e como

1

n

n∑k=1

λk − λAλA

=1

n

(λ1 + ...+ λn − nλA

λA

)=

1

λA

(λ1 + ...+ λn − nλA

n

)=

1

λA(λA − λA) = 0,

29

temos

Ln(λG) ≤ Ln(λA)− 1

2nλ2n

n∑k=1

(λk − λA)2.

Fazendo z = (1/2nλ2n)∑n

k=1(λk−λA)2, a ultima desigualdade implica que eLn(λG) ≤eLn(λA)−z, de onde

λG ≤ eLn(λA)e−z = λAe−z.

3. Afirmamos que z ∈ [0, 1/2]. De fato,

0 ≤ z =1

2nλ2n

n∑k=1

(λk − λA)2 =1

2nλ2n

[(λ1 − λA)2 + ...+ (λn − λA)2

]=

1

2nλ2n

[λ2

1 + ...+ λ2n − 2λA(λ1 + ...+ λn) + nλ2

A

]=

1

2λ2n

[λ2

1 + ...+ λ2n

n− 2λ2

A + λ2A

]=

1

2λ2n

[λ2

1 + ...+ λ2n

n− λ2

A

]≤ 1

2λ2n

(λ2

1 + ...+ λ2n

n

)≤ 1

2λ2n

nλ2n

n=

1

2,

portanto z ∈ [0, 1/2].

4. Afirmamos que a desigualdade

1− e−t ≥ 3t

4,

e valida para todo t ∈ [0, 1/2]. De fato, seja f(t) = 1− e−t− 3t4

, entao derivando f

temos que t = −Ln(3/4) e um ponto crıtico. Derivando novamente temos f ′′(t) =

−e−t, de onde a funcao e concava, e o ponto t = −Ln(3/4) e um maximo. Logo,

como f(0) = 0, f(−Ln(3/4)) = 0.034 > 0, f(12) = 0.018 > 0, e a funcao e concava

temos que f(t) = 1−e−t− 3t4≥ 0 para todo t ∈ [0, 1/2] e lembrando que λG ≤ λAe

−z,

e a definicao de z, temos

λA − λG ≥ λA − λAe−z = λA(1− e−z) ≥ λA3z

4= λA

3

4

1

2nλ2n

n∑k=1

(λk − λA)2

=3λA8nλ2

n

n∑k=1

(λk − λA)2 ≥ 3

8

1

n

1

λ2n

λnn

n∑k=1

(λk − λA)2

=3

8

1

n2

1

λn

n∑k=1

(λk − λA)2.

30

5. Afirmamos que a seguinte desigualdade e verdadeira:

n∑k=1

(λk − λG)2 ≤ 2n∑k=1

(λk − λA)2 + 2n(λA − λG)2.

Note que

n∑k=1

(λk − λG)2 = (λ1 − λG)2 + ...+ (λn − λG)2

= λ21 + ...+ λ2

n − 2λG(λ1 + ...+ λn) + nλ2G

= λ21 + ...+ λ2

n − 2λGnλA + nλ2G,

e tambem

2n∑k=1

(λk − λA)2 + 2n(λA − λG)2 = 2[(λ1 − λA)2 + ...+ (λn − λA)2] + 2n(λA − λG)2

= 2λ21 + ...+ 2λ2

n − 4nλAλG + 2nλ2G.

Entao, usando as duas ultimas igualdades, podemos reescrever a afirmacao acima:

λ21 + ...+ λ2

n − 2λGnλA + nλ2G ≤ 2λ2

1 + ...+ 2λ2n − 4nλAλG + 2nλ2

G

que e equivalente a

2nλAλG − nλ2G ≤ λ2

1 + ...+ λ2n.

Faremos a prova da ultima desigualdade pelo absurdo, isto e, vamos supor que

2nλAλG − nλ2G > λ2

1 + ...+ λ2n. Entao

n∑k=1

(λk − λG)2 ≤ λ21 + ...+ λ2

n − 2λGλn + nλ2G < 2nλAλG − nλ2

G − 2λGλn + nλ2G,

mas isto implica que∑n

k=1(λk − λG)2 < 0, o que e um absurdo.

6. Afirmamos que (λA−λG)2 ≤ λn(λA−λG). Note que esta desigualdade e equivalente

a λA − λG ≤ λn, o que segue das desigualdades λA ≤ λn ≤ λn + λG.

Finalmente,

n∑k=1

(λk − λG)2 ≤ 2n∑k=1

(λk − λA)2 + 2n(λA − λG)2

≤ 16

3n2λn(λA − λG) + 2nλn(λA − λG)

≤ 16

3n2λn(λA − λG) + n2λn(λA − λG)

< 7n2λn(λA − λG)

31

Teorema 1.48. Para todo s ∈ (0, 1/2] e 1/m ∈ [0, 1) temos

s1m + (1− s)

1m − 1 ≥ (2− 2

1m )s

1m

Demonstracao: Primeiro note que podemos reescrever esta desigualdade da forma

seguinte

−s1m + (1− s)

1m + (2s)

1m − 1 ≥ 0,

A seguir, definimos f(s) := −s 1m + (1 − s) 1

m + (2s)1m − 1. Nosso objetivo sera mostrar

que esta funcao e concava. Para simplicar as contas, fazemos 1m

= x. Derivando f temos

f ′(s) = −xsx−1 − x(1− s)x−1 + 2xxsx−1 = 0.

Fazendo a derivada de f igual a zero obtemos

s0 =

(1

−1+2x

)1/(x+1)

1 +(

1−1+2x

)1/(x−1),

o unico ponto crıtico de f . Derivando f′

temos

f ′′(s) = −x(x− 1)sx−2 + x(x− 1)(1− s)x−2 + 2xx(x− 1)sx−2

= x︸︷︷︸+

(x− 1)︸︷︷︸−

(sx−2(−1 + 2x)︸︷︷︸+

+ (1− s)x−2︸︷︷︸+

) < 0,

Assim a funcao e concava, e ja que s0 e um ponto crıtico de f , este ponto sera um ponto

de maximo global de f . Finalmente, como f(0) = 0 = f(12), f(s) ≥ 0.

32

Capıtulo 2

A Desigualdade de

Brunn-Minkowski

Na matematica, a desigualdade de Brunn-Minkowski e uma desigualdade que relaciona

o volume (o mais geralmente as medidas de Lebesgue) de subconjuntos Lebesgue men-

suraveis do espaco euclidiano. A versao original do teorema de Brunn-Minkowski (Her-

mann Brunn 1887, Hermann Minkowski 1896) aplica-se a conjuntos convexos. A gener-

alizacao para considerar conjuntos nao convexos aqui se debe a L. A. Lyusternik (1935).

Esta desigualdade tem aplicacoes em analise e geometri,a e tambem tem equivalencias

com outras desigualdades como por exemplo com a desigualdade de Prekopa-Leindler.

A desigualdade de Brunn-Minkowski e a seguinte: se K e L sao dois corpos convexos em

Rn, e 0 < λ < 1,

(2.1) |(1− λ)K + λL|1n ≥ (1− λ) |K|

1n + λ |L|

1n

onde |.| e + denotam a medida de Lebesgue e a suma de Minkowski, respectivamente. A

igualdade acontece se, e somente se, os corpos convexos K e L sao homoteticos, isto e:

∃λ > 0, x0 ∈ Rn : K = x0 + λL

Alguns exemplos sao os seguintes cuja demonstracao segue a referencia [8]:

1. Sejam K,L ⊂ R2 tais que K e um quadrado, cujo lado tem comprimento l, e um disco

de centro (0, 0) e raio ε > 0. Entao

|K +B| = |K|+ 4lε+ |B| ≥ |K|+ 2lε√π + |B|

= |K|+ 2√|K| |B|+ |B| =

(|K|

12 + |B|

12

)2

.

33

Portanto |K +B|12 ≥ |K|

12 + |B|

12 .

2. Sejam X e Y cubos no Rn com arestas de tamanho xi e yi na direcao da i-esima

coordenada. Entao X+Y e o cubo de aresta xi + yi. Assim,

|X| =n∏i=1

xi, |Y | =n∏i=1

yi e |X + Y | =n∏i=1

(xi + yi).

Agora, usando a desigualdade aritmetica-geometrica temos

(n∏i=1

xixi + yi

) 1n

+

(n∏i=1

yixi + yi

) 1n

≤ 1

n

n∑i=1

xixi + yi

+1

n

n∑i=1

yixi + yi

=1

n

n∑i=1

xi + yixi + yi

= 1.

Portanto: (n∏i=1

xi

) 1n

+

(n∏i=1

yi

) 1n

≤

(n∏i=1

(xi + yi)

) 1n

.

3. Sejam A,B ⊂ R2 definidos por

A = [a, b]× a

B = a × [a, b]

Note que |A| = |B| = 0, e

A+B = [a, b]× a+ a × [a, b] = [a, b]× [a, b]⇒ |A+B| = (b− a)2.

Entao (b− a)2 > 0 + 0. Portanto para os segmentos A e B no R2 temos a desigualdade

estrita.

4. Seja C ⊆ Rn um subconjunto compacto. Definimos o conteudo exterior de Minkowski

da fronteira de C da forma seguinte:

limt→0+

|C + tB| − |C|t

=: M(∂C)

sendo B a bola unitaria de Rn. No caso da fronteira ser regular, o conteudo de Minwkoski

coincide com o volume. Agora, como no exemplo 1, seja K um quadrado de comprimento

de lado l, e Bε uma bola de centro (0, 0) e raio ε. Lembremos que Bε = εB, onde B e a

bola unitaria. Sabemos que

|K +Bε| = |K + εB| = |K|+ 4lε+ |εB| = |K|+ 4lε+ ε2 |B| .

34

Entao

limε→0+

|K + εB| − |K|ε

= limε→0+

(4l + ε |B|) = 4l

6. Seja ωn := |B|, onde B e a bola unitaria do Rn. Entao, o volume da fronteira de B

e o menor entre todos os volumes das fronteiras dos subconjuntos A de Rn compactos,

convexos, com interior nao vazio,e com fronteira regular, de volume ωn. De fato, seja

A ⊆ Rn com |A| = ωn. Definimos f(t) := |A+ tB| para todo t ≥ 0. Entao

d

dt(f(t)

1n ) =

1

nf(0)

1n−1f ′(0) =

1

n|A|

1n−1Hn−1(A)

Note que:

f ′(0) = limt→0+

f(t)− f(0)

t= lim

t→0+

|A+ tBn| − |A|t

= Hn−1(A)

quando A tem fronteira regular. Por outro lado

d

dt(f(t)

1n ) = lim

t→0+

f(t)1n − f(0)

1n

t= lim

t→0+

|A+ tB| 1n − |A| 1nt

Usando a desigualdade de Brunn-Minkowski temos

|A+ tB|1n ≥ |A|

1n + |tB|

1n = |A|

1n + t|B|

1n

de onde1

n|A|

1n−1Hn−1(A) = lim

t→0+

|A+ tB| 1n − |A| 1nt

≥ |B|1n

e assim

Hn−1(A) ≥ n|B|1n |A|1−

1n = nω

1nn ω

1− 1n

n = nωn = Hn−1(B).

Portanto Hn−1(A) ≥ Hn−1(B).

7. Usando o conteudo exterior de Minkowski e a desigualdade de Brunn-Minkowski,

podemos provar a desigualdade Isoperimetrica(|K||B|

) 1n

≤(Hn−1(K)

Hn−1(B)

) 1n−1

onde K e um conjunto compacto, simplesmente conexo, com interior na vazio, e fronteira

suave; e B e a bola unitaria n-dimensional. De fato, sabemos que

Hn−1(K) = limε→0+

|K + εB| − |K|ε

35

Pela desigualdade de Brunn-Minkowski e pelo binomio de Newton temos

S(K) ≥ limε→0+

(|K|

1n + ε |B|

1n

)n− |K|

ε= n |K|

n−1n |B|

1n .

Por outro lado

Hn−1(B) = n |B| ⇒ n |B|1n = n |B| |B|

1n−1 = Hn−1(B) |B|

1n−1 ,

entao temos

Hn−1(K) ≥ Hn−1(B) |B|1n−1 |K|

n−1n

e esta desigualdade implica que

Hn−1(K)

Hn−1(B)≥(|K||B|

)n−1n

2.1 Algumas demonstracoes

2.1.1 Via Prekopa-Leindler

Esta prova segue a referencia [8]. Definimos as funcoes f := 1X , g := 1Y e φ =:

1(1−λ)X+λY , onde 1E e a funcao caracterıstica, eX, Y sao conjuntos Lebesgue mensuraveis.

Note que

(2.2) φ((1− λ)x+ λy) ≥ f 1−λ(x)gλ(y),

pois, se x /∈ X, f(x) = 0 e ja que φ(x) e sempre nao negativa, segue a desigualdade

acima. De forma similar e o caso y /∈ Y . Agora, se x ∈ X e y ∈ Y , entao (1−λ)x+λy ∈(1− λ)X + λY , de onde

f(x)1−λg(y)λ = 1 = φ((1− λ)x+ λy),

e assim temos (2.2). Entao, usando a desigualdade de Prekopa-Leindler obtemos

|(1− λ)X + λY | =∫Rn

1(1−λ)X+λY dx

≥(∫

Rn1Xdx

)1−λ(∫Rn

1Y dx

)λ= |X|1−λ |Y |λ

.

36

Esta desigualdade e conhecida como forma multiplicativa de Brunn-Minkowski.

Escolhendo λ = |Y |1n

|Y |1n+|X|

1n> 0, e e definindo Y ′ := |Y |

−1n Y e X ′ := |X|

−1n X, da

desigualdade anterior aplicada a X ′ e a Y ′ obtemos

|(1− λ)X ′ + λY ′| =∣∣∣(1− λ) |X|

−1n X + λ |Y |

−1n Y

∣∣∣≥ |X ′|1−λ |Y ′|λ

=(|X|−1 |X|

)1−λ (|Y |−1 |Y |)λ

= 1,

de onde ∣∣∣∣∣ X + Y

|X|1n + |Y |

1n

∣∣∣∣∣ ≥ 1,

o que e equivalente a

|X + Y |1n ≥ |X|

1n + |Y |

1n .

2.1.2 Via inducao

A seguinte prova segue a demonstracao dada em [14].

1. Provamos a desigualdade de Brunn-Minkowski unidimensional. Sejam K0 e K1 inter-

valos compactos em R e a0 = inf(K0) e b1 = sup(K1). Afirmamos que (a0 +K1)∩ (b1 +

K0) = a0 + b1. De fato, se x ∈ (a0 +B) ∩ (b1 +A), entao x = a0 + b, para todo b ∈ Be x = b1 + A, para todo a ∈ A, portanto x = a0 + b1. A outra inclusao e imediata. Por

outro lado temos

(2.3) (a0 +K1) ∪ (b1 +K0) ⊆ K0 +K1

pois x ∈ (a0 +K1)∪ (b1 +K0) implica que x ∈ a0 +K1 ou x ∈ b1 +K0, e assim x = a0 + b

ou x = b1 + a, e portanto x ∈ K0 + K1. Lembrando a medida de Lebesgue e invariante

por translacoes temos a seguinte igualdade:

|K0 + b1|+ |K1 + a0| = |K0|+ |K1| ,

logo,

|(a0 +K1) ∪ (b1 +K0)| = |a0 +K1|+ |b1 +K0| − |(a0 +K1) ∩ (b1 +K0)| = |K1|+ |K0| .

Assim, de (2.3) |K0|+ |K1| = |(a0 +K1) ∪ (b1 +K0)| ≤ |K0 +K1|

37

2. Agora vamos supor que a desigualdade e verdadeira para n − 1, onde n ≥ 2, e

mostraremos que ela e verdadeira para n. Sejam K0 e K1 corpos convexos. Suponha

tambem que |K0| = |K1| = 1 e que a origem e o baricentro dos dois conjuntos. A

seguir, para cada θ ∈ Sn−1, definimos as funcoes fi, gi : (−hki(−θ), hki(θ)) → [0,∞) por

fi(t) = Hn−1 (x ∈ Ki : 〈x, θ〉 = t) e gi(t) = |x ∈ Ki : 〈x, θ〉 ≤ t|, onde i = 0, 1 e hKi

e a funcao suporte. Note que, pelo teorema de Fubini

gi(t) =

∫ t

−hki (−θ)fi(s)dH

n−1(s)

Como |K0| = |K1| = 1, temos gi(t) ∈ (0, 1). Pelo princıpio de concavidade de Brunn,

f1ni e uma funcao concava em seu suporte, logo fi e contınua no interior do domınio e

estritamente positiva. Pelo teorema fundamental do calculo, g′i(t) = fi(t) > 0, entao gi e

estritamente crescente para todo t ∈ (−hki(−θ), hki(θ)). Por outro lado, do teorema da

funcao inversa, (g−1)′(u) = 1g′(t)

com u = g(t). Fazendo hi : (0, 1) −→ R a inversa de gi,

temos

h′i(u) =1

g′i(hi(u))=

1

fi(hi(u)).

A seguir, definimos os conjuntos

Kλ := (1− λ)K0 + λK1 e Kλ(u) := Kλ ∩Hθ,hλ(u)

para todo u ∈ (0, 1), onde 0 ≤ λ ≤ 1 e hλ = (1 − λ)h0 + λh1. Afirmamos que

(1 − λ)K0(u) + λK1(u) ⊆ Kλ(u). De fato, se a ∈ (1 − λ)K0(u) + λK1(u), temos que

a = (1−λ)b+λc, onde b ∈ K0∩Hh0(u) e c ∈ K1∩Hh1(u). Entao a ∈ (1−λ)K0+λK1 = Kλ.

Agora, 〈b, θ〉 ≤ h0(u) e 〈c, θ〉 ≤ h1(u), o que implica que 〈(1− λ)b, θ〉 ≤ (1 − λ)h0(u) e

〈λc, θ〉 ≤ λh1(u). Logo, 〈a, θ〉 = 〈(1− λ)b+ λc, θ〉 ≤ (1−λ)h0(u)+λh1(u) = hλ(u) entao

a ∈ Hhλ(u). Portanto a ∈ Kλ(u).

Por outro lado,

Hn−1(K0(u)) = Hn−1(K0 ∩Hh0(u)) = Hn−1(x ∈ K0 : 〈x, θ〉 = h0(u)) = f0(h0(u)),

e de forma similar, Hn−1(K1(u)) = f1(h1(u)). Como hλ = (1− λ)h0 + λh1, temos

h′λ(u) = (1− λ)h′0(u) + λh′1(u) = (1− λ)1

f0(h0(u))+ λ

1

f1(h1(u)).

38

Finalmente, fazendo a mudanca de variavel t = hλ(u) obtemos

|Kλ| =∫ hkλ (θ)

−hkλ (−θ)Hn−1(Kλ ∩Hhλ(u))dt

=

∫ 1

0

Hn−1(Kλ(u))h′λ(u)du

≥∫ 1

0

Hn−1]((1− λ)K0(u) + λK1(u))

[1− λ

f0(h0(u))+

λ

f1(h1(u))

]du

≥∫ 1

0

[(1− λ)Hn−1(K0(u))

1n−1 + λHn−1(K1(u))

1n−1

]n−1[

1− λf0(h0(u))

+λ

f1(h1(u))

]du

=

∫ 1

0

[(1− λ)f0(h0(u))

1n−1 + λf1(h1(u))

1n−1

]n−1[

1− λf0(h0(u))

+λ

f1(h1(u))

]du

≥∫ 1

0

[f0(h0(u))

1−λn−1f1(h1(u))

λn−1

]n−1[

1

f0(h0(u))1−λ1

f1(h1(u))λ

]du

=

∫ 1

0

1du = 1.

Entao, de definicao de Kλ temos o resultado.

2.1.3 Via Transporte de Massa

Esta demonstracao segue a referencia [7].

1. Sejam µ e ν duas medidas de probabilidade definidas sobre o Rn, ambas absolutamente

contınuas com respeito a medida de Lebesgue. Entao, do teorema de Brenier, existe

uma aplicacao mensuravel T tal que ν = Tµ. Mais ainda, existe uma funcao convexa

ϕ : Rn −→ R tal que T = ∇ϕ. E possıvel mostrar que podemos reescrever a igualdade

ν(B) = µ(T−1(B))

onde B ⊆ Y , da forma seguinte∫h(y)dν(y) =

∫h(y)dµ(T−1(y)) =

∫h(T (x))dµ(x),

onde h ∈ Cc(Rn). Fazendo µ(x) = χE(x)|E| e ν(y) = χF (x)

|F | temos

(2.4)1

|F |

∫F

h(y)dy =1

|E|

∫E

h(T (x))dx.

Agora, usando mudanca de variavel temos∫F

h(y)dy =

∫E

h(T (x)) |detT ′(x)| dx

=

∫E

h(T (x)) |det∇T (x)| dx

39

Logo: ∫E

h(T (x))

∣∣∣∣det∇T (x)− |F ||E|

∣∣∣∣ dx = 0,

de onde

(2.5) det∇T (x) =|F ||E|

,

para quase todo ponto de E. Note que a existencia em quase todo ponto de ∇T e

garantida pelo teorema de Alexandrov.

2. Consideremos os autovalores λk(x)k=1,...,n da matriz ∇2ϕ(x), onde os autovalores

estao organizados de forma crescente, isto e, λk ≤ λk+1, para 1 ≤ k ≤ n− 1. Alem disso,

definimos, para cada x ∈ E

λA(x) :=

∑nk=1 λk(x)

n; λG(x) :=

(n∏k=1

λk(x)

) 1n

.

Note que, de (2.5), temos λG =(|F ||E|

) 1n. Agora, para cada x ∈ E vamos provar a

desigualdade de Brunn-Minkowski. Se definirmos S(x) := x + T (x), entao S(E) =

E+T (E) ⊆ E+F . Mais ainda, como S(x) = Ix+T (x), onde I e o operador identidade

no Rn, S = I + T e portanto ∇S = ∇I +∇2ϕ. Note que ∇I = I, pois∇I1(x)

∇I2(x)...

∇In(x)

=

∂I1(x)∂x1

∂I1(x)∂x2

. . . ∂I1(x)∂xn

∂I2(x)∂x1

∂I2(x)∂x2

. . . ∂I2(x)∂xn

......

......

∂In(x)∂x1

∂In(x)∂x2

. . . ∂In(x)∂xn

=

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0...

......

...

0 0 . . . 1

Alem disso, ∇2ϕ e uma matriz simetrica, entao existem P e D, matrizes ortogonal e

diagonal, respectivamente, tais que ∇2ϕ = P−1DP . Assim

det(∇S) = det(I +∇2ϕ) = det(I + PDP−1)

= det(PIP−1 + PDP−1) = det(P (I +D)P−1)

= det(I +D)

=n∏k=1

(1 + λk)

o que implica que |det(∇S)| = det(∇S). portanto

|S(E)| =∫S(E)

1dx =

∫E

|det∇S| =∫E

det∇S,

40

Assim, lembrando que S(E) ⊆ E + F , temos

(2.6) |E + F |1n ≥ |S(E)|

1n =

(∫E

det∇S) 1

n

=

[∫E

n∏k=1

(1 + λk)

] 1n

3. Afirmamos que a seguinte igualdade e verdadeira:

(2.7)n∏k=1

(1 + λk) = 1 +n∑

m=1

∑1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij

De fato, primeiro note que

n∏k=1

(1 + λk) = (1 + λ1)...(1 + λn)

= 1 + (λ1 + ...+ λn) + (λ1λ2 + ...+ λ1λn + ...+ λ2λn + ...+ λn−1λn)

+ ...+ λ1...λn.

Por outro lado

(2.8)n∏k=1

(1 + λk) = 1 +n∑

m=1

Pm

onde os numeros Pm sao definidos por

Pm :=∑

1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij .

Em particular, fazendo m = 1 e m = 2 temos

P1 =∑

1≤i1<...<im≤n

1∏j=1

λij =∑

1≤i1<...<im≤n

λi1 = λ1 + ...+ λn

P2 =∑

1≤i1<...<im≤n

2∏j=1

λij =∑

1≤i1<...<im≤n

λi1λi2

= λ1λ2 + ...+ λ1λn + λ2λ3 + ...+ λ2λn + ...+ λn−1λn

.

Comparando ambos os resultados vemos que (2.8) e satisfeita. Note que o conjunto de

ındices (i1, ..., im) com 1 ≤ ij < ij+1 ≤ n contem Cnm elementos. A seguir, para cada

m ≥ 1 temos a seguinte desigualdade

(2.9) Pm ≥ Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

)1/Cnm

.

41

Para provar esta desigualdade consideramos tres casos:

i) m = n. Neste caso

Pn =∑

1≤i1<...<in≤n

n∏j=1

λij =∑

1≤i1<...<in≤n

λi1 ...λin = λ1...λn,

pois temos n ındices entre 1 e n, de onde i1 = 1, ..., in = n. Mais ainda∏1≤i1<...<in≤n

(n∏j=1

λij

)=

∏1≤i1<...<in≤n

λi1 ...λin = λ1...λn,

e como Cnn = 1, temos

Pn = Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

)1/Cnm

.

ii) m = n− 1. Neste caso

Pm =∑

1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij =∑

1≤i1<...<im≤n

λi1 ...λim

= λ1...λnλn+1 + λ1...λnλn+1 + ...+ λ1...λnλn+1,

tem m+ 1 = Cm+1m termos, e

Cm+1m

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1

Cm+1m

= (m+ 1)∏

1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1m+1

= (m+ 1)∏

1≤i1<...<im≤n

(λi1 ...λim)1

m+1

= (m+ 1)[(λ1...λnλn+1)

1m+1 ...(λ1...λnλn+1)

1m+1

]= (m+ 1)

[(λ1...λnλn+1)...(λ1...λnλn+1)

] 1m+1

.

Entao, dos dois resultados temos a desigualdade desejada, pois a media aritmetica e

maior ou igual a media geometrica.

iii) m = n− k. Neste caso∑1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij =∑

1≤i1<...<im≤n

λi1 ...λim ,

tem Cm+km termos, e

Cm+km

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1

Cm+km

= Cm+km

∏1≤i1<...<im≤n

(λi1 ...λim)1

Cm+km

42

tem Cm+km termos. Entao, temos a desigualdade desejada usando a desigualdade ar-

itmetica-geometrica. Note que o ultimo termo e igual a

(2.10) Cnm

n∏k=1

λ

Cn−1m−1Cnm

k = Cnmλ

mG

Note que Cm−1n−1 /C

mn = m/n, pois

Cm−1n−1

Cmn

=(n− 1)!

(m− 1)!(n−m)!

m!(n−m)!

n!=m

n.

4. Afirmamos que a seguinte igualdade e satisfeita

(2.11)n∏k=1

(1 + λk)− (1 + λG)n =n∑

m=1

Γm,

onde Γm denota a diferenca entre o lado esquerdo e lado direito de (2.11). Note que

Γm ≥ 0 para 1 ≤ m ≤ n e, em particular Γ1 = n(λA−λG). Com efeito, do lado esquerdo

obtemosn∏k=1

(1 + λk)− (1 + λG)n = 1 +n∑

m=1

∑1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij − (Cn0 + Cn

1 λG + ...+ Cnnλ

nG)

=n∑

m=1

∑1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij −n∑

m=1

Cnmλ

mG ,

e do lado direito,

Γm =∑

1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij − Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1Cnm

,

n∑m=1

Γm =n∑

m=1

[ ∑1≤i1<...<im≤n

m∏j=1

λij

]−

n∑m=1

Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1Cnm

,Assim, somente resta mostrar que:

(2.12)n∑

m=1

Cnmλ

mG =

n∑m=1

Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1Cnm

,Note que do lado esquerdo obtemos

n∑m=1

Cnmλ

mG =

n∑m=1

Cnm

n∏k=1

λ

Cn−1m−1Cnm

k =n∑

m=1

Cnm

n∏k=1

λmnk

=n∑

m=1

Cnm (λ1...λn)

mn

= Cn1 (λ1...λn)

1n + Cn

2 (λ1...λn)2n + ...+ Cn

n (λ1...λn)

43

e do lado direito

n∑m=1

Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(m∏j=1

λij

) 1Cnm

=n∑

m=1

[Cnm

∏1≤i1<...<im≤n

(λi1 ...λim)1Cnm

]

=n∑

m=1

Cnm (λα1 ...λ

αn)

1Cnm

onde α = 1 para m = 1; α = n − 1 para m = 2; α = (n−1)(n−2)2!

para m = 3; α =(n−1)(n−2)(n−3)

3!para m = 4 e assim sucesivamente ate para m = n e α = 1. Assim

m = 1⇒ α.1

Cn1

=1

n

m = 2⇒ (n− 1).1

Cn2

=2

n

...

m = n⇒ 1.1

Cnn

= 1

Comparando as duas expressoes temos (2.12).

5. Combinando (2.8),(2.11) e λG = (det∇T )1n , temos

|E + F |1/n ≥

(∫E

n∏k=1

(1 + λk)

)1/n

=

(∫E

[(1 + λG)n +

n∑m=1

Γm

])1/n

≥(∫

E

(1 + λG)n)1/n

=

(∫E

(1 +

(|F ||E|

)1/n)n)1/n

=

((1 +

(|F ||E|

)1/n)n ∫

E

dx

)1/n

=

(1 +

(|F ||E|

)1/n)|E|1/n

= |E|1/n + |F |1/n .

2.2 O problema da igualdade

Agora mostraremos quando acontece a igualdade na desigualdade de Brunn-Minkowski.

Esta prova segue a referencia [14].

Teorema 2.1. Sejam K0 e K1 dois corpos convexos satisfazendo a desigualdade de

Brunn-Minkowski. Entao, temos a igualdade em (2.1) se, e somente se, K0 e K1 sao

homoteticos.

44

Demonstracao: Vamos supor que K0 e K1 sao homoteticos, isto e, que existem x ∈ Rn

e λ ∈ R tais que K1 = x+λK0. Como a medida de Lebesgue e invariante por translacoes,

|K1| = |x+ λK0| = |λK0| = λn |K0|. Alem disso

|K0 +K1|1/n = |K0 + x+ λK0|1/n = |x+ (1 + λ)K0|1/n

= |(1 + λ)K0|1/n = (1 + λ) |K0|1/n .

e tambem|K0|1/n + |K1|1/n = |K0|1/n + |x+ λK0|1/n

= |K0|1/n + λ |K0|1/n .Portanto

|K0 +K1|1/n = |K0|1/n + |K1|1/n .

Agora vamos supor que a igualdade e valida em (2.1). Para mostrar o recıproco vamos

usar as ferramentas via inducao e lembrando que |K0| = |K1| = 1 e assim |(1 − λ)K0 +

λK1| = 1, onde 0 ≤ λ ≤ 1, temos f0(h0(u)) = f1(h1(u)), para todo u ∈ (0, 1). Mais

ainda, h′0(u) = h′1(u) para todo u ∈ (0, 1). Assim, h0(u) = h1(u) + C, onde C e uma

constante. Por outro lado, como 0 e o baricentro de Ki, onde i = 0, 1, fazendo t = hi(u)

temos

0 =

∫Ki

〈x, θ〉 dx =

∫ hki (θ)

−hki (−θ)tfi(t)dt =

∫ 1

0

hi(u)fi(hi(u))h′i(u)du =

∫ 1

0

hi(u)du

logo

0 =

∫ 1

0

(h0(u)− h1(u))du = C

∫ 1

0

du.

Assim C = 0 e h0 = h1. Como g0(c) = 1 = | x ∈ K0 : 〈x, θ〉 ≤ c |, para que g0(c) seja

igual a 1 devemos ter que K0 = K0 ∩ H−c , e portanto c = hK0 = h0(1). Analogamente

temos h1(1) = hK1 . Logo, hK1 = h1(1) = h0(1) = hK0 , entao hK1 = hK0 e portanto

K1 = K0, isto e pelo teorema 1.26 item e.

2.3 Algumas equivalencias

Nesta secao fornecemos algumas formas equivalentes da desigualdade de Brunn-Minkowski.

Em cada caso consideramos que os conjuntos X e Y sao mensuraveis, e nao somente

corpos convexos. Isto foi provado na secao anterior usando a desigualdade de Prekopa-

Leindler e o Transporte de Massa. Note que para que a desigualdade seja satisfeita

devemos considerar que a combinacao convexa dos conjuntos X e Y deve ser tambem

mensuravel. Estas formulacoes foram obtidas da referencia [8].

45

Teorema 2.2. (Equivalencia entre as desigualdades de Brunn-Minkowski). Seja 0 < θ <

1 ; X e Y conjuntos mensuraveis nao vazios e limitados em Rn e tal que (1− θ)X + θY

e mensuravel. Entao as seguintes desigualdades sao equivalentes

a. |(1− θ)X + θY |1n ≥ (1− θ) |X|

1n + θ |Y |

1n

b. |sX + tY |1n ≥ s |X|

1n + t |Y |

1n ; s, t > 0

c. |X + Y |1n ≥ |X|

1n + |Y |

1n ;

d. |(1− θ)X + θY | ≥ min |X| , |Y |

Demonstracao: A seguir, provamos as equivalencias dadas no teorema.

d)⇒ c) Substituindo X e Y por |X|−1n X e |Y |

−1n Y e definindo θ = |Y |

1n

|X|1n+|Y |

1n

temos

∣∣∣(1− θ) |X|−1n X + θ |Y |

−1n Y

∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ X + Y

|X|1n + |Y |

1n

∣∣∣∣∣ =|X + Y |(

|X|1n + |Y |

1n

)n ≥ 1

Portanto: |X + Y |1n ≥ |X|

1n + |Y |

1n .

c)⇒ b) Usando a propriedade |aX| = an|X| temos

|sX + tY |1n ≥ |sX|

1n + |tY |

1n = s |X|

1n + t |Y |

1n .

b)⇒ a) Fazendo s = 1− θ e t = θ, temos o resultado.

a)⇒ d) Usando a definicao de mınimo temos

|(1− θ)X + θY |1n ≥ (1− θ) |X|

1n + θ |Y |

1n

≥ (1− θ)min |X| , |Y |1n + θmin |X| , |Y |

1n

= min |X| , |Y |

46

Corolario 2.3. Sejam A,B ⊆ Rn conjuntos convexos limitados e nao vazios. Entao, a

funcao f : [0, 1] −→ R definida por f(t) = |(1− t)A+ tB|1n e concava.

Demonstracao: Sejam x, y ∈ [0, 1] ; e λ, µ ≥ 0 tais que λ + µ = 1. Aplicando a

desigualdade de Brunn-Minkonski aos conjuntos λ ((1− x)A+ xB) e µ ((1− y)A+ yB),

temosf(λx+ µy) = |(1− (λx+ µy))A+ (λx+ µy)B|

1n

= |λA+ µA− λxA− µyA+ λxB + µyB|1n

= |λA− λxA+ λxB + µA− µyA+ µyB|1n

= |λ ((1− x)A+ xB) + µ ((1− y)A+ yB)|1n

≥ |λ ((1− x)A+ xB)|1n + |µ ((1− y)A+ yB)|

1n

= λ |(1− x)A+ xB|1n + µ |(1− y)A+ yB|

1n

= λf(x) + µf(y)

47

Capıtulo 3

A Desigualdade de

Brunn-Minkowski Refinada

Lembremos a desigualdade de Brunn-Minkowski para dois corpos convexos E e F:

|E + F |1n ≥ |E|

1n + |F |

1n .

Note que a constante do lado direito da desigualdade acima e 1. Neste capıtulo, mostraremos

que e possıvel obter uma maior constante no caso de E e F serem corpos convexos. Os

detalhes ao longo deste capıtulo seguem a referencia [7]. Para isso, vamos precisar de

algumas definicoes. Primeiro definimos a assimetria relativa de E e F como:

(3.1) A(E,F ) := infx0∈Rn

|E 4 (x0 + λF )|

|E|: λ =

(|E||F |

) 1n

A seguir, alguns exemplos onde calculamos a assimetria relativa de dois conjuntos:

1. Sejam E = F ⊆ R2 quadrados de lado dois centrado na origem. Sabemos que

|E| = |F | = 4, entao λ = 1. Se E ∩ (x0 + E) = φ, temos

|E 4 (x0 + E)||E|

=|E ∪ (x0 + E)|

|E|=|E|+ |x0 + E|

|E|=

4 + 4

4= 2

e se E ∩ (x0 + E) 6= φ consideramos alguns valores para x0:

i. x0 = (1,−1)

|E 4 ((1,−1) + E)||E|

=6

4= 1, 5

ii. x0 = (1, 0)

|E 4 ((1, 0) + E)||E|

=4

4= 1

48

iii. x0 = (0, 0)

|E 4 E||E|

=|φ|4

= 0

Portanto, para dois corpos convexos iguais observamos que, quando a translacao e maior,

o quociente aumenta e seu valor maximo e dois, agora quando nao se translada o quo-

ciente assume o valor mınimo, portanto A(E,F ) = 0.

2) Sejam E,F ⊆ R2 onde E e um quadrado centrado na origem e lado dois, e F e um

retangulo centrado na origem, de base 4 e altura 1. Entao, |E| = 4 e |F | = 4 entao λ = 1.

Se E ∩ (x0 + F ) = φ, temos

|E 4 (x0 + F )||E|

=|E ∪ (x0 + F )|

|E|=|E|+ |x0 + F |

|E|=

4 + 4

4= 2

e se E ∩ (x0 + F ) 6= φ, de forma similar ao caso anterior, consideramos alguns valores

particulares para x0:

i. x0 = (0,−1)

|E 4 ((0,−1) + F )||E|

=6

4= 1, 5

ii. x0 = (0,−1/2)

|E 4 ((0,−1/2) + F )||E|

=4

4= 1

iii. x0 = (0, 0)

|E 4 F ||E|

=4

4= 1

Portanto, para este exemplo se os corpos convexos sao disjuntos temos que o quociente e 2,

e quando nao temos uma translacao, o quociente e 1. Observe que quando transladamos

x0 = (0,−1/2) o quociente tambem e 1, portanto A(E,F ) ≤ 1.

A seguir, definimos o tamanho relativo de E e F como:

(3.2) σ(E,F ) := max

|E||F |

,|F ||E|

.

Um exemplo do calculo do tamanho relativo de dois corpos convexos e o seguinte. Sejam

K um quadrado de lado 1 e B um disco fechado de raio 1, ambos os conjuntos contidos em

R2. Entao σ(K,B) := max|K||B| ,

|B||K|

= max

1π, π

1

= π. Note que σ(E,F ) = σ(F,E).

49

A seguir, enunciamos o resultado que fornece uma equivalente da desigualdade de Brunn-

Mikowski. Para isso definimos

β(E,F ) :=|E + F |

1n

|E|1n + |F |

1n

− 1

Note que β(E,F ) e sempre nao negativa.

Lema 3.1. Se E e F sao dois corpos convexos, entao a desigualdade

(3.3) |E + F |1n ≥

(|E|

1n + |F |

1n

)1 +

A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

e equivalente a

(3.4) C(n)

√β(E,F )σ(E,F )

1n ≥ A(E,F ),

Demonstracao: Da definicao de β(E,F ) temos

β(E,F ) ≥ A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

de onde

C0(n)

√β(E,F )σ(E,F )

1n ≥ A(E,F ).

Recıprocamente, de (3.4)

C(n)β(E,F )σ(E,F )1n ≥ A(E,F )2,

logo

|E + F |1n

|E|1n + |F |

1n

− 1 = β(E,F ) ≥ A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

.

Portanto:

|E + F |1n ≥

(|E|

1n + |F |

1n

)1 +

A(E,F )2

C0(n)σ(E,F )1n

.

A seguir, enunciamos o resultado principal deste capıtulo.

Teorema 3.2. Sejam E e F dois corpos convexos. Entao, a desigualdade (3.4) e satis-

feita.

50

3.1 A desigualdade do traco de Poincare

Nosso objetivo agora e mostrar um resultado que sera util na demonstracao de (3.4).

Lema 3.3. Seja E um corpo convexo tal que Br ⊆ E ⊆ BR para 0 < r < R. Entao

(3.5)n√

2

Ln2

R

r

∫E


∫∂E

|f − c| dHn−1

para todo f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn).

Demonstracao: Dividimos a prova em tres etapas.

1. Da hipotese, E contem a origem em seu interior. Como definido nas preliminares,

uma funcao peso nas direcoes definidas para v ∈ Sn−1 e

‖v‖E := sup x.v : x ∈ E .

Se F e um conjunto com fronteira Lipschitz e vetor normal unitario vF , definimos

o perımetro anisotropico de F com respeito a E por

PE(F ) :=

∫∂F

‖vF (x)‖E dHn−1(x).

E possıvel mostrar que PE(E) = n |E|. Mais ainda, a partir do perımetro anisotropico

podemos obter a desigualdade de Wulff

(3.6) PE(F ) ≥ n |E|1n |F |

n−1n

A seguir, definimos τ(E) := infFHn−1(E∩∂F )Hn−1(F∩∂E)

, onde F e um aberto do Rn com

fronteira suave tal que |E ∩ F | ≤ |E| /2. Note que e necessario considerar Hn−1(F∩∂E) > 0, para que os quocientes na definicao de τ facam sentido. Agora, para cada

f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn), temos o conjunto de nıvel Ft = x ∈ Rn : f(x) > t, onde

t ∈ R.

2. Neste item provamos a seguinte desigualdade

(3.7)

∫E

|∇f | ≥ τ(E)

∫∂E

|f −m| dHn−1,

onde m e a mediana de f em E. Se g = max f −m, 0 e Gt = x ∈ Rn : g(x) > t,pela formula da coarea, a escolha de m e a definicao de τ(E) (note que Ft e ad-

missıvel em τ(E) para quase todo ponto t ≥ m pelo lema de Morse Sard) temos

g(x) =

f(x)−m;x ∈ Fm ∩ E0 ;x ∈ F c

m ∩ E

51

de onde

|∇g(x)| =

|∇f(x)| para x ∈ Fm ∩ E,0 para x ∈ F c

m ∩ E.

Logo ∫E

|∇g| =∫E∩Fm

|∇g|+∫E∩F cm

|∇g| =∫E∩Fm

|∇f |

∫E∩Fm

|∇f | =∫E

|∇g| =∫ +∞

−∞

(∫g−1(t)

1dHn−1

)dt

=

∫R

Hn−1g−1(t)

dt

=

∫R

Hn−1 x ∈ E : g(x) = t dt

=

∫R

Hn−1(x ∈ E ∩ x ∈ Rn : g(x) = t)dt

=

∫ +∞

0

Hn−1(E ∩ ∂Gt)dt

≥ τ(E)

∫ +∞

0

Hn−1(Gt ∩ ∂E)dt

= τ(E)

∫ +∞

0

Hn−1 x ∈ ∂E : g(x) > t dt

= τ(E)

∫∂E

gdHn−1

= τ(E)

∫∂E

max f −m, 0 dHn−1.

Note que

∂Gt = Gt − int(Gt) = x ∈ Rn : g(x) ≥ t − x ∈ Rn : g(x) > t

= x ∈ Rn : g(x) ≥ t ∩ x ∈ Rn : g(x) ≤ t

= x ∈ Rn : g(x) = t .

Agora, seja g = max m− f, 0. Note que g(x) ≥ 0. De forma similar ao caso

anterior

g(x) =

m− f(x) ; x ∈ F c

m ∩ E0 ; x ∈ Fm ∩ E

|∇g(x)| =

|∇f(x)| ; x ∈ F c

m ∩ E0 ; x ∈ Fm ∩ E

52

Logo ∫E

|∇g| =∫E∩Fm

|∇g|+∫E∩F cm

|∇g| =∫E∩F cm

|∇f | ,

e de forma similar obtemos∫E∩F cm

|∇f | =∫E

|∇g| ≥ τ(E)

∫∂E

max m− f, 0 dHn−1.

Portanto∫E

|∇f | =∫E∩Fm

|∇f |+∫E∩F cm

|∇f |

≥ τ(E)

∫∂E

max f −m, 0 dHn−1 + τ(E)

∫∂E

max m− f, 0 dHn−1

= τ(E)

∫∂E

(f −m+ |f −m|

2+m− f + |m− f |

2

)dHn−1

= τ(E)

∫∂E

|f −m| dHn−1.

3. Neste item obtemos uma estimativa inferior para o valor de τ no conjunto E

(3.8) τ(E) ≥ r

R

(1− 1

21n

).

Consideremos o conjunto F um conjunto aberto, com fronteira suave tal que |E ∩ F | ≤|E| /2.

a. Definindo F1 e F2, subconjuntos de E, por F1 := F ∩ E e F2 := E − F , e

afirmamos que

E ∩ ∂F1 = E ∩ ∂F2 = E ∩ ∂F,

com vF = vF1 = −vF2 em E ∩ ∂F .

i. Se x ∈ E ∩ ∂F , entao existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ E e para todo δ > 0,

B(x, δ) ∩ F 6= φ e B(x, δ) ∩ F c 6= φ. Fazendo δ = ε temos

φ 6= B(x, ε) ∩ F = B(x, ε) ∩ E ∩ F,

e assim x ∈ F1. Mais ainda, B(x, ε)∩(E∩F )c = B(x, ε)∩[Ec ∪ F c] = [B(x, ε) ∩ Ec]∪[B(x, ε) ∩ F c] 6= φ entao x ∈ F1

c. Portanto, x ∈ ∂(F1). Agora seja x ∈ E ∩ ∂F1.

Entao existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ E e para todo δ > 0 tem-se B(x, δ) ∩ F1 6= φ

e B(x, δ) ∩ C(F1) 6= φ. Fazendo δ = ε temos

φ 6= B(x, ε) ∩ F1 = B(x, ε) ∩ E ∩ F = B(x, ε) ∩ F,

53

e assim x ∈ F . Mais ainda, φ 6= B(x, ε) ∩ F c1 = B(x, ε) ∩ (F ∩ E)c = B(x, ε) ∩

[F c ∪ Ec] = [B(x, ε) ∩ F c] ∪ [B(x, ε) ∩ Ec] entao B(x, ε) ∩ F c 6= φ e assim x ∈ F c.

Portanto, x ∈ ∂F .

ii. Seja x ∈ E ∩ ∂F . Entao, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ E e para todo δ > 0

tem-se B(x, δ) ∩ F 6= φ e B(x, δ) ∩ F c 6= φ. Note que F ⊆ F implica que Fc ⊆ F c,

de onde Fc ∩ F c = F

c. Como

φ 6= B(x, ε) ∩ F c ∩ F c= B(x, ε) ∩ F c

= B(x, ε) ∩ E ∩ F c= B(x, ε) ∩ F2,

entao x ∈ F2. Note que F c2 = (E ∩ F c

)c = Ec ∪ F , e ja que φ 6= B(x, δ) ∩ F ⊆B(x, δ) ∩ F entao B(x, δ) ∩ F 6= φ. Por outro lado

B(x, ε) ∩ F c2 = B(x, δ) ∩

[Ec ∪ F

]= [B(x, δ) ∩ Ec] ∪

[B(x, δ) ∩ F

]6= φ.

Portanto, x ∈ ∂F2. Agora, seja x ∈ E∩∂F2. Entao, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ E

e para todo δ > 0 se tem B(x, δ) ∩ F2 6= φ e B(x, δ) ∩ F c2 6= φ. Note que

φ 6= B(x, ε) ∩ F2 = B(x, ε) ∩ E ∩ F c= B(x, ε) ∩ F c

.

Como Fc ⊆ F c, entao φ 6= B(x, ε) ∩ F c ⊆ B(x, ε) ∩ F c, e assim B(x, ε) ∩ F c 6= φ o

que implica que x ∈ F c. Mais ainda,

φ 6= B(x, ε) ∩ F c2 = B(x, ε) ∩

[Ec ∪ F

]= [B(x, ε) ∩ Ec] ∪

[B(x, ε) ∩ F

]entao B(x, ε) ∩ F 6= φ e assim x ∈ F = F . Portanto, x ∈ ∂F . Uma dica e olhear

[9].

b. Nas preliminares vimos que r ≤ ‖v‖E ≤ R para todo v ∈ Sn−1. Usando estas

cotas para a funcao peso, afirmamos que

PE(E) ≥ PE(F1) + PE(F2)−∫E∩∂F1

‖vF1‖E dHn−1 −

∫E∩∂F2

‖vF2‖E dHn−1.

De fato, seja ∂F1 = A∪B e ∂F2 = B ∪C, onde A∩B = φ e B ∩C = φ. Note que

vF = vF1 = −vF2 em E ∩ ∂F . Entao, nossa afirmacao e equivalente a∫∂E

‖vE‖E dHn−1 +

∫B

‖vF1‖E dHn−1 +

∫B

‖vF2‖E dHn−1

≥∫A


∫B


∫B


∫C

‖vF2‖E dHn−1,

isto e, devemos mostrar∫∂E

‖vE‖E dHn−1 ≥

∫A


∫C

‖vF2‖E dHn−1

=

∫A

‖vE‖E dHn−1 +

∫C

‖vE‖E dHn−1,

54

e esta desigualdade segue da inclusao A ∪ C ⊆ ∂E.

c. A seguir, definimos

(3.9) λ :=Hn−1(E ∩ ∂F )

Hn−1(F ∩ ∂E).

Entao, de a. e b. temos

PE(E) ≥ PE(F1) + PE(F2)−∫E∩∂F1

‖vF1‖E dHn−1 −

∫E∩∂F2

‖vF2‖E dHn−1

≥ PE(F1) + PE(F2)− 2RHn−1(E ∩ ∂F )

= PE(F1) + PE(F2)− 2RλHn−1(F ∩ ∂E)

≥ PE(F1) + PE(F2)− 2RλHn−1(∂F1)

≥ PE(F1) + PE(F2)− 2λR1

rPE(F1)

= (1− 2λR

r)PE(F1) + PE(F2).

Note que F ∩ ∂E ⊆ ∂F1 = ∂(F ∩ E). Com efeito, seja x ∈ F ∩ ∂E. Como F e

aberto, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ F , e para todo δ > 0 tem-se B(x, δ) ∩ E 6=φ e B(x, δ) ∩ C(E) 6= φ. Fazendo δ = ε temos B(x, ε) ∩ F = B(x, ε), entao

B(x, ε)∩F ∩E = B(x, ε)∩E 6= φ e assim x ∈ F1. Mais ainda, B(x, ε)∩ (E∩F )c =

B(x, ε) ∩ [Ec ∪ F c] = [B(x, ε) ∩ Ec] ∪ [B(x, ε) ∩ F c] 6= φ entao x ∈ F c1 . Portanto,

x ∈ ∂(F1). Tambem,

PE(F1) =

∫∂F1

‖vF1‖E dHn−1(x) ≥ rHn−1(∂F1)

entao (−1/r)PE(F1) ≤ −Hn−1(∂F1), e assim

(3.10) PE(E) ≥ (1− 2λR

r)PE(F1) + PE(F2)

onde usamos

r ≤ ‖v‖E ≤ R

para cada v ∈ Sn−1. A prova desta desigualdade se encontra na seccao 1.14.

Combinando a desigualdade de Wulff e a igualdade PE(E) = n |E| temos

n |E| ≥(

1− 2λR

r

)n |E|

1n |F1|

n−1n + n |E|

1n |F2|

n−1n

= n |E|1n

[(1− 2λ

R

r

)|F1|

n−1n + |F2|

n−1n

]≥ n |E|

1n

[(1− 2λ

R

r) |F1|

1n′ + |F2|

1n′

]55

onde 1n′

= n−1n

. Logo:

(3.11) |E|1n′ ≥ (1− 2λ

R

r) |F1|

1n′ + |F2|

1n′ .

Note que E = F1 ∪ F2 ∪ (∂F ∩ E). De fato, seja x ∈ E. Vamos supor que x /∈ F1

e x /∈ F2. Se x /∈ F1 entao x ∈ F c. E se x /∈ F2 entao x ∈ F . Agora, como

B(x, ε) ∩ F c 6= φ entao x ∈ F c, e isto implica que x ∈ ∂F .

d. Sabemos que |∂F ∩ E| = 0, entao |E| = |F1| + |F2|. Logo 1 = |F1||E| + |F2|

|E| , e

definindo t := |F1|/|E| temos

1 = t+|F2||E|

.

Assim, podemos reescrever (3.11) e obtemos

1 ≥ (1− 2λR

r)t

1n′ + (1− t)

1n′

que e equivalente a desigualdade

λt1n′ ≥ r

2R

(t

1n′ + (1− t)

1n′ − 1

).

Como t = |F1||E| = |F∩E|

|E| ≤|E|/2|E| = 1

2, usando a seguinte desigualdade (teorema

1.48)

s1n′ + (1− s)

1n′ − 1 ≥ (2− 2

1n′ )s

1n′ ,

para todo s ∈ (0, 1/2], obtemos

λt1n′ ≥ r

2R(2− 2

1n′ )t

1n′ ,

que e satisfeita para todo t ∈ (0, 1/2]. Portanto:

λ ≥ r

2R(2− 2

1n′ ) =

r

R(1− 2

1n′−1)

=r

R

(1− 2

n−1n−1)

=r

R

(1− 1

21n

),

e assim obtemos (3.8).

3. De (3.7) e (3.8) temos∫E

|∇f | ≥ τ(E)

∫∂E

|f −m| dHn−1 ≥ r

R

(1− 1

21n

)∫∂E

|f −m| dHn−1,

56

entao

(3.12)

∫E

|∇f | ≥ r

R

(1− 1

21n

)∫∂E

|f −m| dHn−1.

Afirmamos que

(3.13)n√

2

Ln2≥ 2

1n

21n − 1

ou, de forma equivalente

n

(1− 1

21n

)≥ Ln2√

2

Com efeito, fazendo a mudanca de variavel a = Ln2√2

e x = 1n

temos que 1x

(1− 1

2x

)≥

a que e equivalente a ax+2−x−1 ≤ 0. Agora definimos a funcao f(x) = ax+2−x−1.

Devemos mostrar que f e nao positiva. Derivando f obtemos f ′(x) = a− 2−xLn2,

e procurando os pontos crıticos de f obtemos x0 = 1/2. A seguir, derivando f′

obtemos f′′(s) = 2−x(Ln2)2. Como esta funcao e sempre positiva, a funcao f e

convexa e o ponto x0 = 1/2 e um ponto de mınimo, onde f(1/2) ≈ −0, 047. Como

f(0) = 0 e f(1) < 0, temos que f(x) = ax + 2−x − 1 ≤ 0. Olhear [8]. Assim, de

(3.13) e (3.12) temos ∫E


∫∂E

|f − c| dHn−1.

3.2 Prova do teorema 3.2

Consideremos dois corpos convexos E e F. Vamos assumir que |E| ≥ |F |. Por aprox-

imacao, podemos assumir que E e F sao corpos uniformemente convexos. Nesta secao

usaremos a seguinte desigualdade

(3.14) β(E,F )σ(E,F )1n ≤ 1

Note que, se β(E,F )σ(E,F )1n > 1, A(E,F ) ≤ 2, e assim (3.4) segue de forma imediata.

Usando a normalizacao de John, podemos assumir que

(3.15) B1 ⊆ E ⊆ Bn

Em particular, sob esta hipotese temos 1 ≤ r ≤ R ≤ n, e do lema 3.3

(3.16)n2√

2

Ln2

∫E


∫∂E

|f − c| dHn−1

onde f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn).

57

3.2.1 Limites mais baixos do defice

Teorema 3.4. Sejam E e F dois corpos convexos, e seja T a aplicacao de Brenier

associada as medidas 1E/|E| e 1F/|F |. Entao,

(3.17)1

|E|

∫E

|∇T (x)− λGId| dx ≤ C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n

Demonstracao: Dividimos a prova em varias etapas.

1. Usando as definicoes de S e λG dadas na demonstracao da desigualdade de Brunn-

Minkowski via Transporte de Massa, definimos

s :=1

|E|

∫E

det∇S ; t := (1 + λG)n.

Entao

s1n =

1

|E|1n

(∫E

det∇S) 1

n

=|S(E)|

1n

|E|1n

≤ |E + F |1n

|E|1n

,

t1n =1 + λG = 1 +

(|F ||E|

) 1n

=|E|

1n + |F |

1n

|E|1n

.

Agora, fazendo a diferenca entre as duas expressoes obtemos

(3.18)s− t∑n

h=1 sn−hn t

h−1n

= s1n − t

1n ≤ |E + F |

1n − |E|

1n − |F |

1n

|E|1n

Note que t ≤ s. De fato, da demonstracao via Transporte de Massa sabemos que

(∫E

det∇S) 1

n

≥

(∫E

(1 +

(|F ||E|

) 1n

)n) 1n

.

Logo

(s |E|)1n = s

1n |E|

1n ≥

(∫E

t

) 1n

= (t |E|)1n = t

1n |E|)

1n ,

temos que s1n ≥ t

1n e portanto s ≥ t. Por outro lado

|E| s =

∫E

det∇S = |S(E)| ≤ |E + F |

58

e assim

n∑h=1

sn−hn t

h−1n ≤

n∑h=1

sn−hn s

h−1n =

n∑h=1

sn−1n

= nsn−1n ≤ n

(|E + F ||E|

)n−1n

= n

(|E + F |

1n

|E|1n

)n−1

= n

(|E + F |

1n

|E|1n + |F |

1n

|E|1n + |F |

1n

|E|1n

)n−1

= n

[(1 + β(E,F ))

|E|1n + |F |

1n

|E|1n

]n−1

≤ n4n−1 = C(n).

de onde

(3.19)n∑h=1

sn−hn t

h−1n ≤ C(n).

Um argumento similar mostra que o lado esquerdo de (3.18) e controlado por

2β(E,F ), isto e:

2β(E,F ) = 2

(|E + F |

1n

|E|1n + |F |

1n

− 1

)

=2 |E + F |

1n − 2 |E|

1n − 2 |F |

1n

|E|1n + |F |

1n

≥ |E + F |1n − |E|

1n − |F |

1n

|E|1n

.

Note que a ultima desigualdade segue de a ≥ b + c, onde a = |E + F |1n , b = |E|

1n

e c = |F |1n . De fato, como 2a−2b−2c

b+c≥ a−b−c

be equivalente a b(2a − 2b − 2c) ≥

(b+ c)(a− b− c) e esta ultima e equivalente a a ≥ b+ c, temos o resultado.

2. Afirmamos que

(3.20) C(n)β(E,F ) ≥ s− t =1

|E|

∫E

(n∏k=1

(1 + λk)− (1 + λG)n

)dx,

onde os λk sao os autovalores associados a matriz ∇T . De fato, usando o item

anterior temos

2β(E,F )C(n) ≥ |E + F |1n − |E|

1n − |F |

1n

|E|1n

n∑h=1

sn−hn t

h−1n ≥ s− t

59

Entao

C(n)β(E,F ) ≥ s− t =1

|E|

∫E

det∇S − (1 + λG)n

=1

|E|

∫E

det∇S − 1

|E|

∫E

(1 + λG)n

=1

|E|

∫E

(n∏k=1

(1 + λk)− (1 + λG)n

)dx

Da definicao de Γm obtemos

(3.21)

C(n)β(E,F ) ≥ 1

|E|

∫E

n∑m=1

Γm(x)dx ≥ 1

|E|

∫E

Γ1(x)dx =n

|E|

∫E

(λA − λG).

Uma versao da media aritmetica-geometrica mostra que:

(3.22) 7n2(λA − λG) ≥ 1

λn

n∑k=1

(λk − λG)2.

Em particular: (λn − λ1)2 ≤ 2 [(λn − λG)2 + (λG − λ1)2]. Isto e obtido usando a

desigualdade (a+ b)2 ≤ 2(a2 + b2). De (3.21) e (3.22) obtemos:

C(n)β(E,F ) ≥ n

|E|

∫E

(λA − λG)

≥ n

|E|

∫E

1

7n2

1

λn

n∑k=1

(λk − λG)2

≥ 1

|E|1

7n

∫E

1

λn

[(λ1 − λG)2 + (λn − λG)2

]≥ 1

7n

1

|E|1

2

∫E

1

λn(λn − λ1)2.

Portanto

(3.23) C(n)β(E,F ) ≥ 1

|E|

∫E

(λn − λ1)2

λndx,

e, pela desigualdade de Holder:

(3.24)1

|E|

∫E

(λn − λ1)dx ≤ C(n)√β(E,F )

√1

|E|

∫E

λn.

60

De fato:

1

|E|

∫E

(λn − λ1)dx ≤ 1

|E|

[(∫E

(λn − λ1)2

λn

) 12(∫

E

λn

) 12

]

=1

|E|

√(∫E

(λn − λ1)2

λn

)(∫E

λn

)

=

√1

|E|

(∫E

(λn − λ1)2

λn

)1

|E|

(∫E

λn

)

≤√C1(n)β(E,F )

√1

|E|

∫E

λn

= C2(n)√β(E,F )

√1

|E|

∫E

λn.

4. Como os autovalores associados a ∇T estao ordenados de forma crescente, temos

λ1 ≤ λ1, λ1 ≤ λ2,...,λ1 ≤ λn, de onde λn1 ≤ λ1λ2...λn, o que implica que

λn1 ≤|F ||E|

= λnG.

Agora, da definicao de tamanho relativo de E e F , e lembrando que |E| ≥ |F |

temos σ(E,F )−1n =

(|E||F |

)−1n

=(|F ||E|

) 1n ≥ λ1 e de (3.24) temos:

1

|E|

∫E

λndx ≤ C(n)

√β(E,F )

1

|E|

∫E

λn +1

|E|

∫E

λ1dx

≤ C(n)

√β(E,F )

1

|E|

∫E

λn +1

|E|

∫E

σ(E,F )−1n .

Portanto

1

|E|

∫E

λndx ≤ C(n)

√β(E,F )

1

|E|

∫E

λn + σ(E,F )−1n ,

Usando a desigualdade de Young, no primeiro termo da soma do lado direito da

desigualdade acima temos

C(n)√β(E,F )

√1

|E|

∫E

λn ≤1

2

(C(n)β(E,F ) +

1

|E|

∫E

λn

),

e assim

1

|E|

∫E

λn ≤ C(n)β(E,F ) +1

2

1

|E|

∫E

λn + σ(E,F )−1n

61

Logo1

2 |E|

∫E

λn ≤ C(n)β(E,F ) + σ(E,F )−1n .

Note que C(n) ≥ 14, portanto

(3.25)1

|E|

∫E

λn ≤ C(n)[β(E,F ) + σ(E,F )

−1n

].

Assim, de (3.24) e (3.25)

1

|E|

∫E

(λn − λ1)dx ≤ C(n)√β(E,F )

√1

|E|

∫E

λn

≤ C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n .

Entao

(3.26)1

|E|

∫E

(λn − λ1)dx ≤ C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n

5. Note que |∇T (x)− λGI| ≤ λn − λ1, pois

|∇T (x)− λGI| =∣∣∇2ϕ− λGI

∣∣ =∣∣PDP−1 − λGPIP−1

∣∣=∣∣P (D − λGI)P−1)

∣∣≤ |D − λGI|

Entao

|∇T (x)− λGI| ≤ max|λi − λG| ; i ∈ 1n

= |λk − λG| ,

para k = 1, 2, ..., n.

6. Finalmente,

1

|E|

∫E

|∇T (x)− λGI| ≤1

|E|

∫E

(λn − λ1)

≤ C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n

3.2.2 Desigualdade do Traco

Combinando o lema 3.3 e o Teorema 3.4 temos

(3.27) C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n |E| ≥

∫∂E

|T (x)− λGx| dHn−1

62

De fato,

dC(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n |E| ≥ d

∫E

|∇T (x)− λGI| dx

= d

∫E

|∇(T (x)− λGI)| dx

= d

∫E

|∇(|T (x)− λGx|)| dx

≥ infc∈R

∫E

||T (x)− λGx| − c| dHn−1

≥∫∂E


onde d = n2√

2Ln2

. Note que a ultima desigualdade e obtida a partir de∫E

|f(x)| ≤ infc∈R

∫E

|f(x)− c|+ infc∈R|c| |∂E|

= infc∈R

∫E

|f(x)− c|

Definimos F ′ = λ−1G F . Se P : Rn/F −→ ∂F ′ denota a projecao de Rn/F ′ sobre F ′,

temos

(3.28) C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n ≥ λG

|E|

∫∂E/F ′

|P (x)− x| dHn−1(x)

De fato:

C(n)√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n |E| ≥

∫∂E


≥∫∂(E)−F ′

∣∣∣∣λGλGT (x)− λGx∣∣∣∣ dHn−1

= λG

∫∂(E)−F ′

∣∣∣∣ 1

λGT (x)− x

∣∣∣∣ dHn−1

≥ λG

∫∂(E)−F ′

|P (x)− x| dHn−1,

e esta ultima desigualdade e obtida do teorema 1.15 . Agora consideremos a aplicacao

φ : (∂E/F ′)× (0, 1) −→ E/F ′ definida por:

φ(x, t) = tx+ (1− t)P (x)

Afirmamos que φ e uma bijecao. Seja (x, t1) 6= (x, t2) e suponha que φ(x, t1) = φ(x, t2)

isto e t1x+ (1− t1)P (x) = t2x+ (1− t2)P (x). Isto implica que (t2− t1)x = (t2− t1)P (x)

63

e portanto P (x) = x ja que t2 6= t1. Assim, φ(x, t) = x ∈ E/F ′ o que e uma contradicao,

pois x ∈ ∂E. Por outro lado, para todo y ∈ E/F ′ existe (x, t) ∈ (∂E/F ′) × (0, 1) tal

que φ(x, t) = tx + (1 − t)P (x) = y. Devemos mostrar que y ∈ (x, P (x)), o que equivale

a mostrar P (y) = P (x), e esta ultima afirmacao e verdadeira peloo teorema 1.18 do

capıtulo 1. Isto mostra a sobrejetividade.

Agora, seja εk(x)n−1k=1 uma base ortonormal do espaco tangente de ∂E em x. Desde que φ

e bijecao, temos:

(3.29)

|E/F ′| =∫ 1

0

dt

∫∂E/F ′

∣∣(x− P (x)) ∧(∧n−1k=1(tεk(x) + (1− t)dPx(εk(x)))

)∣∣ dHn−1(x)

De fato:

|E/F ′| =∫E/F ′

du =

∫φ((∂E/F ′)x(0,1))

du =

∫ 1

0

dt

∫∂E/F ′

|det(Dφ(x))| dHn−1

isso acontece pelo teorema de mudanca de variaveis, onde ademais dPx denota a difer-

encial da projecao P em x. Como P e a projecao sobre o conjunto convexo, esta funcao

decresce distancia, isto e, |dPx(e)| ≤ 1 ; para todo e ∈ Sn−1. Entao:

|tεk(x) + (1− t)dPx(εk(x))| ≤ 1,∀k ∈ 1, ..., n− 1

De fato: |tεk(x) + (1− t)dPx(εk(x))| ≤ t |εk(x)| + (1 − t) |dPx(εk(x))| ≤ t + (1 − t) = 1.

Lembrando que λG = σ(E,F )−1n , e combinando esta desigualdade com (3.27) temos:

|E/F ′||E|

≤ 1

|E|

∫∂E−F ′

|x− P (x)| dHn−1(x)

≤ Cn√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n λ−1

G

= Cn√β(E,F )

√β(E,F ) + σ(E,F )

−1n σ(E,F )

1n

≤ C(n)σ(E,F )1n

√β(E,F )

(√β(E,F ) +

√σ(E,F )

−1n

)= C(n)

(σ(E,F )

1nβ(E,F ) +

√β(E,F )

√σ(E,F )

1n

)≤ Cn

(2

√σ(E,F )

1n

√β(E,F )

)

onde na ultima desigualdade usamos (3.14). Referencia olhear [23].

64

3.2.3 A assimetria relativa

Afirmamos que

A(E,F ) ≤ |E∆F ′||E|

= 2|E/F ′||E|

.

De fato,

A(E,F ) = infx0∈Rn

|E∆(x0 + λF )|

|E|: λ =

(|E||F |

) 1n

≤|E∆λF ||E|

=

∣∣E∆λ−1G F )

∣∣|E|

=|E∆F ′||E|

.

Note que na penultima igualdade foi usado que

λ =

(|E||F |

) 1n

=

(|F ||E|

)−1n

= λ−1G .

Por outro lado, sabemos que |E∆F ′| = |E/F ′|+ |F ′/E|. Mais ainda

E =(E/F ′) ∪ (E ∩ F ′)⇒ |E| = |E/F ′|+ |E ∩ F ′| ,

F ′ =(F ′/E) ∪ (E ∩ F ′)⇒ |F ′| = |F ′/E|+ |E ∩ F ′| .

e ja que λG = ( |F ||E|)1n , entao F ′ = λ−1

G F = ( |E||F |)1nF , de onde |F ′| = |E|. Assim, |E/F ′| =

|F ′/E| e temos

A(E,F ) ≤ |E∆F ′||E|

=|E/F ′|+ |F ′/E|

|E|= 2|E/F ′||E|

de onde

A(E,F ) ≤ 2|E − F ′||E|

≤ Cn

(√σ(E,F )

1n

√β(E,F )

).

Portanto:

A(E,F ) ≤ Cn

(√σ(E,F )

1n

√β(E,F )

).

65

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Instituto de Matem … (1).pdfA Desigualdade de Brunn-Minkowski Disserta˘c~ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem atica e Estat stica