Guia No 4 . 2013- Parte 2 - Introduccion a Los Sistemas de Control Automatico

INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIONTEORIA DE CONTROL - 4º AÑO - AÑO 2013

GUÍA DE TRABAJO Nº 4 – Segunda ParteIntroducción a los sistemas de control automático Inicio 16/09/2013-Duración: una

semana º

Contenidos: Transformación de Estados. Formas canónicas de representación interna: Formas canónicas de control, observación, Jordan. Representación externa: Función de transferencia. Unicidad de la función de transferencia. Relación entre la representación interna y externa. Función de transferencia de un sistema representado por variables de estados (pasaje interna-externa). Pasaje externa a interna.

Descripción interna de un sistema. Transformación de estados.

Un mismo sistema, puede tener diversas formas de representación por variable de estado (no existe una única representación de estados, sino infinitas representaciones para un mismo sistema). Deberá entonces existir una manera de pasar de una representación de estado a otra.

Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo de orden n:

Y sea T(t) una matriz no singular variante en el tiempo de dimensión nxn. Entonces el vector:

califica como un vector de estados del sistema, puesto que a cada instante t, x(t) puede

ser recuperado a partir de z(t) como: .

La matriz T(t) es llamada como la matriz de transformación de estados. Supongamos que la nueva representación de estados sea:

La relación entre estas matrices y las originales puede ser encontrada en términos de la matriz T(t).

Sacando la variable t fuera de la escritura, y para T una matriz de cambio de base en el caso de un sistema lineal e invariante en el tiempo, constante, se tiene:

Se puede concluir que:

= , , = .

Formas canónicas de representación interna

Esp. Ing. Castellanos - Esp. Ing. Pennisi 1



semanaPara un sistema dinámico lineal dado, existen infinitas formas de descripción interna. En efecto, si se

parte de la representación (A, B, C, D) siempre es posible obtener otra sin más que aplicar una transformación lineal por medio de una matriz P no singular de dimensión n x n:

haciendo resulta y reemplazando en el sistema:

entonces

En realidad, P representa un cambio de base en el espacio de estados y la matriz es semejante a la matriz

Cuando la matriz A que representa al sistema no es diagonal, se dice que el sistema está acoplado. Para desacoplarlo, se debe llevar, cuando sea posible, a la forma diagonal.

Por otra parte, los autovalores asociados a un sistema dinámico no varían con el cambio de base. Recordemos que los autovalores de una matriz cuadrada se calculan resolviendo la ecuación

Veamos que éstos no se modifican frente a un cambio de base:

Entre las infinitas formas de representar un sistema SISO, esto es, de una sola entrada y una sola salida mediante variables de estado son de especial interés las formas canónicas de control, de observación y de Jordan.

Obtención de formas canónicas de representación interna

Se tratarán únicamente los sistemas dinámicos invariantes en el tiempo con lo que, teniendo en cuenta que D=0, las ecuaciones se emplearán en la forma:

x’ (t)= A x(t) + B u(t)y(t) = C x(t)

Los sistemas dinámicos lineales que admiten una representación matemática tal como la de las expresiones anteriores reciben la denominación de sistemas lineales diferenciales de dimensiones finitas, haciendo alusión con esta denominación a que el vector de estado es un vector de dimensión n.Para un sistema dinámico dado, existen infinitas formas de representación de la descripción interna. Es decir, existen infinitas ternas(A, B, C) que caracterizan a un mismo sistema. Se estudiarán a continuación las formas más usuales de representación interna de los sistemas dinámicos lineales.

Forma canónica de controlSea el sistema descrito por la ecuación diferencial:

Se definen:

La anterior ecuación diferencial de orden n se puede escribir como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Es decir:




semana

Lo cual se puede escribir en la forma de las expresiones definidas al inicio:

Para el caso en que la ecuación tome la forma más general siguiente:

o, lo que es lo mismo, el sistema tiene la función de transferencia:

Factorización del sistema en el sistema de función de transferencia en serie.

Supóngase que se introduce la nueva variable v(t), tal que:

O sea:




semana

Se puede observar que el sistema tiene la misma forma que el

por lo que haciendo: , se tiene que el par (A;B) para ese sistema será el mismo que el que se obtuvo anteriormente.

Por otro lado, llevando a , se tiene:

Por tanto, las expresiones para encontrar A y B son igualmente válidas en los dos casos, pero C toma la forma más general,

En la siguiente figura se muestra el diagrama interno de bloques del sistema dinámico, descrito por

la ecuación , correspondiente a la estructura de la forma canónica de control.

Ejemplo El sistema descripto en la guía anterior está representado en la forma canónica controlable.




semana

[x1' ¿]¿

¿¿¿

¿¿

Forma canónica de observación

La obtención de la forma canónica de observación ilustra otro método general de obtención de la representación por variables de estado de un sistema dinámico.Consiste este procedimiento en determinar, en primer lugar, el diagrama interno de bloques para luego asignar a la salida de cada integrador una variable de estado y así construir las matrices A, B y C.Sea la ecuación diferencial con coeficientes constantes,

cuya descripción por variables de estado, en la forma canónica de observación, se quiere determinar. Para obtener un diagrama interno de bloques se procede como sigue. Llamando D al operador d/dt , la ecuación mencionada anteriormente se puede escribir:

Dividiendo por Dn y despejando, se tiene:

Esta expresión conduce a un diagrama de bloques como el de la siguiente figura:




semana

De la observación de la figura se desprende:

Las anteriores ecuaciones pueden escribirse en forma matricial (A0=ACT

)

Se puede observar que la matriz A de la F.C.C es la matriz A, pero transpuesta de la F.C.O, la matriz B transpuesta de la F.C.C, es la matriz C de la F.C.O y la matriz C transpuesta de la F.C.C, es la matriz B de la F.C.O.

Para un mismo sistema dinámico existen diferentes formas de representación por variables de estado. Los diagramas de bloques de forma canónica controlable y observable servirán para simular. Ello pone de manifiesto como la descripción interna suministra un modelo de máquina que realiza el sistema, mientras que la descripción externa se limita a describir lo que sucede en la salida por efecto de la acción que se realice a la entrada. La descripción externa muestra qué hace el sistema mientras que la interna indica cómo lo hace.




semana

Ejemplo Continuando con el sistema descripto en la forma canónica controlable, el mismo admite la siguiente representación en la forma canónica observable.

[x1' ¿]¿

¿¿¿

¿¿

Forma canónica de Jordan

La elección de estas variables conduce a una matriz de estados A diagonal, o que al menos tiene la forma canónica de Jordan, cuyos componentes son los polos de la función de transferencia del sistema.

1. Polos reales y distintos p1, p2,... pn Þ polos

d1, d2,... dn Þ residuosDefinimos como variables de estado:

La salida del sistema es:

2. Polos reales múltiples:




semana

Si tomamos como variables de estado:

La ecuación de estado y salida es:

El diagrama en bloque de la forma diagonal es:




semana

Ejemplo Continuando con el sistema descripto en la forma canónica controlable y observable, el mismo admite la siguiente representación en la forma diagonal.

[x1' ¿]¿

¿¿¿

¿¿

Se puede concluir que:

Los estados de la forma canónica de control se ordenan según la influencia que ejerce sobre los mismos la entrada de control.

La forma canónica de observación ordena los estados según el grado de influencia de éstos sobre la salida del proceso




semana

En la forma canónica de Jordan, los elementos de la diagonal principal coinciden con los polos de la función de transferencia:

Si algunas raíces del denominador son complejas, las matrices A y C tendrán coeficientes complejos. En este caso, la representación debe ser considerada válida teóricamente pero carente de sentido físico. Asimismo, si todos los polos son distintos, la matriz dinámica que se obtiene es diagonal.

Descripción Externa. Función de Transferencia

Para un sistema SISO, que sea lineal, la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:

yn ( t )+a1 y(n−1)( t )+a2 y

(n−2)(t )+. . .. .. . .. .. . .. .. .+an−1 y(n )( t )+an y ( t )=

b0um( t )+b1u

(m−1)( t )+b2 y(m−2)( t )+. . .. .. . .. .. . .. .. .+bm−1u

(m )( t )+bmu( t )

En sistemas físicos reales se da siempre que n es mayor o igual que m. Si fuera lo contrario, nunca se podría definir y en función de u pues no sería causal. A los sistemas en que n es mayor o igual a m se los denomina propios. En el caso en que n es mayor que m (no cabe la posibilidad de que sean iguales) se los denomina estrictamente propios.

Se puede demostrar que en los casos que el sistema es estrictamente propio, la matriz D, en

se hace nula.

DEFINICIÓN: La función de trasferencia de un sistema lineal es la razón de la transformada de Laplace de la variable de salida del sistema a la transformada de Laplace de la variable de entrada, con todas las condiciones iniciales asumidas como cero.

La función de transferencia así definida de un sistema o elemento representa la relación que describe la dinámica del sistema o elemento involucrado.

A partir de la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria:

yn ( t )+a1 y(n−1)( t )+a2 y

(n−2)(t )+. . .. .. . .. .. . .. .. .+an−1 y(n )( t )+an y ( t )=

b0um( t )+b1u

(m−1)( t )+b2 y(m−2)( t )+. . .. .. . .. .. . .. .. .+bm−1u

(m )( t )+bmu( t )

Asimismo, tomando la transformada de Laplace sobre la ecuación diferencial con condiciones iniciales nulas se obtiene:

sn y (s )+a1 s(n−1 ) y (s )+a2s

(n−2) y (s )+. .. . .. .. . .. .. . .. .+an−1s(n ) y (s )+an y (s )=

b0 pmu (s )+b1s

(m−1)u( s )+b2 s(m−2)u(s )+. . .. .. . .. .. .. . .. .+bm−1 s

(m )u (s )+bmu( s )




semana

Sacando factor comúb y(s) y u(s) en cada término se tiene:

y ( s )(sn+a1 s(n−1)+a2 s

(n−2)+ .. .. . .. .. .. . .. .. .+an−1 s(n)+an)=

u( s )(b0 pm+b1 s

(m−1 )+b2s(m−2)+. . .. .. . .. .. . .. .. .+bm−1 s

(m )+bm ))

Es decir:

y (s )u(s )

=(b0 p

m+b1s(m−1)+b2s

(m−2 )+.. . .. .. . .. .. .. . ..+bm−1s(m )+bm))

(sn+a1 s(n−1)+a2 s

(n−2)+ .. .. . .. .. . .. .. .. .+an−1 s(n)+an) es la función de transferencia.

Ejemplo La función de transferencia del sistema que se ejemplificó en la forma canónica controlable, observable y diagonal, tiene la siguiente función de transferencia:

y (s )u(s )

=( s+1 )

(s2−s−2 )=

( s+1 )( s−2 ) ( s+1 )

Ejemplo

Supongamos un proceso descripto por la siguiente ecuación diferencial ordinaria, donde u es la señal de entrada, e y la señal de salida:

Suponiendo las condiciones iniciales nulas, y realizando el cociente Y(s)/U(s), se obtiene la función de transferencia

y (s )u(s )

=(2 s+1 ))

(s2+3 s+2 )

Unicidad de la Función de Transferencia

Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo, cuya representación por variables de estado es:

La función de transferencia asociada:

Esto se demuestra de la siguiente manera:




semana

G( s )=Y (s )U (s )

=cX ( s )+DU ( s )

U (s ) Se sabe que

, por lo que aplicando transformada de Laplace se obtiene X(s)=(SI-A)-1BU(S)

Reemplazamos esta última ecuación en G(s):

G( s )=Y (s )U (s )

=c (( SI−A )−1BU ( S ))+DU (s )

U (s ), simplificando en numerador y denominador U(s), se

obtiene:

G( s )=Y (s )U (s )

==c ((SI−A )−1B )+D

Si para este mismo sistema, se plantea una nueva representación por variables de estado dada por:

Y por lo tanto para esta nueva representación, la función de transferencia es:

Sabiendo que debe existir la matriz de transformación de estados T que relaciona ambas representaciones, se tiene (sin considerar D):

Como la matriz pos multiplicada por su inversa reproduce la matriz identidad:




semanaPor lo que se concluye que a partir de dos representaciones de estado diferentes se llega a la misma función de transferencia, o sea, la función de transferencia es invariante ante transformaciones de estado. Confirmamos aquí también que no puede existir otra función de transferencia para un dado sistema: la función de transferencia es única.

Relación entre representación interna y externa. Función de transferencia de un sistema representado por variables de estado. Pasaje Interna a Externa

Como se ha visto, solamente se define la función de transferencia de un sistema que sea lineal e invariante en el tiempo. Dado entonces un sistema de dichas características, que además sea SISO (por simplicidad, pero puede extenderse a sistemas MIMO), representado por las siguientes ecuaciones de estado:

La función de transferencia, aplicando transforma de de Laplace es:

donde X(s) es el vector de variables de estado transformado por Laplace, y U(s) e Y(s) son respectivamente la entrada y la salida del sistema también transformadas por Laplace.

Como en la función de transferencia se define que las condiciones iniciales son nulas, el vector de estado inicial es el vector nulo: x(0) = 0. Por lo tanto, realizando pasajes de términos, resulta:

Sacando factor común X(s):

donde I es la matriz identidad de nxn, necesaria para que las dimensiones de las matrices y vectores

se correspondan. Ahora, premultiplicando en ambos miembros por la inversa de la matriz ), esta ecuación resulta:

Reemplazando esta ecuación, en la expresión de Y(s), se obtiene:

Sacando factor común U(s), se obtiene finalmente la función de transferencia:




semanaEsta ecuación sigue siendo válida para los sistemas MIMO, con la salvedad que en ese caso obtendríamos una matriz G(s) de funciones de transferencias de pxm (p la dimensión del vector de salida y m la dimensión del vector de entrada), donde cada elemento Gij(s) de dicha matriz corresponde a la función de transferencia desde la entrada j-ésima uj, a la salida i-ésima yi.

Pasaje externa a interna

El paso de la representación externa a la interna recibe el nombre de realización.

El problema de la realización es el siguiente: dada la función de transferencia, hay que encontrar las matrices A, B y C para así tener la descripción interna.

La realización de un sistema no es única (ver cambio de base en la unicidad de la función de transferencia) pues, dado

, la terna (A, B, C) es una realización del sistema

Y sea T(t) una matriz no singular variante en el tiempo de dimensión nxn. Entonces el vector:

y aplicado al sistema dado, permite obtener el sistema

, la terna ( es otra realización

Estas dos ternas son representaciones distintas de la misma función de transferencia que, como se vio, es única.

Se dice que una realización es mínima si no existe otra realización con un vector de estado de menor dimensión. Esta dimensión coincide con el orden del sistema.

Una realización es mínima si y sólo si es completamente controlable y completamente observable. (Este tema se desarrollará con más profundidad en guías posteriores).

Dada una función de transferencia G(s) de la forma: la condición necesaria y suficiente para que sea realizable mediante una terna [A, B, C] es que el grado del numerador debe ser menor o igual que el del denominador.

Ejercitación

1. Dado el siguiente sistema de variable continua:




semana

[ x1

' (t )

x2

' ( t ) ]=[0 1−0 . 4 −1.3 ][ x1( t )

x2( t ) ]+[01 ]u ( t )y (t )=[ 0 .8 1 ][ x1( t )

x2( t ) ]a. Indicar la forma canónica en la que se encuentrab. Obtener las otras dos formas de representación internac. Obtener la función de transferencia.d. Obtener la gráfica en bloque para cada forma canónica.e. Resolver el sistema.

2. Dada la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes de tercer orden:

d3 ydt 3

+9d2 ydt2

+26dydt

+24 y=d2udt2

+6dudt

+5u

a. Obtener la función de transferencia correspondiente (considere y(0)= y´(0)= =y’´(0)=0 y u(0)=u´(0)=0)

b. Obtener la representación interna en la forma canónica controlable, observable y Jordan.2. Sean A, matrices no diagonales. Desacople los sistemas y obtenga la forma diagonal si es

posible

a.

A=[−1 01 −2 ]

b.

A=[1 0 01 0 10 1 0 ]

3. A partir de la ecuación diferencial (condiciones iniciales nulas) y’’’+7y’’+11y’+9y=u’’+3u’+2u

a. Obtenga la función de transferencia.b. Halle la representación FCO.c. Realice el diagrama de bloque correspondiente a 3.b.

4. Dada la función de transferencia:

Obtener las formas canonícas controlables

Casos Prácticos con Software

Comandos

[A,B,C,D]=tf2ss(num, den)

Realiza la representación en el espacio de estados.

[a,b,c,d]=ss2tf(A,B,C,D,T)

Transforma la Función de Transferencia a formato de variables de estado.( para pasar de un modelo de estado a otro del mismo




semana

tipo). Con

Retorna la función de transferencia transformada.

canon(A,B,C,D,'companion')

Transforma el sistema a la FCO.

canon(A,B,C,D,'modal') Transforma el sistema a la FCD.

1. Dado el siguiente sistema, obtener:a. La función de transferenciab. La FCC, FCO, FCD


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