Guia de introduccion al algebra moderna

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Un resumen de un curso semestral de algebra moderna

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NOTAS DEL CURSO DEALGEBRAMODERNA IFernandoSanchezCastellanosVillafuerte27dejuliode20072El ndeestasnotasesllevarunregistroordenado(hastadondemeseaposible) de los temas vistos en la clase deAlgebra Moderna Icon la Dra. ClaudiaReynoso. Se copiaron ntegramente los teoremas, las proposiciones y corolariosvistosenclase, adem asdesusdemostraciones. Tambienhecopiadotodaslastareas que nos asignaron en el curso. La mayora de las demostraciones fueronlasquesevieronenclase, propuestasporlamaestra, oresueltasporalg uncompa nero. Algunas demostraciones son de mi inventiva.Indicegeneral1. TeoradeGrupos 51.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Orden, Generadores, Grupos Cclicos. . . . . . . . . . . . . . . . 72. TeoremasdeHomomorsmos 112.1. Clases Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Homomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. La aplicacion cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. Acciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193. GruposimetricoyGrupoalternante 253.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254. TeoremasdeSylow 294.1. Caracterizacion de grupos Abelianos Finitos. . . . . . . . . . . . 315. Anillos 335.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336. Polinomios 437. Divisibilidad 4734INDICEGENERAL8. Problemas 538.1. Tarea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.1.1. Extras a Tarea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.2. Tarea2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.3. Tarea 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.4. Tarea 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.5. Primer Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.6. Tarea 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.7. Tarea 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.8. Tarea 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.9. Tarea 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.10. Tarea 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Captulo1TeoradeGrupos1.1. IntroduccionDenicion1.1. UnconjuntoSnovacosellamasemigrupositieneunaop-eracion binaria asociativa.

S : S S SSix, y, x Sentonces (xy)z = x(yz)Denicion 1.2. Un semigrupo S se llama monoide si existe un elemento 1 S(llamado elemento identidad) tal que:1x = x1 = x, x SEn ocasiones, el elemento identidad se denota pore.Ejemplos de Monoide: R, N bajo la suma.Proposicion1.3. El elemento identidad de un monoide es unico.Demostracion1.4. Sean 1 y 1

identidades enS, entonces1 = 11

= 1

56 CAPITULO1. TEORIADEGRUPOSNotacion 1.5. Algunas veces se utilizara la notacion xy := x y por comodidaddurante el libro. Tambien usaremosx G ycuando sea necesario indicar en queconjunto act ua la operacion binaria. De igual manera se utilizara la notacion 1Gpara indicar el grupo al que pertenece la identidad cuando se pueda prestar aconfusiones.Denicion1.6. Dadox G, un elementoy G tal quexy=yx = 1 sellama el elemento inverso dex enG.Denicion1.7. Unmonoide Ges ungruposi paracadax Gexisteelelemento inverso dex.Proposicion1.8. El inverso dex G es unico.Demostracion1.9. Seany, z G inversos dex, entonces:y = y1 = y(xz) = (yx)z = 1z = zNotacion1.10. El inverso dex se denota porx1Denicion1.11. Un grupoG se llama Abeliano (o conmutativo) si:xy = yx, x, y GUsualmente, laoperacionbinariaengruposabelianossedenotapor+, laidentidad por 0 y el inverso dex por x.Notacion1.12. SeaG un grupo con identidad 1 y seax G, entonces deni-mos:1. x0:= 12. xn:= xn1 x, n Z>03. xn:= (x1)nsin Z0Denicion1.13. SeaSun conjunto no vaco. Una permutacion deSes unafuncion : S S, biyectiva.1.2. ORDEN,GENERADORES,GRUPOSCICLICOS 7SeaG = : S S[espermutacion.Entonces(G, )esungrupoylodenotamos porPerm(S).SeaSnito, i.e.S = 1, 2, ..., n[n N entoncesPerm(S) := Simn := SnSi Simn usaremos la siguiente notacion: =

1 2n(1) (2)(n)

Como ejemplo, podemos tomar un triangulo equilatero en el plano, T, concentroenO.SeaD3elgrupodesimetrasdeT.Unasimetraesunafunciondel planoenel planoquellevaa T sobre T ypreservadistancias. Bajolacomposicion, D3es un grupo. Denominamos cada uno de los elementos deD3de la siguiente manera:1Tla funcion identidad.1la funcion que rotaT1202la funcion que rotaT2401la funcion que reejaTsobre el vertice 12la funcion que reejaTsobre el vertice 23la funcion que reejaTsobre el vertice 31.2. Orden,Generadores,GruposCclicosDenicion1.14. La cardinalidad de un grupoG se llama el orden deG.Notacion1.15. El orden de un grupoG se denotara por [G[.SiG es innito, entonces diremos queG tiene orden innito.Denicion1.16. Un subconjuntoHde un grupoG es un subgrupo deG, sila operacion binaria deG, restringida aH, hace deHun grupo.8 CAPITULO1. TEORIADEGRUPOSNotacion1.17. SiHes un subgrupo deG, entonces escribimosH G.Observacion1.18. La identidad enHes la identidad enG, y el inverso dexenHes el inverso dex enG.Proposicion 1.19. Un subconjuntoH = de un grupoG es un subgrupo deGsi, y solo six, y H xy1 HDemostracion1.20. () SiH G entonces x, y H xy1 H.() Supongamos que para todox, y Htenemos quexy1 H. Entonces:Seax Hentoncesxx1= 1 H.Seay Hentonces 1y1= y1 H.Seanx, y H, entoncesx, y1 H, entoncesx(y1)1= xy H.Por lo tantoH G.Proposicion1.21. Si GesunafamiliadesubgruposdeungrupoG,entonces G G.Demostracion1.22. Seanx, y G, entoncesx, y G as quex, y1 G por lo tantox, y1G G G.Observacion1.23. La union de subgrupos no es un grupo.Ejemplo SeaH= 2n[n Z 3nn Z entoncesH Z pues 2, 3 Hy2 + 3 = 5 H.Denicion1.24. SeaSun subconjunto de un grupoG. Denimos 'S` = Htal queS H G.'S` es el mas peque no subgrupo deG que contiene aS, en el sentido que siHes un subgrupo que contiene aS, entonces 'S` H.Denicion 1.25.Un grupo generado por un unico elemento, se llama grupo cclico1.2. ORDEN,GENERADORES,GRUPOSCICLICOS 9NotamosqueungrupocclicoGsedeneporG = 'x`paraalg unx G.De esta manera, tenemos queG = x =xk[k ZDenicion1.26. El orden de un elementox en un grupoGes el ordendelgrupo cclicoque genera. [x[ := ['x`[Entonces, el orden de un elemento puede ser innito, o un entero positivo. Sies un entero positivo, i.e. [x[ = n Z>0, entonces n es el mnimo entero positivotal quexn= 1.Proposicion1.27. Six es un elemento de orden niton de un grupoG, y sixm= 1 para alg unm Z>0, entoncesn[mDemostracion1.28. Seam = nq +rn, q Z, 0 r < n. Entonces:1 = xm= xnq+r= (xn)q xr= 1q xr= 1xr r = 0Corolario 1.29. SiG = 'x` tiene orden niton yk[n con 0 < k Z entonces

xnk

es el unico subgrupo deG de ordenk.Demostracion1.30. Primero notemos que xnk

tiene ordenk. Sea entoncesxs G un elemento de ordenk. P.D: 'xs` =

xnk

Observamos que (xs)k= xsk= 1, entonces n[sk, es decir sk = nm, por lo tantoxs= (xnk )m

xnk

Proposicion1.31. Un subgrupo de un grupo cclico es cclico.Demostracion1.32. SeaH 'x`. Si H= 1, entonces es cclico. Supong-amos queH = 1. Seam el mnimo entero positivo tal quexm H.P.D:H = 'xm`.SeaxsH,seas=mq + r, q, r Z, 0 r 1, entonces [G : CG(yi)] =pr, con 0nentoncesdiremosque(ai) tiene gradonyescribimosdeg(ai)=n. Unaconvencionesdecirque(0)tiene grado .Si f(x) R[x] tienegradonyf(x)=a0 + a1x ++ anxnentoncesansellama coeciente principal def(x).Dado(ai) P(R),podemosdenirunafuncionP(R) R Rcon(ai) = f(x) r f(r) = a0 +a1r + +anrn+ .4344 CAPITULO6. POLINOMIOSNotacion6.3. P(R) = R[x].Proposicion6.4. SeaR un anillo con 1 y seanf(x), g(x) R[x]. Entonces1. deg f(x) +g(x) max deg f(x), deg g(x).2. deg f(x)g(x) deg f(x) + deg g(x).Enel segundoinciso, si Rnotienedivisoresdecero, entoncessecumplelaigualdad.Demostracion6.5. Supongamos deg f(x) = m y deg g(x) = n entonces:1. f(x) = (a0, a1, . . . , am, 0, . . . ), g(x) = (b0, b1, . . . , bn, 0, . . . ) si j> max m, n aj +bj = 0 deg f(x) +g(x) max m, n.2. Sea (ci) = f(x)g(x) = (ij=0ajbij) entonces cn+m+k =n+m+kj=0ajbn+m+kj.Si j >mentonces aj=0ysi n + m + k j >n m + k>j en-tonces bj=0ycomosiempresucedeunodeestosdoscaso, entoncescn+m+k=0paratodok 1porlotantodeg f(x)g(x) m + n.Aho-ra,si Rnotienedivisoresdecero,entoncescn+m= n+mj=0ajbn+mj=mj=0ajbn+mj = ambncomoam, bn = 0 entoncesambn = 0 por lo tantodeg f(x)g(x) = m+nProposicion6.6. Supongamos queR es un anillo con 1 sin divisores de cero,entoncesf(x) U(R[x]) f(x) U(R).Demostracion 6.7. Sif(x) U(R) entonces exister U(R) tal quef(x)r =1, comoR R[x] entoncesr R[x] porlotantof(x) U(R[x]). Luego, sif(x) U(R[x])entoncesexisteg(x) R[x] tal quef(x)g(x)=1, luego, porla proposicionanterior,0 = deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x) deg f(x) =deg g(x) = 0 f(x), g(x) R f(x) U(R).Proposicion6.8. Rnotienedivisoresdecerosi, ysolosi P(R)notienedivisores de cero.Demostracion 6.9. Si R tiene divisores de cero, entonces P(R) tiene divisoresdecero,puesR P(R).SupongamosqueRnotienedivisoresdecero.Sean45(ai), (bi) P(R)talesque(ai)(bi) = (0)entoncesa0b0= 0,comoRnotienedivisores de cero, suponemos a0 == 0 b0 = 0. Sea i = mn j[bj = 0 entoncesla entradai es 0 =a0bi + a1bi1 + cdots + aib0 =a0bi bi = 0 y esto es unacontradiccion, as que (bi) = (0), por lo tantoP(R) no tiene divisores de cero.Denicion 6.10. SiR, S son conmutativos, conR S y 1r = 1s, entonces unelementoa Sse llama algebraico sobreR si existef(x) R[x] conf(x) = 0tal quef(a) = 0. Si no es algebraico sobreR entonces se llama trascendente.Teorema6.11(Algoritmodeladivisionparapolinomios). SeaRunanilloconmutativo con 1 y seanf(x), g(x) = 0 R[x]. Entonces, sib es el coecienteprincipal de g(x), existen k Z, q(x), r(x) R[x] tales que bkf(x) = q(x)g(x)+r(x) y deg r(x) < deg g(x). Sib no es divisor de cero, entoncesq(x) yr(x) son unicos. Sib U(R) entonces pode