Folleto Fisica Basica 2010 - Mayken Espinoza

Enero 2010

Sr. Mayken Espinoza Andaluz Pgina 1

Presentacin: La informacin que se presenta a continuacin no es un folleto de problemas resueltos, mucho menos un libro de Fsica, aqu solo se presentan los conceptos, definiciones y ecuaciones necesarias en cuanto al desarrollo de la materia de Fsica en el Pre-politcnico, los temas que se detallan a continuacin corresponden a los captulos que se revisan con frecuencia en dicho curso, la forma en que se presentan es similar a la que el autor presentaba en sus clases de ayudanta de Fsica. Espero contribuir con un grano de arena en el estudio del maravilloso mundo de la Fsica.

Mayken Stalin Espinoza Andaluz

Ex Ayudante de la materia de Fsica ICF - ESPOL

ndice Pgina

Presentacin_________________________________________ 1 Estndares de medidas________________________________ 2 Cantidades escalares y vectoriales_______________________ 2 Representacin grfica de un vector_____________________ 3 Coordenadas de un vector_____________________________ 5 Vector Unitario______________________________________ 6 Operaciones entre vectores_____________________________ 7 Geometra de tringulos y paralelogramos________________ 8 Ley del seno y ley del coseno____________________________ 10 Mtodo de las componentes____________________________ 12 Algo ms sobre Vectores en tres dimensiones______________ 13 Producto Punto_______________________________________ 15 Producto Cruz________________________________________ 16 Cinemtica___________________________________________ 18 Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU)__________________ 20 Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado (MRUV)____ 22 Movimiento Vertical___________________________________ 25 Movimiento Parablico_________________________________ 27 Movimiento Circular Uniforme (MCU)___________________ 30 Movimiento Relativo___________________________________ 32 Dinmica_____________________________________________ 34 Diagramas de cuerpo libre (DCL)________________________ 35 Friccin______________________________________________ 36 Dinmica aplicada al movimiento circular_________________ 38

FSICA

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ESTNDARES DE MEDIDAS Unidades Fundamentales:

Masa (kilogramo) [kg] El kilogramo estndar es un cilindro de platino iridio que se conserva en Sevres Francia.

Longitud (metro) [m] El metro es la distancia recorrida por un haz de luz en el vaco en un intervalo de tiempo definido (1/299792458 s)

Tiempo (segundo) [s] El segundo estndar es el intervalo de tiempo entre las vibraciones del tomo de cesio (1s = tiempo para 9.192631.770 vibraciones)

VECTORES

Cantidades Escalares Solo tienen modulo.

Ej.: longitud [m], masa [kg], tiempo[s] Cantidades Vectoriales

Tienen mdulo, direccin y sentido. Ej.: velocidad [m/s], aceleracin [m/s2], fuerza [N]

Mdulo: Longitud del vector

Direccin: ngulo que generalmente forma el vector con el eje positivo de las x (medido en sentido antihorario). Si ste ngulo es medido en sentido horario entonces es negativo. ngulo (+) ngulo (-) Sentido: Se dice que el sentido de un vector esta dado por la flecha (saeta).

Muchos autores no utilizan el concepto de sentido, ya que es suficiente con determinar la direccin del vector.

NOTA: Modulo = Norma = Magnitud = Longitud del vector || A || o | A | o A

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Representacin grfica de un vector Una dimensin (se utiliza una lnea recta con una flecha para representar al vector) Dos dimensiones (se utiliza la diagonal de un paralelogramo para representar el vector) Tres dimensiones (se puede utilizar la diagonal de un volumen que puede ser un paraleleppedo - para representar el vector). La ubicacin de los ejes XYZ es arbritario. Pf : Punto final del vector, lugar donde se encuentra la flecha (saeta) Po : Punto inicial del vector, es el origen del vector Todo vector (independientemente si se encuentra en una, dos o tres dimensiones) se puede determinar como sigue:

Vector = Punto final Punto inicial = Pf - Po

x Po Pf

x

y

Po

Pf

z

y

Po

Pf

x

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Pf puede tener una, dos o tres coordenadas dependiendo de la ubicacin del punto final. Po puede tener una, dos o tres coordenadas dependiendo de la ubicacin del punto inicial. Ejemplos de cmo determinar un vector conociendo sus coordenadas: El vector es: V = Pf - Po = (7)-(0) = 7 en la direccin x positiva

El vector es: V = Pf - Po = (3,4)-(0,0) = < 3, 4 >; quiere decir que en la direccin x tiene un valor de 3 positivo y en la direccin y tiene un valor de 4 positivo.

NOTA: los smbolos < > son una forma de representacin vectorial.

El vector es: V = Pf - Po = (2,5,8) - (0,0,0) = < 2, 5, 8 >; quiere decir que en la direccin x tiene un valor de 2 positivo, en la direccin y tiene un valor de 5 positivo y en la direccin z tiene un valor 8 positivo.

x Po Pf

(0) (7)

V

x

y

Po

Pf

(0,0)

(3,4)

V

3

4

x

y

Po

Pf

z

(0,0,0)

(2,5,8)

2

5

8

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IMPORTANTE: Para determinar las coordenadas de un vector, es necesario conocer con precisin las coordenadas del punto inicial y el punto final. Si el punto que queremos determinar, ya sea este final o inicial se encuentra ubicado en: - uno de los ejes, entonces solo va a tener coordenada en ese eje. Ej: en el eje x entonces el punto es P = (x, 0, 0) en el eje y entonces el punto es P = (0, y, 0) en el eje z entonces el punto es P = (0, 0, z) - un plano, entonces solo va a tener coordenadas dependiendo del plano. Ej: en el plano xy entonces el punto es P = (x, y, 0) en el plano xz entonces el punto es P = (x, 0, z) en el plano yz entonces el punto es P = (0, y, z) - el espacio entonces el punto es P = (x, y, z) Donde los valores de estas coordenadas pueden ser positivos o negativos.

x

y

z

Este punto se encuentra en el plano XY solo tiene coordenadas en x y y.(x,y,0) entonces (4,5,0)

4

5

6

Este punto se encuentra en el eje Z solo tiene coordenadas z. (0,0,z) entonces (0,0,6)

Este punto se encuentra en el espacio, tiene coordenadas en x, y y z. (x,y,z) entonces (4,5,6)

Este punto se encuentra en el plano XZ solo tiene coordenadas en x y z.(x,0,z) entonces (4,0,6)

Este punto se encuentra en el plano YZ solo tiene coordenadas en y y z.(0,y,z) entonces (0,5,6)

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Vector Unitario

El vector unitario siempre tiene magnitud uno y se lo utiliza generalmente para definir una direccin. ; ||||=1 Si queremos obtener un vector unitario en la direccin de un vector cualquiera se lo puede obtener como sigue:

|||| AA

A= ; Este es un vector unitario en la direccin del vector A

Vector Unitario en la direccin del eje X i Vector Unitario en la direccin del eje Y j Vector Unitario en la direccin del eje Z k NOTA: como i,j y k pertenecen respectivamente a los ejes X, Y y Z, entonces i,j y k son perpendiculares entre si (son perpendiculares por que entre ellos hay 90o). Propiedades de los vectores

Un vector puede desplazarse sobre su misma lnea de accin. Un vector puede desplazarse hacia una lnea de accin paralela. Si multiplicamos un escalar (c) por un vector, obtenemos otro vector.

o Si c es mayor que 1 entonces el vector aumenta su magnitud. o Si c esta entre 1 y 0 (sin incluir 0 y 1) entonces la magnitud del vector

disminuye. o Si c es negativo entonces el vector cambia de direccin.

Ejemplo de multiplicacin de un escalar por un vector: Dado el vector A: Si c>1, ejemplo c=2 el vector B=cA sera B=2A

Si 0

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OPERACIONES ENTRE VECTORES

Suma Producto Punto (Producto escalar) Producto Cruz (Producto Vectorial)

NOTA: La resta de vectores es un caso particular de la suma de vectores en el cual: si R = A B entonces R = A + (-B), donde R, A y B son vectores.

Mtodos para sumar vectores: Mtodos Grficos:

Mtodo del Polgono vectorial o Polgono cerrado

Consiste en dibujar un vector a continuacin del otro, donde la resultante es el vector que une el punto inicial (origen) del primer vector con el punto final (flecha o saeta) del ltimo vector. Ej: Para hallar R= A+B

Mtodo del Paralelogramo Como su nombre lo indica consiste en formar un paralelogramo, trazando lneas paralelas a cada uno de los vectores que queremos sumar. Los vectores parten desde el mismo punto (coinciden en el origen). La resultante es el vector que une el origen de los vectores con el vrtice opuesto del paralelogramo.

NOTA: Cuando se aplica el mtodo del paralelogramo las herramientas matemticas que con frecuencia se utilizan son la ley del Seno y ley del Coseno

A

B

A

R

B

A

B R

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Antes de revisar la suma de vectores por mtodos analticos es necesario recordar algunas reglas trigonomtricas que sern de mucha ayuda en el anlisis vectorial: - En TODO TRIANGULO, la suma de sus ngulos internos es 180o.

- En TODO PARALELOGRAMO la suma de ngulos adyacentes siempre es 180o y los ngulos opuestos son iguales.

Las relaciones anteriormente mencionadas son importantes recordarlas para determinar ngulos en problemas de vectores.

Es decir: + = 180o ( y son adyacentes) + = 180o ( y son adyacentes) = ( y son opuestos) = ( y son opuestos)

Es decir: + + = 180o

A

B

C

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- En TODO TRIANGULO RECTNGULO (uno de sus ngulos mide 90o) se puede aplicar el teorema de Pitgoras y las funciones trigonomtricas. - ngulos a partir de lneas paralelas:

Teorema de Pitgoras: C2 = A2 + B2 Funciones trigonomtricas:

Sen = (opuesto / hipotenusa) = A/C Cos = (adyacente / hipotenusa) = B/C Tag = (opuesto / adyacente) = A/B Tag = Sen / Cos

= (ngulos opuestos por vrtice) = (ngulos opuestos por vrtice) Se cumple tambin que: = y + = 180o

B

C

A

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Mtodos Analticos:

Ley del seno Ley del Coseno Con frecuencia la ley del seno y del coseno se las utiliza en la resolucin de tringulos que no son rectngulos (es decir ninguno de sus ngulos mide 90o). Ley del coseno: Generalmente se la utiliza para hallar la magnitud de un vector o longitud de un lado del triangulo. Basta con saber que el lado del tringulo que se quiere calcular elevado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de esos otros lados por el coseno del ngulo que existe entre esos otros lados, esto queda ms claro si vemos el triangulo y analizamos la ecuacin siguiente:

ACCosCAB

BCCosCBA

ABCosBAC

2

2

2

222

222

222

+=+=+=

Ley del Seno: Generalmente se la utiliza para hallar la direccin o ngulo. El valor del lado de un triangulo dividido para el seno del ngulo opuesto a dicho lado es una constante.

C

Sen

B

Sen

A

Sen

Sen

C

Sen

B

Sen

A

====

B

A C

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Ej.: Hallar R = A + B, Aplicando la ley del Seno y la ley del Coseno

Para sumar estos vectores aplicamos primero el mtodo del paralelogramo y luego

para hallar la magnitud y direccin aplicamos la ley del seno y del coseno.

Si queremos hallar la magnitud de R podemos aplicar la ley del coseno como sigue: Sea el ngulo entre los vectores que se quiere sumar (los vectores deben coincidir en su origen) y ste ngulo es cortado por el vector resultante, o el ngulo que no es cortado por la resultante. R2 = A2 + B2 2AB Cos o tambin R2 = A2 + B2 + 2AB Cos En la ecuacin anterior, Como saber si va el signo menos o el signo mas?, te puedes ayudar observando el grfico con el smbolo (+) o (-) que est encerrado en el circulo azul Lo nico que queda es sacar raz cuadrada a ambos lados. Y para hallar el ngulo o direccin podemos aplicar la ley del seno como sigue:

R

Sen

B

Sen =

SenR

BSen =

= SenR

BSen1

OJO: el ngulo no es igual a la mitad del ngulo , la nica forma que puede ocurrir esto es que la magnitud del vector A sea igual a la magnitud del vector B.

A

B

A

B R

A

B

R

B

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Mtodo de las componentes ortogonales

Se llama mtodo de las componentes ortogonales por que al vector o vectores los vamos a descomponer en cada uno de los ejes ortogonales (forman 90o entre si) para luego sumarlos. Siempre hay que tener en cuenta la direccin de las componentes (pueden ser positivas o negativas). Luego de hallar las componentes de cada uno de los vectores se harn sumatorias en cada uno de los ejes que se tenga de referencia. Por ser componentes ortogonales se forman tringulos rectngulos y por lo tanto se puede utilizar las herramientas trigonomtricas de dichos tringulos. De acuerdo a lo anterior al vector A se lo podra representar como sigue: A = Ax i + Ay j = < Ax, Ay > Si quisiramos hallar la magnitud del vector:

|| A || = ( ) ( )22 AyAx + Teorema de Pitgoras Si quisiramos hallar la direccin de ese vector:

= Ax

Aytag 1 Funcin Trigonomtrica

OJO: Cuanto los ejes no son perpendiculares, (componentes no ortogonales) se aplica preferiblemente Ley del Seno y Ley del Coseno.

Ej.: Debe cumplirse que A = AL + AM

X

El vector A esta descompuesto en sus componentes ortogonales, en este caso Ax y Ay estn en la misma direccin que el sistema de referencia por lo tanto son positivos Ax = ACos NOTA: no siempre Ax es ACos ,

Recordar la componente que est junto al ngulo va con Cos y la otra componente va con Sen

Ay = ASen

Y

A

Ax

Ay

L

M

A

AL

AM

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Algo ms sobre Vectores en tres dimensiones Si queremos expresar un vector que se encuentre en tres dimensiones se lo puede hacer de la siguiente manera: A = Ax i + Ay j + Az k; donde i, j y k son los vectores unitarios en cada uno de los ejes x y y z respectivamente. Ax, Ay y Az son las componentes ortogonales del vector. Las componentes pueden ser positivas, negativas o cero Por ejemplo: A = 3i -5j + 2k Ax = 3 Ay = -5 Az = 2 B = -2i + 6k Bx = -2 By = 0 Bz = 6

Para determinar la direccin de un vector en tres dimensiones se utilizan los ngulos directores. ngulos Directores es el ngulo que forma el vector con respecto al eje x positivo. es el ngulo que forma el vector con respecto al eje y positivo. es el ngulo que forma el vector con respecto al eje z positivo.

x

y

z

A

Ax

Ay

Az

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Los cosenos directores se los define como el coseno de dichos ngulos y se los obtiene de la siguiente manera: Cos = Ax / ||A|| Cos = Ay / ||A|| Cos = Az / ||A|| Si A = Ax i + Ay j + Az k, un vector unitario en la direccin del vector A se lo puede expresar como el vector dividido para el modulo del vector:

A

kAzjAyiAxA

++= ; Donde ( ) ( ) ( )222 AzAyAxA ++=

Que se puede escribir como sigue:

kA

Azj

A

Ayi

A

AxA ++=

Utilizando la definicin de cosenos directores la ecuacin del vector unitario es:

kCosjCosiCosA ++= Donde la magnitud de este vector unitario debe ser uno, es decir:

1222 =++ CosCosCos

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Producto Punto (Producto Escalar) El producto punto siempre da como resultado un escalar, puede ser positivo, negativo o cero. Se puede obtener el producto punto entre dos vectores como sigue: Sea: A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k

CosBABA = ( el menor ngulo entre los vectores) Si no se conoce el ngulo entre los vectores, tambin se lo puede determinar como el producto de las componentes en x ms el producto de las componentes en y ms el producto de las componentes en z:

))(())(())(( BzAzByAyBxAxBA ++= Aplicaciones del producto punto:

Si los vectores son perpendiculares entonces el producto punto es cero.

Generalmente se lo utiliza para determinar el ngulo entre vectores aplicando las dos definiciones de producto punto (igualando las ecuaciones anteriores).

Proyeccin Escalar

Si queremos hallar la proyeccin escalar de un vector sobre otro se aplica la siguiente ecuacin y se representa como en el grfico:

B

BAAoyB

=Pr

Proyeccin Vectorial

Es la misma ecuacin anterior pero hay que multiplicarla por un vector unitario (le asigna una flecha) en la direccin del vector que se quiere proyectar, en este caso un vector unitario en la direccin del vector B:

BB

BA

B

B

B

BAAoyB

== 2Pr

B

A

B

A

A

B

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Producto Cruz (Producto Vectorial) El producto cruz entre dos vectores siempre da como resultado otro vector perpendicular al plano en el que se encuentran dichos vectores.

BAC =

ABD =

La direccin del vector esta dada por la regla de la mano derecha por ejemplo para

C = AXB, ponemos los 4 dedos de la mano derecha en la direccin del vector A y de ah nos dirigimos hacia el vector B cerrando la mano, la direccin a la que apunte el pulgar ser la de AXB (ver grfico).

Sean: A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k

SenBABA = La ecuacin anterior nos permite obtener la magnitud del producto cruz entre dos vectores. Si no se conoce el ngulo entre los vectores, el producto cruz entre dos vectores se lo puede determinar con la ayuda del determinante de la siguiente matriz como se muestra:

BzByBx

AzAyAx

kji

BA =

kByBx

AyAxj

BzBx

AzAxi

BzBy

AzAy+=

[ ] [ ] [ ]kBxAyByAxjBxAzBzAxiByAzBzAy ))(())(())(())(())(())(( +=

OJO: Observemos que en la direccin del vector unitario j siempre se coloca el signo menos (-) aunque luego de realizar la operacin interna a los corchetes puede resultar positiva.

A

B

C

D

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Como salen cada uno de los trminos de la ecuacin anterior?, por ejemplo para el factor que acompaa al vector unitario i, se anula la fila y la columna en la que se encuentra i, se realiza el determinante de la matriz de orden 2 que quedara, el producto entre Ay y Bz que forman la diagonal principal y a eso se le resta el producto entre Az y By que forman la diagonal secundaria. Aplicaciones del producto Cruz:

Si los vectores son paralelos entonces el producto cruz es el vector nulo.

Siempre que necesitemos un vector perpendicular a un plano se utiliza el producto cruz.

rea formada por dos vectores

BAramoparaledelArea =log

2

BAtriangulodelArea

=

Propiedades de las operaciones entre los vectores: Si A, B y C son vectores diferentes del vector nulo: ||A||2 = A .A A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A B = A + ( - B ) A . B = B . A ( A . B ) . C esta operacin no se puede realizar; (A . B) da un escalar, y el producto punto entre un escalar y un vector no esta definido. A . B = 0 si los vectores son perpendiculares

ABBA , la magnitud es la misma pero tienen diferente direccin ABBA =

( A . B ) x C esta operacin no se puede realizar; (A . B) da un escalar, y el producto cruz entre un escalar y un vector no esta definido. A x B = 0 si los vectores son paralelos

( ) CABACBA +=+ ( ) CABACBA +=+ ( )CBA . Si se puede realizar pero no es distributivo, no se puede CABA ( )CBA . No se puede realizar BA da un escalar y el producto cruz entre un vector

y un escalar no est definido.

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CINEMTICA Recordar que el anlisis del movimiento en la parte de cinemtica son independientes de la masa del cuerpo (no importa la masa del cuerpo) y se considera despreciable la friccin del aire. (a) Sistema de referencia: Conjunto de ejes coordenados, que se lo utiliza para determinar parmetros y magnitudes fsicas (posicin, rapidez, velocidad, etc.) de un cuerpo.

(b) Partcula: Palabra que se utiliza para definir un cuerpo (auto, persona, bicicleta, etc) en el anlisis cinemtico, no necesariamente es un cuerpo pequeo, depende del sistema de referencia.

(c) Trayectoria: figura geomtrica que se forma debido a las sucesivas ubicaciones que ocupa un cuerpo a medida que transcurre el tiempo (d) Distancia recorrida ( Escalar ) ( d ) : depende de la trayectoria que siga la partcula, representa la longitud medida sobre la trayectoria. [ ]md

X

Y

A B

X

Y

A B

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(e) Posicin ( Vector ) (r) [m] : ubicacin de una partcula con respecto al origen del sistema de referencia.[ ]mr rA y rB corresponden respectivamente a los vectores posicin inicial y final de la partcula.

(f) Desplazamiento ( Vector ) ( r ) [m] : depende de la posicin inicial y de la posicin final de la partcula, vector que une el punto inicial y el punto final de la trayectoria.

[ ]minicialposicionfinalposicionrrr of ==

(e) Rapidez Media ( Escalar ) ( S ) : se establece como la relacin entre la distancia total recorrida por una partcula dividido para el intervalo total de tiempo.

===s

m

t

d

Tiempo

ciaDisSMediaRapidez

tan

(f) Velocidad Media ( Vector ) ( Vm ) : se establece como la relacin entre el desplazamiento de una partcula dividido para el intervalo total de tiempo.

===s

m

t

r

Tiempo

entoDesplazamiVMediaVelocidad m

Debemos tener presente que la distancia siempre es mayor o igual a la magnitud del vector desplazamiento:

rd

Si dividimos ambos lados de la ecuacin para un intervalo de tiempo, obtenemos que la rapidez media siempre es mayor o igual a la magnitud de la velocidad media.

mVS

X

Y

A B r rA

X

Y

A B

rA rB

rB

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Movimiento Rectilneo Uniforme ( M. R. U. ) El movimiento rectilneo uniforme se caracteriza por que su trayectoria es una lnea recta, y la partcula recorre desplazamientos o distancias iguales en tiempos iguales, es decir su velocidad es una constante en ese intervalo de tiempo. Ecuaciones del movimiento rectilneo uniforme: En los problemas se utilizan las ecuaciones de la pgina anterior aunque tambin de manera general:

of XXXdonde

h

Km

s

m

t

XV

=

= Velocidad = Desplazamiento / tiempo

OJO: en el MRU es el nico tipo de movimiento en el que la rapidez media es igual a la magnitud de la velocidad media. Anlisis Grfico del MRU

Posicin versus tiempo - X Vs. t

Siempre tiene que ser lnea recta inclinada. Si es una recta horizontal la velocidad es cero, lo que indica que el cuerpo est en

reposo. La pendiente de la recta = tangente del ngulo, representa la velocidad. Si la recta est inclinada hacia la derecha (como en el grfico) la velocidad es

positiva, si esta inclinada hacia la izquierda la velocidad es negativa. El desplazamiento es Xf Xo. La distancia es medida sobre la trayectoria (eje vertical)

t(s)

X(m)

Xf

Xo

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Velocidad versus tiempo - V Vs. t

Siempre tiene que ser una recta horizontal. El rea bajo la recta representa la distancia o el desplazamiento. Desplazamiento = X = A1 A2 Distancia = d = A1 + A2 Donde A1 y A2 son reas del grafico (siempre positivas). rea del Rectngulo ( A = base . altura = b . h ) Si la grfica est arriba del eje del tiempo entonces la velocidad es positiva, caso

contrario la velocidad es negativa.

Aceleracin versus tiempo - a Vs. t En una grfica a vs. t (aceleracin versus tiempo) para MRU, es una lnea recta horizontal sobre el eje del tiempo, debido que la aceleracin en el MRU es cero.

t(s)

V(m/s)

V

A1

A2

a(m/s2)

t(s)

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Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado (M. R. U. V.) El movimiento rectilneo uniformemente variado se caracteriza por que su trayectoria es una lnea recta, y la velocidad de la partcula aumenta o disminuye proporcional al tiempo, en este caso la velocidad es variable, por lo tanto la aceleracin es una constante diferente de cero en el intervalo de tiempo. Ecuaciones del movimiento rectilneo uniforme:

tVV

tVX

tatVX

XaVV

taVV

fo

o

of

of

+==

+=

+=

+=

2

2

1

2

2

22

Vf Velocidad final [m/s] Vo Velocidad inicial [m/s] a aceleracin = (V)/t = ( Vf - Vo )/t [m/s2] t tiempo o intervalo de tiempo [s] X desplazamiento de la partcula = Xf - Xo [m] V velocidad promedio o media [m/s] Ojo: recordar que la velocidad, aceleracin y desplazamiento son vectores, por lo tanto es obligatorio que dependiendo del sistema de referencia, en la ecuacin se los remplazar con ese signo ya sea (+) o (-). Anlisis Grfico del MRUV

Posicin versus tiempo - X Vs. t

t(s)

X(m)

Xf

Xo

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En una grfica X vs. t para MRUV, la recta tangente a un punto ( )corresponde la velocidad instantnea en ese tiempo, mientras que la recta secante entre 2 puntos ( ) corresponde a la velocidad media en ese intervalo de tiempo.

Siempre tiene que ser lnea curva parablica. La pendiente de la recta en un punto cualquiera = tangente del ngulo, representa la

velocidad instantnea. Una recta secante representa la velocidad media. Si la parbola se abre hacia arriba, aceleracin positiva. Si la parbola se abre hacia

abajo, aceleracin negativa. El desplazamiento es Xf Xo. La distancia es medida sobre la trayectoria (eje Y)

Tips para el anlisis de las grficas posicin vs. tiempo en el MRUV Para esta explicacin se dividieron las parbolas en cuatro partes. *Si la grfica forma parte de la parbola superior, entonces la aceleracin es positiva. *Si la grfica forma parte de la parbola inferior, entonces la aceleracin es negativa. *Si forma parte de la derecha de las parbolas, el movimiento es acelerado (aumenta la rapidez en un intervalo de tiempo) *Si forma parte de la izquierda de las parbolas, el movimiento es desacelerado (disminuye la rapidez en un intervalo de tiempo)

Aceleracin positiva

Aceleracin negativa

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Velocidad versus tiempo - V Vs. t

Siempre tiene que ser lnea recta inclinada. Si es una recta horizontal la aceleracin es cero (MRU), lo que indica que el

cuerpo se mueve a velocidad constante. La pendiente de la recta = tangente del ngulo, representa la aceleracin. Si la recta esta inclinada hacia la derecha (como en el grfico) la aceleracin es

positiva, si esta inclinada hacia la izquierda aceleracin es negativa. La variacin de velocidad es Vf Vo. Si la grfica est arriba del eje del tiempo, las velocidades son positivas, caso

contrario las velocidades son negativas. En una grafica V vs. t de un MRUV, tambin se aplica que el rea bajo la recta es la distancia o el desplazamiento pero ahora son reas de tringulos (b*h/2) o trapecios ( (B+b)*h/2 ). Para calcular la distancia recorrida es la suma de las reas, para calcular el desplazamiento es necesario identificar si el rea esta bajo el eje del tiempo si es as se le pone el signo menos (-).

Aceleracin versus tiempo - a Vs. t

Siempre tiene que ser lnea recta horizontal cuyo valor es diferente de cero. El rea bajo la recta representa la variacin de velocidad de la partcula. (reas de

rectngulos)

t(s)

a

a(m/s2)

t(s)

V(m/s)

Vf

Vo

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MOVIMIENTO VERTICAL El movimiento vertical (cada libre o tiro vertical) es un tipo de movimiento rectilneo uniformemente variado en el cual la aceleracin es el valor de la gravedad, se plantean las mismas ecuaciones que en MRUV pero a estas ecuaciones se le cambian los subndices. Para resolver problemas se ubica un sistema de referencia por recomendacin en el punto donde comienza el anlisis del movimiento, y considerando positivo todo lo que es hacia arriba. Mucho ojo con el signo de las velocidades y desplazamientos. NOTA: como la aceleracin es un vector que apunta hacia el centro de la tierra (hacia abajo) entonces se lo considera como negativo. Ecuaciones del Movimiento Vertical

2

22

2

1

2

tgtVy

ygVV

tgVV

oy

oyy

oyy

=

=

=

Voy Velocidad inicial en y [m/s] Vy Velocidad final en y [m/s] g En estas ecuaciones se remplaza el valor, el signo ya esta considerado 9,8 [m/s2] t Intervalo de tiempo que se hace el anlisis [s] y Desplazamiento en y. y = yf - yo [m] OJO: siempre tener presente que las velocidades y desplazamientos son vectores por lo tanto al remplazar valores en estas ecuaciones considerar sus signos. De manera general:

g(-)

Voy

Vy

Vy

Vy

Vy=0m/s Voy=0m/s

Vy

Vy

Vy

Vy

En la parte de la izquierda el cuerpo parte con una Voy (+) como g tiene direccin contraria a Vy, la rapidez del cuerpo va disminuyendo, cuando el cuerpo llega a la altura mxima, la velocidad del cuerpo es cero. (Movimiento desacelerado)

En la parte de la derecha el cuerpo comienza a caer con Voy=0m/s como g tiene igual direccin a Vy, la rapidez del cuerpo va aumentando. (Movimiento acelerado)

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Si el cuerpo se lanza hacia arriba y cuando regresa llega al mismo nivel de donde fue lanzado se puede concluir lo siguiente: La altura mxima que alcanza el cuerpo es:

g

vh oy

2

2

max =

El tiempo de subida es:

g

vt oys =

El tiempo de vuelo es dos veces el tiempo de subida, debido a que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada:

g

Vt

ttttentonces

ttpero

ttt

oyv

sssv

bs

bsv

2

2

=

=+==

+=

OJO: Siempre tener presente que el desplazamiento y puede ser negativo o positivo dependiendo del sistema de referencia. Ejemplos grficos de desplazamientos negativos

Se deja caer un cuerpo. Se ubica el sistema de referencia donde comienza el mov. cuando llega al punto final su y es negativo y Vy tambin es negativa

Se lanza un cuerpo hacia arriba desde un edificio. Se ubica el sistema de referencia donde comienza el mov. Voy es (+) alcanza su altura mxima y comienza a caer, cuando llega al punto final su y es negativo y Vy tambin es negativa

ts

Vy=0 m/s

Voy

hmax

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Vox = Vx

Vx

Vx

Vx

Vx Vx

Vx

Vx

Vx

Ymax

g (-)

Xmax

Voy

Vy

Vy

Vy

Vy = 0

Vy

Vy

Vy

Vy

X

Y

Vox = Vo Cos

Voy = Vo Sen

Vo

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES MOVIMIENTO PARABLICO Cuando se hace el anlisis del movimiento parablico lo ms conveniente es descomponer el movimiento en el eje x que resulta ser un movimiento rectilneo uniforme (MRU), y el movimiento en el eje y que viene a ser un movimiento vertical (MRUV). Como resultado de esto se aplican las mismas ecuaciones que ya conocemos tanto para x como para y, pero lo nico nuevo es que generalmente en un problema de tiro parablico se nos da la rapidez o velocidad inicial y el ngulo con la horizontal o vertical, por lo tanto habra que descomponer la velocidad para tener las velocidades iniciales en x y en y. OJO: Se recomienda utilizar un sistema de referencia, en el punto donde comienza el anlisis del movimiento. Como se haba mencionado, se debe descomponer el anlisis en eje X y eje Y, Vo es la rapidez inicial: En el grfico que sigue se puede apreciar los vectores velocidad y aceleracin durante el movimiento parablico:

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Anlisis del movimiento parablico:

Como podemos apreciar la aceleracin es siempre la misma (el valor de la gravedad y va dirigida hacia abajo).

Cuando la partcula llega a la altura mxima alcanza una velocidad en y igual a cero.

Antes de que llegue a esa altura mxima los vectores velocidad en y estn dirigidos hacia arriba (son positivos) y la aceleracin esta en direccin contraria, por lo tanto el movimiento es desacelerado.

Despus de que pase ese punto de altura mxima los vectores velocidad en y estn dirigidos hacia abajo (son negativos) y la aceleracin esta en la misma direccin, por lo tanto el movimiento es acelerado.

La velocidad en y es variable (MRUV), mientras que la velocidad en x es constante (MRU).

Si la partcula es lanzada y regresa al mismo nivel, entonces la rapidez con que fue lanzada es la misma con la que retorna.

Si se lanza un cuerpo con rapidez Vo a un ngulo , se lanza otro cuerpo con rapidez Vo pero a un ngulo , ellos obtienen el mismo alcance horizontal siempre y cuando + =90o

En cualquier punto de la trayectoria parablica se puede determinar la rapidez de la partcula aplicando el teorema de Pitgoras.

( ) ( ) ( ) ( )2222 yoxyx VVVVRapidezVelocidad +=+== OJO: Las 4 ecuaciones a continuacin se pueden aplicar SOLO a movimientos parablicos cuya trayectoria es igual a la que hemos presentado, es decir parte de una altura y y llega a la misma altura y, en conclusin Y=0:

( )g

SenVX o

22max =

( )g

SenVY o

2

22

max

=

4max

max TagX

Y=

El tiempo de vuelo es igual al tiempo de subida mas el tiempo de bajada, pero el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

g

Vt

ttttentonces

ttpero

ttt

oyv

sssv

bs

bsv

2

2

=

=+==

+=

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Las ecuaciones que se presentan a continuacin si son aplicables a cualquier movimiento parablico: En el eje X: Como es un movimiento rectilneo uniforme, se sabe que la velocidad es constante por lo tanto en el eje X solo se aplica la siguiente ecuacin:

tCosVX

tVX

tVX

o

ox

x

===

En el eje Y: Como es un movimiento rectilneo uniformemente variado, se sabe que la velocidad es variable por lo tanto se aplican las siguientes ecuaciones:

2

22

2

1

2

tgtVy

ygVV

tgVV

oy

oyy

oyy

=

=

=

La ecuacin que se presenta a continuacin se la conoce como ecuacin de la trayectoria y la pueden utilizar en cualquier movimiento parablico:

2

2

1

=

CosV

xgTagXY

o

Cuando se tiene un lanzamiento horizontal (Voy es cero = velocidad inicial en y cero) el tiempo de vuelo se lo puede calcular como

OJO: siempre tener presente que las velocidades y desplazamientos son vectores por lo tanto al remplazar valores en estas ecuaciones considerar sus signos.

Voy = 0 m/s Vo = Vox

H g

Htv

2=

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME El movimiento circular uniforme se caracteriza por que recorre arcos iguales (desplazamientos angulares) en tiempos iguales.

Desplazamiento angular () [Rad] Se define como el cambio de posicin angular. Velocidad Angular () [Rad/s] Relacin que se establece entre el desplazamiento angular y el tiempo en que ocurre este.

tt

==

Periodo (T) [s] Es el tiempo que se demora una partcula en dar una vuelta, revolucin o ciclo completo.

2=T

Frecuencia (f) [Hz] Es el nmero de revoluciones, ciclos o vueltas que realiza la partcula en la unidad de tiempo.

2211 =

==

Tf

Relacin entre la velocidad lineal y la velocidad angular La distancia recorrida por la partcula se conoce como longitud de arco (d) y se relaciona con el desplazamiento angular () como sigue:

d=R Si dividimos ambos lados de la ecuacin para un intervalo de tiempo se establece la relacin:

V=R En el movimiento circular uniforme, la velocidad lineal (V) no es constante, ya que su direccin vara de acuerdo a la posicin de la partcula. En base a este cambio en la direccin de la velocidad se define una aceleracin en la direccin radial o normal conocida como aceleracin centrpeta.

R

R

V

V

S

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Aceleracin centrpeta (ac) [m/s2].- Siempre perpendicular al vector velocidad tangencial y dirigida hacia el centro de la trayectoria circular.

RR

Vac

22

== Factores de conversin:

1 Revolucin 1 Ciclo = 2 Rad = 360o = Una longitud de circunferencia = 2 r 1 Vuelta

Caractersticas del MCU

La rapidez lineal de la partcula es constante La rapidez angular de la partcula es constante La velocidad lineal de la partcula no es constante La velocidad angular es un vector perpendicular al plano de rotacin La aceleracin centrpeta es constante El desplazamiento angular siempre debe estar en Rad RPM (Revoluciones por minuto) es una unidad de velocidad angular Si dos cuerpos coinciden tangencialmente entonces sus velocidades (rapidez)

lineales son las mismas

rR

VV

21

21

==

Si dos cuerpos coinciden en el eje de rotacin entonces sus velocidades angulares son iguales.

R

V

r

V 21

21

=

=

R r 1 2

V1 V2

V ac ac

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MOVIMIENTO RELATIVO La posicin, velocidad y aceleracin son magnitudes fsicas que dependen del sistema de referencia, en este parte nos vamos a centrar para el anlisis de velocidad relativa. Cuando un avin vuela su velocidad no depende nicamente de la velocidad que le de el motor sino tambin de la velocidad del viento, en el caso de las embarcaciones martimas la velocidad depende tambin de la velocidad de la corriente del ro. Veamos el siguiente grfico:

Para el observador de la izquierda (sistema de referencia A) la velocidad del tren es 60 (km/h), mientras que para el observador de la derecha (sistema de referencia B) la velocidad del tren es -60(km/h) Si se quiere determinar la velocidad de un cuerpo respecto a otro o la velocidad de un cuerpo relativa a otro: Velocidad de 1 respecto a 2 Velocidad de 1 relativa a 2 V1/2 = V1 V2 OJO: Recordar que las velocidades son magnitudes vectoriales, por lo tanto al hacer la operacin entre los vectores se debe tener en cuenta su magnitud y direccin. Se aplica los procedimientos y ecuaciones para la suma de vectores por mtodos analticos. Se recomienda considerar el sistema de referencia en las operaciones vectoriales.

V=60Km/h

A B

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Casos particulares (aviones y botes)

Trayectoria objetivo del bote (avin)

Trayectoria real del bote (avin) V1 (bote) Velocidad del bote respecto al agua, velocidad del bote (avin) Velocidad del avin respecto al aire, velocidad del avin V2 (bote) Velocidad del ro respecto a tierra, velocidad del ro (avin) Velocidad del viento respecto a tierra, velocidad del viento VR (bote) Velocidad del bote respecto al observador en tierra Velocidad real del bote (avin) Velocidad del avin respecto al observador en tierra Velocidad real del avin Es imprescindible plantear la ECUACIN VECTORIAL : VR = V1 + V2 Una vez planteado el diagrama de vectores preferiblemente aplicando mtodo del polgono vectorial de acuerdo a la ecuacin anterior, se procede a resolver el tringulo ya sea con Pitgoras y funciones trigonomtricas (son perpendiculares los vectores) o ley del coseno y ley del seno (NO son perpendiculares los vectores.

V1

V2

VR

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DINMICA DE TRASLACIN El estudio de dinmica se basa fundamentalmente en el entendimiento y aplicacin de las tres leyes de Newton, es debido a eso que se revisaran las leyes: 1era Ley de Newton: Inercia Todo cuerpo en reposo o con movimiento a velocidad constante permanecer en reposo o movindose con velocidad constante salvo que sobre el acte una fuerza externa que lo obligue a cambiar su estado de movimiento Cuando un cuerpo se encuentra en reposo o en movimiento con velocidad constante se considera que est en equilibrio traslacional, implica que la fuerza neta, fuerza total o sumatoria de fuerzas sobre el es cero.

= 0F Vectorialmente esta ecuacin se escribe:

== 00 FyFx Masa, peso e inercia Masa.- ( m M ) es un escalar que representa cantidad de materia que tiene un cuerpo, la unidad fundamental con que se mide la masa es el kg, la masa no depende de la ubicacin en el universo. Peso.- ( w ) fuerza de atraccin gravitatoria es un vector, la unidad con que se mide el peso es el Newton [N], el peso de un cuerpo se lo puede calcular como W = m g, donde g generalmente es 9,8 m/s2. Inercia.- Propiedad fsica que tienen los cuerpos para oponerse al cambio en su estado de movimiento. Es proporcional a la masa del cuerpo. 2da Ley de Newton: F=ma La sumatoria de fuerzas o fuerza neta en un cuerpo es proporcional a la masa y la aceleracin que este adquiere

maF

maF

neta =

=

1 Newton = 1[N] = 1 [kg m / s2]

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3ra Ley de Newton: Accin reaccin Cuando una partcula A ejerce una fuerza sobre una partcula B, la partcula B ejerce una fuerza de igual magnitud y en direccin contraria sobre la partcula A

Diagramas de cuerpo libre (DCL): En un diagrama de cuerpo libre se grafican todas las fuerzas externas que actan sobre una partcula. Peso ( w ).- es la fuerza de atraccin que ejerce la tierra sobre la partcula, siempre es un vector dirigido verticalmente hacia abajo en el DCL, se recomienda que sea el primer vector que se grafique. Normal ( N ).- es la fuerza que aparece debido a que existe superficie de contacto (suelo u otro cuerpo), siempre es perpendicular a dicha superficie, si no hay superficie de contacto no hay normal. Es necesario recordar que la normal NO siempre es igual al peso del cuerpo, la normal depende del diagrama de cuerpo libre. Tensin ( T ).- es la fuerza que generalmente aparece cuando hay cuerdas o alambres, la tensin siempre se dirige del cuerpo hacia la cuerda. Ejemplos de DCL sin friccin: Ejemplos sencillos de diagramas de cuerpo libre se observa que la normal es perpendicular a la superficie de contacto y el peso es un vector que apunta verticalmente hacia abajo, para el primer caso con la informacin dada se podra asumir que el cuerpo est en reposo movindose con velocidad constante y para el segundo caso el cuerpo tiene una fuerza neta hacia la derecha, por lo tanto est acelerado en esa direccin.

W

N

W

N

F

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Se puede notar en el grfico de la izquierda que no existe superficie de contacto por lo tanto no hay normal y se ha graficado la tensin, se podra considerar que el cuerpo se encuentra en equilibrio. Para el grfico de la derecha es un cuerpo en un plano inclinado en el cual se puede apreciar que existe una fuerza neta hacia abajo del plano inclinado en conclusin el cuerpo estara acelerado hacia abajo del plano inclinado. Friccin ( f ) [Newton] .- si la superficie de contacto es rugosa (no lisa), aparece lo que se conoce como fuerza de rozamiento o friccin. La fuerza de rozamiento va a depender de las rugosidades de las superficies de contacto y se opone al movimiento relativo de las superficies en contacto, de manera general:

Nf =

es el coeficiente de rozamiento que puede ser esttico o cintico y depende de los materiales de los cuerpos que se estn analizando se dice que no puede se mayor a la unidad ni menor a cero, el coeficiente de rozamiento no tiene unidades. Ejemplo =0.65 Generalmente el coeficiente de rozamiento esttico es mayor que el coeficiente de rozamiento cintico

ks

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Diagrama de cuerpo libre con friccin, anlisis esttico y dinmico: Datos: m = 5Kg g = 9,8 m/s2 s = 0,7 k = 0,3 F = variable Haciendo clculos: fs max = s N = (0,7) (5) (9,8) = 34,3 N fk = k N = (0,3) (5) (9,8) = 14,7 N Si F es igual a cero, no existe fuerza de rozamiento Si F es 1 N, la fuerza de friccin es esttica e igual a 1 N Si F es 20 N, la fuerza de friccin es esttica e igual a 20 N Si F es 30 N, la fuerza de friccin es esttica e igual a 30 N Si F es 34,2 N la fuerza de friccin es esttica e igual a 34,2 N Si F es 34.3 N Ya alcanz el valor de la fuerza esttica mxima por lo tanto est en un punto inminente de movimiento, es decir cuando F sea mayor a 34,3N el bloque se mueve y aparece la fuerza de friccin cintica 14,7N Con esto el bloque tiene una fuerza neta dirigida hacia la derecha, por lo tanto el cuerpo se acelera hacia la derecha. OJO: En la aplicacin de las leyes de Newton el sistema de referencia por recomendacin debe considerarse positivo en la direccin del movimiento o hacia donde tiende a moverse el cuerpo.

F

W

N

F

W

N

fs max

F

W

N

fk

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DINMICA APLICADA AL MOVIMIENTO CIRCULAR Cuando existe un movimiento circular, y se realiza el diagrama de cuerpo libre, se debe escoger un eje en la direccin radial (positivo hacia el centro de la trayectoria circular), la sumatoria de fuerzas en ese eje (fuerza resultante) es lo que se conoce como fuerza centrpeta.

ccentripetaradiales amFF ==

1 Newton = 1[N] = 1 [kg m / s2] OJO: La fuerza centrpeta no se la grafica en el diagrama de cuerpo libre, la fuerza centrpeta es la resultante de las fuerzas en el eje radial. Siempre considerar positivo hacia el centro de la trayectoria circular. Ejemplos de Fuerza centrpeta:

R

vmNmg

amNW

amF

c

cradiales

2

=

=

=

gmCosT

WT

F

RmSenT

amSenT

amT

amF

y

y

c

cx

cradiales

=

=

=

=

==

=

0

0

2

W

N

W

T

Tx

Ty

R

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En el primer grafico la fuerza centrpeta es la diferencia entre el peso y la normal (W-N), en el segundo caso la fuerza centrpeta esta representada por la componente de la tensin en el eje radial (Tx), es necesario tener presente que siempre se considera positivo hacia el centro de la trayectoria circular ya que esa es la direccin de la aceleracin centrpeta. Angulo de Peralte.- a ciertas carreteras con el objetivo de que los autos alcancen una mayor velocidad se les da cierta inclinacin ().

gR

vTag

gmCosN

WN

F

R

vmSenN

amSenN

amN

amF

y

y

c

cx

cradiales

2

2

0

0

=

=

=

=

=

==

=

Si el ngulo de peralte es cero, la fuerza centrpeta para que el auto no derrape (no patine) esta dada nicamente por la fuerza de friccin esttica. Si la velocidad es mxima se utiliza la fuerza de friccin esttica mxima.

cs maf = Para el caso del grfico (ngulo de peralte) no existe friccin entre los neumticos y la carretera, la fuerza neta (fuerza centrpeta) esta representada por la componente de la normal en el eje radial o eje x. Si existiera friccin la fuerza centrpeta estar representada a ms de la componente de la normal en el eje radial tambin por la componente de la friccin y se debera hacer otro anlisis, para dicho caso si la velocidad que piden determinar es mnima la fuerza de friccin esttica va dirigida hacia arriba del plano inclinado, y si la velocidad que piden determinar es mxima la fuerza de friccin esttica va dirigida hacia abajo del plano inclinado.

N

R

Ny

Nx

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Anlisis dinmico de un cuerpo con movimiento circular en un plano vertical:

Para cada uno de los puntos en los cuales se encuentra el cuerpo considerando positivo hacia el centro de la trayectoria circular se determina que la fuerza centrpeta es:

Para el punto ms alto de la trayectoria Fc = T + W

Para el punto ms bajo de la trayectoria Fc = T - W

Para la ubicacin de la izquierda Fc = T

Para la ubicacin la derecha Fc = T + W Sen Para cada uno de los casos se establece la ecuacin de dinmica aplicada al movimiento circular:

Fc = m ac

W

W

W

W T

T

T T

Documents

Folleto Fisica Basica 2010 - Mayken Espinoza