Curso Analisis 2016

8/18/2019 Curso Analisis 2016

1/62

An´alisis Matem´ atico I. Notas de Clase

Sánchez Garrido José L.

4 de abril de 2016

1


2/62

1. Espacios Métricos

1.1. Denici´ on y Ejemplos

Denici´ on 1.1. Un espacio métrico es un par ( X, d), donde X es un conjunto (la reservade puntos), y d una función (la distancia, o métrica ) d : X ×X → R+ que cumple lassiguientes propiedades:

1. d(x, y) ≥ 0, y d(x, y) = 0 ⇔ x = y (no negatividad ).2. d(x, y) = d(y, x) (simetŕıa ).

3. d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y) ∀x,y,z ∈ X (desigualdad del tri´ angulo).Por lo regular, y siempre que no se preste a confusi´on, se escribirá śımplemente X .

Ejemplo 1.1. Sean X arbitrario, y

d(x, y) = 0 si x = y.1 si x ̸= y.A esta métrica se le conoce como métrica discreta .

Ejemplo 1.2. X = R, y d(x, y) = |x −y|.Ejemplo 1.3. X = Rn , x = ( x1, . . . , x n ), y = ( y1, . . . , yn ).

d(x, y) = n

k=1

(xk

−yk)2

1/ 2

Ejemplo 1.4. X = Rn , x = ( x1, . . . , x n ), y = ( y1, . . . , yn ).

d1(x, y) =n

k=1|xk −yk|

Ejemplo 1.5. X = Rn , x = ( x1, . . . , x n ), y = ( y1, . . . , yn ).

d0(x, y) = m áx1≤k≤n |xk −yk|

Ejemplo 1.6. Vamos a considerar un ejemplo m ás elaborado. Sea ( X, d), con X el

conjunto de todas las funciones continuas sobre el intervalo [ a, b], X = {f : [a, b] →R | f es continua}, y: d(f, g ) = supx∈[a,b ]

|f (x) −g(x)|A esta métrica se le conoce como la métrica del supremo . Cuando veamos convergencia,se verá que la convergencia puntual en este espacio coincide con la convergencia uniformede funciones.

2


3/62

Ejemplo 1.7. (X, d) un espacio métrico arbitrario. La funci´ on ρ(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y)

es

una métrica.

Ejemplo 1.8. Una familia innita de distancias para un mismo espacio. Sean X = Rn , p ≥ 1, yd p(x, y) =

n

k=1|xk −yk|

p1/p

El interés en esta familia, consiste en que d1 coincide con la del ejemplo 1.4 , d2 es lamétrica euclideana (ejemplo 1.3 ). Además, es un ejercicio interesante demostrar que

ĺım p→∞

n

k=1|xk −yk|

p1/p

está bien denido, y coincide con la métrica del ejemplo 1.5 .

Hasta ahora no hemos demostrado que las funciones distancia enunciadas en los ejemploscumplan, en efecto, con la denici ón 1.1 . Vamos entonces a demostrar la desigualdad deltri ángulo para las distancias d p de este ejemplo. Fijemos p > 1. Mostraremos que:

n

k=1|xk −yk|

p1/p

≤ n

k=1|xk −z k|

p1/p

+ n

k=1|z k −yk|

p1/p

(1.1)

La desigualdad (1.1) es muy importante, y recibe el nombre de desigualdad de Minkowsky .

Probaremos primero la desigualdad de H¨ older (1.2), en donde p > 1, q > 1, y además1 p +

1q = 1:

n

k=1|xkyk| ≤

n

k=1|xk|

p1/p n

k=1|yk|

q1/q

(1.2)

Para probar (1.2), primero se observa que la desigualdad es homogénea , es decir, si secumple para x, y ∈Rn , entonces también se cumple para λx, µy, con λ, µ ∈R. Por tanto,y sin pérdida de generalidad, supongamos que

n

k=1 |xk| p

=

n

k=1 |yk|q

= 1 . (1.3)

Mostraremos que en este caso,n

k=1|xkyk| ≤ 1. (1.4)

3


4/62

Para la demostraci´on de (1.4), vamos a utilizar la siguiente desigualdad: Si a, b ≥ 0, p, q > 1 con 1 p + 1q = 1, entoncesab

≤

a p

p +

bq

q (1.5)

Sean ahora a = |xk|, b = |yk|, y consideremos la suma sobre k:

n

k=1|xkyk| ≤

1 p

n

k=1|xk|

p + 1q

n

k=1|yk|

q =

q n

k=1|xk|

p + pn

k=1|yk|

q

pq = 1

Con esto, queda demostrada (1.4), y por tanto, (1.2). Ahora bien, si a, b ≥ 0, es inmediatala identidad:(a + b) p = a(a + b) p−1 + b(a + b) p−1

Sean ak = xk −z k , bk = z k −yk . Al sumar sobre k, y aplicar (1.2) (y dado que ( p−1)q = p):n

k=1|ak|+ |bk|

p =n

k=1|ak| |ak|+ |bk|

p−1 +n

k=1|bk| |ak|+ |bk|

p−1

≤ n

k=1|ak|

p1/p

+ n

k=1|bk|

p1/p n

k=1|ak|+ |bk|

p1/q

⇐⇒ n

k=1|ak|+ |bk|

p1/p

≤ n

k=1|ak|

p1/p

+ n

k=1|bk|

p1/p

(1.6)

Finalmente, es un ejercicio sencillo ver que (1.6) implica (1.1). Con los ejemplos mostrados,resulta evidente que a una misma reserva de puntos la podemos dotar con diferentesmétricas.

Denici´ on 1.2. Sea X un conjunto, y d1, d2 dos métricas. Diremos que las métricas sonequivalentes si existen constantes positivas c1 y c2 tales que para todos x, y ∈ X :

c1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2d1(x, y)Ejemplo 1.9. En Rn , las métricas euclideana y d1 son equivalentes. En efecto, comod(x, y) 2 = ( x1 −y1)2 + . . . +( xn −yn )2, es claro que para 1 ≤ k ≤ n, |xk −yk| ≤ d(x−y),y por tanto,

∑nk=1 |xk −yk| ≤ nd(x −y). Por otra parte,

n

k=1|xk −yk|

2=

n

k=1|xk −yk|2 + 2

k ̸= j|xk −yk| |x j −y j | ≥

n

k=1

xk −yk2∴

1n

n

k=1|xk −yk| ≤ d(x, y) ≤

n

k=1|xk −yk|

No es dif́ıcil ver que también son equivalentes las métricas euclideana y d0.

4


5/62

Denici´ on 1.3. Sea (X, d) un espacio métrico, y Y ⊆ X . Diremos que (Y, d|Y ×Y ), cond|Y ×Y : Y ×Y →R+ (la restricci ón de d en Y ) es un subespacio métrico.Denici´ on 1.4. Dados x

∈ X y r > 0, denimos la bola abierta, o vecindad B(x, r ) con

centro en x y radio r como el conjunto de las y ∈ X tales que d(x, y) < r .De la misma forma, la bola cerrada B(x, r ) con centro en x y radio r es el conjunto de lasy ∈ X tales que d(x, y) ≤ r.Finalmente, la bola o vecindad agujerada con centro en x y radio r B̊ (x, r ) es el conjuntode las y ∈ X tales que 0 < d(x, y) < r .En cálculo nos acostumbramos a ver las bolas como intervalos, discos, o esferas. En general,la forma geométrica de las bolas depender´a de la métrica. En la gura 1 se muestran lasbolas centro en x y radio 1 bajo distintas métricas d p.

1

d1 (x, y )d5 / 4 (x, y )d2 (x, y )d3 (x, y )d∞ (x, y )

x

Figura 1: Forma geométrica de las bolas en R2 bajo distintas métricas

1.2. Topoloǵıa de los espacios métricos

Denici´ on 1.5. Sean X un espacio métrico, x ∈ X , y A ⊆ X .(i) x es un punto interior de A si existe r > 0 tal que la bola con centro en x y radio

r está totalmente contenida en A, es decir

B(x, r ) ⊆ A(ii) Si todo x ∈ A es punto interior de A, diremos que el conjunto A es abierto en X .

(iii ) Un punto x ∈ X es punto ĺımite de A ⊆ X si cualquier vecindad de X contiene unpunto y ∈ A, con x ̸= y, es decir B̊ (x, r ) ∩A ̸= ∅.5


6/62

(iv ) Si x ∈ X no es punto ĺımite, diremos que x es punto aislado.(v) A es cerrado si todo punto ĺımite de A pertenece a A.

(vi ) A es perfecto si A es cerrado y todo x ∈ A es punto ĺımite.(vii ) A es acotado si existe M > 0 y x ∈ A tales que A ⊆ B(x, M ).

(viii ) A es denso en X si todo punto de X es punto ĺımite de A, o punto de A.

Teorema 1.1. Toda bola abierta es un abierto.

Demostraci ón . Sean A = B(x, r ), e y ∈ A, es decir, d(x, y) = h < r . Ahora, para todoz tal que d(y, z ) < r −h se tiene que:d(x, z )

≤ d(x, y) + d(z, y) = h + r

−h = r

y z ∈ A. Por tanto, todo punto y ∈ A es punto interior.Teorema 1.2. Si x ∈ X es punto ĺımite de A ⊆ X , entonces todo abierto de x contiene una innidad de puntos de A.Demostraci ón . Dado x, y un abierto que lo contiene, supongamos que s ólo contieneun número nito de puntos de A. Sean x1, x2 . . . , x n , y consideremos bolas con centros enestos puntos, y radios rk . Consideremos ahora r = mı́n

1≤k≤n{r k}. Entonces

B̊ (x, r )

∩A =

∅Pero en este caso, x no es punto ĺımite de A.Teorema 1.3. Un conjunto A ⊆ X es abierto si y s´ olo śı su complemento Ac = X \Aes cerrado.Demostraci ón . ⇐) Ac cerrado, y x ∈ A. Como Ac es cerrado, x no es punto ĺımite deAc, por lo que existe B(x, r ), r > 0, tal que B(x, r ) ∩Ac = ∅, y por lo tanto, B(x, r ) ⊆ A,por lo que x es punto interior de A, y A es abierto.⇒) Supongamos que A es abierto, y sea x punto ĺımite de A

c. Para todo r > 0, B̊ (x, r ) ∩Ac̸

=

∅, y x no puede ser punto interior de A, ∴ x

∈ Ac y además es punto ĺımite de Ac,

y Ac es cerrado.

El siguiente resultado es el que nos permite hablar de topoloǵıas en espacios métricos.

Teorema 1.4. (i) Para toda colecci´ on {Gα |α ∈ Λ} de conjuntos abiertos,α∈Λ

Gα es

abierto.

6


7/62

(ii) Para toda colecci´ on nita {Gk|1 ≤ k ≤ n} de conjuntos abiertos,n

k=1

Gk es abierto.

Demostraci ón . (i) Sean G =α∈Λ

Gα , y x ∈ G. Entonces x ∈ Gα para algún α ∈ Λ, ycomo Gα es abierto, x es punto interior de Gα , por lo que existe r > 0 tal que B(x, r ) ⊆ Gα ,y por tanto, x es punto interior de G.(ii) Sean G =

n

k=1

Gk , y x ∈ G. Existen r1, r 2, . . . , r n > 0 tales que B(x, r k) ⊆ Gk , parak = 1, . . . n . Sea r = mı́n {r 1, r 2, . . . r n}. Es claro que r > 0, y que B(x, r ) ⊆ Gk para1 ≤ k ≤ n, por lo que B (x, r ) ⊆ G, y x es punto interior de G.El teorema (1.4) tiene el siguiente corolario inmediato.

Corolario 1.5. (i) Para toda colecci´ on {Gα |α ∈ Λ} de conjuntos cerrados, el conjuntoα∈Λ

Gα es cerrado.

(ii) Para toda colecci´ on nita {Gk|1 ≤ k ≤ n} de conjuntos cerrados,n

k=1

Gk es cerrado.

La demostraci ón se sigue directamente del teorema (1.3), y de las leyes de D’Morgan:

α

Gαc

=α

Gcαα

Gαc

=α

Gcα

Por supuesto, en el teorema (1.4 (ii)) (o en su corolario), no podemos prescindir de lapalabra nito, como se muestra en el siguiente ejemplo t́ıpico.

Ejemplo 1.10. Para cada k ∈ N, denamos los abiertos Gk = −1k , 1 + 1k . Entonces laintersecci ón numerable

∞

k=1

Gk = [0, 1] es cerrado en R.

Denici´ on 1.6. Sean X espacio métrico, y A ⊆ X . El conjuntoA′ =

{x

∈ X

|x es punto ĺımite de X

}recibe el nombre de conjunto derivado de X . Al conjunto Ā = A∪A′ se le llama cerradura (o adherencia ) de A.Teorema 1.6. Sea A ⊆ X . Entonces:

(i) Ā es cerrado.

7


8/62

(ii) Ā = A si y s´ olo śı A es cerrado.

(iii ) Ā ⊆ B para cualquier B ⊆ X cerrado tal que A ⊆ B.El teorema (1.6 (iii)) se suele expresar de la siguiente manera: La cerradura de A es elmı́nimo de todos los conjuntos cerrados que lo contienen.

Demostraci ón . i) Sea x ∈ X , x /∈ Ā, es decir, x /∈ A, x /∈ A′, por lo que existe r > 0 talque B (x, r ) ⊆ Āc, y x es punto interior de Āc. Por tanto, Āc es abierto ⇔ Ā es cerrado.ii) A = Ā ⇔ A∪A′ = Ā ⇔ A′ ⊆ A ⇔ A es cerrado.iii ) Como B es cerrado, y A ⊆ B, entonces A′ ⊆ B ′ ⊆ B , de donde se sigue que A∪A′ =Ā ⊆ B.Denici´ on 1.7. Dados A, B

∈ X espacio métrico. Se dice que A es denso en B si B

⊆ Ā.

Además, se dice que A ⊆ X es denso en ninguna parte (o que es nunca denso ) si A no esdenso en ninguna bola B (x, r ).Denici´ on 1.8. Un espacio métrico X se llama separable si existe un conjunto numerableA ⊆ X denso en X , esto es, X = Ā.Ejemplo 1.11. En X = (Rn , d p), A el conjunto de todos vectores de coordenadas racio-nales.

Ejemplo 1.12. En C [a, b] = {f : [a, b] → R}, con d x(t), y(t) = supt∈[a,b]{|x(t) −y(t)|}, A

el conjunto de todos los polinomios con coecientes racionales.

Por supuesto, no todos los espacios métricos son separables, como se muestra en el si-guiente ejemplo:

Ejemplo 1.13. Sea X el conjunto de todas las sucesiones acotadas de n´umeros reales:

X = x = ( x1, x2, . . . , x n , . . . )| |xn | < M, M > 0con la métrica d(x, y) = sup

n∈N|xn −yn |. Sea A = x ∈ X |xn ∈ {0, 1} . Es fácil ver que

A es no numerable (su cardinalidad es 2 ℵ0 ). Para cada x ∈ A, consideremos la bola concentro en x y radio 12, B x, 1

2. Ahora bien, si x, y

∈ A, con x

̸

= y, d(x, y) = 1, lo queimplica que

B x, 12 ∩B y, 12 = ∅ siempre que x ̸= y.Supongamos ahora que tenemos un conjunto denso B ⊆ X . Cualquiera que sea esteconjunto, debe contener, necesariamente, al menos un punto en B x, 12 para toda x ∈ A,por lo que dicho conjunto B no puede ser numerable.

8


9/62

La estructura de los abiertos y cerrados en espacios métricos arbitrarios puede ser muycomplicada. Incluso en Rn podemos encontrar muy dif́ıcil el dar una descripci´ on geométri-ca. Sin embargo, en R con la métrica euclideana, la estructura de los abiertos es particu-larmente simple.

Teorema 1.7. Todo abierto en R es la uni´ on de un n´ umero a lo m´ as numerable de intervalos ajenos.

Demostraci ón . Sea G ∈R un abierto, y x ∈ G. Como x es punto interior de G, existenecesariamente un intervalo abierto B(x, r ), con r > 0, totalmente contenido en G, esdecir, B (x, r ) ⊆ G. Denimos para x el siguiente conjunto:

I x = B(y, r ) ⊂ G|x ∈ B(y, r )En palabras, denimos a I x como la unión de todos los intervalos abiertos que contienena x, y que están totalmente contenidos en G. Sean ahora a = ı́nf I x , b = sup I x (puedesuceder que a = −∞, b = ∞). Tenemos que demostrar que I x es en śı un intervalo, dehecho, I x = ( a, b).La primera parte es clara, I x ⊆ (a, b). Sea ahora y ∈ (a, b), y supongamos, sin pérdidade generalidad, que a < y < x . En esta situaci´on, existe y′ ∈ G tal que a < y ′ < y , ypor tanto, existe un intervalo ( x1, x2) ⊆ G que contiene tanto a x como a y′, y además,y ∈ (x1, x2). Pero esto último implica que y ∈ I x . Por tanto, ( a, b) ⊆ I x .Ahora bien, dados x ̸= y ∈ G, los intervalos correspondientes I x e I y son ajenos o coinci-den. Y G puede escribirse como una uni ón de intervalos abiertos G =

x

∈

G

. Para demostrar

que esta uni ón es a lo más numerable, podemos poner en correspondencia a cada I x conun subconjunto propio de los racionales, esto es, para cada I x elegimos q x ∈ I x ∩Q, y launión anterior es a lo más numerable.

1.2.1. Compacidad

Denici´ on 1.9. Sean Y ⊆ X espacios métricos. Un conjunto E ⊆ Y es abierto relativoen Y si y sólo śı E = Y ∩G, para alg ún subconjunto abierto G ⊂ X .Denici´ on 1.10. Sea A ⊆ X . Una cubierta abierta de E es una colección {Gα |α ∈ Λ}de abiertos en X tales que E ⊆α∈Λ G

α .

Denici´ on 1.11. Diremos que un subconjunto K ∈ X , X espacio métrico, es compactosi toda cubierta abierta de K contiene una subcubierta nita.

9


10/62

Es pertinente observar que los conceptos de subconjuntos abiertos y cerrados son relativos,es decir, dependen del espacio métrico en donde se encuentran. Por otra parte, el conceptode compacidad es hasta cierto punto, independiente del espacio métrico, como muestra elsiguiente resultado.

Teorema 1.8. Sean X, Y espacios métricos, y K ⊆ Y ⊆ X . K es compacto en Y si y s´ olo śı K es compacto en X .Demostraci ón . ⇒) Sea {Gα |α ∈ Λ}una cubierta abierta de K en X . Para cada abiertoGα ⊆ X , el conjunto V α = Y ∩ Gα es abierto relativo en Y , y dene una cubiertaabierta de K en Y . Ahora, como K ⊆ Y es compacto, podemos extraer una subcubiertanita V α 1 , V α 2 , . . . , V α n tal que K ⊆

n

k=1

V α k . Pero entonces, como ∪nk=1 V α k ⊆

n

k=1

Gα k ,

Gα 1 , Gα 2 , . . . , G α n es una subcubierta nita de K ⊆ X , y por tanto, K es compacto enX .⇐) Consideremos ahora una cubierta abierta de K en Y , {V α |α ∈ Λ}. Los subconjuntosV α son abiertos relativos en Y , por lo que existen subconjuntos abiertos Gα ⊆ X tales queV α = Y ∩Gα . Ahora, y dado que K ⊆ X es compacto, podemos extraer una subcubiertanita Gα 1 , Gα 2 , . . . , G α n tal que K ⊆

n

k=1

Gα k . Pero entonces

K = K ∩Y ⊆n

k=1

Gα k ∩Y =n

k=1

V α k

y V α 1 , V α 2 , . . . , V α n es una subcubierta nita de K en Y , y K es compacto en Y .

Teorema 1.9. Si un subconjunto K de un espacio métrico X es compacto, entonces es cerrado.

Demostraci ón . Vamos a demostrar que el complemento de K en X es abierto. Conside-remos x ∈ X \K = K c, y para cada y ∈ K , sea ry = 12 d(x, y), y construimos las siguientesbolas: Gy = B(y, r y), V y = B(x, r y). Por la elección de r y , es claro que Gy ∩V y = ∅. Dadoque la colección {Gy|y ∈ K } es una cubierta abierta de K , podemos extraer un n´umeronito de puntos y1, y2, . . . , yn tales que K ⊆ G =

n

k=1

Gyk . Pero entonces, V =n

k=1

V yk es

abierto, y

G ∩V = n

k=1

Gyk n

k=1

V yk =n

k=1

Gykn

k=1

V yk ⊆

n

k=1

Gyk ∩V yk = ∅por lo que cada x ∈ K c es punto interior de K c, y por tanto, K c es abierto.

10


11/62

Teorema 1.10. Sea A ⊆ K cerrado, K compacto. Entonces A es compacto.Demostraci ón . A es cerrado. Consideremos Γ = {Gα |α ∈ Λ} una cubierta abierta deA. Si a Γ le agregamos K

\A (que es abierto en K ), obtenemos una cubierta abierta de K , y

dado que K es compacto, podemos extraer una subcubierta nita {Gα 1 , Gα 2 . . . , Gα n , K \A} tal que K ⊆

n

k=1

Gα k ∪K \A. Pero si de esta subcubierta nita quitamos K \A, nosqueda una subcubierta nita para A.

El siguiente resultado es consecuencia inmediata de los dos teoremas anteriores.

Corolario 1.11. Si A es cerrado y K compacto, entonces A ∩K es compacto.Teorema 1.12. Sea {K α |α ∈ Λ} es una colecci´ on arbitraria de subconjuntos compactos no vacios en un espacio métrico X , con la propiedad de que la intersecci´ on de cualquier subcolecci´ on nita de ellos es no vacia, entonces

α∈Λ

K α ≠ ∅Demostraci ón . Fijemos K ∈ {K α}, y consideremos los abiertos Gα = X \K α . Supon-gamos que ningún x ∈ K está en

α

K α (esto es, suponemos queα∈Λ

K α = ∅). En estasituaci ón, es claro que {Gα |α ∈ Λ} es una cubierta abierta de K 1, y por tanto existenGα 1 , Gα 2 , . . . , G α n tales que K

⊆

n

k=1

Gα k =n

k=1

X

\K α k . Pero esta última igualdad implica

que la intersecci ón nita, n

k=1

K α k ∩K = ∅, en contra del supuesto original.

Corolario 1.13. Si {K n |n ∈ N} es una colecci´ on numerable de compactos no vacios,tales que K n +1 ⊆ K n , entonces

∞

n =1

K n ≠ ∅.

Demostraci ón . Sea K n 1 , K n 2 , . . . , K n k una subcolección nita de compactos en la co-lección numerable. Si es necesario, reordenamos los ı́ndices de manera que n1 < n 2 < . . . <

nk . Por hip ótesis, K n r ⊆ K n s si nr < n s , por lo que la colección nita tiene intersecci´onno vacia. Como se cumplen las hip ótesis del teorema 1.12 , se sigue el corolario.Teorema 1.14. Si A ⊆ K es innito, entonces A tiene un punto ĺımite x ∈ K .

1 X = ∅c = ∩α ∈ Λ K αc

=∪

α ∈ Λ K c

α =∪

α ∈ Λ G α

11


12/62

Demostraci ón . Supongamos que ningún x ∈ K es punto ĺımite de A. Entonces, paratodo x ∈ K , existen bolas abiertas B (x, r x) tales que B̊ (x, r x ) ∩A = ∅, esto es B (x, r x ) ∩A = {x} si x ∈ A, y B (x, r x ) ∩A = ∅ si x /∈ A. Pero la colección B (x, r x ) es una cubiertaabierta de K , y en esta situaci ón no podemos extraer una cubierta nita que cubra a A,ni a K , lo cual contradice la compacidad de K .

1.3. Continuidad

Denici´ on 1.12. Sean X e Y dos espacios métricos, y f : X → Y . Diremos que f es continua en x0 ∈ X si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X condX (x0, x) < δ , entonces dY (f (x0), f (x)) < ε . Además, si f es continua para todo x ∈ X ,diremos que f es continua en X .Ejemplo 1.14. Sea X = Y = Rn , X con la métrica discreta, e Y con la métrica eucli-deana. Entonces no importa como se dena f : X → Y , f es continua.Teorema 1.15. Dados X, Y espacios métricos, y f : X → Y . Son equivalentes:

(i) f es continua en X

(ii) Para todo A ⊆ Y abierto, f −1(A) es abierto en X .(iii ) Para todo A ⊆ Y cerrado, f −1(A) es cerrado en X .Demostraci ón . Por el teorema 1.3 , (ii) e (iii ) son equivalentes.

(i) ⇒ (ii)) Supongamos f continua, y sea A ⊆ Y abierto, e y ∈ f −1(A), esto es, f (y) ∈ A.Ahora bien, A es abierto, por lo que existe ε > 0 tal que B(f (y), ε) ⊆ A, y como f es continua, podemos elegir δ > 0 tal que, para cualquier x con d(y, x) < δ , entoncesd(f (y), f (x)) < ε , y por tanto, f (x) ∈ A, de donde se sigue que x ∈ f −1(A), es decir, xes punto interior de f −1(A).(i) ⇒ (ii)) Sean x ∈ X yε > 0, y consideremos la bola A = B(f (x), ε) ⊆ Y , que es abiertoen Y . Por hip ótesis, f −1(A) ⊆ X es abierto, y existe δ > 0 tal que si y cumple d(x, y) < δ ,entonces f (y) ∈ A, es decir, d(f (x), f (y)) < ε , por lo que f es continua en x.Observaci´ on 1.1. El teorema arma que f es continua si f −1(A) es abierto (cerrado)siempre que A sea abierto (cerrado). No menciona a la imagen directa. En efecto, lafunción f : R → R, f (x) = x0 es continua. Sin embargo, manda a todo intervalo abierto(a, b) a un sólo punto (que es cerrado).Otro contraejemplo lo constituye la funci´ on f : R2 → R, f (x, y) = x (la proyección enla primera coordenada), que manda el conjunto {(x, y) ∈ R2|xy = 1} (cerrado) en R \ 0(abierto).

12


13/62

Teorema 1.16. Sean X,Y,Z espacios métricos. Si f : X → Y es continua en x, y g : Y → Y es continua en f (x), entonces g ◦ f es continua en x.Si f es continua en X , y g es continua en Y , entonces g ◦ f es continua en X .Demostraci ón . Supongamos que f e continua en x, y g es continua en y = f (x),y sea ε > 0. Por la continuidad de g en y, existe δ ′ > 0 tal que si dY (y, y1) < δ ′,entonces dZ (g(y), g(y1)) < ε . Para la δ ′ anterior, existe δ > 0 tal que si dX (x, x 1) < δ ,entonces dY (f (x), f (x1)) < δ ′. Pero lo anterior siginica que si dX (x, x 1) < δ , entoncesdz(g ◦f (x), g ◦f (x1) < ε , y por tanto, g ◦f es continua en x. Finalmente, y dado quex ∈ X fue arbitraria, de aqúı se sigue la segunda parte del teorema.Denici´ on 1.13. f : X → Y es uniformemente continua si para todo ε > 0. existe δ > 0tal que para todos los x, y ∈ X que cumplan dX (x, y) < δ , entonces dY (f (x), f (y)) < ε .Denici´ on 1.14.

Una función entre espacios métricos f : X → Y biyectiva, continua ycon inversa continua es un homeomorsmo, y se denota X ≈ Y .Si la función f : X → Y es biyectiva, uniformemente continua y con inversa uniforme-mente continua, diremos que X e Y son uniformemente homeomorfos , y lo denotaremosX

u

≈ Y .A priori , existe la inversa. Sin embargo, no necesariamente es continua, como se muestraenseguida.

Ejemplo 1.15. Sean X = Y = Rn , con dX la métrica discreta, y dY la métrica euclideana.La función I d : X

→ Y es biyectiva, continua, pero la inversa no es continua.

Ejemplo 1.16. Sea f : [0, 1) → S1, donde S1 = {x ∈ R2|x21 + x22 = 1}, y f la funciónf (t) = (cos 2 πt, sin2πt ). Es claramente continua, biyectiva, y la inversa no es continua en(1, 0). En efecto, las imágenes de vecindades del (1, 0) son intervalos ajenos.

Ejemplo 1.17. Ahora veamos un homeomorsmo uniforme. Sean X = Y = Rn , condX = d1, dY = d2, y la identidad (como conjunto de puntos) de Rn . En el ejemplo 1.9demostramos la siguiente desigualdad, válida para todos x, y ∈ X :

1n

d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ nd2(x, y)

Con estas desigualdades, podemos demostrar que X u≈ Y . En efecto, dado ε > 0, entonces,para todos x, y ∈ X , d2(f (x), f (y)) = d2(x, y) < ε implica que 1n d1(x, y) ≤ d2(x, y). Siescribimos δ = nε, esto muestra que id : X → Y es uniformemente continua.Si ahora consideramos f −1 = f , dado ε > 0, para todos x, y ∈ Y , d1(f (x), f (y)) =d1(x, y) < ε implica que d2(x, y) ≤ d1(x, y). Por tanto, δ = ε muestra que la inversa esuniformemente continua.

13


14/62

Ejemplo 1.18. Consideremos para este ejemplo a X = Y = Rn , con dX la métricaeuclideana, y dY la métrica denida por dY (x, y) =

dX (x, y)1 + dX (x, y)

. La función entre los

espacios es de nuevo la identidad. Consideremos adem´as que, para x

≥ 0, la función

x → x1 + x es estrictamente creciente, por lo que al aplicarla a una desigualdad, la respeta,es decir, si x < y , entonces

x1 + x

< y1 + y

. Además, la inversa es x → x1 −x

, que tambíen

es creciente.

x

y

1

x

1+ x

1

x

1− x

Figura 2: x → x1 + x

, x → x1 −x

Sean ahora ε > 0 y x ∈ Y . Entonces, para todo y ∈ Y tal que dY (f (x), f (y)) < ε , setiene:dY (f (x), f (y)) = dY (x, y) = dX (x, y)1 + dX (x, y)

< ε =⇒dX (x,y )

1+ dX (x,y )

1 − dX (x,y )1+ dX (x,y )= dX (x, y) <

ε1 −ε

por lo que, si consideramos δ = mı́n {1, ε1−ε}, se tiene que f es continua.Para la inversa, sean x ∈ X y ε > 0. Para todo y ∈ X tal que dX (f −1(x), f −1(y)) < ε ,entonces

dX (f −1(x), f −1(y)) = dX (x, y) < ε =⇒

dY (x, y) = dX (x, y)

1 + dX (x, y) <

ε

1 + ε < ε

Y si hacemos δ = ε1+ ε , lo anterior muestra que f −1 es continua. Por tanto, X ≈ Y .Con base en estos ejemplos, podemos volver a enunciar (y renar) de nuevo la denici´on1.2 .

14


15/62

Denici´ on 1.15. Sean d1, d2 dos métricas en un espacio métrico X . Diremos que d1 esequivalente a d2 si id : (X, d 1), → (X, d 2) es un homeomorsmo.Además, d1 es uniformemente equivalente a d2 si id : (X, d 1), → (X, d 2) es un homeomor-smo uniforme.Denici´ on 1.16. Sean X , Y dos espacio métricos. Una funci ón f : X → Y es unaisometŕıa si para todos x, y ∈ X , dX (x, y) = dY (f (x), f (y)). En esta situaci´on, diremosque X e Y son isométricos .Si dos espacios métricos son isométricos, signica que todas las relaciones métricas coin-ciden, y sólo la naturaleza de sus elementos es diferente. Desde el punto de vista de lateoŕıa, los espacios son indistinguibles.

Ejemplo 1.19. X = R2 con la métrica euclideana, es isométrico a C, con la métricainducida por la norma:

∥z

∥

= √ z ̄z , es decir, dC(z, w) =√

(z

−w)(z

−w). La isometrı́a

es (x, y) → x + iy.El concepto de compacidad, cuando se une al de continuidad, nos proporciona resultadosútiles.

Teorema 1.17. Si f : X → Y es continua, X, Y espacios métricos, y X compacto,entonces f (X ) es compacto.Demostraci ón . Sea {Gα |α ∈ Λ} una cubierta abierta de f (X ). Como f es conti-nua, se sigue del teorema 1.15 que f −1(Gα ) es abierto en X , y {f −1(Gα )} es una cu-bierta abierta de X . Por la compacidad de X , podemos extraer una subcubierta nitaf −1(Gα 1 ), . . . , f −1(Gα 1 ) tal que X =

n

k=1

f −1(Gα k ). Por tanto,

f (X ) = f n

k=1

f −1(Gα k ) =n

k=1

f f −1(Gα k ) =n

k=1

Gα k

y Gα 1 , . . . , G α 1 es una subcubierta nita de f (X ), y por tanto, f (X ) es compacto.

Teorema 1.18. Si f : X → Y , X, Y espacios métricos compactos, y f continua y biyec-tiva, entonces X ≈ Y .

Demostraci ón . Como hemos comentado antes, el que f sea biyectiva nos asegura laexistencia de la inversa. Tenemos que mostrar que la inversa, f −1, es continua en Y . SeanA ⊆ X cerrado, y f (A) su imagen en A. Por ser A cerrado en un compacto, es compacto(teorema 1.10 ), y por el teorema 1.17 , f (A) es compacto, y por tanto cerrado en Y (denuevo por el teorema 1.10 ). Esto es, la imagen inversa (y aqúı estamos usando a f comola inversa de f −1) de un cerrado A ⊆ X es cerrado en Y . Se sigue del teorema 1.15 quef −1 es continua, y por tanto, f es un homeomorsmo entre X e Y .

15


16/62

1.4. Convergencia

Denici´ on 1.17. Una sucesi´ on en un espacio métrico es una una función a : N → X .Por lo regular, denotaremos a las sucesiones por sus imágenes, y en lugar de utilizar lanotaci ón funcional, usaremos sub́ındices, {an}.Denici´ on 1.18. Diremos que una sucesi ón {an} ⊆ X converge si existe x ∈ X tal quepara todo ε > 0, existe N > 0 tal que si n ≥ N , entonces dX (x, a n ) < ε .Si {an} no converge, diremos entonces que diverge .Notaci´ on. Para denotar que la sucesión {an} converge, utilizaremos de manera indistintalas siguientes notaciones:

an → xan → x cuando n → ∞ĺımn→∞an = x

De manera an áloga, será indistinto decir {an} converge hacia x, o que x es el ĺımite de{an}.Teorema 1.19. Sea {an} ⊆ X .

(i) {an}converge hacia x ∈ X si y s´ olo śı toda vecindad de x contiene todos los términos de {an} salvo un n´ umero nito de ellos.

(ii) Si an → x y an → y, entonces x = y.(iii ) Si an converge, entonces {an} es acotado.(iv ) Si A ⊆ X y x es punto ĺımite de de A, existe una sucesi´ on {an} ⊆ A para la cual an → x.

Demostraci ón . (i) ⇒) Sea A un abierto que contiene a x. Por ser x punto interior,existe una bola con centro en x de radio ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ A. Pero por hip ótesis,{an} converge a x, por lo que existe N > 0 tal que si n ≥ N , d(x, a n ) < ε , por lo que,necesariamente, an ∈ B(x, ε) ⊆ A siempre que n ≥ N .(i) ⇐) Sean ε > 0, A = B(x, ε). Denamos ahora N = m áx{n ∈N|an /∈ A}. Tal N existey es nito, dado que por hip ótesis sólo un número nitos de términos de la sucesión noestán en A. Por tanto, si n ≥ N , d(x, x n ) < ε , y por tanto, ĺımn→∞an = x(ii) Sea ε > 0. Como {an} → x, existe N 1 > 0 tal que si n ≥ N 1, d(x, a n ) < ε . Además,{an} → y, por lo que existe N 2 > ) tal que si n ≥ N 2. Sea ahora N = m áx{N 1, N 2}, y sin ≥ N , d(x, y) ≤ d(x, a n ) + d(y, a m ) < 2ε. Pero esto último implica que x = y.

16


17/62

(iii ) Sea ε > 0, y dado que {an} converge a x, existe N > 0 tal que si n ≥ N , entoncesd(x, a n ) < ε . Consideremos M = m áx1≤k≤N {d(x, a n )}. Se sigue de lo anterior que {an} ⊆

B(x, r ), donde r = m áx{M, ε}.(iv ) Para cada n ∈ N, consideremos B̊ x, 1n . Se sigue del teorema 1.2 que hay unainnidad de puntos de A en B̊ x, 1n ∩A ̸= ∅. Por tanto, para cada n, podemos elegir andistinto de ak , para 1 ≤ k < n . Sea ahora ε > 0, y N > 0 tal que N > 1ε . Si n ≥ N ,an ∈ B̊ x, 1n ∩ A por la construcci ón anterior, es decir, d(x, a n ) ≤ 1n ≤ 1N < ε , y portanto, an → x.Teorema 1.20. Sean X, Y espacios métricos. f : X → Y es continua si y s´ olo śı siempre que an → x, entonces f (an ) → f (x).Demostraci ón . ⇒) Sea ε > 0. Como f es continua, existe δ > 0 tal que siempreque d(x, y) < δ , entonces d(f (x), f (y)) < ε . Además, an → x, por lo que dada δ > 0,existe N > 0 tal que si n ≥ N , d(x, a n ) < δ , y por la primera parte, se sigue qued(f (x), f (an )) < ε .⇐) La demostraci ón es indirecta. Supongamos que an → x, y que f no es continua, esdecir, existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, si d(x, y) < δ , entonces d(f (x, f (y)) ≥ ε. Peroesto quiere decir que aunque d(x, a n ) < δ , d(f (x), f (an )) ≥ ε, por lo que suponer que f no es continua, muestra que {f (an )} no converge a f (x).Con la teoŕıa de conjuntos compacto que hemos visto, podemos probar el siguiente resul-tado:

Teorema 1.21. Si K ⊆ X es compacto, entonces toda sucesi´ on {an} ⊆ K tiene una subsucesi´ on {an k } que converge a x ∈ K .Demostraci ón . {an} ⊆ K es innito, y por el teorema 1.14 , tiene un punto de acu-mulación x ∈ K . Y por el teorema 1.19 , existe una sucesi ón {an k } ⊆ {an} tal quean k → x.De hecho, el teorema 1.21 puede enunciarse como una equivalencia. Por el momento,no contamos con las herramientas para demostrar esta equivalencia, pero más adelanteregresaremos a ésta.

17


18/62

2. Convergencia Uniforme

2.1. Criterio de Cauchy

Denici´ on 2.1. Una sucesión {an} ⊆ X es fundamental (o de Cauchy ) si y sólo śı paratodo ε > 0 existe N > 0 tal que si n, m ≥ N , entonces d(an , am ) < ε .A continuaci ón se muestran algunas propiedades importantes de las sucesiones fundamen-tales.

Proposici´ on 2.1. (i) Una sucesion {an} ⊆ X convergente a x es fundamental.(ii) Una sucesion fundamental {an} ⊆ X es acotada.

(iii ) Si f : X

→ Y es uniformemente continua, y

{an

} ⊆ X es fundamental, entonces

{f (an )} ⊆ Y es fundamental.(iv ) Si {an} ⊆ X es fundamental, y existe una subsucesi´ on {an k } ⊆ {an} tal que an k →x, entonces an → x.

Demostraci ón . (i) Por ser la sucesi ón convergente a x, dado ε > 0, existe N > 0 talque si n ≥ N , entonces d(x, a n ) < ε . Sean por tanto n, m ≥ N :

d(an , am ) ≤ d(an , x) + d(am , x) < 2ε(ii) Es un ejercicio sencillo (vea el Teorema 1.19 , iii).

(iii ) Supongamos que f es u. c., y sea ε > 0. Existe δ > 0 tal que para todas x, y ∈ X quecumplan con dX (x, y) < δ , entonces dY (f (x), f (y)) < ε . Y dado que {an} es fundamental,por lo que para la δ > 0 dada, existe N > 0 tal que si n, m ≥ N , entonces dX (an , am ) < δ .Pero esto último implica que dY (f (an ), f (am )) < ε .(iv ) También es un ejercicio sencillo.

Por supuesto, el converso de 2.1 i no es cierto.

Ejemplo 2.1. Sea Q ⊆ R, con la métrica inducida como subespacio de R. La sucesióndenida por:a1 = 2an = an−1 +

1n!

es una sucesión fundamental en Q. En efecto, el n –ésimo término de la sucesi´on es:

an = 2 + 12!

+ 13!

+ 14!

+ . . . + 1n!

18


19/62

que es racional. Pero la sucesi ón aśı construida no converge en Q. Mostremos que esfundamental. Sea ε > 0, y N sucientemente grande tal que

1N !

< ε . Entonces, si n, m ≥N , podemos suponer sin pérdida de generalidad que n > m , y si tenemos en cuenta que

en esta situaci ón:

n! = n(n −1)(n −2) · · ·(m + 2) m! > m n−m m! =⇒|an −am | =

1(m + 1)!

+ 1

(m + 2)! +

1(m + 3)!

+ . . . + 1n!

= 1

(m + 1)! +

1(m + 2)( m + 1)!

+ . . . + 1

n(n −1) · · ·(m + 1)!≤

1(m + 1)!

+ 1

m(m + 1)! +

1m2(m + 1)!

+ . . . + 1

mn−m (m + 1)!

= 1

(m + 1)! 1 + 1m +

1m2 + . . . +

1mn−m =

1(m + 1)!

1

− 1

m m − n +1

1 − 1m≤

1(m + 1)!

11 − 1m

= 1

(m + 1)!m

m −1 ≤ 1

(m −1)m!≤

1(m −1)N ! ≤

ε(m −1)

< ε

2.2. Espacios métricos Completos

Denici´ on 2.2. Un espacio métrico X es completo si y sólo śı cualquier sucesi ón funda-mental

{an

} ⊆ X converge a x

∈ X .

Ejemplo 2.2. Muchos de los espacios métricos que vimos en la sección correspondienteson completos. Por ejemplo, X = C [a, b] (el espacio de todas las funciones continuas delintervalo [a, b] a R), con la métrica del supremo d(f, g ) = sup

t∈[a,b]|f (t) −g(t)| es completo.

Para checar esta armaci´ on, sea ε > 0, y una sucesión fundamental {f n} ⊆ C [a, b]. Paracada t ∈ [a, b], |f n (t) −f m (t)| ≤ d(f n , f m ) < ε , lo que implica que la sucesión {f n (t)}es una sucesión fundamental en R. Si denimos f (t) = ĺım n→∞f n (t), el razonamientoanterior nos muestra que f n (t)

u

→ f (t). Y es un resultado conocido de c álculo que el ĺımiteuniforme de una sucesi ón de funciones continua es continua.Proposici´ on 2.2. Sea X un espacio métrico compacto. Entonces X es completo.

Demostraci ón . Sea {am} ⊆ X fundamental en un métrico compacto. Por el teorema1.21 , existe una subsucesi ón {an k } ⊆ {an} que converge a x ∈ X , y por el teorema 2.1 ,se sigue qeu {an} converge a x. Por tanto, X es completo.Proposici´ on 2.3. (i) Sean Y ⊆ X , Y completo. Entonces Y es cerrado.

19


20/62

(ii) Sean Y ⊆ X , Y cerrado y X completo. Entonces Y es completo.Demostraci ón . (i) Supongamos que Y es completo, y sea x ∈ Y ′. Por el teorema 1.19iv , podemos construir uns sucesi ón

{an

} ⊆ Y tal que an

→ x. Como la sucesión converge,

es fundamental, y dado que Y es completo, {an} → y ∈ Y . De nuevo, por 1.19 ii, x = y,por lo que x ∈ Y , e Y es cerrado.(ii) Supongamos que Y ⊆ X , X completo. Sea {an} ⊆ Y ⊆ X fundamental. Como X escompleto, an → x, por lo que x ∈ Y ′. Por otra parte, Y es cerrado, por lo que x ∈ Y ′ ⊆ Y ,y se sigue que Y es completo.De los resultados en la sección de topoloǵıa, vimos que si f : X → Y es un homeomorsmo,entonces X es compacto si y sólo śı Y es compacto. Sin embargo, con los espacios completoses necesario pedir una condici ón más fuerte.

Teorema 2.4. Sean X e Y uniformemente homeomorfos. Entonces X es completo si y s´ olo śı Y es completo.

Demostraci ón . Supongamos X completo, y sea {yn} ⊆ Y fundamental. Dado que lainversa de f , f −1 es uniformemente continua, {f −1(yn )} ⊆ X es fundamental ( 2.1 , iii).Ahora X es completo, por lo que f −1(yn ) → x ∈ X . Finalmente, como f es continua, sesigue de f f −1(yn ) = yn → f (x) ∈ Y , por lo que Y es completo.Teorema 2.5. Sean A ⊆ X denso, Y completo y f : A → Y uniformemente continua.Entonces existe una ´ unica funci´ on uniformemente continua F : X → Y tal que F (x) =f (x) para todo x

∈ A.

Antes de probar el teorema, demostramos el siguiente lema, mismo que nos permitir´ ademostrar la unicidad de tal funci´on.

Lema 2.6. Sean A ⊆ X denso, f , g : X → Y continuas. Si f (x) = g(x) para toda x ∈ A,entonces f = g.Demostraci ón . Si A ⊆ X es denso, para cualquier x ∈ X podemos construir unasucesión {an} ⊆ A tal que an → x. Además, an → x implica, por el teorema 1.21 , quef (an ) → f (x) y g(an ) → g(x). Dado ε > 0,

dY (f (x), g(x)) < d Y (f (x), f (an )) + dY (f (an ), g(an )) + dY (g(an ), g(x))

Y observamos que dY (f (x), f (an )) y dY (g(x), g(an )) los podemos hacer tan pequeos comoqueramos, por la convergencia de f (an ) y g(an ), mientras que dY (f (an ), g(an )) = 0 porhipótesis. Por tanto, f (x) = g(x) para todo x ∈ X .

20


21/62

Demostracio ń (Teorema 2.5 ) . Existencia Sean {an} ⊆ A convergente a x ∈ X , yε > 0. Por ser f uniformemente continua en A, existe δ > 0 tal que siempre que x, y ∈ Acon dX (x, y) < δ , entonces dY (f (x), f (y)) < ε . Ahora, para δ > 0 existe N > 0 tal que sin, m

≥ N , entonces dX (an , am ) < δ , y por lo anterior, dY (f (an ), f (am )) < ε , por lo que

{f (an )} ⊆ Y es fundamental, y además, Y es completo, por lo que f (an ) → y.Denimos F (x) = y = ĺım

n→∞an .

Para demostrar que la función F está bien denida, consideremos otra sucesión {bn} ⊆ Aconvergente a x. La sucesión c2n = bn , c2n−1 = an converge a x, por lo que {f (cn )} ={f (a1), f (b1), f (a2), f (b2), . . .} es una sucesión fundamental en Y . Pero la subsucesi ón{f (c2n−1)} = {f (an )} converge a y. Por tanto, tanto la sucesi´ on {cn} como la subsucesión{bn} convergen a y, y F no depende de la sucesión convergente que elijamos.Si x ∈ A, la sucesión constante an = x para todo n converge a x, por lo que F (x) = f (x)para todo x

∈ A.

Para probar la continuidad uniforme, sean x, x′ ∈ X , y {xn}, {y′n} ⊆ A tales que xn → x,x′n → y′. Por lo anterior,F (x) = y = ĺım

n→∞f (xn )

F (x′) = y′ = ĺımn→∞

f (x′n ) =⇒dY (y, y′) ≤ dY (y, f (xn )) + dY (f (xn ), f (x′n )) + dY (f (x′n ), y′)

Y cada término lo podemos hacer menor a ε3

. El primero y el tercero, por la forma en quedenimos F , mientras que el segundo término, debido a que f es uniformemente continua

en A.Unicidad Aplicación directa del lema 2.6 .

Teorema 2.7 (Lema de Urisohn) . Sean S, T ⊂ X subespacios cerrados, ajenos no vacios.Entonces existe una funci´ on f : X →R continua tal qeu f (S ) = 0 , f (T ) = 1 .Para demostrar este teorema, vamos a probar un lema que contiene algunas propiedadesinteresantes de la función ρ(x, A) = ı́nf

y∈A{d(x, y)}.Lema 2.8. (i) S ⊆ X es cerrado si y sólo si ρ(x, S ) > 0 para todo x ∈ X \S .

(ii) Si T

⊆ X es cerrado no vacio, entonces para todo x, y

∈ X ,

|ρ(x, T )

−ρ(y, T )

| ≤d(x, y)(iii ) Si S ⊆ X es cerrado no vacio, entonces f : X → R, f (x) = ρ(x, S ) es uniforme-mente continua.(iv ) Si S, T ⊆ X son cerrados, ajenos no vacios, entonces ρ(x, S ) + ρ(x, T ) > 0 para todo x ∈ X .

21


22/62

Demostraci´ on. (i) ⇒) Si S ⊆ X es cerrado, entonces su complemeto X \S es abierto, ycualquier punto x ∈ X \S es punto interior, por lo que existe r > 0 tal que B(x, r ) ⊆ X \S .Por tanto, ρ(x, S ) ≥ r > 0.

⇐) Si ρ(x, S ) = r > 0, B(x,r/ 2) ⊆ X \S , por lo que x es punto interior de X \S . Portanto, X \S es abierto, y S es cerrado.(ii) Sean x, z ∈ X \S .

ρ(x, S ) = ı́nf y∈S {d(x, y)} ≤́ınf y∈S {d(x, z ) + d(z, y)} = d(x, z ) + ı́nf y∈S {d(z, y)}

= d(x, z ) + ρ(z, S ) ⇒ ρ(x, S ) −ρ(z, S ) ≤ d(x, z )De manera an áloga, ρ(z, S ) −ρ(x, S ) ≤ d(x, z ).(iii ) Sea ε > 0, y x, y ∈ X tales d(x, y) < ε . Por ( ii),

d(f (x), f (y)) = |ρ(x, S ) −ρ(y, S )| ≤ d(x, y) < εy f es uniformemente continua.

(iv ) Si x ∈ S , x ∈ X \T , que es abierto, y por ( i), ρ(x, T ) > 0. De la misma forma, six ∈ T , entonces ρ(x, S ) > 0. Finalmente, si x /∈ S ∪T , x ∈ S c ∩T c, que es abierto. Portanto, d(x, S ) > 0 y d(x, T ) > 0.Demostraci ón, Lema de Urisohn . Sea f : X →R:

f (x) = ρ(x, S )

ρ(x, S ) + ρ(x, T )

Por el lema anterior, tenemos un cociente de funciones uniformemente continuas, y adem´ asel denominador nunca se anula, por lo que f ası́ denida es continua. Adem´as, es inmediatovericar que si x ∈ S , entonces f (x) = 0, y si x ∈ T , entonces f (x) = 1.Denici´ on 2.3. Sea X un espacio métrico. Un espacio métrico completo X ∗ es unacompletaci´ on de X si:

1. X ⊆ X ∗2. X es denso en X ∗.

El siguiente teorema es muy importante en la teoŕıa. La demostraci´ on, aunque extensa,es directa.

Teorema 2.9. Todo espacio métrico X posee una completaci´ on, y ésta es ´ unica dalvoisometrı́as que mandan a X en si mismo.

22


23/62

Demostraci ón (Existencia) . Sean {an}, {bn} ⊆ X sucesiones fundamentales. Dire-mos que {an}y {bn} son equivalentes si y sólo si ĺımn→∞d(an , bn ) = 0. La relaci ón esde equivalencia, como se puede probar f ácilmente. Por tanto, esta relaci´ on induce unapartici ón en el conjunto de todas las sucesiones fundamentales en X :

R = {{an} es sucesión fundamental }Consideremos X ∗ = R/ ∼, esto es, X ∗ consiste de las clases de sucesiones fundamentalesequivalentes. Ahora, denimos ρ : X ∗×X ∗ →R+ mediante:

ρ(x∗, y∗) = ĺımn→∞

d(xn , yn )

en donde {xn} ∈ x∗, {yn} ∈ y∗ son representantes de las clases de equivalencia x∗, y∗ ∈ X ∗.Tenemos que mostrar que ρ está bien denida, es decir, que existe el ĺımite anterior, yademás, no depende de los representantes que elijamos. Sean {xn} ∈ x∗, {yn} ∈ y∗.Entonces

|d(xn , yn ) −d(xm , ym )| = |d(xn , yn ) −d(xn , ym ) + d(xn , ym ) −d(xm , ym )|≤ |d(xn , yn ) −d(xn , ym )|+ |d(xn , ym ) −d(xm , ym )|≤ d(yn , ym ) + d(xn , xm ) < 2ε

pues las sucesiones {xn} e {yn} son fundamentales. Estas desigualdades implican que lasucesión {d(xn , yn )} ⊆R es fundamental, y R es completo, por lo que tiene sentido hablardel ĺımite. Si consideramos ahora {xn}, {x′n} ∈ x∗, {yn}, {y′n} ∈ y∗:|d(xn , yn ) −d(x′n , y′n )| = |d(xn , yn ) −d(x′n , yn ) + d(x′n , yn ) −d(x′n , y′n )|

≤ |d(xn , yn ) −d(x′n , yn )|+ |d(x′n , yn ) −d(x′n , y′n )|≤ d(xn , x′n ) + d(yn , y′n ) < 2εy esto quiere decir que la diferencia entre d(xn , yn ) y d(xm , ym ) la podemos hacer tanpequeña como queramos, siempre que {xn}, {x′n} ∈ x∗, {yn}, {y′n} ∈ y∗.La vericación de los axiomas de distancia es inmediata, y s´olo es ligeramente dif́ıcil ladesigualdad del tri ángulo. Si {xn} ∈ x∗, {yn} ∈ y∗ y {z n} ∈ z ∗, para todo n se tiene que:

d(xn , yn ) ≤ d(xn , z n ) + d(z n , yn ) ⇒ĺım

n→∞d(xn , yn ) ≤ ĺımn→∞d(xn , z n ) + ĺımn→∞d(z n , yn ) ⇒ρ(x∗, y∗) ≤ ρ(x∗, z ∗) + ρ(z ∗, y∗)Por tanto, X ∗ es un espacio métrico.

Veamos ahora que X ⊆ X ∗. A cada x ∈ X le ponemos en correspondencia la clase desucesiones equivalentes que convergen a él, es decir, {xn} tales que xn → x. Entonces,para x, y ∈ X , ρ(x∗, y∗) = ĺımn→∞

d(xn , yn )

23


24/62

Y por otra parte,

|d(x, y) −d(xn , yn )| = |d(x, y) −d(y, x n ) + d(y, x n ) −d(xn , yn )|≤ |

d(x, y)

−d(y, x n )

|+

|d(y, x n )

−d(xn , yn )

|≤ d(x, x n ) + d(y, yn ) < 2εlo qcual implica que X → X ∗, x → x∗ es una isometrı́a, e identicando a X con su imagenen X ∗, se tiene que X ⊆ X ∗.Para ver que X ⊆ X ∗ es denso, sean x∗ ∈ X ∗, ε > 0, y {xn} ∈ x∗. Dado ε > 0, existeN > 0 tal que si n, m ≥ N , entonces d(xn , xm ) < ε . Pero en este caso:

ρ(xn , x∗) = ĺımm→∞

d(xn , xm ) ≤ εy esto signica que cualquier vecindad de x∗ contiene innitos puntos xm ∈ X . Aśı, x∗ espunto ĺımite de X .Falta únicamente demostrar que X ∗ es completo. Sea {x∗n} ⊆ X ∗ una sucesión funda-mental (obsérvese que cada x∗n es una clase de equivalencia de sucesiones fundamentales).Dado que X ⊆ X ∗ es denso, para cada x∗n ∈ {x∗n}, podemos escoger x′n ∈ X tal queρ(x′n , x∗n ) <

1n

. Por tanto:

ρ(x′n , x′m ) ≤ ρ(x′n , x∗n ) + ρ(x∗n , x∗m ) + ρ(x∗m , x′m )<

1n

+ ε + 1m

< 3ε

y la sucesión {x′n} ⊆ X es fundamental, por lo que existe x∗ ∈ X ∗ tal que x′n → x∗.Faltaŕıa mostrar que x∗n → x∗. Peroρ(x∗n , x∗) ≤ ρ(x∗n , x′n ) + ρ(x′n , x∗) < 2ε

con lo que queda demostrada la existencia de la completaci´ on.

Unicidad . Sean X ∗, X ∗∗ dos completaciones de X . Por demostrar que existe ϕ : X ∗ →X ∗∗ isometrı́a tal que ϕ(x) = x para todo x ∈ X . Sea x∗ ∈ X . Existe {xn} ∈ X talque xn → x∗. Además, {xn} es fundamental en x∗. Y cada xn ∈ X ∗∗. Además, es claroque {xn} es fundamental en X ∗∗, y dado que X ∗∗ es completo, existe x∗∗ ∈ X ∗∗ tal quexn → x∗∗. Por otra parte, x∗∗ es independiente de la sucesi ón {xn}2Denamos ϕ(x∗) = x∗∗. Es claro que ϕ(x) = x si x ∈ X . Ahora, dadas sucesionesfundamentales {xn}, {yn} tales que xn → x∗, yn → y∗, y xn → x∗∗, yn → y∗∗, se tiene,por una parte

ρX ∗(x∗, y∗) = ĺımn→∞d(xn , yn )

2 Si {x ′n } es otra sucesi ón tal que x n → x∗∗ , entonces d(x n , x ′n ) ≤ ρ2 (x n , x ∗∗) + ρ2 (x ′n , x ∗∗) < 2ε paran sucientemente grande.

24


25/62

y por otra:ρX ∗∗(x∗∗, y∗∗) = ĺımn→∞

d(xn , yn )

Por tanto, ρX ∗(x∗, y∗) = ρX ∗∗(x∗∗, y∗∗), y ϕ es una isometrı́a.

Teorema 2.10. Un espacio métrico X es completo si y s´ olo śı cualquier sucesi´ on de bolas cerradas, anidadas y cuyos radios tiendan a cero, tiene intersecci´ on no vacia.

Demostraci ón . ⇒) Sean B1, B 2, . . . bolas cerradas tales que Bk+1 ⊆ Bk (esto es, Bk =B(xk , r k)), y cuyos radios tienden a cero. La sucesi ón formada por los centros de las bolases fundamental, daso que si n > m , Bn ⊆ Bm , y como ĺımn→∞

1n

= 0, d(xn , xm ) < r n . ComoX es completo, existe x ∈ X tal que xn → x. Esto nos dice que x es punto ĺımite de cadaBn , y Bn es cerrado, por lo que x ∈ Bn para toda n, de donde x ∈

∞

n =1

Bn , y la intersección

es no vacia.

⇐) Sea {xn} una sucesión fundamental. Dado ε1 = 12

, existe N 1 > 0 tal que si n ≥ N 1,d(xn , n1) < ε 1. Y hacemos B1 = B(xn 1 , 1). Ahora, para ε2 =

122

, existe n2 > 0, tal que si

n ≥ n2, d(xn , xn 2 ) < ε 2, y tomamos B2 = B(xn 2 , 12

). Una vez elegidos xn 1 , xn 2 , . . . , x n k , y

dado εk+1 = 12k+1

, podemos elegir xn k +1 de manera que si n ≥ nk+1 , d(xn , xn k +1 ) < ε k+1 ,y considerar Bk+1 = B(xn k +1 ,

12k

). De esta manera, construimos una sucesi´ on de bolas

cerradas, anidadas, y cuyos radio 12k → 0 si k → ∞. Sea x ∈∞k=1

Bk . Por la construcci ón,

x es punto ĺımite de la subsucesi´on xn k , que es subsucesión de una sucesión de Cauchy, ypor tanto, xn → x, y se sigue que X es completo.Para nalizar la sección, enunciamos y probamos el teorema de la Categoŕıa de Baire.

Teorema 2.11 (Baire) . Un espacio métrico completo X no es la unión numerable de conjuntos nunca densos.

Demostraci ón . Supongamos que X =

∞

n =1 An , donde cada an es nunca denso. Sea B0una bola cerrada de radio 1. Como A1 es nunca denso en B0, existe una bola cerrada B1cerrada, de radio menor a

12

, tal que B1 ⊆ B0, y Ai ∩B1 = ∅. Ahora bien, A2 es nuncadenso en B1, por lo que existe una bola cerrada B2 de radio menor a 13 2 tal que B2 ⊆ B1,y A2 ∩B2 = ∅. Procediendo de esta manera, construimos una sucesi´ on de bolas cerradas

25


26/62

{Bn}, anidadas, y tales que sus radios rn = 1n + 1 → 0 cuando n → ∞, y tales que

An ∩Bn = ∅. Por el teorema 2.10 , y dado que X es completo, existe x ∈∞

n =0

Bn . Pero por

la construcci ón, x /∈∞

n =1

An , y por tanto, X ⊈∞

n =1

An , lo cual es una contradicci ón.

2.3. Convergencia Uniforme

En esta secci ón, a diferencia del enfoque que se le ha dado al curso, nos limitaremos aestudiar sucesiones de funciones de R (o de un subconjunto A ⊆R) en R.Denici´ on 2.4. Consideremos una sucesi ón de funciones {f n |f n : A ⊆ R → R}, dondecada sucesión {f n (x)} converge (es decir, {f n (x)} es fundamental) para todo x ∈ A.Podemos por tanto denir una funci´ on f : A ⊆R →R con regla de correspondencia

f (x) = ĺımn→∞

f n (x)

y diremos que f es la funcíon ĺımite , o que f n converge puntualmente a f .

Es natural preguntarnos que propiedades tiene f . Si cada f n es (uniformemente) continua,integrable, diferenciable, ¿ f es (uniformemente) continua, integrable, diferenciable? ¿Bajo

que condiciones se cumple, por ejemplo, que ĺımn→∞∫ f n = ∫ ĺımn→∞f n = ∫ f ?, ¿o que

ĺımn→∞f ′n = ĺımn→∞f n ′ = f ′?Por ejemplo, para que f sea continua en x se debe cumplir que ĺım

t→xf n (t) = f (x). Y esto

es equivalente a que el siguiente ĺımite doble se pueda intercambiar:

ĺımt→x

f n (t) = ĺımt→x

ĺımn→∞

f n (t) = ĺımn→∞

ĺımt→x

f n (t) = ĺımn→∞

f n (x)

Antes de establecer las condiciones sucientes para garantizar el intercambio del ĺımitecon la integral o la derivada, o ambos lı́mites en el caso de la continuidad, mostraremosuna serie de ejemplos que demuestran que, en general, no podemos realizar la operaci´ on.

Ejemplo 2.3. Consideremos, para n ∈Z+ , f n : R →R, f n (x) = x2

1 + x2 n , y

gn (x) = f 0(x) + f 1(x) + . . . + f n (x) ⇒g(x) = ĺım

n→∞gn (x) = ĺım

n→∞

n

k=0

x2

1 + x2 k = x2 ĺım

n→∞

n

k=0

11 + x2 k

(2.1)

26


27/62

Es claro que si x = 0, gn (0) = 0, y por tanto, g(0) = 0. Sin embargo, si x ̸= 0, la fórmula(2.1) dene una serie geométrica de razón (1 + x2)−1 < 1, multiplicada por x2. Entonces

g(x) = x2

ĺımn→∞

n

k=0

1

1 + x2 k = x2

ĺımn→∞1

−(1 + x2)−n−1

1 −(1 + x2)−1= x2

11+ x2 −11+ x2

= x21 + x2

x2 = 1 + x2

con lo que vemos que la función ĺımite de una sucesión convergente de funciones continuasno necesariamente es continua.

Ejemplo 2.4. Consideremos ahora, para n ∈ N, f n : R → R, f n (x) = sen nx

√ n . Primeroobservamos que, dado ε > 0, podemos escoger N > 0 tal que

1√ N < ε . Entonces, si

n ≥ N , para toda x,sen nx

√ n ≤ 1

√ n < ε , lo que implica que f n (x) → 0. Además:

|f n (x) −f n (y)| ≤sen nx√ n −

sen ny√ n ≤

sen ny√ n +

sen ny√ n ≤

1√ n +

1√ n < 2ε

Si bien todav́ıa no hemos denido la convergencia uniforme, veremos m´ as adelante que estadesigualdad implica que f n converge uniformemente a f (x) = 0. En particular, f ′(x) = 0.Sin embargo, f ′n (x) = √ n cos nx , y

ĺımn→∞

f ′n (0) = ĺımn→∞√ n

no existe (o bien, el ĺımite tiende a

∞). Es decir, si aceptamos por un momento que

f nu

→ 0, ni siquiera la convergencia uniforme nos garantiza la convergencia de la derivada.Ejemplo 2.5. Para n ∈ N, sea f n : [0, 1] → R, f n (x) = nx(1 − x2)n . Si 0 < x ≤ 1,ĺımn→∞

f n (x) = 0 3, y además, f n (0) = 0, por tanto,

ĺımn→∞

f n (x) = 0 ∀x ∈ [0, 1]Ahora bien, si hacemos el cambio de variable u = 1 −x2, du = −2xdx, y

∫ 1

0x(1 −x2)n dx =

12 ∫

1

0un du =

12

un +1

n + 1

1

0=

12(n + 1) ⇒

ĺımn→∞∫ 1

0 f n (x)dx = ĺımn→∞n

2(n + 1) = 12

Y por otra parte, ∫ 1

0ĺım

n→∞f n (x) dx = 0.

3 Esta armación, aunque no muy obvia, se sigue del hecho de que ĺımn →∞

n α

(1 + p)n= 0, para α > 0,

p > 0

27


28/62

Con estos ejemplos es claro que no podemos intercambiar libremente los śımbolos de ĺımitecon el de otro ĺımite, o con la derivada o la integral. Necesitamos por tanto un tipo deconvergencia m ás estricto.

Denici´ on 2.5. Diremos que una sucesión de funciones {f n |f n : A ⊆ R → R}, convergeuniformemente en A a una función f si para todo ε > 0, existe un entero N > 0 tal quesi n ≥ N , entonces

|f n (x) −f (x)| < εpara todo x ∈ A.Toda sucesi ón de funciones uniformemente convergente es convergente, pero como quedaclaro de los ejemplos anteriores, la implicaci ón es en una sola dirección.

El siguiente es el criterio de Cauchy para convergencia uniforme.

Teorema 2.12. Una sucesi´ on de funciones {f n}, f n : A ⊆ R → R converge uniforme-mente en A si y s´ olo si para todo ε > 0 existe un N > 0 tal que si n, m ≥ N ,|f n (x) −f m (x)| < ε

para todo x ∈ A.Demostraci ón . ⇒) Si f n converge uniformemente a f , dado ε > 0, existe N > 0 talque si n ≥ N , |f n (x) −f (x)| < ε para todo x ∈ A. Entonces

|f n (x) −f m (x)| ≤ |f n (x) −f (x)|+ |f m (x) −f (x)| < 2εsiempre que n, m ≥ N , y para todo x ∈ A. ⇐) La condición de Cauchy implica que, paracada x ∈ A, {f n (x)}es una sucesión de Cauchy en R, y podemos denir f (x) = ĺımn→∞f n (x).Dado ε > 0, existe N > 0 tal que si n, m ≥ N , entonces |f n (x) −f m (x)| < ε . Ahora, paracada x ∈ A, existe nx ≥ N , tal que |f n (x) −f (x)| < ε . Por tanto, si n ≥ N y x ∈ A,

|f n (x) −f (x)| ≤ |f n (x) −f n x (x)|+ |f n x (x) −f (x)| < 2εy se sigue que f n converge uniformemente a f en A.

Teorema 2.13. Sea {f n : A ⊆ R → R}, tal que f n converge uniformemente. Sea x un punto ĺımite de A, y sup´ ongase que ĺımt→x

f n (t) = yn . Entonces la sucesi´ on

{yn

} converge, y

ĺımt→x

f (t) = ĺımn→∞

yn .

Demostraci ón . Sea ε > 0. Dado que f n converge uniformemente a f , existe N > 0 talque, para todo t ∈ A, |f n (t) −f m (t)| < ε . Ahora,

|yn −ym | ≤ |yn −f n (t)|+ |f n (t) −f m (t)|+ |f m (t) −ym | < 3ε

28


29/62

pues tanto f n (t) → yn , y f m (t) → ym . Por tanto, {yn} es fundamental en R, por lo queconverge a algún y ∈R. Ahora:

|f (t)

−y

| ≤ |f (t)

−f n (t)

|+

|f n (t)

−yn

|+

|yn

−y

|Obsérvese que |f (t) −f n (t)| < ε por la convergencia uniforme, |yn −y| < ε , que es lo queacabamos de demostrar. Finalmente, |f n (t) −yn | < ε , donde t ≠ x (x es punto ĺımite deA). Por tanto, |f (t) −y| < 3ε, lo cual implica que ĺımt→x f (t) = ĺımn→∞yn .Con este resultado, tenemos como corolario inmediato el resultado que nos indica quela convergencia uniforme es una condici ón suciente para la continuidad de la funci´ onĺımite 4

Corolario 2.14. Si {f n : A ⊆ R → R} es una sucesi´ on de funciones continuas que converge uniformemente a f , entonces f es continua.La demostraci ón se sigue directamente del teorema anterior.

No obstante lo anterior, bajo condiciones espećıcas, la convergencia puntual nos implicar´ ala convergencia uniforme. Por ejemplo:

Teorema 2.15. Si K ⊆R es compacto, y {f n : K →R} sucesi´ on de funciones continuas,y adem´ as:i {f n} converge puntualmente a una funci´ on continua f en K .

ii f n (x)

≥ f n +1 (x) para todo x

∈ K , n

∈N.

Entonces {f n} converge uniformemente a f en K .Demostraci ón . Consideremos gn = f n −f . gn es continua, converge puntualmente a 0,t y gn ≥ gn +1 . Por demostrar que gn converge uniformemente a 0.Sean ε > 0, y K n = {x ∈ K |gx (x) ≥ ε}. Cada K n ⊆ K es cerrado (teorema 1.15 , iii),y por tanto, compacto (teorema 1.10 ). Y dado que gn ≥ gn +1 , entonces K n +1 ⊆ K . Seax ∈ K jo. Como por hipótesis, gn (x) converge a 0, existe N > 0 tal que si n ≥ N ,entonces x /∈ K n , y por tanto, x /∈∩K n . Se sigue que ∩K n = ∅. Esto implica que existeN > 0 tal que K N = ∅ (teorema 1.12 ). Por tanto, 0 ≤ gn (x) < ε siempre que n ≥ N , ypara todo x ∈ K . Por tanto, gn → 0 uniformemente.En diversas ocasiones se ha mencionado que la convergencia uniforme de funciones esequivalente a la convergencia puntual bajo la métrica del supremo. El siguiente resultadonos precisa esta equivalencia.

4 La condici ón no es necesaria. En el ejemplo 2.5 , la sucesión de funciones f n = nx (1 −x 2 )n convergepuntualmente a la funci´ on idénticamente 0, que es continua.

29


30/62

Teorema 2.16. Sean {f n : A ⊆ R → R} una sucesi´ on de funciones tal que f n converge a f , y M n = supx∈A

{|f n (x) −f (x)|}. Entonces f n converge uniformemente a f si y s´ olo śı ĺım

n

→∞

M n → 0.Demostraci ón . ⇒) Si f n converge uniformemente a f , dado ε > 0, existe N > 0 tal quesi n ≥ N , para toda x ∈ A, |f n (x) −f (x)| < ε . Pero esto último implica que ε es una cotasuperior de |f n (x) −f (x)|, y por tanto, supx∈A |

f n (x) −f (x)| ≤ ε, o de forma equivalente,ĺım

n→∞supx∈A

M n = 0.

⇐) Sea M n = supx∈A{|f n (x) −f (x)|}, con ĺımn→∞M n = 0, es decir, dado ε > 0, existe N > 0 tal

que si n ≥ N , supx∈A{|f n (x) −f (x)|} < ε . , es decir, siempre que n ≥ N , |f n (x) −f (x)| < ε

para para todo x ∈ A. Por tanto, f n converge uniformemente a f .

2.3.1. Convergencia Uniforme e Integrací on

Ahora estamos listos para probar la condici´ on suciente para que podamos intercambiarlos signos de ĺımite con el de integral.

Teorema 2.17. Sea {f n : [a, b] ⊆R →R}una sucesi´ on de funciones Riemann-integrables.Si f n converge uniformemente a f en [a, b], entonces f es Riemann-integrable en [a, b], y ĺım

n→∞∫ b

af n (x)dx = ∫

b

a [ĺımn→∞f n (x) dx = ∫ b

af (x)dx

Demostraci ón . Sea εn = supx∈[a,b]

{|f n (x) −f (x)|}. De esta desigualdad, se tiene que, paratodo x ∈ [a, b], εn ≥ f n (x) −f (x) y εn ≥ f (x) −f n (x), de donde

f n (x) −εn ≤ f (x) ≤ f n (x) + εn ⇒∫

b

a(f n (x) −εn )dx ≤∫

b

af (x)dx ≤∫

b

a(f n (x) + εn )dx ⇒

∫ b

a(f n (x) −εn )dx ≤∫

b

af (x)dx ≤∫

b

af (x)dx ≤∫

b

a(f n (x) + εn )dx ⇒ (2.2)

0 ≤∫ b

af (x)dx −∫

b

af (x)dx ≤ 2εn (b−a)

y esto implica la existencia de la integral de f . También, de (2.2) se sigue que

∫ b

af (x)dx −∫

b

af n (x) ≤ ε(b−a)

30


31/62

Y por tanto, ∫ b

af (x)dx = ĺım

n→∞∫ b

af n (x)dx.

2.3.2. Convergencia Uniforme y Diferenciaci´ on

El ejemplo 2.4 se vió que ni siquiera la convergencia uniforme nos garantiza la convergenciade la derivada. Se requiere ser m ás estricto.

Teorema 2.18. Sea {f n : [a, b] → R} una sucesi´ on de funciones diferenciables en [a, b].Sup´ ongase que {f n (x0)} converge para algun x0 ∈ [a, b]. Si {f ′n} converge uniformemente en [a, b], entonces {f n} converge uniformemente en [a, b] a una funci´ on f , y f ′(x) = ĺım

n→∞f ′n (x)

para todo x

∈ [a, b].

Demostraci ón . Sea ε > 0. Por la convergencia de {f n (x0)} y la convergencia uniformede {f ′n}, existe N > 0 tal que, si n, m ≥ N

|f n (x0) −f m (x0)| < ε2

|f ′n (t) −f ′m (t)| < ε

2(b−a) (2.3)

Y la segunda desigualdad es v álida para todo t ∈ [a, b]. Al aplicar el terorema del valormedio a la función f n −f m 5 en el intervalo [x, t ] (o [t, x ]), se obtiene, para alg ún τ ∈ [x, t ]:|f n (x) −f m (x) −f n (t) + f m (t)| = |x −t| |f ′n (τ ) −f ′m (τ )|

≤ |x −t|ε

2(b−a) ≤ ε2

(2.4)

y la desigualdad (2.4), que es consecuencia de (2.3), es v álida para todos x, t ∈ [a, b]. Deaquı́ se sigue que:|f n (x) −f m (x)| ≤ |f n (x) −f m (x) −f n (x0) + f m (x0)|+ |f n (x0) −f m (x0)| < ε

Y por tanto, f n converge uniformemente. Entonces tiene sentido denir, para todo x ∈[a, b], f (x) = ĺımn→∞

f n (x).

Ahora, para x jo, denimos las siguientes funciones:

ϕn (t) = f n (t) −f n (x)

t −x ϕ(t) =

f (t) −f (x)t −x

5 Teorema del valor medio Si f : [a, b ] → R, f diferenciable en ( a, b ), existe un punto t ∈ [a, b ] talque f (b) −f (a ) = f ′ (t)(b −a ).

31


32/62

con a ≤ t ≤ b, t ≠ x. Dado que cada f n es diferenciable, es claro que ĺımt→x ϕn (t) = f ′n (x).Por otra parte, por (2.4),|ϕn (t) −ϕm (t)| ≤

ε2(b

−a)

siempre que n, m ≥ N , por lo que {ϕn} converge uniformemente si t ̸= x. Además, y dadoque f n → f uniformemente, ĺımn→∞ϕn (t) = ϕ(t) si t ̸= x. Ahora, aplicamos el teorema 2.13a la sucesión {ϕn}, y como x es un punto ĺımite de [ a, b],ĺımt→xϕ(t) = ĺım

t→xĺım

n→∞ϕn (t) = ĺım

n→∞ĺımt→xϕn (t) = ĺım

n→∞f ′n (x)

y ĺımt→xϕ(t) = f ′(x), por la denición de ϕ.

2.4. Teorema de Punto Fijo

Regresamos a espacios métricos generales. En esta secci´on, consideraremos aplicacionesde un espacio métrico en śı mismo.

Denici´ on 2.6. Diremos que una funci ón f : X → X es una contracci´ on si existe0 < M < 1 tal qued(f (x), f (y)) ≤ M d(x, y)

Es fácil checar que si f es una contracci ón, entonces f es uniformemente continua.

Teorema 2.19. Sea f : X → X una contracci´ on, X espacio métrico completo. Entonces f tiene un punto jo, y éste es ´ unico.El teorema puede ser formulado en los siguientes términos: Si f : X → X es una contrac-ción, y X es completo, entonces la ecuaci ón f (x) = x tiene solución única.Demostraci ón . Sea x0 ∈ X , y denamos la siguiente sucesión: {xn = f n (x0)}. Paratoda n ∈N

d(xn , xn +1 ) = d(f n (x0), f n (f (x0))) ≤ M n d(x0, f (x0)) = M n d(x0, x1)La sucesión {xn} es fundamental. En efecto, sea ε > 0, y consideremos N > 0 tal queM N 1

−M

d(x0, x1) < ε . Supongamos sin pérdida de generalidad que N ≤ m ≤ n, entoncesd(xm , xn ) ≤ d(xm , xm +1 ) + d(xm +1 , xm +2 ) + · · ·+ d(xn−1, xn )

≤ M m d(x0, x1) + M m +1 d(x0, x1) . . . + M n−1d(x0, x1)= M m 1 + M + M 2 + . . . + M n−m−1 d(x0, x1)

≤ M N 1

1 −M d(x0, x1) < ε

32


33/62

Dado que X es completo, existe ξ ∈ X tal que xn → ξ , y f es continua, por lo que sesigue del teorema 1.20 que:f (ξ ) = f ĺım

n→∞xn = ĺım

n→∞f (xn ) = ĺım

n→∞xn +1 = ξ

lo cual demuestra la existencia del punto jo. Para demostrar la unicidad, supongamosque ζ ∈ X también es punto jo. Por la denici´ on de contracci ón:

d(ξ, ζ ) = d(f (ξ ), f (ζ )) ≤ M d(ξ, ζ )y dado que M < 1, esto implica que d(ξ, ζ ) = 0, o ξ = ζ .

Como puede verse, la demostraci´on del teorema anterior es directa, y proporciona unmétodo para encontar el punto jo. En ocasiones se reere al teorema anterior como elmétodo de “aproximaciones sucesivas”. El teorema en si admite la siguiente generalizaci´ on.

Teorema 2.20. Sea f : X → X funci´ on continua tal que f n es una contracci´ on para alg´ un n. Entonces f tiene un punto jo, y éste es ´ unico.Demostraci ón . Sea x0 ∈ X , y consideremos la sucesión xn k = f nk (x0). Omitimos lademostraci ón de que {xn k } es fundamental y converge, dado que es idéntica a la delteorema 2.19 . Sea

ξ = ĺımk→∞

xn k = ĺımk→∞

f nk (x0) ⇒f (ξ ) = f ĺım

k→∞f nk (x0) = ĺım

k→∞f nk +1 (x0) (2.5)

por la continuidad de f . Y dado que f n

es una contracci ón:d(xk , f (xk)) = d(f nk (x0), f nk +1 (x0)) ≤ M kd(x0, f (x0)) ⇒

ĺımk→∞

d(f nk (x0), f nk +1 (x0)) = 0

y se sigue que f (ξ ) = ξ . Para la unicidad, dado que cualquier punto jo de f es a la vezpunto jo de f n , y f n es una contracci ón, el punto jo es único.

Ejemplo 2.6. Sea f : [a, b] → [a, b] que verica la condición de Lipschitz|f (x) −f (y)| ≤ M |x −y|

con M < 1. f es una contracci ón, y por el teorema 2.19 , f tiene un punto jo único en[a, b].En particular, si f es diferenciable en [a, b], y la derivada es tal que

|f ′(x)| ≤ M < 1entonces no es dif́ıcil demostrar que f es una contracci ón.

33


34/62

Ejemplo 2.7. Supongamos ahora que tenemos una ecuaci´on del tipo f (x) = 0, con f diferenciable en [a, b], que cumple f (a) < 0, f (b) > 0, y 0 < M 1 ≤ f ′(x) ≤ M 2 en [a, b].Para encontrar la raiz, consideremos la funci´ on g(x) = x −λf (x), λ ∈ R, y el problemase reduce a encontrar un punto jo de g. Ahora, g′(x) = 1

− λf ′(x), lo que implica

1 −λM 2 ≤ g′(x) ≤ 1 −λM 1. Por tanto, si podemos encontrar λ tal que

−1 < 1 −λM 2 ≤ g′(x) ≤ 1 −λM 1 < 1g(x) será una contracci ón, y se podrá resolver el problema original.

Ejemplo 2.8. Consideremos ahora una función lineal f : Rn → Rn , y la métricad∞(x, y) = m áx1≤i≤n |xi −yi|. Cualquier funci ón lineal puede expresarse en términos de unsistema de n ecuaciones lineales:

yi =

n

j =1a ij x j + bi ; 1 ≤ i ≤ n (2.6)

Ahora, si y = f (x), y′ = f (x′):

d∞(y −y′) = m áx1≤i≤n |yi −y′i| = m áx1≤i≤nn

j =1

a ij (x j −x′ j )

≤ máx1≤i≤nn

j =1|a ij | x j −x′ j ≤ máx1≤i≤n

n

j =1|a ij | máx1≤i≤n x j −x′ j

= m áx1≤i≤n

n

j =1 |a ij |d∞(x, x ′)Y por tanto, la condici ón de contracci ón es

máx1≤i≤n

n

j =1|a ij | ≤ α < 1 (2.7)

Ejemplo 2.9. Consideremos la funcíon denida por (2.6), pero ahora la métrica es

34


35/62

d1(x, y) =n

i=1|xi −yi|. Como antes, si escribimos y = f (x), y′ = f (x′):

d1(y, y′) =n

i=1|yi −y′i| =

n

i=1

n

j =1a ij (x j −x′ j ) ≤

n

i=1

n

j =1|a ij | x j −x′ j

= |a11| |x1 −x′1|+ |a12| |x2 −x′2|+ . . . + |a1n | |xn −x′n |+ |a21| |x1 −x′1|+ |a22| |x2 −x′2|+ . . . + |a2n | |xn −x′n |+ . . .+ |an 1| |x1 −x′1|+ |an 2| |x2 −x′2|+ . . . + |ann | |xn −x′n |

≤ máxi≤ j≤nn

i=1|a ij | |x1 −x′1|+ |x2 −x′2|+ . . . + |xn −x′n |

= m áxi≤ j≤n

n

i=1 |a ij |d1(x, x ′)Por lo que la condición de contracci ón es ahora

máx1≤ j≤n

n

i=1|a ij | ≤ α < 1 (2.8)

Ejemplo 2.10. De nuevo, la función es la denida por (2.6), y la métrica es la euclideana.Como antes, si escribimos y = f (x), y′ = f (x′):

d2(y, y′) 2 =n

i=1

n

j =1a ij (x j −x′ j )

2

≤n

i=1

n

j =1

a2ijn

j =1

(x j −x′ j )2 ≤n

i=1

n

j =1

a2ij d2(x, x ′)2

Por lo que la condición de contracci ón es ahoran

i=1

n

j =1

a2ij ≤ α < 1 (2.9)

Si recapitulamos los resultados de los ejemplos 2.8 , 2.9 y 2.10 , cualquiera de las con-diciones (2.7), (2.8) y (2.9) son sucientes para garantizar que el sistema de ecuacioneslineales (2.6) tiene un único punto jo. Sin embargo, las condiciones no son necesarias .Para ver esto, consideremos la siguiente funci´on f : R2 →R2,

y1y2

= cosθ −sen θsen θ cosθ x1x2

= x1 cosθ −x2 sen θx1 sen θ + x2 cosθ35


36/62

con 0 < θ < 2π, es decir, una rotaci ón de θ alrededor del origen. Claramente, 0 es puntojo de f , y además es único. Sin embargo:

máx1≤i≤n

n

j =1 |a ij | = m áx1≤ j≤nn

i=1 |a ij | = |cos θ|+ |sen θ| ≥ 1n

i=1

n

j =1

a2ij = 2 cos2 θ + 2 sen 2 θ = 2

2.4.1. Aplicaciones

Teorema 2.21 (Teorema de Picard ). Sea f una funci´ on continua en un dominioplano6, con (x0, y0) ∈ G. Supongamos que f satisface la condici´ on de Lipschitz en la variable y:

|f (x, y1) −f (x, y2)| ≤ M |y1 −y2|Entonces existe un intervalo |x −x0| ≤ δ en el cual la ecuaci´ on diferencial

dydx

= f (x, y)

tiene una ´ unica soluci´ on y = ϕ(x) que satisface la condici´ on inicial ϕ(x0) = y0.

Demostraci ón . Es equivalente solucionar la ecuaci ón integral

ϕ(x) = y0 + ∫ x

x0 f t,ϕ(t) dt

Por la continuidad de f , |f (x, y)| ≤ K en algún dominio G′ ⊆ G, con (x0, y0) ∈ G′7 Seanδ > 0 tal que:1. (x, y) ∈ G′ si |x −x0| ≤ δ , |y −y0| ≤ δK .2. Mδ < 1.

y C ∗ = {ϕ : [x0 −δ, x0 + δ ] → [y0 −δK,y0 + δK ]} con la métrica del supremoρ(ϕ1,ϕ2) = sup

|t−x0 |≤δ |ϕ1(t) −ϕ2(t)|6 Un dominio es un conjunto abierto y conexo7 De hecho, esto se sigue del hecho (todav́ıa no demostrado) de que los compactos en Rn son cerrados

y acotados. Este resultado se ver´ a en el siguiente caṕıtulo (corolario 3.10 ).

36


37/62

C ∗ es completo, pues es un subespacio cerrado de C [x0 −δ,x 0 + δ] (Teorema 2.3 ). Consideremosahora g : C ∗ → C ∗:

ψ(x) = g(ϕ(x)) = y0 + ∫ x

x 0f t,ϕ(t) dt

Si ϕ ∈ C ∗:

|ψ(x) −y0| = ∫ x

x0f t,ϕ(t) dt ≤∫

x

x0f t,ϕ(t) dt ≤ K |x −x0| ≤ Kδ

y por tanto, ψ = g(ϕ) ∈ C ∗. Por otra parte:

|ψ1(x) −ψ2(x)| = ∫ x

x0f t,ϕ1(t) −f t,ϕ2(t) dt

≤∫

x

x0

f t,ϕ1(t)

−f t,ϕ2(t) dt

≤ M |ϕ1(x) −ϕ2(x)| |x −x0| ≤ M δρ(ϕ1,ϕ2)Es decir, ρ(ψ1, ψ2) ≤ M δρ(ϕ1,ϕ2), y Mδ < 1, por lo que g es una contracci ón, y g tieneun único punto jo, lo que equivale a decir que la ecuaci ón diferencial tiene soluci ónúnica.

Ejemplo 2.11 (Ecuaci ón integral de Fredholm del segundo tipo) . Consideremos la ecua-ción integral:

f (x) = λ ∫ b

aK (x, y)f (y)dy + ϕ(x)

K y ϕ son funciones continuas en el cuadrado [ a, b] × [a, b]. En particular, |K (x, y)| ≤M 8. Veremos que la anterior ecuaci´on integral tiene soluci ón para valores sucientementepequeños del par ámetro λ. Como bien sabemos, C [a,b] es completo. Sea g : C [a,b] → C [a,b]denida mediante:

ψ(x) = g(f (x)) = λ ∫ b

aK (x, y)f (y)dy + ϕ(x) ⇒

|ψ1(x) −ψ2(x)| ≤ |λ|∫ b

a |K (x, y)| |f 1(y) −f 2(y)|dy≤ |λ|M supx∈[a,b] |

f 1(x) −f 2(x)| (b−a)

≤ |λ|M (b−a)ρ(f 1, f 2) ⇒ρ(ψ1, ψ2) ≤ |λ|M (b−a)ρ(f 1, f 2)

Y g será una contracci ón si |λ| < 1

M (b−a).

8 Se aplica el mismo comentario que en la nota 7.

37


38/62

Ejemplo 2.12 (Ecuaci ón integral de Volterra) . Consideremos ahora la ecuaci ón integral:

f (x) = λ ∫ x


A diferencia de la ecuación de Fredholm, aqúı la variable x se encuentra en el extremosuperior de la integral. Si bien puede considerarse a esta ecuaci´ on como un caso especialde la de Fredholm, la situación aqúı es radicalmente distinta. Veremos que no importa elvalor de λ, siempre podemos asegurar la existencia de una única solución para la ecuaciónde Volterra. Como antes, |K (x, y)| ≤ M , y sea g : C a[,b] → C [a,b]:

h(x) = g(f (x)) = λ ∫ x


Veremos que para alg ún n ∈N, gn es una contracci ón.

|g(f 1(x)) −g(f 2(x))| ≤ |λ|∫ x

a |K (x, y)| |f 1(y) −f 2(y)|dy

≤ |λ|M supx∈[a,b] |f 1(x) −f 2(x)|∫

x

ady

= |λ|Mρ(f 1, f 2)(x −a) ⇒ρ(gf 1, gf 2) ≤ |λ|M (x −a)ρ(f 1, f 2)

g2(f 1(x)) −g2(f 2(x)) ≤ |λ|∫ x

a |K (x, y)| |g(f 1(y)) −g(f 2(y))|dy

≤ |λ|2

M 2

ρ(f 1, f 2) ∫ x

a (y −a)dy= |λ|

2 M 2ρ(f 1, f 2)(x −a)2

2 ⇒ρ(g2f 1, g2f 2) ≤ |λ|

2 M 2ρ(f 1, f 2)(x −a)2

2

|gn (f 1(x)) −gn (f 2(x))| ≤ |λ|n M n ρ(f 1, f 2)

(x −a)nn!

≤ |λ|n M n ρ(f 1, f 2)(b−a)n

n! ⇒ρ(gn f 1, gn f 2)

≤ |λ

|n M n ρ(f 1, f 2)

(b−a)nn!

Y obsérvese que no importa cuál sea el valor de λ, siempre se puede tomar n > 0 sucien-

temente grande de manera que |λ|n M n (b−a)n

n! < 1. Por tanto, gn será una contracción,

y g(f ) = f tiene solución única.

38


39/62

3. Compacidad

3.1. Conexidad

Denici´ on 3.1. Diremos que un espacio métrico X es conexo si no puede descomponerseen la unión de dos abiertos ajenos no vacios.

Dicho de otra manera, si X es conexo y S, T son abiertos no vacios tales que S ∪ T ,entonces S ∩T ≠ ∅.Teorema 3.1. Sea X espacio métrico. Son equivalentes:

(i) X es conexo.

(ii) X no es la uni´ on de dos cerrados ajenos no vacios.

(iii ) Los ´ unicos subconjuntos de X que son tanto abiertos como cerrados son X y ∅.

Demostraci´ on. (i) ⇒) (ii) Si S, T son cerrados ajenos no vacios tales que S ∪ T = X ,S ∩T = ∅, entonces X \T = S y X \S = T son abiertos no vacios, y X no puede serconexo.(ii) ⇒) (iii ) Supongamos que S ≠ ∅ es un subconjunto propio de X a la vez abierto ycerrado. Entonces X \S = T es tambíen abierto y cerrado, por lo que S ∪T = X , y X es la unión de dos cerrados ajenos no vacios.(iii ) ⇒) (i) Supongamos que X no es conexo, es decir, X = S ∪T , con S ∩T = ∅, y S, T abiertos no vacios. Pero esto implica que T = X

\S es cerrado (por ser complemento de

un abierto) y abierto.

De manera an áloga a como se clasicaron todos los abiertos de R, el siguiente teoremanos clasica todos los conjuntos conexos de la recta.

Proposici´ on 3.2. Un subconjunto no vacio de R es conexo si y sólo śı es un intervalo.

Demostraci´ on. ⇒) Sea S ⊆R conexo no vacio, y a = inf {S }, b = sup {S }, y supongamosque a ≤< ≤ b es tal que x /∈ S . Entonces S ′ = S ∩(−∞, x), T ′ = S ∩(x, ∞) son abiertosajenos no vacios en S tales que S ′∪T ′ = S , y esto contradice la conexidad de S , ∴ x ∈ S para toda x ∈ (a, b), y S es un intervalo.

⇐) Sea S un intervalo, y supongamos que no es conexo. Existen abiertos relativos ajenosno vacios tales que A∪B = S . Consideremos a = ı́nf {A}, y b = sup{B}, y supongamossin pérdida de generalidad que a < b. Sea ahora x = sup {A ∩S }. Si x ∈ A, por ser Aabierto en S , existe r > 0 tal que x + r ∈ A, lo cual contradice la denici ón de x. Porotra parte, si x ∈ B , como B es abierto en S , existe r ′ > 0 tal que x −r ∈ B, es decir,[x −r ′, x) ⊆ B ∩S , de donde [x −r ′, x) ∩A = ∅, y esto contradice también la denici´ onde X . Por tanto, X es conexo.39


40/62

Proposici´ on 3.3. Si S, T ⊆ X son tales que S es conexo, y S ⊆ T ⊂ S̄ , entonces T es conexo. En particular, S̄ es conexo.Demostraci´ on. Supongamos que T no es conexo, y sean A, B abiertos en T ajenos novacios tales que A∪B = T . Como S es denso en T , A ∩S y B ∩S son abiertos relativosen S . Además, son ajenos y no vacios, y

(A ∩S )∪(B ∩S ) = ( A∪B) ∩S = T ∩S = S por lo que S no puede ser conexo.

En la sección de compacidad vimos que la imagen bajo una función de un conjuntocompacto es compacto. PAra la conexidad tenemos un resultados an´ alogo.

Teorema 3.4. Sea f : X

→ Y continua. Si X es conexo, entonces f (X ) es conexo.

Demostraci´ on. Supongamos que f (X ) no es conexo, es decir, existen abiertos ajenos novacios S, T ⊆ Y tales que f (X ) = S ∪T . Entonces, por ser f continua, f −1(S ) y f −1(T )son abiertos en X , ajenos no vacios, y

X = f −1f (X ) = f −1(S ∪T ) = f −1(S )∪f −1(T )y por tanto, X no es conexo.

Como último resultado de esta sección, demostraremos el Teorema Generalizado del ValorIntermedio.

Teorema 3.5. Sea f : X → R continua, y a, b ∈ f (X ). Entonces, para todo y ∈ (a, b),existe x ∈ X tal que f (x) = y.Demostraci´ on. Por el teorema 3.4 , f (X ) es un intervalo.

3.2. Compacidad

Retomamos el tema del curso. En la Denicón 1.11 se denió el que un espacio métri-co fuera compacto, a saber, si toda cubierta abierta

{Gα

|α

∈ Λ

} de X contiene una

subcubierta nita.En lo que sigue, deniremos otro tipo de compacidad, la propiedad de ser secuencialmente compacto, aśı como la propiedad de ser totalmente acotado . El Teorema principal dela sección nos proporcionar á condiciones necesarias y sucientes bajo las cuales estaspropiedades son equivalentes.

40


41/62

Denici´ on 3.2. Diremos que un espacio métrico X es secuencialmente compacto si cual-quier sucesión {an} ⊆ X contiene una subsucesi ón convergente.De acuerdo al teorema 1.21 , todo espacio compacto es secuencialmente compacto.

Denici´ on 3.3. Sea A ⊆ X un subconjunto del un espacio métrico X . Diremos que Aes una ε –red si para todo x ∈ X , existe al menos un punto y ∈ A tal que d(X, y) ≤ ε.Además, un subconjunto M ⊆ X es totalmente acotado si para toda ε > 0, existe una Aεε –red nita de M .Observaci´ on 3.1. Si consideramos la función de distancia a un subconjunto, podrı́amosdenir a una ε –red como un conjunto A tal que para toda x ∈ X , ρ(x, A) ≤ ε, dondeρ(x, A) = ı́nf

y∈A{d(x, y)}.

Antes de continuar, veremos una serie de ejemplos de conjuntos totalmente acotados.También veremos que en general, los conceptos de acotaci´ on y de acotación total no sonequivalentes.

Ejemplo 3.1. Un conjunto M totalmente acotado es acotado. Sea ε > 0, y Aε una ε –rednita de M . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que ε < 1. Para x ∈ X jo,consideremos las distancias de x a cada punto de Aε . Dado que este último conjunto esnito, podemos denir sin ambig üedad

r = m áxx k∈A ε {d(x, x k)} > 0

y por tanto, M ⊆ B(x, r + 1).Ejemplo 3.2. En Rn (o en Cn ), acotaci ón ⇒ acotaci ón total. Sea M ∈ Rn acotado, esdecir, existen x ∈ Rn y r > 0 tales que M ⊆ B(x, r ). Siempre podemos construir unn−cubo H de arista k > 0 lo sucientemente grande tal que M ⊆ H . Sea ε > 0, y porla propiedad arquimediana de los reales, existe m ∈ N tal que mε < r ≤ (m + 1)ε. Portanto, podemos dividir el cubo H en a lo más (m + 1) n n−cubos de arista ε, y los vérticesde estos n−cubos forman una

√ nε2

–red nita de H , y por tanto de M . Por tanto M estotalmente acotado.

Ejemplo 3.3. En general, acotado ⇏ totalmente acotado. Para demostrar esta afrima-

ción, consideremos el espacio l2 = {xn} ⊆R|∞

k=1

x2k < ∞ , con la métrica

d(x, y) = ∞

k=0

(xk −yk)21/ 2

41


42/62

En este espacio, sea S∞ = x ∈ l2|∞

k=1

x2k = 1 la esfera unitaria en l2. Es obvio que

S∞ es acotado. Para mostrar que no es totalmente acotado, consideremos los siguientes

puntos en S∞:e1 = (1 , 0, 0, . . . , 0, . . .), e2 = (0 , 1, 0, . . . , 0, . . .), . . . , ek = (0 , 0, 0, . . . , 1, . . .), . . .

Si n ≠ m, d(en , em ) =√ 2, y por tanto, para todo ε < √ 2

2 no puede existir una ε−red

nita de S∞, y S∞ no es totalmente acotado.

Ejemplo 3.4 (Ladrillo de Hilbert) . Este es un ejemplo de un conjunto totalmente acotadode dimensión innita. En l2 consideremos el conjunto Π de los puntos x = ( x1, x2, . . . , x k , . . . )tales que

|x1| ≤ 1; |x2| ≤ 1

2; |x3| ≤ 1

22 ; . . . ; |xk|

Documents

Curso Analisis 2016