Algoritma Kuantum untuk Faktorisasi Bilangan

5/7/2018 Algoritma Kuantum untuk Faktorisasi Bilangan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/algoritma-kuantum-untuk-faktorisasi-bilangan 1/33

Algoritma Kuantum

UntukFaktorisasi Bilangan



� P.W. Shor(1994) Polynomial-time Algorithms for Prime

Factorization and Discrete Algorithms on a Quantum

Computer , Proc.35th Ann. Symp. On Foundations of

Computer Science, Santa Fe.

� D. Deutsch(1985), Quantum theory, the Church-turing

principle and the universal quantum computer , Proc.Royal Society London, A 400, pp97-117.

� R.P. Feynman(1982), S imulating Physics with Computers,

Int. J. Theo. Phys. 21, pp.467-488.

� P. Benioff(1982), Quantum Mechanical Models of Turing

Machines, J. Stat. Phys. 29, pp.515-546.



«

trying to find a computer simulation of physics seems

to me to be an excellent program to follow out«

and I¶m not happy with all the analysis that go with just

the classical theory, because NATURE ISN¶T CLASSICAL,

dammit, and if you want to make a simulation of nature,you¶d better MAKE IT QUANTUM MECHANICAL,

and by golly it¶s a wonderful problem because it doesn¶t

look so easy«

(R.P. Feynman(1981), Int. J. Theo. Phys. 81 p.486)



Informasi bersifat fisis

Komputasi pada dasarnya dapat didefinisikan sebagai pengolahan

sistematis dari simbol tertentu (masukan) menjadi simbol lainnya

(keluaran).

''Simbol'' di sini adalah obyek fisis dan komputasi adalah proses fisis

yang dilakukan oleh piranti fisis yang disebut komputer..

Jika kita menginterpretasikan setiap keadaan fisis sebagai suatu

simbol, maka pada dasarnya setiap proses fisis dapat dianggap

sebagai suatu komputasi.



Teori Informasi Klasik (Church, Turing, Godel)

Teori Informasi Kuantum

(Benioff, Feynman, Deutsch)

vs



Informasi KuantumKeacakan kuantum (randomness)

Prinsip ketidakpastian : pengukuran observable A akan

mempengaruhi pengukuran observable B jika A dan B

nonkomut

Keadaan kuantum tidak dapat disalin (no-cloning theorem)

Keterkaitan keadaan kuantum (entanglement)



Komputasi KuantumBit Klasik Bit Kuantum (quantum bit=qubit)

Qubit = vektor dalam ruang vektor kompleks dim-2

C ba

ba

ba

�

!

!

,

1

10

22

]



Keadaan kuantum dari N qubit = vektor dalam ruang kompleks berdimensi N

2

112

0

2

12

0

!

!

§

§

!

!

N

N

i

i

i

ii

a

S a]

iS dapat dinyatakan dalam string biner, misalkan

011....01110



Contoh: keadaan kuantum dengan 3 qubit memiliki 8 basis

_

a111,110

,101,100

,010,011

,001,000



Komputasi kuantum dilakukan dengan menerapkan

transformasi uniter U kepada N qubit

Setelah diterapkan U, kita mengukur semua qubit

terhadap basis komputasi.

Hasil pengukuran adalah keluaran dari komputasi

(Karena pengukuran bersifat acak, maka algoritma

komputer kuantum adalah probabilistik: kita mungkin

memperoleh hasil berbeda dengan program yang sama)



Klasifikasi KompleksitasSebuah algoritma dikatakan efisien jika jumlah langkah

eksekusi yang dibutuhkan tidak lebih besar dari sebuah

fungsi polinomial dari ukuran masukannya

Ukuran masukan diambil sebagai jumlah bit yang dibutuhkan

untuk merepresentasikan masukan tersebut. Sebuah bilangan

N membutuhkan log2(N) untuk merepresentasikannya dalam

kode biner.

N masukan N plangkah e )(log#



Perkalian vs Faktorisasi

«« x«« = 29083

127 x 229 =««



Masalah faktorisasi adalah masalah yang menarik

ditinjau dari teori kompleksitas, sebagai contoh

masalah yang tidak dapat diselesaikan dalamwaktu yang dibatasi oleh polinomial dari jumlah

masukan. Dari segi praktis hal ini juga menarik

karena kesulitan faktorisasi digunakan sebagai

dasar dari program pengamanan {cryptography}

seperti RSA.



Mencari faktor dari N ekivalen dengan

mencari periode

Diberikan N, pilih 1<y<N, gcd(y,N)=1

Tentukan periode dari

N ya F a

N mod)( !

Misalkan periode adalah r, maka faktor dari N diberikan oleh

),1gcd( 2/ N y r

s



Persamaan

N x mod12 !

Memiliki solusi trivial

N x mod1s!

Jika N prima maka solusinya hanyalah ini.

Namun jika N komposit, terdapat solusi nontrivial

N a x mods!



N aa

N a

N a

mod0)1)(1(

mod01

mod1

2

2

!

!

!

Jadi N merupakan pembagi dari (a+1)(a-1),

tetapi N tidak membagi (a+1) dan (a-1)

karena a<N.

Maka faktor nontrivial dari N adalah

),1gcd( N a s



Jadi, diberikan solusi nontrivial dari

N x mod12 !

Kita dapat menentukan faktor dari N.

Misalkan r adalah periode dari

N y r mod1!

N ya F a

N mod)( !

Maka



Jika r genap, maka misalkan

2/r y x !

Sehinga kita memiliki persamaan

N x mod12!

Sehingga x adalah solusi nontrivial yang dicari,

dan faktor dari N diberikan oleh

),1gcd( N x s



Langkah Algoritma Shor Diberikan masukan N, algoritma Shor menentukan

faktor dari N.

Langkah1 Menentukan apakah N

sebuah bilangan genap, bilangan prima, atau pangkat

dari bilangan prima. Untuk bilangan genap dan pangkat

prima, terdapat algoritma klasik yang efisien, juga untuk

menentukan apakah sebuah bilangan prima atau tidak.



Langkah 2 Memilih sebuah bilangan q=2L

Sedemikian sehingga N2<q<2N2

Langkah 3 Memilih sebuah bilangan y koprima dengan N,

1<y<N, gcd(y,N)=1.

Langkah 4 Menciptakan sebuah register kuantum yang

dipisahkan menjadi dua bagian: register1 dan register 2.

Register 1 harus memiliki bit yang cukup untuk

merepresentasikan bilangan sebesar q-1. Register 2 harusmemiliki bit yang cukup untuk merepresentasikan bilangan

sebesar N-1.

0,02,1 !! reg reg ]



Langkah 5 Terapkan transformasi Fourier diskrit DFTq

kepada register 1.

§

!

1

0

mod,1 q

a

a N ya

q

Langkah 6 Terapkan transformasi fungsi ya mod N

untuk setiap a dalam register 1 dan simpan hasilnya

dalam register 2.

§

!

1

0

0,1 q

a

aq



Langkah 7 Mengukur register 2. Pengukuran register 2

Akan mempengaruhi register 1 karena keterkaitan quantum

(Quantum Entanglement).

Langkah 8 Terapkan transformasi Fourier diskrit padaregister 1.

Langkah 9 Mengukur keadaan register 1. Ini akan memberikan Nilai

1,...,1,0,/ !! r r q PP



Langkah 10 Menentukan r berdasarkan pengetahuan M danq.

Langkah 11 Jika r sudah ditentukan, maka faktor dari N

dapat ditentukan sebagai:

),1gcd( 2/ N y r

s



Algoritma ini mungkin gagal karena beberapa hal.

Misalnya, ditemukan faktor trivial 1 dan N, yang tidak

berguna.

Juga misalnya, transformasi Fourier diskrit mengukur nila 0. Karena frekuensi=1/periode, maka periode 0 yang

diukur tidak dapat diproses lebih lanjut.



Simulasi komputer kuantum pada

komputer klasik

Komputer klasik tidak mungkin mensimulasi keadaan

kuantum tanpa mengalami perlambatan secaraeksponensial, karena untuk merepresentasikan komputer

kuantum yang memiliki N bit dibutuhkan 2 N bilangan

kompleks. (There¶s too much room in Hilber space!)

Juga dalam menghitung xamod N, di mana a adalah

superposisi dari keadaan i=0,...,q-1, komputer klasik menghitungnya secara iteratif, sementara komputer

kuantum menghitungnya dalam satu langkah.



Selain itu, simulasi ini harus menyimpan amplitudo

probabilitas dari setiap keadaan kuantum, dan juga harus

menyimpan array nilai a (di register 1) yang menghasilkan

xa mod N (di register 2) untuk mensimulasikan

pengukuran register 2 yang akan menyebabkan register 1runtuh.

Tentu saja hal ini hanya perlu pada simulasi, karena pada

komputer kuantum sebenarnya, register 1 dan 2

saling terkait (''entangled'').



Contoh Keluaran Simulasi







KesimpulanAlgoritma kuantum Shor untuk faktorisasi bilangan

yang merupakan kategori waktu-polinomial

menunjukkan bahwa komputer kuantum memiliki

kemampuan melebihi komputer kuantum dalamkenyataan bahwa komputer kuantum dapat bekerja

secara lebih efisien daripada komputer klasik. Algoritma

Shor memberikan sebuah contoh bagaimana

memanfaatkan sifat-sifat keadaan kuantum dan

mengeksploitasinya sedemikian sehingga dapatmenyelesaikan masalah tertentu. Hal ini mendorong

penelitian mengenai bagaimana merancang algoritma

yang dapat memanfaatkan fenomena kuantum.



Secara praktis, komputer kuantum memiliki lebih banyak masalah daripada komputer klasik. Komputer

kuantum sangat sensitif terhadap interaksi dengan

lingkungannya. Interaksi seperti ini dapat merusak

keadaan kuantum dalam komputer tersebut. Jadi untuk membangun komputer kuantum, kita harus dapat

mempertahankan superposisi keadaan kuantum tanpa

mengalami dekoherensi yang cukup berarti. Berbagai

jenis rancangan perangkat keras untuk komputer

kuantum telah diusulkan, di antaranya adalah: jebakanion, celah optik, dot kuantum, dan resonansi magnetik

inti.



Walaupun sampai sekarang sebuah komputer kuantumyang cukup besar yang dapat digunakan masih belum

dapat diciptakan, namun penelitian di bidang ini akan

memberikan pandangan baru dalam teori informasi,

teori kompleksitas, dan teori kuantum.



Algoritma Kuantum

UntukFaktorisasi Bilangan

Documents

Algoritma Kuantum untuk Faktorisasi Bilangan