1ra Prac a. Mat IV 4to c Civil 2012-II (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL-HVCA

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO IV: CUARTO CICLO “A” Y “B”

I. Hallar el orden y grado de cada una de las EDOs:

1).x5¿

Solución:

x5( d4 y

dx4 )13=ex−d3 y

dx3 −xy

( d4 y

dx4 )13=

ex−d3 ydx3 −xy

x5

d4 ydx4 =[ ex−d3 y

dx3 −xy

x5 ]3

x15( d4 ydx4 )=(ex−d3 y

dx3 −xy )3

x15( d4 y

dx4 )=[(ex−xy )−d3 y

dx3 ]3

x15( d4 ydx4 )=(ex−xy )3−3 (ex−xy )2 d3 y

dx3 +3 (ex−xy ) ( d3 ydx3 )

2

−( d3 y

dx3 )3

x15( d4 ydx4 )+3 (ex−xy )2 d3 y

dx3 −3 (e x−xy )( d3 ydx3 )

2

+( d3 ydx3 )

3

−(ex−xy )3=0

Rspta : Entonces la EDOes 4 ° orden yde primer grado .

2).y ' '− {x+( y ' ' )3}52= y '

SOLUCION

y ' '−{x+( y' ')3 }52= y '

( y ' '−{x+( y ' ' )3 }52)2=( y ')2

( y ' ')2−( x+ ( y ' ' )3 )5=( y ')2

( y ' ')2−¿)=( y ' )2

y ' '15+5 x y ' '12+10 x2 y ' '9+10x3 y ' '6+5 x4 y ' '3+( y ' ' )2−( y ' )2

Mg. Mat. César Castañeda Campos

( d2 y

dx2 )15

+5 x y ' '12+10 x2 y ' '9+10x3 y ' '6+5 x4 y ' '3+( y ' ' )2−( y ' )2

2do orden .15avo grado

3). d3 xdy3 −( d2 x

dy2 )4 /5

+ d4 xdy4 +xy=0

4). y ' ' '+2 x ( y ' ' ' )−1+x y ' '+ y '=x

5). ( y ' ' ' )4 /3−x ( y ' ' )6−4 x y ' '+2xy '=1

6). x3 ln ( y(5))+exy '−x y2=e−x

7).y ' ln3 (x y' ' )+4 x ( y ' )2−e− xy=0

8). x y' '+x2co s (xy ' '¿¿ ' )+x y ' '+1=0¿

9). x3 ( y(5))4/5+[ x2cos ( xy ' ' ' ) ]3/2

+ x4 y '+ x=0

10). x2 ( y(3))3 /5+[ x5 sen ( xy ' ' ' ) ] y' /2

+x2 ( y ' )−1+2=0

II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:

1). y=A x3+Bx 4−Cx2

3; x2 y ' '−12 y=2x2

Solución:

Hacemos la primera derivada.

Y=A X3+B X4−CX2

3 ………(I)

Y ´=3 A X2+4 B X3−2CX3

Hacemos la segunda derivada.Y =6AX+12B {X} ^ {2} - {2C} over {3

Remplazamos en la ecuación (I) la segunda derivada.

x2(6 AX+12 B X2−2C3 )−12(A X3+B X4−C

X2

3 )=2 x2

6 A X3+12B X4−2CX2

3−12 A X3−12 B X4+4C x2=2 x2

-6ax3+103

C x2=2 x2 entonces no se hace cero.

ESTONCES Y=A X3+B X4−CX2

3 no es solución.

2). x y2− y3=c ; y dx+ (2x−3 y ) dy=0

3). y=√x2−cx ; (x2+ y2 )dx−3 xy dy=0

Solución:


(x2+ y2 )dx−3 xy dy=0(x2+ y2 )−3 xy y '=0…1

→ y=√ x2−cx

y '= 2x−c

2√x2−cx………… ..2

- Reemplazamos II en I y el valor de y en función de x

(x2+ y2 )−3 xy y '=0

(x2+ [√x2−cx ]2)−3x √ x2−cx [ 2 x−c

2√ x2−cx ]=0

(2 x2−cx )−3x [ 2x−c2 ]=0

( 4 x2−2cx )−6 x2+3cx=0−2 x2+cx=0−2 x+c≠0

∴ y=√x2−cx noesunasolucion prala E .D . : (x2+ y2)dx−3xy dy=0

4). y=A e3 x+Be−2x+e2x ; y ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0

5). V 1 ( x , y )=x2− y2 ,V 2 ( x , y )=cos ( x ) cosh ( y );V xx+V yy=0

Solución:

V x=2x V y=−2 y , V x=−sen ( x ) cosh ( y )V y=cos (x)senh ( y )

V xx=2V yy=−2 , V xx=−cos (x ) cosh ( y )V yy=cos (x )cosh ( y )

V xx+V yy=0

2−2=0

∴V 1 ( x , y )=x2− y2es unasolucion ∀ losreales . Rspta.

V xx+V yy=0 −cos (x ) cosh ( y )+cos ( x ) cosh ( y )=0

∴V 2 ( x , y )=cos ( x )cosh ( y ) esuna solucion∀ los reales .Rspta .

6). V 1 ( x , y )=sen ( x ) . e−a2 t ,V 2 ( x , y )=sen (bx ) . e−a2b2t

a2V xx−V t=0

7). ¿

8). { x=t+arcsen (t )y=t 2/2−√1−t 2

; x= y '+arcsen y '

9). y=¿Solución:


y=¿

y '=2 (c+sen ( x ) ) ( cos ( x ) )…II

-Reemplazamos II en I y el valor de Y en función de X

[2 (c+sen ( x ) ) ( cos ( x ) ) ]2−4¿4 ¿

0=0∴ y=¿

10).y=c (x — √−x ) ; y '+ yx [√−x+1

2(x+1)−1]=0

11).y=sen ( x )

c+cos (x ); y' sen (x )+ y2 (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0

Solución:

Como y=sen ( x )

c+cos ( x )

y '=(c+cos ( x ) ) cos ( x )+sen ( x ) sen(x )

(c+cos ( x ))2

y '=c ¿¿

y '=c ( cos ( x ) )+1

(c+cos ( x ))2 ……… (I )

Reemplazando

y ' sen ( x )+ y2 ( cos ( x )+ ysen ( x ) )=0

( c ( cos ( x ) )+1

(c+cos ( x ))2 )sen (x )+( sen (x )c+cos ( x ) )

2

(cos ( x )+( sen ( x )c+cos ( x ) )sen ( x ))=0

(c (cos ( x ) )+1)sen ( x )

(c+cos ( x ) )2+

(sen ( x ))2

(c+cos ( x ))2 ¿

(c (cos ( x ) )+1)sen ( x )

(c+cos ( x ) )2+

(sen ( x ))2

(c+cos ( x ))2 ( c ( cos ( x ) )+1

c+cos ( x ) )=0

(c cos x+1)senx( c+cos x )2 (1+ senx

c+cos x )=0

Por lo tanto

y ' sen ( x )+ y2 ( cos ( x )+ ysen ( x ) )=0 ; No es la solución

III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las

relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.

1). y=Asen (3 x )+B cos (3 x )+x ; A ,B∈R


Solución: Numero de constantes (A, B)=2Entonces la EDO es de 2° orden.

y=Asen (3 x )+Bcos (3 x )+x… …………………… (1 )derivamos implicitamente respecto a x

y '=3 Acos (3x )−3Bsen (3 x )+1…… …………………… (2 )derivamos imp licitamente respecto a x

y ' '=−9 Asen (3 x )−9Bcos (3 x ) ………………………… .. (3 )Sumamoslaecuacion (3 )+9 (1 )

y ' '+9 y=9 x∴ y ' '+9 ( y−x )=0 Rspta . .

2).

x=At e−t+Be−t+2 sen (3t ) ; A ,B∈R ………..(1)

Hacemos la primera derivada con respecto “t”

x ´=A (e−t−t e−t )−Be−t+6 cos (3 t )

x ´=Ae−t−At e−t−Be−t+6 cos (3 t ) ………… (2)

Sumamos la ecuación 1 y 2

x +x=Ae−t+Be−t+2 sen (3 t )+Ae−t−At e−t−Be−t+6 cos (3 t )

x +x=Ae−t+2 sen (3 t )+6 cos (3 t )

A=x +x−2 sen (3 t )−6cos (3 t )

e−t

Hacemos la segunda derivada.

x =−Ae−t−A e−t+At e−t+Be−t−18 sen (3 t )

x =−2 A e−t+At e−t+Be−t−18 sen (3 t )…… (3 )

En la ecuación 1 reemplazamos el valor de A.

x=[ x +x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t )e−t ] t e−t+Be−t+2 sen (3 t )

x=[ x +x−2 sen (3t )−6 cos (3 t ) ] t+Be−t+2 sen (3 t )

Be−t=X−[ x +x−2 sen (3t )−6 cos (3 t ) ] t−2 sen (3 t )

B=X−[ x +x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t ) ] t−2 sen (3 t )

e−t

Los valores A y B reemplazamos en la ecuación (3).

x =−2[ x +x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t )e−t ]e−t+[ x +x−2 sen (3 t )−6cos (3 t )

e−t ] t e−t+[ X− [x +x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t ) ] t−2 sen (3t )e−t ]e−t−18 sen (3 t )

x =−2 [ x + x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t ) ]+[ x +x−2 sen (3 t )−6cos (3t ) ] t+X−[ x +x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t ) ] t−2 sen (3 t )−18 sen (3t )

x =−2 [ x + x−2 sen (3 t )−6 cos (3 t ) ]+X−20 sen (3 t )


x =−2 x −2 x+4 sen (3 t )+12 cos (3 t )+X−20 sen (3 t )

3). x2+ y2−cx=0 ;c∈R

4). r=Aln|θ|+Bθ; A , B∈ R

5). y=Ax3+B x2+Cx ;a ,b , c∈ R

6). x2

a2 + y2

b2 =1 ;a , b∈R

7). x=Ae−t+Be−t+C e2t ;A ,B ,C∈ R

8). y=Ae−kt cos (nt )+Be−kt sen(nt ); A ,B , k∈R;n∈N

Solución: Numero de constantes (A, B)=2Entonces la EDO es de 2° orden.

y=Ae−kt cos (nt )+Be−kt sen (nt ) ………………………… (1 )derivamos implicitamente respecto a t

y '=−kAe−kt cos (nt )−nA e−kt sen (nt )−kB Ae−kt sen (nt )+nB Ae−kt cos ( nt ) ……… .. (2 )la ecuacion (2 ) dividimos entrek

y 'k

=−A e−kt cos (nt )−nk

Ae−kt sen (nt )−B Ae−kt sen (nt )+ nk

B Ae−kt cos (nt )……… .. (3 )

Sumamos laecuacion (2 )+(1 )y 'k

+ y=−nk

Ae−kt sen (nt )+ nk

B Ae−kt cos (nt )……… .. (4 )

Derivamos implicitamente respecto a ty ' '

k+ y '=n Ae−kt sen (nt )−n2

kAe−kt cos (nt )−nBe−kt cos ( nt )−n2

kBe−kt sen (nt )… (5 )

Laecuacion (4 )multiplicamos por ky '+ky=−nAe−kt sen (nt )+nB Ae−kt cos (nt ) …………………. (6 )

Sumamoslaecuacion (5 )+(6 )y ' '

k+2 y '+ky=−n2

k( Ae−kt cos (n t )+Be−kt sen (nt ) )

De laecuacion (1 )y ' '

k+2 y '+ky=−n2

ky

∴ y ' '+2k y '+ y (k 2+n2 )=0 Rspta.

9).x=Ae−t+Be−t+C e t sen (t )+De2t cos (t) ;A ,B ,C ,D∈R

10). y=A e−x+Be− x+C ex senh ( x )+De−x cosh (x) ;A ,B ,C ,D∈R

11). y=A ex+Be2x+Ce− x sen ( x )+De2x cos(x ) ;A ,B ,C ,D∈R

12). y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De− xcosh (x ) ;A ,B ,C ,D∈R


x +2x = x−16 sen (3 t )+12 cos (3 t )

Solución:

y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De− xcosh ( x ) …………… (1)

y '=Aex+2B e2x+C e−2 x [−2 senh (x )+cosh ( x ) ]+De−x [senh ( x )−cosh ( x ) ] …………………….(2)

y ' '=A ex+4 Be2x+Ce−2x [5 senh (x)−4 cosh ( x ) ]+De− x [−2 senh ( x )+2cosh ( x ) ]……… ……….(3)

Restandolas ecuaciones (2)−(1)

y '− y=Be2x+Ce−2 x [−3 senh (x )+cosh ( x ) ]+De−x [ senh ( x )−2 cosh (x ) ]……………… …….(4)

ℜ standolas ecuaciones (3)−(2)

y ' '− y '=2 Be2 x+C e−2x [7 senh(x )−5cosh ( x ) ]+De− x [−3 senh ( x )+3 cosh ( x ) ] ……………….(5)

multiplicando por dosa la ecuacion ( 4 )

2 y '−2 y=2Be2x+Ce−2 x [−6 senh ( x )+2cosh ( x ) ]+De−x [2 senh ( x )−4 cosh ( x ) ] …………………….(6)

Restandolas ecuaciones (5)−(6)

y ' '−3 y '+2 y=C e−2x [13 senh(x )−7cosh ( x ) ]+De−x [−5 senh ( x )+7 cosh ( x ) ]Ahoradespejando laconstante“C”

( y ' '−3 y '+2 y )−De− x [−5 senh ( x )+7cosh ( x ) ]e−2 x [13 senh (x)−7cosh ( x ) ]

=C

Para poder facilitarnos hacemosuncambiode :

M=e−x [−5 senh ( x )+7 cosh ( x ) ]N=e−2x [13 senh(x )−7cosh ( x ) ]Entonces tenemos

( y ' '−3 y '+2 y )−DMN

=C

Derivando setiene

N [( y ' ' '−3 y ' '+2 y ')−DM ' ]−[( y ' '−3 y '+2 y)−DM ] N '

N2 =0

N [( y' ' '−3 y ' '+2 y ')−DM ' ]−[( y ' '−3 y '+2 y )−DM ] N '=0

N ( y ' ''−3 y ' '+2 y ' )−N ' ( y ' '−3 y '+2 y )=D(N M '−M N ' )

N ( y ' ' '−3 y ' '+2 y ' )−N ' ( y ' '−3 y '+2 y )(N M '−M N ')

=D

derivando :

(N M '−M N ' ) ddx

( N ( y ' ' '−3 y ' '+2 y ' )−N ' ( y ' '−3 y '+2 y ))−(N ( y ' ' '−3 y' '+2 y ' )−N ' ( y' '−3 y '+2 y )) ddx

(N M '−M N ' )

(N M '−M N ' )2 =0

(N M '−M N ' ) ddx

(N ( y ' ''−3 y ' '+2 y ' )−N ' ( y ' '−3 y '+2 y ) )−( N ( y ' ' '−3 y ' '+2 y ' )−N ' ( y ' '−3 y'+2 y )) ddx

(N M '−M N ' )=0


(N M '−M N ' ) [ [N ( y ' ' ' '−3 y ' ''+2 y ' ' )+ ( y ' ''−3 y ' '+2 y ' ) N ' ]− [N ' ( y ' ' '−3 y' '+2 y ' )+( y ' '−3 y '+2 y ) N ' ' ] ]−(N ( y ' ' '−3 y ''+2 y ' )−N ' ( y ' '−3 y '+2 y )) [ [ N M ' '+M ' N ' ]−[ M N ' '+N ' M ' ] ]=0

(N M '−M N ' ) [ (Ny ' ' ' '−3 Ny ' ' '+2Ny ' '+N ' y ' ' '−3 N ' y ' '+2 N ' y ' )−(N ' y' ' '−3N ' y ' '+2 N ' y '+N ' ' y ' '−3 N ' ' y '+2 N ' ' y ) ]− [N y ' ' '−3N y ' '+2N y '−N ' y ' '+3 N ' y '−2 N ' y ] [ N M ' '+M ' N '−M N ' '−N ' M ' ]=0

(N M '−M N ' ) [ N y ' ' ' '−3N y ' ' '+2 N y ' '+N ' y' ' '−3N ' y ' '+2 N ' y '−N ' y' ' '+3 N ' y ' '−2 N ' y '−N ' ' y ' '+3 N ' ' y '−2 N ' ' y ]−[ N y ' ' '−3 N y ' '+2 N y '−N ' y ' '+3N ' y '−2N ' y ] [ N M ' '−M N ' ' ]=0

(N M '−M N ' ) [ N y ' ' ' '−3Ny ' ' '+(2N−N ' ' ) y ' '+3N ' ' y '−2N ' ' y ]−[ N y ' ' '−(3N+N ') y ' '+(2 N+3 N ' ) y '−2 N ' y ] [ N M ' '−M N ' ' ]=0

(N M '−M N ' ) N y ' ' ' '−3N (N M '−M N ' ) y ' ' '+(2N−N ' ')(N M '−M N ' ) y ' '

+3N ' ' (N M '−M N ' ) y'−2N ' ' (N M '−M N ' ) y−(N M ' '−M N ' ' ) N y ' ' '+(3 N+N ') (N M ' '−M N ' ' ) y ' '

−(2 N+3N ' ) (N M ' '−M N ' ' ) y '+2 N ' (N M ' '−M N ' ' ) y=0

(N M '−M N ' ) N y ' ' ' '−(3 N2 M '−MN N ' ) y ' ' '+(2 N−N ' ' )(N M '−M N ' ) y ' '

+3 N ' ' (N M '−M N ' ) y '−2 N ' ' (N M '−M N ' ) y−(N 2 M ' '−M NN ' ' ) y ' ' '+(3N+N ')(N M ' '−M N ' ' ) y ' '

−( 2N+3 N ' ) (N M ' '−M N ' ' ) y '+2N ' (N M ' '−M N ' ' ) y=0

13). y=A ex sen(x )+Be2x cos(x )+Ce− x senh ( x )+De x cosh (x ) A ,B ,C ,D∈R

IV. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de las

curvas en el plano XY :

1). Todas las rectas con pendiente igual a 1.

2). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje Y iguales.

Solución: Sea lafamilia derectas : y=Ax+B→si x=0→ y=B

Esta expresiondebe ser iguala la pendiente A→ A=B……… (1)luego :

y=Ax+B tomando logaritmos : ln ( y )=ln ( Ax+B )Derivandorespecto a x :

y '

y= A

Ax+B→ y '= Ay

Ax+B………….(2)

pero de (1 ) : A=Breemplazamos en laecuacion(2)

Entonces : y '= yx+1

∴ y ' ( x+1 )− y=0 Rspta.

3). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje X iguales.

- Sea lafamilia derectas :

y=ax+b , y '=a , si y=0→ax+b=0→x=−ba

- Esta expresiondebe ser iguala la pendiente A :−ba

=a→b=−a2 … .. 1

- Luego y=ax+baplicando logaritmos ln ( y )=ln (ax+b )- Derivandorespecto a x

y 'y

= aax+b

→dydx

= ayax+b

de (1 ) :b=−a2


→dydx

= yx−a

→ y' ( x−a )= y

→ y ' (x− y ' )= y→ x y '− y '2− y=0

4). Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a k .

5). Circunferencias con el centro en el origen.

6). Circunferencias sobre el eje X .

7). Circunferencias con centro sobre la recta y=−x

2 y que pasen por el origen.

8). Circunferencias con centro en el punto arbitrario P (C , D ) y radio igual a r

(r es arbitrario¿ .

9). Parábolas con el eje paralelo al eje y y con la distancia del vértice al

foco igual a A.

Solución: ( x−h )2=4 p ( y−k ) ………………… (1 )

perola distancia del vertice al foco es pentonces A=preemplazamos en la ecuacion(1):

( x−h )2=4 A ( y−k ) ………………. (2 )derivamos implicitamente respecto a x .

2 ( x−h )=4 A y '

1=2 A y ' '

∴2 A y ' '−1=0

10). Parábolas con el eje y el foco sobre el eje X .

SOLUCION

Si: y2=4 px derivando con respecto a x

2 ydydx

=4 p

p= y y '

2Reemplazando en la ecuación de la parábola

y2=4( y y '

2)x

y=2 y ' x2 y ' x− y=0

11). Parábolas con el eje paralelo al eje X .

Solución:


Y

X

V (h; k) F (h+ p ;k )

Pordefinicióndeparábolas

( y−k )2=4 p (x−h ) …………… .. (I )

donde : h , k y p ;son constantes variables

Porlotantosuecuacióndiferencialesdetercerorden

Entoncesderivamoslaecuación(I)

2 ( y−k ) y '=4 p

( y−k ) y '=2 p

( y−k )=2 p

y'………… (II )

Reemplazamosenlaecuación(II)en(I)

( 2 py ' )

2

=4 p ( x−h )

(4 p) py '2 =4 p (x−h )

p

y '2=( x−h )

p= (x−h ) y '2 …………………… ……..(III )

Derivandolaecuación(III)

0=( x−h ) 2 y ' y ' '+ y '2

− y '2=( x−h )2 y ' y ' '

y '2=(h−x )2 y ' y ' '

h= y '2

2 y ' y' ' +x ……………………… …. (IV )

Derivandolaecuación(IV)

0=12 [ y ' y ' ' (2 y ' y ' ' )− y '2( y ' y ' ' '+ y ' ' y ' ')

( y ' y ' ')2 ]+1

−2 y '2 y ' '2=2 y '2 y' '2− y '3 y ' ' '− y '2 y ' '2

y '3 y ' ' '−3 y '2 y ' '2=0…..Respuesta


12). Hipérbolas equiláteras con centro en Q ( M , N )

Solución:Las hipérbolas equiláteras se caracterizan por tener sus ejes transverso y conjugado de igual longitud.Es decir a=b luego si la ecuación de la hipérbola es:

H :( x−M )2

a2 −( y−N )2

b2 =1 , toma la forma más simple

H : ( x−M )2−( y−N )2=a2

Primera derivada de y: 2 ( x−M )−2 ( y−N ) y '=0 ( x−M )− ( y−N ) y '=0………… …………… .. ( β )Segunda derivada de y: 1−( y ' )2

−( y−N ) y ' '=0…………………………. (θ )

⟹ ( y−N )=1−( y ' )2

y ' '

⟹ ( x−M )−(1−( y ' )2

y ' ' ) y '=0

⟹ ( x−M )= y '

y ' ' −( y ' )3

y ' '

Tercera derivada de y:

( y ' ' )2− y ' y ' ' '

( y' ' )2−

3 ( y ' )2 ( y ' ' )2−( y ' )3 y ' ' '

( y ' ' )2=1

( y ' ' )2− y ' y ' ' '−3 ( y ' )2 ( y ' ' )2+ ( y ' )3 y ' ' '

( y ' ' )2=1

( y ' ' )2− y ' y ' ' '−3 ( y ' )2 ( y ' ' )2+( y ' )3 y ' ' '=( y ' ' )2 ∴ y ' ' ' [ ( y ' )3− y ' ]−3 ( y ' )2 ( y ' ' )2=0

13). Circunferencias tangentes al eje X .

Primero la ecuación de la circunferencia es.

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

El centro de la circunferencia es: C(h;k).

Como es tangente al eje x. Entonces r=k.

( x−h )2+ ( y−k )2=k2……………….(1)

Derivamos la ecuación (1).

2 ( x−h )+2 ( y−k ) y ´=0


x−h+ yy −ky =0………….(2)

Hacemos la segunda derivada.

1−0+ y . y + y . y −ky =0

1+( y )2+ y . y −ky =0

1+ ( y )2+ y . yy

=k

Hallamos el valor de “h” en la ecuación (2).

x−h+ yy −[ 1+( y )2+ y . yy ] y =0

h=x+ yy −[ 1+( y )2+ y . yy ] y

reemplazamos en la ecuación (1) los valores de h y k.

{x−(x+ yy −[ 1+( y )2+ y . yy ] y )}

2

+{y−( 1+( y )2+ y . yy )}

2

=( 1+( y )2+ y . yy )

2

{yy −[ 1+( y )2+ y . yy ] y }

2

+{y−( 1+( y )2+ y . yy )}

2

=( 1+ ( y )2+ y . yy )

2

( y )2 {y−[ 1+ ( y )2+ y . yy ]}

2

+{y−( 1+ ( y )2+ y . yy )}

2

=( 1+( y )2+ y . yy )

2

{y−[ 1+( y )2+ y . yy ]}

2

( ( y )2+1 )=(1+ ( y )2+ y . yy )

2

{ y . y −1−( y )2− y . yy }

2

( ( y )2+1 )=(1+( y )2+ y . yy )

2

{1+( y )2

y }2

(( y )2+1 )=(1+( y )2+ y . yy )

2

(( y )2+1 )3=(1+( y )2+ y . y )2

14). Cónicas centrales con el centro en el origen y vértices sobre los ejes

coordenados.

15). Tangentes a la parábola x2=2 y.


(( y )2+1 )3−(1+( y )2+ y . y )2=0

- Analicemosla ecuacióndeunarecta tangente

m=y− y 0

x−x0

,la pendiente vaca mbiar en torno ala

funcion: f (x0)

→ y− y0=d f (x0 )

dx(x−x0 )……1

siendo : x2=2 y , x0=√2 y0 … .2

Laderivada2x=2 y ' → y '=x … ..3

- Con2 y 3en1

y− y0=x ( x−√2 y0 )→ y− y0=x2−x√2 y0…… 4

- Derivandorespecto a x

y '=2 x−√2 y0→√2 y0=2x− y' → y0=( 2x− y ' )2

2…5

- 5 reemplazandoen 4

y−(2 x− y ' )2

2=x (x−√2

(2 x− y ' )2

2 )2 y−(4 x2−4 x y '+ y '2 )

2=( x2−(2 x− y ' ))

2 y−4 x2+4 x y '− y ' 2=2 x2−4 x+2 y '

2 y−6 x2+4 x y '− y '2+4 x−2 y '=0

V. Determinar para que valores de m cada una de las siguientes ecuaciones

diferenciales ordinarias tiene soluciones de la forma y=emx:

1). y ' '+ y'−6 y=0

2). y ' ' '−3 y ' '+2 y '=0

3). 2 y ' ' '+ y ' '−5 y '+2 y=0.


VI. Aplicando el método de las isoclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones

diferenciales ordinarias siguientes:

1). y '= y+2 x

2). y '=x+ y

3). y '=¿

- Solucion:

y '=¿

f ( x, y )=¿

¿

- II isoclina particular :1. Sik=0→ y=−1→tg (∝ )=0→∝=0

2. Sik=1→ y=0→tg (∝ )=1→∝=45

- Los valoresextremos (Max y min)

f ( x, y )=¿

→f ( x , y )=0

¿→los valoresestremos estan sobre¿

- Concavidad y puntos de inflexiony '= f ( x , y )

→ y '<0o ( y '>0 ) (concavidad )

y ' '=0( puntos de inflexion)

→ y '=f ( x , y )=¿


K=1K=0

K=4

K=9

Rectas paralelas cuyo rango es: [−1 , ∞ ⟩

y ' '=2 ( y+1 ) y '

y ' '=2 ( y+1 )¿

y=−1

analizando y' ' concavidadhacia arriba

- Analizar si una curva isóclina es una o no una curva integral

y '=f ( x , y )=¿

¿

Siremplazamos y=√k−1en y '=¿

y '=ke n y=√k−1 reemplazamos k=0

y=−1∴Las curvasintegralesno tienen puntos de inflexion

- Analizar la existencia y unicidadf ( x, y )=¿

∂∂ x

¿

→f ( x , y )=¿de existencia yunicidad .

4). y '=2 x2− y2

5¿ . y¿ '=sen ( x+ y )

6). y '=x2−2 x+ y

7). y'= y+x

y−x

8). y'= 1

2(x−2 y+3)


9). y'= y−1

x+1

- Solucion:

y '= y−1x+1

→ y '=f ( x, y )

f ( x, y )=y−1x+1

=k

y−1=k ( x+1 )+1

- II isoclina particular :3. Sik=0→ y=1→tg (∝ )=0→∝=0

4. Sik=1→ y=x+2→tg (∝ )=1→∝=45

5. Sik=2→ y=2x+3→tg (∝ )=2→∝=63,30

6. Sik=−2→ y=−2x−1→tg (∝ )=−2→∝=116,30

7. Sik=−1→ y=−x→tg (∝ )=−1→∝=135

- Los valoresextremos (Max y min)

f ( x, y )=y−1x+1

=k=0

→f ( x , y )=0

y−1x+1

=0

→los valoresestremos estan sobre y=1

- Concavidad y puntos de inflexion


K=9

K=2K=3

K=1

Familia de rectas que pasan por (−1,1¿

y '= f ( x , y )

→ y '<0o ( y '>0 ) (concavidad )

y ' '=0( puntos de inflexion)

→ y '=f ( x , y )=y−1x+1

y ' '=y ' ( x+1 )−( y−1 )

( x+1 )2

y ' '=( y−1x+1 ) ( x+1 )−( y−1 )

( x+1 )2=0

y=0

analizando y' ' presenta puntos de inflexion

- Analizar si una curva isóclina es una o no una curva integral

y '=f ( x , y )=y−1x+1

=K

y−1x+1

=K → y=k ( x+1 )+1

Siremplazamos y=k ( x+1 )+1en y '= y−1x+1

y '=ke n y=k ( x+1 )+1reemplazamos k=0

y=1∴Las curvasintegralesno tienen puntos de inflexion

- Analizar la existencia y unicidad

f ( x, y )=y−1x+1

∂∂ x ( y−1

x+1 )= 1x+1

→f ( x , y )=y−1x+1

,1

x+1esreal y continuaaexepciondeel punto (−1 , y ) , entonces

cumple conel teoremadeexistencia y unicidad .


5). 10). y '=cos (x− y)

VII. Resuélvase cada una de las siguientes EDOs. de variables separables:

1). tln ( x ) ln (t)dt+dx=0. x (1 )=e

2). ex3− y2

+ y

x2

dydx

=0

3¿ .dvdu

+sen (u+v2 )=sen (u−v

2)

4). (1+ y2 ) (e2x dx−e y dy )−(1+ y ) dy=0

5). (xy2− y2+x−1 )dx+(x2 y−2 xy+x2+2 y−2x+2 )dy=0

- Solucion:

- Separamosen funcionde sus variables :

(xy2− y2+x−1 )dx+(x2 y−2 xy+x2+2 y−2x+2 )dy=0

( y2 ( x−1 )+x−1 )dx+(x2 y+x2−2xy−2x+2 y+2 )dy=0

( x−1 ) [ y2+1 ] dx+[ x2 ( y+1 )−2 x ( y+1 )+2 ( y+1 ) ] dy=0

( x−1 ) [ y2+1 ] dx+( y+1 ) [ x2−2 x+2 ]dy=0( x−1 )

x2−2x+2dx+

( y+1 )[ y2+1 ]

dy=0

- Ahoraintegramos :

∫ ( x−1 )x2−2 x+2

dx+∫ ( y+1 )[ y2+1 ]

dy=c

12∫

(2x−2 )x2−2 x+2

dx+ 12∫

2 y

[ y2+1 ]dy+∫ dy

[ y2+1 ]=c

12

ln (x2−2 x+2 )+12

ln ( y2+1 )+arctg ( y2+1)=c

6). y '= x2− y2

x2+ y2

SOLUCION

dydx

= x2− y2

x2+ y2


(x¿¿2− y2)dx=(x¿¿2+ y2)dy ¿¿(x¿¿2− y2)dx−(x¿¿2+ y2)dy=0¿¿Probando si son homogéneaM=(x¿¿2− y2)dx ¿ , N=(x¿¿2+ y2)dy ¿f ( X ,Y )=Mf ( x , y )=( x¿¿2− y2)¿ f (rx , ry )=r2 x2−r 2 y2

f (rx , ry )=r2(x2− y2), homogeneade grado2

N=(x¿¿2+ y2)dy ¿ f ( X ,Y )=Nf ( x , y )=( x¿¿2+ y2)¿ f (rx , ry )=r2 x2+r2 y2

f (rx , ry )=r2(x2+ y2), homogeneade grado2si eshomogeneade grado2.(x¿¿2− y2)dx−(x¿¿2+ y2)dy=0¿¿sea : y=ux →dy=udx+ xduReemplazando(x¿¿2−(ux )2)dx−(x¿¿2+(ux )2)(udx+xdu)=0¿¿(x¿¿2−u2 x2)dx−(x¿¿2+x2 u2)(udx+xdu)=0¿¿x2 dx−u2 x2 dx−(x3 du+x3u2du+ux2 dx+u3 x2 dx )=0

x2 dx−u2 x2 dx−(x3 du+x3u2du+ux2 dx+u3 x2 dx )=0(x2 dx−u2 x2−u x2−u3 x2¿dx-(x3 du+x3u2 ¿du=0

x2 (1−u2−u−u3 )dx=x3 (1+u2 )du

dxx

=du (1+u2 )

(1−u2−u−u3 )dxx

−du (1+u2 )

(1−u2−u−u3 )=0

integrando

∫ dxx

=∫ du (1+u2 )(1−u2−u−u3 )

∫ dxx

−∫ du (1+u2 )(1−u2−u−u3 )

=∫0

ln|x|−∫ ( 1+u2 )du

(1−u−u2−u3 )=c

7). (x+ y eyx )dx−x ey / xdy=0

(x+ y eyx )dx−x ey / xdy=0

Solución:

M=x+ y eyx ; N=x e y/ x

f ( x ; y )=x+ y eyx ; f ( x ; y )=x e y/ x


f (rx ;ry )=rx+(ry)e( ryrx )

; f ( x ; y )=(rx ) e( ry / rx )

f (rx ;ry )=r ( x+ yeyx ); f (rx ;ry )=r (x e y / x )

f (rx ;ry )=rf ( x ; y ) ; f (rx ;ry )=rf ( x ; y )

Porlotanto

MyNsonhomogéneasdegrado1

sea y=ux⇒dy=udx+xdu

Reemplazando

(x+ux euxx )dx−x eux / x (udx+ xdu )=0

(x+ux eu )dx−x eu (udx+xdu )=0

xdx+ueu xdx−ueu xdx−eu x2 du=0

xdx−eu x2 du=0

xdx

x2−eu du=0

dxx

−eudu=0

Integrando

∫ dxx

−∫eu du=C

ln|x|−eu=C

Reemplazandoel valor deu ,donde : y=ux⇒u= yx

ln|x|−eyx =C………..respuesta

8). y'= −x+2 y

2x+3 y+1

Solución:

dydx

= −x+2 y2 x+3 y+1

dx ( x+2 y )+(2 x+3 y+1 )dy=0

M N

Como vemos no se va a poder solucionar con variables separables,

Pero vamos a probar , si es una ecuación diferencial exacta:

∂ M∂ y

=2


∂N∂ x

=2 Son iguales, por tanto, si es EXACTA.

Ahora, integremos directamente, haciendo x=x0 en N ( x , y )

Así, tenemos:

∫x0

x

( x+2 y ) dx+¿∫y0

y

(2x+3 y+1 ) dy=C1¿

⟹x2

2+2 yx ]

x=x0

x=x

+2xy+3 y2

2+ y ]

y= y0

y= y

=C1

⟹[ x2

2+2 yx−( x0

2

2+2 y x0)]+[2xy+

3 y2

2+ y−(2 x y0+

3 y02

2+ y0)]=C1

⟹ x2

2+4 xy+ 3 y2

2=

x02

2+4 y x0

+3 y02

2+ y0 C

1

C

⟹ x2

2+4 xy+ 3 y2

2=C

⟹ x2+8xy+3 y2=2C………..respuesta

9). (4 x+11 y−42 ) dx+(11 x−9 y−37 ) dy=0

10). ( x−2 y−1 ) dx+(3 x−6 y+2 ) dy=0

11). (x2 y3+2 x y2+ y )dx+(x3 y2−2 x2 y+x )dy=0

- Solucion:

(x2 y3+2 x y2+ y )dx+(x3 y2−2 x2 y+x )dy=0

- Separamosen funcionde sus variables :

y (x2 y2+2 x y+1 )dx+x ( x2 y2−2 x y+1 )dy=0

y ( xy+1 )2dx+x ( xy−1 )2 dy=0……1

xy+1=z →dzdx

= y+x y '→ y'=

dzdx

− y

x…2

- 2 remplazamos en1

y ( z )2+x ( z−2 )2( dzdx

− y

x )=0

y ( z )2+( z−2 )2( dzdx

− y )=0


12. (1−xy+x2 y2 )dx=x2dy

VIII. Resuélvase las siguientes EDOs mediante un cambio de variable:

1). y '=cos (x+ y )

2). x y2 (x y '+ y )=a2

3). (x2 y2+1 )dx+2 x2dy=c

4). (x2 y3+ y+x−2 )dx+ (x3 y2+x )dy=0

5). (x+ y−2+ 1x )dx−(2−x− y ) dy=0

- Solucion:

(x+ y−2+ 1x )dx−(2−x− y ) dy=0

- verificamosque seauna EDO :

(x+ y−2+ 1x )dx−(2−x− y ) dy=0

f ( x , y )=m=x+ y−2+ 1x

; f (x , y )=n=2−x− y

f (rx , ry )=r x+r y−2+ 1rx

; f (rx , ry )=2−r x−r y

noes homogeneade grado1 ;noes homogeneade grado 1

→laEDOnoes homogenea por loque nose procede a lasustitucion

6). (2 x−2 y+xe x)dx− (2x−2 y−1 )dy=0

7). x2 ydx−(x3+ y5 )dy=0

8l). ( y2−lnx )dx+ x y3 dy=0

9). (x+2 y3 )dx+6 x y2 dy=0

10). ln ( y '−3 )= y−2x

11).dydx

= √x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y

12). dydx

=2 yx

+ x3

y+ xtan( y

x2 )13).

dydx

=3 x5+3 x2 y2

2 x3 y−2 y3 ;haciendo x=up , y=vq

Huancavelica diciembre del 2012.



Documents

1ra Prac a. Mat IV 4to c Civil 2012-II (1)