A physical-mathematical approach to a model o( basilar membrane displacement

G. BUJA

Laboratorio per l'Elenronica Biomedica del C.N.R., Padova, I1aly

l. INTRODUCTION

In developing a mathematical model of the basilar membrane dispiace· ment it is very desiderable to perform a physical derivation of the model in view of a better understanding of the p hisiology of hearing. This deriva­tion is made b y an analysis of the propagation of t he signal, hearing acousti­cal information in the inner ear.

2. SHORT REVIEW OF TBE COCHLEA ANATOA!Y ANI> PHYSIOLOGY

The cochlea in man is a snail-sbell like spirai; it is sketched unrolled and stretched out in Fig. L The cochleais formed of two scalas (vestibuli and ty mpani) divided by a duct formed by Reissner's membrane .and basilar membrane (scala media) . The former two sc.alas, in communication through the helicotrema, are filled with the perilymph fluid, the latter with the endoÌymph.

The basi.lar membrane, of average length 35mm, is sti:ffer and less massive at the basai end, more compliant and massive at the apical end.

F òg. l. - Schernatic drawing of the buman enr .

Its resonant properties, therefore, v ary conti­nuously along its len­gth.

The org an of Corti is resting upon the ba· silar membrane in con­tact with t he perily· mph. This or gan is the terminai of the audito­ry nerve. The piston action of the stapes pro­duces a compressional wave in the fluid. In

. lnn. !st. Su.pet". Sani/tl (1972) l , 84S-864

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BUJA. 845

correspondence the scala media vibrates. The two membranes, Reissmer's and basilar, move cophasically only a t low frequencies.

The displacement of the basilar . membrane exercises a pressure with the aid of another cochlear membrane (tectorial) upon the Corti's organ hair cella. When the hair are sufliciently deformed, the auditory sensation is inserted.

Tb e acoustical vibrations, however, continue: through the fluid in the scala tympani and are released, so to speak, at the round window which has one face toward the air space of the middle ear.

The physiology of the cochlea has been Jargely studied by VoN BEKESY (1943). He found the frequency·response curves of some points along the basilar membrane, showed in Fig. 2.

For each point the peak of the displacement, set equal to another in Fig. 2, is in correspondence to a determined frequency which is called characteristic frequency of that point. The amplitude of the displacement along the membrane and the difference in phase between the displacement of the stapes, driven sinusoidally, is sketched in Fig. 3 b for some fre­quencies (the continous curves). One can note that for frequencies below 1000 Hz the amplitude of the maximum increases approximately 4 or 5 dbfoctave and above 1000 Hz ftattens off.

The data of Fig. 3 bave been rielaborated by FLANAGAN (1960) by normalizing them to the maximum response frequency. The results are reported in Fig. 4.

VoN BEKESY (1947), also, 6rst established that a stapes excitation is propagated down the basilar membrane in the form of a travelling wave of displacement. Because of the taper of the distrihuted constants with the distance, essentially no reftection takes piace at the helicotrema and no standing wave of displacement is created. The curves of Fig. 3 are the envelopes of the travelling waves.

It is also interesting to understand the cochlear fluid dinamica; by ToNNDORF's (1956; 1959; 1960) experiments one can point out that:

a) the fluid motion in the scala vestibuli is trochoidal;

b) there is a change of the perilymph displacemcnt parallel to the membrane with the lenght of the scalas;

c) there is a change of the perilymph displacement vertical to the membrane with the dcpth of the scalas;

d) there is a similarity of the membrane wave pattem to those of the perilymph in the scalas.

These ohservations indicate that the cochlear fluid motion and the associated displacement of the sca,la media represent a system of surface wavee.

.~nn. lsl. .• <;"prr . Sanità (1972) a, 1'143-854

846

A compari;,on of the " ·ave - aud group - velocitics iodical t's that the cochlear wave · are capillary: hence the cochlear tra veli n(.! waves even t is unaO'ected Ly f.rravity aud <·omequently independent on the po,itiun of the orgau in spacc·.

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BUJA 847

3. MATHEMATICAL MODEL OF BASILAR MEMBRANE DISPLACEMENT

The objective of a mathematical model is an approximation of the relation between the stapes displacement s (t) and the displacement of the basilar membrane at a distance x from t he stapes Yx(t). The approximating function is calculated in the frequency-field and is indicated with H(w). 1f the inner ear is assumed to be mechanically passive and linear over the frequency and amplitude ranges of interest, a function of frequency with stahle normal modes can be used to approximate the physiolo-

SCALA VESTIBULI

REISSNER' S MEMBRANE

BASI L AR MEMBRANE

y

Fig. S. - Division of the system « inner ear» in few suhsystem&.

gical data. It is convenient to obtain H(w) dividing the system in few sub-systems according to Fig. 5. In this figure appear the new functions:

f (t) the pressure exercised by the ovai window upon the perilymph;

lt.m (t) the velocity of the perilymph to the distance x =Xo from the stapes; x0 is a short interval, where the separation duct is rigid;

U:t (t) the velocity of the perilymph at the distance x from the stapes, with x > x o. In the following we consider x always greater than xo;

q.., (t) the pressure exercised to the distance x from the stapes by the endo-1ymph on the basilar membrane in the scala media;

H " H 2, H 3, H 4 , indicate the frequency-transfer functions of the subsyst ems .

. lnn. 1st. Super. Sanità (1972) 8, 3!3-,;5~

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bui a lumpc•d paraml' lt:'r. ,,Lt•n• lump, art• inclqtetHlc·nt Ctnc from anotla t•r :

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The velocity iJ .. (t) is given, for (3), by

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In order to account for the losses due to perilymph viscosity, if v is small, the (2) and (4) become :

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(2')

(4')

Because for x = O and y ;:s, -d ù .. (t) = e f"'', we bave

(5)

.Uso in scala media a vdocity-potential is estahlished:

with P2 (y) --= B., K.y in this case. The viscoaities of perilymph end endolymph supposed to be equal, we

h ave a, = a.

The velocity-condition to the Reis oer's membrane, d~~ l -dY y - o

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. l>m. let. Super. Sanit4 (1972) l , 843-~64

17

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BU JA 851

Finally, taking into account with an exponential term, the friction bet­ween the lymphs and the walls, (l O) becomes

H~ (w) = !_>;( senh Kd e - Kd' e - (a •·J .c - j Kx (lO' )

with y an appropriate constant.

The function H .t. (w)

Between the membrane displacement y. (t) and the pressure q;o: (t) there holds tbc relation:

d2 Y .. (t) q~ (t ) = m z - d2- ,- + l;.

with

d y,. (t) d t

- h ,. (t) t o ..

ms : the basiJar m embrane mass per unit area to tbe di:.tance x from stapes ;

t.. the basilar membrane friction constant per uni t area to the d istaoce x fro m stapes. t n is constaot and we shall cali it t;

h,. : the ba;;ilar membrane ela!lticity constant per unit area to Lhe distance x from stapes. Hence tbe frequency transfcr function II., (w) is:

f/4 (w) ~ - ____ l_ . --­m< 102 r l t w -L h_.

Due to the m otion of basilar membrane aoother velocity -potential rises in Lhe scala ty mpani. W e suppose of neclegting its effect on the mtltion of the ba ilar membrane.

The transfer function of the •inner ear

By comparison of attenuation and vhase difference in the in terval xo

and for x > O, l-11 (w) approxilnately equals Z11 • The totaJ trans fer function is

H (to) - C s~nh K d e- Kol'. - ~. - - - - - - ---e-1• ·;·) • jKx (lJ) K m .. w2 T j t w T h,

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BUJA 853

Moreover the phase-curve for frequency 200Hz has the value 3/2 n in the corrispondence of maximom displacement. Since the phase of t erm (12) is hier n f2, the phase of tenn e ib must be n .

Using this datu~ assumed d = 1.4 mm, we obtain from (8), for Tf~ .

the value ~ 8. Finally we assumed d' = df4, y = 0.15. · The values of m.,, t, hz, that one can derived by (13) (14) are equivalent;

values; namely, t hese values would result by taking in account t he mutuai coupling of each llliDp of basilar membrane.

5. CONCLUSION

The function (11), using the data obtained in 4, has been t~ketched for n fixed x ~ 28 mm (the curves labelled with asterisks in Fig. 4) and for fixed frequencies along the basilar membrane (the dashed curves in Fig. 3) with the aid of a digitai computer.

The results obtained are a good approximation of the physiological clata, at least in tbeir trend. Only for low frequencies the phase get out of the data at the apical end. This happens because the velocity of the endolymph near the helicotTema in the scala media cannot be neglected a t these frequencies, and tberefore a standing wave takes piace.

This work wu supported by the L.E.B.M. Tbe author wishes to thank Prof. G. Fran• c ini for bis intereat 111nd n11eful 1>11ggestioru.

Summary. - An analytical model for estimating the basiJar membrane displacement is developed in correspondence to a stapes foot-plate displa­cement stimulation. The frequency field transfer function is obtained by following a periodica! signal in bis physical propagation in the inner ear. The transfer function is elaborated with the aid of experimental data. 1'he obtained responses are 6nally compared with tbc phisiological respo­nses.

Riassunto. (Un approccio fisico al modello matematico dell'orecchio interno).

Viene derivato un modello analitico per valutare lo spostamento della membrana basilare in corrispondenza ad uno spostamento impresso alle s taffe. La funzione di trasferimento è ottenuta nel dominio della frequenza ,;eguendo un segnale periodico che si propaga nell'orecchio interno. La fun­zione di trasferimento cosi derivata viene clabQrata con l'aiuto dei dati spe­rimentali. Infine sono confrontate le risposte del modello con le risposte fi siologiche.

l 1tn. b t. SIIJitr. Sanil4 ( 1972) 8. ~ 1~-~~4

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Studio di un modello di microcircolazione

e sua simulazione a ll'elaboratore numerico

G. TORRESlN • , C. COBELU •, A. PLUCHINOTTA • • , A. GASPARETTO •• e L. COMELLI ••

• Laboratorio pt!r l'ELeuronica Biomedica dPl C.N. R. , Pndotia. •• Cauedra di Anestesiologia e Rianimazione, Univer~icd di Padova.

INTRODUZIONE

~ nota l'importanza dei fenomeni microcirrolatori nclla~cgolozione drgli equilibri cmo(linamici sia fisiologici (metaboliAmo, omeotermia ecc.) che patologici (infiammazione, shock). La loro conoRcenza è di part icolare interesse e da un punto di vista scientifico, trattandosi di un campo ancora ~rarsamente acqui ito, e da un punto di vista clinico per un sempre più valido intervento tcrapeutico, all' insorgere di condizioni patologiche. Per uno s tudio più approfondito del distretto mir rocircolatorio ~:~iamo ricorsi alla co t ru· r.ione di un modello matematico di esso, che abbiamo s imulato all'elabora· Lure numerico. 1!: stato necessario a tal fine attuare uoa sintesi di tutti i dati presenti in letteratura. Le numerose difficoltà incontrate c i molti a sunti, a cui abbiamo dovuto ricorrere, ci ono derivati dalle corse e frammenta· rit• ('Onoscenze che si banno in tale campo.

In questo primo approccio alla simulazione della microcircolazione, ci -. iamn limitati alla considerazione di fenomeni puramente meccanici.

CA HATTERISTrCHE BIOLOGICHE E GEO~H;TRICHE

DEL DISTRETTO MICROCIRCOLATO.RlO

E lemento Atrutturale iniziale del compartimento microvascolare può •·-.~ere ritenuta la «ar teriola», nel suo tratto terminale. Ad essa fa !lcguito la « m.-turteriola » che presenta caratteristiche di passaggio tTO art eriola e (•upillari, ma che, per un flusso di sangue ancora elevato in essa e per la di­vc•rsa influenza elci fattori neurogenici ed umora li, presenta soprattutto carat· lf•ristiche a rteriolari.

Oalle metarteriole cominciano a clipartirsi i primi« caplllari» che tuttavia pn:-.sono originar>'~ i anche dalla a rteriola terminale; e ~o~i rapprel>Cntano la c·~trema porzione terminale ciel di.,tre tto microcircolatorio, ma non tutti hanno le s tesse caratterist iche circolatorie e funzionali. Mentre infatti un nu· mt• ro molto riRlretto è quasi costantt•mente funzionante, a ltri, più numerosi, pu r non e!!to~endo co&tantemente aperti, lo diven tano periodicamente per una

856 SEKINARIO Dl ELETTRONlCA BIOMEDICA

alternanza di flusso che si verifica tra gruppi di capillari i quali si aprono al­ternativamente. Altri capillari in.Jìoe entrano in funzione solo in condizioni di emergenza e costituiscono la possibilità che hanno alcune cellule di for­marsi come tubo endoteliale.

11 numero dei capillari varia nei differenti tessuti a seconda delle va· riazioni dell'attività metabolica normale del tessuto. Cosl, ad esempio, nel circuito capillare che si osserva nel letto ungueale il numero dei capillari è molto basso, mentre nel muscolo scheletrico che presenta grandi variazioni nella domanda di nutrimento specie durante il lavoro, i capillari veri sono molto più numerosi (KROGH, 1922). Da notare inoltre che il flusso nei capil­lari non è sempre costante e neppure uniforme come direzione; tuttavia non ne risulta invalidata la concezione di uno scambio capillare basato su un teorico flusso continuo di sangue che scorre attraverso capillari (ipotesi di Starling-Landis), a causa dell'cH'etto medio di un gran numero di essi.

Un altro tratto del circolo terminale è costituito dal «canale preferen ­ziale» ( o ansa capillue o capillare arterovenoso), presente nel muscolo ecl in altri tessuti, che costituisce una via di tipo capillare, di discreta lunghezza ed a flusso abbastanza rapido verso il versante venulare e che provvede anche alla distribuzione di sangue ad alcuni suoi capillari minori, a seconda degli stimoli agenti sugli sfìnteri posti all'imbocco di queste ramificazioni.

P er quanto riguarda la porzione venosa, che possiamo considerare iniziata nel versante venulare dei capillari, essa ha una capacità totale molto ampia in quanto, un pò come si verifica a livello dei grossi vasi, viene per lo più rispettato il rapporto numerico (due vene per ogni arteria) e dimensionale (la vena sa­tellite un poco più grande della sua arteria) del letto vascolare macroscopico .

Infine, un'altra caratteristica di molti compartimenti microcircolatori è data dall'esistenza di collegamenti diretti tra arteriole e venule detti «anastomosi arterovenose » (o shunts AA V). Lo studio della loro funzione nei vasi viscerali (Walder) ha dimostrato che essi sono o completamente chiusi o completamente aperti e che, in generale si aprono quando la me­tarteriola si chiude e viceversa, rappresentando delle valvole di sicurezza che impediscono un aumento eccessivo della pressione del sangue nei capil­lari quando i meccanismi vasocostrittori bloccano il loro deflusso.

Una sintesi dei dati geometrici, che si riferiscono agli elementi con­siderati, è rappresentata n<:lla Tab . l dove l'ampiezza dei limiti numerici deve esse:re ridimensionata alla luce degli aspetti funzionali.

Nella Fig. l è rappresentato un modello di microcircolazione abbastanza tipico, quale si può facilmente osservare n el muscolo. Anche la Fig. 2 sin­tetizza in maniera abbastanza chiara la varietà e la denominazione dei com­ponenti strutturali, la complessità dell ' architettura microvascolare, le iute­razioni tra distretti vicini ed infine la via di scorrimento che viene percorsa in condizioni normali.

Ann. Ist. S"ptr. Sunitc) (1972) l , ~5-8G7

TORRESIN, COBELLl, PLUCHTNOTTA, CASPAJlETTO E COHELLI 857

TABELLA l

Componenti strutturali della mierocirooJazione

Dia.m.et.ro Spenore del lume p~te

(1') (l')

Arteriola 18 -30 3- '~

Metar teriola 12-18 1,5-2

Stinte~ precapillare 10-12 1,5-2

Canale preferenziale 10-12

Capillari. 4-10

Venula . 20 -25

Anost. art.-ven. 30 -50

Fig. 2. Sintesi dei principali componenti del letto capilJare (ombreggiata la \'Ìa di maggior flusso)

1,5

l

3 - 4

3-4

Lune ben a l P~uiono \"<fCJ<'it1 l Cont<ollo Controrlo

(mm) (mm 11&) (mm/••<) uw-ale wuorllle

1 - 2

0,2 - 1

0,5 - 1

0,1 - 0,7

1 - 2

0,05 - 0,3

40 0.4 - 2 ++ + 35 0,2-1,5 + + +

o +J...+ 10 - 35 0,2-1,5 o + 10 - 30 0,2 - 0,7 o + 12 - 20 0,05 - l o + 30 - 50 0,05 - 1 + o

Fig. l. - Distretto m.icrocircolato­rio nel muscolo. indicante la caratteristica disposi­zione del canale preferen­ziale. I muscoli lisci di controUo sono situati nel­le sedi indicate.

. !nn. l tJI. S111)tr. Sanità (19i2) 8, Bi>&-SG7

'-f.\11'\AKJO DI f.U:ITR0'\11" 810Mf:DI(.A

\lODELLO \1 \TE\1 \TI CO

1111 'olta note h• <'U rallcris ticlw geonwtri <" he e funzionali Jul dis tretto minnl'irrolatorio, ;. IH'I'I"·~ario. per arri\ an· alla simulaziunt•. i-Crin·re I.­equazioni che regolano il mulo dt•l :.ang ur in esso.

L<· ipotc.;i scmpliiÌl'atin· rui :-iamo riror~ i . in quc .. lt• primn approt>,•it• i-OliO ._O.,tanzialmentt• dut': Ja prima ri~uarda )a f(('O lllt'tria del -.i-. t cma: l'i s ia111o riportati tul una ~rometria s landaru per cui aJ ngni tratto di va"" frn dtH' diramazioni 'i t' Ili' attribuii a ,.,,•zio m· costante. A bhiamv poi con :-i­dt·rnl o la parte veuulurt• t·nn•c l' immNrit·u di quella artc riulurc con 'a .. i eli H·zimH· doppia di qn<'llu . ln Fig. 3 l> riportat o lo schema cui l'i siun10 rifatt i nella t·o-truziunc del mmlcllu.

~----~-----~~,~----------------Jll~--------~ u llrt et'io&a

c •

{) venu&a ,, DDBGD

\\ \\

Fijt. 3. - Hnpprc .. culaziouc .,f'lll'll'llllio·u rli di~trellu mirru­cin•olutor io.

La seconda semplificaziml<' riguardu In invuriahilità nd li'IIIJHI dt•i paru­m•·t ri caratteristici dci tratti di 'a;..o che rmnpongono iJ Ji.,t retto. qua li ad e'rn•piu la cedevolezza dd le pareti: aùhiamn ucccltato qui i d .1 t i propo .... ti tlu Bt RTOI\ (19()6), che ~o.ono 1 pcrì1, a nostro av\i-.o, degni di ult t•riun· verilil'a .

Jl moto del sangue nei canali pitl pi<·eoli del distn•tto !'ireolat orio :-i prt'~->entu come muto di partinlle dcformahili (rritrociti) iu t•omlotti elastil'i deformabili. Fintanto che le dimensioni del va.,o sono supcriuri a quelle df'i g lohuli ro si, il moto è regolato dalle u~uali l ejr~i della idrodinamica . I fenn­rueni cht• intervengono sono di tipo rc11isti' o t' rapaciti,·u, dovuti alla 'i­~Cm·iltt dr! «angue ed alla cedevolezza delle pare ti. Sono tnt:.curahi li a quc~> l i livl'lli fenomeni di tipo inerziale a cauì>a delle pil·cole ma:...,l' di fluido in motu.

Lt· relazioni prcssiouc-portata, dette P 1 e Q1 le pressioni in ing resso .atl uu t raltu di vaeo, e P2 c Q~ quelle' in u .. c;i t a . ... uno dt>l tipo:

( J)

(:2)

TORRESIN, COBEt.Ll, PLUCBINOTI'A, CA.SPA'ft.ETI'O E COMELLJ 859

dove R è la resistenza offerta dal vaso al moto del Buido e C la cedevolezza della parete. R vale, per la legge di Poseuille

con r raggio del vaso

= lunghezza del vaso

l" = v iscosità del sangue (praticamente uguale a quella del plasma)

eC = Knrl con K coefficiente di distensibilità e i't r l = volume del vaso.

Quando le dimensioni del vaso sono circa uguali a quelle dei globuli rossi i fenomeni sono ancora dello stesso tipo di quelli considerati. La compo­sizione del sangue per~ fa sì che le condizioni di resistenza siano diverse. In effetti i globuli rossi (dischi biconcavi), s i dispongono in «treno assiale», ed il plasma si viene a trovare fra essi e le pareti del vaso. In forza di ciò l'espressione della resistenza diviene del tipo

con r

Tç

8 !-' l R =-,..---,--:-~

n (r' - r~)

raggio del v aso

raggio dell'eritrocita

= lunghezza del vaso

/t viscosità del plasma

La cedevolezza delle pareti resta la stessa di prima. Nel passaggio, infine, del sangue in vasi di sezione inferiore a quella dei globuli rossi , il pla­sma assolve, da un punto di vista meccanico, solo ad una funzione di lubri­ficazione. In questo caso il fenomeno resistivo non è più lineare. Infatti, a cau sa della« barriera di luhrificazione» interposta fra globulo rosso e pareti del vaso, si ha che la relazione pressione-portata è del t ipo (LtCRTBILL, 1970}:

(3)

per cui la resistenza vale

con a coefficiente caratteristico dipendente dalla sezione del vaso .

• tnn. 1.•1. Stt J)I' r. Sw1i là (1072) 8, 855-St.i

860 i;E \Il'A HIO DI l Lf.TTRO:'I'ICA DIOMJ::DICA

li coefficient e r( viene rjcavat o dai dati sperimentali propo,.ti du Ft::-.c (l9b9) (Fi~. -! ). L'e,pre~ .. ione della cedevolezza resta ancora in variutn ri· spello ai ca..,i precedenti.

20

a

.......

~ ~ ._

IO

iP . è

Il

o

l-ig. l.

2~

.. locll l dell• u llw le ( c-)

\ndamf'nto di'Ua cnduln prl'••oria ai capi di un tratto dt va-o con dinmctro iufcriut{' a qudJo dri glohuli ro--i in funzione drlla velocilù dt> llr rrUuk 1>, inilica il tliuutC'lro dci glolmli roo•i: D, indica il diumt>tro dd \ ll•l>.

Sl\ll !AZIONE ALL'ELABOJlATORE

La simulazinne di un modello matematico all'elaboratore numerico i· oggi grandcmentt> facilitala datru o dci cosiddetti Linguaggi di simulazione. Sono questi dei programmi che fornil!cono all'utente l'intcrfaccia di protxram· mazion<' ncct'.,saria per pa-.c;are dalla descrizione dd prohh·ma del ricercatort' a quella richici-la dall'elaboratore.

Il lingua~giu cui ~iamo ricor, i è il C ~lP (Continuou-. ~·!"teru Modeling Prngram) nt·lla v••rsiouc n•odilìcatn in dotazione a ll'elaiJoratore da noi usa· to (• ). Quc .. to liuguntzgio !->Ìmula, in pratica, ul numerico, un claLoratorc

(0

) La ~mulozione è •lata t'•C!!UÌia sull'claLuratorr JB\J 1800 in ùutuziom· al Luhorn· torio (l(' C l'ElctlrOiliC!I Biomedico del Cl\' lt di Padova. Jl CS~lP rropoo,to dali •• J u \I pt'r il 18110 è btato ampliato e re>o pitt , ·croutile dal Dott. Yulli del J...ER~f. '

TO&llESUf, COBSLLJ, PL11CBII'I01T&, CA.SPA.UTTO E COJO:LLJ 861

analogico. t stata cosl abbastanza semplice la1introduzione al calcolatore

del programma. \ Come è noto, le espressioni (l) e (2) possono essere subito risolte all'ela­

boratore analogico con la configurazione illustrata in Fig. So, che richiede l'impiego di un Sommatore pesato e di un lntegratore. In appendi~e l sono indicati i blocchi funzionali usati nella costruzione del modello. Quando l' espressione della resistenza diventa dipendente dalla p ressione, così come indicato nella {3), la configurazione all'analogica div iene quella di Fig. 56. In

a

b

Fig. S. - Rappresentazione analogica del funzionamento di un tratto di va&o con diametro superiore (a) e inferiore (b) a quello degli eritrociti.

<1uesta il prodotto a · (P 1 - P1) 1 viene ottenuto con un blocco Moltiplica­tore e con un blocco Guadagno. Prima di quest'ultimo, è stato posto un blocco speciale per t ener conto del verso della portata, che sarà rivolto a« valle» per P1 maggiore di P1 e contrario nel caso opposto. t questo in effetti un as­sunto da verificare: infatti, a causa della deformazione subita dagli eritro­citi, non è detto che la resistenza al Busso in una direzione ~;ia uguale a quella nella direzione opposta.

Si sono simulati anche gli sfinteri posti all'inizio dei vasi, con dei blocchi Guadagno. Questi permettono allo sperimentatore di vedere l' irrorazione dei vari siti del distretto, in differenti condizioni di canalizzazione.

Infine, opportuni blocchi simulano le grandezze forzanti all'ingresso c all 'uscita del distretto. Abbiamo qui, come in altra parte, assunto quali grandezze forzanti le pressioni e quali grandezze dipendenti le portate. Questo in accordo con la filosofia del sistema circolatorio, in cui il cuore è in buona approssimazione un generatore ideale di pressione, e dove la portata

.Jn.n.. 1&1 • .'/1<ptr. 8 ani ltl (1972) l , 865-8(17

862

t i p o elemen to

Sommatore

pesato

Mo l tipl i cator e

Gai n

Gene r a to re

funzi o ne

In te gra to r

S pe ci al e

w

x

G

F

n

SE~11 t\AII10 01 l:LETTIIOl' I CA B I OMED ICA

si mb o l o

e2 n e13>--e e3 °

e .~e ·~ o

~ ~

APPENDICE l

d esc rizi o ne

e0

:: P l e 1 +P2e2+P3e3

e = c 1 · e2 o

= p 1

e o ~ rr;o; . ;;; ,

l ; l t l l l l l l l

P 2 e · l P1

e0

= P l + / ( e l+ e 2P2 +e3P3)dt

d a usare sotto p r o gr amm i se r i t t i d a ll'utent e

di san~ue vÌt'ne regola ta dal lt•Lto periferi co; il cuore ;,.i a tlcgua a llt' v ari Hzin­ni di p or tata. Yariando r ampiezza delle SU l' contrazioni. Abhiamo sct·ho, come an da mento di p ressione a rteriola re aH 'iugres~o, un ' onda ,:{ìgmica di­crota artcr io;;a, eou un'ampiezza da 1.) a 40 mm Hg. L'onda viene generala ciclicamenl(' da un bloeco sp('cia le Sub. l.

P er il v<·rsante vcnula r(' abb iamo bCelto un andamento di prc•ssion t• <'o­stante t·on un v alore di 10 1111nHg. Lo schema analogico completo del modello è riportato in Fig. 6.

R ISI I.THI

Volcudo attuare una :<inte5i delle prin cipali caratteristiche emodiua­miche della microcircolazioue che ci sono note, possiamo concludere che nelle lince generali il sangue dcAui~ee dalla arteriola alla venula sia attraverso la metartcriola e qualche capillare collegato a quest a (per una portata p ari a circa un mezzo, tre quarti ù ella portata to tale), sia a ttraverso il canale preferenziale o altro capillare per la rimanente portata .

l

TORRE'UN, COBELU, PLUCBINOTI'A, CASPARETI'O E COMELLI 863-

. lnn . ! st. :iUjlU. Sanità (1972) • • ss:.-~d7

I!Cd

Ln funziona li t ì• di 11ua,..i tu l t i i capi llari. ~'"du~o ror,..l· eolu qu(• lli di ri­

!-!'n a. dipelHh·, comt· l:!ii1 dt•tto. tlnlralteruanrn di Hu~"-o cltf' in t'~-i ,.j veri· lit•a: •·ini· ~rmltru ceri o clw uu c·analt• di 1 ipo preli·n·nziak l'ro' V('Ùa n di i'Ì irihui n· il ":tugue a turno oi vari eapillnri ""llo il controllo d i ... fì nteri prcc·upillari

o

0,66

l' mllsec:

0 , 48

o

l i,.:. '·

u c a

sec 2

b

11) \ndanu~nlu tl••ll ,, tlllr l nl o Ili .. ;u.gur rll'l l <'lllJIII

ultc·unlll d a l tu nckllu all ' u·lÌI •t t.lt•lla 11\l' l a rlt•r inl .a

:Hl ;mo~toruo~i .trl l' rtt ·, t· uu~a rhi thn. l•) \mlamrnt <~

di porlnla a ll ' ll • t• il n di llll ('IIJIÌ ilar•• n .. lln •lt•.-u

• Ì IUJZÌOnc do 11).

eon un t empo di apertura nppn•"''imati' am<'nll' calrola t u eia OJI3Ct a 30 ·<'·

c·u ndi (. lf'c ltta). Souu da cc•n::idt·rart: infine la c·aduta pn·"oria c la riduziun<' eli flu ••ll

a ,-ali <' tluanJo l'ana~tomo.;i art f'r<n <'no-a, nbituahut•utc thiu' a u que.,l i Jj, l'Ili. tcmporoneauwnte -, i nprc.

TOJIRESIN, COBELU , PLUCillNOTTA, CASPAJIETTO E COMELLI 865

Di tutti questi fattori abbiamo tenuto particolarmente conto nell'eseguire le numerose prove all'elaboratore, alcune delle quali consideravano chiusa l' anastomosi arterovenosa con metarteriola chiusa od aperta, altre con ana­l.i tomosi arterovenosa aperta e metarteriola chiusa.

o sec 2

a

... 2

F ig. 8. - a) Andamento di portata nel tempo all'uscita del­l'anastomosi artero•venoea quando l'anastomoai artero-venosa e la metarteriola sono aperte. b) Andamento di portata all 'uscita della metar t ed ola nella ste•~a ~i t uaz.ione di a).

~ella prima prova, ad esempio, con aperti solamente la m etarteriola ed un capillare, si è avuto un flusso medio pari a 2,17 !-Lmlfsec di cui 1,61 [J.mlfsec a carico della metarteriola e 0,56 fl UÙ/sec a carico del capillare in concordanza con i fattori fisiologici accennati (Fig. 7).

Aprendo alternativamente altri capiUari, la distribuzione attraverso questi ha dato risultati soddisfacenti confermando, tra l'altro, la« tenuta» di entrate ed uscite del sistema (portata media entrante = portata media uscente) .

.trm. f~t. S urJtr. Sani td ( 19 72) a, ss.>-&J;

18

SEMI :\ARH) 0 1 ELr.TT flU'I It ;A 1110 \I E I>II .\

Chiudendo invece la m ctarter:iola, acl an a:-. t omusi art crove nosa sempre tluu "a, il flusso, pur riduceudor. i in toto, ~ i dislribuisrf' ai vari capillari in fuu­r.ione uo cbe della loro vicinan.za ai 'a;:i di mag~iorc calibro.

Nelle prove eseguite inyeee ad anastomo..;i arterovenosa aperta , pur n' endosi una portata ablJu;;tanza rid otta H t: i capilluri , questa potrebbe ritenersi sufficiente auchc iu con:;iùcrazioth' d t• l fa t t o eh<: ÌJI quest e condi­zioui la metarteriola è per lo p iù chiu"a (.!:SunTO;\', l Yob) .

o,eJ

o aec 2 u

o,oe

o .. <

b

Fig. 9. - a) Andamento di portat a nd tempo nll'no;cita di un capillare nd anu•tomo-i artc:roHnO~II cJ1ju•a ~ metnrleriola chiu•a. b) Andam1·nto d i port ata i. u n capilla re più lontano ll(•ltt st r••c condiziow di (1).

Le Fig . 7 . 8, e 9 illustrano alcuni ri:;ulta ti otleuuti. )\ella Fig. 7 sono iiJu­strati gli andamenti delle portale ::.anguigoc nel tempo a LL' uscita della m etar­t eriola (Fig. 7a) e di un capillari' (Fig . 7b), aò anastomosi artero-vcnosa cLiusa. Le portate sono ee.presse io m icromillilitri a l secondo cd i t empi io secondi. La Fig . 8 illustra i ritiultati ottenuti in,·ecc ud anastomosi arteru­v cuosa aperta. Nella Fig. 8a è indif'n lo l'and amento della portata aU'uscita dell'anastomosi, e nella F ig . 8b quello all'u!ìcila della m etarteriola. Nella Fig. 9 sono riportati infine i risultati ottenuti cou anast omosi artero-vcnosa

.11111. / si. 811ttcr. Sw1ilti (19i :!) 8, 85:0-867

TOIUU!SIN, COBELLI, PLUCHII'IOlTA, CASPAilETfO E COMELU 867

chiusa e metarteTiola chiusa. Nella Fig. 9a è indicato l'andamento della por· tata nel capillare più vicino alla metarteriola mentre nella Fig. 9b è indi· cato l'andamento di portata in quello più lontano.

Rill88unto. - Si ~ costruito un modello primitivo di clistretto micro· circolatorio e lo si è simulato all'elaboratore, in vista di ottenere inclicazioni quantitative su gli andamenti delle pressioni e delle portato nei vari canali di tale distretto.

La costruzione di quest o p rimo modello (non ci risulta ne siano stati attuati altri), più che darci dei risultati, pure in accordo con la letteratura medica sull' argomento, è servita ad indicare una possibile via nella model· listica del distretto.

Summary (A microcirculation model and its simulation on a numerical computer). - A preliminary mode! of microcirculation bas heen built aod simulated on a numerica! computer to bave quantitative information about the blood pressures and Oows at various sites of the capillary b ed.

This first approach is primarly intended to indicate a poasible way in tb,Qnicrocirculatory system simulation.

Gli AA. ringraziano il Prof. G. Francìo.i pet il auo interessamento al lavoro.

BffiLIOGRAFIA

D UR'l'ON, A. C., 1966. Role of geometry of &Ue und ~hape in the microcirculation. Fetkralion Proe., 25, 1753.

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11111. Idi. SUIJU • .'i(llallaì ( 1972) 8. •S~ flll 7

Simulazinne all' .-lalwral flrt' numerico di un m odello

d i in terazione tra i istem i re5Jiira torio e dr<·olatorio

\' .. \LIIERGU\ l , • C. t IIIII· I.LI • t· t •• T(l(tll ESI \ • •

• l .<ll trtto tli H wloJ!ia . l,;,,/,·. l 1111• 1 si !ti d t / 1utft,t'O.

• • L.ulwrarorio JWr /'); /pttronim /liunu•dir11 tiri C. '\.1<., l~adol'lr .

L' u-.o rlella ,.i m u lazion t· aU'l'lalJorut o n· di ,i.,tt•mi fì,.iolof!id a jl('ill'l'

p :t rt ienlartncnt t' c un \ 'f'llit•n l<'. in quautn cou ,ent t' di riprnclu rllt' il corn JH ,,.. t anH·nto tlimnuicn n partir<' da lllt iu-.it•rnc di mi.,urt• ~'- I H· rimcnt n l i.

] ,j ... t,•mi fì,iolo~iti uuaaui ... ,mn f!l'lleralnwnt(' molto t'omplt• .. -.i ctl ì· utdt·

... tutliarli c·unu· Jut•tlt•lli di in ll·razionc d i ,.otto ... i ... temi piìr !'iemplic·i : un tal••

II IOllll cl i jlriWt'tlt.'rc• (' l' l'Ili CII t' j Il fa 1l i 111111 p i Ìl (i Il (' tit'!>l' fÌ7.i OJ IC' dt•J ._i;..t CIIItl i Il

~otudiu.

Talt• lltt•tutlolu~iu -.i ì• ril•·' a1H par tirolarnlt'llt(• eOt~• at·t· nella rapprr-<'11·

l uzilllll' clt•gli 'C!\111J.i Jj gu,. tra i' ari n ah col un• t•d il "tl ll1!11t' pCillltOJH\rt'. di!• ('O~titui't'IIIICI l'ogf!t' lt u clr•lht Jlff'"l'lllt' ric'f'l'('ll,

H l.t t~UFJ \ UEI ~fOIII ,LLO

La fi•iulugia tJ ,.J ,i ... t ma c·in·ohtturiu r n •-.piratoriu ed i UH'I'Cani,rui tli

~ ~·a m h io t\"""ll'n ''"Hl a 111 p i mente tl•·~ni ti i i 11 lc · tlera 111 ra (D t\ " ,.;o' & E c.­

GLEn•~. Jllh:!: CtnliWE et al .• 19&::!; f. t 'Tu' . it)hh).

11 moddlu ;. a tlllt' cnmpnrtiuwnt i. il cirl'olaturin (liquiclu) Ptl il n·,.piru·

tnrio (~ll.., ... n ... o). rfj, j ... j da una rnttniJranJ ~ullilt• (la "11:1 tt .... e~i.,wnt.' ftm?.iu­uul,• ,., ... rJu·mat i:r.z;e tu in Fi;r. l ).

Gli •f'lllllhi ga""n'i di ( )_ ,. CO: tra l'aria nh c·olan· l'd il ,.au~uc polutu­

nare ,i 't•rifwano a Ji, dlu clc·lla nwrnlm111a intt·qw,ta ... u IHt"'i fì-.it·n-chirnidll':

questi ,.cambi ..;ouo lt•ga t i in n11Hin '-Ìj:!nifit·lltinl ati nktllt l' fu nzitJnÌ cara t·

tt•ri,ticll<' tlt·i ,j.,ll'IIIÌ re,piruturiu t' rirt•ulaturiu. (,ltw·ti .. mw ,tuli ~irnul.ttt

,.c•p:tratarrll' llte l''' r 11llerwn· J,. !!farult•zt.t• forza nti del uwdellu tl'interaziurw .

Jl llllttl t•lln ti PI -.i,telllU cirl'ola tnriu r'· t•cHi t uilll dtl ll ll<l ~orrit· di lrloc•dti

funzitwali . :t\'t'lll i rn rrH' !!rnntlc·zz,• fnrzanti h· prt•""iuni cardi~wlte e t'ti! Il•'

ALBEJ\CONT, COBELLJ E TOJlllES ll'f

.,. ..... SISTBIA """-polr'non.-

ClROOLATOAIO poiiiiOI' ... ., 'l - POUIONARE -fklseo -.ulgno

• l • • l • fklseo~

l l

l t l t l t l ~

~ CO:a SISTEMA

RESPIRATORIO

vie ~retorie

p. l arlll~

Fig. l . - Descrizione funzionale del sistema Jìsiologico.

::: ___ _ -f t----:: •

"·0-----1 t----- o•o

•

~~-----f t-----o•• o

Fig. 2. - a) Modello del sistema circolatorio. p., q. : pressione e 6us110 di sangue all'uscita del ventricolo destro; p; q.: pressione e ftnsso di sa03ue all'ingresso dell'atrio sinistro.

b) ..\!odeUo del sùtema respiratorio p ,: pressione intratoracica; 111: volume tidale

c) .\[odello dello acamhio gaaeoso tra i sistemi respiratorio c circolatorio q : Russo di sangue polmonare;

869

a:, : volume tidale; c1 : concentrazioni di 0 2 e CO~ nel sangue venoso e nell'aria esterna;

g,: concentrazioni di o, e co2 nell'aria alveolare e nel !angue arteriale

.1nn. l&l . .S!iptr. Sanild (1972) a. 868-88()

!\ ì ll •l \Il' \ltlll ltl l Il 11'110'14 ~ 11111\11 1111 \

Jrr<~lldt•1:tl' di tt-~ · ita i llu··i arll·riu·" t• \ ' I:'JIIt-11 ( F il!. ~11 ). Jl t'Utm• J•ut'o ~'"N' '

t'nll-.i•l•·raiP infatti . •·nn ltuotJa upl'rfi••Ìm azium•, iu f!l'DCr<l lur<' di pn• .... inrll':

,-. il ,.i .. t \'111:1 'a-eolun· pt>ri!'eriro (n •·tniok t' !'n pillari) che d <'t('nllina, a pa­r itù di Jitfrr<' IIZt' tli Jlfi '"'ÌIIUC ai •IlO i c•upÌ. ÙiiJ't•rt•nt i flu.,.·i C'Ù il CllllfC' •i atJt.gua

a tJUl'•LP 'ariaziuui d i llu-.u c·uu 'ilriaLiuui att•ll'ampieu a l' m·lla ln·qut·uta

delk cnntrutwni.

JIHIIHit·Jio del ,., i• tt ' lll:t rer-pi ratorin è Cll!o~IÌ tu i t o da Ull ltlO\'('U run:~,;iunalt ·,

a' ' ' lll t' in iu~rt'••o la p r•··,.imw intrulorat·it·a, t'd i11 lt,.,c•ita il volume ·tidalt­

(J'if!. ~b) .

l.t• ',trÌ<Ihil i di ll • t' tl <1 tlt· i dw .. , .. tPmi. il flu . ... ,, el i -.angut• pt~lnumart' t•d

il 'ulume t id al l" . ·l•llo t on·idcnt l l' t•nme gruudt·zzt• ù'iugn'"~"~ ' 1wr il moddln

ti i j ntl•ra:~.io sll' : (,. al t ro• f.( t an Jcz:t.t· t li ing re""" 1-nno le con<'I'H I mzioni d i O~

,. (.(1! IH'I •UII l!U!' 'l' llu • o. dctt·rutina tc dal uat·talw li ,.,IIIH dt• ll'oq~ani•mn. t•

la t'llllll"' ' iL.sOJW dell'ar ia iu ·pirat.a . LI' 'uriaiJili di u -c·it a d el llHH it·llu di iut1•raziunc f.Ouu lt· cum·t•ut razio1n i

d i (l" ,. l ·o! n ..Il' aria uh t•olan• ,. sii' l ,.,ali brut• all' u ... c· ita dd .,;.,, t' m a c ircola turin

JH•Itllttlwn· ( F il!. 2t·).

L'in tl' l't''•t' d i lJlH'•Itt p ro{' t•t l iuwntu. ap plieat11 n<'lla rt·alizzaziune J,•J

mntld lu. c•nn-i ~t e J wl potc·r o 11 \'Il l'TI' ..,j multa li t'H rnt:n t(' .,j 11 i l com purt a 1111'111"

dt•l ·Ì·I•·nta t·umpkt n. · ia dei -,uttu,Ì•It:mi l'lllllJHWl'lllÌ. in nlllcl iziHni li-iult> ­

J!Ìdll' ,. p a l ulu:;ridu•.

La " Ì11111 lazinn•· a l <·alc·ola1nn· di J!Ì1alt• ('oll ,.t' lllf' di a nuliu.art• lt• ri -,pm·lt'

di'i '"t to-i-.tt•tni i-.ulati ,. IJ Ut:llt· dt•l moòdlu di iutnaziuno·: l'"""""u l'II•Ì

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lll.:-1 RIZIII'\1 llt:J. \IIJUI l 1.0

Sistt•llw ci rcolatort 11

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r10 pul111onarc· 11111 ( ... mm li J!}]: H r <' ' i .. t euza dtwu t :-~ alla v i ... r•>,i t ù [g (l' lll

1 · )J: L induttanza l'Uil•tlt.l da c ll'e ll i di Ìllt'rzia dd "angut· !:r nn'J: C •·Pd<•vulezzn 'a·t·olare du\ uln a ll 'cla,.tir itìa dc• ll<· parc· ti lki '11~ 1

l(cm' · b~ }/ g]:

ALBERGONI, COBELLI "E TORRESIN 871

Il sistema circolatorio è stato ampiamente studiato da alcuni AA., ed in letteratura sono apparsi alcuni modelli (WoMERSLEY, 1957; ATTIN· GER, 1963; DE PATER, 1966; RmEOUT & DtcK, 1967; PoLLAK, REDDY & NoonnERGRAAF, 1968).

La maggior parte dei modelli del sistema circolatorio polmonare parte da un,hserie di blocchi funzionali. I blocchi funzionali, posti in cascata, descri•llno il comportamento dei vari tratti ch e si ottengono mediante una opportuna suddivisione del letto vasoolare; il comportamento di ciascun blocco è definito dalla inerzia e dalla viscosità del sangue, e dalla elasticità delle pareti dei vasi. Si è assunto un comportamento lineare (ipotesi larga­mente accettata da molti AA. , almeno per il sist ema polmonare), così che per ogni blocco possono essere de6nite le auto e mutue ammettenze proprie.

11 circuito elettrico equivalente u sato è stato derivato da RmEOUT

& .KATRA (1969), ed è rappresentato in Fig. 3.

tronco arterie •teriole polmon•re polmon•rl polmon•rl

.5 5 .5 5 .5 15 .5 10

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.00051 .~1 .ooo!SI .005I

__,.. pc*nonarl vene c•plll•rle pk:c:ole vene polmon•rl

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.0011 .001I .001 T ------ -----------------1-----------<0

Fig. 3. - Analogia elettrica del modello del sistema circolatorio polmonnre.

In accordo con questo schema, è stato preparato un programma in due fasi per il calcolatore: una subroutine, TRSF, ha come ingressi i valori R, L, C dei singoli blocchi. e come uscite i valori delle ammettenze degli stessi ; una seconda subroutine, SERI, mette in cascata i vari blocchi fornendo le ammettenze risultanti dell'intero sistema dal ventricolo destro all' atrio sinistro. Gli andamenti nel tempo delle pressioni in ingresso e in uscita sono introdotte mediante schede perforate, e lette da una subroutine READ; i coefficienti della serie di Fourier sono calcolati da una suhroutine IBM, FORIT, ed i flussi sono calcolati nel dominio della frequenza e quindi con· vcrtiti nel dominio del tempo.

_lnn . Jsl. $oqJtr • • 5ao•ild (1972) i , 868- 880

!'E\II:'<Allltl TJI EW; J'Tli()'\JC:A UIOMbOICA

, istema re!'piratorio

.. imboli:

P. : r om ponente Yariabil(' dd la pn'··iunc in t rutoarcica [m m Hg]:

P.,.: 'alore mas~imo di P. (! m m llgJ: l ~ : \'Oiumc tidale l mi): J :1 : t.pazio morto anutomicu lmlj: (;, cedevolezza a lvcolarr [ml1mm llg]: C. cedevolezza clellr Yic• rc~piraluri•· e-..tc•u .. ibili [mi IIUll llf!}: J<, rc,_i.,tenza della trachea lmm H A (mi ~)]:

N., resistenza delle vie respiratorit- ,·-.. ten;;ilJi lì [mm llg/(mi1 :<)J: J frequenza n·-.piratoria l' 1].

n modello del SÌStc•ma Tt'I- JlÌratorio riprodut•C la rduzÌUUC dinatlliCU tra

lo sforzo dei mugcoli re..,p iratori c l<' ron .. l'gut·uti var iazioni di volume; puù r1-sere quindi dcAcritto consiclcrando la pre;;;.i~toc· in t rntoracica com() gran­

dezza di ingn:;,so, Ynriabilc ucl tc·mpo. r il volunw pulmooan• come varia­bile di U'-Cita. Le proprietà fi .. idt • dt·l -.1-.temu re .. piratoricJ l'cmo .. tat r ::tu­

diate dcttaglialamentc· in lettt•ra tura (.\lE \l>, 196 l ; CoM n O F. et n l., 1902; UMPOELL, 1970).

Per questo tudio ,.j è fatto rifl·rimenlll ati un ,.i .. trma ~>t'mpli6ra to. cùt•

t il-ne conto drlle rcsillt cnzt: dc: Ile 'ic 1wrcc !>upcriori , tldlc resi;, lenze e dcllc• rcdevolezze di quelle medie c della cetlcvolE>7.:t.a ah·colare ( 8J.ESSEH. 1969).

]u Fig. 4 ì· rappre::-entat u l'analuE:o elt·urico del mod<·llo. i Ì' a""llntu C'he i vari componenti dd circuito ,. inno lim•ari, ronrcnt.mti t:' invarianti nt.'l tempo; non o.i sono con,.idcrati gli efl'(·lti inerziali tlell'uritt eu il flus;,u

turbolento.

rit;. ·1·. - Aualu~tia elrurit•il dt>l n111dello dt•l .. j.t<•tu.t

r"spirntorio.

La grandezza forz1m te i> lu J'Tt' ... t-ionc iutrat oratica: bi è ('On~iderato solo la componente variabile e. in prima appro, .. imazionc. si (' a<: unta come forma d'onda nel t empo una t.inusuidc:

p, = p,. . Slfl (::? Jt - 9) . {l )

..1

ALBEBGONI, COBELLI E TOBBESIN 873

Il circuito è stato analizzato nel dominio della frequenza. La funzione di trasferimento tra la pressione intratoracica ed il volume tidale risulta:

(2}

I valori assunti per i componenti del circuito ed il generatore di pressione sono riferiti al polmone di un uomo adulto (MEAD, 1961; CoMROE et al., 1962):

Pm =

f = cb= C, = Rb = R, =

1,5 [mm Hg] 0,2 [s- 1]

53,3 [ mlfmm Hg] 240 [mlfmm Hg] 1,5.10- 3 [mm Hgf(mlfs) ] 0,6.10- 3 [mm Hgf(mlfs)]

Il volume tidale è considerato come grandezza d'uscita e si è anche tenuto conto dell'effetto dello spazio morto anatomico ( Và = 150 ml) sulla ventilazione alveolare .

Interarione dei sistemi respiratorio e circolatorio: scambi di ossigeno e di anidride carbonica.

Simboli:

:tempo [s]; x :lunghezza [cm]; pa :pressione parziale dei gas nel compartimento A [mm Hg]; Pb : pressione parziale dei gas nel compartimento B [ mm Hg]; Pab : differenza della pressione parziale dei gas fra i compartimenti A-B

[mm Hg); Va :volume del compartimento A [ml); S : superficie di scambio [ cm2

];

D :coefficiente di diffusione [mlf(cm.s)]; h : spessore della membrana alveolare [cm]; cv : concentrazione dei gas polmonari [vol. %]; Cf : concentrazione dei gas nella prima cella di sangue [vol. %]; c1 : concentrazione dei gas nell'ultima cella di sangue [vol. % ]; Cext : concentrazione dei gas nell'aria esterna [vol. %]; Cresp: concentrazione dei gas nell'aria respiratoria [vol.%]; V p : volume polmonare [ ml]; Qm :flusso medio di sangue [ml];

~1nn. Ist. Super. Sanità (1972) 8, ~8-880

8H SEMll'ARIO Ul E l.ETTRO:\ l i:A UIOMEOICA

J l sangue polmonare, nelle normali condizioni di mrtabolismo, arriva al letto capillare con determinate concentrazioni di 0 2 e C02 • Nel passaggio al di sotto della membrana alveolare il sangut si priva di part e dell'anidride ru rbonica <' riceve ossigeno, che viene Jc~atu all'emoglobina. L 'emoglobina co11sente al sangue di assorbire molto più ossigeno di quanto non sareblle po,!'ibile per semplice soluzione. Bisogua notare che mentre la curva di dis­Fociazionc di C02 è preSSOChè linearc nel mrrge di variazioni normali, quella di llb02 è non-lineare (esponenziale).

n sangue, mentre scorre nel letto vascolare, ~:-camllia dunque 02 e co2 con l'aria alveolare; nello stesso tempo, a causa di questi scambi e della ven­tilazione polmonare, l 'aria alveolare modilìca la sua composiziouc.

Questo fenomeno può es ere descritto completamente da equazioni alle derivate parziali ; n el presente lavoro souo state assunte equazioni alle differenze finite. Il periodo respiratorio è stato suddiviso in un certo numero di intervalli uguali ed in ciascun intervallo di t empo .J t è s tata asstmta nna concentrazione costante dei gas polmonari. Il letto capillare (• pure stato suddivi;;o in un certo numero di celle nella dirczionc dd flusso di sangue; in cia~cun intervallo di t empo il sangue di una cella passa alla successiva e H'arnbia una certa quantità di gas in ha~c alla legg<' di diffusione ed alle curve di dissociazione.

La legge di diO'u F-ione tra due compartimenti c\ descritta da:

(3}

1'\d sistema polmonarc la memurauu e mollu :-o ttil <.' (l /1111) c la pressione parziale nel compartimento B (aria ai\'Colan·} può e,.,.;cn: a!';;unta costallJ e udl'intcrvallo di tempo LI t , suffic ientt>meote pi('('olo rispetto al periodo respiratorio (T = 5 sec) : da ciò ri1. ulta:

dpa (t) cl t

n . . -:1-:-.u-.- /'"'"1 (]iu (t) - P~>)

che, integrata tra t c t + Ll t foroi :;ce:

Pa (t + Ll t) = ]>b- (p&- ]'11 {t))

D·S - "h71'. _,, ·('

( 4)

(5)

Questa espressione è stata ufiata l'cr calcolare le prrs~ ioni parziali dei gas alla fine di ciascun intervallo di tempo. Le curve di dissociazione sono state usate per calcolare le concentrazioni di 02 e co2 in ogni cella del letto capillare.

.-Jr111. Jsl. Sawr. Sanita ( 19i:!) 8, <!68-~SO

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ALDERGONI, COBELLI E TORRESIN 875

La concentrazione dei gas n ell' aria alveolare è stata modificata, alla fine di ciascun intervallo LI t, in base alla diffusione ed all'apporto di aria respiratoria:

dove

V p (t + LI t) · C p (t + LI t) = V p (t) • Cp (t) + LI V p (t) · C mp -

-LI t · Q,. · (c 1 {t) - c1 (t))

Crc•P = Cp durante l'espirazione;

(6)

Creop = Cp durante la prima fase dell' inspirazione (corrispondente allo spazio morto anatomico) ;

Cmp = C1.xt durante l'inspirazione (dopo lo spazio morto anatomico).

SDIULAZlONE ALL'ELABORATOnE DIGITALE E RISULTATI

Il modello è stato simulato al calcolatore digitale. II programma prin­cipale e le subroutines sono stati scritti in linguaggio Fortran (•). Il programma segue il proced imento a gradini precedentemente descritto: si compone di tre parti, rispettivamente per i modelli circolatorio, respira torio e di iute­razione (ALBERGONI, COBELLI & TORRESJN, 1971).

I risultati sono stati evidenziati su un terminale video direttamente collegato a l calcolatore (DEGANI, RossETTO & VALU 1971), e plottati sulla stampante. In Fig. 5 a, b sono riport ate le grandezze forzanti del sistema circola torio polmonare, ricavate dalla letteratura (Handb ook of Physio­l11gy, 1964) .

La Fig. 6 a , b mo~>tra gli andamenti delle variabili di uscita del sistema circolatorio e precisamente i flussi dal ventricolo destro cd all' atrio sinistro.

La Fig. 7 most ra la pressione intratoracica ed il volume t idale, ottenuti dal modello: essi sono in ottimo accordo con la regi, trazione simultanea della pressione intratoracica e del volume tidalc in un soggetto normale a ripo>"O (DAWSON & EccLETO~, 1962) .

Nella Fig. 8 a , b sono riportate le concentrazioni a lveolari di 0 2 e CO~ durante un ciclo r e!>p irat orio. La loro forma mostra chiaramente l'effetto dello spazio morto anatomico all'inizio della fase inspiratoria: infatti la prima aria inspirata è aria a lveolare che ha riempito lo spazio morto ana­tomico alla fìne dell'espirazione precedente. I nostri risultati pre entano' una v ariazione inferiore all' l % rispetto ai dati riporta li in letteratura (CoM­

ROE et al., 1962) . Variazioni nelle misure fisiologiche dell'ordine del 5% non

(*) .Il progrnmrna è di~ponibile presso gli Ai\.

.11111. l sl. Suwr. Snniln ( 1 97~ ) 8, "6!! 'iSO

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Bill SJ::m l\ ABIO DI ELETTRO'IlCA BIOMEDICA

suno consirl eratt• significative e quindi la concordanza tra i risultati del modello ed i dati sperimentali può ritenersi addirittura fortunata: in o~ni caso ciù conferma la bontà del modello stesso.

La Fig. 9 a , b forni sce le concentrazioni di 0 2 c C02 all'uscita del si­stema ci rcolatorio polmonarc. La presenza dell'emoglobina ne~li eritrociti,

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Fig. 9. - Concentrazioui di O~ (u) e CO~ (b) nel sangue al­l'uscita del si;temo circolalorio polmonare otte­nute dal modcUo.

clw t ende a saturarsi in 0 2, dà un livello co tante di ossigeno nel sangue di ritorno dai polmoni (Fig. 9a); neJJo stesso tempo, la concentrazione di C02 mostra una modesta fluttuazione durante il ciclo respiratorio (Fig. 9 b). Anche questi ri ultati sono in accordo con recenti dati sp erimentali (BAND,

CAMERON & SEl\IPLE, 1969) .

.'lfm. / st. Suptr. Sa11ilù (19i2) 8, 86o-$'l

ALBERCONI , COBELLI E TORRESIN 879

Tutti i risultati ottenuti dal modello sono caratteristici per condizioni fisiologiche standard, ma la versatilità del modello consente di variare la maggior parte dei parametri durante le operazioni di simulazione: ciò appare particolarmente utile per simulare modifìcazioni nell'ambito fisiologico ed in quello patologico.

Gli AA. ringraziano il Prof. G. L. Francini per il suo interesse ed i preziosi consigli ed il Dott. G. V alli per la collaborazione fornita nell'uso del caJcolatore.

Riassunto. - La presente ricerca tende ad illustrare gli scambi gas· sosi (02 e C01) tra il sangue venoso e l'aria alveolare.

Nel modello sono stati simulati separatamente i sistetni circolatorio e respiratorio per ottenere le grandezze di interesse del modello di interazione. Quest'ultimo vuol rendere conto degli scambi di gas che avvengono a livello dei polmoni.

Il sistema circolatorio è simulato con una rete elettrica del tipo RLC, avente auto e mutue ammettenze proprie; le pressioni cardiache sono state assunte come grandezze d'ingresso e si sono ottenuti i flussi di sangue nel sistema arterioso e venoso.

Il sistema respiratorio è simulato mediante un blocco funzionale, caratteriz­zato da resistenza e distensibilità, la cui grandezza di ingresso è il lavoro museo· lare, valutato come pressione, e la cui grandezza d'uscita è il volume tidale.

Le variabili significative del modello d'interazione sono le concentra· zioni di o! e co2 nell'aria alveolare e nel sangue polmonare: queste sono determkate dal flusso di sangue e dal volume tidale, ottenute co~ sistemi separati, e dalla diffusione del gas attraverso la membrana alveolare. A tal fine il letto capillare è stato suddiviso in un numero discreto di celle ed il periodo respiratorio in intervalli finiti, mentre la legge di diffusione è stata risolta mediante un procedimento alle differenze finite.

L'interesse particolare del modello è nel procedimento, che ci consente, in una progressione logica di eventi, di ottenere un modello completo dalla combinazione di modelli p iù semplici.

Summary (Simulation of an interaction model between respiratory and circulatory systems) . - The present study was prepared in order to illustrate the gas-exchange (02 and C01) between pulmonary blood and alveolar air.

In the model, circulatory and respiratory systems bave been separa· tely simulated in order to obtain the driving functions of the interaction model. This last takes to account oxygen and carbon-dioxide exchanges hetween alveolar air and pulmonary blood.

The circulation model is simulated by a RLC network having proper auto- and mutual-adtnittances; cardiac pressures bave been considered as driving functions and arteria} and venous blood flows are so obtained.

.Ann. 1st. S uper. Sanità (1972) 8, !!68-880

l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

8!l0 S EMI!'IARIO 01 J::LJ::TTilO"\ I CA RIOMEOICA

Tl•r re5piratory mode] is simulàted IJ,· a b lock with propcr rt':>i;;tan ce and rornpliance with respirator~· muscle cfl"ort as a driving fon·r and tidal volume a" output function.

Thc significmt variables of thc interaction modcl are alveolar air ami pulmouary blood-concentrations of O~ and C02 • T hesc are detcrmined fmm blood flows and tidal volume pre\'iouroly obtained and ga;, ditfu, ion anos, ah'colar membrane. Capillary hcd is divided in a discrete numlH'r Qf celi,.; aud time in finite intervals, an d thrn difl'ul'>ion laws arr solved "i t!. a fìnilt' difference rnethod.

Thc particular iotcrest o f the method i:- in th e step by s ll'p procedure· which allows us to obtain a complex modrl from combination of !'itnpit'r modck

lllHLIOGIL<\Fl A

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