Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... ·...

Matematicka

statistika

Matematicka statistika

Sarka Hudecova

Katedra pravdepodobnosti a matematicke statistiky

Matematicko-fyzikalnı fakulta Univerzity Karlovy

letnı semestr 20121

1Zalozeno na materialech doc. Michala Kulicha

Matematicka

statistika

Organizacnı pokyny k prednasce

prednaskove slidy v tisknutelne forme vizhttp://www.karlin.mff.cuni.cz/~hudecova

zkouska

pısemna,podrobnosti (bodovanı, pocet otazek apod.) budouupresneny ke konci semestru

konzultace

cvicenı

Matematicka

statistika

statistika?

Co je statistika?

Statistika = veda o zıskavanı, zpracovanı a interpretaciinformace obsazene v empirickych pozorovanıch skutecnehosveta (v namerenych datech, pruzkumech apod.)

Zakladnı delenı

popisna (deskriptivnı)

popis konkretnıch datnekolika cısly a obrazky strucne vystihnout dulezitezavery pouze o danych datech, nelze zobecnovat

induktivnı (konfirmatornı)

na zaklade dat umoznuje odpovıdat na obecne otazky opopulaci! zavery lze zobecnitodhady populacnıch parametrupredpoklady, znalost statistickych metoddulezita je interpretace

Matematicka

statistika

statistika?

Populace vs. data

Konkretnı data! Cela populace

Matematicka

statistika

statistika?

Populace vs. data

Konkretnı data! Cela populace

Matematicka

statistika

statistika?

Kde, kdy a proc se pouzıva statistika?

Zkoumame slozity system

nelze jednoduse pochopit nebo popsat pouze na zakladeteorie (tj. potrebujeme empiricke zkusenosti)

za stejnych nebo podobnych podmınek se muze projevovatodlisnym zpusobem! nahoda

prıklady: lidska spolecnost, ekonomika, lidske telo,ekosystem, sport, vedecky experiment, . . .

Matematicka

statistika

statistika?

Kde, kdy a proc se pouzıva statistika?

Zkoumame slozity system

nelze jednoduse pochopit nebo popsat pouze na zakladeteorie (tj. potrebujeme empiricke zkusenosti)

za stejnych nebo podobnych podmınek se muze projevovatodlisnym zpusobem! nahoda

prıklady: lidska spolecnost, ekonomika, lidske telo,ekosystem, sport, vedecky experiment, . . .

Druhy statistickych uloh

odhady parametru! vypocet cıselnych charakteristik

testovanı hypotez! overovanı pravdivosti vyroku

predikce! predpovedi

optimalizace! hledanı optimalnıch parametru

Matematicka

statistika

statistika?

Prıklad: data z prednasek z minulych let

Na zaklade udaju z let 2006–2011 lze usuzovat

ze by tu dnes melo byt 60 % zen a 40% muzu

prıtomne studentky budou v prumeru 168 cm vysoke,s hmotnostı 60 kg a velikostı bot asi 38,5

prıtomnı studenti budou v prumeru 183 cm vysocıs hmotnostı 76 kg a velikostı bot asi 43

pres 30 % prıtomnych bude z Prahy, kolem 11 % zestredoceskeho kraje a jen velmi malo studentu bude zeSlovenska a Moravy

nejvıce z prıtomnych ma narozeniny v kvetnu, nejmenev unoru a breznu

Matematicka

statistika

statistika?

Statisticky prıstup k resenı problemu

1 realny problem, domnenka apod.

2 plan experimentu

3 sber dat

4 vyber vhodneho pravdepodobnostnıho modelu

5 formulace problemu v reci matematicke statistiky

6 aplikace statistickych metod

7 interpretace, zavery, publikace . . .

Matematicka

statistika

statistika?

Oblasti aplikace statistiky

Prırodnı vedy

medicına, genetika, farmakologie,biologie, chemie, fyzika, meteorologie . . .

Ekonomie

makro & mikroekonomie, bankovnictvı, pojist’ovnictvı, . . .

Technicke vedy

telekomunikace, doprava, pocıtace, strojırenstvı, kontrolajakosti, rızenı a organizace vyroby, . . .

Spolecenske vedy

sociologie, behavioralnı vedy, archeologie, lingvistika,antropologie . . .

A mnoho dalsıch (sport, marketing, . . . )

Matematicka

statistika

statistika?

Obsah prednasky

Cıl prednasky= porozumet zakladnım principum statistickychmetod a pochopit resenı vybranych jednoduchych problemu.

Matematicka

statistika

statistika?

Obsah prednasky

Cıl prednasky= porozumet zakladnım principum statistickychmetod a pochopit resenı vybranych jednoduchych problemu.

Dve zakladnı casti

Zaklady pravdepodobnosti

nezbytny teoreticky zaklad pro vyklad statistickych metodpravdepodobnost, nahodna velicina a jejı rozdelenı, strednıhodnota, nezavislost, . . .

Statistika

popisne statistiky jako odhady populacnıch parametruodhady, intervaly spolehlivosti, testy statistickych hypotezzakladnı metody (vybrane testy)

Dulezite je osvojenı si hlavnıch principu, pojmu, zakladnıchmetod. Nikoliv ucenı se vzorecku.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Klasickapravdepodobnost

Axiomatickadefinice

Podmınenapravdepodobnost

Nezavisle jevy

Teorie pravdepodobnosti

Pravdepodobnost: matematicky model nahody

Pravdepodobnost zkouma nahodne jevy, tj. jevy, ktere mohou,ale nemusı nastat.

S jakou pravdepodobnostı dany jev nastane?

Jsou dane jevy na sobe nezavisle?

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Teorie pravdepodobnosti

Pravdepodobnost: matematicky model nahody

Co to je nahoda?

Kde se s nı setkavame?

Pravdepodobnost zkouma nahodne jevy, tj. jevy, ktere mohou,ale nemusı nastat.

S jakou pravdepodobnostı dany jev nastane?

Jsou dane jevy na sobe nezavisle?

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nahodne jevy

nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)

mnozina vsech moznych vysledku Ω

nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω

prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy

jev nemozny ∅ nenastava nikdy

jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nahodne jevy

Prıklad (Hod kostkou)

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nahodne jevy

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6

Prıklad (Pohlavı 2 sourozencu)

Ω = KK,DK,KD,DD nebo Ω = KK,DK,DDA = [alespon jeden kluk] = KK,KD,DK neboA = [alespon jeden kluk] = KK,KD

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Operace s nahodnymi jevy

Uvazujme nahodne jevy A,B ⊂ Ω.

podjev A ⊂ B znamena A ⇒ B

jev opacny Ac nastane ⇔ A nenastane

prunik jevu A ∩ B nastane ⇔ nastanou zaroven A i B

sjednocenı jevu A ∪ B nastane ⇔ nastane alespon jeden zjevu A a B

neslucitelne (disjunktnı) jevy: A ∩ B = ∅

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Operace s nahodnymi jevy

Uvazujme nahodne jevy A,B ⊂ Ω.

podjev A ⊂ B znamena A ⇒ B

jev opacny Ac nastane ⇔ A nenastane

prunik jevu A ∩ B nastane ⇔ nastanou zaroven A i B

sjednocenı jevu A ∪ B nastane ⇔ nastane alespon jeden zjevu A a B

neslucitelne (disjunktnı) jevy: A ∩ B = ∅

Podobne prunik a sjednocenı vıce jevu A1, . . . ,Ak :k⋂

Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak (vsechny musı nastat);

Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak (alespon jeden musı nastat).

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Operace s nahodnymi jevy - prıklady

Mnozina vsech vysledku: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6,B = [padne cıslo vetsı nez 3] = 4, 5, 6

jev opacny Ac = [padne liche cıslo] = 1, 3, 5,Bc = [padne cıslo mensı rovno trem] = 1, 2, 3

prunik A ∩ B = [padne sude cıslo vetsı nez 3] = 4, 6

sjednocenıA ∪ B = [padne cıslo sude nebo vetsı nez 3] = 2, 3, 4, 6

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Pravdepodobnost

objektivnı cıselne vyjadrenı”nadeje“, ze nastane jev A

prirazuje nahodnemu jevu A realne cıslo z intervalu [0, 1]

Pravdepodobnost (zkracene pst, znaceno P) musı mıtnasledujıcı vlastnosti:

1 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 P(Ω) = 1, P(∅) = 0,

3 je-li A ∩ B = ∅, pak P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Z techto vlastnostı pak dale vyplyva

4 P(Ac) = 1− P(A),

5 pro B ⊂ A je P(B) ≤ P(A) a P(A− B) = P(A)− P(B)

6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Klasicka definice pravdepodobnosti

Predpoklady:

Ω je konecna, tj. Ω = ω1, . . . , ωN

vsechny elementarnı jevy ωi ∈ Ω jsou stejnepravdepodobne

Pravdepodobnost jevu A ⊆ Ω je definovana jako

P(A) =|A|

kde |A| znacı pocet prvku mnoziny A.

Klasicka pravdepodobnost ma zjevne vsechny pozadovanevlastnosti.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 1

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, uvazujeme nahodne jevyA = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6,B = [padne cıslo vetsı nez 3] = 4, 5, 6

P(A) =3

2, P(B) =

P(A ∩ B) =2

P(A ∪ B) =4

6= P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 1−

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad (Hod dvema kostkami)

Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6 a tedy

P(B) =6

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6 a tedy

P(B) =6

Poznamka: Kombinatoricke pojmy (permutace, kombinacnıcısla apod.)

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nevyhody klasicke pravdepodobnosti

Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:

1 konecny pocet elementarnıch jevu

2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Kdy nam klasicka pravdepodobnost nestacı?

nestejne pravdepodobne elem. jevy ω (nesymetricka mince)

Ω nenı konecna (hazıme na kos, dokud se netrefıme)

Ω je abstraktnı, nelze jednoduse popsat ω (chceme mluvito pravdepodobnosti bankrotu banky apod.)

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Kdy nam klasicka pravdepodobnost nestacı?

nestejne pravdepodobne elem. jevy ω (nesymetricka mince)

Ω nenı konecna (hazıme na kos, dokud se netrefıme)

Ω je abstraktnı, nelze jednoduse popsat ω (chceme mluvito pravdepodobnosti bankrotu banky apod.)

Obou predpokladu se potrebujeme zbavit obecnejsı aabstraktnejsı axiomaticka definice pravdepodobnosti.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Axiomaticka definice pravdepodobnosti

Necht’ Ω je libovolna mnozina. Pravdepodobnostı nazvemelibovolnou funkci P definovanou na podmnozinach Ω, ktera manasledujıcı vlastnosti:

1 0 ≤ P(A) ≤ 1 pro libovolne A ⊂ Ω,

2 P(Ω) = 1,

3 pro vsechny A1,A2, . . . ⊂ Ω takove, ze Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j ,platı

∞⋃

∞∑

P(Ai ).

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Poznamky

Axiomaticka definice pravdepodobnosti:

pripoustı konecne, spocetne i nespocetne mnoziny Ω

elementarnı jevy nemusı byt stejne pravdepodobne

pro danou Ω lze zavest mnoho ruznych pravdepodobnostı– mezi nimi si musıme sami zvolit (vetsinou to prirozenevyplyne)

Dale budeme (teoreticky) pracovat s obecnou axiomatickoudefinicı pravdepodobnosti. V prıkladech ale budeme vetsinoupouzıvat klasickou pravdepodobnost.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

⋆ Poznamky

Poznamka pro narocne:Ve skutecnosti se pravdepodobnost zavadı jen pro tzv.meritelne mnoziny, ne nutne pro vsechny podmnoziny Ω(nemeritelnou mnozinu nepovazujeme za nahodny jev). Prinespocetne Ω (treba Ω = R) nelze totiz rozumne zavestpravdepodobnost, ktera funguje pro vsechny podmnoziny Ω.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Podmınena pravdepodobnost

Definice

Necht’ jev B ⊂ Ω ma kladnou pravdepodobnost, P(B) > 0.Podmınenou pravdepodobnost jevu A za podmınky, ze nastaljev B , definujeme vztahem

P(A | B) =P(A ∩ B)

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Podmınena pravdepodobnost — poznamky

Nepodmınena pravdepodobnost P(A) vypovıda opravdepodobnosti vyskytu jevu A v situaci, kdy nemame zadnedodatecne informace o prubehu nebo vysledku experimentu.

Podmınena pravdepodobnost P(A | B) vypovıda opravdepodobnosti vyskytu jevu A v situaci, kdy vıme, ze nejakyjiny jev B urcite nastal (tj. mame dodatecnou informaci)

Poznamka

Pozor, jevy A a B nelze prohazovat, protoze obecneP(A|B) 6= P(B |A).

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad – dostihy

Prıklad

Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad

Resenı: Jevy: L = [vyhraje Lıvanec], S = [vyhraje Skobrt’ak].Mame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad

Resenı: Jevy: L = [vyhraje Lıvanec], S = [vyhraje Skobrt’ak].Mame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅.Odtud

P(L | Sc) =P(L ∩ Sc)

P(Sc )=

Pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec, je 4/15 = 0.2667.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad

V suplıku jsou tri pary ponozek ze stejneho materialu: zelene,modre a bıle. Po tme nahodne vyberete dve ponozky a anizbyste overili jejich barvu, vyrazıte v nich do skoly. Zjistete, sjakou pravdepodobnostı

mate obe ponozky stejne barvy,

alespon jedna obuta ponozka je zelena,

na prave noze je zelena ponozka

mate obe ponozky stejne, jestlize v suplıku urcite zbyl parzelenych ponozek,

mate obe ponozky stejne, jestlize na prave noze matezelenou.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nezavislost dvou jevu

Mame prostor elementarnıch jevu Ω a pravdepodobnost P.

Definice

Nahodne jevy A,B ⊆ Ω nazyvame nezavisle, jestlize platı

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

V opacnem prıpade je nazyvame zavisle.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nezavislost dvou jevu

Mame prostor elementarnıch jevu Ω a pravdepodobnost P.

Definice

Nahodne jevy A,B ⊆ Ω nazyvame nezavisle, jestlize platı

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

V opacnem prıpade je nazyvame zavisle.

Necht’ jsou jevy A, B nezavisle a P(A) > 0, P(B) > 0. Pak

P(A | B) =P(A ∩ B)

P(A)P(B)

P(B)= P(A)

a podobne P(B | A) = P(B).Jevy jsou tedy nezavisle, pokud pravdepodobnost jednoho jevunenı nijak ovlivnena tım, zda druhy jev nastal nebo ne.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nezavislost — prıklady

Prıklad

Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel na obou kostkach je lichy].Jsou jevy A a B nezavisle?

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad

Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel na obou kostkach je lichy].Jsou jevy A a B nezavisle?

Mame Ω = (SS), (LL), (SL), (LS), kde S znacı sude cıslo a L

liche. Pak

P(A) =1

2, P(B) =

2, P(A ∩ B) =

Tj. platı podmınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsounezavisle.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad

Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel je vetsı nez 10].Jsou jevy A a B nezavisle?

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad

Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel je vetsı nez 10].Jsou jevy A a B nezavisle?

Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6,|Ω| = 36

P(A) =3 · 6

2, P(B) =

12, P(A∩B) =

Tj. neplatı podmınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsouzavisle.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad (Vtip o statistikovi v letadle)

Statistik prochazel bezpecnostnı kontrolou na letisti, kdyz bylav jeho kufru nalezena bomba. Vysvetloval: ”Podle statistik jepravdepodobnost prıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takzesance, ze na palube budou dve bomby, je 0, 000001. Kdyz sivezmu svoji bombu, cıtım se pak mnohem bezpecneji. Bez sveosobnı bomby proto nikdy necestuji.”

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Prıklad (Vtip o statistikovi v letadle)

Statistik prochazel bezpecnostnı kontrolou na letisti, kdyz bylav jeho kufru nalezena bomba. Vysvetloval: ”Podle statistik jepravdepodobnost prıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takzesance, ze na palube budou dve bomby, je 0, 000001. Kdyz sivezmu svoji bombu, cıtım se pak mnohem bezpecneji. Bez sveosobnı bomby proto nikdy necestuji.”

Oznacme A = [ja mam v letadle bombu],B = [nekdo jiny ma v letadle bombu]. Jevy A a B jsou zjevnenezavisle (ja nejsem clen zadne teroristicke skupiny). Proto

P(B |A) = P(B) =1

a proto si bombu do letadla brat nemusıte.

Matematicka

statistika

Pravdepodob-

Nahodne jevy

Axiomatickadefinice

Nezavisle jevy

Nezavislost— poznamky

Poznamka

Jsou-li A,B nezavisle, pak (A,Bc), (Ac ,B), (Ac ,Bc) jsou tezdvojice nezavislych jevu.

Definice

Nahodne jevy A1,A2, . . . ,An ⊆ Ω nazyvame nezavisle pravekdyz platı

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1)P(A2) · · ·P(An).

Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... ·...

Documents

Statistika - Median

Etik Dan Statistika

Statistika Angka Indeks

Pendahuluan: Metode Statistika

Statistika Machine Learning

Uji Run Statistika

Pengantar Statistika

Statistika Preduzeca BiH

Statistika Industri

Verovatnoca i Statistika

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) - Statistika FEB · PDF filemodul statistika i – 2013 (internal) 1 modul statistika i lembar pengesahan modul praktikum statistika i semester

Pengantar Statistika LSPR

Matematická statistikahudecova/education/archive11/... · 2012-03-19 · Matematicka statistika Nahodné vektory Nezávislost Kovariance a korelace Matematická statistika ˇSarka

Inferensi Statistika

0. Statistika Diagram

presentasi statistika industri

Statistika za filologe

[Cvl] Statistika Probabilitas

6. Statistika Inferensial_2

statistika 2 maglivi