Mecânica dos Sólidos - Unidade 01

Mecanica dos Solidos I – MAC-005

Unidade 01Luis Paulo S. BarraLeonardo Goliatt

Departamento de Mecanica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

v. 14.09

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 1 / 46

Livro Texto

Livro texto:I Introduction to Continuum MechanicsI W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl


Programa

1 Notacao Indicial

2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos Solidos


Programa

1 Notacao Indicial


Notacao indicial

Eixos CoordenadosOs eixos coordenados x, y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e temcomo unitarios e1,e2 e e3

Regra da Soma, Indices MudosA soma

s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =

n∑i=1

aixi

e representada pors = aixi = amxm

onde i e conhecido como ındice mudo.Em problemas tridimensionais e assumido n = 3.Um vetor n pode ser representado como:

n = niei


Notacao indicial



s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =

n∑i=1

aixi



n = niei


Notacao indicial



s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =

n∑i=1

aixi


onde i e conhecido como ındice mudo.

Em problemas tridimensionais e assumido n = 3.Um vetor n pode ser representado como:

n = niei


Notacao indicial



s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =

n∑i=1

aixi



n = niei


Notacao indicial

Indices Mudos (cont.)Somatorios duplos:

aijxixj =

3∑i=1

3∑j=1

aijxixj

= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3

a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3

a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3

O somatorio:

3∑i=1

aibixi

deve manter o sımbolo de somatorio, uma vez que:o produto aibixi nao e definido nesta notacao.


Notacao indicial

Indices Mudos (cont.)Somatorios duplos:

aijxixj =

3∑i=1

3∑j=1

aijxixj

= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3

a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3

a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3

O somatorio:

3∑i=1

aibixi

deve manter o sımbolo de somatorio, uma vez que:o produto aibixi nao e definido nesta notacao.Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 5 / 46

Notacao indicial

Indices LivresConsidere o sistema de equacoes:

b1 = a11x1 + a12x2 + a13x3

b2 = a21x1 + a22x2 + a23x3

b3 = a31x1 + a32x2 + a33x3

Usando a regra da soma, podem ser escritas como:

b1 = a1mxm

b2 = a2mxm

b3 = a3mxm


Notacao indicial

Indices LivresPodem ser ainda mais compactadas:

bi = aimxm, i = 1, 2, 3

Na notacao indicial sao escritas simplesmente como:

bi = aimxm

Um ındice livre aparece uma vez em cada termo de uma expressao.As expressoes abaixo nao sao definidas:

ai = bj

Tij = Tik


Notacao indicial

Delta de KroneckerO delta de Kronecker, denotado por δij, e definido por

δij =

{1 se i = j0 se i , j

ou sejaδ11 = δ22 = δ33 = 1

δ12 = δ13 = δ21 = δ23 = δ31 = δ31 = 0

Ainda observamos que:δii = 1 + 1 + 1 = 3

δ1mam = δ11a1 + δ12a2 + δ13a3

δimTmj = Tij


Notacao indicial

Sımbolo de Permutacao

O sımbolo de permutacao, denotado por εijk, e definido por εijk =

+1−10

se i, j, kformam um permutacao par

formam um permutacao ımparnao formam permutacao

de 1, 2, 3, ou seja

ε123 = ε231 = ε312 = 1

ε132 = ε321 = ε213 = −1

ε111 = ε112 = · · · = ε333 = 0

Observe queei × ej = εijkek


Notacao indicial

ε123 = ε231 = ε312 = 1

ε132 = ε321 = ε213 = −1

ε111 = ε112 = · · · = ε333 = 0

ei × ej = εijkek


Programa

2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial


Programa



Tensor: uma Transformacao Linear

Transformacao LinearSeja T uma transformacao que transfoma um vetor em outro vetor. Se T transformaa em b e c em d

Ta = bTc = d

Se T tem as seguintes propriedades de linearidade

T(a+b) = Ta + TbT(αa) = α(Ta)

onde a e b sao vetores arbitrarios e α e um escalar, entao T e chamado detransformacao linear ou tensor de segunda ordem ou simplesmente tensora b.Em particular:

T(αa + βb) = αTa + βTb

aUm tensor de ordem n em um espaco com tres dimensoes possui 3n componentes. Umtensor de ordem 2 possui nove componentes. Um vetor e um escalar sao casos particulares detensores, respectivamente de ordem um e zero.

bMais sobre tensores: http://goo.gl/EW0KwM e tambem http://goo.gl/XQ3lwa


http://goo.gl/EW0KwM

http://goo.gl/XQ3lwa


As componente sde um vetor dependem da base usada para descrever seuscomponentes. o mesmo vale para tensores.

Te1 = T11e1 + T21e2 + T31e3Te2 = T12e1 + T22e2 + T32e3Te3 = T13e1 + T23e2 + T33e3

ouTei = Tjiej

As componentes podem ser arranjadas em uma matriz da forma

[T] =

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33



Tambem, considerando que e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0, pode ser verificado que

T11 = e1 · Te1 T21 = e2 · Te1 T31 = e3 · Te1T21 = e2 · Te1 T22 = e2 · Te2 T23 = e2 · Te3T31 = e3 · Te1 T32 = e3 · Te2 T33 = e3 · Te3

ouTij = ei · Tej

Basta verificar que

e1 · Te1 = e1 · (T11e1 + T21e2 + T31e3)e1 · Te2 = e1 · (T12e1 + T22e2 + T32e3)

......

...e3 · Te3 = e3 · (T13e1 + T23e2 + T33e3)



Se houver uma mudanca para a base {e′i}

T ′ij = e′i · Te′j

Dependencia entre componentes e a baseOs tensores e vetores sao independentes do sistema de coordenadas, mas suascomponentes sao dependentes do sistema usado.



Em termos matriciais, consideranndo

a = aiei

a transformacao Ta = b fica b1b2b3

=

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

a1a2a3

ou

[b] = [T][a ]

o que indicialmente ficabm = aiTmi = Tmiai


Programa



Transposta de um Tensor

Transposta de um TensorA transposta de um tensor T, denotada por TT , e definido como o tensor que satisfaz aseguinte identidade para quaisquer a e b

a · Tb = b · TTa

Da definicao anterior, com a = ei e b = ej, e tambem Tij = ei · Tej

ei · Tej = ej · TTei

lembrando que

[T] =

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

e TT =

T11 T21 T31T12 T22 T32T13 T23 T33

temos portanto

Tji = TTij ou [T]T = [TT ]


Programa



Produto Diadico de dois Vetores

Produto Diadico de dois VetoresO produto diadico ab de dois vetores a e b, denotado por ab, e definido pelatranformacao que tranforma c segundo a regra

(ab)c = a(b · c)

O produto diadico ab e uma transformacao linear.Seja W = ab, entao em termos de componentes

Wij = ei ·Wej = ei · (ab)ej = ei · a(b · ej) = aibj

ou sejaWij = aibj

ou

[W] =

a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

=

a1a2a3

[b1 b2 b3

]


Traco de um Tensor

Definicao:trab = a · b

E satisfaz a condicao de linearidade:

tr(αab + βcd) = αtrab + βtrcd

Alem disso:trT = tr(Tijeiej) = Tijtr(eiej) = Tijei · ej = Tijδij = Tii

Isto e:trT = T11 + T22 + T33 (soma dos termos da diagonal)

Logo:trT = trTT


Programa



Tensor Identidade

Definicao:Ia = a

Em particular:Ie1 = e1Ie2 = e2Ie3 = e3

Componentes:Iij = ei · Iej = ei · ej = δij

Isto e:

[I] =

1 0 00 1 00 0 1


Tensor Inverso

Se existe S tal queST = I

entao S e o inverso de T, representado por S = T−1.Potencia de ordem zero e o tensor identidade:

T−1T = T−1+1 = T0 = I

Componentes da inversa determinados pela inversao da matriz [T] de T.Logo:

T−1T = TT−1 = I

Com isso,∃ T−1 ⇔ det [T] , 0

e pode-se provar que: (TT

)−1=

(T−1

)T

(ST)−1 =(T−1S−1

)Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 20 / 46

Tensor Inverso

Se nao existe T−1 :

Exemplo: T = ab


Programa



Tensor Ortogonal

Tensor OrtogonalUm tensor ortogonal, Q e uma transformacao que preserva os comprimentos e osangulos dos vetores, isto e, preserva o produto escalar:

Qa ·Qb = a · b

Logo, da definicao de transposta, onde a · Tb = b · TTa, temos:

Qa ·Qb = b ·QT (Qa) = b ·(QTQ

)a

Da definicao:b ·

(QTQ

)a = a · b = b · a = b · Ia

Portanto QTQ = I, o que significa que:

QT = Q−1 =⇒ QTQ = QQT = I

Em notacao indicial:QimQjm = QmiQmj = δij


Programa



Tensores Simetricos e Antissimetricos

Um tensor e dito simetrico se T = TT . Logo

Tij = Tji ⇒ T12 = T21, T23 = T32, T13 = T31

Um tensor e dito antissimetrico se T = −TT . Entao

Tij = −Tji

Com isso, temos

T11 = T22 = T33 = 0, T12 = −T21, T23 = −T32, T13 = −T31

Qualquer tensor T pode ser decomposto unicamente na soma de um tensor simetricoTS e um tensor antissimetrico TA

T = TS + TA

onde

TS =T + TT

2, TA =

T − TT

2


Programa



Vetor Dual de um Tensor Antissimetrico

Os elementos de um tensor antissimetrico W sao sempre nulos, e dos seis elementosfora da diagonal somente tres sao independentes, pois

W12 = −W21, W23 = −W32, W13 = −W31

Logo, W pode ser representado por somente tres componentes. Alem disso, ele secomporta como um vetor.Especificamente,

Vetor dualPara cada tensor antissimetrico W existe um vetor correspodente tA, tal que para cadavetor a, a aplicacao de W em a, Wa, pode ser obtid a pelo produto vetorial

Wa = tA × a



Podemos verificar que

W12 = e1 ·We2 = e1 · tA × e2 = tA · e2 × e1 = −tA · e3 = −tA3



o que resulta em

W21 = tA3 , W23 = tA

1 , W13 = tA2 , W11 = W22 = W33 = 0

Usando a representacao matricial do tensor

[W] =

0 W12 W13W21 0 W23W31 W32 0

=

0 −W21 −W31W21 0 −W32W31 W32 0

=

0 −tA3 −tA

2tA3 0 −tA

1tA2 tA

1 0

7→t

A1

tA2

tA3



Assim

[W] =

0 W12 W13W21 0 W23W31 W32 0

=

0 −W21 −W31W21 0 −W32W31 W32 0

=

0 −tA3 −tA

2tA3 0 −tA

1tA2 tA

1 0

7→t

A1

tA2

tA3

que pode ser escrito como

tA = −(W23e1 + W31e2 + W12e3) = W32e1 + W13e2 + W21e3

ou em notacao indicial2tA = −εijkWjkei

O vetor dual possui varios usos:Permite determinar facilmente o eixo de rotacao de um tensor de rotacao finita.Em realidade, o eixo de rotacao e paralelo ao vetor dual da parte antissimetricado tensor de rotacao.Permite determinar os angulos infinitesimais de rotacao de elementos materiaisque sogrem uma deformacao infinitesimal.Permite obter a velocidade angular de elementos materiais em um movimento.


Programa



Autovalores e Autovetores

Autovalores e AutovetoresConsidere um tensor T. Se a e um vetor que e transformado por T em um vetorparalelo a ele mesmo, ou seja

Ta = λa

entao λ e autovalor e a e autovetor de T.

Indeterminacao do modulo:T(αa) = αTa

= αλa= λ (αa)

Seja n e um autovetor unitario:

Tn = λn = λIn

Logo:(T − λI) n = 0


Autovalores e Autovetores

Solucao nao trivial:|T − λI| = 0

Explicitando a expressao anterior:∣∣∣∣∣∣∣∣T11 − λ T12 T13T21 T22 − λ T23T31 T32 T33 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0


Autovalores de Tensores Simetricos

Seja λ o autovalor complexo de um tensor real simetrico T . Logo: [T] {n} = λ {n}E tomando os complexos cojugados de ambos os membros:

[T] {n} = λ {n}

Pode-se entao escrever:

{n}T [T] {n} = λ {n}T {n}{n}T [T] {n} = λ {n}T {n}

Uma vez que T e simetrico: {n}T [T] {n} = {n}T [T] {n}Logo:

(λ − λ) {n}T {n} = 0

Uma vez que n e nao nulo, λ = λ. Portanto:Os autovalores de um tensor simetrico sao reais.


Programa



Valores e Direcoes Principais

Sejam n1 e n2 dois autovetores correspondendo a dois autovalores distintos λ1 e λ2 deum tensor simetrico T:

Tn1 = λ1n1

Tn2 = λ2n2

Logo:

λ1n1 · n2 = n2 · Tn1

λ2n2 · n1 = n1 · Tn2

= n2 · TTn1

= n2 · Tn1 (pela simetria.)

Subtraindo membro a membro:

(λ1 − λ2) (n1 · n2) = 0



λ1 , λ2 , λ3

Se λ1 , λ2 entao: (n1 · n2) = 0 −→ n1⊥n2 .

λ1 = λ2 = λ , λ3

Se n1 , n2 com λ1 = λ2 = λ, entao:

T (αn1 + βn2) = αTn1 + βTn2

= αλn1 + βλn2

= λ (αn1 + βn2)



λ1 = λ2 = λ , λ3

Isto e αn1 + βn2 (um vetor qualquerdo plano) tambem e autovetor deT. Logo pode-se escolher n1⊥n2.

λ1 = λ2 = λ3 = λ

Se λ1 = λ2 = λ3 = λ qualquer vetor vetor e autovetor.

ConclusaoPara um tensor real e simetrico e sempre possıvel determinar tres direcoes principaismutuamente ortogonais.



λ1 = λ2 = λ , λ3

Isto e αn1 + βn2 (um vetor qualquerdo plano) tambem e autovetor deT. Logo pode-se escolher n1⊥n2.

λ1 = λ2 = λ3 = λ

Se λ1 = λ2 = λ3 = λ qualquer vetor vetor e autovetor.

ConclusaoPara um tensor real e simetrico e sempre possıvel determinar tres direcoes principaismutuamente ortogonais.


[T] em relacao as Direcoes Principais

Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:

T11 = n1 · Tn1 = n1 · (λ1n1) = λ1

T22 = n2 · Tn2 = n2 · (λ2n2) = λ2

T33 = n3 · Tn3 = n3 · (λ3n3) = λ3

T12 = n1 · Tn2 = n1 · (λ2n2) = 0T13 = n1 · Tn3 = n1 · (λ3n3) = 0T23 = n2 · Tn3 = n2 · (λ3n3) = 0

Logo:

[T]n1,n2,n3 =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3



Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:

T11 = n1 · Tn1 = n1 · (λ1n1) = λ1

T22 = n2 · Tn2 = n2 · (λ2n2) = λ2

T33 = n3 · Tn3 = n3 · (λ3n3) = λ3

T12 = n1 · Tn2 = n1 · (λ2n2) = 0T13 = n1 · Tn3 = n1 · (λ3n3) = 0T23 = n2 · Tn3 = n2 · (λ3n3) = 0

Logo:

[T]n1,n2,n3 =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3



Valores Extremos dos Coeficientes da DiagonalSeja um vetor unitario e′1 = αn1 + βn2 + γn3Logo:

T ′11 = e′1 · Te′1 =[α, β, γ

] λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

αβγ

Logo: T ′11 = λ1α

2 + λ2β2 + λ3γ

2

Seja λ1 > λ2 > λ3, notando que α2 + β2 + γ2 = 1 tem-se

λ1 = λ1(α2 + β2 + γ2) > λ1α2 + λ2β

2 + λ3γ2

Logo: λ1 > T ′11


Invariantes Escalares

Equacao caracterıstica:λ3 − I1λ

2 + I2λ − I3 = 0

onde:I1 = T11 + T22 + T33

I2 =

∣∣∣∣∣∣ T11 T12T21 T22

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T22 T23T32 T33

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T11 T13T31 T33

∣∣∣∣∣∣ =TiiTjj − TijTij

2

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

∣∣∣∣∣∣∣∣


Invariantes Escalares

Em relacao aos autovalores

I1 = λ1 + λ2 + λ3

I2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3

I3 = λ1λ2λ3


Programa



Funcoes Tensoriais de um Escalar

Definicao de DerivadadTdt

= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

Propriedades

ddt

(T + S) =dTdt

+dSdt

ddt

(α(t)T) =dαdt

T + αdTdt

ddt

(TS) =dTdt

S + TdSdt

ddt

(Ta) =dTdt

a + Tdadt

ddt

(TT

)=

(dTdt

)T




= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

Propriedades

ddt

(T + S) =dTdt

+dSdt

ddt

(α(t)T) =dαdt

T + αdTdt

ddt

(TS) =dTdt

S + TdSdt

ddt

(Ta) =dTdt

a + Tdadt

ddt

(TT

)=

(dTdt

)T




= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

Propriedades

ddt

(T + S) =dTdt

+dSdt

ddt

(α(t)T) =dαdt

T + αdTdt

ddt

(TS) =dTdt

S + TdSdt

ddt

(Ta) =dTdt

a + Tdadt

ddt

(TT

)=

(dTdt

)T




= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

Propriedades

ddt

(T + S) =dTdt

+dSdt

ddt

(α(t)T) =dαdt

T + αdTdt

ddt

(TS) =dTdt

S + TdSdt

ddt

(Ta) =dTdt

a + Tdadt

ddt

(TT

)=

(dTdt

)T




= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

Propriedades

ddt

(T + S) =dTdt

+dSdt

ddt

(α(t)T) =dαdt

T + αdTdt

ddt

(TS) =dTdt

S + TdSdt

ddt

(Ta) =dTdt

a + Tdadt

ddt

(TT

)=

(dTdt

)T




= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

Propriedades

ddt

(T + S) =dTdt

+dSdt

ddt

(α(t)T) =dαdt

T + αdTdt

ddt

(TS) =dTdt

S + TdSdt

ddt

(Ta) =dTdt

a + Tdadt

ddt

(TT

)=

(dTdt

)T


Derivada

Derivada de Ta

ddt

(Ta) = lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t

+ lim∆t→0

T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

a(t + ∆t)

+T(t) lim∆t→0

a(t + ∆t) − a(t)∆t

=dTdt

a + Tdadt


Derivada

Derivada de Ta

ddt

(Ta) = lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t

+ lim∆t→0

T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

a(t + ∆t)

+T(t) lim∆t→0

a(t + ∆t) − a(t)∆t

=dTdt

a + Tdadt


Derivada

Derivada de Ta

ddt

(Ta) = lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t

+ lim∆t→0

T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

a(t + ∆t)

+T(t) lim∆t→0

a(t + ∆t) − a(t)∆t

=dTdt

a + Tdadt


Derivada

Derivada de Ta

ddt

(Ta) = lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t

+ lim∆t→0

T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t

= lim∆t→0

T(t + ∆t) − T(t)∆t

a(t + ∆t)

+T(t) lim∆t→0

a(t + ∆t) − a(t)∆t

=dTdt

a + Tdadt


Componentes da Derivada

Partindo de:Tij = ei · Tej

Como os vetores base sao fixos:dei

dt.

Logo:

dTij

dt= ei ·

ddt

(Tej

)

= ei ·dTdt

ej

=

(dTdt

)ij





dt.

Logo:

dTij

dt= ei ·

ddt

(Tej

)= ei ·

dTdt

ej

=

(dTdt

)ij





dt.

Logo:

dTij

dt= ei ·

ddt

(Tej

)= ei ·

dTdt

ej

=

(dTdt

)ij


Programa



Gradiente de Campo Escalar

DefinicaoSeja o campo escalr φ(r), isto e, uma funcao escalar do vetor posicao, r.Define-se o gradiente de φ, representado por ∇φ pela relacao:

dφ = φ(r + dr) − φ(r) ≡ ∇φ · dr

ComponentesSeja e o unitario na direcao de dr, isto e: dr = edr, logo pode-se escrever a derivadana direcao de dr como:

dφdr

= ∇φ · e

Desta forma: (dφdr

)na direcao i

=∂φ

∂xi= ∇φ · ei = (∇φ)i




dφ = φ(r + dr) − φ(r) ≡ ∇φ · dr


dφdr

= ∇φ · e

Desta forma: (dφdr

)na direcao i

=∂φ

∂xi= ∇φ · ei = (∇φ)i




dφ = φ(r + dr) − φ(r) ≡ ∇φ · dr


dφdr

= ∇φ · e

Desta forma: (dφdr

)na direcao i

=∂φ

∂xi= ∇φ · ei = (∇φ)i



ComponentesE portanto:

∇φ =∂φ

∂x1e1 +

∂φ

∂x2e2 +

∂φ

∂x3e3 =

∂φ

∂xiei = φ,iei

Interpretacao GeometricaSejam r e r + dr vetores posicao em uma superfıcie com φ constante, logo:

dφ = ∇φ · dr = 0

Logo ∇φ e perpendicular a superfıcie de φ constante.

Por outro lado ∇φ · dr e maximo quando dr tem a mesma direcao de ∇φ, logo:A maxima derivada direcional em um ponto e o gradiente do campoescalar, sendo perpendicular a superfıcie de φ constante.



ComponentesE portanto:

∇φ =∂φ

∂x1e1 +

∂φ

∂x2e2 +

∂φ

∂x3e3 =

∂φ

∂xiei = φ,iei

Interpretacao GeometricaSejam r e r + dr vetores posicao em uma superfıcie com φ constante, logo:

dφ = ∇φ · dr = 0

Logo ∇φ e perpendicular a superfıcie de φ constante.Por outro lado ∇φ · dr e maximo quando dr tem a mesma direcao de ∇φ, logo:

A maxima derivada direcional em um ponto e o gradiente do campoescalar, sendo perpendicular a superfıcie de φ constante.


Programa



Gradiente de Campo Vetorial

Definicao

E o tensor de segunda ordem definido pela expressao:

dv = v(r + dr) − v(r) ≡ (∇v)dr

Novamente, seja dr = edr, logo:(dvdr

)na direcao de e

= (∇v)e

Logo o tensor de segunda ordem (∇v) transforma o vetor e na taxa de variacao de vnaquela direcao.



Definicao

E o tensor de segunda ordem definido pela expressao:

dv = v(r + dr) − v(r) ≡ (∇v)dr

Novamente, seja dr = edr, logo:(dvdr

)na direcao de e

= (∇v)e

Logo o tensor de segunda ordem (∇v) transforma o vetor e na taxa de variacao de vnaquela direcao.



ComponentesDa expressao acima: (

dvdr

)na direcao de e1

≡∂v∂x1

= (∇v)e1

Logo:

(∇v)11 = e1 · (∇v)e1

= e1 ·∂v∂x1

=∂

∂x1(e1 · v)

=∂v1

∂x1




dvdr

)na direcao de e1

≡∂v∂x1

= (∇v)e1

Logo:

(∇v)11 = e1 · (∇v)e1

= e1 ·∂v∂x1

=∂

∂x1(e1 · v)

=∂v1

∂x1




dvdr

)na direcao de e1

≡∂v∂x1

= (∇v)e1

Logo:

(∇v)11 = e1 · (∇v)e1

= e1 ·∂v∂x1

=∂

∂x1(e1 · v)

=∂v1

∂x1




dvdr

)na direcao de e1

≡∂v∂x1

= (∇v)e1

Logo:

(∇v)11 = e1 · (∇v)e1

= e1 ·∂v∂x1

=∂

∂x1(e1 · v)

=∂v1

∂x1



ComponentesDe maneira geral:

(∇v)ij =∂vi

∂xj= vi,j

E desta forma:

[∇v] =

∂v1

∂x1

∂v1

∂x2

∂v1

∂x3

∂v2

∂x1

∂v2

∂x2

∂v2

∂x3

∂v3

∂x1

∂v3

∂x2

∂v3

∂x3


Programa



Divergencia de um Campo Vetorial

DefinicaoA divergencia de um campo vetorial e definida como:

divv ≡ tr∇v

Em um sistema de coordenadas Cartesianas:

divv =∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3=∂vi

∂xi


Programa



Divergencia de um Campo Tensorial

Definicao

divT · a ≡ div(TTa

)− tr

(TT (∇a)

)

Componentes

(divT)i = divT · ei

= div(TTei

)− tr

(TT (∇ei)

)= div (Timem) − 0

=∂Tim

∂xm

De outra forma:divT =

∂Tim

∂xmei



Definicao


)− tr

(TT (∇a)

)Componentes


= div(TTei

)− tr

(TT (∇ei)


=∂Tim

∂xm


∂Tim

∂xmei



Definicao


)− tr

(TT (∇a)

)Componentes


= div(TTei

)− tr

(TT (∇ei)

)

= div (Timem) − 0

=∂Tim

∂xm


∂Tim

∂xmei



Definicao


)− tr

(TT (∇a)

)Componentes


= div(TTei

)− tr

(TT (∇ei)


=∂Tim

∂xm


∂Tim

∂xmei



Definicao


)− tr

(TT (∇a)

)Componentes


= div(TTei

)− tr

(TT (∇ei)


=∂Tim

∂xm


∂Tim

∂xmei



Definicao


)− tr

(TT (∇a)

)Componentes


= div(TTei

)− tr

(TT (∇ei)


=∂Tim

∂xm


∂Tim

∂xmei


Education

Mecânica dos Sólidos - Unidade 01