Variable Aleatoria

1 DISTRIBUCION UNIFORME

Captulo 6

Algunas Distribuciones Continuas

Jose Tapia Caro

En esta seccion se estudiaran las principales caractersticas de algunas distribuciones conti-nuas importantes tales como la Uniforme, Exponencial y Normal.

1. Distribucion Uniforme

Definicion 1.1. Se dice que una variablea aleatoria X tiene distribucion uniforme en elintervalo [a; b] si su densidad esta dada por

f(x) =

{1ba , a x b0 , en otro caso

(1)

Observaciones 1.1. En relacion a la densidad uniforme se tienen las siguientes propieda-des.

1. Si X tiene distribucion uniforme en el intervalo [a; b] se anota X U(a; b).2. La esperanza es E(X) = (a+ b)/2.

3. La varianza es V ar(X) = (b a)2/12.4. La funcion de distribucion es

F (x) =

0 , x < axaba , a x b1 , x > b

(2)

5. La densidad uniforme establece que dentro del intervalo [a; b] no hay valores de X quesean mas probables que otros. Mas especficamente, la probabilidad de que X este enun subintervalo de ancho dentro del intervalo [a; b] es siempre igual a /(b a) sinimportar donde se encuentre ese subintervalo. Esta caracterstica de la distribucionuniforme la hace vital en la generacion de numeros aleatorias necesarios para simularprocesos aleatorios.

Ejemplo 1. (Tiempos de despacho)Un constructor de casas necesita ordenar materiales cuyo tiempo de entrega tiene unadistribucion uniforme en el intervalo 1 a 4 das. Como la constructora puede arreglarselassin ellos durante 2 das, el costo de la demora en la entrega del material se fija en 100 dolareshasta dos das, pero despues de ese tiempo se establece que cada da adicional tendra uncosto de 100 dolares mas 20 dolares proporcionales. Por ejemplo, una demora de 3,5 cuesta100+20(1,5) = 130 dolares. Calcule el costo esperado asociado a la demora en la entrega delos materiales.SolucionEl tiempo de entrega X tiene distribucion uniforme en el intervalo [1; 4] cuya densidadaparece en la Figura 1 y cuya distribucion de probabilidad acumulada F (x) aparece en laFigura 2. El tiempo de entrega esperado es E(X) = (a+ b)/2 = (1 + 4)/2 = 2, 5 das. Portanto el costo esperado es 100+20(0,5)= 110 dolares.

1

1 DISTRIBUCION UNIFORME

Densidad Uniforme(1;4)

x

Den

sida

d

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

P(X> 2.5 ) = 0.5

Figura 1: Densidad Uniforme(1;4)

Distribucin Uniforme(1;4)

x

Dis

tribu

cin

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 2: Distribucion Uniforme(1;4)

Ejercicios Seccion 1

1. El tiempo que tardan los operadores de un Call Center para llenar un formularioelectronico relacionado con el soporte tecnico solicitado por un cliente es una variablealeatoria con densidad de probabilidad f(x) = 0, 025 para 80 < x < 120 segundos.a) Cuales son la media y la desviacion estandar del tiempo que tardan losoperadores del Call Center para llenar un formulario electronico?b) Se enviara a una capacitacion especial al 10 % mas lento de los operadores. Apartir de que tiempo de llenado del formulario un operador sera considerado lento?R: a) = 100 segundos, = 11, 5 segundos b) 116 segundos

2. Se ha encontrado que el retraso en la salida de los buses desde un terminal puede sermodelado aproximadamente por una distribucion Uniforme con media 2,2 minutos ydesviacion estandar 0,9 minutos. Que porcentaje de los buses tiene un retraso en susalida superior a 3 minutos?R: El 24, 34 % de los buses.

3. De una variable aleatoria con distribucion Uniforme se sabe que F (0, 5) = 0, 25 yF (0, 5) = 0, 75.a) Dibuje la funcion de densidad f(x) y la funcion de distribucion F (x).b) Encuentre P (X > + ).R: b) 0,2113

4. De una variable aleatoria con distribucion Uniforme se sabe que F (1) = 0, 25 y f(3) =0, 25.a) Dibuje la funcion de densidad f(x) y la funcion de distribucion F (x).b) Encuentre P (X > + 0, 5).R: b) 0,3557

5. Para una variable aleatoria X U(a; b) demuestre que P ( < X < +) = 1/3

2

2 DISTRIBUCION EXPONENCIAL

2. Distribucion Exponencial

Se ha demostrado que la distribucion exponencial es un buen modelo de probabilidadpara variables aleatorias como duracion de componentes, tiempos de espera, tiempo entreaccidentes, etc.

Definicion 2.1. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribucion exponencialde parametro , anotado X Exponencial(), si su densidad esta dada por

f(x) =

{(1/)e(x/) ;x 0, > 00 , en otro caso

(3)

La esperanza, la varianza y la funcion de distribucion de probabilidad acumulada deuna variable aleatoria exponencial estan dados en el siguiente teorema

Teorema 2.1. Si X Exponencial(), entonces1. E(X) =

2. V ar(X) = 2

3. F (x) = 1 e(x/);x 0, > 0Demostracion

1. Usando integracion por partes se obtiene que

E(X) =

xf(x)dx =

0

x(1/)e(x/)dx

= (1/)

(xe(x/)|0 +

0

e(x/)dx)

= (1/)(0 + 2) =

2. Para x < 0, F (x) = x 0dt = 0. Para x 0, F (x) =

x0 (1/)e

(t/)dt = 1 e(x/)Por tanto, la funcion de distribucion asociada a la densidad exponencial es

F (x) =

{1 e(x/) , x 00 , x < 0

3.

E(X2) =

x2f(x)dx =

0

x2(1/)e(x/)dx

Usando integracion por partes se tiene que

u = x2 dv = e(x/)

du = 2xdx v = e(x/)

E(X2) =

x2f(x)dx =

0

x2(1/)e(x/)

= (1/)

(x2e(x/)|0 +

0

2xe(x/)dx)

= (1/)

(0 + 2(2)

0

x(1/)e(x/)dx)

= (1/)(0 + 22) = 22

3

2 DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Densidad Exponencial(2,78)

x

Den

sida

d

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.1

0.2

0.3

P(X> 2.78 ) = 0.3679

Figura 3: Densidad Exponencial(2,78)

Distribucin Exponencial(2,78)

x

Dis

trib

uc

in

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.4

0.8

Figura 4: Distribucion Exponencial(2,78)

Por tanto, la varianza de la duracion de las baterias es

V ar(X) = E(X2) [E(X)]2 = 22 ()2 = 2

La desviacion estandar de la variable exponencial es =V ar(X) = .

Ejemplo 2. (Tiempo de servicio) Una cadena de restaurantes de comida rapiada esta rea-lizando un estudio de los tiempos de servicio en la ventanilla de espera para los automoviles.El tiempo promedio entre colocar una orden y recibirla fue de 2,78 minutos. Los tiemposde espera como estos suelen seguir una distribucion exponencial.a) Cual es la probabilidad de que el tiempo para atender un cliente sea menos de 2 minu-tos?b) Cual es la probabilidad de que el tiempo de servicio de un cliente se mayor que 5 mi-nutos?c) Cual es la probabilidad de que el tiempo para atender un cliente supere 2,78 minutos?SolucionAqu la variable aleatoria X es el tiempo de espera en la ventanilla para automoviles y sesupone que tiene distribucion exponencial con media = 2, 78. Entonces, su densidad deprobabilidad es f(x) = (1/2, 78)ex/2,78, x 0 y la funcion de distribucion de probabilidadacumulada es F (x) = 1 ex/2,78;x 0 (Vea Figuras 3 y 4)a) P (X < 2) = F (2) = 1 e2/2,78 0, 5130Hay un 51, 30 % de probabilidad que el tiempo para atender un cliente sea menos de 2minutos.b) P (X > 5) = 1 P (X 5) = 1 F (5) = 1 (1 e5/2,78) 0, 1655Hay un 16, 55 % de probabilidad que el tiempo para atender un cliente sea mayor que 5minutos.c) P (X > 2, 78) = 1 P (X 2, 78) = 1 F (2, 78) = 1 (1 e2,785/2,78) = e1 0, 3679Hay un 36, 79 % de probabilidad que el tiempo para atender un cliente sea mayor que alpromedio de 2,78 minutos.Nota: En un modelo exponencial el 36, 79 % de las veces los valores de X superan su propiamedia. Ver Figura 3

Ejercicios. Seccion 2

4

3 DISTRIBUCION NORMAL

6. Si F (x) = 1 e0,1x, x > 0, calcule P (X > E(X)). R: 0,36797. Una compana de procesamiento de datos tiene un servidor central al que se accede

a traves de un gran numero de terminales remotos. Se ha encontrado que un modelode probabilidad adecuado para el tiempo X (en minutos) transcurrido entre envossucesivos de trabajos al servidor central esta dado por F (x) = 1 e0,5x, x > 0.a) Determine la funcion de densidad de probabilidad de X.b) Determine e interprete la esperanza de X.c) Calcule e interprete la probabilidad P (X > 2).R: a) f(x) = 0, 5e0,5x, x > 0 b) 2 c) 0,3679

8. El tiempo (en minutos) que tarda una empleado en realizar una tarea es una variablealeatoria que distribuye exponencialmente con promedio .a) Si la probabilidad de que tarde por lo menos 2 horas en realizar la tarea es 0,22.Determine el valor de . Interprete este valor en el contexto del enunciado.b) Cual es la probabilidad de que tarde entre media hora y una hora?c) Si el 36 % de las tareas que son realizadas con tiempos mas altos son consideradastareas extraordinarias, cual es el tiempo mnimo de esta categora?R: a) 79,25 minutos b) 0,2161 c) 40,49 minutos

9. Sea T el tiempo de vida de una componente electronica. La componente vale V = 4 sifalla antes de T = 2; de lo contrario vale V = 2T . Encuentre la funcion de distribucionde V si T tiene una densidad de probabilidad dada por fT (t) = 0, 6e

0,6t, t > 0.

3. Distribucion Normal

La densidad normal es la mas importante de las distribuciones desde el punto de vistateorico y desde el punto de vista aplicado.

3.1. La Distribucion Normal

Definicion 3.1. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribucion normal conparametros y , anotado X N(;2), si su densidad de probabilidad esta dada por

f(x) =12pi

e12(

x )

2

(4)

Teorema 3.1. Si X N(;2), entonces1. E(X) = ; < 0

La localizacion de la densidad normal en el eje real depende de su media como muestrala Figura 5 y la forma de la densidad normal depende de su varianza 2 como se ve en laFigura 6.

El calculo de probabilidades integrando una densidad normal es difcil porque esa den-sidad no tiene una primitiva o antiderivada directa. Se debe recurrir entonces a integralesdobles y a las coordenadas polares o recurrir a integracion numerica o aproximada paraobtener resultados correctos al menos con 4 cifras decimales. Cualquiera de los dos metodosse simplifica si el calculo con una normal de media y varianza 2 se transforma primeroen el calculo con una normal de media 0 y varianza 1 llamada normal estandar. El siguienteteorema establece la relacion entre una normal cualquiera y una normal estandar.

5


5 0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribuciones Normales

x

Den

sida

dDensidad Normal

mu=2,sd=2mu=3,sd=2mu=7,sd=2mu=0,sd=1

Figura 5: Localizacion de normalespara = 2, 0, 3, 7 y sd = = 2

0 5 10 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribuciones Normales

x

Den

sida

d

Densidad Normalmu=5,sd=2mu=5,sd=3mu=5,sd=4mu=0,sd=1

Figura 6: Forma de normalespara sd = = 2, 2, 3, 4

Teorema 3.2. Si X N(;2), entonces Z = (X )/ N(0; 1) y su densidad resultaser

f(z) =12piez

2/2, < z z) = 1 (z) para z > 0de modo que cualquier calculo de probabilidades con una normal X N(;2) es reducidoa un calculo de P (Z > z) que aparecen en la Tabla 1. Por ejemplo, P (Z > 1, 96) = 0, 0250).Como f(z) = f(z), entonces la densidad de probabilidad de una normal estandar es unafuncion par y en consecuencia es simetrica respecto a z = 0 como muestran las Figuras 5 y6 en el caso marcado como mu=0 y sd=1. Esta simetra implica las siguientes propiedadesde la normal estandar que son muy utiles para el calculo de probabilidades.

Observaciones 3.1. Propiedades de la normal estandar en funcion de P (Z > z).

1. P (Z < 0) = P (Z > 0) = 0, 5

2. P (Z < z) = P (Z > z), para z > 03. P (z < Z < z) = 1 2P (Z > z), para z > 04. P (0 < Z < z) = 0, 5 P (Z > z), para z > 0

Ejemplo 3. (Puntuaciones de un test) Las puntuaciones de un test que siguen unadistribucion normal revelan una media de 79 puntos y una desviacion estandar de 6 puntos.Calcule la probabilidad de que una puntuacion seaa) Mayor que 92.b) Superior a la mediana

6


c) Superior a la modad) Inferior a 85e) Intermedia entre 65 y 90f) Intermedia entre 50 y 55SolucionLa variable aleatoria X corresponde a las puntuaciones del test y se sabe que X N(79; 62).a) La probabilidad de que la puntuacion supere los 92 puntos es

P (X > 92) = P ((X 79)/6 > (92 79)/6) P (Z > 2, 17) 0, 0150

b) Como la distribucion normal es simetrica respecto a su centro, entonces la mediana y lamoda son iguales a su media = 79 . Luego,

P (X > Mediana) = P ((X 79)/6 > (79 79)/6)= P (Z > 0) = 0, 50

c) La probabilidad de que las puntuaciones superen su moda es

P (X > Moda) = P ((X 79)/6 > (79 79)/2)= P (Z > 0) = 0, 50

d) La probabilidad de que la puntuacion sea menor que 85 es

P (X < 85) = P ((X 79)/6 < (85 79)/6) = P (Z < 1) = 1 P (Z 1) 1 0, 1587 = 0, 8413.

e) La probabilidad de que la puntuacion este entre 65 y 90 es

P (65 X 90) = P ((65 79)/6 (X 79)/6 (90 79)/6) P (2, 33 Z 1, 83) = 1 P (Z > 1, 83) P (Z > 2, 33) 1 0, 0334 0, 0098 0, 9568

f) La probabilidad de que la puntuacion este entre 50 y 55 es

P (50 X 55) = P ((50 79)/6 (X 79)/6 (55 79)/6) P (4, 83 Z 4) = P (Z > 4) P (Z > 4, 83) 0, 0000 0, 0000 = 0, 0000

El lector puede comprobar que con cuatro cifras decimales P (Z c) 0, 0000 para todoc 3, 90. Eso significa que con cuatro cifras decimales P (3, 90 Z 3, 90) 1, 0000 oP (8, 45 Z 7, 56) 1, 0000 o P (Z > 6, 64) 0, 0000, etc.

3.2. Aproximacion de una Binomial por una Normal

Supongamos que X es una variable aleatoria Binomial de parametros n = 200 y p = 0, 45y que se quiere calcular P (X 100). Entonces,

P (X 100) =200

x=100

(n

x

)0, 45x0, 55nx

7


Si no se dispone de un programa especial para hacer calculos esa probabilidad sera muy difcilde obtener. Sin embargo, el teorema mas importante de la Estadstica llamado Teorema delLmite Central permite aproximar ese calculo usando la distribucion normal. Para el casoBernoulli-Binomial ese teorema establece que la variable Binomial estandarizada por sumedia np y por su desviacion estandar

np(1 p) tiene una distribucion que se parece

mas y mas a una normal estandar a medida que n crece.

Teorema 3.3. Si X Binomial(n; p), entonces cuando n la distribucion de lavariable aleatoria

Z =X npnp(1 p) (7)

converge a la de una normal estandar

En terminos practicos este teorema permite establecer que para n grande la variablediscreta Binomial XB Binomial(n; p) puede ser bien aproximada por la variable conti-nua normal XN N(np;np(1 p)).Sea c algun numero entero en el dominio de la variable Binomial {0, 1, 2, . . . , n}. Los prin-cipales casos de aproximacion de la Binomial por una Normal son.

1. Aproximacion de probabilidades en un punto

P (XB = c) P (c 0, 5 XN c+ 0, 5)

= P

(c 0, 5 npnp(1 p)

XN npnp(1 p)

c+ 0, 5 npnp(1 p)

)

= P

(c 0, 5 npnp(1 p) Z

c+ 0, 5 npnp(1 p)

)2. Aproximacion de probabilidades hacia la izquierda

P (XB c) P (XN c+ 0, 5)

= P

(XN npnp(1 p)

c+ 0, 5 npnp(1 p)

)

= P

(Z c+ 0, 5 np

np(1 p)

)3. Aproximacion de probabilidades hacia la izquierda

P (XB < c) P (XN < c 0, 5)

= P

(XN npnp(1 p) 5 y n(1 p) = 375 > 5 la variable XB Binomial(500; 0, 25)puede ser bien aproximada por la normal XN N(125; 93, 75) de modo que

P (XB 105) P (XN 105 + 0, 5) P (XN 105 + 0, 5) = P

(XN 1259, 68246

105, 5 1259, 68246

) P (Z 2, 014) 0, 0220

c) P (X 105) 0, 02 significa que es muy poco probable encontrar una muestra con 105o menos mujeres entre 500 con conciencia del nuevo producto si es que ya el 25 % de ellastiene esa conciencia. Por tanto, esa muestra sugiere que la campana publicitaria no ha sidoexitosa.

Ejercicios. Seccion 3

10. Si X N(40; 100) calculea) P (X > 80)b) P (30 X 50)R: a) 0,0000 b) 0,6827

11. Las ventas diarias de un producto en un supermercado se distribuyen normalmentecon una venta media de 700 mil dolares y una desviacion estandar de 200 mil dolaresQue porcentaje de das las ventas superan los 850 mil dolares?

12. Segun una encuesta, los suscriptores de la revista Strategia emplean una computadoraen su trabajo un promedio de 27 horas por semana con una desviacion estandar de 8horas. Suponga que el tiempo semanal que esos suscriptores emplean una computadoraes aproximadamente normal.a) Cual es la probabilidad de que un suscriptor de Strategia elegido al azar utiliceuna computadora menos de 11 horas?b) Cual es la probabilidad de que un suscriptor de Strategia elegido al azar utiliceuna computadora entre 19 y 35 horas a la semana?c) Se clasifica a un suscriptor como usuario extraordinario del computador si esta en el20 % superior en terminos de horas de uso. Cuantas horas debe usar la computadoraun suscriptor para ser considerado como usuario extraordinario?R: a) 0,0228 b) 0,6826 c) 33,72 horas

13. La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribucion normal con unamedia de 300 unidades y desviacion estandar igual a 50 unidades. La demanda mensualde otro producto B tambien tiene una distribucion normal con una media de 550unidades y desviacion estandar igual a 30 unidades. Un comerciante que vende estosproductos tiene en su almacen 350 unidades de A y 600 de B al comienzo de un mes,cual es la probabilidad de que en el mes se vendan todas las unidades de ambosproductos?

11


14. Se supone que la demanda semanal de sacos de harina de 5Kg en un supermercadoes aproximadamente normal con una demanda media de 72 sacos y una desviacionestandar de 1,6 sacos.a) Calcule la probabilidad de que la demanda semanal supere los 74 sacos de harina.b) La poltica de compras del supermercado es que la probabilidad de desabasteci-miento (que la demanda supere la oferta) sea no mas del 1 % de las veces Cuantossacos de harina se deben tener semanalmente en la bodega del supermercado paraalcanzar esta meta?R: a) 0,1056 b) 76 sacos

15. Las ventas diarias (en unidades monetarias um) de cierto producto siguen una distri-bucion normal con una media de 300 um y una desviacion estandar de 50 um.a) Que porcentaje de das las ventas superan las 400 um?b) Le parece raro observar que en un da la venta supere las 450 um?

16. Suponga que una industria fabrica cierto tipo de cable de acero y que X es la resis-tencia a la ruptura en Kg. de ese cable. Tambien suponga que la distribucion de Xes normal con media de 100Kg. y desviacion estandar de 4 Kg. Si X > 95 Kg. cadametro de cable produce una utilidad de $100 y si X 95 Kg. el cable puede usarsepara otros fines y cada metro produce una utilidad de $20.a) Encuentre la funcion de probabilidad f(u) de la utilidad U .b) Encuentre la utilidad esperada E(U) por cada metro de cable.

R: a)u 20 100

f(u) 0,1057 0,8943b) $91,55

17. Suponga que el 60 % de las llamadas que llegan a una central telefonica son llamadashechas por mujeres. Si durante cierto perodo llegan 400 llamadas a la central, cuales la probabilidad de que a lo mas 200 llamadas sean hechas por hombres?

18. Una maquina automatica expendedora de cafe puede ajustarse para que despache mililitros (ml) promedio por vaso. Si el numero de mililitros necesarios para llenar elvaso sigue una distribucion aproximadamente normal con una desviacion estandar de8 ml, encuentre el valor de necesario para llenar un vaso con capacidad de 200 mlde tal forma que el lquido se derrame solo el 1 % de las veces.R: = 181, 36 mililitros

19. La duracion de ciertos neumaticos tiene un distribucion de probabilidad aproximadanormal con media 40000 Km y desviacion estandar 5000 Kma) Que porcentaje de los neumaticos dura mas de 43000 Km?b) Si no se quiere reponer mas del 5 % de los neumaticos por duracion insuficiente,que duracion mnima se debe dar como garanta?c) Se toma una muestra de 80 neumaticos. Cual es la probabilidad de que mas de 30de ellos tenga una duracion mayor a 43000 Km?

20. En un momento dado un inversionista tiene la posibilidad de escoger una de dos carte-ras de inversiones llamadas A y B. La incertidumbre de las respectivas rentabilidadespueden ser bien modeladas por distribuciones normales de la siguiente forma.La rentabilidad X de la inversion en A tiene distribucion normal de media 10,5 % ydesviacion estandar 1,3 %.La rentabilidad Y de la inversion en B tiene distribucion normal de media 11,2 % ydesviacion estandar 3,6 %Si el inversionista desea una rentabilidad mnima del 10 % para su inversion, cual de

12

4 DISTRIBUCION GAMMA

las dos carteras debera elegir con base en la informacion entregada?R: Cartera de inversion A.

21. Julia puede escoger una de dos rutas para ir de su casa al trabajo. El 60 % de lasveces selecciona la ruta A y el 40 % se decide por la ruta B. El tiempo de viaje porla ruta A sigue una distribucion exponencial con media de 40 minutos. El tiempo deviaje por la ruta B sigue una distribucion normal con media 45 minutos y desviacionestandar de 4 minutos.a) Cual es la probabilidad de que en un da cualquiera Julia se demore mas de 50minutos en ir de su casa al trabajo?b) Si Julia se demoro mas de 50 minutos en ir de su casa a trabajo, cual es laprobabilidad de que haya escogido la ruta B?R: a) 0,215 b) 0,197

4. Distribucion Gamma

4.1. Densidad Gamma

Del calculo se sabe que la siguiente integral impropia llamada funcion gamma existepara todo > 0 y el valor de la integral en un numero real positivo.

() =

0

x1exdx (8)

Para = 1 se tiene

(1) =

0

exdx = 1 (9)

Para > 1 se puede mostrar que

() = ( 1)( 1) (10)En efecto, usando integracion por partes se tiene que

u = y1

du = ( 1)y2dydv = eydyv = ey

() =

0

x1exdx

= y1ey|0 +

0( 1)y2eydy

= 0 + ( 1)

0y2eydy

= ( 1)( 1)Si es un entero positivo mayor que 1 entonces usando la ecuacion (9) y usando reiterada-mente (10) se obtiene

() = ( 1)! (11)Por esta razon la funcion gamma tambien se llama funcion factorial.Usando (9) y (11) se prueba que 0! = 1.De la ecuacion (8) se obtiene que

1 =

0

x1ex

()dx

13


0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribuciones Gamma

x

f(x)

alfa=1,5,beta=1alfa=2,beta=1alfa=3,beta=1alfa=1,beta=1

Figura 9: Densidades Gamma

Entonces, la funcion f(x) = x1ex/(), x > 0, es una funcion de densidad de probabili-dad legtima. Se puede dar mas flexibilidad a este modelo introduciendo un nuevo parametro > 0 haciendo el cambio de variable y = x/ en la integral que define la funcion gamma(8. Entonces,

() =

0

(x

)1ex/

(1

)dx

Equivalentemente,

1 =

0

1

()x1ex/dx

Definicion 4.1. Se dice que la variable aleatoria X tiene una distribucion gamma de para-metros > 0 y > 0, anotado X Gamma(, ), si su densidad de probabilidad esta dadapor

f(x) =

{1

()x1ex/ , x 0

0 , x < 0(12)

La Figura 9 muestra la grafica de algunas densidades Gamma para = 1 y = 1; 1,5; 2y 3. El parametro se llama parametro de forma y se llama parametro de escala.Variando cambia la forma de la densidad pero variando solo se cambia la unidad demedida y no la forma. Se puede mostrar que E(X) = y que V ar(X) = 2.

Cuando = 1 se obtiene la densidad exponencial f(x) = 1 ex/, x 0 con

E(X) = y que V ar(X) = 2. Se anota X Exp() .

14


Cuando = /2, donde es un entero positivo y = 2 se obtiene la densidad chi-cuadrado dada por

f(x) =

{1

(/2)2/2x/21ex/2 , x 0

0 , x < 0(13)

Se puede mostrar que para una distribucion chi-cuadrado E(X) = y que V ar(X) = 2.Se anota X 2 y se dice que la distribucion chi-cuadrado tiene grados de libertad.Esta distribucion sera clave para hacer inferencias respecto a la varianza de una poblacionnormal. Algunas de sus probabilidades aparecen tabuladas para distintos valores de comomuestra la Tabla Chi-cuadrado al final de esta seccion. Por ejemplo, si X 210, entoncesP (X > 20, 5) 0, 025.Se puede mostrar que si X Gamma(;) entonces Y = 2X/ 2r con = r/2. Estecambio de variable transforma el calculo de probabilidad Gamma en uno Chi-cuadrado.

4.2. Relacion entre las distribuciones Poisson, Gamma y Exponencial

En primer lugar se buscara una expresion para la integral I = x

rex/r!dx donde > 0 y r es un entero positivo.Sea u = xr y dv = exdx, entonces du = rxr1dx y v = ex. Luego, integrando por partesse obtiene

r!I = xrex| + r

xr1exdx = re + r

xr1exdx

La integral en esta ultima expresion es similar a la original pero con r 1 en vez de r.Entonces, integrando por parte varias veces se obtiene

r!I = re + r(r1e + (r 1)

xr2exdx)

...

r!I = e(r + rr1 + r(r 1)r2 + + r!)

Luego,I = e

(1 + + 2/2! + + r1/(r 1)! + r/r!)

Por tanto,

I =

xrex/r!dx =r

k=0

ke

k!(14)

Se observa que la integral en (14) corresponde a una probabilidad del tipo Gamma y lasumatoria en (14) corresponde a una probabilidad de tipo Poisson.Supongamos que se cumplen los supuestos de un proceso de Poisson con tasa de ocurrenciapor unidad de tiempo igual a . Sea la variable aleatoria X = numero de ocurrencias enel intervalo de tiempo (0; t), entonces X tiene distribucion Poisson con numero esperadode ocurrencias t. Por otro lado, si T = tiempo hasta la ocurrencia de r eventos, entoncesla relacion entre las distribuciones Gamma y Poisson se basa en que los eventos T > t yX < r son equivalentes. Es decir, si se requiere un tiempo mayor a t para la ocurrencia de reventos, entonces el numero de ocurrencias en el intervalo (0; t) es menor que r. Entonces,

15


por (14) se tiene que

P (T > t) = P (X < r)

=r1x=0

(t)xet

x!

=

t

xr1ex

(r 1)! dx

Equivalentemente, para t > 0

FT (t) = P (T t) = 1 P (T > t)= 1

t

xr1ex

(r 1)! dx

=

t0

xr1ex

(r 1)! dx

Haciendo el cambio de variables x = y se obtiene

FT (t) =

t0

ryr1ey

(r)dy, t > 0

Entonces, la densidad de probabilidad de T es

fT (t) =

{r

(r) tr1et , t > 0

0 , en otro caso

Esto es, el tiempo T hasta la ocurrencia de r eventos tiene una distribucion Gamma con = r y = 1/.Si r = 1, entonces T es el tiempo hasta la primera ocurrencia o tiempo entre ocurrencias ysu densidad de probabilidad es Exponencial

fT (t) =

{et , t > 00 , en otro caso

En resumen, suponiendo que se cumplen los supuestos de un proceso Poisson de tasa , larelacion entre las distribuciones Poisson, Exponencial y Gamma es la siguiente:

Si X = numero de ocurrencias en el intervalo de tiempo (0; t), entonces X tienedistribucion Poisson(t) con funcion de probabilidad o funcion de cuanta dada por

fX(x) =(t)xet

x!;x = 0, 1, 2, 3, . . .

El numero esperado de ocurrencias es E(X) = t.

Si T es el tiempo hasta la primera ocurrencia, entonces su densidad de probabilidades Exponencial(1/) dada por

fT (t) =

{et , t > 00 , en otro caso

El tiempo esperado o tiempo medio hasta la primera ocurrencia es E(T ) = 1/

16


Si T es el tiempo hasta la ocurrencia de r eventos, entonces T tiene una distribucionGamma(r, 1/) con parametros = r y = 1/ y densidad de probabilidad dadapor

fT (t) =

{r

(r) tr1et , t > 0

0 , en otro caso

Em tiempo medio o tiempo esperado hasta que ocurran r eventos es E(X) = =r/.

Ejemplo 7. Suponga que el numero de accidentes laborales en una fabrica que trabaja contres turnos diarios toda la semana es bien modelado por un proceso de Poisson con tasa de3 accidentes promedio por semana.a) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y otro sea inferior a 2 das?b) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre el quinto y el noveno accidente sea inferiora una semana?Soluciona) Aqu = 3 (accidentes/semana) y la variable aleatoria X = numero de accidentes porsemana tiene distribucion Poisson(3). El tiempo en semanas T entre un accidente y otrotiene distribucion exponencial de parametro 1/lambda = 1/3 (semana/accidente), esto es,X Exponencial(1/3). Entonces,

P (T < 2/7) = 1 e3(2/7) 0, 5756

Otra manera de responder esta pregunta es considerar X como el numero de accidentes en2 das que tiene una distribucion Poisson de parametro t = 3(2/7) = 6/7 (accidentes/dosdas) y considerar T como el tiempo en dias entre un accidente y otro. Entonces, el eventoT < 2 es equivalente al evento X 1 de modo que

P (T < 2) = P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 (6/7)0e6/7)

0! 0, 5756

b) El tiempo entre el quinto y el noveno accidente es equivalente al tiempo T en semanasnecesario para que se produzcan cuatro accidentes. Esta variable tiene distribucion Gammade parametros = 4 y = 1/3 y por tanto el tiempo esperado en semanas para quese produzcan 4 accidentes es = 4/3 (semana/4 accidentes). As, T Gamma(4; 1/3).Entonces,

P (T < 1) =

10

34

(4)t3e3tdt =

34

3!

10t3e3tdt 0, 3528

Otra manera de responder esta pregunta es considerar X como el numero de accidentes enuna semana que tiene una distribucion Poisson de parametro = 3 (accidentes/semana).Entonces, el evento T < 1 es equivalente al evento X 4 de modo que

P (T < 2) = P (X 4) = 1 P (X 3) = 13

x=0

3xe3

x! 1 0, 6472 0, 3528

Ejercicios Seccion 4

22. Si X Gamma(;) demuestre que E(X) = y que V ar(X) = 2.23. Demuestre que si X Gamma(;) entonces Y = 2X/ 2r con = r/2.

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5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

24. La moda de una variable aleatoria discreta o continua se define como el valor quemaximiza su funcion de probabilidad f(x). Suponga que x = 2 es la unica moda dela densidad Gamma dada por

f(x) =

{12xex/ , x > 0

0 , en otro caso

a) Encuentre b) P (X > 9, 49)R: a) 2 b) 0,05 (vea Tabla Chi-cuadrado)

25. Si X 25 encuentre constantes a y b tales que P (a < X < b) = 0, 99 y P (X > b) =0, 005.R: a 0, 4 y b 16, 7 (vea Tabla chi-cuadrado)

26. Si X Gamma(3; 4) encuentre P (3, 28 < X < 25, 2)R: 0,90Ayuda, use el cambio de variable Y = 2X/ para transformar el problema en unproblema con la chi-cuadrado.

27. La oficina de Tecnologas de Informatica y Comunicaciones (TIC) de un Empresarecibe cada hora un promedio de 20 solucitudes de soporte tecnico en su mesa deservicio por parte de los usuarios. Suponga que esas solicitudes son bien modeladaspor un proceso de Poisson.a) Cual es el tiempo medio entre solicitudes de soporte tecnico?b) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre una solicitud y otra sea inferior a2 minutos?.c) Cual es la probabilidad de que el tiempo necesario para recibir 8 solicitudes seasuperior a 20 minutos?.R: a) 0,05 horas o 3 minutos b) 0,4866 c) 0,6482

5. Ejercicios y Problemas Complementarios

28. Dibuje la densidad de probabilidad f(x) y la funcion de distribucion F (x) en lossiguientes casos.a) X Uniforme(2; 14)b) X Exponencial(3, 5)c) X N(25; 25).

29. Suponga que X es una variable aleatoria con media = E(X) y desviacion estandar =

V ar(X). Calcule e interprete la probabilidad P ( < X < + ) en los

siguientes casos.a) X Uniforme(2; 14)b) X Exponencial(3, 5)c) X N(25; 25).

30. El retraso en minutos en el despegue de los vuelos comerciales de una lnea aereapuede ser bien modelado por una distribucion uniforme en el intervalo [0; 30]a) Cual es el retraso medio en el despegue de esos vuelos comerciales?,b) Cuas es la probabilidad de que un vuelo comercial de esa lnea aerea tenga unretraso en el despegue superior a 20 minutos?

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31. Si X Exponencial(5, 6), entonces calcule la mediana y el rango intercuartlico deX.

32. En una compana que fabrica acero inoxidable el tiempo medio entre un accidentelaboral y el siguiente es bien modelado por una distribucion exponencial con media25 das.a) Cual es la probabilidad de que el tiempo hasta el proximo accidente laboral este en-tre 20 y 30 das?b) Si ya han transcurrido 15 das desde el ultimo accidente laboral, cual es la pro-babilidad de que el siguiente accidente ocurra en los proximos 10 o mas das?

33. Suponga que X Exponencial() es un buen modelo de probabilidad para el tiempoque dura una transaccion en un cajero automatico. Para t > 0 y h > 0 calcule einterprete la probabilidad condicional

P (X > t+ h/X > t)

34. Si X Exponencial(), determine si se sabe que P (X > 4, 7) = 0, 3679.35. Se sabe que X tiene una distribucion normal. Determine su media y su desviacion

estandar si se sabe que P (X > 20) = 0, 3821 y que P (X < 2) = 0, 0287.36. El tiempo que los tecnicos emplean en instalar en las residencias un servicio de Te-

lefona+Internet+TV por fibra optica puede ser bien modelado por una distribucionnormal con media 3,4 horas y desviacion estandar 0,38 horas. La compana que pro-vee el servicio desea premiar al 10 % mas rapido de los tecnicos instaladores y reforzarla capacitacion del 10 % mas lento de los tecnicos. Cuales son los tiempos de insta-lacion que permiten clasificar a un tecnico en una de esas dos categoras?

37. Si X Binomial(300; 15) calcule en forma exacta y aproximada las siguientes pro-babilidades.a) P (X = 50) b) P (X > 50)c) P (X 50) d) P (42 < X < 51)

38. Suponga que X es una variable aleatoria Pareto con densidad de probabilidad dadapor:

fX(x) =

{

x+1, x

0 , x < , > 0, > 0

a) Determine la esperanza y la desviacion estandar de X.b) Determine la funcion de distribucion de probabilidad acumulada F (x).c) Determine P (X > + ).

R: a) = 1 , > 1; =

2

(2)(1) , > 2 b) F (x) = 1 (/x), x c) (/(+ ))

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Tabla1Distribucinnormalestndar

La tabla entrega probabilidades o valores donde p es una probabilidad o rea hacia la derecha. Lasprobabilidades p aparecen en el interior de la tabla y losvalores de z o en el borde izquierdo y superior. Porejemplo 1,96 0,025 o en forma equivalente, 1,96

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,46410,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,42470,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,38590,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,34830,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,31210,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,27760,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,24510,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,21480,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,18670,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,13791,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,11701,2 0,0968 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,09851,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,08231,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,06811,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,04551,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,03671,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,02941,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,01832,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,01432,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,01102,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,00842,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,00642,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,00482,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,00362,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,00262,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,00192,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

Distribucin Normal Estndar

z

Den

sida

d

-4 -2 0 2 4

P(Z> 1.96 ) = 0.025

Figura 10Tabla Z normal estandar

20


DistribucinChicuadrado

Latablaentregaprobabilidades ovaloresdondepesunaprobabilidadoreahacia laderechaytienedistribucinchicuadradocongradosdelibertad.Lasprobabilidadespaparecenenlapartesuperiordelatabla,losgradosdelibertadenelladoizquierdoylosvaloresdeoenelinteriordelatabla.Por ejemplo, para 10 20,48 0,025 o en formaequivalente 0,025 20,48

p 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,0051 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,5 1,3 2,7 3,8 5,0 6,6 7,92 0,0 0,0 0,1 0,1 0,2 0,6 1,4 2,8 4,6 6,0 7,4 9,2 10,63 0,1 0,1 0,2 0,4 0,6 1,2 2,4 4,1 6,3 7,8 9,3 11,3 12,84 0,2 0,3 0,5 0,7 1,1 1,9 3,4 5,4 7,8 9,5 11,1 13,3 14,95 0,4 0,6 0,8 1,1 1,6 2,7 4,4 6,6 9,2 11,1 12,8 15,1 16,76 0,7 0,9 1,2 1,6 2,2 3,5 5,3 7,8 10,6 12,6 14,4 16,8 18,57 1,0 1,2 1,7 2,2 2,8 4,3 6,3 9,0 12,0 14,1 16,0 18,5 20,38 1,3 1,6 2,2 2,7 3,5 5,1 7,3 10,2 13,4 15,5 17,5 20,1 22,09 1,7 2,1 2,7 3,3 4,2 5,9 8,3 11,4 14,7 16,9 19,0 21,7 23,610 2,2 2,6 3,2 3,9 4,9 6,7 9,3 12,5 16,0 18,3 20,5 23,2 25,211 2,6 3,1 3,8 4,6 5,6 7,6 10,3 13,7 17,3 19,7 21,9 24,7 26,812 3,1 3,6 4,4 5,2 6,3 8,4 11,3 14,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,313 3,6 4,1 5,0 5,9 7,0 9,3 12,3 16,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,814 4,1 4,7 5,6 6,6 7,8 10,2 13,3 17,1 21,1 23,7 26,1 29,1 31,315 4,6 5,2 6,3 7,3 8,5 11,0 14,3 18,2 22,3 25,0 27,5 30,6 32,816 5,1 5,8 6,9 8,0 9,3 11,9 15,3 19,4 23,5 26,3 28,8 32,0 34,317 5,7 6,4 7,6 8,7 10,1 12,8 16,3 20,5 24,8 27,6 30,2 33,4 35,718 6,3 7,0 8,2 9,4 10,9 13,7 17,3 21,6 26,0 28,9 31,5 34,8 37,219 6,8 7,6 8,9 10,1 11,7 14,6 18,3 22,7 27,2 30,1 32,9 36,2 38,620 7,4 8,3 9,6 10,9 12,4 15,5 19,3 23,8 28,4 31,4 34,2 37,6 40,021 8,0 8,9 10,3 11,6 13,2 16,3 20,3 24,9 29,6 32,7 35,5 38,9 41,422 8,6 9,5 11,0 12,3 14,0 17,2 21,3 26,0 30,8 33,9 36,8 40,3 42,823 9,3 10,2 11,7 13,1 14,8 18,1 22,3 27,1 32,0 35,2 38,1 41,6 44,224 9,9 10,9 12,4 13,8 15,7 19,0 23,3 28,2 33,2 36,4 39,4 43,0 45,625 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 19,9 24,3 29,3 34,4 37,7 40,6 44,3 46,926 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 20,8 25,3 30,4 35,6 38,9 41,9 45,6 48,327 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 21,7 26,3 31,5 36,7 40,1 43,2 47,0 49,628 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 22,7 27,3 32,6 37,9 41,3 44,5 48,3 51,029 13,1 14,3 16,0 17,7 19,8 23,6 28,3 33,7 39,1 42,6 45,7 49,6 52,330 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 24,5 29,3 34,8 40,3 43,8 47,0 50,9 53,740 20,7 22,2 24,4 26,5 29,1 33,7 39,3 45,6 51,8 55,8 59,3 63,7 66,860 35,5 37,5 40,5 43,2 46,5 52,3 59,3 67,0 74,4 79,1 83,3 88,4 92,080 51,2 53,5 57,2 60,4 64,3 71,1 79,3 88,1 96,6 101,9 106,6 112,3 116,3100 67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 90,1 99,3 109,1 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2120 83,9 86,9 91,6 95,7 100,6 109,2 119,3 130,1 140,2 146,6 152,2 159,0 163,6 2,58 2,33 1,96 1,64 1,28 0,67 0,00 0,67 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58

Para 100tomar 2 1/2

Distribucin Chi-cuadrado

x

Den

sida

d

0 10 20 30

P(X> 20.48 ) = 0.025

Figura 11Tabla chi-cuadrado

21

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Variable Aleatoria