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PREUNIVERSITARIO

Matemática 2015 Datos y Azar

Guía Teórico-Práctica D-6

Variable Aleatoria continua Función de densidad de probabilidad

Distribución Normal y de Bernoulli

Mate

máti

cas P

SU

D-6

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Variable Aleatoria Continua

Al igual que para la variable aleatoria discreta, la función de probabilidad de la variable aleatoria continua describe cómo se distribuyen las probabilidades para cada uno de los valores que ésta puede adoptar. Dicha función recibe el nombre de

función de densidad de probabilidad (o simplemente función de densidad), f(x). Dado que los elementos del dominio de f(x) son valores continuos, su gráfica se

representa mediante una curva en el plano cartesiano, donde el área bajo la curva entre dos puntos a y b representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor comprendido en dicho intervalo, tal como muestra la figura 1.

Recuerda que, al igual que para una variable aleatoria discreta, el dominio de la variable aleatoria continua corresponde al espacio muestral del experimento y su

recorrido corresponde a los valores que ésta puede tomar (dependiendo de cómo se defina). Por otra parte, el dominio de la función de densidad de probabilidad

corresponde al recorrido de la variable aleatoria, mientras que su recorrido corresponde a la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del dominio, es decir, a los reales comprendidos entre 0 y 1.

Como consecuencia de lo anterior, para que f sea función de densidad de

probabilidad se deben cumplir dos aspectos importantes: 1. f(x) debe ser positivo o cero para todos y cada uno de los elementos del dominio

de f. Esto porque por la propia definición, la probabilidad de un suceso toma valores entre 0 y 1, nunca negativos.

2. El área bajo la curva de f en su dominio debe ser 1. Esto porque, por definición, la suma de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del dominio de f debe ser la unidad (o el 100 %).

Si la gráfica de f no cumple con alguno de los puntos mencionados, entonces no se

trata de una función de densidad de probabilidad.

f(x)

P(a<x<b)

a b

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Ejemplo: Verifica si la función de la gráfica es una función de probabilidad de una variable aleatoria continua

¿Cuál es la probabilidad de que X tome valores mayores o iguales que 0? ¿Cuál es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales que 0?

Dichas probabilidades corresponden al área bajo la curva descrita a la derecha e izquierda del eje de las ordenadas respectivamente, esto es, P(X ≥ 0) = 0,75 ,

mientras que P(X ≤ 0) = 0,25.

Otro aspecto importante de destacar de una variable aleatoria continua, es que la probabilidad de que ésta tome un valor en particular a es 0, es decir, P(X = a) = 0.

La justificación es sencilla: suponga que se escoge un estudiante en particular de un colegio y se mide su estatura. Nos preguntamos cuál es la probabilidad de que dicho estudiante mida exactamente 1,71 m. Pues bien, como se explicó anteriormente, la

exactitud de la medición dependerá del instrumento utilizado, de modo que un estudiante que eventualmente mide 1,71 m de altura, con otro instrumento de

medición puede medir 1,712 m, con otro 1,7129 m, pero nunca llegaremos a un valor exacto. Como consecuencia de lo anterior, la probabilidad de que una variable aleatoria

continua tome valores dentro de un intervalo es la misma tanto si se considera uno, alguno o ambos extremos del intervalo, esto

es, P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b).

1,0 0,5

f(x)

-0,5

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Ejercicios Propuestos

1. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones puede(n) ser función de densidad de

una variable aleatoria continua?

a) f(x) = 0, 5, con x [-1, 1]

b) f(x) = x - 1, con x [1, 3]

c) f(x) = -1, con x [-1, 0]

d) f(x) = x con x [-1, 1]

Dado que la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor en particular es 0, se cumple que:

P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b)

= P(a ≤ X < b)

= P(a < X ≤ b)

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2. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro de

un intervalo, se puede calcular como el área bajo la curva de su función de densidad para ese intervalo. A partir de la gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria

continua X , ¿Cuál es la probabilidad que tome valores en el intervalo [ 0,6 ; 1,4]?

A) 0,4

B) 0,46 C) 0,54

D) 0,60 E) 0,24

3. Sea f la función de densidad de una variable aleatoria continua X. ¿cuál es la

probabilidad de que X pertenezca al intervalo [0,1]?

A) 0,125

B) 0,325 C) 0,375 D) 0,625

E) 0,750

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Distribución normal

La distribución normal(o gaussiana) es aquella en que los datos de una

variable aleatoria continua se concentran alrededor de la media con cierta

desviación estándar (típica) . Se escribe N(,) y su grafica se conoce

como la campana de Gauss

Media :

Varianza : 2

Cuando la población se distribuye N(,) , se puede asegurar que:

Aproximadamente el 95,45% 95,5%

de la población se encuentra en el

intervalo ]-2,+2 [

Aproximadamente el 68,27% 68,3%

de la población se encuentra en el

intervalo ]-,+ [

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Ejercicios Resueltos

1. La estatura de los integrantes de una delegación de 180 deportistas se

describe aproximadamente con una distribución normal N( 184, 9)

a)¿Cuál es aproximadamente el porcentaje de deportistas en la delegación

cuya estatura es mayor a 175cm?

Aproximadamente el 99,7% de la población se encuentra en el intervalo

]-3,+3 [

Aproximadamente - = 184-9=175

y + = 184+9=193

La estatura en cm del 68,3% de los

deportistas se encuentra entre ]175,193[

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b)¿Cuántos deportistas aproximadamente son de estatura mayor que 157cm y menor que 211cm?

Ejercicios PSU DEMRE 2015

Sea X una variable aleatoria continua, tal que X N(, 2), donde se sabe que

P(X + ) = 0,6826 y P(2X + 2) = 0,9545. ¿Cuál es el valor de

P(+ X + 2)? A) 0,13595 B) 0,2719 C) 0,86405 D) 0,81855 E) Ninguno de los anteriores.

Aproximadamente -3 = 184-27=157

y +3 = 184+27=211

La estatura en cm del 99,7% de los deportistas se encuentra entre ]157,211[

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Estandarización (Tipificación) Existen muchos fenómenos reales que pueden representarse estadísticamente

mediante la distribución normal. No obstante el análisis matemático solo se considera para la distribución normal tipificada(es decir de promedio (media)

0 y de desviación estándar 1).Para el estudio de una distribución estándar de media y desviación estándar , esta se puede transformar en una

distribución normal tipificada realizando un cambio de variable, para luego

aplicar todo el análisis valido para este tipo de distribución

Cualquier variable X que se distribuya N(,) puede transformarse a una

variable Z de distribución N(0,1) mediante el siguiente cambio de variable

XZ

Existe una tabla que permite conocer el área bajo la curva hasta cualquier valor de la

variable, lo que indica directamente la proporción de datos que son menores o iguales que

dicho valor

Ejemplo:

Se mide la masa en gramos de los huevos producidos en un gallinero. Sí dichas

masas se distribuyen de forma normal con µ=54 g y ơ=16 g, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un huevo su masa sea menor que

52 g.

Sea X: masa de los huevos producidos en un gallinero, entonces X se distribuye normal con media µ=54 g y desviación estándar ơ=16 g y se denota N (54,16)

Para calcular P(X<52) se tipificara la variable X

Primero se realiza el cambio de variable ,

XZ

Determinamos el valor de Z para un X=52, 125,08

1

16

5452

Z

Así P(X<52)=P(Z<-0,125)=P(Z>0,125)

Luego P(Z>0,125)=1- P(Z<0,125)

= 1 – 0,54975 = 0,45025

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Ejercicios Propuestos

1. Calcula , utilizando la tabla los valores de Z ,las siguientes probabilidades

a) P(Z<0,02)=

b) P(Z≥1,47)=

c) P(Z≥-1,02=

2. La masa promedio de un grupo de cargas es 148 Kg y su desviación

estándar es de 10Kg. Si se sabe que las masas se distribuyen normal,

¿cuál es la probabilidad de que la masa de una carga seleccionada aleatoriamente sea mayor que 140kg?

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Intervalo de Confianza

Un intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contiene al valor del parámetro que se quiere estimar. Los valores que establecen los límites del intervalo de confianza se denominan límites de confianza, y el nivel de confianza es

la probabilidad de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del

parámetro. Así, un intervalo de confianza de (1- )·100% para le media de

población µ , con ơ dada , es:

IC(µ)=

nzx

nzx

21

21

,

Donde n es el tamaño de la muestra y x es su promedio

Ejemplo:

1. Si el tiempo en minutos de atención se distribuye N(µ,4),construye un intervalo

de confianza al 95% para el tiempo de atención (µ). Para esto considera una muestra aleatoria de 100 clientes, el tiempo promedio de atención es de 8 minutos.

Datos:

2. Ejemplo PSU DEMRE 2015 La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una

distribución normal con media y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias de esta ciudad, obteniéndose una media de 2,75 televisores. Para los resultados de esta muestra, ¿cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de

confianza de nivel 0,95 para ?

A)

40

196,175,2;

40

196,175,2

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B)

200

195,075,2;

200

195,075,2

C)

400

196,1;

400

196,1

D)

20

195,0;

20

195,0

E)

20

196,175,2;

20

196,175,2

Distribución Binomial

Un experimento sigue el modelo de distribución binomial si:

i. En cada ensayo son posibles solo dos resultados(éxito o fracaso) ii. La probabilidad de un suceso(éxito o fracaso) es contante en cualquier

ensayo iii. El resultado en cada ensayo es independiente de los anteriores

La función de probabilidad de una distribución binomial, denotada por B(n,p), donde

n es el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito y x el valor de la variable aleatoria X, es:

xnx ppx

nxXP

1)( con x≤n, 10,,

0 pnx

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La función de distribución acumulada de la distribución binomial es:

xnxnn

ppx

npp

npp

nxXP

1....1

11

0)(

110

Ejemplo:

1. La probabilidad de que un celular sea aprobado por un control de calidad en una industria, antes de salir al mercado, es 0,6

Determina la probabilidad de que exactamente 2 de 6 celulares sean aprobados

por el control de calidad

Determina la probabilidad de que entre cuatro celulares, más de 2 sean aprobados

2. La probabilidad de aprobar una asignatura es 0,7. Entonces la probabilidad de que 3 de 5 estudiantes aprueben la asignatura es:

A) 0,3087

B) 0,1323 C) 0,3125

D) 0,6913 E) 0,6666

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3. Un estudiante contesta al azar una evaluación de 15 preguntas y 5 alternativas

cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente 6 preguntas?

A) 96 8,02,06

15

B) 69 8,02,06

15

C) 105 8,02,05

15

D) 69 8,02,09

15

E) 96 5,05,06

15

Tabla de tipificación para distribuciones normales (P(Z<z))