Variable aleatoria: definiciones básicasdelta.cs.cinvestav.mx/~francisco/prope/v_aleatoria_short.pdf · Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Variable aleatoria: definiciones

básicas


Variable Aleatoria

• Hasta ahora hemos discutido eventos elementales y sus

probabilidades asociadas [eventos discretos]

• Considere ahora la idea de asignarle un valor al resultado

de un evento

Ejemplo: Considere una vez más el evento de tirar dos dados.

Entonces la suma de los resultados de ambos dados, el cual

es un valor k tal que k Є [2, 12] puede definirse como una

variable aleatoria S. Utilizaremos la siguiente notación:

Pr{S=k}


Variable Aleatoria

• Se entiende que S es una variable aleatoria que puede

tomar valores entre 2 y 12 con diversas probabilidades.

• Más técnicamente S es visto como una función sobre los

subconjuntos del espacio de muestreo y Pr{S=k}

representa la suma de las probabilidades de todos los

resultados a los que les corresponde la suma k.

Nota: No se preocupe si la idea es un poco difusa al principio,

quedara más clara con los ejemplos.


Variable Aleatoria

• Normalmente, estaremos interesados en conocer la

distribución que la variable aleatoria S, la cual toma

valores enteros k = 0, 1, …, n con probabilidades

P(k) = Pr(K = k)

• Generalmente, necesitaremos definir un conjunto de

atributos que sumaricen las descripciones de la

distribución de la variable aleatoria.


Valor esperado

• El primer valor que sumariza el comportamiento de una

variable aleatoria es el valor esperado, definido como:

• Intuitivamente, el promedio mide la posición del “centro

de la distribución”

• También se conoce al promedio como el valor esperado de

la variable aleatoria, o de la distribución de ésta.

n

k

nnppppkkp0

)()2(2)1(1)0(0


Valor esperado

Ejemplo: Promedio de tirar un dado.

• Tirar un dado puede resultar en obtener cualquiera de los 6

valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6.

• Entonces el promedio está dado por:

• Note que el promedio no es ninguno de los resultados

legales de un dado

5.32/766

1654321

6

1


Valor esperado

2

101

2

1

Ejemplo: Promedio de un volado.

• Si se le asigna los valores, águila = 0, sol = 1, entonces el

valor esperado de tirar un dado (con probabilidad p=1/2)

es:

Sin embargo si asignamos águila = -1, sol = 1, el valor

esperado sería 011

2

1


Valor esperado: definición formal

Dada una variable X, cuyos resultados tienen probabilidades

p(i) para los valores xi (i=1, 2,…, n), entonces el valor

esperado de la variable aleatorio X se define como:

El valor esperado toma cada posible valor xi y lo pesa por su

probabilidad p(i).

El valor esperado es un operador lineal

n

i

i ipxXE1


Valor esperado: definición formal

n

i

i ipxXE1

Muchas veces conviene ordenar los pares (xi, f(xi)) en forma

tabular,

x x1 x2 x3 …. xn

f(x) f(x1) f(x2) f(x3) … f(xn)


Promedio: producto de dos variables

• Valor esperado del producto de dos variables aleatorias

independientes X, Y.

j

Yj

i

Xi

i j

YXji

k

YEXEjpyipx

jpipyxkXYkpXYE )()(


Promedio: suma de dos variables

j

Yj

i

Xi

ij

j

ji

iii

YEXEjpyipx

jipyjipxjipyxYXE ,,,

• Valor esperado de la suma de dos variables aleatorias

independientes X, Y.

• Lo cual implica que:

• En general, el valor esperado es un operador lineal, esto

es,

YEXEYXE

YbEXaEbYaXE


Promedio

iiii XEcXcE

• Suma de variables aleatorias Xi.

• Producto de variables aleatorias independientes

i

i

i

i XEXE


Varianza

22 ipxXVXVarianza

i

i

• Si el promedio nos indica dónde está el centro de nuestra

distribución, la varianza explica cuál es la dispersión de

una determinada distribución probabilística.

• Es fácil demostrar que:

XVccXVcV 2;0


Varianza de un dado

• Recuerde que el valor esperado de un dado es E{X}=7/2.

Para los 6 valores del dado, las diferencias de Xi con son:

-5/2, -3/2, -1/2, ½, 3/2, 5/2

• Debemos elevar al cuadrado las diferencias, multiplicarlas

por las probabilidades pi y sumarlas:

V{dado} = (1/6)[25+9+1+1+9+25]/4=70/24=35/12

• Note que un método alternativo es:

12/354/496/912

7

6

126

1

2

i

idadoV


Ejemplo de valor esperado y varianza

Ejemplo: Sean X, Y dos variables aleatorias del espacio de

muestreo formado por los posibles resultados de tirar dos

dados, de tal manera que siendo a, b tales resultados

entonces: X(a, b) = max(a, b) y Y(a, b) = a + b.

Note que si f es la distribución de probabilidad de X, entonces,

f(1) = 1/36 (La unica posibilidad que el máximo sea 1 es que

los dados hayan caído en (1,1). Similarmente, los tres

resultados (1,2), (2,1), (2,2) hacen que f(2) = 3/36.


x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

En general, se tiene que

47.4)( i

xxfXE

i

xfxXE 97.2122

99.1222 XX XExVar

4.1X



La distribución g de la variable aleatoria Y sería como sigue:

y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

g(y) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

7)( i

yygYE

i

iygyYE 83.5422

83.5222 YY YEyVar

4.2Y



Variable aleatoria en el dominio

continuo


Variable Aleatoria continua

xxXPxFX ,

Definición: La función de distribución acumulativa (cdf) de X

se define como:

Con las siguientes propiedades:

1.

2.

3.

4.

5.

10 xFX

2121 if xxxFxF XX

1lim

XXx

FxF

0lim

XXx

FxF

aaFaFxF XXX

ax 00lima lim


Variable Aleatoria continua

aFaXP X 1

equivalentemente, podemos determinar la probabilidad de

ciertos eventos en función de la cdf.

1.

2.

3.

aFbFbXaP XX

bP00

-

X limb bF bX


Variable Aleatoria

Definición: Sea X una variable aleatoria con cdf FX(x). Si FX(x)

es continua y si tiene existe su derivada dFX(x)/dx como

una función continua para toda x, excepto quizás por un

número finito de puntos, entonces se dice que X es una

variable aleatoria continua.

De esta manera, si X es una variable aleatoria continua,

entonces,

P(X = x) = 0


Variable Aleatoria: función de densidad

de probabilidad

dx

xdFxf X

X Definición: Sea

La función fX(x) es conocida como la función de densidad de

probabilidad de la variable aleatoria continua X.

Con las siguientes propiedades:

1.

2.

3. fX(x) es una función continua bien comportada

4.

5.

0xfX

1dxxf X

b

aX dxxfbXaP

dfxXPxFx

XX


Variable Aleatoria: Promedio y variancia

continua:

discreta:

Xdxxxf

Xxpx

XE

X

k

KXk

X

Definición: El valor esperado (promedio) de una variable aleatoria

está dado como:

Definición: La varianza de una variable aleatoria se define como:

continua:

discreta:

2

2

2

Xdxxfx

Xxpx

XX

k

KXXk

X


Varianza

XEXEXEXEXV 2222 2

• Note también que:

• Es fácil probar que en el caso de la suma de variables

aleatorias independientes Xi, la varianza es lineal:

ii XVXV


Distribuciones de Probabilidad

famosas


Distribución Uniforme

manera otra de0

1bxa

abxf X

Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre

el rango (a, b), si su pdf está dado por:

2

baXEX

12

2

2 abX



manera otra de0

1bxa

abxf X



2

baXEX

12

2

2 abX



manera otra de0

1bxa

abxf X



2

baXEX

12

2

2 abX


Distribución Bernoulli

0,1k ,)1( 1 kk

X ppkXPkp

Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria Bernoulli con

parámetro p si,

La distribución Bernoulli modela experimentos en que el resultado

sólo puede ser éxito o fracaso. El ejemplo tradicional es tirar

volados. pXEX

ppX

12


Distribución Binomial

Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria binomial

con parámetros (n, p) si,

La distribución binomial modela el número total de exitos tras

varios intentos hechos sobre una población infinita bajo los

siguientes supuestos:

• Únicamente dos resultados puede ocurrir en cada intento.

• La probabilidad de éxito en cada intento es constante e

independiente de otros intentos.

James Bernoulli derivó la distribución binomial en 1713 (Ars

Conjectandi).

nkppk

nkXPkp

knk

X ,,1,0 1


Distribución Binomial

npXEX

pnpX

12


Distribución binomial Bernoulli

knkknk qpk

nqpknCpnkb

),(),;(

N = 10;

P= 2/3.


Distribución binomial Bernoulli

knkknk qpk

nqpknCpnkb

),(),;(


Comportamiento asintótico de la

ley binomial

Suponga que en la función binomial b(k;n, p), n >>1, p << 1, pero de

tal manera que np permanece constante, digamos, np = a. Dado

que q = 1-p, se tiene que:

Donde si n es suficientemente grande y si k está

fijo. De aquí que en el límite cuando se tiene,

n

k

p

k 1 p nk

1

k!ak 1

a

n

nk

n n 1 n k 1 nk

n,p0,k n

b k;n, p 1

k!ak 1

a

n

nk

ak

k!ea


Binomial asintótica = Poisson


Distribución Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad

discreta. Expresa la probabilidad que un número de eventos

ocurra en un tiempo fijo suponiendo que:

a. Los eventos ocurren a una razón [velocidad]

conocida.

b. La ocurrencia de eventos es independiente de cuándo

ocurrió el último evento.

Poissonfrancés = pescado

Poisoninglés = Veneno


Distribución Poisson = 1,3, 5, 10

P[x k]ke

k!

XEX

2

X


Distribución Poisson = 1,3, 5, 10

P[x k]ke

k!

XEX

2

X


Poisson asintótica = Gaussiana


Distribución Exponencial

Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial

con parámetro >0 si,

• La distribución exponencial es especial porque modela eventos

que ocurren aleatoriamente en el tiempo.

• La principal aplicación es en el estudio de tiempos de vida útil de

componentes

• Quizás la propiedad más interesante de la distribución

exponencial es su característica de “amnesia”. Por ejemplo, si un

componente tiene un tiempo de vida útil distribuido

exponencialmente, entonces un item que ha funcionado por horas

es tan bueno como un item nuevo

00

0

x

xexf

x

X





1

XEX

2

2 1

X

00

0

x

xexf

x

X



00

0

x

xexf

x

X



1

XEX

2

2 1

X



00

0

x

xexf

x

X



1

XEX

2

2 1

X


Distribución Normal o Gaussiana

Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal

(guassiana) si su pdf está dado por,

• La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En

este universo, la naturaleza se comporta gaussianamente.

• El teorema del límite central garantiza que cualquier otra

distribución se comporta como una gaussiana cuando se hacen

un número suficiente de experimentos: “la suma de muestras

independientes para cualquier distribución con valor esperado y

varianzas finitos converge a la distribución normal conforme el

tamaño de muestras tiende a infinito”.

• El primer uso de la distribución normal fue la de hacer una

aproximación continua a la distribución binomial.

222/

2

1

x

X exf



22

2/

2

1

x

X exf



XEX

22 X



22

2/

2

1

x

X exf



XEX

22 X



• Se usa la notación N(; 2) para denotar que la variable aleatoria

X es normal con promedio y varianza 2.

• A una variable aleatoria normal Z con promedio cero y varianza

1 se le llama variable aleatoria normal estándar:

• Como se ha mencionado, la distribución normal es la más

utilizada en el estudio de fenómenos aleatorios, pues ocurre con

harta frecuencia en una amplísima variedad de fenómenos de la

naturaleza

)1;0(2

1 2/2

Nexf x

X


Ruido Gaussiano

222/

2

1

x

X exf

XEX

22 X

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