Variable Aleatoria

VARIABLE ALEATORIAMATEMTICA PARA INGENIEROSFacultad de Ingeniera U.N.Ju.

Frecuentemente interesa conocer ms que el resultado de un experimento aleatorio, una funcin de dicho resultado.Variable aleatoriaEjemplo: Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir la funcin como X: X: nmero de caras que resultan del experimento. Una variable aleatoria es una funcin con valoresnumricos y definida sobre un espacio muestral

Variable aleatoriaUna variable aleatoria X es una funcin que asocia a cada suceso del espacio muestral S de un experimento aleatorio un valor numrico real:La variable aleatoria puede ser discreta o continua.Cuando los valores que toma una variable aleatoria son finitos o infinitos numerables se dice que es discreta.

Ejemplos variable aleatoria discreta

ExperimentoVariable aleatoriaValores posibles V.ALlamar a cinco clientesCantidad de clientes0, 1,2,3,4,5Inspeccionar un embarque de 40 chipsCantidad de chips defectuosos0,1,2,.,40

Cuando los valores que toma una variable aleatoria son algn intervalo de los reales se dice que es continua.Variable Aleatoria ContinuaEjemplos variable aleatoria continua Tiempos de desintegracin de partculas radioactivas tiempo necesario para ejecutar una reaccin qumica

Una variables aleatoria X se llama discreta si x puede tomar un nmero finito K de valores distintos, x1, x2, , xk; o a lo sumo una sucesin infinita de valores distintos, x1, x2, , xk, Funciones de probabilidad Variables aleatorias discretas

Ejemplo de variable aleatoria discreta:Experimento: se lanza una moneda tres veces X: nmero de caras obtenidas en los tres lanzamientosElementos del espacio muestralLey de correspondencia XN reales +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC 0123 carasPodemos construir una tabla de frecuencias para el recorrido de XREC X ={0, 1, 2, 3}

X0123f1331

Como todos los puntos muestrales son igualmente posibles (moneda perfecta), se puede determinar una distribucin de probabilidades para los valores posibles de la VASe define una funcin que hace corresponder a los valores posibles x de la variable aleatoria X un nmero que determina la probabilidad que tiene la variables aleatoria X de asumir un valor particular x de su recorrido. Simblicamente indicamos los valores que toma esta funcin de probabilidades en la formas P(X=x) o P({s/X(s) = x}) Que indican la probabilidad de que algn punto muestral s tome el valor x de XVariable aleatoria

Para nuestro ejemplo, obtenemos los siguientes valores de la funcin de probabilidad:P(X = 0) = P({s/X(s) = 0}= P((+++)) = 1/8P(X = 1) = P({s/X(s) = 1}= 3/8P(X = 2) = 3/8P(X = 3) = 1/8 que resumimos en la siguiente tabla

Representemos grficamente esta distribucin, mediante un grfico a bastones

X0123P(X=x)1/83/83/81/8

El conjunto de pares ordenados (x, px(x)) es una distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta X o una funcin de masa de la VA X o funcin de probabilidad de X, si para cualquier x se verifica:(1) Px(x) 0 (2) px(x) = 1 (3) Px(x) = P(X=x)

Funcin de probabilidad como aquella que surge al asignar probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria

Si definimos a una variable aleatoria continua como aquella que puede asumir un valor cualquiera en un intervalo o regin, podemos expresar entonces que la probabilidad que una variable aleatoria continua asuma algn valor en particular es cero. Funciones de probabilidad Variables aleatorias continuasPara VA continuas podemos calcular probabilidades del tipo:

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polgonos de frecuencias.

Las distribuciones de probabilidad de VA continua se definen mediante una funcin llamada funcin de probabilidad o funcin de densidad fx. As como en el histograma la frecuencia viene dada por el rea, en la funcin de densidad la probabilidad viene dada por el rea bajo la curva.

Grfico1

0.00251725190

0.01152636380.0066666667

0.03397244080.0266666667

0.07241493960.0866666667

0.11891295340.1366666667

0.15646441240.1533333333

0.1694050780.2

0.15380197870.15

0.11872433450.0866666667

0.07873297970.0866666667

0.04520553860.04

0.02260276930.02

0.00988299220.0033333333

0.00378971880

0.00127653690.0033333333

Binomial

6

11BINOMIAL(n,p)

6XDennf1_sf3_s

600.00026600.0000000.1

1010.00251710.0033330.8Ensayos (n)1

820.01152640.0133333.53015

930.033972110.03666710.2

640.072415270.09000021.7Pr. xito (p)24

350.118913280.09333335.70.24

960.156464470.15666746.9A1:A300

1170.169405480.16000050.8Muestra

780.153802530.17666746.1300

690.118724300.10000035.6

7100.078733230.07666723.6

10110.045206170.05666713.6Estadsticos

6120.02260380.0266676.8TericosMuestra

4130.00988330.0100003.0Mnimo11

7140.00379000.0000001.1Media7.207.18

6150.00127700.0000000.4Moda8

8160.00037800.0000000.1Mximo1513

8170.00009800.0000000.0Varianza5.55.6

7180.00002200.0000000.0

7190.00000400.0000000.0Bondad del generador

5200.00000100.0000000.0c27.8502

9210.00000000.0000000.0GL15

8220.00000000.0000000.0p.valor0.8970

3230.00000000.0000000.0

5240.00000000.0000000.0Algoritmo de generacin

4250.00000000.0000000.0BINOM.CRIT(n;p;ALEATORIO())

9260.00000000.0000000.0

6270.00000000.0000000.0

9280.00000000.0000000.0

10290.00000000.0000000.0

9300.00000000.0000000.0

7

2

8

12

11

8

7

10

4

8

8

10

5

5

4

7

10

9

9

8

8

9

5

12

10

6

4

8

6

9

9

8

5

8

13

11

7

6

7

7

8

9

6

9

7

5

11

5

3

4

4

7

3

8

4

10

7

7

7

5

10

5

10

8

11

5

12

4

5

7

8

7

8

8

8

6

9

8

8

9

12

7

6

7

7

6

4

6

8

2

6

8

7

8

7

10

4

7

10

10

12

12

6

8

11

8

7

10

6

8

4

6

6

2

10

8

9

9

5

12

8

6

7

7

6

4

6

7

4

8

4

10

8

7

7

6

6

4

11

7

6

6

4

6

7

4

6

7

4

6

3

9

5

4

9

9

8

9

4

9

7

12

6

8

8

6

10

6

4

8

8

10

7

11

6

5

10

3

3

11

6

3

11

1

8

8

2

11

5

3

7

8

5

4

3

6

6

13

5

8

3

8

9

4

8

7

5

7

13

8

8

7

11

4

6

4

6

5

6

7

6

7

5

7

6

9

8

9

6

7

8

6

8

8

10

7

11

7

5

9

5

5

8

8

5

4

6

5

5

11

7

9

7

8

8

10

11

9

7

6

11

10

9

9

10

5

6

4

6

9

8

8

8

5

4

8

3

6

3

10

6

12

7

10

7

4

5

5

7

7

Binomial

0.00251725190.0033333333

0.01152636380.0266666667

0.03397244080.04

0.07241493960.0633333333

0.11891295340.1233333333

0.15646441240.1666666667

0.1694050780.19

0.15380197870.1333333333

0.11872433450.1066666667

0.07873297970.0633333333

0.04520553860.0333333333

0.02260276930.0366666667

0.00988299220.01

0.00378971880

0.00127653690

Parametros

0.10613141516171819202122232425262728293031323334

0.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000

0.0250.7200.7020.6840.6670.6500.6340.6180.6030.5880.5730.5590.5450.5310.5180.5050.4920.4800.4680.4560.4450.4340.423

0.0500.5130.4880.4630.4400.4180.3970.3770.3580.3410.3240.3070.2920.2770.2640.2500.2380.2260.2150.2040.1940.1840.175

0.0750.3630.3360.3110.2870.2660.2460.2270.2100.1950.1800.1660.1540.1420.1320.1220.1130.1040.0960.0890.0940.1000.106

0.1000.2540.2290.2060.1850.1670.1500.1350.1220.1090.0980.0890.0970.1050.1120.1190.1240.1300.1340.1390.1420.1460.149

0.1250.1760.1540.1350.1180.1030.0900.0980.1070.1160.1240.1300.1360.1410.1460.1490.1530.1560.1580.1610.1630.1640.166

0.1500.1210.1030.0890.1020.1140.1230.1310.1380.1440.1490.1530.1560.1590.1620.1640.1660.1680.1690.1700.1710.1720.173

0.1750.0950.1090.1210.1310.1390.1450.1510.1550.1590.1620.1650.1670.1690.1700.1710.1720.1730.1740.1740.1750.1750.175

0.2000.1220.1330.1410.1490.1540.1590.1620.1650.1670.1690.1710.1720.1730.1740.1740.1750.1750.1750.1760.1760.1760.176

0.2250.1400.1480.1550.1600.1640.1660.1690.1710.1720.1730.1740.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1760.176

0.2500.1530.1590.1630.1670.1690.1710.1720.1730.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.177

0.2750.1610.1660.1690.1710.1720.1740.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.3000.1670.1700.1720.1730.1740.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.3250.1710.1730.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.3500.1730.1740.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.3750.1740.1750.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.4000.1750.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.4250.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.4500.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.4750.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.5000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.5250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.5500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.5750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.6000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.6250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.6500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.6750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.7000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.7250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.7500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.7750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.8000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.8250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.8500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.8750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.9000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.9250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.9500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

0.9750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

1.0000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

Funcin de Distribucin Acumulada (FDA)La funcin de distribucin acumulada (FDA) o funcin de distribucin de una variable aleatoria X es una funcin definida para todo nmero real como sigue: F(x) = P(X x) -

Propiedades de FDALa FDA es no decreciente:Si x1 < x2 F(x1) F(x2) La FDA es siempre continua por la derechaLa FDA puede no ser continua y presentar un nmero finito de discontinuidades finitas o salto, diremos que F es continua en x si F(x-)=F(x+)= F(x)

Determinacin de probabilidades a partir de la FDASi se conoce la FDA de una variable aleatoria X, entonces se puede determinar la probabilidad de que X est en cualquier intervalo real, teniendo en cuenta las siguientes reglas. P(X>x) = 1- F(x) para cualquier valor de x 2. x1 < x2 P(x1 < X x2) = F(x2) F(x1) x1, x2 3. P(X

FDA para una variable aleatoria discretaSi px es la funcin de masa para los valores de la VA X se define FDA X a la siguiente funcin F:

F(x) = P(Xx) =

Ejemplo: Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir la funcin como X: X: nmero de caras que resultan del experimento.1

X0123P(X=x)1/83/83/81/8

La funcin F resulta:

FDA para una variable aleatoria continuaPara una variable aleatoria continua disponemos de un conjunto no numerable de valores.No es posible definir una probabilidad para un valor en particular. Por eso definimos la funcin densidad de probabilidad

Definimos la FDA para la variable aleatoria continua como:

Esperanza matemtica, valor esperado o media de una VA X-Varianza de una VA XSea X una variable aleatoria discreta con funcin de masa px y ReC X = {x1, x2, x3,}; la esperanza matemtica de X es:

Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de masa px y esperanza matemtica ; la varianza de X, se define como el promedio ponderado de las discrepancias elevados al cuadrado entre cada resultado posible y el valor esperado, donde la ponderacin est dada por la probabilidad de cada uno de los resultados respectivos:

Variable aleatoria discreta

Ejemplo: en el lanzamiento de un dado, X es el nmero de puntos que arroja el dado y la distribucin de X resulta:

xi123456Px(xi)1/61/61/61/61/61/6

JuegosA un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza matemtica de la variable aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media que se obtiene en cada jugada cuando se juega un nmero elevado de veces.

Si la esperanza matemtica es 0 se dice que el juego es justo.Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador. Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable.

Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos $5 si la bola extrada es roja y pagamos $150 en el caso de que sea negra. Qu podemos esperar si jugamos muchas veces?Espacio muestral S = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las prdidas negativas:Variable aleatoria X Funcin de probabilidadRNR501500,300,70

Variable aleatoria continua Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidad fx; la esperanza matemtica de X es:

Determina el lugar donde se concentra la distribucin de probabilidad proporciona una informacin adecuada de la forma de la distribucin de probabilidad o de su variabilidad o dispersin en torno a la media.Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidadde probabilidad fx y esperanza matemtica ; la varianza de X, se define:

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Distribucin uniformeSea X una variable aleatoria discreta cuyos k valores posibles son x1, x2, , xk, con igual probabilidad de ocurrencia, entonces la funcin de masa de X es:

Si se selecciona al azar uno de los k enteros positivos:1, 2, , k, donde la frase al azar significa que los kenteros tienen la misma probabilidad de ser seleccionado,la funcin de masa es Esta distribucin se llama distribucin uniforme sobre losenteros 1, 2, k

Esperanza y varianza

Distribucin Binomial

Documents

Variable Aleatoria