CEG Solucionario Guía Variable Aleatoria y Distribución Normal 2015

1

SOLUCIONARIO Variable aleatoria y

distribución normal

SG

UIC

EG

041

EM

32-A

15

V1

2

TABLA DE CORRECCIÓN

GUÍA PRÁCTICA

Variable aleatoria y distribución normal

Ítem Alternativa Habilidad

1 A Comprensión

2 B ASE

3 B Comprensión

4 E ASE

5 C Aplicación

6 A Aplicación

7 C ASE

8 D Comprensión

9 E Comprensión

10 A ASE

11 D Aplicación

12 D ASE

13 E Aplicación

14 A Aplicación

15 C Comprensión

16 A Comprensión

17 B Aplicación

18 B Aplicación

19 C ASE

20 D Aplicación

21 B Aplicación

22 E Comprensión

23 A Aplicación

24 B ASE

25 D ASE

3

1. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Azar

Habilidad Comprensión

Los días, con su cantidad de consonantes (C), vocales (V) y la

diferencia entre ambas (X) son:

Por lo tanto, los valores que puede tomar X son 0, 1 y 2.

2. La alternativa correcta es B.


Habilidad ASE

El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados

distintos de dicho experimento. En este caso, dichos resultados podrían ser:

* Que salga la esfera roja en la primera extracción.

* Que salga la esfera verde y luego la roja.

* Que salga la esfera amarilla y luego la roja.

* Que salga la esfera verde, luego la amarilla y luego la roja.

* Que salga la esfera amarilla, luego la verde y luego la roja.

Por lo tanto, el espacio muestral del experimento tiene 5 elementos.




Las fichas son {T, R, E, S, U, N, O}, conjunto que corresponde al espacio muestral.

Este conjunto posee siete elementos.

Días C V X

Lunes 3 2 1

Martes 4 2 2

Miércoles 5 4 1

Jueves 3 3 0

Viernes 4 3 1

Sábado 3 3 0

Domingo 4 3 1

4

4. La alternativa correcta es E.


Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los

come, entonces le quedaran solo los dulces de menta.

II) Verdadera, ya que si en 25 de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los come,

y en las otras 25 extracciones saca dulces de menta y los devuelve a la bolsa, entonces le

quedaran 25 dulces de piña y 50 dulces de menta.

III) Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de menta y los

devuelve a la bolsa, entonces le quedaran todos los dulces de la bolsa, que son 100.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

5. La alternativa correcta es C.


Habilidad Aplicación

Si en la moneda sale cara, el resultado del experimento es igual al resultado del dado

azul. Luego, en este caso, los resultados son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

Si en la moneda sale sello, el resultado del experimento es igual al doble del resultado

del dado rojo. Luego, en este caso, los resultados son 2, 4, 6, 8, 10 ó 12.


distintos de dicho experimento. En este caso, dichos resultados serían

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}.

Por lo tanto, el espacio muestral del experimento tiene 9 elementos.

5




Al realizar el experimento resulta:


distintos de dicho experimento. En este caso, el resultado del experimento solo puede

ser 3 ó 5.

Por lo tanto, el espacio muestral del experimento es {3, 5}.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que el espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de

todos los resultados distintos de dicho experimento. Como este experimento termina

cuando sale cara en la moneda, entonces todos los resultados tendrán inicialmente S una

cierta cantidad de veces y finalmente una C, considerando además el caso que salga cara

en el primer lanzamiento y el experimento termine. Luego, el espacio muestral del

experimento será {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC,…}. Como no existe un límite para los

sellos que pueden aparecer antes que salga cara, entonces no existe un límite para los

posibles resultados del experimento. Es decir, el espacio muestral del experimento tiene

infinitos elementos.

II) Falsa, ya que el resultado SCSC indica que salió cara en el segundo lanzamiento y

sello en el tercero, lo que indicaría que el experimento continuó después de haber salido

cara. Eso contradice el procedimiento descrito en el enunciado.

III) Verdadera, ya que si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente en el

primer lanzamiento la mitad de las veces saldrá cara y la mitad de las veces saldrá sello.

Como el experimento termina cuando sale cara, entonces si el experimento se realiza

muchas veces, teóricamente la mitad de las veces el experimento terminará en el

primer lanzamiento.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

Primera

extracción

Segunda

extracciónOperación Resultado

1 2 Suma 3

1 3 Multiplicación 3

2 1 Suma 3

2 3 Suma 5

3 1 Multiplicación 3

3 2 Suma 5

6

8. La alternativa correcta es D.



El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los posibles

resultados que tenga el experimento. Luego, al realizar el experimento de extraer una

esfera al azar de la caja B, solo podría ser posible extraer el 5, el 6, el 7, el 8 o el 9. Por

lo tanto, el espacio muestral de este experimento es {5, 6, 7, 8, 9}.




El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los posibles

resultados que tenga el experimento. Luego, al realizar el experimento de lanzar 2

monedas en cada una de ellas puede salir cara o sello. Entonces, las combinaciones de

estos resultados corresponderán al espacio muestral.

Por lo tanto, el espacio muestral de este experimento es:

{(cara - cara), (cara - sello), (sello - cara), (sello - sello)}



Habilidad ASE

Dos eventos independientes son aquellos que no tienen elementos en común.

Si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número par”

corresponde al conjunto {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}. Luego:

I) Es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento

“que salga un número primo” corresponde al conjunto {11, 13, 17, 19, 23}, por lo tanto,

no tiene elementos en común con el evento “que salga un número par”.

II) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el

evento “que salga un número múltiplo de 11” corresponde al conjunto {11, 22}, por lo

tanto, tiene un elemento en común con el evento “que salga un número par”.

III) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el

evento “que salga un número mayor que 15” corresponde al conjunto {16, 17, 18, 19,

7

20, 21, 22, 23, 24, 25}, por lo tanto, tiene cinco elementos en común con el evento “que

salga un número par”.

Por lo tanto, si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, solo el evento “que

salga un número primo” es independiente con el evento “que salga un número par”.




La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de

X y su probabilidad. En este caso, la probabilidad del 2 es 6

3, la probabilidad del 3 es

6

1 y la probabilidad del 6 es

6

2.

Luego, el valor esperado de X es 5,36

21

6

1236

6

26

6

13

6

32



Habilidad ASE


X y su probabilidad. En este caso, X puede valer 0, 1 o 2, luego:

Si se escogen dos hombres, entonces X = 0 y su probabilidad es 25

4

5

2

5

2

25

10

25

10 .

Si se escoge primero una mujer y luego un hombre, entonces X = 1 y su probabilidad es

25

6

5

2

5

3

25

10

25

15 .

Si se escoge primero un hombre y luego una mujer, entonces X = 1 y su probabilidad es

25

6

5

3

5

2

25

15

25

10 .

Si se escogen dos mujeres, entonces X = 2 y su probabilidad es 25

9

5

3

5

3

25

15

25

15 .

Luego, el valor esperado de X es 2,125

30

25

1866

25

92

25

61

25

61

25

40

8





X y su probabilidad. En este ejercicio existen diez posibles selecciones que se agrupan

en tres casos:

Las combinaciones {R, E, A} {E, S, A} {E, T, A} tienen una consonante. Luego, el

valor de X es 1 y su probabilidad es 10

3 = 0,3.

Las combinaciones {R, E, S} {R, E, T} {R, S, A} {R, T, A} {E, S, T} {S, T, A} tienen

dos consonantes. Luego, el valor de X es 2 y su probabilidad es 10

6 = 0,6.

La combinación {R, S, T} tiene tres consonantes. Luego, el valor de X es 3 y su

probabilidad es 10

1 = 0,1.

Por lo tanto, el valor esperado de X es (1·0,3 + 2·0,6 + 3·0,1) = (0,3 + 1,2 + 0,3) = 1,8.





X y su probabilidad. En este caso existen dos situaciones:

Si ocurre el evento A, el valor de X es (m – 1) y su probabilidad es p.

Si no ocurre el evento A, el valor de X es m y su probabilidad es (1 – p).

Por lo tanto, el valor esperado de X es

(m – 1)·p + m·(1 – p) = mp – p + m – mp = m – p


Unidad temática Datos


El gráfico de una distribución normal es simétrico con respecto al promedio. Es decir,

en el gráfico se cumple que como p y 6,2 tienen la misma imagen, entonces la distancia

entre p y el promedio debe ser igual a la distancia entre el promedio y 6,2.

9

Luego, resulta (5 – p) = (6,2 – 5) p = (5 + 5 – 6,2) = 3,8

Por lo tanto, el valor de p es 3,8.




Una distribución normal no tipificada tiene la misma forma que la distribución normal

tipificada, solo que puede estar desfasada horizontalmente (que está relacionado con su

promedio) o variar proporcionalmente su tamaño (que está relacionado con su

desviación estándar).

Luego, cualquier distribución normal no tipificada se puede relacionar a la distribución

normal tipificada realizando los ajustes que corrijan el desfase y la proporción. Esto se

consigue restando el promedio y dividiendo por la desviación estándar.

Por lo tanto, la relación que permite expresar Z en términos de X es 15

50

XZ .




Por propiedad, P(X ≤ s) = 1 – P(X ≥ s), y por simetría, P(X ≤ – s) = P(X ≥ s). Luego:

P(– s ≤ X ≤ s) = P(X ≤ s) – P(X ≤ – s) = 1 – P(X ≥ s) – P(X ≥ s) = 1 – 2·P(X ≥ s) = 5

3

Despejando el valor de P(X ≥ s) resulta

2·P(X ≥ s) = 1 – 5

3 =

5

2 P(X ≥ s) =

5

1

52

2

Por lo tanto, el valor de P(X ≥ s) es 5

1.

10




Por propiedad, resulta P(X ≥ m) = 1 – P(X ≤ m) = 1 – 6

5 =

6

1.

Por simetría, se tiene que P(X ≤ – m) = P(X ≥ m) = 6

1

Como P(X ≤ 0) = 2

1, entonces P(– m ≤ X ≤ 0) = P(X ≤ 0) – P(X ≤ – m) =

2

1 –

6

1 =

3

1

Por lo tanto, el valor de P(– m ≤ X ≤ 0) es 3

1.



Habilidad ASE

Por simetría, se tiene que P(X ≤ – a) = P(X ≥ a), luego el área sombreada se puede

expresar como P(X ≤ – a) + P(X ≥ a) = P(X ≥ a) + P(X ≥ a) = 2· P(X ≥ a)

Por propiedad, resulta P(X ≥ a) = 1 – P(X ≤ a).

Entonces, 2· P(X ≥ a) = 2·(1 – P(X ≤ a)) = 2 – 2·P(x ≤ a)

Por lo tanto, el área sombreada equivale a 2 – 2·P(x ≤ a).




La probabilidad de que X tome un valor entre – 1 y 2 es P(– 1 ≤ X ≤ 2) = P(X ≤ 2) – P(X

≤ – 1). Por propiedades de la distribución normal, P(X ≤ – 1) = P(X ≥ 1) = 1 – P(X ≤ 1)

Luego, la probabilidad de que X tome un valor entre – 1 y 2 es P(X ≤ 2) – (1 – P(X ≤ 1))

= P(X ≤ 2) – 1 + P(X ≤ 1)

Según la tabla, P(X ≤ 2) = 0,977 y P(X ≤ 1) = 0,841.

Luego, P(1 < X ≤ 2) = 0,977 – 1 + 0,841 = 0,818 = 81,8%

11




Para poder utilizar la tabla, es necesario transformar la variable para que resulte con

distribución normal tipificada. Esto se consigue restando el promedio a la variable y

dividiendo luego por la desviación estándar.

Entonces, en este caso, resulta 5,0

5,132,2

XZ = 1,64. Luego, se debe buscar la

probabilidad de que Z tome un valor menor o igual que 1,64, que según la tabla es igual

a 0,95.

Por lo tanto, la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que 2,32 es 0,95.




Un intervalo de confianza, se calcula a través de :

nzx

nzx

21

21

;

Del enunciado, se tiene que n = 36, x = 130 y = 0,25.

Por otro lado, 1 – α = 0,9 α = 0,1. Luego:

21

z =2

1,01

z = 95,0z

Por lo tanto, P(Z ≤ 95,0z ) = 0,95 con Z N(0, 1). A esta probabilidad le corresponde,

según la tabla, un valor de 1,64.

Finalmente, reemplazando los datos:

6

25,064,1130;

6

25,064,1130

36

25,064,1130;

36

25,064,1130

12




Del enunciado, se tiene que n = 100 y 2 = 0,36 = 0,6.

Por otro lado, 1 – α = 0,954 α = 0,046. Luego:

21

z =2

046,01

z = 977,0z

Por lo tanto, P(Z ≤ 977,0z ) = 0,977 con Z N(0, 1). A esta probabilidad le corresponde,

según la tabla, un valor de 2.

Luego, el límite inferior del intervalo de confianza es 2,12, entonces:

nzx

2

1= 2,12 (Reemplazando)

x – 2 · 100

6,0= 2,12

x = 2,12 + 2 · 10

6,0

x = 2,12 + 2 · 0,06

x = 2,12 + 0, 12

x = 2, 24



Habilidad ASE

(1) Se conoce el valor de p. Con esta información, no se puede determinar el recorrido

de X, ya que la cantidad de tarjetas rojas que hay en la bolsa no determina la cantidad

de tarjetas rojas que pueden ser extraídas.

(2) Se conoce el valor de n. Con esta información, se puede determinar el recorrido de

X, ya que podrían ser todas rojas, o ninguna, o algún valor intermedio. Luego, el

recorrido sería {0, 1, 2,…., (n – 1), n} dependiendo del valor de n.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

13



Habilidad ASE

(1) P(X ≤ – a) = 0,12. Con esta información, se puede determinar el valor de P(– a ≤ X

≤ a), ya que según propiedades de la distribución normal tipificada, P(– a ≤ X ≤ a) =

P(X ≤ a) – P(X ≤ – a) = 1 – P(X ≥ a) – P(X ≤ – a) = 1 – P(X ≤ – a) – P(X ≤ – a) = 1 –

2·P(X ≤ – a).

(2) P(X ≤ a) = 0,88. Con esta información, se puede determinar el valor de P(– a ≤ X ≤

a), ya que según propiedades de la distribución normal tipificada, P(– a ≤ X ≤ a) =

P(X ≤ a) – P(X ≤ – a) = P(X ≤ a) – P(X ≥ a) = P(X ≤ a) – (1 – P(X ≤ a)) = P(X ≤ a) –

1 + P(X ≤ a) = 2·P(X ≤ a) – 1.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

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