Plans d’Expérience

Pierre L. Douillet

18 novembre 2016

Le présent document reprend les notes de cours du module "planx" 2008-2009.

Table des matières

1 Asserting 71.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Six Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Wikipedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Résolution exacte d’une équation affine . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Systèmes surdéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Mesure de la qualité d’un modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Influence d’une modalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Screening 172.1 Représentation cartésienne d’un plan ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Valeur propres, colonnes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Comment choisir un plan d’expérience ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Comment être optimalement mauvais . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Choix aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Plan complet 2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.4 Plan fractionnel 2n−p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Plan fractionnaire 3n−j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Improving 233.1 Importance des hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Calcul des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Régression affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Surfaces de réponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A Les programmes du cours 29A.1 Le programme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A.2 Lecture des fichiers de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A.3 Codage / Décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32A.4 Calcul du modèle et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . 33A.5 Détermination d’un plan optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

B Compléments 37B.1 Calcul de l’inverse d’une matrice par le pivot de Gauss . . . . . . . . . . 37

References 39

3

4 TABLE DES MATIÈRES

Table des figures

1.1 Une expérimentation et ses résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Codes et nombres de visites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Écarts résiduels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Effets moyens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Importance des hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B.1 Version "explicative" de l’algorithme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 38

5

6 TABLE DES FIGURES

Chapitre 1

Asserting

1.1 Introduction

Un plan d’expérience consiste à organiser une campagne d’expérimentation de façonà ce que les phases avant, pendant et après le processus expérimental proprement ditforment un tout correctement enchaîné. De ce point de vue, Dagnelie (2003) indique que"plan d’expériences" est une écriture fautive : le but poursuivi n’est pas la juxtapositionde diverses activités disparates, mais au contraire la réalisation d’un dispositif de preuvecohérent. D’ailleurs, on dit "un essai clinique" même si des centaines de patients sontimpliqués.

Il est d’autant plus nécessaire de conserver une vue d’ensemble que, de nos jours, lesordinateurs "interviennent" de plus en plus dans la conduite des traitements de données.Il ne faut jamais perdre de vue que ces calculs, rapides et bon marché, ne valent jamaisplus que les données qui les fondent. Et cela tandis que le processus d’expérimentationproprement dit reste en général lent et coûteux.

Organiser une campagne d’expérimentation consiste donc à faire ce qu’il faut pourque la conclusion de l’étude ne soit pas seulement "il aurait fallu procéder autrement".Parmi les questions à poser par avance, il y a :

1. Quel est l’impact économique du problème à résoudre ?

2. Quel est le budget de l’étude ?

3. Quel est l’historique des tentatives précédentes ?

4. Que sait-on, comment le sait-on, quelle est la qualité de ces savoirs/croyances ?

5. Qui a-t-on oublié de consulter ?

6. Que fera-t-on des données une fois recueillies ?

Il est indispensable de tout expliciter, de tout noter, en indiquant chaque décision,et les raisons de ces décisions. C’est la phase "asserting". Il n’y a pas d’expérience sansthéorie, avant et après. C’est la raison pour laquelle nous allons commencer par examinerce qui peut être extrait d’une série expérimentale donnée... et aussi ce qui ne peut enêtre extrait si la série a été mal conçue.

Les chapitres suivants examineront comment choisir une série expérimentale efficacepour sélectionner les facteurs les plus influents (screening) ou bien pour ajuster cesfacteurs (improving).

7

8 1. Asserting

1.1.1 Six Principles

In Natrella (1963), the following six principles are stated for experimental design asapplied to process modeling:

1. Capacity for Primary Model

2. Capacity for Alternative Model

3. Minimum Variance of Coefficient Estimators

4. Sample where the Variation Is

5. Replication

6. Randomization

1.1.2 Wikipedia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_d’expérience considère que :

On nomme plan d’expérience l’organisation d’une expérience dont le dérou-lement lui-même sera conditionné par les résultats obtenus en cours de route.

1.2 Un exemple

La Fig. 1.1 ci-dessous est extraite de et résume une expérimentation concernant laconception d’une prise électrique. L’objectif est de déterminer quelle est la combinaisonconduisant à la température d’utilisation la plus basse.

# Presse-étoupe Connexion Moteur Fil Brochage T1 laiton sertie CuNiSn 1,5 mm2 X surmoulage 53°C2 plastique soudée argent 1,5 mm2 surmoulage 60°C3 plastique soudée CuNiSn 2,5 mm2 surmoulage 52°C4 laiton vissée laiton nu 4,0 mm2 surmoulage 53°C5 plastique vissée CuNiSn 1,5 mm2 X thermoplastique 66°C6 laiton soudée laiton nu 1,5 mm2 thermoplastique 58°C7 laiton soudée CuNiSn 2,5 mm2 thermoplastique 51°C8 plastique sertie argent 4,0 mm2 thermoplastique 49°C9 laiton soudée argent 1,5 mm2 X HYPO4 55°C10 plastique vissée CuNiSn 1,5 mm2 HYPO4 63°C11 plastique sertie laiton nu 2,5 mm2 HYPO4 52°C12 laiton soudée CuNiSn 4,0 mm2 HYPO4 42°C13 plastique soudée laiton nu 1,5 mm2 X NYLBLOC 6 64°C14 laiton sertie CuNiSn 1,5 mm2 NYLBLOC 6 58°C15 laiton vissée argent 2,5 mm2 NYLBLOC 6 52°C16 plastique soudée CuNiSn 4,0 mm2 NYLBLOC 6 59°C

Fig. 1.1: Une expérimentation et ses résultats.

Definition 1.2.1. Il y a les grandeurs mesurables (additives). Exemple : les longueurs.Il y a les grandeurs repérables (comparaisons ordonnées). Exemple : les températures.Les autres quantités s’appellent des modalités.

1.2. Un exemple 9

Example 1.2.2. Dans la Fig. 1.1, il y a 5 modalités, tandis que l’objectif est unegrandeur repérable.

Definition 1.2.3. On appelle espace des modalités l’ensemble Ω de toutes les combi-naisons réalisables des différentes modalités. C’est un sous ensemble de leur ensembleproduit.

Definition 1.2.4. Un plan d’expérience consiste à choisir un sous ensemble ω de l’ensem-ble Ω.

Example 1.2.5. Ici, ]Ω = 2× 32 × 42 = 288, tandis que ]ω = 16.

Definition 1.2.6. Lorsqu’une modalité X prend n+ 1 valeurs ξ0, ξ1, · · · , ξn on appellecodage complet le (n+ 1)-uplet (x0, x1, · · · , xn) où les nombres xi valent 0 lorsqueX 6= ξi et 1 lorsque X = ξi.

Proposition 1.2.7. On a alors la relation de liaison :

∀ξ,n∑0

xi = 1.

Definition 1.2.8. Le codage réduit d’une modalité ayant n + 1 valeurs est un n-uplet.Ce codage dépend du choix de la modalité de référence (ξ0). Il est défini par :

ξ0 7→ (−1, −1, · · · , −1)

ξi 7→ ( x1, x2, · · · , xn) si i 6= 0

Definition 1.2.9. Un plan équilibré est un plan d’expérience pour lequel les différentesvaleurs d’une même modalité sont visitées le même nombre de fois.

Example 1.2.10. Les codes et les nombres de visites correspondant à la Fig. 1.1 sontdonnés par la Fig. 1.2.

Presse-étoupeL -1 #8P +1 #8

ConnexionT -1 -1 #4D +1 0 #8V 0 +1 #4

MoteurC -1 -1 #8A +1 0 #4L 0 +1 #4

Fils (mm2)X -1 -1 -1 #41.5 +1 0 0 #42.5 0 +1 0 #44.0 0 0 +1 #4

BrochageH -1 -1 -1 #4N +1 0 0 #4S 0 +1 0 #4T 0 0 +1 #4

.

Fig. 1.2: Codes et nombres de visites

Proposition 1.2.11. Lorsqu’un plan est équilibré pour une certaine modalité, les codagesréduits correspondants ont une moyenne nulle.

Definition 1.2.12. Le code d’une expérience est "1" suivi de la séquence des codagesréduits de chaque modalité.

10 1. Asserting

Example 1.2.13. Ici, la longueur des codes est 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12 et le code del’expérience 12 est:

1, −1, 1, 0, −1,−1, 0, 0, 1, 0, 1, 0

Exercise 1.2.14. Les données de Fig. 1.1, reprises de Delplanque and Louvet (2005),sont accessibles à l’adressehttp://www.douillet.info/~douillet/cours/planx/datas/experimentique.txt.Lire ce fichier, le transformer, coder et obtenir la matrice 16× 12 :

ma, mb =

1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 0 1 01 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 01 1 1 0 −1 −1 0 1 0 0 1 01 −1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 01 1 0 1 −1 −1 −1 −1 −1 0 0 11 −1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 11 −1 1 0 −1 −1 0 1 0 0 0 11 1 −1 −1 1 0 0 0 1 0 0 11 −1 1 0 1 0 −1 −1 −1 −1 −1 −11 1 0 1 −1 −1 1 0 0 −1 −1 −11 1 −1 −1 0 1 0 1 0 −1 −1 −11 −1 1 0 −1 −1 0 0 1 −1 −1 −11 1 1 0 0 1 −1 −1 −1 1 0 01 −1 −1 −1 −1 −1 1 0 0 1 0 01 −1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 01 1 1 0 −1 −1 0 0 1 1 0 0

,

53.60.52.53.66.58.51.49.55.63.52.42.64.58.52.59.

Scilab 1.2.15. Les commandes suivantes sont utiles pour résoudre l’Exercice 1.2.14

fichiers mclose, mopen, mgetl, breakstrings strsubst, msscanf, vectorfindautres size, ones, zeros, error

Maple 1.2.16. Les commandes suivantes sont utiles pour résoudre l’Exercice 1.2.14

fichiers fclose, fopen, readline, breakstrings searchtext, substring, sscanfautres Matrix, Vector, error

1.3 Méthode des moindres carrés

1.3.1 Résolution exacte d’une équation affine

Definition 1.3.1. Une équation linéaire est une équation dont l’ensemble des solutionsest stable par combinaisons linéaires (i.e. forme un espace vectoriel).

Example 1.3.2. L’équation 3x+ 2y = 0 est une équation linéaire. En effet, l’ensemblede ses solutions est ∆

.= (−2t, 3t) | t ∈ C qui est une droite vectorielle.

Definition 1.3.3. Une équation affine est une équation dont l’ensemble des solutionsest stable par combinaisons barycentriques (i.e. forme un espace affine).

1.3. Méthode des moindres carrés 11

Example 1.3.4. L’équation 3x+ 2y = 1 est une équation affine. En effet, l’ensemble deses solutions est ∆

.= (1− 2t, −1 + 3t) | t ∈ C qui est une droite affine. On vérifie que

m, n ∈ ∆ implique µm+ (1− µ)n ∈ ∆.

Remark 1.3.5. Parler "d’équation sans second membre" est exactement aussi stupide queparler d’équation sans signe égal.

Scilab 1.3.6. On rappelle que a=b sert à coder une affectation (on range dans la boitenommée a le résultat de l’évaluation de b) et que a==b sert à coder un test (tout commea<=b, a~=b, etc). Scilab n’étant pas un logiciel de calcul formel, il n’y a aucun moyen decoder une équation en tant que telle.

Maple 1.3.7. On rappelle que a:=b sert à coder une affectation (on range dans la boitenommée a le résultat de l’évaluation de b) et que a=b sert à coder une substitution (subs,changevar, etc). La bonne façon de coder l’équation a = b est eq:= b-a.

Proposition 1.3.8. Un système d’équations affines comme3y + 2z = 12y + z = 2

peut s’écrire sous forme matricielle, c’est à dire :

A.x = b avec A =

(3 22 1

), f =

(yz

), b =

(12

)Vouloir qu’il y ait existence et unicité de la solution f est équivalent à l’inversibilité dela matrice A (système de Cramer).

Remark 1.3.9. La notation f pour le vecteur inconnu est liée au fait que, par la suite,nous chercherons à caractériser une fonction inconnue en tant que forme linéaire.

Scilab 1.3.10. Rappelons qu’il n’y a pas de distinction matrice/vecteur dans Scilab,mais seulement des matrices dont les éléments sont accessibles à la fois "matriciellement"et "vectoriellement". Ainsi mm=[11,12,13;21,22,23], [li,co]=size(mm) donne :

mm /11 12 1321 22 23

, li / 2, co / 3

Exercise 1.3.11. Donner la formule liant les i, j, k tels que mm(j,k) et mm(i) accèdentau même élément de la matrice mm .

Maple 1.3.12. Dans ce module nous utilisons les matrices "nouvelle version", soit :with(LinearAlgebra) ;ma:= Matrix([[3,2],[2,1]]); mf:= Vector([y,z]); ...mf = (1/ma).mb ;

1.3.2 Systèmes surdéterminés

Remark 1.3.13. Un système surdéterminé est un système où il y a plus d’équations qued’inconnues. Dans ce cas, il faut s’attendre à ce que l’équation A.f = b soit impos-sible. Lorsque le système est obtenu par un ensemble de mesures expérimentales, il estindispensable de tenir compte des incertitudes et la sémantique du problème est alorsd’obtenir le meilleur ajustement pour A.f ≈ b.

12 1. Asserting

Example 1.3.14. Le système 3y + 2z = 1, 2y + z = 2, y + z = 1 est impossible. Eneffet les deux premières équations ont pour solution y = 3, z = −4. En reportant dansla troisième équation, on obtient −1 = +1. Par contre, on peut chercher à résoudre

3y + 2z ≈ 12y + z ≈ 2y + z ≈ 1

i.e. (A . f − b) ≈ −→0 avec A =

3 22 11 1

, B =

121

Definition 1.3.15. La méthode des moindres carrés consiste à définir V ≈ −→0 par lefait que le Pythagore de V (la somme des carrés des coordonnées) soit minimal.

Scilab 1.3.16. La somme des carrés des coordonnées d’un vecteur colonne V s’obtienten faisant le produit scalaire ligne par colonne, autrement dit:deff(’c=Pythagore(a)’, ’c= a”*a’)

Maple 1.3.17. La somme des carrés des coordonnées d’un vecteur colonne V s’obtienten faisant le produit scalaire ligne par colonne, autrement dit:Pythagore:= v -> Transpose(v).v ;

Theorem 1.3.18 (Moindres carrés). L’équation aux moindres carrés associée à A.x ≈ b

est :tA .A . f ∗ = tA . b dont la solution est :

f ∗ = S−1 .(tA . b

)where S

.= tA .A (1.1)

Preuve. L’objectif est de trouver la valeur f ∗ qui minimise la somme des carrés descoordonnées de A . f − b. On pose :

χ2 (f).=

1

nt (A . f − b) . (A . f − b) (1.2)

f ∗ = arg min χ2 (f)

En développant et en utilisant que le scalaire tb . A . f est égal à sa transposée, il vient :

nχ2 (f).= tf . tA .A . f − 2 tb . A . f + |b|2

n(χ2 (f + δf)− χ2 (f)

)= 2 tδf . tA .A . f − 2 tδf . tA . b+ |A . δf |2

n δχ2 = 2 tδf .(tA .A . f − tA . b

)+ |A . δf |2

Remark 1.3.19. Pour un système simplement déterminé, la relation A . f = b impliqueévidemment que tA .A . f = tA . b. Le contenu du théorème précédent est de permettrela transformation d’une approximation (A . f ≈ b) en une équation.

1.3.3 Mesure de la qualité d’un modèle

Definition 1.3.20. La valeur minimale de χ2 s’appelle variance résiduelle expérimen-tale. On la note aussi s2

res. C’est la valeur moyenne du carré de l’écart entre les valeurseffectivement mesurées et les valeurs prédites par le modèle pour ces mêmes essais. Enappelant s2 la variance expérimentale des valeurs bi, on définit le facteur expérimentalde réduction de variance comme étant le quotient :

FRVexp.=

s2

s2res

1.3. Méthode des moindres carrés 13

Proposition 1.3.21. Pour tout système, on a FRVexp ≥ 1.

Example 1.3.22. Ici, la matrice tA .A est une matrice 12×12 inversible, et l’on obtient :

tx∗ = (55.52, 2.69, −0.42, 2.96, −1.42, +1.33, 4.31, −3.69, −4.69, 2.81, −0.94, 0.56)

La valeur cible (température) varie entre 42C et 66C, avec un écart-type de 6C (σ2 ≈36.12). Les écarts entre les valeurs expérimentales et les valeurs recalculées à l’aide dumodèle vont de −3 à +3 avec un écart-type de 1.6C (σ2

res ≈ 2.64). Le FRV vaut donc13.68 (ce qui est très bon), conduisant grosso modo à diviser par 4 à la fois l’amplitudeet l’écart-type. L’épaisseur du modèle se voit sur la Fig. 1.3, où sont portés les couples(exper, theor-exper).

40 45 50 55 60 65 70

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fig. 1.3: Écarts résiduels.

Scilab 1.3.23. La commande size donne les deux dimensions d’une matrice. Les mo-dificateurs c, r, * permettent d’obtenir le nombre de colonnes, le nombre de lignes oubien le nombre total d’éléments de la matrice. Pour un vecteur V de moyenne nulle (planéquilibré), la variance de V s’obtient par : V’*V / size(V, ’*’).

Scilab 1.3.24. La commande variance ne donne pas la variance, mais le prédicteur devariance globale issu d’un échantillon.

Remark 1.3.25. La méthode des moindres carrés est sensible aux "valeurs aberrantes" :lorsqu’une expérience donne un résultat s’écartant notablement du modèle, il convientde refaire cette expérience de façon à ou bien éliminer une erreur expérimentale, ou bienconfirmer que cette expérience apporte une information significative.

Remark 1.3.26. Il est toujours possible de bricoler un modèle de façon à le faire passerexactement par l’ensemble des points expérimentaux, amenant le FRVexp à une valeur"trop belle pour être vraie". En procédant ainsi, on obtient presque toujours un modèlefortement instable (oscillant), donnant des prédictions aberrantes pour les points de Ω\ω.Or la sémantique du calcul entrepris est de minimiser l’erreur de modèle non pas sur ωmais précisément sur Ω tout entier.

Definition 1.3.27. On appelle FRV théorique le quotient de nos meilleurs estimateursS2 et S2

res des quantités s2 et s2res qui seraient issues d’un plan complet :

FRVth.=

S2

S2res

14 1. Asserting

Proposition 1.3.28. Si les écarts Tth − T sont aléatoires et identiquement distribués,ce quotient vaut :

FRVth =s2 × n/ (n− 1)

s2res × n/ (n− p)

= FRVexp ×n− pn− 1

où n, p sont les dimensions de la matrice A (nombre d’essais et nombre de coefficients).

Preuve. La démonstration du facteur n− 1 est dans le cours de probabilités (échantillo-nage) http://www.douillet.info/~douillet/cours/thypo/thypo.html. Celle du fac-teur n− p s’obtient de même, par décomposition de χ2 en sommes de carrés.

Remark 1.3.29. L’espérance d’un quotient n’est pas le quotient des espérances, et laformule ci-dessus peut conduire à des valeurs inférieures à 1 pour l’estimation du FRVglobal. Il n’en reste pas moins que : si l’on utilise n essais pour un modèle à n paramètresconcernant une population de grande taille, la confiance à apporter au modèle obtenuest nulle .

1.4 Influence d’une modalitéDefinition 1.4.1. Les effets d’une modalité sont, pour un modèle donné, les scoresobtenus en remplaçant les autres modalités par leur valeur moyenne nominale, c’est àdire par 0. L’influence d’une modalité est la différence entre les effets extrêmes.

Proposition 1.4.2. Soit X la colonne obtenue à partir de f ∗ en remplaçant par 0 toutce qui ne concerne pas une modalité donnée. Le produit A .X est une colonne contenantles différents effets de cette modalité (chaque effet est répété un certain nombre de fois).

Example 1.4.3. Pour le plan d’expérience étudié, on a:

1. Les essais pour lesquelles presse-étoupe = plastique (code 1) conduisent à unevaleur moyenne de T supérieure de 2.69C à la moyenne générale (55.52C),tandis que les essais pour lesquels presse-étoupe=laiton (code −1) conduisentà une valeur moyenne de T inférieure de 2.69C à la moyenne générale. Donc∆presse etoupe ≈ 5.4C.

(a) Pour la modalité "connexion", les effets sont −0.42C (code 1, 0), 2.96C (code0, 1) et −2.54C (code −1,−1). D’où ∆connexion ≈ 5.5C.

(b) Pour le "moteur", on trouve −1.42, 1.33 et 0.08. D’où ∆moteur ≈ 2.7C.(c) Pour le fil, on trouve : 4.31, −3.69, −4.69 et 4.06. Pour cette modalité, le

vecteur X est donné par :tX = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 4.31, −3.69, −4.69, 0, 0, 0). D’où ∆fil ≈ 9.0C.

(d) Enfin, la modalité "brochage" a pour effets 2.81, −0.94, 0.56 et −2.44. On adonc ∆brochage ≈ 5.3C.

Remark 1.4.4. Lorsqu’un plan d’expérience n’est pas équilibré pour une modalité par-ticulière, la moyenne pondérée (sur les niveaux) des effets de cette modalité n’est pasnulle.

Example 1.4.5. Ici, les modalités 1,4,5 sont équilibrées : les moyennes des résultatssont nulles. Pour la modalité 2, on a (−2.54) × 4 + (−0.42) × 8 + (2.96) × 4 = −1.67et pour la modalité 3, on a (−1.42) × 4 + (0.08) × 8 + (1.33) × 4 = 0.33. Pour cetteraison, la constante du modèle 55.52 n’est pas égale à la moyenne 55.44 des donnéesexpérimentales. On vérifie que −1.67 + 0.33 = (55.44− 55.52)× 16.

1.5. Bilan 15

Definition 1.4.6. Le "tracé des effets moyens" s’obtient en plaçant côte à côte les effetsdes différentes modalités.

P−étoupe Connexion Moteur Fil Brochage−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

influences : 5.38 5.50 2.75 9.00 5.25

Fig. 1.4: Effets moyens.

1.5 BilanLe modèle obtenu est :

T − 55.52 = 2.69× plastique +(4.31× 1.5mm2 − 3.69× 2.5mm2 − 4.69× 4mm2

)+ (−0.42× soudee + 2.96× vissee) + (−1.42× argent + 1.33× laiton)

+ (2.81× nylbloc− 0.94× surmoulage + 0.56× thermo)

Le FRV de ce modèle est 13.6, laissant un écart-type résiduel de 1.6C. Cette va-riabilité résiduelle est due à deux sortes de causes : les incertitudes de mesure et lanon-linéarité du phénomène. Le FRVth vaut 13.6 ∗ (16 − 12)/(16 − 1) ≈ 3.6, permet-tant de tenir compte aussi de l’écart entre le modèle obtenu et le meilleur modèle affinepossible (que l’on obtiendrait par un plan complet).

Pour les influences relatives des facteurs, on constate que le choix du fil de connexionest crucial (influence 9C). La modalité "moteur" est la moins influente (2.7C), tandisque les trois autres ont une influence comparable.

Au vu du modèle, le meilleur choix possible est laiton, sertie, 4mm2, argent, hypo4.La température prédite par le modèle est alors de 41.75C. Cette valeur est à compareravec la meilleure réalisation expérimentale : laiton, soudée, CuNiSn, 4mm2, hypo4 quidonne 42C (et pour laquelle le modèle prévoit T = 45.38C).

Selon les objectifs poursuivis, et en particulier selon la fiabilité voulue pour les résul-tats, des essais de contrôle peuvent se révéler utiles.

Exercise 1.5.1. Déterminer tous les choix (parmi les 288 possibles) pour lesquels lemodèle prévoit une température inférieure à 45C.

16 1. Asserting

Chapitre 2

Screening

2.1 Représentation cartésienne d’un plan ω

Definition 2.1.1. Soit P = [0 .. a− 1] × [0 .. b− 1] × [0 .. c− 1]. On appelle codageeuclidien l’application :

P → [0 .. a b c− 1](u, v, w) 7→ s = u+ a v + a bw

Proposition 2.1.2. Un codage euclidien est une bijection. Sa bijection réciproque est :

u = rem (s, a) ; q =s− ua

; v = rem (q, b) ; w =q − vb

La généralisation au cas où P est le produit d’un autre nombre de segments est évidente.Definition 2.1.3. Un codage euclidien à deux coordonnées x, y d’un ensemble de mo-dalités s’obtient en répartissant les modalités en deux groupes. On obtient l’abscisse parun codage euclidien (simple) sur le premier groupe, et l’ordonnée par codage euclidiensur le deuxième groupe.Example 2.1.4. Soit à coder l’espace Ω = [1..2]× [1..2]× [1..3] défini par trois modalitésprenant respectivement 2, 2, et 3 valeurs. On regroupe les deux premières modalités, pourque les deux côtés du rectangle ne soient pas trop différents : 4 × 3. La représentationcartésienne du plan d’expérience ω = [[1, 2, 1], [1, 2, 2], [2, 2, 1], [2, 1, 1], [3, 2, 1]] est :

x x0 3

y 0 . 0 . 00 . 0 .

y 2 . 0 . .

C’est ainsi que [a, b, c] = [1, 2, 2] se code en x = (a− 1)+2×(b− 1) = 2, y = (c− 1) = 1.Remark 2.1.5. L’une des utilités de la représentation cartésienne est de montrer que la"méthode" consistant à faire varier un facteur après l’autre est optimalement mauvaise.En effet, sa représentation est :

x x0 3

y 0 0 0 0 .0 . . .

y 2 0 . . .

17

18 2. Screening

Example 2.1.6. En utilisant le codage [a, b, c, d, e] 7→ (a+ 2c+ 6e, b+ 3d), le pland’expérience de la Fig. 1.1 se représente par :

x x0 23

y 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . .. . 0 . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . .

. . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . 0 .

. 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 0 . . . . 0 . . . . .

. . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . .0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . .

y 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . .

On constate que chacun des 16 couples (d, e) possibles figure une et une seule fois dansle plan d’expérience choisi.

Scilab 2.1.7. Les programmes donnés en annexe permettent d’utiliser différentes car-tographies pour représenter un même plan d’expérience et, ainsi, de mettre en valeur lesdifférentes symétries d’un plan donné.

1 2 11 2 12 4 2

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 1

[2] , [3] [4] , [5] [4, 1] , [5]

Tab. 2.1: Différentes cartographies d’un même plan

2.2 Valeur propres, colonnes propresDefinition 2.2.1. SoitM une matrice carrée. On dit que V est une colonne propre pourM si (1) la colonne V n’est pas la colonne nulle et si (2) il existe une constante λ ∈ C(la valeur propre associée) telle que :

M V = λV

Theorem 2.2.2. Une constante λ est valeur propre de la matrice carrée M si et seule-ment si λ est racine du polynôme caractéristique :

χM (λ).= det (λ−M) = λn − traceM λn−1 + · · ·+ (−1)n detM

2.3. Comment choisir un plan d’expérience ? 19

Preuve. Par définition, (λ−M) . V =−→0 avec V 6= −→0 . La matrice (λ−M) n’est donc

pas inversible lorsque λ est valeur propre : son déterminant est donc nul.

Remark 2.2.3. On rappelle que det ( a bc d ) = a d− b c et que (règle de Sarrus)

det

a b cd e fg h j

= aej + bfg + cdh− afh− bdj − ceg

Plus généralement, detM contient n! termes, chaque terme étant le produit de n facteurs(un par ligne et par colonne) avec les signes convenables.

Definition 2.2.4. On dit qu’une matrice carrée M est diagonalisable lorsqu’il existedimM colonnes propres indépendantes. Ceci revient à l’existence d’une matrice inversibleP et d’une matrice diagonale ∆ telles que :

P−1M P = ∆ ; M = P ∆P−1

Proposition 2.2.5. Lorsque P est inversible, les matricesM et P−1 .M . P ont le mêmepolynôme caractéristique. En particulier elles ont même trace (opposée de la somme desracines) et même déterminant (produit des racines, au signe près).

Theorem 2.2.6. Lorsque les racines du polynôme caractéristiques sont distinctes deuxà deux, la matrice est diagonalisable.

Preuve. Pour chaque racine du polynôme caractéristique, il existe au moins une colonnepropre. Si existe n racines (distinctes), on choisit une colonne propre Vi 6=

−→0 pour

chaque λi. Supposons∑µiVi =

−→0 . Alors, pour 0 ≤ j ≤ n−1, M j .

−→0 =

∑µiλ

jiVi =

−→0 .

Comme la matrice(λji)est inversible (Vandermonde), chaque µiVi est nul et donc chaque

µi, montrant que la famille des n colonnes propres n’est pas une famille liée.

Theorem 2.2.7. Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable, ses valeurspropres sont réelles et on peut choisir P orthogonale réelle (i.e. telle que tP . P soitdiagonale).

Preuve. Soit S symétrique réelle, λ ∈ C une valeur propre et V une colonne propre. Laquantité tV S V est un nombre, et donc invariant par transposition. Il vient :

λ |V |2 = tV (λV ) = tV (S V ) = t(...)= tV

(tS V

)= tV

(λ V

)= λ |V |2

montrant que λ est réelle. Le fait que <V et =V soient nuls ou vecteurs propres expliquela possibilité de P réelle. Une preuve complète se trouve dans Arnaudiès and Fraysse(1990, p.110).

2.3 Comment choisir un plan d’expérience ?

2.3.1 Comment être optimalement mauvais

Proposition 2.3.1. La matrice S .= tA .A est inversible si et seulement si le rang des

lignes de A (les essais) est au moins égal au nombre des colonnes de A (le nombre deparamètres à estimer).

Remark 2.3.2. A part le cas detS = 0 (pas assez d’essais, ou bien essais liés entre eux),faire varier un paramètre après l’autre donne un plan optimalement mauvais. Est-ce biennécessaire ?

20 2. Screening

2.3.2 Choix aléatoire

Algorithm 2.3.3 (choix aléatoire). Choisir le nombre d’essais : il faut au moins lenombre de paramètres à déterminer, plus "une marge" pour déterminer le facteur dequalité. On obtient ensuite ω par tirage au sort (sans remise) au sein de Ω. Pour cela, onprocède à un tirage au sort dans l’intervalle [0 .. ]Ω− 1], puis on utilise Proposition 2.1.2pour décoder les numéros obtenus.

Definition 2.3.4. On dit qu’un plan d’expérience ω1 est meilleur qu’un autre ω2 (demême taille) lorsque les valeurs propres de la matrice

(tA1 . A1

)sont plus grandes que

celles de(tA2 . A2

). Ce critère est lié à la transmission des erreurs de b vers f ∗. Vu le

codage utilisé, un critère plus rapide à mettre en oeuvre est de demander une augmen-tation du déterminant et une diminution de la somme des valeurs absolues des élémentsnon diagonaux.

Algorithm 2.3.5 (choix itérés). Choisir plusieurs plans d’expérience en utilisant l’Al-gorithm 2.3.3 et retenir le meilleur.

Algorithm 2.3.6 (choix dirigés). Choisir un plan d’expérience en utilisant l’Algo-rithm 2.3.5. Sélectionner une expérience du plan. La remplacer successivement par chaqueexpérience non sélectionnée. Conserver le meilleur remplaçant. Choisir une autre expé-rience du plan et itérer tant que l’on constate une amélioration.

Exercise 2.3.7. Pour chacune des situations où il existe une méthode explicite pour fa-briquer un plan exactement optimal, vérifier qu’une itération de l’Algorithm 2.3.6 conduità un plan qui n’est pas loin de l’optimal.

2.3.3 Plan complet 2m

Definition 2.3.8. Procéder à tous les essais possibles lorsque Ω est engendré par mmodalités prenant chacune deux valeurs s’appelle un plan complet 2m.

Algorithm 2.3.9. On engendre un plan binaire complet 2m en considérant l’écriturebinaire des nombres entiers compris entre 0 et 2m − 1 :

m∑1

xi2j−1 ∈ [0, 2m − 1]

Bien entendu, l’ordre de réalisation des expérience doit être tiré au sort (randomisa-tion) de façon à "éliminer en moyenne" l’influence de facteurs extérieurs (températureambiante, usure des appareils, ...).

Theorem 2.3.10. Lorsque les m modalités sont effectivement binaires, un plan com-plet conduit à un modèle qui rend compte de toutes les interactions entre les modalités.

Preuve. Soient Xj les variables obtenues en faisant tous les produits possibles des va-riables xi ∈ −1, +1 correspondant auxm modalités (il est raisonnable de poser X0 = 1et Xi = xi). Chaque variable Xj est associée à un produit sans répétitions puisque lespuissances d’un xi valent soit xi soit 1. Il existe (m2 ) produits à deux facteurs ... et finale-ment 2m variables Xj puisque

∑(mk

)= 2m. Utilisant un développement en série, on voit

que toute fonction des xi est une combinaison linéaire des Xj, nécessitant 2m coefficientssoit exactement le nombre d’essais.

2.4. Plan fractionnaire 3n−j 21

Il reste à prouver que la matrice A est inversible. Or un calcul évident montre quetA .A = 2m I : la matrice est non seulement inversible, mais orthogonale : ce plan estoptimal en termes de propagation des erreurs.

Remark 2.3.11. Le Theorem 2.3.10 ne s’applique absolument pas lorsque les modalitésbinaires ont été choisies arbitrairement pour modéliser des grandeurs continues.

2.3.4 Plan fractionnel 2n−p

Definition 2.3.12. Un plan fractionnel consiste à utiliser le fait que les colonnes codantun plan complet 2m sont linéairement indépendantes. Bien entendu, on réduit fortementla possibilité de mettre en évidence les interactions.

Example 2.3.13. Un plan complet 24 comporte 16 essais portant sur 4 variables xi ∈0, 1. Si l’on considère le plan à 5 variables défini par yi = xi et y5 = x1x2x3x4, les 16essais permettent d’obtenir les valeurs de la constante, des 5 coefficients linéaires et des( 5

2 ) = 10 coefficients du second ordre. Mais le coefficient de x1x2 est "à partager" entreles termes y1y2 et y3y4y5 qui auraient été distingués dans un plan complet 25. C’est lemécanisme d’aliasing.

Algorithm 2.3.14. Examiner les cas d’aliasing et "laisser libre" les interactions les plusprobables.

Exercise 2.3.15. Montrer que pour 6 modalités binaires, il n’est besoin que de 22coefficients pour tenir compte des interactions du second ordre. Obtenir un plan 26−1

permettant cela.

Exercise 2.3.16. Même question avec 8 modalités binaires : quel est le plus petit planpermettant d’obtenir toutes les interactions 2 à 2 ?

2.4 Plan fractionnaire 3n−j

Definition 2.4.1. Un plan fractionnaire 3n−j concerne n modalités ayant chacune troisniveaux. Les essais à réaliser sont choisis de façon à constituer un plan complet pourchaque combinaison de n− j modalités.

Example 2.4.2. Voici un plan 33−1 de 9 essais concernant 3 modalités ternaires, chacuned’elles étant codée de 1 à 3 :

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 0 0 0 1 1 1 2 2 2B 0 1 2 2 0 1 1 2 0C 0 1 2 0 1 2 0 1 2

Exercise 2.4.3. Vérifier que le plan précédent constitue bien un plan complet pourchacun des trois couples de modalités.

Exercise 2.4.4. Construire un plan 34−2 de 9 essais à quatre modalités. Déterminer sesvaleurs propres.

Exercise 2.4.5. Construire un plan 34−1 de 27 essais à quatre modalités. Déterminerses valeurs propres.

22 2. Screening

Chapitre 3

Improving

3.1 Importance des hypothèses

Commençons en rappelant que la phase "asserting" est essentielle dans la réussited’un plan d’expérience. Cette phase doit, entre autre choses, fournit des indications quantau modèle à utiliser pour synthétiser les données. Prenons un exemple pour illustrer notrepropos.

Si l’on est certain qu’une droite de régression x 7→ y est le modèle approprié pourmodéliser les résultats suivants :

x 2.8529164 −1.2502598 −3.4666558 −2.6742074 −3.2366521y 15.629770 2.7606907 −3.7452573 −0.5837337 −3.1001452x 3.7635090 −4.8335881 −2.9758439 1.0422551 1.6478574y 18.126750 −7.5575739 −1.8178379 9.9940873 11.698057

on obtient :y = 2.9974133x+ 6.8773196

Si l’on est certain que le modèle approprié est le polynôme de degré minimal passantpar tous les points, on obtient autre chose. La Fig. 3.1 montre cela.

−6 −5 −4 −2 −1 0 1 2 3 4

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Fig. 3.1: Importance des hypothèses

23

24 3. Improving

3.2 Calcul des incertitudes

3.2.1 Régression affine

Calculer une droite de régression affine est équivalent au jeu de rôles suivant. Alicedispose de deux coefficients α, β, de n réels (xi)1..n fixés ainsi que d’un générateur aléa-toire centré ν (de variance σ2

ν). Alice calcule les yi par ∀i : yi = αxi+β+ν (i) et transmetles couples (xi, yi) à Bob. Le problème de Bob est maintenant de trouver une estimationde α et de β, sous la forme d’un intervalle de confiance autour d’une "meilleure valeurprobable". Ce problème se résoud en cherchant le couple a, b qui minimise :

χ2 .=

1

n

n∑1

(yi − a xi − b)2

En utilisant les notations du Theorem 1.3.18, nous avons :

tA =x1 x2 · · · xn1 1 · · · 1

; tB = y1 y2 · · · yn ; f =

(ba

)et, par conséquent, nous obtenons :

S.= tA .A =

1

n

(1 xx x2 + varx

); a =

cov

varx; b = y − a x

χ2min = vary

(1−

cov2xy

varx vary

)3.2.2 Incertitudes

Theorem 3.2.1. Pour un plan de n essais conduisant à un modèle avec p coefficients,la variance résiduelle χ2

min est un estimateur biaisé (sous-estimé) de σ2ν. Un estimateur

non biaisé est obtenu en prenant en compte le nombre réel de degrés de liberté. Il vient :

est(σ2ν

)=

n

n− pχ2min

Preuve. χ2min est une forme quadratique en les variables vj et elle se réduit, par définition,

en (n− p) termes indépendants.

Proposition 3.2.2. Dans le cas d’une régression affine, a est fonction affine des νj. Demême, pour X fixé, Y .

= aX + b est une fonction affine des νj et l’on a :

σ2a = σ2

ν ×1

n

1

varx≈ χ2

min ×1

n− 2

1

varx

σ2Y = σ2

ν ×1

n

(1 +

(X − x)2

varx

)≈ χ2

min ×1

n− 2

(1 +

(X − x)2

varx

)Dans ces formules, σ2

a et σ2Y sont les variances de a et de Y calculées sur un grand

nombre de répétitions de la procédure.

Theorem 3.2.3. Dans le cas général, la variance de l’estimation Y = X . f faite aupoint X en utilisant la formule des moindres carrés est :

σ2Y = X .S−1 . tX

3.3. Surfaces de réponse 25

Preuve. Les hypothèses font que f , calculé par (1.1), puis Y sont des fonctions affinesdes variables iid νi. On obtient donc

σ2Y =

∑(∂ Y

∂ vi

)2

σ2ν

et il est immédiat que la colonne des ∂Y/∂νi vaut X .S−1 . tA.

Remark 3.2.4. Les résultats précédents ont été obtenus sans faire aucune hypothèse surla loi de répartition des écarts entre le modèle et la réalité à part le fait qu’ils soient iidet de moyenne nulle. Par contre, il est essentiel que les x soient tous exactement connus.

Remark 3.2.5. Si l’on suppose en outre que le bruit est "normal", le rapport est (σ2ν) /σ

2ν

suit une loi de Student-Fischer à n − p degrés de liberté, permettant de calculer desintervalles de confiance.

3.3 Surfaces de réponse

There still remains some art in both the design and the analysis of experi-ments, which can only be learned from experience. In addition, the role ofengineering judgment should not be underestimated(from http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/casestud.htm).

Definition 3.3.1. On appelle "response surface design" un plan d’expérience destiné àobtenir une fonction non linéaire simple comme modèle du phénomène.

Remark 3.3.2. A nouveau, la phase "asserting" est essentielle. Si la réalité du phénomèneconduit naturellement à un modèle en z = x1x2x3 il vaut évidemment mieux chercherun modèle linéaire sur les logarithmes...

Remark 3.3.3. Dans le même genre, les études concernant la capillarite mesurent etutilisent des cosα. Se demander si la réalité physique est capturée par α ou par cosαn’est pas inutile : ce qui est linéaire pour l’un des deux paramètres ne peut pas êtrelinéaire pour l’autre.

Proposition 3.3.4 (CC=Centered Cubic). Si l’on veut montrer qu’un modèle linéaireest le bon, une répartition cubique (i.e. 2n complet) centrée est la meilleure. Le fait deprendre des points répétés au centre permet à la fois d’étudier la répétabilité et de vérifierl’absence de courbure.

Proposition 3.3.5 (CCF=Cubic Centered Faces). Lorsqu’un plan binaire complet adéjà été réalisé (e.g. en tant que restriction d’un plan fractionnaire à ses paramètres lesplus significatifs), une bonne façon de le compléter pour ajuster un modèle quadratiqueest de centrer les faces et de répéter le point central.

Remark 3.3.6 (CCC=Circumscribed Centered Cubic). Si la chose est possible, il vautmieux se placer sur la sphère circonscrite. Mais cela introduit cinq niveaux par modalité,au lieu de 3. Comparons, pour un plan à trois modalités, différentes valeurs de k : CCF(k = 1) et CCC(k > 1). Avec 7 répétitions du centre, on obtient la matrice donnéeTab. 3.1.

26 3. Improving

1 −1 −1 −1 +1 +1 +1 1 1 11 +1 −1 −1 −1 −1 +1 1 1 11 −1 +1 −1 −1 +1 −1 1 1 11 +1 +1 −1 +1 −1 −1 1 1 11 −1 −1 +1 +1 −1 −1 1 1 11 +1 −1 +1 −1 +1 −1 1 1 11 −1 +1 +1 −1 −1 +1 1 1 11 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1 1 11 −k 0 0 0 0 0 k2 0 01 +k 0 0 0 0 0 k2 0 01 0 −k 0 0 0 0 0 k2 01 0 +k 0 0 0 0 0 k2 01 0 0 −k 0 0 0 0 0 k2

1 0 0 +k 0 0 0 0 0 k2

1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tab. 3.1: Plan cubique à faces centrées

Les matrices S = tA.A correspondantes sont données Tab. 3.2. En appelant r le nombrede réplications du centre, quelques calculs montrent que S (k, r) admet pour valeurspropres λ = 8 (triple), λ = 8 + 2k2 (triple), λ = 2k4 (double) ainsi que deux autresvaleurs propres λ1 < λ2 dépendant de k et de r. Pour k = 1, la plus petite valeur propreest 2 (pour r ≥ 1). Pour k = 1.2, la plus petite valeur propre est 4 à condition que r ≥ 5.A partir de k > 1.4, toutes les valeurs propres sauf une valent 8 ou plus... mais r = 7assure seulement λ > 5.

14 + r 0 0 0 0 0 0 8 + 2k2 8 + 2k2 8 + 2k2

0 8 + 2k2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 8 + 2k2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 8 + 2k2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 8 0 0 0 0 00 0 0 0 0 8 0 0 0 00 0 0 0 0 0 8 0 0 0

8 + 2k2 0 0 0 0 0 0 8 + 2k4 8 88 + 2k2 0 0 0 0 0 0 8 8 + 2k4 88 + 2k2 0 0 0 0 0 0 8 8 8 + 2k4

Tab. 3.2: Plan cubique à faces centrées

Remark 3.3.7. Un peu de calcul montre que le choix k = 4√

8 ≈ 1.68 conduit à uneexpression de σ2

Y ayant une symétrie sphérique, c’est à dire dépendant uniquement deρ =

√x2

1 + x22 + x2

3. Pour r = 6, on obtient σ2Y < 0.2σ2

ν uniformément dans le domaineρ ≤ 1.

3.3. Surfaces de réponse 27

Proposition 3.3.8 (Box-Behnken). Lorsque l’on ne dispose pas de résultats préalables, ilest intéressant de considérer les centres des arêtes du cube (et de répéter le point central).

Remark 3.3.9. Pour un plan Box-Behnken à trois modalités, il y a 12 points non centrauxet r réplications du centre. Les valeurs propres de S sont alors λ = 4 (ordre 5), λ = 8(triple) ainsi que deux autres λ1 < λ2, qui dépendent de r. Il faut au moins r ≥ 8 pourque λ1 ≥ 4. Par ailleurs, on constate que, pour r = 3 et ρ <

√2, on a la majoration

σ2Y ≤ 0.5σ2

ν (il y a une forte anisotropie).

28 3. Improving

Annexe A

Les programmes du cours

A.1 Le programme principalLe programme principal (Listing A.1) de la feuille de calcul planx.sce se contente de

déclarer globales un certain nombre de variables, puis il affiche le menu des commandespossibles.

Les fonctions qui veulent écrire sur les variables globales doivent elles aussi les déclarerglobales. Sinon, elles peuvent seulement lire (puis agir sur une copie locale).

Listing A.1 : Le programme principalmain := proc1: global mydir, myfig, shortnamdatas, ix, jx, moda, siza, Omega, ma, mb, ms, mx, mdelta

2: menuEnsure: permet les communications entre les procédures.

menu := procfun readdata (item)funmambmsfun draw_residus fun draw_influencesfun rectan = recmap (tox, toy, DAT ) fun aug (u, v)fun [Datas, mA, mS] = randplan fun [Datas, mA, mS] = goodplan (tx)

disp (ans) ;

A.2 Lecture des fichiers de donnéesLe Listing A.2 décrit la procédure de lecture des fichiers de données. On commence

par une lecture brute du fichier, ligne par ligne, vers la matrice rep (de type string).Puis on procède à quelques corrections typographiques (sur les lignes complètes). Enfin,on découpe les lignes en mots, qui sont ventilés dans la matrice datas (elle aussi de typestring). Un test a lieu pour vérifier que le format est assez long pour prendre en comptetous les items du tableau.

Si besoin est, le tableau est réorganisé. Ainsi, les résultats doivent se trouver dansla dernière colonne. Puis (Listing A.3), les valeurs prises par les modalités sont lues ettriées à la mode Scilab. Ainsi : moda(3) = !argent laiton_nu CuNiSn !

29

30 A. Les programmes du cours

Listing A.2 : Lire un fichier, c’est en corriger la typographiereaddata := proc (item)1: global mydir, myfig, shortnam, datas2: mydir ="le répertoire contenant les données" ;3: myfig ="le répertoire où iront les figures" ;4: select item in5: case 16: nam = ”experimentique.txt”Listing A.3 ; shortnam = ”xper” ;7: case 28: nam = ”caoutchouc.txt” ; shortnam = ”caout” ;9: case 3

10: nam = ”claire.txt” ; shortnam = ”clair” ;11: case 412: nam = ”nist− eddy.was.txt” ; shortnam = ”eddy” ;13: end select14: fich = mydir + nam ; disp (′source :′ +fich) ;15: hndl = mopen (fich, ”r”) ; rep = mgetl (hndl) ; mclose (hndl) ;16: select shortnam in17: case ”xper”18: rep = strsubst (rep, ′′, ′_′) ; rep = strsubst (rep, ′C ′, ′′) ;19: case ”clair”20: rep = strsubst (rep, ′′, ′_′) ; strsubst (rep, ′, ′, ′.′) ; rep = strsubst (rep, ′;′ , ′′) ;21: end select22: toks = tokenpos (rep (1)) ; toksx = size (toks, ′r′) ;23: frmt =′ %s%s%s%s%s%s%s%s′ ; frmtx = size (strindex (frmt, ′%′) , ′c′) ;24: if frmtx < toksx then25: error (sprintf("too short format : %d < %d", frmtx, toksx))26: end if27: datas = msscanf (−1, rep, frmt) ;28: select shortnam in29: case ”eddy”30: trad = 1 : size (datas, ′r′) ;31: for j from 2 to size (datas, ′r′) do trad (sscanf (datas (j, $) , ”%d”) + 1) = j

end for32: for j from 1 to size (datas, ′r′) do tmp = [tmp ; datas (trad (j) , :)] end for33: datas = [datas (1 : $, 2 : $− 1) , datas (1 : $, 1)] ;34: end select35: readmoda ;

A.2. Lecture des fichiers de données 31

Listing A.3 : Lecture des modalitésreadmoda := proc1: global ix, jx, moda, siza, Omega2: [jx, ix] = size (datas) ; ix = ix− 1 ; jx = jx− 1 ;3: tou = [ix : −1 : 1] ;4: moda = list () ; siza = tou ;5: for i from 1 to ix do6: moda (i) = sort (unique (datas (2 : $, i)))′ ;7: siza (i) = size (moda (i) , ′c′)− 1 ;8: end for9: for j = moda do Omega = Omega ∗ size (j, ′∗′) end for

32 A. Les programmes du cours

A.3 Codage / Décodage

Les Listings qui suivent décrivent plusieurs utilitaires de transcodage. En effet, ilest nécessaire de laisser coexister :

1. un codage en clair (texte), pour communiquer avec les expérimentateurs et avecles destinataires de l’étude

2. un codage euclidien éclaté (indices), où la valeur de chaque modalité est repéréepar un nombre compris entre 0 et siza(i)− 1

3. un codage euclidien global (numéro), où chaque expérience est codée par unnombre unique, compris entre 0 et Omega− 1

4. un codage adapté au calcul matriciel (code).

Toutes les routines de transcodage supposent que le code fourni en entrée est correct, àl’exception de txt2itm (Listing A.4) qui permet de détecter des erreurs de transcription.

Listing A.4 : Conversion textes/indicesfunction itm = txt2itm (txt)1: itm = [1 : ix] ;2: for i from 1 to ix do3: ici = vectorfind (moda (i) , txt (i) , ′c′) ;4: if ici == [ ] then %%% not found5: error (sprintf("> : undefined text %s for\_modality %s", txt(i), datas(1,i) ))6: end if7: itm (i) = ici− 1 ;8: end forEnsure: Détecte les descripteurs imprévus

function txt = itm2txt (itm)Require: Suppose que les indices sont corrects1: txt = string (itm) ;2: for i from 1 to ix do txt (i) = moda (i) (itm (i) + 1) end for

Le Listing A.5 décrit le transcodage entre les deux codes euclidiens (on voit qu’il estindispensable de faire commencer ces codes à 0 et non à 1).

Listing A.5 : Conversion indices/numéro_uniquefunction 〈q, r〉 = euclid (a, b)1: q = floor (a/b) ; r = a− b ∗ q ;function num = itm2num (itm)1: num = 0 ;2: for i from ix step −1 to 1 do num = num ∗ (1 + siza (i)) + itm (i) end forfunction itm = num2itm (num)1: itm = [1 : ix] ; aaa = num ;2: for i from 1 to ix− 1 do [aaa, itm (i)] = euclid (aaa, 1 + siza (i)) end for3: itm ($) = aaa ;

Le Listing A.6 montre comment transformer une ligne d’indices en une ligne de codematriciel, puis comment construire la matrice du plan d’expérience. On remarquera que

A.4. Calcul du modèle et représentation graphique 33

Listing A.6 : Conversion indices/codagefunction cod = itm2cod (itm)1: cod = [1] ;2: for i from 1 to ix do3: ici = itm (i) ;4: if ici == 0 then5: co = −ones (1, siza (i)) ;6: else7: co = [zeros (1, ici− 1) , 1, zeros (1, siza (i)− ici)] ;8: end if9: cod = [cod, co] ;

10: end forfunction mat = data2mat (data)1: mat = [] ;2: for j from 1 to jx do mat = [mat; itm2cod (txt2itm (data (j + 1, :)))] end for

le nombre des lignes de cette matrice est exactement le nombre d’essais du plan, tandisque la matrice datas contient en outre une ligne de titre, et une colonne de résultats.

Enfin, le Listing A.7 fournit le moyen de cartographier un plan d’expérience de façonà examiner comment sont réparties les différentes modalités. Étant destiner à comparerplusieurs plans, cet algorithme peut recevoir le plan comme paramètre. On remarqueraque la fonction itm2num a du être ré-écrite pour ne prendre en compte que les modalitésvoulues (et dans l’ordre voulu).

Listing A.7 : Cartographie d’un plan d’expériencefunction rectan = recmap (tox, toy, DAT )1: txy = [tox, toy] ;2: function num = itm2xy (itm)3: num = 0 ;4: for i = txy do num = num ∗ (1 + siza (i)) + itm (i) end for5: endfunction6: function nums = plan2numxy (plan)7: nums = ones (1, jx) ;8: for j from 1 to jx do nums (j) = itm2xy (txt2itm (plan (j + 1, :))) end for9: endfunction

10: rectan = zeros (prod (siza (toy) + 1) , prod (siza (tox) + 1)) ;11: ptn = plan2numxy (DAT ) ;12: for j = ptn do rectan (j + 1) = rectan (j + 1) + 1 end for

A.4 Calcul du modèle et représentation graphiqueLe Listing A.8 décrit le calcul du modèle est fournit une estimation de son FRV.

La formule utilisée n’est pas la meilleure possible (l’espérance d’un quotient n’est pas lequotient des espérances) mais exprime en tout cas le fait que notre aptitude à prévoirl’avenir est nécessairement inférieure à notre aptitude à prévoir le passé.

Le Listing A.10 permet de visualiser le "manque à prévoir le passé" du modèle obtenu.Examiner le comportement des résidus en fonction des valeurs atteintes permet en outre

34 A. Les programmes du cours

Listing A.8 : Calcul du modèle et de son FRVfunction frv = mambms ()1: global ma, mb, ms, mx, mdelta2: ma = data2mat (datas) ; mb = eval (datas (2 : $, $)) ;3: ms = ma′ ∗ma ; mx = (1/ms) ∗ma′ ∗mb ; mdelta = ma ∗mx−mb ;4: redvar = variance (mdelta) ; rawvar = variance (mb) ;5: if size (ma, ′c′) = jx then6: frv = %nan ;7: else8: frv = rawvar/redvar ∗ (jx− size (ma, ′c′)) / (jx− 1) ;9: end if

10: disp (sprintf (′rawvar = %f, redvar = %f, est (FRV ) = %f ′, rawvar, redvar, frv))

d’examiner le domaine de meilleur validité du modèle obtenu.

Listing A.9 : Graphe des influencesdraw_influences := proc1: curfig = scf (2) ; clf () ;2: curfig.figure_size = [1000, 500] ;3: base = 2 ; xti = ones (1 : ix)′ ; influences = [] ;4: for i from 1 to ix do5: msg = mx (base : base+ siza (i)− 1) ;6: msg = [−sum (msg) ;msg] ;7: influences (i) = max (msg)−min (msg) ;8: plot ([base+ 2 ∗ i : base+ 2 ∗ i+ siza (i)], msg) ;

plot ([base+ 2 ∗ i : base+ 2 ∗ i+ siza (i)], msg, ′o′) ;9: xti (i) = base+ 2 ∗ i+ siza (i) /2 ;

10: base = base+ siza (i) ;11: end for12: curax = get (′current_axes′) ;13: curax.box =′ off ′ ;14: curax.sub_ticks = [0, 0] ;15: xtidat = strsubst

(datas (1, 1 : $− 1)′ , ′Presse− etoupe′, ′P − etoupe′

);

16: curax.x_ticks = tlist (curax.x_ticks (1) , xti, xtidat) ;17: curax.data_bounds (1, 1) = curax.data_bounds (1, 1)− 1 ;18: curax.data_bounds (2, 1) = curax.data_bounds (2, 1) + 1 ;19: curax.data_bounds (1, 2) = curax.data_bounds (1, 2) ∗ 1.05 ;20: curax.data_bounds (2, 2) = curax.data_bounds (2, 2) ∗ 1.05 ;21: curax.tight_limits = ”on” ;22: curax.x_location =′ bottom′ ; curax.y_location =′ left′ ;23: xtitle (′influences :′ +sprintf (′%4.2f ′, influences)) ;24: curax.font_size = 4 ; curax.title.font_size = 4 ;25: curax.margins = [0.07, 0.03, 0.13, 0.1] ;26: set_posfig_dim (curfig.figure_size (1) , curfig.figure_size (2)) ;27: xs2eps (2, myfig + shortnam+ ”_influ”) ;

Le Listing A.9 permet de visualiser les influences des différentes modalités. Étantdonné que l’objectif poursuivi est une comparaison en amplitude, ces influences ne sontpas translatées comme il le faudrait pour tenir compte d’un non-équilibrage éventuel du

A.5. Détermination d’un plan optimal 35

Listing A.10 : Graphe des résidusdraw_residus := proc1: curfig = scf (1) ; clf () ;2: curfig.figure_size = [1000, 500] ;3: plot (mb, mdelta, ′xk′) ;4: curax = get (′current_axes′) ;5: curax.children.children.thickness = 3 ;6: curax.x_location =′ middle′ ;7: curax.box =′ off ′ ;8: curax.sub_ticks = [0, 0] ;9: curax.font_size = 4 ;

10: curax.title.font_size = 4 ;11: curax.data_bounds (3) = curax.data_bounds (3) ∗ 1.02 ;12: curax.margins = [0.05, 0.01, 0.05, 0.05] ;13: set_posfig_dim (curfig.figure_size (1) , curfig.figure_size (2)) ;14: xs2eps (1, myfig + shortnam+ ”_residus”) ;

plan d’expérience.

A.5 Détermination d’un plan optimalCommençons par rappeler que des considérations issues de la théorie des groupes

permettent de déterminer directement un plan optimal lorsque Ω est effectivement unespace produit. Lorsque la phase asserting permet d’éliminer une proportion significativedes combinaisons, le design d’un plan optimal est plus difficile.

Listing A.11 : Tirage simplefunction 〈Datas, mA, mS〉 = randplan ()1: truc = grand (1, jx, ′uin′, 0, Omega− 1) ;2: Datas = datas (1, 1 : ix) ;3: for j = truc do Datas = [Datas; itm2txt (num2itm (j))] end for4: mA = data2mat (Datas) ; mS = mA′ ∗mA ;

Listing A.12 : Tirage itéréfunction 〈Datas, mA, mS〉 = goodplan (tx)1: memscore = −1 ; tic () ;2: for t from 1 to tx do3: [dat, maa, mss] = randplan () ; score = min (spec (mss)) ;4: if score > memscore then5: memscore = score, Datas = dat, mA = maa, mS = mss ;6: end if7: end for8: printf (”%d essais in%6.4f secondes, score = %6.4f”, tx, toc () , memscore)

36 A. Les programmes du cours

Annexe B

Compléments

B.1 Calcul de l’inverse d’une matrice par le pivot deGauss

Definition B.1.1. Une matrice de GaussGi est une matrice carrée dont tous les élémentssont nuls sauf ceux de la diagonale, qui valent 1, et ceux de la i-ème colonne.

Proposition B.1.2. Une matrice de Gauss est inversible et l’on a : 1 0 0a 1 0b 0 1

−1

=

1 0 0−a 1 0−b 0 1

Algorithm B.1.3. L’algorithme de Gauss consiste à enchaîner des actions sur les lignes(multiplication à gauche par des matrices de Gauss) de façon à vider successivement lescolonnes de leurs éléments non-diagonaux. On obtient alors

Gn. · · · .G2.G1.A = ∆

Si les éléments (diagonaux) de ∆ sont tous non nuls, A est inversible et

A−1 = ∆−1.Gn. · · · .G2.G1

On facilite le calcul du produit Gn. · · · .G2.G1 en faisant agir les matrices Gi sur lamatrice n× 2n obtenue en juxtaposant A et la matrice unité (cf. Fig. B.1).

37

38 B. Compléments

3 2 1 1 0 0

1 1 2 0 1 0

-1 2 1 0 0 1

1 0 0 3 2 1 1 0 0

-1/3 1 0 0 1/3 5/9 -1/3 1 0

1/3 0 1 0 8/3 4/3 1/3 0 1

1 -6 0 3 0 -9 3 -6 0

0 1 0 0 1/3 5/3 -1/3 1 0

0 -2 1 0 0 -12 3 -8 1

1 0 -3/4 3 0 0 3/4 0 -3/4

0 1 5/36 0 1/3 0 1/12 -1/9 5/36

0 0 1 0 0 -12 3 -8 1

A−1 =

3 0 0

0 1/3 0

0 0 −12

−1

.

3/4 0 −3/4

1/2 −1/9 5/36

3 −8 1

=

1/4 0 −1/4

1/4 −1/3 5/12

−1/4 2/3 −1/12

Fig. B.1: Version "explicative" de l’algorithme de Gauss

Bibliographie

Arnaudiès J. and Fraysse H. Tome 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie. Cours de mathé-matiques (Dunod Université) (1990), 541 pp. 2.2

Dagnelie P. Principes d’expérimentation: planification des expériences et analyse de leursrésultats (Presses agronomiques, Fac. Univ. Sc. Agro. Gembloux - Belgique) (2003),397 pp. http://www.dagnelie.be. 1.1

Delplanque L. and Louvet F. Étude des effets moyens des facteurs. In Association-Expérimentique (ed.), Les Plans d’Expériences, une approche pragmatique et illustrée,pp. II.1.1–II.4.43 (Univ. Orléans) (2005). http://doe.celeonet.fr/joomexp/index.php?option=com_docman. 1.2.14

Natrella M. Handbook of statistical methods. In C. Croarkin and P. Tobias (eds.),2006 nist/sematech e-Handbook (NIST), revised 2006 ed. (1963). http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. 1.1.1

39