Modulo Condecal 1

7/29/2019 Modulo Condecal 1

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CONTROL ESTADISTICO DE

LA CALIDADMODULO ACADMICO

AUTORES:

ALVARO BONETT PERTUZSARAI BLANCO LINEROLUCY GRACIA GAMARRACARLOS OROZCO AGUINAGADAINER ZUIGA OLIVERA

INGENIERA INDUSTRIALUNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

SANTA MARTA2012


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Control estadstico de la calidadIngeniera industrial

Universidad Del Magdalena

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INDICE

1. CONCEPTOS Y PRINCIPIOS DE LA CALIDAD 5

1.1 SIGNIFICADOSDELACALIDAD: 51.2 FILOSOFADECALIDADYESTRATEGIASDEADMINISTRACIN 8

1.3 COSTOSASOCIADOSALACALIDAD 11

2. TCNICAS ESTADSTICAS TILES PARA EL MEJORAMIENTODE LA CALIDAD. 14

2.1 DEFINICIONESBSICAS 142.2 TEORIADELAPROBABILIDAD: 19

2.3 VARIABLESALEATORIAS 222.4 DISTRIBUCIONESDEPROBABILIDAD 22

2.4.1 DISTRIBUCIONESDISCRETASIMPORTANTES 22

2.4.2 DISTRIBUCIONESCONTINUAS 27

2.4.3 ALGUNASAPROXIMACIONES TILES 29

2.5 PRUEBADEBONDADDEAJUSTEJI-CUADRADA 302.5 HERRAMIENTASESTADISTICASBSICASPARAEL CONTROLDELA

CALIDAD: 38

2.5.1 HISTOGRAMA : 38

2.5.2 DIAGRAMADEPARETO: 40

2.5.3 DIAGRAMADECAUSA YEFECTO 422.5.4 DIAGRAMADEDISPERSIN: 43

2.5.5 CARTA DEVERIFICACIN: 45

2.5.6 DIAGRAMADECONCENTRACINDEDEFECTOS 46

3 ANLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO 49

3.1 DEFINICIONESBASICAS 493.2 CAPACIDADDEPROCESO 50

3.3 INDICEDECAPACIDADPOTENCIALDELPROCESO 523.4 INDICEDECAPACIDADREALDELPROCESO 54

3.5 INTERPRETACIN DE LOS RESULTADOS PARA EL VALOR DE LOS NDICES DE CAPACIDAD55

3.6 CMO BUSCAR CANTIDAD DE PRODUCTOS NO CONFORMES? 553.7 CMO HACER UNA RECOLECCIN DE DATOS PARA HACER UN ANLISIS DE CAPACIDAD OCUALQUIER ESTUDIO ESTADSTICO? 57


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3

4 CARTAS DE CONTROL 68

4.1 GENERALIDADES: 684.2 OBJETIVOSDELASCARTASDECONTROL. 69

4.3 CARTASDECONTROLYPRUEBADEHIPTESIS. 70

4.4 ANALISISDEPATRONESENLASCARTASDECONTROL 71

4.5 CONDICIONESNECESARIASPARAAPLICARLASCARTASDECONTROL 74

4.6 TIPOSDECARTASDECONTROL 75

4.6.1 CARTASDECONTROLPARAVARIABLES 75

4.6.2 CARTASDECONTROLPARAATRIBUTOS 104

5 MUESTREO DE ACEPTACIN 119

5.1 GENERALIDADES 119

5.2 TIPOSDEPLANESDEMUESTREO 1215.3 LACURVADEOPERACIN(OC) 126

5.4 DISEODEPLANESDEMUESTREO 130

5.5 INSPECCINCONRECTIFICACIN 134

5.6 MUESTREODEACEPTACINPORVARIABLES 137

5.7 MUESTREOCONTINUO 140

6 HERRAMIENTAS INFORMTICAS PARA EL CONTROL DECALIDAD 149

6.1 CAPACIDADDELPROCESO 149

6.2 CARTASDECONTROL 153

APNDICE 167


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4

1La calidad se ha convertido en uno de los factores de decisin ms importantes delos consumidores para elegir entre productos y servicios que compiten. Elfenmeno es generalizado, sin importar si el consumidor es un individuo, unaorganizacin industrial, una tienda minorista o un programa de defensa militar.

Hay muchas maneras de definir calidad. La definicin tradicional de calidad sebasa en el punto de vista de que los productos y servicios deben cumplir con losrequerimientos de quienes los usan

INTRODUCCIN A LACALIDAD

Capitulo


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INTRODUCCION A LA CALIDAD

CONCEPTOS Y PRINCIPIOS DE LA CALIDAD

1.1 SIGNIFICADOS DE LA CALIDAD:

Hay muchas maneras de definirCalidad. El concepto de calidad que se formala mayora de la personas se relaciona con una o ms caracterstica deseablesque debera poseer un producto o servicio. Algunas definiciones generalmenteaceptadas son:

Un sistema que permite que las caractersticas de un producto o servicio

satisfagan en forma econmica los requerimientos del consumidor.

Las tcnicas operacionales y actividades que sustentan la calidad de un

producto o servicio para satisfacer ciertas necesidades. ANSIZI.7-1971

La integracin de las caractersticas que determinan en qu grado un producto

satisface las necesidades de su consumidor. ISO 9000

La bondad o conformidad de un producto. Shewhart (1931)

Adecuar las caractersticas de un producto al uso que le va a darelconsumidor, es decir, Calidad es que un producto sea adecuadopara su uso.

Juran (1990)

La calidad es la totalidad de detalles y caractersticas de un producto o

servicioque influye en su capacidad para satisfacer necesidades bsicas. ASQ

Conjunto de propiedades y caractersticas de un producto o servicio que le

confieren su aptitud para satisfacer unas necesidades expresadas oimplcitas.UNE 66-001-92

La calidad de un producto es la (mnima) prdida impuesta por este productoa

la sociedad durante la vida de dicho producto. Taguchi (1979)

La calidad la define el cliente. Es el juicio que este tiene sobre un producto

oservicio (el cual por lo general es de aprobacin o rechazo) resultado delgradocon el cual un conjunto de caractersticas inherentes al producto cumplenconlos requerimientos. La calidad es ante todo satisfaccin del clienteGutirrez & De La vara (2004)

Montgomery en su libro Control Estadstico de la Calidad, seala que en

general, para los diferentes autores, la Calidad significa ADECUACIN PARA


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USO y trasciende el aspecto de conformidad con las especificaciones alconsiderar tanto el desempeo como la opinin del Cliente.

En la adecuacin para su uso se distinguen dos aspectos generales:

1) CALIDAD DE DISEO: variaciones en los grados o niveles de calidaden la que influyen los tipos de materiales usados en la construccin,especificaciones de los componentes y la confiabilidad derivados deldesarrollo de ingeniera.

2) CALIDAD DE CONFORMIDAD: es la medida en que el producto seajusta a las especificaciones requeridaspor el diseo.

Infortunadamente, las definiciones de calidad han sido relacionadas ms con elaspecto de la conformidad de la calidad que con su diseo, lo que conlleva a

prestar menos atencin al cliente y a que la calidad se aborde como laconformidad con las especificaciones, sin importar si es producto, cumpliendolo antes mencionado, es en realidad apto para su uso por el cliente.

En este sentido, Douglas Montgomery en su texto, prefiere definir la calidad deesta manera:

La Calidades inversamente proporcional a la variabilidad.

Esta definicin involucra que si la variabilidad (indeseable o perjudicial) de lascaractersticas importantes de un producto disminuyen, la calidad aumenta.

Dimensiones de la Calidad:

La calidad de un producto puede ser evaluada de varias formas, por tal raznresulta importante distinguir las diferentes dimensiones de la calidad, las cualesse resumirn a continuacin:

IndustriaJaponesa

Industria

EEUU


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1) Desempeo (Perfomance): Servir el producto para el fin proyectado?2) Confiabilidad (Reliability): Con qu frecuencia falla el producto?3) Durabilidad (Durability): Cunto tiempo dura el producto?4) Facilidad de servicio (Serviceability): Qu tan fcil es reparar el

producto?5) Esttica (Aesthetics): Cmo luce el producto?6) Caractersticas incluidas (Features): Qu hace el producto?7) Calidad percibida (Perceibed Quality): Cul es la reputacin de la

compaa o del producto?8) Conformidad con los estndares (conformance): El producto se fabrica

exactamente a cmo se dise?

Por otro lado, al igual que calidad es tambin importante definir:

Aseguramiento de la Calidad Control de la Calidad Ingeniera de Calidad

Qu es el Aseguramiento de la Calidad?

Para dar respuesta a este interrogante se presentan las siguientes definiciones:

El conjunto de las actividades planeadas formalmente para proporcionar la

debida certeza de que el resultado del proceso productivo tendr los niveles decalidadrequeridos ISO 9000

Un problema de variacin que puede ser controlado y prevenido mediantelaeliminacin a tiempo de las causas que lo provocaban, de forma que laproduccinpudiese cumplir con la tolerancia de especificacin de su diseo

Shewhart .

Conjunto de acciones planificadas y sistemticas que son necesariasparaproporcionar confianza adecuada de que un producto o serviciosatisfarlos requisitos dados sobre la calidad Carot (2001)

Qu es el Control de la Calidad?

El control de la calidad se define de la siguiente manera:

El conjunto de las actividades y tcnicas realizadas con la intencin de

crearuna caracterstica especfica de calidad. ISO 9000


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La aplicacin de principios y tcnicas estadsticas en todas las etapas de

produccin para lograr una manufactura econmica con mxima utilidad delproducto por partedel usuario. Deming (1986)

Se dice que un fenmeno est controlado cuando, a travs del uso deexperienciasprevias podemos predecir, cuando menos dentro de ciertos lmites,cmo se esperaque dicho fenmeno vare en el futuro. Aqu se entiende porprediccin dentro deciertos lmites, que podemos asegurar, al menos de formaaproximada, que elfenmeno observado caer dentro de ciertos lmites dadosShewhart (1980)

Mtodo mediante el cual podemos medir la calidad real, compararla con

lasnormas y actuar sobre la diferencia. Juran, Gryna & Bingham (1990)

Tcnicas y actividades de carcter operativo utilizadas para satisfacer losrequisitos relativos a la calidad. Carot (2001)

Qu es la ingeniera de calidad?

Es el conjunto de actividades operativas, administrativasy de ingeniera que

emplea una compaa a fin de asegurar que las caractersticas de la calidad deun producto se encuentren en los Niveles nominales o requeridos DouglasMontgomery. Puesto que la variabilidad solo puede describirse en

trminosestadsticos, los mtodos estadsticos juegan un papel muyimportanteen los esfuerzos de mejoramiento de calidad.Cuando se aplican mtodos estadsticos en la ingeniera de calidad, es muycomn clasificar los datos sobre las Caractersticas de la calidad como datosde atributo o bien de variables.

1.2 FILOSOFA DE CALIDAD Y ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIN

Muchas personas han contribuido en la metodologa estadstica delmejoramiento de calidad. Sin embargo, en trminos de la filosofa de la

implementacin y la administracin, surgen tres individuos como lderes: W. E.Deming, J. M. Juran y A. V. Feigenbaum.

W. Eduwards Deming

La filosofa del Dr. Deming es un importante marco para implementar elmejoramiento de la calidad y la productividad. A continuacin se presenta los14 principios de administracin manejados por Deming:

1) Crear la constancia en los propsitos enfocados en el mejoramiento deproductos y servicios.


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2) Adoptar la nueva filosofa de rechazar la mano de obra deficiente, losproductos defectuosos o los malos servicios.

3) No confiar en la inspeccin en masa para controlar la calidad.4) No hacer contratos con proveedores atendiendo nicamente al precio,

sino considerando tambin la calidad.5) Enfocarse en el mejoramiento continuo.6) Poner en prctica mtodos de capacitacin modernos e invertir en la

capacitacin de todos los empleados.7) Poner en prctica mtodos de supervisin modernos.8) Sacudirse el miedo.9) Derribar las barreras entre las reas funcionales del negocio.10) Eliminar objetivos, lemas y metas numricas para la fuerza de trabajo.11) Eliminar las cuotas y los estndares de trabajo numricos.12) Eliminar las barreras que desalientan a los empleados a realizar sus

trabajos.13) Instituir un programa progresivo de capacitacin y educacin para todos

los empleados.14) Crear una estructura en la alta gerencia que propugne con decisin por

los 13 primeros puntos.

Dr. Joseph M. Juran

Uno de los padres fundadores del control estadstico de calidad. Fue invitado a

dar plticas a lderes de la industria japonesa cuando iniciaron sutransformacin industrial a principios de los aos 1950. Es coautor (con FrankM. Gryna) de Quality Control Handbook, una referencia obligada para losmtodos y el mejoramiento de calidad desde su publicacin original en 1957.

La filosofa de Juran se basa en la organizacin del cambio y en laimplementacin de mejoras que l llama la penetracin administrativa. Lasecuencia de la penetracin es en realidad un proceso estructurado para lasolucin de problemas.

Dr. Armand Feigenbaum

Fue el primero en introducir el concepto de control de calidad en toda lacompaa en su histrico libro Total Quality Control (la primera edicin sepublic en 1951). Este libro ejerci una gran influencia en los inicios de lafilosofa de la administracin de calidad en Japn a principios de los aos 1950.

El inters del Dr. Feigenbaum se centra ms en la estructura organizativa y enel enfoque de los sistemas para mejorar la calidad que en los mtodos

estadsticos.


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Administracin de calidad Total (TQM)

Es una estrategia para implementar y administrar las actividades demejoramiento de calidad con base en la organizacin completa. La TQM nacia principios de los aos 1980, con las filosofas de Deming y Juran como puntofocal. Evolucion en un espectro ms amplio de conceptos e ideas, incluyendolas organizaciones y una cultura laboral participativa, el cliente como centro deatencin, el mejoramiento de calidad del proveedor, la integracin del sistemade calidad con las metas del negocio y muchas otras actividades para enfocartodos los elementos de la organizacin en torno a la meta del mejoramiento decalidad.

Estndares de calidad y certificacin

La Organizacin Internacional de Normas (ISO, por sus siglas en ingls) hadesarrollado una serie de estndares de calidad que incluyen la serie ISO9000, los cuales tambin son adoptados por el Instituto Americano deEstndares Nacionales y la ASQ. El punto central de estos estndares es elsistema de calidad, incluyendo componentes tales como:

1) Responsabilidad de la administracin de calidad.2) Control del diseo.3) Control de datos y documentos.4) Administracin de compras y contratos.5) Identificacin y rastreabilidad de productos.6) Inspeccin y prueba, incluyendo el control del equipo de medicin e

inspeccin.7) Control del proceso.8) Manejo de la produccin disconforme, acciones correctivas y

preventivas.

9) Manejo, almacenamiento, empaque y entrega del producto, incluyendoactividades de servicio.

10) Registros de control de calidad.11) Auditoras internas.12) Capacitacin.13) Metodologa estadstica.

Seis Sigma

De manera tpica, son grandes las probabilidades de que ocurran fallas odefectos en los productos de alta tecnologa con muchos componentes


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complejos. Motorola desarroll el programa seis sigma a fines de los aos 1980en respuesta a la demanda de estos productos. Este programa se centra enllevar la variabilidad de las caractersticas de calidad clave a niveles en los quelas fallas o los defectos sean en extremo improbables.

Six Sigma se basa en la curva de la distribucin normal para conocer el nivelde variacin de cualquier actividad, posterior a esto desarrolla una serie depasos para el control de calidad y la optimizacin de procesos industriales.Estos pasos se conocen como el ciclo DMAMC (Definicin, Medicin, Anlisis,Mejora, Control)

La finalidad del Six Sigma es proporcionar la informacin adecuada paraayudar a la implementacin de la mxima calidad del producto o servicio encualquier actividad, as como crear la confianza y comunicacin entre todos los

participantes, pues se debe tener en cuenta que la actividad del negocio partede la informacin, las ideas y la experiencia, lo cual ayuda a elevar la calidad yel manejo administrativo.

Justo a tiempo, manufactura, Poka-Yoke, y otras.

Ha habido muchas iniciativas destinadas a mejorar el sistema de produccin.Entre ellas se encuentra el enfoque justo a tiempo, que hace nfasis en lareduccin del inventario dentro del proceso, una etapa de arranque rpida y enun sistema de produccin jalado por la demanda; el enfoque Poka-Yoke o a

pruebas de errores de los procesos; el sistema de produccin Toyota y otrastcnicas de manufactura japonesa; la reingeniera; la teora de restricciones; lamanufactura gil; la manufactura esbelta; etc. La mayora de estos programas,dedican muy poca atencin a la reduccin de la variabilidad, lo cual, impide queestos esfuerzos alcancen su potencial pleno.

Los Gures de la CalidadEntre los grandes exponentes de la calidad se puede mencionar:

W. Edwards Deming

Joseph Juran Philip B. Crosby Genichi Taguchi Shigeo Shingo Armand Feigenbaum Shigeru Mizuno Kaoru Ishikawa

1.3 COSTOS ASOCIADOS A LA CALIDAD


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Todas las organizaciones utilizan controles financieros. Estos controlesfinancieros implican una comparacin de los costos reales y lospresupuestados, junto con un anlisis asociado y acciones sobre lasdiferencias o varianzas entre las cifras reales y las presupuestadas. Seacostumbra aplicar estos controles a nivel departamental o funcional. Durantemuchos aos no hubo ningn esfuerzo directo por medir o explicar los costosde la funcin de calidad. Sin embargo, el incremento de los costos de calidaden la complejidad de los productos, una mayor conciencia de los costos delciclo de vida y la necesidad de traducir estos costos a dinero, han sido punto departida para estructurar los costos de calidad como herramientas de controlfinanciero.

En trminos generales, los costos de la calidad consisten en aquellascategoras de los costos que se asocian con la produccin, identificacin,

evitacin o reparacin de productos que no cumplen con los requerimientos.

Estas categoras de los costos son las siguientes:

COSTOS DE PREVENCIN COSTOS DE VALUACIN COSTOS DE FALLASINTERNAS

COSTOS DE FALLASEXTERNAS

Planeacin eingeniera de calidad

Inspeccin y prueba

del material de

entrada

Desechos Ajustes de quejas

Revisin de nuevosproductos

Inspeccin y prueba

del producto

Reprocesamiento Producto /

materiales

devueltos

Diseo delproducto/proceso

Materiales y

servicios

consumidos

Repeticin de

pruebas

Cargos por

garanta

Control del proceso

Mantenimiento de

la precisin del

equipo de prueba

Anlisis de fallas Costos de

responsabilidad

legal

Encendido Tiempo ocioso

Costos indirectos

Capacitacin Prdidas derendimiento

Adquisicin y anlisisde datos sobre

calidad

Degradacin (fuera

de especificacin)


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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Es importante recordar que la Estadstica es la ciencia encargada de larecoleccin, organizacin e interpretacin de datos, para obtener conclusionesde una poblacin.

Segn se haga el estudio sobre todos los elementos de la poblacin o sobre un

grupo de ella, se diferencian dos tipos de Estadstica:

Estadstica Descriptiva: Realiza el estudio sobre la poblacincompleta, observando una caracterstica de la misma y calculando unosparmetros que den informacin global de toda la poblacin.

Estadstica Inferencial: Realiza el estudio descriptivo sobre unsubconjunto de la poblacin llamado muestra y, posteriormente, extiendelos resultados obtenidos a toda la poblacin.

TCNICAS ESTADSTICASPARA EL MEJORAMIENTO

DE LA CALIDAD2Capitulo


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1. TCNICAS ESTADSTICAS TILES PARA EL MEJORAMIENTO DELA CALIDAD.

2.1 DEFINICIONES BSICAS

POBLACIN: Es el conjunto de todos los elementos, individuos o entessujetos a estudio y de los cuales se quiere obtener un resultado.

MUESTRA: Subconjunto de la poblacin.

VARIABLE: Caracterstica o propiedad de los elementos o individuos de lapoblacin a estudiar.

Existen dos categoras o tipo de variables:

Variable cualitativa: se refieren a atributos o cualidades que no pueden sermedidas con nmeros, por ejemplo: rubio, moreno, lugar de residencia, etc.

Variable cuantitativa: se refiere a aquellas caractersticas que pueden serexpresadas numricamente: edad, peso, nmero de hijos, etc. Esta a suvez se subdivide en:

Variable discreta: es aquella que entre dos valores prximos puedetomar a lo sumo un nmero finito de valores. Ejemplos: el nmero de

hijos de una familia, el de obreros de una fbrica, el de alumnos de launiversidad, etc.

Variable continua: es aquella que puede tomar infinitos valoresdentro de un intervalo. Ejemplo, peso, estatura, distancias, etc.

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel experimento que puede producirresultados diferentes, an cuando se repita siempre de la misma manera.

ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de unexperimento aleatorio. Se denota por S.

Por ejemplo, se considera el experimento de lanzar un dado, si el inters secentra en el nmero que muestra la cara superior, el espacio muestral sera:

*+EVENTO: Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.Para cualquier experimento dado, se puede estar interesado en la ocurrenciade ciertos eventos, por ejemplo se puede estar interesado en el evento A enque el resultado cuando se lanza un dado sea divisible entre 3; este ocurrir siel resultado es un elemento del subconjunto:

*+


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Con frecuencia es necesario describir nuevos eventos a partir decombinaciones de eventos existentes:

Unin de dos eventos: Es el evento que consta de todos los resultadosque estn contenidos en cualquiera de los dos eventos. La unin se

denota por:

Interseccin de dos eventos: Es el evento que consta de todos losresultados que estn contenidos en los dos eventos. La interseccin sedenota por:

Complemento de un evento: Es el conjunto de resultados en el

espacio muestral que no estn en el evento. La complemento se denotapor:

Eventos mutuamente excluyentes: Se dice que dos eventos sonmutuamente excluyentes, si estos no presentan elementos en comn;dos eventos denotados como E1 y E2 tales que sonmutuamente excluyentes.


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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son indicadores estadsticos que muestran hacia qu valor (o valores) seagrupan los datos.

Existen varios procedimientos para expresar matemticamente las medidas detendencia central, de los cuales, los ms conocidos son:

la media aritmtica la mediana La moda

LA MEDIA ARITMTICA

Equivale al clculo del promedio simple de un conjunto de datos. Paradiferenciar datos mustrales de datos poblacionales, la media aritmtica se

representa con un smbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con lapoblacin, este indicador ser ; en el caso de que estemos trabajando conuna muestra, el smbolo ser .Media aritmtica ( o ): Es el valor resultante que se obtiene al dividir lasumatoria de un conjunto de datos sobre el nmero total de datos. Solo esaplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.

Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datostanto poblacionales como mustrales, sin agruparlos o agrupndolos en tablas

de frecuencias. Esta apreciacin nos sugiere dos formas de representar lamedia aritmtica.

Media aritmtica para datos no agrupados:

Observe que la variacin de ambas frmulas radica en el tamao de losdatos (N identifica el tamao de la poblacin, mientras que n el de lamuestra).

POBLACION MUESTRA

Media aritmtica para datos agrupados:

Cuando los datos se agrupan en tablas tipo A, la media aritmtica esigual a la divisin de la sumatoria del producto de las clases por lafrecuencia sobre el nmero de dato.La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase (i = 1) hasta el

ltimo (Nc), siendo Xi la clase del intervalo i.


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Las Tablas Tipo A se caracterizan por manejar un conjunto pequeo deposibles resultados de una variable dentro de la muestra o poblacin.Por lo general, su uso tiende al manejo de datos cualitativos o variablescuantitativas discretas.

POBLACION MUESTRA

Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias tipo B, el clculode la media vara un poco, ya que existe una prdida de informacin enel momento en que se trabaja con intervalos de frecuencia y no con losdatos directamente (los datos se agrupan por intervalo, desconociendoel valor exacto de cada uno de ellos).

Las marcas de clases (Mc) cumple la funcin de representar losintervalos de clase.

POBLACION MUESTRA

LA MEDIANA

Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad dedatos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.

La definicin de geomtrica se refiere al punto que divide en dos partes a unsegmento. Por ejemplo, la mediana del segmentoes el punto C.

Existen entonces dos segmentos iguales:

AC = CB

Formula:


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LA MODAIndica el valor que ms se repite, o la clase que posee mayor frecuencia. En elcaso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe unconjunto de datos bimodal.

Frmula para determinar la moda para tablas de frecuencia.

Donde equivale al lmite superior del intervalo anterior donde se encuentrala Moda.

MEDIDAS DE DISPERSIN

Las medidas de dispersin permiten reconocer que tanto se dispersan losdatos alrededor de un punto central; es decir, nos indican cuanto se dispersano separan las observaciones alrededor de su valor central. Este tipo demedidas son parmetros informativos que nos permiten conocer como losvalores de los datos se reparten a travs de eje X, mediante un valor numricoque representa el promedio de dispersin de los datos. Las medidas dedispersin ms importantes y las ms utilizadas son la Varianza y la Desviacinestndar.

DESVIACIN ESTNDAR

Poblacin

Es la desviacin estndar de la variable de inters tomada del total de la

poblacin de tamao N.

Muestral


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Es la medida de variabilidad de un conjunto de n datos que se obtiene al

promediar las desviaciones individuales de cada dato.

VARIANZA(S2): Es el cuadrado de la desviacin estndar.

2.2TEORIA DE LA PROBABILIDAD:

Leyes de probabi l idad

Definicin de trminos utilizados Probabilidad de que ocurra por lo menos uno de los dos eventos o,lo que es lo mismo, de que ocurra A o B, o ambos simultneamente.

Eventos m utuamente exc luyentes:

A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrirsimultneamente, o sea que no existen puntos muestrales que pertenezcan

simultneamente a ambos.

Eventos Independientes:

A y B son dos eventos independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia deuno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

En estos casos,

S


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Espacio muestral finito con n puntos equiprobables

Espacio muestral finito con eventos mutuamente excluyentes

Teorema de la Adic in:

Si aplicamos la definicin bsica de probabilidad para el caso de experimentosequiprobables, tenemos que:

En el caso de eventos mutuamente excluyentes,

Y se tiene que:

Teorema de la mult ipl icacin:

Se puede explicar esta relacin aplicando la definicin de probabilidad alevento

as:

S


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El nmero de puntos en corresponde a aquellos que estnsimultneamente en B y en A, o sea:

, porque el evento expresa que A ya

ocurri.

El nmero total de puntos muestrales, que se utiliza como denominador en laanterior expresin, es el nmero de puntos que corresponden al evento A,, el cual se constituye como nuevo universo o espacio muestral por lacondicionalidad expresada de que A ya ocurri.

Ahora,

Y se obtiene que: Si se intercambia el orden de los eventos, se llega tambin a esta otraexpresin del teorema de multiplicacin:

Si A y B son eventos independientes, entonces:

Formula de B ayes:Esta frmula nos permite hallar probabilidades de causa de un resultadoexperimental que ya se ha observado.

Si se supone que un evento A puede ocurrir como consecuencia de k causasdiferentes: H1 , H2,,Hi, , Hk, mutuamente excluyentes.

Se desea hallar una expresin para la probabilidad de que la causa H i , haya

originado el evento A, al cual ya se ha observado al realizar el evento:

El numerador de expresin anterior se obtiene mediante la aplicacin delteorema de multiplicacin.

El denominador es una aplicacin del teorema de adicin, ya que el evento Apuede ocurrir conjuntamente con H1, o con H2, o con Hk.

Por lo tanto, la frmula de Bayes de expresa as:


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2.3VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es una funcin que asigna un numero real a cadaresultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio1.Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultadosdel espacio muestral, y X es una funcin definida sobre el espacio muestral, demanera que transforme todos los posibles resultados del espacio muestral encantidades numricas2.

Variable Aleatoria Discreta:aquella tal que la cantidad de valores posiblesquepuede tomar es finita, o infinita pero numerable. En otras palabras, aquella

cuyosvalores posibles son todos puntos aislados del conjunto de valoresposibles. Dichoincluso de una tercera forma: aquella tal que si tomamos doscualesquiera de susvalores posibles, hay entre ellos una cantidad finita devalores posibles.Variable Aleatoria Continua: aquella tal que lacantidad de valores posibles esinfinita y no numerable. Se dice que una variable aleatoria X es continua si susvalores consisten en uno o ms intervalos de la recta de los reales.

2.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADLa distribucin de probabilidad o distribucin de una variable aleatoria X es unadescripcin del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con laprobabilidad asociada a cada uno de estos valores.Estas son modelosmatemticos que relacionan el valor de una variable aleatoria con laprobabilidad que tiene ese valor de ocurrir en una poblacin.Hay dos tipos de distribuciones de probabilidad:

1. Distribuciones Discretas: Se utilizan cuando el parmetro que se estmidiendo slo puede asumir ciertos valores dentro de un intervalo.

2. Distribuciones Continuas:Se utilizan cuando la variable que se est

midiendo se expresa en escala continua (variable aleatoria continua)

2.4.1 DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES

Varias distribuciones de probabilidad discretas se presentan con frecuencia enel control estadstico de calidad, entre estas tenemos:

1 MONTGOMERY, Douglas. Probabilidad y Estadstica aplicada a la Ingeniera, 2 Edicin.

Mxico D.F: Limusa. 2005. Pg. 100.2 CANAVOS, George. Probabilidad y Estadstica, Aplicaciones y mtodos. Mxico D.F: McGrawHill. 1998. Pg. 53.


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Distribucin UniformeEs la ms simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta pues lavariable aleatoria discreta X puede tomar una cantidad finita de n valores X1,X2, X3,, Xn, cada uno de estos con una probabilidad idntica 1/n, es decir, conprobabilidad uniforme.La distribucin de probabilidad o funcin de masa de esta variable aleatoria es:

Su media y varianza son:

Ejemplo: Cuando se lanza un dado de seis caras, la funcin de masa de lavariable aleatoria es:

La media y varianza son:

Distribucin Binomial3

Un experimento aleatorio que consta de n ensayos repetidos, tales que:1) Los ensayos son independientes, es decir el resultado de cada ensayo

no depende del resultado de ensayos anteriores.2) Cada ensayo produce nicamente dos resultados posibles, etiquetados

como xito y fracaso.3) La probabilidad de un xito en cada ensayo, denotada como p,

permanece constante.Se llama experimento Binomial.La variable aleatoria Xque es igual al nmero de ensayos nque producen un

xito tiene una distribucin binomial con parmetrospy n= 1, 2,La funcin de masa de probabilidad deXes: ./ Su media y varianza son: Donde:p = Probabilidad de xito.1 - p = Probabilidad de fracaso

3Sntes is to mad a de: MONTGOMERY, Dou glas , Prob abilid ad y es tadstic a aplic adas a la ing eniera, Segund aedi ci n, Mxi co D.F: Limu sa, c 2005.Par te fi nal del Captu lo 3 y Cap tu lo 4, Pgi nas 91-136.


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x= Nmero de xitos deseadosn = Nmero de ensayos efectuados

Para indicar que una variable X es una binomial de parmetros n y p, seescribirX

B(n,p).

Ejemplo:Se tiene una lnea de produccin de cilindros para gas natural vehicular. Sesabe que la probabilidad de que un cilindro sea defectuoso es de 0,02.Adicionalmente para el jefe de produccin es conocido que el primer cilindroque se fabrica al dia es defectuoso debido a la calibracin de la maquinaria.Encuentre la probabilidad de obtener ms de dos cilindros defectuosos en losprimeros dos cilindros que se fabrican en un da.R/.

./

./

, - ./ ./ ,-

Distribucin GeomtricaSi en una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidadconstante de xitop, sea la variable aleatoria X el nmero de ensayos hasta la

obtencin del primer xito. Entonces X tiene una distribucin geomtrica conparmetrop y Si X es una variable aleatoria geomtrica con parmetros p, entonces la mediay la varianza de X son: Distribucin Binomial NegativaSea un escenario binomial en que se observa una secuencia de ensayos

independientes, la probabilidad de xito en cada ensayo es constante e igual ap. en lugar de fijar el numero de ensayos en n y observar el numero de xitos,


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supngase que se continan los ensayos hasta que han ocurrido exactamenter xitos. En este caso la variable aleatoria es el nmero de ensayos necesariospara observar r xitos. Esta situacin lleva a los que se conoce comodistribucin binomial negativa con parmetros p y r = 1,2,3,.p = probabilidad de xito.1-p = probabilidad de fracaso. . / Si X es una variable aleatoria binomial negativa con parmetros p y r, entoncesla media y la varianza de X son: Distribucin HipergeomtricaSe emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado nmero de

xitos en un espacio muestral de n ensayos; pero que a diferencia de ladistribucin binomial, aqu los ensayos no son independientes, dados que lasmuestras se extraen sin reemplazo en una poblacin finita; por esto es que elresultado de una observacin es afectado por el resultado de observacionesanteriores.Un conjunto de N objetos contiene

Kobjetos clasificados como xitosN-Kobjetos clasificados como fracasos

Se selecciona una muestra con tamao de n objetos, al azar (sin reemplazo) de

entre los Nobjetos, donde y Sea que la variable aleatoria X denote el nmero de xitos en la muestra.Entonces X tiene una distribucin hipergeomtrica, con:

. / . /./ Si X es una variable aleatoria hipergeomtrica con parmetros N, K y n,entonces la media y la varianza de X son:

. /Ejemplo:Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubera local y 200 unidadesde un proveedor de tuberas del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezasal azar y sin reemplazo Cul es la probabilidad de que todas sean delproveedor local?Sea X igual al nmero al nmero de piezas de la muestra del proveedor local.Entonces, X tiene una distribucin hipergeomtrica y la probabilidad pedida esP(X=4). Por consiguiente:


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. / . /. / Cul es la probabilidad de que dos o ms piezas de la muestra sean del

proveedor local?

. / . /. / . / . /. /

. / . /. / Cul es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea delproveedor local?

. / . /

.

/

Distribucin de PoissonSiempre que la probabilidad que se produzca un suceso determinado sea muypequea en cualquier instancia especfica, pero a la vez, el nmero deinstancias posibles sea enormemente grande, la distribucin de los sucesos serealiza mediante la distribucin de Poisson.Dado un intervalo de nmeros reales, suponga que el conteo de ocurrencias esaleatorio en dicho intervalo. Si puede hacerse la particin del intervalo ensubintervalos con una longitud suficientemente pequea tales que

1) La probabilidad de ms de una ocurrencia en un subintervalo es cero.2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma paratodos los subintervalos y proporcional a la longitud del subintervalo.

3) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente de losdems subintervalos.

Entonces el experimento aleatorio se denomina proceso de Poisson.Si el nmero promedio de ocurrencias en el intervalo es la variablealeatoria X, que es igual al nmero de ocurrencias en el intervalo, tiene una

distribucin de Poisson con parmetro, y la funcin de masa de probabilidadde X es

Si X es una variable aleatoria de Poisson con parmetro entonces la media yla varianza de X son: Ejemplo:La contaminacin constituye un problema en la fabricacin de discos dealmacenamiento ptico. El nmero de partculas de contaminacin que ocurreen un disco ptico tiene una distribucin de Poisson y el nmero promedio de

partculas por centmetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El rea de un


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disco bajo estudio es 100 cm2. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12partculas en el rea del disco bajo estudio.Sea que X denote el nmero de partculas en el rea de un disco bajo estudio.Puesto que el nmero promedio de partculas es 0.1 partculas por cm2.Por lo tanto,

2.4.2 DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCIN NORMAL4El modelo de uso ms generalizado para la distribucin de una variablealeatoria continua es la distribucin normal. Siempre que se hace la repeticin

de un experimento aleatorio, la variable aleatoria que es igual al resultadopromedio (o total) de las repeticiones tiende a tener una distribucin normal,cuando el nmero de repeticiones es grande. Una distribucin Normal tambinse conoce como distribucin de Gauss o Gaussiana.Una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad

Tiene una distribucin normal con parmetros , donde y .Adems

Para graficar la funcin de densidad de probabilidad de una distribucin normal,en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el reabajo la curva delimitada por esas lneas indica la probabilidad de que la variablede inters X, tome un valor cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curvaalcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" seextienden asintticamente hacia los ejes, cuando una variable siga unadistribucin normal, ser mucho ms probable observar un dato cercano alvalor medio que uno que se encuentre muy alejado de ste.

4Tomado de: MONTGOMERY, Doug las, Prob abil idad y es tadstica aplicadas a la in gen iera,

Segu nd a ed icin , Mxic o D.F: L im us a, c 2005.Pg. 157-171


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Grfica de la Distribucin de Probabilidad Normal

A una variable aleatoria normal con y se le llama variable aleatorianormal estndar. Una variable aleatoria normal estndar se denota como Z.La funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria normal estndarse denota como

Existen un sinnmero de distribuciones de probabilidad normal, cada una delas distribuciones puede tener una media () o una desviacin estndar distinta(). Por tanto, el nmero de distribuciones normales es ilimitado y sera

imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinacin de y .

Para resolver este problema todas las distribuciones de probabilidad normalesse relacionan algebraicamente a una distribucin normal estndar, haciendoantes una transformacin simple.Primero, convertiremos la distribucin real en una distribucin normal estndar

utilizando un estadstico Z, as: Es una variable aleatoria normal con . Es decir, Z, es unavariable aleatoria normal estndar.De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X yla media aritmtica, en las unidades de la desviacin estndar. Al determinar elvalor Z utilizando la expresin anterior, es posible encontrar el rea deprobabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribucinnormal estndar en las tablas correspondientes (Tabla normal estndar-Anexos), dicha tabla proporciona la probabilidad de que la variable aleatorianormal estndar Z tome un valor situado a la izquierda de un nmero z, P(Z


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Lo que implica que el 0.25% de los resistores tienen una resistenciainferior a 16 ohmios.

b) Qu porcentaje de resistores tendrn una resistencia superior a 35ohmios?

Por lo tanto, el 0.09% de los resistores tienen una resistencia superior a35 ohmios.

c) Qu porcentaje de resistores tendrn una resistencia entre 20 y 32ohmios?

Por lo tanto, el 92.6% de los resistores tiene una resistencia entre 20 y32 ohmios.

d) Por encima de qu valor est el 10% de los resistores con mayorresistencia?

2.4.3 ALGUNAS APROXIMACIONES TILESEn ciertos problemas de control de calidad, a veces es til aproximar unadistribucin de probabilidad con otra. Esto es particularmente til en situacionesen las que la manipulacin analtica de la distribucin original es difcil. Acontinuacin se presentan tres de estas aproximaciones:

Aproximacin 1:De Hipergeomtrica a Binomial.Siempre que el tamao de la muestra (n), es excesivamente pequeo conrelacin al tamao de la poblacin (N), la distribucin hipergeomtrica puedeser aproximada por la funcin de probabilidad binomial, en la que el parmetro .Aunque en trminos estrictos, la aproximacin solo puede usarse cuando n esextremadamente pequeo con relacin a N, en la prctica se puede se puedeaplicar esta aproximacin siempre que N sea 10 veces mayor que n.


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Esta aproximacin es til en el diseo de planes de muestreo de aceptacin.Recurdese que la distribucin hipergeomtrica es el modelo apropiado para elnmero de artculos disconformes obtenidos en una muestra aleatoria de artculos de un lote de tamao finito

. Por tanto, si el tamao de la muestra

es pequeo en comparacin con el tamao del lote , puede emplearse laaproximacin binomial, con lo cual por lo general se simplificanconsiderablemente los clculos. Como un ejemplo, suponer que un lote deproduccin de 200 unidades contiene 5 unidades que no cumplen con lasespecificaciones. La probabilidad de que una muestra aleatoria de 10 unidadesno contenga ningn artculo disconforme es, por la funcin de distribucinhipergeomtrica:

./ . /

. /

Obsrvese que como es relativamente pequeo, podra usarsela aproximacin binomial con n=10 para calcular a partir dela funcin de distribucin binomial:

./ Aproximacin 2: De Binomial a Poisson

Cuando el parmetro p es muy pequeo (tiende a cero) y n tiende a infinito esun nmero pequeo, la funcin de probabilidad binomial puede ser aproximadapor medio de la funcin de probabilidad de Poisson, donde el parmetro =np(constante). La aproximacin generalmente es buena para grande y si , aunque pueden utilizarse otros criterios; entre ms grande sea el valorde y menor sea el valor de , mejor ser la aproximacin.Aproximacin 3: De Binomial a NormalSiempre que el parmetro p sea aproximadamente igual a 0,5, la funcin deprobabilidad binomial puede sr aproximada por medio de la funcin deprobabilidad normal, donde los parmetros y son iguales a y ,respectivamente.

2.5 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI-CUADRADA

La prueba de bondad de ajuste es una prueba de hiptesis que se realiza confrecuencia cuando no se conoce la distribucin fundamental de la poblacin yse quiere probar la hiptesis de que una distribucin particular ser satisfactoriacomo modelo de la poblacin.


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Un procedimiento formal para probar la bondad de ajuste es el basado en ladistribucin ji-cuadrada. Este procedimiento requiere una muestra aleatoria detamao n de la poblacin cuya distribucin de probabilidad es desconocida.

Suponer que las observaciones de la muestra estn agrupadas en k clases,

siendo la cantidad de observaciones en cada clase Con el modelo de distribucinespecificado se puede calcular la probabilidadque un dato cualquiera pertenezca a una clase .Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada para la clase , es decir, la cantidad de datos que segn el modeloespecificado deberan estar incluidos en la clase : Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i: Frecuencia observada (corresponde a los datos de la muestra): Frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto)Estadstico para la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrado es:

Distribucin Ji-cuadrado con grados de libertadDonde p es la cantidad de parmetros de la distribucin hipottica, estimadospor los estadsticos mustrales. Esta aproximacin mejora conforme nincrementa.

Es una condicin necesaria para aplicar esta prueba que Formalmente, se est interesado en probar las hiptesis siguientes:

Dado un valor de (error deseado tipo I), aceptamos si y aceptamos si.


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Ejemplo 1 distribucin exponencial:

Se han observado los tiempos (en minutos) de llegadas de vehculos al peajede Tasajera en la ruta Santa Marta-Barranquilla, estos tiempos se muestran acontinuacin:

tiempo observado de llegadas total

0,72 0,01 0,07 0,11 0,36

0,73 0,03 0,08 0,19 0,46

0,93 0,04 0,1 0,22 0,51

1,17 0,04 0,1 0,27 0,54

1,5 0,05 0,11 0,29 0,56

suma 5,05 0,17 0,46 1,08 2,43 9,19

Dado que fueron 25 observaciones entonces se puede obtener el promedio devehculos que llegan por minutos

Se pretendo probar si:

Se prueba si los datos son consistentes o no con una variable aleatoria

exponencial (A) cuya densidad es


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Luego se escoge el numero de categoras que es la paraeste caso es

y la probabilidad es

o sea

. Esto da como valor esperado

para cada categora.Para establecer los lmites de cada categora es necesario determinar lafuncin acumulada , para A.

Luego:

Donde

;

;

,

Como , entonces cualquier nmero p, el valor t que satisface se podra determinar como sigue: luego despejando t se obtiene:

Por lo tanto las categoras son las siguientes:


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Despus de clasificar los datos en estas categoras, observamos que , mediante la construccin de las categoras , enseguida calculamos:

El de la tabla es 7,81Por lo tanto para un error tipo 1 de 0.05 se acepta la hiptesis nula,concluyendo que los datos provienen de una distribucin exponencial.

Ejemplo 2, distribucin normal:

En la siguiente tabla se muestra los datos que representa el dimetro de los

agujeros realizados por un taladro sobre la base giratoria de una gra. Sedesea saber si los datos presentan una distribucin normal lo cual certifica queel taladro est trabajando en buena condicin.

Datos del dimetro de los agujeros X promedio sigma

16 16 16,2 16,2 15,5 15,98 0,28635642

16 16,2 15,6 16 16,2 16 0,24494897

15,8 16,2 15,9 15,8 16,2 15,98 0,20493902

15,7 15,6 16,2 16,1 16,5 16,02 0,37013511

16,2 15,7 16,3 15,7 16,1 16 0,28284271

15,9 16 15,9 15,8 16,1 15,94 0,11401754

15,3 16,3 15,8 15,9 15,6 15,78 0,37013511

15,6 16,1 16,3 15,7 16 15,94 0,28809721

15,9 15,9 15,8 15,8 16 15,88 0,083666

16,1 15,8 16,2 16,2 16,1 16,08 0,16431677

16 16,3 15,6 16,4 15,9 16,04 0,32093613

15,7 15,9 15,9 15,7 15,6 15,76 0,13416408

15,9 16,2 16,1 16,1 16 16,06 0,11401754

15,6 16,4 16,2 15,9 15,7 15,96 0,33615473

15,8 15,6 16,1 15,8 15,6 15,78 0,20493902

16 15,7 15,9 15,8 15,9 15,86 0,11401754


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16,1 16 15,7 15,7 16,2 15,94 0,23021729

16 15,5 16,1 16,2 16,2 16 0,29154759

16 15,6 16,1 15,9 16 15,92 0,19235384

16,4 16,7 15,9 15,6 16,2 16,16 0,42778499

15,954 0,23877938

Pasos:

1. Planteamos las hiptesis

2. Se halla el numero de intervalos de clase ky la longitud del intervalo h

3. Se verifica cuantos datos caen el intervalo, as como lo muestra lasiguiente tabla:

k intervalos de clase frecuenciaINF SUP

1 15,3 15,475 1

2 15,475 15,65 13

3 15,65 15,825 20

4 15,825 16 29

5 16 16,175 26

6 16,175 16,35 20

7 16,35 16,525 4

8 16,525 16,7 1

4. Luego se halla la probabilidad para cada intervalo


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As sucesivamente, los datos se muestran en la tabla siguiente:

k intervalos de clase Z acumulado probabilidad

INF SUP P(Z


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k intervalos de clase frecuencia esperada

INF SUP

1 15,3 15,475 1 2

2 15,475 15,65 13 8

3 15,65 15,825 20 19

4 15,825 16 29 28

5 16 16,175 26 25

6 16,175 16,35 20 13

7 16,35 16,525 4 4

8 16,525 16,7 1 1suma 100

Debido que es una condicin necesaria que , entonces los datosobservados del intervalo 1 se le suma al intervalo 2, de la misma manera 6, 7 y8 se suman y luego se le aplica el estadstico de la chi cuadrada.

k intervalos de clase observada esperada prueba chi

INF SUP

1 15,3 15,65 14 10 1,6

2 15,65 15,825 20 19 0,05263158

3 15,825 16 29 28 0,03571429

4 16 16,175 26 25 0,04

5 16,175 16,7 25 18 2,72222222

chi calculado 4,45056809

O sea:

Chi de la tabla: Por lo tanto como el estadstico observado es menor que el estadstico de latabla ( ), se acepta la hiptesisnula


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2.5 HERRAMIENTAS ESTADISTICAS BSICAS PARA EL CONTROL

DE LA CALIDAD:

Existen siete herramientas principales que apoyan el efectivo desarrollo delControl Estadstico de Procesos, estas facilitan la identificacin de las

oportunidades de mejora, as como tambin a reducir la variabilidad delproceso y por consiguiente a la reduccin de los desperdicios. Lasherramientas bsicas se enlistan a continuacin proporcionan a cualquierorganizacin los medios para recolectar, presentar y analizar la mayor parte desus datos:

1) El Histograma.2) Diagrama de Pareto.3) Diagrama de Causa-Efecto o de Ishikawa.4) Diagrama de Dispersin.5) Hoja de Verificacin.6) Diagrama de concentracin de defectos.7) Cartas de control.

2.5.1 Histograma:

En muchos casos, si los datos han sido tomados de forma correcta, se puedeobtener conclusiones a partir de los mismos de forma inmediata; pero si no esas, con frecuencia puede ser necesaria una adecuada representacin grficade los mismos. El histograma es una representacin grfica de los datos en la

que se puede observar:1) Forma.

Simtrica Asimtrica: sesgada a la derecha y sesgada a la izquierda Multimodal: bimodal (2 picos), trimodal (3 picos), etc. En peine: puntos anormales no definidos. Plana: tendiendo a ser una distribucin uniforme. Sin distribucin definida.

2) Localizacin o tendencia central.

Si el histograma no es simtrico, entonces los datos no estncentralizados. Se debe comparar la media muestral con el valornominal para darnos cuenta si se pueden cumplir con lasespecificaciones.

3) Dispersin o expansin.

Cuando la variabilidad de un proceso es muy amplia, se puedenpresentar un nmero de defectos, es decir, el no cumplimiento


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con las especificaciones. Para saber si esto ocurrir, se hace elestudio de capacidad de los procesos.

Para la construccin de un histograma es aconsejable seguir los siguientespasos:

1) Colocar los datos a representar en filas de aproximadamente dieznmeros.

2) Identificar y sealar el mximo y el mnimo de cada fila.3) A partir del mximo y el mnimo de cada fila, localizar el mximo y el

mnimo global.4) Calcular el Rango de los datos.

5) Seleccionar un nmero de intervalos que se ajuste al nmero de datosobtenidos, para lo cual se recomienda usar la siguiente tabla:

Nmero de Datos Nmero de Intervalos250

5-76-107-1210-20

O haciendo 6) Determine la amplitud de los intervalos: y redondear el valorobtenido a un mltiplo exacto de la precisin de los datos.

7) Fijar los lmites de los intervalos (marca de clase). Se recomienda fijar elvalor del extremo mnimo la mitad de la amplitud.

8) Rellenar la tabla de frecuencias, indicando el nmero de veces queaparecen datos dentro de cada uno de los intervalos definidos.

Intervalos Frecuenciade losdatos porintervalo

() (Marcade clase)

1 A -2 -2A 4A2 2

B -1 -B B2 -3 - C 0 0 0 -4 - D 1 D D -5 E 2 2E 4E -


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N = nmerode datos =

(

Cabe anotar que en Ui, si se tiene un k par, toma el valor de cero en el intervalode mayor frecuencia.

9) Construir el histograma.10) Adems se puede calcular la media y la varianza de los datos, utilizando

las siguientes frmulas:Para la media: Para la varianza:

Donde es el promedio de las marcas de clase. /.Y los valores de y se obtiene haciendo:

2.5.2 DIAGRAMA DE PARETO:

Existen muchos aspectos de cualquier actividad industrial y no industrialsusceptibles de mejoras. En algunos casos, la mejora es obligada, pero elproblema a abordar es de tal envergadura que parece imposible de resolver.

En este sentido el Diagrama de Pareto es de mucha utilidad, ste pone enmanifiesto que cuando se analizan las causas de un problema, en realidad sonalgunas pocas las responsables de su mayor parte. A estas pocas se les llama

causas fundamentales y al resto, que son muchas pero ocasionan unapequea parte del problema se les denomina causas triviales. Todo el esfuerzodebe concentrarse en la eliminacin de las causas fundamentales, ignorandoen principio las triviales, que ya sern atacadas en el futuro. En este orden deideas, el Diagrama de Pareto puede aplicarse a situaciones muy distintas conel fin de establecer las prioridades de mejora y siempre refleja el mismoprincipio de pocas fundamentales y muchas triviales o dicho de otra manera el20% de las causas ocasionan el 80% del problema.

Para la construccin de un Diagrama de Pareto se pueden seguir los siguientespasos:


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1) Plantear con exactitud el problema a investigar, qu datos sernnecesarios, cmo recogerlo y durante qu periodo.

2) Tabular los datos recogidos, para facilitar enumerar la frecuencia decada causa.

3) Ordenar las cusas de mayor a menor importancia, situando las trivialesal final.

4) Iniciar la realizacin del diagrama dibujando los ejes. Se coloca un ejehorizontal dividido en tantas partes como causas y dos ejes verticales. Eleje de la izquierda se marca desde 0 hasta el total ocurrencias de lascausas y en el eje de la derecha se colocan los porcentajes marcndosede 0 a 100%.

5) Construir el diagrama de barras. La altura de cada barra decorresponder al nmero de observaciones correspondiente a cadacausa, de acuerdo con la variacin del eje de la izquierda.

6) Graficar el porcentaje acumulado, el cual se obtiene as:

CausaNm. de veces

que se presentala causa

FrecuenciaAcumulada Porcentaje

Porcentajeacumulado

A 104 104 52 52B 42 146 21 73

C 20 166 10 83D 10 176 5 88E 6 182 3 91F 4 186 2 93

Otras 14 200 7 100Total 200 100

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

A B C D E F Otras

DIAGRAMA DE PARET0


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2.5.3 DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO

En muchas ocasiones cuando se presenta un problema, se confunde su

resolucin con la eliminacin de los efectos que produce y esto puede traerconsigo malas consecuencias.

Kaoru Ishikawa, en su libro Qu es el control total de calidad?, relata un casode su propia experiencia. Explica que cierto dispositivo iba unido a unamquina por medio de cuatro pernos, el perno 1 se rompa con frecuencia porlo que se decidi sustituirlo por otro de mayor dimetro. A partir del cambio nose volvi a partir el perno 1, pero el perno 2 se empez a romper, ante la nuevasituacin se decidi que los cuatro pernos deban ser ms grandes y seprocedi al cambio. Con estas medidas ya no se volvi a romper ningn perno,

pero empezaron a aparecer fracturas en la placa de hierro en la que estabasituado el dispositivo, por tal motivo se procede a cambiar la placa de hierro porotra ms gruesa. Posteriormente con la realizacin de un estudio profundo sepuso en manifiesto que una vibracin que llegaba al dispositivo era lo queocasionaba los fenmenos de ruptura y que si no se eliminaba terminararompiendo la nueva placa metlica o inutilizando el dispositivo por gravesconsecuencias.

En este caso lo que se estaba haciendo era intentar evitar el efecto delproblema, pero sin eliminar su causa y si la causa permanece el efecto vuelve

a manifestarse de forma an ms perjudicial.

Por tal razn, para solucionar un problema deben estudiarse sus causas yeliminarlas, en el caso que planteaba Ishikawa la causa era la vibracin,aunque tambin debera haberse investigado el origen de la misma.

Para saber cules son las posibles causas que hay detrs de un efecto esconveniente construir un diagrama de causa-efecto, para lo cual se sugiereseguir los siguientes pasos:

1) Determinar e identificar claramente cul es el efecto (el problema, lacaracterstica de calidad, etc.) a estudiar.

2) Realizar una lista de posibles causas.3) Construir el diagrama teniendo en cuenta que en este diagrama

presentan de forma jerarquizada y agrupada grandes gruposdenominados causas primarias, las cuales suelen ser: mano de obra,maquinaria, materiales, mtodos, medio ambiente y mantenimiento(conocidas como las seis M); cada causa primaria est integrada porvarias secundarias, esta por terciarias y as sucesivamente, tal como semuestra en la siguiente figura.


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2.5.4 DIAGRAMA DE DISPERSIN:

Un Diagrama de Dispersin es la forma ms sencilla de definir si existe o nouna relacin causa efecto entre dos variables y que tan firme es esta relacin,

El Diagrama de Dispersin es de gran utilidad para la solucin de problemas dela calidad en un proceso y producto, ya que nos sirve para comprobar quecausas (factores) estn influyendo o perturbando la dispersin de unacaracterstica de calidad determinada o variable del proceso a controlar.

Los motivos ms comunes de este tipo de diagrama son analizar:

La relacin entre una causa y un efecto. La relacin entre una causa y otra. La relacin entre una causa y otras dos causas. Un efecto y otro efecto.

La construccin de un diagrama de dispersin puede realizarse de la siguientemanera:

1) Reunir pares de datos de las variables cuya relacin se desea investigar.Con menos de 30 pares es difcil sacar conclusiones, 50 suele sersuficiente.

2) Trazar los ejes. Decidir las escalas de forma que ambos ejes tenganaproximadamente la misma longitud. Si una variable es una

caracterstica de calidad y la otra un factor (de diseo o de produccin),se sita la primera en el eje vertical.


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3) Situar los puntos en el grfico. Si dos o ms puntos coinciden, se sealamarcando crculos concntricos.

4) Incorporar toda la informacin pertinente que ayude a interpretar el

grfico (ttulo del diagrama, nmero de pares de datos, ttulo y unidadesde cada eje, etc.).

Los diagramas de dispersin pueden presentar distintos aspectos segn eltipo de relacin que exista entre las variables a continuacin se representandiversos tipos de diagramas que aparecer.


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2.5.5 CARTA DE VERIFICACIN:

Es comn que con frecuencia sea necesario colectar datos de operacin, seanhistricos o actuales, acerca del proceso bajo investigacin, una hoja deverificacin puede ser de gran utilidad en esta actividad. En esta se resumeinformacin en funcin del tiempo, lo cual es particularmente valioso parabuscar tendencias y otros patrones importantes. Por ejemplo, si muchosdefectos ocurren durante el verano, una posible causa que deba investigar esla contratacin de obreros eventuales durante un periodo vacacional.

Cuando se disea una hoja de verificacin, es importante especificarclaramente el tipo de datos que van obtenerse, el nmero de parte u operacin,la fecha, el analista y cualquier otra informacin til para diagnosticar la causadel desempeo pobre. Si la hoja de verificacin es la base para realizarclculos adicionales, o si se usa como hoja de trabajo para capturar datos en

una computadora, entonces es importante asegurarse de que la hoja deverificacin adecuada para este propsito antes de que se inviertan esfuerzosconsiderables en la obtencin real de los datos.

HOJA DE VERIFICACIN

DATOS DE DEFECTOS DE 1988-1989 A LA FECHA

N de parte TAX

Lugar Bellevue

Fecha de estudio 06/05/1989

Analista TCB 1088 1989

Defecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 Total

Partes Daadas 1 3 1 2 1 10 3 2 2 7 2 34

Problemas de Maquinado 3 3 1 8 3 8 3 29


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Partes Suministradas Oxidadas 1 1 2 9 13

Obturacin Insuficiente 3 6 4 3 1 17

Soldadura desalineada 2 2

Procesamiento fuera de orden 2 2 4

Remisin de la parte incorrecta 1 2 3

Estructura aerodinmica no

determinada

3 3

Falla de adherencia 1 1 2 1 1 6

Alodino en polvo 1 1

Pintura fuera de los lmites 1 1 2

Pintura daada por corrosin 1 1

Pelcula sobre las partes 3 1 1 5

Latas de pintura tapa poros daada 1 1

Vacos en piezas fundidas 1 1 2

Compuesto deslaminado 2 2

Dimensiones incorrectas 13 7 13 1 1 1 36

Procedimiento de prueba inadecuado 1 1

Falla de roci de sal 4 4

4 5 14 12 5 9 9 6 10 14 20 7 29 7 7 6 2 166

2.5.6 DIAGRAMA DE CONCENTRACIN DE DEFECTOS

Un diagrama de concentracin de defectos es un dibujo de la unidad, donde semuestran todas las vistas relevantes, se marcan en el dibujo los diferentes tiposde defectos, y el finalmente se analiza para determinar si la localizacin de los

defectos en la unidad transmite cualquier informacin til sobre las causaspotenciales de los defectos.

Cuando los datos de los defectos se representan en un diagrama deconcentracin de defectos para u nmero suficiente de unidades, es comnque surjan patrones y la localizacin de estos patrones suele contener muchainformacin sobre la causa de los defectos.

En la siguiente figura se muestra un diagrama de concentracin de defectos enla etapa de ensamblaje final de un proceso de fabricacin de refrigeradores:

LadoFrent

Parte posterior Lado

Parte Superior


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En este diagrama se puede observar los defectos de terminado superficial quese identifican como las reas sombreadas oscuras en el refrigerados. Alinspeccionar el diagrama parece claro que el manejo de material es el causantede la mayora de estos defectos. La unidad se mueve fijando un cinturn en laparte media y este cinturn est muy flojo(o muy apretado), desgastado, esthecho de un material abrasivo o es demasiado angosto. Adems, cuando launidad se mueve se estn daando las esquinas. Es posible que la fatiga deltrabajador sea un factor en este proceso. De cualquier modo, los mtodos detrabajo apropiados y el manejo mejorado de los materiales probablemente

mejorarn este proceso sustancialmente.

Parte inferior


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CAPACIDAD DEL

PROCESO

Las tcnicas estadsticas pueden ayudar durante el ciclo del producto a reducirla variabilidad y a mejorar la capacidad de los procesos, para cuantificar lavariabilidad del proceso, para analizar esta variabilidad respecto de losrequerimientos o especificaciones del mismo.

3Capitulo


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CAPACIDAD DEL PROCESO

3 ANLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO

El anlisis de la capacidad del proceso es un paso bsico dentro decualquier programa de control de calidad. Su objetivo es tratar de analizarhasta qu punto pueden resultar conformes al proyecto los artculosproducidos mediante un proceso. El objetivo del anlisis de capacidad esdeterminar la variacin natural de un proceso cuando se han minimizado losefectos de todos los factores ajenos y que no contribuyen al mismo.

Adems en la variacin natural, hay dos factores que influyen en lacapacidad del proceso; en primer lugar, las tolerancias y especificacionesdel producto y, en segundo, las mismas tolerancias y especificaciones en lamedida en que afectan a la produccin.

3.1 DEFINICIONES BASICAS

Proceso: ste se refiere a alguna combinacin nica de mquinas,herramientas, mtodos, materiales y personas involucradas en laproduccin.

Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producirproductos dentro de los lmites de especificaciones de calidad.

estado de control: Un proceso se dice que se encuentra bajo control estadstico

si slo se ve afectado por un conjunto de causas aleatorias devariacin Si el proceso se encuentra afectado por causas asignables de

variacin, se dice que est fuera de control Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del

proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado dela medicin del trabajo realizado por el proceso.

Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto queresulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadstico,es decir, en ausencia de causas especiales o atribuibles de variacin.

Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idnticos sinoque presentan cierta variabilidad, cuando el proceso est bajo control,solo actan las causas comunes de variacin en las caractersticas decalidad.

Valor Nominal:Las caractersticas de calidad tienen un valor ideal ptimoque es el que desearamos que tuvieran todas las unidades fabricadaspero que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido ala existencia de la variabilidad natural.


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3.2 CAPACIDAD DEL PROCESO

La capacidad del proceso es la forma en que se compara la variabilidadinherente de un proceso con las especificaciones o requerimientos delproducto. Se utiliza este mtodo estadstico para medir el funcionamiento de un

proceso. Se dice que un proceso est funcionando bajo control estadsticocuando las nicas causas de variacin son causas comunes (naturales). Elproceso debe controlarse estadsticamente detectando y eliminando causasespeciales (imputables) de variacin.

El objetivo de este sistema es proporcionar una seal estadstica cuandoaparezcan causas de variacin imputables, es decir, la deteccin oportuna dela ocurrencia de causas especiales para tomar acciones correctivas antes deque se produzcan unidades defectivas o no conformes, para esto se utilizan las

cartas de control en lnea (Tema que explicaremos en la siguiente unidad),permitiendo tambin la estimacin de la capacidad o habilidad del proceso y lareduccin continua de la variabilidad hasta donde sea posible.

La capacidad del proceso se refiere a la uniformidaddel mismo. Evidentemente,la variabilidad del proceso es una medida de la uniformidad de la salida.

Se acostumbra tomar la dispersin seis sigma en la distribucin de lacaracterstica de la calidad del producto como una medida de la capacidad delproceso. A continuacin se muestra un proceso para el que la caracterstica de

calidad tiene una distribucin normal con media y desviacin estndar . Loslmites de tolerancia natural superior e inferior del proceso son , esdecir:

Para una distribucin normal, los limites de tolerancia natural incluyen el99.73% de la variable o dicho en otros trminos, solo el 0.27% de la salida del

proceso quedara fuera de los limites tolerancia natural. Es necesario recordardos puntos:

El valor 0.27% fuera de las tolerancias naturales suena pequeo, perocorresponde a 3.4 partes por milln disconformes.

Si la distribucin de la salida del proceso no es normal, entonces elporcentaje de la salida que quedara fuera de puede diferirconsiderablemente de 0.27%.

La estimacin de la capacidad del proceso puede estar en la condicin de una

distribucin de probabilidad que tenga una forma, centro (media) y dispersin(desviacin estndar) especificados.


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En el estudio de capacidad del proceso por lo general se miden los parmetrosfuncionales del producto, no el proceso en s. Cuando el analista puedeobservar directamente el proceso y puede controlar y monitorear la coleccinde datos, el estudio es un verdadero estudio de capacidad del proceso, ya queal controlar la coleccin de datos y conocer la secuencia en el tiempo de losdatos, es posible hacer inferencias en la estabilidad del proceso en el tiempo.Por esta razn, para desarrollar un anlisis de capacidad del proceso, esnecesario utilizar los siguientes supuestos, o comprobarlos a travs deherramientas estadsticas:

Los datos obtenidos en el desarrollo de un muestreo se ajustan a unaDistr ibucin Normal.

El proceso se encuentra bajo co ntr ol estadsti co, es decir, es afectado

nicamente por su variabilidad natural.

Entre los usos principales de los datos de un anlisis de capacidad del procesose encuentran los siguientes:

Predecir la medida en que el proceso se apegar a las tolerancias.

Brindar asistencia a los responsables del desarrollo y diseo delproducto para seleccionar o modificar un proceso.

Brindar asistencia para establecer un intervalo entre el muestreo paramonitorear el proceso.

Especificar los requerimientos de diseo para el equipo nuevo. Seleccionar entre proveedores competidores. Planear la secuencia de los procesos de produccin cuando est

presente un interactivo de los procesos sobre las tolerancias. Reducir la variabilidad en un proceso de manufactura.

Por tanto, el anlisis de capacidad del proceso es una tcnica que tieneaplicacin en muchos momentos del ciclo del producto, incluyendo el diseo deproductos y procesos, la fuente de proveedores, la planeacin de la produccin

o la manufactura y la propia manufactura.

En el anlisis de capacidad del proceso se utilizan tres tcnicas principales:histogramas, graficas de probabilidad, cartas de control y experimentosdiseados.

CAUSAS COMUNES Y ESPECIALES DE VARIACION


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Causas Comunes o causas Naturales:La variabilidad natural siempreexiste en cualquier proceso de produccin, no importa que tan biendiseado est. Esta variabilidad natural es denominada causas comuneso aleatorias de variabilidad, es decir:

Inherentes al proceso. Siempre existen.

Esta variacin es el efecto de varias pequeas causas y no puede sertotalmente eliminada.

Cuando la variacin es pequea se dice que el sistema est en estadoestable de causas comunes bajo control estadstico.

Ejemplos:

Variacin de materia prima de un proveedor calificado.

Vibracin de la maquinaria.

Cambios en las condiciones de trabajo.

Causas Asignables o Especiales: Se trata de variaciones en unproceso de produccin que pueden atribuirse a causas especificas, esdecir:

La variabilidad originada por causas asignables es algo para lo cual sepuede determinar una razn.

La magnitud de la variacin en estas circunstancias es mayor que lainfluencia de causas comunes.

Ejemplos:

Uso de herramientas inadecuadas Inadecuada materia prima. Errores de los operadores.

Grafica de especificacin de Proceso

a) Proceso bajo control estadstico b) Proceso Fuera de ControlVariabilidad natural Variabilidad especial

3.3 INDICE DE CAPACIDAD POTENCIALDEL PROCESO


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La capacidad del proceso segn se mide con Cp, se refiere a la variacin en unproceso alrededor del valor promedio y el ndice de Cpk refleja la proximidad dela media actual del proceso al lmite de especificacin superior (LES) o bien, allmite de especificacin inferior (LEI).

Uso e interpretacin del ndice El ndice Cp mide la capacidad potencial, suponiendo que el promedio delproceso es igual al punto medio de los lmites de especificacin y que elproceso est operando bajo control estadstico.

Se puede decir tambin que es una forma cuantitativa simple para expresar lacapacidad del proceso. Su valor est dado a partir de una relacin entre laTolerancia de las especificaciones del proceso, determinadas por peticin del

cliente, y la variabilidad natural del proceso, para este caso seis sigma (). LSE, representa el lmite superior de especificacin y LIEel lmite inferior.

En este orden de ideas, de acuerdo al valor que tome el ndice de capacidad, los procesos pueden clasificarse de la siguiente manera:Valor del

CpClase deproceso Decisin

Cp>1.33 1 Ms que adecuado

1


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Situ acin en la q ue el nd ice es ineficaz3.4 INDICE DE CAPACIDAD REAL DEL PROCESO

Uso e Interpretacin del ndice Este ndice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a lasespecificaciones, en este caso se denomina Cpk, cuando el ndice esineficaz, es decir, cuando no hay coincidencia entre la media del proceso y lamedia de las especificaciones, es necesario el uso de , ndice conocidotambin como capacidad real del proceso. De esta manera, es comn decirque mide la capacidad potencial del proceso, mientras que la capacidadreal.

Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificacin,entonces Cpk= Cp. Entre ms alto sea el valor de Cpk, ms baja ser lacantidad de producto que est fuera del los lmites de especificacinSe evala tomando el mnimo entre los Cps correspondientes a cada lado dela media, como sigue,

A continuacin un ejemplo grafico de dos procesos pueden tener un Cpk iguala uno, pero sin embargo no necesariamente estn centrados respecto a lamedia de las especificaciones como se muestra a continuacin:


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Procesos con Cpk = 1 pero con cent rado d i ferente

Interpretacin de los resultados para el valor de los ndices de capacidad

1. Proceso Capaz y centrado (

)

2. Proceso potencialmente capaz pero descentrado ( )3. Proceso Incapaz y centrado ( )4. Proceso Incapaz y descentrado ( )Cada una de estas situaciones en un proceso productivo es presentada acontinuacin:

Tipos de proc esos en relacin a s u capacidad.

Un supuesto importante subyacente en la discusin de la capacidad delproceso y de los ndices

es que su interpretacin usual se basa en una

distribucin normalde la salida del proceso. Si la distribucin fundamental noes normal, entonces, los enunciados acerca de la porcin cada del procesoatribuido a un valor particular pueden estar equivocados

3.5 Cmo buscar cantidad de productos no conformes?

Dado que el proceso se ajusta a una distribucin normal, la proporcin deproductos no conformes (%PNC), es el porcentaje de productos por cada lmitede la funcin de densidad de probabilidad Normal que rebasa los lmites de

especificacin.

LSELIE LIE LSE Proceso A: CPk=1 Proceso B: CPk=1


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Para el lmite superior:

Luego,

Para el lmite inferior:

Luego, De esta manera, la cantidad total de productos no conformes es la suma de la

proporcin por cada uno de los lmites.

En el momento de hallar, se debe tener en cuenta que si el primer valores mayor que 1, entonces la proporcin de productos no conformes por el lmitesuperior es tan insignificante que no se tiene en cuenta, de igual forma sucedecon el segundo valor pero para el porcentaje de productos no conformes por ellmite inferior.

Para un proceso que genera una proporcin de productos no conformes comoel siguiente, se tienen algunas alternativas:

Reducir la desviacin estndar

LIE LSE

LIE LSE


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Cambiar la media y hacer Centramiento

Lo ideal sera cambiar ambas

3.6 Cmo hacer una recoleccin de datos para hacer un anlisis decapacidad o cualquier estudio estadstico?

Para la recoleccin de los datos se toman k muestras de tamao n, en untiempo determinado por das, horas o minutos, segn los requerimientos delproceso, la media, la desviacin estndar y el recorrido de los datos seobtienen de la siguiente manera:

k n (Para este caso, 4) 1 2 3 41 3,4 5,3 2,1 3,8 3,65 3,2

2 - - - - - -

3 - - - - - -

4 - - - - - -

5 - - - - - - Los valores utilizados para realizar el anlisis de la capacidad del proceso sony .El valor de la desviacin estndarse determina de la siguiente manera:

Donde

es una constante, su valor depende del tamao de la muestra y

puede tomarse de las tablas de constantes para el manejo de la calidad de unproceso, estas tablas se encuentran en la parte final del mdulo (Seccin 7).

LIE LSE

LIE LSE


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Es til la construccin e interpretacin de histogramas para el manejo de este

tema, este procedimiento es explicado en la seccin 2 del mdulo.

A continuacin se dar un ejemplo de un ejercicio de aplicacin de la temtica

tratada.Ejemplo 1:

En cierto proceso de maquinado se ha llevado una grafica sobre eldimetro de cierta parte.

Despus de verificar si el proceso est bajo control estadstico y que los datosse comportan como una distribucin normal, se tienen los siguientes datos.

a) Calcule los ndices Cp y Cpk y haga un anlisis completo de lacapacidad del proceso.

b) Obtenga la proporcin esperada fuera de especificacin unilateral y demanera total.c) Calcular el inciso a) y b) con el proceso centradod) Entre que valores debe oscilar, de tal manera que la fraccin de no

conformes sea a lo sumo de 1% (Ventana de Operacin).

Solucin:

a) ndices de Capacidad

Se obtuvo de la tabla factores para construir cartas de control paravariables.

Como decimos que el proceso no es capaz


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El es menor que 1 entonces est arrojando productos no conformes porel lmite superior.

b) %PNC

El proceso arroja 1,25% de productos no conformes.

Entonces se dice que el proceso no es capaz, no est centrado y arroja 1,25%de productos no conformes.

Para reducir la cantidad de productos no conformes arrojados por el proceso,

incurriendo en el menor costo, lo recomendable es centrar el proceso, es decir,hacer que coincida la media del proceso con el valor nominal. Esta tcnicaresulta ms econmica que la reduccin de la variabilidad, que sera lo ideal,aunque muy costosa, pues requiere un anlisis riguroso de las 6M deproduccin (Maquinaria, Mano de Obra, Mediciones, Medio Ambiente, Mtodosy Materiales).

c)Teniendo en cuenta el ejemplo desarrollado, si cent ramos el proceso, setiene:

Con el proceso centrado el

Pero como se sale por los dos lados por estar centrado %PNC= 0,003*2

=0,006


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%PNC = 0,6%

d) La Ventana de Operacinson los valores entre los que puede oscilar,para arrojar a lo sumo una proporcin de productos no conformes especificada.En este caso esa proporcin de productos es de 1%.

Para produccin no conforme por el lmite superior:

Para produccin no conforme por el lmite inferior:

La ventana de operacin para una produccin de productos no conformes de1% es ,-.Ejemplo 2:

Un proceso productivo tiene un , y est centrado.a) Estime la proporcin de productos no conformesb) Si el proceso esta descentrado a , que valor toman los ndices y


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Solucin

a) Como el proceso est centrado %PNC

Como est centrado est arrojando la misma cantidad de productos noconformes por ambos lados tenemos

b) Si el proceso esta descentrado a

0 1 ,-


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0 1

0 1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Un proceso est bajo control con . Las especificacionesdel proceso son

. El tamao de la muestra es

.

a) Estimar la capacidad potencial.


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b) Estimar la capacidad realc) Cunto podra reducirse la porcin cada del proceso cambiando la

media a la dimensin nominal? Suponer que la caracterstica decalidad tiene una distribucin normal.

2) Una fbrica de herbicidas tiene un reactor donde fabrica un producto, elTx-100.El TX-100 es un ingrediente selectivo que tiene un ingrediente activo elcual al entrar en contacto con la maleza, se libera y la ataca alterando elfenmeno de la fotosntesis. Ello conduce a que la maleza muera y queel cultivo quede libre.Las especificaciones para el ingrediente activo liberable son: 36%6%.Se quiere conocer el patrn estadstico del proceso en el reactor y paratal efecto se han tomado datos de los ltimos 200 lotes de cada uno de

ellos con relacin al % del ingrediente activo liberable y se le hanconstruido los respectivos histogramas. Haga un anlisis estadsticoexhaustivo sobre la capacidad del proceso, para cada uno de losreactores. Se anexa cuadro extrado del histograma.

INTERVALO Fi

[30,6433-31,0382] 1[31,0382-31,4331] 0[31,4331-31,8280] 4

[31,8280-32,2229] 14[32,2229-32,6178] 43[32,6178-33,0127] 51[33,0127-33,4078] 44[33,4078-33,8025] 25[33,8025-34,1974] 14[34,1974-34,5923] 4[34,5923-34,9872] 0

Total 200

Entre que valores puede oscilar de tal manera que la fraccin de noconforme sea a lo sumo 10%?De los lotes no conforme que exceden el lmite superior deespecificacin el 60% de ellos se pueden reprocesar a un costo unitariode 80u.m y quedan aceptables. Los lotes no conforme por el lmiteinferior son reprocesables en un 90% y ocasionan un costo unitarioadicional de 30u.m. el costo de produccin de cada lote es de 300u.m;Cunto cuesta producir un lote conforme?.


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3) Un proceso est bajo control estadstico con parmetros ydesviacin . Las especificaciones son . Entre que valorespuede oscilar de tal manera que la fraccin no conformes sea a losumo 4%. De los artculos no conformes que excedan el lmite de

especificacin superior, el 70% se pueden reprocesar a un costo unitariode 80 u.m. y quedan aceptables. Los artculos no conformes por el lmiteinferior no son reprocesadles y ocasionan un costo unitario de 30u.m. elcosto de produccin de cada artculo es de 250u.m. Cunto cuestaproducir un artculo conforme?

4) Aceros S.A. produce laminas de acero se 3mm de espesor y 1200 mmde ancho, caracterstica que se considera la ms relevante por el clientedebido al uso que se puede dar. Por esta se implementa un programa decontrol con esta caracterstica de calidad con una muestra n=, la carta y

su media es y el promedio de la carta rango . Lasespecificaciones requeridas por la lmina son mm para elancho de las lminas. El costo de produccin de las lminas es11000u.m. por polticas de la empresa por cada lamina que cumpla conlas especificaciones, se obtiene una utilidad del 35% sobre costos deproduccin. Las lminas que no cumplan las especificaciones por ellmite superior perdiendo el 10% del precio de venta de la lmina. Porcada lmina que no cumple por el lmite inferior se obtiene solo unautilidad del 15%. La empresa recibe un pedido de 1000 lminas.

a) Cul es su opinin sobre la capacidad del procesob) Calcular la fraccin productos no conformes del procesoc) Qu debo hacer para reducir la cantidad de productos no conformesd) De acuerdo al numeral anterior calcule el precio de venta promedio

de cada laminae) Cual debe ser el corrimiento de la media para que se genere en total

un 30% de productos no conformes.

5) Un proceso tiene un ndice de capacidad , pero la media esta, dosdesviaciones tpicas por encima del lmite superior de especificacin.Cul es la probabilidad de fabricar un producto dentro de los lmites deespecificacin?

6) Arturito S.A., fabrica tubos de aluminio. Para tener el proceso bajocontrol estadstico emplea un grfico XbarraR. Se encontr que elpromedio de los promedios de las muestras es 105 mm, tomandomuestras de tamao 5, y el promedio de los promedios fue de 12 mm.Las especificaciones del dimetro de los tubos, es de

y si

una unidad es defectuosa por el LSE es reprocesada a un costo de 35


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u.m. y solo el 77% de estas queda como producto conforme. Ademsproducir una unidad cuesta 250 u.m. El precio de venta es de 400

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Modulo Condecal 1