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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
LILIAN B. OLIVEIRA
Orientador : Profo. Carlos H. Costa Moreira
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SUMARIO
Introducao................................................................................ 3
CAPITULO I Modelo de Leslie
1.1Introducao ................................................................................ 41.2 Bases do Modelo............................................................................ 51.3 Estruturacao do Modelo ...................................................................... 51.4 Aplicacao do Modelo ........................................................................... 8
CAPITULO II Adaptacao do Modelo de Leslie
2.1 Introducao ................................................................................ 102.2 Bases do Modelo ............................................................................ 112.3 Estruturacao do Modelo ....................................................................... 112.4 Aplicacao do Modelo ............................................................................ 142.5 Aprimoramento do Modelo ................................................................... 18Consideracoes Finais.............................................................................. 20Referencias Bibliograficas ...................................................................... 21
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INTRODUCAO
Matematica e biologia possuem uma interessante relacao enquanto a biologia se encarregade produzir problemas a matematica,por sua vez, providencia modelos que auxiliarao na analisedesses diversos problemas.Isso , de fato , ocorre em Dinamica populacional, ciencia essa queestuda a curto e longo prazo mudancas no tamanho e na composicao etaria das populacoes . ADinamica Populacional lida com a maneira com que as populacoes sao afetadas por taxas denascimento e morte e por fatores como imigracao. Durante esse estudo, podem surgir inumerasperguntas, quantos humanos se espera que existam na terra em 2057? Que quantidade desalmao podem ser pescada anualmente sem colocar em risco sua populacao? Como o fatorAIDS influenciara faixas etarias que constituem a populacao economicamente ativa do Brasildaqui a 30 anos? Foram criados inumeros modelos matematicos capazes de auxiliar a buscada necessidade de encontrar as respostas para essas perguntas , foram elaborados inumerosmodelos matematicos. Um deles o modelo de Leslie, sera o alvo de estudo desse trabalho.
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CAPITULO I
Modelo De Leslie
1.1 INTRODUCAO
A Matriz de Leslie ( tambem chamada de modelo Leslie) e uma das formas mais conheci-das para descrever o crescimento da populacao ( e sua distribuicao etaria projetada), em que apopulacao esta fechada para migracao e onde apenas o sexo feminino e considerado. O modelofoi descrito pela primeira vez, em 1920, pelo matematico Alfred J. Lotka mas foi formalizado enomeado, em 1940, por Leslie Patrick Holt (1900-1974).
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1.2 BASES DO MODELO
No modelo de Leslie a populacao e dividida em grupos baseados em faixas etarias. Especi-ficamente, considere I a idade maxima atingida por qualquer femea da populacao estudada. Sedividirmos a populacao em n faixas etarias, entao cada faixa etaria tera I/n anos de idade. Amatriz de Leslie e uma matriz quadrada, cuja ordem corresponde ao mesmo numero de ele-mentos do vetor populacao. Tal vetor representa a populacao a cada passo de tempo, com umelemento para cada classe de idade onde cada elemento indica o numero de indivıduos atual-mente em sua respectiva classe. A medida que o tempo avanca, o numero de femeas dentro decada uma das n faixas etarias muda em virtude de tres processos biologicos: nascimento, mortee envelhecimento. Descrevendo estes tres processos quantitativamente, nos veremos como pro-jetar o vetor de distribuicao etaria inicial .
1.3 ESTRUTURACAO DO MODELO DE LESLIE
Nosso objetivo nesta primeira subsecao e introduzir o principal obejeto de estudo dessemodelo: a Matriz de Leslie, bem como algumas definicoes e consideracoes que serao uteis naproxima subsecao. Adotemos a seguinte nomenclatura : xt
1 femeas na primeira faixa etaria noinstante t, xt
2 femeas na segunda faixa etaria no instante t , e assim por diante. Como sao nfaixas etarias , formamos um vetor- coluna no instante t, indicado por xt :
X =
xt1xt2xt3...xtn
que chamamos de vetor de distribuicao etaria no instante t.O modelo de Leslie requer que a duracao entre dois tempos de observacao sucessivos seja igual aduracao de uma faixa etaria. Com essa hipotese, todas as femeas na (i+1)-esima faixa etaria noinstante tk estavam na i-esima faixa no instante tk−1 , ou seja, os indivıduos que sobreviveramda faixa i contados no instante tk−1 constituirao a faixa (i+1) na contagem no instante tk.Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observacoes sucessivas podem serdescritas por meio dos seguintes parametros demograficos:
ai numero medio de femeas nascidas por mae durante o tempo em que(i = 1, 2, 3, ..., n) a mae esta na i-esima faixa etaria.
bi fracao de femeas na i-esima faixa etaria que se espera que va(i = 1, 2, 3, ..., n) sobreviver e passar para a (i+ 1) faixa etaria.
Pelas definicoes acima e, em condicoes normais , temos como consequencias:
(i) ai ≥ 0parai = 1, 2, ..., n
(ii) 0< bi ≥ parai = 1, 2, ..., n− 1.Notemos que nao permitimos qualquer bi ser zero , pois entao nenhuma femea sobreviveria
alem da i-esima faixa etaria. Tambem vamos supor que pelo menos um dos ai e positivo, de
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modo que ha algum nascimento. Qualquer faixa etaria para a qual o correspondente valor deai e positivo e chamada uma faixa etaria fertil . Deste modo, no instante tk , as femeas na faixaetaria 1 sao exatamente as filhas nascidas entre os instantes tk−1 e tk de todas as faixas etarias.Assim, podemos escrever de modo generico:
Numero de
f emeas na
faixa etaria
1 no tempo tk
=
Numero de filhas
nascidas das
femeas na faixa
etaria 1 entre
os tempos tk−1 e tk
+· · ·+
numero de filhas
nascidas das
femeas na faixa
etaria n entre os
tempos tk−1 e tk
ou matematicamente,
Xtk1 = a1x
tk−11 + a2x
tk−12 + · · ·+a3x
tk−13 (3)
As femeas na (i+1)- esima faixa etaria (i = 1,2,...,n-1) no instante tk sao aquelas que estavamna i-esima faixa etaria no instante tk−1 e que ainda vivem no instante tk . Assim,
Numero de f emeas
na faixa
etaria i+ 1no tempo tk
=
Fracao de f emeas
na faixa etaria
i que sobrevive e
passa para a
faixa etaria i+ 1
.
numero de f emeas
na faixa
etaria i no
instante tk−1
ou seja:
Xtki+1 = bix
tki , i= 1,2,3,...,n-1 (4)
sendo bi a fracao dos indivıduos que sobrevivem, da faixa i para a faixa i+1 daqui a L/n anos.Deste modo, a quantidade de indivıduos na faixa i+1 no instante tk e proveniente da taxa desobrevivencia da faixa i no instante tk−1 multiplicada pela quantidade de indivıduos que haviana faixa i no instante tk−1. Usando notacao matricial, podemos juntar as equacoes (3) e (4) eescrever :
xtk1xtk2xtk3...
xtkn
=
a1 a2 a3 · · · an−1 anb1 0 0 · · · 0 00 b2 0 · · · 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 · · · bn−1 0
xtk−11
xtk−12
xtk−13...
xtk−1n
ou, mais compactamente:
X tk = Lxtk−1 , k =1,2,3,... (5)
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Definimos L como sendo a MATRIZ DE LESLIE:
L =
a1 a2 a3 · · · an−1 anb1 0 0 · · · 0 00 b2 0 · · · 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 · · · bn−1 0
Utilizando a equacao (5) podemos escrever:
X t1 = Lxt0
X t2 = Lxt1 = L2xt0
...
X tk = Lxtk−1 = Lkxt0 (6)
Assim se conhecermos a distribuicao etaria inicial xt0 e a matriz de Leslie L, podemos deter-minar a distribuicao etaria das femeas em tempos posteriores. Embora a equacao (6) de adistribuicao etaria da populacao em qualquer instante ela nao da automaticamente uma ideiageral da dinamica do processo de crescimento. Por isso precisamos investigar os autovalores eautovetores da matriz de Leslie. Para isso dispomos de alguns teoremas importantes.
◦ EXISTENCIA DE UM AUTOVALOR POSITIVO
Uma matriz de Leslie tem um unico autovalor positivo. Este autovalor tem multiplicidade1 e um autovetor associado xi cujas entradas sao todas positivas.
◦ AUTOVALORES DE UMA MATRIZ DE LESLIE
Se λ e o unico autovalor positivo de uma matriz de Leslie L e λ1 e qualquer outro autovalorreal ou complexo de L, entao |λ1 | ¡ λ .
◦ AUTOVALOR DOMINANTE
Se duas entradas sucessivas ai e ai+1 da primeira linha de uma matriz de Leslie L sao nao-nulas, entao o autovalor positivo de L e dominante.
Assim, se a populacao de femeas tem duas faixas etarias ferteis sucessivas, entao a matrizde Leslie tem um autovalor dominante.
◦ De acordo com o autovalor positivo λ temos tres casos:(i) A populacao acaba aumentando se λ > 1
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(ii) A populacao acaba diminuindo se λ < 1(iii) A populacao acaba estabilizando se λ = 1
O caso λ = 1 e particularmente interessante pois determina uma populacao com crescimentopopulacional nulo.
1.4 APLICACAO DO MODELO DE LESLIE
Projecao da Populacao de Mulheres Brasileiras por Faixas EtariasConsideremos os dados da populacao brasileira de mulheres de 1980 e de 1990,respectivamente,por faixas etarias de 10 anos cada.
Anos 1980 1990Todas as Idades 61.788.144 76.085.913[0− 9] 16.501.496 17.374.892[10− 19] 14.122.244 16.331.170[20− 29] 10.694.189 13.995.020[30− 39] 7.433.643 10.520.936[40− 49] 5.341.262 7.208.393[50− 59] 3.859.426 5.013.134[60− 69] 2.362.915 3.376.662[70− 79] 1.179.785 1.722.798[80− 89] 274.889 508.933[90− 99] 18.179 33.737[100+] 116 238
Fonte:U.S.Census Bureau,International Date Base.
Para estudar o comportamento da populacao de mulheres brasieiras com idades entre 0 e79 anos no futuro, tomemos as dez faixas etarias de dez anos cada: [0, 9], [10, 19], ..., [100+]indicadas na tabela acima. Estamos desconsiderando a populacao com idade superior a 100anos por ser pouco representativa. Embora nao tenhamos encontrado uma estimativa oficialdo IBGE no que diz respeito ao numero medio de meninas nascidas de mulheres brasileiras
entre 1980 1990 nas dez faixas etarias , vamos considerar os valores a1,a2,..., an que julgamos
razoaveis para a primeira linha da Matriz de Leslie como sendo os seguintes:
[0− 9] : a1 = 0, (nao nascem filhas de meninas entre 0 e 9 anos)[10− 19] : a2 = 0,2[20− 29] : a3 = 0,7 (a maioria das filhas nasceu de mulheres entre 20 e 29 anos)[30− 39] : a4 = 0,4[40− 49] : a5 = 0,2[50− 59] : a6 = 0,1[60− 69] : a7 = 0 (nao nascem filhas de mulheres entre 60 e 69 anos)[70− 79] : a8 = 0 (nao nascem filhas de mulheres entre 70 e 79 anos)[80− 89] : a9 = 0 (nao nascem filhas de mulheres entre 80 e 89 anos)
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[90− 99] : a10 = 0 (nao nascem filhas de mulheres entre 90 e 99 anos)
Ja a proporcao b1 , b2 ,..., bn−1 de mulheres que sobreviveram de uma faixa etaria para outra
entre 1980 e 1990 pode ser obtido das tabelas do IBGE :
Grupos de Idade Mulheres[0− 9]para[10− 19] 0,9896781[10− 19]para[20− 29] 0,9909912[20− 29]para[30− 39] 0,9837993[30− 39]para[40− 49] 0,9696986[40− 49]para[50− 59] 0,9385673[50− 59]para[60− 69] 0,874913[60− 69]para[70− 79] 0,7290986[70− 79]para[80− 89] 0,4313778[80− 89]para[90− 99] 0,1227295[90− 99]para[100+] 0,013092
Logo, a Matriz de Leslie para a populacao de mulheres brasieiras sera:
L =
0 0, 2 0, 7 0, 4 0, 2 0, 1 0 0 0 00.98968 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.99099 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.98379 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.96969 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0.93857 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0.87491 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0.72909 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.43138 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0.12273 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0.01309
Notemos que existem duas faixas etarias ferteis consecutivas. Logo, L possui autovalor domi-nante. Utilizando o software de calculo numerico e simbolico MAPLE para calculo do autovalordominante de L temos:λ1 = 1,0489Do autovalor acima, podemos concluir que a populacao de mulheres brasileiras quase tende aestabilidade no futuro, com um crescimento da ordem de 4,89
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CAPITULO II
Adaptacao Do Modelo De Leslie
1.1 INTRODUCAO
Com base no modelo matricial Leslie, que investiga a taxa de crescimento ao longo do tempode uma populacao feminina que esta dividida em faixas etarias,desenvolve-se um novo mod-elo.Afim de garantir um estudo mais completo da dinamica populacao, a adaptacao do modelode Leslie possibilita analisar tanto a populacao feminina quanto a masculina. Assim,sendo ele,mais amplo e capaz de analisar sistematicamente todo o perfil da populacao. Recorrendo aconceitos de algebra linear, o modelo procura desvendar o destino da dinamica populacionalarespondendo as questoes essenciais para investigar o comportamento populacional, acolhiendoe respeitando seus multiplos aspectos,sendo eles economicos ou sociais.
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1.2 BASES DO NOVO MODELO
Como no modelo de Leslie, sua adaptacao continua dividindo a populacao, em estudo,segundo as faixas etarias da mesma forma abordada no modelo base.
A matriz de transicao do modelo adaptado,tambem e quadrada, cuja ordem e comum aonumero de elementos do vetor populacao.Tal vetor, originalmene, representa a populacao ini-cial, com seus elementos compondo o numero de indıviduos da populacao em cada faixa etaria.Logo para compreender homens e mulheres o vetor populacao e de ordem 2nx1, onde n corre-sponde ao numero de faixas etarias que e dividida a populacao masculina e feminina. Assim asprimeiras n linhas do vetor populacao correspondem as faixas etarias da populacao feminina eas outras representam as n faixas etarias da populacao masculina.Portanto:
X =
mt1
mt2
mt3...
mtn
ht1
ht2
ht3...htn
Ao longo do tempo, o numero de indivıduos masculinos e femininos dentro de cada uma dasn faixas etarias muda em virtude de tres processos bioologicos:nascimento, envelhecimento emorte, ja menciondos em notas anteriores. Portanto como o modelo de Leslie,sua adaptacaotambem requer que a duracao entre dois tempos de observacao sucessivos seja igual a duracaoda faixa etaria.
1.3 ESTRUTURACAO DO MODELO
Concordando com as hipoteses que compoem as base do novo modelo, observa-se,tambemque todos os indivıduos, masculinos e femininos, na (i+1)-esima faixa etaria no instante tk
estavam na i-esima faixa no instante tk−1 constituirao a faixa (i-1)na contagem do instante tk.Os tres processos que descrevem a dinamica populacional, entre dois tempos de observacoessucessivos podem ser descritos por meio dos seguintes parametros demograficos:
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ai Numero medio de femeas nascidas por mae durante o tempo em que(i = 1, 2, 3, ..., n) a mae esta na i-esima faixa etaria.
bi Fracao de femeas na i-esima faixa etaria que se espera que va(i = 1, 2, 3, ..., n) sobreviver e passar para a (i+1)-esima faixa etaria.
ci Fracao de machos na i-esima faixa etaria que se espera que va(i = 1, 2, 3, ..., n) sobreviver e passar para a (i+1)-esima faixa etaria.
r sex ratio, i.e, fracao de mulheres nascidas dentro do total.
Para a formacao do novo modelo, destaca-se a taxa de sobrevivencia masculina e a presencada taxa de sexo. A taxa de sexo e a fracao de mulheres nascidas dentro do total de individ-uos nascidos, e uma taxa necessaria para ampliar a fecundidade das mulheres, em cada faixaetaria, afim de abranger os homens nascidos por mulher,ate entao ausente no modelo Leslie.Estataxa e um importante traco do novo modelo que confirma a descricao sistematica de todos osindivıduos da populacao em questao. Ressalta-se que com as definicoes mencionadas, e emcondicoes normais, as consequencias que os ai´s e os bi´s sao submetidos continuam as mesmasdo modelo base e, sao extendidas aos ci´s. Ja as especificacoes da taxa de sexo sao............Afim de facilitar o estudo e compreensao da matriz do modelo adaptado, e util organizar a suaanalise em blocos.Onde cada bloco e uma matriz quadrada, de ordem igual a quantidade defaixas etarias vigentes na divisao da populacao em estudo. Dessa maneira divide-se a matrizadaptada em quadro blocos.O primeiro bloco e formado basicamente pela matriz de Leslie,exceto pela primeira linha ser toda multiplicada pela taxa de sexo, temos portanto a seguintematriz:
L =
ra1 ra2 ra3 · · · ran−1 ranb1 0 0 · · · 0 00 b2 0 · · · 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 · · · bn−1 0
A segunda e composta por zero, logo e uma matriz nula. Esta matriz e de suma importanciapara a inclusao da populacao masculina. Ela auxilia nas operacoes matriciais propiciando asprojecoes desejadas. Assim temos:
O =
0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 · · · 0 0
A terceira matriz possue apenas a primeira linha com elementos diferentes de zero.Estalinha e composta pelas taxas de fecundidade da populacao feminina multiplicadas por 1-( a
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taxa de sexo), essa pequena operacao representa os homens nascidos por mulher em cada faixaetaria.Como, ja dito, esse traco do novo modelo contribui muito para a descricao total da pop-ulacao.Portanto:
A =
(1-r)a1 (1-r)a2 (1-r)a3 · · · (1-r)an−1 (1-r)an0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 · · · 0 0
Por fim a quarta matriz e composta pelas taxas de sobrevivencia da populacao masculina.
B =
0 0 0 · · · 0 0c1 0 0 · · · 0 00 c2 0 · · · 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 · · · cn−1 0
Dessa forma, definimos a matriz adaptada como sendo:
P =
ra1 ra2 ra3 · · · ran−1 ran 0 0 0 · · · 0 0b1 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 00 b2 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 00 0 b3 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 0...
......
. . ....
......
......
. . ....
...0 0 0 · · · bn−1 0 0 0 0 · · · 0 0
(1-r)a1 (1-r)a2 (1-r)a3 · · · (1-r)an−1 (1-r)an 0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0 c1 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0 0 c2 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0 0 0 c3 · · · 0 0...
......
. . ....
......
......
. . ....
...0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · cn−1 0
Assim, se conhecemos o vetor populacao inicial e a matriz adaptada, e posıvel descrever adistribuicao etaria da populacao total em estudo.
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1.4 APLICACAO
Projecao da Populacao Brasileira por Grupos de Idade
Para estudar o comportamento da populacao brasileira, de acordo com os objetivos propos-tos do modelo ampliado da Matriz de Leslie, consideremos os dados da populacao brasileira de1980 e de 1990 por faixas etarias de 10 anos cada, segundo o U.S Census Bureau, InternationalData Base.
Tabela 1: Populacao por sexo segundo os grupos de idade Brasil: populacao-base em 1980
Grupos de Idade Ambos os Sexos Homens MulheresTodas as Idades 12.301.9627 61.231.483 61.788.144[0− 9] 33.590.361 17.088.865 16.501.496[10− 19] 28.706.511 14.584.267 14.122.244[20− 29] 21.534.288 10.840.099 10.694.189[30− 39] 14.776.596 7.342.953 7.433.643[40− 49] 10.439.267 5.098.005 5.341.262[50− 59] 7.287.112 3.427.686 3.859.426[60− 69] 4.266.594 1.903.679 2.362.915[70− 79] 1.982.407 802.622 1.179.785[80− 89] 412.870 137.981 274.889[90− 99] 23.487 5.308 18.179[100+] 134 18 116
Tabela 2: Populacao por sexo segundo os grupos de idade Brasil: populacao-base em 1990
Grupos de Idade Ambos os Sexos Homens MulheresTodas as Idades 151.170.059 75.084.146 76.085.913[0− 9] 35.392.575 18.017.683 17.374.892[10− 19] 33.179.430 16.848.260 16.331.170[20− 29] 28.248.453 14.253.433 13.995.020[30− 39] 20.943.824 10.422.888 10.520.936[40− 49] 14.104.259 6.895.866 7.208.393[50− 59] 9.541.909 4.528.775 5.013.134[60− 69] 6.076.225 2.699.563 3.376.662[70− 79] 2.877.285 1.154.487 1.722.798[80− 89] 761.843 252.910 508.933[90− 99] 43.978 10.241 33.737[100+] 278 40 238
Fonte:U.S.Census Bureau,International Date Base.
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Desconsiderando a populacao com idade superior a 100 anos, por ser pouco representativa,tomemos as dez faixas etarias de dez anos cada: [0-9], [10-19], [20-29],...,[90-99] explıcitas nastabelas acima. Embora nao tenhamos encontrado uma estimativa oficial do U.S.Census Bu-reau, International Data Base ou ate mesmo do IBGE, no que diz respeito ao numero medio demeninas nascidas de mulheres brasileiras entre 1980 e 1990 nas dez faixas etarias, consideramosvalores que julgamos razoaveis para representar a primeira linha do primeiro bloco da matrizdo Modelo de Leslie Adaptado. Como mencionado em notas anteriores, a primeira linha doprimeiro bloco da matriz do Modelo de Leslie Adaptado representa as taxas de fecundidade dasmulheres em sua referente faixa etaria. Obtemos os seguintes valores:
Tabela 3: Taxa de Fecundidade da Populacao Feminina segundo as faixas etarias Brasil:Populacao-base em 1980
Grupos de Idade Mulheres[0− 9] 0[10− 19] 0,2[20− 29] 0,7[30− 39] 0,4[40− 49] 0,2[50− 59] 0,1[60− 69] 0[70− 79] 0[80− 89] 0[90− 99] 0
Ainda obtendo informacoes necessarias para o estudo da dinamica populacional segundo o Mod-elo de Leslie Adaptado, a proporcao de homens e mulheres brasileiros que sobreviveram de umafaixa etaria para outra entre 1980 e 1990 pode ser analisado das tabelas do U.S.Census Bureau,International Data Base. Assim:
Tabela 4: Proporcao da populacao por sexo que sobreviveu de um grupo de idade para outroentre 1980 e 1990
Grupos de Idade Homens Mulheres[0− 9]para[10− 19] 0,9859204 0,9896781[10− 19]para[20− 29] 0,9773157 0,9909912[20− 29]para[30− 39] 0,9615123 0,9837993[30− 39]para[40− 49] 0,9391135 0,9696986[40− 49]para[50− 59] 0,8883426 0,9385673[50− 59]para[60− 69] 0,7875759 0,874913[60− 69]para[70− 79] 0,6064505 0,7290986[70− 79]para[80− 89] 0,3151047 0,4313778[80− 89]para[90− 99] 0,0742204 0,1227295[90− 99]para[100+] 0,0075358 0,013092
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Com base nas tabelas acima da populacao de 1980 e 1990 concluimos que a taxa de sexo e 0,49.Portanto, a Matriz de Leslie Adaptada da populacao brasileira de 1980 sera:
16
[
00,36052
0,343
0,196
0,36052
0,18026
00
00
00
00
00
00
00
0,98968
00
00
00
00
00
00
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0,27304
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1.5 APRIMORAMENTO DO MODELO
Na tentativa de responder a algumas perguntas e aperfeicoar o modelo adaptado, fez-se ummodelo contınuo para descrever o comportamento da populacao ao longo dos anos. Este modelobaseava-se nas taxas de fertilidade e mortalidade feminina e masculina. Entretanto este modelo,mostrou-se bastante complexo e inapropriado para os nossos propositos . Assim sendo,seguiu-se na direcao de continuar aprimorando o modelo adaptado atravez da correcao de seus errosprimitivos. Para tanto criou-se um programa computacional para fragmentar a populacao porfaixas etarias e a partir dessa fragmentacao, usando o modelo adaptado, inserido no softwarematematico maple , fez-se projecoes e comparou-se com o respectivo ano.Alguns dos graficos feitos encontram-se abaixo:
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CONSIDERACOES FINAIS
O trabalho aqui descrito se trata de uma obra inovadora que ainda esta em aberto e necessitade muitos aprimoramentos. Entretanto foram apresentados muitos avancos, dentre eles o es-tudo da populacao masculina,podendo assim ampliar o conhecimento da dinamica da estruturapopulacional. Dentre as questoes que ainda tem-se a tratar destacam-se os topicos:
* Os autovalores da Matriz Ampliada seriam somente os autovalores da Matriz de Leslie?* Tais autovalores tambem dizem respeito ao crescimento ou decrescimento populacional?* Como incluir fatores externos no modelo matricial?* Como o modelo adaptado pode auxiliar na previsao da dinamica populacional?Agora com esse aprimoramento surgem novas questoes sobre o modelo,tais como:* Observa-se um padrao de ”superestimativa infantil”, ou seja, o medelo preve mais criancas
do que o registrado nesses graficos,a que se deve este fator?*Para o grafico que representa a evolucao do Brasil,tanto feminina quanto masculina,vemos um
”pico da projecao”somente nos anos iniciais, ja para o grafico que representa Minas Geraistemos um pico a mais,situado aproximadamente entre os 23-34 anos. Aque se deve este
padrao?
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
HOWARD,A.Algebra Linear com Aplicacoes.8aed.Porto Alegre:Bookman. 2001.
BASSANEZZI,R.C.Ensino e Aprendizagem com Modelagem Matematica.Sao Paulo:EditoraContexto. 2002
BOLDRINI,J.L.ET ALLI.Algebra Linear com Aplicacoes.8aeld.Rio de Janeiro:Harbra.1986.
www.census.gov.Site do U.S. Census Bureau, International Data Base.
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