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Capitulo 17
Mercado de Capital
Nicholson and Snyder, Copyright 2008 by Thomson South-Western.
All rights reserved.
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Capital
Cuando hablamos de acervo de capital de una economa nos
referimos a la
suma total de maquinaria, edificios y
otros recursos reproducibles que existen
en un punto determinado del tiempo.
Estos activos representan una parte de la produccin anterior de
la economa que no
fue consumida y que, en cambio, fue
reservada a efecto de emplearla para la
produccin futura.
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Tasa de Rendimiento
Time
Consumption
t1 t2 t3
c0
s
En el momento t1, toma la decision de reservar durante
un perodo, una parte de la produccion (s) del consumo
corriente. A partir de t2 empieza a usar el
consumo reservado para el futuro.
Todo el consumo reservado es
empleado para generar, en t2 una
produccion adicional x
El consumo aumenta la
cantidad x en el periodo t2
Y despues vuelve al
nivel de largo plazo (c0)
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En este caso, la sociedad ha
ahorrado un ao con el
propsito de poder derrochar
al ao siguiente.
Por lo tanto, la definicin de la
tasa de rendimiento (de un
perodo) de esta actividad es la
siguiente:
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Tasa de Rendimiento
La tasa de rendimiento de un periodo (r1) de una inversin es el
consumo
adicional que sta proporciona en el
periodo 2, como fraccin del consumo
que no se ha realizado en el periodo 1,
es decir;
11
s
x
s
sxr
Donde s es el consumo corriente y x el consumo adicional
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Nota: Donde s es el consumo corriente y x el consumo
adicional
Si x > s (si este proceso produce mas consumo del que se
invirti en el), diramos
que la tasa de rendimiento de un perodo
para la acumulacin de capital es positiva.
Por ejemplo, si reservar 100 unidades del consumo corriente (s)
permitiera a la
sociedad consumir 110 unidades extra el
ao prximo (x), la tasa de rendimiento de
un perodo sera:
(110/100) 1 = 0,10
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Tasa de Rendimiento
Tiempo
Consumo
t1 t2 t3
c0
s
Ahora la sociedad adopta un planteamiento
de largo plazo. Se reserva una cantidad s en
el periodo t1.
s ser empleado para incrementar
el nivel de consumo de todos los
perodos futuros. y
El consumo aumenta
en c0 + y en todos los
perodos futuros
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Tasa de Rendimiento
La tasa de rendimiento perpetua (r) es el incremento permanente
del consumo
futuro expresado como fraccin del
consumo inicial que ha sido reservado.
Es decir;
s
yr
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Si la acumulacin de capital consigue aumentar c0 de forma
permanente, r sera
positiva. Por ejemplo supongamos que la
sociedad reserva 100 unidades de
producto en perodo t1 con el objeto de
acumular capital.
Si ese capital permitiera que la produccin aumentara 10 unidades
en cada perodo
futuro, la tasa de rendimiento perpetuo
sera 10%
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Tasa de Rendimiento
Cuando los economistas hablan de la tasa de rendimiento de la
acumulacin
de capital piensan en un punto
intermedio entre estos dos extremos
Nosotros sin ser demasiado estrictos, hablaremos de la tasa de
rendimiento como
una medida de los terminos con los cuales
el consumo actual se puede convertir en
consumo futuro.
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As surge la pregunta natural de cmo se determina la tasa de
rendimiento de
una economa.
El equilibrio se deriva de la oferta y la demanda de bienes
presentes y futuros.
Presentaremos un modelo sencillo de dos perodos, el cual
demuestra esta
relacin entre la oferta y demanda.
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A continuacin describiremos como la operacin de la oferta y
demanda de bienes
futuros establece la tasa de rendimiento de equilibrio.
Analizamos la conexin entre la tasa de rendimiento y el precio
de los bienes futuros.
Demostramos que los individuos y las empresas reaccionan ante
ese precio.
Por ltimo reunimos estas acciones, a efecto de demostrar como se
determina el precio de
equilibro de los bienes futuros.
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Tasa de rendimiento y precio de los bienes futuros
Solo consideraremos dos perodos; inicial (0) y final (1)
Emplearemos la letra (r) para denotar la tasa de rendimiento (de
un perodo)
entre estos dos periodos.
10
1
c
cr
Rescribiendo, obtendremos;
rc
c
1
1
1
0
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Tasa de rendimiento y precio de los bienes futuros
El precio relativo de los bienes futuros (p1) es la cantidad de
bienes presentes
a los que debemos renunciar para
aumentar el consumo futuro en una
unidad. Es decir,
rc
cp
1
1
1
01
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Ahora pasaremos a desarrollar un anlisis de la oferta y la
demanda para
determinar p1, al hacerlo tambin
habremos desarrollado una teora de
cmo se determina r, la tasa de
rendimiento en este modelo simple.
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Demanda de bienes futuros
La utilidad del individuo depende del consumo presente y futuro,
es decir:
U = u(c0,c1)
y ste debe decidir que tanto de su
riqueza corriente (W) quiere asignar a
cada uno de de estos dos bienes.
La restriccin presupuestaria es;
W = c0 + p1c1
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Maximizacion de la Utilidad
Current consumption
Future Consumption
w
w/p1
W = c0 + p1c1
U0
U1
El individuo maximizara su utilidad
optando por consumir c0* en el
presente y c1* en el perodo siguiente.
c0*
c1*
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Maximizacion de la Utilidad
El individuo consume c0* en el presente y decide ahorrar w - c0*
para consumirlo
en el perodo siguiente.
Podemos calcular este consumo futuro a partir de la restriccin
presupuestaria,
p1c1* = W - c0*
c1* = (W - c0*)/p1
c1* = (W - c0*)(1 + r)
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En otras palabras, la riqueza que no es consumida en el presente
W - c0* es
invertida a la tasa de rendimiento, r, y
aumentar para ofrecer c1* en el
perodo siguiente.
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Impaciencia Intertemporal
Es evidente que las elecciones de los individuos que maximizan
la utilidad a lo
largo del tiempo dependern de lo que
piensan acerca de las ventajas relativas
de consumir ahora o esperar a consumir
en el futuro.
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Impaciencia Intertemporal
Una forma de reflejar la posibilidad de que las personas exhiban
cierta
impaciencia en sus elecciones consiste
en suponer que la funcin de utilidad de
consumo [U(c)] es la misma en los dos
periodos pero que el individuo descuenta
en su mente la utilidad del periodo 1 a
una tasa de preferencia temporal de 1/(1+) (donde >0)
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Impaciencia Intertemporal
Esto significa que: (tasa de preferencia temporal)
)(1
1)(),( 1010 cucuccU
La maximizacion de esta funcin sujeta a la restriccin
presupuestaria
intertemporal nos dar la siguiente
expresin lagrangiana.
r
ccwccu
1),( 1010L
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Impaciencia Intertemporal
Siendo las CPO para un mximo;
0)(' 00
cu
c
L
01
)('1
11
1
rcu
c
L
01
10
r
ccw
L
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Impaciencia Intertemporal
Si se divide la primera y la segunda ecuacin y se reorganizan
los terminos
tendremos:
)('1
1)(' 10 cu
rcu
Y podemos concluir que,
si r = , c0 = c1
si r < , c0 > c1
si r > , c0 < c1
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Por tanto, el consumo de este individuo aumentara o disminuir el
periodo 0 al
periodo 1 dependiendo precisamente
de lo impaciente que sea.
No obstante que un consumidor pueda tener preferencia por los
bienes
presentes (>0), podra consumir ms en el futuro que en el
presente si la tasa
de rendimiento que percibe sobre el
ahorro es lo bastante alta
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Efectos de Variaciones en r
Si r (tasa de rendimiento) aumenta (y p1 disminuye), ambos
efectos sutitucin e
ingresos haran que se demande mas c1.
Salvo en el poco probable caso que c1 sea un bien inferior.
Por tanto, la curva de demanda de c1 tendr pendiente
negativa.
Un incremento de r disminuye, en efecto, el precio de c1, y, con
ello, aumenta el
consumo de ese bien.
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Efectos de Variaciones en r
El signo de c0/p1 es ambiguo
Los efectos sutitucin e ingreso trabajan en sentido opuesto.
El modelo no permite una prediccin contundente del efecto que
las variaciones
de la tasa de rendimiento afectaran a la
acumulacin de riqueza en el periodo
corriente (ahorro)
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En la figura anterior (lamina 17), el efecto ingreso y
sustitucin operan en
sentido opuesto y no es posible hacer
una prediccin contundente.
Una disminucin de p1 provocar que el individuo sustituya c1 por
c0 en sus
planes de consumo.
Pero una disminucin de p1 incrementa el valor real de la riqueza
y el efecto
ingreso hace que aumente tanto c0
como c1
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Oferta de Bienes Futuros
Un incremento del precio relativo de los bienes futuros (p1)
llevar a las
empresas a producir mayor cantidad de
estos bienes, porque el rendimiento de
hacerlo ahora sera mayor.
Lo que significa que la curva de oferta tendr pendiente
positiva.
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Equilibrio de los bienes futuros.
c1
p1
S
D
c1*
p1*
El punto p1* c1* representa
un equilibrio en el mcdo de
bienes futuros
Estos destinaran a la
acumulacin de capital la
cantidad necesaria de
bienes corrientes para
producir c1* en el futuro.
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Precio de equilibrio de los bienes futuros
Hay una serie de razones para esperar que p1 < 1, es decir,
comprar un bien en el futuro costara menos que
sacrificar un bien corriente.
Los individuos necesitan recibir un incentivo por esperar.
La acumulacin de capital solo tendra lugar si el sacrificio
presente vale la pena
de alguna manera.
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Del lado de la oferta tambin hay razones para creer que p1 ser
inferior
a 1.
Todas ellas implican la idea de que la acumulacin de capitales
es
productiva.
Renunciar a un bien hoy rendir mas de un bien en el futuro.
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La tasa de rendimiento de
equilibrio
El precio de un bien futuro sera:
p1* = 1/(1+r)
Puesto que creemos que p1* < 1, la tasa de rendimiento (r)
ser positiva
p1* y r son formas equivalentes de medir los trminos en los
cuales los
bienes presentes se convierten en
bienes futuros.
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Tasa de rendimiento, tasas de interes real y tasas de interes
nominal.
Ambos, la tasa de rendimiento y la tasa de interes real se
refieren al
rendimiento real que se puede obtener
de la acumulacin de capital.
La tasa de interes nominal (i) esta dada por:
esperadainflacion de tasa111 ri
epri 111
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Tasa de rendimiento, tasas de interes real y tasas de interes
nominal.
La expansion de la ecuacin dar:
ee prpri 11
pequeo, es . que suponiendoy
epr
epri
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Si la tasa de rendimiento real es del 4% (0,04) y la tasa de
inflacin esperada es
del 10% (0,10), la tasa de inters
nominal ser aproximadamente del
14%, (0,14).
Por tanto, la diferencia entre la tasa de inters nominal
observada y la tasa de
inters real puede ser sustancial en
entornos inflacionarios.
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La demanda de capital de la
empresa Las empresas alquilan maquinaria
siguiendo el principio de maximizar su
beneficio.
En concreto, en un mercado de competencia perfecta, la
empresa
optar por contratar la cantidad de
maquinas en la cual el ingreso del
producto marginal sea precisamente a
la tasa de alquiler en el mercado.
IMPg = v
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Determinantes del precio de alquiler del mercado
Consideremos el caso de una empresa que esta en el negocio de
alquiler de maquinaria a
otras empresas.
El propietario de la maquina afronta dos tipos de costos:
La depreciacin de la maquina
Asumiendo que es un % constante (d) del precio de mercado de la
maquina(p)
Y el costo de oportunidad de tener sus fondos invertidos en una
maquina, en lugar de tenerlos
en una inversin que genera la tasa de
rendimiento existente en la actualidad
Asumiendo que la tasa de interes real es (r)
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Determinantes del Precio de Alquiler del Mercado
El costo del propietario de la maquina para un perodo es;
pd + pr = p(r + d)
Si suponemos que el mercado de alquiler de maquinaria esta en
competencia perfecta,
entonces no sera posible obtener un
beneficio a largo plazo alquilando maquinas.
El mercado garantizar que la tasa de alquiler de la maquina por
periodo (v) sea
exactamente igual al costo del propietario de
la maquina
v = p(r + d)
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Maquinas que no se deprecian
En el caso hipottico de una maquina que no se deprecia, (d = 0)
podriamos
expresar as la ecuacin anterior:
v/p = r
En equilibrio, una maquina que tiene una vida infinita es
equivalente a un
bono a perpetuidad y, por tanto debe
rendir la tasa de rendimiento del mercado.
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Propiedades de las Maquinas
Las empresas, hemos supuesto hasta ahora, alquilan todas las
maquinarias que
emplean.
Una empresa emplea servicios de capital
para fabricar sus productos.
Estos servicios representan la magnitud de un flujo.
Con frecuencia partimos del supuesto de que el flujo de
servicios de capital es
proporcional al acervo de maquinas, por lo
cual muchas veces empleamos estos dos
conceptos como si fueran sinonimos.
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Demanda de Capital Una empresa que maximiza beneficios y
afronta un mercado de alquiler de capital,
en competencia perfecta, contratara una
cantidad adicional del factor capital hasta
el punto en el cual el ingreso del producto
marginal (IMPk) sea igual a la tasa de
alquiler en el mercado (v)
En competencia perfecta, el alquiler reflejar los costos de
depreciacin y
tambin los costos de oportunidad de
inversin alternativa.asi pues, tenemos:
IMPk = v = p(r+d)
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Teora de la Inversin Si una empresa sigue la regla para
maximizar el beneficio de la ecuacion
anterior y encuentra que desea tener mas
servicios de capital de los que puede
conseguir con su acervo corriente de
maquinaria, tiene dos opciones:
Puede contratar las maquinas adicionales que necesita en el
mercado de alquiler
O puede comprar mas maquinaria
Conocido como inversin.
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Valor Presente Descontado
Cuando una empresa adquiere una maquina, en realidad, esta
adquiriendo
un flujo neto de ingresos en perodos
futuros.
Para decidir si debe comprar la maquina, la empresa debe
calcular el valor presente
descontado de este flujo.
La nica forma de que la empresa tome debida cuenta de los
efectos de ciertos
intereses a los que renunciara, es haciendo
este calculo.
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Valor Presente Descontado Consideremos el caso de una empresa
que
esta en el proceso de decidir si compra o no
una maquina determinada.
El dueo espera que la maquina dure n aos y que le proporcione un
flujo de
rendimientos monetarios (IPMg) en cada
uno de los n aos.
Diremos que R(i) representa el rendimiento del ao i. Si r es la
tasa de inters presente
y si esperamos que la tasa de interes
prevalezca en los prximos n aos;
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Valor presente descontado
El valor presente descontado (VPD) del flujo de ingresos netos
que la maquina
tiene para su propietario estara
determinado por;
n
n
r
R
r
R
r
RVPD
)1(...
)1(1 221
Si el VPD de este flujo de pagos excede al precio de la maquina
(p) (VPD > P) entonces
la empresa debera hacer la compra, al igual
que otras empresas similares.
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Incluso cuando se tiene en cuenta el efecto del pago de
intereses que la empresa podra
haber obtenido sobre sus fondos si no
hubiera comprado la maquina, esta promete
un rendimiento superior a su precio actual.
De otra parte, si p > VPD (valor presente descontado), la
empresa quedara en mejor
situacin si invierte sus fondos en alguna
alternativa que prometa una tasa de
rendimiento r.
- Si se toma en cuenta los intereses a los
que renunciar, la maquina no se pagar a si
misma
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Valor presente descontado Por lo tanto, en un mercado
competitivo, el
nico equilibrio que puede prevalecer es
aquel en el cual el precio de la maquina es
igual al valor presente descontado de los
ingresos netos provenientes de la maquina.
Esta es la nica situacin en la cual no habra exceso de demanda
de maquinas ni
uno de oferta de maquinas.
Por consiguiente el equilibrio del mercado exige que:
n
n
r
R
r
R
r
RVPDp
)1(...
)1(1 221
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El Caso Simple
Supongamos que las maquina tienen una vida infinita y que el
ingreso del producto
marginal (Ri) es el mismo cada ao.
Ri = v en un mercado competititvo
Partiendo de estos supuestos que simplifican las cosas, podemos
expresar
el valor presente descontado por la
propiedad de la maquina como;
...)1(
...)1(1 2
nr
v
r
v
r
vVPD
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El Caso Simple
Simplificando
...
)1(
1...
)1(
1
1
12 nrrr
vVPD
1
1
r
rvVPD
rvVPD
1
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El caso simple
Pero en equilibrio p = VPD por lo que,
rvp
1
o
p
vr
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El Caso General
Tambin podemos obtener la ecuacin [v = p(r + d)], para el caso
mas general en
el cual la tasa de alquiler de las maquinas
no es constante a lo largo del tiempo y en
el cual se registra cierta depreciacin.
Supongamos que la tasa de alquiler de una maquina nueva en un
momento s
cualquiera esta dado por v(s)
La maquina se deprecia de manera exponencial a una tasa de d
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El Caso General
Por los tanto, la tasa neta de alquiler y el ingreso del
producto Mg de una
maquina disminuira a lo largo del
tiempo, a medida que la maquina vaya
envejeciendo.
El el ao s la tasa neta de alquiler de una maquina vieja
adquirida en un ao
(t) anterior sera;
v(s)e -d(s-t)
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El Caso General
Si la empresa esta analizando la posibilidad de comprar la
maquina
cuando es nueva en el ao t, debera
descontar todos estos alquileres netos,
retrocediendo hasta esa fecha.
El valor presente de la tasa neta de alquiler en el ao s
descontando en
retroceso hasta el ao t es, por tanto:
(si r es la tasa de interes)
e -r(s-t)v(s)e -d(s-t) = e(r+d)tv(s)e -(r+d)s
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El Caso General Por tanto el valor presente descontado de
una
maquina adquirida en el ao t es la suma
(integral) de estos valores presentes. Debemos hacer esta suma
desde el ao t (cuando la
maquina es comprada) a todos los aos futuros
dsesvetVPD sdr
t
tdr )()( )()(
Tomando en cuenta que, en equilibrio, el precio de la maquina en
el ao t [p(t)] sera
igual a su valor presente, tendremos la
siguiente ecuacin fundamental
dsesvetp sdr
t
tdr )()( )()(
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El Caso General Reescribiendo obtendremos
Al derivar con respecto a t, y emplear la regla de la derivada
de un producto :
t
sdrtdr dsesvetp )()( )()(
t
tdrtdrsdrtdr etvedsesvedrdt
tdp )()()()( )()()()(
)()()()(
tvtpdrdt
tdp
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El Caso General
Por lo tanto;
dt
tdptpdrtv
)()()()(
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El caso general
Este es precisamente el resultado que mostramos en v = p(r + d),
salvo por que
hemos aadido el trmino dp(t)/dt.
La explicacin econmica de la presencia del trmino que hemos
aadido es que
representa las ganancias del capital que se
acreditan al propietario de la maquina.
Por ej, si cabe esperar que el precio de la maquina aumente, el
propietario podra
aceptar algo mas que (r + d)p por su alquiler.
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El caso general Por otra parte, si cabe esperar que el precio de
la
maquina va a disminuir , entonces el propietario
pedir un alquiler mas alto del que especifica la
ecuacin anterior.
Si cabe esperar que el precio de la maquina se mantenga
constante a lo largo del tiempo,
entonces dp(t)/dt = 0 las ecuaciones sern
idnticas.
Este anlisis demuestra en definitiva, que existe una relacin
entre el precio de una maquina en
un momento cualquiera, el flujo de beneficios
futuros que prometa la maquina y la tasa
corriente de alquiler de esa maquina
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La tala de un arbol
Condideremos el caso de un leador que debe decidir cuando cortar
un arbol
que esta creciendo.
Supongamos que el valor del arbol en un momento cualquiera t,
esta dado por
f(t) [donde f(t)>0 y f(t)
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La tala de un arbol
Supongamos tambin que la tasa de interes del mercado esta dada
por r, cuando el arbol
es plantado, el VPD de las utilidades del
propietario del arbol esta determinado por;
VPD(t) = e-rtf(t) - l
La decisin del leador ser elegir la fecha para la tala, t, para
maximizar este valor. Se
debe calcula este valor al derivar;
0)()(')(
tfretfedt
tdVPD rtrt
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La tala de un arbol Al dividir ambos lados entre e-rt,
f(t) r f(t)=0
Por tanto,
)(
)('
tf
tfr
Notese que el costo del factor trabajo inicial desparece con la
derivacin
La interpretacin de la ecuacin es como si dijera que el arbol
debera ser cortado
cuando la tasa de interes sea igual a la
tasa proporcional de crecimiento del arbol
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La tala del arbol
Supongamos que los arboles crecen segn la ecuacin
tetf 4.0)(
si r = 0.04, entonces t* = 25
si r aumenta hasta 5%, entonces t* disminuiria a 16
ttf
tf 2.0
)(
)('
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Natural Resource Pricing
Can the market system achieve a desirable allocation of natural
resources
given their ultimately finite and
exhaustible nature?
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Natural Resource Pricing
Suppose a firm owns a finite stock of some resource [x(t)]
let q(t) be the level of current production from this stock
The stock of this resource evolves according to
)()()(
tqtxdt
tdx
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Natural Resource Pricing
The stock of this resource is constrained by 0)( and )0( xxx
The stock of this resource is constrained by Extraction of
the
resource exhibits constant AC and MC
The firms total costs are
C(t) = c(t)q(t)
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Natural Resource Pricing
The firms goal is to maximize the present discounted value of
profits
subject to the constraint imposed by the
stock of the resource available
If p(t) = price of the resource at time t, the firms profits
are
0
)()()()( dtetqtctqtp rt
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Natural Resource Pricing
Setting up the augmented Hamiltonian yields
dt
dtxtqetqtctqtpH rt
)()()()()()(
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Natural Resource Pricing
The FOC for a maximum are
0)()( rtq etctpH
0
dt
dH x
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Natural Resource Pricing
Therefore
0
rtrt ecprecp
dt
d
ccprp
The change in price has two components
upward trend reflecting the scarcity value of the resource
changes in marginal extraction costs
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Natural Resource Pricing
If we assume that marginal extraction costs are always zero
rpp
and
p = p0ert
prices rise exponentially ate the real rate of interest
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Natural Resource Pricing
Suppose marginal extraction costs follow an exponential trend
given by
c(t) = c0et
where can be positive or negative
Then
p(t) = (p0 c0)ert + c0e
t
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Generalizing the Model
Do these price trends maximize consumer surplus while maximizing
the
firms profits?
because individuals will consume any resource until its price is
proportional to
marginal utility, it seems plausible
a more complete analysis would include the individuals rate of
time preference
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Generalizing the Model
How should substitute resources be integrated into this
analysis?
if p0 is determined by equilibrium and the prices of other
resources follow a similar
time trend, relative resource prices will not
change
if the new resource is a perfect substitute, its availability
would put a cap on p0
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Important Points to Note:
Capital accumulation represents the sacrifice of present for
future
consumption
the rate of return measures the terms at which this trade can be
accomplished
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Important Points to Note:
The rate of return is established through mechanisms much like
those
that establish any equilibrium price
the equilibrium rate of return will be positive and
reflects:
individuals relative preferences for present over future
goods
the positive physical productivity of capital accumulation
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Important Points to Note:
The rate of return (or real interest rate) is an important
element in the
overall costs associated with capital
ownership
it is an important determinant of the market rental rate on
capital (v)
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Important Points to Note:
Future returns on capital investments must be discounted at the
prevailing
real interest rate
use of present value provides an alternative way to study a
firms investment decisions
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Important Points to Note:
Individual wealth accumulation, natural resource pricing, and
other
dynamic problems can be studied
using the techniques of optimal
control theory
these models often yield competitive-type results
