1

KARYA TULIS ILMIAH

MEKANIKA KUANTUM DALAM RUANG MOMENTUM

CONTOH PARADIGMA SIMETRI DALAM FISIKA

Oleh:

Drs. Ida Bagus Alit Paramarta, M.Si.

Komang Ngurah Suarbawa, S.Si.,M.Si.

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2017

2

ABSTRAK

Telah dibahas perumusan penyelesaian persoalan mekanika kuantum dalam ruang

momentum, yang seringkali diabaikan dalam perkuliahan tetapi digunakan dalam

penelitian. Secara khusus dibahas persoalan hamburan untuk mana perwakilam

momentum sangat alami yang belum diketahui dengan baik. Pembahasan

diberikan dengan mengambil contoh sederhana, potensial delta satu dimensi dan

mendapatkan fungsi gelombangnya.

Kata kunci: ruang momentum, potensial delta satu dimensi, keadaan terikat,

hamburan

ABSTRACT

The formulation of quantum mechanical problems in momentum spaces, wich is

largely ignored in traditional courses but used in research is discussed. In

particular, the formulation of scatering problems, for wich the momentum

representation is quite natural, is neither generally well known nor obvious. This

is ilustrated by solving a simple proble, the one dimensional delta potential, for

which the bound state and continuumwave function are found.

Key words: momentum spaces, one dimentional delta potential, bound state,

scattering

3

HALAMAN PENGESAHAN

KARYA TULIS ILMIAH

Judul Karya Ilmiah : Mekanika Kuantum Dalam Ruang Momentum

Contoh Paradigma Simetri Dalam Fisika

Ketua

a. Nama Lengkap : Drs. Ida Bagus Alit Paramarta, M.Si.

b. NIP : 196603061997021004

c. Jabatan Fungsional : Lektor

d. Program Studi : Fisika

e. No. HP : 081337420192

f. Alamat email : alit.paramarta@yahoo.com

Anggota

a. Nama Lengkap : Komang Ngurah Suarbawa, S.Si., M.Si.

b. NIP : 197103081998021004

c. Jabatan Fungsional : Lektor

d. Program Studi : Fisika

Mengetahui Bukit Jimbaran, Januari 2017

Dekan F MIPA Ketua

Ida Bagus Made Suaskara Ida Bagus Alit Paramarta

NIP. 196606111997021001 NIP. 196603061997021004

4

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi

Wasa/Tuhan Yang Maha Esa, ata asung kerta wara nugraha-Nya sehingga

penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik. Makalah ini bertujuan

untuk memberikan tambahan pengetahuan kepada pembaca tentang teori

perwakilan dalam mekanika kuantum.

Pada makalah ini dibahas persoalan penyelesaian persamaan Schrodinger

dalam perwakilan momentum. Penyelesaian persamaan Schrodinger dalam ruang

momentum sangat jarang ditemui dalam buku buku mekanika kuantum. Jika

diinginkan fungsi gelombang dalam ruang momentum, yang biasa dilakukan

adalah dengan melakukan transformasi Fourier terhadap penyelesaian yang telah

diperoleh dalam ruang koordinat. Pembahasan dilakukan dengan mengambil

contoh sederhana yaitu potensial delta satu dimensi dan hamburan.

Penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang elah

membantu baik itu rekan-rekan dosen atas masukannya maupun mahasiswa atas

koreksinya sehingga penulisan makalah ini dapat diselesaikan dengan baik

Penulis menyadari bahwa meskipun segenap kemampuan telah dicurahkan

untuk menyelesaikan karya tulis ilmiah ini tetapi masih banyak kekurangannya.

Untuk itu setiap kritik dan saran untuk kesempurnaan karya tulis ini akan diterima

dengan tangan dan hati terbuka

Bukit Jimbaran, Januari 2017

Penulis

5

DAFTAR ISI

ABSTRAK

KATA PENGANTAR

Daftar Isi

BAB I. PENDAHULUAN 1

BAB II. PERSAMAAN SCHRODINGER DALAM RUANG

MOMENTUM 2

BAB III. PENYELESAIAN DARI KEADAAN TERIKAT

( BOUND STATE ) 4

BAB IV. PERSOALAN HAMBURAN 7

BAB V. KESIMPULAN 12

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN A

LAMPIRAN B

6

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam kuliah mekanika kuantum mahasiswa biasanya dihadapkan pada

persoalan yang diselesaikan dalam konfigurasi ruang ( perwakilan x) dengan cara

menyelesaikan persamaan Schrodinger, sedangkan ruang momentum hanya

diperkenalkan secara formal dan sangat jarang dipergunakan untuk menyelesaikan

suatu persoalan kuantum. Fungsi ruang momentum yang diinginkan dari suatu

persoalan biasanya diperoleh dengan cara melakukan transformasi Fourier dari

jawaban persoalan yang diperolah dalam perwakilan posisi.

Untuk beberapa permasalahan perwakilan momentum lebih alami,

khususnya pada persoalan hamburan. Perlakuan yang biasa dilakukan dalam

menyelesaikan persoalan hamburan adalah mengkonversi persamaan Schrodinger

menjadi persamaan integral dengan menggunakan fungsi Green. Fungsi Green ini

diperoleh dari transformasi Fourier. Cara ini menghasilkan bentuk yang sederhana

dari fungsi Green dalam ruang momentum, di mana operator energi kenetik

diagonal. Bentuk dan penyelesaian dari fungsi Green diberikan pada Lampiran B.

Tujuan dari makalah ini adalah untuk memberikan gambaran dari

penyelesaian persamaan Schrodinger dalam ruang momentum dengan contoh

sederhana berupa gerak partikel satu dimensi dalam potensial delta satu dimensi.

Meskipun potensial ini secara fisik tidak realistik, tetapi sebagian besar

karakteristik persamaan Schrodinger dapat digambarkan dengan penggunaan

potensial ini.

7

BAB II

PERSAMAAN SCHRODINGER DALAM RUANG MOMENTUM

Persamaan Schrodinger dalam perwakilan posisi x dapat dituliskan

sebagai:

)()()()2/( 2 xxVxmpE (1)

Dengan p menyatakan operator x

i

. Fungsi gelombang ruang momentum

)( p didefinisikan sebagai:

(2)

Dengan hubungan sebaliknya:

(3)

Fungsi memainkan peranan yang sama dalam perwakilan p seperti

dalam perwakilan x. Sebagai contoh: kebolehjadian pengukuran momentum

antara p dan p+dp diberikan oleh . Dalam suku , persamaan

Schrodinger (1) menjadi:

(4)

Pada persamaan ini p hanyalah bilangan ( operator energi kenetik seperti

momentum, diagonal dalam perwakilan p ). Sedangkan V(p-p’) tanpa melihat

kehadiran ћ, adalah transformasi Fourier dari V(x):

8

(5)

Pada makalah ini akan diambil potensial berbentuk:

(6)

Dengan C adalah konstanta dengan dimensi energi kali waktu. Untuk potensial ini

diperoleh:

C (7)

Dan persamaan (4) mempunyai bentuk yang sederhana:

(8)

9

BAB III

PENYELESAIAN DARI KEADAAN TERIKAT ( BOUND STATE )

Didefinisikan suatu konstanta α yang untuk sementara belum diketahui:

(9)

Karena akan dicari penyelesaian dari keadaan terikat di mana E<0, maka

dituliskan:

(10)

Atau sebaliknya

(11)

Persamaan (8) dapat dituliskan menjadi:

(12)

Sehingga:

(13)

Jika persamaan (13) ini disubstitusikan ke persamaan (9) diperoleh:

(14)

Yang mungkin hanya jika:

(15)

Karena β adalah akar positif, keadaan ini dapat terpenuhi hanya jika c<0

( potensial atraktif). Untuk kasus ini dari persamaan (11) diperoleh: (Baym,1965)

(16)

10

Fungsi gelombang yang bersesuaian dengan energi ini oleh persamaan (13), di

mana β mempunyai nilai persamaan (15) dan α tetap untuk alasan normalisasi.

Fungsi gelombang hasilnya adalah:

(17)

Fungsi gelombang hasilnya diberikan pada Gambar 3.1

Gambar 3.1. Fungsi gelombang dalam ruang momentum

Suku menunjukan setengah lebar( half-width) dari fungsi gelombang

yang berbentuk Lorentsian ( lebar setengah puncak). Pengukuran momentum

dapat memberikan sembarang nilai, dengan nilai yang paling mungkin adalah nol

dan sebagian besar nilai terletak antara - dan + . Dengan

mensubstitusikan (17) pada (3) dan menghitung hasilnya denan integral

konturuntuk kasus x>0 dan x<0 secara terpisah diperoleh fungsi gelombang

dalam konfigurasi ruang:

(18)

Fungsi gelombang yang digambarkan oleh persamaan (18) diberikan pada

Gambar 3.2.

11

Gambar 3.2. fungsi gelombang keadaan terikat dalam konfigurasi ruang

Hasil ini diperoleh dengan menggunakan syarat batas pada x=0; yaitu kontinuitas

tetapi diskontinuitas slope-nya

(Baym, 1965). Setengah lebar pada kasus

ini menggambarkan setengah jarak antara titik di mana berkurang menjadi

1/e dari nilai maksimumnya .

12

BAB IV

PERSOALAN HAMBURAN

Persoalan hamburan sedikit lebih rumit dalam setiap perwakilan. Dalam

perwakilan posisi dicari penyelesaian dari (1) yang untuk x besar mempunyai

bentuk gelombang datar plus gelombang datang. Untuk lebih jelasnya ditinjau

gelombang datang yang mewakili partikel dengan momentum p0 bergerak ke

kanan :

(19)

Konstanta normalisasi dipilih sedemikian rupa sehingga :(Merzbacher,1970)

(20)

Kenyataan bahwa tidak tergantung pada x membuktikan bahwa lokasi

partikel tidak dapat ditentukan, sebagai akibat penentuan momentum partikel yang

pasti.

Dalam ruang momentum, gelombang datar (19) jika disubstitusikan pada (2)

menjadi:

(21)

Fungsi gelombang ini dinormalisasi menurut persamaan :

(22)

Kemunculan fungsi yang lebih umum (genealized function)

menghindarkan keadaan yang tidak ternormalisasi.keadaan ini tidak

dijumpai dalam persoalan keadaan terikat, dimana fungsi keadaannya

ternormalisasi.

Gelombang datar (19) dan (21) memenuhi persamaan Schrodinger:

13

(23a)

(23b)

Di mana energi diberikan oleh:

(24)

Persamaaan (23a) adalah persamaan diferensial, sedangkan (23b) adalah aljabar

biasa dengan mengingat aturan:

(25)

Persoalan berikutnya adalah bagaimana menggambarkan gelombang yang

terhambur dalam ruang momentum. Akan dicari penyelesaian dari persamaan (4),

, dengan sifat bahwa bagian terhambur , hanya memiliki

gelombang yang terhambur. Dirac telah menunjukan untuk kasus tiga dimensi,

bahwa akan murni gelombang terhambur jika mengandung faktor:(Messiah,

1962):

(26)

Dengan P adalah nilai prinsipal Cauchi (Cauchi principal value). Pembatasan ini

menentukan singularitas pada saat mengintegralkan terhadap p.

Kembali dengan persoalan hamburan dengan potensial fungsi delta,

dimulai dari (8) dan mendefinisikan seperti (9) untuk kassus keadaan terikat,

dengan hasil:

(27)

Tidak seperti pada kasus keadaan terikat, kita tidak dapat menyederhanakan

dengan membagi dengan , karena faktor tersebut bernilai nol untuk

, sedangkan pada persamaan (12), selalu bernilai positif.

Harus siberikan perlakuan khusus untuk kasus ini. Jika didefinisikan kebalikan

, adalah nilai prinsipalnya, penyelesaian umum dari (29) dapat dituliskan

menjadi:

14

(28)

Seperti pada kasus keadaan terikat, substitusi (28) pada (9), diperoleh:

(29)

Sampai sejauh ini belum dibahas kondisi dari gelombang yang terhambur. Secara

umum penyelesaiannya harus memiliki bentuk:

(30)

Dengan f(p) adalah fungsi yang ditentukan oleh potensial. Suku pertama ruas

kanan dari (30) adalah , sedangkan sisanya adalah . Dan suku dalam

kurung siku adalah delta Dirac (26), yang dituliskan dengan identitas yang baru

(Messiah, 1962):

(31)

Dengan membandingkan nilai prinsipal pada (30) dan (28) untuk kasus ini, f(p)

adalah konstanta yang tak tergantung pada p:

(32)

Atau dengan menggunakan (29):

(33)

Jika dibandingkan koefisien dari dan dari persamaan (30)

dan (28), diperoleh:

Substitusi dua persamaan terakhir ke paersamaan (33), diperoleh:

15

Yang jika diselesaikan ke λ, memberikan:

(34)

Penyelesaian akhirnya adalah:

(35)

Dengan λ diberikan oleh (32). Transformasi penyelesaian ini ke perwakilan posisi

x, memberikan:

(36)

Hasil ini sesuai dengan yang diperoleh Baym, tetapi dengan cara yang berbeda.

Untuk x>0, diperoleh:

(37)

Koefisien transmisinya diberikan oleh:

(38)

Dengan cara yang sama untuk x<0, diperoleh:

(39)

Dari persamaan terakhir koefisien refleksi diberikan oleh:

(40)

Pada gambar 3 ditunjukan kebolehjadian . Untuk x>0 nilainya adalah

konstanta , yang menunjukan bahwa yang ditransmisikan adalah

gelombang datar, yaitu persamaan (36). Untuk x<0 berosilasi, yang

menunjukan interferensi antara gelombang datang dan gelombang yang

dipantulkan ( gelombang tegak).

16

Gambar 4.1. Rapat kebolehjadian untuk persoalan hamburan dalam konfigurasi ruang

Sayangnya karena yang diberikan oleh persamaan (35) adalah secara

umum fungsi kompleks, maka baik maupun tidak dapat diplot. Jika

bekerja pada ruang konfigurasi, hanya diketahui secara sifat umum dari

pada limit . Pada ruang momentum penyelesaian pastinya diketahui

seperti persamaan (30). Jika (30) disubstitusikan pada (4) dan menggunakan

(23b), diperoleh persamaan untuk :

(41)

Yang tidaklain adalah amplitudo hamburan dalam perwakilan p. Jika

disubstitusikan , diperoleh:

(42)

Yang merupakan pendekatan Born. Untuk kasus potensial fungsi delta, dari (7)

dan (42) diperoleh:

(43)

17

BAB V

KESIMPULAN

Penyelesaian persoalan keadaan terikat ( bound state) dan hamburan menjadi

lebih sederhana dalam perwakilan momentum. Untuk mendapatkan koefisien

transmisi dan refleksi pada persoalan hamburan, penyelesaian persamaan

Schrodinger dalam perwakilan momentum harus ditrasformasikan balik ke

perwakilan posisi.

18

DAFTAR PUSTAKA

Baym G., 1965, Lecture on Quantum Mechanics, Benyamin, New York

Byron F.W., Fuller R.W., 1969, Mathematics Of Classical And Quantum

Physics, Dover Publications, New York

Dirac P.A.M., 1958, Quantum Mechanics, Oxford University, London

Merzbacher E., 1970, Quantum Mechanics, 2nd edition, Wiley, New York

Messiah A., 1962, Quantum Mechanics, Wiley, New York

19

LAMPIRAN A

Pada lampiran ini akan diturunkan hasil yang digunakan pada BAB IV. Dimulai

dengan persamaan (4), dengan memasukan pada persamaan (4) dan

menggunakan (23b) dan (24), diperoleh persamaan untuk bagian terhambur dari

fungsi gelombang :

(A-1)

Dengan g(p) adalah fungsi yang tergantung pada dan f(p) diberikan oleh (42)dan

(43). Persamaan (A-1) tidak menentukan secara unik, tetapi secara umum dapat

dituliskan:

(A-2)

Karena kedua suku yan terakhir dihilangkan oleh menurut (25). Jika (A-

2) dimasukan ke (3), diperoleh dalam konfigurasi ruang dari bagian terhambur:

(A-3)

Tugas berikutnya adalah menghitung integral terakhir untu x yang besar. Dengan

menggunakan partial-fraction decompotition:

Maka integral dapat dipecah menjadi 1/2p0 dikalikan dengan selisih dua intgral

masing masing dengan bentuk:

(A-4)

Dengan q=-p0dan q=p0 untuk kedua kasus, maka dapat dituliskan:

(A-5)

20

Integral terakhir tidak memerlukan nilai principal karena integral halus dekat p=q.

Dengan , bagian ini akan berkurang paling tidak secepat 1/ ( Teorema

Riemann-Lebesgue). Nilai principal dari integral (A-5) akan didominasi oleh suku

keduan dengan , sehingga harus dihitung dengan cermat.

(A-6)

Pada bagian terakhir telah digunakan hubungan s=p-q sebagai variable integral.

Dari tabel integaral diketahui bahwa:

, (A-7)

yaitu bernilai untuk x>0 dan – untu x<0. Maka:

(A-8)

Dan dengan , maka:

(A-9)

Yang bersesuaian dengan:

+ (A-10)

Untuk x > 0 gelombang yang keluar bergerak ke kanan adalah .

Untuk menghilangkan gelombang yang datang, , haruslah

dipenuhi:

21

(A-11)

Untuk x < 0 gelombang yang keluar bergerak ke kiri adalah .

Untuk menghilangkan elombang yang datang , haruslah dipenuhi:

(A-12)

Substitusi kedua persamaan terakhir ini ke persamaan (A-2), diperoleh:

(A-13)

Karena fungsi delta, maka:

(A-14a)

(A-14b)

Maka g(p) dapat dikeluarkan dan dengan menggunakan persamaan (31),

diperoleh:

(A-15)

Dengan f(p)=g(p)/2m

22

LAMPIRAN B

FUNGSI DELTA DAN FUNGSI GREEN SATU DIMENSI

B.1. Fungsi delta

Misalkan kita punya persamaan diferensial berbentuk :

(B-1)

Dengan L adalah operator diferensial parsial biasa dan f adalah fungsi tertentu.

Diandaikan L memiliki himpunan fungsi eigen yang ortonormal ,

sehingga berlaku:

(B-2)

Dengan menggunakan sifat di atas maka dapat dituliskan:

(B-3a)

(B-3b)

Penjumlahan sampai tak berhingga mencerminkan ruang Hilbert yang dimensinya

tak berhingga, sifat yang dimiliki oleh himpunan fungsi ortonormal yang

terdiridari tak berhingga elemen. Jika (B-3a) dan (B-3b) disubstitusikan pada (B-

1), diperoleh:

Maka:

Karena tak gayut linier, maka dapat disimpulkan bahwa:

23

, sehingga:

(B-4)

Dengan . Jika untuk beberapa =0, penyelesaian hanya ada untuk

=0. Untuk kasus ini penyelesaian tidaklah unik, sembarang kelipatan

yang berhubungan dengan =0 dapat ditambahkan pada setiap penyelesaian.

Untuk sementara akan ditinjau 0 untuk semua n. Jika paersamaan (B-4)

ditulis secara lebih mendetail:

Maka:

(B-5)

Dengan:

(B-6)

Adalah fungsi Green dalam bentuk penjumlahan tak berhingga dari fungsi eigen.

Jika riil, maka G(x,x’) simetri, yaitu:

G(x,x’)=G(x’,x*).

Sebagaicontoh ditinjau opearator

. Untuk x pada , fungsi eigen

ternormalisasi dari L pada dan hilang pada titik ujungnya adalah:

, dengan n=1,2,...., denagan nilai eigen . Untuk kasus

ini fungsi Green-nya menjadi:

(B -7)

24

Adalah menarik untuk melihat bagaimana jika fungsi Green dioperasikan

bersama L:

Jika penjumlahan dan L ditukar dan dengan menggunakan ,

Untuk sembarang fungsi f(x),

Tetapi karena adalah fungsi yang ortonormal, maka persamaan di atas dapat

dituliskan menjadi:

Fungsi yang memiliki safat ini adalah adalah fungsi delta Dirac,

. Maka dapat dituliskan:

(B-7)

Bentuk persamaan yang akan lebih baik jika dituliskan dalam bentuk:

LK=I (B-8)

Dengan K adalah operator integral yang didefinisikan sebagai:

Maka dinyatakan dalam (B-8), mendapatkan fungsi Green dari operator L adalah

membalik L, sehingga persamaan Ly=f dapat diselesaikan menurut:

25

Analisa menunjukan bahwa jika kita kembali bentuk fungsi Green yang paling

sederhana G(x,x’) persamaan (B-3), diperoleh:

Dengan menggunakan (B-3), persamaan tersebut menjadi:

Atau

(B-9)

B.2 Fungsi Green satu dimensi

Setelah membahas fungsi Green dengaan operator sederhana, selanjutnya

akan dibahas operator yang lebih umum untuk mempelajari fungsi Green. Ditinjau

persamaan untuk gaya dari osilator harmonik teredam,

(B-10)

Dengan tanda titik di atas x menunjukan diferensial terhadap waktu. Juga untuk

alasan penyederhanaan telah dipilih m=1 satuan, γ adalah drag coeficient, ω0

adalah akar kuadrat konstanta pegas dan F(t)adalah gaya luar. Diandaikan F(t)

memenuhi trasnformasi Fourier:

Dimana telah diasumsikan F(t) memmenuhi transformasi Fourier, sehingga

menuju nol untuk t besar. Dengan mentransformasi Fourier kedua ruas dari (B-10)

diperoleh:

Misalkan:

26

Maka:

(B-11)

Suku pertama dengan integrasi parsial diperoleh:

Karena x(t) dan hilang untuk x besar maka:

(B-12)

Dengan mengintgralkan parsial sekali lagi dan menggunakan syarat batas di tak

berhingga, diperoleh:

Persamaan (B-11) dapat dituliskan menjadi:

(B-13)

Karena tidak bernilai nol ontuk keadaan riil, maka:

Hasil dari transformasi Fouriernya adalah:

Dengan menggunakan definisi , diperoleh:

27

Akhirnya dapat dijumlahkan sembarang kombinasi linier dari penyelesaian

osilator harminis untuk mendapatkan penyelesaian umumnya:

(B-14a)

Dengan:

(B-14b)

A dan B harus dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi syarat batas. Untuk

dua penyelesaian persamaan homogin yang tak gayut linier, dapat diambil (Byron,

1969):

(B-15a)

(B-15b)

Berikutnya dapat dihitung G(t,t’). Persamaan (B-14b) dituliskan dalam bentuk:

(B-16)

Dengan, dan

. Hal yang

penting dari k1 dan k2 adalah bahwa bagian imajinernya selalu negatif. Integral

dihitung menggunakan integral kontur pada ruang kompleks k, seperti gambar

berikut.:

28

Gambar B.1. Bidang kompleks k yang menunjukan kontur untuk menghitung integral fungsi Green

untuk osilator harmonik teredam (Byron, 1969).

(B-17)

Pada suku pertama ruas kanan dari (B-17), integral dihitung sepanjang sumbu riil,

sedangkann suku kedua diintegralkan sepanjang setengah lingkaran berjari-jari K,

yang mana:

, dan bernilai sampai .

Misalkan K, jari-jari kontur sangat besar. Karena bagian imajiner dari k1 dan k2

pada setengah bagian bawah bidang kontur, maka kontur C meliputi keduanya dan

intgral dapat dihitung dengan teorema residu. Diperoleh:

29

Faktor (-1) dimasukan karena kontur tertutup pada setengah bagian bawah

sehingga bergerak searah jarum jam. Dengan memasukan nilai k1 dan k2

diperoleh:

Dengan K mendekati , suku pertama ruas kanan dari (B-17) tidak lain adalah

G(t,t’) persamaan (B-16), sehingga:

(B-18)

Dengan:

Tetapi intgral ini bernilai nol untuk K ( teorem Jordan)(Byron, 1969), maka:

t > t’

Untuk t < t’, cara di atas menjadi tidak benar karena integral yang dilibatkan

dalam memperkirakan R bertambah secara eksponensial. Untuk kasus ini dipilih

kontursetengah bagian atas. Tetapi integral I pada (B-17) tidak memiliki

singularitas di dalam kontur, sehingga:

t < t’

Maka dapat disimpulkan:

(B-19a)

30

Penyelesaian umumnya dapat dituliskan menjadi:

(B-19b)

Dengan t0 adalah waktu saat mana kondisi awal (F(t’)) diberikan. Sebagai contoh

misalkan , dimulai saat t = 0. Sistem diandaikan diam pada posisi

setimbangnyapada t = 0, sehingga A=B=0 pada persamaan (B-19b). Maka:

Dengan menghitung integralnya diperoleh:

Dengan dan terletak di kuadran pertama atau

kedua. Syarat batas dan terpenuhi oleh hasil tersebut. Jika

redaman menjadi nol, diperoleh:

Setelah waktu yang sangat lama, gaya F(t) menjadi sangat kecil, diperoleh

gerakan osilasi murni:

Dari hasil ini diperoleh energi akhir sistem. Mula-mula energi sistem nol,

sehingga energi sistem sama dengan energi yang ditransfer ke sistem. Untuk

partikel dengan massa satu satuan:

Maka:

31