Medidas de Dispersion.[1]

7/28/2019 Medidas de Dispersion.[1]

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BIOESTADSTICA

Tatiana Burga.Wilver Rodrguez.

Medidas deDispersin

FACULTAD DE MEDICINA HUMANA

FILIAL NORTE


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Las medidas de dispersin o variabilidad

Son tiles porque:

Permiten juzgar la confiabilidad de la

medida de tendencia central.

Los datos demasiados dispersos tienen

un comportamiento especial.

Es posible comparar dispersin de

diversas muestras.


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AMPLITUD TOTAL: A RANGO: R

Se obtiene de la diferencia entre el dato mayor yel dato menor.

Ejemplo:Los siguientes datos representan los pesos de 10pacientes. Calcule el rango.

60, 58, 80, 70, 75, 55, 76, 60, 68, 70

Amplitud Total Rango = 80 - 55 = 25

Interpretacin

La diferencia entre el paciente con mayor peso y el paciente con

menor peso es 25 kilos.


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Clculo a partir de datos agrupados

Se utiliza la siguiente formula:

Amplitud Total o Rango = ( Ls - Li) + 1

donde:

Ls : Limite superior de la ltima clase

: Limite inferior de la primera clasei

L


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Ejemplo:

La distribucin de frecuencias siguiente representa

las estancia hospitalaria(das) de una muestra de

pacientes. Calcule e interprete el rango

Rango = (20 - 1) + 1

R = 20

Interpretacin: la diferencia de das entre elpaciente que ms das hospitalarios y el pacientecon menos das hospitalarios es de 20 das.

N Das N de Pacientes

1 - 4 4

5 - 8 89 - 12 15

13 - 16 23

17 - 20 10

Total 60


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Ventajas

fcil de calcular

fcil de entender e interpretar

Desventajas

slo considera los valores extremos

no toma en cuenta ni el nmero de datos ni el

valor de stos

no es posible de calcular en tablas con

extremos abiertos.


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LA VARIANZA

Es una medida de dispersin e indica la desviacinpromedio con respecto a la media aritmtica

a) Clculos a partir de datos no agrupados.

para una muestra

para un poblacin

1

1

2

)X(2

n

n

iix

S

N

N

ii

1

2

)X(2


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8 8 - 10 = 2 4

10 10 - 10 = 0 0

5 5 - 10 = 5 25

12 12 - 10 = 2 4

10 10 - 10 = 0 0

15 15 - 10 = 5 25

Ejemplo:La siguiente informacin se refiere a los das de

hospitalizacin de 6 pacientes en un centro de salud:8, 10, 5, 12, 10, 15. Calcule la varianza.

Elaboramos un cuadro de la forma siguiente

x X xi 2X xi

60X

0X x

i

10

6

60

x

x

582 xiX


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58X 2xi

1

)(X2

2

n

i

S

x

2das6,11

16

582

S


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LA DESVIACION ESTANDAR

Es la raz cuadrada de la varianza, seapoblacional o muestral.

a) Clculos a partir de datos no agrupados

Para la muestra

Para la poblacin

1

1

2

2

n

n

ii x)(X

S s

N

N

ii

1

2

2

)X(


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Ejemplo:En relacin al ejemplo anterior. Calcular la desviacin

estndar de los siguientes das hospitalarios:8, 10, 5, 12, 10, 15

Ya sabemos por el ejemplo anterior que S2 = 11,6 das2.

Entonces:

s2

S

das3,4S

das6,11S 2


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DESVIACIN ESTANDAR

1

)( 22

n

n

xfxf

S

iiii

Donde: fi: frecuencias absolutas simples

Xi: puntos medios de los intervalos de clase


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Ejemplo:Calcular la desviacin estndar de la siguiente

distribucin de frecuencias:

N de Das

Hospitalarios Xi fi Xi*fi Xi2*fi

2 - 4 3 4 12 36

5 - 7 6 10 60 360

8 - 10 9 15 135 1215

11 - 13 12 30 360 432014 - 16 15 5 75 1125

17 - 19 18 1 18 324

Total 65 660 7380


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DESVIACIN ESTANDAR

165 65

6607380

S

25.3S


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-3 -2 - + +2 +3

68.3 %

95.5 %

99.7 %

Teorema de Chebyshev


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El coeficiente de variacin

Es una medida de variabilidad relativa de los

datos, permite comparar la variabilidad de dos o

ms conjuntos de datos expresados en unidades

diferentes (peso; kg. y libras).

a) Calculos a partir de datos no agrupados

Para la muestra:

Para la poblacin:

100xCV

s

100

CV


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Ejemplo:A continuacin se presentan los pesos en dos grupos de pacientes

Cul de los grupos tiene un peso ms estable?.

I grupo II grupo

40,70,60,48,52,65,58 70,35,150,140,82,110,140,120

Calculamos la media y desviacin estndar para

cada uno de los grados


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Grupo I

40 -16,14 260,50

70 13,86 192,10

60 3,86 14,90

48 -8,14 66,26

52 -4,14 17,14

65 8,86 78,50

58 1,86 3,46

x X xi 2X xi

14567

3931 ,

n

x

n

i i

X

393X 0X xi 86,632X2xi


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866322 ,xiXSi

271017

86632

1

1

2

,

,( )

n

n

ii xX

S

100S

xCV

2918100 ,56,14

10,27CV


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Grupo II

70 -35,87 1286,6569

35 -70,87 5022,5569

150 44,13 1947,4569

140 34,13 1164,8569

82 -23,87 569,7769

110 4,13 17,0569

140 34,13 1164,8569

120 14,13 199,6569

x X xi 2

X xi

871058

8471

,

n

i

x

n

i

X

847X

04,0X xi 88,11372X2

xi


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88113721

2,

n

i

ixXSi

304018

8811372

1

1

2

,

,)(

n

n

ii xX

S

100S

xCV 06,30100

105,87

40,30CV

El II grupo presenta una mayor variabilidad en sus

pesos que el I grupo.


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CONSIDERACIONES

15/04/2013

SI:

C.V 33% La distribucin se puede considerar

aproximadamente simtrica.

C.V 33% La distribucin puede ser asimtrica


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Curvas simtricas: Cuandoal trazar una lnea el rea sedivide en dos partes iguales. Curvas asimtricas o

sesgadas: Concentrados enel extremo inferior o superior

del eje horizontal.La cola indica el tipo de

sesgo.

Medidas Forma:


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p = 3 (X - Me)

S

X=Me=Mo Mo


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Refleja el grado de agudeza.

(a) Leptocrtica (concentracin al centro)

(b) Mesocrtica (distribuidos simtricamente)

(c) Platicrtica (aplanada).

Coeficiente de Curtosis


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USO DE LAS DIFERENTES

MEDIDAS DE DISPERSION La desviacin estndarse emplea cuando

tambin es apropiado el uso de la media,es decir, con distribuciones simtricas(no

sesgadas) de datos numricos. Percentiles y rango intercuartilicos se

emplean, cuando la distribucin no essimtrica(sesgada) y es apropiado el usode la mediana.


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USO DE LAS DIFERENTES

MEDIDAS DE DISPERSION El rango es una medida apropiada para

datos numricos cuando el propsito es

enfatizar valores extremos.

El coeficiente de variacin es til cuando

la intencin es comparar dos

distribuciones numricas medidas en

escalas diferentes.


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El Boxplot (Diagrama de Caja)

Al igual que el histograma y el grfico deTallo y Hoja permite tener una idea visualde la distribucin de los datos (simetra y

variabilidad) Permite detectar outliers (valores

extremos).

Permite comparar la media y lavariabilidad de varios grupos (alternativagrfica a pruebas estadsticas)


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Boxplot: Procedimiento

1. Dibujar una caja cuyo lmite inferior ser

Q1 y el superior Q3. Dentro de la caja

trazar una lnea que localice la mediana.

2. Calcular el rango intercuartlico:

R.I. (Q) = RIQ = Q3 Q1

3. Dibujar un bigote del borde inferior de

la caja hasta Q1-1.5xRIQ .


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Boxplot: Procedimiento

5. Dibujar otrobigote del borde

superior de la caja hasta

Q3+1.5xRIQ .6. Dibujar cualquier observacin que

se ubique fueras de los bigotes

(estos sern los outliers).


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BoxPlot: Ejemplo

0

10

20

30

40

50

Datos


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OTRA ALTERNATIVA DEANALIZAR LA DISPERSIN DE

UN CONJUNTO DE DATOS:GRFICO DE TALLO - HOJAS


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Grfico de Tallo - Hoja

Un diagrama de tallos y hojas consiste en una serie de

hileras horizontales de nmeros. El nmero utilizado

para designar una hilera es un tallo y el resto de

nmeros en la hilera se denominan hojas.


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Se tienen los siguientes datospermetro

ceflico (cm) de recin nacidos, que

constituye una muestra obtenida de unapoblacin de recin nacidos:33.1 33.4 33.6 33.7 33.7 33.8 33.9 34.0

34.1 34.2 34.2 34.2 34.2 34.2 34.3 34.334.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.7 34.7 34.834.9 35.1 35.1 35.2 35.2 35.3 35.6 35.836.0 36.1 36.5


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Para la clasificacin de datos, se deben

identificar los valores entre los cuales se

encuentra la distribucin, es decir, el dato

menor y el dato mayor.

Dato menor: 33.1cm

Dato mayor: 36.5cm

33.1 33.4 33.6 33.7 33.7 33.8 33.9 34.034.1 34.2 34.2 34.2 34.2 34.2 34.3 34.334.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.7 34.7 34.834.9 35.1 35.1 35.2 35.2 35.3 35.6 35.836.0 36.1 36.5


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Se deben identificar los tallos -los nmeros que

van a designar las hileras- los cuales deben

contener a todos los valores de la distribucin (del

33.1 al 36.5). La eleccin de los tallos depende dela unidad con la que se quiera trabajar: enteros,

dcimas, centsimas... En el caso del ejemplo, los

datos estn dados indicando dcimas por lo que

trabajar con tallos enteros es la opcin ms

precisa y cmoda.

Los tallos seran entonces: 33, 34, 35 y 36.


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Sin embargo, no se puede realizar un diagrama de

tallos y hojas con menos de 5 tallos. Por lo tanto, los

tallos propuestos se deben dividir (desdoblar) en una

especie de intervalo, produciendo el doble. La divisindel tallo debe distinguirse visualmente:

33.1 33.4 33.6 33.7 33.7 33.8 33.9 34.034.1 34.2 34.2 34.2 34.2 34.2 34.3 34.334.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.7 34.7 34.834.9 35.1 35.1 35.2 35.2 35.3 35.6 35.836.0 36.1 36.5


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Seguidamente, se realiza el proceso de clasificacinen s. Todos los datos, dependiendo de su valor, secolocan a lado de su respectivo tallo. En el ejemplo,los datos cuyo valor se encuentre entre 33.0 y 33.4se deben colocar en la hilera del tallo 33*. Se debe

indicar el valor decimal exacto de cada dato a laderecha del tallo. En el ejemplo hay 2 valores entre33.0 y 33.4. Para clasificar el primero (33.1) seagrega al diagrama de tallos y hojas de la siguientemanera:

33*1 Para clasificar el segundo dato que corresponde a este

tallo (33.4): 33*14


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Lo mismo se realiza con cada tallo y lovalores que le correspondan:

En la hilera del tallo 33. se debe colocar los

nmeros 67789, correspondientes a losvalores 33.6, 33.7, 33.7, 33.8, 33.8 y 33.9.

A la hilera del tallo 34*se debe colocar

012222233 correspondientes a los valoresque se encuentran entre 34.0 y 34.4.

etc.


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Al clasificar todos los valores en sus tallos

respectivos, se obtiene el diagrama:


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Anlisis de la distribucin usando Tallos y Hojas

Las principales caractersticas de ladistribucin que se observan fcilmenteen el diagrama de tallos y hojas son: Hay 35 observaciones. El dato menor es 33.1cm.

El dato mayor es 36.5cm. El rango de los valores

observados es de 3.4cm (dato mayor dato menor).

De los 35 datos, 18 estn alrededor de34cm.

Los casos mayores a 36cm son pocos. La distribucin de los datos es asimtrica:

distribucin heterognea.

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Medidas de Dispersion.[1]