MEDIDAS DE

D ISPERS IÓN

Lic. Mónica Y. Saenz Tolay.

µ

MEDIDAS DE DISPERSION

Cuanto mayor sea ese valor mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media

Indican como los datos se dispersan al rededor de su punto central (la media). Miden la variabilidad o la distancia promedio de separación de los datos y su valor central.

Medidas de

dispersión

Absolutas

Recorrido (Rango)

Varianza

Desviación Estándar

RelativasCoeficiente

de Variación

Es la medida de dispersión más sencilla. Se determina restando el valor mayor del valor menor de los datos.

R = valor máx. – valor mín

Ejemplo: Se tienen las siguientes edades de un grupo de personas: 20, 25, 10, 5, 30, 35, 31, 23.Determinar el rango de sus edades.

RANGO O RECORRIDO

R = 35 – 5 = 30

Conocida también como la desviación típica y es la

medida que nos indica cuánto tienden a

alejarse los datos del promedio. Se calcula

sacando la raíz cuadrada de la varianza.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

s2

S 2

Población Muestra

LA VARIANZA La varianza mide la mayor o menor dispersión de

los valores de la variable respecto a la media aritmética. La varianza se expresa en las mismas unidades que la variable analizada, pero elevadas al cuadrado.

Formalmente se expresa:

1n)xx(...)xx()xx(

s 2

n2

22

12

2i

2 )xx(1n

1s De forma compacta:

Varianza

Población Muestra

Datos sin agrupar

Datos

agrupados

1

)xx(s

2i2

n

1

*)xx(s

2i2

n

fi

N

fi

*)xx(

2i2

N

2

i2 )xx(

El gerente de una empresa de

alimentos desea saber que

tanto varían los pesos de los

empaques (gr), de uno de sus

productos; por lo que

selecciona al azar cinco

unidades de ellos para

pesarlos.

Ejemplo Nº1: Varianza para datos no agrupados

Los productos tienen los siguientes pesos (490,

500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Obtenga la varianza y la desviación estándar

para los datos.

La varianza sería 1

)xx(s

2i2

n

1º Obtenemos la media

Solución:

La Desviación estándar sería s2

S

1204.12145S

Ejercicio Nº 1 : Varianza para datos no agrupados

Las calificaciones de un grupo de 7 estudiantes son las siguientes: 15, 10, 16, 13, 11, 15, 9. Se desea conocer cuál es la varianza de las calificaciones obtenidas.

Interpretación de la desviación estándar:

La variación de los pesos del producto, con respecto a su peso promedio es de 12 gramos.O la tendencia a variar por encima o por debajo de su peso promedio es de 12 gramos.

La siguiente tabla muestra la distribución de las alturas (cm) de la muestra de estudiantes de la generación 2007.

Ejemplo Nº2: Varianza para datos agrupados

Altura(cm)

Nº Estudiantes

157 – 162 7

162 – 167 8

167 – 172 9

172 – 177 30

177 – 182 25

182 – 187 14

93

Calcular la varianza y su desviación estándar.

AlturaMarca de clase (Xi)

fi

(cm) Nº

Estud. 157 – 162 159.5 7162 – 167 164.5 8

167 – 172 169.5 9

172 – 177 174.5 30

177 – 182 179.5 25

182 – 187 184.5 14

Total 93

Solución:

1º Obtenemos la media

n

fi ixx

13.5019388.4611

s 2

9.17493

5.16263x

1

*)xx(s

2i2

n

fi

La varianza es:

Xi*fi 

Xi - X 

(Xi - X)2 * fi159.5 *7

1316

1525.5

5235

4487.5

2583

16263.5

159.5 - 174.9

-10.4

-5.4

-0.4

4.6

9.6

(-15.4)2*7

865.28

262.44

4.8

529

1290.24

4611.88

Es una medida relativa de variabilidad de los datos. Permite comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en unidades diferentes (peso: Kg. y libras).

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

100S

% x

CV

S: Desviación EstándarX: Media Aritmética

_Comparar la estatura en cm y el peso en kg. de los 20 niños seleccionados de gimnasia artística y determine que medida es más homogénea o estable.

Ejemplo Nº 3 : Coeficiente de variación

Estatura (X) Peso (Y)

128,5

8,4X

X

S

9,4

4,36

YS

Y

%5.61005.128

8.4 CV %5.131004.36

4.9 CV

La medida referente a la altura tiene menor variabilidad , por lo tanto sus datos son más homogéneos a su promedio.

_

No olvidar

9,4

4,36

YS

Y

1. No brinda información, sobre la dispersión existente entre ambos valores extremos.

2. Representa la variabilidad relativa o en porcentaje.

3. Nos permite la comparación entre distintas variables y poblaciones.

4. Sus unidades estan expresadas al cuadrado.

5. En la fórmula ¿ Cuál es la diferencia entre la varianza poblacional y la varianza muestral?.

El rango

El coeficiente de variación

El coeficiente de variación

La varianza