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Suma de matrices
Si las matrices A=(a i j) y B=(b i j) t ienen la misma
dimensión, la matriz suma es:
A+B=(a i j+b i j) .
La matriz suma se obtienen sumando los
elementos de las dos matrices que ocupan la misma
misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra
matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión
que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los
elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A
Producto de matrices
Dos matrices A y B se dicen mult ipl icables s i e l número de
columnas de A coincide con el número de f i las de B.
Mm x n x M n x p = M m x p
El elemento c i j de la matr iz producto se obtiene
mult ipl icando cada elemento de la f i la i de la matr iz A por
cada elemento de la columna j de la matr iz B y sumándolos.
Propiedades del producto de matrices
Asociat iva:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matr iz identidad de l mismo orden que la matr iz
A .
No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Distr ibutiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
Matriz adjunta
La matriz adjunta es aquella
en la que cada elemento se
sustituye por su adjunto .
Se l lama adjunto del elemento
a i j al menor complementario
anteponiendo:
El signo es + si i+j es
par.
El signo es - si i+j es
impar.
Ejemplo
Matriz inversa
El producto de una matriz por su inversa es
igual al matriz identidad .
A · A - 1 = A - 1 · A = I
Propiedades
(A · B) - 1 = B - 1 · A - 1
(A - 1) - 1 = A
(k · A) - 1 = k - 1 · A - 1
(A t) - 1 = (A - 1) t
Se puede calcular la matriz inversa por dos
métodos:
1º. Cálculo de la matriz inversa pòr determinantes
Ejemplo
1. Calculamos el determinante de la matriz,
en el caso que el determinante sea nulo la matriz
no tendrá inversa.
2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella
en la que cada elemento se sustituye por su
adjunto.
3. Calculamos la traspuesta de la matriz
adjunta.
4. La matriz inversa es igual al inverso del
valor de su determinante por la matriz
traspuesta de la adjunta.
2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para
calcular la matriz inversa de A, que denotaremos
como A - 1 , seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del t ipo M = (A | I) , es
decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz
identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss vamos a
transformar la mitad izquierda, A, en la matriz
identidad, que ahora está a la derecha, y la
matriz que resulte en el lado derecho será la
matriz inversa: A - 1 .
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
(-1) F2
La matriz inversa es:
Adjunto de un elemento de un determinante
Se l lama adjunto del elemento a i j al menor
complementario anteponiendo:
El signo es + si i+j es par.
El signo es - si i+j es impar.
El valor de un determinante es igual a la
suma de productos de los elementos de una línea
por sus adjuntos correspondientes:
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 =
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Matriz de adjuntosDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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Dada una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante
de sustituir cada término de A por sus adjuntos respectivos.
El adjunto de un término de la matriz A resulta del determinante de la
submatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que
pertenece el término , multiplicado por ( − 1)(i + j). El interés principal de la
matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se
cumple la relación:
.
Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo
resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el
método de eliminación de Gauss.
Contenido[ocultar]
1 Definición y fórmulas de cálculo o 1.1 Matrices 2 x 2
o 1.2 Matrices 3 x 3
1.2.1 Ejemplo
o 1.3 Matrices n x n
2 Propiedades
3 Referencia
[editar] Definición y fórmulas de cálculo
Dada una matriz su matriz de adjuntos es la única matriz tal que:1
Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjuntos por
lo que comúnmente se define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente
fórmula explícita. Dadas las componentes explícitas de la matriz:
para cada i y j se define la matriz como la matriz
de orden obtenida a partir de eliminando la fila i-ésima y la columna j-
ésima. Y se define la cantidad:
Y se tiene que estas son precisamente las componentes de la matriz de
adjuntos ya que, es decir,
[editar] Matrices 2 x 2
Dada una matriz de 2 x 2:
Su matriz de adjuntos viene dada por:
[editar] Matrices 3 x 3
Dada una matriz de 3 x 3:
Su matriz de cofactores viene dada por:
y por lo tanto la transpuesta de la matriz de cofactores es la matriz Adjunta:
Para matrices de 3x3 también puede usarse la siguiente fórmula:
[editar] Ejemplo
Un ejemplo sería el siguiente:
[editar] Matrices n x n
Para matrices con n grande el costo computacional del cálculo de adjuntos
es grande. Por lo que si el objetivo es calcular la inversa de una matriz se recurre
a otros algoritmos de cálculos que no impliquen calcular primero la matriz de
adjuntos. Para el cálculo de la matriz de adjuntos en el caso general puede
emplearse la siguiente fórmula:
[editar] Propiedades
Dada una matriz definiendo
puede probarse que las pueden escribirse como suma de monomios de grado n en las componentes . Eso hace que a medida que n aumenta el cálculo de la matriz de
adjuntos por aplicación de fórmulas directas sea complicado, llegando a ser computacionalmente muy costoso.
Si consideramos la operación de buscar la matriz de adjuntos como una función:
resulta que esa función es continua. Esto puede verse a partir de la continuidad de la función determinante. Además se tienen otras propiedades interesantes:
o
o
o
o para .
o para .
o para .
o .
Si p(t) = det(A − tI) es el polinomio característico de A y definimos el
polinimio q(t) = (p(0) − p(t))/t, entonces:
Donde son los coeficientes de p(t):
La función adjunta también aparece en la fórmula de la derivada del
determinante:[cita requerida]
[editar] Referencia1. ↑ Philippe G. Ciarlet: Mathematical Elasticity, North Holland, 1993, p. 4
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