06 de Abril de 2011 MATRICES, DETERMINANTES Y … · MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 06 de Abril de 2011 Álgebra Lineal y Geometría Analítica

MATRICES, DETERMINANTES Y

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

06 de Abril de 2011

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1

ECUACIONES LINEALES(Clase 02)(Clase 02)

Departamento de Matemática Aplicada

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

1. Producto de matrices

2. Aplicaciones

3. Operaciones elementales con las filasde una matriz

Puntos a tratar


4. Matrices equivalentes

5. Matrices inversibles

6. Método de Gauss-Jordan

7. Un poco de historia

[ ]naaaA 11211 ⋯=

= 21

11

b

b

B⋮

Sea A una matriz o vector fila de orden n, y

sea B una matriz o vector columna de orden n:

Producto de matrices

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

[ ]n11211 ⋯

=

1nb

B⋮

El producto AB está dado por:

][ 1121121111 nnbababaAB ⋯++=

(NOTA: A este producto también se le llama producto escalar)

Encuentra el producto escalar o interno de los siguientes vectores.

[ ]1. 2 1 3 4 1 .− −

3

1

4

5

6

−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 1 1 3 4 4 5 1 6= + − + − + + −

( ) ( ) ( )6 1 12 20 6 7= + − + − + + − =



6

[ ]2. 3 4 0 1 .− − ( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 1 4 5 0 1 1 0= − − + − − + +3 20 0 0 23= + + + =

1

5

1

0

− −

El resultado del producto interno es un número real y el número de columnasdel primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.

Dadas las matrices:

A = [aij] de orden m x p

B = [bij] de orden p x n

El producto de AxB es una matriz C = [cij] de orden m xn cuya componente cij es el producto de la fila i de Ay la columna j de B.



=63

52

34

A

y la columna j de B.

=

3152

4231B

63

52

34

A= B=3152

4231



30123915239311225112710

C=

−−−−=

−−−−

−−

36166874

1618471

4102012

1254

4046

4583

.

870

853

012

Columna 3Fila 2



−−

−−

361668741254870

Posición c23

1. A(B + C) = AB + AC

2. (A + B)C = AC + BC

3. (AB)C = A(BC)

4. (kA)B = k(AB) = A(kB), k es un escalar

Sean A, B y C matrices multiplicativas.

Propiedades


4. (kA)B = k(AB) = A(kB), k es un escalar

5. (AB)T = BTAT

6. PorPor lolo general,general, ABAB ≠≠ BABA

7.7. ABAB == 00 nono implicaimplica queque AA == 00 óó BB == 00

8.8. ABAB == ACAC nono implicaimplica queque BB == CC

Si A · B = 0 no implica que A = 0 óB = 0

Si A · B = A · C no implica que B = C

Consecuencias de las propiedades


En general (A+B) 2 ≠≠≠≠ A2 + B2 +2AB, ya que A · B ≠≠≠≠ B · A

En general (A+B) · (A–B) ≠≠≠≠ A2 – B2, ya que A · B ≠≠≠≠ B · A

Dadas las matrices A = [aij]3x3 , B = [bij]3x2 y C = [cij]2x3tales que:

aij =i2 – j , i < 3

-i + j2 , i ≥ 3bij =

1 , i – j < 1

-1 , i – j ≥ 1

Ejercicios


cij =-1 , 2j/i = primo

0 , 2j/i ≠ primo

Calcular: A2 – (2B)(3C)


2. Aplicaciones


Puntos a tratar






Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 accionestipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los preciospor acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300,respectivamente.

Escriba un vector renglón (fila) que represente elnúmero de acciones compradas de cada tipo.

A B C D

Aplicaciones


A B C D

Acciones 200 300 500 250

Escriba un vector columna que represente el preciopor acción por cada tipo.

100 A

Precios 150 B

200 C

300 D

Utilizando al multiplicación de matrices, encuentre elcosto total de las acciones.

250500300200Acciones

DCBA

B150Precios

A100

Aplicaciones


250500300200Acciones

D300

C200

B150Precios

200x100 + 300x150 + 500x200 + 250x300 = 240,000

Una empresa utiliza tres tipos de materia prima M1, M2 yM3 en la elaboración de dos productos P1 y P2. Elnúmero de unidades de materia prima usados porcada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente y porcada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente.

Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas

Aplicaciones


30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestascomo producto de matrices:

a)¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?

b)Si los costos por unidad ($) para M1, M2 y M3 son 6, 10y 12 respectivamente. ¿Cuáles son los costos de lamateria prima por unidad de P1 y P2?

c)¿Cuál es la cantidad total gastada en materia primaa la semana en la producción de P1 y P2?


2. Aplicaciones


Puntos a tratar






Operaciones elementales con las filas de una matriz



2. Aplicaciones


Puntos a tratar






Matrices equivalentes



2. Aplicaciones


Puntos a tratar






Una matriz cuadrada que posee inversa se dice

que es inversible o regular o no singular; en caso

contrario recibe el nombre de singular.

Matrices inversibles


contrario recibe el nombre de singular.

La matriz inversa, si existe, es única

A-1·A = A·A-1= I

(A·B)-1 = B-1·A-1

Propiedades de la inversión de matrices


(At) –1 = (A-1) t

(A-1)-1 = A

(kA) -1 = (1/k) · A-1


2. Aplicaciones


Puntos a tratar






Método de Gauss-Jordan


Si A es una matriz invertible nxn construya la matrizaumentada . La matriz inversa A-1, nxn, seobtiene reduciendo la matriz mediante operacioneselementales de filas hasta obtener la matriz

[ ]nA I

1nI A−



n

Ejemplos:1. Encuentra la matriz inversa de .2 4

3 1A

=

2 4 1 0

3 1 0 1

1 11

2f f→

→1

21 2 0

3 10 1

1 2 23 f f f− + →→1

21 2 0

3 10 1

12

01 2

30 5 12−

−

2 21

5f f− →

→1

201 2

30 1 110 5

−

1 2 −



110

21 0 530 1 1

10 5

− −

2 1 12 f f f− + →→

1

110

25

3 110 5

A− − = −

1 413 210

− = −

2. Encuentra la matriz inversa de .2 3

3 5

−

2 3 1 0

3 5 0 1

−

1 11

2f f→

→

12

301

20 13 5

−

12

301

2 −



1 2 23 f f f− + →→2

3 1190 22

−

2 22

19f f→

→

12

3 012

3 20 1 19 19

− −

2 1 13

2f f f+ →

→

519

31 0 190 1 3 2

19 19

−

1

519

319

3 219 19

A− = −

313 219

5 = −

3. Encuentra la matriz inversa de .4 2

2 1

4 2 1 0

2 1 0 1

11 14

2→

− + →→f f

f f f

1142

1

01

10 0

−



2 1 0 1

4

1 2 22− + →→f f f 12 10 0 −

No es posible tener la matriz inversa en el ladoizquierdo por lo tanto la matriz no es invertible, lamatriz inversa no existe.

−−=

655

432

102

A

−

− ⇒ 010432

0001

010432

001102 21

21

121 R

=

100

010

001

)|(

21

22221

11211

⋯⋯

⋮⋮⋮⋮

⋯⋯

⋯⋯

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

IA



−−

−−

++

⇒

⇒

1050

011530

0001

100655

010432

100655

010432

25

217

21

21

52

3121

RRRR

⇒

⇒

+−

010

0001

010

010

0001

115

21

21

51

21

1017

31

31

35

21

21

32

351

231

RR

RR



−

−

⇒

⇒

6105100

010

0001

00

010

31

31

35

21

21

30

51

31

61

301

31

31

35

3R

−−−−−+−

+−

⇒6105100

10178010

352001233

5132

1

RRRR



−−−−−

=−

6105

10178

3521A

−

−−=

306

542

211

A

−−

010542

001211



−−

−−

−

+−

⇒100306

012960

001211

100306

010542

212 RR

−−

−−

−−

+−

+−

⇒

⇒

001211

106960

012960

001211

32

316

RR

RR



−−−⇒

114000

01296032 RR

Singular

1. Verifica que la matriz inversa de es .

2. Verifica que la matriz inversa de es .

1 0

2 2

1 0

11

2

− 1 0 2

4 2 1

− −



2. Verifica que la matriz inversa de es .4 2 1

1 2 10

− −

9 2 2

41 94

2 25 1 1

− − −


2. Aplicaciones


Puntos a tratar






Un poco de historia


Pensamiento de hoy

“Solo tengo una luz por la que seguían mis pasos, y esta luz es la dela experiencia. No conozco otramanera de juzgar el futuro que


manera de juzgar el futuro querodea el pasado”.

Patric Henry

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