PRACTICA : MATRICES Y DETERMINANTES · PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sean las matrices cuadradas siguientes A = 1 2 3 B = 9 8 7 C = 1 3 5

PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES

1. Sean las matrices cuadradas siguientes

A = 1 2 3 B = 9 8 7 C = 1 3 5

4 5 6 6 5 4 7 9 0

7 8 9 3 2 1 -3 -2 -1

Se pide calcular:

a. 2A -3B + C

2A = 2(1) 2 (2) 3(2) 2 4 6

4(2) 5 (2) 6(2) = 8 10 12

7(2) 8 (2) 9(2) 14 16 18

3B = 9(3) 8(3) 7(3) 27 24 21

6(3) 5(3) 4(3) = 18 15 12

3(3) 2(3) 1(3) 9 6 3

2A-3B = 2 4 6 27 24 21 -25 -20 -15

8 10 12 - 18 15 12 = -10 -5 0

14 16 18 9 6 3 5 10 15

2A-3B + C = -25 -20 -15 1 3 5 -24 -17 -10

-10 -5 0 + 7 9 0 = -3 4 0

5 10 15 -3 -2 -1 2 8 14

B. 2A2-3AB + AC

A2

= 1 2 3 1 2 3 30 36 42

4 5 6 = 4 5 6 = 66 81 96

7 8 9 7 8 9 102 118 150

2A2

= 30 (2) 36 (2) 42 (2) 60 72 84

66 (2) 81 (2) 96 (2) = 132 162 192

102 (2) 118 (2) 150 (2) 204 236 300

1+8+21 = 30 12+30+54 = 96

2+10+24 = 36 7+32+63 = 102

3+12+27 = 42 14+40+64 = 118

4+20+42 = 66 21+48+81 = 150

8+25+48 = 81

AB = 1 2 3 9 8 7 30 24 18

4 5 6 X 6 5 4 = 84 69 54

7 8 9 3 2 1 138 114 90

3AB = 30(3) 24(3) 18(3) 90 72 54

84(3) 69(3) 54(3) = 252 207 162

138(3) 114(3) 90(3) 414 342 370

2A2 -3AB

60 72 84 90 72 54 -30 0 30

132 162 192 - 252 207 162 = -120 -45 30

204 236 300 414 342 270 -210 -106 30

AC = 1 2 3 1 3 5 6 15 2

4 5 6 X 7 9 0 = 21 45 14

7 8 9 -3 -2 -1 36 75 26

. 2A2-3AB + AC

-30 0 30 6 15 2 -24 15 32

-120 – 45 30 + 21 45 14 = -99 0 44

-210 -106 30 36 75 26 -174 -31 56

C. 2A2B-3AB

2 + ACB

A2B = 30 36 42 X 9 8 7 612 504 396

66 81 96 6 5 4 = 1368 1125 882

102 118 150 3 2 1 2076 1706 1336

9+12+9 = 30 28+20+6 = 54

8+10+6 = 24 63+48+27= 138

7+8+3 =18 56+40+18 = 114

36+30+18 = 84 49+32+9 = 90

32+25+12 = 69

1 +14-9 = 6 20+0-6 = 14

3+18-6 = 15 7+56-27 = 36

5+0-3 = 2 21+72-18= 75

4+35-18 = 21 35+0-9 = 26

12+45-12 = 45

270+216+126= 612 816+590+300= 1706 240+180+84= 504 714+472+150= 1336

210+144+42= 396

594+486+288=1368

528+405+192= 1125

462+324+96= 882

918+708+450= 2076

2A2B= 612(2) 504(2) 396(2) 1224 1008 792

1368(2) 1125(2) 882(2) = 2736 2250 1764

2076(2) 1706(2) 1336(2) 4152 3412 2672

HALLAMOS 3AB2

B2

= 9 8 7 9 8 7 150 126 102

6 5 4 X 6 5 4 = 96 81 66

3 2 1 3 2 1 42 36 30

A B2 = 1 2 3 150 122 102 468 396 324

4 5 6 X 96 81 66 = 1332 1125 918

7 8 9 42 36 30 2196 1854 1512

3A B2 = 3 X 468 396 324 1404 1188 972

1332 1125 918 = 3996 3375 2754

2196 1854 1512 6588 5562 4536

HALLAMOS AB

AB = 1 2 3 9 8 7 30 24 18

4 5 6 X 6 5 4 = 84 69 54

7 8 9 3 2 1 138 114 90

81+48+21 = 150 27+12+3 = 42

72+40+14 = 126 24+10+2= 36

63+32+7 = 102 21+8+1 = 30

54+30+12 = 96

48+25+8 = 81

42+20+4 = 66

150+192+126= 468 1050+168+378=2196

126+162+108= 396 882+648+324= 1854

102+132+90= 324 714+528+270= 1512

600+480+252= 1332

504+405+216= 1125

408+330+180= 918

9+12+9=30 63+48+27= 138

8+10+6= 24 56+40+17= 114

7+8+3= 18 49+32+9 = 90

36+30+18= 84

32+25+12= 69

28+20+6= 54

HALLAMOS AXBXC

30 24 18 1 3 5 144 270 132

84 69 54 X 7 9 0 = 405 765 366

138 114 90 -3 -2 -1 666 1260 600

2A2B-3AB

2 + ACB =

1224 1008 792 1404 1188 972 -180 -180 -180

2736 2250 1764 - 3996 3375 2754 = -1260 -1125 -990

4152 3412 2672 6588 5562 4536 -2436 -2150 -1864

-180 -180 -180 144 270 132 -36 90 -48

-1260 -1125 -990 + 405 765 366 = -855 -360 -624

-2436 -2150 -1864 666 1260 600 -1770 -890 -1264

2 Sean la matrices

A = 1 -4 2 B = 1 2 C = 2 2

-1 4 -2 -1 3 1 -1

5 -2 1 -3

Se pide calcular

a. B+C

B = 1 2 + 2 2 3 4

-1 3 1 -1 = 0 2

5 -2 1 -3 6 -5

B. AB

A = 1 -4 2 X 1 2 = 15 -14

-1 4 -2 -1 3 -15 14

5 -2

30+168-54= 144 138+798-270 =666

90+216-36= 270 414+1026-180= 1260

150-18 =132 690-90 =600

84+483-16=405

252+621-108 = 765

420-54 =366

1+4+10= 15

2-12-4 = -14

-1-4-10= -15

-2+12+4= 14

C. BA

1 2 X 1 -4 2 = 1 4 -2

-1 3 -1 4 -2 -4 16 -8

5 -2 7 -28 14

D. A(B+C)

B+C = 1 2 2 2 3 4

-1 3 + 1 -1 = 0 2

5 -2 1 -3 6 -5

A(B+C)

1 -4 2 X 3 4 = 15 -14

-1 4 2 0 2 -15 14

6 -5

E. A(2B-3C)

2B = 1(2) 2(2) 2 4

-1(2) 3(2) = -2 6

5(2) -2(2) 10 -4

3C = 2(3) 2(3) 6 6

1(3) -1(3) = 3 -3

1(3) -3(3) 3 -9

2B-3C =

2 4 6 6 -4 -2

-2 6 - 3 -3 = -5 3

10 -4 3 -9 7 5

A(2B-3C)

1 -4 2 X -4 -2 = 30 -4

-1 4 -2 -5 3 -30 4

7 5

1-2 = 1 4+12= 16 10+4=14

-4+8= 4 -2-6= -8

2-4= -2 5+2= 7

-1-3= -4 -20-8= -28

3-0+12=15

4-8-10=-14

-3+0-12=-15

-4+8+10= 14

-4+20+14= 30

-2-12+10= -4

4-20-14= -30

2+12+10= 4

3. HALLAR x,y,z y w si;

3 x y = x 6 + 4 x+y

z w -1 2w z+w-1 2w + 3

3x 3y = 4+x 6+x+y

3z zw z+w-2 4w + 3

4+x = 3x 6+x+y = 3y 4w + 3 = 3w z + w -2 = 3z

4 = 2x 6+2+y = 3y 3 = -w -5 = 2z

x = 2 8+y = 3y -3 = w z = -5/2

8 = 2y

y = 4

4. Sean

A = 1 3 Y B = 2 0 -4

2 -1 3 -2 6

CALCULAR AB Y BA

AB = 1 3 = 2 0 -4 = 11 -6 14

2 -1 3 -2 6 1 2 -14

BA

2 0 -4 X 1 3 = NO SE PUEDE

3 -2 6 2 -1

5. Hallar las matrices que conmutan con A , es decir AB = BA donde A = -1 -2

-3 4

AB = -1 -2 = a b = -a-2c -b- 2d

-3 4 c d -3a+4c -3b+4d

2+9= 11 0+2 = 2

0-6 = -6 -8-6= -14

-4+18= 14

4-3 = 1

BA = a b -1 -2 - a -3b -2a+4b

c d x -3 4 = -c-3d -2c+4d

-a-2c= -a-3b -2c = -3b

-3a+4c = -c-3d

-b – 2d = -2a +4b

-3b +4d = -2c +4d

Reemplazamos por un factor: c = 6u

b = 4u

-3a+4(6u) = -6u-3d

-3a+24u = -6u -3d

-3a= -30-3d

3d = -30u+3a

d = -10u +a

-4u-2 (-10u+a) = -2 + 4 (4u)

-4u(-20u+2a) = -2a +16u

-4u+20u -2a = -2a+16u

Necesitamos un 2do parámetro V y haciendo a = b, las ecuaciones parametricas son

a = v

b = 4u

c = 6u

d = -10u+v

Dando valores arbitrarios a u y v se obtienen todas la matrices B que conmutan con

A

U = 1 y v = 1

Entonces :

AXB = -1 -2 X 1 4 = -13 14

-3 4 6 -9 21 -48

BXA = 1 4 X -1 -2 = -13 14

6 9 -3 4 21 -48

PARA u = 0 y v = 0

-1 -2 1 0 = -1 -2

-3 4 0 1 3 4

-1-12=-13

-4+18= 14

-3+24 = 21

-12-36 = -48

-1-12 = -13

-2+16= 14

-6+27 = 21

-12 -36 = -48

-1-0= -1

0-2 = -2

-3+0 = -3

0+4 = 4

1 0 = -1 -2 = -1 -2

0 1 -3 4 3 4

6. probar que las matrices AAT y A

TA están definidas para cualquier matriz A e

Mnxm ®

A = -1 -2 At = -1 -3

-3 4 -2 4

AAt = -1 -2 -1 -3 = 5 -5

-3 4 -2 4 -5 25

AtA = -1 -3 -1 -2 = 10 -10

-2 4 -3 4 -10 20

-1+0 = -1

-2+0 = -2

0-3 = -3

0 + 4 = 4

7. Encontrar AAT y A

TA donde:

A = 1 2 0

3 -1 4

Entonces

AT

= 1 3

2 -1

0 4

AAT

= 1 2 0 = 1 3 = 3 -1

3 -1 4 2 -1 1 26

0 4

ATA = 1 3 x 1 2 0 = 10 -1 12

2 -1 3 -1 4 -1 5 -4

0 4 12 -4 16

8. Sean A = 1 2 calcular A2 y A

3 hallar F(A) donde = F (x) = 2x

3- 4x

2 + x + 5

4 -3

A2

= 1 2 x 1 2 = 9 -4

4 -3 4 -3 -8 17

A3

= 9 -4 x 1 2 = -7 30

-8 17 4 -3 60 -67

F(A) = 2 ( A3) - 4 (A

2) + A + 5

F (A) = -7 (2) 30 (2) - 9(2) -4(2) + 1 2 + 5

60(2) -67 (2) -8(2) 17 (2) 4 -3

1-2 = 3

1-2 = -1

3-2 = 1

9+1+16 = 26

1+9 = 10 4+1 = 5

2-3 = -1 0-4 = -4

0+12 = 12 0+12 = 12

2-3 = -1 0-4 = -4

0+16 = 16

1 + 8 = 9

2 – 6 = -4

4 – 12 = -8

8 + 9 = 17

9-16 = -7

18+12 = 30

-8 + 68 = 60

-16-51 = -67

9. Dada la matriz A = 1 3 encontrar un vector u = x no nulo tal que Au= 3u

4 -3 y

A x x = 3 x x

Y y

1 3 x = 3x

4 -3 y 3y

x + 3y = 3x

4x – 3y 3y

x + 3y = 3x entonces 3y = 2x

4x - 3y = 3y entonces 4x = 6y

Establecemos parámetros

x = 4u

y = 6u

Entonces:

u = 4u

6u

11. Dada las matrices

A = 1 2 B = -1 2 C = -3 0 2 1

3 4 3 1 4 3 -3 0

5 -7

Calcular

a. AXB

b. BXA

c. BXC

d. AXC

A x B = 1 2 x -1 2 = NO SE PUEDE

3 4 3 1

5 -7

B x A = -1 2 x 1 2 5 6

3 1 3 4 = 6 10

5 -7 -16 8

B x C = -1 2 x -3 0 2 1 = 11 6 - 8 -1

3 1 4 3 -3 0 5 3 - 3 3

5 -7 -43 -21 31 -5

A x C = 1 2 x -3 0 2 1 = 5 6 -1 1

3 4 4 3 -3 0 7 12 6 3

13. Hallar el rango de las siguientes matrices

a. A = 1 0 1 = Rango = 3

3 2 -1

1 1 0

b. B = 1 2 0 1 4 = Rango = 3

0 1 -1 2 5

4 0 1 0 0

c. C = 2 4 1 = Rango = 3

1 2 0

3 5 3

d. D = 1 -2 1 -2 = Rango = 3

-2 1 1 1

1 1 -2 4

e. E = 1 2 3 6 F3 = F1+F2

2 3 5 10 Rango = 3

3 5 8 16

4 2 6 12

5 6 12 23

14. Sean A. B y C matrices regulares (No singular) del mismo orden nxm.

Demostrar que si

AB = BA B = C

(Obs. Si A no es Regular, el resultado no es cierto)

A = 1 2 B = 3 4 C = a b

3 4 2 1 c d

A x B = A x C

A x B = 1 2 3 4 = 7 6

3 4 2 1 17 16

7 6 = 1 2 x a b = a + 2c = 7

17 16 3 4 c d 3a + 4c = 17

b + 2d = 6

3b + 4d = 16

A = 3 b = 4 c = 2 d = 1

15. Dadas las matrices

A = 1 1 B = 5 2 C = -1 1 D = 1 -2

2 1 2 1 2 -1 -2 5

Compruébese que:

a. C = A

-1

Hallamos A -1

A = 1 1

2 1

1 1 1 0

2 1 0 1

Aplicando Gauss

1 1 1 0 2F1 –F2 F2

2 1 0 1

1 1 1 0 F2-F1 F1

0 1 2 -1

-1 0 1 -1 -1 F1 F1

0 1 2 -1

luego A -1

= -1 1

2 -1

b. D = B -1

B = 5 2 1 0 2F1 - 5F2 F2

2 1 0 1

5 2 1 0 2F2+ F1 F1

0 -1 2 -5

5 0 5 -10 1/5 F1 F1

0 -1 2 -5 -1F2 F2

1 0 1 -2 entonces B -1

= 1 -2

0 1 -2 5 -2 5

c. C + D = (A + B ) -1

C + D = -1 1 + 1 -2 = 0 -1

2 1 -2 5 0 4

A + B = 1 1 5 2 = 6 3

2 1 + 2 1 4 2

(A + B ) -1

= 6 3 = Matriz nula no tiene inversa

4 2

Determinante

6 3 = 6*2-3*4 = 0

4 2

16. Hallar las inversas de las siguientes matrices :

1 0 3

2 1 -1

3 1 4

[DET ] = 1 0 3

2 1 -1 = 1x1x4 + 0x-1x3 + 2x1x3 – (-3x1x3 + 1x-1x1 + 2x0x4) =2

3 1 4

adjuntas :

1 0 3

2 1 -1 = a11 = 1 -1 = 4+1 = 5

3 1 4 1 4

1 0 3

2 1 -1 = a12 = 2 -1 = 8+3 = 11

3 1 4 3 4

1 0 3

2 1 -1 = a13 = 2 1 = 2-3 = -1

3 1 4 3 1

1 0 3

2 1 -1 = a21 = 0 3 = 0-3 = -3

3 1 4 1 4

1 0 3

2 1 -1 = a22 = 1 3 = 4-9 = -5

3 1 4 3 4

1 0 3

2 1 -1 = a23 = 1 0 = 1-0 = 1

3 1 4 3 1

1 0 3

2 1 -1 = a31 = 0 3 = 0-3 = -3

3 1 4 1 -1

1 0 3

2 1 -1 = a32 = 1 3 = -1-6 = -7

3 1 4 2 -1

1 0 3

2 1 -1 = a33 = 1 0 =1-0 = 1

3 1 4 2 1

entonces adj. = 5 11 -1 cambio de signo = 5 -11 -1 traspuesta = 5 3 -3

-3 -5 1 3 -5 -1 -11 -5 7

-3 -7 1 -2 7 1 -1 -1 1

A -1

= (adj (A))t

A

A -1

= 1/2 x 5 3 3 5/2 3/2 -3/2

11 5 7 = -11/2 -5/2 7/2

1 1 1 -1/2 -1/2 ½

b. 2 0 1

1 3 2 = 2x3x3 + 0x2x1 + -3x1x1 – (3x1x1 -3x2x2 + 1x0x3) = 24

1 -3 3

adjuntos :

a11 = 3 2 = 9+6 = 15

-3 3

a12 = 1 2 = 3-2 = 1

1 3

a13 = 1 3 = -3-3 = -6

1 -3

a21 = 0 1 = 0+3 = 3

-3 3

a22 = 2 1 = 6-1 = 5

1 3

a23 = 2 0 = -6+0= -6

1 3

a31 = 0 1 = 0-3 = -3

2 2

a32 = 2 1 = 4 – 1 = 3

1 2

a33 = 2 0 = 6

1 3

entonces adj. = 15 1 0 cambio de signo = 15 -1 -6 traspuesta = 15 -3 -3

3 5 -6 -3 5 6 -1 -5 -3

-3 3 6 -3 -3 6 -6 6 6

A -1

= (adj (A))t

A

A -1

= 1/24 x 15 -3 -3 0.625 -0.125 -0.125

-1 5 -3 = -0.04167 0.20833 -0.125

-6 6 6 -0.25 0.25 0.25

c. 1 3 0 3 -0.2 0.6 0 0.6

2 1 -1 1 = 0 0 1 -4

0 1 4 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0.4 -0.2 -1 3.8

Det c =

1era columna = 1 se multiplica por 1

2 se multiplica por -1

0 se multiplica por 1

0 se multiplica por -1

Det c = 1x 1 -1 1 -1x 2 x 3 0 3 + 0 + 0

1 4 0 1 4 0

0 1 0 0 1 0

= {1x4x0 + -1 x0 x0 + 1x1x1 – ( 0x4x1 +1x0x1 + 1x-1x0)} -2 x (3x4x0 + 0x0x0

+ 1x1x3 – (0x4x3 + 1x0x3 + 1x0x0))

0 +0 +1 – (0+ 0 +0) – 2 (0 +0+3 – (0 +0 +0))

1 – 2 (3 ) = -5

ADJUNTOS

A 1 1 = 1 -1 1 = 1

1 4 0

0 1 0

A12 = 2 -1 1 = 0

0 4 0

0 1 0

A13 = 2 1 1 = 0

0 1 4

0 0 0

A14 = 2 1 -1 = 2

0 1 4

0 0 1

A21 = 3 0 3 = 3

1 4 0

0 1 0

A 22 = 1 0 3 = 0

0 4 0

0 1 0

A23 = 1 3 3 = 0

0 1 0

0 0 0

A24 = 1 3 0= 1

0 1 4

0 0 1

A31 = 3 0 3 = 0

1 -1 1

0 1 0

A32 = 1 0 3 = 5

2 -1 1

0 1 0

A33 = 1 3 3 = 0

2 1 1

0 0 0

A34 = 1 3 0 = 5

2 1 -1

0 0 1

A41= 3 0 3 = 3

1 -1 1

1 4 0

A42 = 1 0 3 = 20

2 -1 1

0 4 0

A43 = 1 3 3 = 5

2 1 1

0 1 0

A44 = 1 3 0 = 19

2 1 -1

0 1 4

18. Calcular las siguientes determinantes :

2 1 3 1 a 1 cos o -sin o cos o sin o

1 2 0 4 a b sin o cos o sin o -cos o

2 1 = (2x2)-1 = 3

1 2

3 1 = 12-0 = 12

0 4

a 1 = ab – a = a ( b-1)

a b

cos o -sen o = cos o x cos o –(-sen o x sen o) = cos2 o + sen

2 o

sen o cos o

= 1+cos 2o + 1- cos 2o = 1

2

cos o sen o = (cos o x- cos o) – ( sen o x sen o) = -cos2 o – sen

2 o

sen o -cos o

-1 1+cos 2o + 1- cos 2o = -1

2

20. Demostrar que si a, b y c son números reales las raíces de la ecuación

a – x b = 0 son reales

b c- x

a - x b = (a-x) ( c-x) –b2 = 0 entonces = ac –ax –xc +x

2 -b

2 = 0

b c – x

= ac – ax –xc +x2

= b 2

21. Calcular los siguientes determinantes

1 4 3

2 1 0 = 1x1x1 + 2x3x3 + 4x0x0 – (0x1x3 + 3x0x1 + 2x4x1) = 19-8 = 11

0 3 1

1 1 1

x y z = y2 (x-2 ) + x2 (z-y) + x2 (y-x)

x2 y

2 z

2

1 a b

0 1 c = 1 x 1 x 1 + ac x 0 + 0 x 0x b – (b x 0 + c x 0 + a x 0) = 1

0 0 1

22 . Calcular las siguientes determinantes mediante su desarrollo por la primera

columna

a.

3 2 1 3

7 6 5 elementos de la primera columna 7

1 2 3 1

a11 …….. 1+1 = 2 par , se multiplica por 1

a12 ……. 1+2 = 3 impar, se multiplica por -1

a13…….. 1+3 = 4 par , se multiplica por 1

3 2 1

7 6 5 = 1x3 6 5 + -1 x 7 2 1 + 1x1 2 1

1 2 3 2 3 2 3 6 5

= 3 (18-10) + -7 (6-2) + (10-6)

= 24-24 = 0

b.

3 0 1 3

4 3 2 elementos de la 1era columna 4

1 2 1 1

a11………. 1+1=2 par se multiplica por 1

a12………… 1+2=3 impar, se multiplica por 2

a13…………. 1 +3=3 par se multiplica por 1

3 0 1

4 3 2 = 1x3 3 2 + -1x4 0 1 + 1x1 0 1

1 2 1 2 1 2 1 3 2

= 3 (3-4) -4 (0-2) + (0-3)

= 2

c.

1 0 0 7 1

0 1 2 3 1era columna 0

2 1 1 1 2

0 3 2 1 0

a11………. 1+1=2 se multiplica por 1

a12………. 1-2=3 se multiplica por -1

a13………1+3=4 se multiplica por 1

a14………1+4=5 se multiplica por -1

1 0 0 7 1 2 3 0 0 7 0 0 7 0 0 7

0 1 2 3 = 1x1 1 1 1 + 1x0 1 1 1 + 1x2 1 2 3 + -1x0 1 2 3

2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1

0 3 2 1

= [1x1x1 + 2x1x3 + 2x1x3 – ( 3x1x3 + 2x1x1 + 2x1x1)]

+ 0 + 0 + [2x(0x2x1 + 0x3x3 + 2x1x7) – (3x2x7 + 2x3x0 + 0x1x1)]

= 0+0+0-56

= -56

23. calcular las siguientes determinantes reduciéndolos a una matriz triangular

superior mediante operaciones elementales

2 4 -2

3 5 2 = 2x5x1 + 2x4x2 + 3x5x-2 – ( 2x5x-2 + 5x2x2 + 3x4x1)

2 5 1

= 10 + 16 - 30 – (-20 + 20 + 12)

= -4 -12 = -16

1 0 3 5 1

2 1 2 7 2


3 2 1 2 3

a11 ……….. 1+1=2 multiplicamos por 1

a12………... 1+2=3 multiplicamos por -1

a13……….. 1+3=4 multiplicamos por 1

a14………... 1+4=5 multiplicamos por -1

1 0 3 5

2 1 2 7 = 1x1 1 2 7 + 2x-1 0 3 5 + 2x1 0 3 5 + 3x-1 0 3 5

2 2 0 4 2 0 4 2 0 4 1 2 7 1 2 7

3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 4

=1x0x2 + 2x4x2 + 2x1x7 – (2x7x0 + 1x4x1 + 2x2x2) -2 [0x2x2 + 3x4x2 + 2x1x5 –

(2x0x5 + 4x1x0 + 2x3x2)] + 2[0x2x2 + 3x7x2 + 1x1x5 – ( 2x2x5 + 1x7x0 + 1x3x2 ) –

3[0x2x4 + 3x7x2 + 1x0x5 – ( 2x2x5 + 0x7x0 + 1x3x4) ]

= 18 – 44 + 42 - 30 = -14

26. Calcule Det AB , Det BAt , Det ABA

-1B, Det Bb

-1

A = 1 2 0 0 B = 1 0 0 3

0 2 0 0 0 4 0 4

0 2 1 0 0 0 0 -1

0 2 0 1 1 1 2 8

AxB = 1 2 0 0 1 0 0 3 1 8 0 11

0 2 0 0 x 0 4 0 4 = 0 8 0 8

0 2 1 0 0 0 0 -1 0 8 0 7

0 2 0 1 1 1 2 8 1 9 2 16

1 8 0 11 1

0 8 0 8 = 1era columna 0

0 8 0 7 0

1 9 2 16 1

a11…….. se multiplica por 1

a12……. se multiplica por -1

a13……. se multiplica por 1


= 1x1 8 0 8 + 0x-1 8 0 11 + 0x1 8 0 11 + 1x-1 8 0 11

8 0 7 8 0 7 8 0 8 8 0 8

9 2 16 9 2 16 9 2 16 8 0 7

= 8x0x16 + 0x7x9 + 8x2x8 – (9x0x8 + 2x7x8 + 0x8x16) + 0 + 0 +[ -1x 0 ]

= 16

BxA = 1 0 0 3 1 2 0 0 = 1 8 0 3

0 4 0 4 x 0 2 0 0 0 16 0 4

0 0 0 -1 0 2 1 0 0 -2 0 -1

1 1 2 8 0 2 0 1 1 24 2 1

(BxA)t = 1 0 0 1

8 16 -2 24

0 0 0 2

3 4 -1 1

Det (BA)t = 1 0 0 1 1

8 16 -2 24 8


3 4 -1 1 3





= 1x1 16 -2 24 + 8x-1 0 0 1 + 0 + 3 x -1 0 0 1

0 0 2 0 0 2 16 -2 24

4 -1 1 4 -1 1 0 0 2

= 16x0x1 + -2x2x4 + 0x-1x24 – ( 24x0x4 + -1x2x16 + -2x0x1)+ 0 + 0 + 0

= 0-16-0+32-0 = 16

DET (ABA-1

B)

A-1

= 1 -1 0 0 ABA-1

= 0 -8 0 11 ABA-1B = 11 -21 22 56

0 0.5 0 0 0 -4 0 8 8 -8 16 48

0 -1 1 0 0 -3 0 7 7 -5 14 44

0 -1 0 1 0 -14.5 2 16 16 -42 32 68

DET (ABA-1

B)

11 -21 22 56 11

8 -8 16 48 1ERA COLUMNA 8

7 -5 14 44 7

16 -42 32 68 16





= 1x11 -8 16 48 + 8x-1 -21 22 56 + 7x1 -21 22 56 + 16x-1 -21 22 56

-5 14 44 -5 14 44 -8 16 48 -8 16 48

-42 32 68 -42 32 68 -42 32 68 -5 14 44

= 0

DET (BB-1

)

B-1

=

1 0 0 3 1 0 3 0

BX B-1

= 0 4 0 4 X 0 0.25 1 0.5

0 0 0 -1 -0.5 -0.125 2 0.5

1 1 2 8 0 0 -1 0

1 0 3 0

0 0.25 1 0

-0.5 -0.125 2 0.5

0 0 -1 0

BX B-1

= 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

DET (BXB-1) = 1 0 0 0 1

0 1 0 0 1ERA COLUMNA 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0





= 1 0 0 + 0 + 0 + 0

0 1 0

0 0 1

= 1x1x1 + 0x0x0 + 0x0x0 – (0x1x0 +0x0x1 + 0x0x1)

= 1

27. Comprobar sin desarrollar, que el determinante de la matriz A es múltiplo de 9

2 6 7

5 12 4 = 2x12x9 + 6x4x3 + 5x18x7 – ( 3x12x7 + 18x4x2 + 5x6x9) = 378

3 18 9

28. Demostrar el siguiente determinante conocido como determinantes de vandermonde

1 1 1 1

a b c d = (b-a) (c-a) (d-a) (b-c) (b-d) (c-d)

a2 b

2 c

2 d

2

a3 b

3 c

3 d

3

Determinante de Vandermonde.

El de orden 4 es de la forma V =

Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a,

empezando desde abajo .

Nos queda: =(b-a)(c-a)(d-a) Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiendo el mismo proceso,

= (c-b)(d-b) = (c-b)(d-b)(d-c).

Luego: V = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).

29. Dada la matriz

A = a (2a-1) 3 1

1 1 1 1 determinar el rango de A según los valores del parámetro

0 -1 0 1 a e

3 5 3 a

Si a = 1 tenemos 1 1 3 1

1 1 1 1 rg = 3

0 -1 0 1

3 5 3 1


1 1 1 1 rg = 4

0 -1 0 1

3 5 3 1


1 1 1 1 rg = 3

0 -1 0 1

3 5 3 3


1 1 1 1 rg = 4

0 -1 0 1

3 5 3 4

31. Dada la matriz

A = 1 2 4

3 8 -2

2 0 4

Se pide

a. Hallar la matriz Adj (a)

b. Calcular A

c. Comprobar que : Ax Adj (A)t = Adj (a)t xA = A I

a. ADJUNTAS = 32 -16 -16

-8 -4 16

A11 = 8 -2 = 32 -36 14 2

0 4

A12 = 3 -2 = 16

2 4

A13 = 3 8 = -16

2 0

A21 = 2 4 = 8

0 4

A22 = 1 4 = -4

2 4

A23 = 3 8 = -16

2 0

A31 = 2 4 = -36

8 -2

A32 = 1 4 = -14

3 -2

A33 = 1 2 = 2

3 8

b. Determinante

A = 1 2 4

3 8 -2 = { 1x8x4 + 2x-2x2 + 3x0x4 – (2x8x4 + 0x-1x1 + 3x2x4)}

2 0 4 = 32 + -8 + 0 – ( 64 +0 + 24 )

= 24 – 64 - 24 = -64

c. Comprobar que : Ax Adj (A)t = Adj (a)t xA = A I

1 2 4 x 32 -8 -36 = -64 48 72

3 8 -2 -16 -4 14 0 -88 216

2 0 4 -16 16 2 0 48 80

DIFERENTES

32 -8 -36 x 1 2 4 = 80 0 288

-16 -4 14 3 8 -2 0 -64 0

-16 16 2 2 0 4 39 96 -88

d. Calcular A-1

A – 1

= Adj (A)t = 32/-64 -8/-64 -36/-64

\A\ -16/-64 -4/-64 14/-64

-16/-64 16/64 2 /64

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PRACTICA : MATRICES Y DETERMINANTES · PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sean las matrices cuadradas siguientes A = 1 2 3 B = 9 8 7 C = 1 3 5