Matrices y Determinantes

Concepto de matriz. Igualdad de matrices

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

èçççççæ

ø÷÷÷÷÷ö a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

Definición de matríz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

2.- Suma y diferencia de matrices

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Operaciones con matrices II

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) = èççæ

ø÷÷ö a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+ èççæ

ø÷÷ö b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

= èççæ

ø÷÷ö a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

Suma de matrices: ej de orden 3

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Propiedades de la adición de matrices

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Propiedades con la suma y el producto por un número

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p,

no se pueden multiplicar

Ejemplos:

Pij = aik · bkj con k=1,….n

Operaciones con matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

productoposible

(cij) 2, 3

A · B = èççæ

ø÷÷ö 2 1 –1

3 –2 0 .

èççæ

ø÷÷ö 1 2 0

1 0 –3

0 1 –2 =

èççæ

ø÷÷ö 3 3 –1

1 6 6

1. El producto de A = èçæ

ø÷ö 2 1 –1

3 –2 0 por la matriz B = èçæ

ø÷ö 1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

cada fila de A por cada columna de B.

se obtiene multiplicando

Ejemplo: producto de matrices

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ........... . An veces

Ejemplo:÷÷ø

öççè

æ=

1011

A ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=×=

1021

1011

1011

AAA2

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=×=

1031

1021

1011

AAA 23 ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ×÷÷ø

öççè

æ=×=×××=

1041

1031

1011

AAAAAAA 34

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ -÷÷ø

öççè

æ=×==

101

1011

1011

AAAAA 1-

veces-

nnn

n

n321 L

Producto: Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.

Y de aquí se deduce que:

Ejemplo: Dada A = èççæ

ø÷÷ö 2 –1

1 1 para obtener A -1 = èççæ

ø÷÷ö x y

z t se ha de cumplir

èççæ

ø÷÷ö 2 –1

1 1 . èççæ

ø÷÷ö x y

z t = èççæ

ø÷÷ö 1 0

0 1

èççæ

ø÷÷ö 2x – z 2y – t

x + z y + t = èççæ

ø÷÷ö 1 0

0 1 Û

2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1

Û

x = 1/3 y = 1/3 z = –1/3 t = 2/3

Por tanto A-1 = èççæ

ø÷÷ö

13

13

– 13

23

Inversa de una matriz (directamente)

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A.

Las transformaciones elementales son las siguientes:Permutar 2 filas ó 2 columnas.

Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones:

A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B

Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-- 211112011

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

220110011

F2 – 2F1 g F2

F1 + F3 g F3

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--×

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-

220110011

211112011

101012001

Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:

Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan I

Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

con

(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la signatura de la permutación)

Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.

Determinantes

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33. a11 a12 a13 a 21 a22 a23

a31 a32 a33

Dada una matriz cuadrada de orden 3 A = èçæ

ø÷ö a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

det (A) o |A|, al número real siguiente: Se llama determinante de A,

Dada una matriz cuadrada de segundo orden:æ ö a a

a A = èç

ø÷11 12

a21 22

se llama determinante de A al número real:

Det( A) = |A| = a a 11 12

a 21 a 22= a11 · a22 – a12 · a21

Ejemplo: 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1

Determinantes de orden 2 y 3

La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.

Regla de Sarrus

24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77

det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =

El determinante de la matriz A =

èççççæ

ø÷÷÷÷ö 3 5 1

4 –2 –1 2 –3 –4

es

Aplicaciones a la regla de Sarrus

Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3

Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

= a11.(-1)1+1

a22 a23 a32 a33

+ a21.(-1)2+1

a12 a13 a32 a33

+ a31.(-1)3+1

a12 a13 a22 a23

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

= a31.(-1)3+1

a12 a13 a22 a23

+ a32.(-1)3+2

a11 a13 a21 a23

+ a33.(-1)3+3

a11 a12 a21 a22

Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3

–3 5

–1 –1= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34

El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila

det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna

Por ejemplo:

2 –1 1 2 1 6 1 0

3 –1 –1 3 2 –1 0 1

= 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1

+ 6 · (–1)2+2 2 1 2

3 –1 3 2 0 1

+

+ 1 · (–1)2+3 2 –1 2

3 –1 3 2 –1 1

+ 0 · (–1)2+4 2 –1 1

3 –1 –1 2 –1 0

=

Determinante de cualquier orden

• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.

• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.

• 2ª fila por (–3) + 1ª fila• 2ª fila por (–2) + 3ª fila• 2ª fila por (–3) + 4ª fila

desarrollo por 1ª columna

• 1ª fila por 1 + 3ª fila

desarrollo por 1ª columna

–18

Ejemplo:

3 5 – 2 6 1 2 – 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3

= 0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3

=

= (–1) . (–1) 3 3 9 3 =

Cálculo de determinantes por el método de Gaus

Bibliografia

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/Temas_PDF/MatricesDetermin.pdf

https://books.google.co.ve/books?id=TyRUwQ4pKLMC&pg=PA385&lpg=PA385&dq=fundamentos+de+matrices+y+determinantes&source=bl&ots=mgTET3bAaa&sig=CfMmJFU4Y7FCyEUC7fSv5qP7o3o&hl=es&sa=X&ved=0CEQQ6AEwB2oVChMIvYrMxsrryAIVi9UeCh1SkQVq#v=onepage&q=fundamentos%20de%20matrices%20y%20determinantes&f=false

FUNDAMENTOS DE MATEMATICA

MATRICES Y DETERMINANTES

http://apuntesinvestigaciondeoperaciones.blogspot.com/p/fundamentos-de-matrices.html

APUNTES DE OPERACIONES

http://es.slideshare.net/videoconferencias/matrices-y-determinantes-4792717

FUNDAMENTOS MATEMATICOS