Matemáticas Discretas - Richard Jonhsonbaugh.pdf

MATEMTICASDISCRETASCuarta edicin

Richard JohnsonbaughDePaul University, Chicago

fRADUCCIN:scar Alfredo Palmas VelascoDoctor en MatemticasInstituto de Matemticas

~EVISINTCNICA:Vctor Hugo Ibarra MercadoLic. en Fsica y Matemticas, ESFM-IPNCatedrtico de la Escuela de ActuaraUniversidad Anhuac

PRENTICEHALL

MXICO' NUEVA YORK' BOGOT' LONDRES' MADRIDMUNICH' NUEVA DELHI' PARS' RO DE JANEIROSINGAPUR' SYDNEY' TOKIO' TaRaNTa' ZURICH

http://libreria-universitaria.blogspot.com

Formato: 20 X 25.5 cm .

JOHNSONBAUGH: MATEMATICAS DISCRETAS, 4a. ed.

VII

E'

56

102

63

7384

'wmmE'

Proposiciones 2Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 8Cuantificadores 18Demostraciones 34Demostraciones por resolucin 42Induccin matemtica 46Rincn de solucin de problemas: Induccin matemticaNotas 59Conceptos bsicos del captulo 59Autoevaluacin del captulo 61

Conjuntos 64Sucesiones y cadenasSistemas numricosRelaciones 91Rincn de solucin de problemas: RelacionesRelaciones de equivalencia 104Rincn de solucin de problemas: Relacionesde equivalencia 111Matrices de relaciones 114Bases de datos relacionales 118Funciones 125Notas 136Conceptos bsicos del captulo 137Autoevaluacin del captulo 139

EL LENGUAJE DE LAS MATEMTICAS

LGICA y DEMOSTRACIONES

2.12.22.32.4

2.5

1.11.21.31.4

t 1.51.6

2.6t2.72.8

m

1

2

CONTENIDO

t Las secciones precedidas por un smbolo t pueden omitirse sin perder la continuidad de la lectura.

Pginas: 720

~.

U'OG!WUIHGIWr:.l,:iAOEc.\'CH

5.1 Introduccin 2565.2 Solucin de relaciones de recurrencia 270

Rincn de solucin de problemas:Relacionesde recurrencia 284

5.3 Aplicaciones al anlisis de algoritmos 287Notas 302Conceptos bsicos del captulo 302Autoevaluacin del captulo 302

455

304

376

Introduccin' 305Caminos y ciclos 316Rincn de solucin de problemas: Grficas 330Ciclos hamiltonianos y el problema del agentede ventas viajero 331Un algoritmo para la ruta ms corta 338Representaciones de grficas 344Isomorfismos de grficas 350Grficas planas 359Locura instantnea 366Notas 371Conceptos bsicos del captulo 371Autoevaluacin del captulo 372

RBOLES

6.3

6.16.2

MODELO DE REDES Y REDES DE PETRI

TEORfA DE GRFICAS

6.46.56.66.7

t 6.8

7.1 Introduccin 3777.2 Terminologa y caracterizaciones de los rboles 385

Rincn de solucin de problemas: rboles 3907.3 rboles deexpansin 3927.4 rboles de expansin mnimos 4007.5 rboles binarios 4087.6 Recorridos de un rbol 4157.7 rbolesde decisin) el tiempo mnimo

para el ordenamiento 4227.8 Isomorfismos de rboles 429

t 7.9 rbolesde juegos 440Notas 450Conceptos bsicos del captulo 450Autoevaluacin del captulo 451

8.1 Modelos de redes 4568.2 Un algoritmo de flujo mximo 4628.3 El teorema del flujo mximo y corte mnimo 4738.4 Acoplamiento 478

Rincn de solucin de problemas: Acoplamiento 4848.5 Redes de Petri 486

Notas 496Conceptos bsicos del captulo 497Autoevaluacin del captulo 498

7

6

8

189

197

256

142

Introduccin 143Natacin para los algoritmos 144El algoritmo de Euclides 151Algoritmos recursivos 157Complejidad de los algoritmos 166Rincn de solucin de problemas: Diseo yanlisis de un algoritmo 182Anlisis del algoritmo de Euclides 186El sistema criptogrfico con clave pblica RSANotas 193.Conceptos bsicos del captulo 193Autoevaluacin del captulo 194

RELACIONES DE RECURRENCIA

MTODOS DE CONTEOY EL PRINCIPIO DE LA PICHONERA

3.63.7

3.13.23.33.43.5

-4.-\ Principios bsicos 197Rincn de solucin de problemas: Conteo 207

4.2 Permutaciones y combinaciones 210Rincn de solucin de problemas: Combinaciones 225

4.3 Algoritmospara generar permutacionesy combinaciones 2284.4 Permutaciones y combinaciones generalizadas 2354.5 Coeficientes binomiales e identidades combinatorias 2424.6 El principio de la pichonera 248


ALGORITMOS

4

5

3

~F,~~~.~~I,~i?'~', I

~,~'\.r',

),))).)):)

~))

~


ere.-.~.,,;....,

~~...-.

er-'.-.-.,

XI

A principios de la dcada de los ochenta casi no haba libros adecuados para un cur-so de introduccin de matemticas discretas. Al mismo tiempo, exista la necesidadde un curso que ampliase la madurez matemtica y la capacidad de los estudiantespara trabajar con la abstraccin. y que incluyera temas tiles, como la combinato-ria, los algoritmos y las grficas. La edicin original de este libro (1984) buscabacubrir esta necesidad. Posteriormente, los cursos de matemticas discretas se enri-quecieron con diversos tipos de audiencias, como estudiantes de matemticas ycomputacin. Un grupo de expertos de la Mathematical Association of Americaapoy el establecimiento de un curso de un ao sobre matemticas discretas. ElConsejo de Actividades Educativas del Instituto de Ingenieros Elctricos y Electr-nicos (IEEE) ha recomendado un curso de matemticas discretas para estudiantesdel primer ao de licenciatura. Los criterios de acreditacin de la ACM (Associa-tion for Computing Machinery) y del IEEE piden un curso de matemticas discre-tas. Esta edicin, al igual que las anteriores, incluye temas como algoritmos,combinatoria, conjuntos, funciones e induccin matemtica, sugeridos por esosgrupos. Tambin busca la comprensin y la construccin de demostraciones y, engeneral, la ampliacin de la madurez matemtica.

Panorama de la obra

Este libro est planeado para un curso de introduccin a las matemticas discretas,con una duracin de uno o dos semestres. Los requisitos de matemticas son mni-mos: no es necesario un conocimiento del clculo. Tampoco se exigen requisitos decomputacin. El libro incluye ejemplos, ejercicios, figuras, tablas, secciones relati-vas a la solucin de problemas, notas, repaso y autoevaluacin de cada captulo queayudarn al estudiante a dominar las matemticas discretas bsicas.

PREFACIO

546

610

615

687

9.1 Circuitos combinatorios 5009.2 Propiedades de circuitos combinatorios. 5099.3 lgebras booleanas 516

Rincn de solucin de problemas: lgebras booleanas 5229.4 Funciones booleanas y simplificacin de circuitos 5249.5 Aplicaciones 531


LGEBRAS BOOLEANAS Y CIRCUITOSCOMBINATORIOS 500

Ap~NDICE: MATRICES

fNDICE

REFERENCIAS

GEOMETR(A COMPUTACIONAL 593

SUGERENCIAS y SOLUCIONES DE EJERCICIOSSELECCIONADOS 621

11.1 El problema del par ms cercano 593t 11.2 Una cota inferior para el problema del par

ms cercano "59811.3 Un algoritmo para calcular la cubierta convexa 601

Notas 608Conceptos bsicos del captulo .609Autoevaluacin del captulo 609

9

10 AUTMATAS, GRAMTICAS Y LENGUAJES10.1 Circuitos secuenciales ymquinas de estado finito 54610.2 Autmatas de estado finito 55410.3 Lenguajes y gramticas 56210.4 Autmatas de estado finito no deterministas 57310.5 Relaciones entre lenguajes y autmatas 582

Notas 589Conceptos bsicos del captulo .. 590Autoevaluacin del captulo . 5C?0

11


PREFACJO

Acerca de este libro

Este libro incluye: Lgica (incluyendo cuantificadores). demostraciones. demostraciones por resolu-

cin e induccin matemtica (captulo 1). Conjuntos, sucesiones, cadenas, notaciones para la suma y el producto;sistemas nu-

mricos, relaciones y funciones. incluyendo ejemplos motivantes, como una aplica-cin de los rdenes parciales a la planeacin de tareas (seccin 2.4). las bases dedatos relacionales (seccin 2.7) y una introduccin a las funciones de dispersin(seccin 2.8).

Una discusin amplia de los algoritmos, de los algoritmos recursivos y del anlisis de alzorurnos (captulo 3). Adems. en todo el libro se adopta un punto de vista al-

- gortmico. Los algoritmos se escriben en una forma flexible de seudocdigo. (Estelibro no presupone requisitos de cursos de computacin. la descripcin del seudoc-diso utilizado se incluye en el mismo texto.) Entre los algoritmos presentados estnel~lcroritmo de Euclides para determinar el mximocomn divisor (seccin 3.3),los

mos~icos(seccin 3.4), el algoritmo de criptografa con clave pblica RSA (seccin3.7), la generacin de combinaciones y permutaciones (seccin 4.3). el ordenamie~to por fusin (seccin 5.3). el algoritmo del camino ms corto de Dijkstra (seccin6.4), los algoritmos con retroceso (seccin 7.3), la bsqueda a lo ancho y en profun-didad (seccin 7.3). los recorridos de los rboles (seccin 7.6). la evaluacin de unrbol de juegos (seccin 7.9), la determinacin del flujo mximo en una red (seccin8.2), la determinacin de un par cercano de puntos (seccin 11.1) y el clculo de lacubierta convexa (seccin 11.3).

Un anlisis completo de las notaciones "O mayscula", omega y theta para el creci-miento de funciones (seccin 3.5). Al disponer de todas estas notaciones, es posibledar enunciados precisos acerca del crecimiento de funciones y la complejidad de losalgoritmos.

o Combinaciones, permutaciones y el principio de las casillas (captulo 4). Relaciones de recurrencia y su uso en el anlisis de algoritmos (captulo 5). Grficas. incluyendo los modelos de computadoras en paralelo, el recorrido de u.n

caballo de ajedrez, los ciclos hamiltonianos, los isomorfismos de grficas y las gra-ficas planas (captulo 6). El teorema 6.4.3 proporciona una demostracin simple,breve y elegante de que el algoritmo de Dijkstra es correcto.

rboles, incluyendo rboles binarios, recorridos de rboles. rboles de expansinmnimos. rboles de decisin. el tiempo mnimo para un ordenamiento y los Isomor-fismos de rboles (captulo 7).

El algoritmo del flujo mximo, acoplamiento y las redes de Petri (captulo 8).o Un tratamiento de las lgebras booleanas que enfatiza la relacin de las lgebras

booleanas con los circuitos combinatorios (captulo 9). Un estudio de los autmatas que enfatiza la modelacin y las aplicaciones (captulo

10). El circuito flip-flop SR se analiza en el ejemplo 10.U!. Los fractales, incluyen-do el copo de nieve de von Koch. se describen mediante algunos tipos especiales degramticas (ejemplo 10.3.19).

Una introduccin a la geometra computacional (captulo 11).o Un apndice sobre matrices.

Un gran nfasis de la relacin entre los diversos temas. Como ejemplo, la induccinmatemtica est ntimBflente ligada con los algoritmos recursivos (seccin 3.4); lasucesin de Fibonacci se utiliza en el anlisis del algoritmo de Euclides (seccin3.6); muchos ejercicios de todo el libro utilizan la induccin matemtica; mostramoscmo caracterizar los componentes de una grfica definiendo una relacin de equi-valencia en el conjunto de vrtices (vase el anlisis despus del ejemplo 6.2.13) ycontamos el nmero de rboles binarios con n vrtices (teorema 7.8.12).

Un vehemente nfasisen la lectura y realizacin de demostraciones. La mayor partede las demostraciones de los teoremas se ilustran mediante figuras. En las seccionesindependientes Rincn de solucin de problemas se muestra cmo resolver proble-mas y cmo realizar demostraciones.

o Numerosos ejemplos resueltos en todo el libro. (Existen ms de 430 ejemplos re-sueltos.)

o Un gran nmero de 'aplicaciones, en particular a la computacin.

Cerca de 2400 ejercicios. con respuestas a casi la tercera parte de ellos al final del li-bro. (Los ejercicios con nmeros en negritas tienen su respuesta al final del libro.)

Ms de 650 figuras y tablas para ilustrar los conceptos, para mostrar el funcionamien-to de los algoritmos. para aclarar las demostraciones y para motivar el material.

Secciones de Notas con sugerencias de lecturas posteriores.

Secciones de Repaso del captulo.

Secciones de Autoevaluacin del captulo.

Una seccin de bibliografa con ms de 100 referencias.

En los forros del libro se resume la notacin matemtica y algortmica utilizada enesta obra.

Cambios de la tercera edicin

o Se han agregadoonce secciones denominadas Rincn de solucin de problemas.Es-tas secciones muestran a los estudiantes formas de enfrentar y resolver los proble-mas, y cmo realizar demostraciones.

La demostracin por resolucin es el tema de la nueva seccin 1.5. Esta tcnica dedemostracin, la cual se puede automatizar, y que por tanto es importante en el cam-po de la inteligencia artificial. ayuda a los estudiantes a tener una mejor perspectivade la lgica. en general. y de la lectura y construccin de demostraciones. en par-ticular.

Se ha agregado una nueva seccin acerca de los sistemas numricos binario y hexa-decimal (seccin 2.3). Se presentan estos sistemas numricos y se analiza la conver-sin entre los diversos sistemas. Tambin se estudia la aritmtica en los diversossistemas.

En la nueva seccin 3.7 se estudia el sistema de criptografa de clave pblica RSA.que recibe el nombre de sus autores, Ronald L. Rivest, Adi Shamir y Leonard M. Ad-leman. En el sistema RSA. cada participante hace pblica una clave deciframientoy oculta una clave de desciframiento, Para enviar un mensaje, se busca la clave de ci-framiento del receptor en la tabla distribuida en forma pblica. El receptor descifraentonces el mensaje utilizando la clave oculta.

PREFACIO XIJI


---------------------

El sitio hnp://condor.depaul.edu/- rjohnson contiene informacin acerca del libro, inclu-yendo programas de computadora, transparencias, ejercicios para computadora, .un pro-grama para generar grficas aleatorias de diversos tipos y una fe de erratas de la edicin eningls.

~".._1

~,,-$l,.

~'.-

xvPREFACIO

.'1.

.ltc

.!

..'.~..

.}~

~ec--OL..-..:

e:-

.'re--~'.-.

--------~.-..--

7 IT' W......

Rincones de solucin de problemas

Las nuevas secciones Rincn de solucin de problemas ayudan a los estudiantes a enfren-tar y resolver problemas, y tambin muestran cmo hacer demostraciones. Escritas de ma-nerainformal, cada una de estas secciones es autosuficiente y contina el anlisis del temadel problema. En vez de simplemente presentar una demostracin o la solucin a un pro-blema, la intencin de estas secciones es mostrar diversas formas de enfrentar un proble-ma, analizar aquello que debe buscarse para obtener la solucin de un problema, y presentartcnicas de solucin de problemas y de demostraciones.

Cada Rincn de solucin de problemas comienza con el enunciado de un problema.Despus de enunciar el problema, se analizan algunas formas de resolverlo. A este anlisisle siguen las tcnicas para determinar una solucin. Despus de hallar una respu~sta, sepresenta una solucin formal para mostrar la forma correcta de redactar sta. Por ltimo,se resumen las tcnicas para solucin de problemas utilizadas en la seccin. Adems, algu-nas de estas secciones concluyen con una subseccin Comentarios, la cual analiza la rela-cin con otros temas de matemticas y ciencias de la educacin, proporciona unamotivacin del problema y enumera algunas referencias para lecturas posteriores relacio-nadas con el problema.

W'

Agradecimientos

He recibido tiles comentarios de muchas personas, entre las que se incluyen a Gary An-drus, Robert Busby, David G. Cantor, Tim Carroll, Joseph P. Chan, Hon- Wing Cheng, Ro-bert Crawford, Henry D' Angelo, Jerry Delazzer, Br. Michael Driscoll,Carl E. Eckberg,Susanna Epp, Gerald Gordon, Jerrold Grossman, Mark Herbster, Steve Jost, NicholasKrier, Warren Krueger, Glenn Lancaster, Donald E. G. Malm, Kevin Phelps, James H.Stoddard, Michael Sullivan, Edward J. Wlliams y Hanyi Zhang.

Agradezco de manera especial a Martin Kalin sus comentarios acerca de la nuevaseccin Rincn de solucin de problemas y por su apoyo relativo a la nueva seccin acer-ca dc las demostraciones por resolucin; a Gregory Brewster y a l-Ping Chu por nuestrasdiscusiones acerca de los flujos en redes de computadoras; a Gregory Bachelis por revisarla nueva seccin relativa al sistema de criptografa RSA y a Sam Stueckle, de NortheastemUniversity; Towanna Roller, de Asbury College; Feng-Eng Lin, de George Mason Univer-sity: Gordon D. Prichett, de Babson College; y Donald Bein, de Fairleigh Dickinson Uni-versity por revisar el manuscrito de esta edicin. '.

Estoy en deuda con Helmut Epp, decano de la escuela de computacin, telecomuni-caciones y sistemas de informacin en DePaul University, por prestar su tiempo y apoyopara el desarrollo de esta edicin y sus predecesoras.

Cada captulo se organiza de la manera siguiente: Panorama Seccin Ejercicios de la seccin Seccin Ejercicios de la seccin

Estructura de cada captulo

Este libro contiene casi 2400 ejercicios. Los ejercicios que podran ser ms difciles que elpromedio se han indicado mediante una estrella, :r. Los nmeros de los ejercicios en ne-gritas (aproximadamente la tercera parte de los ejercicios) indican que el ejercicio tieneuna sugerencia o solucin al final del libro. En algunos ejercicios claramente identificadosse necesitan algunos conocimientos de clculo. Sin embargo, en el cuerpo principal delli-bro no se utilizan conceptos del clculo y, excepto por los ejercicios indicados, no se nece-sita saber clculo para resolver los ejercicios. El final de las demostraciones se indicamediante el smbolo .

Notas Repaso del captulo Autoevaluacin del captulo

Las secciones Notas contienen sugerencias para lecturas posteriores. Las secciones Con-ceptos bsicos del captulo proporcionan listas de referenca-para los conceptos clavede cada captulo. Lassecciones Autoevaluacin del captulo contienen cuatro ejercicios porcada seccin/cuyas respuestas aparecen al final del libro. Adems, la mayor parte de los'captulos tienen secciones Rincn de solucin de problemas.

Ejercicios

Se han agregado varias figuras para ilustrar demostraciones de teoremas. Ahora todaslas figuras tienen leyendas, y las leyendas de las figuras que ilustran demostracionesproporcionan una explicacin adicional y danuna mejor idea de las demostraciones.

Se han agregado algunos libros y artculos recientes a la bibliografa. El nmero de ejemplos resueltos se ha incrementado hasta ser ms de 430. El nmero de ejercicios se ha incrementado hasta ser casi 2400. Se ha establecido un sitio en la World Wide Web para proporcionar un apoyo actua-

lizado para este libro.

Ejemplos

El libro contiene ms de 430 ejemplos resueltos. Estos ejemplos muestran a los estudian-tes la forma de enfrentar problemas de matemticas discretas, demuestran aplicaciones dela teora, aclaran demostraciones y ayudan a motivar el material. El final de-Ios ejemplos seindica mediante el smbolo O,

PREFACtOXIV


PREFACIO

He recibido un apoyo constante del equipo en Prentice Hall. Agradezco de maneraespecial la ayuda de George Lobell, editor ejecutivo, y Nicholas Romanelh, supervisor deproduccin.

R.J. 1LGICA y DEMOSTRACIONES

1 . 1 PROPOSICIONES

1 .2 PROPOSICI'ONES CONDICIONALES y EQUIVALENCIA LOGICA

1.3 CUANTIFICADORES1.4 DEMOSTRACIONES

tl.5 OEMOSTRACIONESPOR RSOLUC~ON1.6 INOUCCION MATEMATlc....

RlNCON DE SOLUCION DE PROBLEMAS: INOUCCJON MATEMATICANOTAS

CONCEPTOSaASICOs DEL CAPITULO

AUTOEVAL.UACION OEL CAPiTULO

La lgica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamien-to es correcto. La lgica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en elcontertido de un enunciado particular. Por ejemplo, considrese el siguiente argu-mento:

Todos los matemticos utilizan sandalias.Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista.Por tanto, todos los matemticos son algebristas.

Desde el punto de vista tcnico, la lgica no permite determinarsi estos enunciadosson verdaderos; sin embargo, si los dos primeros enunciados fuesen verdaderos, lalgica garantizara que el enunciado

Todos los matemticos son algebristas.tambin es verdadero.

Los mtodos lgicos se utilizan en matemticas para demostrar teoremas, yen computacin para demostrar que los programas hacen precisamente lo que debe-ran hacer.

t Estaseccinpuedeomitirsesinprdida de continuidad.

'11 1':d

'nll


DEFINICION 1.1.3

Si

EJEMPU) 1. 1.2 ,

iWM!!W""'~-W !I!

.,;,1 . 1 I PRO,.OSICIONES 3 e-...;

--."...e=-;

~.)."

op V q: I + 1 = 3 o un decenio tiene 10 aos.

La disyuncin de p yq es

Los valores de verdad de proposiciones como las conjunciones y disyunciones pue-den describirse mediante tablas de verdad. Una tabla de verdad de una proposicin P for-mada por las proposiciones p J' .. ,pn enumera todas las combinaciones posibles de losvalores de verdad para PI' ... , pn' donde V indica verdadero y F falso, de modo que paracada una de estas combinaciones se indica el valor de verdad de P.

P 1\ q: 1 + I = 3 Yun decenio tiene 10 aos.

entonces la conjuncin de p y q es

p: 1+ I = 3,q: Un decenio tiene 10 aos,

p o q.

La disyuncin de p y q , denotada p V q, es la proposicin

. Las proposiciones (como p 1\ q YP V q) resultantes de combinar proposiciones sonproposiciones compuestas.

El valor de verdad de la proposicin compuesta p 1\ q queda definido mediante la tabla deverdad

1.1 PROPOSICIONESCul de los siguientes enunciados es verdadero o falso (pero no ambos)?

(a) Losnicos enteros positivos que dividen a 7 son I y el propio 7.(b) Alfred Hitchcock gan un Premio de la Academia en 1940 por dirigir Rebecca.(e) Para todo entero positivo n, existe un nmero primo mayor que n.(d) La Tierra es el nico planeta en el universo que tiene vida.(e) Compre dos boletos para el concierto de rock de-Unhinged Universe para el

viernes.

La afirmacin (a) es verdadera. Un entero n es primo si n > 1 y los nicos enteros po-sitivos que dividen a n son I y el propio n. La afirmacin (a) es otra forma de decir que 7 esprimo.

La afirmacin (b) es falsa. Aunque Rebecca gan el Premio de la Academia comomejor pelcula en 1940, John Ford gan el premio al mejor director por The Grapes ofWrath. Es sorprendente, pero Alfred Hitchcock nunca gan un Premio de la Academia co-mo director.

La afirmacin (e) es verdadera; es otra forma de decir que existe una infinidad deprimos.

La afirmacin (d) puede ser verdadera o falsa (pero no.ambas), pero nadie podra de-cidir esto en 'este momento.

La afirmacin (e) no es verdadera ni falsa [en realidad es una orden].Una afirmacin que es verdadera o falsa, pero no ambas, es una proposicin. Las

afirmaciones (a)-(d) son proposiciones, mientras que la afirmacin (e) no lo es. Engeneral,una proposicin se expresa como una afirmacin declarativa (y no como una pregunta, unainstruccin, etc.), Las proposiciones son los bloques de construccin bsicos para cual-quier teora de la lgica.

Utilizaremos letras minsculas, como p, q y r, para representar las proposiciones.Tambin utilizaremos la notacin

Enla ltima partedel captalo analizaremos algunos mtodos generales para realizardemos-traciones, uno de los cuales, la induccin matemtica, se utiliza en matemticas y en compu-tacin. La induccin matemtica es particularmente til en las matemticas discretas.

CAPITULO 1 I LOGJCA. y OEM,?,STRACIONES2

p: 1+1 = 3

para indicar que p es la proposicin I + I = 3.Al hablar o escribir en forma ordinaria, combinamos las proposiciones mediante co-

nectivos como y y o. Por ejemplo, las proposiciones "Est lloviendo" y "Llevar mi para-guas" pueden combinarse para formar una nica proposicin "Est lloviendo y llevar miparaguas". A continuacin se definen formalmente y yo.

PEFINJCION 1.1.t '

p q I p r.qV vi VV Fi F

F Vi F

F F F

Sean p y q proposiciones.La conjuncin de p y q, denotadap 1\ q, es la proppsicin

py q.

Observe que en la tabla de verdad de la definicin 1.1.3 aparecen las cuatro combi-naciones posibles de las asignaciones de verdad para p y q.

La definicin 1.1.3 establece que la conjuncin p 1\ q es verdadera si p y q son ambasverdaderas; en cualquier otro caso, p 1\ q es falsa.

L.


,pITULO 1 I LGICA y OEMOSTRACIONES1 . 1 I PROPOSICIONES 5

E.JEMPL.O 1.1.4

Sip: 1 + 1 = 3.q: Un decenio tiene 10 aos,

entonces p es falsa, q es verdadera, y la conjuncinp 1\ q: I + 1 = 3 Yun decenio tiene IDaos

es falsa.

E.JEMPL.O 1.1.5

Si

o

El o en la disyuncin p V q se utiliza en el sentido inclusivo; es decir,p V q es verdadera sip o q o ambas son verdaderasy p V q es falsa slo si p Yq son falsas. Existe tambin una oexclusiva (vase el ejercicio 31), donde p oex q es verdadera si p o q es verdadera, pero noocurre que ambas sean verdaderas.

E.JEMPLO 1.1.8

Si

p: 1 + I = 3,q: Un decenio tiene 10 aos.

entonces p es falsa, q es verdadera, y la disyuncinp: Benny Goodman grab msica clsica,q: Los Orioles de Baltimore eran los Cafs de San Luis,

entonces p y q son verdaderas. Aunque Benny Goodman es mejor conocido por sus graba-ciones de jazz, grab mucha msica clsica (por ejemplo, los conciertos para clarinete deWeber, nmeros I y 2, con la Orquesta Sinfnica de Chicago). Los Cafs de San Luis semudaron a Baltimore en 1954 y cambiaron su nombre por Orioles. La conjuncin

p 1\ q: Benny Goodman grab msica clsica y los Oriolesde Baltimore eran los Cafs de San Luis

es verdadera.

EJEMPLO 1.1.6

Sip: 1+1 =3,q: Minnepolis es la capital de Minnesota,

entonces p y q son falsas y la conjuncinp 1\ q: 1 + 1 = 3 YMinnepolis es la capital"de Minnesota

es falsa.

DEFINICION 1.1.7 .

o

o

p V q: I + 1 = 3 o un decenio tiene 10 aos

es verdadera.

E..JEMPL.O 1.1.9

Si

p: Benny Goodman grab msica clsica,

q: Los Orioles de Baltimore eran los Cafs de San Luis,

entonces p y q son ambas verdaderas y la disyuncin

p V q: Benny Goodman grab msica clsica o los Orioles deBaltirnore eran los Cafs de San Luis

tambin es verdadera.

EJEMPLO 1.1.10

Si

o

o

La ltima operacin sobre una proposicin p analizada en esta seccin es la nega-cindep.

El valor de verdad de la proposicin compuestap V q se define mediante la tabla de verdad

~V V 1 V

IV F I V

IF V V

iF F i F

p: 1 + I = 3,

q: Minnepolis es la capital de Minnesota,

entoncesp y.q Son falsas y la disyuncin

p V q: 1 + I = 3 o Minnepolis es la capital de Minnesota

es falsa. o


~",.... r

~-"t

~."1~~~_'

1 .2 f PROPOSICIONES CONDICIONALES Y EQUIVALENCIA LGfCA 9CAPiTULO 1 I LOGICA. y DEMOSTRACIONES

. .. 23-25 re"""""nte la proposicin dada de manera simblica conEn los eJerciCIOS .....---

1.2 PROPOSICIONES CONDICIONALES Y EQUIVALENCIA LGICAEl decano ha anunciado que

Si el Departamento ~e Matemticas obtiene $20.000 adicionales. entonces(~~~contratar un nuevo miembro.

La afirmacin (1.2.1) establece que. bajo la condicin de que el Departamentode Matem-ticas obtenga $20.000 adicionales, entonces se podr contratar un nuevo miembro. Unaproposicin como (1.2.1) es una proposicin condicional.

Enuncie cada proposicin en forma de una proposicin condicional (1.2.2).(a) Mara ser una buena estudiante si estudia mucho.(b) Juan puede cursar clculo slo si est en su segundo, tercer o cuarto ao de es-

tudio de licenciatura.

EJEMPt..O t .aa

(e) Cuando cantas, me duelen los odos.(d) Una condicin necesaria para que los Cachorros ganen la Serie Mundial es que

consigan un lanzador relevista derecho.

(e) Una condicin. suficiente para que Rafael visite California es que vaya a Dis-neylandia.

(a) La hiptesis es la clusula posterior al condicional si. de modo que una formu-lacin equivalente es

Si Maria estudia mucho, entonces ser una buena estudiante.

(b) La clusula slo si es la conclusin; es decir,

es considerada desde el punto de vista lgico como igual a

si p entonces q

Si definimos

p: El Departamento de Matemticas obtiene 520.000 adicionales,q: El Departamento de Matemticas contrata un nuevo miembro.

entonces la afirmacin (1.2.1) tiene la forma (1.2.2). La hiptesis es la afirmacin "El De-partamento de Matemticas obtiene $20.000 adicionales". y la conclusin es la afirmacin"El Departamento de Matemticas contrata un nuevo miembro". O

Algunas afirmaciones que no tienen la forma (1.2.2) pueden formularse como pro-posiciones condicionales, como en el siguiente ejemplo.

'. 1, entonces x + 1 > 1

Ahora, supongamos que x > l. Sin importar el valor especfico de x, x + 1 > x. Como

x+l>x y x>I,

es verdadera.Hemos mostrado que para cada nmero real x, la proposicin

six> I,entoncesx+ 1 > 1

es verdadera. OEl ejemplo 1.3.6 proporciona una motivacin ms para definir una proposicin con-

dicional p ~ q como verdadera cuando p es falsa. Para que la afirmacin cuantificada uni-versalmente

para cada nmero real x, si x > 1, entonces x + 1 > l

sea verdadera, debe ocurrir que la proposicin condicional

si x> 1, entonces x + 1 > 1

debe ser verdadera si x > 1 es falsa.De acuerdo con la definicin 1.3.4, la afirmacin cuantificada universalmente

sea verdadera sin importar el valor de x. En particular, la proposicin

six> 1, entonces x + 1 > 1

Laafirmacin cuantificada universalmente

para cada x, P (x)

es falsa si para al menos una x en el dominio de discurso. la proposicin P (x) es falsa. Unvalor x en el dominio de discurso que haga falsa a P (x) es un contraejemplo a la afirmacin

para cada x, P (x).

concluimos que x + 1 > 1, de modo que la conclusin es verdadera. Si x > 1, la hiptesis.y la conclusin son verdaderas, por lo que la proposicin condicional

six> 1, entonces x + 1 > 1

para cada nmero real x,:x? - l > O

es falsa, pues, si x = 1, la proposicin

es falsa. El valor 1 es' un contraejemplo a la afirmacinpara cada nmero real r.ov-c j >0.

b

para cada nmero real x, :x? 2: O

para cada nmero real x, si x > 1, entonces x + l > 1

EJEMPLO 1.3.5

,EJEMPLO 1.3.6

para alguna x en D, P (x) .'

es una afirmacin cuantificada universalmente. El dominio de discurso es el conjunto denmeros reales. La afirmacin es verdadera, pues para cada nmero real x, es cierto que elcuadrado de x es positivo o cero. O

si x > 1, entonces x + 1 > 1

para toda x en D. P (x),

six> I,entoncesx+ 1> 1

El smbolo 3 se lee "para algn". "para al menos un" o "existe".A veces, para especificar el dominio de discurso D, escribimos una afirmacin cuan-

tificada universalmente como

y una afirmacin cuantificada existencialmente como

existe x tal que P (x) -,

La afirmacin

La afirmacin

para alguna x, P (x)

o como

para al menos una x, P (x)

tambin puede escribirse como

La afirmacin cuantificada universalmente

es verdadera. Esta vez debemos verificar que la afirmacin

sea verdadera para cada nmero real x.Seax cualquier nmero real. Es cierto que para cualquier nmero real x,x os; l ox > 1.

Si x os; 1, la proposicin condicional

es verdadera, pues la hiptesis x > 1 es falsa. (Recuerde que cuando la hiptesis es falsa,la proposicin condicional es verdadera, sin importar ~ue la conclusin sea verdadera ofalsa.)

CAPITUL.O 1 I LOGICA y DEMOSTRAC'ONES22

CAPiTULO 1 I LOGICA y DEMOSTRACiONES 1 .3 I CUANTIFICADORES 25

Para mostrarque 1";tinnacin cuantificada universalmente. EJEMPLO 1.3.9

para cada x, P (x) La afirmacin cuantificada existencialmente

es falsa, es suficiente determinar un valor x en el domini? de discurso para el cual la propo-sicin p(x) sea falsa. Elm.:todo para refutar la afirmacin

para algn nmero real x, x 2x 2 +1=5'

para cada .r, P (x) es verdadera, pues es posible determinar al menos un nmero real x para el cual la propo-sicin

esun poco diferente del mtodo utilizado para demostrar que la afirmacin es verdadera.Para probar que

para cada x, P (x)

es verdadera. hay que examinar todos los valores dex en el dominio de discurso y mostrarque para cada .r, P (x) es verdadera.

EJEMPLO' .3.8

La afirmacin cuantific"da uni versal mente

sea verdadera. Por ejemplo, si x = 2, obtenemos la proposicin verdadera2 2

22 +1 =5'No es cierto que todo valor de x produzca una proposicin verdadera. Por ejemplo, la pro-posicin

para cada entero positivo n, si n es par, entonces n2 + n + 19 es primoes falsa. o

EJEMPLO 1.3. I Oes falsa; obtenemos un cllntr.lejemplo al considerar n = 38. La proposicin condicional

si 38 es par. entonces 382 + 38 + 19 es primo

es falsa, pues la hiptesis

38 es par

La afirmacin cuantificadaexistencialmente

para algn entero positivo n, si n es primo, entonces n + 1, n +2, n + 3 y n + 4 noson primos

es verdadera. pues podemos determinar al menos un entero n que haga la proposicin con-dicional

es verdadera, pero la conclusin

para alguna x en D, P (x)

382 + 38 + 19esprimo

Ahora analizaremos las :J.firmaciones cuantificadas existencialmente. Segn la defi-nicin 1.3.4, la arirmacicn cuanuticada existencialmente

o

si n es primo. entonces n + 1, n +2, n + 3 y n + 4 no.son primos

verdadera. Por ejemplo, si n = 23, obtenemos la proposicin verdaderasi 23 es primo, entonces 24, 25, 26 Y27 no son primos.

(Esta proposicin condicional es verdadera pues tanto la hiptesis "si 23 es primo" comola conclusin "24, 25, 26 Y27 no son primos" son verdaderas.) Algunos valores de n hacenque la proposicin condicional sea verdadera (por ejemplo, n = 23, n = 4, n = 47), mien-tras que otras hacen que sea falsa ( por ejemplo, n = 2. n = 101). El hecho es que hemos de-terminado un valor que hace verdadera a la proposicin condicional

si n es primo, entonces n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 no son primos.

Por esta razn, la afirmacin cuantificada universalmente

para algn entero positivo n, si n es primo, entonces n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 noson primos

es verdadera.

o382 + 38 + 19 =3838 + 38 + 19 = 19(2,38 + 2 + \) = 1979.es falsa. 382 + 38 + 19 no es primo pues puede factorizarse como sigue:

es verdadera si P (x) es verdadera para al menos una x en D. Si P (x) es verdadera para al-gunos valores de x. p'~r ocurrir que P (r) sea falsa para otros valores de x.

lCt'-". ,~.

~'..-.

~''--11 -""~-iD:-

.\It'~

dt'".,...-~-

..-_.~

~:.~~,,~.,.

~c.r,..

~~.'~jf)L'---

271 .31 CUANTIFICADORES

O

(1.3.4)

para algn nmero real x, P(x)

para cada nmero real x, p(x)

para cada nmero real x, P(x)

1x2 + 1> 1.

f'7: +'TEOREMA.I~t2:,,"1 Leyes de De Morgan generalizadas para la lgica

Demostracin. Slo demostraremos el inciso (a) y dejaremos la demostracin del inciso(b) al lector (ejercicio 50).

Supongamos que la proposicin '

~a CAPiTULO 1 I LGICA y DEMOSTRACIONES

Una proposicin cuantificada universalmente generaliza la proposicin compuesta

en el sentido de que las proposiciones individuales PI' Pl , ... .Pse reemplazan medianteuna familia arbitraria P (x), donde X es un elemento del dominio de discurso, y (1.3.5) sereemplaza mediante

La proposicin (1.3.5) es verdadera si y slo si Pi es verdadera para cada i = 1, .... n. Elvalor de verdad-de la proposicin (1.3.6) se define de manera anloga: (1.3.6) es verdade-ra si y slo si P (x) es verdadera para cada x en el dominio de discurso.

De manera similar, una proposicin cuantificada existencialmente generaliza la pro-posicin compuesta

(1.3.8)para toda x, P(x) ~ Q(x),y la segunda interpretacin es

para a1gu~Iax, P (x) f\ Q(x).Con el resultado del ejemplo 1.2.12, se ve que los valores de verdad de

para alguna x, P(x) 1\ Q(x)y

para alguna x, P(x) ~ Q(x)son los mismos. Por el teorema 1.3.12. los valores de verdad de

Si P (x) es la funcin proposicional "r brilla" y Q (x) es la funcin proposicional"x es oro", la primera interpretacin es

,

(1.3.6)

(1.3.5)

para:cada x, P (x).

( 1.3.7) para alguna x, P(x) ~ Q(x)en el sentido de que las proposiciones individuales P" Pl , ... , Pn se reemplazan medianteuna familia arbitraria P(x), donde x es un elemento del dominio de discurso, y (1.3.7) sereemplaza mediante

para alguna x, P (x).

Estas observaciones explican la forma en que el teorema 1.3.12 generaliza las leyesde De Morgan para la lgica (ejemplo 1.2.11). Recuerde que la primera ley de De Morganpara la lgica establece que las proposiciones

tienen los mismos valores de verdad. En el inciso (b) del teorema 1.3.12,p!\p!\ ... !\p,.

se reemplaza por

"Ix, P(x)

y

para toda x, P(x) ~ Q(x)son los mismos. As, una forma equivalente de representar la segunda interpretacin es

para toda x, P(x) ~ Q(x). (1.3.9)Al c~parar (1.3:8) y (1.3.9), se ve que la ambigedad surge del hecho de que la negacinse aphque a Q (x) (la pnmera interpretacin) o bien a toda la afirmacin

para toda x, P (x) ~ Q (x)(la segunda interpretacin). La interpretacin correcta de la afirmacin

Todo loque brilla no es oro

surge de negar toda la afirmacin.. En las afirmacion~s positivas,"cualquier", "todo" y "cada uno" tienen el mismo sig-

nificado, En las afirmaciones negativas. la situacin cambia:

y

se reemplaza por

3x,P(x).

No cualquier C I es ClNo toda CI es CzNo cada Cl es Cz

se considera que estas afirmaciones tienen el mismo significado que

Alguna C l no es Clmientras que

EJEMPL.O 1.3.14Ninguna C, es C!

'Ciertas frases pueden tener ms de una interpretacin. Como ejemplo, consideremos la fa-mosa cita de Shakespeare

Todo lo que brilla no es oro. (All that g1itters is not gold.)Una posible interpretacin de esta cita es: Nada que brille es oro (es decir. un objeto de oronunca brilla). Sin embargo, seguramente esto no es lo que quiso decir Shakespeare, La in-terpretacin correcta es: Algo que brilla no es oro.

significa que

No hay e, que sea Cl"

Vanse otros ejemplos en los ejercicios 47 Y48. O. Nuestro siguiente ejemplo muestra la forma de combinarcuantificadores universales y

existenciales dentro de una nica afirmacin, y tambin para cuantificar msde una variable.

-._--

~~

.."e-!.",'..ofjm,.l

~_'~ee1~""~em'-~fiJw'.~~"'lJiI:::"a

~.~.:-

,~ ....-=- .

ftr'- O:t: '.~...-'.,.-.~tar.ra---r~~--

;;~',Jt&-',tr-:e:-t'--.--

311.31 CUANTIFICAOORES

sea falsa.

es falsa, hay que mostrar que para cada x en el dominio de discurso, la proposici6nP(x) es falsa. El hecho de mostrar que P(x) es falsa para un valor panicular x no de-muestra que

para cada x, P(x)

es falsa, hay que determinar un valor de x (un contraejemplo) en el dominio de dis-curso para el cual P(x) sea falsa.

o Para demostrar que la afirmacin cuantificada existencialmente

para cada x, P(x)

es verdadera, hay que determinar un valor x en el dominio de discurso para el cual P(x)sea verdadera. Basta un valor.

o Para demostrar que la afirmacin cuantificada universalmente

para alguna x, P(x)

para alguna x, P(x)

para cada y, para alguna x, P(x, y)

es verdadera, hay que mostrar que para cada x en el dominio de discurso, la proposi-cin P(x) es verdadera. El hecho de mostrar que P(x) es verdadera para un valor par-ticular x no drnuestra que

para cadax, P(x)

sea verdadera.o Para demostrar que la afirmacin cuantificada existencialmente

para cada x, P(x)

(La proposicin condicional es verdadera, pues la hiptesis es falsa.) OResumimos estas reglas para demostrar o refutar las afirmaciones cuantificadas en

forma universal o existencial:Para demostrar que la afirmacin cuantificada universalmente

(La proposicin condicional es verdadera, pues la hiptesis x" < Oes falsa.)La afirmacin

es verdadera. Mostraremos que para cada y, la proposicin

para alguna x, si x" < ),2, entonces x < y

es verdadera exhibiendo un valor de x para el cual

si x" < y2, entonces x < y

sea verdadera. De hecho.si x =Iy I + 1, obtenemos la proposicin verdaderasi ehl + 1)'

::MOSTRACI0NES

I::;::::ql::;::::ql::;::::q

EjerciciosEn los ejercicios"1-'6, indique si la afirmacin es una funcin proposicional. Para cadaafirmacin que sea una funcin proposicional, indique el dominio de discurso.

1. (2n + 1)' es un entero impar.2. Elija un entero entre 1 y 10.3. Sea x un nmero real.4. La pelcula gan el Premio de la Academia como la mejor de 1955.5. 1 + 3 = 4.6. Existe x tal que x < y (x, y nmeros reales).

Sea P (n) la funcin proposicional "n divide a 77". Escriba cada proposicin de los ejerci-cios 711 con palabras e indique si es verdatlera o falsa. El dominio de discurso es el con- ~junto de enteros positivos.

7. P(ll) 8. P(!) 9. P(3) 10. Para cada n, p(n).11. Para alguna n, P(n).Sea T (x, y) la funcin proposicional "x es ms alto que y". Eldominio de discurso consta de tresestudiantes: Garth, quien mide 5 pies y 11 pulgadas; Erin, quien mide 5 pies y 6 pulgadas;.yMarty, quien mide 6 pies. Escriba cada proposicin en los ejercicios 1215 con palabras eindique si es verdadera o falsa.

12. ' x.25. Paraalgunax,six> .entonces x">.26. Para cada x, si x > 1, entonces :cI(x' + 1) < t .27. Para alguna x, six > 1, enronces e'(x' + 1)

E..JEMPI..O 1.4. 1

E..JEMPL.O 1.4..2

CAP'TUL.O 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES

, ..

35

o

,~~

---.',-

~'i0C'--1er..... 1.,"."1;.-./f!rt.(tr-1'-,ty-.-'I'!e:.-

.e-__________ _ _ _ _ _ _ __ _ ---

I EJEMPLO 1.4.8

x+ y< 1 + 1 = 2.

En este momento, hemos obtenido la contradiccin p 1\ p, donde .

Suponga que damos una demostracin por contradiccin de (1.4.1) en la que, comoen el ejemplo 1.4.8, deducimos p.Entonces habremos demostrado

37I .4 I DEMOSTRACIONES

.0

(1.4.2)q~p.

pi x + y 2: 2.

La demostracin por contradiccin puede justificarse observando que lasproposiciones,

pl\q --Hl\rP~q y

son equivalentes. La equivalencia es inmediata observando la tabla de verdad:

p q r p~q pl\q rl\r p r. q ~rl\r

V V V V F F VV V F V F F VV F V F V F FV F F F V F FF V V V F F V

I;..... ".~. ~.E-.'"F V F V F F V

VI

F F I V F F VI

F F F I V F F V!

Daremos una demostracin por contradiccin de la siguiente afinnacin:

Para todos los nmeros reales x y y, si x + y 2: 2, entonces x 2: 1 o y2: l.Demostracin. Supongamos que la conclusin es falsa. Entonces x < 1 y Y < 1. (Re-cuerde que al negar un "o" se obtiene un "y"; vase el ejemplo 1.2.11, las leyes de De Mor-gan para la lgica.) Un teorema anterior permite sumar estas desigualdades para obtener

De esta manera, concluimos que la afirmacin es verdadera.

Este caso particular de demostracin por contradiccin se llama demostracin por con.lrapositiva.

Al construir una demostracin, debemos asegurarnos de que los argumentos utiliza-dos sean vlidos. En el resto de esta seccin precisaremos el concepto de argumento vli-do y exploraremos este concepto con cierto detalle.

es verdadera y deml)'tr'~ entonces que

x scd; y x $d2

Si d ~ ::-in[J,.d1 } y x $ d. entonces x $ di Yx $ d2

Demostracin. SU!"~;TIOSque d, di' d: y x son nmeros reales arbitrarios. El anlisisanterior muestra que !,,,,,:~ suponer que

d=mn(d"d11 YX$d

es verdadera. . d d De < d d < d 0-Por la definicion .:~: mnimo, se tiene que d $ d; Y $ 2' X -:- y - "Pd d d . < l '-:.:n teorema anterior (el segundo teorema del ejemplo 1.4.5). Deemos e uc'rx-,.. ~ .

DEANICION 1.4.9 '

o

391 .4 t DEMOSTRACIONES

F

F

V

F

F

V

en forma simblica y determinar si el argumento es vlido.Si hacemos

Si el argumento es vlido, entonces siempre que p -t q Yq sean ambas verdaderas, pdebera ser verdadera. Suponga que p -t q Y q son verdaderas. Esto es posible si p es fal-sa y qes verdadera. En este caso, p no es verdadera; as, el argumento no es vlido. O

Tambin podemos determinar la validez del argumento en el ejemplo 104.11exami-nando la tabla de verdad del ejemplo 104.10. En el tercer rengln de la tabla, las hiptesisson verdaderas y la conclusin falsa; as, el argumento no es vlido.

EJEMPLO 1.4. 10

EJEMPLO 1.4. I 1

p-tqp:.q

p-tqq:.p

Represente el argumentoSi 2 = 3, entonces me com mi sombrero.Me com mi sombrero.:.2 - 3

p: 2 = 3, q: Me com mi sombrero.

el argumento puede escribirse como

Observamos que siempre que las hiptesis p -t q YP son verdaderas, la conclusin q tam-bin lo es; por tanto, el argumento es vlido.

[Segunda solucin.) Podemos dejar de lado la tabla de verdad, verificando directa-mente que siempre que las hiptesis sean verdaderas, la conclusin tambin es verdadera.

Supongamos quep -t q YP son verdaderas. Entonces q debe ser verdadera, ya queen caso contrario p -t q sera falsa. Por tanto, el argumento es vlido. O

es vlido.[Primera solucin.) Construimos una tabla de verdad para todas las proposiciones

que aparecen en el argumento:

~p->q p qV V! V V V

!V F I F

F V I VF F I V

Determine si el argumento

L

(1.4.5)

(1.4.4)

(1.4.3)

El problema est en el mdulo 17.

El problema est en el mdulo 17 o en el mdulo 81.El problema es un error numrico.El mdulo 81 no tiene un error numrico.

Consideremos la siguiente serie de proposiciones.

El argumento (1.4.5) es vlido si las conclusiones se siguen de lahiptesis; es decir, si p. yP2Y'" y P. son verdaderas, entonces q tambin debe ser verdadera, Este anlisis motiva lasiguiente definicin.

p.:. q

Un argumento es una serie de proposiciones que se escriben

Las proposiciones PI'P2' ... . P. son las hiptesis (o premisas) y la proposicin q es la con-clusin. El argumento es vlido si siempre que p y P2Y... y p. sean todas verdaderas, en-tonces q deber tambin ser verdadera; en caso contrario, el argumento no es vlido (es unafalacia).

En un argumento vlido. a veces decimos que la conclusin se sigue de las hiptesis.Observe que no estamos diciendo que la conclusin sea verdadera; slo estamos diciendoque si se garantizan las hiptesis, entonces se tiene garantizada la conclusin. Un argumen-to es vlido debido a su forma, no a su contenido.

PI'P2' ,p.f:. q.

Este proceso de extraccin de una conclusin a partir de una seri de proposiciones se lla-ma razonamiento deductivo. Las proposiciones dadas, como (104.3), son las hiptesis opremisas y la proposicin que se sigue de las hiptesis, como (1.404), es la conclusin. Unargumento (deductivo) consta de ciertas hiptesis con una conclusin. Muchas demos-traciones en matemticas y computacin utilizan argumeritos deductivos.

Un argumento tiene la forma

Suponiendo que estas afirmaciones son verdaderas, es razonable concluir:

plTULO 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES

,'-,I

~o CAPiTULO 1 I LOGICA y OEMOSTRACIONES

Determine si cada argumento en los ejercicios 20-24 es vlido.

14. Si estudio mucho, entonces obtengo un 10 o me vuelvo rico.No obtengo un 10 y no 9le vuelvo rico.:. No estudio mucho.

En los ejercicios 15-19. escriba el argumento dado con palabras y determine si cadaargumento es vlido. Sean

p: 64K es mejor que no tener memoria alguna.q: Compraremos ms memoria.r: Compraremos una nueva computadora.

:.p--'>r

:.p

16. p--'>{ rVq)r--'>q

21. p--'>q

'L-:.p

23. p --'>( q '~-H )q--'>p--'>r):. (p./ q) --'>r

18. r --'>pr

IS. p --'>rp--'>q

:.qV s

24. (p --'>q ) 1\ ( r --'>s)pVr

:.p--'>(rl\q)17.p--,>r

r--'>q:. q

19. p--,>rr--'>q

L.-:. q .

20. P --'>qP:. q

22. p I\p:. q

1. Proporcione un ejemplo (diferente de los dados en el ejemplo 1.4.1) de un axioma dela geometra euclidiana.

2. Proporcione un ejemplo (diferente de los dados en el ejemplo 1.4.2) de uft1!lriomadelsistema de nmeros reales.

3. Proporcione un ejemplo (diferente de los dados en el ejemplo 1.4.1) de una definicinde la geometra euclidiana.

4. Proporcione un ejemplo (diferente de los dados en el ejemplo 1.4.2) de una definicindel sistema de nmeros reales.

5. Proporcione un ejemplo (diferente de los dados en el ejemplo 1.4.3) de un teorema dela geometra euclidiana.

6. Proporcione un ejemplo (diferente de los dados en el ejemplo 1.4.5) de un teorema delsistema de nmeros reales.

7. Justifique cada paso de la siguiente demostracin indirecta, la cual muestra que si x esun nmero real, entonces x . O= O. Suponga que los siguientes son teoremas previos:Si a. b y e son nmeros reales. entonces b + O= by a(b + e) = ab + ac. Si a + b =~a + e, entonces b = c.Demostracin. x . O+ O= x . O X' (O+ O)= x . O+ x O;por tanto, x . O= O.

8. Justifique cada paso de la siguiente demostracin por contradiccin, la cual muestraque si xy = O, entonces x = Oo y = O. Suponga que si a, b y e son nmeros reales ta-les que ab = ac ya,," O, entonces b = c.Demostracin. Supongaquexy = OYx "'"OYy"'" O. Como zy = O= X' Oy x"'" O;tenemos que y = O,lo cual es una contradiccin.

9. Muestre, mediante una demostracin por contradiccin, que si se colocan 100 bolasen nueve cajas, alguna caja contiene 12 o ms bolas.

Formule los argumentos de los ejercicios 10-14 en forma simblica y determine si cada unoes vlido. Sean

l:::::'1~~Ejercicios

p: Estudio mucho. q: Obtengo un 10. r: Me vuelvo rico. 25. Muestre que si10. Si estudio mucho. entonces obtengo un 10.

Estudio mucho.:. Obtengo un 10.

l I. Si estudio mucho, entonces obtengo un 10.Si no me vuelvo rico, entonces no obtengo un 10.:. Me vuelvo rico.

12. Estudio mucho si y slo si me vuelvo rico.Me vuelvo rico.:. Estudio mucho.

13. Si estudio mucho o me vuelvo rico, entonces obtengo un 10.Obtengo un 10.:. Si no estudio mucho, entonces me vuelvo rico.

son argumentos vlidos, el argumento

tambin es vlido.

26. Comente acerca del siguiente argumento:

El espacio de almacenamiento en disco flexible es mejor que nada.Nada es mejor que una unidad de disco duro.:. El espacio de almacenamiento en disco flexible es mejor que una unidad de discduro.

EJEMPLO 1.5.1 ,

....~_.

~-~-''''fB!r" r:~uf

~~-:te-:.-

~L.~

t

---IIfIr-~

.....i\,.;:;~

.~:,-. ~ ":t'"-''l

'~ ,'-t~!

--..

i..... :'-;..- O-".,~_

.,~~ .

.~:~-.~.'

~r.~.

,--

43

(1.5.3)

a v b ss a b,

para obtener una expresin equivalente con una barra sobre las variables individuales

laconclusin deseada. Dadas las hiptesis 1,2 Y3, hemos demostrado la conclusin d. OSi una hiptesis no es una clusula, debe reemplazarse por una expresin equivalen-

te que sea una clusula o la conjuncin de varias clusulas. Por ejemplo, supongamos queunade las hiptesis es a V b . Como la barra est sobre ms de una variable, utilizamos laprimera ley de De Margan (vase el ejemplo 1.2.11)

Si p y PV r son verdaderas, entonces r es verdadera.

5. d

(1.5.2)

EJEMPLO 1.5A

1. avb2. s Ve3. cVd

:.bvd

Algunos casos particulares de (1.5.1) son

Si p V q YPson verdaderas, entonces q es verdadera.

5. b v d

1. a2. ii Ve3. cVd

::d

1.5 J DEMOSTR....CIONES POR RESOL.UCtON

EJEMPLO 1.5.5

Al aplicar (1.5.2) a las expresiones 3 y 4, deducimos

Al aplicar (1.5.2) a las expresiones 1 y 2, deducimos4. e

Demostraremos lo siguiente mediante.sesolucin

la conclusin deseada Dadas las hiptesis 1, 2 Y3, hemos demostrado la conclusin b vd.O

Al aplicar (1.5.1) a las expresiones 1 y 2, deducimos4. b v c

Demostraremos lo siguiente mediante resolucin

Al aplicar (1.5.1) a las expresiones 3 y 4, deducimos

L

(1.5.1)Si P V q Y PV r son verdaderas, entonces q V r es verdadera.

La expresin

xyVwVz

p~q

EJEMPLO 1.5.2 !

Podemos verificar (1.5.1) mediante la tabla de verdad (vase elejercicio 1). Como la reso-lucin depende slo de esta sencilla regla, es la base de muchos programas de computado-ra que realizan razonamientos y demostraciones de teoremas.

En una demostracin por resolucin, lashiptesis y la conclusin se escriben comoclusulas. Una clusula consta de trminos separados por o, donde cada trmino es una va-riable o la negacin de una variable.

aVbVcvd

La expresin

EJEMPLO 1.5.3

En esta seccin escribiremos a 1\ b como aboLa resolucin es una tcnica de demostracin propuesta por J. A. Robinson en 1965

(vase [RobinsonJ) que depende de una nica regla:

r Esta seccin puedeomitirse sin prdida de continuidad.

t 1.5 DEMOSTRACIONES POR RESOLUCIN

es una clusula, pues los trminos a, b, e y d estn separadas por o, y cada trmino es unavariable o la negacin de una variable. O

La expresin

no es una clusula, pues aunque los trminos estn separados por o, el trmino xy consta dedos variables, y no de una sola. O

no es una clusula, pues los trminos estn separados por~. Sin'embargo, cada trmino esuna variable. O

Una demostracin directa por resolucin se realiza aplicando varias veces (1.5.1) apares de afirmaciones, para deducir nuevas afirmaciones, hasta que se obtenga la conclu-sin. Al aplicar (1.5.1), p debe ser una sola variable, pero q y r pueden ser expresiones. Ob-serve que al aplicar (1.5.1) a las clusulas, el resultado q V r es una clusula. (Como q y rconstan de trminos separados por o, donde cada trmino es una variable o la negacin deuna variable, q V r tambin consta de trminos separados por o.donde cada trmino es unavariable o la negacin de una variable.)

C ....PITULO 1 I LOGlCA y DEMOSTRACIONES42

En este caso podemos reemplazar la hiptesis a V be por las dos hiptesis a V b y a": Alutilizar prim'ero las leyes de De Morgan (1.5.3) Yluego ~1.5.4), podemos obtener hiptesisequivalentes, de modo que cada una de ellas sea una clausula.

C~,~~ ,,~

47

FIGURA 1.6.2Unaseriede afirmaciones. Lasafirmacionesverdaderas sesealancon K:

(1.6.6)

(1.6.5)

(1.6.3)

SI=1(2)"'2 x(1.6.4)

S2 =2(3)

x-2-

S._I =(n-l)n-2- x

S.=n(+l)

x-2-

5n+ 1 =(n+l)(n+2)

2

paran = 1,2, ...

S _ (n+l)(n+2)n+1 - 2

S, + 1 = I + 2 + ... + n + (n + 1).

Observamos que S. est contenida dentro de S. +1' en el sentido de que

S.+! = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)= S. + (n + 1).

Debidoa (1.6.5) y (1.6.6), tenemos

_ I _ n(n + 1) 1- (n + I)(n + 2)Sn+' - S. + n + - --2- + n + - 2

es verdadera. De acuerdo con la definicin (1.6.3),

Debemos mostrar que la ecuacin (n + 1)

1.6/INDUCCION MATEMTICA

S. = I + 2 + 3 + ... + n.

En realidad, se establece una serie de afirmaciones, a saber,

Supongamos que alguien afirma que

S = n(n+l) 2

El ejemplo anterior ilustra el principio de induccin matemtica. Para mostrarcmo se puede utilizar la induccin matemtica de manera ms profunda, sea S. la suma delos primeros n enteros positivos

Supongamos que cada ecuacin verdadera tiene una "x" junto a ella (vase la figura1.6.2).Como la primera ecuacin es verdadera, est marcada. Ahora, supongamos que po-demos mostrar que si todas las ecuaciones anteriores a una ecuacin particular, digamos, laecuacin (n'+ l),estn marcadas, entonces la ecuacin (n + 1) tainbin est marcada.Entonces, como en el ejemplo de los cubos, todas las ecuaciones estn marcadas; es decir,todas las ecuaciones son verdaderas y se verifica la frmula (1.6.4).

Debemos mostrar que si todas las ecuaciones anteriores a la ecuacin (n + 1) sonverdaderas, entonces la ecuacin (n + 1) tambin lo es. Suponiendo que todas las ecuacio-nes anteriores a la ecuacin (n + 1) son verdaderas, entonces, en particular, la ecuacin nes verdadera:

(1.6.1)

:.p

6. p e-r rr

~~~Ejercicios1. Escriba una tabla de verdad que demuestre (1.5.1).~lilice la resolucinpara deducir cada conclusin en los ejercicios 2-6. Sugerencia: En los ejer.CiClOS 5 Y6. reemplace --? y H con expresiones lgicamente equivalentes que utilicenoe y.

2. i!-vqvr 3. pVr 4. pVtq rVq qvsr _P__ rVst:.p :.q pVqVrvu

:.sVtVu5. p--?q

pVq:.q

7. ~tilice.la resolucin y la demostracin porcontradiccin para resolver de nuevo loseJerCIcIOS 2-6. .

8. Utilice la resolucin y la demostracin por contradiccin para resolver de nuevo elejemplo 1.5.6.

1.6 INDUCCIN MATEMTICASupongamos que una serie de cubos numerados 1, 2, ... estn sobre una mesa (infinitamente)larga (vase la figura 1.6.1) y que algunos cubos.estn marcados con una "X". (Todos loscubos VISibles en la figura 1.6.1 estn marcados.) Supongamos que

El primer cubo est marcado.

Si todos los cubos anteriores al cubo (n + 1) estn marcados,entonces el cubo (n + 1) tambin lo est. (1.6.2)

Mostraremos que (1.6.1) y (1.6.2) implican que cada cubo est marcado, examinando loscubos uno por uno.. La afirmacin (1.6.1) establece de manera explicita que el cubo I est marcado. Con,sl~eremos el cubo 2. Todos los cubos anteriores al cubo 2. a saber, el cubo 1, estn marcados;asi, de acuerdo con (1.6.2), el cubo 2 tambin est marcado. Consideremos el cubo 3. Todoslos cubos anteriores al cubo 3, a saber,los cubos I y 2, estn marcados; as. de acuerdo con

(1.~.2), el cubo 3 ~bin est marcado. De esta forma, podemos mostrar que cada cuboest marcado. Por ejemplo, supongamos que hemos verificado que los cubos I a 5 estnmarcados, como muestra la figura 1.6.1. Para mostrar que el cubo., que no aparece en la figura1.6.1, est marcado, observamos que todos los cubos anteriores al cubo 6 estn marcados, demodo que por (1.6.2), el cubo 6 tambin est marcado.

F,GURA 1.6.1 Cubosnumeradossobreuna mesa.

CAPITULO 1 I LGICA''Y DEMOSTRACIONES46

~.~.~fIJe'.~,~..

ftr-'~ L.~ ..~=-.tJJ:t~..WC'ffilw_lll

~.

:~,er''-11e-I"~J9:'1t"J

_________________-L- ---.-1:=-


( 1.6.7)( 1.6.8)

CApfTULO 1 I LGICA y DEMOSTRACIONES

Nuestra demostracin por induccin matemtica const de dos pasos. En primer lugar,verificamos que la afinnacin correspondiente a n = 1 era verdadera. En segundo lugar, su- '1pusimos que las afirmaciones 1, 2, '.' . , n eran verdaderas y demostramos que la afirmacin(n + 1) tambin lo era. Al demostrar la afirmacin (n + 1), podamos utilizar las afirmacio-nes 1,2, ... , n; de hecho, el truco para construir una demostracin por induccin matemticaconsiste en relacionar las afirmaciones 1, 2, ... .n con la afirmacin (n + 1).

A continuacin enunciamos de manera formal el principiode induccin matemtica.

Principio de induccin matemticaSupongamos que para cada entero positivo n tenemos "na afirmacin Sen) que es verda-dera o falsa. Supongamos que

S (l) es verdadera;si S (i) es verdadera, para toda i < n + 1,entonces Sen + 1)es verdadera.

1.61INDUCCJON MATEMATlCA

Para verificar el paso inductivo (1.6.8), suponemos que S(i) es verdadera para todai-: +. ~ y luego demostram?s que Sen + 1) es verdadera. Esta formulacin de la induccinmatemattca se Ilam~ la forma fuerte de la induccin matemtica. Con frecuencia, comoen el caso d~ los ejemplos anteriores, podemos deducir Sen + 1) suponiendo solamenteSen).En realidad, con frecuencia se enuncia el paso inductivo de la manera siguiente:

Si S (n) es verdadera, entonces S (n + 1) es verdadera.

Enestas dos formulaciones el paso base no se modifica. Puede rnostrars (v l ei. ' . . e vease e eJercI-

CIO 45) ~ue las dos fo~as de induccin matemtica son lgicamente equivalentes.SI queremos venficar que las afirmaciones

49

Entonces S (n) es verdadera para cada entero positivo n.La condicin (1.6.7) se llama el paso base y la condicin ( 1.6.8) se llama el paso in-

ductivo. De aqu en adelante, "induccin" significa "induccin matemtica".. En este momento ilustraremos el principio de induccin matemtica mediante otro

ejemplo.

donde no "" 1, son verdaderas, debemos cambiar el paso base a

S (nol es verdadera.

El paso inductivo no se modifica.

EJEMPL.O 1.6. \EJEMPL.O 1.'6.2; Suma geomtrica

Utilice la induccin para mostrar que

n! ~ 2"-1 paran = 1,2, ..... (1.6.9)

Utilice la ioduccin para mostrar que si r "" 1,

a+ar l +ar2 +"'+ar" = a(r"+I-l)r-l

(1.6.12)

Supongamos que i! ~ 2'-1 para i = 1, ... ,n. Entonces, en particular, para i = n,te-nemos

Podemos relacionar (1.6.10) Y(1.6.11) observando que(n + 1)! = (n + l)(n!).

PASO BASE. [Condicin (1.6.7)] Debemos mostrar que (1.6.9) es verdadera si n =1.Esto es fcil de verificar, pues I! = 1 ~ 1 = 21- 1PASO INDUCTIVO. [Condicin (1.6.8)] Debemos mostrar que sii! ~ 2'-1 parai = 1, ... , n,entonces

a + ar l + ar 2 + ... + ar" + arn+1 a(rn+ 1 -1) + arn+1r-l

a(r"+1 -1) + ar"+I(r-l)r-l r-l

a(r" +2 -1)r-l

paran = O, 1, .... La sum~de la izquierda se llama suma geomtrica. En unasuma geomtrica, la ra-

zon entre los trminos consecutivos (al+ l/al = r) es constante. .

PASO BASE. El paso base, que en este caso se obtiene haciendo n =O, es. a(rl-I)a=~,

lo cual es verdadero.

PASO INDUCTIVO. Supongamos que la afirmacin (1.6.12) es verdadera paran. Ahora(1.6.11 )

( 1.6.10)

por(1.6.11)pues n + 1 ~2

(n + 1)! ~2".

(n + 1)! = (n + l)(n!)~ (n + 1)2"-1~22"-1= 2n.

Ahora,

Por tanto, (1.6.10) es verdadera. Hemos concluido el paso inductivo.Como hemos verificado el paso base y el paso inductivo, el principio de induccin

matemtica nos dice que (1.6.9) es verdadera paracada entero positivo n. OComo hemos verificado el paso base modificado y el paso inductivo, el principio de induc-cin matemtica nos dice que (1.6.12) es verdadera para n = O, 1, . . . . O

1----~---

.JEMPI..O 1.6.3 ,

CAPITULO 1 I LGICA y DEMOSTRACIONES

~'~

~.:)

'tfr'!-- L.~-~'.:

~.lIr

~.

*,-,:',-Uf-"""..-'.;

~-~I

~...... -

~ ..:~.-

~'~c

~I_~, ..I

\ .JWIr"

I ..

I

I

51

lit .,'dZk+1 h.----OUn--ouhm.

I ~.. ~ . I

FIGURA 1.6.3Un triomin.

FIGURA 1.6.4Formacin de un' mosaico sobreun tablero deficiente 4 x 4 contriomins.

FIGURA 1.6.5Uso de la induccin matemticapara formar un mosaico sobreun tablero deficiente 2/;+ 1 X 2L--- con triomins.

'j 1I Il 1I iill.@j

1 II ,, I

lbeI :, :1 .6/INDUCClON MATEMTICA

Un problema de mosaicosEJEMPLO 1.6A

1. 1+ 3 + 5 + .. -+ (2n -1) = n2

2. 1'2+2.3+3.4+ ... +n(n+l)= n(n+l)(n+2)3

t::;:::=:f::::::'9f::::::'9EjerciciosEn los ejercicios 1-11, utilice induccin para verificar que cada ecuacin es verdaderapara cada entero positivo n.

Un triomin recto, que de aqu en adelante llamaremos slo triomin, es un objeto forma-do por tres cuadrados, como muestra la figura 1.6.3. Un triomin es un tipo de polimin6.Desde' que los poJimins fueron ideados por Solomon W. Golomb en 1954 (vase [Go-lomb, 1954]), han sido un tema predilecto de las matemticas recreativas. Un poliminodeorden s consta de s cuadrados unidos por sus aristas. Un triomin6 es un polimin6 de orden3. El otro tipo de polimin6 de orden 3 est formado por una fila de tres cuadrados. (Nadieha determinado una frmula sencilla para el nmero de polimins de orden s.) Se han dise-ado varios problemas con polimins (vase [MartinJ).

Daremos la demostracin inductiva de Golomb (vase [Golomb, 1954]) de que sieliminamos un cuadrado de un tablero de n x n, donde n es una potencia de 2, podemos foromarun mosaico sobre los dems cuadrados con triomin6s rectos (vase la figura 1.6.4).Formar un mosaico sobre una figura con triomins quiere decir cubrir de manera exactauna figura mediante triomins, sin que stos se traslapen o rebasen la figura. Un tablero alque le falta un cuadrado se llama tabLero deficiente.

Ahora, utilizaremos la inducci6n sobre k para demostrar que podemos formar unmosaico sobre un tablero deficiente de 2k x 2k con triomins.

PASO BASE. Si k = 1, el tablero deficiente 2 x 2 es en s un triomin6 y por tanto puedeformarse un mosaico con un triomin6.

PASO INDUCTIVO. Supongamos que podemos formar un mosaico sobre un tablero defi-ciente 2k x 2k Mostraremos que podemos formar-un mosaico sobre un tablero deficiente2

n2sen(x/2)

53

y1/>1

Muestre que

E..

'WC IIe--,If'~LIam----'\~"1"

'e:m.-'

~,'tr:-

t~-'.~

JIf''~.....-

~~.:.MI ,-

....~

.. ~\~.~~

" ,' ~'

--, ,-:......-'-1

."11',,'':7+- '1

~''an',\~

~~"~If/IE!'

55

Por tanto,

Entonces tambin

.!.+~+ ... +_n_+ n+1 = (n+1)22 3 n+1 n+2 n+2'

Podramos demostrar la afirmacin (1.6.14) por induccin. En particular, el paso in-ductivo sera

1 .6/1NDUCCION MATEMTICA

n3 + 3n2 + 2n + I = n3 + 3n2 + 3n + 1,lo cual es una contradiccin. Por tanto,

1 2 n n2-+-+ ...+--~--2 3 n+1 n+1

o

n2 n+l (n+l)2--+--=---n+l n+2 n+2

Al multiplicar cada lado de esta ltima ecuacin por (n + l)(n + 2) se obtienen2(n + 2) + (n + If = (n + 1)3.

Podemos escribir esta ltima ecuacin comon3 + 2n2 + n2 + 2n + I = n3 + 3n2 + 3n + I

como se afirmaba.42. Utilice la induccin matemtica para demostrar que

I 2 n n2-+-+ ...+-- 5, y 3 divide a n2 - l.

Un heptamin tridimensionales un cubo tridimensional 2 x 2 x2 al que se le ha quitado uncubo 1 x 1 x 1 en una esquina. Un cubo deficiente es un cubo le x k x k al que se le ha qui-tado un cubo 1 x 1 x 1. -

37. Demuestre que un cubo deficiente 2" X 2" X 2" puedecubrirse mediante heptaminstridimensionales.

38. Demuestre que si puede formarse un mosaico con heptami.stridimensionales sobreun cubo deficiente k X k X k, entonces 7 divide a k -,1, k-2 Yk - 4.

39. Suponga que S" = (n + 2)(n - 1) se propone (incorrectamente) como una frmula para2+4++2n.

(a) Muestre que se satisface el paso inductivo pero no el paso base.i:l (b) Si S;es una expresin arbitraria que satisfaceel paso inductivo, qu forma debe tener?

i:l 40. En qu punto falla el siguiente argumento, el cual mostrara que cualesquiera dos en-teros positivos son iguales?

Utilizarnos induccin sobre n para "demostrar" que si a y b son enteros, positivos y n = mx{a, b}, entonces a = b.

PASO BASE. (n = l).Si ay b son enteros positivos y l =mx{a, b}, debemos tenera=b=1.PASO INDUCTIVO. Supongamos que sia'y b' son enteros positivos y n = mx {a '. b'),entonces a' = b'. Supongamos que a y b son enteros positivos y que n + l = mx{a, b). Ahora, n = mx{a - l. b - 1l. Por la hiptesis de-induccin, a - l = b - J.Portanto, a = b.

Como hemos verificado el paso base y el paso inductivo, el principio de induc-cin matemtica implica que cualesquiera dos enteros positivos son iguales'

41. Qu falla en la siguiente "demostracin" de que

CAPiTULO 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES54

1

~oJ

57RINCN DE SOLUCiN CE -PROBLEMAS: INDue~IONMATEMTICA

ttiti'

Problema'~':'oenna'

RINCN DE SOLUCiN DE PROBLEMAS:INDUCCIN MATEMTICA

56

'1.1I

,~.~

,~~'e--rtr

,~-.t-

:~!~10--~'-

I

;~~, '

lert"l .- ....,I{. ,;

:~11i : r-'":~.

.~~.

~";.~ ...:~1"'.11'-I _.'

'~'~'.~".

i~l

59

Negacin: nop,pProposicin compuestaTabla de verdadO exclusivo de proposiciones

p, q: p o q, pero no ambos

----~---~--------_._--~--_ .. _---

/:::::9 CONCEPTOS BSICOS DEL CAPTULO

/::::::=: NOTAS

CAPiTULO 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES

Labibliografa general relativa a las matemticas discretas es [Dossey; Graham, 1988;Liu, 1985; Ross; Tucker]. [Knuth, 1973, volmenes l y 3; 1981) es la referencia clsicapara una gran parte del material.

[Barker; Copi; Edgar] son libros de textode introduccin a la lgica. Un anlisis msavanzadoaparece en [Davis], El primer captulo del libro de geometra de [Jacobs] est de-dicado a la lgica bsica. [Solow] estudia el problema de la construccin de demostracio-nes. Para una historia de la lgica, vase [Kline]. El papel del razonamiento lgico en losprogramas de cmputo se analiza en [Gries],

La formacin de mosaicos con polirnins es el tema del libro de [Martn].

Seccin1.1LgicaProposicinCOnjuncin: p y q, P f\ qDisyuncin, p o q, p V q

_'('f.:....-...~: ~~.O;,,:"""; ..r " ',:-..'"t';'!C''''~~~';;~;i:'''''';'::- ,:;-TI.1.~~ 't: -. '" "'l....."'-'~'-~j"" """'t-.T':~,~;..."'::":~"f.:~:=Z::::J:::~~t;!~~:~~;i'~;~:J;~7;~=~d~:::::~;~.~~~~~~,._; L~!', presionesparavaloresmayoresde .71. En:patticu1ar,elpaso;inductivo,dpende. ". delababilidad para.relacionar,cl.casa,n conelcaso.a-i- 1." -< ... .' .. ' .., .,a, '''",', .. -~. ""." ";, "'~' u.'_'t.....-,~1,iiJ;~P"'~"'..t~.:.:-~.':~

Retrase la agrolain'y sinipIffiCaci6nide'tbnos'lO~~Je,Paril'Poder'..i~ullrir Iasrelacioneseo~;1as;expresiones.:}i:":;!:,:~",'.*:~:}~l\~;!',' ~tjC''Escribacon detalle:,aquello quedebe demostrar;'en,especffi~:i:\vaJons~-,

. queo en el-paso base, el caso n supeestoen el.paso.nduetiso y elcasan +;1por demostrar 'en el,J.)lISO,inductivo.'Escriba las frmulas pnlas,diversas.ex-.":~rl:Siones,~as. ..' T ;'~f.~\"',: 'ti" ,',.?~(,:: .. ", . ,"; .',ii:;i"~5::~",~'Para demostraruna 'desigualdad,'.reemplacelos trminos:en. laexpresiD'mayor

, con trminosmspequeos, de'modo.queJaexpresinresUltnteseaigualillaex-:.,..presinmenOr,o'bien reempJace,lostnnin,os.de,1aex,PIeSj,!l:'Ul~or~,tnninos.;

ms. grandes de modo quela exn;esi6D,resultan,te,sea igual;a'laexpresinmayor.:'1.". ,~, '" ,".:1. ,,'-'t" '\f' ~,- " t' ,l. ,d 'j 11 z..:' ';,J' .~:i

comentarios ,~~,%,,?;:'; ~~'- " >:/ ,o' J_ii:;;;'!~r;~-~~,.~:~',:;~~i~~'1':J1,{~~'"Losnmeros HI.: sonlos'nml!;.os.arih6iiV~~;',~YJa~~~,;; /' !'~ ;,:{~~.~ >,:,:,,:5~.!, !i~;:.:.'(;' .';~;t-~. i-: ,: f,:~:&:'::,r,::, ~,'. -. ~;. l';::~

'... Solucinfo~ ",:1 1.., a : ~

CAPiTULO 1 I LGICA y DEMOSTRACIONES58

60 CAPiTULO 1 I LGICA y DEMOSTRACIONESCAPITULO 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES 61

li

-1

Seccin 1.25. Enuncie la afirmacin "Una condicin necesaria para que Leah obtenga una buena ca-

lificacin en matemticas discretas es que estudie mucho" como una proposicin con-dicioaal.

6. Escriba la recproca y la contrapositiva de la proposicin del ejercicio 5.7. Si pes verdaderay qy r son falsas, determine el valor de verdad-de la proposicin

(pVq)-or.

n y n + 2 son primos.Enlos ejercicios 11y 12, escriba la afirmacincon palabras e indique si es verdaderao falsa.11. Para todos los enteros positivos n, P(n).12. Para algn entero positivo n, P(n).Seccin lA13. Muestre, dando una demostracin por contradiccin, que si cuatro equipos juegan sie-

te juegos, algn par de equipos juega al menos dos veces.14. Distinga entre los trminos axioma y definicin.15. Cul es la diferencia entre una demostracin directa y una demostracin porcontradic-

cin?

r: 44.~'i l31BUOTE:C.:\ I F;.CULT.\r.I. (. ['".,,, 1""'''';',''~ ~ .'.'-"~", ",J .. ~ ..... ;~

Ul.O 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES

16. Determine si el siguiente argumento es vlido.

p r-sq v rpvijrVq:.q

Seccin 1.5

17. Determine una expresin, que sea-la conjuncin de clusulas, equivalente a (p V q)r-r r,

18. Determine una expresin, que sea la conjuncin de clusulas, equivalente a ( p V ij )->;rs.

19, Utilice resolucin para demostrar

pVq-ijvrp':!.r:.T

20. Demuestre de nuevo el ejercicio 19 utilizando laresoluciri yla demostracin por con-tradiccin.

Seccin 1.6Utilice induccin matemtica para demostrar que las afirmaciones de os ejercicios 21-24son verdaderas para cada entero positivo n.

21. 2 +4+ .. + 2n;" n(n+ 1)22. 22 +42 +"'+(2n)2 = 2n(n+I)(2n+l)

323. ..!..+~+ ... +_n_=I__I_

2! 3! (n + I)! (n + 1)'24. 2"+1 < l + (n + 1)2"

CAPiTULO 1 I LOGICA y DEMOSTRACIONES

16. Determine si el siguiente argumento es vlido.

p~qVrpVrVq:.q

Seccin 1.5

17. Determine una expresin, que 'sea'la conjuncin de clusul~, equivalente a (p V q )~r.

18. Determine una expresin, que sea la conjuncin de clusulas, equivalente a ( p V )-i'rs.

19. Utilice resolucin para demostrar

pVq'Vrp'!.r.'. r

20. Demuestre de nuevo el ejercicio 19 utilizando laresolucin yla demostracin por con.tradiccin.

Seccin 1.6

Utilice induccin matemlicapara demostrar que las afirmaciones dejos ejercicios 21.24son verdaderas para cada entero positivo n. .

21. 2 +4 +. "+2n;" n(n+ 1)22. 22 +42 +"'+(2n)2 = 2n(n+1)(21+ 1)

323. ...!..+~+ ... +_n_=I __I_

2! 3! (n + I)! (n + I)!24. 2"+1 < 1+ (n +1)2"

I-~---~-----_~__......; l.

2EL LENGUAJEDE LAS MATEMTICAS

2. 1 CONJUNTOS

2.2 SUCESIONES y CADENAS

2.3 StSTEMAS NUMl!tR'COS2.4 RELACIONES

RINCON DE SOLUCION DE PROBL.EMAS: RELACIONES

2.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA

RtNcON DE SOL.UC,N DE PROBLEMAS: RELACtoNEs DE EQUJVAL.E.NCIA2.6 MATRICESDERELACIONES

t2.7 BASES OEOATQS REU'-CIONALES2.8 FUNCfONES

NOTAS

CONCEPTOS BSICOS DEL CAPiTUL.OAUTOEVALUACION DEL CAPITULO

Este captulo trata acerca del lenguaje de las matemticas. Los temas, algunos delos cuales son familiares para el lector, son los conjuntos, las sucesiones, los siste-mas numricos, las relaciones y las funciones. Todas las matemticas, as como lasreas que se basan en stas, como las ciencias de la computacin y la ingeniera, ha-cen uso de estos conceptos fundamentales.

Un conjunto es una coleccin de objetos. Las matemticas discretas trabajancon estructuras como grficas (conjuntos de vrtices y aristas) y lgebras booleanas(conjuntos con ciertas operaciones definidas sobre ellos),

A diferencia de un conjunto, una sucesin toma en cuenta el orden. Una listade las letras, conforme stas aparecen en una palabra, es un ejemplo de sucesin.(Es claro que en este caso es importante el orden, pues, por ejemplo, caso y cosason palabras diferentes.)

Entre los sistemas numricos estn el familiar sistema decimal (base 10), asCOmo los sistemas binario (base 2) y hexadecimal (base 16),

t Estaseccinpuedeomitirsesin prdidade continuidad.

63

e'-!! ." r

.:=- I'..I,~'1Qt.....' ,~"Ie-:c:-ee-

~e8---

~.

""i""". -'1

enc.

.'.f!'I'.'i0''' Iectri.--er=e..-

eO'ee-..--

e--e I.-- 1

.. J

. EJEMPJ..Oal.l

EJEMPLO 2.. 1.2

entonces A = B., Supongamos que X y Yson conjuntos. Si todo elemento de X es un elemento de Y dO

cirnos que X es un subconjunto de YYescribimos X ;;; Y. ' e-

652, 1 I CONJUNTOs

B= {2, -3},A = {x I xl + x - 6 = O},Si

Si

Una relacin es un conjunto de pares ordenados. La presencia del par ordenado (a, b)enuna relacin indica una relacin 'entre a y b. El modelo de base de datos relacional queayudaa los usuarios a obtener informacin en una base de datos (una coleccin de regs-ros controlada por una computadora) se basa errel concepto'derrelacin.

Una funcin, que es un tipo particular de relacin, asigna a cada miembro de un con-junto X exactamente un miembro de un conjunto Y.Las funciones se utilizan ampliamenteenlas matemticas discretas; por ejemplo, las funciones sirven para analizar el tiempo ne-cesario para ejecutar los algoritmos.

2.1 CONJUNTOSElconcepto de conjunto es fundamental en todas las matemticas y en las aplicaciones ma-temticas. Un conjunto es simplemente una coleccin arbitraria de objetos. Si un conjun-to es finito y no demasiado grande, podemos describirlo enumerando sus elementos. Porejemplo, la ecuacin

e:De: LAS MATEMTtCAS

describe un conjunto A formado por los cuatro elementos 1,2,3 Y4. Un conjunto queda de-terminado mediante sus elementos y no por algn orden particular en que se enumeren di-chos elementos. As, A tambin puede especificarse como

A = {1,3,4,2}.Se supone que los elementos que conforman un conjunto son distintos, y aunque por algu--.-Jna razn podramos tener duplicados en nuestra lista, slo una ocurrencia de cada elemen-to est en el conjunto. Por esta razn, tambin podramos describir al conjunto A definido ~en (2.!.!) corno F, EJEMPLO .2. 1.3

entonces C es un subconjunto de A., O

Cualquier conjunto X. es un subconjunto de s mismo, pues cualquier elemento en Xest en~. SIX es un subconJunt~ de Yy X no es igual a Y,decimos que X es un subconjun-to propio de Y. El conjunto vacio es un subconjunto de cualquier conjunto (vase el ejer-PC1C(X)1O 56). ElcO~Junto de todos lossubconjuntos (propios o no) de un conjunto X denotado

, es el conjunto potencia de X. '

A= {1,2.3,4}.yc= {I,3}(2.1.1)A = {I, 2, 3,4}

SiA = (a, b, e}, los miembros de PA) son

1P(X) I = 1 = ZO = 2".As, (2.1.3) es verdadera para n = O.

Demostracin. La demostracin es por induccin sobre n.

PASO BASE Sin = O Xesel' , El' .I "." ' conjunto vacio, uruco subconjunto del conjunto vacoes e propio conjunto vaco; as,

1,

(2.1.3)Ip(X)1 =2".

0,{a}, lb}, {e}, {a, b}, {a. e}, lb, e}, [a, b, e}.Todos los subconjuntos, excepto [a, b, e}, son subconjuntos propios deA. Para este ejemplo,

IAI =3, Ip(A)1 =23=8. Oilid Daremos una demostracin por induccin de que el resultado del ejemplo 2 1 3 es

Valoengeneral' d . l coni ..l ' es ecrr, e conjunto potencia de un conjunto con n elementos tiene 2"e ementos. '

,,:,,,~(Jft~;2"."f,.,:;,,?:HSi Ixl = n, entonces

A = {l. 2, 2, 3, 4}.Si un conjunto es finito pero grande, o bien es infinito, podemos describirlo enuncian-

do una propiedad necesaria para la pertenencia a dicho conjunto. Por ejemplo, la ecuacinB = {x Ix es un entero positivo par } (2.1.2)

describe al conjunto B formado por todos los enteros positivos pares; es decir, B consta delos enteros 2, 4, 6, y as sucesivamente. La barra vertical "1" se lee "tal que". La ecuacin(2.1.2) se leera entonces "B es igual al conjunto de todas las x tales que x es un entero po-sitivo par". En este caso, la propiedad necesaria para la pertenencia es "es un entero posi-tivo par". Observe que la propiedad aparece despus de la barra vertical.

Si X es un conjunto finiro.sea1X 1 = nmero de elementos en X.

Dada una descripcin de un conjunto X,como (2.1.1) o (2.1.2) y un elemento x, po-demos determinar si ste pertenece o no a X. Si los miembros de X se enumeran como en(2.1.1), slo revisarnos la lista para ver si el elemento x aparece en la lista. En unadescrip-cin como (2.1.2), verificamos si el elemento x tiene la propiedad indicada. Si x est en elconjunto X, escribimos x E X, Ysi x no est en X, escribimos x ft; X. Por ejemplo, si x = 1,entonces x E A, pero x ft; B, donde A y B estn dados por las ecuaciones (2.1.1) y (2.1.2).

El conjunto sin elementos es el conjunto vaco y se denota 0. As. 0 = { }.Dos conjuntos X y Yson iguales y escribimos X = Ysi X y Ytienen los mismos ele-

mentos. Dicho de otra forma, X = Y si siempre que x E X, entonces x E Y Ysiempre quex E Y, entonces x E X.


66 CAPiTUL.O 21 EL L.ENGUA.JE DE ~ MATEMATICA5672. t I CONJUNTOS

A U 0 = A. A n U = A

EJEMPLO 2.. 1.6

Los conjuntos

EJEMPLO 2...1.7 ,

A U B = B U A, A n B = B n A

{I,4,5} Y {2,6}son ajenos. La coleccin de conjuntos

S= {{I,4,5}, {2,6}. {3}, {7,8}}

es~~~ OA veces trabajaremos con varios conjuntos, todos los cuales sern subconjuntos de

un conjunto U. Este conjunto U es un conjunto universal. o universo. El conjunto U debedarse en forma explcita o inferirse del contexto. Dado un conjunto universal U y un sub-conjunto X de U, el conjuntoU~ X es el complemento de X y se denota X.

~U~UC=AU~UQ ~n~nC=An~nq

Sea A = {I, 3, 5}. Si el conjunto universal Use especifica como U = {l, 2, 3,4, 5}, enton-ces A = {2, 4 }...!'or otro lado, si el conjunto universal U se especifica como U = {l, 3, 5,7, 9}, entonces A = {7, 9}. Es claro que el complemento depende del universo con el cualestemos trabajando. O

Nuestro siguiente teorema resume algunas propiedades tiles de los conjuntos. Lademostracin se deja al lector (vase el ejercicio 70).

Sean U un conjunto universal y A, B Y C subconjuntos de U. Se cumplen las siguientespropiedades.

(e) Leyes distributivas:

(b Leyes conmutativas:

(al Leyes asociativas:

An (B Uel = (A n B) U (A n C)A U(B n ci = (A U~ n (A Uq

(di Leyes del neutro), del idntico:O

EJEMPLO 2.1.5

SiA = (l, 3, 5) y B = {4, 5, 6}, entoncesA UB= {I,3,4,5,6}AnB=[5}A -B= (l,3)B-A= (4,6).

xn Y= {xlxEXyxE Y}es la interseccin de X y Y. La interseccin consta de todos los elementos que pertenecenaXyaY.

Los conjuntos X y Y son ajenos si X n y = 0. Una coleccin de conjuntos S es aje-na por pares si siempre que X y Y sean conjuntos distintos en S, X YY son ajenos.

El conjunto

es la diferencia (o complemento relativo). La diferencia X-y consta de todos los elemen-tos en X que no estn en Y.

X-y={xlxEXyxEEY}

XUY={xlxEXoxEY}es la unin de X y Y.La unin consta de todos los elementosq~~-pertenecen aX o a Y (o aambos).

El conjunto

Por lo tanto,

Ip(X)! =2!p(Y)1 =22=2... tr:As, (2.1.3) es vlida para n + 1 y esto concluye el paso inductivo. Por el principio de in-duccin matemtica, (2.1.3) es vlida para toda n 2: p.

En la seccin 4.1 (vase el ejemplo 4.1.4) se dar otra demostracin del teorema2.1.4.

Dados dos conjuntos X y Y,existen varias formas de combinar X y Y para formar unnuevo conjunto. El conjunto

'~c:

Si

69. 2.1 I CONJUNTOS

on A=nS=0.i=l

UA =US={l,2, ...},;=1

entonces

A.={n,n+l, ... } y

AUA=U, AnA=0

A U A = A, A n A = A

A U U = U, A 00 = 0

(h) Leyes de absorcin:

(g) Leyes de acotacin:

(f) Leyes de idempotencia:

(e) Leyes de complementos:

CAPiTULO 21 EL LENGUAJE DE LAS MATEMAnCAS

A U (A n B) = A, A n (A U B) = A

(i) Ley de involucin:A =A

Una particin de un conjunto X divide a X en subconjuntos que no se traslapan. Msformalmente. una coleccin Sde subconjuntos no vacos de X es una particin del conjun-to X SI todo elemento de X pertenece exactamente a un miembro de S. Observe que si S esuna particin de.X, Ses ajena por pares y U S = X.

(j) Leyes del 0/1: E..lEMPLO 2.1.100=U, U=0 Como cada elemento de

(k) Leyes de De Morgan para conjuntos:(AUB)=A n s. (AnB) =AUB

Demostracin. Vase el ejercicio 70. Definimos la unin de una familia arbitraria de conjuntos S como aquellos elemen-

tos x que pertenecen al menos a un conjunto X en S. De manera formal,

X= {1,2,3,4,5,6,7,8}

est exactamente en un miembro de

S = {{ 1, 4, 51, {2, 6}, {3}, {7, 8}},

US= {x 1 xEXparaalgnXES}.De manera anloga, definimos la interseccin de una familia arbitraria S de conjuntoscomo aquellos elementos x que pertenecen a cada conjunto X en s. De manera formal,

ns = {x I x E X para todo X E S lSi

Ses una particin de X. O

.Al inicio de esta seccin sealamos que un conjunto es una coleccin no ordenada deelementos; es decir, un conjunto queda determinado por sus elementos y no por algn ordenparticular de enumerar stos. Sin embargo, a veces es necesario tomar en cuenta el orden. Unpar ordenado de elementos, que se escribe (a, b). se considera distinto del par ordenado(b, a), a menos, por supuesto, que a = b. Dicho de otra forma, (a, b) = (e, d) si y slo sia = c y b = d. Si X YY son conjuntos, X X Y denota el conjunto de todos los pares ordena-dos (x, y) tales que x E X YY E Y. X X Yes el producto cartesiano de X YY.

escribimos EJEMPL.O 2. 1. I 1

US=UA.j=l

Si X = {l, 2, 3} YY = {a, b}, entonces

y si

.escribimos

XX Y= {Cl,a),Cl,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}y X X = {(a, 1), (b. 1), (a, 2), ib, 2), (a. 3), (b, 3)}X X X = {(l. 1), (1, 2), (1, 3), (2,1), (2, 2). (2. 3), (3,1), (3, 2), (3, 3)}Y X X = [(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. o

US=UA, .i=l

El ejemplo 2.1.11 muestra que, en general, X X y"" YX X. Observe que IX X Y!Ixl\Y\.

~.

C-~,el ,.

~~ ...

e:- ,-8-..'

~.'..fJ-.. ~~.

~'.tJ...-81-:e.

':"'~,~'~

2. 1 I CON.JuNTOS 71

2. s n c4. B-A6. U-C8. AU0

10. A U U12. An(BUC)14. (AnB)-C16. (A U B) - (C - B)

18. YxX20. YxY

22. XxYxY24. YxXxYxZ

26. {1,2}28. {a, b, e, d}

30. {x} E {x}32. {x} e {x, {x}}

~.~_.oroft: ..~ero.0:---~II!O"'it

~.e-O-~e

~~e',...

------------------_--:....._---"~e:

~~~EjerciciosEn los ejercicios 116, considere como universo al conjunto U = {1, 2, 3, ... , lO}. Sean A ={l, 4, 7, lO}, B = {1, 2, 3, 4, S} Y C = {2, 4, 6, 8}. Enumere los elementos de cada conjunto.1, AUB3. A-B5. A7. 9. Bn0

11. B n U13. Sn(C-A)15. A nB U C

17. Xx Y19. XxX

En los ejercicios 17-20, sean X = {1, 2} YY = {a, b, e}. Enumere los elementos de cada con.junto.

En los ejercicios 21-24, sean X = {l, 2}, Y = {a} y Z = {a, PJ. Enumere los elementos decada conjunto.21.XxYxZ23. XxXxX

En los ejercicios 25-28, enumere todas las particiOnes del conjunto.25. {I}27. {a,b,e}En los ejercicios 29-32, responda cierto o falso.29. {x} e {x}31. {x} E {x, {xl}En los ejercicios 33-37, determine si cada par de conjuntos son iguales.33. (1,2,3}, {1,3,2}34. {I, 2, 2. 3}, {1, 2, 3 )35. (1,1,3),{3,3,I)36. {xlr+x=2),{I,-2}37. {x I x es un nmero real y O< x :s 2}, {1, 2}38. Enumere los elementos de P( (a, b}). Cules son subconjuntos propios de {a. b}?39. Enumere los elementos de P( {a, b, e, d}). Cules son subconjuntos propios de

{a, b, e, dI?40. Si X tiene 10 elementos, cuntos miembros tiene P(X)? Cuntos subconjuntos pro-

pios tiene X?

41. Si X tiene n elementos, cuntos subconjuntos propios tiene X?42. SiXy Yson conjuntos no vacos y X x Y= Yx X,qupodemos concluir acerca deXyY?

o

(2.1.4)

;

~...__._.__---t.__

Z={a,{3J,y= {a,b},X= {1,2},

X x Yx Z = ((1, a, a). (1, a. {3), (1, b, a), (1, b, f3). (2, a, a),(2, a, {3). (2, b, a), (2, b. {3)}.

EJEMPi...O 2. 1. 13 '

Observe que en el ejemplo 2.1.13, Ixx Yx z] = !xl1 YI jZ.Engeneral, tenemos

EJEMpL.O 2.. 1. 14

(a,. a~. . . . , a.) = (b,. br ... , b.)

y tres platos principales

r = costillas, n = nachos, s = camarn, f = queso fundido

Un restaurante sirve cuatro entradas

e = pollo, b = filete de res, . t = trucha

EJEMPL.O 2. 1.12

Si A = {r, n, s,f} y M = {C,b, r}, el producto cartesiano A x M indica las 12 posibles ca-midas que constan de una entrada y un plato principal. O

Las listas ordenadas no tienen por qu ser de dos elementos. Una n.ada, que se es-cribe (a" a2, , a.), toma en cuenta el orden: '''''''''.

si y slo si

El producto cartesiano de conjuntos X,. X2' . ,X. se define corno el conjunto de todas lasn-adas (X,. x2' ... , x.), donde x; E X;para i = 1, ... , n.

Si

entonces

Esta ltima afirmacin puede demostrarse por induccin sobre el. nmero-e de conjuntos(vase el ejercicio 71).

~. ---------~~~------------'-.~.- -

Si A es un conjunto de entradas, M un conjunto de platos principales y D un conjunto depostres, el producto cartesiano A x M x D enumera todas las comidas posibles que constande una entrada, un plato principal y un postre. O

70 CAPrTuLO 21 EL LENGUAJE DE L.AS MATEMTJCA5

58. A UB =A60. A n B =8

2.21 SUCESJONES y CADENASlE DE LAS MATEMTICAS

En cada uno de los ejercicios 43-55, escriba "verdadero" si la afirmacin es verdadera; encaso contrario, proporcione un contraejemplo. Los conjuntos X, Y YZ son subconjuntos deun conjunto universal U. Suponga que el universo para los productos cartesianos es U x U.43. Para cualesquiera conjuntos X y Y,Xes un subconjunto de Yo Yes un subconjunto de X.44. xn (Y - Z) = (Xn Y) - (Xn Z) para todos los conjuntos X, Yy Z45. (X - Y) n (Y - X) = 0 para todos los conjuntos X y Y46. X - (YU Z) = (X - Y) U Z para todos los conjuntos X, Yy Z47. X-Y = Y-X para todos los conjuntosX y Y48. X n y e X para todos los conjuntos X y Y49. (X n Y) U (Y - X) = X para todos los conjuntos X y Y50. X x (YU Z) = (X x Y) U (X x Z) para todos los conjuntos X, Yy Z51. X x Y = X x Y para todos los conjuntos X y Y52. X x ( Y - Z) = ( X x Y) - ( X x Z

Documents

Matemáticas Discretas - Richard Jonhsonbaugh.pdf