UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA

“TOR VERGATA”

FACOLTA’ DI INGEGNERIA ELETTRONICA

CORSO DI ELETTRONICA QUANTISTICA:

“L.A.S.E.R. PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO”

Candidato:

Emanuele Duca

Professore:

Sergio Martellucci

Anno accademico 2006/2007

L.A.S.E.R. PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO

LASER

La parola LASER è l'acronimo per "Light Amplification by Stimulated Emission of

Radiation", cioè amplificazione della luce mediante il fenomeno dell'emissione

stimolata di radiazione. Per comprendere il funzionamento di un laser è

necessario quindi studiare l'interazione tra radiazione e materia, da cui l'effetto

di amplificazione trae origine.

Luce

La luce visibile, così come la

conosciamo, è soltanto una piccola parte

dello spettro della radiazione

elettromagnetica. Come si può

facilmente ricavare dalle equazioni di

Maxwell un onda elettromagnetica è un sistema di campi elettrici e magnetici

oscillanti in piani ortogonali tra loro ed ortogonali alla direzione di propagazione

dell'onda stessa.

L'onda elettromagnetica è caratterizzata da una frequenza di oscillazione dei

suddetti campi, cui è associata una lunghezza d'onda = v/, dove v=c/n è la

velocità di propagazione dell'onda, pari nel vuoto (n=1) alla velocità della luce.

La luce visibile è quella parte dello spettro elettromagnetico per cui la

lunghezza d'onda è compresa tra 400 e 750 nm.

Figura Spettro della luce nel visibile dai 400 ai 700 nm

 

Radiazione di corpo nero

Se si considera una sfera di materiale riflettente all'interno della quale sia

confinata radiazione elettromagnetica, in equilibrio ad una data temperatura T.

Analizzando quale sia la densità di energia dall'interno di questa sfera o

"cavità": da semplici considerazioni di meccanica statistica, che vanno però

oltre lo scopo di questi appunti, si può ricavare la formula di Rayleigh-Jeans.

(1)

Dove d è la densità di energia per unità di volume e di frequenza [J·s /cm3],

k è la costante di Boltzmann (k=1.38 ·10-23 joule/K) e T la temperatura assoluta.

Questa formula rappresenta bene la distribuzione sperimentale solo alle basse

frequenze, dato che diverge per . Per ovviare a tale problema Planck ha

introdotto l’idea rivoluzionaria che l'energia, nel caso specifico l'energia degli

oscillatori armonici di frequenza n che possono essere visti come "sorgente"

della radiazione nella cavità, non possa assumere qualsiasi valore, ma solo

valori multipli di un "quanto" elementare di energia , introducendo così la

"quantizzazione" dell'energia. Rielaborando i calcoli di meccanica statistica

sulla base di questa considerazione si ottiene la famosa formula di Planck:

(2)

Dove h è la Costante di Planck h= 6.6 · 10-34 joule·s

Per h << kT la formula di Planck si riduce alla formula di Rayleigh-Jeans

Statistica di Boltzmann

Per comprendere i meccanismi che regolano lo scambio di energia tra il campo

di radiazione ed un insieme di atomi è necessario introdurre la statistica di

Boltzmann: quando un gran numero di atomi si trova in equilibrio

termodinamico alla temperatura T, le popolazioni relative di una coppia

qualsiasi di livelli energetici E1 ed E2 ( E2 > E1 ) degli atomi stessi sono espresse

dalla formula:

(3)

Dove N1 ed N2 rappresentano il numero di atomi negli stati ad energia E1 ed E2

rispettivamente.

L'equazione (3) è valida per sistemi atomici che non abbiano livelli energetici

degeneri. Due stati differenti si dicono degeneri se hanno la stessa energia ( Un

esempio di livelli energetici degeneri in un atomo è quello degli orbitali px, py e

pz, orientati lungo i tre assi). Se ci sono già stati differenti che corrispondono

allo stesso livello Ei del sistema atomico, si indica con g i la degenerazione dell'i-

esimo livello energetico. In questo caso la formula (3) va così corretta:

(3b)

Se la distanza in energia tra i due livelli E2 - E1 >> kT, il rapporto tende a zero e

in condizioni di equilibrio solo pochissimi atomi si troveranno nello stato ad

energia maggiore. Dalla forma della equazione (3) è evidente che per E2 > E1 si

avrà sempre N1 > N2 , per cui all'equilibrio termico lo stato ad energia più bassa

sarà sempre più popolato di quello ad energia maggiore.

Assorbimento ed Emissione

Consideriamo ora lo scambio di energia tra la radiazione elettromagnetica e gli

atomi: il processo può essere visto come scambio di energia tra oscillatori

microscopici oscillanti alla stessa frequenza. Se un "fotone", vale a dire un

quanto di campo elettromagnetico di energia hn, interagisce con un sistema

atomico ove E2 - E1 = h , possono avere luogo due diversi processi:

il fotone cede la propria energia all'atomo che si trova nello stato ad energia E1, eccitandolo

nello stato ad energia maggiore E2 (assorbimento)

il fotone stimola la diseccitazione dell'atomo dallo stato ad energia E2 a quello ad energia E1;

in questo processo viene generato un secondo fotone identico al primo (emissione

stimolata).

Il prevalere di un processo sull'altro dipende dalla popolazione relativa dei due

stati: il numero Za di assorbimenti per unità di tempo (numero di fotoni

assorbiti) sarà proporzionale al numero N1 di atomi che occupano lo stato ad

energia minore E1 ed alla densità della radiazione : Za = B12N1 . La

costante di proporzionalità B12 è tale che il prodotto B12 rappresenti la

probabilità che un atomo nello stato 1 si porti nello stato 2 nell'unità di tempo.

L'espressione per il numero di emissioni per unità di tempo risulta leggermente

diversa: infatti oltre ad un contributo del tutto simile a quello considerato per

l'emissione, dovuto all'interazione tra il campo di radiazione e il sistema

atomico, l'atomo può diseccitarsi emettendo un fotone anche in maniera

"spontanea". Ciò che si osserva sperimentalmente in assenza di un campo di

radiazione è infatti un decadimento esponenziale caratterizzato da una vita

media t del livello eccitato: . In analogia con quanto fatto per l'assorbimento si

può definire una probabilità per unità di tempo per il processo di emissione

spontanea, che risulta essere A21 = 1/. Per cui il numero di emissioni sarà

composto dalla somma di due termini: Ze = ( A12 + B12 ) N2 . E' opportuno

sottolineare che il primo termine, detto di emissione spontanea, non dipende

dal campo di radiazione, mentre il secondo, detto di emissione stimolata,

rappresenta il processo simmetrico dell'assorbimento (e si vedrà che B12 = B21 )

Figura- Sistema a due livelli: assorbimento ed emissione

Si può facilmente osservare che a temperatura ambiente (T ~ 300 K), se

poniamo h=kT si ottengono valori per n pari a circa 6 ·1012 Hz, che

corrispondono a lunghezze d'onda =c/ ~ 50 m, nella regione del lontano

infrarosso. Per energie superiori, vale a dire vicino infrarosso, visibile ed

ultravioletto, si avrà h >> kT, per cui a temperatura ambiente risulterà :

N2/N1<<1.

Coefficienti di Einstein

I coefficienti B12 , B21 e A21 vengono indicati con il nome di coefficienti di

Einstein. Per ricavare le relazioni che intercorrono tra i diversi coefficienti è

sufficiente ricordare che in condizioni di equilibrio il numero di atomi che passa

dal livello 2 al livello 1 deve essere pari al numero di atomi che passa dal livello

1 al livello 2, cioè

B12 N1 = ( A21 + B21 ) N2 (4)

Utilizzando l'equazione di Boltzmann (3b) si ricava:

(5)

Se ora si considera la legge di radiazione di corpo nero (2) si ottiene che

per T che tende ad infinito; quindi la (5) diverge se

(6)

Dal confronto con la (2) si ricava infine

(7)

E' interessante quindi considerare il rapporto tra la probabilità di emissione

spontanea e quella di emissione stimolata:

(8)

Questa formula ci mostra che se h >> kT, l'emissione spontanea risulta

predominante su quella stimolata. Questo avviene per esempio nel caso

dell'emissione di luce visibile da parte del filamento di una lampadina, in cui

l'emissione prevalente è quella spontanea, di carattere casuale. Se si

considerano frequenze più basse, per esempio quelle delle microonde, si può

avere h << kT a temperatura ambiente e quindi l'emissione stimolata prevale

su quella spontanea. E' per questo motivo che i primi esperimenti di

amplificazione della radiazione per mezzo dell'emissione stimolata sono stati

effettuati nella regione delle microonde con lo sviluppo del Maser.

Sottolineiamo infine che l'espressione esplicita dei coefficienti di Einstein può

essere ricavata tramite un calcolo di meccanica quantistica. In questa sede ci

interessa solamente fare osservare che da tale calcolo risulta che il coefficiente

A21 è proporzionale al cubo della frequenza.

Il laser

Abbiamo visto che la statistica di Boltzmann impone che in un sistema di atomi

all'equilibrio gli stati ad energia maggiore siano meno occupati di quelli ad

energia minore. Questo fa si che nell'interazione radiazione-materia l'effetto

complessivo sia un'assorbimento di parte della radiazione da parte del sistema

di atomi. Se viceversa riuscissimo a "invertire" il rapporto tra le popolazioni

relative dei due livelli sarebbe possibile rendere predominante il processo

dell'emissione stimolata su quello dell'assorbimento. Tale effetto sarebbe una

vera e propria amplificazione, in quanto il processo di assorbimento è un

processo "coerente", nel senso che il suo effetto è solo quello di ridurre

l'ampiezza di un treno di onde sinusoidali, senza alterarne la coerenza di fase;

vista la simmetria del processo anche l'emissione stimolata deve avere questa

stessa caratteristica. Tale coerenza può essere facilmente compresa se si torna

ad immaginare l'interazione radiazione materia come lo scambio di energia tra

due oscillatori armonici risonanti. Questa coerenza deve essere confrontata con

la mancanza di coerenza di fase associata ai processi di emissione spontanea.

Per le sorgenti di luce incoerente la radiazione emessa è l'insieme di un gran

numero di onde indipendenti ed il fronte d'onda che ne risulta varia da punto a

punto e da istante a istante. Se poi si desidera avere a disposizione una

sorgente monocromatica entro un piccolo intervallo in frequenza le sorgenti

incoerenti forniscono un rendimento assai basso. Per chiarire questo punto è

possibile fare un esempio: la superficie solare è assimilabile ad un corpo nero a

temperatura T = 6000 K. Da un cm2 di questa superficie vengono emessi circa

7000 joule/s. Dalla formula di Planck si può ricavare che se si potesse filtrare

una piccola parte di questa radiazione, ottenendo una banda larga un MHz

intorno al picco della radiazione solare (480 nm, luce verde), l'energia

proveniente da 1 cm2 di superficie solare sarebbe soltanto 10-5 joule/s . Questa

enorme perdita di efficienza non si verifica in sistemi, come il laser, in cui si fa

uso del meccanismo di emissione stimolata, in quanto i fotoni prodotti tramite

questo meccanismo, essendo generati in condizioni di "risonanza" tra campo

elettromagnetico e distanza in energia tra i livelli atomici, saranno

automaticamente monocromatici. Per realizzare un amplificatore di radiazione

che utilizzi il processo di emissione stimolata, cioè un laser, è quindi necessario

ottenere la cosiddetta "inversione di popolazione", vale a dire rendere N2 > N1.

Si può obiettare che alle frequenze ottiche la emissione spontanea risulta

predominante su quella stimolata, dato che h >> kT. Tuttavia si deve tener

conto del fatto che la coerenza di fase esiste solo nel meccanismo di emissione

stimolata, e che questo produce un grossissimo effetto sull'intensità. Sappiamo

infatti che l'intensità di una sorgente monocromatica oscillante alla frequenza n

con ampiezza A è pari ad Ii = A2 . Se considero N di queste sorgenti incoerenti,

l'intensità risultante sarà Itot = N· A2 = N Ii, uguale in ogni direzione. Se invece

le N sorgenti sono coerenti, le ampiezze si sommano in fase ed avremo

un'ampiezza complessiva pari ad N*A, per cui l'intensità totale risulterà essere

Itot = (N*A)2 = N2 Ii . Trattandosi di sistemi atomici N è sempre molto grande (il

numero di Avogadro è pari a 6 ·1023 mole-1), per cui l'effetto "collettivo" della

coerenza risulta essere enorme e l'emissione stimolata sarà enormemente

amplificata rispetto a quella spontanea, per effetto della coerenza di fase.

Inversione di popolazione

Abbiamo visto che in un sistema a due livelli termodinamicamente all'equilibrio

non è possibile realizzare condizioni di inversione di popolazione. Tuttavia

esistono sistemi fisici particolari in cui è possibile ottenere tale inversione.

Sistema a tre livelli

E possibile ottenere inversione di popolazione sfruttando i diversi tempi di vita

media di diversi stati energetici in un sistema atomico o molecolare:

supponiamo di avere un sistema a tre livelli come quello schematizzato nella

figura che segue:

Figura- Sistema a tre livelli per l'inversione di popolazione

Gli atomi assorbono radiazione alla frequenza 13 corrispondente alla gap E3 - E1,

quindi ha luogo un rilassamento degli atomi ad uno stato di energia E2, con

tempi molto rapidi. Dal livello 2 ha quindi luogo l'emissione a frequenza 21 che

produce la diseccitazione degli atomi al livello 1. Dato che la transizione 3-->2

avviene con un tempo di vita medio 32 << 21, Si produce un accumulo di atomi

nel livello 2.In tale schema il livello 3 fa da "mediatore" per l'inversione di

popolazione: con un intenso pompaggio ottico (assorbimento) si continano ad

inviare atomi al livello 3, che si svuota a favore del livello 2; in tale modo il

livello 2 può risultare più popolato del livello 1 senza contraddire la statistica di

Boltzmann. Ovviamente una tale situazione permane solo finchè il pompaggio

ottico alla frequenza 13 continua.

Sistema a quattro livelli

Una variante più efficiente del suddetto schema è il sistema a quattro livelli

schematizzato nella figura che segue:

Figura- Sistema a quattro livelli per l'inversione di popolazione

In tale schema si ha pompaggio ottico (assorbimento) tra il livello 0 e il livello

3, una transizione rapida al livello 2, l'emissione stimolata al livello 1 ed una

nuova transizione veloce al livello 0. Rispetto allo schema a tre livelli questo

schema ha il vantaggio di avere il livello 2 sempre "pieno" mentre il livello 1 è

sempre "vuoto", in quanto gli atomi transiscono molto velocemente al livello 0.

Quindi l'inversione di popolazione in questo caso è ancora più pronunciata. Un

esempio di un sistema a 4 livelli è quello dei centri FA(II) in cristalli di alogenuri

alcalini; si tratta di difetti reticolari all'interno di cristalli isolanti, con cui è

possibile costruire laser a stato solido.

Quello che accade in tali cristalli è che i centri (costituiti da uno ione mancante

all'interno del cristallo, associato ad un'impurezza), che si comportano

analogamente ad elettroni in un atomo, assorbono luce visibile (0 -->3), quindi,

dato che ci troviamo in un cristallo, l'aumento di energia provoca un

"riassestamento" del reticolo cristallino, che produce una transizione ove si

perde energia sotto forma di vibrazioni (3 --> 2). Tale transizione è rapidissima

e produce quindi il depauperamento dello stato 3 a favore dello stato 2. A

questo punto può avvenire la emissione stimolata (a partire da pochi fotoni

generati per emissione spontanea) che produce luce nel vicino infrarosso (21 <

03). Quindi, essendo tornati ad uno stato di energia inferiore si ha un nuovo

rapido riarrangiamento reticolare (1 --> 0) ed il ciclo ricomincia. Questo

sistema è stato utilizzato con successo per produrre laser operanti nel vicino

infrarosso.

Allargamento della riga di emissione

Finora abbiamo considerato l'emissione di un fotone ad una precisa energia h

= E2 - E1, tuttavia nella realtà ci troveremo a considerare una larghezza di

banda nella frequenza di emissione. Facendo la trasformata di Fourier dello

spettro di emissione per una singola frequenza con = 0 si ottiene una

sinusoide, a frequenza , di durata infinita. Tuttavia ogni stato ha una vita

finita, per cui nella realtà avremo a che fare non con tempi infiniti, ma con

tempi finiti . Se antitrasformiamo questa sinusoide troncata al tempo avremo

non più una funzione di Dirac (riga ad una singola frequenza), ma una

distribuzione in frequenza centrata in con una larghezza tanto maggiore

quanto minore è il tempo .

Figura- Allargamento della riga di emissione

La forma della riga di emissione dipenderà dal meccanismo che ha provocato

l'interruzione della vita dello stato eccitato: qualora questo meccanismo risulti

essere uguale per tutti gli atomi del mezzo, come accade per il tempo di vita

intrinseco 21 = 1/A21 o nel caso di collisione (la collisione tra due atomi può

interrompere i processi di emissione), o, nei solidi, a causa delle vibrazioni

reticolari (interpretabili come "collisioni" con i fononi, quanti della vibrazione),

si parlerà di "allargamento omogeneo" e la forma di riga sarà Lorentziana. Se

invece vengono coinvolti meccanismi che spostano la frequenza centrale di

emissione di alcuni atomi rispetto agli altri, si parlerà di "allargamento"

inomogeneo e la forma di riga sarà Gaussiana. Un esempio di allargamento

inomogeneo è quello causato dall'effetto Doppler: in un gas la frequenza di

emissione degli atomi che si muovano in direzione di un ipotetico osservatore

sarà spostata verso le alte frequenze per effetto Doppler: = 0 (1+v/c);

mediando queste distribuzioni di velocità si ottiene una Gaussiana.

Analogamente le imperfezioni in un cristallo producono uno shift casuale delle

frequenze emesse dai singoli atomi, generando così un allargamento

Gaussiano.

Cavità risonanti

Un componente importante di un laser è il cosiddetto "risonatore ottico" o

"cavità risonante". Questo è in genere composto da una coppia di specchi

contrapposti, nel cui interno viene posto il cosiddetto "mezzo attivo", cioè il

materiale (gas, liquido o solido) i cui atomi sono utilizzati per il processo di

emissione stimolata.

In tale modo la radiazione generata viene riflessa avanti ed indietro tra i due

specchi e ad ogni passaggio attraverso il mezzo attivo viene amplificata. In

generale uno dei due specchi è completamente riflettente (R = 100%), mentre

l'altro, detto specchio di uscita, è solo parzialmente riflettente (con valori per la

riflettività R che vanno in genere dall'80% al 99%). Questo permette di

"estrarre" una parte della radiazione che si accumula nella cavità risonante.

Figura- Schema di un Laser

La cavità risonante produce inoltre un effetto di "selezione" sulla lunghezza

d'onda di emissione del laser. E' infatti facile dimostrare che all'interno di una

cavità risonante di questo tipo possono oscillare solamente le lunghezze d'onda

tali che la lunghezza della cavità sia pari ad un numero intero di mezze

lunghezze d'onda , cioè quelle per cui la relazione:

L = m /2 (9)

Dove L è la lunghezza della cavità risonante (distanza tra i due specchi) ed m è

un numero intero.

Figura - Modi di oscillazione in una cavità risonante

Quindi solo le lunghezze d'onda m=m/2L potranno oscillare nella cavità senza

attenuarsi rapidamente dopo qualche passaggio. Il risonatore ottico produce

inoltre una selezione sulla direzione di propagazione della radiazione (i fotoni

emessi con un angolo troppo grande rispetto alla normale agli specchi

verranno "persi" dopo poche riflessioni all'interno della cavità risonante).

E' possibile introdurre il concetto di "fattore di qualità" di una cavità risonante,

analogamente a quanto fatto per i circuiti risonanti. Questo è definito come 2

volte il rapporto tra l'energia immagazzinata nel risonatore W e quella dissipata

in un periodo (dW'/dt)T. ricordando che = 1/T si ha

(10)

Il valore di Q diventa importante quando si deve valutare se la perdita di

energia

(11)

è compensato dall'aumento di energia associato al processo di amplificazione:

(12)

Supponendo g1=g2, si ha B12 = B21 = B. Sia N =N2-N1. Si ottiene allora:

(12b)

Dato che so che la vita media dello stato eccitato = 1/A21 , si ricava dalla (7):

(13)

Per ricavare un'espressione per possiamo considerare che nel volume V

della cavità oscillino solo onde elettromagnetiche in una banda larga intorno

alla frequenza , allora = W/V , per cui si ottiene:

(14)

Che confrontato con l'espressione per dW' fornisce la cosiddetta "condizione di

oscillazione":

(15)

che deve risultare soddisfatta perchè il processo laser possa avere inizio. Si

noti che essa dipende dal cubo della frequenza, e questo fa capire perchè i

primi laser siano stati sviluppati nelle microonde e perchè sia a tutt'oggi assai

difficile realizzare laser nell'ultravioletto. L'espressione esplicita per un

risonatore ottico risulta legata alle riflettività degli specchi: Trascurando gli

assorbimenti, la perdita principale nel risonatore è costituita dallo specchio

parzialmente riflettente, dove la frazione (1 - r) dell'energia sfugge ad ogni

riflessione. Dato che, detta L la lunghezza del risonatore, ogni secondo ci sono

c/2Ln riflessioni, l'energia persa per unità di tempo sarà:

(16)

Per cui, ricordando la definizione di Q (10) si ha:

(17)

Se chiamo F il rapporto W/dW tra energia accumulata ed energia dissipata

posso scrivere:

(18)

La grandezza F è un numero puro che può essere visto come una sorta di

"tempo di vita" del fotone nella cavità risonante.

Pompaggio

L'ultimo componente, ma non per questo il meno importante, di un laser è il

sistema di pompaggio: è questo la fonte di energia necessaria per eccitare gli

atomi del mezzo attivo in modo da permettere di ottenere emissione coerente

nel processo di diseccitazione. La condizione di oscillazione deve infatti essere

mantenuta costante nel tempo per permettere l'emissione laser. Il pompaggio

deve fornire l'energia per la transizione allo stato 3. Il metodo più immediato è

il cosiddetto "pompaggio" ottico, ottenuto mediante assorbimento di luce di

energia h pari alla distanza tra i livelli interessati. Si tratta di un sistema di

pompaggio molto selettivo (eccita solo la transizione desiderata); esistono

tuttavia altri metodi di pompaggio: nel caso di un gas gli atomi possono essere

eccitati nel livello 3 mediante collisioni con elettroni liberi nel gas stesso,

tramite urti anelastici con atomi o molecole. Un altro metodo, assai poco

selettivo, è il pompaggio termico... E' opportuno a questo punto fare alcune

considerazioni sull'efficienza di un laser, vale a dire sul rapporto tra l'energia

impiegata per il pompaggio e l'energia di uscita del laser stesso. Nel caso di

pompaggio ottico è possibile definire un'efficienza di trasferimento,

un'efficienza spettrale ed un'efficienza quantica. La prima è il rapporto tra la

potenza incidente sul mezzo attivo e la potenza emessa dal laser. Nella

seconda si tiene conto della larghezza di banda del sistema di pompaggio e

dell'emissione del laser. La terza è il rapporto tra il numero totale di atomi

eccitati (stato 3) ed il numero di atomi che effettivamente finiscono nel livello

energetico utile per l'ottenimento dell'emissione laser (stato 2). In generale le

efficienze dei laser sono piuttosto basse, dell'ordine di qualche percento. I

migliori risultati si ottengono in genere con pompaggio ottico, specie se questo

è effettuato mediante un altro laser (come nel caso dei laser a centri di colore);

infatti in questo modo il pompaggio risulta molto selettivo (si evita di eccitare

gli atomi a livelli non desiderati) e la larghezza di banda per il pompaggio è

piccola. Tuttavia è impossibile evitare perdite dovute a trasferimenti di energia

(la stessa transizione "veloce" allo stato "utile" per l'effetto laser produce una

perdita di energia), emissioni a frequenze diverse da quella desiderata o non

radiative, assorbimenti indesiderati della luce di pompa o della luce emessa,

perdite dovute al risonatore ottico (per diffrazione, assorbimento sugli specchi,

etc.), alla qualità del mezzo attivo (scattering sulla superficie di un cristallo,

diffusione in un liquido..)... Se introduco il concetto di guadagno in maniera

analoga a quanto fatto per il coefficiente di assorbimento di un materiale, cioè,

dato un mezzo attivo di spessore d in grado di produrre emissione stimolata a

frequenza ed una intensità incidente su questo mezzo I0 alla stessa frequenza

, l'intensità in uscita dal mezzo attivo sarà:

I=I0egd (19)

Dove g si dice coefficiente di guadagno.E' evidente che il coefficiente di

guadagno è una sorta di "assorbimento negativo", cui contribuiscono due

termini, uno positivo dovuto all'emissione stimolata, l'altro negativo, dovuto

alle perdite di vario tipo nel mezzo e, per estensione, all'interno del laser. Nella

progettazione di un laser si deve far si che le perdite non superino il guadagno

dovuto all'emissione stimolata, altrimenti g diventerebbe negativo e non si

avrebbe più amplificazione della radiazione incidente.

Figura - Amplificazione della radiazione incidente.

Nell’immagine si vede come, con guadagni anche piccoli, l'intensità di uscita

salga assai rapidamente. Se si considerà il coefficiente F della cavità come una

sorta di "tempo di vita" del fotone nella cavità stessa, questo misurerà il

numero di passaggi avanti e indietro che i fotoni effettueranno all'interno della

cavità, per cui, con uno spessore del mezzo attivo di 1 cm e F = 50, posso

considerare una sorta di "lunghezza equivalente" del mezzo attivo pari a 50

mm, che con un guadagno di 0.2 cm-1 fornisce un'intensità in uscita pari a più

di 20.000 volte quella in ingresso. Ovviamente questa intensità sarà quella

presente all'interno della cavità risonante, per cui, nel caso in cui lo specchio di

uscita abbia una riflettività del 98% , tale fattore si riduce a 400.

ESEMPI E STRUTTURE DEI

DISPOSITIVI L.A.S.E.R

Laser a stato solido

Laser a Rubino : il 16 maggio 1960, T. Maiman fece funzionare il primo laser

della storia: il laser a rubino. Si potrebbe pensare che il laser a rubino non

venga più utilizzato, esso invece trova ancora impiego ad esempio in

dermatologia, nelle prove olografiche non distruttive, ecc.

Il rubino è un cristallo di allumina (sesquiossido di alluminio: Al2O3), drogato con

circa lo 0.05% di ioni cromo trivalente Cr2O3, che gli conferiscono il

caratteristico color rosso. L'alluminio e l'ossigeno sono otticamente inerti,

mentre gli ioni Cr3+ sono i centri otticamente attivi. Si tratta di un laser a 3

livelli: quando si irraggia il cristallo di rubino con luce bianca, questa viene

assorbita dagli ioni cromo e molti elettroni vengono eccitati in un'ampia banda

di livelli energetici. Alcuni elettroni ritornano rapidamente allo stato

fondamentale, ma altri, tramite una transizione che cede energia vibrazionale

al cristallo, vanno in livelli metastabili la cui vita media è circa 104 volte

maggiore di quella degli altri stati eccitati. Quando l'atomo si diseccita emette

luce rossa. Questo fenomeno, che tra l'altro è responsabile della brillantezza

del rubino, viene sfruttato per ottenere l'emissione laser del rubino su due

righe a 692 e 694.3 nm. E' interessante notare come il rubino, cresciuto sotto

forma di cristallo cilindrico, viene usato sia come mezzo attivo che come

risonatore: le due basi del cilindro, piane e parallele, vengono infatti lavorate

otticamente e rivestite con un coating riflettente (tipicamente R1 ~ 96% ed R2

~ 50%) in modo da funzionare come i due specchi di un risonatore ottico. Il

laser a rubino ha bisogno di una sorgente di pompaggio assai intensa,

trattandosi di un sistema a tre livelli, quindi poco efficiente; si usano in genere

lampade a Xenon o a vapori di mercurio. Le potenze di uscita tipiche sono

dell'ordine di qualche Watt quando si opera in continua e arrivano a ~ 20 kW.

Figura- Immagine del laser di Maiman

Laser a Nd:YAG : si tratta di uno dei più diffusi laser a stato solido. Il mezzo

attivo è costituito da un cristallo di Y3Al5O12, detto comunemente YAG, drogato

con Neodimio (Nd3+ che sostituisce Y3+). Costituisce un sistema a 4 livelli che

emette a 1.06 m (vicino infrarosso) con pompaggio ottico tramite lampada a

Krypton. Il cristallo ha una ottima conduttività termica, il che gli permette di

operare senza problemi in continua fino a ~ 700 W, o ad alte frequenze di

ripetizione. Esiste una variante più economica di questo laser, che è il

Nd:Glass, dove i centri attivi di neodimio sono ospitati invece che in un cristallo

di YAG in un vetro. E' più economico, ma ha una peggiore conducibilità termica,

per cui viene utilizzato solo in regime impulsato a basse frequenze di

ripetizione.

Il cristallo di Nd:YAG è materiale ideale per un laser a 4 livelli. La vita media del

livello laser superiore è relativamente lunga (250 μs) e la transizione laser a

1.064 μm termina a circa 2000 cm-1 al disopra dello stato fondamentale, per cui

la popolazione termica del livello laser inferiore a 300 K è inferiore a 10-4 e può

essere trascurata. Il pompaggio a 809 nm può essere efficacemente ottenuto

con un laser a diodo AlGaAs di alta potenza.

Figura-Schema della cavità di pompaggio di un laser a Nd:YAG

con riflettore a sezione ellittica.

Laser a centri di colore : è una classe di laser che utilizzano come centri

attivi i cosiddetti centri di colore in cristalli di alogenuri alcalini (KCl, NaCl,

LiF...), vale a dire elettroni che sostituiscono uno ione negativo. Alcuni di questi

centri, opportunamente associati con ioni impurezza positivi, costituiscono un

ideale sistema a 4 livelli. I centri di colore emettono in genere nel vicino

infrarosso e vengono pompati nel visibile. Si ottengono potenze medie

dell'ordine del mW, ed il laser può essere usato per misure spettroscopiche a

causa dell'elevata purezza spettrale e dell'accordabilità in frequenza della

radiazione di uscita. Questi centri hanno il difetto di funzionare bene, in genere,

alla temperatura dell'azoto liquido (77K), il che ne limita l'uso. Buone

prospettive offre il laser composto da centri F2+ (un elettrone che sostituisce

due ioni negativi) in LiF, che emette nel visibile a temperatura ambiente.

Laser a gas

Costituiscono la categoria più ricca e quella che consente di ottenere il più

vasto campo di

prestazioni. Essi si suddividono a loro volta in più categorie, di seguito

elencate, con accanto la gamma di lunghezze d’onda di funzionamento:

ad atomi neutri V - IR

a ioni UV - V

molecolari IR

a vapori metallici UV - V

a eccimeri UV – V

I laser a gas usano solitamente una miscela di gas di composizione adatta a

massimizzare le proprietà di pompaggio o di emissione come le caratteristiche

di scarica o la vita media degli stati eccitati.

Laser ad He-Ne : e' il laser a gas più comune, più economico e più utilizzato. Il

mezzo attivo è il neon, mentre la presenza dell'elio facilita il pompaggio,

ottenuto tramite scarica elettrica. E' stato il primo laser a funzionare in

continua. La miscela viene tenuta alla pressione di 1 torr e la pressione parziale

dell'elio è di circa 5-10 volte superiore rispetto a quella del neon. In questo

modo l'elio assorbe l'energia della scarica portandosi dal livello 11S ai livelli 23S

e 21S, i quali sono risonanti con i livelli 4S e 5S del neon, che funzionano come

livelli superiori laser e transiscono nei livelli P sottostanti. Si hanno transizioni

utili per il laser a = 633 nm (rosso - la più usata), = 543 nm (verde), =

1.15 m e = 3.39 m (infrarosso). La riga può essere selezionata tramite il

risonatore ottico e si ottengono potenze di uscita in continua di qualche mW.

Laser a CO2 : è il laser più importante per quanto riguarda le applicazioni

industriali, in quanto permette di ottenere un fascio in continua di elevata

potenza (fino a 1 MW), con efficienze di conversione che arrivano al 40%. Il

mezzo attivo è composto da una miscela di CO2, N2 ed He. Le molecole di N2

hanno lo stesso ruolo che aveva l'elio nel laser He-Ne: sono le molecole di N2

eccitate che trasferiscono energia per collisione alle molecole di CO2. Emette a

= 10.6 m (riga più utilizzata) e a = 9.6 m.

Laser ad Argon : utilizza argon ionizzato (A+) come mezzo attivo. Come

pompaggio si utilizza una scarica elettrica con elevate correnti. Emette su una

serie di righe che vanno dal verde al blu-violetto. Le transizioni più importanti

sono = 514.5 nm (verde) e = 488 nm (blu). Può raggiungere circa 100 W in

continua e non presenta problemi di saturazione.

Laser a Eccimeri : I laser ad eccimeri sono delle sorgenti di elevata potenza di luce

laser a frequenza regolabile nella regione spettrale dell’ultravioletto (UV) e

dell’ultravioletto da vuoto (VUV). Lo sviluppo di questo tipo di laser risale agli

anni ’70 e ’80, ed è legato alla scoperta ed allo studio di molecole contenenti

gas rari o gas nobili, quali Xe2, KrF e XeCl. Può sembrare sorprendente che i

gas rari possano formare delle molecole, dato che è ben noto che essi sono

chimicamente inerti. Tuttavia, è possibile formare degli stati molecolari

legati, elettronicamente eccitati, a partire da atomi eccitati di gas rari, anche

se l’interazione tra gli atomi costituenti, quando questi si trovino nel loro stato

fondamentale, è fortemente repulsiva. Queste molecole vengono chiamate

eccimeri (o dimeri eccitati), intendendo con tale termine una molecola che

risulta legata in uno stato elettronico eccitato, ma che risulta dissociata nello

stato elettronico fondamentale.

Molecole eccimeri possono essere formate dall’ interazione tra due atomi o

molecole, una delle quali elettronicamente eccitata:

A + B∗ → AB∗

la molecola legata AB∗ può decadere radiativamente, ritornando allo stato

fondamentale, e dissociarsi:

AB∗ → A + B + hν

Lo stato fondamentale di un eccimero può essere repulsivo oppure può

risultare tanto debolmente legato da essere instabile a temperatura ambiente

e da portare alla dissociazione della molecola. Eccimeri con stato fondamentale

fortemente repulsivo emettono radiazione caratterizzata da un ampio spettro

continuo, a fianco delle righe risonanti dell’atomo eccitato B∗ da cui sono

formati, che si estende verso le lunghezze d’onda crescenti.

Eccimeri con stato fondamentale debolmente legato o dissociativo, invece,

producono spettri di emissione che mostrano strutture vibrazionali e

rotazionali, caratteristiche di transizioni tra stati molecolari legati.

L’inversione di popolazione e l’ azione laser possono essere create in sistemi

molecolari di tipo eccimero, dato che la vita media dello stato legato

elettronico è generalmente molto più lunga di quella dello stato molecolare

fondamentale dissociativo.

I primi sistemi eccimero utilizzati sono lo Xe2 (λ = 172 nm), il Kr2 (λ = 146 nm)

e il Ar2

(λ = 126 nm). In essi il sistema eccimero viene creato irraggiando il gas nobile

puro, sottoposto ad elevate pressioni (p > 10 atm), con fasci molto intensi di

elettroni relativistici.

Come si vede emettono tutti nell'ultravioletto e risultano essere la sorgente

laser più efficiente in questa regione spettrale. Il pompaggio viene eseguito con

una scarica elettrica, preceduta da una preionizzazione ottenuta con raggi X o

utilizzando un fascio di elettroni. Si ottengono potenze medie di uscita fino a 1

kW .

Figura-Laser a gas

Laser a liquido

Laser a colorante : tutta una classe di laser, detti a colorante, o dye lasers,

usano coloranti (in alcool o acqua). La banda di fluorescenza risulta molto larga

e quindi esiste la possibilità di accordare la frequenza del laser con facilità. In

generale sono pompati otticamente, con lampade a flash molto rapide o con

altri laser (N2 o Argon per la rodamina 64, che può anche lavorare in continua)

Altri tipi di laser

Laser a semiconduttore : Finora sono stati considerati solo sistemi atomici i cui

livelli energetici siano associati a funzioni d’onda localizzate, ossia relative a

singoli atomi o molecole. Consideriamo ora il caso dei semiconduttori in cui non

si può più parlare di funzioni d’onda relative a singoli atomi ma si deve parlare

in termini di un’ unica funzione d’ onda relativa a tutto il cristallo. Allo stesso

modo non si può più parlare di livelli energetici di un singolo atomo.

Lo spettro dei livelli energetici `e costituito da bande molto larghe:

precisamente la banda di valenza V e la banda di conduzione C, separate da un

intervallo Eg di energia proibita.

Ciascuna banda è in realtà costituita da un numero molto fitto di livelli

energetici. Si dimostra che il numero di stati per ciascuna banda è dell’ordine

del numero totale di atomi nel semiconduttore. Per il principio di esclusione di

Pauli ogni livello può essere occupato da non più di un elettrone. La probabilità

f(E) che un certo stato di energia E sia occupato è dato dalla statistica di

Fermi–Dirac:

f(E) = (2)

dove F è l’energia del cosiddetto livello di Fermi. Tale livello ha il seguente

significato fisico: per T → 0 si ha:

f = 1 per E < F

f = 0 per E > F

per cui tale livello costituisce il limite tra zona occupata e non occupata per T =

0. Per semiconduttori non degeneri il livello di Fermi cade nella zona di energia

proibita; perciò, per T = 0 K la banda di valenza sarà completamente piena e la

banda di conduzione vuota. In queste condizioni il semiconduttore non

conduce.

Figura – Schema di funzionamento di un laser a semiconduttore

Supponiamo, nel caso T = 0 K, di portare in qualche modo elettroni dalla banda

di valenza a quella di conduzione. Dopo un breve tempo di riassestamento (∼

10−13 s) gli elettroni nella banda di conduzione si porteranno nella parte più

bassa di essa, mentre la parte più alta risulterà vuota di elettroni, cioè piena di

buche. Si ottiene così una inversione di popolazione tra banda di valenza e

banda di conduzione.

Poichè gli elettroni in C tendono a decadere in V, si potrà avere azione laser se

tale materiale è posto in un opportuno risuonatore.

hν ≤ FC − FV (3)

La condizione minima per avere azione laser può essere ottenuta in maniera

generale, introducendo i cosiddetti quasi livelli di Fermi. Possiamo parlare in

questi casi di probabilità di occupazione fV e fC delle bande di conduzione e di

valenza separatamente, dove fV e fC hanno espressioni del tipo:

fV = (4)

fC = (5)

dove FV e FC sono le energie dei due quasi livelli di Fermi.

Perciò per avere azione laser deve valere la relazione precedentemente

descritta in cui:

Bq[fC(1 − fV ) − fV (1 − fC)] > 0 (6)

Da cui fC > fV , e facendo riferimento alla 4, 5 si ottiene che:

FC − FV > E2 − E1 = hν (7)

Condizione ottenuta precedentemente considerando T=0K, questo vuol dire

che i processi risultano indipendenti dalla temperatura.

Esistono altri metodi per ottenere l’inversione di popolazione, uno di questi

consiste nel fatto di considerare il semiconduttore in esame sotto forma di

diodo a giunzione p-n in cui le due zone risultino fortemente drogate.

Polarizzando il diodo in diretta si dimostra che i livelli di Fermi si distaccano di

un eV producendo una zona di svuotamento.

Uno schema di principio di laser a giunzione p-n è mostrato di seguito:

Figura –Schema di un laser a semiconduttore

Per avere azione laser due delle superfici terminali sono lavorate speculari e

rese parallele. Le altre due sono lasciate grezze per evitare oscillazione lungo

direzioni non desiderate.

Di solito le due superfici lavorate non vengono ricoperte di specchi: infatti,

siccome l’indice di rifrazione di un semiconduttore è molto elevato, si ha già

abbastanza riflessione totale alla superficie di separazione semiconduttore–

aria. La regione è costituita da uno strato di spessore ≃ 1 μm, più grande dello

spessore dello strato di spopolamento. La dimensione traversa del fascio risulta

a sua volta molto maggiore ≃ 40 μm della dimensione della

zona attiva. L’ onda e.m. laser riesce cioè a penetrare notevolmente sia nella

zona p che nella zona n. Tuttavia, poichè le dimensioni trasverse del fascio

risultano pur sempre molto piccole, il fascio in uscita possiede una divergenza

molto elevata.

Notiamo infine che la densità di corrente di soglia Jc di un laser a

semiconduttore aumenta fortemente con la temperatura di operazione T, circa

come T3 per T > 77K. Ciò dipende dal fatto che al crescere di T fC(1 − fV )

diminuisce e fV (1 − fC) aumenta per cui il guadagno (6) diminuisce

fortemente. Da questo segue che non è possibile far funzionare

questi laser in continua al di sopra di una certa temperatura critica TC.

Esistono molti di questi laser, che emettono potenze medie di 10 mW in

continua .Sono assai efficienti (50-60%). Esempio tipico è il laser GaAs, che

emette tra = 820 nm e = 900 nm (intrarosso).

Laser a elettroni liberi (FEL) : nel Laser ad Elettroni Liberi non si usa un

sistema di atomi o molecole come mezzo attivo, bensì un fascio di elettroni

relativistici. Questi vengono costretti su una traiettoria oscillante da un campo

magnetico statico variabile nello spazio (generato da un oggetto detto

ondulatore magnetico), per cui, come tutte le cariche accelerate, perdono

energia emettendo radiazione. Volendo trovare analogie con i sistemi laser

convenzionali, si può osservare che il campo magnetico prodotto

dall'ondulatore gioca il ruolo del mezzo attivo, mentre il fascio di elettroni è

l'equivalente del sistema di pompaggio dei sistemi laser tradizionali. In effetti

in un FEL ha luogo l'interazione tra la radiazione di sincrotrone emessa dagli

elettroni, il campo statico dell'ondulatore e gli elettroni del fascio. In condizioni

opportune è possibile sottrarre energia agli elettroni del fascio per trasferirla al

fascio laser ottenendo così amplificazione della radiazione. Contrariamente a

quanto avviene nei laser convenzionali è tuttavia possibile anche il processo

inverso, che implica un'accelerazione degli elettroni a spese del campo

elettromagnetico. La caratteristica che rende il Laser ad Elettroni Liberi assai

interessante rispetto ai laser convenzionali è quella dell'accordabilità in

lunghezza d'onda: in teoria è possibile variare la lunghezza d'onda di emissione

secondo la formula

(8)

Dove u è il periodo dell'oscillazione spaziale del fascio, g è il fattore relativistico che

indica l'energia degli elettroni e K è legato al campo magnetico dell'ondulatore.

Come si vede, è teoricamente possibile controllare la lunghezza d'onda della

radiazione prodotta dal FEL cambiando questi parametri. Tuttavia lo spettro di

variazione dei parametri in gioco è limitato da problemi fisici e tecnologici:

l'energia degli elettroni dipende dalla macchina acceleratrice e con la stessa

macchina non è possibile modificarla oltre certi limiti; i campi magnetici

ottenibili hanno dei limiti fisici intorno a valori di una decina di Tesla ed il passo

dell'ondulatore non può essere ridotto al di sotto del centimetro senza

pregiudicare altri parametri del sistema. Infine le dimensioni ed il costo della

macchina acceleratrice crescono al crescere dell'energia degli elettroni,

rendendo così difficilmente realizzabile un FEL compatto per piccole lunghezze

d'onda. Quindi si otterrà un laser che emetterà in una determinata regione

spettrale (onde millimetriche, lontano infrarosso, vicino infrarosso, visibile,

UV...) e avrà dei buoni margini di accordabilità, ma sempre nella stessa regione

spettrale. Ad esempio presso il centro ENEA di Frascati è funzionante un FEL

nella regione delle onde millimetriche operante tra = 2.1 mm e = 3.6 mm

con una potenza di 1.5 kW su 4 s, e sta per entrare in funzione una modifica

dello stesso che permetterà di ottenere radiazione tra 400 ed 800 m.

Essendo il FEL una macchina tecnologicamente assai complessa e "giovane"

nel panorama delle sorgenti di radiazione coerente, non sarebbe risultata

proficua dal punto di vista applicativo la realizzazione di macchine operanti in

zone spettrali già ampiamente coperte da sorgenti laser convenzionali, meno

costose e più sperimentate. Questo lascia spazio alle piccole lunghezze d'onda

- UV e raggi X - e alle grandi lunghezze d'onda - Lontano Infrarosso e Onde

Millimetriche - ove vi è carenza di sorgenti convenzionali o ove queste

presentano limiti. Il forte interesse per sorgenti coerenti a piccole lunghezze

d'onda si scontra però con gli enormi costi e dimensioni, e con intrinseche

difficoltà fisiche e tecnologiche, per la realizzazione di apparati FEL operanti in

queste regioni spettrali.