Introducci on a la Matem atica DiscretaIntroducci on a la Matem atica Discreta Temario Tema 1. Teor a de Conjuntos. Tema 2. L ogica proposicional y algebras de Boole. Tema 3. T ecnicas

Introducción a la Matemática DiscretaLógica proposicional y Álgebras de Boole

Luisa Maŕıa Camacho

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 25

Introducción a la Matemática DiscretaTemario

Tema 1. Teoŕıa de Conjuntos.

Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole.

Tema 3. Técnicas de contar.

Tema 4. Recursión.

Tema 5. Aritmética entera.

Tema 6. Aritmética modular.


Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole

Lógica proposicional.

Proposición lógica.

Conectores lógicos.

Tablas de verdad.

Técnicas de demostración.

Álgebras de Boole.


Lógica proposicional. Proposición lógica

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le puedaasignar un valor de verdad (V) o falsedad (F) (pero no ambas).

Ejemplos:

“x + 3 es un entero positivo”NO ES UNA PROPOSICIÓN.

“15 es un número par”SÍ ES UNA PROPOSICIÓN.


Lógica proposicional. Conectores lógicos

Las proposiciones simples pueden combinarse mediante las llamadas conectores lógicospara formar proposiciones compuestas.

¬ La negación.

∨ La disyunción. “o inclusivo”.

∧ La conjunción. “y”

→ La implicación. Condicional.

↔ La equivalencia.

Los paréntesis. “p ∨ (q → ¬r)”no es lo mismo que “(p ∨ q) → ¬r


Lógica proposicional. Tablas de Verdad.

¬pverdad (V) si p falso (F) y falso (F) si pverdad (V).

p ¬pV FF V

p ∨ qverdad (V) si al menos uno de entre p y qverdad (V) y falso (F) si tanto p como qfalso (F).

p q p ∨ qV V VF V VV F VF F F

p ∧ qverdad (V) si p y q verdad (V) y falso(F) si uno de entre p y q falso (F).

p q p ∧ qV V VF V FV F FF F F



p→ qverdad (V) si p y q verdad (V) o si pfalso (F) independientemente de q y falso(F) en los demás casos.

p q p→ qV V VF V VV F FF F V

p↔ qverdad (V) si p y q toman el mismo valory falso (F) en los demás casos.

p q p↔ qV V VF V FV F FF F V



Tautoloǵıa si toma el valor verdad independientemente de los valores delas proposiciones que la componen.

Contradicción si toma el valor falso independientemente de los valores delas proposiciones que lo componen.

Contingencia en los demás casos.


Relación entre Teoŕıa de Conjuntos y Lógica Proposicional.

conjuntos A A ∪B A ∩B A ⊂ B A = Bproposiciones ¬a a ∨ b a ∧ b a→ b a↔ b

Tablas de pertenencia

Sean A y B conjuntos de X. Sea x ∈ X. Si x es un elemento de un conjunto dadoescribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0. Probar queA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

A B C B ∩ C A ∪ (B ∩ C) A ∪ B A ∪ C (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1


Lógica Proposicional. Aplicaciones

Estructura de decisión (o selección) en programación.

Si expresion logica Entonces

acciones por verdadero

Sino

acciones por falso

FinSi

si p entonces A o B,

A y B no necesariamente proposiciones lógicas.


Lógica Proposicional. Aplicaciones

Ejemplo

if (!(n

Lógica Proposicional. Ejercicios.

1 Verificar que la proposición p ∨ ¬(p ∧ q) es una tautoloǵıa.

2 Verificar que la proposición (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q) es una contradicción.

3 Se pide:

3.1. Demostrar que “p implica q” y “q implica p” es lógicamente equivalenateal bicondicional ”p si y sólo si q”; es decir, (p→ q) ∧ (q → p) ≡ p↔ q.

3.2. Demostrar que p↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p).4 El conector proporcional ∨ se llama disyunción exclusiva; p∨q y se lee p o q

pero no ambos. Se pide:

4.1. Construir una tabla de verdad para p∨q.4.2. Probar: p∨q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) (es decir, puede escribirse en términos de

los tres conectores originales ∨, ∧ y ¬).


Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole

Álgebras de Boole.

Axiomas.

Propiedades.

Ejemplos.

Aplicaciones a circuitos.


Álgebras de Boole. Axiomas

El álgebra de Boole es un conjunto de elementos, B, que contiene dos elementosespeciales 0 (elemento neutro) y 1 (elemento unidad) sobre el que definimos dosoperaciones binarias cerradas: +,× y una operación unitaria, ′, que satisfacen lossiguientes axiomas:

Axioma 1: Conmutativa:

{a + b = b + aa× b = b× a

Axioma 2: Asociativa:

{(a + b) + c = a + (b + c)(a× b)× c = a× (b× c)

Axioma 3: Distributiva:

{a + (b× c) = (a + b)× (a + c)a× (b + c) = (a× b) + (a× c)

Axioma 4: Elementos neutros:

{a + 0 = aa× 1 = a

Axioma 5: Inversos:

{a + a′ = 1a× a′ = 0


Álgebras de Boole. Propiedades

Jerarqúıa de las operaciones:Primer lugar (’), segundo lugar (×) y tercer lugar (+).

Si no da lugar a confusión a× b = ab.

Gracias a la asociatividad se suelen prescindir de los paréntesis: a + b + c,a× b× c.

Existe dualidad entre las operaciones + y × y entre los elementos 1 y 0.(Principio de dualidad.)

Unicidad de los elementos neutro y unidad y del complementario.

La operación unitaria es idempotente, (x′)′ = x.

0′ = 1, 1′ = 0.


Álgebras de Boole. Propiedades.

{(x + y)z = xz + yzxy + z = (x + z)(y + z)

Ley de idempotencia:

{x + x = xxx = x{

x + 1 = 1x0 = 0

Ley de absorción:

{x + xy = xx(x + y) = x{

x + x′y = x + yx(x′ + y) = xy

Ley de Morgan:

{(x + y)′ = x′y′

(xy)′ = x′ + y′


Álgebras de Boole. Ejemplos

Ejemplo 1: Álgebra de conjuntos.

El álgebra de conjuntos es un álgebra de Boole, sea X un conjunto, sea P(X) elconjunto de las partes de X. Tomamos B = P(X), el conjunto de elementos, las dosoperaciones binarias, ∪ la unión y ∩ la intersección y la operación unitaria elcomplementario, siendo su elemento unidad el conjunto universal (el total X) y elconjunto vaćıo (∅) su elemento neutro:

A ∪ ∅ = A, A ∩X = A, A ∈ B

A ∪A′ = X = 1, A ∩ ∅ = ∅ = 0, A ∈ B



Ejemplo 2: Álgebra Proposicional.

El conjunto B está formado por dos elementos V y F; las dos operaciones ∨(disyunción) y ∧ (conjunción) cuyos elementos identidad son F y V respectivamente.La operación unitaria es la negación, ¬.

V ∨ F = V, F ∨ F = F, (suma)V ∧ V = V, F ∧ V = F, (producto)V ∨ ¬V = V = 1, V ∧ ¬V = F = 0, (complementario)



Ejemplo 3: Álgebra de conmutación.

Este álgebra es importante en el análisis de circuitos.El conjunto de elementos, B = {0, 1} las dos operaciones (+) y × y la operaciónunitaria vienen dadas por:

+ 0 1

0 0 11 1 1

× 0 10 0 01 0 1

x x’

0 11 0


Álgebras de Boole. Circuitos

Disponemos de un circuito en serie y dos interruptores A y B

Introduzcamos la siguiente notación:

0 significa abierto o no circula corriente

1 significa cerrado o circula corriente

• representa el conector lógico ∧



Disponemos de un circuito en paralelo y dos interruptores A y B




+ representa el conector lógico ∨



Disponemos de un circuito con relé y un interruptor A




¬ representa el conector lógico ¬


Álgebras de Boole.Circuitos

Un circuito está formado de puertas elementales. Las más usuales son:

AND equivale a un circuito en serie. El śımbolo por el que se representa es:

OR equivale a un circuito en paralelo. El śımbolo por el que se representa es:

NOT da como salida el estado opuesto al de entrada. El śımbolo por el que serepresenta es:


Álgebras de Boole. Ejercicios.

1 Construir un circuito para cada una de las siguientes funciones de conmutación

a) x + yz; c) x(y + z); e) (x + y) · (z + k);b) xy + zk; d) (x + y) · (x′ + zy′); f) (xy + z) · (k + x′y).

2 Halla las funciones de conmutación que producen los siguientes circuitos:


Lógica proposicional. Álgebras de Boole. Bibliograf́ıa.

1 F. Garćıa Merayo, Matemática Discreta.Editorial Thomson, 2a Edición, 2005.

2 R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.

3 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.


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