24
Transforma¸c˜ oes trigonom´ etricas Exerc´ ıcios MA093 – Matem´ atica b´ asica 2 Transforma¸ oes trigonom´ etricas Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Outubro de 2018

MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Transformacoes trigonometricas

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Outubro de 2018

Page 2: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Formulas de adicao e subtracao.

2 Formulas de arco duplo.

3 Aplicacao das formulas.

a. ao calculo de funcoes trigonometricas;

b. a demonstracao de identidades;

c. a deducao de outras formulas;

d. a resolucao de equacoes.

Page 3: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Formulas de adicao e subtracao

Adicao e subtracao

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

sen(a− b) = sen(a)cos(b)− sen(b)cos(a)

cos(a + b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)

cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

tan(a + b) =tan(a) + tan(b)

1− tan(a)tan(b)

tan(a− b) =tan(a)− tan(b)

1 + tan(a)tan(b)

Page 4: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Demonstracao da formula de cos(a-b)

Considere os pontos

(x1, y1) = (cos(b), sen(b))

(x2, y2) = (cos(a− b), sen(a− b))

(x3, y3) = (cos(a), sen(a))

Os arcos entre (x1, y1) e (x3, y3) e entre(1, 0) e (x2, y2) tem a mesma medida.Os segmentos azuis tambem tem omesmo comprimento. Logo,√

(x3 − x1)2 + (y3 − y1)2 =√

(x2 − 1)2 + (y2 − 0)2

(x3 − x1)2 + (y3 − y1)2 = (x2 − 1)2 + y22

x23 − 2x3x1 + x2

1 +y23 − 2y3y1+y2

1 = x22 − 2x2 + 1+y2

2

2− 2x3x1 − 2y3y1 = 2− 2x2 → −2x3x1 − 2y3y1 = −2x2

x2 = x3x1+y3y1 → cos(a−b) = cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)

Page 5: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Demonstracao da formula de cos(a+b)

Sabemos que

cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

Por outro lado, cos(a + b) = cos(a− (−b))

Logo,

cos(a + b) = cos(a)cos(−b) + sen(a)sen(−b)

Como o seno e uma funcao ımpar, temos sen(−b) = −sen(b)

Como o cosseno e uma funcao par, temos cos(−b) = cos(b)

Assim,

cos(a + b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)

Page 6: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Demonstracao da formula de sen(a+b)

Sabemos que

cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

Tambem sabemos que

sen(x) = cos(π

2− x) e cos(x) = sen(

π

2− x)

Assim

sen(a + b) = cos(π

2− (a + b)

)= cos

(π2− a− b

)= cos

((π2− a)− b)

= cos(π

2− a)cos(b) + sen

(π2− a)sen(b)

= sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

Page 7: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Demonstracao da formula de tan(a+b)

tan(a + b) =sen(a + b)

cos(a + b)=

sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)

=

sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)cos(a)cos(b)

cos(a)cos(b)−sen(a)sen(b)cos(a)cos(b)

=

sen(a)cos(b)cos(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

cos(a)cos(b)

cos(a)cos(b)cos(a)cos(b) −

sen(a)sen(b)cos(a)cos(b)

=

sen(a)cos(a) + sen(b)

cos(b)

1− sen(a)cos(a) ·

sen(b)cos(b)

=tan(a) + tan(b)

1− tan(a)tan(b)

Page 8: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exemplo

Problema

Com base nos dados databela ao lado, calcule

sen(75◦)

θ 30◦ 45◦ 60◦

sen(θ) 1/2√

2/2√

3/2

cos(θ)√

3/2√

2/2 1/2

tan(θ)√

3/3 1√

3

sen(75◦) = sen(30◦ + 45◦)

= sen(30◦)cos(45◦) + sen(45◦)cos(30◦)

=1

2·√

2

2+

√2

2·√

3

2

=

√2

4+

√6

4=

√2 +√

6

4

Page 9: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exemplo

Problema

Com base nos dados databela ao lado, calcule

cos(15◦)

θ 30◦ 45◦ 60◦

sen(θ) 1/2√

2/2√

3/2

cos(θ)√

3/2√

2/2 1/2

tan(θ)√

3/3 1√

3

cos(15◦) = cos(45◦ − 30◦)

= cos(45◦)cos(30◦) + sen(45◦)sen(30◦)

=

√2

2·√

3

2+

√2

2· 1

2

=

√6

4+

√2

4=

√2 +√

6

4(= sen(75◦))

Page 10: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Provando identidades

Problema

Mostre que

sen(π

2− x)

= cos(x)

sen(π

2− x)

= sen(π

2

)cos(x)− sen(x)cos

(π2

)= 1 · cos(x)− sen(x) · 0

= cos(x)

Page 11: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Provando identidades

Problema

Mostre que

sen(a)cos(b) =1

2[sen(a + b) + sen(a− b)]

Expandindo o lado direito, obtemos

12 [sen(a + b) + sen(a− b)]

12 [sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) + sen(a)cos(b)− sen(b)cos(a)]

12 [2sen(a)cos(b)]

sen(a)cos(b)

(que e igual ao lado esquerdo.)

Page 12: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Formulas do arco duplo

Arco duplo

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

= 1− 2sen2(x)

= 2cos2(x)− 1

tan(2x) =2tan(x)

1− tan2(x)

Page 13: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exemplo

Problema

Sabendo que

sen(120◦) =

√3

2e cos(120◦) = −1

2,

calcule sen(240◦)

sen(240◦) = 2sen(120◦)cos(120◦)

= 2

(√3

2

)(− 1

2

)

= − 2√

3

4= −

√3

2

Page 14: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exemplo

Problema

Sabendo que cos(30◦) =√

3/2, calcule cos(15◦)

cos(30◦) = 2cos2(15◦)− 1 → cos(30◦) + 1 = 2cos2(15◦)

cos2(15◦) =cos(30◦) + 1

2=

√3

2 + 1

2=

√3 + 2

4

Como 0 ≤ 15◦ ≤ 90◦, temos

cos(15◦) =

√√3 + 2

4

Page 15: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exemplo

Problema

Sabendo que cos(θ) =12

13e 0 ≤ θ ≤ π

2, calcule sen(2θ)

sen2(θ) + cos2(θ) = 1 → sen2(θ) = 1− cos2(θ)

sen2(θ) = 1−(

12

13

)2

= 1− 144

169=

169− 144

169=

25

169

sen(θ) =

√25

169=

5

13(pois 0 ≤ θ ≤ π

2)

sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) = 2 · 5

13· 12

13=

120

169

Page 16: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Deducao de formula

Problema

Deduza uma formula para cos(3x)

cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x)− sen(2x)sen(x)

= [2cos2(x)− 1]cos(x)− [2sen(x)cos(x)]sen(x)

= 2cos3(x)− cos(x)− 2sen2(x)cos(x)

= 2cos3(x)− cos(x)− 2[1− cos2(x)]cos(x)

= 2cos3(x)− cos(x)− 2cos(x) + 2cos3(x)

= 4cos3(x)− 3cos(x)

Page 17: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Resolucao de equacao

Problema

Supondo que 0 ≤ x ≤ π/2, resolva a equacao

sen(2x)− cos(x) = 0

2sen(x)cos(x)− cos(x) = 0

cos(x)[2sen(x)− 1] = 0

cos(x) = 0 ou 2sen(x)− 1 = 0

Analisando cada caso em separado:

cos(x) = 0 → x = arccos(0) = π/2

2sen(x)− 1 = 0 → sen(x) = 1/2 → x = arcsen(1/2) = π/6

Page 18: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Formulas de transformacao em produto

Transformacao em produto

sen(a) + sen(b) = 2sen

(a + b

2

)cos

(a− b

2

)

sen(a)− sen(b) = 2cos

(a + b

2

)sen

(a− b

2

)

cos(a) + cos(b) = 2cos

(a + b

2

)cos

(a− b

2

)

cos(a)− cos(b) = −2sen

(a + b

2

)sen

(a− b

2

)

Page 19: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exercıcio 1

Problema

Sabendo que

sen(α) =3

5, cos(α) =

4

5, sen(β) =

2√

5

5e cos(β) =

√5

5,

calculesen(α− β) e cos(α + β)

−√

5

5e − 2

√5

25

Page 20: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exercıcio 2

Problema

Prove que

tan(π

4− x)

=1− tan(x)

1 + tan(x)

Page 21: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exercıcio 3

Problema

Resolva a equacao

sin(x +

π

4

)+ sin

(x − π

4

)=

√6

2

para 0 ≤ x ≤ π/2. Use radianos.

x = π/3 ≈ 1.0472

Page 22: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exercıcio 4

Problema

Sabendo que tan(x) = 3/4, calcule

tan(2x)

x = 24/7 ≈ 3, 4286

Page 23: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exercıcio 5

Problema

Resolva a equacao

3sen(2x)− 4sen(x) = 0

para 0 ≤ x ≤ π/2. Use radianos.

x = 0 e x = arccos(2/3) ≈ 0, 8411

Page 24: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_23_transf_trig.pdf · MA093 Matemática básica 2 - Transformações trigonométricas Author: Francisco

Transformacoes trigonometricas Exercıcios

Exercıcio 6

Problema

Prove quesen(4x)

sen(x)= 4cos(x)cos(2x)