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Transformacoes trigonometricas Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Transformacoes trigonometricas
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Outubro de 2018
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Formulas de adicao e subtracao.
2 Formulas de arco duplo.
3 Aplicacao das formulas.
a. ao calculo de funcoes trigonometricas;
b. a demonstracao de identidades;
c. a deducao de outras formulas;
d. a resolucao de equacoes.
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Formulas de adicao e subtracao
Adicao e subtracao
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
sen(a− b) = sen(a)cos(b)− sen(b)cos(a)
cos(a + b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)
cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
tan(a + b) =tan(a) + tan(b)
1− tan(a)tan(b)
tan(a− b) =tan(a)− tan(b)
1 + tan(a)tan(b)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Demonstracao da formula de cos(a-b)
Considere os pontos
(x1, y1) = (cos(b), sen(b))
(x2, y2) = (cos(a− b), sen(a− b))
(x3, y3) = (cos(a), sen(a))
Os arcos entre (x1, y1) e (x3, y3) e entre(1, 0) e (x2, y2) tem a mesma medida.Os segmentos azuis tambem tem omesmo comprimento. Logo,√
(x3 − x1)2 + (y3 − y1)2 =√
(x2 − 1)2 + (y2 − 0)2
(x3 − x1)2 + (y3 − y1)2 = (x2 − 1)2 + y22
x23 − 2x3x1 + x2
1 +y23 − 2y3y1+y2
1 = x22 − 2x2 + 1+y2
2
2− 2x3x1 − 2y3y1 = 2− 2x2 → −2x3x1 − 2y3y1 = −2x2
x2 = x3x1+y3y1 → cos(a−b) = cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Demonstracao da formula de cos(a+b)
Sabemos que
cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
Por outro lado, cos(a + b) = cos(a− (−b))
Logo,
cos(a + b) = cos(a)cos(−b) + sen(a)sen(−b)
Como o seno e uma funcao ımpar, temos sen(−b) = −sen(b)
Como o cosseno e uma funcao par, temos cos(−b) = cos(b)
Assim,
cos(a + b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Demonstracao da formula de sen(a+b)
Sabemos que
cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
Tambem sabemos que
sen(x) = cos(π
2− x) e cos(x) = sen(
π
2− x)
Assim
sen(a + b) = cos(π
2− (a + b)
)= cos
(π2− a− b
)= cos
((π2− a)− b)
= cos(π
2− a)cos(b) + sen
(π2− a)sen(b)
= sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Demonstracao da formula de tan(a+b)
tan(a + b) =sen(a + b)
cos(a + b)=
sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)
=
sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)cos(a)cos(b)
cos(a)cos(b)−sen(a)sen(b)cos(a)cos(b)
=
sen(a)cos(b)cos(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
cos(a)cos(b)
cos(a)cos(b)cos(a)cos(b) −
sen(a)sen(b)cos(a)cos(b)
=
sen(a)cos(a) + sen(b)
cos(b)
1− sen(a)cos(a) ·
sen(b)cos(b)
=tan(a) + tan(b)
1− tan(a)tan(b)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exemplo
Problema
Com base nos dados databela ao lado, calcule
sen(75◦)
θ 30◦ 45◦ 60◦
sen(θ) 1/2√
2/2√
3/2
cos(θ)√
3/2√
2/2 1/2
tan(θ)√
3/3 1√
3
sen(75◦) = sen(30◦ + 45◦)
= sen(30◦)cos(45◦) + sen(45◦)cos(30◦)
=1
2·√
2
2+
√2
2·√
3
2
=
√2
4+
√6
4=
√2 +√
6
4
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exemplo
Problema
Com base nos dados databela ao lado, calcule
cos(15◦)
θ 30◦ 45◦ 60◦
sen(θ) 1/2√
2/2√
3/2
cos(θ)√
3/2√
2/2 1/2
tan(θ)√
3/3 1√
3
cos(15◦) = cos(45◦ − 30◦)
= cos(45◦)cos(30◦) + sen(45◦)sen(30◦)
=
√2
2·√
3
2+
√2
2· 1
2
=
√6
4+
√2
4=
√2 +√
6
4(= sen(75◦))
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Provando identidades
Problema
Mostre que
sen(π
2− x)
= cos(x)
sen(π
2− x)
= sen(π
2
)cos(x)− sen(x)cos
(π2
)= 1 · cos(x)− sen(x) · 0
= cos(x)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Provando identidades
Problema
Mostre que
sen(a)cos(b) =1
2[sen(a + b) + sen(a− b)]
Expandindo o lado direito, obtemos
12 [sen(a + b) + sen(a− b)]
12 [sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) + sen(a)cos(b)− sen(b)cos(a)]
12 [2sen(a)cos(b)]
sen(a)cos(b)
(que e igual ao lado esquerdo.)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Formulas do arco duplo
Arco duplo
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)
= 1− 2sen2(x)
= 2cos2(x)− 1
tan(2x) =2tan(x)
1− tan2(x)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exemplo
Problema
Sabendo que
sen(120◦) =
√3
2e cos(120◦) = −1
2,
calcule sen(240◦)
sen(240◦) = 2sen(120◦)cos(120◦)
= 2
(√3
2
)(− 1
2
)
= − 2√
3
4= −
√3
2
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exemplo
Problema
Sabendo que cos(30◦) =√
3/2, calcule cos(15◦)
cos(30◦) = 2cos2(15◦)− 1 → cos(30◦) + 1 = 2cos2(15◦)
cos2(15◦) =cos(30◦) + 1
2=
√3
2 + 1
2=
√3 + 2
4
Como 0 ≤ 15◦ ≤ 90◦, temos
cos(15◦) =
√√3 + 2
4
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exemplo
Problema
Sabendo que cos(θ) =12
13e 0 ≤ θ ≤ π
2, calcule sen(2θ)
sen2(θ) + cos2(θ) = 1 → sen2(θ) = 1− cos2(θ)
sen2(θ) = 1−(
12
13
)2
= 1− 144
169=
169− 144
169=
25
169
sen(θ) =
√25
169=
5
13(pois 0 ≤ θ ≤ π
2)
sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) = 2 · 5
13· 12
13=
120
169
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Deducao de formula
Problema
Deduza uma formula para cos(3x)
cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x)− sen(2x)sen(x)
= [2cos2(x)− 1]cos(x)− [2sen(x)cos(x)]sen(x)
= 2cos3(x)− cos(x)− 2sen2(x)cos(x)
= 2cos3(x)− cos(x)− 2[1− cos2(x)]cos(x)
= 2cos3(x)− cos(x)− 2cos(x) + 2cos3(x)
= 4cos3(x)− 3cos(x)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Resolucao de equacao
Problema
Supondo que 0 ≤ x ≤ π/2, resolva a equacao
sen(2x)− cos(x) = 0
2sen(x)cos(x)− cos(x) = 0
cos(x)[2sen(x)− 1] = 0
cos(x) = 0 ou 2sen(x)− 1 = 0
Analisando cada caso em separado:
cos(x) = 0 → x = arccos(0) = π/2
2sen(x)− 1 = 0 → sen(x) = 1/2 → x = arcsen(1/2) = π/6
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Formulas de transformacao em produto
Transformacao em produto
sen(a) + sen(b) = 2sen
(a + b
2
)cos
(a− b
2
)
sen(a)− sen(b) = 2cos
(a + b
2
)sen
(a− b
2
)
cos(a) + cos(b) = 2cos
(a + b
2
)cos
(a− b
2
)
cos(a)− cos(b) = −2sen
(a + b
2
)sen
(a− b
2
)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Sabendo que
sen(α) =3
5, cos(α) =
4
5, sen(β) =
2√
5
5e cos(β) =
√5
5,
calculesen(α− β) e cos(α + β)
−√
5
5e − 2
√5
25
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exercıcio 2
Problema
Prove que
tan(π
4− x)
=1− tan(x)
1 + tan(x)
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Resolva a equacao
sin(x +
π
4
)+ sin
(x − π
4
)=
√6
2
para 0 ≤ x ≤ π/2. Use radianos.
x = π/3 ≈ 1.0472
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
Sabendo que tan(x) = 3/4, calcule
tan(2x)
x = 24/7 ≈ 3, 4286
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exercıcio 5
Problema
Resolva a equacao
3sen(2x)− 4sen(x) = 0
para 0 ≤ x ≤ π/2. Use radianos.
x = 0 e x = arccos(2/3) ≈ 0, 8411
Transformacoes trigonometricas Exercıcios
Exercıcio 6
Problema
Prove quesen(4x)
sen(x)= 4cos(x)cos(2x)