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calculointegrales
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AC/DC Integrales FIUNA
Octubre 2009
Tabla de integrales inmediatas
1. xkdx = 1k
x
k+1
+ C ,(k -1). 2. dx
x = ln |x |+C.
3. sen x dx = -cos x + C. 4. cos x dx = senx dx + C
5. 2dx
cos x = (1 + tg2x) dx = tg x + C. 6. 2
dx
sen x = -cotg x + C.
7. tg x dx = -ln |cos x| + C. 8. cotg x dx = ln |sen x| + C.
9. ex dx = ex + C. 10. ax dx = x
a
lna + C.
11. 2dx
1+x = arctg x + C = -arccotg x + C 12. 2 2
dx
a +x =
1 xarctg
a a + C, a 0 .
13. 1
22 2dx
lna -x
a xc
a a x
14.
1
22 2dx
ln-a
x ac
x a x a
15. 2dx
1-x = arcsen x + C = - arccos x + C 16. 2 2
dx
a -x = arcsen
x
a + C, a>0.
17. 2 22 2dx
lnx
x x a Ca
18. senh dx = cosh x + C
19. cosh x dx = senh x + C 20. 2dx
coshtghx C
x
21. 2dx
cotghx Csenh x
21. kx
kx ee dx Ck
23. 1
lndx
ax b Cax b a
24. sen ax = -1
acos ax
AC/DC Integrales FIUNA
Octubre 2009
Integral de Riemann
Integral Indefinida Primitivas
Nos ocupamos ahora del problema inverso de la derivacin: dada una funcin f(x),
obtener una funcin F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es decir:
F(x) = f(x).
Sea f: I R , siendo I un intervalo cualquiera.
Decimos que una funcin F: I R, es una primitiva de f, si existe Fen I, y se verifica
F(x) = f(x) para todo x I.
Si f admite una primitiva F en I, entonces f admite infinitas primitivas que
son todas las funciones de la forma F(x)+k, donde k es un nmero real cualquiera,
ya que se tiene (F(x)+k)= F(x)+k= f(x)+0 = f(x).
El conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se
escribe
f(x) dx = F(x) + C,
siendo F una primitiva cualquiera de f y C una constante arbitraria.
El smbolo se llama signo integral, f(x) integrando y f(x) dx elemento de
integracin.
No toda funcin admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifican los
siguientes teoremas.
Teorema
Toda funcin continua f en el intervalo [a, b] tiene una funcin primitiva y, por
consiguiente integral indefinida.
Es importante resaltar que mientras que la derivada de una funcin elemental es una
funcin elemental, la primitiva de una funcin elemental puede no ser una funcin
elemental, es decir, no se puede expresar operando un nmero finito de veces funciones
elementales.
As, por ejemplo, las siguientes integrales existen, pero no son funciones elementales:
2-xe dx ,
sen xdx
x,
cos xdx
x,
1
lndx
x.
Integrales inmediatas
Consecuencia inmediata de esta definicin es
( f(x) dx)= f(x).
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Octubre 2009
Propiedades
La integral indefinida es lineal, es decir se verifican las igualdades siguientes, donde f y
g son dos funciones que admiten primitivas y k R:
a) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx.
b) kf(x) = k f(x) dx.
Estudiemos ahora algunos mtodos que permiten transformar integrales difciles en
otras ms sencillas. Cuando la integracin no es inmediata se utiliza uno de estas mtodos,
segn la caracterstica de cada ejercicio, a los efectos de conseguir la forma de una de las
integrales inmediatas que se encuentran en la tabal de integracin.
Clculo de Primitivas
Integracin por cambio de variable o sustitucin.
Cuando se trata de una expresin irracional, generalmente se iguala a una variable
auxiliar, solamente la expresin subradical. Si la funcin es potencial, con frecuencia se
sustituye por la variable auxiliar solamente la base.
Si se quiere calcular la integral f(x) dx, se puede realizar el cambio de variable x = (t), suponiendo que f y son funciones continuas, verificndose entonces la igualdad:
f(x) dx = f( (t)) (t) dt. Entendindose que al variable t ser sustituida despus de la integracin del segundo
miembro de la igualdad por su expresin en funcin de x.
A veces, es mas prctico elegir la sustitucin de la variable en la forma t = (x) y no en
x = (t). Aclaremos esto con un ejemplo:
Supongamos que se quiere calcular la integral: 2
3 2
3x +2xdx
x +x
Haciendo el cambio x3 + x
2 = t, se tiene (3x
2 +2x) dx = dt, y la integral se convierte en
dt
t= ln |t| + C = ln |x
3 + x
2| + C.
Otro ejemplo: 2 2dx
a +x, haciendo el cambio x = at, dx = a dt, sustituyendo queda
2 2 2a
dta +a t
= 2
1 dt
a 1+t=
1
a arctg t + C =
1
a arctg
x
a + C.
Integracin por partes (Bernoulli)
Por lo general se usa cuando hay:
Diferenciales que contienen productos de funciones.
Diferenciales que contienen funciones logartmicas.
Diferenciales que contienen funciones trigonomtricas.
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Hay 2 reglas generales:
La parte escogida como f(x) ha de ser fcil de integrar.
g(x)f(x no debe ser mas complicada que f(x) g(x)
Si f y g son dos funciones derivables se verifica
f(x) g(x) dx = f(x)g(x) - g(x)f(x) dx.
Este mtodo convierte la integral en una parte ya integrada mas una integral por
calcular, tendr xito si esta ltima integral es mas facil de calcular que la inicial.
Veamos algunos ejemplos:
a) I = x2 log x dx
Haciendo f= x2, y g = log x f =
3x
3, g=
1
x; sustituyendo en la frmula
queda I = 3
xlog x
3-
2x
3dx =
3x
log x3
- 3
x
9 + C
b) I = arcsen x dx =
Haciendo f= 1, y g = arcsen x f = x, g=2
1
1-x; sustituyendo en la frmula
queda I = x arcsen x - 2x
1-xdx = x arcsen x + 21-x + C.
Integracin de funciones racionales
Tiene lugar si la funcin subintegral es una fraccin cuyo denominador es un polinomio
racional de segundo grado o mas.
Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante un cociente de
polinomios. Cualquier funcin racional se puede expresar como suma de un polinomio mas
una funcin racional propia (grado del numerador menor que el grado del denominador) sin
mas que realizar la divisin entre el numerador y el denominador; luego la integracin de
una funcin racional se reduce a la integracin de un polinomio (que es inmediata) mas la
integracin de una funcin racional propia, por tanto nos ocuparemos de la integracin de
funciones racionales propias.
El procedimiento para integrar estas funciones se basa en la descomposicin en
fracciones simples.
Descomposicin en fracciones simples.
Si el numerador de la fraccin es un polinomio de grado mayor o igual al polinomio
denominador, se efecta la divisin teniendo en cuenta que: D R
Qd d
Donde: Re
D Dividendo
d divisor
R sto
Q cociente
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Caso I: Factores Lineales Distintos:
A cada factor lineal ax+b que aparezca una sola vez en el denominador de una funcin
racional propia le corresponde una sola fraccin simple de la forma A
ax b, donde A es una
constante que habr que determinar.
Caso II: Factores Lineales Repetidos:
A cada factor lineal ax+b que aparezca n veces en el denominador de una funcin
racional propia le corresponde una suma de n fracciones simples de la forma
1 2
2....
( ) ( )
n
n
AA A
ax b ax b ax b
, donde A es una constante que habr que determinar.
Caso III: Factores Cuadrticos Distintos:
A cada factor cuadrtico irreducible 2ax bx c que aparezca una sola vez en el
denominador de una funcin racional propia le corresponde una sola fraccin simple de la
forma 2
Ax B
ax bx c
, donde A y B son constantes a determinar.
Caso IV: Factores Cuadrticos Repetidos:
A cada factor cuadrtico irreducible 2ax bx c que aparezca n veces en el
denominador de una funcin racional propia le corresponde una suma de n fracciones
simples de la forma 1 2 2 22 2 2 2
...( ) ( )
n n
n
A x BA x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
, donde A y B son
constantes a determinar.
Integracin de funciones racionales
Distinguimos dos casos fundamentales:
El denominador solo tiene races reales.
En este caso descomponemos la funcin racional en tantas fracciones simples como
indica el grado del denominador: entendiendo por fracciones simples aquellas que tienen la
forma A
x-a o
n
A
(x-a), donde A es un nmero por determinar y a es una de las races del
denominador.
Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos, calculemos I = 3
3
x +1
x -x dx :
Como la fraccin a integrar no es propia efectuamos la divisin de x3+1 entre x
3-x
obtenindose 1 de cociente y x+1 de resto.
Luego I = (1 + 3x+1
x -x)dx = x + 3
x+1
x -xdx
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Descompongamos la fraccin 3
x+1
x -x, que es propia, en fracciones simples, para lo cual
descomponemos en factores el denominador, que equivale a calcular sus races:
x3-x = x(x
2-1) = x(x-1)(x+1), luego sus raices son 0, 1, -1, y la descomposicin es:
3
x+1
x -x =
2
3
A B C A(x -1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)+ + =
x x-1 x+1 x -x, luego se debe cumplir la identidad:
A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) = x+1, cierta para todo x R.
Las incgnitas A, B, C se calculan dando valores a x, lo mas cmodo es dar a x los
valores de las races del denominador
x = 0 -A = 1 A = -1
x = -1 2C = 0 C = 0
x = 1 2B = 2 B = 1
Luego se tiene:
3x+1
x -xdx = (
-1 1+
x x-1) dx = -
1
xdx +
1
x-1dx = -log |x| + log |x-1| +C.
En el ejemplo anterior todas las races del denominador eran simples, veamos ahora un
ejemplo con alguna raz mltiple:
Calculemos I = 4 2x-3
dxx -3x +2x
La fraccin a integrar es propia por lo que ya podemos descomponerla en fracciones
simples; para ello descomponemos en factores el denominador utilizando Ruffini:
x4-3x
2+2x = (x-1)(x-1)(x+2)x = (x-1)
2(x+2)x, luego las raices son 1(doble),- 2 y 0
(simples).
Descomponemos en 4 fracciones simples (como indica el grado):
4 2
x-3
x -3x +2x=
2
A B C D+ + +
x-1 (x-1) x+2 x=
2 2
4 2
A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1) x+D(x-1) (x+2)
x -3x +2x
Debe ser A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1)2x+D(x-1)
2(x+2) = x-3, cierta para todo x.
Dando valores a x:
x = 1 3B = -2 B = 2
3
x = -2 -18C = -5 C = 5
18
x = 0 2D = -3 D = 3
2
x = -1 2A-B -4C+4D = -4 A = 11
9
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Luego I = 11
9
1
x-1dx +
2
3
2
1
(x-1)dx +
5
18
1dx
x+2+
3
2
1
x dx =
11
9log|x-1| +
2
3
1
x-1+
5
18log|x+2| -
3
2log|x| + C.
El denominador tiene al menos una raz compleja (no real) .
En este caso las races aparecen por pares conjugadas (Por qu?), y en la
descomposicin en fracciones simples aparecen fracciones de la forma: 2
Mx+n
x +px+q , siendo
p2-4q < 0 (Por qu?).
Antes de calcular la integral de la fraccin anterior calculemos otra ms sencilla
2 2
Mx+N
x +adx = M
2 2
x
x +adx + N
2 2
1
x +adx =
2 2 22x
x +a
M dx + N
1
aarctg
x
a =
M
2log (x
2 + a
2) +
N
a arctg
x
a + C.
La integral I = 2
Mx+N
x +px+qdx, se reduce a la anterior completando un cuadrado en el
denominador:
I = 2 2
2
Mx+N
p p px +2 x+ +q-
2 4 4
dx = 22
Mx+N
p 4q-p(x+ ) +
2 4
dx
Haciendo el cambio x + p
2= t, y siendo
24q-p
4>0 (Por qu?), se convierte en una
integral del tipo anterior. Llamando 2
4q-p
4= a
2, y siendo dx = dt
I = 2 2
pM(t- )+N
2
t +adt =
2 2
pN-M
2
t +adt +
2 2
Mt
t +adt =
2 2
p dt(N-M )
2 t +a +
2 2
M 2tdt
2 t +a
I = p 1
(N-M )2 a
arctg t
a +
M
2log( 2 2t +a ) + C, y sustituyendo t y a queda
I = 2
2N-Mp 2
2 4q-parctg (
2
2x+p 2
2 4q-p) +
22M p 4q-p
log((x+ ) + )2 2 4
+ C
I = 2
2N-Mp
4q-parctg(
2
2x+p
4q-p) + 2
Mlog(x +px+q)
2+ C.
Luego se ha encontrado la frmula:
2
Mx+N
x +px+qdx =
2
2N-Mp
4q-parctg(
2
2x+p
4q-p) + 2
Mlog(x +px+q)
2+ C.
Resolvemos un ejemplo numrico:I = 2
3 2
x -2
x +2x -2x+3dx
Como la fraccin es propia podemos descomponerla en fracciones simples.
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Descomponiendo el denominador en factores se obtiene:
x3+2x
2-2x+3 = (x+3)(x
2-x+1), el factor x
2-x+1, tiene races no reales como fcilmente
se comprueba.
2
3 2
x -2
x +2x -2x+3 =
2
A Mx+N+
x+3 x -x+1 =
2
3 2
A(x -x+1)+(Mx+N)(x+3)
x +2x -2x+3
A(x2-x+1) + (Mx+N)(x+3) = x
2-2, igualdad vlida para todo x.
Obtenemos las incgnitas A, M y N, dando valores arbitrarios a x:
x = -3 13A = 7 A = 7
13
x = 0 A + 3N = -2 N = -2-A
3 =
11
13
x = 1 A + (M+N)4 = -1 M= -1-A-4N
4 =
6
13
Por tanto I = 7
13
1
x+3dx +
2
6 11x-
13 13
x -x+1dx =
7
13log |x+3| +
1
13 26x-11
x -x+1dx. + C
Calculamos 2
6x-11
x -x+1dx, completando un cuadrado en el denominador
2
6x-11
x -x+1dx =
2
6x-11
1 1 1x -2 x+ +1-
2 4 4
dx = 2
6x-11
1 3(x- ) +
2 4
dx;
hacemos el cambio x-1
2= t dx = dt, sustituyendo queda
2
16(t+ )-11
23
t +4
dt = 2
6t-8
3t +
4
dt
= 32
2t
3t +
4
dt -82
1
3
4t dt = 3log(
2 3t + )
4 - 8
2
3arctg(
2
3
t) + C
Sustituyendo t por x - 1
2, y el valor que se obtenga en I, se termina el clculo.
Las integrales de funciones trigonomtricas, es decir, funciones racionales de seno y
coseno, simblicamente I = R(sen x, cos x)dx , se reducen a integrales de funciones
racionales mediante el cambio x
tg = t2
, llamado usualmente cambio universal, ya que al
aplicarlo siempre se obtiene la integral de una funcin racional, aunque en algunos casos
puede dar lugar a clculos largos. Haciendo dicho cambio obtenemos:
sen x = 2
2 2 2
x x x2 sen cos 2tg
2t2 2 2= =x x x 1+t
sen +cos 1+tg2 2 2
cos x =
2 2 22
22 2 2
x x xcos -sen 1-tg
1-t2 2 2= =x x x 1+t
sen +cos 1+tg2 2 2
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xtg = t
2
x
2 = arctg t x = 2arctgt dx =
2
2dt
1+t
Sustituyendo en I se obtiene:
I = 2
2 2 2
2t 1-t 2R( , ) dt
1+t 1+t 1+t
Apliqumoslo al clculo de la integral
I = 2
2
2
2
dx 11+t= dt=2 dt2t1+2sen x t +4t+1
1+21+t
, resolvemos la ltima integral.
Descomponiendo en factores el denominador:
t2+4t+1 = 0 t = -2 3 t
2+4t+1 = (t + 2- 3)(t+2+ 3)
2 2
A(t+2+ 3)+B(t+2- 3)1 A B= + =
t +4t+1 t +4t+1t+2- 3 t+2+ 3A(t+2+ 3 )+ B(t+2- 3) 1
dando valores adecuados a t
t = -2- 3 -2 3 B = 1 B = 1
2 3
, t = -2 + 3 2 3 A = 1 A =
1
2 3
Luego 2
1 1 1 1 1dt= dt- dt
t +4t+1 2 3 t+2- 3 2 3 t+2+ 3 =
1 1log|t+2- 3|- log|t+2+ 3|
2 3 2 3+C, sustituyendo en I
I = 1 1
log|t+2- 3|- log|t+2+ 3|3 3
+ C, deshaciendo el cambio
I = 1 x 1 x
log|tg +2- 3|- log|tg +2+ 3|2 23 3
+ C
Sustituciones Trigonomtricas
Mtodo del triangulo rectngulo
Algunas integrales se pueden simplificar gracias a las siguientes sustituciones:
1. Si un integrando contiene 2 2a x , sustituir x = a sen z
2. Si un integrando contiene 2 2a x , sustituir x = tg z
3. Si un integrando contiene 2 2x a , sustituir x = a sec z
4. Si un integrando contiene 2 2 2a b x , sustituir x = a
bsen z
5. Si un integrando contiene 2 2 2a b x , sustituir x = a
btg z
6. Si un integrando contiene 2 2 2b x a , sustituir x = a
bsec z
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Ejemplo para:
1. a 2. 5.
X 2 2 2a b x
2 2a x x xb
2 2a x a A
Observacin: el integrando no tiene que tener ningn otro factor irracional.
Sustituciones Diversas:
Si un integrando es racional excepto por un radical de la forma:
1. nn ax b sustitucin ax b z (Para convertirlo en un integrando racional)
2. 2 2 ( )nx px q sustitucin x px q z x (Para convertirlo en un
integrando racional)
3. 2 2 2( )( ) ( )x px q a x b x sustitucin a x z o bien 2 2( )b x z
(Para convertirlo en un integrando racional)
La sustitucin 2
xz tg convertir cualquier funcin racional de senx y cosx en una funcin
racional de z porque:
2
2
2
2
2
1
1cos
1
2
1
zsenx
z
zx
z
dzdx
z
21 z
2z
21 z
Integral Definida
El concepto de integral definida (segn Riemann) est fundamentalmente relacionado
con el clculo de reas de regiones planas, en particular el rea determinada por:el eje OX,
la grfica de la curva y = f(x), y las rectas x = a, y = b.
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Particin
Definimos en primer lugar el concepto de particin:
Sea el intervalo [a, b], llamamos particin de [a, b] a cualquier coleccin finita de puntos
del intervalo, P = {x0, x1, , xn }, siendo x0 = a < x1 <
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as como:
a
af(x) dx = 0.
Integral Definida: Propiedades
Enunciemos ahora las principales propiedades de la integral:
Linealidad
Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y R, entonces
1) f + g es integrable y b
a(f(x)+g(x)) dx=
b
af(x) dx +
b
ag(x) dx
2) f es integrable y b
af(x) dx =
b
af(x) dx
Monotona
Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y f(x) g(x) x [a, b]
b
af(x) dx
b
ag(x) dx
Acotacin
Si f: [a, b] R es una funcin integrable, existen m, M R tales que
m(b-a) b
af(x) dx M(b-a)
Aditividad respecto del intervalo
Si f: [a, b] R es una funcin acotada y c (a, b); entonces f es integrable en [a, b] si
y solo si lo es en [a, c] y en [c, b], y se verifica
b
af(x) dx =
c
af(x) dx +
b
cf(x) dx
Integral Definida: Teoremas fundamentales
Teorema
a) Toda funcin f: [a, b] R montona es integrable .
b) Toda funcin f continua en [a, b] es integrable en [a, b].
Teorema
Si f: [a, b] R es integrable, entonces | f | tambin lo es, y se verifica
|b
af(x) dx |
b
a|f(x)| dx
Teorema del valor medio
Si f: [a, b] R es una funcin continua, entonces existe un c (a, b) tal que
b
af(x) dx = f(c)(b-a).
Teorema fundamental del clculo
Sean f, F : [a, b] R, funciones continuas en [a, b]. Entonces F es derivable en (a, b)
y F(x) = f(x) x (a, b) si y solo si
x
af(x) dx = F(x) F(a), para todo x [a, b].
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Regla de Barrow
Si f es una funcin continua en [a, b] y F es continua en [a, b], derivable en (a, b) y
verificando F(x) = f(x) x (a, b) entonces
b
af(x) dx = F(b) F(a).
La Regla de Barrow permite calcular la integral definida a partir de los valores en los
extremos del intervalo de una primitiva de la funcin f, y que usualmente para abreviar se
escribe
b
b
aa
f(x) dx [F(x)]
Veamos algunos ejemplos:
0sen x dx =
0[-cos x] = 1 + 1 = 2
2 21 x x 1
00
1xe dx = [ e ]
2=
e 1 e -1- =
2 2 2
22
11
dx=[log x]
x= log 2 log 1 = log 2
Teorema (Integracin por partes)
Sean f, g:[a, b] R, derivables y con derivada continua en[a, b], entonces se verifica:
b b
b
aa a
f(x)g(x) dx=[f(x)g(x)] - f(x)g(x) dx
Como ejemplo calculamos I =
0xsen x dx .
Llamando f = x, g= sen x f= 1, g = -cos x sustituyendo en la fmula
I =
o 00
[-xcos x] - (-cos x) dx = (-0)+[sen x] = Teorema (Cambio de variable o sustitucin)
Sea j :[, ] R , una funcin derivable con derivada continua en [, ] , si f es una
funcin continua en el intervalo ([, ]) , y siendo () = a, () = b , entonces haciendo
el cambio x= (t) , se verifica
b
a f(x) dx = f( (t)) (t) dt
Apliquemos el cambio de variable al clculo de I = 2
2
04- x dx :
haciendo el cambio x = 2sen t dx = 2cos t dt
x = 2 2 = 2 sent sen t = 1 t =
2
x = 0 0 = 2 sen t sen t = 0 t = 0
AC/DC Integrales FIUNA
Octubre 2009
Luego:
I=
2 2 22 2 2
0 0 04-4sen t 2cos t dt = 4 1-sen t cos t dt = 4 cos t dt = 4
2
0
1+ cos 2tdt =
2=2
2 20
0
1 (1+ cos 2t) dt = 2[t + sen 2t] = 2 =
2 2
Integral Definida: Aplicaciones geomtricas
Estudiemos algunas aplicaciones geomtricas de la integral definida:
Clculo de reas de regiones planas
rea entre una curva y el eje OX: si f es una funcin continua definida en el intervalo
[a, b], el rea de la regin limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b
tiene por valor
A = b
a| f(x) | dx
rea encerrada entre dos curvas: si f y g son dos funciones continuas definidas en [a,
b], entonces el rea de la regin limitada por la curva y = f(x), la curva y = g(x), la recta x
= a y la recta x = b tiene por valor:
A = b
a| f(x) - g(x) | dx
Ejemplo: Obtener el area de la regin encerrada entre las curvas y = x3
- x2 - 2x + 2 e y
= x4 4x
3 + x
2 + 6x + 2.
Se puede tomar: f(x) = x3
- x2 - 2x + 2, g(x) = x
4 4x
3 + x
2 + 6x + 2
Calculamos en primer lugar los puntos de corte de las dos curvas
f(x) = g(x) x3
- x2 - 2x + 2 = x
4 4x
3 + x
2 + 6x + 2 x
4 5x
3 + 2x
2 + 8x = 0
x(x3 5x
2 + 2x + 8) = 0 x = 0, o x
3 5x
2 + 2x + 8 = 0 x = -1,2, 4.
Luego los puntos de corte corresponden a los valores de x: -1, 0, 2, 4; por lo tanto a = -
1, b = 4.
Como en la frmula aparece el valor absoluto es necesario obtener el signo de f-g en
cada subintervalo: [-1, 0], [0, 2], [2, 4], ya que dicho signo permanece constante en cada
uno de ellos; para ello basta con obtener el valor de f-g en un punto interior de cada
subintevalo
llamando h(x) = f(x) g(x) = - x4 + 5x
3 2x
2 8x
-1 -1 45(-1, 0) h( ) = > 0
2 2 16
1 (0, 2) h(1) = -6 < 0
3 (2, 4) h(3) = 12 > 0
Por tanto se tiene:
b
a|f(x)-g(x)| dx =
4
1|
- x4 + 5x
3 2x
2 8x| dx =
0
1 |- x4 + 5x
3 2x
2 8x| dx +
2
0 |- x4 + 5x
3 2x
2 8x| dx +
4
2 |- x4 + 5x
3 2x
2 8x| dx =
0
1 (- x4 + 5x
3 2x
2 8x) dx +
2
0 ( x4 - 5x
3 + 2x
2 + 8x) dx +
4
2 (- x4 + 5x
3 2x
2 8x) dx =
5 4 3 20
1
x x x x[- +5 -2 -8 ]
5 4 3 2 +
5 4 3 22
0
x x x x[ -5 +2 +8 ]
5 4 3 2
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+5 4 3 2
4
2
x x x x[- +5 -2 -8 ]
5 4 3 2 =
113 116 244
60 15 15 =
1553
60
Volumen de un cuerpo de revolucin: el volumen engendrado por la regin encerrada
por las curvas y = f(x) e y = g(x) para x [a, b], con f(x) g(x), al girar dicha regin
alrededor del eje OX es:
V = b
2 2
a[g (x)-f (x)] dx .
Si se tratase del volumen generado por la regin determinada por la curva y = g(x), el
eje OX, para x [a, b], con g 0, su valor se obtendra poniendo f(x) = 0 en la frmula
anterior, pues la ecuacin de eje x es y = 0
V = b
2
ag (x) dx .
Ejemplo
Obtener el volumen de cuerpo de revolucin que genera el circulo de centro C(0, 2), y
radio 1, al girar alrededor del eje OX (la superficie formada se denomina toro).
La ecuacin de la circunferencia que delimita el crculo es: x2 + (y-2)
2 = 1
y 2 = 21-x y = 2 21-x . Luego en este caso se tiene:
g(x) = 2 + 21-x , f(x) = 2 - 21-x , con lo que el volumen pedido ser:
V = 1
2 2 2 2
-1 [(2+ 1-x ) -(2- 1-x ) ] dx =
12
-18 1-x dx
Resolvemos la ltima integral con el cambio x = sen t dx = cos t dt
x =1 t =
2 ; x = -1 t =
3
2; 21-x = 21-sen t = 2cos t |cos t|,
luego 1
2
-18 1-x =
23
2
8 |cos t| cos t dt = -3
2
2
8 (-cos t)cos t dt = 3
22
2
8 cos t dt =
3
2
2
1+cos 2t8 dt
2=
3
2
2
14[t+ sen 2t]
2= 2
3 4( - ) = 4
2 2.
y = x4 - 4x3 + x2 + 6x + 2
y = x3 x2 - 2x + 2
Grficas de las funciones
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Integral Impropia: Introduccin
Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos donde
el intervalo de integracin no es acotado o bien la funcin a integrar no est acotada.
En definitiva diremos que la integral b
af(x) dx es impropia si se da al menos una de las
siguientes hiptesis:
1. El intervalo [a, b] no est acotado.
2. La funcin f(x) no est acotada en el intervalo [a, b].
Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras reas cientficas: Fsica,
Economa, , etc.
Ejemplos
1) 0
x dx
, el intervalo [0, +] no est acotado.
2) 5
1
1dx
x,
1
x no est acotada en cualquier entorno de x = 0.
3) 5
2
1dx
x, el intervalo (-, 5] no est acotado y,
2
1
x no est acotada en
cualquier entorno de x = 0.
Integrales impropias en intervalos no acotados (o con lmites de integracin infinitos)
Tambin se les suele llamar de primera especie
Por ejemplo seran de la forma:
20
1dx
1+x
, 2-1 -x
-xe dx
.
Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado:0
-xe dx
.
La integral b
-x
0e dx , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este) y
podemos calcular:
b
-x
0e dx =
b-x
0(-1)e dx =
-x b
0[e ] = -[e
-b-e
0] = -b1 e .
Se tiene -b
blim (1-e )
= 1, luego parece lgico definir:
0
-xe dx
= 1.
Interpretacin geomtrica
Se puede interpretar geomtricamente diciendo que el rea de la regin (no acotada)
determinada por y = e-x
, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.
-xy=e
1
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Definicin
Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definicin general:
1) b
a abf(x) dx lim f(x) dx
Donde se supone que f(x) es una funcin acotada e integrable en todo intervalo de la
forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b a.
2) b
-f(x) dx
= b
aa -lim f(x) dx
Donde se supone que f(x) es una funcin acotada e integrable en todo intervalo de la
forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b a.
Si los lmites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las
correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro caso se
dice que la integral diverge.
3) f(x) dx f(x) dx f(x) dxc
c
=
b
a blim f(x) dx lim f(x) dx
c
ca ,
donde c es un nmero real cualquiera. Decimos que la primera integral es convergente
si existen y son finitos los dos lmites, y su valor es la suma de estos lmites. En otro caso la
integral se dice divergente.
Ejemplo
Estudiar la siguiente integral calculndola en su caso:
I = 2
1dx
1+x
, tomando c = 0, se tiene:
I = 0
0
020
1
1
bb
a2aa b a b
1lim dx lim lim[arctg x] lim[arctg x]
1+xdx
x
[arctg 0 arctga(- )] + [arctg(+) arctg 0] = [0 (-/2)] + [/2 0] = .
Se puede interpretar este resultado diciendo que el rea determinada por la curva
2
1y =
1+x , y el eje OX vale .
Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral I =0
sen x dx
.
I = b
b
00b b b
lim sen x dx lim[-cos x] lim (-cos b+1)
, como este lmite no existe se
concluye que I diverge.
2
1y=
1+x
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Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado)
Tambin se le suele llamar de segunda especie
Consideremos la integral I = 1
3 2
1dx
x , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene
I = -2+1
1 -1 1 -1 -1
-3 -3
x 1 -4[ ] = [-x ] = -(1) -(-(-3) = -1- =
-2+1 3 3,
pero este resultado es absurdo, pues el rea determinada por una funcin positiva, por
encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido est en la aplicacin de la
regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la funcin 2
1
x no est
acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un ejemplo de
integral impropia con integrando no acotado.
Si J es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por y =f(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral.
b
+
aJ= g(x) dx
a
y = g(x)
y
x
y = sen x
b
b
-I= f(x) dx
a
y = f(x)
y
x
I f(x) dx
y = f(x)
y
x
Si I es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincide
con el valor de la integral.
2
1y =
x
Si I es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX,
coincide con el valor de la integral.
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Definicin
Suponemos que f(x) no est acotada en un solo punto de [a, b].Consideramos los
siguientes casos:
1) f(x) no est acotada en el lmite superior b solamente, y es integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define
-
b t
a at b
f(x) dx lim f(x) dx
Si el lmite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.
En otro caso se dice divergente.
2) f(x) no est acotada en el lmite inferior a solamente, y es integrable en todo
intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define b b
a tt
f(x) dx lim f(x) dxa
Si el lmite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.
En otro caso se dice divergente.
3) f(x) no est acotada en un solo punto interior c, a < c< b.
Definimos b c b
a a cf(x) dx f(x) dx f(x) dx .
Cada integral de segundo miembro corresponde a los casos 1 y 2; si cada una de
estas integrales es convergente se dice que b
af(x) dx es convergente y su valor es la
suma del segundo miembro. En otro caso se dice que b
af(x) dx es divergente.
Interpretacin geomtrica
y = f(x)
a b
b
aI f(x) dx
y
x
y = g(x)
a b
b
aJ g(x) dx
y
x
c
aI= f(x) dx
b
cJ= f(x) dx
1 2
y
x a c b
Si I es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por x = a, y = f(x), la asntota x = b y el eje OX coincide con el valor de la integral
Si J es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por x = b, y = f(x), la asntota x = a y el eje OX coincide con el valor de la integral
Si I y J son convergentes entonces las sumas de las reas de las regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asntota x = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J
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Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral I =2
0 2
dx
4-x .
Calculemos 0
t
2
dx
4-x =
t
0
x t 0 t[arcsen ] = arcse -arcsen =arcsen
2 2 2 2
Luego I = 2t
tlim(arcsen )
2= arcsen 1 =
2, por tanto I es convergente con valor
2.
Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral I = 3
50
1dx
x .
Se tiene:
13
35
0 0 0 0 0
4 4 45
5 5
0
5
4
5 5 33
4 4
-1 4+1
-1 45 533 35 5t t t
tt t t t
t
x xI= lim x dx lim[ ] lim[ ] lim[x ]
-1 4+1
5 5
lim[ t ]
x dx
Luego la integral es convergente con valor 5 45 3
4.
Ejemplo
Calcular, si es posible, I = 1
0
1dx
x
Por definicin, se tiene I=
0 0 00
11
ttt t t
dxlim lim[log ] lim[log 1-log t] ( )
xx
2
5
1y=
x
5 45 3
4
I representa el rea de la regin (no acotada) definida por: y x = 0, la asntota x = 2, y el eje OX
2
1y=
4-x
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Luego la integral es divergente.
Ejemplo
Obtener el rea de la regin del primer cuadrante debajo de la curva y = x-2/3
y, a la
izquierda de x = 1.
Hagamos un pequeo estudio de la curva: -5
3
5
3
-2 -2 1y= x = 0, es decir en el primer cuadrante; luego la curva es
decreciente en el primer cuadrante.
Adems
2
3
0
1
0xlim x
, por tanto x = 0 es una asuntota vertical.
El rea pedida viene dada por la integral:
21
3
0x dx
=
2 11
13 31 3
00 0 0 03 3 3 3
2 11
3 3
-2 11
1 13 3t t t
t tt t t t
x xlim x dx lim[ ] lim[ ] lim[ x ] lim[ t ]
Ejercicio
Obtener el rea de la regin definida por la curva 2
3
1y=
(x-1)
, el eje OX y las rectas
x = 0 y x = 3.
Ejercicio
Estudiar la convergencia de la integral 1
0log x dx , calculndola en su caso y dando
una interpretacin geomtrica del resultado obtenido
Integral Impropia: De tercera especie
Tambin se pueden considerar integrales de funciones no acotadas en un nmero
finito de puntos sobre un intervalo no acotado: se llaman integrales impropias de tercera
especie.
1y=
x
1
3
-2
3y=x
1
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Para estudiar este tipo de integrales se utiliza la propiedad de aditividad respecto del
intervalo para descomponerlas en suma de varias integrales de primera y segunda
especie . Si todas las integrales, en las que se descompone la integral dada, son
convergentes, esta se dice convergente y, su valor es esa suma. En caso contrario se
dice divergente.
Ejemplo
I = 0 1
dx
x( )x
, que est definida en el intervalo no acotado [0, ) y el integrando
no est acotado para x = 0.
Siguiendo la idea sealada disponemos: I = 1
0 1
dx
x( )x + 1 1
dx
x( )x
.
Calculemos I1=dx
x(x+1) , mediante el cambio x = t
2 dx = 2tdt
I1 = 2 2
2tdt 12 dt 2arctg t=2arctg x
t(t +1) t +1
1
0 1
dx
x( )x =
0 +
11
ttt t 0
dxlim = lim[2arctg x]
x(x+1)
t
lim[2arctg 1-2arctg t]=2 =
4 2o
1 1
dx
x( )x
= 2 2 1
bb
11b b b
dxlim = lim[2arctg x] lim[ ]
x(x+1)arctg b arctg
=
2 -2 =
2 4 2
Por lo tanto:
I =
+ =2 2
La integral calculada tiene la siguiente interpretacin geomtrica:
Representa el rea de la regin definida, en el primer cuadrante, por la curva
1y=
x(x+1) y los ejes coordenados.
1y=
x(x+1)
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Ejercicios Contenidos:
5. Integrales Definidas 5.1. Definicin de Integrales Definidas. Existencia. Propiedades. 5.2. Clculo de la Integral Definida. Teoremas fundamentales. 5.3. Integrales impropias. Definicin. Existencia. Integral convergente y divergente. 5.4. Clculo de reas y longitudes de figuras planas, en coordenadas cartesianas, paramtricas y polares. Cambio de variables.
5.5. Clculo de reas y volmenes de cuerpos de revolucin, en coordenadas cartesianas, paramtricas y polares. Cambio de Variables.
5.6. Integracin numrica. Fundamentos. Frmula de los trapecios de Simpson, de Gregory. Integrales singulares. Algoritmos computacionales.
INTEGRALES DEFINIDAS. PROPIEDADES. APLICACIN DE TEOREMAS
1. Encontrar el valor de la constante c, tal que2
1cos)( xdttf
x
c
para todo x real.
2. Determinar el valor de c, cuya existencia garantiza el Teorema del valor medio para
las integrales para la funcin 26)( xxf en el intervalo 4,3 .
3. Hallar, utilizando el teorema conveniente, un intervalo cerrado que contenga el
valor de la integral definida 4
1
2 dxx .
4. Encuentre una funcin f y un nmero a tales que xdtt
tfx
a
2)(
62
INTEGRALES IMPROPIAS
5. Establecer si son convergentes o divergentes las integrales definidas dadas y hallar
su valor en los casos posibles.
a.
2
1
2x
dx
b.
1
021 x
xdx
c.
222 xx
dx
d.
12 1xx
dx
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CALCULO DE REAS, LONGITUD DE CURVAS, VOLUMENES DE
REVOLUCIN
6. Construir la grfica y calcular:
a. El rea de las regiones limitadas por la curva de ecuacinx
1y , el eje x, la
recta de ecuacin xy , y la recta 2x .
b. La superficie limitada por la curva xlny , el eje de las x, y las rectas 1x y
ex .
c. El rea comn entre las curvas 1 y cos1
d. El rea del tringulo de vrtices )0;0( , )0;(a y );( cb
e. La superficie limitada por la curva xy 3 y las rectas de ecuacin 1y y
8x
7. Encontrar la longitud del arco de la curva 23
2 23
1 xy , del punto donde 0x al
punto donde 3x .
8. Calcular la longitud total de la curva 4
cos3 4
9. Calcular el rea acotada por la curva: tx cos3 ; tseny 4
10. Determinar el volumen de la regin limitada por la curva xxf tan)( , la recta
3x
y el eje x, se gira alrededor del eje x.
11. Calcular el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededor de la recta
x = 1, la regin limitada por la curva yx 420)1( 2 , y las rectas 1x , 1y ,
3y y a la derecha de 1x .
12. Hallar el volumen del slido generado al girar en torno al eje y, el rea entre el
primer arco de la curva senx ; cos1y , y el eje x.
13. Un cilindro de radio R est cortado por un plano que pasa por un dimetro de la
base bajo el ngulo respecto al plano de la base. Cul es el volumen de la parte
separada?
INTEGRACIN NUMRICA
14. Calcular los valores aproximados de las integrales dadas por las formulas de los
trapecios y Simpson
a. 10
1
10log xdx , con 10n
b. 1
0
31 dxx , con 6n
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c. 2
3
2
dxx
senx, con 6n
15. Calcular el valor de partiendo de la igualdad
1
0
214 x
dxaplicando Simpson
para 10n .
Contenidos:
6. Series Numricas y de Funciones 6.1. Series numricas de trminos positivos. Definicin. Clasificacin. Suma. Criterios de convergencia: Comparacin ; DAlembert ; Cauchy; Integral. Teoremas.
6.2. Serie alternada. Definicin. Criterio de Leibniz. Teoremas. 6.3. Serie de trminos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional. 6.4. Series de funciones. Definicin. Convergencia uniforme. 6.5. Integracin y derivacin de las series de funciones. Teoremas. 6.6. Series de potencias. Definicin. Intervalo de convergencia. Series de Taylor y Maclaurin.
SERIES DE TERMINOS POSITIVOS
Estudiar el carcter de las siguientes series
16. n 1
3
n n 1
17. 2
n 1
n
n 1
18. 1 1 1
3 3 3
3 3 33 ...
2 3 4
19. 3 5 7 9
...2 10 30 68
Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no.
20. 1
12
2
n
nan
21. nn 2
22.
n
en
3
2ln
23.
2sen
nan
SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
24. )(log
1
22
n nn
25.
12 1
sen
n n
n
26. 1)1(1
n
n nn
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27.
1
1sen
n n
Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no
convergen:
28.
1 !n
n
n
n
29. n
n 1
( 1) (n 2)
n(n 1)
30.
1
3
3)1(
nn
n n
31. nn
n 1
1 1( 1)
n 2
32. )12( 753
)23( 741
9753
10741
753
741
53
41
n
n
33.
1 )(log
1
nnn
SERIES DE FUNCIONES
Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series.
34.
0 1
)3(
n
nn
n
x
35.
0
)2(
nn
n
n
x
36.
12 1n
nx
nn
e
37.
013
)2(
nn
nxn
38.
021
1
nnx
39. n 1 nsen x
n 1
( 1) e