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7/30/2019 Integrales IIc.doc

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Solucionario de Calculo Integral

SOLUCIONARIO DECALCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL - GRANVILLEProblemas. Pagina 236

Verificar las siguientes Integraciones:

1. x 4 dx = x 5 + c

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = dxn = 4

x 4 dx = x 4 + 1 = x5 + c4+1 5

2. dx =x2

x -2.dx

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv= dxn = -2

x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c-2+1 -1 x

3. x2/3

dxx2/3+1 = x5/3 = 3 x 5/3 + c

2/3 + 1 5/3 5

4. dx x x -1/2 .dx = x -1/2 + 1 = x 1/2 = 2x1/2 = 2x + c

- 1/2 +1 1/2

1


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5. dx =3

x

dx = x -1/3 dx = x -1/3+1 = x2/3 = 3x2/3 + c

x 1/3

-1/3+1 2/3

2

6. 3ay 2 dy

3a y2 dy = = 3a y 2+1 = 3 ay 3 = ay 3 + c2+1 3 .

7. 2 dtt

2

2t -2. dt = 2 t -2+1 = 2t -1 = - 2.t -1 = - 2 + c-2+1 - 1

8. ax . dx

(ax) 1/2. dx v = ax Falta (a) para completar,dv = a.dx el diferencial.n = 1/2 .

1 (ax) 1/2. a .dx = 1 (ax) 1/2+1 = (ax) 3/2 = 2(ax) 3/2 =a a 1/2+1 3/2(a) 3a

2(ax) 2/2(ax) 1/2 = 2. a .x (ax) 1/2 = 2 x (ax )1/2 = 2 x ax + c3 a 3 a 3 3

9. dx = 2x

dx = (2x) -1/2 = (2x) 1/2

v = 2x Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

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n = -1/2 n+1

1 . (2x) -1/2 .2dx = 1 (2x) -1/2+1 = (2x) 1/2 = (2x) 1/2 = (2x) 1/2 =2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1

(2x) 1/2 + c

(3t) 1/3 dt

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3 dt Se aplica: vn

dv = vn+1

+ c .n = 1/3 n+1 1 (3t) 1/3.3dt = 1 (3t) 1/3+1 = (3t) 4/3 = (3t) 4/3 + c3 3 1/3 + 1 3(4/3) 4

11. (x3/2 - 2x 2/3 + 5 x - 3) dx

x3/2

dx - 2 x2/3

dx + 5 x dx - dx

x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 (x) 1/2 dx - dx

x3/2+1 - 2 x 2/3+1 + 5 (x) 1/2+1 - x + c3/2+1 2/3+1 1/2+1

x5/2 - 2 x 5/3 + 5 (x) 3/2 - x + c

5/2 5/3 3/2

2x 5/2 - 6x 5/3 + 10(x) 3/2 - x + c5 5 3

12. 4x 2 - 2x dxx

4x2 - 2x dx = 4x - 2x 1/ 2 dx =x x x

2/2

3

dt.t33 .10


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(4x - 2x 1/2.x -2/2 ) dx = (4x - 2x -1/2 ) dx

4x dx - 2x -1/2 dx = 4x dx - 2 x -1/2 dx

4 x 1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x 2 - 2 . x 1/2 = 2x2 - 4x 1/2 =1+1 -1/2+1 2 1/2

2x 2 - 4 x + c

13. ( x 2 - 2 ) dx2 x 2

x2 dx - 2 dx = 1 x2 dx - 2 x -2 dx =2 x 2 2

1 x 2+1 - 2 x -2+1 = x3 - 2.x -1 = x3 + 2 + c2 2+1 -2+1 2(3) -1 6 x

14. x(3x - 2) dx

(3x. x - 2. x) dx = (3x.x 1/2 - 2x 1/2) dx = (3x 3/2 - 2x 1/2) dx .

3x3/2 dx - 2x1/2 dx = 3x3/2 dx - 2 x1/2 dx =

3 x 3/2+1 - 2 x 1/2+1 = 3 x 3/2+1 - 2 x 1/2+1 = 3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1

3x 5/2 - 2x 3/2 = 6x5/2 - 4x 3/2 + c

5/2 3/2 5 315. x3 - 6x + 5 dx = x3 - 6x + 5 ln x + c

x 3

x3 - 6x + 5 dx = x2 - 6 + 5 dx = x2 dx - 6 dx + 5 dxx x x x x

x2+1 - 6(x) + 5(ln x) = x3 - 6x + 5 ln x + c

2+1 3

4


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16. a + bx dx = 2(a + bx) 3/2 + c3b

(a + bx)1/2

dx .

v = (a + bx) Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dx vn dv = vn+1 + cn = 1/2 n+1

1 . (a + bx) 1/2 . bdx = 1 (a + bx) 1/2+1 = (a + bx) 3/2 = (a + bx) 3/ 2 =b b 1/2+1 b(3/2) 3b .

22(a + bx) 3/2 + c3b

17. dya - by

dy = (a - by) -1/2 dy =

(a - by)1/2

v = (a - by) Falta (-b) para completar el diferencial.dv = - b dy vn dv = vn+1 + cn = - 1/2 n+1

- 1 (a - by) -1/2 .( - b) dyb

- 1 (a - by) -1/2+1 = - (a - by) 1/2 = - (a - by) 1/2 = -2 (a - by) 1/2 + c b -1/2+1 b(1/2) b/2 b

18. (a + bt) 2 dt = (a + bt) 3 + c3

v = (a + bt) Falta (b), para completar el diferencial, se aplica:dv = b dt vn dv = vn+1 + c .

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n = 2 n+1

1 (a + bt) 2.b dt = (a + bt) 2+1 = (a + bt) 3 + c b b(2+1) 3b

19. x (2 + x 2)2 dx = (2 + x 2)3 6

(2 + x 2)2. x dx

v = (2 + x 2) Falta (2), se aplica: v n = v n+1/n+1 + c . dv = 2x dx 1 (2 + x 2)2. 2x dx = 1 (2 + x 2)2+1 = (2 + x 2)3 = (2 + x 2)3 + c

n = 2 2 2 2+1 2(3) 6

20. y (a - by 2) dy = - (a - by 2)2 + c4b

(a - by 2) . y dy

v = (a - by 2) Falta (-2b),para completar el diferencial.dv = -2by dy Se aplica: v n = v n+1/n+1 + c .

n = 1(a - by 2) . y dy = -1 (a - by 2)1+1 = - (a - by) 2 = - (a - by 2) + c

2b 1+1 2b(2) 4b21. t 2t 2 + 3 dt = (2t 2 + 3) 3/2 + c

6(2t 2 + 3) 1/2. t dt

v = (2t2

+ 3) Falta (4) para completar el diferencial.dv = 4t dt . Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = 1/2 n+1

1 (2t 2 + 3) 1/2. 4t dt = 1 (2t 2+3) 1/2+1 = (2t 2+3) 3/2 = (2t 2+3) 3/2 = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2

(2t 2+3) 1/2 + c6

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22. x (2x + 1) 2 dx = x4 + 4x 3 + x 2 + c3 2

Primero solucionamos el producto notable:

(2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

x (4x 2 + 4x + 1) = (4x 3 + 4x 2 + x) dx

4x3 dx + 4x2 dx + x dx = 4x3 dx + 4 x2 dx + x dx

4 x 3+1 + 4 x 2+1 + x 1+1 = 4x4 + 4x 3 + x 2 =3+1 2+1 1+1 4 3 2

x4 + 4x 3 + x 2 + c3 2

23. 4x 2 dx . x3 + 8

(x3

+ 8)-1/2

. 4x2

dx

v = (x3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + cn = -1/2 n+1El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv

4 (x3 + 8) -1/2 . 3x 2 dx = 4 (x 3 + 8) -1/2+1 = 4(x 3 + 8) 1/2 =3 3 -1/2+1 3(1/2)

4(x 3 + 8) 1/2 = 2{4(x 3 + 8) 1/2} = 8(x 3 + 8) 1/2 = 8(x3 + 8) + c3/2 3 3 3

24. 6z dz(5 - 3z 2)2

(5 - 3z 2)-2.6z dz

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x{(a)2 - 2a.x + ( x)2} dx = x(a - 2 a.x + x) dx

(ax - 2 a.x.x + x. x)dx = {ax1/2 - 2 1/2.(x)2 + x2/2.x1/2}dx

{ax1/2

- 2a1/2

x + x3/2

} dx = a x1/2

dx - 2a1/2

x dx + x3/2

dx =

a x 1/2+1 - 2a 1/2 x1+1 + x 3/2+1 = a.x 3/2 - 2a 1/2.x2 + x 5/2 = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2

2a .x 3/2 - a 1/2.x2 + 2x 5/2 = 2ax 3/2 - x 2a + 2x 5/2 + c3 5 3 5

28. t 3 dta 4 + t 4(a 4 + t 4)-1/2 .t3 dt . v = (a4 + t 4) Falta (4) para completar el

dv = 4t3 dt diferencial, se aplica:n = -1/2 vn dv = vn+1/n+1 + c

1 (a 4 + t 4)-1/2 .(4)t 3 dt = 1 (a 4 + t 4)-1/2+1 = (a 4 + t 4)1/2 = 4 4 -1/2+1 4(1/2)

(a4

+ t4

)1/2

= 2(a4

+ t4

)1/2

= (a4

+ t4

)1/2

=

(a4

+ t4

) + c4/2 4 2

29. dy .(a + by) 3

(a + by) -3 dy

v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dy Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + cn = - 3 n+1

1 (a + by) -3.(b)dy b

1 (a + by) -3+1 = (a + by) -2 = (a + by) -2 = - 1 + c b -3+1 b(-2) -2b 2b(a + by) 2

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30. x dx .(a + bx 2)3

(a + bx2

)-3

.x dx

v = (a + bx 2) Falta (2b) para completar el diferencial.dv = 2bx.dx Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c

n+11 (a + bx 2)-3.(2b)x dx

2b

1 (a + bx2

)-3+1

= (a + bx2

)-2

= _ 1 + c2b - 3 + 1 (2b)( - 2) 4b(a + bx 2)2

31. t 2 dt(a + bt 3)2

(a + bt 3)2.t2 dt

v = (a+bt 3) Falta (3b) para completar el diferencial.

dv = 3bt2

dt Se aplica: vn

dv = vn+1

+ cn = 2 n+1

1 (a+bt 3)-2.(3b)t 2 dt = (a+bt 3)-2+1 = (a+bt 3)-1 =3b 3b(-2+1) 3b(-1)

(a+bt 3)-1 = - 1 + c-3b 3b(a + bt 3)

32. z(a + bz 3)2 dz

Desarrollando el producto notable: (a + bz 3)2 , obtenemos ,

z (a 2 + 2abz 3 + b 2z6) dz

(a2z + 2abz 4 + b 2z7) dz

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v = (x3 + 3x) Falta (3) para completar eldv = 3x2 + 3 dx = 3(x 2 + 1) dx diferencial.n = -1/2

1 (x3 + 3x) -1/2 .(3)(x 2 + 1) dx = (x3 + 3x) -1/2+1 = (x3 + 3x) 1/2 =3 3(-1/2+1) 3(1/2)

(x3 + 3x) 1/2 = 2(x 3 + 3x) 1/2 = 2 (x3 + 3x) + c3/2 3 3

36. (2 + ln x) dxx

(2 + ln x). 1 dxx

v = (2 + ln x) Falta 1/x para completar el diferencial.dv = 1 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c

x n+1n = 1

(2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x) 1+1 = (2 + ln x) 2 + cx 1+1 2

37. sen 2x cos x dx

(senx) 2 . cos x dx . v = (senx) El diferencial estadv = cos x dx completo,se proceden = 2 a integrar.

(senx) 2 cos x dx = (senx) 2+1 = (senx) 3 + c2+1 3

38. sen ax cos ax dx

v = sen ax Falta (a) para completar eldv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx diferencial.Se aplica:n = 1 vn dv = vn+1 + c

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n+11 (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax) 1+1 = (sen ax) 2 = sen 2ax + ca a(1+1) 2a 2a

39. sen 2x cos 22x dx

(cos 2x) 2. sen 2x dxv = (cos2x) Falta (-2) para completar el diferencialdv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2x Se aplica: v n dv = v n+1 + cn = 2 n+1

- 1 (cos2x) 2.(-2)sen 2x dx = - (cos2x) 2+1 = - (cos2x) 3 =2 2(2+1) 2(3)

- cos 32x + c6

40. tg x sec 2 x dx 2 2

v = tg x/2 falta (1/2) para completar el diferencial.dv = 1 sec 2 x .

2 2n = 1

2 [tg x ]1+1 2 [ tg x ]2 2tg x 1 . sec 2 x dx = 2 = 2 =

2 2 2 1+1 2

tg 2 x = [tg 2 x ] + c2 2

41. cos ax dxb + sen ax

(b + sen ax) -1/2 . cos ax dx

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v = (b + sen ax) Falta (a) para completar eldv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial: Se aplica:n = - 1/2 vn dv = vn+1 + c

n+1

1 (b + sen ax)-1/2

.(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1

= a a(-1/2+1)

(b + sen ax) 1/2 = (b + sen ax) 1/2 = 2(b + sen ax) 1/2 =a(1/2) a/2 a

2b + sen ax + ca

42. sec x 2 dx1 + tg x

sec 2x dx(1 + tg 2x)

(1 + tg x) -2. Sec 2x dx

v = (1 + tg x) El diferencial esta completo, se procede adv = sec 2x dx integrar.n = -2

(1 + tg x) -2+1 = (1 + tg x) -1 = _ 1 + c-2+1 - 1 (1 + tg x)

43. dx .2 + 3x

v = 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dx Se aplica: dv = ln v + c

v

1 (3) dx = 1 ln (2 + 3x) + c3 2 + 3x 3

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44. x2 dx .2 + x 3

v = 2 + x 3 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: dv = ln v + c

v 1 (3) x 2 dx = 1 ln (2 + x 3) = ln (2 + x 3) + c3 2 + x 3 3 3

45. t dt . a + bt 2

v = a + bt2

Falta (2b) para completar el diferencial.dv = 2bt Se aplica : dv = ln v + c .v

1 (2b) t dt = 1 . ln(a + bt 2) = ln(a + bt 2) + c2b (a + bt 2) 2b 2b

46. (2x + 3) dx

x2

+ 3x

v = x2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar .dv = (2x + 3)

(2x + 3) dx = ln (x 2 + 3x) + cx2 + 3x

47. (y + 2) dyy2 + 4y

v = y2 + 4y Falta (2) para completar eldv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy diferencial .Se aplica:

dv = ln v + cv

1 (2)(y + 2) dy = 1 .ln (y 2 + 4y) = ln (y 2 + 4y) + c

2 (y2

+ 4y) 2 2

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48. e d .a + be

v = a + be Falta (b) para completar el diferencial.

dv = be

d Se aplica: dv/v = ln v + c

1 e (b) d .b a + be

ln (a + be ) + cb

49. sen x dx1 - cos x

v = 1 - cos x El diferencial esta completo.dv = - (-sen x ) dx = sen x dx . Se procede a integrar.

ln (1 - cos x) + c

50. sec 2 y dy .a + btg y

v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencialdv = b sec 2y dy

1 (b) sec 2y dy = 1 . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c b a + btg y b b

51. ( 2x + 3) dxx + 2

Efectuamos la divisin: 2x + 3 x + 2-2x - 4 2

- 1El resultado es:

2 + - 1 = 2 - 1 . Sustituyendo en la integral .

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1 + 5/2 dx2 2x + 3

1 dx + 5 . 1 (2)dx . v = 2x + 32 2 2 2x + 3 dv = 2 dx

1 dx + 5 (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3) =2 4 2x + 3 2 4

x + 5 ln (2x + 3) + c2 4

54. e 2s ds . e 2s + 1

v = e 2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta (2)dv = 2e 2s . y se le opone 1/2.

1 (2)e 2s ds = 1 . ln( e 2s + 1) = ln (e 2s + 1) + c2 e 2s + 1 2 2

55. a e + b d ae - b

Efectuamos la divisin:b + a e - b + a e El resultado es :

- b + a e - 1 - 1 + 2a e .

+ 2a e

- b + a e

Para la 2 da integral:v = - b + a e

dv = aed

-1 + 2 a e d = - d + 2 a e d =- b + a e - b + a e

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- + 2 ln (- b + a e) = 2 ln (a e - b ) - + c

56. 2x dx .

(6 - 5x 2)-1/3 .2x dx

v = (6 - 5x 2)dv = - 10x dx El diferencial esta incompleto, falta (- 5 )n = -1/3 .

- 1 (6 - 5x 2)-1/3 (-5)2x dx = - 1 . (6 - 5x 2)-1/3+1 = -(6 - 5x 2)2/3 = 5 5 -1/3+1 5(2/3)

- 3(6 - 5x 2)2/3 + c10

57. (x3 + 3x 2) dx

x3 dx + 3 x2 dx

x3+1 + 3.x 2+1 = x4 + 3x 3 = x4 + x 3 = c3+1 2+1 4 3 4

58. x2 - 4 . dxx4

Desarrollando: x 2 - 4 = x2 - 4 = 1 - 4x4 x4 x4 x2 x4

Sustituyendo en la integral .[ 1 - 4 ] dx = 1 dx - 4 dx = x -2 dx - 4 x -4 dx

x2 x4 x2 x4

x-2+1 - 4.x -4+1 = x-1 - 4x -3 = - 1 + 4 + c-2+1 -4+1 -1 -3 x 3x 3

19

32

5x-(6 )

dx.x5

x5 55

.59 +


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1 5x dx + 5 dx = 1 (5x) 1/2 dx + 5 (5x) -1/2 dx.5 5x 5

v = 5x v = 5x Completando el diferencial adv = 5 dx dv = 5 dx ambas integrales.n = 1/2 n = - 1/2

1 . 1 (5x) 1/2.(5)dx + 5. 1 (5x) -1/2 (5)dx =5 (5) 5

1 . (5x) 1/2+1 + (5x) -1/2+1 =25 1/2 + 1 - 1/2+1

(5x) 3/2 + (5x) -1/2+1 = 2(5x) 3/2 + 2(5x) 1/2 =25(3/2) 1/2 5(5)(3) 1

2( 5 x) (5x) 1/2 + 2(5x) 1/2 =2x(5x) 1/2 + 2(5x) 1/2 =5 (5)(3) 15

2(5x) 1/2 { x + 1 } = 25.x x + 15 + c15 15

dt = 1 dt = 1 . dt = 1 . t -3/2 dt = t -3/2+1 .

t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 2 t 3/2 2 2(- 3/2 + 1)

t -1/2 = t -1/2 = - 2 = - 2 = - 2 + c 2(-1/2) - 2 2.t 1/2 2. t 2t

20

.c5 by3

5y b3

35y b

132y b

13/2

y

b.dyy bdy.y bdy.y. b

by .60

3 5353135311323

132

33233 233 23

3 2

+===+

=

+===+

+

t2t

dt .61

dx..62 3 3x-2


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(2 - 3x) 1/3. dx

v = (2 - 3x) El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 )dv = - 3 dx Se aplica: vn = vn+1 + c

n = 1/3 n+1

(- 1 ) (2 - 3x) 1/3 (- 3). dx = - (2 - 3x) 1/3+1 = - (2 - 3x) 4/3 =3 3(1/3+1) 3(4/3)

-(2 - 3x) 4/3 = - 3 (2 - 3x) 4/3 = - (2 - 3x) 4/3 + c12/3 12 4

63. sen 2 d cos 2

(cos 2 )-1/2 .sen 2 d v = (cos 2 ) Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2 sen 2 d Se aplica: vn = vn+1 + cn = - 1/2 n+1

(- 1 ) (cos 2 )-1/2 .(-2)sen 2 d2

(- 1 ).(cos 2 )-1/2+1 = - (cos 2 )1/2 = - (cos 2 )1/2 = - cos 2 + c2 -1/2+1 2(1/2) 1

64. e x

dx . e x - 5v = (e x - 5) El diferencial esta completo,

(e x - 5) -1/2 . e x dx . dv = e x dx se procede a integrar.n = - 1/2

(e x - 5) -1/2 .e x dx = (e x - 5) -1/2+1 = (e x - 5) 1/2 = 2(e x - 5) 1/2 + c-1/2+1 1/2

65. 2 dx21


22/182


3 + 2x

(3 + 2x) -1/2 . 2 dx

v = (3 + 2x) El diferencial esta completo,dv = 2 dx se procede a integrar.n = - 1/2

(3 + 2x) -1/2 . 2dx = (3 + 2x) -1/2+1 = (3 + 2x) 1/2 = 2(3 + 2x) 1/2 = -1/2+1 1/2

2 (3 + 2x) + c

66. 3 dx =2 + 3x

v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se usa la frmula:dv = 3 dx dv = ln v + c

v

3 dx = ln (2 + 3x) + c2 + 3x

67. x dx . 1 - 2x 2

(1 - 2x 2)-1/2 . x dxv = (1 - 2x 2) El diferencial esta incompleto,dv = - 4x dx falta (- 4) y se le opone (-1/4) .n = - 1/2

(- 1 ) (1 - 2x 2)-1/2 .( - 4) x dx = - 1 . (1 - 2x 2)-1/2+1 4 4 -1/2+1

- (1 - 2x 2)1/2 = - (1 - 2x 2)1/2 + c4(1/2) 2

68. t dt .3t 2 + 4

v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta (6)

22


23/182


dv = 6t dt y se le opone (1/6)

( 1 ) (6)t dt = 1 .ln(3t 2 + 4) = ln(3t 2 + 4) + c6 3t 2 + 4 6 6

(y2)3 - 3 (y 2)2. 1 + 3 (y 2). 1 2 - 1 3 . dyy2 y2 y2

y6 - 3. y2 . y 2 + 3. y2 - 1 dy = y6 - 3 y 2 + 3 - 1 dyy2 y2 . y 2 y6 y2 y6

y6+1 - 3 . y 2+1 + 3 y-2 dy - y - 6 dy =6+1 2+1

y7 - 3y3 + 3.y -2+1 - y -6+1 =7 3 - 1 - 5

y7 - y 3 - 3.y -1 + y -5 = y 7 - y 3 - 3 + 1 + c7 5 7 y 5y 5

71. sen a d cos a

Segn Trigonometra: sen a = tg a . tg a. d cos a

v = a Utilizamos la integral:

23

( )( )

+=

+

dy.y1y 70.

dx.x12xdx.

x1

x1.x2x

x1x .69

3

22

2

22

2

2


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dv = a d tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c

( 1 ) tg a . (a)d = - {ln cos (a ) } = ln sec (a ) + c a a a

72. csc 2 d . (2cot + 3)

(2cot + 3) -1/2 . csc 2d . v = (2cot + 3) Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2 csc 2d Se aplica: v n dv = v n+1 + c

n+1-1 (2cot + 3) -1/2 .(-2)csc 2.d = _ 1 . (2cot + 3) -1/2+1 =2 2 -1/2+1

- 1 .(2cot + 3) 1/2 = - (2cot + 3) 1/2 = - (2cot + 3) 1/2 =2 1/2 2(1/2) 1

- (2cot + 3) 1/2 = - (2cot + 3) + c

73. (2x + 5) dxx2 + 5x +6

v = x2 + 5x +6 El diferencial esta completo,dv = (2x + 5) . dx aplicamos la frmula: dv/v = ln v + c

(2x + 5) dx = ln (2x + 5) + cx2 + 5x + 6

74. (2x + 7) dxx + 3 Dividimos:

2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 .- 2x - 6 2 x + 3

+ 1

24


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2 + 1 dxx + 3

2 dx + dx = 2 x + ln (x + 3) + c

x + 3

75. (x2 + 2) dxx + 2 Dividimos:

x2 + 2 x + 2- x 2 - 2x x - 2 El resultado es:

- 2x + 2 x - 2 + 6 .+ 2x + 4 x + 2

+ 6[x - 2 + 6 ] dx = x dx - 2 dx + 6 dx =

x + 2 x + 2

x2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c2

76. (x3

+ 3x) dxx2 + 1

Dividimos: El resultado de la divisin es:

x3 + 3x x 2 + 1 x + 2x . - x 3 - x x x 2 + 1

+ 2x

v = x2 + 1 El diferencial esta completodv = 2x dx se procede a integrar.

x dx + 2x dx = x1+1 + ln (x 2 + 1) = x2 + ln (x 2 + 1) + cx2 + 1 1+1 2

77. (4x + 3) dx . 1 + 3x + 2x 2

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(1 + 3x + 2x 2)-1/3 .(4x + 3) dx

v = (1 + 3x + 2x 2) El diferencial esta completo, sedv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar.n

=- 1/3

(1 + 3x + 2x 2)-1/3 . (4x + 3) dx = (1 + 3x + 2x 2)-1/3+1 .- 1/3 + 1

(1 + 3x + 2x 2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x 2)2/3 + c

2/3 2

78. (e t + 2) dte t + 2t

v = e t + 2t El diferencial esta completo.dv = (e t + 2) dt Se aplica: dv/v = ln v + c

(e t + 2) dt = ln (e t + 2t) + ce t + 2t

79. (e x + sen x) dxe x - cos x

(e x - cos x) -1/2 .(e x + sen x) dx

v = (e x - cos x) El diferencial esta

dv = (ex

- (-sen x) dx = (ex

+ sen x) dx completo, se procede an = - 1/2 integrar.

(e x - cos x) -1/2+1 = (e x - cos x) 1/2 = 2(e x - cos x) 1/2 + c-1/2+1 1/2

80. sec 2 tg 2 d 3 sec 2 - 2

26


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28/182


Problemas. Pagina 241

Verificar las Siguientes Integraciones:

1. 6 e 3x dx = 2 e 3x + c .

6 e 3x dx . v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial,dv = 3 dx luego se procede a integrar.

Se aplica: e v dv = e v + c .

6 ( 1 ) e 3x.(3) dx = 2 e 3x + c .3 .

2. e x/n dx = ne x/n + c .

v = x/n Falta 1/n completar en el diferencial,dv = 1/n luego se procede a integrar. Se aplica: e v dv = e v + c .

(n) e x/n .(1/n) dx = n.e x/n + c .

3. dx = - 1 + c . e x e x

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e -x. dx ; { v = - x ; dv = - dx }

Para completar el diferencial, le falta el signo (-).

(-) e-x

.(-) dx = - e-x

= - 1 + c .e x

4. 10 x dx = 10 x + c . ln 10

v = x El diferencial esta completo, se usa la frmula:dv = dx av dv = av + c .

ln a

10 x dx = 10 x + c .ln 10

5. a ny dy = a ny + c .n ln a

v = ny Falta (n) para completar el diferencial.dv = n.dy Se aplica: av dv = av + c .

ln a

(1/n) any.(n) dy = . 1 . any = any + c .n ln a n ln a

6. e x dx = 2e x + c . x

ex . 1 . 1 . dx =x 2

v = x Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1 . dx luego se procede a integrar.

2x Se aplica: e v dv = e v + c .

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ex . 1 . 1 . dx = (2) e x. 1 .dx = 2e x + c . x 2 2 x

7. (e x/a + e -x/a ) dx = a ( e x/a - e -x/a ) + c .v = x/a v = - x/a

e x/a dx + e -x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dx

Una vez completado los diferenciales, se integra.

( a) e x/a.(1/a) dx + (- a) e -x/a .(- 1/a) dx

a.e x/a - a.e -x/a = a (e x/a - e -x/a) + c .

8. (e x/a - e -x/a )2 dx

Desarrollando el producto notable: ( e x/a - e -x/a)2 :

(e x/a - e -x/a)2 = {(e x/a)2 - 2(e x/a)(e -x/a) + ( e -x/a)2} .

e 2x/a - 2e +x/a -x/a + e -2x/a = e 2x/a - 2e 0 + e -2x/a .

e 2x/a - 2(1) + e -2x/a = e 2x/a - 2 + e -2x/a .

Sustituyendo : {e 2x/a - 2 + e -2x/a } en la integral .

{e 2x/a - 2 + e -2x/a} dx = e 2x/a dx - 2 dx + e -2x/a dx .

Completando el diferencial, antes de integrar :

v = 2x/a v = -2x/adv = 2/a dx dv = - 2/a dx

Se aplica en ambas integrales: e v dv = e v + c .

( a/2) e 2x/a .(2/a) dx - 2 dx + (- a/2) e -2x/a .(- 2/a) dx .

30


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a .e 2x/a - 2x - a . e -2x/a = a .{ e 2x/a - e -2x/a} - 2x + c .2 2 2

9. x e x2 dx = 1 .e x2 + c .2

v = x2 Como el diferencial esta completo,dv = 2x dx se procede a integrar.

x e x2 dx = 1 .e x2 + c .2

10. e sen x

cos x dx = e sen x

+ c . v = sen x El diferencial esta completo,dv = cos x dx se procede a integrar.

e sen x . cos x dx = e sen x + c .

11. e tg sec 2 d .

v = tg El diferencial esta completo,dv = sec 2 d se procede a integrar.

e tg . sec 2 d = e tg + c .

12. e t dt = 2e t + c.

(e t)1/2 dt = e t/2 . dt v = t/2 Falta (1/2) en el diferencial, dv = 1/2 luego se procede a integrar.


(2) e t/2 .(1/2) dt = 2e t/2 + c .

13. a x e x dx

31


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-0

v = ax e x Falta (1 + ln a) para completar dv = {a x.e x + e x. a x.ln a} dx el diferencial, luego se procededv = ax.e x{1 + ln a} dx a integrar.

1 . ax e x.( 1 + ln a) dx = ax e x + c .1 + ln a 1 + ln a

32


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14. a 2x dx = a 2x + c .2 ln a

v = 2x Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 dx Se aplica: a v dv = a v + c .

ln a( 1 ) a2x.(2) dx = . 1 . a 2x = a2x + c .

2 2 ln a 2 ln a

15. (e 5x + a 5x) dx = . 1 e 5x + a 5x + c .

5 ln a

e 5x. dx + a5x. dx

Completando los diferenciales de ambas integrales.

v = 5x v = 5xdv = 5 dx dv = 5 dx


( 1/5) e 5x.(5) dx + ( 1/5) a5x.(5) dx

. 1 . e 5x + . 1 . a 5x = 1 e 5x + a 5x + c .5 5 ln a 5 ln a

33


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16. 5e ax dx

v = ax Falta (a) para completar el diferencial,dv

=a dx luego se procede a integrar.


5 1 e ax.(a) dx = 5e ax + c .a a

17. 3 dx

ex

3 e -x. dx

v = - x Falta el signo ( - ) , para completar el diferencial,dv = - dx luego se procede a integrar.


3( - ) e -x .( - ) dx = -3.e -x = - 3 + c . e x18. 4 dt =

e t

(e t)-1/2 dt = 4( - 2) e - t /2.( - 1/2) dt =

- 8 e - t/2 = - 8 + c . e t /219. cax dx

Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula.

v = ax Falta (a) para completar el diferencial,

34


35/182


dv = a dx luego se procede a integrar.

Empleando la frmula: av. dv = av + cln a

( 1/a) cax.(a) dx = . 1 . c ax + c . a ln c

20. dx .42x

4-2x. dx

v = - 2x Falta ( - 2) , para completar el diferencial,dv = - 2 dx luego se procede a integrar.

Utilizamos la frmula: av. dv = av + cln a

( - 1/2) 4-2x.( - 2) dx = .- 1 . 4 -2x = - 1 + c .

2 ln 4 2 . ln 4 . 4 2x

21. x2 e x3 dx

Ordenando: e x3. x2 dx

v = x3 Falta (3) para completar el diferencial,dv = 3x2 dx luego se procede a integrar. Se aplica: e v. dv = e v + c .

( 1/3) e x3 .(3) x 2 dx = . 1 . e x3 = e x 3 + c3 3

22. (e x + 4) dxe x

35


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e x dx + 4 dx = dx + 4(-) e -x.(-) dx = x - 4 e -x = x - 4 + c . e x e x e x

23. e x dx

ex

- 2

v = e x - 2 El diferencial esta completo,dv = e x dx aplicamos : dv = ln v + c .

vln (e x - 2) + c .

24. x (e x2 + 2) dx

{(e x2 + 2) . x } dx

e x2 . x dx + 2 x dx

v = x2 Falta (2) en la 1 ra integral, para completar dv = 2x dx el diferencial , el 2 do integral esta completo.

Se aplica: e v dv = e v + c , en la 1 ra integral .

(1/2) e x2 .(2) x dx + 2 x dx = . 1 . e x2 + 2 . x 1+1 =2 1+1

e x 2 + 2 . x 2 = e x 2 + x 2 + c.2 2 2

25. (e x - 3 ) dxx

e x. 1 . dx - 3 dx .x x

v = x Falta (1/2) para completar el diferencial,

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dv = . 1 . 1 . dx de la 1 ra integral.2 x Se aplica: e v dv = e v + c .

(2) e x . 1 . 1 . dx - 3 x -1/2 dx = 2e x - 3.x -1/2+1 =

2 x -1/2+12e x - 3.x 1/2 = 2ex - 6x 1/2 = 2ex - 6 x + c .

1/2

26. t 2 t2 dt

2 t2 . t dt

v = t2 Falta (2) para completar el diferencial,dv = 2t dt luego se procede a integrar.

Se aplica: av. dv = av + cln a

( 1/2) 2 t2 .(2) t dt = . 1 . 2 t 2 = 2 t 2 + c .2 ln 2 2 ln 2

27. a d b 3

a b-3. d

v = - 3 Falta (- 3) para completar el diferencial.dv = - 3d Se aplica: av dv = av/ ln a + c .

a(- 1/3) b-3.( - 3) d = - a . b -3 = - a + c.3 ln b (3 ln b) b 3

28. 6 x e - x2 dx

Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando:

37


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3e - x2.2x dx

v = - x 2 Falta el signo ( - ) para completar el diferencial.dv = - 2x dx Se aplica: e v dv = e v + c .

3(-) e - x2.(-)2x dx = - 3e - x2 = - 3 + c .e x2

29. (e 2x)2 dx

e 4 x dx

v = 4x Falta el # 4 para completar el diferencial.dv = 4 dx . Se aplica: e v dv = e v + c .

( 1/4) e 4 x.(4) dx = . 1 . e 4 x = e 4 x + c .4 4

30. x2 dxex3

e - x3 . x 2 dx

v = = - x3 Falta ( - 3) para completar el diferencial.dv = - 3x 2 dx Se aplica: e v dv = e v + c .

- 1 e - x3 .( - 3) x 2 dx = - 1 . e - x3 = - 1 + c .3 3 3 e x3

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Problemas. Paginas 244 y 245


1. cos mx dx = 1 sen mx + c .

m

v = mx Falta (m) para completar el diferencial.dv = m dx Se aplica: cos v dv = sen v + c .

( 1 ) cos mx .(m) dx = 1 sen mx + c .m m

2. tg bx dx = 1 ln sec bx + c .b

v = bx Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dx Se aplica: tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c .

( 1 ) tg bx .(b) dx = 1 ln sec bx + c .b b

3. sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .a

v = ax Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dx Usamos la frmula:

sec v dv = ln(sec v + tg v) + c.

39


40/182


( 1 ) sec ax .(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .a a

4. csc v dv = ln tg 1 v + c .

2ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v = ln 1 - cos v = sen v sen v sen v

ln tg 1 v + c .2

Por trigonometra :

csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v .sen v sen v 2 sen v

Esta demostrado : csc v dv = ln tg 1 v + c .2

5. sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c .3

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 3 dt sec v tg v dv = sec v + c .

( 1/3) sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c .3

. 1 .{ sec 3t} + c .3

6. csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + ca

v = ay Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica:dv = a dy csc v cot v dv = - csc v + c ( 1/a) csc ay . cot ay. (a) dy .

40


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. 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c .

a a

7. csc 2 3x dx = - 1 cot 3x + c .3

v = 3x Completando el diferencial con (3) .dv = 3 dx Se aplica: csc 2 v dv = - cot v + c .

( 1/3) csc 2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c .3 3

8. cot x dx2

v = 1 x Falta (1/2) para completar el diferencial.2 Se aplica:

cot v dv = ln {sen (v) } + c .dv = 1 dx

2

(2) cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c .2 2 2

9. x sec 2 x3 = 1 . tg x 3 + c .3

Ordenando: (sec x 3)2 . x dx = sec 2 x3 . x dx

v = x3 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: sec 2 v . dv = tg v + c .

1 . (sec x 3)2 .(3) x dx =31 . tg x 3 + c .3

41


42/182


10. dx .sen 2x

Por Trigonometra: 1 = csc 2 xsen 2 x

csc 2 x dx = - cot 2 x + c .

11. ds = tg s + c .cos 2 s

Por Trigonometra: 1 = sec 2 scos 2 s

sec 2 s ds = tg s + c .

12. (tg + cot )2 d = tg - cot + c .

(tg 2 + 2 tg cot + cot 2 ) d =

Por Trigonometra:

tg . cot = 1 ; tg2

+ 1 = sec2

; cot2

+ 1 = csc2

. Utilizando un artificio matemtico : 2 = 1 + 1 .

Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos: (tg 2 + 2(1) + cot 2 ) d = (tg 2 + 2 + cot 2 ) d

(tg 2 + 1 + 1 + cot 2 ) d = (tg 2 + 1 + cot 2 + 1 ) d

Pero: tg 2 + 1 = sec 2 ; cot 2 + 1 = csc 2 .

sec 2 d + csc 2 d = tg - cot + c .

13. (sec - tg )2 d = 2 (sec - tg ) - + c .

(sec 2 - 2 sec tg + tg2 ) d =

42


43/182


Pero: tg 2 = sec 2 - 1 , sustituyendo en la integral.(sec 2 - 2 sec tg + sec 2 - 1 ) d =

(2sec2

- 2 sec tg - 1 )

d =

2sec 2 d - 2 sec tg d - d =

2 sec 2 d - 2 sec tg d - d =

En la 1 ra integral aplicamos: sec 2 v dv = tg v + c .

En la 2 da integral aplicamos: sec v tg v dv = sec v + c . 2 tg - 2sec - = 2(tg - sec ) - + c .

14. dx = - cot x + csc x + c .1 + cos x

Racionalizando: 1 . 1 + cos x

1 . 1 - cos x = 1 - cos x .1 + cos x 1 - cos x 1 - cos 2x

Pero: 1 - cos 2 x = sen 2 x .

1 - cos x . dx . Aplicando artificios aritmticos, Ejm:sen 2x

Aplicando artificios aritmticos, Ejm:

8 - 6 = 8 - 6 1 - cos x = 1 - cos x .2 2 2 sen 2 x sen 2 x sen 2 x

1 - cos x dx = dx - cos x dx =

43


44/182


sen 2x sen 2x sen 2x sen 2xcsc 2 x dx - (sen x) -2. cos x dx =

v = sen x En la 1 ra aplicamos: csc 2 v dv = - cot v + c .

dv = cos x dx El diferencial de la 2da

integral, esta completo.

csc 2x dx - (sen x) -2. cos x dx = - cot x - (sen x) -2+1 =- 2 + 1

Por Trigonometra : 1 = csc x .sen x

= - cot x - (sen x) -1 = - cot x + 1 = - cot x + csc x + c .

- 1 sen x

15. dx = tg x - sec x + c .1 + sen x

Racionalizando y efectuando artificios aritmticos :

1 . 1 - sen x = 1 - sen x = 1 - sen x .1 + sen x 1 - sen x 1 - sen 2 x cos 2 x

1 - sen x = 1 - sen x = sec 2 x - senx =cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x

sec 2 x dx - sen x dx = sec 2 x dx - (cosx) -2. sen x dxcos 2 x

v = cos x En la 1 ra integral aplicamos: sec 2 v dv = tg v + cdv = - sen x dx En la 2 da integral aplicamos: vn dv = vn+1 + c

n+1

sec 2 x dx - (-) (cosx) -2.(-) sen x dx =

tg x + (cos x) -2+1 = tg x + (cos x) -1 = tg x - 1 =- 2 + 1 - 1 cos x

44


45/182


tg x - sec x + c .

16. sen s ds = - ln (1 + cos s) + c .1 + cos s

v = 1 + cos s Falta el signo (-) , para completar el diferencialdv = - sen s ds Aplicamos la frmula : dv = ln v + c .

v

(-) sen s (-)ds = - ln (1 + cos s) + c .1 + cos s

17. sec 2 x dx =

1 + tg xv = 1 + tg x El diferencial esta completo,dv = sec 2 x dx se procede a integrar.

sec 2 x dx = ln(1 + tg x ) + c . 1 + tg x

18. x cos x 2 dx = 1 sen x 2 + c .2

cos x 2 . x dx =

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2x dx Se aplica: cos v dv = sen v + c .

(2) cos x2

.(2)x dx = 1 sen x2

+ c .2

19. (x + sen 2x) dx = 1/2 (x 2 - cos 2x) + c .

x dx + sen 2x dx =

{v = 2x ; dv = = 2 dx}

x dx + 1 sen 2x .(2) dx = x1+1

+ 1 - cos 2x =

45


46/182


2 1+1 2

x2 - cos 2x = 1 x 2 - cos 2x + c .2 2 2

20. sen x dx = 2 4 - cos x + c . 4 - cos x

sen x dx = 2 4 - cos x + c .(4 - cos x) 1/2

(4 - cos x ) -1/2 . sen x dx =

v = (4 - cos x ) El diferencial esta completo,dv = -(- sen x) dx = sen x dx se procede a integrar.

(4 - cos x ) -1/2 . sen x dx = (4 - cos x ) - 1/2 + 1 =- 1/2 + 1

(4 - cos x ) 1/2 = 2(4 - cos x ) 1/2 = 2 4 - cos x + c .

1/2

21. (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .x + sen x

v = x + sen x El diferencial esta completo, Aplicamos:dv = (1 + cos x) dx dv = ln v + c .

v

(1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .x + sen x

22. sec 2 d . 1 + 2tg

sec 2 d .

46


47/182


(1 + 2tg )1/2 (1 + 2tg )-1/2 . sec 2 d .

v = (1 + 2tg ) Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 sec 2 d

(1/2) (1 + 2tg )-1/2.(2) sec 2 d .

. 1 (1 + 2tg )-1/2+1 = (1 + 2tg )1/2 = (1 + 2tg )1/2 =2 -1/2+ 1 2(1/2) 1

(1 + 2tg ) + c .

23. sen 2x dx3

v = 2x . Falta (2/3) para completar el diferencial.3 Se aplica : sen v dv = - cos v + c .

dv = 2/3 dx ( 3 ) sen 2x ( 2 ) dx = 3 - cos 2x = - 3 cos 2x + c

2 3 3 2 3 2 3

24. cos (b + ax) dx

v = (b + ax) Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dx Se aplica : cos v dv = sen v + c .

. 1 . cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c .a a a

25. csc 2 (a - bx) dx = {csc (a - bx)} 2 .dx

{v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial. Se aplica: csc 2 v dv = - cot v + c .

47


48/182


(- 1 ) {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1 - cot (a - bx) = b b

cot (a - bx) + c . b

26. sec tg d2 2

v = /2 . Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1/2 . d sec v tg v dv = sec v + c .

( 2 ) sec tg (1/2)d = 2 sec + c .2 2 2

27. csc a cot a d b b

v = a Falta (a/b) para completar el diferencial, b Se aplica: csc v cot v dv = - csc v + c .

dv = a . d b

b csc a cot a .( a ) d = . b .{- csc a } =a b b b a b

- b csc a + c.a b

28. e x cot e x dx

v = e x El diferencial esta completo,dv = e x dx se procede a integrar.

cot e x . e x dx = ln {sen ( e x)} + c .

48


49/182


29. sec 2 2 ax dx =v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial.dv = 2a dx

( 1/2a) sec2

2ax.(2a) dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c . 2a 2a

30. tg x dx3

v = x/3 . Falta (1/3) para completar el diferencial.dv = 1/3 dx Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .

dv = 1 dx luego se procede a integrar.3

(3) tg x (1/3) dx = 3{ - ln cos x } = 3 ln sec x + c . 3 3 3

31. dt .tg 5t

cot 5t dt .

v = 5t Falta (5) para completar el diferencialdv = 5 dt luego se procede a integrar.

(1/5) cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5

32. d .sen 24

Por trigonometria: 1/sen 24 = csc 24 . d = csc 24 d.

sen 24

49


50/182


v = 4 Falta (4) para completar el diferencial,dv = 4 d luego se procede a integrar.

csc 24 d = 1 {- cot 4 } = - cot 4 + c . 4 4

33. dy .cot 7y

tg 7y dy =

v = 7y Falta (4) para completar el diferencial,

dv = 7 dy luego se procede a integrar.Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .

(1/7) tg 7y .(7) dy = 1 {- ln cos 7y} = - ln cos 7y =7 7

1 ln cos 7y + c .7

34. sen x dxx

v = x Falta 1 para completar el diferencial,dv = 1 . dx 2

2x luego se procede a integrar.

2 (2) sen x dx . 1 . 1 . dx = 2 ( - cos x ) = - 2 cos x + c . 2 x

35. dt .sen 2 3t

csc 2 3t dt

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.

50


51/182


dv = 3 dt Se aplica: csc 2 v dv = - cot v + c .

( 1/3) csc 23t .(3) dt = 1 ( - cot 3t ) = - cot 3t + c . 3 3

36. d .cos 4

Por Trigonometra: 1/cos 4 = sec 4 .

sec 4 d .

v = 4 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 d sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .

(1/4) sec 4 .(4) d = 1/4 { ln (sec 4 + tg 4 ) } + c .

37. a dx .cos 2 bx

Por trigonometra: 1/cos 2 bx = sec 2 bx .

a sec 2 bx dx =

v = bx Falta (4) para completar el diferencial,dv = b dx sec 2 v dv = tg v + c .

a sec 2 bx .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c . b b b

38. (sec 2 - csc ) d .2

sec 2 d - csc d .2

v = 2 v = /2 51


52/182


dv = 2 d dv = 1/2 d

(1/2) sec 2 .(2)d - (2) csc . 1 .)d .2 2

1 {ln (sec 2 + tg 2 )} - 2 { ln csc - cot } + c .2 2 2

39. (tg + sec )2 d

{tg 2 + 2 tg sec + sec 2 } d

Por Trigonometra: tg2

= sec2

- 1. Sustituyendo en la integral .

{sec 2 - 1 + 2 tg sec + sec 2 } d .

2 sec 2 d - d+ 2 tg sec } d .

2 tg - + 2 sec + c .

40. ( tg 4s - cot s ) ds .4

1 tg 4s .(4) ds - (4) cot s . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} - 4 ln sen s =4 4 4 4 4

{ln sec 4s} - 4 ln sen s + c .4 4

41. (cot x - 1) 2 dx

(cot 2x - 2 cot x + 1) dxPero: 1 + cot 2 x = csc 2 x , reemplazando en la integral.

(csc 2 x - 2 cot x ) dx

csc2

x dx - 2 cot

x dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)]

52


53/182


-{cot x + ln (sen x) 2 } = -{cot x + ln (sen 2 x) } + c .

42. ( sec t - 1) 2 dt .

(sec 2 t - 2 sec t + 1) dt .

sec 2 t dt - 2 sec t dt + dt .

tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c .

43. (1 - csc y) 2 dy .

(1 - 2 . 1 . csc y + csc 2 y) dy = (1 - 2 csc y + csc 2 y) dy .

dy - 2 csc y dy + csc 2 y dy .

y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c .

44. dx .1 - cos x

Racionalizando: 1 .(1 - cos x)

1 1 + cos x = 1 + cos x = 1 + cos x =1 - cos x 1 + cos x 1 2 - cos 2 x sen 2 x

1 + cos x = csc2

x + cos x .sen 2 x sen 2 x sen 2 x

csc 2 x + cosx dx = csc 2 x + (sen x) -2 . cosx dx =sen 2 x

- cot x + (sen x) -2+1 = - cot x + (sen x) -1 = - cot x - (sen x) -1 =-2+1 -1

53


54/182


- cot x - 1 = - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c . sen x

45. dx .

1 - sen xRacionalizando:

1 1 + sen x = 1 + sen x = 1 + sen x . 1 - sen x 1 + sen x 1 - sen 2 x cos 2 x

1 + sen x dx = 1 dx + sen x dx . cos 2 x cos 2 x cos 2 x

sec 2 x dx + (cos x) -2 . sen x dx = tg x - (cos x) -2+1 =- 2 + 1

tg x - (cos x) -1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x

46. sen 2x dx .3 + cos 2x

v = 3 + cos 2x Falta (-2) para completar el diferencial,dv = - 2 sen 2x dx se aplica: dv = ln v + c .

v

(-1 ) (-2) sen 2x dx = - 1 ln (3 + cos 2x) + c .

2 3 + cos 2x 2

47. cos t dt . a + b sen t

cos t dt = (a + b sen t) -1/2 .cos t dt =(a + b sen t) 1/2

v = (a + b sen t) Falta (b) para completar el diferencial,

54


55/182


dv = b cos t dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n + 1

1 .(a + b sen t) -1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t) -1/2+1 = (a + b sen t) 1/2 = b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b)

(a + b sen t) 1/2 1 = 2 (a + b sen t) 1/2 = 2 (a + b sen t) + c .b b b2

48. csc cot d 5 - 4 csc

v = 5 - 4 csc Falta (- 4) para completar el diferencial, dv = - 4 csc cot d Se aplica: dv = ln v + c .

v

(- 1 ) ( - 4) .csc cot d 4 5 - 4 csc

- 1 ln (5 - 4 csc ) + c .4

49. csc 2 x dx . 3 - cot x

csc 2 x dx = (3 - cot x) -1/2. csc 2 x dx(3 - cot x) 1/2

v = 3 - cot x El diferencial esta completo.dv = csc 2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n+1

(3 - cot x) -1/2+1 = (3 - cot x) 1/ 2 = 2(3 - cot x) 1/2 =-1/2 + 1 1/2

55


56/182


2 (3 - cot x) + c .

50. 5 + 2tg x dxcos 2 x

5 + 2tg x . 1 . dx = 5 + 2tg x . sec 2 x dxcos 2 x

(5 + 2tg x) 1/2 . sec 2 x dx .

v = (5 + 2tg x) Falta (2) para completar el diferencial,dv = 2 sec 2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n+1

( 1 ) (5 + 2tg x) 1/2 .(2) sec 2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x) 1/2+1 =2 2 1/2 + 1

(5 + 2tg x) 3/2 = (5 + 2tg x) 3/2 = (5 + 2tg x) 3 = 2(3/2) 3 3

(5 + 2tg x) 2

.(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) (5 + 2tg x) + c .3 3

Problemas. Pagina 248 y 249


1. dx .x2 + 9

dx . x2 + 3 2

56


57/182


v = x El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3 v 2 + a 2 a a

dx = 1 .arc tg x + c .x2 + 3 2 3 3

2. dx .x2 - 4

dx .

x2

- 22

v = x El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 . ln v - a + c .a = 2 v 2 - a 2 2a v + a

dx = 1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c .x2 - 2 2 2(2) x + 2 4 x + 2

3. dy . 25 - y 2

v = y El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dy dv = arc sen v + c .a = 5 a2 - v 2 a dy = arc sen y + c .

52

- y2

5

4. ds . s2 - 16

ds . s2 - 4 2

v = s El diferencial esta completo.

57


58/182


dv = ds Se aplica: dv = ln { v + v2 - a 2 } + c .a = 4 v2 - a 2

ds = ln { s + s2 - 16 } + c .

s2

- 42

5. dx .9x 2 - 4

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial dv . dv = 3 dx Se aplica: dv = 1 . ln v - a + c .

(3x) 2 - 2 2 a = 2 v2 - a 2 2a v + a

( 1 ) (3) dx = 1 1 ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c .3 (3x) 2 - 2 2 3 2(2) 3x + 2 12 3x + 2

6. dx . 16 - 9x 2

dx . 4

2

- (3x)2

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dx Se aplica: dv = arc sen v + c . a = 4 a2 - v 2 a

( 1 ) (3) dx = 1 .arc sen 3x + c . 3 42 - (3x) 2 3 4

7. dx .9x 2 - 1

dx .(3x) 2 - 1 2

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:

58


59/182


dv = 3 dx dv = 1 . ln v - a . a = 1 v 2 - a 2 2a v + a

dx = 1 . 1 . ln 3x - 1 = 1 ln 3x - 1 + c .

(3x)2

- 12

3 1(2) 3x + 1 6 3x + 1

8. dt .4 - 9t 2

dt .22 - (3t) 2

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt dv = 1 .ln v - a + c .a = 2 v 2 - a 2 2a v + a

( 1 ) (3) dt = 1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c .3 2 2 - (3t) 2 3 2(2) 2 - 3t 12 2 - 3t

9. e x dx1 + e

2x

e x dx .12 + (e x)2 v = e x El diferencial esta completo.

dv = e x dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + c .a = 1 a 2 + v 2 a a

e x dx = 1 .arc tg e x = arc tg e x + c .12 + (e x)2 1 1

10. cos d 4 - sen 2

cos d .22 - (sen )2

v = sen El diferencial esta completo, se procede a integrar.

59


60/182


dv = cos d dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a 2 - v 2 2a a - v

cos d = 1 ln 2 + sen = 1 ln 2 + sen + c .

22

- (sen

)2

2(2) 2 - sen 4 2 - sen 11. b dx .

a 2x2 - c 2

b dx .(ax) 2 - c 2

v = ax Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dx dv = 1 ln v - a + c . a = c v 2 - a 2 2a v + a

( 1 )(b) (a) dx = b . 1 . ln ax - c = b . ln ax - c + c .a (ax) 2 - c 2 a 2(c) ax + c 2ac ax + c

12. 5x dx . 1 - x 4

5x dx . 12 - (x 2)2

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 2x dx dv = arc sen v + c .a = 1 a2 - v 2 a

(5) (2)x dx = 5 .arc sen x = 5 arc sen x + c2 12 - (x 2)2 2 1 2

13. ax dx .x4 + b 4

60


61/182


ax dx .(x2)2 + (b 2)2

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:

dv = 2x dx dv = 1 arc tg v + c .a = b2 v2 + a 2 a a

( a ) (2) ax dx = a . 1 . arc tg x 2 = a arc tg x2 + c2 (x 2)2 + (b 2)2 2 b 2 b2 2b2 b2

14. dt .(t - 2) 2 + 9

dt = (t - 2) 2 + 3 2

v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dt dv = 1 . arc tg v + c .a = 3 v 2 + a 2 a a

1 . arc tg t - 2 + c .3 3

15. dy . 1 + a 2y2

v = ay Falta (a) para completar el diferencial, se aplica:dv = a dy dv = ln {v + a2 + v 2} + c .a = 1 a

2

+ v2

1 (a) dy = 1 . (a) dy = 1 ln {ay + 1 + a 2y2} + c .a 1 + (ay) 2 a (ay) 2 + 1 2 a

16. du . 4 - (u + 3) 2

61


62/182


du . 22 - (u + 3) 2

v = u + 3 El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = du Se aplica: dv = arc sen v + c .a = 2 a2 - v 2 a

du = arc sen u + 3 + c . 22 - (u + 3) 2 2

17. dx .9 - 16x 2

dx .32 - (4x) 2

v = 9 - 16x 2 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 dx dx = arc sen v + c .a = 3 a2 - v 2 a

( 1 ) (4)dx = 1 . arc sen 4x + c .4 32 - (4x) 2 4 3

18. dy . 9y 2 + 4

dy . (3y) 2 + 2 2

v = 3y Falta (3)para completar el diferencial.dv = 3 dy Se aplica: dv = ln {v + v2 + a 2} + c. a = 2 v2 + a 2

( 1 ) (3) dy = 1 . ln {3y + (3y) 2 + 2 2 } =3 (3y) 2 + 2 2 3

62


63/182


ln {3y + 9y2 + 4 } + c3

19. dt .4t 2 + 25

dt .(2t) 2 + 5 2

v = 2t Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:dv = 2 dt dv = ln {v + v2 + a 2} + c.

a = 5 v2

+ a2

( 1 ) (2)dt = 1 . arc tg 2t + c .2 (2t) 2 + 5 2 5 5

20. dx .25x 2 - 4

dx .(5x) 2 - 2 2

v = 5x Falta (5) para completar el diferencial, se aplica:dv = 5 dx dv = 1 ln v - a . + c .a = 2 v2 - a 2 2a v + a( 1 ) (5) dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c

5 (5x) 2 - 2 2 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2

21. 7 dx .3 + 7x 2

7 dx .(3)2 + (7.x) 2

v = 7. x Falta (7) para completar el diferencial, se aplica:

63


64/182


dv = 7 dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3 a2 + v 2 a a

( 1 ) 7 dx = 1 1 arc tg 7.x =

7 (3)2

+ (7.x)2

7 3 31 arc tg 7.x + c .

21 3

21 . arc tg 7. 3.x = 21 arc tg 21. x + c .21.21 3. 3 21 3

22. 3 dy .9y 2 - 16

3 dy .(3y) 2 - 4 2

v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = 3 dy Se aplica: dv = 1 . ln v - aa = 4 v 2 - a 2 2a v + a

3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 = ln 3y - 4 1/8 + c .(3y) 2 - 4 2 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 3y + 4

23. ds . 4s 2 + 5

ds . (2s) 2 + (5)2

v = 2s Falta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica:dv = 2 ds dv = ln {v + v2 + a 2} + c .a = 5 v2 + a 2

64


65/182


( 1 ) (2)ds = 1 {ln [2s + ( 4s2 + 5)]} + c .2 (2s) 2 + (5)2 2

24. t dt . t 4 - 4

t dt . (t2)2 - (2) 2

v = t2 Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 2t dt dv = ln {v + v2

- a2

} + c .a = 2 v2 - a 2

( 1 ) (2)t dt = 1 {ln [t 2 + (t4 - 4)]} + c .2 (t2)2 - (2) 2 2

25. x dx . 5x 2 + 3

(5x 2 + 3) -1/2 . x dx .v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 10x dx vn dv = vn+1 + c .n = -1/2

1 . (5x2

+ 3)-1/2

.(10) x dx = 1 . (5x2

+ 3)-1/2+1

=10 10 -1/2+1

(5x 2 + 3) 1/2 = 5x 2 + 3 + c .10(1/2) 5

26. 2 x dx . 1 - 2x

65


66/182


2 x dx . 12 - ( x)2

v = x

El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = x dx Se aplica: dv = arc sen v + c .a = 1 a2 - v 2 a

2 x dx = 2 arc sen x = 2 arc sen x + c .12 - ( x)2 1

27. 6t dt .8 - 3t 2

v = 8 - 3t 2 Falta el signo (-) para completar el diferencial,dv = - 6t dt se usa la frmula: dv = ln v + c .

v

(-) (-) 6t dt = - ln (8 - 3t 2) + c .8 - 3t

2

28. sen . 4 + cos 2

sen d . 22 + (cos )2

v = cos Falta el signo (-) paradv = - sen d completar el diferencial.a = 2

Se aplica: dv = ln {v + a2 + v 2 } + c .a2 + v 2

(-) (-)sen d = - ln { cos + 4 + cos 2 } + c .

66


67/182


68/182


v = x3 Falta (3) para completar el diferencial, el (7) sedv = 3x2 dx coloca fuera de la integral. Se aplica:a = 5 dv = 1 . ln a + v + c .

a2 - v 2 2a a - v

(7. 1 ) (3)x 2 dx = 7 . 1 . ln 5 + x 3 = 7 . ln 5 + x 3 + c3 (5)2 - (x 3)6 3 2.5 5 - x 3 65 5 - x 3

7 . 5 . ln 5 + x 3 = 7 . 5 . ln 5 + x 3 =6 5. 5 5 - x 3 6 . 5 5 - x 3

7 . 5 . ln 5 + x 3 + c .30 5 - x 3

Problemas. Pagina 250 , 251 y 252.


1. dx . x2 + 4x + 3

Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto:Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2 do trmino , yluego al resultado lo elevamos al cuadrado. 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 .Luego: sumamos y restamos "4" a : x 2 + 4x + 3.

x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 .

x2 + 4x + 4 , es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2) 2.

Tendremos: x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 ) 2 - 1 = (x + 2 ) 2 - 1 2 .

Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estar

68


69/182


lista para desarrollarse, se usa la frmula:

dv = 1 . ln v - a + c .v2 - a 2 2a v + a

dx = dx .x2 + 4x + 3 (x + 2 ) 2 - 1 2

v = (x + 2 )dv = dx El diferencial esta completo.a = 1

dx = 1 . ln x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c .(x + 2 ) 2 - 1 2 2.1 x + 2 + 1 2 x + 3

Nota .- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a lacantidad sub-radical.Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas.

2. dx .2x - x2 - 10

- x 2 + 2x - 10 = - (x 2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 1 2 = 12

- (x 2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1) 2 + 9] = - [ (x - 1) 2 + 3 2]

dx = - dx .- [ (x - 1) 2 + 3 2] [ (x - 1) 2 + 3 2]

v = x - 1 El diferencial esta completo, se procede a integrar .dv = = dx Se emplea la frmula: dv = 1 .arc tg v + c .a = 3 v2 + a 2 a a - dx = - 1 arc tg x - 1 + c .

[(x - 1) 2 + 3 2] 3 3

3. 3 dx .

69


70/182


x2 - 8x + 25

8/2 = 4 ; 4 2 = 16 x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4) 2 + 3 2]

3 dx .[(x - 4) 2 + 3 2]

v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3 v2 + a 2 a a(3) 3 dx = 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg x - 4 + c .

[(x - 4) 2 + 3 2] 3 3 3

4. dx . 3x - x2 - 2 3x - x 2 - 2 = - x 2 + 3x - 2 = - (x 2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2 = 9 .

2 2 4

- (x 2 - 3x + 2) = - (x 2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 ) 2 - 9 + 8 ] =4 4 2 4 4

= - (x - 3 ) 2 - 1 = - (x - 3 ) 2 - 1 2 = 1 2 - (x - 3 ) 2 2 4 2 2 2 2

dx . 2 - x - 3/2 2

v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica:dv = dx dv = arc sen v + c .a = 1/2 a2 - v 2 a

2x - 3

= arc sen x - 3/2 = arc sen 2 = arc sen (2x - 3) + c .

70


71/182


72/182


dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 1/2 v 2 + a 2 a a

x - 1 . 1 . 1 dx = 1 . 2 .arc tg 2 =

2 1 {(x - 1 )2

+ 12

} 2 1.

2 2 2 2 22x - 1

2 arc tg 2 = arc tg (2x - 1) + c . 2 1 .

2

7. dx . 15 + 2x - x2

15 + 2x - x 2 = - x 2 + 2x + 15 = - (x 2 - 2x - 15 ) ; 2 = 1 ; 1 2 = 12

(x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1) 2 - 16 } = - [(x - 1) 2 - 4 2 ] =

[42 - (x - 1) 2]. Se reemplaza este valor en la integral.

dx = dx = 15 + 2x - x 2 {42 - (x - 1) 2}

v = x - 1 El diferencial esta completo,se usa la frmula:dv = dx dv = arc sen v + c .a = 4 a2 - v 2 a

arc sen x - 1 + c .4

8. dx .x2 + 2x

x2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 . Se suma y resta 1 a: x 2 + 2x .

x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1) 2 - 1] = [(x + 1) 2 - 1 2] .

72


73/182


dx .{(x + 1) 2 - 1 2}

v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la frmula:dv = dx dv = 1 ln v - a + c .a = 1 v 2 - a 2 2a v + a

dx = 1 ln x + 1 - 1 = 1 ln x + c .{(x + 1) 2 - 1 2} 2.1 x + 1 + 1 2 x + 2

9. dx .4x - x2

4x - x 2 = - x 2 + 4x = - (x 2 - 4x)4 = 2 ; 2 2 = 42

= - (x 2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2) 2 - 4} = - {(x - 2) 2 - 2 2 } =

{2 2 - (x - 2) 2}

dx .{2 2 - (x - 2) 2}

v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la frmula:dv = dx dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a 2 - v 2 2a a - v

1 ln 2 + x - 2 = 1 ln x = 1 ln x + c .2.2 2 - (x - 2) 4 2 - x + 2 4 4 - x

10. dx . 2x - x2

2x - x 2 = - x 2 + 2x = - (x 2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 1 2 = 12

73


74/182


-(x 2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1) 2 - 1} = {-(x - 1) 2 - 1 2} = 12 - (x -1) 2

dx . 12 - (x -1) 2

v = x - 1 Esta completo el diferencial, se usa la frmula:dv = dx dv = arc sen v + c .a = 1 a2 - v 2 a

arc sen x - 1 = arc sen (x - 1) + c .1

11. ds .

2as + s2

2as + s 2 = s2 + 2as . 2a = a ; a 2 = a2

2

s2 + 2as + a 2 - a 2 = {(s + a) 2 - a 2} = (s + a) 2 - a 2

ds .

{(s + a)2

- a2

}v = s + a El diferencial esta completo, se aplica: dv = ds dv = ln [v + (v2 - a 2)] + c .a = a v2 - a 2

ln {(s + a) + [(s + a) 2 - a 2] } + c .

12. dy .y2 + 3y + 1

y2 + 3y + 1 . 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4

y2 + 3y + 9 - 9 + 1 = {( y + 3 ) 2 - 9 + 4 } = {( y + 3 ) 2 - 5 }4 4 2 4 4 2 4

74


75/182


{( y + 3 ) 2 - 5 2} = {( y + 3 ) 2 - 5 2}2 4 2 2

dy . v = y + 3/2 El diferencial esta (y + 3/2 ) 2 - (5/2) 2 dv = dy completo, se aplica :

a = 5/2 dv = 1 ln v - a + cv2 - a 2 2a v + a

y + 3 - 5 2y + 3 - 5 .. 1 . ln 2 2 = 1 ln 2 =

2.5 y + 3 + 5 5 2y + 3 + 5 . 2 2 2 2 .

1 ln 2y + 3 - 5 + c . 5 2y + 3 + 5

13. dy . 1 + x + x 2

1 + x + x 2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 .2 2 4

= {x2 + x + 1 - 1 + 1 } = {(x + )2 - 1 + 4 } =4 4 4 4

{(x + )2 + } = {(x + )2 + ( )2} = (x + )2 + (3/2) 2.

dy =(x + )2 + (3/2) 2 .

v = x + 1/2 El diferencial esta completo.dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3/2 v2 + a 2 a a

x + 1 . dy = 1 arc tg 2 =

75


76/182


(x + )2 + (3/2) 2 3 . 3 . 2 2

2x + 1 .

2 arc tg 2 = 2 arc tg 2x + 1 + c 3 3 3 3 .

2

14. dx . 1 + x + x 2

1 + x + x 2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4

x2 + x + 1 - 1 + 1 = {(x + ) 2 - 1 + 4 } = {(x + ) 2 + } .4 4 4 4

(x + ) 2 + 3 2 = (x +) 2 + 3 2 = (x + ) 2 + (3/2) 2 4 2

dx .{(x + ) 2 + (3/2) 2}

v = x + 1/2 Esta completo el diferencial.dv = dx Se aplica : dv = ln {v + v2+a 2} + c.a = 3/2 v2+a 2

ln { x + + {(x + ) 2 + (3/2) 2} =

ln {x + + (1 + x + x 2)} + c .

15. dx .4x 2 + 4x + 5

4x 2 + 4x + 5 = 4(x 2 + x + 5 ) . 1 ; 1 2 = 1 . 4 2 2 2 4

76


77/182


4(x 2 + x + 1 - 1 + 5 ) = 4(x 2 + x + 1 + 4 ) =

4 4 4 4 44{(x + ) 2 + 1 } = 4 {(x + ) 2 + 1 2 }.

El factor (4) sale como fuera de la integral 1 dx .4 {(x + 1 ) 2 + 1 2}.

2

v = x + 1/2 El diferencial esta completo:dv = dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + c a = 1 v 2 + a 2 a a

1 . 1 arc tg x + = 1 arc tg (2x + 1) + c .4 1 1 4 2

16. dx .

3x 2 - 2x + 42 .

3x 2 - 2x + 4 = 3(x 2 - 2/3x + 4/3). 3 = 2 = 1 ; 1 2 = 1 . 2 6 3 3 91

3[x 2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3) 2 - 1/9 + 12/9] =

3[(x - 1/3) 2 + 11/9] = {3(x - 1/3) 2 + (11/ 9)2 =

{3(x - 1/3) 2 + (11/3) 2}El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral .

dx = 1 dx .{3(x - 1/3) 2 + (11/3) 2} 3 (x - 1/3) 2 + (11/3) 2

v = x - 1/3 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 arc tg v + c .

77


78/182


a = 11/3 v 2 + a 2 a a

x - 1 3x - 1 .1 . 1 . arc tg 3 = 1 arc tg 3 =3 11 11 11 11 .

.

3 3 3 .

1 . arc tg 3x - 1 + c . 11 11 .

17. dx . 2 - 3x - 4x 2

2 - 3x - 4x 2 = {- 4x 2 - 3x + 2} = {- 4(x 2 + x - 2/4)} ,

= ; ( )2 = 9/642

{- 4(x 2 + x + 9/64 - 9/64 - 2/4)} = {- 4[(x + )2 - 9/64 - 32/64]}

- 4[(x + )2 - 41/64]} = {- 4[(x + )2 - (41/64) 2]}

{- 4[(x + )2 - (41/8) 2]} = {4[( 41/8) 2 - (x + )2]} =

Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como

dx = dx = {4[( 41/8 )2 - (x + )2]} 4 . [(41/8 )2 - (x + )2] dx = 1 dx = 2a[(41/8) 2 - (x + )2]} 2 [(41/8) 2 - (x + )2]

v = x + El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx Se aplica : dv = arc sen v + c .a = 41/8 a2 - v 2 a

8x + 3 .. 1 arc sen x + = 1 arc sen 8 + c .

78


79/182


2 41/8 2 41 . 8

1 arc sen 8x + 3 + c .2 41

18. dx .x2 + 2x + 10

x2 + 2x + 10 , 2/2 = 1 ; 1 2 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 + 10 = (x + 1) 2 - 1 + 10 = (x + 1) 2 + 9 =

(x + 1) 2 + 3 2 . Sustituyendo este valor en la integral.

dx .(x + 1) 2 + 3 2

v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica:dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3 v2 + a 2 a a

dx = 1 arc tg x + 1 + c .(x + 1) 2 + 3 2 3 3

19. dx .x2 + 2x - 3

x2 + 2x - 3 . 2/2 = 1; 1 2 = 1

x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1) 2 - 4 = (x + 1) 2 - 2 2

dx .(x + 1) 2 - 2 2

v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 ln v - a + c .a = 2 v 2 - a 2 2a v + a

79


80/182


1 ln x + 1 - 2 = 1 ln x - 1 + c . 2 . 2 x + 1 + 2 4 x + 3

20. dy .

3-

2y-

y2

3 - 2y - y 2 = - y 2 - 2y + 3 = - (y 2 + 2y - 3 ) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1

{- (y 2 + 2y + 1 - 1 - 3)} = {- [(y + 1) 2 - 1 - 3]} ={-[(y + 1) 2 - 4]}

{- [(y + 1) 2 - 2 2 ]} = {22 - (y + 1 ) 2}. Sustituyendo en la integral.

dy .{2 2 - (y + 1 ) 2}

El diferencial esta completo, se aplica:v = y + 1 dv = 1 ln a + v + c .dv = dy a 2 - v 2 2a a - va = 2

1 ln 2 + y + 1 = 1 ln 3 + y = 1 ln 3 + y + c . 2(2) 2 - (y + 1) 4 2 - y - 1 4 1 - y

21. 3 du . 5 - 4u - u 2 5 - 4u - u 2 = - u 2 - 4u + 5 = - (u 2 + 4u - 5) .

4/2 = 2 ; 2 2 = 4

{- (u 2 + 4u + 4 - 4 - 5)} = {- (u + 2 ) 2 - 4 - 5} = {- (u + 2 ) 2 - 9}

{- (u + 2 ) 2 - 3 2} = {32 - (u + 2 ) 2} .Se reemplaza en la integral.

3 du .

80


81/182


32 - (u + 2 ) 2

v = u + 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = du dv = arc sen v + c .

a = 3 a2

- v2

a

3 du = 3 du = 3 arc sen u + 2 + c . 32 - (u + 2 ) 2 32 - (u + 2 ) 2 3 22. 5 dx .

x2 + 2x + 5

x2

+ 2x + 5 . 2/2 = 1; 12

= 1 x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = (x + 1) 2 - 1 + 5 = (x + 1) 2 + 4 .

(x + 1) 2 + 2 2 . Sustituyendo este resultado en la integral.

5 dx .(x + 1) 2 + 2 2

v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln ( v + v2 + a 2) + c .a = 2 v2 + a 2

ln {x + 1 + (x + 1) 2 + 2 2 } = ln {x + 1 + (x 2 + 2x + 5)} + c .

23. dx . x2 + 4x + 3

x2 + 4x + 3 . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4

x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = (x + 2) 2 - 4 + 3 = (x + 2) 2 - 1 .

(x + 2) 2 - 1 2. Este resultado se reemplaza en la integral.

dx . v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica:

(x + 2)2

- 12

dv = dx dv = ln [v + v2

- a2

] + c .

81


82/182


a = 1 v2 - a 2

ln { x + 2 + [(x + 2) 2 - 12] } + c .

24. dx . x2 + 2x

x2 + 2x . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1 = (x + 1) 2 - 1 2.Sustituyendo este valor en la integral

dx . (x + 1) 2 - 1 2

v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln [v + (v 2 - a 2) ] + c .a = 1 v2 - a 2

ln {x + 1 + [(x + 1) 2 - 12] } + c .

25. dt . 3t - 2t 2

3t - 2t 2 = - 2t 2 + 3t = -2(t 2 - 3/2.t) .

3/2 = ; ( )2 = 9/162

{-2(t 2 - 3/2.t + 9/16 - 9/16)} = {-2[(t - )2 - 9/16)]} =

2[9/16 - (t - )2]} = {2[(3/4) 2 - (t - )2]} .

dt = dt = {2[( )2 - (t - )2]} (2). [( )2 - (t - )2]

1 dt . 2 [( )2 - (t - )2]

82


83/182


v = t - El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt dv = arc sen v + c .a = a2 - v 2 a

(4t - 3)1 arc sen t - = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t - 3 + c .

2 2 3 2 34

26. dx .x2 - 4x + 5

x2 - 4x + 5 . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4

x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 =

(x - 2) 2 + 1 2 .Sustituyendo este valor en la integral. dx . (x - 2) 2 + 1

v = x - 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 1 v 2 + a 2 a a

1 arc tg x - 2 = arc tg (x - 2) + c .1 1

27. dx .2 + 2x - x2

2 + 2x - x 2 = - x 2 + 2x + 2 = - (x 2 - 2x - 2) .2/2 = 1 ; 1 2 = 1

{-(x 2 - 2x - 2)} = {-(x 2 - 2x + 1 - 1 - 2)} = {-[(x - 1) 2 - 1 - 2]} =

{-[(x - 1) 2 - 3]} = {-[(x - 1) 2 - (3) 2]} = (3)2 - (x - 1) 2 .

dx .(3)2 - (x - 1) 2

83


84/182


v = x - 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 ln a + v + c .a = 3 a 2 - v 2 2a a - v

1 ln 3 + x - 1 = 1 ln 3 + x - 1 + c . 23 3 - (x - 1) 23 3 - x + 1

28. dr .

r 2 - 2r - 3

r 2 - 2r - 3 . 2 = 1 ; 1 2 = 12

r 2 - 2r - 3 = r 2 - 2r + 1 - 1 - 3 = (r - 1) 2 - 1 - 3 = (r - 1) 2 - 4 = (r - 1) 2 - 2 2 Sustituyendo este valor en la integral. dr . (r - 1) 2 - 2 2

v = r - 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dr dv = 1 ln v - a + c .a = 2 v 2 - a 2 2a v + a

1 . ln r - 1 - 2 = 1 ln r - 3 + c .2 . 2 r - 1 + 2 4 r + 1

29. 4 dx . x2 - 4x + 13

x2 - 4x + 13 . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4

x2 - 4x + 13 = x2 - 4x + 4 - 4 + 13 = (x + 2 ) 2 - 4 + 13 =

(x + 2 ) 2 + 9 = (x + 2 ) 2 + 3 2. Reemplazando en la integral.

4 dx . (x + 2 ) 2 + 3 2 v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln [ v + v2 + a 2 ] + c .

84


85/182


a = 3 v2 + a 2

ln {x + 2 + [(x + 2 ) 2 + 3 2]} + c .

30. dz . 3 + 2z - z2

3 + 2z - z 2 = - z 2 + 2z + 3 = - (z 2 - 2z - 3) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1

{-(z 2 - 2z - 3)} = {-(z 2 - 2z + 1 - 1 - 3)} = {-[(z - 1) 2 - 1 - 3]} =

{-[(z - 1) 2 - 4]} = {-[(z - 1) 2 - 2 2]} = 22 - (z - 1) 2

dz .22 - (z - 1) 2

v = z - 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dz dv = arc sen v + c .a = 2 a2 - v 2 a

arc sen z - 1 + c .

231. dv .

v2 - 8v + 15

v2 - 8v + 15 . 8/2 = 4 ; 4 2 = 16

v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4) 2 - 16 + 15 = (v - 4) 2 - 1 =

(v - 4) 2 - 1 2 . Reemplazando este valor en la integral.

dv .(v - 4) 2 - 1 2

v = v - 4 Esta completo el diferencial, se aplica:dv = dv dv = ln (v + v2 - a 2 ) + c .a = 1 v2 - a 2

85


86/182


ln {v - 4 + [(v - 4) 2 - 12]} + c .

32. x dx .

x4

- x2

- 1x4 - x 2 - 1 = (x2)2 - x 2 - 1 . 1/2 ; (1/2) 2 = 1 .

4(x2)2 - x 2 - 1 = (x2)2 - x 2 + - - 1 = (x2 - ) 2 - - 1 =(x2 - ) 2 - 5/4 = (x2 - ) 2 - (5/4)2 = (x2 - ) 2 - (5/2) 2 =

(x2 - ) 2 - (5/2) 2 .reemplazando este valor en la integral.

x dx .(x2 - ) 2 - (5/2) 2

v = x2 - Falta (2) para completar dv = 2x dx Se aplica:a = 5 dv = 1 ln v - a + c .

2 v 2 - a 2 2a v + a

1 (2) x dx .2 (x 2 - ) 2 - (5/2) 2

x2 - 1 - 5 2x 2 - 1 - 5 . 1 . 1 . ln 2 2 = 1 . ln 2 =2 2 . 5 x 2 - 1 + 5 25 2x 2 - 1 + 5 .

2 2 2 2 .

1 . 5 . ln 2x 2 - 1 - 5 = 5 . ln 2x 2 - 1 - 5 + c .25.5 2x 2 - 1 + 5 10 2x 2 - 1 + 5

33. dt . 1 - t - 2t 2

1 - t - 2t 2 = - 2t 2 - t + 1 = -2(t 2 + t - ) .

86


87/182


= ; ( )2= 1/162

{-2(t 2 + t - )} ={-2(t 2 + t + 1/16 - 1/16 - )} =

{-2[(t + )2 - 1/16 - ]}={-2[(t + )2 -1/16 - 8/16]} =

{-2[(t + )2 - 9/16]} = {-2[(t + )2 - (9/16) 2]}

{2(-1)[(t + )2 - ( )2]} = {2[( )2 - (t + )2]} .

dt = dt = 1 dt . {2[ ( )2 - (t + )2]} 2 [( )2 - (t + )2] 2 [( )2 - (t +

)2]

v = t + El diferencial esta completo, se aplica:dv = dt dv = arc sen v + c .a = a2 - v 2 a

4t + 1 . 1 arc sen t + = 1. 2 arc sen 4 = 2 arc sen 4t + 1 + c .

2 2.2 3 2 34 .

34. dx .3x 2 + 4x + 1

3x 2 + 4x + 1 = 3(x 2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3) 2 = 4/92

3(x 2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3) 2 - 4/9 + 1/3) =

3{(x + 2/3) 2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3) 2 - 1/9} =

3{(x + 2/3) 2 - (1/9)2} = 3{(x + 2/3) 2 - (1/3) 2} .

dx = dx = 1 dx =

3x2

+ 4x + 1 3{(x + 2/3)2

- (1/3)2

} 3 (x + 2/3)2

- (1/3)2

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v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 . ln v - a + c .a

=1/3 v 2 - a 2 2a v + a

3x + 1 .1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 = 3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 2 3x + 3 .

3 3 3 .1 ln 3x + 1 = ln 3x + 1 1/2 + c .2 3x + 3 3x + 3

35. dw .2w 2 + 2w + 1

2w 2 + 2w + 1 = 2(w 2 + w + ) . 1/2 ; (1/2) 2 = 1 .4

{2(w 2 + w + - + )} = {2(w + )2 - + } =

{2(w + )2 - + 2/4} = = {2[(w + )2 + ]} ={2(w + )2 + [( )2 ]} =

{2[(w + )2 + ( )2]} .Reemplazando en la integral.

dw = 1 dw .{2[(w + )2 + ( )2]} 2 (w + )2 + ( )2

v = w + El diferencial esta completo, se aplica: dv = dw dv = 1 arc tg v + c .a = v2 + a 2 a a

2w + 1 .1 . 1 arc tg w + = 1 arc tg 2 =2 2 1 .

2 2 .

arc tg (2w + 1) + c .

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36. x2 dx .9x 6 - 3x 3 - 1

9x6

- 3x3

- 1. Suponiendo que: x3

= m 9m2

- 3m - 1 =x6 = m2

9(m 2 - 3/9m - 1/9) = 9(m 2 - 1/3m - 1/9) .

1/3 ; 1 2 = 1 .2 6 36

{9(m 2 - 1/3m + 1/36 - 1/36 - 1/9)} = {9[(m - 1/6) 2 - 1/36 - 1/9]}

{9[(m - 1/6) 2 - 1/36 - 4/36]} = {9[(m - 1/6) 2 - 5/36]} =

{9[(m - 1/6) 2 - (5/36) 2]} = {9[(m - 1/6) 2 - (5/6) 2]} .

Pero: m = x3 , sustituyendo :

{9[(m - 1/6) 2 - (5/6) 2]} = {9[(x 3 - 1/6) 2 - (5/6) 2]} .

x2 dx = 1 x2 dx ={9[(x 3 - 1/6) 2 - (5/6) 2]} 9 [(x 3 - 1/6) 2 - (5/6) 2]}

v = x3 - 1/6 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: dv = 1 ln v - a + c .a = 5/6 v 2 - a 2 2a v + a

1 . 1 (3)x 2 dx = 9 3 (x 3 - 1/6) 2 - (5/6) 2

6x3 - 1 - 5 .1 . 1 ln x 3 - 1/6 - 5/6 = 1 ln 6 .

27 2. 5 x 3 - 1/6 + 5/6 54 . 5 6x 3 - 1 + 56 6 6 .

1 ln 6x 3 - 1 - 5 = 1 . 5 ln 6x 3 - 1 - 5 =

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9 5 6x 3 - 1 + 5 95.5 6x 3 - 1 + 5

5 ln 6x 3 - 1 - 5 = 5 ln 6x 3 - 1 - 5 + c . 9 . 5 6x 3 - 1 + 5 45 6x 3 - 1 + 5

Verificacin del Ejercicio # 36, mediante la Diferenciacin:

d 5 . ln 6x 3 - 1 - 5 = 5 . d ln 6x 3 - 1 - 5 . dx 45 6x 3 - 1 + 5 45 dx 6x 3 - 1 + 5

5 1 . d 6x 3 - 1 - 5 . 45 6x 3 - 1 - 5 dx 6x 3 - 1 + 5

6x 3 - 1 + 5

5 . 6x 3 - 1 + 5 (6x 3 - 1 + 5)(18x 2) - (6x 3 - 1 - 5)(18x 2)45 6x 3 - 1 - 5 (6x 3 - 1 + 5)2

5 . (6x 3 - 1 + 5) . (108x 5 - 18x 2 + 18 .5.x2 - (108x 5 - 18x 2 - 18 .5 .x2)45 6x 3 - 1 - 5 (6x 3 - 1 + 5 )2

5 . (6x 3 - 1 + 5) (108x 5 - 18x 2 + 18 .5.x2 - 108x 5 + 18x 2 + 18 .5.x2)45 6x 3 - 1 - 5 (6x 3 - 1 + 5 ) (6x 3 - 1 + 5)

5 . 36 .5. x2 = 36 . 5 . x2 .45 (6x 3 - 1 - 5) (6x 3 - 1 + 5 ) 45(6x 3 - 1 - 5 )(6x 3 - 1 + 5 )

180 x 2 = 4 x 2 .45 {(6x 3 - 1) - ( 5 )} {(6x 3 - 1) + ( 5)} (6x 3 - 1) 2 - (5)2

4x 2 = 4 x 2 = 4 x 2 .36x 6 - 12x 3 + 1 - 5 36x 6 - 12x 3 - 4 4(9x 6 - 3x 3 - 1)

x2 . (9x 6 - 3x 3 - 1)Como es una diferenciacin, para comprobar si la integral esta biendesarrollada, por comodidad no fuimos colocando el dx, en el sitiocorrecto que le compete, lo hacemos en la parte final; podemosasumir, como el dx esta dividiendo, pasa ahora a multiplicar.

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d x 2 = d x 2 dx . dx 9x 6 - 3x 3 - 1 9x 6 - 3x 3 - 1

L.q.d.d. (Lo que se queria demostrar).

37. dt .

15 + 4t - t 2

15 + 4t - t 2 = - t 2 + 4t + 15 = -(t 2 - 4t - 15) . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4

-(t 2 - 4t + 4 - 4 - 15) = -[(t - 2) 2 - 4 - 15] = -[(t - 2) 2 - 19] =

[19 - (t - 2) 2] = (19) 2 - (t - 2) 2 .Sustituyendo este valor en la integral.

dt .(19) 2 - (t - 2) 2

v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dt dv = 1 ln a + v + c .a = 19 a2 - v 2 2a a - v

1 ln 19 + t - 2 = 1 . 19 ln 19 + t - 2 =2.19 19 - (t - 2) 2. 19.19 19 - t + 2

19 ln 19 + t - 2 = 19 ln 19 + t - 2 + c . 2.19 19 - t + 2 38 19 - t + 2

38. dx . 9x 2 + 12x + 8

9x 2 + 12x + 8 = 9(x 2 + 12/9x + 8/9) .

12/9 = 12/18 = 2/3 ; (2/3) 2 = 4/92

9(x 2 + 12/9x + 4/9 - 4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3) 2 - 4/9 + 8/9] =

9[(x + 2/3)2

+ 4/9 ] = 9[(x + 2/3)2

+ (4/9)2

] = 9[(x + 2/3)2

+ (2/3)2

]

91


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Reemplazando este valor en la integral.

dx = dx =9(x + 2/3) 2 + (2/3) 2 9.(x + 2/3) 2 + (2/3) 2

1 dx .3 (x + 2/3) 2 + (2/3) 2

v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln (v + v2 + a 2) + c .a = 2/3 v2 + a 2

1 ln { x + 2/3 + [(x + 2/3) 2 + (2/3) 2]} + c .3

39. dx . 4x 2 - 12x + 7

4x 2 - 12x + 7 = 4(x 2 - 3x + 7/4) . 3/2 ; ( 3/2) 2 = 9/4 .

{4(x 2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 7/4)} = {4[(x - 3/2) 2 - 9/4 + 7/4]} =

{4[(x - 3/2) 2 - 2/4]} = {4[(x - 3/2) 2 - (2/4)]} 2 =

{4[(x - 3/2) 2 - (2/2) 2]}. Reemplazando en la integral.

dx = dx = {4[( x - 3/2 )2 - (2/2 )2]} 4. [(x - 3/2) 2 - (2/2) 2]

1 dx =2 (x - 3/2) 2 - (2/2) 2

v = x - 3/2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln ( v + v2 - a 2 ) + c .a = 2/2 v2 - a 2

1 ln { x - 3/2 + (x - 3/2) 2 - (2/2) 2 } + c .

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2

Problemas. Paginas 253 y 254


1. (1 + 2x) dx = arc tg x + ln (1 + x 2) + c .1 + x 2

Primero tomamos como referencia un artificio aritmtico cualquiera:

7 + 14 = 7 + 14 ; 1 + 2x = 1 + 2x .

93


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2(x 2 - 1) 1/2 + ln {x + x2 - 1 2} = 2 x2 - 12 + ln{x + x2 - 12} + c .

3. (x - 1) dx . 1 - x2

x dx - dx = (1 - x 2)-1/2. x dx - dx . 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2

v = 1 - x 2 1ra integral . Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2x Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = -1/2 n+1

v = x 2 da integral. Esta completo el diferencial.dv = dx Se aplica: dv = arc sen v + c . + c .a = 1 a2 - v 2 a

(- 1 ) (1 - x 2)-1/2.(-2) x dx - dx .2 12 - x 2

- 1 . (1 - x 2)-1/2+1 - arc sen x = - (1 - x 2)1/2 - arc sen x = 2 -1/2+1 1 2(1/2)

-(1 - x 2)1/2 - arc sen x = - (1 - x2)1/2 - arc sen x + c .

4. (3x - 1) dx .(x2 + 9)

3x dx - dx = 3x dx - dx .(x2 + 9) (x 2 + 9) (x 2 + 3 2) (x 2 + 3 2)

v = x2 + 9 1 ra integral. v = x 2 da integral. dv= 2x dx dv = dx

1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:dv/v = ln v + c.Pero antes se coloca al # 3 fuera dela integral.

2da integral. Esta completo el diferencial, se aplica:

95


96/182


dv = 1 arc tg v + c .v2 + a 2 a a

3 . 1 . (2)x dx - dx = 3 ln(x 2 + 3 2) - 1 arc tg x + c .

2 (x2

+ 32

) (x2

+ 32

) 2 3 35. (3s - 2) ds .

9 - s2

3s - 2 ds = 3s - 2 ds = 9 - s 2 9 - s 2 (9 - s 2)1/2 32 - s 2

3(9 - s 2)-1/2 .sds - 2 ds . 32 - s 2

v = 9 - s 2 1ra integral ,falta (-2). v = s 2da integral esta completodv = - 2s ds Se aplica: dv = ds el diferencial.

n = -1/2 vn dv = vn+1 + c .n + 1

dv = = 3(-1/2) (9 - s 2)-1/2.(-2) sds - 2 ds .a2 - v 2 32 - s 2

-3 .(9 - s 2)-1/2+1 - 2 arc sen s = - 3 . (9 - s 2)1/2 - 2arc sen s =2 -1/2+1 3 2 1/2 3

= - 3. 2 .(9 - s 2)1/2 - 2arc sen s = - 3(9 - s 2)1/2 - 2arc sen s =2 3 3

= - 3 (9 - s2

) - 2arc sen s + c .3 6. (x + 3) dx .

x2 + 4

x dx + 3 dx = x dx + 3 dx = x2 + 4 x2 + 4 (x 2 + 4) 1/2 x2 + 2 2

96


97/182


98/182


v = x 2 da integral .dv = dx Esta completo el diferencial.a = 2 Se aplica: dv = 1 ln { v - a } + c .

3 v 2 - a 2 2a v + a

= ( 1 ) 2(3) x dx - 5 dx =3 3x 2 - 2 3 (x) 2 - 2 2

3

x - 2 . 1 . ln (3x 2 - 2) - 5 . 1 . ln 3 = .

3 3 2. 2 x + 2 . 3 3x - 2 . 3 .

1 . ln (3x 2 - 2) - 5 3 . ln 3 . 3 = 3 6. 2 x + 2 . 3

3 . 3

x - 61 . ln (3x 2 - 2) - 5 . 3 . 2 . ln 3 = 3 6 . 2 .2 x + 6

3

3x - 61 . ln (3x 2 - 2) - 5 . 6 . ln 3 = . 3 6 . 2 3x + 6 .

31 . ln (3x 2 - 2) - 5 6 . ln 3x - 6 + c . 3 12 3x + 6

8. (5t - 1) dt . 3t 2 - 9

5 t dt - dt = 5 t dt - dt =3t2 - 9 [(3.t) 2 - 3 2] (3t 2 - 9) 1/2 [(3.t) 2 - 3 2]

98


99/182


5 (3t 2 - 9) -1/2 . t dt - dt = [(3.t) 2 - 3 2]

v = 3t2 - 9 Falta (6) para completar el diferencial.(1 ra integral).

dv = 6t dt Se aplica: vn

dv = vn+1

+ c .n = -1/2 n + 1

v = 3. t Falta ( 3) para completar el diferencial.(2 da integral).dv = 3 Se aplica: dv = ln (v + v2 - a 2 ) + c .a = 3 v2 - a 25 . 1 . (3t 2 - 9) -1/2 .(6) t dt - 1 3 dt =

6 3 [(3.t) 2 - 3 2]

= 5 . (3t 2 - 9) -1/2+1 . - 1 . ln { 3.t + [( 3.t) 2 - 3 2]} = 6 -1/2 + 1 3

Pero :[ (3.t)2 - 3 2] = 3t2 - 9 , adems ordenando 3.t = t 3

= 5 (3t 2 - 9) 1/2 - 1 . ln { t 3 + 3t 2 - 9 } . 6 1/2 3

9. (x + 3) dx . 6x - x2

Haciendo artificios con el nmerador de la integral:x + 3 - 3 + 3 = {x - 3 + 6} = {- 3 + x + 6} = {-(3 - x) + 6}.Reemplazando en la integral.

{-(3 - x) + 6} dx = - (3 - x) dx + 6 dx = 6x - x 2 6x - x 2 6x - x 2

Multiplicamos y dividimos para (2) al nmerador de la 1 ra integral .

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =2 6x - x 2 6x - x 2

Descomponemos el denominador de la 2 da integral:

99


100/182


6x - x 2 = - (x 2 - 6x) . 6/2 = 3 ; 3 2= 9

- (x 2 - 6x + 9 - 9) = - {(x - 3) 2 - 9 = -{(x - 3) 2 - 3 2}. Este valor sesustituye en la 2 da integral.

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =2 6x - x 2 -{(x - 3) 2 - 3 2}

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =2 6x - x 2 (-){(x - 3) 2 - 3 2}

Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto:- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =

2 6x - x 2 (-) {(x - 3) 2 - 3 2}- 1 2(3 - x) dx - 6 dx =

2 6x - x 2 {(x - 3) 2 - 3 2}

v = 6x - x 2 1ra Integral. El diferencial esta completo, al hacer dv = 6 - 2x operaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdadero

diferencial . Se aplica: dv/v = ln v + c .

v = x - 3 2 da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica:dv = dx dv = 1 ln v - a + c .a = 3 v 2 - a 2 2a v + a

- 1 ln{6x - x 2} - 6 . 1 . ln x - 3 - 3 + c .2 2 .3 x - 3 + 3

- 1 ln{6x - x 2} - 6 . 1 . ln x - 6 + c .2 6 x

- 1 ln{6x - x2} - ln x - 6 + c . 2 x

10. (2x + 5) dx .x2 + 2x + 5

100


101/182


Suponiendo que:v = x2 + 2x + 5; dv = 2x + 2.(verdadero diferencial)

Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en :

(2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx .

{(2x + 2) + 3}dx = (2x + 2) dx + 3 dx =x2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5

Descomponiendo: x 2 + 2x + 5 . {2/2 = 1 ; 1 2 = 1}

x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) 2 + 2 2 .

Reemplazando este resultado en la 2 da integral .

(2x + 2) dx + 3 dx =x2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5

v = x2 + 2x + 5 La 1 ra integral, tiene el diferencial completo:dv = (2x + 2) dx Se aplica: dv = ln v + c .

v

La 2 da integral, tambien tiene el diferencial completo:Se aplica: dv = 1 arc tg v + c .

v2 + a 2 a a

(2x + 2) dx + 3 dx = (2x + 2) dx + 3 dx .x2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 (x + 1) 2 + 2 2

ln (x 2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1) =2 2

ln (x 2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c . 2 2

11. (1 - x) dx .4x2 - 4x - 3

101


102/182


- (-1 + x) dx = - (x - 1) dx = - 1 8(x - 1) dx.

4x2 - 4x - 3 4x 2 - 4x - 3 8 4x 2 - 4x - 3

- 1 8x - 8 dx = - 1 (8x - 4 - 4)dx = - 1 (8x - 4) - 4 dx8 4x 2 - 4x - 3 8 4x 2 - 4x - 3 8 4x 2 - 4x - 3

- 1 (8x - 4) dx - 4 dx =8 4x 2 - 4x - 3 4 (x 2 - x - 3/4)

- 1 (8x - 4) dx - dx .8 4x 2 - 4x - 3 (x 2 - x - 3/4)

Descomponiendo: x 2 - x - 3/4, para hacerlo cuadrado perfecto.(x2 - x - 3/4 ) . 1 ; 1 2 = 1 .

2 2 4

(x2 - x + 1/4 - 1/4 - 3/4 ) = (x2 - x + 1/4 - 4/4) =

(x - 1/2) - 1 = (x - 1/2) 2 - 1 2 . Se reemplaza en la 2 da integral.

- 1 (8x - 4) dx - dx .8 4x 2 - 4x - 3 (x - 1/2) 2 - 1 2

La 1 ra integral ,esta completa. v = 4x2 - 4x - 3 ; dv = 8x - 4 ;Se aplica : dv = ln v + c .

v

La 2 da integral , tambien esta completav = x - 1/2 ; dv = dx ; a = 1 .Se aplica : dv = 1 ln v - a + c .

v2 - a 2 2a v + a

Integrando:x - 1 - 2 .

- 1 ln(4x 2 - 4x - 3) - 1 ln 2 2 =

102


103/182


8 2.1 x - 1 + 2 . 2 2

2x - 1 - 2 .

- 1 ln(4x 2 - 4x - 3) - 1 ln 2 =8 2 2x - 1 + 2 .

2.

- 1 ln(4x 2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 1 - 2 =8 8.2 2x - 1 + 2

- 1 ln(4x 2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 3 + c . 8 16 2x + 1

12. (3x - 2) dx .1 - 6x - 9x 2

(3x - 2) dx = - (3x - 2) dx =-(9x 2 + 6x - 1) 9x 2 + 6x - 1

Suponiendo que:v = 9x 2 + 6x -1; dv = 18x + 6 ; (verdadero diferencial); a :(3x - 2)lo multiplicamos por (6) ; 6(3x - 2)dx = (18x - 12)dx y al mismotiempo se le opone 1/6 a la integral.

Descomponiendo :9x 2 + 6x - 1 = 9(x 2 + 6/9x - 1/9) = 9(x 2 + 2/3x - 1/9).Se le extrae lamitad al coeficiente del 2 do trmino y al al resultado se lo eleva al

cuadrado.

Luego, se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x - 1/9) .

2/3 = 2 = 1 ; { 1 } 2 = 1 ; 9[(x + 2/3x + 1/9 - 1/9 - 1/9)]2 6 3 3 9

9[(x + 1/3) 2 - 1/9 - 1/9)] = 9[(x + 1/3) 2 - 2/9 ] =

103


104/182


9[(x + 1/3) 2 - (2/9)2] = 9[(x + 1/3) 2 - (2/3) 2].

Reemplazando este valor en la 2 da integral, sumando y restando"6" al nmerador, para obtener los diferenciales. - 1 6(3x - 2) dx = - 1 18x - 12 dx = - 1 18x + 6 - 6 - 12 dx

6 9x 2 + 6x - 1 6 9x 2 + 6x - 1 6 9x 2 + 6x - 1

- 1 (18x + 6) - 18 dx = - 1 18x + 6 dx - 18 dx .6 9x 2 + 6x - 1 6 9x 2 + 6x - 1 9x 2 + 6x - 1

- 1 (18x + 6)dx + 18 dx .

6 9x2

+ 6x - 1 6 9[(x + 1/3)2

- (2/3)2

]

La 1 ra integral , esta completa .v = 9x2 + 6x - 1 ; dv = 18x + 6 ;Se aplica : dv = ln v + c .

v

La 2 da integral , tambien esta completa, v = x + 1/3 ; dv = dx ;a = 2/3 . Se aplica : dv = 1 ln v - a + c .

v2

- a2

2a v + a

- 1 18x dx + 3 dx =6 9x 2 + 6x - 1 9 [(x + 1/3) 2 - (2/3) 2]

x + 1 - 2 - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 1 . 1 . ln 3 3 = .

6 3 2. 2 x + 1 + 2 .

3 3 3

3x + 1 - 2- 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + . 3 . ln 3 =

6 6. 2 3x + 1 + 2 .3 .

- 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 1 ln 3x + 1 - 2 = 6 22 3x + 1 - 2

104


105/182


- 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 2 ln 3x + 1 - 2 = 6 22.2 3x + 1 - 2

- 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 2 ln 3x + 1 - 2 = 6 2.2 3x + 1 - 2

- 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 2 ln 3x + 1 - 2 + c . 6 4 3x + 1 - 2

13. (x + 3) dx . x2 + 2x

Suponiendo que: v = x2 + 2x ; dv = 2x + 2 . (verdadero diferencial).(x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx.

1 . 2(x + 3) dx = 1 . 2x + 6 dx = 1 . 2x + 2 + 4 dx =2 x2 + 2x 2 x2 + 2x 2 x2 + 2x

= 1 . (2x + 2) + 4 dx = 1 (2x + 2) + 4 dx =2 x2 + 2x 2 x2 + 2x x2 + 2x

1 (2x + 2) + 4 dx =2 (x 2 + 2x) 1/2 (x2 + 2x

Descomponiendo la cantidad sub-radical: x 2 + 2x

x2 + 2x . 2/2 = 1 ; 1 2= 1 .

(x + 2x + 1 - 1) = (x + 1) 2 - 1 2. Se sustituye en la 2 da integral .

1 (2x + 2) + 4 dx =2 (x 2 + 2x) 1/2 (x + 1) 2 - 1 2 1 (x2 + 2x) -1/2 .(2x + 2) dx + 1 . 4 . dx .2 2 (x + 1) 2 - 1 2

1 (x2 + 2x) -1/2 .(2x + 2) dx + 1 . 4 . dx .

105


106/182


2 2 (x + 1) 2 - 1 2

1 (x2 + 2x) -1/2 .(2x + 2) dx + 2 dx .2 (x + 1) 2 - 1 2

La 1ra

integral , esta completa: v = x2

+ 2x ; dv = 2x + 2 ;Se aplica : dv/v = ln v + c .

La 2 da integral , tambien esta completa: v = x + 1 ;dv = dx ; a = a . Se aplica : dv = ln (v + v2 - a 2 ) + c .

v2 - a 2

1 . (x2

+ 2x)-1/2+1

+ 2 ln {(x + 1) + (x + 1)2

- 12

} =2 - 1/2 + 1

1 . (x 2 + 2x) 1/2 + 2 ln {(x + 1) + [(x 2 + 2x + 1) - 1] } =2 1/2

2 . 1 . (x 2 + 2x) 1/2 + 2 ln {(x + 1) + [(x 2 + 2x + 1 - 1 ]} =2 .

(x2 + 2x) 1/2 + 2ln {(x + 1) + (x2 + 2x)} =

(x2 + 2x) + 2ln{x + 1 + (x2 + 2x)} + c .

14. (x + 2) dx . 4x - x2

v = 4x - x 2 ; dv = - 2x + 4 .(verdadero diferencial)

Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = - 2x - 4.-2(x + 2) = - 2x - 4 . se suma y resta "4" al "dv" propuesto.

{- 2x - 4} ; - 2x - 4 + 4 - 4 = - 2x + 4 - 8 = (- 2x + 4) - 8 .

(-1 ) (-2)(x + 2) dx = (-1 ) (-2x - 4 + 4 - 4)dx =2 4x - x 2 2 4x - x 2

106


107/182


(-1 ) {(-2x + 4) - 8} dx. Descomponiendo: 4x - x 2 = - (x 2 - 4x).2 4x - x 2

- (x2

- 4x) . 4/2 = 2 ; 22

= 4 . {- (x2

- 4x + 4 - 4)} = {- (x - 2) 2 - 4)} = {- (x - 2) 2 - 2 2)} = 22 - (x - 2) 2

(-1 ) {(-2x + 4) - 8}.dx = (-1 ) (-2x + 4) .dx - 8 dx =2 4x - x 2 2 4x - x 2 22 - (x - 2) 2

(-1 ) (4x - x 2)-1/2 . (-2x + 4) .dx + 1 . 8 dx =2 2 22 - (x - 2) 2

La 1 ra integral, esta completa. v = 4x - x 2 ; dv = -2x + 4 ;Se aplica : vn . dv = vn+1 + c .

n + 1

La 2 da integral, tambien esta completa. v = x - 2 ; dv = dx ; a = 2.Se aplica : dv = arc sen v + c .

v2 - a 2 a - 1 . (4x - x 2)-1/2+1 + 8 . arc sen x - 2 =

2 (-1/2+1) 2 2

- 1 . (4x - x 2)1/2 + 4 arc sen x - 2 + c .2 (1/2) 2 .

2/2.(4x - x 2)1/2 + 4arc sen (x - 2) = (4x - x2) + 4arc sen (x - 2) + c15. x dx .

27 + 6x - x2

Multiplico por (- 2) , luego sumo y resto 6 al nmerador.

- 1 (-2) x dx = - 1 (-2 x + 6 - 6) dx =2 27 + 6x - x 2 2 27 + 6x - x 2

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- 1 (-2 x + 6) - 6) dx = - 1 (-2 x + 6 ) dx + 1 6dx . 2 27 + 6x - x 2 2 27 + 6x - x 2 2 27 + 6x - x 2

Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador de la 2 da integral : 27 + 6x - x 2.27 + 6x - x 2 = - (x 2 - 6x - 27) . 6/2 = 3 ; 3 2 = 9 .

(x2 - 6x - 27) = - (x 2 - 6x + 9 - 9 - 27) = - [(x - 3) 2 - 36] =

- [(x - 3) 2 - 6 2] = 62 - (x - 3) 2.-Se sustituye este

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