Hidrostatica e Hidrodinamica. CASTILLO

8/10/2019 Hidrostatica e Hidrodinamica. CASTILLO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA GEOLGICA, MINERA Y METALURGICA

rea de Ciencias Bsicas (Fsica II)

HIDROSTATICA- HIDRODINAMICA

PROFESOR: MAG. CASTILLO ALEJOS EFRAIN

MAYO - 2014


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HIDROSTTICAFLUIDOEs una sustancia incapaz de resistir fuerzas oesfuerzos de corte sin desplazarse, mientras que unsolido si puede hacerlo. Los fluidos pueden serlquidos y gases.


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FLUIDO

Algunas caractersticas de lquidos y gases:Lquidos

Estn sometidos a fuerzas intermoleculares quelos mantienen unidos de tal forma que su volumen

es definido, pero su forma no. Cuando se vierte un liquido dentro de un

recipiente, ocupara dentro de este un volumenigual al suyo propio sin importar la forma del

recipiente. Los lquidos son ligeramente compresibles y su

densidad varia poco con la temperatura o presin.

Los lquidos tienen superficie libre.


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FLUIDO

Algunas caractersticas de lquidos y gases:Gases

Consta de partculas en movimiento que chocan unas contraotras y tratan de dispersarse de tal modo que un gas no tieneforma, ni volumen definido y llenara completamente cualquierrecipiente en el cual se coloque.

Para un gas la P, Tel Vque ocupa, se relacionan por mediode la ley de los gases, o sea, la ecuacin apropiada delestado del gas.

Los gases son compresibles. En los gases, la viscosidad aumenta con la temperatura, a

diferencia de los lquidos que disminuye con la temperatura.


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DENSIDAD Y PESOESPECFICO.

DENSIDADSuponte que tengo un cuerpo que tiene un volumenV, una masa m y un peso p :

definen densidad como la relacin entre la masa

que tiene el cuerpo y su volumen. A la densidad se la pone con la letra delta (d).

Entonces: p = masa / volumen.


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DENSIDAD Y PESOESPECFICO.DensidadQu es entonces la densidad?RPTA: Es una relacin que te dice que cantidadde materia entra en un determinado

volumen. Ms denso es el cuerpo, ms cantidadde molculas entran por cm3.Por ejemplo, la densidad del agua es 1 g/cm3 ( =1 kg/dm3 ). La densidad aproximada del

cuerpo humano es 0,95 kg/dm3. El cuerpohumano es un poco menos denso que el agua.Por eso uno flota en el agua.


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DENSIDAD Y PESOESPECFICO.

Peso especificoEl peso especfico es la relacin entreel peso de un objeto y su volumen.Se designa con la letra .


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PRESIN

PRESIN.La presin es la fuerza que acta por unidadde superficie. La presin se calcula as :


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PRESIN PRESIN ABAJO DEL AGUACuando nadas abajo del agua sientes presin sobrelos odos. Esa presin es el peso del

agua que est arriba tuyo que te est comprimiendo.

Al nadar a 10 m de profundidadtienes sobre tu cuerpo una presin aproximada de 1atmsfera. ( = 1 Kgf/cm2). Es decir,

la presin sobre tu cuerpo es de una atmsfera POR

ENCIMA de la presin atmosfrica.Este ltimo caso lo veras ahora en detalle porque esel ms importante.


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PRESIN

PRESIN A UNA PROFUNDIDAD h.Cuando tienes un tacho con agua, el lquidoejerce presin sobre las paredes y sobre el

fondo.


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PRESIN

La frmula que relacionatodo esto es la siguiente:


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PRESIN PRESIN MANOMTRICA Y PRESIN

ABSOLUTA.

Supongamos que tengo un tanque lleno de gas. Unagarrafa, por ejemplo. Quiero saber

que presin hay adentro de la garrafa. Paraaveriguar esto lo que se hace a veces es

colocar un tubo de la siguiente manera:


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PRESIN PRESIN MANOMTRICA: Est referida a la

presin atmosfrica.

PRESIN ABSOLUTA: Est referida al vaco total.


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TUBOS EN U TUBOS EN UUn tubo en U es una manguera doblada con lquidoadentro. Sera una cosa as:


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TUBOS EN U

Adentro del tubo se ponen 2 lquidos distintos.Tienen que ser lquidos que no se

mezclen. Por ejemplo, agua y aceite, agua ymercurio o algo por el estilo. Si pongo un solo

lquido, las ramas llegan al mismo nivel. Si pongo 2lquidos de densidades diferentes, las

ramas quedan desiguales. Del lado del lquido demayor densidad, voy a tener una altura

menor. Lo que uno marca en el dibujo son las alturasde las ramas hA y hB.


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TUBOS EN U

La idea es calcular la relacin entre las alturas hA y hB en funcin de los pesosespecficos RhoA y RhoB . Para hacer esto planteo lo siguiente. Mir el puntoB. Ah hay

cierta presin que es el peso de la columna de liquido B. Es decir, PB = B.hBg. De la misma

manera si miro el punto A llego a la conclusin de que la presin en A vale PA =

A. hAg.Y ahora , si lo pienso un poco mas veo que como los puntos A y B estn a lamisma altura,

las presiones PA y PB tiene que ser iguales. Es decir:

Entonces


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TUBOS EN U Entonces igualo las presiones y me queda la

frmula para tubos en U:


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problemas

1)Un prisma de longitud L y peso especifico = se sujeta en la posicin indicada. Al soltar el prismasobresale de la superficie del lquido. Hallar la alturamxima que alcanza y el tiempo que en ello emplea.


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Solucin:Las fuerzas que actan sobre el cuerposon el empuje y el peso

= =

=


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Simplificando: = 1

, :

= , = 1

= 2 1 22


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= 0 = 34 0 = 2 1

22

, = 2

: = 43 +

23

: =


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43 +

23

=

, 34sin

83 +

232

3

20 =

: =

3

4


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Problema n2

Una compuerta de seccin parablica AB estarticulada en A e inmovilizada en B, como se indicaen la figura. Si la compuerta tiene una anchura dea=3m. hallar las componentes de la fuerza que

produce el agua al actuar sobre la compuerta.


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Problema n3

Un globo ligero lleno de helio de 0.180kg/de densidad se amarra a unacuerda ligera de longitud L=3,00m. Lacuerda se amarra al suelo formando un

pndulo simple invertido como en lafigura. Si el globo se desplazaligeramente del equilibrio.

a)Demuestre que el movimiento esarmnico simple.

b)Determine su periodo. Considere ladensidad del aire igual a 1.29kg/eignore cualquier perdida de energadebida a la friccin del aire.


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Solucin:

=0.180/

=1.29/L=3.00m


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Parte (a)

En (b): = 0 = - = . . . . Por otro lado en (b):

(E es una fuerza que se opone almovimiento, es decir es una fuerzarecuperadora)


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. s i n = . (para

desplazamientos pequeos s i n = ) . . s i n + . . . = 0

+()() . = 0

(ecuacin diferencial del M.A.S)


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Parte (b):

Como:

= ()()

Entonces:

= 2 ()()

= 2 3 . 1 4 1 6 3(0.180)9.80(1.29)

= 1 3


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Problema n4

a)Considere un deposito que contieneun fluido sujeto a una aceleracionvertical ascendente a. Demuestre que

la variacion de presion con laprofundiidad en el fluido esta dada por:

= . . 1 + Siendo h la profundidad y w el peso

especifico.


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b)Demuestre tambin que si el fluidoen conjunto sufre una aceleracin

vertical descendente a, la presin acualquier profundidad h esta dad por:

= . . 1

c)Qu es lo que ocurre en cadalibre?

Solucin:


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Si la aceleracin es vertical , la

superficie libre permanece horizontal;la presin es constante en planoshorizontales.

Considerando un cilindro circularvertical de seccin transversal A yaltura h como cuerpo libre, y teniendoen cuenta la ecuacin del movimiento.


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C)Si el recipiente se deja caer =

Reemplazando obtenemos:-=.h(1+ )

-=0 = Es decir, la presin es la misma en todo

el liquido.


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HIDRODINMICA

Es el estudio de los fluidos en movimiento. Seestudiara la relacin entre la presin y suvelocidad. Si la cambia con la presin se diceque el fluido es compresible y lo estudia la

aerodinmica. Si la cambia muy poco con lapresin en los lquidos, se dice que el fluido esincompresible, lo estudia la hidrodinmica.


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FLUJO DE UN FLUIDO


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FLUJO DE UN FLUIDO


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FLUJO DE FLUIDOS

El flujo de fluidos puede ser permanente o nopermanente, uniforme o no uniforme.- FLUJO PERMANENTE:El flujo permanente

tiene lugar, cuando en un punto cualquiera, la

velocidad de las sucesivas partculas queocupan ese punto, en los sucesivos instanteses la misma. Por lo tanto, la velocidad escontante respecto del tiempo, pero puede

variar de un punto a otro.- FLUJO UNIFORME: El flujo uniforme tienelugar cuando el modulo, la direccin y elsentido de la velocidad no varan de un puntoa otro del fluido.


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ECUACION DE CONTINUIDAD


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ECUACIN DE CONTINUIDAD


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ECUACIN DE BERNOULLI


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APLICACIONES DEL TEOREMA


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APLICACIONES DEL TEOREMADE BERNOULLI

Teorema de Torricelli:Consideremos un liquido que sale por un orificiopracticado en un deposito, a una profundidad h

por debajo de la superficie del liquido en eldeposito.Tomemos un punto 1 enla superficie y un punto2en el orificio de salida.La presin en ambos

puntoses la atmosfrica ,puestoque ambos estn en

contacto


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+

2 + =

+

2 +

Tenemos: = = 0(presin manomtrica) = 0 ; = (plano de referencia, el plano horizontal que pasapor 2).

Aplicando la ecuacin de continuidad, para los puntos 1 y 2obtenemos:

. = . =. si = 0 y = 0Reemplazando en la ecuacin de Bernoulli

0+0+h=0++0 = 2

Obsrvese que la velocidad de salida es la misma que adquiriraun cuerpo que cayese libremente, partiendo del reposo, desde

una altura h.


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Teorema de Pitot

El tubo de Pitot se utiliza generalmente,

para medir la velocidad de un gas enuna tubera.Consiste en un tubo manomtrico

abierto que se conecta a la tuberadentro del cual circula el gas.

A li l i d B lli l t 1 2


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Apliquemos la ecuacin de Bernoulli a los puntos 1 y 2, +

2 + =

+

2 +

En donde: = = 0 ,

= ; = 0 . +

2 + 0 =

+ 0 + 0

= () ; w=peso especifico del gas.La diferencia de presiones puede medirse por la deflexindel liquido manomtrico en el tubo de Pitot.

= + . Debido a que el peso especifico de un gas es muypequeo, es posible desestimar las variaciones de presinen un gas debido a las variaciones de altura( si estas noson muy grandes).


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Por lo tanto: = = = + .

= . = :

=

2(. )


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Sustentacin del ala de un avinPara una mayor claridad vamos a considerar el ala del

avin en reposo en una corriente horizontal del aire. Seha dibujado algunas lneas de corriente alrededor delala. Observando dichas lneas de corrientes vemos queen la parte superior estas se juntan mientras, que en la

parte inferior no son alteradas. Podemos hacer unaanaloga con el tubo de Venturi, en donde, la partesuperior del ala del avin corresponde alestrechamiento del tubo, y la parte inferior del ala a laparte ancha.


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Por lo tanto:

> y

>

Y la fuerza de sustentacin del ala ser:

F=(

)

A = rea del ala delavin

La diferencia de presiones se puede obtenermediante la aplicacin del teorema deBernoulli.

Aplicndolo a 3 y 1:


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Aplicndolo a 3 y 1:

+

2

=

+

2

Aplicndolo a 4 y 2: +

2 =

+

2

Para mayor sencillez hemos escogido puntos almismo nivel (los valores de z se hacen nulos), yno consideramos la variacin de presin debido ala altura, en puntos a gran distancia del ala (talescomo 3 y 4).

Por consiguiente: +

2 =

+

2

De donde:

F =


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Problema n1

Dentro de un deposito cerrado deparedes verticales, el agua alcanza unaaltura de 1.20m. Sobre la superficie delagua hay aire a una presinmanomtrica de 8.4kg/

.El deposito

descansa sobre una plataforma situada2.4m por encima del suelo. En una delas paredes laterales y justamenteencima del fondo se practica un orificio

de 3.2.Supngase que permanecenconstantes el nivel del agua y la presindentro del deposito. Dondegolpea alsuelo, el chorro de agua que sale del

orificio?


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Solucin:


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Primero calculemos la velocidad con quesale el chorro del orificio; para elloaplicaremos la ecuacin de Bernoulli en lospuntos 1 y 2; el punto 1 se encuentra sobrela superficie libre del agua y el punto 2justamente en la salida del liquido.

+

+ = +

+ (1) = . =84000/; =0 =1000/

= 0 =

Si elegimos como plano de referencia, elplano horizontal que pasa por 2:

= 1.20 = 0


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Reemplazando en (1) obtenemos:84000/

1000/ + 0 + 1 . 2 = +

2

+ 0

= 85.20 2 9.8

=40.86/


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Ahora estudiemos el movimiento del chorro del agua, el cual esequivalente a considerar el movimiento de una partcula que eslanzada con una velocidad inicial v y sigue una trayectoriadeterminada por la fuerza gravitatoria que acta sobre ella.

Debido a que la partcula solo esta sujeta a la accin de lagravedad.

= 0 = La aceleracin solo tiene componente en el eje Y.

El mo imiento en la direccin X corresponde a


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El movimiento en la direccin X, corresponde aun movimiento uniforme ( = 0).x=v.t (2)

El movimiento en la direccin Y, corresponde aun movimiento uniformemente acelerado( = ).y=

(3)

Dnde golpea al suelo el chorro?(Cul es elvalor de R?)Cuando x=R y=2.4mDe la ecuacin (3)

= 2 = 2(2.4)9.8/ = 0.7 .

Reemplazando el tiempo t en la ecuacin (2) tenemos:

R=v.t=(40.86m/s)(0.7s)=28.6m

Problema n2 (referido al


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Problema n 2 (referido alproblema anterior)

a) Cul es la fuerza vertical ejercidasobre el suelo por el chorro?

b) Cunto vale la fuerza horizontal

ejercida sobre el deposito?Solucin:

La nica fuerza queacta sobre la

partcula

En el momento en que el chorro llega al suelo


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En el momento en que el chorro llega al suelo,esta ser precisamente la fuerza vertical queejerce sobre el.

El problema consiste en determinar la masade la partcula. Como la partcula llega al suelo en 0.7s,

consideremos la masa de agua que sale por

el orificio en ese tiempo.Masa=(densidad)(volumen)

= . . = 0 . 7 Y el peso ser:

W=mg= . . = . W=(1000/)(3.210)(40.86/)(0.7)W=9.15kg

()


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= () Consideremos la variacin de la cantidad de movimiento en ladireccin Y, en las posiciones 2y 3.

La masa que sale por el orificio en un dt ser:=. .Cantidad de movimiento en 3:

(..)La cantidad de movimiento en 2 es cero debido a que la velocidaden 2, no tiene componente en la direccin Y.La variacin de la cantidad de movimiento ser:

= . . Y la fuerza vertical: = () = . . . En donde es la componente en Y de la velocidad en 3.Si: = 12 = = ; t=0.7sY la fuerza ser: F=..=..=9.15

Si id l


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Si consideramos que laseccin del deposito es

muy grande comparadacon la del orificio de

salida, podemos asumir

que la velocidad delagua

dentro del deposito es

cero.


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Ahora bien, si la velocidad del liquido

dentro del deposito es cero, y sale porel orificio con una velocidad v; elloimplica que existe una aceleracin y

por lo tanto una fuerza que acta sobreel liquido.

Por el principio de accin y reaccinser una fuerza de la misma magnitud laque se ejerce sobre el deposito.

La masa que sale por el orificio en un dt


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La masa que sale por el orificio en un dtser:

=..

Y la variacin de la cantidad demovimiento: =

La cantidad de movimiento antes de lasalida es cero.Y la fuerza ser:

=

()

=

= (10009.8

)(3.210)(40.86 )=


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Problema n3

A travs del tubo de la figura adjunta, pasa unacorriente de aire de 0.4lt por seg. Las reas de lassecciones transversales son 1cm2y 2cm2. Hallar ladiferencia de niveles que tendr el agua en el tuboen forma de U. La densidad del aire es de 1.3Kg/m3.


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Solucin:De definicin de caudal

= . = .

= =0.4101 1 0 = 4

= = 0.410

2 1 0 = 2


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Considerando los puntos 1 y 2 al mismo nivel, por laecuacin de Bernoulli:

+ 1

2 + 0 = + 1

2 + 0

12 = . . 1

El agua est en reposo en las ramas + = +


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= = 2 ; = 10

2 1 : 1

2 =

=

2 ,

=0.7356


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Problema n4

Sobre una mesa hay una vasija con agua. En lapared lateral de esta vasija hay un orificio pequeosituado a la distancia del fondo de la vasija y a ladistancia del nivel del agua. Este nivel se mantieneconstante. a que distancia del orificio(en direccinhorizontal) caer sobre la mesa el chorro de agua?Resolver este problema para los casos

1 =25 = 16 2 =16cm y

= 25


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Resolver este problema para los casos1 =25 =16 2 =16cm y =25


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Solucin:Usando la ecuacin de Bernoulli:

+ 12 + = +12 +

: = = , = 0 , = 1

2 = 1

2 + 1

De la ecuacin de continuidad: = , =


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Reemplazando en (1): =

= 2

1

: > = 2 , :

= , = 12


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= 2 2 , = 2

=25 = 16 , = 40 =16 = 25 , = 40

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