298537210 Hidrodinamica Si Teoria Valurilor

8/16/2019 298537210 Hidrodinamica Si Teoria Valurilor

1/133

DUMITRU DINU

HIDROMECANICĂ ŞI TEORIA VALURILOR

1


2/133

2


3/133

Unitate Titluldeînvăţate

12

3

4

5Pagina

CUVÂNT ÎNAINTE

5

Obiectul mecanicii fluidelor.Proprietãtile fizice ale fluidelor.Obiectivele unităţii de învăţare nr. 2Problematica tratată2.1 Compresibilitatea

2.2 Dilatarea termincă2.3 Mobilitatea2.4 Viscozitatea

67

Lucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 2Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

1313

Ecuatiile generale ale miscãrii fluidelor ideale.Obiectivele unităţii de învăţare nr. 33.1 Ecuaţia lui Euler3.2 Ecuaţia de stare3.3 Ecuaţia lui Bernoulli3.4 Reprezentarea grafică şi interpretarea energetică a ecuaţiei luiBernoulli pentru lichide3.5 Ecuţia de continuitate3.6 Teorema impulsului si a momentului impulsului.

14

Lucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 3

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

2122

Ecuaţiile staticii fluidelorObiectivele unităţii de învăţare nr. 44.1 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii4.2 Interpretarea geometrică şi fizică a ecuaţiei fundamenatale ahidrostaticii


4/133

4.3 Principiul lui Pascal4.4 Principiul vaselor comunicante4.5 Forţele hidrostatice4.6 Principiul lui Arhimede4.7 Plutirea corpurilor.Deplasamentul navei. Flotabilitatea

22


3030

Mişcarea potenţială (irotaţională)Obiectivele unităţii de învăţare nr. 55.1 Mişcarea plană potenţială5.2 Mişcarea rectilinie şi uniformă5.3 Sursa5.4 Vârtejul5.5 Teorema lui Kutta-Jukovski

31

7899

141515181820

22232424252627

3234363738

3


5/133


3939

Dinamica fluidelor realeObiectivele unităţii de învăţare nr. 66.1 Regimurile de mişcare ale fluidelor6.2 Ecuaţia lui Navier-Stokes6.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fir de lichid real

6.4 Mişcarea laminară a fluidelor6.5 Mişcarea turbulentă a fluidelor

39


5252

Teoria stratului limităObiectivele unităţii de învăţare nr. 7

7.1 Condiţii generale7.2 Ecuaţiile diferenţiale ale stratului limită7.3 Proprietăţile fizice ale stratului limită. Desprinderea stratului limită.

53


5959

8

Curgerea prin conducte

59

9

Profile hidrodinamiceObiectivele unităţii de învăţare nr. 99.1 Caracteristicile geometrice ale profilelor hidrodinamice9.2 Curgerea fluidelor în jurul aripilor9.3 Forţe hidrodinamice pe profil9.4 Rezistenţa indusă în cazul profilelor de anvergură finită

62


7070

Elemente de teoria valurilor


6/133

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1010.1 Ecuaţii de bază10.2 Valuri plane, călătoare, de mică amplitudine10.3 Grupuri de valuri10.4 Valul staţionar10.5 Valuri în lichid de adâncime finită

70


7677

Bibliografie

77

6

7

10

4

3940434448

535457

62646668

7071737474


7/133

CUVÂNT ÎNAINTEMetodele folosite în studiul mecanicii fluidelor pot fi metode teoretice şi experimentale.În cadrul primei metode, cea teoretică, studiul fenomenelor se face pe baza unor legi şiteoreme cu caracter general: legea conservării masei, legea conservării energiei, teoremeleimpulsului şi ale momentului cinetic etc. Aparatul matematic utilizat este destulde complex şicuprinde: calculul diferenţial şi integral, algebra şi analiza vectorială, funcţii de vabilă

complexă, calculul tensorial, tehnica electronică de calcul. Metoda experimentală estefolosită atât pentru verificarea ipotezelor teoretice cât şi ca metodă de rezolvare diraunor probleme concrete.Experimentările pot fi făcute fie direct pe prototip, adică în mărime naturală, fie pemodele realizate la scară. În acest ultim caz, reproducerea sistemului fizic din natură pemodel, se numeşte modelare hidraulică şi se realizează cu ajutorul teoriei similitudini.Pornindu-se de la ideea unităţii fundamentale a naturii ± reflectată atât în asemănareastructurală a unor ecuaţii ce descriu fenomene din domenii diferite ale ştiinţei cât şiutilizarea aceloraşi concepte ± se utilizeză metoda analogică. O exemplificare în acestns

este analogia electro-hidodinamică.În tratarea problematicii propuse, am încercat şi, sper eu, am reuşit, utilizarea unordemonstraţii simple în care au fost introduse şi elemente cu caracter original.Lucrarea se adresează viitorilor specialişti în domeniul naval, ofiţerilor de marină, ade la maşină cât şi de la punte, dar şi altor categorii de ingineri pentru care mecanicfluidelor este o disciplină fundamentală.Hidromecanica este o parte a mecanicii fluidelor care se ocupă cu studiul lichidelor. Încursul de faţă ne-am propus următoarele obiective:- Dezvoltarea gândirii tehnice în ceea ce priveste funcţionarea instalaţiilor hidraulicprin prisma interpretãrii fenomene teoretice.- Însuşirea unor cunoştinţe de bază privind acţiunea dinamică a mediului marin asupranavelor şi structurilor portuare.

Pentru aplicaţii ne propunem rezolvarea unor probleme practice referitoare la curgereafluidelor în conducte şi cu suprafaţă liberă.

Autorul

5


8/133

1. Obiectul mecanicii fluidelorMecanica fluidelor studiază echilibrul şi mişcarea mediului fluid, uşor deformabil,precum şi acţiunea acestuia asupra corpurilor solide cu care intră în contact.Ca orice definiţie, nici aceasta nu este completă. O presupunem satisfăcătoare pentruînsuşirea elementelor de bază privind curgerea fluidelor prin şi pe lângă diferite corpcumar fi, de exemplu, o navă, pentru studiul principiilor de funcţionare şi exploatare ale maşinilorhidraulice şi pneumatice şi al mişcărilor cu suprafaţă liberă, cu referire specială asuvalurilor.Principalul scop al acestui curs este pregătirea cursanţilor pentru a-şi îndeplini

sarcinile de inginer şi de ofiţer de maşină atât pe mare cât şi în port.6


9/133

2. Proprietăţile fluidelorDupă cum se ştie, materia, din care sunt compuse şi fluidele, are o structură discretăşi discontinuă, fiind formată din microparticule (molecule, atomi etc.) care se află îninteracţiune.Mecanica fluidelor studiază fenomenele care au loc la scară macroscopică, scară lacare fluidele se comportă ca şi cum materia ar fi distribuită continuu.În acelaşi timp, spre deosebire de solide, fluidele nu au formă proprie fiind uşordeformabile.Un mediu continuu este omogen dacă la o temperatură şi la o presiune constantă,densitatea sa are aceeaşi valoare în orice punct.În fine, un mediu continuu şi omogen este izotrop dacă are aceleaşi proprietăţi în oric

direcţie în jurul unui anumit punct al masei sale.În cele ce urmează vom considera fluidul ca un mediu continuu, deformabil, omogen şiizotrop.Iată, în continuare, câteva din proprietăţile fizice ale acestui mediu.2.1. CompresibilitateaCompresibilitatea reprezintă proprietatea fluidelor de a-şi modifica volumul subacţiunea variaţiilor de presiune. Pentru a evalua cantitativ această proprietate, utilizăm ovaloare fizică, numită coefficient de compresibilitate izotermă, , care este definit e relaţia:

1 dV m 2

,V dp N

(2.1)

în care dV reprezintă variaţia elementară a volumului iniţial sub acţiunea variaţiei denedp.Coeficientul este intrisec pozitiv; semnul minus care apare în relaţia (2.1) ia înconsiderare faptul că volumul şi presiunea au variaţii inverse, adică dV/ dp < 0.Inversul coeficientului de compresibilitate izotermă se numeşte modul de elasticitate şieste dat de relaţia:

dp N 1(2.2)K V.dV m 2 Scriind relaţia (1.2) sub forma:dpdV(2.3) ,V

Kputem observa analogia cu legea lui Hook:dl (2.4) .lEa. compresibilitatea lichidelorÎn cazul lichidelor, a fost dovedit experimental că modulul de elsticitate K, şi implicit,


10/133

coeficientul , variază foarte puţin cu temperatura (aproximativ 10% în intervalul 0 0 C ) şisunt constante pentru variaţii ale presiunii în limite destul de largi. În tabelul (2.1) suntprezentate valorile acestor coeficienţi pentru diferite lichide la temperatura de0 0 C şipresiunea p 200 bar.

7


11/133

Tabelul 2.1.

Lichid

m

2

K

N / m

2

Apă

/N5,12 10 10

1,95 10 9

Petrol

8,66 10 10

1,15 10 9

Glicerină

2,55 10 10

3,92 10 9

Mercur0,296 10 10

33,7 10 9

De aceea, în cazul lichidelor, coeficientul poate fi considerat constant.În consecinţă, putem integra ecuaţia diferenţială (2.2) de la starea iniţială,caracterizată de volumul V 0 , presiunea p 0 şi densitatea 0 , la o anumită stare finlă, undeparametrii vor avea valorile V1 , p şi, respectiv, ; vom obţine succesiv:p

V

dV V p dp,V00

(2.5)

sau


12/133

V V0 e p p 0 .

(2.6)

b. compresibilitatea gazelorLa gaze, coeficientul de compresibilitate izotermă depinde foarte mult de presiune.Pentru gazele perfecte, compresibilitatea izotermă este descrisă de următoarearelaţie :pV = const., care, prin derivare, devine:

dpdV.pVComparând această relaţie cu (2.3), putem scrie:1K p.

(2.8)

(2.9)

Rezultă deci că, pentru gazele perfecte, modulul de elasticitate este egal cupresiunea.2.2 Dilatarea termicăDilatarea termică reprezintă proprietatea fluidelor de a-şi modifica volumul subacţiunea variaţiilor de temperatură. Cantitativ, această proprieate este caracterizatăde coeficientul de dilatare izobară, definit de relaţia:

1 dV(2.10)

,V dTunde dV reprezintă variaţia elementară a volumului iniţial V sub acţiunea variaţiei detemperatură dT. Coeficientul este pozitiv pentru toate fluidele, exceptând apa, care

8


13/133

înregistrează o densitate maximă (volum specific minim) la 4 0 C ; de aceea, pentru apa lat 4 0 C vom avea 0.În general, variază foarte puţin în raport cu temperatura, de aceea el poate ficonsiderat constant. În anumite situaţii, integrând ecuaţia (2.10) între limitele V 0 ş,respectiv, T0 şi T, vom avea:V(2.11)ln T T0 ,

V0sau(2.12)V V0 e T T0 .Împărţind relaţia (1.12) la masa fluidului, m V 0V0 , vom obţine funcţia de starpentru fluidele incompresibile:(2.13) 0 e T T0 ,În cazul gazelor perfecte, valoarea coeficientului se obţine derivând ecuaţiaVtransformării izobare const. ; vom avea:T

V(2.14)dV const. dT dT ,Tcare, înlocuită în (1.10) ne permite să scriem:1(2.15) .TAstfel, pentru gazele perfecte, coeficientul este inversul temperaturii absolute.2.3 Mobilitatea

În cazul fluidelor, forţele de coeziune moleculară au valori foarte mici, dar ele nu suntnule.La scară macroscopică, această proprietate poate fi redusă la faptul că două particulede fluid care sunt în contact pot fi separate prin acţiunea unor forţe externe foartemici. Înacelaşi timp, particulele de fluid pot aluneca una faţă de alta, producând eforturi tanenţialerelativ mici.Ca rezultat, din punct de vedere practic, fluidele pot dezvolta numai eforturi decompresie.În cazul unei deformări la volum constant, eforturile de compresie sunt riguros nule

;ca rezultat, schimbarea formei fluidului cere creşterea eforturilor tangenţiale, care sunt foartemici. Lucrul mecanic exterior consumat va fi de asemenea mic, practic neglijabil.Se spune că fluidele au o mare mobilitate, adică au proprietatea de lua forma vaselor(recipienţilor) în care sunt puse. În consecinţă, putem sublinia că gazele, deoarece nuvolum propriu, au o mai mare mobilitate decât lichidele (un gaz introdus într-un container ia


14/133

atât forma cât şi volumul containerului).2.4. ViscozitateaViscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune mişcării relative a particulelorsale.Vom considera mişcarea unidimensională a lichidului care are loc în straturisuprapuse, în planul xOy, de-a lungul unei plăci (fig.2.1).

9


15/133

Fig. 2.1Măsurătorile experimentale au arătat că viteza creşte cu cât ne depărtăm de placă, îndirecţia axei Oy şi este nulă în imediata vecinătate a plăcii. Grafic, dependenţa v freprezentată de curba . Acest experiment simplu subliniază două aspecte, şi anume:- fluidul aderă la suprafaţa corpului solid cu care este în contact:- în interiorul fluidului şi la contactul său cu suprafeţele solide, eforturile tangenţegenerate determină variaţia vitezei. Astfel, considerând două straturi de fluid,paralele, în planul xOy, având o distanţă elementară între ele dy, vom înregistra odvvariaţie de viteză dy , datorită frecărilor care apar între cele două straturi.

dyPentru a determina eforturile de frecare, Newton a utilizat relaţia :dv(1.16) ,dycare astăzi îi poartă numele. Această relaţie, verificată de Coulomb, Poisseuille şi Pearată că efortul de frecare este proporţional cu gradientul de viteză. Factorul deproporţionalitate se numeşte viscozitate dinamică.Dacă reprezentăm grafic dependenţa f dv / dy vom obţine curba 1 (fig.1.2) , undety .Fluidele care respectă legea de frecare (1.16) se numesc fluide Newtoniene (apa,aerul etc). Dependenţa de eforturile tangenţiale a gradientului de viteză nu este lini

ară (curba2, fig. 1.2) pentru o serie de alte fluide, în general de natură organică. Aceste fluide suntnumite global ne-Newtoniene.

Fig. 2.2Unităţile de măsură pentru viscozitatea dinamică sunt:- în sistemul internaţional (SI): N 2s Kgmsm- în vechiul sistem CGS: dyn 2 s g .

cm scm10

(2.17)

(2.18)


16/133

Unitatea de măsură pentru viscozitatea dinamică în sistemul CGS este numităªpoiseº, şi are simbolul P.

1

Kg 10 P .ms

(2.19)

Se poate determina viscozitatea dinamică a lichidelor cu ajutorul viscozimetruluiHöppler, al cărui principiu de lucru se bazează pe proporţionalitatea dintreviscozitatea dinamică şi timpul de cădere a unei bile într-un tub înclinat ce conţinelichidul analizat.Viscozitatea cinematică a fluidelor este raportul dintre viscozitatea dinamică şidensitatea sa:

.

(2.20)Unităţile de măsură ale viscozităţii cinematice sunt:- în sistemul internaţional :

m

2

.s- în vechiul sistemul CGS:cm 2

s

(2.21)

(2.22)

sau ªstokesº (simbol ST):

cm 2m2.(2.23)

10 4ssIndiferent de tipul viscozimetrului folosit (Ubbelohde, Vogel-Ossag etc), determinareaviscozităţii cinematice se face prin înmulţirea timpului (exprimat în secunde) în care lumfix de lichid trece printr-un tub capilar calibrat, în condiţii normale, şi constantaaparatuluirespectiv.


17/133

Viscozitatea convenţională este foarte des utilizată în practica actulă; această mărimeeste determinată măsurând timpul în care un anumit volum de fluid curge printr-un aparaspecial, în condiţii alese convenţional. Mărimea acestei valori astfel determinate esteexprimată în unităţi convenţionale (ex. Engler, Saybolt, Redwood etc) care se deosebescprin condiţiile de măsurare, cât şi prin unităţile de măsură.Astfel, viscozitatea convenţională Engler, exprimată în grade Engler 0 E este raportuldintre timpul de curgere a 200 cm3 din lichidul analizat la temperatura dată şi timpul decurgere a aceluiaşi volum de apă distilată la temperatura de 20 0 C , printr-un viscozimetruEngler în condiţii standard.

1ST 1

11


18/133

Viscozitatea unui fluid depinde în mare măsură de temperatura sa. În general,viscozitatea lichidelor se diminuează cu creşterea temperaturii, în timp ce la gaze este invers.Dependenţa viscozităţii lichidelor faţă de temperatură poate fi determinată utilizândrelaţia lui Gutman şi Simons:

0 e

BB

CT T0

.

(2.24)

unde B şi C depind de natura lichidului analizat (pentru apă avem B= 511,6 0K and C= -149,40K).Pentru gate putem utiliza formula lui SutherlandT 0

T0

3/ 2

S T0.S T

(2.25)

unde S depinde de natura gazului (pentru aer S=123,6 0K).În relaţiile (1.24) and (1.25), şi 0 sunt viscozităţile dinamice ale fluidului latemperatura absolută T, respectiv la T0 273,15K (0 0 C ) .În tabelul 2.2 sunt prezentate viscozităţile dinamice şi cinematice ale aerului şi ale ila diferite temperaturi şi la presiune atmosferică normală.Tabelul 2.2.Temperatura0C

10

20

40

60

0,017


19/133

0,017

0,018

0,019

0,02

0,029

-

1,79

1,31

1,01

0,66

0,48

0,37

Aer1,26

13,3

14,1

15,1

16,9

18,9

20,9

A-pă

-

1,79

1,31

1,01

0,66

0,48

0,37

3 Kg 10 m s


20/133

AerApă

6 m2 10s

-10

0

0,016

80

Trebuie subliniat faptul că viscozitatea este o proprietate care se manifestă numai întimpul mişcării fluidelor.Un fluid cu viscozitatea riguros nulă este numit fluid perfect sau ideal.

Fluidele pot fi compresibile p sau incompresibile ( este constant în rapopresiunea). Trebuie subliniat că un fluid ideal compresibil este analog cu un gazideal(perfect) în termeni termodinamici.Mişcarea fluidelor poate fi :- uniformă - v = constant ;- permanentă (nu depinde de timp) - v = v (x,y,z) ;- variată - v = v (x,y,z,t).

12


21/133

Lucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 21. Coeficientul de compresibilitate izotermă se măsoară în:a. N/m2; b. m2/N; c. Kg/ms; d. ms/Kg.R: b2. Modulul de elasticitate al fluidelor K se măsoară în:a. N/m2; b. m2/N; c. Kg/ms; d. ms/Kg.R. a3. In mişcarea permanentă:a. v = constant;b. v = v(x,y,z);c. v = v(x,y,z,t);

d. p = constant.R. b4. In mişcarea uniformă:a. v = constant;b. v = v(x,y,z);c. v = v(x,y,z,t);d. p = constant.5. In mişcarea variată:a. v = constant;b. v = v(x,y,z);c. v = v(x,y,z,t);d. p = constant.6. Coeficientul de proporţionalitate dintre efortul de frecare şi gradientul de vite

zădv/dy se numeşte:a. viscozitate cinematică;b. viscozitate dinamică;c. coeficient de compresibilitate;d. modul de elasticitate.R: bRăspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare12345

6babacb

13


22/133

3. Ecuatiile generale ale miscãrii fluidelor ideale.3.1. Ecuaţia lui EulerVom studia cazul cel mai general de mişcare printr-un volum , mărginit de suprafaţa , separat din masa unui fluid ideal (perfect) aflat în mişcare variată (fig.3.1).

Fig.3.1Volumul este situat într-un sistem de axe accelerat. Ecuaţiile care descriu mişcareafluidului prin volumul se vor obţine aplicând principiul lui d'Alembert. Cele trei caegorii deforţe care acţionează asupra fuidului sunt:- forţele masice, Fm ;

-forţele de inerţie, Fi ;

-

forţele de presiune, F p (cu efect echivalent; aceste forţe înlocuiesc acţiunea

fluidului din afara volumului ).Conform principiului lui d'Alembert, vom avea:

Fm Fi F p 0 .

(3.1)Ecuaţia (3.1) reprezintă de fapt forma vectorială a ecuaţiei lui Euler.Să stabilim expesiile matematice ale acestor forţe.Dacă F este forţa masică unitară (acceleraţia) care acţionează asupra fluidului dinvolumul , forţa masică elementară care acţionează asupra masei d , va fi:

d Fm Fd ,deci:Fm Fd .

(3.2)(3.3)

Deoarece viteza fluidului prin volumul este o funcţie vectorială de punct şi timp:v v r , t , asupra masei d care se mişcă cu viteza v va acţiona forţa elementară deinerţie:dv(3.4)d Fi d .dtForţa de inerţie pe întregul volum va fi:dv

Fi d .(3.5)dt

Dacă d este suprafaţa elementului asupra căruia acţionează presiunea p şi n versorul n la suprafaţă (Fig.3.1), forţa elementară de presiune este:


23/133

d F p pn d .(3.6)Ţinând cont de teorema lui Gauss-Ostrogradski, rezultanta forţelor de presiune va fi:14


24/133

F p p n d p d .

(3.7)

Înlocuind relaţiile (3.3), (3.5) şi (3.7) în ecuaţia (3.1), vom obţine:dv d 0 ,(3.8)

Fp dt Deci:1

dv,(3.9)F p dtsau1v(3.10)F p v v ,

tRelaţia (3.10) reprezintă forma vectorială a ecuaţiei lui Euler pentru mişcareanepermanentă a unui fluid ideal.Proiectând această ecuaţie pe un sistem de axe, vom obţine:

Fx

vv1 p v x v x

vx x v y x vz ; x txyz

Fy

v y


25/133

v y1 p v y v yvx vy vz ; y txyz

Fz

vv1 p v z v zvx z v y z vz . z txyz

(3.11)

3.2 Ecuaţia de stareDin punct de vedere termodinamic, starea unui sistem poate fi determinată măsurândvalorile câtorva caracteristici fizice (presiune, volum, temperatură, densitate etc.).Între parametrii de stare ai sistemului termodinamic există relaţii de legătură exprimaprin legile fizicii. În cazul sistemului omogen există o relţie implicită care reprezinlegăturadintre trei parametri, de forma:

F p, , T 0 .

(3.12)

Adăugând ecuaţia lui Euler (3.10) şi ecuaţia de continuitate (2.54) ecuaţiei de stare(3.12) obţinem un system de trei ecuaţii cu trei necunoscute: v r , t , r , t , p r, t , care nepermite să rezolvăm problemele generale de mişcare şi de repaus ale fluidelor ideale.

3.3. Ecuaţia lui BernoulliEcuaţia lui Bernoulli se obţine integrând ecuaţia lui Euler scrisă sub o formă diferităforma Euler ± Lamb, care subliniază natura rotaţională sau nerotaţională a mişcării flu

ideal (vezi anexa):15


26/133

v2vF p 2t1

v

rot v .

(3.13)

Considerând cazul când forţele masice derivă dintr-un potenţial U, deci forţeconservative (energia mecanică, cinetică şi potenţială, fiind constantă), vom avea:

F U .

(3.14)

În cazul fluidelor compresibile, când p , vom introduce funcţia:P

dp. p

(3.15)

1p . p

(3.16)Astfel:P

Ecuaţia (3.13) ia forma:

v2 U P 2

v v rot v . t

(3.17)

Ecuaţia (3.17) poate fi integrată uşor în anumite cazuri particulare:v 0 , şi:


27/133

t

În cazul mişcării permanente

- de-a lungul unei linii de curent:dx dy dz,vx v y vz-

dx

x

(3.18)

de-a lungul unei linii de vârtej:dy dz,

y(3.19)

z

în cazul mişcării potenţiale sau irotaţionale, rot v 0 :x y z 0,(3.20)

-

în cazul mişcării elicoidale (vectorul viteză este paralel cu vectorul vârtej):

vx

x

vy

y

vz

z

.

(3.21)

Multiplicând ecuaţia (3.17) cu d r , vom obţine, în condiţiile curgerii (


28/133

v2 d U P d r v rot v .2

(3.22)

Deoarece rot v 2 , vom avea:2vd U P2

dx dy dz

2 v v v .xyz x

y

(3.23)

z16

v 0 ):t


29/133

Determinantul este zero pentru una din situaţiile de mai sus. Integrând în acestecazuri, vom obţine ecuaţia lui Bernoulli:

U P

v2C.2

(3.24)

Dacă fluidul este incompresibil, atunci P

p

.

Considerând un sistem de axe cu planul apei xOy şi Oz orientat în sus, potenţialul Uva fi:U gz C .

(3.25)

Rezultă binecunoscuta ecuaţie a lui Bernoulli sub forma sarcinilor:v2 p z C.2g

(3.26)

v2reprezintă înălţimea la care s-ar ridica în vid un punct material2garuncat în sus cu o viteză iniţială v, egală cu viteza particulei de lichid considerată

Sarcina cinetică

Sarcina piezometrică

peste înălţimea coloanei de lichid corespunzătoare presiunii p.

Sarcina de poziţie z reprezintă înălţimea particulei de lichid faţă de un plan de referales.Ecuaţiea lui Bernoulli, ca ecuaţie a sarcinilor, poate fi formulată astfel: în regimul ecurgere permanent al unui fluid ideal, incompresibil, supus acţiunii unor forţeconservative, suma sarcinilor cinetice, piezometrice şi de poziţie se menţine constantă

de-a lungul unei linii de current.Multiplicând relaţia (3.26) cu greutatea specifică vom obţine ecuaţia lui Bernoulli sforma presiunilor:

v2 p z C ,2


30/133

(3.23)

Unde:

v22

presiunea dinamică;

ppresiunea piezometrică (statică);

z

presiunea de poziţie.

Multiplicând relaţia (3.26) cu greutatea fluidului G, obţinem ecuaţia lui Bernoulli subforma energiilor:G

p

v2G G z C ,2g

(3.24)

unde:v2G- energia cinetică;2g

17


31/133

G

p

Gz

- energia de presiune;- energia de poziţie.

Ultimele două formează energia potenţială.3.4. Reprezentarea grafică şi interpretarea energetică a ecuaţiei lui Bernoullipentru lichideÎntorcându-ne la ecuaţia (3.27) şi considerând C = H (fig.3.2) vom avea:

v2 p zH.2g

(3.25)

Fig.3.2

Suma tuturor termenilor ecuaţiei lui Bernoulli reprezintă energie totală (potenţială şicinetică) în raport cu unitatea de greutate a particulei de lichid.Această energie măsurată faţă de un plan de referinţă N-N, arbitrar ales, se numeşteenergie specifică şi ea rămâne constantă în timpul mişcării permanente a fluidului ideaincompresibil, aflat sub acţiunea forţelor de gravitaţie şi al forţelor de presiune.3.5 Ecuaţia de continuitateConsiderăm în masa fluidului aflat în mişcare un volum oarecare limitat de osuprafaţă fictivă 1 , (fig. 3.3). Am folosit cuvântul fictivă pentru a sublinia faptuprafaţaeste străbătută de linii de curent.Fie un volum elementar de fluid d , având densitatea şi masa dm :(3.26)dm d .

Integrăm această relaţie pe volumul , şi obţinem :(3.27)m dt .

18


32/133

Fig. 3.3Variaţia în unitate de timp a masei de fluid din volumul se obţine scriind :m (3.28)rdt . t t tDacă masa, m , conţinută de volumul creşte, în conformitate cu legea conservăriimasei, variaţia ei în unitate de timp va fi egală cu debitul masic care, intrând în voll prin punctele suprafeţei va produce această creştere. Vom putea scrie :

d v n d ,t

(3.29)

în care d reprezintă un element al suprafeţei , având versorul normalei n . Semnul mcare apare în această relaţie ia în considerare faptul , că în acest caz, viteza v şi nnfac un unghi

.2Subliniem că aceeaşi ecuaţie se obţine şi în situaţia în care fluidul iese din volumulm( ), deci masa acestui volum scade ( 0 ).2tUtilizând formula lui Gauss-Ostrogradski vom pune ecuaţia (3.29) sub forma : d

dt ( v)d 0 .Această integrală este nulă pentru orice volum oricât de mic; în consecinţă vomputea scrie :d(3.30) ( v ) 0 .dtŢinând seama de relaţiile :( v) v v ,şi :d

v ,dttecuaţia (3.30) poate fi pusă sub forma :d(3.31) v 0 ,dtcare reprezintă forma generală a ecuaţiei de continuitate.Pentru un fluid incompresibil, densitatea fiind constantă, ecuaţia (3.31) devine :


33/133

v 0 ,(3.32)care într-un sistem cartezian de axe, ia forma :v x v y v z(3.33) 0.xyz

19


34/133

3.6 Teorema impulsului şi teorema momentului impulsuluiConsiderăm un volum de fluid. Acest fluid este omogen, incompresibil, de densitater , mărginit de o suprafaţă s. Volumul elemen

a

d a

e vi

eza v .Impul

ul elemen

a

va fi :(3.34)d I v d .În acelaşi timp :dI(3.35) Fi .dt

Dar :(3.36)Fm Fp Fi 0 ,principiul lui d'Alembert.Prin urmare :dI(3.37) Fm Fp Fe .dtDerivata totală a impulsului, în raport cu timpul este egală cu rezultanta F e a forţelrexterioare, sau(3.38)

Fe M e ve M i vi ,unde Mi , Me sunt debitele masice prin suprafeţele de intrare/ieşire.¹În regim de mişcare permanent şi fără frecări , suma vectorială a forţelor exterioare,care acţionează asupra fluidului dintr-un volum oarecare , esta egală cu diferenţa diefluxul impulsului prin suprafaţa de ieşire (din volumul ) şi impulsul prin suprafaţa intrare(în volumul )º.Notăm:r - vectorul de poziţie corespunzător centrului de greutate al volumului originea sistemului de referinţă.Momentul de inerţie elementar faţă de punctul O (originea) este :dv d

(3.39)dMi r d r v d .dtdtŢinând seama că :ddrdv

dvdvrv v r vv r r , (3.40)dtdtdtdt


35/133

dtatunci :dM i d M i r v d .(3.41)dtDacă :d I vd este impulsul elementar, atunci:

faţă de

(3.42)d k r v d

reprezintă mometul impulsului elementar, iar momentul impulsului va fi:k r v d .(3.43)

Dacă derivăm în raport cu timpul, obţinem:dkd r v d M i .(3.44)dt dtDerivata momentului rezultant al impulsului în raport cu timpul este egal cu momen

tulrezultant al forţelor de inerţie luat cu semn schimbat.20


36/133

Sau:dk(3.45) M m M p M ex ,dtunde ,Mm ± momentul forţelor masice;Mp ± momentul forţelor de presiune;Mex ± momentul forţelor exterioare;Notăm:roe, roi - vectorul de poziţie corespunzător centrului de greutate pentru suprafeţele

deieşire/intrare. Atunci:(3.46)M ex M e roe ve M i roi vi .

¹În mişcarea permanentă a fluidelor ideale, suma vectorială a momentelor forţelorexterioare care acţionează asupra unui volum , este egală cu fluxul momentului impulsluiprin suprafaţa de ieşire minus fluxul momentului impulsului prin suprafaţa de intrare.ºLucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 31. Ecuaţia lui Euler.2. Ecuaţia de continuitate.3. Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fluid ideal.4. Ecuaţia liniei de curent este:dx dy dza.

;vx v y vzdx dy dzb.;

x y zc. x y z 0 ;d.

vx

x

vy

y


37/133

vz

z

.

5. Ecuaţia liniei de vârtej este:dx dy dz

a.;vx v y vzdx dy dzb.;

x y zc. x y z 0 ;

d.

vx

x

vy

y

vzz

.

6. In cazul mişcării potenţiale, avem:dx dy dza.;vx v y vz

dx dy dzb.;

x y zc. x y z 0 ;

d.


38/133

vx

x

vy

y

vz

z

.21


39/133

7. In cazul mişcării elicoidale, avem:dx dy dza.;vx v y vz

dx

b.

dy

vy

dz

vz

;

x y zc. x y z 0 ;d.

vx

x

y

z

.

8. Formulaţi teorema impulsului.9. Formulaţi teorema momentului impulsului.10. Formulaţi teorema lui Kutta-Jukovski.Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluareab

cd

5678

4. Ecuaţiile staticii fluidelorStatica fluidelor ± hidrostatica ± este partea mecanicii fluidelor care studiază condiţ


40/133

ilede repaus ale fluidelor şI acţiunea lor în timpul stării de repaus, asupra corpurilor slide cucare intră în contact.Hidrostatica este identică pentru fluidele ideale şi reale, deoarece viscozitatea începesă se manifeste numai în timpul mişcării. În hidrostatică nu există noţiunea de timp.4.1 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticiiÎn ecuaţia lui Euler (3.9) facem v 0 . Vom obţine:F

1

p 0.

(4.1)

Multiplicăm apoi peste tot cu d r :Fd r

1

p dr 0.

(4.2)

sauFx dx Fy dy Fz dz

dp

.(4.3)

Dacă axa Oz of a sistemului xOyz este verticală, orientată în sus, atunci:Fx Fy 0 ,

Fz g ,

şi ecuaţia (4.3) devine:

22


41/133

gdz

dp

0.

(4.4)

În cazul lichidelor ( = cons.), integrând ecuaţia (4.4) vom obţine:

gz

p

const.

(4.5)

sauz

p

const.

(4.6)

saup z const.

(4.7)

Ecuaţia (4.7) se numeşte ecuaţia fundamentală a hidrostaticii.Dacă p 0 este presiunea la suprafaţa apei (în rezervoarele deschise presiuneaatmosferică), presiunea p într-un punct situat la distanţa h de suprafaţă, va fi (fig.4:

Fig.4.1p z 2 p0 z1 ,

(4.8)

p p0 h .

(4.9)

p este presiunea absolută în punctul 2, şi h este presiunea relativă.4.2 Interpretarea geometrică şi fizică a ecuaţiei fundamentale a hidrostaticii(fig.4.2)

Fig.4.2Conform (4.6) putem scrie:

p1


42/133

1

z1

p2

2

z2 .

(4.10)

23


43/133

În fig.4.2 avem:p- înălţimea piezometrică corespunzătoare presiunii hidrostatice absolute;z1, 2 - cota faţă de un plan arbitrar (înălţimea de poziţie).

4.3 Principiul lui PascalRescriem ecuaţia fundamentală a hidrostaticii între punctele 1 şi 2:

p1 z1 p 2 z 2 .

(4.11)Presupunând că în punctul 1 presiunea înregistrează o variaţie p1 , ea devinep1 p1 . Pentru ca starea de echilibru să nu fie alterată, în punctul 2 va fi înregisvariaţie de presiune p 2 . Atunci:

p1 p1 z1 p 2 p 2 z 2 .

(4.12)

Ţinând cont de (4.11), rezultă:

p1 p 2 .

(4.13)

Principiul lui Pascal poate fi enunţat astfel:Orice variaţie de presiune creată într-un anumit punct al unui fluid incompresibil aflatîn echilibru se transmite cu aceeaşi intensitate în orice alt punct din masa fluidului.4.4 Principiul vaselor comunicanteSă considerăm două vase comunicante (Fig. 4.3) care conţin două lichide nemiscibile,cu greutăţile specifice 1 şi, respectiv, 2 . Scriind egalitatea presiunilor în punc1 şi 2,situate în acelaşi plan orizontal N ± N, care conţine şi suprafaţa de separare a celor

lichide, vom avea:p 0 1 h1 p 0 2 h2 ,

(4.14)

sau:

h1 2,h2 1

(4.15)

unde h1 şi h2 sunt înălţimile coloanelor de lichid care, conform relaţiei, sunt inversproporţionale cu greutăţile specifice ale celor două lichide.

24


44/133

Fig.4.3Dacă 1 2 , atunci h1 h2 .În două sau mai multe vase comunicante, care conţin acelaşi lichid (omogen şiincompresibil), suprafaţa lor liberă se află în acelaşi plan orizontal.4.5 Forţele hidrostaticeForţa de presiune care acţionează asupra solidelor este determinată cu relaţia:

F p ndA ,

(4.16)

Aunde dA este suprafaţa elementului având versorul n , iar p este presiunea relativă afluidului.Să considerăm A o suprafaţă verticală care limitează un fluid incompresibil cugreutatea specifică (Fig.4.4).

Fig.4.4Atunci forţa de presiune hidrostatică va fi:

F zdA z 0 A M y ,

(4.17)

A

unde:

z 0 - cota centrului de greutate al suprafeţei A;M y - momentul static al suprafeţei A în raport cu axa Oy.

Punctul de aplicaţie al forţei de presiune F se numeşte centru de presiune. El areurmătoarele coordonate:

25


45/133

zdFA

F

z 2 dA zdA

IyMy

,(4.18)

ydFA

F

yzdA zdA

I yzMy

.I y - momentul de inerţie al suprafeţei A în raport cu axa Oy;

I yz - momentul centrifugal al suprafeţei A în raport cu axele Oy şi Oz.Presiunea hidrostatică care acţionează asupra fundului unui recipient nu depinde decantitatea de lichid, ci de înălţimea lichidului şi de secţiunea fundului din acel recint.Afirmaţia de mai sus reprezintă paradoxul hidrostatic şi este ilustrat în Fig. 4.5. Forcare presează asupra fundului a trei recipienţi diferiţi este aceeaşi deoarece nivelul ichiduluieste acelaşi, ca şi suprafaţa fundului recipienţilor.

Fig. 4.54.6 Principiul lui ArhimedeSă consideră un corp solid, de formă cilindrică, scufundat într-un lichid; vom calcularezultanta forţelor de presiune care acţionează asupra lui (Fig. 4.6).Rezultanta forţelor orizontale Fx

şi Fx

este evident nulă:

Fx

z 0 Ax ,

(4.19)


46/133

Fx

z 0 Ax .

Fig.4.626


47/133

Forţele verticale vor avea valorile:

Fz

z1 Az ;

(4.20)

Fz

z 2 Az .Rezultata lor va fi:Fz Fz

Fz

Az z 2 z1 Az h V .

(4.21)

Această demonstraţie poate fi uşor extinsă asupra corpurilor de orice formă:Un corp scufundat într-un lichidgreutatea volumului de licid dezlocuit.

este împins de jos în sus cu o forţă egală cu

Acesta este Principiul lui Arhimede.4.7. Plutirea corpurilorUn corp liber, parţial scufundat într-un lichid, se numeşte corp plutitor sau pur şisimplu plutitor. G este centrul lui de greutate.Partea submersă reprezintă opera vie - carena. Centrul de greutate al volumului deapă dezlocuit se numeşte centru de carenă.

Suprafaţa liberă a lichidului se numeşte plan de plutire.Intersecţia dintre planul de plutire şi plutitor este suprafaţa de plutire. Centrul ei degreutate este centrul de plutire, iar curba care înconjoară suprafaţa de plutire reprezintă liniade plutire.Pentru ca un plutitor să fie în echilibru este necesar ca suma forţelor care acţioneazăasupra sa ca şi rezultanta momentelor să fie nule.Asupra unui plutitorului din Fig. 4.7 acţionează două forţe: forţa Arhimede şi forţa degreutate ± numită şi deplasament(D = mg).

Fig.4.7

Condiţia de echilibru este:D mg V ,

(4.22)

Unde m este masa plutitorului, V este volumul carenei (volumul de lichid dezlocuit) şi

este greutatea specifică a lichidului. Cu D am notat greutatea plutitorului (în domeniulnaval greutatea totală a navei ± deplasamentul).Pentru ca momentul rezultant să fie nul trebuie ca cele două forţe să se afle pe

aceeaşi verticală sau, cu alte cuvinte, centrul de greutate G să se afle pe aceeaşi line cucentrul de carenă C.Ecuaţia (4.22) se numeşte ecuaţia de flotabilitate.

27


48/133

Stabilitatea este proprietatea plutitorului (calitatea nautică a unei ambarcaţiuni ±vapor) de a reveni la poziţia iniţială de echilibru după ce acţiunea forţelor (momentelperturbatoare a încetat.Dacă considerăm un sistem cartezian de axe Oxyz, având planul xOy drept plan deplutire şi axa Oz orientată în sus (Fig.4.8), plutitorul va avea 6 grade de libertate: trei translaţiişi trei rotaţii. Rotaţiile în jurul axelor Ox şi Oy sunt cele mai importante din punct vedere alstabilităţii. La o navă, aceste înclinări sunt datorate acţiunii vântului şi valurilor.Prin definiţie, rotaţia plutitorului astfel încât volumul de lichid dezlocuit ( volumulcarenei) să rămână neschimbat ca valoare ± dar diferit ca formă ± se numeşte înclinare

izocarenă.Să considerăm L0 L0 planul iniţial de plutire. După înclinarea izocarenă în jurul axeOx sau Oy planul de plutire va fi L1 L1 (am înclinat planul, nu plutitorul, pentru oreprezentare mai sugestivă). În secţiune planurile de plutire devin linii de plutire (Fig. 4.8).Dacă iniţial centrul de carenă va fi C 0 , după înclinarea izocarenă cu unchiul , cende carenă se va muta în C1 . Mutarea are loc datorită modificării formei volumului de crenă.Împingerea Arhimede va fi, şi după înclinare, perpendiculară pe planul plutirii.Centrul de greutate G rămâne în acelaşi loc. Numai direcţia forţei de greutate seschimbă pentru a fi perpendiculară pe planul de plutire.Locul geometric al poziţiilor succesive ale centrului de carenă în timpul înclnărilor s

numeşte curba centrelor de carenă (traiectoria C). Centrul de curbură al curbei centrelor decarenă se numeşte metacentru, iar raza sa de curbură, rază metacentrică.Pentru înclinările în jurul axei longitudinale Ox (ruliu) ± vom vorbi de metacentrultransversal M şi de raza metacentrică transversală r (Fig.4.8 a).Pentru înclinările în jurul axei transversale Oz (tangaj) ± vom vorbi de metacentrullongitudinal şi de raza metacentrică longitudinală R (Fig.4.8 b).

Fig.4.8 a, bDiscutând despre înclinările transversale ale plutitorului, izocarene, cu unghi mic, centrul de carenă se va muta din C în C1 (Fig.4.8 a). În acest caz forţa de flotabilitae(Arhimede) V , normală pe linia de plutire L1 L1 , având punctul de aplicaţie în C1

iparalelă cu forţa de greutate (deplasamentul) plutitorului.Ca urmare, cele două forţe vor forma un moment, M r , care va fi dat de relaţia:28


49/133

M r D h sin ,

(4.23)

undeh r a

(4.24)

se numeşte înălţime metacentrică şi este distanţa pe verticală dintre metacentru şi cengreutate; notând cu z G şi z C cotele centrelor de greuate, respectiv de carenă, faţă d

n plande referinţă, vom avea:

a zG zC .

(4.25)

Înălţimea metacentrică exprimată prin relaţia (4.24) poate fi pozitivă, negativă saunulă. Vom analiza fiecare din cele trei cazuri:a) dacă h > 0, metacentrul va fi deasupra centrului de greutate şi momentul M r , dat derelaţia (4.24) va fi de asemenea pozitiv. Din Fig.4.8 a putem observa că momentul Mr va

tinde să readucă plutitorul în poziţia iniţială L0 - L0 ; din această cauză este numit de redresare. În acest caz plutitorul va fi stabil.b) dacă h < 0, metacentrul va fi sub centrul de greutate (fig.4.9 a). Putem observa cămomentul M r va fi negativ şi va înclina plutitorul şi mai mult. În acest caz, plutitorl va fiinstabil.c) dacă h = 0, metacentrul şi centrul de greutate se suprapun (Fig.4.9 b). În consecinţmomentul de redresare va fi nul şi corpul va pluti în echilibru înclinat. Şi în aceastăsituaţie plutirea este instabilă.

Fig.4.9 a, bDeci condiţia de stabilitate a plutirii este ca metacentrul să se găsească deasupra

centrului de greutae:h r a 0.

(4.26)

Conform (4.24) şi (4.23), putem scrie:M r Dr a sin D r sin D a sin M f M g , (4.27)

unde:29


50/133

M f D r sin ,

(4.28)

se numeşte momentul stabilităţii de formă şi:M g D a sin ,

(4.29)

momentul stabilităţii de greutate.Ca urmare, pe baza relaţiei (4.27) putem considera momentul de redresare ca suma

algebrică a acestor două momente.În cazul înclinărilor mici, longitudinale, consideraţiile prezentate mai sus îşi păstrevalabilitatea, momentul de redresare fiind în acest caz:

M r D H sin DR a sin ,

(4.30)

undeH Ra .

(4.31)

reprezintă înălţimea metacentrică longitudinală şi R raza metacentrică longitudinală.Deoarece H este mult mai mare decât h nu se pune problema unei instabilităţilongitudinale a unei nave. Mişcările de tangaj nu pot produce răsturnarea navei. Estemotivulpentru care nava se pune perpendicular pe val.Lucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 41. Enunaţi trei principii ale staticii fluidelor.2. Inălţimea metacentrică reprezintă:a. distanţa dintre metacentru şi centrul de greutate;b. distanţa dintre metacentru şi centrul de carenă;c. distanţa dintre centrul de greutate şi centrul de carenă;d. distanţa dintre metacentru şi chilă.3. Raza metacentrică reprezintă:

a. distanţa dintre metacentru şi centrul de greutate;b. distanţa dintre metacentru şi centrul de carenă;c. distanţa dintre centrul de greutate şi centrul de carenă;d. distanţa dintre metacentru şi chilă.4. Ecuaţia fundamenatală a hidrostaticiiRăspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare23

ab

30


51/133

5. Mişcarea potenţială (irotaţională)Mişcarea potenţială este caracterizată prin faptul că vectorul vârtej este nul ± mişcarirotaţională (vezi şi cap. 2.2).12

rot v 0 ,

(5.1)

Dacă este nul, componentele sale pe cele trei axe sunt de asemenea nule:

1

vv

y0 , x z 2 yz

1 vx vz 0 ,

2 zx 1 v y vx 0 . z 2 xy

y

(5.2)

sau vz vy,yz vx vz,zx vy vx

.xy

(5.3)

Relaţiile (5.3) sunt satisfăcute numai dacă viteza v derivă dintr-o funcţie :

vx


52/133

, vy , vz ,xyz

(5.4)

sau vectorial:v .

(5.5)

Într-adevăr:rot v rot grad 0 .

(5.6)

Funcţia x, y, z, t se numeşte potenţialul vitezelor.Dacă aplicăm ecuaţia de continuitate la lichide,

v x v y v z 2 2 2 2 2 2 0,xyzxyz

(5.7)

vom observa că funcţia verifică ecuaţia lui Laplace: 0 ,

(5.8)

deci este o funcţie armonică.

31


53/133

5.1 Mişcarea plană potenţialăMişcarea fluidelor se numeşte plană sau bidimensională dacă toate particulele care segăsesc pe aceeaşi perpendiculară la un plan fix, numit plan director, se mişcă paralel acest plan, cu viteze egale.Dacă planul director coincide cu planul xOy, atunci v z 0 .O mişcare plană devine unidimensională dacă componentele v x şi v y ale vitezeifluidului depind numai de o coordonată spaţială.Pentru mişcarea plană, ecuaţia liniei de curent va fi:

dx dy,vx v y

(5.9)

sau:

v x dy v y dx 0 ,

(5.10)

iar ecuaţia de continuitate: vx v y

0.xy

(5.11)

Partea stângă a ecuaţiei (5.10) este o diferenţială totală exactă a funcţiei , numităfuncţie de curent.vx

,, vy yx

(5.12)

d v x dy v y dx 0 .

(5.13)

Funcţia verifică ecuaţia de continuitate (5.11): v x v y 2 2

0.xyxy yx

(5.14)


54/133

Funcţia este de asemenea o funcţie armonică:

1 v y v x 1 2 2 z 2 0 ,2 xy 2 x 2y

0 .

(5.15)(5.16)

Totalitatea punctelor în care funcţia echipotenţiale.

este constantă, defineşte suprafeţele

În cazul mişcării plane:

- constant, liniile echipotenţiale de viteză;

- constant, liniile de curent.Calculând circulaţia vitezei de-a lungul unei curbe, în masa fluidului, între punctele şiB (Fig. 5.1), vom avea :32


55/133

B

B

B

A

A

A

vd r d r d B A .

(5.17)

Astfel circulaţia vitezei nu depinde de forma curbei AB, ci numai de valorile funcţiei în A şi în B. Circulaţia vitezei este nulă de-a lungul unei linii echipotenţiale de vit( A B const. ).Dacă calculăm debitul de lichid prin curba AB în mişcarea plană potenţială (de faptprin suprafaţa cilindrică determinată de curba AB şi unitatea de lăţime), vom avea (Fig:

Fig.5.1Q v x dy 1 v y dx 1 d B A .B

B

A

A

(5.18)

Deci debitul care traversează o curbă nu depinde de forma ei, ci numai de valorile

funcţiei de curent în punctele sale extreme. Debitul printr-o linie de curent este A B const. . Este evident că viteza nu traversează linia de curent.O linie de curent este ortogonală cu o linie echipotenţială de viteză. Pentru ademonstra această proprietate, să luăm în considerare gradientul funcţiei scalare F carstenormal pe suprafaţa F = constant. Rezultă că vectorii şi sunt normali pe liniile curent şi pe liniile echipotenţiale de viteză.Calculând produsul lor scalar, vom obţine:

v x v y v x v y 0 .

x x y y

(5.19)

Deoarece produsul lor scalar este nul, rezultă că vectorii sunt perpendiculari, deciliniile de curent şi liniile echipotenţiale de viteză sunt curbe ortogonale.Revenind la expresiile lui v x şi v y : ;


56/133

x yvy .yxvx

(5.20)

Relaţiile(5.20) reprezintă condiţiile Cauchy-Riemann de monogeneitate ale funcţiilorde variabilă complexă. Orice mişcare plană potenţială poate fi descrisă cu ajutorul uneanalitice de variabilă complexă z x iy z re i .

Funcţia analitică:33


57/133

W z x, y i x, y ,

(5.21)

se numeşte potenţialul complex al mişcării plane potenţiale.Derivând (5.21) obţinem viteza complexă (Fig. 5.2): dW ii vx i v y ,dzxxyy

(5.22)

saudW

vcos i sin v e i .dz

(5.23)

Fig.5.2Având potenţialul complex, să stabilim câteva tipuri de mişcări plane potenţiale.5.2 Mişcarea rectilinie şi uniformăSă considerăm potenţialul complex:W z a z ,

(5.24)

unde a este o constantă complexă de forma:a v0 i v K ,

(5.25)

cu v 0 şi v K constante reale, positive.Relaţia (5.24) poate fi scrisă sub forma:W z i v0 x v K y v0 y v K x i ,

(5.26)

de unde găsim expresiile funcţiilor şi :

x, y v 0 x v K y , x, y v 0 y v K x .

(5.27)

Egalând aceste relaţii cu constante, obţinem ecuaţiile liniilor echipotenţiale şi ale lorde curent:v 0 x v K y C1 cons.


58/133

(5.28)

v 0 y v K x C 2 cons.

34


59/133

Din aceste ecuaţii ale ecuaţiile liniilor echipotenţiale şi ale liniilor de curent obsevămcă ele sunt drepte (Fig.5.3).

Fig.5.3Pantele lor sunt:tg 1

v0 0,vK

(5.29)

vtg 2 K 0 .v0

Putem uşor verifica ortogonalitatea acestor drepte scriind:

tg 1 tg 2 1 .

(5.30)

Derivând potenţialul complex, obţinem viteza complexă:dW a v0 i v K ,dz

(5.31)

care ne permite să stabilim componentele vitezei într-un anumit punct:v x v0 0 ,

(5.32)

v y vK 0.

Vectorul viteză va avea modulul:

v v 02 v K2 ,

(5.33)

şi va face cu axa Ox, unghiul 2 , dat de relaţia (5.29).Putem concluziona că potenţialul vector (5.25) descrie o mişcare rectilinie şi uniformăale cărei linii de curent fac unghiul 2 cu axa absciselor.Componentele vitezei pot fi obţinute de asemenea din relaţiile (5.20):

v0 ,x yvy vK .yxvx


60/133

(5.34)

35


61/133

Dacă particularizăm (5.25), făcând vk 0 , potenţialul complex (5.24) va lua forma:W z v0 z ,

(5.35)

care reprezintă mişcarea rectilinie şi uniformă pe direcţia axei Ox.Analog, făcând în relaţia (5.25) v 0 0 , vom avea:

W z i v K z ,

(5.36)

care reprezintă mişcarea rectilinie şi uniformă, cu viteza v K pe direcţia axei Oy.Mişcările descrise mai sus vor avea sens invers dacă expresiile corespunzătoare alepotenţialului complex vor avea semnul minus.5.3 Sursa (izvorul)Să considerăm potenţialul complex:W z

Qln z ,2

(5.37)

În care Q este o constantă reală, pozitivă.Scriind variabila complexă sub formă exponen-ţială z r e i , potenţialul complexdevine:

W z i

Qln r i ,2

(5.38)

de unde obţinem funcţiile şi :Qln r ,2Q.2

(5.39)

care egalate cu constante ne dau ecuaţiile liniilor echipotenţiale şi ale liniilor decurent:r const ,(5.40) const .Se poate observa că linile echipotenţiale sunt cercuri concentrice cu centrul în origineasistemului de axe, iar liniile de curent sunt drepte concurente în acest punct (Fig.5.4).


62/133

Fig.5.436


63/133

Ştiind că:x r cos and y r sin ,

(5.41)

în punctul M r , , componentele vitezei vor fi:

Q,r 2

r1

vS 0.r vr

(5.42)

Se poate observa că pe cercul de rază r viteza fluidului are un modul constant, fiindcoliniară cu vectorul radial în punctul considerat.O mişcare potenţială în care fluxul se face radial, astfel încât pe un cerc de rază dat

viteza este constantă ca modul, se numeşte sursă plană.Constanata Q care apare în relaţiile de mai sus se numeşte debitul sursei. Debitulsursei printr-o suprafaţă circulară de rază r şi lăţime unitară va fi:

Q 2 r v r 1 .

(5.43)

Analog potenţialul complex de forma:W z

Qln z ,

2

(5.44)

va reprezenta o absorbţie (puţ) deoarece, în acest caz, sensul vitezei este invers, fluidulmişcându-se din exterior către origine (va fi absorbit).Dacă sursa nu este plasată în originea sistemului de axe ci în punctul O1 , de imaginea ( a număr complex), atunci:W z

Qln z a .

2

(5.45)

5.4. VârtejulSă considerăm potenţialul complex:W z

iln z .


64/133

2

(5.46)

Unde este o constantă reală, pozitivă, egală cu circulaţia vitezei de-a lungul uneicurbe închise (cerc), care înconjoară originea sistemului de axe.Procedând la fel ca în cazul precedent, vom obţine funcţiile şi :

,2 ln r ,2

(5.47)

din care observăm că liniile echipotenţiale de viteză, de ecuaţii const. sunt dreptconcurente în originea sistemului de axe şi liniile de curent, de ecuaţii r const. , unt cercuriconcentrice cu centrul tot în originea sistemului de axe (Fig.5.5).

37


65/133

Fig.5.5Componentele vitezei sunt:vr

1 0 and v S 0.r

r

2r

(5.48)

Astfel, pe cercul de rază r, viteza este constantă ca modul, are direcţia tangentei lacerc în punctul considerat şi este orientată în sensul creşterii unghiului.Dacă centrul vârtejului nu este plasat în originea sistemului de axe ci în punctul O1 ,deimagine a ( a număr complex), atunci:W z

iln z a .

2(5.49)

5.5 Teorema lui Kutta-JukovskiSă considerăm un corp cilindric normal pe un plan complex, curba C fiind secţiuneadintre cilindru şi plan.În jurul acestei curbe curge un curent, plan potenţial, având potenţialul complex W zViteza la infinit a curentului, orientată în sensul negativ al axei Ox, este v .În acest caz rezultanta forţelor de presiune va avea componentele:Rx 0 ,(5.50)R y v 1.

Forţele sunt exprimate pe unitatea de lungime a corpului cilindric.A doua relaţie (5.62) este expresia matematică a teoremei lui Kutta-Jukovski, care vafi enunţată aici fără a fi demonstrată:Dacă un fluid cu densitatea curge în jurul unui corp cu circulaţia şi viteza la infv , acesta va acţiona asupra unităţii de lungime a corpului cu o forţă egală cu produ v , normală pe direcţia vitezei la infinit, numită forţă portantă (portanţă).Sensul portanţei se obţine rotind vectorul vitezei la infinit cucirculaţiei.

38

90 0 în sens invers


66/133

Lucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 51. Descrieţi mişcarea rectilinie şi uniformă.2. Descrieţi sursa.3. Descrieţi absorbţia (puţul).4. Descrieţi vârtejul.5. Sursa şi vârtejul plasate în origine au potenţialul complex ...1..., respectiv ...2.., încare z (în coordonate polare) = ¼3¼, Q = ¼4¼, G = ¼5¼1.

a.

Qln z2

b.

Qln z2

2. a.

Qln z2

3. a.

ei

b.

Qln z2

b.

e i

4. a. 2

v

5. a. 2

v

b. 2

v

b. 2

v

c.

iln z

2

c.

iln z2

c.

e ln


67/133

c. 2v

1

d.

iln z2

d.

iln z2

d. x+iy

d.

v

c. 2v

1

d.

v

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare5.

12345

bdaca

6. Dinamica fluidelor reale

6.1 Regimurile de mişcare ale fluidelorMişcarea fluidelor reale se poate efectua în două regimuri calitativ diferite : regimullaminar şi regimul turbulent.Aceste regimuri de mişcare au fost evedenţiate pentru prima oară de fizicianul englezOsborne Reynolds, în 1882, care a efectuat studii experimentale sistematice privindcurgerea apei prin conducte de sticlă, având dimetrul d = 5 ÷ 25 mm.Instalaţia experimentală utilizată este prezentată schematic în figura 6.1.

Fig. 6.139


68/133

Conducta transparentă 1, cu o intrare foarte îngrijit prelucrată , este alimentată derezervorul 2, plin cu apă, la un nivel constant.Debitul care curge prin conducta transparentă poate fi reglat prin intermediulrobinetului 3 şi măsurat cu ajutorul vasului gradat 6 şi a unui cronometru.În conducta 1, în interiorul curentului de apă, se introduce cu ajutorul unui tub subţie4, un lichid colorat, de aceeaşi densitate cu apa. Debitul de lichid colorat, furnizat de derezervorul 5, poate fi reglat cu ajutorul robinetului 7.Deschizând puţin robinetul 3, prin conducta 1 va curge un curent de apă , având unanumit debit şi o anumită viteză.

Dacă se deschide şi robinetul 7, lichidul colorat, introdus prin tubul subţire 4, seangajează în curgere sub forma unui fir rectiliniu, paralel cu pereţii conductei, lasânimpresia că s-a trast o linie dreaptă în interiorul tubului transparent 1.Acest regim de mişcare în care fluidul curge în fire care nu se amestecă între ele senumeşte regim laminar.Continuând deschiderea lentă a robinetului 3, se observă că la o anumită viteză decurgere a apei, firul de lichid colorat începe să se onduleze, iar la viteze mai mari, începe săpulseze , ceea ce arată că vectorul viteză înregistreză variaţii în timp (pulsaţii).La viteze şi mai mari, pulsaţiile firului de lichid colorat, cresc în amplitudine şi, l unmoment dat, el se va destrăma, particulele de lichid colorat amestecându-se cu masaapei

aflată în curgere prin tubul 1.Regimul de mişcare în care, datorită pulsaţiilor vitezei, particulele de fluid se amestcăîntre ele, se numeşte regim turbulent.Trecerea de la regimul laminar la cel turbulent, numită regim de tranziţiei, secaracterizează printr-o anumită valoare a numărului Reynolds, numită valoare critică (R).Numărul Reynolds Re

vl

, este numărul care defineşte criteriul de similitudineReynolds.Pentru conducte circulare netede, valoarea critică a numărului Reynols este :Recr = 2320.Pentru valori ale numărului Reynols inferioare valorii critice (Re < Re cr), mişcarefluidului va fi laminară, în timp ce pentru Re > Recr , regimul de mişcare va fi turbulent.6.2. Ecuaţia Navier ± StokesEcuaţia lui Navier±Stokes descrie mişcare fluidului real incompresibil în regimullaminar.Spre deosebire de fluidele ideale care pot dezvolta numai eforturi unitare decompresiune care se datoreză numai presiunii proprii, fluidele reale (viscoase) po

t dezvoltaeforturi suplimentare normale sau tangenţiele datorită prezenţei viscozităţii.Expresia efortului tangenţial de viscozitate , definit de Newton (vezi capitolul 1) esteurmătoarea :v(6.1) .yLichidele Newtoniene sunt capabile să dezvolte într-un regim laminar, eforturile de


69/133

viscozitate s şi t , ca

e împ

eună formeză aşa numitul tensor al eforturilor de viscoziv(în fig. 6.2 eforturile acţionează asupra unui volum paralelipipedic elementar dintr-un fluid cuurmătoarele feţe: dx, dy şi dz).

40


70/133

Fig. 6.2Tensorul Tv este simetric : xx yx zx Tv xy yy zy , xz yz zz

(6.2)

yx xy ; zx xz ; zy yz .

(6.3)

Forţa elementară de viscozitate care acţionează asupra volumului elemntar de fluid îndirecţia axei Ox este : yx xxdFvx dxdy dz dy dx dy zx dz dx dy

xyz(6.4) xx yx zx dx dy dz . yz xConform teoriei elasticităţii :

v xx 2 x ;x v y v x ;(6.5) yx y xv v zx z x .

z xPrin urmare : 2v 2v y 2vxxdFvx 2 xy y 2


71/133

x 2

2 v x 2 v z z 2

xz

vv y v z 2 v x 2 v x 2 v x dx dydz . x

yz x 2y 2z 2 x x(6.6)v x v y v z 0 , conform ecuaţiei de continuitate pentru lichide.Darx

yzAtunci :dFx v x dx dy dz .(6.7)Similar:dFvy v y dx dy dz ,

41


72/133

dFvz v z dx dy dy .Prin urmare :d Fv v d ,sauF v v d .

(6.8)(6.9)

Spre deosebire de fluidele ideale, când aplicăm principiul lui d'Alambert apare în plusşi forţa de viscozitate:(6.10)Fm F p Fv Fi 0.Introducând relaţiile (3.3),(3.5),(3.7) şi (6.9) în (6.10) obţinem :dv (6.11) F p v dt d 0 ,sau :1dv.

(6.12)F p v dtRelaţia (6.14) reprezintă forma vectorială a ecuaţiei lui Navier-Stokes. Forma scalară ecuaţiei, în coordonate carteziene, este : 2vx 2vx 2vx1 pFx 2 xy 2

z 2 xvvvv x x vx x v y x vz ;txyz

2v y 2v y 2v y1 pFy 2 x y


73/133

y 2z 2v y v yv yv yvx vy vz ;txyz

2v 2vz 2vz1 p

2z 2 zy 2z xvvvv z z vx z v y z vz .tx

yz

Fz

(6.13)

De multe ori, mai ales pentru curgerea în conducte circulare, utilizăm un sistem decoordonate cilindrice (x, r, ). Corespondenţa dintre cele două sisteme de coordonate

( x x; y r cos ; z r sin ) ne conduce la o altă formă a ecuaţiilor lui Navierv vvrvv v 2 vr r r v x r trr x


74/133

r222 v1 vr vr 1 vr 2 v vr 1 p 2r 2

;r 2 x 2 r r r 2 r 2 r r

vvv vvvv vr v x r trr

xr222 vv 1 p1 v v 1 v2 v 2 2 2 r 2

;22r r r r r r x r42


75/133

vxv v vv vr x x vx x trr x,22

2 vx 1 vx vx 1 vx 1 p 2 2r 2 x 2 r r x r

(6.14)

şi a ecuaţiei de continuitate :

vr 1 v v x vr 0.r r zr

(6.15)

6.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fir de lichid realSpre deosebire de mişcarea unui fluid ideal, unde energia sa specifică (energia unităţide masă) rămâne constantă de-a lungul unui fir de fluid şi unde, de la o secţiune la al

reloc numai conversia unei părţi a energiei potenţiale în energie cinetică, în cazul mişcpermanente a unui flui real, energia sa specifică nu mai este constantă. Ea scade mereu însensul de curgerea al fluidului.O partea a energiei fluidului este convertită în energie termică şi este ireversibilconsumată pentru a învinge rezistenţa produsă chiar de propria viscozitate.Notând energia specifică - sarcina (disipată/pierdută în căldură) cu hf , ecuaţia luiBernoulli devine :v12 p1v2 p(6.16)

z1 2 2 z 2 h f .2g 2g În puncte diferite ale aceleaşi sectiuni, numai energia potenţială rămâne constantă,energia cinetică diferă din moment ce viteza variază în secţiune, v=v(x,y,z). În acest termenul energiei cinetice ar trebui corectat cu un coeficient a, c

e ţine cont dedistribuţiavitezei în secţiune (a = 1,05 ÷1,1): 1 v12 p1 v2 p


76/133

(6.17) z1 2 2 2 z 2 h f .2g2gR

po

tând pie

de

e

de s

cină hf la lungimea l a unei conducte drepte, obţinempanta hidraulică (fig. 6.3) :

Fig. 6.3

1 v12 p1 2 v 22 p 2 z z 2 1 2g

2g hf. (6.18)IllDacă ne referin numai la energia specifică potenţială, obţinem panta piezometrică :

43


77/133

p1 p z1 2 z 2 .Ip l

(6.19)În cazul mişcării uniforme (v = ct) :hf.(6.20)I p I tg lCercetările experimentale au arătat că, indiferent de regimul în care are loc mişcareafluidului, pierderile de sarcină pot fi scrise sub forma :(6.21)hf b vm ,unde b este un coeficint care ţine cont de natura fluidului, de dimensiunile tubul

ui şide starea pereţilor interiori ai conductei.m=1 pentru regimul laminar;m=1,75÷2 pentru regimul turbulent.Dacă logaritmăm (6.21) obţinem :(6.22)lg h f lg b m lg v .În figura 6.4 este prezentată variaţia sarcinii hf în raport cu viteza, în coordonatlogaritmice :

Fig. 6.4Pentru un regim laminar q = 450. Schimbarea în regimul turbulent se face pentru oviteză ce îi corespunde Recr =2320.

6.4 Mişcarea laminară a fluidelor6.4.1 Distribuţia vitezelor între două plăci plane(Fig.6.5)

paralele de lungime infinită

Pentru a determina distribuţia vitezelor între două plăci planeinfinită, vom integra ecuaţia (6.15) în următoarele condiţii:

44

paralele de lungime


78/133

Fig.6.5a) Viteza are numai direcţia axei Ox:vx 0 , v y vz 0 ;

(6.23)

Din ecuaţia de continuitate, v 0 , rezultă:v x0 ,xdeci viteza nu variază de-a lungul axei Ox.

(6.24)

b) Mişcarea se reproduce identic în plane paralele cu xOz:v x(6.25) 0.yDin (6.24) şi (6.25) rezultă că v x v x z .c) Mişcarea este permanentă:v x 0.t

(6.26)

d) Neglijăm forţele masice (placile sunt orizontale).e) Fluidul este incompresibil.În aceste condiţii, prima ecuaţie (6.15) devine:d 2vx1 p(6.27)0. x

dz 2Integrînd de două ori (6.27), obţinem:1 p 2(6.28)v x z z C1 z C 2 .2 xPentru situaţia în care plăcile paralele sunt fixe, vom avea condiţiile la limită:z 0 , vx 0;(6.29)z h , v x 0.În consecinţă:1 p

C1 h;2 x(6.30)C2 0 .Distribuţia vitezelor între două plăci plane paralele, de lungime infinită, va fi dată legea:v x z

1 p


79/133

z h z .2 x

(6.31)

Se observă că distribuţia vitezei este parabolică, având un maxim pentru z v x max

h 2 p8 x

.v x max este pozitiv, deoarece

h:2

(6.32)p 0 (sensul curgerii, sensul pozitiv al axei Ox,x

corespunde cu descreşterea presiunii)45


80/133

Calculând viteza medie în secţiune:h1h 2 p,u v x z dz h 012 x2se observă că u v max .3

(6.33)

Debitul care trece prin secţiunea de lăţime b va fi:b h 3 p.(6.34)Q vbh 12 x6.4.2 Distribuţia vitezelor în conducte circulareSă considerăm o conductă circulară, de rază r0 şi lungime l, prin care circulă un fluidincompresibil cu densitatea şi viscozitatea cinematică (Fig.6.6).Vom raporta conducta la un sistem de coordinate cilindrice ( x, r and ), axa Ox

fiindaxa de simetrie a conductei. Mişcarea având loc pe direcţia acestei axe, componentelevitezei vor fi:(6.35)v x 0 , v r v 0 .Ecuaţia de continuitate v 0 , scrisă în coordinate cilindrice:1 r v r v v x r (6.36)v 0,r r

x devine:v x(6.37) 0,xde unde rezultă că viteza fluidului nu variază pr lungimea conductei.Pe de altă parte, luând în considerare caracterul axial-simetric al mişcării, viteza nudepinde nici de variabila .Pentru mişcarea permanentă, rezultă că viteza nu depinde decât de r; deci v vr .Distribuţia vitezelor în secţiunea conductei se obţine integrând ecuaţia lui NavierStok.14).

Notând cu i, i r şi i versorii celor trei direcţii ale sistemului de coordinate cilindice,vom scrie viteza vectorială:(6.38)v v x r i .Ştim că în coordinate cilindrice operatorul "" are expresia: i ii r


81/133

.(6.39)xr r Pe baza lui (6.38), putem scrie:(6.40)v v vxi vx 0 ,xdeoarece, după cum am văzut, viteza v x nu depinde decât de variabila r.

Pe de altă parte, în coordinate cilindrice, termenul v poate fi scris sub forma:

46


82/133

v iv x

ir

v x v x 1 v x rr r r

r x x

(6.41)i v x r .r r r Ţinând cont de caracterul permanent al mişcării, de relaţiile (6.40) şi (6.41), proiecţecuaţiei (7.14) pe axa Ox poate fi scrisă sub forma: vx 1 p,(6.42)

r r r r xdeoarece, în ipoteza unei conducte orizontale, Fx g x 0 .Presupunând că gradientul de presiune de-a lungul axei Ox este constant( p / x cons. ), şi integrând (6.42), vom obţine succesiv:v xC1 p(6.43)r 1 ,r 2 x

r1 p 2(6.44)r C1 ln r C 2 ,4 xConstantele de integrare C1 şi C 2 se determină folosind condiţiile la limită:- în axa conductei, la r = 0, viteza trebuie să fie finită, deci constanta C1 trebuiesă fienulă (la r =0, ln r );- pe peretele conductei, la r r0 , viteza fluidului trebuie să fie nulă.În consecinţă:vx

1 p 2(6.45)r0 ,4 xşi relaţia (6.44) devine:1 p 2(6.46)vx r0 r 2 .4 x


83/133

Din relaţia (6.46) observăm că dacă mişcarea are loc în sensul pozitiv al axeiOxv x 0 , atunci p / x 0 , deoarece presiunea descreşte în direcţia mişcării.Dacă I este panta piezometrică (egală, în acest caz, cu panta hidraulică), vom puteascrie:p p(6.47) I ,xl

Undep este căderea de presiune pe lungimea l a conductei.În consecinţă, relaţia (6.41) devine:

I 2 2(6.48)vx r0 r .4C2

47


84/133

Fig.6.6Se observă că distribuţia vitezei în secţiune este parabolică (Fig.7.6 a), maximumvitezei fiind înregistrat în axa conductei (r = 0), deci:I 2(6.49)v x1 max r0 .4Să considerăm un element de suprafaţă dA în formă de coroană circulară de rază r şilăţime dr (Fig.7.6 b). Debitul elementar care trece prin suprafeţa dA este :(6.50)

dQ v x dA

v x 2

rdrşi debitul total

rI 0 2 2IQ r0 r r dr r04 .(6.51)2 08Viteza medie are expresia:

Q I 2 v x , max.(6.52)u r0 A 82Mai departe putem scrie:v2d322hf8v 32 v

Re 64 1 v .(6.53)IlRe d 2 g r02 g d 2gd2Relaţia (6.53) este legea lui Hagen-Ppiseuille, care ne dă valoarea pierderilor desarcină liniare în conducte în cazul mişcării laminare:

hf

64 l v 2l v2


85/133

,Re d 2 gd 2g

(6.54)

64fiind coeficientul rezistenţei hidraulice în cazul mişcării laminare.Re

6.5 Mişcarea turbulentă a fluidelorÎntr-un punct al curentului turbulent, fluidul înregistrează variaţii rapide faţă de vimedie în secţiune. Câmpul vitezelor are o structură complexă, încă necunoscută, fiindobiectul a numeroase studii.Variaţia vitezei în timp este reprezentată în Fig. 6.7.

48


86/133

u

t1Fig.6.7Un caz particular de mişcare turbulentă este mişcare cvasipermanentă (staţionată înmedie). În acest caz, viteza, deşi variază în timp, rămâne constantă ca valore medie.În mişcarea turbulentă definim următoarele viteze:a) viteza instantanee u x, y, z, t ;b) viteza mediet T1 1

(6.55)u x, y , z u x, y, z, t dt ;T t1c) viteza de pulsaţie(6.56)u

x, y, z, t u x, y, z, t u x, y, z .Există mai multe teorii care descriu, în mod simplificat, mişcarea turbulentă:a) Teoria lungimii de amestec (Prandtl), care admite că impulsul se menţine constant.b) Teoria transportului de vârtej (Taylor) unde rotorul vitezei se presupune constant.c) Teoria turbulenţei, a lui Karaman, care precizează că, exceptând imediata

vecinătate a unui perete, mecanismul turbulenţei este independent de viscozitate.6.5.1 Coeficientul în mişcarea turbulentăDeterminarea pierderilor de sarcină în mişcarea turbulentă este o importantă problemăpractică.S-a stabilit în mod experimental că în mişcarea turbulentă pierderea de presiunep depinde de următorii factori: viteza medie în secţiune, v, diametrul conductei, d ,densitatea a fluidului şi viscozitatea lui cinematică, , lungimea l a conductei şi ozitateaabsolută a pereţilor săi interiori (înălţimea medie a denivelărilor). Mai există şi arugozitate relativă sau .d

rDeci:p f v, d , , , l , ,sau:

(6.57)

49


87/133

p

hf

v 2 l

p

2 d

,

(6.58)

v2 l,2g d

(6.59)

unde:

(6.60).dDupă cum se observă din relaţia (7.60), în mişcarea turbulentă, coeficientul pierderilode sarcină, , poate depinde de numărul Reynolds şi/sau de rugozitatea relativă a pereconductei.În curgerea sa turbulentă prin conducte, fluidul are un miez turbulent, în care procesulde amestec este decisive în raport cu influenţa viscozităţii şi un substrat laminar, site

lângă perete, în care forţele de viscozitate au un rol preponderant.Dacă notăm cu l grosimea substratului laminar, atunci putem clasifica conducteleastfel:

2 1 Re,

-

conducte netede; l ;conducte rugoase; l .

Din (7.60) observăm că, faţă de mişcarea laminară, în mişcarea turbulentă este o

funcţie complexă de Re şi .dA fost stabilit experimental că în cazul conductelor hidraulice netede coeficientul depinde numai de numărul Reynolds. Astfel, Blasius, procesând materialul experimental, astabilit (în 1911), pentru conductele hidraulice netede, de secţiune circulară, următoaeaformulă empirică:1/ 40,3164


88/133

vd ,(6.61) 0,3164 Re 0, 25 Valabilă pentru 4000 Re 105 .Utilizând relaţia lui Blasius în (7.59) observăm că în acest regim de mişcare pierdereade sarcină este proporţională cu viteza la puterea 1,75.De asemenea, pentru conductele netede, dar la numere Reynolds mari3,000 Re 10 7 , putem utilize formula lui Konakov:

1,8 lg Re 1,52 .

(6.62)

Table 6.1

Relaţie

Nr. Autor12

PoisseuillePrandtl

64Re

2 lg Re 0,8

Regim

Domeniu

Laminar

Re 2320

2

Re 3,000Re 10 7

50


89/133


90/133

345678

9

Konakov

1,8 lg Re

1,5

NikuradzeLees

0,0032 0,221 Re

Colebrook-WhitePrandtlNikurdzeSifrinson

Re 4,000 0,3164 Re 0, 25

Blasius

2 lg

2,51

3,72 d Re

2 lg

r0 1,74

0,11 d

Re 10 7Re 10 5

0, 237

0,714 10 3 0,61 Re 0,351


91/133

Re 10 5Re 3,000

2

2

Netedturbulent

Re 2 10 6

Re 10 3Re 3 10 6

DemirugosTurbu-lentrugos

Universal10 5 Re 10 8

0 , 25

Re

500d

În curgerea turbulentă prin conducte rugoase, coeficientul nu mai depinde denumărul Reynolds, şi el poate fi determinat cu ajutorul relaţiei lui Prandtl ± Nikurads:2

r0(6.63) 2 lg 1,74 .Unele din cele mai importante formule de calcul ale coeficientului sunt date înTabelul 6.1, unde sunt prezentate şi domeniile de valabilitate ale acestora.

6.5.2 Diagrama lui NikuradzePe baza unor experimente efectuate pe conducte cu diferite rugozităţi, realizate pri

nlipirea pe peretele interior a unor granule de nisip de diferite dimensiuni, Nikuradze a făcut odiagramă care reprezintă modul cum variază coeficientul , atât în domeniul laminar, cturbulent (Fig.6.8).

Fig.6.8Putem observa că în diagramă apar 5 zone în care coeficientul variază în moddiferit.51


92/133


93/133

Zona I este o dreaptă care reprezintă, în coordonate logaritmice, variaţia:64,(6.64)Recorespunzătoare regimului laminar Re 2320 . Pe această dreaptă se suprapun toatecurbele care reprezintă variaţia lui f Re pentru diferite rugozităţi relative

Zona II este trecerea de la regimul laminar la cel turbulent care are loc pentru

lg Re 3,4

Re

2300

.Zona III corespunde conductelor hidraulice netede. În această zonă, coeficientul

poate fi determinat cu ajutorul relaţiei lui Blasius (6.61), care corespunde cu linia dreaptăt IIIa , numită dreapta lui Blasius. Deoarece validitatea domeniului relaţiei (6.61) este limitat laRe 10 5 , pentru valori mai mari ale numărului Reynolds vom folosi formula lui Konakov'sformula, pentru care corespunde dreapta III b. Se observă că, cu cât rugozitatea relativă estemai mică, cu atât este mai mare domeniul de variaţie al numărului Reynolds în care semenţine regimul turbulent.În zona IV fiecare curbă întreruptă, care reprezintă dependenţa f Re pentru

diferite rugozităţi relative, devine orizontală, subliniind independenţa lui faţă de Re . Deci această zonă corespunde regimului turbulent rugos unde se determină cu rela(6.63). Este de observat că în acest caz pierderile de sarcină (7.59) sunt proporţional cupătratul vitezei. Pentru acest motiv regimul turbulent rugos se numeşte şi regim pătratc.Zona V se caracterizează prin dependenţa coeficientului atât de numărul Reynoldscât şi de rugozitatea relativă a conductei.Se observă că în zonele IV şi V, coeficientul scade odată cu micşorarea rugozităţiirelative.Lucrare de verificare ± unitatea de învăţare nr. 61. Panta piezometrică este egală cu panta hidraulică în cazul mişcării:a. variate; b. permanente; c. uniforme; d. laminare.

2. Pentru a determina distribuţia de viteze în cazul mişcării laminare între doua plăciplane paralele, de lăţime infinită, considerăm următoarea ipoteză:- mişcarea se reproduce identic în plane paralele cu xOz, adică:vvva. x 0 ;b. x 0 ;c. x 0 ;d. v x v x z .txyRăspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare12

cc

52


94/133

7. Teoria stratului limită7.1. Condiţii generaleDupă cum s-a arătat, ecuaţiile Navier ± Stokes, care descriu mişcarea fluidelorvâscoase, se pot integra într-un număr redus de cazuri ce corespund unor mişcări plane cu simetrie axială.În probleme mai complicate, dificultăţile de integrare sunt depăşite prin integrareaanumitor termeni ± în special a termenilor ce reprezintă acceleraţia convectivă ± obţintfel soluţii aproximative.Însă soluţiile obţinute prin neglijarea integrală a forţelor de inerţie convectivă suntvalabile pentru un domeniu restrâns de variaţie a numărului Reynolds.S-a impus, deci, găsirea unei alte căi de rezolvare aproximativă a ecuaţiilor de

mişcare, astfel încât soluţiile obţinute să fie valabile şi pentru valori mai mari ale Reynolds.Dintre încercările făcute în acest sens, cea mai importantă pentru aplicaţiile practiceovedit a fi teoria aşa numitului strat limită, care a fost introdusă în mecanica fluideor dePrandtl.Analizând curgerea unui fluid vâscos în jurul unui corp solid, de o formă oarecare, sepoate constata experimental că influenţa viscozităţii se manifestă într-un strat subţirimediata vecinătate a corpului. Pe suprafaţa solidă, ca urmare a condiţiei de aderenţă,zaparticulelor este nulă, iar pe o distanţă foarte mică viteza creşte rapid, apropiindu-sevaloarea curgerii potenţiale.

Prandtl a evidenţiat acest fenomen şi a introdus noţiunea de strat limită definit ca findzona din vecinătatea suprafeţei corpului, în care efectul viscozităţii este preponderenavalori suficient de mari ale numărului Reynolds.Ca urmare, se poate presupune că întreaga mişcare rotaţională a fluidului esteînglobată în stratul limită, iar în afara sa, cu oarecare aproximaţie, mişcarea fluidule ficonsiderată ca fiind potenţială.Acest model simplificat al curgerii, din vecinătatea unui corp, este prezentat în figura7.1, în care viteza mişcării potenţiale s-a notat cu V.

Fig. 7.1Se observă că în interiorul stratului limită componenta vitezei pe direcţia axei Ox ( v)variază, pe direcţia normală pe suprafaţa corpului, Oy , de la valoarea 0 (care se obţila y 0 ) la valoarea V (care se obţine la extremitatea stratului limită). Trebuie subliniat căgrosimea stratului limită constituie o mărime convenţională, deoarece trecerea de la viezadin stratul limită la cea corespunzătoare curgerii potenţiale exterioare se face asimptotic.Totuşi, din punct de vedere practic, acest lucru nu prezintă mare importanţă deoarece l o53


95/133

distanţă relativ mică faţă de suprafaţa corpului viteza atinge valoarea corespunzătoarecurgerii potenţiale V. Din acest motiv, se poate defini grosimea stratului limită, pe care o vomnota cu , ca fiind distanţa faţă de suprafaţa corpului la care viteza diferă cu 1% faviteza curgerii exterioare.După cum vom vedea, grosimea stratului limită este variabilă. Ea creşte pe măsură ceparticulele de fluid înaintează în lungul suprafeţei corpului, fiind dependentă de valoanumărului Reyn

Documents

298537210 Hidrodinamica Si Teoria Valurilor