Hidrodinamica si teoria valurilor

8/20/2019 Hidrodinamica si teoria valurilor

1/77

1

DUMITRU DINU

HIDROMECANICĂ ŞI TEORIA VALURILOR


2/77

2


3/77


4/77

4

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 5 39Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 39

6 Dinamica fluidelor reale 39Obiectivele unităţii de învăţare nr. 6

6.1 Regimurile de mişcare ale fluidelor 396.2 Ecuaţia lui Navier -Stokes 40

6.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fir de lichid real 436.4 Mişcarea laminară a fluidelor 446.5 Mişcarea turbulentă a fluidelor 48

Lucrare de verificare – unitatea de învăţar e nr. 6 52Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 52

7 Teoria stratului limită 53Obiectivele unităţii de învăţare nr. 7

7.1 Condiţii generale 537.2 Ecuaţiile diferenţiale ale stratului limită 54

7.3 Proprietăţile fizice ale stratului limită. Desprinderea stratului limită. 57


8 Curgerea prin conducte 59

9 Profile hidrodinamice 62Obiectivele unităţii de învăţare nr. 9

9.1 Caracteristicile geometrice ale profilelor hidrodinamice 629.2 Curgerea fluidelor în jurul aripilor 64

9.3 Forţe hidrodinamice pe profil 669.4 Rezistenţa indusă în cazul profilelor de anvergură finită 68


10 Elemente de teoria valurilor 70Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1010.1 Ecuaţii de bază 7010.2 Valuri plane, călătoare, de mică amplitudine 7110.3 Grupuri de valuri 7310.4 Valul staţionar 7410.5 Valuri în lichid de adâncime finită 74


Bibliografie 77


5/77

5

CUVÂNT ÎNAINTE

Metodele folosite în studiul mecanicii fluidelor pot fi metode teoretice şi experimentale. În cadrul primei metode, cea teoretică, studiul fenomenelor se face pe baza unor legi şiteoreme cu caracter general: legea conservării masei, legea conservării energiei, teoremeleimpulsului şi ale momentului cinetic etc. Aparatul matematic utilizat este destul de complex şicuprinde: calculul diferenţial şi integral, algebra şi analiza vectorială, funcţii de variabilăcomplexă, calculul tensorial, tehnica electronică de calcul. Metoda experimentală estefolosită atât pentru verificarea ipotezelor teoretice cât şi ca metodă de rezolvare directă aunor probleme concrete.

Experimentările pot fi făcute fie direct pe prototip, adică în mărime naturală, fie pemodele realizate la scară. În acest ultim caz, reproducerea sistemului fizic din natură pemodel, se numeşte modelare hidraulică şi se realizează cu ajutorul teoriei similitudinii.

Pornindu-se de la ideea unităţii fundamentale a naturii – reflectată atât în asemănareastructurală a unor ecuaţii ce descriu fenomene din domenii diferite ale ştiinţei cât şi înutilizarea aceloraşi concepte – se utilizeză metoda analogică. O exemplificare în acest senseste analogia electro-hidodinamică.

În tratarea problematicii propuse, am încercat şi, sper eu, am reuşit, utilizarea unordemonstraţii simple în care au fost introduse şi elemente cu caracter original.

Lucrarea se adresează viitorilor specialişti în domeniul naval, ofiţerilor de marină, atâtde la maşină cât şi de la punte, dar şi altor categorii de ingineri pentru care mecanicafluidelor este o disciplină fundamentală.

Hidromecanica este o parte a mecanicii fluidelor care se ocupă cu studiul lich idelor. În

cursul de faţă ne-am propus următoarele obiective: - Dezvoltarea gândirii tehnice în ceea ce priveste funcţionarea instalaţiilor hidraulice

prin prisma interpretãrii fenomene teoretice.- Însuşirea unor cunoştinţe de bază privind acţiunea dinamică a mediului marin asupra

navelor şi structurilor portuare. Pentru aplicaţii ne propunem rezolvarea unor probleme practice referitoare la curgerea

fluidelor în conducte şi cu suprafaţă liberă.

Autorul


6/77

6

1. Obiectul mecanicii fluidelor

Mecanica fluidelor studiază echilibrul şi mişcarea mediului fluid, uşor deformabil,precum şi acţiunea acestuia asupra corpurilor solide cu care intră în contact.Ca orice definiţie, nici aceasta nu este completă. O presupunem satisfăcătoare pentru

însuşirea elementelor de bază privind curgerea fluidelor prin şi pe lângă diferite corpuri, cumar fi, de exemplu, o navă, pentru studiul principiilor de funcţionare şi exploatare ale maşinilorhidraulice şi pneumatice şi al mişcărilor cu suprafaţă liberă, cu referire specială asupravalurilor.

Principalul scop al acestui curs este pregătirea cursanţilor pentru a-şi îndeplinisarcinile de inginer şi de ofiţer de maşină atât pe mare cât şi în port.


7/77

7

2. Proprietăţile fluidelor

După cum se ştie, materia, din care sunt compuse şi fluidele, are o structură discretăşi discontinuă, fiind formată din microparticule (molecule, atomi etc.) care se află îninteracţiune.

Mecanica fluidelor studiază fenomenele care au loc la scară macroscopică, scară la

care fluidele se comportă ca şi cum materia ar fi distribuită continuu. În acelaşi timp, spre deosebire de solide, fluidele nu au formă proprie fiind uşordeformabile.

Un mediu continuu este omogen dacă la o temperatură şi la o presiune constantă,densitatea sa are aceeaşi valoare în orice punct.

În fine, un mediu continuu şi omogen este izotrop dacă are aceleaşi proprietăţi în oricedirecţie în jurul unui anumit punct al masei sale.

În cele ce urmează vom considera fluidul ca un mediu continuu, deformabil, omogen şiizotrop.

Iată, în continuare, câteva din proprietăţile fizice ale acestui mediu.

2.1. Compresibilitatea

Compresibilitatea reprezintă proprietatea fluidelor de a-şi modifica volumul subacţiunea variaţiilor de presiune. Pentru a evalua cantitativ această proprietate, utilizăm ovaloare fizică, numită coefficient de compresibilitate izotermă, , care este definit de relaţia:

,1 2

N

m

dp

dV

V

(2.1)

în care dV reprezintă variaţia elementară a volumului iniţial sub acţiunea variaţiei de presiunedp.

Coeficientul este intrisec pozitiv; semnul minus care apare în relaţia (2.1) ia înconsiderare faptul că volumul şi presiunea au variaţii inverse, adică dV/ dp < 0.

Inversul coeficientului de compresibilitate izotermă se numeşte modul de elasticitate şieste dat de relaţia:

.1

2

m

N

dV

dpV K

(2.2)

Scriind relaţia (1.2) sub forma:

, K

dp

V

dV (2.3)

putem observa analogia cu legea lui Hook:.

E l

dl (2.4)

a. compresibilitatea lichidelor

În cazul lichidelor, a fost dovedit experimental că modulul de elsticitate K, şi implicit,coeficientul , variază foarte puţin cu temperatura (aproximativ 10% în intervalul C 0600 ) şisunt constante pentru variaţii ale presiunii în limite destul de largi. În tabelul (2.1) suntprezentate valorile acestor coeficienţi pentru diferite lichide la temperatura de C 00 şi

presiunea 200 p bar.


8/77

8

Tabelul 2.1.

Lichid

N m /2

2/ m N K

Apă 101012,5 91095,1 Petrol 101066,8 91015,1

Glicerină 101055,2 91092,3 Mercur 1010296,0 9107,33

De aceea, în cazul lichidelor, coeficientul poate fi considerat constant. În consecinţă, putem integra ecuaţia diferenţială (2.2) de la starea iniţială,

caracterizată de volumul0

V , presiunea0

p şi densitatea0

, la o anumită stare finală, unde

parametrii vor avea valorile pV ,1 şi, respectiv, ; vom obţine succesiv:

V

V

p

p

dp

V

dV

0 0

, (2.5)

sau

.00 p peV V (2.6)

b. compresibilitatea gazelor

La gaze, coeficientul de compresibilitate izotermă depinde foarte mult de presiune.

Pentru gazele perfecte, compresibilitatea izotermă este descrisă de următoarea

relaţie :

pV = const., care, prin derivare, devine:

.V

dV

p

dp (2.8)

Comparând această relaţie cu (2.3), putem scrie:

.1

p K

(2.9)

Rezultă deci că, pentru gazele perfecte, modulul de elasticitate este egal cu

presiunea.2.2Dilatarea termică

Dilata rea termică reprezintă proprietatea fluidelor de a- şi modifica volumul sub

acţiunea variaţiilor de temperatură. Cantitativ, această proprieate este caracterizată

de coeficientul de dilatare izobară, definit de relaţia:

,

1

dT

dV

V (2.10)unde dV reprezintă variaţia elementară a volumului iniţial V sub acţiunea variaţiei detemperatură dT. Coeficientul este pozitiv pentru toate fluidele, exceptând apa, care


9/77

9

înregistrează o densitate maximă (volum specific minim) la C 04 ; de aceea, pentru apa laC t 04 vom avea .0 În general, variază foarte puţin în raport cu temperatura, de aceea el poate fi

considerat constant. În anumite situaţii, integrând ecuaţia (2.10) între limitele0

V şi V, şi,

respectiv,0

T şi T, vom avea:

,ln 00

T T V

V (2.11)

sau

.00T T eV V (2.12)

Împărţind relaţia (1.12) la masa fluidului, ,00V V m vom obţine funcţia de stare

pentru fluidele incompresibile:

,00T T e

(2.13)

În cazul gazelor perfecte, valoarea coeficientului se obţine derivând ecuaţia

transformării izobare

.const

T

V ; vom avea:

,. dT T V dT const dV (2.14)

care, înlocuită în (1.10) ne permite să scriem:

.1

T (2.15)

Astfel, pentru gazele perfecte, coeficientul este inversul temperaturii absolute.

2.3 Mobilitatea

În cazul fluidelor, forţele de coeziune moleculară au valori foarte mici, dar ele nu sunt

nule. La scară macroscopică, această proprietate poate fi redusă la faptul că două particulede fluid care sunt în contact pot fi separate prin acţiunea unor forţe externe foarte mici. Înacelaşi timp, particulele de fluid pot aluneca una faţă de alta, producând eforturi tangenţialerelativ mici.

Ca rezultat, din punct de vedere practic, fluidele pot dezvolta numai eforturi decompresie.

În cazul unei deformări la volum constant, eforturile de compresie sunt riguros nule;ca rezultat, schimbarea formei fluidului cere creşterea eforturilor tangenţiale, care sunt foartemici. Lucrul mecanic exterior consumat va fi de asemenea mic, practic neglijabil.

Se spune că fluidele au o mare mobilitate, adică au proprietatea de lua forma vaselor

(recipienţilor) în care sunt puse. În consecinţă, putem sublinia că gazele, deoarece nu auvolum propriu, au o mai mare mobilitate decât lichidele (un gaz introdus într-un container iaatât forma cât şi volumul containerului).

2.4. Viscozitatea

Viscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune mişcării relative a particulelorsale.

Vom considera mişcarea unidimensională a lichidului care are loc în straturisuprapuse, în planul xOy, de-a lungul unei plăci (fig.2.1).


10/77

10

Fig. 2.1

Măsurătorile experimentale au arătat că viteza creşte cu cât ne depărtăm de placă, îndirecţia axei Oy şi este nulă în imediata vecinătate a plăcii. Grafic, dependenţa y f v estereprezentată de curba . Acest experiment simplu subliniază două aspecte, şi anume:

- fluidul aderă la suprafaţa corpului solid cu care este în contact: - în interiorul fluidului şi la contactul său cu suprafeţele solide, eforturile tangenţiale

generate determină variaţia vitezei. Astfel, considerând două straturi de fluid,paralele, în planul xOy, având o distanţă elementară între ele dy, vom înregistra o

variaţie de viteză dydy

dv

, datorită frecărilor care apar între cele două straturi. Pentru a determina eforturile de frecare, Newton a utilizat relaţia :

dy

dv , (1.16)

care astăzi îi poartă numele. Această relaţie, verificată de Coulomb, Poisseuille şi Petrovarată că efortul de frecare este proporţional cu gradientul de viteză. Factorul deproporţionalitate se numeşte viscozitate dinamică.

Dacă reprezentăm grafic dependenţa dydv f / vom obţine curba 1 (fig.1.2) , unde ty .

Fluidele care respectă legea de frecare (1.16) se numesc fluide Newtoniene (apa,aerul etc). Dependenţa de eforturile tangenţiale a gradientului de viteză nu este liniară (curba2, fig. 1.2) pentru o serie de alte fluide, în general de natură organică. Aceste fluide suntnumite global ne-Newtoniene.

Fig. 2.2

Unităţile de măsură pentru viscozitatea dinamică sunt: - în sistemul internaţional (SI):

sm

Kg

m

s N

2

(2.17)

- în vechiul sistem CGS:

scm

g

cm

sdyn

2 . (2.18)


11/77

11

Unitatea de măsură pentru viscozitatea dinamică în sistemul CGS este numită

“poise”, şi are simbolul P.

P sm

Kg 101

. (2.19)

Se poate determina viscozitatea dinamică a lichidelor cu ajutorul viscozimetrului

Höppler, al cărui principiu de lucru se bazează pe proporţionalitatea dintre

viscozitatea dinamică şi timpul de cădere a unei bile într -un tub înclinat ce conţine

lichidul analizat.

Viscozitatea cinematică a fluidelor este raportul dintre viscozitatea dinamică şi

densitatea sa:

. (2.20)

Unităţile de măsură ale viscozităţii cinematice sunt:

- în sistemul internaţional :

s

m 2 . (2.21)

- în vechiul sistemul CGS:

s

cm2 (2.22)

sau “stokes” (simbol ST):

s

m

s

cmST

24

2

1011 . (2.23)

Indiferent de tipul viscozimetrului folosit (Ubbelohde, Vogel-Ossag etc), determinareaviscozităţii cinematice se face prin înmulţirea timpului (exprimat în secunde) în care un volumfix de lichid trece printr-un tub capilar calibrat, în condiţii normale, şi constanta aparatuluirespectiv.

Viscozitatea convenţională este foarte des utilizată în practica actulă; această mărimeeste determinată măsurând timpul în care un anumit volum de fluid curge printr -un aparatspecial, în condiţii alese convenţional. Mărimea acestei valori astfel determinate esteexprimată în unităţi convenţionale (ex. Engler, Saybolt, Redwood etc) care se deosebesc atâtprin condiţiile de măsurare, cât şi prin unităţile de măsură.

Astfel, viscozitatea convenţională Engler, exprimată în grade Engler E 0 este raportuldintre timpul de curgere a 200 cm3 din lichidul analizat la temperatura dată şi timpul decurgere a aceluiaşi volum de apă distilată la temperatura de C 020 , printr-un viscozimetruEngler în condiţii standard.


12/77

12

Viscozitatea unui fluid depinde în mare măsură de temperatura sa. În general,viscozitatea lichidelor se diminuează cu creşterea temperaturii, în timp ce la gaze este invers.

Dependenţa viscozităţii lichidelor faţă de temperatură poate fi determinată utilizândrelaţia lui Gutman şi Simons:

0

0

T

B

T C

B

e

. (2.24)

unde B şi C depind de natura lichidului analizat (pentru apă avem B= 511,6 0K and C= -149,40K).

Pentru gate putem utiliza formula lui Sutherland

T S

T S

T

T

0

2/3

0

0 . (2.25)

unde S depinde de natura gazului (pentru aer S=123,6 0K). În relaţiile (1.24) and (1.25), şi 0 sunt viscozităţile dinamice ale fluidului la

temperatura absolută T, respectiv la )0(15,273 0

0 C K T . În tabelul 2.2 sunt prezentate viscozităţile dinamice şi cinematice ale aerului şi ale apeila diferite temper aturi şi la presiune atmosferică normală.

Tabelul 2.2.

Temperatura C 0

-10 0 10 20 40 60 80

sm

Kg 310

Aer 0,016 0,017 0,017 0,018 0,019 0,02 0,029

A-pă

- 1,79 1,31 1,01 0,66 0,48 0,37

s

m2610

Aer 1,26 13,3 14,1 15,1 16,9 18,9 20,9

A-pă - 1,79 1,31 1,01 0,66 0,48 0,37

Trebuie subliniat faptul că viscozitatea este o proprietate care se manifestă numai întimpul mişcării fluidelor.

Un fluid cu viscozitatea riguros nulă este numit fluid perfect sau ideal.

Fluidele pot fi compresibile p sau incompresibile ( este constant în raport cupresiunea). Trebuie subliniat că un fluid ideal compresibil este analog cu un gaz ideal (perfect) în termeni termodinamici.

Mişcarea fluidelor poate fi :- uniformă - v = constant ;- permanentă (nu depinde de timp) - v = v (x,y,z) ;- variată - v = v (x,y,z,t).


13/77

13

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 2

1. Coeficientul de compresibilitate izotermă se măsoară în: a. N/m2; b. m2/N; c. Kg/ms; d. ms/Kg.

R: b

2. Modulul de elasticitate al fluidelor K se măsoară în: a. N/m2; b. m2/N; c. Kg/ms; d. ms/Kg.

R. a

3. In mişcarea permanentă: a. v = constant;b. v = v(x,y,z);c. v = v(x,y,z,t);d. p = constant.

R. b

4. In mişcarea uniformă: a. v = constant;b. v = v(x,y,z);c. v = v(x,y,z,t);d. p = constant.

5. In mişcarea variată:a. v = constant;b. v = v(x,y,z);c. v = v(x,y,z,t);d. p = constant.

6. Coeficientul de propor ţionalitate dintre efortul de frecare şi gradientul de vitezădv/dy se numeşte:

a. viscozitate cinematică; b. viscozitate dinamică; c. coeficient de compresibilitate;d. modul de elasticitate.

R: b

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

1 b2 a3 b4 a5 c6 b


14/77

14

3. Ecuatiile generale ale miscãrii fluidelor ideale.

3.1. Ecuaţia lui Euler

Vom studia cazul cel mai general de mişcare printr -un volum , mărginit de suprafaţa , separat din masa unui fluid ideal (perfect) aflat în mişcare variată (fig.3.1).

Fig.3.1

Volumul este situat într-un sistem de axe accelerat. Ecuaţiile care descriu mişcareafluidului prin volumul se vor obţine aplicând principiul lui d’Alembert. Cele trei categorii defor ţe care acţionează asupra fuidului sunt:

- forţele masice, m F ;

- forţele de inerţie, i F ;

- forţele de presiune, p F (cu efect echivalent; aceste forţe înlocuiesc acţiunea

fluidului din afara volumului ).Conform principiului lui d’Alembert, vom avea:

0 pim F F F . (3.1)

Ecuaţia (3.1) reprezintă de fapt forma vectorială a ecuaţiei lui Euler.Să stabilim expesiile matematice ale acestor forţe. Dacă F este forţa masică unitară (acceleraţia) care acţionează asupr a fluidului din

volumul , forţa masică elementară care acţionează asupra masei d , va fi:

d F F d m , (3.2)

deci:

d F F m . (3.3)

Deoarece viteza fluidului prin volumul este o funcţie vectorială de punct şi timp:t r vv , , asupra masei d care se mişcă cu viteza v va acţiona forţa elementară de

inerţie:

d dt

vd F d i . (3.4)

Forţa de inerţie pe întregul volum va fi:

d dt

vd F i . (3.5)

Dacă d este suprafaţa elementului asupra căruia acţionează presiunea p şi n -versorul normalei la suprafaţă (Fig.3.1), forţa elementară de presiune este:

d n p F d p . (3.6)

Ţinând cont de teorema lui Gauss-Ostrogradski, rezultanta forţelor de presiune va fi:


15/77

15

d pd n p F p . (3.7)

Înlocuind relaţiile (3.3), (3.5) şi (3.7) în ecuaţia (3.1), vom obţine:

0

d dt

vd p F , (3.8)

Deci:

dt

vd p F

1, (3.9)

sau

vvt

v p F

1, (3.10)

Relaţia (3.10) reprezintă forma vectorială a ecuaţiei lui Euler pentru mişcareanepermanentă a unui fluid ideal.

Proiectând această ecuaţie pe un sistem de axe, vom obţine:

z

x

y

x

x

x x

x v z

vv

y

vv

x

v

t

v

x

p F

1;

z

y

y

y

x

y y

y v z

vv

y

vv

x

v

t

v

y

p F

1; (3.11)

z

z

y

z

x

z z

z v z

vv

y

vv

x

v

t

v

z

p F

1.

3.2 Ecuaţia de stare

Din punct de vedere termodinamic, starea unui sistem poate fi determinată măsurândvalorile câtorva caracteristici fizice (presiune, volum, temperatură, densitate etc.).

Între parametrii de stare ai sistemului termodinamic există relaţii de legătură exprimateprin legile fizicii. În cazul sistemului omogen există o relţie implicită care reprezintă legăturadintre trei parametri, de forma:

0,, T p F . (3.12) Adăugând ecuaţia lui Euler (3.10) şi ecuaţia de continuitate (2.54) ecuaţiei de stare

(3.12) obţinem un system de trei ecuaţii cu trei necunoscute: t r pt r t r v ,,,,, , care nepermite să rezolvăm problemele generale de mişcare şi de repaus ale fluidelor ideale.

3.3. Ecuaţia lui Bernoulli

Ecuaţia lui Bernoulli se obţine integrând ecuaţia lui Euler scrisă sub o formă diferită ,

forma Euler – Lamb, care subliniază natura rotaţională sau nerotaţională a mişcării flu iduluiideal (vezi anexa):


16/77

16

vrot vv

t

v p F

2

12

. (3.13)

Considerând cazul când forţele masice derivă dintr -un potenţial U, deci forţeconservative (energia mecanică, cinetică şi potenţială, fiind constantă), vom avea:

U F . (3.14)

În cazul fluidelor compresibile, când p , vom introduce funcţia:

pdp

P

. (3.15)

Astfel:

p

p P

1. (3.16)

Ecuaţia (3.13) ia forma:

vrot vt

vv P U

2

2

. (3.17)

Ecuaţia (3.17) poate fi integrată uşor în anumite cazuri particulare:

În cazul mişcării permanente 0

t

v, şi:

- de-a lungul unei linii de curent:

z y x v

dz

v

dy

v

dx , (3.18)

- de-a lungul unei linii de vârtej:

z y x

dz dydx

, (3.19)

- în cazul mişcării potenţiale sau irotaţionale, 0vrot :

0 z y x , (3.20)

- în cazul mişcării elicoidale (vectorul viteză este paralel cu vectorul vârtej):

z

z

y

y

x

x vvv

. (3.21)

Multiplicând ecuaţia (3.17) cu r d , vom obţine, în condiţiile curgerii ( 0

t

v):

vrot vr d v P U d

2

2

. (3.22)

Deoarece 2vrot , vom avea:

z y x

z y x vvv

dz dydx

v P U d

22

2

. (3.23)


17/77

17

Determinantul este zero pentru una din situaţiile de mai sus. Integrând în acestecazuri, vom obţine ecuaţia lui Bernoulli:

C v

P U 2

2

. (3.24)

Dacă fluidul este incompresibil, atunci

p P .

Considerând un sistem de axe cu planul apei xOy şi Oz orientat în sus, potenţialul Uva fi:

C gz U .(3.25)

Rezultă binecunoscuta ecuaţie a lui Bernoulli sub forma sarcinilor:

C z p

g

v

2

2

. (3.26)

Sarcina cinetică g

v2

2

reprezintă înălţimea la care s-ar ridica în vid un punct material

aruncat în sus cu o viteză iniţială v, egală cu viteza particulei de lichid considerată.

Sarcina piezometr ică

p este înălţimea coloanei de lichid corespunzătoare presiunii p.

Sarcina de poziţie z reprezintă înălţimea particulei de lichid faţă de un plan de referinţăales.

Ecuaţiea lui Bernoulli, ca ecuaţie a sarcinilor, poate fi formulată astfel: în regimul decurgere permanent al unui fluid ideal , incompresibil , supus acţiunii unor forţeconservative, suma sarcinilor cinetice, piezometrice şi de poziţie se menţine constantăde-a lungul unei linii de current .

Multiplicând relaţia (3.26) cu greutatea specifică vom obţine ecuaţia lui Bernoulli subforma presiunilor:

C z pv

2

2

, (3.23)

Unde:

2

2v

presiunea dinamică;

p presiunea piezometrică (statică);

z presiunea de poziţie.

Multiplicând relaţia (3.26) cu greutatea fluidului G, obţinem ecuaţia lui Bernoulli subforma energiilor:

C z G p

G g

vG

2

2

, (3.24)

unde:

g

vG

2

2

- energia cinetică;


18/77

18

pG - energia de presiune;

Gz - energia de poziţie.

Ultimele două formează energia potenţială.

3.4. Reprezentarea grafică şi interpretarea energetică a ecuaţiei lui Bernoullipentru lichide

Întorcându-ne la ecuaţia (3.27) şi considerând C = H (fig.3.2) vom avea:

H z p

g

v

2

2

. (3.25)

Fig.3.2Suma tuturor termenilor ecuaţiei lui Bernoulli reprezintă energie totală (potenţială şi

cinetică) în raport cu unitatea de greutate a particulei de lichid.

Această energie măsurată faţă de un plan de referinţă N-N, arbitrar ales, se numeşteenergie specifică şi ea rămâne constantă în timpul mişcării permanente a fluidului ideal,incompresibil, aflat sub acţiunea forţelor de gravitaţie şi al forţelor de presiune.

3.5 Ecuaţia de continuitate

Considerăm în masa fluidului aflat în mişcare un volum oarecare limitat de osuprafaţă fictivă1

, (fig. 3.3). Am folosit cuvântul fictivă pentru a sublinia faptul că suprafaţaeste străbătută de linii de curent.

Fie un volum elementar de fluid d , având densitatea şi masa dm : d dm . (3.26)

Integrăm această relaţie pe volumul , şi obţinem :

dt m . (3.27)


19/77

19

Fig. 3.3

Variaţia în unitate de timp a masei de fluid din volumul se obţine scriind :

τ

ρdttt

m. (3.28)

Dacă masa, m , conţinută de volumul creşte, în conformitate cu legea conservăriimasei, variaţia ei în unitate de timp va fi egală cu debitul masic care, intrând în volumul

prin punctele suprafeţei va produce această creştere. Vom putea scrie :

d nvd t

, (3.29)

în care d reprezintă un element al suprafeţei , având versorul normalei n . Semnul minus

care apare în această relaţie ia în considerare faptul , că în acest caz, viteza v şi normala n

fac un unghi2

.

Subliniem că aceeaşi ecuaţie se obţine şi în situaţia în care fluidul iese din volumul

( 2

), deci masa acestui volum scade ( 0t

m

).Utilizând formula lui Gauss-Ostrogradski vom pune ecuaţia (3.29) sub forma :

0)(

d vdt

d .

Această integrală este nulă pentru orice volum oricât de mic; în consecinţă vomputea scrie :

0)( vdt

d

. (3.30)

Ţinând seama de relaţiile :

vvv )( ,şi :

v

t dt

d ,

ecuaţia (3.30) poate fi pusă sub forma :

0 vdt

d

, (3.31)

care reprezintă forma generală a ecuaţiei de continuitate. Pentru un fluid incompresibil, densitatea fiind constantă, ecuaţia (3.31) devine :

0v , (3.32)

care într-un sistem cartezian de axe, ia forma :0

z

v

y

v

x

v z y x . (3.33)


20/77

20

3.6 Teorema impulsului şi teorema momentului impulsului

Considerăm un volum de fluid. Acest fluid este omogen, incompresibil, de densitateρ , mărginit de o suprafaţă σ. Volumul elementar d are viteza v .

Impulsul elementar va fi : d v I d . (3.34)

În acelaşi timp :

i F dt

I d . (3.35)

Dar :

0 i pm F F F , (3.36)

principiul lui d’Alembert. Prin urmare :

e pm F F F dt

I d . (3.37)

Derivata totală a impulsului, în raport cu timpul este egală cu rezultanta Fe a forţelor exterioare, sau

iieee v M v M F , (3.38)

unde Mi , Me sunt debitele masice prin suprafeţele de intrare/ieşire.

„În regim de mişcare permanent şi fără frecări , suma vectorială a forţelor exterioare,care acţionează asupra fluidului dintr -un volum oarecare , esta egală cu diferenţa dintrefluxul impulsului prin suprafaţa de ieşire (din volumul ) şi impulsul prin suprafaţa deintrare(în volumul )”.

Notăm: r - vectorul de poziţie corespunzător centrului de greutate al volumului faţă deoriginea sistemului de referinţă.

Momentul de inerţie elementar faţă de punctul O (originea) este :

d vr dt

d d

dt

vd r M d i

. (3.39)

Ţinând seama că :

,dt

vd r

dt

vd r vv

dt

vd r v

dt

r d vr

dt

d (3.40)

atunci :

d vr dt d M d M ii . (3.41)

Dacă : d v I d este impulsul elementar, atunci:

d vr k d (3.42)reprezintă mometul impulsului elementar, iar momentul impulsului va fi:

.d vr k (3.43)

Dacă derivăm în raport cu timpul, obţinem:

i M d vr dt d dt k d . (3.44)

Derivata momentului rezultant al impulsului în raport cu timpul este egal cu momentulrezultant al forţelor de inerţie luat cu semn schimbat.


21/77

21

Sau:

ex pm M M M dt

k d , (3.45)

unde ,Mm – momentul forţelor masice; Mp – momentul forţelor de presiune; Mex – momentul forţelor exterioare;

Notăm: r oe, r oi - vectorul de poziţie corespunzător centrului de greutate pentru suprafeţele de

ieşire/intrare. Atunci:

ioiieoeeex vr M vr M M . (3.46)

„În mişcarea permanentă a fluidelor ideale, suma vectorială a momentelor forţelorexterioare care acţionează asupra unui volum , este egală cu fluxul momentului impulsului prin suprafaţa de ieşire minus fluxul momentului impulsului prin suprafaţa de intrare.”


1. Ecuaţia lui Euler. 2. Ecuaţia de continuitate. 3. Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fluid ideal.4. Ecuaţia liniei de curent este:

a. z y x v

dz

v

dy

v

dx ;

b. z y x

dz dydx

;

c. 0 z y x ;

d. z

z

y

y

x

x vvv

.

5. Ecuaţia liniei de vârtej este:

a. z y x v

dz

v

dy

v

dx ;

b. z y x

dz dydx

;

c.0

z y x

;

d. z

z

y

y

x

x vvv

.

6. In cazul mişcării potenţiale, avem:

a. z y x v

dz

v

dy

v

dx ;

b. z y x

dz dydx

;

c. 0 z y x ;

d. z

z

y

y

x

x vvv

.


22/77

22

7. In cazul mişcării elicoidale, avem:

a. z y x v

dz

v

dy

v

dx ;

b. z y x

dz dydx

;

c. 0 z y x ;

d. z

z

y

y

x

x vvv

.

8. Formulaţi teorema impulsului. 9. Formulaţi teorema momentului impulsului.10. Formulaţi teorema lui Kutta-Jukovski.


5 a

6 b7 c8 d

4. Ecuaţiile staticii fluidelor

Statica fluidelor – hidrostatica – este partea mecanicii fluidelor care studiază condiţiilede repaus ale fluidelor şI acţiunea lor în timpul stării de repaus, asupra corpurilor solide cucare intră în contact.

Hidrostatica este identică pentru fluidele ideale şi reale, deoarece viscozitatea începesă se manifeste numai în timpul mişcării. În hidrostatică nu există noţiunea de timp.

4.1 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii

În ecuaţia lui Euler (3.9) facem 0v . Vom obţine:

01

p F

. (4.1)

Multiplicăm apoi peste tot cu r d :

01

r d pr d F

. (4.2)

sau

dpdz F dy F dx F z y x . (4.3)

Dacă axaOz of a sistemului xOyz este verticală, orientată în sus, atunci:

0 y x F F , , g F z

şi ecuaţia (4.3) devine:


23/77

23

0

dp gdz . (4.4)

În cazul lichidelor ( = cons.), integrând ecuaţia (4.4) vom obţine:

.const p

gz

(4.5)

sau

.const p

z

(4.6)

sau

.const z p (4.7)

Ecuaţia (4.7) se numeşte ecuaţia fundamentală a hidrostaticii.

Dacă0

p este presiunea la suprafaţa apei (în rezervoarele deschise presiunea

atmosferică), presiunea p într-un punct situat la distanţa h de suprafaţă, va fi (fig.4.1):

Fig.4.1

102 z p z p , (4.8)

h p p 0

. (4.9)

p este presiunea absolută în punctul 2, şi h este presiunea relativă.

4.2 Interpretarea geometrică şi fizică a ecuaţiei fundamentale a hidrostaticii(fig.4.2)

Fig.4.2

Conform (4.6) putem scrie:

2

2

2

1

1

1 z p

z p

. (4.10)


24/77

24

În fig.4.2 avem:

p - înălţimea piezometrică corespunzătoare presiunii hidrostatice absolute;

2,1 z - cota faţă de un plan arbitrar (înălţimea de poziţie).

4.3 Principiul lui Pascal

Rescriem ecuaţia fundamentală a hidrostaticii între punctele 1 şi 2:

2211 z p z p . (4.11)

Presupunând că în punctul 1 presiunea înregistrează o variaţie 1 p , ea devine

11 p p . Pentru ca starea de echilibru să nu fie alterată, în punctul 2 va fi înregistrată ovariaţie de presiune 2 p . Atunci:

222111 z p p z p p . (4.12)

Ţinând cont de (4.11), rezultă:

21 p p . (4.13)

Principiul lui Pascal poate fi enunţat astfel:

Orice variaţie de presiune creată într -un anumit punct al unui fluid incompresibil aflatîn echilibru se transmite cu aceeaşi intensitate în orice alt punct din masa fluidului.

4.4 Principiul vaselor comunicante

Să considerăm două vase comunicante (Fig. 4.3) care conţin două lichide nemiscibile,cu greutăţile specifice

1 şi, respectiv, 2 . Scriind egalitatea presiunilor în punctele 1 şi 2,situate în acelaşi plan orizontal N – N, care conţine şi suprafaţa de separare a celor douălichide, vom avea:

220110 h ph p , (4.14)

sau:

1

2

2

1

h

h, (4.15)

unde 1h şi 2h sunt înălţimile coloanelor de lichid care, conform relaţiei, sunt inversproporţionale cu greutăţile specifice ale celor două lichide.


25/77

25

Fig.4.3

Dacă ,21 atunci 21 hh .

În două sau mai multe vase comunicante, care conţin acelaşi lichid (omogen şiincompresibil), suprafaţa lor liberă se află în acelaşi plan orizontal.

4.5Forţele hidrostatice

Forţa de presiune care acţionează asupra solidelor este determinată cu relaţia:

A

dAn p F , (4.16)

unde dA este suprafaţa elementului având versorul n , iar p este presiunea relativă afluidului.

Să considerăm A o suprafaţă verticală care limitează un fluid incompresibil cu

greutatea specifică (Fig.4.4).

Fig.4.4

Atunci forţa de presiune hidrostatică va fi: A

y M A z zdA F 0 , (4.17)

unde:

0 z - cota centrului de greutate al suprafeţei A;

y M - momentul static al suprafeţei A în raport cu axa Oy.

Punctul de aplicaţie al forţei de presiune F se numeşte centru de presiune. El areurmătoarele coordonate:


26/77

26

y

y A

M

I

zdA

dA z

F

zdF

2

,

(4.18)

y

yz A

M

I

zdA

yzdA

F

ydF

.

y I - momentul de inerţie al suprafeţei A în raport cu axa Oy;

yz I - momentul centrifugal al suprafeţei A în raport cu axele Oy şi Oz.

Presiunea hidrostatică care acţionează asupra fundului unui recipient nu depinde decantitatea de lichid, ci de înălţimea lichidului şi de secţiunea fundului din acel recipient.

Afirmaţia de mai sus reprezintă paradoxul hidrostatic şi este ilustrat în Fig. 4.5. Forţacare presează asupra fundului a trei recipienţi diferiţi este aceeaşi deoarece nivelul lichiduluieste acelaşi, ca şi suprafaţa fundului recipienţilor.

Fig. 4.5

4.6 Principiul lui Arhimede

Să consideră un corp solid, de formă cilindrică, scufundat într -un lichid; vom calcularezultanta forţelor de presiune care acţionează asupra lui (Fig. 4.6).

Rezultanta forţelor orizontale ' x F şi''

x F este evident nulă:

.

,

0

''

0

'

x x

x x

A z F

A z F

(4.19)

Fig.4.6


27/77

27

Forţele verticale vor avea valorile:

.

;

2

''

1

'

z z

z z

A z F

A z F

(4.20)

Rezultata lor va fi:

V h A z z A F F F z z z z z 12''' . (4.21)

Această demonstraţie poate fi uşor extinsă asupra corpurilor de orice formă:

Un corp scufundat într-un lichid este împins de jos în sus cu o forţă egală cugreutatea volumului de licid dezlocuit.

Acesta este Principiul lui Arhimede.

4.7. Plutirea corpurilor

Un corp liber, parţial scufundat într -un lichid, se numeşte corp plutitor sau pur şisimplu plutitor. G este centrul lui de greutate.

Partea submersă reprezintă opera vie - carena. Centrul de greutate al volumului deapă dezlocuit se numeşte centru de carenă.

Suprafaţa liberă a lichidului se numeşte plan de plutire. Intersecţia dintre planul de plutire şi plutitor este suprafaţa de plutire. Centrul ei de

greutate este centrul de plutire, iar curba care înconjoară suprafaţa de plutire reprezintă liniade plutire.

Pentru ca un plutitor să fie în echilibru este necesar ca suma forţelor care acţioneazăasupra sa ca şi rezultanta momentelor să fie nule.

Asupra unui plutitorului din Fig. 4.7 acţionează două forţe: forţa Arhimede şi forţa degreutate – numită şi deplasament (D = mg).

Fig.4.7

Condiţia de echilibru este:

V mg D , (4.22)

Unde m este masa plutitorului, V este volumul carenei (volumul de lichid dezlocuit) şi este greutatea specifică a lichidului. Cu D am notat greutatea plutitorului (în domeniulnaval greutatea totală a navei – deplasamentul).

Pentru ca momentul rezultant să fie nul trebuie ca cele două forţe să se afle peaceeaşi verticală sau, cu alte cuvinte, centrul de greutate G să se afle pe aceeaşi linie cucentrul de carenă C.

Ecuaţia (4.22) se numeşte ecuaţia de flotabilitate.


28/77

28

Stabilitatea este proprietatea plutitorului (calitatea nautică a unei ambarcaţiuni – vapor) de a reveni la poziţia iniţială de echilibru după ce acţiunea forţelor (momentelor)perturbatoare a încetat.

Dacă considerăm un sistem cartezian de axe Oxyz, având planul xOy drept plan deplutire şi axa Oz orientată în sus (Fig.4.8), plutitorul va avea 6 grade de libertate: trei translaţiişi trei rotaţii. Rotaţiile în jurul axelor Ox şi Oy sunt cele mai importante din punct de vedere alstabilităţii. La o navă, aceste înclinări sunt datorate acţiunii vântului şi valurilor.

Prin definiţie, rotaţia plutitorului astfel încât volumul de lichid dezlocuit ( volumulcarenei) să rămână neschimbat ca valoare – dar diferit ca formă – se numeşte înclinareizocarenă.

Să considerăm 00 L L planul iniţial de plutire. După înclinarea izocarenă în jurul axei

Ox sau Oy planul de plutire va fi 11 L L (am înclinat planul, nu plutitorul, pentru oreprezentare mai sugestivă). În secţiune planurile de plutire devin linii de plutire (Fig. 4.8).

Dacă iniţial centrul de carenă va fi0

C , după înclinarea izocarenă cu unchiul , centrul

de carenă se va muta în1

C . Mutarea are loc datorită modificării formei volumului de carenă.

Împingerea Arhimede va fi, şi după înclinare, perpendiculară pe planul plutirii. Centrul de greutate G rămâne în acelaşi loc. Numai direcţia forţei de greutate se

schimbă pentru a fi perpendiculară pe planul de plutire.

Locul geometric al poziţiilor succesive ale centrului de carenă în timpul înclnărilor senumeşte curba centrelor de carenă (traiectoria C). Centrul de curbură al curbei centrelor decarenă se numeşte metacentru, iar raza sa de curbură, rază metacentrică.

Pentru înclinările în jurul axei longitudinale Ox (ruliu) – vom vorbi de metacentrultransversal M şi de raza metacentrică transversală r (Fig.4.8 a).

Pentru înclinările în jurul axei transversale Oz (tangaj) – vom vorbi de metacentrul

longitudinal şi de raza metacentrică longitudinală R (Fig.4.8 b).

Fig.4.8 a, b

Discutând despre înclinările transversale ale plutitorului, izocarene, cu unghi mic, ,centrul de carenă se va muta din C în

1C (Fig.4.8 a). În acest caz forţa de flotabilitate

(Arhimede) V , normală pe linia de plutire 11 L L , având punctul de aplicaţie în 1C ,va fiparalelă cu forţa de greutate (deplasamentul) plutitorului.

Ca urmare, cele două forţe vor forma un moment, r M , care va fi dat de relaţia:


29/77

29

sinh D M r , (4.23)

unde

ar h (4.24)

se numeşte înălţime metacentrică şi este distanţa pe verticală dintre metacentru şi centrul degreutate; notând cu G z şi C z cotele centrelor de greuate, respectiv de carenă, faţă de un plan

de referinţă, vom avea: C G z z a . (4.25)

Înălţimea metacentrică exprimată prin relaţia (4.24) poate fi pozitivă, negativă saunulă. Vom analiza fiecare din cele trei cazuri:

a) dacă h > 0, metacentrul va fi deasupra centrului de greutate şi momentul r M , dat de

relaţia (4.24) va fi de asemenea pozitiv. Din Fig.4.8 a putem observa că momentul r M va

tinde să readucă plutitorul în poziţia iniţială 0 L - 0 L ; din această cauză este numit moment

de redresare. În acest caz plutitorul va fi stabil.b) dacă h < 0, metacentrul va fi sub centrul de greutate (fig.4.9 a). Putem observa cămomentul r M va fi negativ şi va înclina plutitorul şi mai mult. În acest caz, plutitorul va fiinstabil.

c) dacă h = 0, metacentrul şi centrul de greutate se suprapun (Fig.4.9 b). În consecinţă,momentul de redresare va fi nul şi corpul va pluti în echilibru înclinat. Şi în aceastăsituaţie plutirea este instabilă.

Fig.4.9 a, b

Deci condiţia de stabilitate a plutirii este ca metacentrul să se găsească deasupracentrului de greutae:

.0 ar h (4.26)

Conform (4.24) şi (4.23), putem scrie:

g f r M M a Dr Dar D M sinsinsin , (4.27)

unde:


30/77

30

sinr D M f , (4.28)

se numeşte momentul stabilităţii de formă şi:

sina D M g , (4.29)

momentul stabilităţii de greutate.

Ca urmare, pe baza relaţiei (4.27) putem considera momentul de redresare ca sumaalgebrică a acestor două momente.

În cazul înclinărilor mici, longitudinale, consideraţiile prezentate mai sus îşi păstreazăvalabilitatea, momentul de redresare fiind în acest caz:

sinsin a R D H D M r , (4.30)

unde

a R H . (4.31)

reprezintă înălţimea metacentrică longitudinală şi R raza metacentrică longitudinală.

Deoarece H este mult mai mare decât h nu se pune problema unei instabilităţilongitudinale a unei nave. Mişcările de tangaj nu pot produce răsturnarea navei. Este motivulpentru care nava se pune perpendicular pe val.

Lucrare de verificare – unitatea de î nvăţare nr. 4

1. Enunaţi trei principii ale staticii fluidelor. 2. Inălţimea metacentrică reprezintă:

a. distanţa dintre metacentru şi centrul de greutate; b. distanţa dintre metacentru şi centrul de carenă; c. distanţa dintre centrul de greutate şi centrul de carenă; d. distanţa dintre metacentru şi chilă.

3. Raza metacentrică reprezintă: a. distanţa dintre metacentru şi centrul de greutate; b. distanţa dintre metacentru şi centrul de carenă; c. distanţa dintre centrul de greutate şi centrul de carenă; d. distanţa dintre metacentru şi chilă.

4. Ecuaţia fundamenatală a hidrostaticii


2 a3 b


31/77

31

5. Mişcarea potenţială (irotaţională)

Mişcarea potenţială este caracterizată prin faptul că vectorul vârtej este nul – mişcareirotaţională (vezi şi cap. 2.2).

02

1 vrot , (5.1)

Dacă este nul, componentele sale pe cele trei axe sunt de asemenea nule:

.02

1

,02

1

,02

1

y

v

x

v

x

v

z

v

z

v

y

v

x y

z

z x

y

y z

x

(5.2)

sau

.

,

,

y

v

x

v

x

v

z

v

z

v

y

v

x y

z x

y z

(5.3)

Relaţiile (5.3) sunt satisfăcute numai dacă viteza v derivă dintr -o funcţie :

,,, z

v y

v x

v z y x

(5.4)

sau vectorial:

v . (5.5)

Într-adevăr:

0 grad rot vrot . (5.6)

Funcţia t z y x ,,, se numeşte potenţialul vitezelor.

Dacă aplicăm ecuaţia de continuitate la lichide,

02

2

2

2

2

2

z y x z

v

y

v

x

v z y x , (5.7)

vom observa că funcţia verifică ecuaţia lui Laplace:

0 , (5.8)

deci este o funcţie armonică.


32/77

32

5.1 Mişcarea plană potenţială

Mişcarea fluidelor se numeşte plană sau bidimensională dacă toate particulele care segăsesc pe aceeaşi perpendiculară la un plan fix, numit plan director, se mişcă paralel cuacest plan, cu viteze egale.

Dacă planul director coincide cu planul xOy, atunci 0 z v .

O mişcare plană devine unidimensională dacă componentele xv şi yv ale vitezei

fluidului depind numai de o coordonată spaţială.

Pentru mişcarea plană, ecuaţia liniei de curent va fi:

y x v

dy

v

dx , (5.9)

sau:

0 dxvdyv y x , (5.10)iar ecuaţia de continuitate:

0

y

v

x

v y x . (5.11)

Partea stângă a ecuaţiei (5.10) este o diferenţială totală exactă a funcţiei , numităfuncţie de curent.

xv

yv y x

, , (5.12)

0 dxvdyvd y x . (5.13)

Funcţia verifică ecuaţia de continuitate (5.11):

022

x y y x y

v

x

v y x . (5.14)

Funcţia este de asemenea o funcţie armonică:

021

21

2

2

2

2

y x yv

xv x y z , (5.15)

0 . (5.16)

Totalitatea punctelor în care funcţia este constantă, defineşte suprafeţeleechipotenţiale.

În cazul mişcării plane:

- constant, liniile echipotenţiale de viteză;

- constant, liniile de curent.

Calculând circulaţia vitezei de-a lungul unei curbe, în masa fluidului, între punctele A şiB (Fig. 5.1), vom avea :


33/77

33

B

A

B

A

A B

B

A

d r d r d v . (5.17)

Astfel circulaţia vitezei nu depinde de forma curbei AB, ci numai de valorile funcţiei în A şi în B. Circulaţia vitezei este nulă de-a lungul unei linii echipotenţiale de viteză

( .const B A ).Dacă calculăm debitul de lichid prin curba AB în mişcarea plană potenţială (de fapt

prin suprafaţa cilindrică determinată de curba AB şi unitatea de lăţime), vom avea (Fig.5.1):

Fig.5.1

B

A

B

A

A B y x d dxvdyvQ 11 . (5.18)

Deci debitul care traversează o curbă nu depinde de forma ei, ci numai de valorilefuncţiei de curent în punctele sale extreme. Debitul printr-o linie de curent este

.const B A . Este evident că viteza nu traversează linia de curent.

O linie de curent este ortogonală cu o linie echipotenţială de viteză. Pentru ademonstra această proprietate, să luăm în considerare gradientul funcţiei scalare F care estenormal pe suprafaţa F = constant. Rezultă că vectorii şi sunt normali pe liniile decurent şi pe liniile echipotenţiale de viteză.

Calculând produsul lor scalar, vom obţine:

0

y x y x vvvv

y y x x

. (5.19)

Deoarece produsul lor scalar este nul, rezultă că vectorii sunt perpendiculari, deciliniile de curent şi liniile echipotenţiale de viteză sunt curbe ortogonale.

Revenind la expresiile lui xv şi yv :

.

;

x yv

y xv

y

x

(5.20)

Relaţiile(5.20) reprezintă condiţiile Cauchy-Riemann de monogeneitate ale funcţiilor

de variabilă complexă. Orice mişcare plană potenţială poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţiianalitice de variabilă complexă ire z iy x z .

Funcţia analitică:


34/77

34

y xi y x z W ,, , (5.21)

se numeşte potenţialul complex al mişcării plane potenţiale.

Derivând (5.21) obţinem viteza complexă (Fig. 5.2):

y x viv y

i y x

i xdz

dW

, (5.22)

sau

ievivdz

dW sincos . (5.23)

Fig.5.2

Având potenţialul complex, să stabilim câteva tipuri de mişcări plane potenţiale.

5.2 Mişcarea rectilinie şi uniformă

Să considerăm potenţialul complex: z a z W , (5.24)

unde a este o constantă complexă de forma:

K viva 0 , (5.25)

cu0

v şi K v constante reale, positive.

Relaţia (5.24) poate fi scrisă sub forma: i xv yv yv xvi z W K K 00 , (5.26)

de unde găsim expresiile funcţiilor şi :

.,

,,

0

0

xv yv y x

yv xv y x

K

K

(5.27)

Egalând aceste relaţii cu constante, obţinem ecuaţiile liniilor echipotenţiale şi ale liniilorde curent:

.

.

20

10

consC xv yv

consC yv xv

K

K

(5.28)


35/77

35

Din aceste ecuaţii ale ecuaţiile liniilor echipotenţiale şi ale liniilor de curent observămcă ele sunt drepte (Fig.5.3).

Fig.5.3Pantele lor sunt:

.0

,0

0

2

0

1

v

vtg

v

vtg

K

K

(5.29)

Putem uşor verifica ortogonalitatea acestor drepte scriind:

121 tg tg . (5.30)

Derivând potenţialul complex, obţinem viteza complexă:

K vivadz

dW 0 , (5.31)

care ne permite să stabilim componentele vitezei într -un anumit punct:

.0

,00

K y

x

vv

vv (5.32)

Vectorul viteză va avea modulul: 22

0 K vvv , (5.33)

şi va face cu axa Ox, unghiul2

, dat de relaţia (5.29).

Putem concluziona că potenţialul vector (5.25) descrie o mişcare rectilinie şi uniformăale cărei linii de curent fac unghiul 2 cu axa absciselor.

Componentele vitezei pot fi obţinute de asemenea din relaţiile (5.20):

.

,0

K y

x

v x y

v

v

y x

v

(5.34)


36/77

36

Dacă particularizăm (5.25), făcând 0k v , potenţialul complex (5.24) va lua forma:

z v z W 0 , (5.35)

care reprezintă mişcarea rectilinie şi uniformă pe direcţia axei Ox.

Analog, făcând în relaţia (5.25) 00 v , vom avea:

z vi z W K

, (5.36)care reprezintă mişcarea rectilinie şi uniformă, cu viteza K v pe direcţia axei Oy.

Mişcările descrise mai sus vor avea sens invers dacă expresiile corespunzătoare alepotenţialului complex vor avea semnul minus.

5.3 Sursa (izvorul)

Să considerăm potenţialul complex:

z Q z W ln2

, (5.37)

În care Q este o constantă reală, pozitivă.

Scriind variabila complexă sub formă exponen-ţială ier z , potenţialul complexdevine:

ir Q

i z W ln2

, (5.38)

de unde obţinem funcţiile şi :

.2

,ln2

Q

r Q

(5.39)

care egalate cu constante ne dau ecuaţiile liniilor echipotenţiale şi ale liniilor de curent:

.

,

const

const r

(5.40)

Se poate observa că linile echipotenţiale sunt cercuri concentrice cu centrul în originea

sistemului de axe, iar liniile de curent sunt drepte concurente în acest punct (Fig.5.4).

Fig.5.4


37/77

37

Ştiind că:

sincos r yand r x , (5.41)

în punctul ,r M , componentele vitezei vor fi:

.01

,2

r v

r

Q

r v

S

r

(5.42)

Se poate observa că pe cercul de rază r viteza fluidului are un modul constant, fiindcoliniară cu vectorul radial în punctul considerat.

O mişcare potenţială în care fluxul se face radial, astfel încât pe un cerc de rază datăviteza este constantă ca modul, se numeşte sursă plană.

Constanata Q care apare în relaţiile de mai sus se numeşte debitul sursei. Debitulsursei printr-o suprafaţă circulară de rază r şi lăţime unitară va fi:

12 r vr Q . (5.43)

Analog potenţialul complex de forma:

z Q

z W ln2

, (5.44)

va reprezenta o absorbţie (puţ) deoarece, în acest caz, sensul vitezei este invers, fluidulmişcându-se din exterior către origine (va fi absorbit).

Dacă sursa nu este plasată în originea sistemului de axe ci în punctul1

O , de imaginea ( a număr complex), atunci:

a z Q

z W ln2 . (5.45)

5.4. Vârtejul

Să considerăm potenţialul complex:

z i

z W ln2

. (5.46)

Unde este o constantă reală, pozitivă, egală cu circulaţia vitezei de-a lungul uneicurbe închise (cerc), care înconjoară originea sistemului de axe.

Procedând la fel ca în cazul precedent, vom obţine funcţiile şi :

,ln2

,2

r

(5.47)

din care observăm că liniile echipotenţiale de viteză, de ecuaţii .const sunt drepteconcurente în originea sistemului de axe şi liniile de curent, de ecuaţii .const r , sunt cercuri

concentrice cu centrul tot în originea sistemului de axe (Fig.5.5).


38/77

38

Fig.5.5

Componentele vitezei sunt:

02

10

r r vand

r v

S r

. (5.48)

Astfel, pe cercul de rază r, viteza este constantă ca modul, are direcţia tangentei lacerc în punctul considerat şi este orientată în sensul creşterii unghiului.

Dacă centrul vârtejului nu este plasat în originea sistemului de axe ci în pun ctul1

O , deimagine a ( a număr complex), atunci:

a z i

z W ln2

. (5.49)

5.5 Teorema lui Kutta-Jukovski

Să considerăm un corp cilindric normal pe un plan complex, curba C fiind secţiuneadintre cilindru şi plan.

În jurul acestei curbe curge un curent, plan potenţial, având potenţialul complex z W .Viteza la infinit a curentului, orientată în sensul negativ al axei Ox, este v .

În acest caz rezultanta forţelor de presiune va avea componentele:

.1

,0

v R

R

y

x

(5.50)

Forţele sunt exprimate pe unitatea de lungime a corpului cilindric.

A doua relaţie (5.62) este expresia matematică a teoremei lui Kutta-Jukovski, care vafi enunţată aici fără a fi demonstrată:

Dacă un fluid cu densitatea curge în jurul unui corp cu circulaţia şi viteza la infinit

v , acesta va acţiona asupra unităţii de lungime a corpului cu o forţă egală cu produsul

v , normală pe direcţia vitezei la infinit, numită forţă portantă (portanţă).

Sensul portanţei se obţine rotind vectorul vitezei la infinit cu 090 în sens inverscirculaţiei.


39/77

39


1. Descrieţi mişcarea rectilinie şi uniformă. 2. Descrieţi sursa. 3. Descrieţi absorbţia (puţul). 4. Descrieţi vârtejul.

5. Sursa şi vârtejul plasate în origine au potenţialul complex ...1..., respectiv ...2..., încare z (în coordonate polare) = …3…, Q = …4…, Γ = …5…

1. a. z Q

ln2

2. a. z

Qln

2

3. a. ire 4. a. srv 2 5. a. srv 2

b. z Q

ln2

b. z Q

ln2

b. ire b. r rv 2 b. r rv 2

c. z i

ln

2

c. z

iln

2

c. lnre c. 12 r vr c. 12 r v

d. z i

ln2

d. z

iln

2

d. x+iy d. srv d. srv


5.

1 b2 d

3 a4 c5 a

6. Dinamica fluidelor reale

6.1 Regimurile de mişcare ale fluidelor

Mişcarea fluidelor reale se poate efectua în două regimuri calitativ diferite : regimullaminar şi regimul turbulent.

Aceste regimuri de mişcare au fost evedenţiate pentru prima oară de fizicianul englezOsborne Reynolds, în 1882, care a efectuat studii experimentale sistematice privindcurgerea apei prin conducte de sticlă, având dimetrul d = 5 ÷ 25 mm.

Instalaţia experimentală utilizată este prezentată schematic în figura 6.1.

Fig. 6.1


40/77

40

Conducta transparentă 1, cu o intrare foarte îngrijit prelucrată , este alimentată derezervorul 2, plin cu apă, la un nivel constant.

Debitul care curge prin conducta transparentă poate fi reglat prin intermediulrobinetului 3 şi măsurat cu ajutorul vasului gradat 6 şi a unui cronometru.

În conducta 1, î n interiorul curentului de apă, se introduce cu ajutorul unui tub subţire4, un lichid colorat, de aceeaşi densitate cu apa. Debitul de lichid colorat, furnizat de derezervorul 5, poate fi reglat cu ajutorul robinetului 7.

Deschizând puţin robinetul 3, prin conducta 1 va curge un curent de apă , având unanumit debit şi o anumită viteză. Dacă se deschide şi robinetul 7, lichidul colorat, introdus prin tubul subţire 4, se

angajează în curgere sub forma unui fir rectiliniu, paralel cu pereţii conductei, lasândimpresia că s-a trast o linie dreaptă în interiorul tubului transparent 1.

Acest regim de mişcare în care fluidul curge în fire care nu se amestecă între ele senumeşte regim laminar.

Continuând deschiderea lentă a robinetului 3, se observă că la o anumită viteză decurgere a apei, firul de lichid colorat începe să se onduleze, iar la viteze mai mari, începe săpulseze , ceea ce arată că vectorul viteză înregistreză variaţii în timp (pulsaţii).

La viteze şi mai mari, pulsaţiile firului de lichid colorat, cresc în amplitudine şi, la un

moment dat, el se va destrăma, particulele de lichid colorat amestecându-se cu masa apeiaflată în curgere prin tubul 1.

Regimul de mişcare în care, datorită pulsaţiilor vitezei, particulele de fluid se amestecă între ele, se numeşte regim turbulent.

Trecerea de la regimul laminar la cel turbulent, numită regim de tranziţiei, secaracterizează printr -o anumită valoare a numărului Reynolds, numită valoare critică (Recr ).

Numărul Reynolds

vl Re , este numărul care defineşte criteriul de similitudine

Reynolds.

Pentru conducte circulare netede, valoarea critică a numărului Reynols este :Recr = 2320.Pentru valori ale numărului Reynols inferioare valorii critice (Re < Recr ), mişcare

fluidului va fi laminară, în timp ce pentru Re > Recr , regimul de mişcare va fi turbulent.

6.2. Ecuaţia Navier – Stokes

Ecuaţia lui Navier–Stokes descrie mişcare fluidului real incompresibil în regimullaminar.

Spre deosebire de fluidele ideale care pot dezvolta numai eforturi unitare de

compresiune care se datoreză numai presiunii proprii, fluidele reale (viscoase) pot dezvoltaeforturi suplimentare normale sau tangenţiele datorită prezenţei viscozităţii. Expresia efortului tangenţial de viscozitate , definit de Newton (vezi capitolul 1) este

următoarea :

y

v

. (6.1)

Lichidele Newtoniene sunt capabile să dezvolte într -un regim laminar, eforturile deviscozitate σ şi τ , care împreună formeză aşa numitul tensor al efortur ilor de viscozitate, Tv (în fig. 6.2 eforturile acţionează asupra unui volum paralelipipedic elementar dintr -un fluid cuurmătoarele feţe: dx, dy şi dz ).


41/77

41

Fig. 6.2

Tensorul Tv este simetric :

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

vT

, (6.2)

yz zy xz zx xy yx ;; . (6.3)

Forţa elementară de viscozitate care acţionează asupra volumului elemntar de fluid îndirecţia axei Ox este :

.dz dydx z y x

dydxdz z

dydxdy y

dz dydx x

dF

zx yx xx

zx yx xxvx

(6.4)

Conform teoriei elasticităţii :

.

;

;2

z

v

x

v

y

v

x

v

x

v

x z

zx

x y

yx

x

xx

(6.5)

Prin urmare :

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

dydz dx z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

x

z xv

z v

yv

y xv

xvdF

x x x z y x

z x x y xvx

(6.6)

Dar 0

z

v

y

v

x

v z y x , conform ecuaţiei de continuitate pentru lichide.

Atunci :

dz dydxvdF x x . (6.7)Similar:

,dz dydxvdF yvy


42/77

42

.dydydxvdF z vz

Prin urmare :

, d v F d v (6.8)

sau

.

d v F v (6.9)

Spre deosebire de fluidele ideale, când aplicăm principiul lui d’Alambert apare în plusşi forţa de viscozitate:

.0 iv pm F F F F (6.10)

Introducând relaţiile (3.3),(3.5),(3.7) şi (6.9) în (6.10) obţinem :

0d dt

vd v p F , (6.11)

sau :

dt

vd v p F

1. (6.12)

Relaţia (6.14) reprezintă forma vectorială a ecuaţiei lui Navier -Stokes. Forma scalară aecuaţiei, în coordonate carteziene, este :

.

1

;

1

;

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z z

y z

x z z

z z z z

z

y

y

y

x

y y

y y y

y

z x

y x

x x x

x x x x

v z

vv

y

vv

x

v

t

v

z

v

y

v

x

v

z

p F

v z

vv

y

vv

x

v

t

v

z

v

y

v

x

v

y

p

F

v z

vv

y

vv

x

v

t

v

z

v

y

v

x

v

x

p F

(6.13)

De multe ori, mai ales pentru curgerea în conducte circulare, utilizăm un sistem decoordonate cilindrice (x, r, ). Corespondenţa dintre cele două sisteme de coordonate( sin;cos; r z r y x x ) ne conduce la o altă formă a ecuaţiilor lui Navier -Stokes:

;1211

222

2

2

2

22

2

2

r

p

r

vv

r r

v

r x

vv

r r

v

r

v

x

vv

v

r

v

r

vv

t

v

r r r r r

r x

r r r

r

;1211

222

2

2

2

22

2

p

r r

vv

r r

v

r x

vv

r r

v

r

vv

x

vv

v

r

v

r

vv

t

v

r

r xr


43/77

43

x

p

r

v

r x

vv

r r

v

x

vv

v

r

v

r

vv

t

v

x x x x

x x

x xr

x

1112

2

2

2

22

2 , (6.14)

şi a ecuaţiei de continuitate :

01

r

v

z

vv

r r

v r xr

. (6.15)

6.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fir de lichid real

Spre deosebire de mişcarea unui fluid ideal, unde energia sa specifică (energia unităţiide masă) rămâne constantă de-a lungul unui fir de fluid şi unde, de la o secţiune la alta, areloc numai conversia unei părţi a energiei potenţiale în energie cinetică, în cazul mişcăriipermanente a unui flui real, energia sa specifică nu mai este constantă. Ea scade mereu însensul de curgerea al fluidului.

O partea a energiei fluidului este convertită în energie termică şi este ireversibilconsumată pentru a învinge rezistenţa produsă chiar de propria viscozitate.

Notând energia specifică - sarcina (disipată/pierdută în căldură) cu hf , ecuaţia luiBernoulli devine :

f h z p

g

v z

p

g

v 2

2

2

2

1

1

2

1

22 . (6.16)

În puncte diferite ale aceleaşi sectiuni, numai energia potenţială rămâne constantă,energia cinetică diferă din moment ce viteza variază în secţiune, v=v(x,y,z). În acest caz

termenul energiei cinetice ar trebui corectat cu un coeficient α , care ţine cont de distribuţiavitezei în secţiune (α = 1,05 ÷1,1):

f h z p

g

v z

p

g

v 2

2

2

22

1

1

2

11

22

. (6.17)

Raportând pierderea de sarcină hf la lungimea l a unei conducte drepte, obţinempanta hidraulică (fig. 6.3) :

Fig. 6.3

l

h

l

z p

g

v z

p

g

v

I f

2

2

2

22

1

1

2

11

22

. (6.18)

Dacă ne referin numai la energia specifică potenţială, obţinem panta piezometrică :


44/77

44

l

z p

z p

I p

2

2

1

1

. (6.19)

În cazul mişcării uniforme (v = ct ) :

l

htg I I f

p . (6.20)

Cercetările experimentale au arătat că, indiferent de regimul în care are loc mişcareafluidului, pierderile de sarcină pot fi scrise sub forma :

m

f vbh , (6.21)

unde b este un coeficint care ţine cont de natura fluidului, de dimensiunile tubului şide starea pereţilor interiori ai conductei.

m=1 pentru regimul laminar;m=1,75÷2 pentru regimul turbulent.Dacă logaritmăm (6.21) obţinem :

vmbh f lglglg . (6.22)

În figura 6.4 este prezentată variaţia sarcinii hf în raport cu viteza, în coordonatlogaritmice :

Fig. 6.4

Pentru un regim laminar θ = 450. Schimbarea în regimul turbulent se face pentru oviteză ce îi corespunde Recr =2320.

6.4 Mişcarea laminară a fluidelor

6.4.1 Distribuţia vitezelor între două plăci plane paralele de lungime infinită

(Fig.6.5)

Pentru a determina distribuţia vitezelor între două plăci plane paralele de lungimeinfinită, vom integra ecuaţia (6.15) în următoarele condiţii:


45/77

45

Fig.6.5

a) Viteza are numai direcţia axei Ox:;0,0 z y x vvv (6.23)

Din ecuaţia de continuitate, 0v , rezultă:

,0

x

v x (6.24)

deci viteza nu variază de-a lungul axei Ox.

b) Mişcarea se reproduce identic în plane paralele cu xOz:

0

y

v x . (6.25)

Din (6.24) şi (6.25) rezultă că z vv x x .

c) Mişcarea este permanentă:

0

t

v x . (6.26)

d) Neglijăm forţele masice (placile sunt orizontale).

e) Fluidul este incompresibil.

În aceste condiţii, prima ecuaţie (6.15) devine:

01

2

2

dz

vd

x

p x

. (6.27)

Integrînd de două ori (6.27), obţinem: 21

2

2

1C z C z

x

p z v x

. (6.28)

Pentru situaţia în care plăcile paralele sunt fixe, vom avea condiţiile la limită:

.0,

;0,0

x

x

vh z

v z (6.29)

În consecinţă:

.0

;2

1

2

1

C

h x

pC

(6.30)

Distribuţia vitezelor între două plăci plane paralele, de lungime infinită, va fi dată delegea:

z h z x

p z v x

2

1. (6.31)

Se observă că distribuţia vitezei este parabolică, având un maxim pentru2

h z :

x

phv x

8

2

max . (6.32)

max xv este pozitiv, deoarece 0 x p (sensul curgerii, sensul pozitiv al axei Ox,

corespunde cu descreşterea presiunii)


46/77

46

Calculând viteza medie în secţiune:

h

x x

phdz z v

hu

0

2

12

1

, (6.33)

se observă că max3

2vu .

Debitul care trece prin secţiunea de lăţime b va fi:

x

phbhbvQ

12

3

. (6.34)

6.4.2 Distribuţia vitezelor în conducte circulare

Să considerăm o conductă circulară, de rază 0r şi lungime l, prin care circulă un fluid

incompresibil cu densitatea şi viscozitatea cinematică (Fig.6.6).

Vom raporta conducta la un sistem de coordinate cilindrice ( and r x, ), axa Ox fiind

axa de simetrie a conductei. Mişcarea având loc pe direcţia acestei axe, componentelevitezei vor fi:

0,0 vvv r x . (6.35)

Ecuaţia de continuitate 0v , scrisă în coordinate cilindrice:

01

x

r vv

r

vr

r v xr

, (6.36)

devine:

0

x

v x , (6.37)

de unde rezultă că viteza fluidului nu variază pr lungimea conductei. Pe de altă parte, luând în considerare caracterul axial-simetric al mişcării, viteza nu

depinde nici de variabila .

Pentru mişcarea permanentă, rezultă că viteza nu depinde decât de r; deci r vv .Distribuţia vitezelor în secţiunea conductei se obţine integrând ecuaţia lui Navier -

Stokes (6.14).

Notând cu r ii, şi i versorii celor trei direcţii ale sistemului de coordinate cilindrice,

vom scrie viteza vectorială:

ir vv x . (6.38)

Ştim că în coordinate cilindrice operatorul "" are expresia:

r

i

r i

xi r . (6.39)

Pe baza lui (6.38), putem scrie:

0

x x vi

xvvv , (6.40)

deoarece, după cum am văzut, viteza xv nu depinde decât de variabila r.

Pe de altă parte, în coordinate cilindrice, termenul v poate fi scris sub forma:


47/77

47

.

1

r r

v

r r

i

r x

v

xr

vr

r

v

r r

iviv

x

x x x

x

(6.41)

Ţinând cont de caracterul permanent al mişcării, de relaţiile (6.40) şi (6.41), proiecţiaecuaţiei (7.14) pe axa Ox poate fi scrisă sub forma:

x

pr

r

v

r r

x

1, (6.42)

deoarece, în ipoteza unei conducte orizontale, 0 x x g F .

Presupunând că gradientul de presiune de-a lungul axei Ox este constant( ./ cons x p ), şi integr ând (6.42), vom obţine succesiv:

,2

1 1

r

C r

x

p

r

v x

(6.43)

,ln4

121

2

C r C r x

p

v x

(6.44)Constantele de integrare

1C şi

2C se determină folosind condiţiile la limită:

- în axa conductei, la r = 0, viteza trebuie să fie finită, deci constanta1

C trebuie să fienulă (la r =0, r ln );

- pe peretele conductei, la 0r r , viteza fluidului trebuie să fie nulă.

În consecinţă:

2

024

1r

x

pC

, (6.45)

şi relaţia (6.44) devine: 220

4

1r r

x

pv x

. (6.46)

Din relaţia (6.46) observăm că dacă mişcarea are loc în sensul pozitiv al axei 0 xvOx , atunci 0/ x p , deoarece presiunea descreşte în direcţia mişcării.

Dacă I este panta piezometrică (egală, în acest caz, cu panta hidraulică), vom puteascrie:

I l

p

x

p

, (6.47)

Unde p este căderea de presiune pe lungimea l a conductei.

În consecinţă, relaţia (6.41) devine:

2204

r r I

v x

. (6.48)


48/77

48

Fig.6.6

Se observă că distribuţia vitezei în secţiune este parabolică (Fig.7.6 a), maximumvitezei fiind înregistrat în axa conductei (r = 0), deci:

2

0max41

r I

v x

. (6.49)

Să considerăm un element de suprafaţă dA în formă de coroană circulară de rază r şilăţime dr (Fig.7.6 b). Debitul elementar care trece prin suprafeţa dA este :

rdr vdAvdQ x x 2 (6.50)şi debitul total

0

0

4

0

22

082

r

r I

dr r r r I

Q

. (6.51)

Viteza medie are expresia:

28

max,2

0

xvr

I

A

Qu

. (6.52)

Mai departe putem scrie:

g v

d d g

d v

d g

v

r

vl

h I f

21

Re64Re32328 2

2

2

22

0

. (6.53)

Relaţia (6.53) este legea lui Hagen-Ppiseuille, care ne dă valoarea pierderilor desarcină liniare în conducte în cazul mişcării laminare:

g

v

d

l

g

v

d

l h f

22Re

64 22 , (6.54)

Re

64 fiind coeficientul rezistenţei hidraulice în cazul mişcării laminare.

6.5 Mişcarea turbulentă a fluidelor

Într-un punct al curentului turbulent, fluidul înregistrează variaţii rapide faţă de vitezamedie în secţiune. Câmpul vitezelor are o structură complexă, încă necunoscută, fiindobiectul a numeroase studii.

Variaţia vitezei în timp este reprezentată în Fig. 6.7.


49/77

49

u

t1

Fig.6.7

Un caz particular de mişcare turbulentă es

Documents

Hidrodinamica si teoria valurilor