Formalisme noyau :

Graphes Conceptuels de Base

Ball:*

Cube:*

Ball:*

Color:*

Cube:A

between

carac carac

onTop

Labels are taken in the vocabulary (or support)

1

1

1 1

2

2

2 2

3

Basic conceptual graph (BG)

Two kinds of nodes :

• “concept nodes” represent entities

• “relation nodes” represent relationships

between these entities

The vocabulary (or support)

T

Animate

Colour

Inanimate

Object

Cube

Property

RegularObject

Ball

Bloc

between(...,...,...) near(...,...)

adjoin (...,...)

1. TC : Poset of concept types

2. TR : Poset of relation types partitioned into types of same arity

3. I : Set of individual markers

onTopOf (...,...)

V or S = (TC, TR, I)

* : the generic marker

[and : typing of individuals, relation signatures, …]

Ball:*

Cube:*

Ball:*

Color:*

Cube:A

between

carac carac

onTop

A

Labels are takenin the support

1

1

1 1

2

2

2 2

3

“There is a cube, which is on top of cube A, and there are balls, with same color, A being between these balls”

Basic conceptual graph (BG)G = (C, R, E, l)

Let’s compare BGs …

(t,m) (t’,m’) if and only if t t’ and m m’

where the order over I{*} is as follows:

for all i in I, * > i

for all i and j in I, i and j are non comparable

Ex: compute the partial order on the following labels:

(Cube, A) (Cube,*) (RegularObject,*)

(Ball,*) (RegularObject,B) (Ball,B)

First : how to compare labels ?

Poset of concept labels

« Projection » (BG Homomorphism)

« is the knowledge encoded in graph Q present in graph G ? »« does G provides an answer to Q? »

Mapping from the nodes of Q to the nodes of G, which:

• preserves bipartition

• preserves edges and their numberingif c-i-r then (c)-i-(r)

• may specialise labels type subtype generic marker individual marker

GQ?

Q: “Are there an object on top of a big cube and a gray object?”

Object

Cube

onTop

1

2

Object

Color:gray

carac

1

2

Size:big

carac

fact G

Ball

Color:gray

Cube

carac

onTop

1

1

2

2

onTop

Cube

carac

carac

Size:big

1

2

1

1

1

2

2

2

query Q

r1 r2

r3

r4 r5

r6

r7

r8

c1 c2

c3 c4

c5

d1 d2

d3

d4

d5

Object

Cube

onTop

1

2

Object

Color:gray

carac

1

2

Size:big

carac

query Q fact G

Ball

Color:gray

Cube

carac

onTop

1

1

2

2

onTop

Cube

carac

carac

Size:big

1

2

1

1

1

2

2

2

Image graph 1: there is a ball on top of a big gray cube

c1 c2

c3 c4

c5

d1 d2

d3

d4

d5

r1 r2

r3

r4 r5

r6

r7

r8

Object

Cube

onTop

1

2

Object

Color:gray

carac

1

2

Size:big

carac

query Q fact G

Ball

Color:gray

Cube

onTop

1

1

2

2

onTop

Cube

carac

carac

Size:big

1

2

1

1

1

2

2

2

carac

Image graph 2: there is a ball on top of a big cube and there is a gray cube

c1 c2

c3 c4

c5

d1 d2

d3

d4

d5

r1 r2

r3

r4 r5

r6

r7

r8

Project:P

Researcher Researcher:K Researcher:J

Office:#124

Office

member

in in

in

near

Query Q Fact G

member

Person Person

member

Project Project

Q: “Are there people working together, who are each member of a project?”

worksWith

worksWith

member member

Project:P

Researcher Researcher:K Researcher:J

Office:#124

Office

member member member

in in

inworksWith

near

Query Q Fact G

member

worksWith

Person Person

member

Project Project

Specialisation/Generalisation

Projection defines a generalisation relation among SGs

Q G (G Q)

if there is a homomorphism from Q to G

Q is more general than G

G is more specific than Q

Problème fondamental : BG-Homomorphisme

Données : deux BGs G et H Question : y-a-t-il un homomorphisme de G dans H?

(problème NP-complet)

Classical graph homomorphism is a particular case of BG homomorphism

• A graph homomorphism h from G=(VG, EG) to H=(VH,EH) is a mapping from VG to VH that preserves edges:

if (x,y) is in EG, then (h(x),h(y)) is in EH

a

b

c

d

3

1 2

G

H

From graph homomorphism to BG homomorphism

T

T

r

1

2

TC = {T}TR ={r}M = {*}

Support

There is a homomorphism from a graph G to a graph H if and only if there is a BG-homomorphism from f(G) to f(H)

f

From BGs to graphs ? There is a polynomial transformation too…

T Tp

T Tp

p T

T Tp

p T

Tp

p

Ex : Relationships between these BGs?

Specialization is reflexive, transitive but not antisymmetric: it is a preorder

Quelle sémantique pour les BGs ?

Intuitivement : un BG représente l’existence d’entités et de relations entre ces entités

“There is a cube, which is on top of cube A, and there are balls, with same color, A being between these balls”

Sémantique ensembliste (ou théorie des modèles)

Sémantique logique

Besoin d’une sémantique formelle

Ca n’est pas assez précis : Combien y-a-t-il d’objets ? Sont-ils tous différents ?Est-il sous-entendu que ces objets ont tous une couleur?Peut-il y avoir un autre objet sur le cube A? Si on a « onTop » ou « between » a-t-on aussi « near » ?

First-order logical semantics ()

Translation of the Support

types (concept/relation) predicatesindividual markers constants

‘subtype’ partial order formulas

concept types t < t’ x t(x) t’(x)

x Bloc(x) Object(x)

relation typesr < r’ x1... xk r(x1,..., xk) r’(x1,..., xk)

x1x2 adjoin(x1,x2) near(x1,x2)

(S) is the set of the formulas translating the type posets

Translation of a BG

Ball:*

Cube:*

Ball:*

Color:*

Cube:A

between

carac carac

onTop

x

A

y z

u

1

1

1 1

2

2

2 2

3

• For each generic concept node, a new variable

• For each individual concept node with marker i, the constant assigned to i

Cube(x)

Cube(A)

Ball(z)Ball(y)

Color(u)

onTop(x,A)

carac(y,u) carac(z,u)

Ball:*

Cube:*

Ball:*

Color:*

Cube:A

between

carac carac

onTop

x

A

y z

u

1

1

1 1

2

2

2 2

3

between(A,y,z)

Cube(x) Cube(A) Ball(y) Ball(z) Color(u) onTop(x,A) between(A,y,z) carac(y,u) carac(z,u)

xyzu

• For each node,an atom

Quelle sémantique pour l’homomorphisme?

• S’il existe un homomorphisme de Q dans G, cela veut dire quoi?

Intuitivement : « la connaissance représentée par Q est aussi présente dans G », « G est plus précis que Q », « on peut déduire Q de G », «G implique Q »

Formellement : (Q) se déduit de (G) et de (S)

• Et s’il n’existe pas d’homomorphisme de Q dans G, que peut-on en conclure?

« fondés par rapport à une logique »

Les raisonnements doivent être fondés par rapport à la déduction dans cette logique

• adéquats, corrects(sound) : si i peut être inféré de K alors f(i) est déductible de f(K)

• complets (complete) : si f(i) est déductible de f(K) alors i peut être inféré de K

K Ensemble de formulesdans une logique

f

Sémantique logique

A reformuler en termes de BGs

BGs are logically founded

Support S

t < t’r < r’

Graphs (BGs)

predicates, constantsx t(x) t’(x)x1... xk r(x1,..., xk) r’(x1,..., xk)

( , ) formulas

Soundness: if Q G then (Q) deducible from (G), (S)

Completeness: if (Q) deducible from (G), (S) then Q G• the BG model is equivalent to the ( , ) FOL fragment(without function)

(one can get rid off universally quantified formulas associated with the support)

• BG homomorphism is equivalent to deduction

Une limitation à la complétude

Le BG homomorphisme est complet par rapport à la déduction si le graphe cible est sous forme normale

T:a r T:b

s T:b

T:a r T:b

sT:a

(G) et (H) équivalentesmais G et H incomparables par homomorphisme

Un graphe est sous forme normale s'il n'a pas deux sommets concepts avec le même marqueur individuel

T:a r T: b

s

G H

The BG model

Support (vocabulary)

Basic (conceptual) graphs defined on support

Operations

BG Homomorphism (« Projection »)

Logical language

Formulas

Deduction

FOL