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FACULTAD DE INGENIERÍA Y COMPUTACIÓN
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial
Revisión de la literatura acerca del FSSP
permutacional con criterio de minimización del
makespan.
Presentado por:
Antony Hector Vera Villegas
Para optar por el Grado Académico de Bachiller en:
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Asesor: José Manuel Cárdenas Medina
Arequipa, Febrero del 2020
Dedicatoria
A Dios y mi familia, por ser el motor de mi vida. A mis amigos y profesores, que, gracias
a su apoyo, consejos y palabras de aliento, hicieron que no me dé por vencido por mas
adversidad que se presente.
Agradecimientos
A Dios y mi familia, por ser brindarme su apoyo y amor en todo momento, por ser mi
guía y darme todo lo necesario para lograr mis sueños.
A todos mis amigos y compañeros sin los cuales no hubiera podido llegar hasta donde
estoy.
A los profesores Alexander Benavides y José Manuel Cárdenas por brindar su ayuda y
consejos, siendo el soporte de este trabajo de investigación.
A cada uno de los colaboradores de la Universidad Católica San pablo por ser parte de
mi formación académica, profesional y personal.
Resumen:
El problema de asignación de tareas en talleres de flujo consiste en definir el orden de “n”
trabajos que deben ser procesados por “m” máquinas, el objetivo más común de este problema
es la reducción del tiempo de ejecución de todos los trabajos, técnicamente llamado makespan,
mediante la optimización en la asignación del orden de trabajos.
Su estudio se viene realizando desde hace más de 60 años, habiendo autores que dedican
la mayor parte de su vida a este problema, las propuestas se hacen cada vez más y con más
frecuencia en las últimas décadas y el foco de estudio se centra en la proposición de nuevos y
mejores métodos heurísticos para este problema, haciendo que se viva en un ambiente de
competencia y de mejora continua.
En el presente trabajo buscamos hacer una revisión de la literatura más relevante de este
problema, mostrando en orden cronológico los principales aportes hasta llegar al estado del arte,
con el fin de asentar las bases para futuras investigaciones; teniendo un especial enfoque critico
en el mejor algoritmo actual para determinar sus fortalezas y debilidades que serán usadas para
estudiar y proponer de manera teórica una idea que sirva para una posterior propuesta de mejora
a los métodos que forman el estado del arte. El cual, con el incremento exponencial de la
tecnología y el “apetito insaciable” de las empresas por mejorar sus procesos, está sirviendo de
base para la creación de nuevos modelos con rendimientos de alto nivel en muchas ramas de la
ingeniería industrial.
Palabras Clave: Programación de tareas en talleres de flujo. Heurística. Iterativo Goloso.
Criterio de Desempate. Máximo tiempo de finalización.
Abstract:
The Flow-shop Scheduling Problem (FSSP) is to define the order of "n" jobs that must be
processed by "m" machines, the most common objective of this problem is the reduction of the
execution time of all jobs, technically called makespan, by optimizing the order of work
assignments.
Its study has been carried out for more than 60 years, with authors who dedicate most of
their academic life to this problem, the proposals are made more and more frequently in the last
ones’ decades and the focus of study is focused on proposing new and better heuristic methods
for this problem, making it live in an environment of competition and continuous improvement.
In the present work we seek to review the most relevant literature of this problem, showing
in chronological order the main contributions to reach the state of the art, in order to establish
the basis for future research; having a special critical approach in the best current algorithm to
determine their strengths and weaknesses that will be used to study and propose in a theoretical
way an idea that will serve for a later proposal of improvement to the methods that form the
state of the art. Which, with the exponential increase in technology and the "insatiable appetite"
of companies to improve their processes, is serving as the basis for the creation of new models
with high level performance in many branches of industrial engineering.
Keyboards: Flow Shop Scheduling. Heuristic. Iterated greedy. Tie-breaker. Makespan.
Introducción:
El problema de asignación de tareas en líneas de producción o Flow-shop Scheduling, es
una clase de problema de programación muy común que consiste en definir el orden en que un
número de “n” de trabajos que tienen que ser procesados por un número “m” de máquinas, cada
trabajo tiene un tiempo de procesamiento diferente en cada máquina y todos los trabajos tienen
que pasar por la misma ruta de máquinas.
La asignación del orden de los trabajos es el resultado de resolver el problema, y para
muchos autores también el tiempo de ejecución total o máximo tiempo de completacion,
denominado como makespan “Cmax”, el cual es el que se busca minimizar y, en consecuencia,
optimizar la resolución del Flow-show Scheduling Problem (FSSP). La mejora se logra
optimizando la asignación del orden de trabajos mediante métodos matemáticos plasmados en
heurísticas y metaheurísticas, ambas resumidas en un algoritmo, el cual es el que se ejecuta en
el computador y obtiene los resultados.
Índice General
CAPITULO I: INTRODUCCIÓN.................................................................................... 1
1. Descripción del problema de investigación ............................................................... 1
2. Objetivos de la investigación .................................................................................... 2
2.1. Objetivo general ........................................................................................................ 2
2.2. Objetivos específicos ................................................................................................. 2
3. Justificación de la investigación ................................................................................ 2
3.1. Conveniencia ............................................................................................................. 2
3.2. Justificación teórica ................................................................................................... 3
3.3. Justificación metodológica ........................................................................................ 3
3.4. Justificación práctica ................................................................................................. 4
4. Resumen de la estructura de la tesina ........................................................................ 5
CAPITULO II: REFERENCIAL TEÓRICO ................................................................... 7
1. Marco Teórico-conceptual......................................................................................... 7
1.1. Conceptos Preliminares ............................................................................................. 7
1.2. Evolución de la Literatura ....................................................................................... 10
1.3. Aplicaciones del Flow-shop en la ingeniería industrial. ......................................... 23
2. Hipótesis/Proposición de la investigación. .............................................................. 25
2.1. Resumen y Estado del Arte. .................................................................................... 25
2.2. Proposición de la investigación. .............................................................................. 25
CAPITULO III: MÉTODO DE INVESTIGACIÓN ...................................................... 26
CAPITULO IV: ANALISIS DE RESULTADOS ......................................................... 29
1. Análisis de la literatura analizada. ........................................................................... 29
2. Análisis crítico del estado del arte del FSSP. .......................................................... 33
3. Propuesta teórica de un nuevo Tie-breaker. ............................................................ 34
CAPITULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................... 36
1. Conclusiones: .......................................................................................................... 36
2. Recomendaciones: ................................................................................................... 37
Referencias bibliográficas .............................................................................................. 38
Anexos ............................................................................................................................ 41
Apéndices ....................................................................................................................... 46
Índice de tablas
Tabla 1: Cantidad de referencias vs. intervalos de los años en el que se publicaron. ................. 4
Tabla 2: Comparación del algoritmo NEH y CDS .................................................................... 11
Tabla 3: Instancias propuestas por Taillard. .............................................................................. 13
Tabla 4: Resumen de la heurísticas a comparar. ....................................................................... 20
Tabla 7: Métodos del estado del arte del FSSP. ........................................................................ 33
Tabla 8: Resumen de los resultados de probar el IG con diferente Tie-breaker (TB). .............. 34
Tabla 5: Listado de Autores con la cantidad de artículos académicos publicados por ellos. .... 46
Tabla 6: Listado de la bibliografía utilizada para el análisis bibliométrico............................... 47
Índice de Figuras
Figura 1: Procedimiento de la búsqueda local iterativa (ILS). .................................................. 15
Figura 2: Ejemplo del IG sin búsqueda local y con la destrucción de 3 trabajos. ..................... 17
Figura 3: ARPD vs ARPT en las instancias de Taillard. ........................................................... 22
Figura 4: ARPD vs ARPT en las instancias de VRF. ................................................................ 22
Figura 5: Mapa de resumen de precedentes del estado del arte del FSSP. ................................ 29
Figura 6: Gráfico circular de la cantidad de documentos académicos por autor. ...................... 31
Figura 7: Grafico de barras de los artículos Cuantitativos vs. Cualitativos. ............................. 32
Figura 8: Grafico de barras del idioma de los artículo de la bibliografía.. ................................ 32
1
CAPITULO I: INTRODUCCIÓN
1. Descripción del problema de investigación
La presente investigación busca responder a la pregunta sobre: ¿Qué se discute en el
campo académico actual sobre el problema de asignación de tareas en líneas de producción
del tipo Flow-shop? o FSSP por sus siglas en inglés. En específico, el problema de tipo
permutacional con objetivo en la minimización del máximo tiempo de finalización o, por su
nombre técnico, makespan.
Las variables de estudio son: el estado del arte y el problema de asignación de tareas
de tipo Flow-shop, en el cual, a partir de una revisión de la literatura, desde los primeros
algoritmos propuestos que tuvieron un impacto significativo, se buscará identificar aquella
heurística o metaheurística que en la actualidad es la que ofrece los mejores resultados en
cuanto a eficiencia (el que utiliza menos esfuerzo computacional) y eficacia (el que da el
menor tiempo de completación o makespan).
2
2. Objetivos de la investigación
2.1. Objetivo general
Realizar una revisión crítica acerca de la literatura de la que se fundamenta el estado
del arte del Flow-Shop Scheduling Problem permutacional, con criterio de minimización del
makespan.
2.2. Objetivos específicos
• Hacer una revisión de literatura más relevante en orden cronológico para dar conocer
de una manera clara lo que se propuso y como se dio la mejora continua de este
problema de asignación.
• Estudiar críticamente la propuesta que corresponde al estado del arte del FSSP, para
comprender porque su algoritmo es el que da los mejores resultados actualmente.
• A raíz del estudio crítico del mejor algoritmo actual, formular una propuesta teórica
de una idea que si es explotada pueda mejorar el desempeño del mejor algoritmo
actual.
3. Justificación de la investigación
3.1. Conveniencia
La mejora continua es una regla de vida para todo ingeniero industrial, todas las
mejoras en el software y los métodos para la asignación de recursos parten de ideas que
tienen que funcionar, de primera mano, en la teoría. Entender todas las mejoras que se
hicieron para optimizar la resolución del FSSP nos llena de propuestas e ideas que podemos
aplicar en el ámbito profesional, así como se podrá observar también, si existe algún “talón
de Aquiles” en el mejor algoritmo actual, el cual, en el futuro se puede reforzar, haciendo
más robusto el algoritmo y contribuyendo a aumentar la eficiencia de este.
3
Hay muchos autores que dedican gran parte de su vida académica analizando y
aportando a la optimización de este problema, Rubén Ruiz, Tomas Stützle, Victor
Fernandez-Viagas y Jose Framinan son algunos ejemplos de los muchos estudiosos que
publican constantemente y contribuyen a la optimización de la resolución del FSSP.
3.2. Justificación teórica
El estudio del FSSP se viene realizando desde hace varias décadas, la constante
proposición y optimización de la solución es el tema de investigación de muchos estudiosos
del tema, la gran mayoría de artículos académicos del tema pertenecen al ámbito
internacional, habiendo muy pocos en nuestro país y américa latina. La información que se
tiene sobre este ámbito es bastante amplia, debida a la cantidad de aportes muchos muy
distintos entre sí, se han usado todo tipo de heurísticas y metaheurísticas traducidas en
algoritmos para encontrar la mejor solución del Flow-shop, mostrando así la trascendencia
del estudio de este problema de programación.
Para la elaboración de esta tesina se contó con el apoyo de los docentes investigadores
Alexander Javier Benavides Rojas y José Manuel Cárdenas Medina los cuales dieron soporte
y contribuyeron con sus conocimientos y experiencia.
3.3. Justificación metodológica
El trabajo de investigación ayudara a todo aquel que este interesando en comprender
y estudiar de qué se trata el FSSP, la recopilación de la literatura que se mostrará fue escogida
de manera estratégica para que se pueda entender de manera clara y efectiva, primeramente,
en que consiste el Flow-shop Scheduling Problem permutacional con minimización del
makespan, y segundo, para poder tener una idea clara de cómo fue su evolución gracias a
los aportes y propuestas de la gran variedad de estudiosos del tema y cómo abordarlo para
futuras investigaciones. En síntesis, esta tesina se puede tomar como el punto de partida para
futuras investigaciones y posteriores propuestas que buscaran mejorar el estado del arte
actual del problema de asignación.
Con respecto a las referencias utilizadas en el presente trabajo, podemos afirmar que
el 50% de las referencias, 11 de 22, pertenecen a los últimos 10 años, mientras que las demás
4
se encuentran entre los años 1983 y 2008. Podemos inferir por el comportamiento
encontrado que hubo un aumento considerable y progresivo con respecto a las publicaciones
sobre este tema, tendencia que se mantiene hasta la actualidad. Cabe resaltar también que
los aportes más “importantes” se encuentran distribuidos por todos los años y no se puede
encontrar un comportamiento como para poder hallar una tendencia de ellos.
Tabla 1: Cantidad de referencias vs. intervalos de los años en el que se publicaron.
Nota. Tabla obtenida por elaboración propia.
3.4. Justificación práctica
Los resultados de este trabajo de investigación darán las bases para cualquier propuesta
de mejora sobre el algoritmo que se considera el estado del arte actual, mostrando si este
tiene algún punto débil, o poco eficiente, el cual se puede optimizar mediante la variación
de alguna sección del algoritmo actual o la creación de un nuevo método heurístico o
metaheurístico para resolver el FSSP permutacional con minimización del makespan.
Todos los modelos de optimización en la asignación de tareas y recursos nacen de
propuestas teóricas plasmadas en modelos matemáticos que se simulan en problemas de
programación como el estudiado en la presente investigación. Las empresas más
0
2
4
6
8
10
12
De 1983 a 1995 De 1996 a 2008 Del 2009 a 2019
3
8
11
5
competitivas del mercado utilizan la mejora continua como filosofía de trabajo, por lo que
se encuentran en constante búsqueda de nuevo software o layouts para hacer más eficiente
la distribución y asignación de máquinas de su organización.
Todas las heurísticas y metaheurísticas que se proponen para resolver el FSSP tienen
debajo de ellas un fundamento matemático y lógico el cual puede ser la fuente de un modelo
de distribución o un software que optimice y aumente la productividad del sector industrial,
en específico, de aquellas empresas productivas que tengan un proceso altamente
automatizado, aprovechen las economías a escala y tengan una amplia cartera de productos
o Mix. De modo que, hay mucho potencial de optimización en estas empresas si se aplican
los conceptos teóricos respaldados por los algoritmos del FSSP, de manera conjunta con las
técnicas del lean manufacturing (SMED, Celdas de manufactura, 7 desperdicios, etc.) para
diseñar el proceso productivo se podrá eliminar el desperdicio de la espera, los tiempos
muertos, los cuellos de botella, y se estará mucho más cerca de lograr un flujo
completamente continuo en la línea de producción.
4. Resumen de la estructura de la tesina
En el capítulo II se realizará el marco teórico conceptual, el cual se dividirá en tres
puntos: (1) Los conceptos preliminares, debido a que algunos términos son muy técnicos se
los definirá y es importante hacerlo, ya que, serán la base para poder entender el trabajo de
investigación a cabalidad. (2) La revisión de la literatura propiamente dicha, la cual se
ordenó de manera cronológica para visualizar el ambiente de mejora continua que se tiene
en este campo de investigación. (3) Aplicaciones del Flow-shop en la ingeniería industrial,
sección que buscará romper paradigmas mostrando aplicaciones diversas del problema de
asignación en la ingeniería industrial. Terminado el marco teórico se realizará la
hipótesis/proposición de la investigación, la cual primero mostrará un resumen plasmado
en el estado del arte del problema y luego se realizará la proposición propiamente dicha.
En el siguiente capítulo, relacionado a los métodos de investigación, las
acciones que fueron tomadas para la búsqueda de la información que tuvo como fin
responder a la pregunta de investigación y alcanzar el estado del arte. Se detallarán cuáles
6
fueron las ventajas, desventajas y limitaciones de la obtención de información para futuros
trabajos orientados a tratar con el FSSP.
En el capítulo IV se realizará un pequeño análisis crítico sobre el estado del arte, con
el fin de encontrar las fortalezas y las debilidades, de modo que se pueda proponer una idea
que sirva como fundamento de un trabajo posterior que busque reforzar alguna debilidad
encontrada y de esta forma mejorar el desempeño del mejor algoritmo actual.
Para finalizar, en el último capítulo, se realizarán las conclusiones en base a los
objetivos propuestos, mostrando como se llegó a cumplirlos y se realizaran las
recomendaciones correspondientes para quien decida retomar esta investigación o futuros
trabajos relacionados a este problema.
7
CAPITULO II: REFERENCIAL TEÓRICO
1. Marco Teórico-conceptual
Para iniciar esta sección del trabajo se mostrarán algunos conceptos que será necesario
dominar para comprender de manera efectiva las propuestas realizadas por los estudiosos
del Flow-shop Scheduling Problem, que se irán mostrando en orden cronológico para
facilitar la comprensión y, además, visualizar el ambiente de mejora continua en el que vive
este problema de asignación.
Por el hecho de que existen demasiadas y muy variadas propuestas en este campo de
investigación nos enfocaremos en la revisión y explicación de la rama/línea de la cual se
formó el algoritmo que corresponde al estado del arte, ya que, si se hiciera una revisión de
todos los artículos y formas propuestas para resolver el FFSP el trabajo sería demasiado
extenso.
1.1. Conceptos Preliminares
Como se explicó en la parte introductoria el problema de asignación de tareas en líneas
de producción más conocido actualmente como Flow-shop Scheduling Problem. Taillard
(1990) lo define como un problema de planeamiento de producción donde: “n” trabajos
(ítems, tareas…) tienen que ser procesados en la misma secuencia por un número “m” de
máquinas; el tiempo de procesamiento del trabajo “i” en la máquina “j” es dado por “tij”
(i=1, …, n; j=1, …, m). Esos tiempos son definidos, enteros positivos y algunos de ellos
pueden ser 0 si algún trabajo no es procesado por una máquina, no tiene que pasar por ella.
Dentro de este problema general de programación de tareas en máquinas existen tres
tipos de sub problemas: El Open-shop, el Job-shop y el Flow-shop.
Open-shop, Job-shop y Flow-shop:
Como nos indica. Taillard (1993) en el problema Open-shop, como su nombre lo
indica, todas las operaciones son asignadas a una máquina determinada, pero el orden para
la asignación de los trabajos es completamente libre. Para el caso del problema Job-shop,
cualquier orden de procesamiento para los trabajos en las máquinas es permitido, pero para
8
todo trabajo, las operaciones deben ser procesadas en un orden definido en las máquinas,
aunque este orden puede diferir de acuerdo a los trabajos. Por último, para el Flow-shop, el
cual es el problema que se estudia en esta investigación, Ruiz (2006) lo define de una manera
bastante clara, él nos indica que en el Flow-shop todos los trabajos deben tener el mismo
orden de procesamiento en todas las máquinas, ya que hay un orden tecnológico en las
máquinas y este orden se debe respetar para todos los trabajos sin excepción.
El Flow-shop es normalmente el tipo de problema más escogido por los investigadores
debido a que sus parámetros son más controlados que el Open-shop y el Job-shop, Ruiz
(2006) también nos indica que el objetivo del Flow-shop Problem es normalmente encontrar
la secuencia que optimice algún objetivo dado, siendo por lejos, el criterio más común el de
minimizar el makespan (Cmax).
Makespan:
Es común en la literatura de programación buscar una secuencia de trabajos que
minimicen el tiempo máximo de finalización que coincide con el momento en que el
último trabajo de la secuencia termina en la máquina m. Este objetivo se conoce
comúnmente como makespan o Cmax. Otros criterios que se consideran con frecuencia
son la minimización total del tiempo de finalización, denominada como ∑Cj, siendo
Cj el tiempo de finalización del trabajo j en el taller, o la minimización total de las
tardanzas o ∑Tj, donde Tj es una medida de la tardanza del trabajo j, que es la fecha
de vencimiento del trabajo j. (Rad, Ruiz & Boroojerdian, 2009, p.331)
Como se pudo ver existen muchos criterios dentro del Flow-shop, cada criterio tiene
un objetivo diferente siendo el makespan el más común. El cual consiste en el tiempo entre
el comienzo de la ejecución del primer trabajo en la primera máquina y el término de la
ejecución del último trabajo en la última máquina. (Taillard, 1990).
Ya conocemos que dentro del problema de asignación de tareas en líneas de
producción existen tres tipos, de los cuales, en el Flow-shop se centrará esta investigación,
así como de los criterios de optimización el makespan es el más utilizado por mucho con
respecto a los demás. Para terminar de abarcar toda la información preliminar, tenemos que
9
explicar que dentro del Flow-shop existen dos variantes, la versión permutacional y la no
permutacional.
Flow-shop permutacional y no permutacional:
La permutación en la matemática es una variación del orden o posición de los
elementos de un conjunto ordenado, si tomamos la solución del problema de asignación
como un conjunto del orden de las máquinas en la que deben transitar los trabajos, nos damos
cuenta que la solución más óptima (la mejor asignación) será siempre el resultado de una
permutación.
Benavides & Ritt (2018) Abarcan estas dos variantes en su artículo y nos explican que
la versión permutacional y la no permutacional, se distinguen por su espacio de búsqueda
debido una pequeña variación con respecto a su solución, solución que corresponde a la
permutación más exitosa del orden de los trabajos. Ya que, en la versión no permutacional,
cada máquina puede tener un orden diferente de trabajos por lo que el orden de asignación
variará en función a la máquina y su espacio de búsqueda al momento de asignar este orden
es mucho mayor que su contraparte, el modelo permutacional, en el cual solo hay una
solución del orden de trabajos, solución que todas las máquinas comparten sin excepciones.
Heurística y Metaheurística:
Durante el presente documento se utilizarán muchas veces estos dos términos, la
heurística es un método de aproximación o una forma para resolver un problema, en este
caso el problema es el FSSP. La metaheurística también es un método de aproximación, pero
se diferencia de la heurística porque esta no está “amarrada” al problema de programación
en si, por lo que es un método que puede aplicarse en muchos problemas de asignación
diferentes sin perder su utilidad; en cambio la heurística es específica para solo un tipo de
problemas y solo funcionan en este.
Resumen y Suposiciones finales:
Una vez afianzados todos los conceptos preliminares y ayudándonos de lo que Liu, Jin
& Price (2017) denominaron como suposiciones del Permutation Flow-shop Problem
10
(PFSP) con minimización del makespan. Podemos dar las “reglas del juego” del problema
que se estudia de una manera resumida:
• Se tiene un número “m” de máquinas y un número “n” de trabajos.
• Todos los trabajos tienen que ser procesados por todas las máquinas.
• Todos los trabajos deben tener el mismo orden de asignación y este orden de
procesamiento no puede ser variado.
• Los trabajos son independientes y están disponibles desde el tiempo 0, estos
inician lo antes que se pueda.
• El tiempo de procesamiento de cada trabajo en cada máquina es conocido y
determinando.
• El tiempo de preparación para el funcionamiento de la máquina está incluido en
el tiempo de procesamiento.
• Solo son permitidas las asignaciones permutacionales.
• El criterio más usado para buscar la optimización es el del makespan.
1.2. Evolución de la Literatura
La historia de la resolución de este problema de asignación/programación data desde
hace muchísimos años, uno de los primeros trabajos de los que se tiene data fue el elaborado
por Johnson S. M. en el año 1954 con su artículo denominado: “Optimal two and three-
machine Scheduling problem”. A partir de él hubo muchas más publicaciones en el tema, de
las cuales la más importante fue casi veinte años después, donde los autores Nawaz, Enscore
y Ham aportaron de una manera gigantesca a la resolución del FSSP cuando propusieron su
heurística constructiva NEH proveniente de las siglas de los apellidos de los autores.
Primer gran aporte: Heurística constructiva NEH (1983):
La heurística constructiva NEH que propusieron Nawaz, Enscore & Ham (1983) Se
basa en el supuesto de que un trabajo con más peso, el cual consiste en el tiempo de
procesamiento total en todas las máquinas, se le debería dar mayor prioridad con respecto a
la asignación que a un trabajo con menos peso, de modo que, al asignar los trabajos más
“complicados” primero, los más sencillos se podrán acoplar.
11
Una descripción general del algoritmo propuesto se puede exponer de la
siguiente manera: los dos trabajos con mayor tiempo de procesamiento total son
escogidos del total de trabajos, la mejor secuencia parcial de estos se logra gracias a
una exhaustiva búsqueda, después, el tercer trabajo con mayor tiempo de
procesamiento es probado en tres soluciones parciales: antes, en medio, y después de
los dos trabajos ya insertados, el mejor orden (el de menor makespan) de los tres
trabajos encontrados, se vuelve la mejor solución parcial. Este proceso se repite hasta
que todos los trabajos son insertados y la secuencia completa se encuentra. (Nawaz
et al., 1983, p.92.)
Los autores Nawaz et al. (1983) resolvieron un total de 2764 problemas Flow-shop
con un numero de máquinas y de trabajos que fueron seleccionados entre varios niveles entre
25 y 4. El tiempo de procesamiento para cada trabajo en cada máquina fue generado de
manera aleatoria por una distribución uniforme con un rango de 1 hasta 99. Se comparó su
algoritmo contra el CDS de Campbell, Dudek y Smith propuesto en 1970 en su artículo: “A
heuristic algorithm for the n job, m machine sequencing problem”. Los resultados que
obtuvieron se mostraran en la Tabla 1.
Tabla 2: Comparación del algoritmo NEH y CDS
Nota. Tabla basada de Nawaz et. al (1983). A heuristic algorithm for the m-machine, n-job flow-shop sequencing problem.
Número de
trabajos
Número de
Maquinas
Número de
problemas
Número de veces
donde NEH es igual
al CDS
Número de veces
donde el algoritmo
NEH es mejor
Número de veces
donde el algoritmo
CDS es mejor
4 4 200 153 41 6
4 5 200 152 43 5
4 6 200 142 53 5
4 20 100 67 14 19
5 6 200 105 77 18
5 8 200 115 66 19
5 10 200 98 72 30
5 20 100 43 38 19
6 8 200 67 103 30
6 10 200 75 95 30
6 12 200 70 95 35
6 20 100 17 55 28
10 10 200 10 185 5
10 15 200 9 175 16
10 20 200 10 176 14
15 15 25 0 25 0
20 20 25 0 23 2
25 25 14 0 14 0
2764 1133 1350 281TOTAL
12
Como se puede observar en la tabla el algoritmo NEH es mucho mejor que el CDS, de
los 2764 problemas en los que se probaron en 1350 el algoritmo NEH tuvo mejores
resultados, en 1133 tuvieron resultados igual y solo en 281 problemas el algoritmo CDS fue
mejor, con esto los autores comprobaron que su algoritmo NEH era la mejor heurística
constructiva de su época; se le dice constructiva porque esta va construyendo poco a poco la
solución final del FSSP.
Aceleración de Taillard (1990):
Después de la gran propuesta de la heurística constructiva se realizaron muchos más
aportes al problema y siente años después Eric Taillard selecciona los mejores métodos
heurísticos que existían hasta esa fecha y busca mejorar la complejidad del mejor. Taillard
(1990) Compara el NEH y la búsqueda tabú, siendo la segundo una técnica más actual
propuesta por Glover F. en 1989 en su artículo: “Tabu Search – Part I”. el realiza mejoras
en los dos algoritmos presentando un algoritmo de búsqueda tabú paralelo y una mejora en
el NEH que se denomina como la aceleración de Taillard.
Después de comparar las heurísticas clásicas: Grupta, Johson, RA, Palmer, CDS y
NEH. Observa que la heurística constructiva NEH era mucho más eficiente que las demás,
y es a raíz de esto el decide hacerle una pequeña variación a esta. Taillard (1990) mantiene
los dos primeros pasos del NEH, los cuales eran (1) ordenar los trabajos de forma creciente
sumando el tiempo de procesamiento en todas las máquinas, para poder asignar primero las
máquinas más pesadas y (2) Tomar los dos primeros trabajos y asignarlos en orden de
minimizar el makespan parcial como si solo hubiera esos dos trabajos. A partir del tercer
trabajo en vez de probar en todas las posiciones posibles como se hacía en el algoritmo
original, el cálculo el makespan que se obtendría antes de la inserción de todas las
posibilidades y asigno el trabajo en la posición donde este makespan era el menor,
reduciendo el costo computacional de ejecutar el algoritmo NEH de O(n3m) a O(n2m).
Después de comparar el NEH y el algoritmo Tabú vio que los dos tenían resultados
muy buenos, el Tabú muchas veces encontró mejores resultados que el NEH, pero el costo
computacional era mucho más alto. Otro problema del Tabú fue que para encontrar la mejor
solución se tenían que aplicar varias técnicas Tabú diferentes, cosa que es demasiado
13
aleatoria, o si se hacen en paralelo demasiado costosa. Taillard (1990) concluye que el NEH
con la aceleración propuesta por el, es la mejor heurística constructiva hasta su fecha.
Instancias de Taillard (1993):
Otro gran aporte que dio Éric Taillard para el FSSP fueron sus 120 instancias, que
nacen para reemplazar a los 2764 problemas Flow-shop que uso en su publicación de 1990,
en esta misma publicación, para hacer la comparación justa de las heurísticas que se habían
propuesto tuvo que implementar todas las propuestas y compararlas en un mismo
computador. Esto marco una gran diferencia, ya que, antes cada uno probaba en la forma
que podía y publicaba los resultados, haciendo así muy difícil delimitar cual era mejor.
A raíz de esta falta de estandarización. Taillard (1993) Creo problemas con 5, 10 y 20
máquinas y entre 20 y 500 puestos de trabajo. Y para cada tamaño de problema propuso las
siguientes instancias. (Ver Tabla2). Siendo un total de 11035, de las cuales se seleccionaron
diez instancias para cada tamaño de problema obteniéndose las famosas 120 instancias de
Taillard. (Ver Anexo 1) Cabe mencionar que en esta publicación Taillard no solo creo
instancias para el Flow-shop, si no también, para el Open y el Job-shop.
Tabla 3: Instancias propuestas por Taillard.
Nota. Tabla basada de Taillard (1993). Benchmarks for basic scheduling problems.
Número de
trabajos
Número de
maquinas
Número de
instancias
Número de
Soluciones
20 5 100 3
20 10 100 3
20 20 100 3
50 5 70 3
50 10 70 3
50 20 70 3
100 5 10000 4
100 10 50 3
100 20 50 3
200 5 300 3
200 10 25 10
200 20 100 5
11035 46TOTAL
14
Esperamos que los problemas que proponemos constituyan una base de
comparación para futuros métodos de resolución. Todos pueden enviarnos sus
propios resultados sobre estos problemas, especificando si sus soluciones han
demostrado ser óptimas o no, con el fin de actualizar las mejores soluciones
conocidas. (Taillard, 1993, p.285)
Gracias a Taillard y sus instancias, ahora, todo aquel que busque proponer una nueva
heurística o metaheurística para resolver el FSSP tiene que compararla con las ya existentes
dentro de estas 120 instancias, además, en el fragmento se menciona: “las mejores soluciones
conocidas” las cuales son las mejores soluciones obtenidas mediante la compilación de un
algoritmo pero que no alcanzan el valor mínimo o “Lower Bound”, que corresponde a la
mejor solución obtenida de manera teórica o matemática. A este valor alcanzado por una
heurística o metaheurística se le denomina “Upper Bound” y cuando el Upper es igual al
Lower se puede decir que la solución es óptima, si no es el caso, es solo el mejor conocido.
Iterated Local Search (1998):
Después del aporte de las instancias, el número de investigadores y de propuestas
aumento de una manera muy notable, la variedad de los algoritmos le dio mucha riqueza a la
resolución del FSSP y en 1998 Stützle realizo un gran aporte con su búsqueda local iterativa.
La búsqueda local para el Flow-shop Problem empieza desde una secuencia
inicial y trata de mejorar la secuencia actual de manera repetitiva con cambios locales.
Si el vecindario de la secuencia actual es π, y una mejor secuencia π´ es encontrada,
esta reemplaza a π y la búsqueda local se continua. (Stützle, 1998, p.1)
Como nos indica Stützle (1998) la búsqueda local iterativa (ILS) es una simple y
generalmente aplicable metaheurística que aplica una búsqueda local reiteradas veces para
modificar el actual punto de búsqueda. Para aplicar el algoritmo ILS se tienen que especificar
cuatro componentes: Ellos son el mecanismo para Construir la solución inicial, que es la
heurística constructiva en la cual utiliza el NEH con la aceleración de Taillard, un proceso
de Modificación, que cambia la solución actual para encontrar otra, un procedimiento de
Búsqueda local que nos lleva a un mínimo local, y por ultimo un Criterio de Aceptación
15
que decide si la solución se acepta. En la Tabla 3 muestra el procedimiento del ILS de
Stützle:
Figura 1: Procedimiento de la búsqueda local iterativa (ILS).
Nota. Figura obtenida de Stützle, T. (1998). Applying iterated local search to the permutation flow shop problem.
El autor realiza una comparación de su ILS contra las mejor metaheurísticas propuestas
hasta la fecha, la cual correspondía al algoritmo SAOP de Osman & Potts (1989) y el Tabú-
NS de Nowicki & Smutnicki propuesto en 1996. Este algoritmo SAOP era una metaheurística
de alto rendimiento, por su fácil implementación, que superaba a las grandes propuestas que
se hicieron mucho después de ella, dentro de las cuales se encontraban propuestas basadas
en Simulated Annealing, las búsquedas Tabú (muchos autores mejoraron la búsqueda Tabú
original de Glover del 89), y algoritmos genéticos.
Se comparó en un número determinado de iteraciones su algoritmo contra los otros y
demostró que era la metaheurística más eficiente (Ver Anexo 2 y 3), usando la heurística
constructiva NEH con la aceleración de Taillard para hacer su solución inicial.
Recopilación del 2005:
En el 2005 Rubén Ruiz y Concepción Maroto hicieron una revisión y evaluación
exhaustiva de todas las propuestas hechas hasta la fecha, hicieron dos comparaciones muy
grandes, compararon todas las heurísticas y todas las metaheurísticas con el fin de demostrar
gracias a una comparación hecha de manera adecuada cual es la mejor heurística y cuál es la
mejor metaheurística desarrollada hasta esa fecha.
16
Ruiz & Maroto (2005) Para las heurísticas compararon 19 (Ver Anexo 4) y de las
cuales obtuvieron como conclusión, que el algoritmo NEH (1983) es la mejor heurística para
las instancias de Taillard, su desempeño, si se implementa como en Taillard (1990), en otras
palabras, con la aceleración de Taillard, es muy sobresaliente con tiempos de CPU por debajo
de los 0.5 segundos, incluso para las más grandes como lo son las instancias de 500x20.
Y para las metaheurísticas compararon 9 (Ver Anexo 5) y después de analizarlas
afirmaron que: “A partir de las metaheurísticas probadas, la búsqueda local iterativa (ILS) de
Stutzle (1998) y el algoritmo genético de Reeves son mucho mejores que los otros algoritmos
evaluados.” (Ruiz & Maroto, 2005, p.492).
Un año después (2006) los dos autores se juntaron con Javier Alcaraz y propusieron un
nuevo artículo: “two new robust genetic algorithm for the flow shop scheduling problem” en
el cual su principal aporte fue el de desmentir que los algoritmos genéticos no eran adecuados
para este tipo de problemas por su complejidad. Ellos demostraron la competitividad de esta
rama y su facilidad de aplicación.
Iterated Greedy (2007)
Ruiz & Stützle (2007) propusieron una metaheurística denominada Iterated Greedy o
iterativo goloso (IG) algoritmo se parece mucho al Iterated Local Search (ILS) solo que
mientras el ILS busca de manera local, el IG itera de una manera más análoga a las heurísticas
constructivas. El IG utiliza a la heurística constructiva NEH con aceleración de Taillard para
crear la solución inicial. Para la destrucción y la construcción probaron de manera
experimental para obtener los mejores valores y definir los parámetros del algoritmo, siendo
que al momento de la destrucción seleccionar 4 trabajos de manera aleatoria y sacarlos fue
el valor más adecuado para de destrucción, para volver a insertar estos se usó nuevamente el
NEH con aceleración de Taillard, una vez formada la nueva solución el criterio de aceptación,
que acepta mejores soluciones siempre, y peores con una probabilidad Exponencial negativa
de ((Cmax(s´)-Cmax(s)) /T ) donde la temperatura T es constante y vale 0.4; una vez
determinado si se acepta la solución creada mediante este criterio, se realiza una búsqueda
local a esta.
17
Figura 2: Ejemplo del IG sin búsqueda local y con la destrucción de 3 trabajos.
Nota. Figura obtenida de Ruiz & Stützle (2007). A simple and effective iterated greedy algorithm for the permutation flow-
shop scheduling problem.
Como se puede observar la solución mejora, el makespan baja de 8564 a 8366. Ruiz &
Stützle (2007) Compararon su propuesta con los otros algoritmos más importantes de esa
época y se obtuvieron resultados muy superiores a los obtenidos hasta el momento, lo
propuesto por Ruiz y Stützle se volvió un gran aporte para el FSSP y el estado del arte.
Tie-breaker para la heurística constructiva (2014)
Las propuestas continuaron, pero no fue hasta siete años después del IG de Ruiz y
Stützle que se dio otro gran aporte para lo que corresponde al estado del arte. Durante este
tiempo las propuestas más relevantes fueron las de una nueva heurística constructiva
propuesta por Farahmand, Ruiz & Borojerdian (FRB) en el 2009, que busco destronar al
NEH pero que no lo logro de una manera eficiente, ya que por más que el algoritmo tenía
buenos resultados su desempeño con respecto al esfuerzo computacional y el tiempo no eran
adecuados; vale mencionar que por más que este algoritmo sea muy pesado en comparación
del NEH (con aceleración de Taillard) fue de las pocas propuestas dentro de las heurísticas
constructivas que tuvieron unos resultados buenos, dado que muchos autores tomaron en
18
cuenta esta heurística para probar sus propuestas junto con el NEH. Otra propuesta que vale
la pena mencionar fue la de Pan & Ruiz (2012) los cuales comprobaron la eficiencia del ILS
y IG de primera mano y luego buscaron proponer nuevos métodos para hacer la búsqueda
local dentro de los algoritmos mencionados, su mayor aporte fue el de simplemente agregar
una búsqueda local más al ILS y al IG lo cual demostró tener mejores resultados.
En el 2014 Fernandez-Viagas y Framinan realizan un gran aporte en un punto que venía
siendo estudiado el cual buscaba mejorar la heurística constructiva NEH, la cual ya había
sufrido una mejora significativa en la primera inserción por Dong, Huang & Chen (2008) los
cuales agregaron la desviación estándar al promedio de la suma del tiempo de
procesamiento total para evitar los empates.
Este punto de mejora era durante la inserción de los trabajos donde al calcular el
makespan parcial mediante la aceleración de Taillard a veces estos empataban, es decir que
se tenían de 2 a más posibles ordenamientos en los cuales el makespan era el mínimo.
Fernandez-Viagas & Framinan (2014) Propusieron un Tie-breaker o desempatador para
cuando sucediera ese empate, ya que el NEH original simplemente elegía el primero que
encontró, el cual consistía en elegir el orden de trabajos que minimizara el “idle time” o
tiempo muerto.
Ellos compararon su Tie-breaker con algunos de los mecanismos propuestos hasta esa
fecha dentro del IG, mostrando que su aporte mejoro de una gran manera el desempeño del
algoritmo. (Ver Anexo 6) Ya la heurística constructiva NEH se usaba en muchos momentos
dentro del Iterated Greedy los empates mencionados se dan muchas veces durante toda la
ejecución del algoritmo.
Instancias de Vallada, Ruiz y Framinan (2015)
A raíz de la necesidad de instancias más complicadas ya que las 120 de Taillard
propuestas en 1993 empezaron a quedar cortas. Vallada, Ruiz & Framinan (2015)
propusieron 480 nuevas instancias (240 instancias largas y 240 instancias cortas o pequeñas)
que serán más complicadas de resolver y que servirán para las futuras pruebas. Las instancias
pequeñas fueron elegidas de combinaciones entre {10, 20, 30, 40, 50, 60} trabajos y {5, 10,
15, 20} máquinas, para cada combinación se tienen 10 instancias, siendo un total de 6 x 4 x
19
10 =240 instancias pequeñas. Y para las instancias grandes fueron elegidas de una
combinación de {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800} trabajos y {20, 40, 60} máquinas
y de la misma manera que las pequeñas, se realizaron 10 instancias por cada combinación
generándose en total 8 x 3 x 10 =240 instancias grandes.
Cabe mencionar que las 10 instancias propuestas para cada combinación de trabajos y
máquinas, fueron las 10 instancias más complicadas de un total de 2000 para el grupo de las
pequeñas, y para el grupo de las grandes fue similar, pero en vez de ser 2000 solo fueron
1000, de las cuales también se eligieron las 10 más complicadas. En otras palabras, de un
total de 72000 instancias que se generaron (48000 pequeñas y 24000 largas) se escogieron
las 480 (240 pequeñas y 240 largas) instancias más complicadas, 10 de cada combinación
como se mostró en el párrafo anterior.
Recopilación del 2017
En el 2017 se realizó la segunda gran “recopilación”, de manera análoga a la realizada
por Ruiz y Maroto en el 2015. Victor Fernandez-Viagas, Ruben Ruiz y Jose Framinan se
dieron el arduo trabajo de implementar todas las propuestas hechas hasta esa fecha y
compararlas de manera justa, definiendo así de una manera completamente objetiva que
algoritmo es el estado del arte del FSSP. Usando la misma forma que sus predecesores
separaron los algoritmos en heurísticas y metaheurísticas. Dentro de las heurísticas se
seleccionaron 19 de las 26 heurísticas propuestas, las cuales se pueden observar en negrita
en la Tabla 4, y para las metaheurísticas seleccionaron 75 (Ver Anexo 7 y 8).
Una vez re implementadas todas estas heurísticas y metaheurísticas se inició la
comparación de estas, los autores nos indican que realizaron el código de 31 algoritmos, 19
heurísticas y 12 metaheurísticas (ya que para las metaheurísticas se mostró cuales ya habían
sido comparadas anteriormente y se sabía de manera experimental cual era mejor que otra).
Para la comparación utilizo 120 instancias de Taillard y las 480 instancias de Vallada, Ruiz
y Framinan (VRF) siendo un total de 600 instancias.
20
Tabla 4: Resumen de la heurísticas a comparar.
Nota. Tabla obtenida de Fernandez-Viagas, V., Ruiz, R., & Framinan, J. M. (2017). A new vision of approximate methods for
the permutation flowshop to minimise makespan: State-of-the-art and computational evaluation.
Utilizaron también como criterio de evaluación la calidad de la solución denotada como
ARPD y el esfuerzo computacional denominado como CPU time y denotado como ACPU.
De modo que así se puede evaluar de una manera justa los algoritmos que son sencillos de
los que son exageradamente complejos, ya que en cuestiones de esfuerzo computacional estos
tienen valores muy altos y no es óptimo tener un algoritmo que por más que de buenos
resultados en cuestión de encontrar la mejor asignación de trabajos que reduce el makespan,
demora demasiado para obtenerlo.
Fernandez-Viagas et al. (2017) nos muestran también algunas de las cosas que
consideran para hacer la comparación de una manera justa:
• Usar la misma computadora, esto significa la misma velocidad en el procesador,
la memoria y el tamaño.
• Usar el mismo lenguaje de programación.
21
• Usar el mismo sistema operativo.
• Usar las mismas librerías y funciones similares.
• Usar el mimo criterio de parada para las metaheurísticas.
La ultima condición es bastante importante ya que, otra forma de darle más justicia a
la comparación de las metaheurísticas ya que estas la gran mayoría de las veces se basan en
muchas iteraciones, es usar un criterio de parada, este criterio puede ser uno o varios tiempos
en los cuales se da oportunidad a los algoritmos más sencillos a realizar más iteraciones en
función a los algoritmos que obtienen buenos resultados por la complejidad o algunas
funciones como “ordenar” que dan buenos resultados pero que son demasiado costosas en
esfuerzo computacional y tiempo.
Se analizaron todas las heurísticas y después, con tres criterios de parada, las
metaheurísticas, encontrando así que el Iterated Greedy propuesto por (Ruiz & Stutzle, 2007)
es la mejor metaheurística para el FSSP siendo muy superior a las demás, y en específico el
IG con el Tie-breaker propuesto por Fernandes-Viagas & Framinan en el 2014. Fernandez-
Viagas et al. (2017) afirman también que en las instancias grandes de (Vallada et al., 2015)
el desempeño del IG es aún mayor, instancias donde se encuentran el mayor número de
trabajos y de máquinas.
Fernandez-Viagas et al. (2017) Al final de su artículo compararon cada heurística
contra las mismas heurísticas usando la mejor Metaheurística (IG) para plasmar los
resultados usaron dos figuras (una para las instancias de Taillard y otra para las VRF) usando
en el eje de las “x” el valor de la solución y en el de las “y” el del esfuerzo computacional,
pero dado que las instancias tienen tamaños muy variables se utilizó un porcentaje que se
halla comparando la solución obtenida con la solución óptima de las instancias, y, de la
misma manera con el esfuerzo, encontrando así porcentajes que corresponden a la calidad de
la solución denominados ARPD (Average Relative Percentage Desviation) y al porcentaje
promedio relativo de tiempo consumido denominado como ARPT (Average Relatibe
Percentage Time). En función a estos dos criterios elaboraron la Figura 3 y Figura 4 la cual
nos muestra claramente como al aplicar el IG (los cuadrados sin leyenda con línea punteada)
se mejora toda heurística constructiva de una manera muy significativa con respecto a su
22
solución, aunque para esto se tenga que sacrificar un poco el tiempo, sacrificio que no se
considera contraproducente.
Figura 3: ARPD vs ARPT en las instancias de Taillard.
Nota. Tabla obtenida de Fernandez-Viagas, V., Ruiz, R., & Framinan, J. M. (2017). A new vision of approximate methods for
the permutation flowshop to minimise makespan: State-of-the-art and computational evaluation.
Figura 4: ARPD vs ARPT en las instancias de VRF.
Nota. Tabla obtenida de Fernandez-Viagas, V., Ruiz, R., & Framinan, J. M. (2017). A new vision of approximate methods for
the permutation flowshop to minimise makespan: State-of-the-art and computational evaluation.
23
1.3. Aplicaciones del Flow-shop en la ingeniería industrial.
Como se mencionó al inicio del documento, la resolución de estos problemas sirve de
base para la creación de modelos que se puedan aplicar en la realidad, ya que al demostrar
teóricamente mediante una heurística o metaheurística se puede tener una base sustentable
que puede aplicarse en la realidad. En los países más desarrollados donde se cuenta con
tecnología de punta, el uso de sistemas basados en heurísticas y metaheurísticas en una
realidad, pero no es algo que haya nacido en las últimas décadas. Como nos indican Nawaz,
Enscore & Ham (1983) el FSSP y todos estos tipos de problemas ocurren en muchos entornos
diferentes, y existen siempre que haya una opción en cuanto al orden (rango) en el que se
pueden realizar varias tareas (trabajos). Un problema real, por ejemplo, podría involucrar:
trabajos en una planta de fabricación, aeronaves en espera de despeje o programas para ser
ejecutados en un centro de cómputo.
Las aplicaciones del Flow-shop se pueden dar en muchos ámbitos debido a la variedad
de aportes que existen en este tema. Un ejemplo lo dan: Pan & Ruiz (2012) quienes afirmaron
que el Iterated Local Search ILS has sido aplicado para resolver además del Flow-shop
Scheduling Problem con minimización del makespan, en el problema de asignación
cuadrática, en la asignación de vehículos en múltiples depósitos y en muchos otros tipos de
problemas.
A continuación, se mostrarán algunos ejemplos en Latinoamérica donde se utilizaron
heurísticas propuestas para el Flow-shop o el mismo Flow-shop en la práctica:
• Rafael Mellado aplico el FSSP en la programación de reparación de equipos
médicos en el 2014, mostrando así la amplia posibilidad de aplicar el
problema de asignación dentro de ellos el ámbito industrial. Por ejemplo,
para la programación del mantenimiento preventivo de cualquier empresa,
reduciendo los tiempos muertos en los que no se produce. (Chile).
• Ballesteros Silva, Ballesteros Riveros & Bravo (2013) aplicaron una
heurística constrictiva en la programación secuencial de trabajos en
máquinas en paralelo. Mostrando así su aplicación en la administración de
24
operaciones o investigaciones de operaciones siendo aplicable en el área de
manufactura o de servicios. (Colombia).
• Otro ejemplo en la manufactura es el uso de algoritmos genéticos para la
programación de tareas en una celda de manufactura estudiada por Delgado,
Cortes & Duarte (2005) los cuales buscan optimizar un proceso industrial
automatizándolo usando los algoritmos genéticos para la programación de
este proceso. (Colombia).
• Sarache, Ramos & Cespón (2002) ingenieros industriales que propusieron
unos indicadores de diagnóstico en un sistema de producción que se basaba
en el Flow-shop. (Cuba).
• Abrahão & Gualda (2004) Utilizaron la heurística en colonias de hormigas
y la Metaheurística para resolver problemas logísticos de la fuerza aérea
brasileña. (Brasil).
• Tejada G. (2017) ingeniero industrial docente de la Universidad Mayor de
San Marcos estudio el enrutamiento y secuenciación óptimos en un flexible
Job-shop multi-objetivo mediante algoritmos genéticos. (Perú)
Sin ir muy lejos encontramos muchos trabajos en muchos ámbitos diferentes basados
en el problema de programación estudiado en esta investigación, en resumen, este problema
se puede usar en el mantenimiento, la investigación de operaciones, la automatización, la
manufactura, la logística, etc. Mostrando así la amplitud de aplicaciones, amplitud que se
encuentra en crecimiento, debido al aumento de la presencia de la tecnología en la industria
que con el paso de los años terminara ingresando en todas las áreas industriales sin importar
la naturaleza de su actividad.
25
2. Hipótesis/Proposición de la investigación.
Para iniciar esta sección mostraremos cual es el estado del arte del FSSP que
prácticamente constituye el resumen de la investigación de la literatura.
2.1. Resumen y Estado del Arte.
Gracias al artículo publicado por (Fernandez-Viagas et al., 2017) se puede tener
certeza de cuál es la metaheurística que constituye al estado del arte, con respecto a las
heurísticas se puede dar una pequeña discusión debido a que hay heurísticas que obtienen
mejores resultados que el NEH pero que necesitan más esfuerzo computacional para
obtenerlos.
Dong, Huan & Cheng (2008) Mejoraron el orden de prioridad para la asignación de los
trabajos sumándole la desviación de los pesos al promedio, al momento de calcular cual es
la máquina más pesada para definir el orden de prioridad para las inserciones.
Este aporte fue usado por Fernandes-Viagas & Framinan en el 2014 cuando
propusieron su Tie-breaker, con esto la eficiencia del NEH mejoro aún más, haciendo que
sea prácticamente indiscutible su supremacía con respecto a las demás heurísticas. Dubois-
Lacoste, Pagnozzi & Stützle (2017) agregaron una búsqueda local más después de la fase de
destrucción al IG original, y se obtuvieron mejores resultados A continuación, se mostrará
una tabla que hará una síntesis de las propuestas que formaron el algoritmo que constituye al
estado del arte actual.
2.2. Proposición de la investigación.
En base a la revisión de la literatura y el estado del arte del FSSP, notamos que aún hay
muchos desafíos y oportunidades de mejora en la literatura, por lo que, podemos afirmar que
es posible mejorar el desempeño del mejor algoritmo actual si se analiza, ya que, siempre
habrá una oportunidad de mejora donde se puede proponer algo que sea mejor o haga más
robusto alguna parte de este.
26
CAPITULO III: MÉTODO DE INVESTIGACIÓN
a) Descripción del objeto de estudio y unidad de análisis.
El objeto de estudio para esta investigación fue el problema de asignación de tareas y
máquinas del tipo Flow-shop con objetivo de minimización del makespan, y la unidad de
análisis será el estado del arte de este problema, que corresponde al algoritmo (o combinación
de algoritmos) que resuelven el FSSP obteniendo los mejores resultados, este mejor
algoritmo será revisado de manera más profunda para generar a partir de él, propuestas y
conclusiones.
b) Descripción del tipo de investigación.
El método de esta investigación es cualitativo, ya que no se realiza ningún trabajo
estadístico sobre los datos, simplemente se revisan, se entienden y se exponen de una manera
más sencilla. Haciendo que el lector pueda entender de una manera más rápida y efectiva las
propuestas más relevantes de este problema de asignación, de modo que, después de leer esta
investigación, se encuentra completamente apto para leer cualquiera de los artículos
propuestos en esta rama y entenderlo en su totalidad, así como de realizar una investigación
propia con el objetivo de proponer y aportar al FSSP.
c) Instrumentos de investigación.
En cuanto a los instrumentos, se usó la metodología de la bibliometría, asi como las
fichas bibliográficas para poder organizar los artículos que se leían: y con respecto al medio
para la recolección de datos, este se dió casi totalmente mediante el uso de la plataforma
Google Scholar, Science Direct y la dirección de los asesores, donde se utilizó el nombre de
los artículos para poder encontrarlos, se consultaron las bases de datos de otras universidades
para el punto de las aplicaciones, por último, se usaron libros guía de la biblioteca de la
Universidad Católica San Pablo para la propuesta teórica.
27
d) Descripción del paso a paso de como la investigación fue realizada.
Primeramente, se determinó el tema que se deseaba investigar gracias a la afinidad que
se tuvo con este problema durante el desarrollo de los cursos, después, para atender al
problema formulado y alcanzar los objetivos propuestos se consultó primeramente con el
investigador Alexander Benavides para pedir su consejo, ya que, él docente tiene experiencia
en la investigación y está muy familiarizado con el objeto de estudio. A raíz de esto, se pudo
saber cuál es el algoritmo que se encuentra en el estado del arte de este problema, y sus
palabras clave. Una vez leído el artículo se identificaron los artículos pasados que sirvieron
como base para este, usando la bibliografía, se pudo encontrar los artículos “base” para su
lectura utilizando el Google Scholar y la base de datos Science Direct. Este proceso de buscar
el artículo que sirvió de base para el otro se realizó para todos hasta encontrar el artículo más
antiguo (o base) de todos los demás. Vale mencionar que la investigación y la presentación
de los artículos en el presente trabajo es completamente inversa, se investigó del articulo más
nuevo al más antiguo, y se presentaron primero los más antiguos; Se hizo de esta manera
para que la lectura y el entendimiento sean más fáciles, ya que, las principales propuestas son
más sencillas y abarcan cosas más generales en comparación a las que le siguen, si se entiende
la base los demás estudios propuestos serán más fáciles de entender.
Toda la bibliografía que se utilizó se para realizar el análisis bibliométrico se condensó
en la Tabla 5 (Ver Apéndice), en la cual se pueden observar todos los artículos utilizados
por año, ubicación, cantidad de documentos que tiene el autor y de citaciones que tiene el
artículo, así como también, las palabras clave y el tipo de metodología que utiliza el artículo.
e) Análisis de las ventajas, desventajas y limitaciones del método, así como las formas
de superar estas limitaciones.
La mayor ventaja de realizar la investigación con esta metodología, consiste en que
puedes encontrar de manera rápida y completamente segura los artículos más relevantes, ya
que, el mismo artículo te indica de quien se basó para realizar algo, o de quien está usando
alguna parte de su algoritmo para realizar algo que el también necesita. De este modo es
mucho más fácil llegar al inicio de todo sin irte por las ramas, perdiéndote en un mar de
propuestas sin saber cuáles son las más relevantes.
28
La mayor desventaja de utilizar este método, es dejar de lado a muchos otros artículos,
que, si bien no son relevantes para el estado del arte actual, quizá en algún momento lo sean,
dejar de lado información es dejar de lado ideas que tienen mucho potencial, de modo que
también se abarcaron muchos artículos que no conforman el estado del ate, pero que son
mencionados como importantes en muchas ocasiones (sobre todo en los artículos que realizan
la recopilación de todos).
Con respecto a las limitaciones, en el caso que no se domine el inglés a un nivel
intermedio, por lo menos, se tendrá una dificultad para la lectura de los artículos, ya que
todos se encuentran es este idioma. Esta limitación se da porque todos los artículos de la
literatura usan el inglés como idioma principal por más que muchos autores sean
hispanohablantes; si bien, se puede utilizar un traductor en línea (para superar esta limitación)
esto no es recomendable porque la traducción no es precisa y muchas veces puede cambiar
de manera drástica el sentido del texto original, vale mencionar que el presente trabajo de
investigación es una forma de superar esta limitación.
29
CAPITULO IV: ANALISIS DE RESULTADOS
Gracias a la revisión de la evolución de la literatura del FSSP que se realizó se pudieron
entender todas las propuestas y la evolución de estas, hasta llegar al estado del arte de este
problema de asignación, de modo que el lector llegado a esta etapa se encuentra en la
capacidad de poder entender las nuevas propuestas que se den para optimizar la resolución
del FSSP. El estado del arte actual, que se mostró en el punto 2.1, no es perfecto e imposible
de mejorar, y durante la revisión crítica de los artículos se encontró una oportunidad de
mejora.
1. Análisis de la literatura analizada.
Figura 5: Mapa de resumen de precedentes del estado del arte del FSSP.
Nota. Elaboración Propia.
30
La Figura 5 es el resultado de la revisión de la investigación, nos muestra los
precedentes, en otras palabras, como el mejor algoritmo actual se forma en base a
proposiciones anteriores, la revisión de la literatura se condensa en este algoritmo, el cual
tiene tan buenos resultados debido a la progresiva mejora continua. Toda la revisión de la
evolución de literatura del FSSP, son el fundamento del porque el algoritmo actual tiene tan
buenos resultados, ya que, al ser elaborado utilizando lo mejor de otros algoritmos, este se
asegura como el que tendrá mejor rendimiento en función a eficiencia (esfuerzo
computacional) y eficacia (mejores resultados, menor makespan).
Adicionalmente, las propuestas sobre este tema se dan de manera constante mostrando
la relevancia de la investigación de este problema de asignación, estas propuestas con la
tendencia de internalización de la tecnología en todos los procesos aumentarán. Vale
mencionar que la mayoría de las propuestas sobre este tema se hacen en revisas que son de
alto impacto académico (cuartil uno) como: la European journal of Operational research o
Computer & Operation Research.
Gracias al análisis bibliométrico realizado sobre el Flow-shop Scheduling Problem
(FSSP) permutacional con objetivo de minimización del makespan se pudo observar que,
dentro de las propuestas de mejora para este problema, solo hay 1 autor peruano, todos los
demás son de otros países y la gran mayoría del continente europeo. También se pudo
observar que el articulo más citado (con 2346 citaciones) fue el que propuso la heurística
constructiva NEH, ya que esta es la base de todas las propuestas actuales y fue por esa razón
que se empezó por este aporte para la revisión de la literatura. Otro dato muy importante
corresponde a la actualidad de los artículos propuestos, siendo el 50% de los últimos 10 años.
Ver punto: 3.3 Justificación metodológica.
Se realizó un pequeño análisis de la cantidad de publicaciones de los autores, dentro
del documento se nombraron 37 autores, dentro de los cuales, algunos solo tenían una
publicación, siendo no tan importantes para el tema de estudio como otros autores, que tienen
muchas más publicaciones, vale mencionar que los autores con una publicación normalmente
pertenecen a la parte aplicativa del FSSP, siendo el documento su tesis. (Ver Figura 6)
31
Figura 6: Gráfico circular de la cantidad de documentos académicos por autor.
Nota. Elaboración Propia.
Del gráfico podemos ver que hay muchos autores con muy pocas publicaciones, así
como hay algunos que tienen muchas, notamos que Ping Chen, es el autor con la mayor
cantidad de documentos académicos publicados, teniendo 572 en su lista; otros autores con
un número significativo de publicaciones son Yan Jin, Thomas Stützle y Houkuan Huang
con 289, 228 y 222 respectivamente; los datos utilizados para obtener el grafico se obtuvieron
de la base de datos “Scopus” y se encuentran plasmados en la Tabla 6. (Ver Apéndices)
2%
10%
26%
10%
5%
5%
13%
6%
6%
1%4%
Nicolau Fares Gualda Pedro Ballesteros Silva Diana Ballesteros Riveros
Alexander Benavides Marcus Ritt Xingye Dong
Houkuan Huang Ping Chen Efredy Delgado
Carlos Cortés Oscar Duarte Jérémie Dubois-Lacoste
Federico Pagnozzi Thomas Stützle Victor Fernandez-Viagas
Jose Framinan Rubén Ruiz Weibo Liu
Yan Jin Mark Price Rafael Mellado
Muhammad Nawaz Emory Enscore Inyong Ham
Naser Boroojerdian Concepcíon Maroto Javier Alcaraz
Roberto Cespón Eric Taillard Eva Vallada
32
La gran mayoría de los artículos propuestos para el FSSP son cuantitativos, por el
hecho que los artículos más comunes son los que buscan mejorar el desempeño del algoritmo
actual, los cualitativos son normalmente las “recopilaciones” de todas las propuestas. Del
análisis bibliométrico realizado el 18% de los artículos (4 de 22) utilizaron una metodología
cualitativa, como la que se utiliza en este documento, y el 82% de los artículos fueron
cuantitativos.
Figura 7: Grafico de barras de los artículos Cuantitativos vs. Cualitativos.
Nota. Elaboración Propia.
Por último, con respecto al idioma de los artículos, notamos que la mayoría de los
documentos están en inglés, incluso los que son publicados por autores españoles, vemos que
este idioma es completamente predominante en este problema de investigación.
Figura 8: Grafico de barras del idioma de los artículo de la bibliografía..
Nota. Elaboración Propia.
0
5
10
15
20
Cuantitaiva Cualitativa
18
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Ingles español portugues
33
2. Análisis crítico del estado del arte del FSSP.
En el artículo de Benavides & Ritt del 2018, los autores proponen una heurística más
rápida para el FSSP no permutacional, dentro de su análisis hacen una comparación del
estado del arte, de la cual se puede observar un detalle muy importante. Ellos, en su último
experimento, prueban el estado del arte (Iterated Greedy) en su forma original (propuesto por
Ruiz & Stützle en 2007), el IG con el Tie-breaker de Fernandez-Viagas & Framinan (2014),
un IG con un Tie-breaker random (desempate de manera aleatoria) y un IG propuesto por
ellos; y los comparan con dos algoritmos no permutacionales. (Ver Tabla 7)
Tabla 5: Métodos del estado del arte del FSSP.
Nota. Tabla obtenida de Benavides, A. J., & Ritt, M., (2018). Fast he1uristic for minimizing in non-permutation flow shop.
Muy aparte de los resultados y lo propuesto en ese artículo, lo más interesante de ese
análisis fue que se descubrió que el IG con un Tie-breaker aleatorio se obtienen resultados
muy parecidos al IG con el Tie-breaker de Fernandez-Viagas & Framinan (en adelante TBFF)
obteniéndose un promedio general casi igual usando el mismo criterio de parada para todos
(Ver Tabla 8).
Por lo que se puede afirmar que el Tie-breaker del estado del arte, realizado por
Fernandez-Viagas & Framinan en el 2014, no genera resultados estadísticamente diferentes
a los resultados obtenidos usando un Tie-breaker aleatorio o random (en adelante TB0), el
cual, en el promedio de sus resultados es mejor que el TBFF y si hablamos de esfuerzo
computacional, es muchísimo mejor, ya que para obtener los resultados que obtiene no realiza
ningún tipo de cálculo matemático para realizar el desempate y elegir el mejor arreglo.
34
Tabla 6: Resumen de los resultados de probar el IG con diferente Tie-breaker (TB).
Nota. Tabla basada de Benavides, A. J., & Ritt, M., (2018). Fast heuristic for minimizing in non-permutation flow shop.
Es gracias a este artículo que podemos notar que el estado del arte actual tiene una gran
oportunidad de mejora en su Tie-breaker, ya que, si este tiene los mismos resultados
(estadísticamente hablando) que un Tie-breaker aleatorio, este no es del todo adecuado y
tiene que haber algo mejor; demostrando así la veracidad de la proposición del trabajo.
3. Propuesta teórica de un nuevo Tie-breaker.
Como sabemos, el Tie-breaker o “desempatador” es el encargado de elegir el mejor
arreglo cuando se da algún empate durante la construcción de la solución, en otras palabras,
cuando se está construyendo la solución final (el mejor arreglo u ordenamiento de trabajos
encontrado por el modelo) se dan empates, se encuentran 2 o más arreglos en los cuales el
makespan es el mismo. Como se vio en el artículo de Benavides & Ritt del 2018 utilizar
criterio de desempate aleatorio tenia los mismos valores que los propuesto por Fernandez-
Viagas & Framinan en el 2014, es aquí donde basándonos en los conocimientos adquiridos
en la rama de Investigación de Operaciones se propondrá un idea que puede ser desarrollada
en una tesis de un nuevo Tie-breaker que genere mejores resultados que los existentes.
IG RS
(Original)
IG + TB
RandomIG + TB FF
n m 15 15 15
20 5 0.04 0.014 0.013
20 10 0.06 0.006 0.01
20 20 0.03 0.011 0.016
50 5 0 0 0
50 10 0.56 0.362 0.356
50 20 0.94 0.646 0.631
100 5 0.01 0 0.001
100 10 0.2 0.101 0.124
100 20 1.3 0.901 0.865
200 5 0.12 0.051 0.052
200 10 1.26 0.976 1.006
500 20 0.78 0.463 0.464
0.44 0.294 0.295
Instancias
Promedio
35
Basándonos en las nociones del PERT/CPM aprendidas en el curso de investigación
de operaciones, donde el texto guía fue “Métodos cuantitativos para los negocios” del 2006
de Render, B., Stair, R. M., & Hanna, M. E.
Y tomando más énfasis en la teoría de los denominados: “idle times” o tiempos
muertos, proponemos un criterio de desempate basado en esto. En este tema, los tiempos
muertos se consideran como holguras, ya que, mientras los procesos o máquinas que
pertenezcan a la ruta crítica se encuentran siempre trabajando, las máquinas que no, tienen
un tiempo de holgura. La máquina puede trabajar dentro de esta holgura sin afectar el tiempo
de procesamiento total (ya que no es parte de la ruta crítica), esta es una forma de utilizar la
holgura de manera beneficiosa, y en este concepto nos basaremos.
Proponemos calcular la holgura de los arreglos que se encuentren empatados, y elegir
aquel que tenga el mayor valor de holgura. Ya que si el makespan o tiempo de procesamiento
total es el mismo para las opciones, elegir el que tiene más holguras o “huecos” hace más
versátil el arreglo para las futuras inserciones; cómo se van insertando los trabajos en función
a su tiempo de procesamiento, donde primero se insertan los más grandes y luego los más
pequeños, el arreglo que tiene más huecos tiene más oportunidades de obtener al final el
arreglo más eficiente, ya que los trabajos con tiempo de procesamiento más pequeño pueden
encajar en esos “huecos” y obtener al final un arreglo más eficiente que usando un criterio
de desempate aleatorio.
36
CAPITULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
1. Conclusiones:
Son pocos los artículos, si se compara con todas las propuestas hechas en este campo
de investigación, que tienen una influencia clara en el algoritmo que pertenece al estado del
arte. Notamos que algunos aportes, como la heurística constructiva NEH que es citada más
de 2000 mil veces, son muy trascendentes y la base para la gran mayoría de propuestas, pero
que eso no descarta que este libres de optimización, es gracias a las revisiones críticas que
se encuentran oportunidades de mejora hasta en los algoritmos más robustos.
El concepto de mejora continua se ve demostrado con todos los aportes realizados en
la literatura revisada, condensada en la Figura 5, la frase “stand on the shoulders of giants”
se ve reflejada en los nuevos artículos que normalmente se basan en investigaciones
realizadas anteriormente, las cuales después de ser analizadas, se usan de referencia por los
autores para proponer algo nuevo que normalmente supera a su predecesor.
Gracias a los resultados del artículo de Benavides & Ritt del 2018 se encontró una gran
oportunidad de mejora en el estado del arte del problema, el Tie-breaker propuesto por
Fernandez-Viagas & Framinan en el 2014 tiene la misma eficacia que un criterio de
desempate aleatorio, pero el Tie-breaker random es más eficiente ya que significa un menor
esfuerzo computacional. Por lo que la proposición del trabajo de investigación queda
calificada como “verdadera”; la aleatoriedad en los problemas de este tipo, es lo último que
se debe hacer, ya que, siempre algún modelo con un sustento matemático sólido tendrá
mejores resultados que los obtenidos al “azar”.
Utilizando la teoría de la Investigación de operaciones y las Redes PERT/CPM se
propuso la idea para un nuevo Tie-breaker que logre mejores resultados que los actuales;
utilizando la hipótesis de maximizar las holguras en las asignaciones intermedias se le da
más versatilidad al arreglo de “encajar” los siguientes trabajos a asignar en los huecos que
generan las holguras y que al final resulte en la obtención de un arreglo con mejores
resultados que los obtenidos con los Tie-breakers actuales. Esta idea puede ser explotada en
un trabajo posterior más grande, por ejemplo: una tesis.
37
2. Recomendaciones:
Se recomienda realizar la lectura de los artículos en el orden en que se presentó en el
presente trabajo, porque a medida que se van proponiendo nuevos algoritmos que optimizan
los resultados de sus predecesores, las propuestas se hacen cada vez más específicas y
complejas, de modo que, es mejor empezar por aquellos algoritmos que son la base de los
demás, para que el entendimiento de los artículos se haga de manera más efectiva.
El estudio del Flow-shop scheduling problem (FSSP) se encuentra totalmente
centralizado en Europa, la mayoría de los artículos que se proponen en este tema pertenecen
a autores europeos, se teoriza que el idioma es el factor más importante en esta tendencia,
ya que, en nuestro continente y sobre todo en nuestro país no se tiene un buen dominio del
idioma inglés, o no se maneja a un nivel avanzado/técnico para poder entender lo propuesto
por los autores en sus artículos. Para esta limitación recomienda familiarizarse con algunos
términos técnicos para el correcto entendimiento de los artículos, solo así, se podrá tener una
base teórica solida sobre la cual basarse para proponer algo que aporte a la resolución de este
problema de asignación de tareas.
Se sugiere utilizar este texto como base para iniciar la lectura de este problema de
investigación, ya que, después de haber leído el documento, el lector estará muy
familiarizado con las propuestas más importantes y con la mayoría de los términos técnicos
que se utilizan en los artículos propuestos y que se propondrán sobre el FSSP,
38
Referencias bibliográficas
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40
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41
Anexos
Anexo 1: las 120 instancias de Taillard.
Recuperado de: Taillard, E. (1993). Benchmarks for basic scheduling problems.
42
Anexo 2: Comparación del ILS contra otras metaheurísticas 1.
Recuperado de: Stützle, T. (1998). Applying iterated local search to the permutation flow shop
problem.
Anexo 2: Comparación del ILS contra otras metaheurísticas 2.
Recuperado de: Stützle, T. (1998). Applying iterated local search to the permutation flow shop
problem
43
Anexo 4: Lista de heurísticas constructivas comparadas por Ruiz y Maroto en el 2005
Recuperado de: Ruiz, R., & Maroto, C. (2005). A comprehensive review and evaluation of
permutation flowshop heuristics.
Anexo 5: Lista de metaheurísticas comparadas por Ruiz y Maroto en el 2005.
Recuperado de: Ruiz, R., & Maroto, C. (2005). A comprehensive review and evaluation of
permutation flowshop heuristics.
44
Anexo 5: Comparación del Tie-Breaker (TB) de Fernandez-Viagas y Framinan (TBFF) con
los otros Tie-breakers propuestos hasta esa fecha.
Recuperado de: Fernandez-Viagas, V., & Framinan, J. M. (2014). On insertion tie-breaking
rules in heuristics for the permutation flowshop scheduling problem.
Anexo 6: Metaheurísticas comparadas por Fernandez-Viagas et al. (2017) parte I
Fernandez-Viagas, V., Ruiz, R., & Framinan, J. M. (2017). A new vision of approximate
methods for the permutation flowshop to minimise makespan: State-of-the-art and
computational evaluation.
45
Anexo 7: Metaheurísticas comparadas por Fernandez-Viagas et al. (2017) parte II
Fernandez-Viagas, V., Ruiz, R., & Framinan, J. M. (2017). A new vision of approximate
methods for the permutation flowshop to minimise makespan: State-of-the-art and
computational evaluation.
46
Apéndices
Tabla 7: Listado de Autores con la cantidad de artículos académicos publicados por ellos.
# Autor/a
Num. De
publicaciones
1 Fernando Mendes Abrahão 1
2 Nicolau Fares Gualda 9
3 Pedro Ballesteros Silva 3
4 Diana Ballesteros Riveros 2
5 Juan Bravo Bolivar 1
6 Alexander Benavides 7
7 Marcus Ritt 51
8 Xingye Dong 24
9 Houkuan Huang 222
10 Ping Chen 572
11 Efredy Delgado 4
12 Carlos Cortés 12
13 Oscar Duarte 26
14 Jérémie Dubois-Lacoste 19
15 Federico Pagnozzi 5
16 Thomas Stützle 228
17 Victor Fernandez-Viagas 25
18 Jose Framinan 117
19 Rubén Ruiz 103
20 Weibo Liu 2
21 Yan Jin 289
22 Mark Price 128
23 Rafael Mellado 6
24 Muhammad Nawaz 141
25 Emory Enscore 29
26 Inyong Ham 91
27 Quan-ke Pan 1
28 Shahriar Farahmand Rad 1
29 Naser Boroojerdian 12
30 Concepcíon Maroto 25
31 Javier Alcaraz 15
32 William Ariel Sarache 1
33 Rafael Ramos 1
34 Roberto Cespón 3
35 Eric Taillard 37
36 Guillermo Tejada 1
37 Eva Vallada 15
Fernando Mendes Abrahão
Alexander Benavides
Efredy Delgado
Thomas Stützle
Yan Jin
Inyong Ham
Javier Alcaraz
Guillermo Tejada
47
Tabla 8: Listado de la bibliografía utilizada para el análisis bibliométrico.
