CODIES2010 Cap2 Sistemas Muestreados

Capıtulo 2Sistemas Muestreados

Diego Palmieri

Control Digital y EstocasticoIng. Automatizacion y Control Industrial

Departamento de Ciencia y TecnologiaUniversidad Nacional de Quilmes

Indice General

1 Sistemas Muestreados 2

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Sistema Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Secuencia de ponderacion de un Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Ejemplo n1: Secuencia de Ponderacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.1 Ejemplo N2: Pasa Bajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Transformada de Fourier de una Secuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Teorema del Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9.1 Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Transformada en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Reconstruccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.12 Reconstruccion Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Bloqueadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.14 Aparcicion de Frecuencias Espurias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

Capıtulo 1

Sistemas Muestreados

1.1 Introduccion

Si se buscamos en el diccionario el significado de muestreo dira proceso o accion de tomar unapequena parte o porcion de algo como una muestra para su analisis.

En el contexto del control y las comunicaciones, muestrear una senal implica reemplazar lamagnitud continua por una secuencia de numeros que representan los valores de dicha senal endeterminados instantes.

Un sistema muestreado es entonces, aquel que, partiendo de una senal o magnitud analogicao continua es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a in-tervalos de tiempo.

El muestreo es la caracterıstica fundamental de los sistemas controlados por computadora dadala naturaleza discreta de estos dispositivos. Generalmente la senal continua es convertida enuna secuencia de numeros que son procesados por el computador digital. Este da una nuevasecuencia de numeros, los que son convertidos a una senal continua y aplicada al proceso. Estesegundo proceso se denomina reconstruccion de la senal. Dada la importancia del muestreo esnecesario conocer a fondo este proceso.

La Figura 1.1 y la Figura 1.2 muestran la forma en que se realiza el muestreo. Existe unprimer elemento llamado muestreador que congela un instante el valor de la senal a muestrear,pero la salida del muestreador sigue siendo analogica. Para convertir esta senal a un valornumerico esta el conversor analogico digital.

Figura 1.1: Generacion de una seuencia

2

CAPITULO 1. SISTEMAS MUESTREADOS 3

Figura 1.2: Muestreo de una senal

En el ejemplo se ha dibujado ex-profeso el muestreo con tiempos diferentes pero lo mas comunes muestrear con un perıodo constante T llamado perıodo de muestreo.

Si bien se han dibujado separados, el muestreador y el conversor normalmente estan juntosen un mismo elemento. Lo que conviene reiterar es que el proceso no sufre alteracion alguna ysi este era continuo lo seguira siendo.

Para mayor claridad, se muestra en la Figura 1.3 como serıa la generacion de una senal decontrol discreta y en la Figura 1.4 se observan la diferentes senales.

Figura 1.3: Esquema de un Controlador Digital

A los fines del analisis es util tener una descripcion del muestreo. Esta accion significa simple-mente reemplazar una senal por su valor en un numero finito de puntos. Sea Z el conjunto denumeros enteros y t : kZ el subconjunto de numeros reales llamados instantes de muestreo. Laversion muestreada de f es entonces la secuencia f(t) : kZ . El muestreo es una operacion lineal.El perıodo de muestreo es normalmente constante o sea t = kT . En estas condiciones se llamamuestreo periodico y T es llamado perıodo de muestreo. fs = 1

T (Hz) se denomina frecuenciade muestreo.

Son usados tambien otros esquemas de muestreo mas sofisticados. Por ejemplo, muestrear


Figura 1.4: Ejemplo de muestreo de diferentes senales

diferentes lazos con diferentes perıodos de muestreo. Este caso se denomina muestreo multipley puede ser tratado como superposicion de varios muestreos periodicos.

El caso del muestreo periodico ha sido estudiado profundamente. Mucha teorıa esta dedica-da a este tema pero el muestreo multiple esta cobrando importancia dıa a dıa con el uso desistemas multiprocesadores. Con el software moderno es posible disenar un sistema como sifuesen varios procesos trabajando asincronicamente.

La senal continua y(t) se convierte en una secuencia mediante el muestreador y el CAD, quenormalmente es el elemento mas lento de la cadena. Ya dentro del computador se genera lasecuencia de control u. Este proceso consume un determinado tiempo Tc. Mediante el CDA lasecuencia se convierte en analogica y por ultimo el bloqueador interpola los valores de la senalentre dos perıodos de muestreo. El bloqueador mas usual es aquel que mantiene el valor de lasenal hasta la siguiente muestra llamado bloqueador de orden cero.

1.2 Secuencias

En sıntesis lo que ve el computador no es mas que una secuencia de numeros. Es necesarioentonces recordar algunas de las operaciones basicas entre secuencias.

La forma de escribir una secuencia es la siguiente:

uk = · · · , u−3, u−2, u−1, u0, u1, . . . (1.1)

Se veran a continuacion algunas operaciones, por ejemplo una suma de secuencias esta dada porla siguiente ecuacion:

uk = xk + vk (1.2)


y el producto por una constante:

uk = m xk (1.3)

Dos secuencias muy usuales en el control: el escalon y el impulso:

ιk = 1, 1, 1, . . . δk = 1, 0, 0, . . . (1.4)

Su representacion grafica esta dada en la Figura 1.5

Figura 1.5: El Escalon y el Impulso

1.3 Sistema Discreto

Ahora se podrıa definir un Sistema Discreto como aquel sistema que es excitado por una se-cuencia y genera otra secuencia como salida, tal como se ve en la Figura 1.6.

Figura 1.6: Sistema Discreto

Un ejemplo de sistema discreto es un Sumador de modo que la secuencia de salida sea la sumade los valores de entrada hasta ese instante:

uk =

k∑

i=1

ui

(1.5)

Aqui estamos en presencia de un Sistema Discreto Causal ya que la salida solo depende de losvalores anteriores de la entrada.


Un Promediador, en cambio, es un Sistema Discreto No Causal ya que depende de un valorfuturo. Este se describe de esta manera:

uk =

13(uk−1 + uk + uk+1)

(1.6)

1.4 Ecuaciones en diferencias

Existe un equivalente a la ecuacion diferencial de los sistemas continuos, son las llamadas ecua-ciones en diferencias. Una ecuacion diferencial tıpica es la siguiente:

x(t) =1

TT

∫ t

0w(t)dt (1.7)

La integral se puede asociar a un sumador con lo cual se tendrıa, para dos instantes de tiempoconsecutivo, las siguientes ecuaciones:

x(kT ) =1

TT

k−1∑0

Tw(iT )

x((k + 1)T ) =1

TT

k∑0

Tw(iT )

x((k + 1)T )− x(kT ) =T

TTw(kT )

(1.8)

Restando miembro a miembro y despejando, se obtiene la llamada ecuacion en diferencias.

x((k + 1)T ) = x(kT ) +T

TTw(kT ) (1.9)

La anterior serıa una ecuacion en diferencia de primer orden, el equivalente a un integrador.Pero en general para un sistema lineal tendrıamos la siguiente forma:

xk + a1xk−1 + a2xk−2 + · · ·+ anxk−n = b0wk + b1wk−1 + b2wk−2 + · · ·+ bmwk−m (1.10)

Al igual que en los sistemas continuos se pueden definir algunas propiedades. Por ejemplo, silos ai y los bi son constantes se dice que el sistema es invariante. La linealidad esta dada por elcumplimiento de la siguiente condicion:

u1k ⇒ y1k , u2k ⇒ y2kα1 u1k + α2 u2k ⇒ α1 y1k + α2 y2k

(1.11)


Figura 1.7: Respuesta al Impulso

1.5 Secuencia de ponderacion de un Sistema

Es importante definir para un Sistema Discreto una funcion que vincule analıticamente su en-trada y salida. En particular, se puede normalizar el comportamiento del sistema observandocual es su respuesta a la secuencia impulso.

Si el sistema es causal se cumple que:

gk = 0 ∇k < 0 (1.12)

Esta forma de definir la relacion entrada-salida es el equivalente a la respuesta impulsional delos sistemas continuos. De este modo, una secuencia se podrıa representar como:

uk =∞∑

n=−∞un δk−n (1.13)

siendo un el valor de la secuencia en ese instante. Por ejemplo la secuencia,

2, 3, 5 = 2 1, 0, 0+ 3 0, 1, 0+ 5 0, 0, 1= 2 δk+ 3 δk−1+ 5 δk−2

(1.14)

Teniendo en cuenta la linealidad y esta descomposicion se obtiene,

yk =∞∑

i=−∞ui gk−i =

∞∑i=−∞

gi uk−i (1.15)

Con esto queda definida la convolucion discreta entre secuencias, del siguiente modo,

yk = gk ∗ uk

yk =∞∑

i=−∞uigk−i =

∞∑i=−∞

giuk−i(1.16)

1.5.1 Ejemplo n1: Secuencia de Ponderacion

Sean la Secuencia de Ponderacion, o Respuesta Impulsional, y la entrada de un sistema:


gk = 1, 2, 1uk = 0, 3, 4

(1.17)

La forma de calcular la salida es la siguiente:

y0 =−∞∑

i=−∞u0−igi = u0−0g0 + u0−1g1 + u0−2g2 = 0

y1 = u1−0g0 + u1−1g1 + u1−2g2 = 3y2 = u2−0g0 + u2−1g1 + u2−2g2 = 4 + 3 ∗ 2 = 10y3 = u3−0g0 + u3−1g1 + u3−2g2 = 4 ∗ 2 + 3 ∗ 1 = 11y4 = u4−0g0 + u4−1g1 + u4−2g2 = 4 ∗ 1 = 4y5 = 0

(1.18)

1.6 Estabilidad

Se dice que un Sistema Discreto es estable si∇ secuencia de entrada acotada, su salida es acotada

yk =∞∑

i=−∞giuk−i

|yk| =

∣∣∣∣∣∞∑

i=−∞giuk−i

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

i=−∞|gi| |uk−i|

(1.19)

si uk es acotada se verifica,

|uk| ≤ c ∇k

|yk| = c

∞∑i=−∞

|gi|(1.20)

Entonces la condicion para que yk sea acotada es que:

∞∑i=−∞

|gi| < ∞ sii →a) gi acotadab) lim︸︷︷︸

i→∞

gi = 0 (1.21)

1.7 Respuesta en Frecuencia

Sea un sistema con respuesta impulsional gk y con entrada gk =ejkw

, su salida es:


yk =∞∑

i=−∞gie

jω(k−i)

yk = ejωk∞∑

i=−∞gie−jωi

yk =

( ∞∑i=−∞

gie−jωi

)︸︷︷︸

depende de ω

ejωk

︸︷︷︸

sec de entrada

(1.22)

Entonces la respuesta en frecuencia es:

G(ω) =∞∑

i=−∞gi e−jωi (1.23)

G es periodica con respecto a ω = 2π y es una funcion continua.De esta manera tenemos que:

yk = G(ω)

ejωk

(1.24)

G es el desarrollo en serie de Fourier (segun 1.22), por lo tanto los coeficientes seran:

gk =12π

∫ π

−πG(ω)ejωkdω (1.25)

1.7.1 Ejemplo N2: Pasa Bajos

G(ω) =1 → |ω| < ωc

0 → ωc < |ω| ≤ ωc

gk =12π

∫ ωc

−ωc

ejωkdω =1kπ

sen(kωc)(1.26)

es no causal.

1.8 Transformada de Fourier de una Secuencia

X(ω) = limn→∞

n∑i=−n

xie−jωi =

∞∑i=−∞

xie−jωi (1.27)

y la transformada inversa,


xk =12π

∫ π

−πX(ω)ejωkdω (1.28)

Para que X exista debe ser,

∞∑i=−∞

|xi| < ∞ (1.29)

Si,

yk =∞∑

i=−∞gk−iui (1.30)

Multiplicando ambos miembros de 1.30 por∑∞

k=−∞ ejωk nos queda,

∞∑k=−∞

ykejωk =

∞∑k=−∞

ejωk

( ∞∑i=−∞

gk−iui

)

=∞∑

k=−∞

∞∑i=−∞

ejωkgk−iui

=

[ ∞∑i=−∞

e−jωiui

]︸︷︷︸

U(ω)

[ ∞∑k=−∞

e−jω(k−i)gk−i

]︸︷︷︸

G(ω)

(1.31)

El ultimo [] va desde −∞ a ∞ por lo que es independiente de i, entonces con el siguiente cambioen la variable (k − i = k), nos queda,

Y (ω) = G(ω)U(ω) (1.32)

1.9 Teorema del Muestreo

Si el muestreo es suficientemente pequeno no se pierde casi informacion pero esta perdida puedeser importante si el perıodo de muestreo es muy grande. Es, entonces, esencial saber cuandouna senal continua es biunıvocamente definida por su muestreo. El siguiente teorema da lascondiciones para el muestreo.

Una senal continua con espectro en frecuencia nulo fuera del intervalo [−ω0, ω0] es reconstruibletotalmente si se la muestrea con una frecuencia ωs > 2ω0. La reconstruccion se obtiene medianteel siguiente calculo:

f(t) =∞∑

k=−∞f(kT )

sen(ωs(t− kT ))/2ωs(t− kT ))/2

(1.33)


1.9.1 Demostracion

La transformada de Fourier continua y la antitransformada de la funcion continua son:

F (ω) =∫ ∞

−∞e−jωtf(t)dt (1.34)

f(t) =12π

∫ ∞

−∞ejωtF (ω)dω (1.35)

a partir del muestreo se genera una secuencia fk = f(kT ) que tendra una transformada deFourier discreta de la forma,

Fs(ω) =∞∑

k=−∞ejωkfk (1.36)

y su antitransformada

fk = f(kT ) =12π

∫ π

−πejωkFs(ω)dω (1.37)

es decir que f(kT ) tiene dos formas de calcularse de acuerdo a 1.35 y 1.37. La ecuacion 1.35 sepuede expresar la integral como una suma de partes,

f(kT ) =12π

∫ ∞

−∞ejωkT F (ω)dω =

12π

∞∑r=−∞

∫ (2r+1)πT

(2r−1)πT

ejωkT F (ω)dω (1.38)

haciendo un cambio de variables ω = Ω+2πrT donde Ω es una frecuencia relativa al perıodo de

muestreo,

f(kT ) =12π

∞∑r=−∞

∫ (2r+1)πT

(2r−1)πT

ej Ω+2πrT

kT F (Ω + 2πr

T)d

Ω + 2πr

T

f(kT ) =12π

∞∑r=−∞

1T

∫ π

−πej(Ω+2πr)kF (

Ω + 2πr

T)dΩ

(1.39)

Se cumple ademas que ej2πrk = 1 por lo que

f(kT ) =12π

∞∑r=−∞

1T

∫ π

−πejΩkF (

Ω + 2πr

T)dΩ

f(kT ) =12π

∫ π

−π

1T

∞∑r=−∞

ejΩkF (Ω + 2πr

T)dΩ

f(kT ) =12π

∫ π

−πejΩk 1

T

∞∑r=−∞

F (Ω + 2πr

T)︸︷︷︸

Fs(ω)

dΩ

(1.40)

Comparando 1.40 con 1.35 se obtiene la relacion entre la Transformada de Fourier discreta ycontinua como sigue,


Fs(ω) =1T

∞∑r=−∞

F (Ω + 2πr

T) (1.41)

o de forma similar, dado que T = 2πωs

Fs(ω) =1T

∞∑r=−∞

F (ω +2πr

T) =

1T

∞∑r=−∞

F (ω + ωsr) (1.42)

De aquı se deduce que si la frecuencia de muestreo es mayor a dos veces la maxima frecuenciapara la cual la Transformada de Fourier es no nula, la Transformada de la senal muestreadasera una repeticion infinita del lobulo de la transformada continua. Esto significa que tomandouna parte de esta transformada se puede reconstruir exactamente la senal continua, excepto unfactor de escala 1

T . No sucede lo mismo si la frecuencia de muestreo es inferior a este lımite yaque los lobulos se superpondran. En la figura siguiente se muestra la Transformada de la senalcontinua y dos casos de Transformada de la senal discreta: el primero satisface el teorema delmuestreo y el segundo no. Es facil ver, graficamente, la posibilidad de la reconstruccion en elprimer caso. La frecuencia ωs

2 recibe el numbre de Frecuencia de Nyquist

Figura 1.8: Transformada de Fourier Continua, Transformada de Fourier de la senal muestreadacon frecuencia superior e inferior

El reconstructor de la ecuacion 1.33 es no causal y tiene la siguiente respuesta impulsional,

1.10 Transformada en Z

Esta transformada solo se define para secuencias

Z (xk) = X(z) =∞∑

k=−∞xkz

−k (1.43)

donde z es una variable compleja.La trasformada Z de la secuencia impulso es,

δk = 1, 0, 0, · · · ∆(z) = 1

(1.44)

Y la transformada de una secuencia,


Figura 1.9: Respuesta impulsional del reconstructor ideal

xk = 1, a, a2, · · · = ak

X(z) =∞∑

k=−∞akz−k =

∞∑k=−∞

(az−1

)k (1.45)

que converge para |z| > |a| y en cuyo caso la sumatoria resulta,

X(z) =1

1− az−1(1.46)

1.10.1 Propiedades

• Linealidad Z(af + bg) = aZ(f) + bZ(g)

• Desplazamiento Z(q−df) = z−dZ(f)

• Valor Inicial limk→0(fk) = limz→∞ Z(f)

• Valor Final limk→∞(fk) = limz→1(1− z−1)Z(f)

si (1− z−1)Z(f) no tiene ningun polo fuera del circulo unidad.

1.11 Reconstruccion

Si se quiere saber como es la senal continua a partir de la informacion que brinda la secuenciade muestras es necesario un proceso llamado de reconstruccion. En este proceso es posible quela senal reconstruida no coincida exactamente con la original. Esto se ve en la figura 1.10.

La pregunta es cuan parecida sera la senal reconstruida a la original. Todo dependera delreconstructor que se utilice.


Figura 1.10: Proceso de Reconstruccion

1.12 Reconstruccion Ideal

Para el caso de senales con ancho de banda limitado, se puede reconstruir a partir de la ecuacion1.47. La desventaja es que esta operacion no es casual y debemos conocer los valores anterioresy posteriores al instante tratado. Esto no es conveniente para el control digital, pero si puedeser util en comunicaciones donde se puede aceptar un retardo. Otra desventaja es su complicadocalculo y que solo es aplicable al muestreo periodico.

fr(t) =∞∑

k=−∞f(kT )

sen (ωs(t− kT )/2)(ωs(t− kT )/2)

(1.47)

Esta reconstruccion es no causal y en la grafica siguiente se muestra el resultado del proceso;la lınea suave es la senal continua y la ondulada es su reconstruccion. Se muestran ademaslos aportes de cada elemento de la sumatoria. La reconstruccion no es perfecta ya que no seconsideraron infinitos terminos de la sumatoria.

Figura 1.11: Reconstruccion Ideal de una senal

1.13 Bloqueadores

La reconstruccion anterior no es util para aplicaciones en control y demasiado costosa desde elpunto de vista de calculo. Es por esto que se eligen metodos mas simples. El mas usual es elbloqueador de orden cero o retenedor que consiste en mantener la senal en el mismo valor de la


Figura 1.12: Reconstruccion con Bloqueador de orden cero

ultima muestra. Dada su simplicidad este bloqueador es el mas usado en control digital y losCDA estandares son disenados con este principio.

Tambien se puede usar el BOO (Bloqueador de orden uno) para muestreo no periodico. Obvia-mente esta recontruccion introduce un error como se puede ver en la figura 1.13.

La eleccion del bloqueador depende de la aplicacion y del tipo de senal a reconstruir.

Figura 1.13: Reconstruccion con Bloqueador de orden uno

1.14 Aparcicion de Frecuencias Espurias

Lo que dice el teorema del muestreo es que si la frecuencia de muestreo es inferior a la maximafrecuencia del sistema continuo la reconstruccion ya no es posible debido a la superposicion delos lobulos. Un ejemplo es lo que sucede al muestrear la senal de la figura siguiente. Una posiblesolucion es incrementar la frecuencia de muestreo pero esto trae dos problemas: 1) si se observanlos elementos de la transformada en Z, estos varıan con el perıodo de muestreo y en particular


Figura 1.14: Aparicion de Frecuencias Espurias

las raıces de los polinomios tenderan todas a 1, esto llevara a errores numericos indeseados. 2)en el caso de que se elija una frecuencia suficientemente alta respecto de las frecuencias propiasde la planta, puede ser que no sea lo suficientemente alta con respecto a alguna perturbacion yel muestreo de esta perturbacion introduzca componentes de baja frecuencia. Estas senales queaparecen reciben el nombre es frecuencias alias y la unica forma de evitarlas es filtrar la senalantes del muestreo.

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